Fichário1 102

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Parte 1 - Astrof́ısica Estelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
143. Considere uma nuvem protoestelar de massa M e raio R e determine a cons-
tante K na relação entre o tempo de queda livre e a densidade do gás (Exerćıcio
138) considerando que a velocidade do colapso em queda livre é dada por
v(r) =
[
2GM
(
1
r
− 1
R
)]1/2
Solução:
O tempo de colapso é (cf. Ryan & Norton 2010)
tql =
∫ 0
R
dt
dr
dr
como v(r) = −dr/dt e dt/dr = −1/v(r) obtemos
tql = −
∫ 0
R
[
2GM
(
1
r
− 1
R
)]−1/2
dr = −
(
R
2GM
)1/2 ∫ 0
R
[
r
R− r
]1/2
dr
usando a variável x tal que r = xR, temos dr/dx = R, com os limites
x = 1, x = 0, de modo que
tql =
(
R3
2GM
)1/2 ∫ 1
0
[
x
1− x
]1/2
dx
com uma nova mudança de variáveis, x = sen2 θ e dx/dθ = 2 sen θ cos θ,
com os limites θ = 0 e θ = π/2:
tql =
(
R3
2GM
)1/2 ∫ π/2
0
2 sen2 θ dθ
considerando que 2 sen2 θ = 1− cos 2θ obtemos
tql =
(
R3
2GM
)1/2 ∫ π/2
0
(1− cos 2θ) dθ =
(
R3
2GM
)1/2 [
θ − sen 2θ
2
]π/2
0
finalmente
tql =
(
π2R3
8GM
)1/2
como M = (4/3) πR3 ρ obtemos
tql =
(
3 π
32Gρ
)1/2
isto é, a constante é dada por
K =
(
3 π
32G
)1/2