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W. J. Maciel: 500 Exerćıcios Resolvidos de Astrof́ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 dP (r) dr = −GM(r) ρ(r) r2 dividindo por 4 π r2 ρ(r) dP (r) 4 π r2 ρ(r) dr = −GM(r) 4 π r4 mas dM(r) = 4 π r2 ρ(r) dr, de modo que dP (r) dM(r) = −GM(r) 4 π r4 4 π r3 dP (r) = −GM(r) r dM(r) como V (r) = (4/3) π r3 3V (r) dP (r) = −GM(r) r dM(r) 3 ∫ r=R r=0 V (r) dP (r) = − ∫ M 0 GM(r) r dM(r) a segunda integral é igual a Eg. A primeira pode ser feita por partes 3 ∫ r=R r=0 V (r) dP (r) = 3 V (r) P (r) ∣ ∣ ∣ ∣ r=R r=0 − 3 ∫ V 0 P (r) dV (r) = Eg a integral da esquerda é nula, portanto −3 ∫ V 0 P (r) dV (r) = −3 P̄ V = Eg a notação P̄ mostra que se trata do valor médio da pressão. portanto P̄ = −1 3 Eg V ⋆ ⋆ ⋆ 297. Considere o caso extremo de um gás ultra relativ́ıstico, em que as part́ıculas responsáveis pela pressão movem-se com velocidades próximas da velocidade da luz. Como fica a expressão para o teorema do virial? Solução: Neste caso, a relação para a pressão média é P = 1 3 N V p v mas v ≃ c, de modo que
