Métodos estatísticos inferenciais

Prévia do material em texto

Métodos estatísticos inferenciais
Prof. Gabriel Burlandy
Descrição
O estudo simultâneo do comportamento de duas ou mais variáveis.
Propósito
Ao lidar com as situações do mundo real, diversos fatores estão
envoltos em uma única situação problema. Diante disso, é
imprescindível que um profissional de saúde saiba reconhecer e tratar
dessas variáveis de forma adequada para que erros não sejam
cometidos.
Preparação
Antes de iniciar a leitura deste conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e
uma calculadora científica ou use a calculadora de seu
smartphone/computador. Além disso, para acompanhar o módulo 2,
você vai precisar das tabelas 1 e 2. Já no módulo 3, a tabela 3 será
necessária.
1
Clique aqui para ver a tabela!
2
Clique aqui para ver a tabela!
3
Clique aqui para ver a tabela!
Objetivos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212sa/03922/downloads/tabela1.pdf
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212sa/03922/downloads/tabela2.pdf
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212sa/03922/downloads/tabela3.pdf
Módulo 1
Correlação e regressão linear
Reconhecer correlação e regressão linear.
Módulo 2
Testes paramétricos
Aplicar os testes paramétricos.
Módulo 3
Testes não paramétricos
Aplicar os testes não paramétricos.
Introdução

1 - Correlação e regressão linear
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer correlação e regressão linear.
Correlação
Correlação: Pearson e Spearman e
métodos dos mínimos quadrados
Confira agora os conteúdos que serão abordados neste módulo.
Associação entre variáveis
A correlação é um estudo que apresenta o grau de associação entre as
variáveis. Graças a ela, portanto, conseguimos observar se duas ou mais
variáveis são independentes ou se variam juntas.
O objetivo geral da análise de correlação é realizar a medição da
intensidade da relação existente entre as variáveis. Por conta disso,
devemos observar os princípios dessa relação.
Exemplo
Em determinada espécie de insetos, foi registrada uma variação
significativa da altura deles ao longo do tempo. Um grupo científico
acredita que a variação de sua altura está atrelada à distância que
determinada erva, que serve de alimento para essa espécie, se encontra
do chão. Outra linha de raciocínio científico, apresentada por mais um

grupo de pesquisa, acredita que a mudança na altura ocorreu natural e
gradualmente ao longo do tempo.
Você agora consegue entender a complexibilidade? Os dois grupos de
cientistas, afinal, possuem dados para acreditar em suas afirmações.
Só que agora vem a pergunta de ouro: será que somente esses fatores
contribuem para a alteração do tamanho dos insetos? A resposta só
pode ser dada com um profundo estudo e a correta correlação entre as
variáveis. Com isso, você já compreende a importância do tratamento
dos dados?
As correlações entre as variáveis podem ter um caráter lógico (óbvio) ou
não. Naquelas supostamente lógicas, é possível compreender as
relações causais claramente. Já nas ditas ilusórias, não se consegue
estabelecer nenhuma conexão razoável entre as variáveis analisadas.
Tipos de correlação
Existem basicamente três tipos de correlação:
Correlação simples
É o caso em que existe uma relação entre duas variáveis, sendo uma
dependente (yi) e a outra, independente (xi).
Exemplo
Uma função afim simples do tipo: , em que o é o
nosso yi, ou seja, a variável dependente, e x é o nosso xi, isto é, a
variável independente.
Como a notação já demonstra, a nossa variável dependente
depende de x.
Considere agora o seguinte exemplo:
Uma espécie fictícia de fungos se prolifera de forma linear, ou seja, de
acordo com uma função afim. Em um laboratório, há inicialmente 5.000
indivíduos dessa espécie, mas, a cada hora que passa, mais 1.500
novos aparecem devido à sua reprodução.
Como podemos entender seu comportamento com o passar do tempo?
A resposta é: montando sua função.
Veja que existe somente uma variável independente: o tempo. Afinal,
sabe-se que a população aumenta em 1.500 indivíduos a cara hora.
Nesse caso, chamaremos essa variável de t e montaremos a função,
que apresenta a correlação da variável independente t, com a
dependente f(t). Lembre-se de que, no início, havia 5.000 indivíduos, os
quais, na fórmula, serão o nosso “a”.
A fórmula fica da seguinte maneira:
(1)
Observe que a variável dependente dá o valor total da espécie de
fungos com o passar do tempo, tendo como referência a variável
f(x) = a + bx f(x)
f(x)
f(t) = 5.000 + 1.500 ⋅ t
f(t)
independente . Note ainda o seguinte: para horas, ou seja, no
início de tudo, temos: 
indivíduos.
Por outro lado, se quisermos saber a quantidade dessa população 24
horas após o início da observação, veremos que: 
 indivíduos.
Atenção!
Apesar de o exemplo ter sido dado com uma função afim, qualquer tipo
de função matemática pode estar atrelada a essa correlação, como, por
exemplo, uma função afim, uma quadrática, uma exponencial ou uma
logarítmica. Diante disso, é importante estar com esses conceitos em
dia.
Correlação múltipla
É o caso em que existe uma variável dependente, que depende de duas
ou mais variáveis independentes. Isso ocorre em funções de mais de
uma variável do tipo: ou .
Exemplo
Em uma função do tipo , veja que a variável
dependente é e que as variáveis independentes são e .
Apesar de haver um ali sozinho, ele é uma constante, ou seja, um valor
fixo, sendo, portanto, um número que não muda.
Vamos compreender melhor esse conceito com o auxílio de mais um
exemplo:
Considere agora que a população inicial de 5.000 fungos não se
prolifere somente em relação ao tempo, mas também que a temperatura
do ambiente seja um fator relevante. Nesse exemplo, um grupo
científico, fazendo testes de crescimento populacional dos fungos,
constata que, entre 25ºC e 38ºC, eles se proliferam de acordo com a
seguinte equação:
(2)
Em que:
- t é o tempo em horas;
- T é a temperatura em Celsius;
- é a quantidade de fungos em determinado instante de tempo t
a certa temperatura T entre 25ºC e 38ºC ).
Observe agora que a função apresentada em (2) possui duas variáveis
independentes t e T e que somente uma variável é dependente das
duas simultaneamente: f(t, T). Note ainda que, em qualquer
temperatura no instante t=0 hor , a população possui o número de
individuos igual a 5000, porém, para , em qualquer temperatura
contida no intervalo [25ºC, 38ºC], existe uma maior que 5000.
Correlação parcial
t t = 0
f(0) = 5.000 + 1.500 ⋅ 0 ∴ f(0) = 5.000
f(24) = 5.000+
1.500 ⋅ 24 = 41.000
f(x, y), f(x, y, z) f(x, y, z, …)
f(x, y) = ax + by + c
f(x, y) x y
c
f(t,T ) = 5.000 + 1.500 ⋅ t ⋅ ( T
25 )
1/2
f(t,T )
(25∘C ≤ T ≤ 38∘C
a
t ≠ 0
No caso da existência de uma correlação múltipla, algumas variáveis
podem ser eliminadas estatisticamente devido à sua existência não
influenciar significativamente a variável dependente. Nesse caso,
considera-se somente a relação pura das variáveis independentes que
influenciam estatisticamente a dependente.
Para compreendermos esse conceito da forma devida, vamos continuar
com o nosso exemplo e o desenvolvimento da equação da proliferação
de fungos:
Considere que os cientistas tenham conseguido dados relevantes da
influência da umidade atmosférica (ou umidade relativa do ar) na
proliferação dos fungos, obtendo a seguinte função:
(3)
A função apresentada em (3) agora acrescenta uma terceira variável:
umidade relativa do ar . Por se chamar umidade relativa, ela é
apresentada em medidas de porcentagem.
Note que a umidade está elevada ao valor de , ou seja,
.
Mas o que isso significa?
Em um dia cuja temperatura seja de 25ºC e a umidade relativa, de 50%
a terceira parcela será calculada da seguinte maneira:
Veja que a contribuição é tão pequena, mas tão pequena, que pode ser
considerada nula. Por isso, ela é descartada: somente as contribuições
de tempo e temperatura são consideradas. Como, das três variáveis, são
consideradas somente duas, trata-se deuma correlação parcial.
Comentário
Para a análise de correlação, diversos coeficientes a serem calculados
mostram o tipo de correlação existente entre os dados e quão forte ou
quão fraca é a dependência entre as variáveis. Todavia, abordaremos
neste conteúdo somente os coeficientes de Pearson e Spearman, já que,
ao se entender o princípio de ambos, os demais se tornam de fácil
compreensão.
Coe�ciente de correlação
Coe�ciente de Pearson
A correlação linear investiga a associação entre duas variáveis, ou seja,
o grau de inter-relacionamento existente entre a variável dependente e a
independente. No entanto, é importante compreender que a correlação
linear apenas comprova a existência de uma correlação entre as duas
variáveis – e não que uma é a causa direta da outra.
f(t,T ,u) = 5.000 + 1.500 ⋅ t ⋅ ( T
25 )
1/2
+ ur−10
(ur)
−10
ur−10 = 1
ur10
1
ur10
=
1
5010
=
1
97 ⋅ 656.250.000.000.000
= 0, 00000000000000001024
Esse tipo de correlação pode ser:
Direta ou positiva
É um tipo de correlação em que a variável dependente se correlaciona
de maneira direta com a independente.
Indireta ou negativa
É uma correlação na qual a variável dependente tem relação
inversamente proporcional com a independente.
Nula
Tipo de correlação em que não há inter-relação entre as variáveis.
Para conseguirmos discernir os tipos de correlação descritos acima,
teremos de determinar o coeficiente de correlação de Pearson (r).
Coeficiente de correlação linear, ele é calculado considerando a
covariância e a variância dos dados, como é mostrado a seguir:
Covariância
Medida do grau de interdependência entre duas variáveis aleatórias. É
importante ressaltar que variáveis independentes possuem medida de
covariância nula.
Variância
Medida de dispersão que mostra a distância que cada valor do conjunto
amostral está do valor central (média).
(4)
Dica
Lembre-se de que, até aqui, definimos x como variável independente e y
como variável dependente.
A covariância e a variância podem ser calculadas da seguinte forma:
Populacional Amostral
(5) (8
r =
cov(x, y)
√var(x) ⋅ var(y)
cov(x, y) =
n
∑
i=1
(xi − x̄) ⋅ (yi − ȳ)
n
cov(x, y) =
n
∑
i=1
(
Populacional Amostral
(6) (9
(7) (1
Tabela 1 : Covariância e variância de população de dados e amostra de dados.
Gabriel Burlandy
O interessante é que esse coeficiente exprime o grau de correlação entre
as variáveis em um intervalo [-1,1] no qual:
- Se , há uma correlação direta ou positiva.
- Se , existe uma correlação indireta ou negativa.
- Se , há uma correlação nula.
É importante ressaltar também que existe um grau para a correlação. A
imagem adiante ilustra isso:
Grau de correlação entre variáveis.
Gabriel Burlandy.
Apliquemos essa concepção em um exemplo. Para isso, considere os
seguintes dados:
Estado
Indivíduos
diagnosticados
com dengue
Área de mata
atlântica (km²)
Rio de Janeiro 1.972 13.000
São Paulo 132.665 23.349
Espírito Santo 3.781 46.000
Minas Gerais 19.240 32.055
Paraná 38.376 25.269
Santa Catarina 16.693 28.313
var(x) =
n
∑
i=1
(xi − x̄)2
n
var(x) =
n
∑
i=
var(y) =
n
∑
i=1
(yi − ȳ)2
n
var(y) =
n
∑
i=
r > 0
r < 0
r = 0
Estado
Indivíduos
diagnosticados
com dengue
Área de mata
atlântica (km²)
Rio Grande do Sul 7.618 18.838
Tabela 2: Dados de área de Mata Atlântica e de indivíduos que contraíram dengue entre 2020 e
2021.
Adaptado de Ministério da Saúde, 2021.
Vamos verificar agora o tipo de correlação existente entre os dados e o
seu grau a partir do coeficiente de correlação de Pearson. Para isso,
usaremos inicialmente as equações (5), (6) e (7) com o objetivo de
determinar a covariância. No entanto, antes disso, precisamos definir a
variável dependente e a independente.
Podemos usar o seguinte raciocínio: a proliferação dos mosquitos
Aedes aegypti (agente transmissor da doença) pode estar atrelada à
quantidade de Mata Atlântica existente no estado.
Desse modo, a área de Mata Atlântica se torna a variável independente,
enquanto os indivíduos picados pelo mosquito são a dependente. Isso
se dá porque a quantidade de casos depende do montante de agentes
transmissores, ou seja, do número de mosquitos.
Resolvido isso, precisamos definir agora o valor médio de cada variável,
como faremos a seguir. Porém, em primeiro lugar, calcularemos a média
aritmética:
Estado
Indivíduos
diagnosticados
com dengue
(variável ))
Área de mata
atlântica (km²)
(variável )
Rio de Janeiro 1.972 13.000
São Paulo 132.665 23.349
Espírito Santo 3.781 46.000
Minas Gerais 19.240 32.055
Paraná 38.376 25.269
Santa Catarina 16.693 28.313
Rio Grande do Sul 7.618 18.838
Média ȳ = 31.478 x̄ = 26.689
Tabela 3: Determinação das variáveis e cálculo dos valores médios.
Gabriel Burlandy.
Após o cálculo dos valores médios, utilizaremos as equações (5), (6) e
(7):
y
x
Utilização da equação (5):
Utilização da equação (6):
Utilização da equação (7):
Agora, utilizando a equação (4), temos isto:
Veja que o resultado do coeficiente é negativo e relativamente próximo
de zero. Isso significa que a correlação entre esses dados é indireta e
fraca, como mostra a imagem do grau de correlação entre variáveis.
Além disso, demonstra que há outras variáveis relevantes para a
compreensão do processo de infecção dos indivíduos pelo mosquito
Aedes aegypti.
Atenção!
Outra dúvida suscitada nesse exemplo é: por que utilizamos as
equações (5), (6) e (7), e não as equações (8), (9) e (10)? Essa escolha
se dá porque trabalhamos com toda a população de dados fornecida na
tabela 2, e não com alguns dos dados existentes nessa tabela. Por
conta disso, utilizamos as equações referentes à população de dados, e
não à amostragem de dados.
Coe�ciente de Spearman
Agora que sabemos como se calcula a correlação e de que maneira ela
é avaliada, verifiquemos como as correlações se comportam
graficamente:
cov(x, y) =(13.000 − 26.689) ⋅ (1.972 − 31.478)
+ (23.349 − 26.689) ⋅ (132.665 − 31.478)
+ (46.000 − 26.689) ⋅ (3.781 − 31.478)
+ (32.055 − 26.689) ⋅ (19.240 − 31.478)
+ (25.269 − 26.689) ⋅ (38.376 − 31.478)
+ (28.313 − 26.689) ⋅ (16.693 − 31.478)
+ (18.838 − 26.689) ⋅ (7.618 − 31.478)/7
cov(x, y) = −54.437.708, 7
var(x) = [(13.000 − 26.689)2 + (23.349 − 26.689)2+
(46.000 − 26.689)2 + (32.055 − 26.689)2 + (25.269−
26.689)2 + (28.313 − 26.689)2 + (18.838 − 26.689)2]/7
var(x) = 95.220.710, 71
var(y) = [(1.972 − 31.478)2 + (132.665 − 31.478)2
+(3.781 − 31.478)2 + (19.240 − 31.478)2
+(38.376 − 31.478)2 + (16.693 − 31.478)2
+(7.618 − 31.478)2]/7
var(y) = 1.837.397.670
r = −54.437.708,7
√95.220.710,71⋅1.837.397.670
= −0, 130146516
Gráfico com o comportamento dos dados e a correlação entre as variáveis dependente e
independente.
Gabriel Burlandy
Correlação monótona
O coeficiente de correlação de postos de Spearman (p) é uma medida
não paramétrica de correlação de postos (correlação existente entre a
classificação de duas variáveis). Esse coeficiente avalia com que
intensidade uma função monótona consegue descrever a relação entre
duas variáveis.
Matematicamente, o intervalo da correlação de Spearman entre duas
variáveis se assemelha ao da correlação de Pearson, pois ele varia
entre [-1, 1]. Todavia, enquanto a correlação de Pearson avalia
correlações lineares, a de Spearman avalia correlações monótonas –
mesmo que elas não sejam lineares.
Medida não paramétrica
Medida estatística que não possui dados ou populações como base de
análise.
Função monótona
Função matemática estabelecida entre dois conjuntos ordenados que
preserva ou inverte totalmente a relação de ordem.
Atenção!
O coeficiente de Spearman pode ser utilizado tanto para a análise de
variáveis contínuas quanto para as discretas, incluindo as variáveis
ordinais.
Para utilizar o coeficiente de Spearman, é preciso saber separar os
dados em postos (do inglês range). Por conta disso, aprenderemos a
calcular esse coeficiente em um exemplo adiante.
Considere esta tabela:
rg
Função do jogador
de futebol no
campoQuantidade de suor
em uma partida
(mL)
Distância em um
partida (km)
Zagueiro 3,00 1,0
Meia direita 12,00 7,0
Meia esquerda 13,00 6,5
Cabeça de área 20,02 9,5
Ponta direita 11,00 10,0
Centroavante 15,00 9,0
Ponta esquerda 7,43 12,0
Goleiro 1,28 0,5
Zagueiro 2,22 3,5
Lateral direito 29,8 11
Lateral esquerdo 32,0 16
Tabela 4: Funções dos jogadores de futebol no campo, quantidade de suor e distância
percorrida.
Gabriel Burlandy.
Na tabela 4, além da descrição dos 11 jogadores de um time de futebol,
estão estimados os dados da quantidade de suor expelido (mL) por
cada jogador e a distância (km) que cada um percorreu durante o jogo.
Utilizaremos o coeficiente de Spearman para entender a relação entre
esses dados. Porém, antes disso, precisamos estabelecer qual é a
variável dependente e a independente.
Para suar, o jogador precisa correr. Diante dessa obviedade, a variável
independente é a distância, que chamaremos de Xi. Já a dependente é a
quantidade de suor, que chamaremos de Yi.
Após termos definido isso, precisamos determinar agora os postos de
cada dado. Para isso, comecemos a numerar de 1 até 11, indo do menor
para o maior. Chamaremos de rg(Yi) o posto da variável dependente e de
rg(Xi) o posto da variável independente.
Vamos conferir a tabela!
Função do jogador
de futebol no
campo
Quantidade de suor
em uma partida
(mL) ( )
Distância em um
partida (km) (
Zagueiro 3,00 1,0
Meia direita 12,00 7,0
Meia esquerda 13,00 6,5
Cabeça de área 20,02 9,5
Ponta direita 11,00 10,0
Centroavante 15,00 9,0
Ponta esquerda 7,43 12,0
Goleiro 1,28 0,5
Zagueiro 2,22 3,5
Lateral direito 29,8 11
Lateral esquerdo 32,0 16
Tabela 5: Determinação dos postos de cada par de dados.
Gabriel Burlandy
Note que o posto foi montado numerando os dados da coluna em
ordem crescente e que o posto foi criado mediante a numeração dos
dados da coluna na mesma ordem.
Atenção!
Nesse ponto, não reorganizaremos os números. Vamos apenas numerá-
los de acordo com a ordem crescente dos valores (do primeiro até o
último valor).
Agora precisamos inserir mais duas colunas: e . A coluna é a
coluna de diferença de postos. Desse modo, apresentaremos nela:
. E, na última coluna, há o valor obtido de 
elevado ao quadrado (ver tabela adiante).
Você deve estar se perguntando: mas para que isso serve? A resposta
virá logo após a tabela 6. Até agora estamos apenas levantando todos
os dados necessários para podermos obter o coeficiente de Spearman.
yi
xi
yi Yi
xi
Xi
di d2
i di
di = rg (Yi) − rg (Xi) di
Função do jogador
de futebol no
campo
Quantidade de suor
em uma partida
(mL) ( )
Distância em um
partida (km) (
Zagueiro 3,00 1,0
Meia direita 12,00 7,0
Meia esquerda 13,00 6,5
Cabeça de área 20,02 9,5
Ponta direita 11,00 10,0
Centroavante 15,00 9,0
Ponta esquerda 7,43 12,0
Goleiro 1,28 0,5
Zagueiro 2,22 3,5
Lateral direito 29,8 11
Lateral esquerdo 32,0 16
Tabela 6: Cálculo da diferença entre postos di, e de di
2.
Gabriel Burlandy.
Como já temos todos esses dados na tabela 6, faremos o cálculo do
coeficiente de Spearman considerando a seguinte formulação:
(11)
Em que:
- é a covariância dos postos;
- é o desvio-padrão de ;
- é o desvio-padrão de .
Todavia, se todos os postos são números inteiros distintos (que é nosso
caso no exemplo: basta observar, na tabela 6 , a e a coluna),
podemos utilizar a equação (12):
(12)
Usando a equação (12), obtemos:
yi
xi
ρ =
cov(rgXi
,rgYi
)
σrgXi
⋅σrYi
cov (rgXi
, rgYi)
σrgXi
rg (Xi)
σrgYi
rg (Yi)
3a 4a
ρ = 1 −
6∑n
i=1 d
2
i
n (n2 − 1)
Veja que o valor obtido pelo coeficiente de Spearman foi de .
Isso significa que a variável dependente tem uma forte dependência
com a independente. Entretanto, o fato de ainda faltar 0,3 para se chegar
a 1 indica que outros fatores contribuíram para a quantidade de suor
expelida por cada jogador.
Atenção!
O coeficiente de Spearman só é válido para o caso de haver postos
distintos e contínuos. Se houver postos com números iguais , não
podemos utilizar este tipo de correlação. Outra limitação para o uso
deste tipo de correlação, é se os dados estiverem truncados (os valores
dos dados estão limitados entre intervalos matemáticos específicos).
Nesse caso, devemos utilizar o coeficiente de correlação de Pearson.
Regressão linear
O método dos mínimos quadrados
Até o presente momento observamos a relação dos dados,
correlacionando a variável dependente e a independente. Agora
conheceremos uma técnica matemática que permite explicar o
comportamento de uma série de dados, seja essa série um dado
populacional ou um amostral.
É importante ressaltar que essa técnica funciona para casos em que a
correspondência entre a variável dependente e a independente é linear.
Essa informação é relevante, pois a técnica do método dos mínimos
quadrados revela uma função afim do tipo: y = a + bx. Além disso, o
gráfico dessa função afim é uma reta, que é a melhor reta que se ajusta
aos pontos cartesianos formados pelos dados de variáveis dependente
 independente.
Para entendermos isso melhor, vamos voltar aos dados da tabela 4 e
plotar um gráfico de quantidade de suor x distância percorrida, como
mostra o gráfico abaixo:
Gráfico: Quantidade de suor x distância percorrida.
ρ = 1 −
6 ⋅ [1 + 1 + 9 + 4 + 9 + 4 + 36 + 0 + 1 + 1 + 0]
11 (112 − 1)
ρ = 1 − 6 ⋅
66
1320
≈ 1 − 0, 3 = 0, 7
ρ =  0, 7
e
Gabriel Burlandy
Os dados apresentados no gráfico anterior, à primeira vista, parecem
aleatórios, mas perceba que eles têm uma tendência. Com o aumento
da distância percorrida, há o aumento da quantidade de suor. Note
também que é possível traçar uma semirreta do primeiro ao último
ponto, ficando com boa parcela dos outros pontos perto dessa
semirreta.
Veja agora o gráfico abaixo:
Gráfico: Quantidade de suor x distância percorrida com semirreta traçada do primeiro ao
último ponto.
Gabriel Burlandy
Mas por que não são todos os dados que ficam próximos dessa reta?
Você se lembra de que, na seção anterior, ao calcularmos o coeficiente
de correlação de Spearman, tivemos um ? Você reparou que há
aproximadamente três pontos mais distantes da reta (pontos marcados
pelos círculos verdes)?
Por fim, você percebe que ? E que 0,3
é o que faltava no para que ele seja igual a 1?
O que o coeficiente de correlação nos mostrou é que os dados possuem
70% de adesão ao comportamento direto ou positivo e que os 30%
restantes dependem de outros fatores que não foram abordados.
Exemplo
Podemos considerar o metabolismo de cada jogador, intensidade de
raios solares nas diferentes regiões do campo de futebol e quantidade
de líquido ingerido antes da partida começar.
Mas o método dos mínimos quadrados se limita a isso? Traçar uma reta
do primeiro ao último ponto e verificar se ela está de acordo com o
coeficiente de correlação?
A resposta é simplesmente não. O método dos mínimos quadrados
consiste em traçar a melhor reta que se ajusta aos pontos. Essa reta
descreverá o comportamento dos pontos.
Veremos também que a dispersão desses pontos em torno da reta está
dentro do intervalo previsto pelo desvio-padrão. Para tal, primeiramente
teremos de nos perguntar: como vamos traçar essa reta?
De início, precisamos calcular o coeficiente angular dessa reta (b) e, em
seguida, o coeficiente linear (a). Faremos isso da seguinte maneira:
ρ =  0, 7
3 dados 
11 dados  = 0, 2727272 … ≅0, 3
ρ
(14)
E:
Em que:
- é a quantidade de dados da amostra (pontos do gráfico);
- é a representação da variável independente;
- é a representação da variável dependente;
- é a representação do valor médio da variável independente;
- é a representação do valor médio da variável dependente.
Voltemos ao exemplo da tabela 4 e do Gráfico com o comportamento
dos dados e a correlação entre as variáveis dependente e independente,
a fim de podermos calcular os coeficientes para a montagem da reta
que melhor se ajusta aos gráficos. Para isso, precisamos montar a
tabela 7 e calculare :
Função do jogador
de futebol no
campo
Quantidade de suor
em uma partida
(mL) 
Distância em um
partida (km) 
Zagueiro 3,00 1,0
Meia direita 12,00 7,0
Meia esquerda 13,00 6,5
Cabeça de área 20,02 9,5
Ponta direita 11,00 10,0
Centroavante 15,00 9,0
Ponta esquerda 7,43 12,0
Goleiro 1,28 0,5
Zagueiro 2,22 3,5
Lateral direito 29,8 11
Lateral esquerdo 32,0 16
∑ 146,8 86
Tabela 7: Preparo dos dados para determinação do coeficiente angular b.
Gabriel Burlandy.
b =
n∑n
i=0 x ⋅ y −∑n
i=0 x ⋅∑n
i=0 y
n∑n
i=0 x
2 − (∑n
i=0 x)
2
a = ȳ − bx̄
n
x
y
x̄
ȳ
x ⋅ y x2
(y)
(x)
Veja que, com os dados da tabela 7, conseguimos preencher toda a
equação (13) e calcular o coeficiente angular b:
(15)
Agora que temos o resultado de b, vamos calcular o resultado de a
partir da equação (14). Porém, para isso, precisamos do valor médio de
y e x. Calculando suas médias, temos o seguinte:
(16)
(17)
Aplicando (15), (16) e (17) em (14), verificamos que:
Veja que agora podemos escrever a equação da reta que melhor se
ajusta aos pontos do gráfico:
(18)
Gráfico: Reta que melhor se ajusta aos pontos.
Gabriel Burlandy
Margem de erro dos pontos
O erro quadrado (R²)
A reta plotada no gráfico da imagem acima é a reta que melhor se ajusta
aos pontos é a reta que se ajusta melhor aos pontos. Teoricamente, ela
b =
11 ⋅ 1544, 0 − 86 ⋅ 146, 8
11 ⋅ 897, 0 − (86)2
≅1, 8
a
x̄ =
∑n
i=1 x
n
=
86
11
= 7, 8
ȳ =
∑n
i=1 y
n
=
146, 8
11
13, 3
a = 13, 3 − 1, 8 ⋅ 7, 8 = −0, 74
y = −0, 74 + 1, 8x
representa valores ideais. Todavia, no mundo real, o que há são valores
dispersos em torno de um valor ideal médio. Ainda assim, não podemos
ignorar a presença de uma reta ascendente no gráfico dessa imagem.
O que faremos agora é estimar a precisão da nossa reta calculada pelo
método dos mínimos quadrados. Para isso, precisamos extrair da nossa
reta o y esperado. Mas o que é isso?
Trata-se do valor de y obtido na reta para x medido.
Exemplo
No caso da quantidade de suor x distância percorrida, considerando o
goleiro que percorreu uma distância de 0,5km (nosso X), qual é o Y
esperado? Para isso, basta substituir na equação da reta que definimos
anteriormente:
(quando aproximado para uma casa decimal).
Fazendo um ponto, agora você consegue calcular os outros. Na tabela a
seguir, veremos esses pontos:
Função do jogador
de futebol no
campo
Quantidade de suor
em uma partida
(mL) 
Distância em um
partida (km) 
Zagueiro 3,00 1,0
Meia direita 12,00 7,0
Meia esquerda 13,00 6,5
Cabeça de área 20,02 9,5
Ponta direita 11,00 10,0
Centroavante 15,00 9,0
Ponta esquerda 7,43 12,0
Goleiro 1,28 0,5
Zagueiro 2,22 3,5
Lateral direito 29,8 11
Lateral esquerdo 32,0 16
∑
Tabela 8: Valor de y esperado, erro quadrado de linha e erro quadrado referente ao valor médio.
Gabriel Burlandy.
Veja que, na tabela 8, também aparecem mais duas colunas:
yesperado  = −0, 74 + 1, 8 ⋅ 0, 5 = 0, 16 ≈ 0, 2
(y)
(x)
- Erro quadrado ;
- Erro quadrado do valor médio .
O é calculado da seguinte maneira:
(19)
Vamos pegar novamente o exemplo do goleiro:
Arredondando para uma casa decimal, temos isto: (como
podemos ver na tabela 8).
Já o é calculado da seguinte maneira:
(20)
Voltemos ao exemplo do goleiro:
Após a obtenção desses dois valores, estabeleceremos o grau de
precisão da nossa reta por meio da seguinte equação:
21
Retomemos mais uma vez o caso do goleiro. Voltando ao nosso
exemplo, vemos que:
Em nosso cálculo de precisão no valor de , atrelado
ao fato de que a correlação de Spearman demonstrou 70% de
correlação, vemos que o modelo matemático apresentado pelos
mínimos quadrados é aceitável para descrever a quantidade de suor de
um jogador em função da distância percorrida por ele em campo.
O que o representa é a distância vertical do ponto até a reta
obtida por mínimos quadrados. Já médio representa a distância
vertical do ponto até o valor médio de y.
Atenção!
O valor obtido pela equação (21) é uma boa estimativa para verificar a
aderência da reta obtida por métodos dos mínimos quadrados, porém
outros métodos estatísticos para estimar erros possuem mais precisão.
(R2
linha )
(R2
valor médio )
R2
linha 
R2
linha  = (y − yesperado )
2
R2
valor médio  = (1, 28 − 0, 2)2 = 1, 1664
R2
linha  = 1, 2
R2
valor médio 
R2
valor médio  = (y − ȳ)2
R2
linha  = (1, 28 − 13, 3)2 ≅144, 5
R2 = (1 −
∑n
i=1 R
2
linha 
∑n
i=1 R
2
valor médio 
) ⋅ 100
R2 = (1 − 385,1
1.085,9 ) ⋅ 100 ≈ 65%
65% (R2 = 65%)
R2
linha 
R2
valor
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Considere os seguintes dados abaixo e assinale a opção que
apresenta a reta calculada pelo método dos mínimos quadrados:
Estado
Indivíduos
diagnosticados
com dengue
Área de ma
atlântica (k
Rio de Janeiro 1.972 13.000
São Paulo 132.665 23.349
Espírito Santo 3.781 46.000
Minas Gerais 19.240 32.055
Paraná 38.376 25.269
Santa Catarina 16.693 28.313
Rio Grande do Sul 7.618 18.838
Gabriel Burlandy.
Parabéns! A alternativa A está correta.
O método dos mínimos quadrados é obtido pelas equações (13) e
(14). Assim:
A y=46.736,0481-0,5717⋅x
B y=46.736,0481+0,5717⋅x
C y=86.736,0481-0,4717⋅x
D y=-46.736,0481+0,8170⋅x
E y=-46.736,0481-0,5.000⋅x
b =
n∑n
i=0 x − y −∑n
i=0 x ⋅∑n
i=0 y
n∑n
i=0 x
2 − (∑n
i=0 x)
2
a = ȳ − bx̄(14)
Completando a tabela com os dados necessários para a equação
(13), verificamos que:
Estado
Indivíduos
diagnosticados
com dengue ( )
Área de ma
atlântica (k
Rio de Janeiro 1.972 13.000
São Paulo 132.665 23.349
Espírito Santo 3.781 46.000
Minas Gerais 19.240 32.055
Paraná 38.376 25.269
Santa Catarina 16.693 28.313
Rio Grande do Sul 7.618 18.838
Média 31.478 26.689
∑ 220.345 186.824
Utilizando agora a equação (13), temos o seguinte:
Agora, usando a equação (14), vemos que:
Desse modo, a reta estimada pelo método dos mínimos quadrados
é:
Questão 2
Em um estudo sobre crianças entre 7 e 9 anos de idade com gripe,
foi montado um gráfico do número de infectados de acordo com a
distância de suas casas até o principal rio que corta a cidade.
Nesse levantamento, foram coletados 1.000 dados. Ao traçar a reta
que melhor se ajusta aos dados, foi obtida a equação da reta:
y=12+0,24x, com R2=98%.
y
b =
7 ⋅ 5.499.755.222 − 186.824 ⋅ 220.345
7 ⋅ 5.652.717.400 − (186.824)2
≈ −0.5717
a = 31.478 − (−0, 5717 ⋅ 26.689) = 46.736, 0481
y = 46.736, 0481 − 0, 5717 ⋅ x
Isso significa que:
Parabéns! A alternativa B está correta.
Veja que a equação da reta apresentada tem coeficiente angular
positivo b=0,24. Isso significa que a reta é ascendente; logo, a
correlação é positiva. Além disso, como o enunciado afirma que há
uma precisão de 98%, podemos afirmar que a correlação entre as
variáveis é forte.
2 - Testes paramétricos
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar os testes paramétricos.
A
a variável dependente e a independente possuem
uma correlação positiva fraca.
B
a variável dependente e a independente possuem
uma correlação positiva forte.
C
a variável dependente e a independente possuem
uma correlação negativa forte.
D
a variável dependente e a independente possuem
uma correlação negativa fraca.
E
a variável dependente e a independente possuem
uma correlação nula.
Teste paramétricos
O que são testes paramétricos?
Análise de fatores populacionais
Testes paramétricos: ferramenta estatística
O teste paramétrico é uma ferramenta estatística poderosa utilizada em
análise de fatores populacionais. Ele impõe às amostras (dados) uma
condição de existência.
Exemplo
Tamanho (quanto maior a quantidade de dados, menor é o erro
associado) e intervalo matemático.
Trata-se, portanto, de testes que nos permitem avaliar a significância
estatística das amostras e quantificar a correlação entre uma variável
quantitativa e uma categórica (qualitativa). Tais variáveis categóricas
diferenciam os indivíduos em grupos (tamanho, peso, sexo, turno de
trabalho, idade etc.).
Testesparamétricos se apoiam na distribuição da variável estudada. De
fato, existem diversos tipos de leis de distribuição; contudo, como se
baseiam em distribuições normais de dados, esses testes levam em
consideração dois parâmetros: a média e o desvio-padrão.
Atenção!
Para aplicar os testes paramétricos em um conjunto de dados, é preciso
averiguar a homogeneidade das variâncias na população de dados.
Além disso, é recomendado que o número de indivíduos (valor n de
dados) seja maior que 30 por grupo e que esses grupos sejam
balanceados. Caso haja uma quantidade menor de dados, será
necessário recorrer a testes não paramétricos.
São os testes paramétricos:
Prova do valor Z da distribuição normal padrão.
Teste t de Student para dados relacionados (amostras
dependentes).

t de Student para dados não relacionados (amostras
independentes).
Teste t de Student-Welch para duas amostras independentes com
variâncias não homogêneas.
Teste de Chi Square de Bartlett para demonstrar a homogeneidade
das variações.
F (análise de variância ou ANOVA).
Como podemos observar, são muitos os testes estatísticos
paramétricos. Entretanto, daqui em diante, concentraremos nossa
discussão no teste da distribuição normal e nas condições
existentes para os testes unilaterais - e em como aceitar e rejeitar
determinadas hipóteses - a partir do valor 
Hipóteses estatísticas
Distribuição normal padrão Z
Quando trabalhamos com dados discretos ou contínuos, conseguimos,
em geral, montar uma curva simétrica chamada de distribuição normal
(ou simplesmente de curva gaussiana), como mostra a imagem adiante.
Esboço de uma curva gaussiana (distribuição normal).
Na imagem acima, uma coluna preta representa o valor médio da
distribuição. Ela é, portanto, simplesmente a média aritmética calculada
com os valores dos dados. Nos dois lados da coluna preta, duas
colunas cinza-escuras representam os valores existentes com mais um
e menos um desviopadrão, isto é, e .
Veja que as colunas possuem tons de cinza variados e que, quanto mais
afastado da média (coluna preta), mais claro fica o tom de cinza. Mas o
que esse tom representa?
Resposta
A probabilidade de você encontrar um valor presente em determinada
faixa de valores.
Para entender isso melhor, inicialmente observe esta imagem:
Z
−p
x̄ + σ x̄ − σ
Representação de média µ e desvio-padrão no gráfico de distribuição normal.
Na imagem, a média - que estávamos até agora denominando é
chamada de µ.
Saiba mais
Tanto quanto µ são formas válidas de se referir à média aritmética.
Você pode encontrar as duas formas de escrita em artigos científicos e
livros.
Veja que, na imagem anterior, há o valor central o µ e, ao seu redor, os
desvios-padrão. Se compararmos a representação de média (μ) e
desvio-padrão (σ) no gráfico de distribuição normal com a do esboço de
uma curva gaussiana (distribuição normal), veremos que as três barras
centrais correspondem ao intervalo de a e que esse intervalo,
na imagem da representação de média (μ) e desvio-padrão (σ) no
gráfico de distribuição normal, corresponde a 68,2%. Isso significa que
os dados contidos nesse intervalo possuem 62,8% de chance de
ocorrência.
Se aumentarmos o intervalo de a , teremos uma chance de
ocorrência de 95,4%. Além disso, se esse intervalo for de a ,
haverá uma probabilidade de 99,7% (que é aproximadamente 100%).
Mas podemos ter uma probabilidade maior que 100%? A resposta é
não. Na verdade, nessa curva, a área máxima abaixo dela é de 1, ou seja,
100%.
Atenção!
A primeira coisa que temos de saber é que, em uma distribuição normal,
há a média moda mediana. Em segundo lugar, precisamos
observar que essa curva é obtida por meio da plotagem de um gráfico
dos dados no modelo histograma.
Ainda resta uma questão: como se determina então a probabilidade de
ocorrência olhando o histograma? É pelo cálculo da gaussiana? Mais
uma vez, a resposta é esta: não.
Essa determinação é feita ao se plotar um segundo gráfico, o qual,
apesar de também ser de uma gaussiana, é chamado de distribuição
normal. Mas como isso é feito?
Nesse gráfico, o valor médio é considerado zero, ou seja, . Em
torno de µ, existem os desvios-padrão . Para a direita, o desvio é
positivo; para a esquerda, negativo. Veja a imagem abaixo:
(σ)
x̄−
x̄
−1σ 1σ
−2σ 2σ
−3σ 3σ
= =
μ = 0
σ
Curva gaussiana em uma distribuição normal.
Na imagem acima, o valor central é 0, o que significa a existência de
zero desvios-padrão ali. Já o valor 1 implica 1 desvio-padrão para mais;
o valor menos 1, 1 desvio-padrão para menos – e assim
sucessivamente.
Mas como é feita a correlação do gráfico apresentado no esboço de
uma curva gaussiana (distribuição normal) com aquele apresentado na
curva gaussiana em uma distribuição normal? Resposta: a partir da
fórmula do valor Z.
O valor z mede exatamente a quantidade de desvios-padrão ao qual um
dado da amostra está deslocado em relação ao valor médio. A fórmula
Z é a seguinte:
(15)
Em que:
- x é o valor que queremos analisar;
- µ é o valor da média;
- é o desvio-padrão.
Vamos aprender agora como aplicar a fórmula de Z (equação 15) e
correlacionar os gráficos de esboço de uma curva gaussiana
(distribuição normal) e curva gaussiana em uma distribuição normal:
Veja que, no gráfico do esboço de uma curva gaussiana (distribuição
normal), as três barras centrais varrem um intervalo de 140 a 170
(incremento de 10 em 10). Com isso, podemos estimar a média de tais
valores, encontrando o valor do centro desse intervalo de 140 a 170, da
seguinte maneira:
(16)
O valor encontrado em (16) se trata de uma estimativa: ele não substitui
a média aritmética calculada da forma convencional. Ainda assim, ele é
uma boa estimativa, pois, apesar de possuir o gráfico plotado no gráfico
esboço de uma curva gaussiana (distribuição normal), não há a tabela
de dados para poder calcular o valor da média aritmética.
Z =
x − μ
σ
σ
μ =
140 + 170
2
= 155
Após termos estimado o valor da média, vamos estimar agora o desvio-
padrão usando o código de cores do gráfico esboço de uma curva
gaussiana (distribuição normal). Como as duas barras cinzas mais
escuras aparecem nos intervalos 140 a 150 e, em seguida, entre 160 e
170 , podemos dizer que o desvio-padrão é 15 (veja que usamos a
extremidade do valor dos retângulos cinza escuro e o valor médio).
Note, afinal, que 155 - 140 = 15 e que 170 - 165 = 15. Dessa forma, σ =
15.
Vamos buscar a probabilidade de se encontrar o valor 170. Para isso,
usaremos a equação (15):
O valor 170, assim, está a uma distância de 1,0 desvios-padrão à direita
do valor médio. Se você olhar novamente o gráfico curva gaussiana em
uma distribuição normal, verá que esse valor se encontra entre 1 e 2,
apresentando uma probabilidade 34,13% de ocorrência. Outra
interpretação que podemos ter é a de que o valor 170 se encontra a 1,0
desvios-padrão acima da média.
Depois de termos visto o valor Z e os gráficos de curva gaussiana
(distribuição normal), podemos dizer que, na área científica, a
distribuição normal talvez seja o tipo de distribuição mais importante
entre as distribuições estatísticas. Tendo uma curva simétrica em
forma de sino e sendo de fácil interpretação, ela permite a descrição de
diversos fenômenos.
Atenção!
Altura ou peso de uma população, pressão ocular de um grupo de
pessoas e quantidade de pessoas contaminadas com covid-19 em
determinado intervalo de tempo.
Hipóteses, testes e tipos de erros
A hipótese estatística é uma suposição feita acerca de um valor, o qual
nada mais é do que um parâmetro populacional. Diante disso, existe a
necessidade de se testar a hipótese por meio de uma regra de decisão.
Esse teste nos permitirá aceitar ou rejeitar a hipótese estatística feita.
Dica
Em estatística, é sempre de bom tom se perguntar: qual é a
probabilidade de minha hipótese estar errada?
Elenquemos agora duas terminologias relativas às hipóteses:
Z =
x − μ
σ
Z =
170 − 155
15
= 1, 0
 (hipótesenula): Hipótese estatística a
ser testada.
H0
A lógica por trás de se testar uma hipótese está em formular uma 
com a pretensão de rejeitá-la. Por isso, seu nome é hipótese nula.
Se o teste indicar a rejeição de H0, trata-se de um indicador de decisão
seguro. Porém, se ele indicar a aceitação de H0, deve-se testar o nível de
significância α. Se ambos forem satisfatórios, não se poderá rejeitar H0.
Uma hipótese nula é expressa por uma igualdade; uma
alternativa, por uma desigualdade.
Os testes de hipóteses são classificados em dois grupos:
Testes paramétricos
São aplicados em
variáveis cuja
distribuição de
probabilidade teórica é
conhecida. Além disso,
há a necessidade de
que essas variáveis
tenham sido medidas
em intervalos
conhecidos. No caso
das variáveis aleatórias,
é necessário haver uma
variância homogênea.
Chamamos isso de
homoscedasticidade.
Testes não paramétricos
São aplicados quando
não se conhece a
distribuição
populacional das
amostras colhidas.
Esses testes são mais
gerais, o que permite
sua aplicação em
variáveis ordinais.
Todavia, não se
mostram tão poderosos
quanto os paramétricos
devido à falta de
informação.
Agora vamos estudar os testes paramétricos:
Quando realizamos uma análise estatística, o que fazemos, na verdade,
é tentar inferir, acerca da população de dados, a existência de um valor
médio que represente adequadamente tal população com determinada
dispersão. Essa dispersão, em geral, é representada pelos desvios-
padrão como vimos acima nos gráficos de Esboço de uma curva
gaussiana (distribuição normal), representação de média (µ) e desvio-
padrão (σ) no gráfico de distribuição normal e Curva gaussiana em uma
distribuição normal.
Entretanto, é preciso sempre assumir a chance, mesmo que pequena, de
que uma hipótese esteja errada, pois é possível estar em uma situação
na qual a estatística calculada a partir de uma amostra não seja bem
representativa em relação à população amostral. Isso indica, portanto, o
risco de se aceitar uma hipótese falsa.
 : Hipótese alternativa.H1
H0

Vamos ao exemplo abaixo:
Em um hospital, há 11 alas com os seguintes números de pacientes:
150, 155, 160, 165, 170, 175, 180, 185, 190, 195 e 200. A média
populacional de pacientes por ala nesse hospital é de µ0 = 175.
Nesse caso, a nossa hipótese H0 é: µ = 175. Essa hipótese é verdadeira
nesse caso (basta calcular a média aritmética e comparar com a
mediana). Todavia, se retirarmos uma amostra dessa população de
tamanho 3, como A = {190, 195, 200}, teremos uma média amostral de
 = 195, que é um valor diferente de µ imposto por H0.
Perceba que esse valor (195) está bem distante da nossa média (175).
Isso nos indica uma probabilidade baixa de ocorrência (basta lembrar a
curva gaussiana) e que possivelmente a análise de causará a rejeição
da hipótese H0.
Nesse caso, dizemos que existe um erro do tipo I. Todavia, se
tivéssemos lidando com amostras cujo valor da média ficasse
suficientemente próximo da média (cerca de até um desvio-
padrão), teríamos a aceitação da hipótese H0 devido à falta de
evidências para se rejeitar essa hipótese.
Por outro lado, na mesma população de dados, se a hipótese nula
tivesse sido H0 : µ = 194 contra uma hipótese alternativa H1 : µ < 194, a
amostra A de média amostral 195 teria feito com que acreditássemos
que H0 deveria ser aceita. Nesse caso, dizemos que se trata de um erro
do tipo I I.
Esta tabela resume os tipos de erros apresentados no exemplo acima:
Situações possíveis
A realidade sobr
H0 é   verdadeira
Resultado   do teste
leva a:
Aceitar H0
O   teste acertou
Probabilidade   1
Rejeitar   H0
Ocorreu   erro tip
Probabilidade α
Tabela 9: Possíveis probabilidades e situações envolvidas.
LOESCH, 2015, p. 124.
Veja que, de acordo com a tabela 9, existem dois níveis de risco:
- Rejeitar é verdadeira Erro tipo .
- Aceitar é falsa Erro tipo .
Chamamos a probabilidade α de significância do teste. Esse valor de α
expressa os valores críticos probabilísticos que separam a região de
aceitação da região de rejeição de H0.
Ā
Ā
μ = 175
α = P ( H0 ∣ H0 ) = P( I)
β = P ( H0 ∣ H0 ) = P( II)
Vamos agora falar sobre testes unilaterais e bilaterais para começarmos
a compreender α.
Testes estatísticos
Testes unilaterais
Quando, em um teste, a hipótese H0 é uma igualdade de um parâmetro
populacional , como a média µ, por exemplo, o valor testado (um
número qualquer) simboliza a hipótese nula da seguinte forma:
 .
Já a hipótese pode ser estabelecida de três modos:
(1) Teste bilateral
(2) Teste unilateral
à direita
(3) Teste unilate
à esquerda
As hipóteses de um teste de comparação de um parâmetro.
LOESCH, 2015, p. 124.
Observando a tabela acima, podemos afirmar que, em um teste
unilateral, à esquerda (3), determina que existe somente
uma região de rejeição de H0 situada no lado esquerdo da distribuição.
Já na situação (2), do teste unilateral à direita, com ,
podemos afirmar que há somente uma região de rejeição de H0 situada
no lado direito da distribuição.
Nos dois casos (2) e (3), existe somente um ponto crítico que separa a
região de aceitação daquela de rejeição. Nesse caso, se atribui o risco
Porém, se estivermos no caso (1), em que estamos realizando um teste
bilateral, veremos que, para , existem duas regiões de
rejeição de H0, as quais correspondem respectivamente aos valores
abaixo e acima do valor de estado. Nesse caso, dois pontos críticos
determinam a separação existente entre a região de aceitação e cada
uma das regiões de rejeição. O risco atribuído aqui é o seguinte: .
A imagem abaixo demonstra os casos de faixas de rejeição para um
teste unilateral à direita e um teste bilateral:
Regiões de aceitação e rejeição em teste unilateral e bilateral de média.
(θ) θ0
H0 : θ = θ0
H1
H0 : θ = θ0 H0 : θ = θ0 H0 : θ = θ0
H1 : θ ≠ θ0 H1 : θ > θ0 H1 : θ < θ0
H1 : θ < θ0
H1 : θ > θ0
α.
H1 : θ ≠ θ0
α
2
Vimos aqui os tipos de testes bilateral e unilateral. Mas qual deles eu
devo fazer? A resposta dependerá da hipótese alternativa, isto é, se ela
será aceita ou não.
Analisemos dois exemplos:
Testando a qualidade da água
Para testar a qualidade da água, é necessário fazer medições
da quantidade dos poluentes existentes nela. Sabemos que
existe um valor crítico no qual qualquer valor acima desse valor
crítico será maléfico ao consumo humano. Por isso, fazemos
um teste unilateral para rejeitar hipóteses cuja média amostral
se mostre muito elevada, ou seja, um teste unilateral à direita
.
Testando a qualidade de diâmetros de parafusos
Sabemos que o diâmetro de um parafuso deve atender a uma
faixa de especificação. Ele não pode ser tão grosso a ponto de
não conseguir entrar no buraco com rosca nem fino demais a
ponto de passar direto sem ser possível rosquear. Então, nesse
caso, há dois valores críticos: um, abaixo do valor médio; outro,
acima desse valor. Será preciso, portanto, fazer um teste
bilateral.
Para podermos estimar parâmetros e testes de hipóteses, teremos de
observar que tanto os testes de confiança quanto os de hipótese têm α
como probabilidade, só que com significados distintos.
Intervalos de con�ança
α é a probabilidade de o valor do parâmetro estimado não estar situado
no intervalo de confiança.
Testes de hipóteses
α corresponde à problabilidade da existência de um erro do tipo I, ou
seja, a probabilidade de se rejeitar H0, mesmo ela sendo verdadeira.
Não se deve fazer um teste de hipótese comparando o valor de um
parâmetro com o resultado de uma estimativa pontual.
Exemplo
Uma vez obtida a média amostral igual a 100 , testa-se, em seguida, se a
média populacional possui de fato esse valor. Como, em todo momento,
se terá H0 como verdadeiro, a hipótese será sempre aceita.
Por isso, o valor de teste deve ser preestabelecido. Mas como se efetua
um teste de hipótese?
(H1 : θ > θ0)
Para se realizar os testes de hipótese, os seguintes passos devem ser
seguidos:
1. Enunciar H0 eH1.
2. Fixar o nível de significância α.
3. Calcular a estatística do teste pelos elementos amostrais.
4. Comparar o valor do teste (obtido estatisticamente) com o
obtido a partir da distribuição teórica específica e concluir se o
valor estatístico se encontra na região de aceitação ou de
rejeição de H0.
Atenção!
Existe uma alternativa: o valor (probabilidade de significância). Tal
valor é uma técnica estatística geralmente utilizada para gerar o
resultado de um teste de hipótese. A definição formal do valor - é a
seguinte: trata-se da probabilidade de obter uma estatística de teste
igual ou mais extrema que a observada em uma amostra, assumindo
como verdadeira a hipótese nula.
Desse modo, de maneira alternativa à do passo 4, podemos descrever
assim o passo 5:
Se, durante a análise, concluirmos que o valor é menor que o nível
de significância estipulado, assumiremos então a existência de um erro
tipo I e faremos a rejeição da hipótese nula. Porém, se o valor for
maior, não assumiremos a existência do erro tipo I e prosseguiremos
com a aceitação de H0.
Teste de um parâmetro populacional
Agora vamos compreender melhor o significado do valor , assim
como os significados de α e das estimações de parâmetros,
conhecendo a variância populacional e o nível de confiança.
Teste para a média conhecendo a variância populacional
Após havermos discutido sobre o valor -p, o intervalo de confiança e as
hipóteses, vamos aprender a utilizar o valor -p para aceitar ou rejeitar H0.
Mas, em primeiro lugar, precisamos destas informações:
Tabela de intervalo de confiança.
Tabelas de distribuição normal padrão: valores negativos e valores
positivos.
Dica
Você pode fazer o download dessas tabelas na área de preparação.
Outro ponto é que precisamos deixar bem claro que o valor α, que é o
nível de significância, é igual a 1 menos o intervalo de confiança. Ou
seja:
−p
p
−p
−p
−p
(17)
Se temos um nível de significância de 5% (0,05), nosso intervalo de
confiança é:
Dito isso, vamos falar agora do teste para a média. Considere um
número real e que tal número seja indicado como a média
populacional de um grupo de dados.
Com o teste, seremos capazes de verificar se o valor pode ser aceito
ou não como média populacional. Mas como faremos isso? Resposta: a
partir das hipóteses.
Nesse caso, as hipóteses são:
 (bilateral), ou (unilateral), ou (unilateral).
Tudo bem... mas como analisamos isso? Existe uma fórmula de valor Z
a ser considerada:
(18)
Em que:
- é a média amostral, ou seja, média de dados de uma amostra com
 retirados de uma população de dados;
- é a nossa proposta de média representativa da população, isto é, a
nossa hipótese;
- é o que chamamos de erro da média.
Trata-se de um desvio-padrão associado à média. Esse desvio é
calculado da seguinte maneira:
(19)
Comentário
Vamos entender melhor a equação (18) um pouco mais à frente.
Teste unilateral à direita 
Como vimos antes, a probabilidade de ocorrência de um erro tipo I é:
 rejeitar é verdadeira 
Sendo assim, H0 será rejeitado se possuirmos uma média amostral
acima de determinado valor crítico , assim como tal hipótese será
α = 1 − IC
IC = 1 − 0, 05 = 0, 95 ou 95%
μ0
μ0
H0 : μ = μ0
H1 : μ ≠ μ0 μ < μ0 μ > μ0
Z =
x̄ − μ0
σ̄
x̄
n ≥ 30
μ0
σ̄
σ̄ =
σ
√n
−H1 : μ > μ0
α = P ( H0 ∣ H0 )
x̄c
aceita se a média for menor ou igual a . Desse modo, podemos
estabelecer o nível de significância α da seguinte maneira:
(20)
Comentário
Você pode estar preocupado sobre o significado do traço na figura. Ele é
somente uma separação usada para indicar as duas condições:
unilateral à direita com a hipótese de .
A função (20) também pode ser escrita em função de e (Z crítico,
que é o Z do nível de significância) da seguinte forma:
(21)
Sendo:
(22)
Podemos encontrar o valor crítico desta maneira:
(23)
Com o valor encontrado em (23), conseguimos estabelecer o critério de
comparação- da seguinte forma:
Se , rejeita se H0
Outro critério poderá ser estabelecido ao se considerar a mesma linha
de raciocínio:
Se , rejeita se H0
A figura adiante indica, na distribuição normal, a região de rejeição da
hipótese H0 :
Os dois critérios de comparação vistos em suas respectivas distribuições normais.
x̄c
α = P (x̄ > x̄c ∣ μ = μ0)
μ = μ0
Z Zα
α = P ( x̄ − μ0
σ̄
>
x̄c − μ0
σ̄
∣ μ = μ0)
Zα =
x̄c − μ0
σ̄
x̄c = σ̄ ⋅ Zα + μ0
x̄
x̄ > x̄c −
Z > Zα −
Teste unilateral à esquerda 
Difere-se do teste anterior neste quesito: a região de rejeição agora se
localiza do lado esquerdo do valor médio - e não mais do direito.
Além disso, os critérios da comparação de e passam a possuir
condições abaixo.
Critério da comparação de :
(24)
Nesse caso, se , rejeita-se H0.
Critério da comparação de Z:
Nesse critério, continua sendo calculado como na equação (18).
Porém, se , rejeita-se H0.
Agora veremos como o valor é calculado para esses dois testes
unilaterais (à direita e à esquerda).
Para isso, inicialmente iremos supor que a estatística seja calculada
mediante a equação (18) e que H0 seja verdadeira. Em seguida,
consideraremos:
No caso do teste unilateral à direita 
Calcula-se o valor da seguinte maneira:
Nesse caso, a rejeição de H0 pelo critério de comparação - z acontece
se , o que equivale a , pois a função é
monotonicamente decrescente em relação a z.
No caso do teste unilateral à esquerda 
Calcula-se o valor desta forma:
Nesse caso, a rejeição de H0 pelo critério de comparação - z acontece
se , o que equivale a , pois a função é
monotonicamente decrescente em relação a z.
No caso do teste unilateral à esquerda 
Calcula-se o valor - desta forma:
Nesse caso, a rejeição de ocorre quando , o que equivale a 
.
Resumindo:
−H1 : μ < μ0
x̄ Z
x̄
x̄c = μ0 − Zα ⋅ σ̄
x < x̄c
Z
Z < −Zα
−p
z
(H1 : μ > μ0)
−p
p = P(Z ≥ z)
z > zα p < −α P(Z > z)
(H1 : μ < μ0)
−p
p = P(Z ≤ z)
z > zα p < −α P(Z > z)
(H1 : μ < μ0)
p
p = P(Z ≤ Z)
H0 zα p < α
Se : , calcule 
Se : , calcule 
Se , rejeita se 
Vamos analisar um exemplo para conseguirmos ver a aplicação desses
conceitos na prática:
Uma empresa que fabrica tubos de raio X para máquinas de radiografia
afirma que o tempo médio de vida útil de seus tubos tem duração de
1.000 horas. No entanto, em determinada amostra de 100 unidades, foi
verificado que o tempo médio de vida útil deles é de 980 horas.
A empresa também informou que o desvio-padrão populacional é de 95
horas. Todavia, existe uma preocupação por parte dela de que o tempo
médio da duração de seus tubos seja realmente inferior a 1.000 horas.
Vamos testar essa hipótese em um nível de significância de 5%. Para
solucionar esse exemplo, primeiramente separaremos os dados.
A partir do enunciado, vemos que:
Tomaremos como hipótese inicial de que o tempo médio dos tubos seja
de 1.000 horas. Assim:
Como temos um valor médio observado menor do que 1.000, vamos
supor também que a hipótese alternativa seja:
Como trabalhamos com a hipótese nula da seguinte maneira:
Podemos afirmar que: 
Agora, para , temos um , ou seja, um índice de
confiança de 95%. Olhando nossa tabela de índice de confiança,
verificamos que 
Nosso próximo passo é calcular o valor de z a partir da composição
entre as equações (18) e (19):
Calculado o z, resolveremos o problema utilizando três critérios:
 Comparação
H1 μ > μ0 p = P(Z > z)
H1 μ < μ0 p = P(Z < z)
p < α − H0
x̄ = 980;σ = 95;n = 100
H0 : μ = 1.000
H1 : μ < 1.000
H0 : μ = μ0
μ0 = 1.000
α = 0, 05 IC = 0, 95
zα = 1, 96
z = x̄−μ0
σ/√n
= 980−1.000
95/√100
= −2, 10526
✓
−x̄ : x̄c = μ0 − Zα ⋅ σ̄ ∴ x̄c = 1.000 − 1, 96 ⋅ 95
√100
= 981, 38
 Como , aceita se H0.
 Comparação : como , rejeita-se H0.
Note que, por haver dois critérios distintos, existem dois resultados
completamente distintos, ou seja, um empate.
Faremos agora a análise do valor para podermos tomar uma
decisão:
Como o valor , rejeita se H0.
De onde saiu o valor 0,0174? Saiu da nossa tabela de distribuiçãonormal padrão de valores negativos. Mas como chegamos a ele?
Em primeiro lugar, o valor foi arredondado para . Em seguida,
ele foi desmembrado da seguinte maneira: .
Procuramos, na coluna da esquerda, a linha que apresenta o valor 
e, na linha horizontal, a coluna que apresenta o valor 
Demonstração de como encontrar um valor na tabela z:
Tabela 11: Demonstração de como encontrar um valor na tabela z (parte da tabela 2).
UNICAMP, 2022.
Note que, na interseção, encontramos o valor 0,0174.
Mas qual decisão tem de ser tomada? Como dois dos testes rejeitaram
a amostra (e, principalmente, o valor rejeitou ), deve-se rejeitar
H0.
Saiba mais
Há análises de hipóteses bilaterais (e análises de hipóteses) nas quais
os parâmetros populacionais são desconhecidos. Esses métodos serão
indicados na seção de Explore +.
✓ x̄ > x̄c −
✓ −z z < −zα
−p
✓ valor  − p : p = P(Z < −2, 10526) = 0, 0174
p < α −
Z −2, 11
−2, 1 + 0, 01
−2, 1
0, 01.
−p μ0
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Determinada amostra com (n=100) foi retirada de uma população 1
milhão de vezes maior. Estimou-se então que essa amostra teria
um nível de significância de 20%. Sendo assim, o intervalo de
confiança é igual a:
Parabéns! A alternativa C está correta.
Sabemos que o nível de significância e o intervalo de confiança
(IC) se relacionam da seguinte maneira:
Sendo assim:
Logo:
Questão 2
Determinada fábrica de bisturis fabrica bisturis de aço com
espessura média da lâmina de 0,40mm. Após uma análise em uma
amostra de 120 bisturis, foi verificado um valor médio de 0,44mm.
O desvio-padrão populacional é de 0,04mm. Contudo, a fabricante
tem uma preocupação com o fato de a média ser maior do que
0,40mm. Considerando um nível de significância de 1%, analise as
afirmativas abaixo.
I. Pelo teste da comparação , deve-se aceitar a hipótese H0.
II. Pelo teste da comparação , deve-se rejeitar a hipótese H0.
III. Pelo teste do valor , deve-se rejeitar a hipótese H0.
A 10%
B 5%
C 80%
D 90%
E 95%
α
α = 1 − IC
0, 2 = 1 − IC  IC = 1 − 0, 2 = 0, 8
IC = 80%
x̄
z
−p
Parabéns! A alternativa D está correta.
Vamos primeiramente separar os dados:
As hipóteses são:
Como trabalhamos com a hipótese nula da seguinte maneira...
Podemos afirmar que: .
Já para =0,01(1%, o que foi dito no enunciado , existe um IC =
0,99, ou seja, um índice de confiança de 99%. Olhando nossa tabela
de índice de confiança, vemos que .
Nosso próximo passo é calcular o valor de pela composição entre
as equações (18) e (19):
Calculado o , podemos resolver o problema utilizando três
critérios:
A Somente a afirmativa I está correta.
B Somente a afirmativa II está correta.
C As afirmativas I e III estão corretas.
D As afirmativas II e III estão corretas.
E As afirmativas I e II estão corretas.
x̄ = 0, 44;σ = 0, 04;n = 120
H0 : μ = 0, 40  H1 : μ > 0, 40
H0 : μ = μ0
μ0 = 0, 40
α )
zα = 2, 58
z
z =
x̄ − μ0
σ/√n
=
0, 44 − 0, 40
0, 04/√120
= 10, 95
z
 Comparação
 Como , rejeita se .
 Comparação : como , rejeita se .
Por dois critérios distintos, são obtidos dois resultados que rejeitam
completamente . Mesmo assim, vamos fazer a análise do valor
 :
 valor 
Como o valor , rejeita se .
A decisão adequada, portanto, é a de rejeitar . Sendo assim, as
afirmativas II e III estão corretas.
3 - Testes não paramétricos
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar os testes não paramétricos.
Testes não paramétricos
Utilização dos testes não
paramétricos
✓
x̄ : x̄c = μ0 − Zα ⋅ σ̄ ∴ x̄c = 0, 40 + 2, 58 ⋅ 0,04
√120
≅0, 41
✓ x̄ > x̄c − H0
✓ z z > zα − H0
H0
−p
✓ −p : p = P(Z > 10, 95) = 0, 9997
p < α − H0
H0

Contexto do teste não paramétrico
Estatística moderna, inferência e não parametrização
Durante o estudo da estatística, técnicas consideradas recentes
começaram a surgir. Algumas delas buscavam inferir hipóteses sobre a
natureza populacional dos dados e estabeleciam uma relação entre as
variáveis; por isso, elas são chamadas de testes paramétricos (assunto
que já abordamos).
No entanto, certos testes não especificam as condições sobre os
parâmetros da população de dados. Trata-se dos chamados testes não
paramétricos. Nesse modelo de análise, mesmo se houver uma
pressuposição a ser inferida, com certeza ela será muito mais branda
que a pressuposição proposta nos testes paramétricos.
Os tipos de testes não paramétricos existentes estão dispostos na
tabela adiante:
Nível de
mensuração
Testes estatísticos não paramétricos
Caso de
uma   amostra
Caso de duas am
Amostras
relacionadas
Nominal Binomial e McNemar
Ordinal
Kolmogorov-
Smirnov
Sinais
Iterações Wilcoxon
Intervalar
χ2
Tabela 12: Testes não paramétricos e suas condições de aplicação.
Gabriel Burlandy.
Essa tabela conta com diversos testes não paramétricos. Entretanto,
abordaremos neste conteúdo apenas o teste de . A depender do tipo
de amostra, esse teste pode ser usado em três diferentes momentos:

Existe somente uma amostra

Há duas amostras

Existem diversas amostras (k amostras)
Além disso, o teste de é amplamente utilizado desde a análise de
estatísticas de jogos de futebol até os parâmetros estatísticos de uma
técnica de difração de raios X. No caso dessa técnica, esse teste
determina a qualidade da análise da técnica de difração. Se tiver um
resultado ruim, ele poderá indicar ainda que os dados foram coletados
de forma errônea ou que a análise foi feita de maneira equivocada, por
exemplo.
O teste 
A relevância do teste 
Utilizamos o teste (qui-quadrado) quando estamos interessados em
conhecer o número de indivíduos e de objetos ou as respostas que se
enquadram em duas ou mais categorias. Essa técnica consiste em
provar a existência de uma significativa diferença entre o número
observado de indivíduos (ou de respostas) em certa categoria e o
respectivo número esperado que se baseia na hipótese de nulidade
(nula) H0.
Para realizar o teste , deve-se comparar um grupo de frequência de
dados observados com outro de frequência de dados esperados. Para
que isso ocorra de forma correta, utiliza-se a hipótese de nulidade, pois
ela dá a proporção de indivíduos que se enquadram em cada uma das
diferentes categorias de classificação da população de dados.
Matematicamente, testa-se a hipótese de nulidade da seguinte maneira:
(25)
Em que:
χ2
χ2
χ2
χ2
χ2
χ2
χ2 =
∑k
i=1 (Oi − Ei)
2
Ei
- Oi é o número de casos observados.
- Ei é o número de casos esperados.
Caso haja uma concordância entre Oi e Ei, a diferença Oi - Ei resulta em
um valor pequeno. Isso acarreta diretamente um também pequeno.
Porém, se essa diferença for grande, terá um valor elevado.
É muito importante saber que, na equação (25), pode-se observar o grau
de liberdade (gl) dos dados. Esse gl é calculado da seguinte maneira:
(26)
Ou seja, o gl é i número de classes k da amostra menos 1.
Exemplo
Você colheu 90 dados de idades de pessoas que trabalham em um
escritório: 50 dados se referem àquelas com idade entre 18 e 42 anos;
40 dados, àquelas entre 43 e 65 anos.
Desse modo, suas duas classes são:
Classe 1: pessoas entre 18 e 42 anos.
Classe 2: pessoas entre 32 e 65 anos.
Se eu tenho duas classes, um dado pertence a uma classe ou a outra, ou
seja, não há direito de escolha entre uma e outra. Por isso, só existe um
grau de liberdade (gl = 2 - 1 = 1), já que há apenas uma opção para os 50
dados colhidos com idade entre 18 e 42 e somente uma para os 40
dados colhidos com pessoas entre 43 e 65 anos.
Compreender o gl é muito importante para conseguir aplicar o teste de
, uma vez que cada dado observado deve se enquadrar em uma das 
classes.
Comentário
Continuamos chamando o número total dos dados observados de .
Durante a coleta de dados, devemos tomar cuidado para que haja uma
independência entre as observações, ou seja, não é possível realizar
diversas observações sobre um mesmo indivíduo e considerá-las
independentes. Há tambéma necessidade de determinar a frequência
esperada para cada uma das k classes.
Se a hipótese nula apontar que a proporção de elementos em
cada classe é a mesma, verifica-se que:
(27)
Mas... e as condições do teste? Quando devemos aceitar ou rejeitar uma
hipótese nula? É o que veremos a seguir!
χ2
χ2
gl = k − 1
χ2 k
n
(H0)
Ei =
n
k
Analisando o e H0
Aceitando ou rejeitando H0 no teste não paramétrico
Assim como no teste paramétrico, uma tabela (tabela da qui-quadrado)
permite a análise da probabilidade de sucesso ( tabelado, tabela 3 ).
Nesse caso, temos:
- Se: da tabela, rejeita se H0;
- Se: da tabela, aceita se H0.
Vamos a mais um exemplo:
O secretário de saúde de determinado município espera que, no hospital
municipal localizado no centro da cidade, haja uma procura de 100
pessoas por dia para tomar a vacina contra o vírus H1N2. Sendo assim,
ele estabeleceu um nível de significância de 10%.
Dez dias após o início da vacinação, o secretário recebeu os seguintes
dados:
Dia
Nº observado de
pessoas
Nº esperado de
pessoas
1 94 100
2 93 100
3 112 100
4 101 100
5 101 100
6 104 100
7 95 100
8 100 100
9 99 100
10 101 100
Soma
Tabela 13: Dados coletados em observação e dados esperados.
Gabriel Burlandy.
χ2
χ2
χ2 ≥ χ2 −
χ2 < χ2 −
Diante disso, vamos utilizar o teste para testarmos se o modelo
probabilístico que previu 100 pessoas por dia está adequado. Para isso,
vejamos as seguintes hipóteses:
A primeira coisa que faremos é determinar o grau de liberdade:
Nosso próximo passo é determinar somando a última coluna da
tabela 13:
Agora podemos olhar a tabela 3 para averiguar se o nos permite
tomar alguma decisão:
Determinação de tabelado (parte da tabela 3).
A partir da imagem, primeiramente, devemos procurar o grau de
liberdade na coluna da esquerda (o 9). Em seguida, procuramos a
coluna correspondente ao nível de significância (10% = 0,1).
Nosso próximo passo é ver que o valor de tabelado é 14,684 , maior
que o calculado (2,74). Dessa forma, nós não podemos rejeitar 
podemos dizer que os dados coletados são aleatórios, considerando um
nível de significância de 10%, isto é, o número de pessoas que frequenta
o hospital diariamente para tomar a vacina do H1N2 é aleatório.
Atenção!
χ2
 : o número de pessoas que buscaram a
vacina é aleatório.
H0
 : o número de pessoas que buscaram a
vacina não é aleatório.
H1
gl = 10 − 1 = 9
χ2
χ2 =
∑k
i=1 (Oi−Ei)
2
Ei
= 2, 74
χ2
χ2
(gl)
χ2
χ2 H0e
Também podemos chamar o tabelado de valor . Nesse caso, se
 valor , não se rejeita H0. Porém, se valor , rejeita-se H0.
Além disso, para aplicar o teste , a amostra precisa ser relativamente
grande.
Exemplo
Pelo menos cinco observações em cada célula. No caso de poucas
classes, são necessárias, no mínimo, 10 observações.
Como tínhamos valores acima de 90 observações em cada célula da
tabela 11, pudemos realizar o teste de sem problemas.
χ2 P
χ2 < p χ2 ≥ p
χ2
χ2
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Considere os seguintes dados:
Os dados acima representam o número dos pacientes que
frequentaram os 8 consultórios de clínicos gerais de uma clínica
médica durante 1 semana. Sabendo que o valor esperado de
pacientes por semana é de 30 pacientes por consultório, assinale a
opção que corresponde ao valor de .
Parabéns! A alternativa D está correta.
Para resolver a questão, é preciso completar a tabela do enunciado,
considerando o número esperado de 30 pacientes e o número
dos que foram atendidos a fim de calcular os valores de
 :
χ2
A 49,185
B 41,895
C 45,918
D 48,195
E 49,581
(Ei)
(Oi)
(Oi−Ei)
2
Ei
Consultórios
1 2
Nº de pacientes 29 19
Nº esperado 30 30
0,0
33
4,0
33
Depois de se calcular os valores para cada consultório,
deve-se somá-los. Veja que o valor pintado de cinza na tabela acima
corresponde ao valor calculado de , pois é a somatória. Sendo
assim, .
Questão 2
Considere que H0 aponta uma proporção de elementos igual para
cada classe de dados. Se foram colhidos 2.000 dados separados
em 40 classes, o número esperado será igual a:
Parabéns! A alternativa E está correta.
No enunciado, é indicado que existe uma proporção de elementos
com número total e (classes) . Desse modo,
temos que:
(Oi − Ei)
Ei
(oi−Ei)
2
Ei
χ2
χ2 = 48, 195
Ei
A 10
B 20
C 30
D 40
E 50
(n) = 2000 K = 40
Ei = n
k
= 2.000
40
= 50
Considerações �nais
Ao longo deste conteúdo, ressaltamos a importância da estatística para
a análise de problemas reais. Entendemos como é possível estabelecer
uma relação entre variáveis e verificar sua dependência, assim como o
grau de correlação.
Em seguida, verificamos o método dos mínimos quadrados e a
existência de testes paramétricos e não paramétricos para podermos
estabelecer os critérios de decisão. Ressaltamos que esses testes não
são calculados para testar a possibilidade de uma probabilidade estar
certa, e sim a chance de ela estar errada.
Por fim, no teste não paramétrico, vimos o famoso teste X2, que é
amplamente utilizado em todos os ramos das Ciências Humanas e
Exatas.
Podcast
Ouça agora um resumo sobre o conteúdo estudado.

Explore +
Explore mais sobre testes paramétricos e não paramétricos na seguinte
literatura:
GUPTA, B. C.; GUTTMAN, I. Estatística e probabilidade com aplicações
para engenheiros e cientistas. 1 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
Referências
LOESCH, C. Probabilidade e estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade e inferência. São
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
PINHEIRO, J. I. D. et al. Estatística básica: a arte de trabalhar com dados.
Rio de Janeiro: Elsevier, 2009.
TRIOLA, M. Introdução à estatística 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. UNICAMP. Distribuição do
qui-quadrado. Consultado na internet em: 5 abr. 2022.
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. UNICAMP. Tabela da
distribuição normal padrão. Consultado na internet em: 5 abr. 2022.
Material para download
Clique no botão abaixo para fazer o download do
conteúdo completo em formato PDF.
Download material
O que você achou do conteúdo?
Relatar problema
javascript:CriaPDF()