LIVRO DE MATEMATICA 12, FELIX

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ca 12.a Classe
lrrt
Texlo Edifores
f/i"1, i4 4iir4/1n
Modulo de um ndmero real
lnterpretagdo geometrica de I x - yl=l y - *
Fungdo modulo
Griificos de l/(x) lefllxl)
Equaq6es e inequaqOes com m6dulos
10
10
1l
11
t3
Equaqoesdotipol"l : a.... 13
Inequaq6es do tipo l"l < d .. .. 14
InequaqOesdotipol"l >d.... 14
Exercicios propostos 16
Crllculocombinat6rio.... Z0
Factorialdeumnumeronaturaln.... 2L
Bermutaqio 2L
Arranjos sem repetiqdo (arranjos simples) 23
Combinaqio sem repetiqio 2+
Total de subconjuntos de um conjunto 26
Propriedades das combinaqdes 27
Bin6mio de Newton 29
Exercfcios propostos 3l
Probabilidades 33
Conceitos elementares 33
Operaqoes com acontecimentos 34
Teoria frequencista de probabilidade . 36
Definiqio axiomdtica de probabilidade 37
Exerc{cios propostos 42
Fungdo real de varidvel real (revisdo)
Funglo do 1.o grau (revisZo) ' ' '
Fungdo do 2." grau (revislo) ' ' '
Paridade de fungOes
Funqdo definida Por ramos
Fungdo hom6grafa
Operaqoes sobrefung6es''''''
Funqdo exponencial (revisdo)' "''
Fungdo logaritmica (revisio) ' '
i
Funglo trigoiiometrica (revisdo)
Funqdo Periodica': .'''
Funqdo trigonom6trica inversa
Funqdo inversa (revisio)
Composigao de lunqOes''' "
Llxercicios ProPostos
It
+6
47
49
5l
52
)z
))
51
56
57
59
60
62
63
6+
Sucess0es
Sucessao monotona
Sucessdo limitada
Limite duma sucessio
Infinitamente grande Positivo
Infinitamente grande negativo
Infinitamente grande em modulo
Infinitamente pequeno ou infinitesimo ' '
Sucessdo convergente
Crilculo do limite de sucess6es ' '
lndeterminagOes . .
Numero de NePer e o limite not6vel
Progressao aritm6tica
Termo geral duma progressao aritm6tica
Soma dos n termos consecutivos duma
6u
7l
7)
7\
73
73
74
7+
75
76
78
8I
83
83
85
progressdo aritmetica
Progressao geomdtrica
consecutivos durna
a progressao
proPostos
87
BB
B9
9l
Limites e continuidade de funcdes
NoEio de limite
Propriedades dos limites
Limites laterais
Definigio de limite
Limites infiriitos
Propriedades
Indeterminagdes
I
Limites de expressoes com exponenciais
elogaritmos ....
Limites notdveis
Fung0es continuas
Classificaqdo dos pontos de descontinuidade
Propriedades das fungoes continuas
Teorema de Bolzano ou de Bolzano-Cauchy
Exercicios ProDostns
96
96
98
99
I00
101
r02
r03
r06
107
L12
IV
LI4
115
r20
Noclio de derivada
l:cluaqao da recta tanqente a uma curva
numpontox:d
Funqdo derivada
Derivabilidade e continuidade
Regras de derivaEdo . . .
Monotonia e extremos relativos duma fungdo . . . . . . . . .
Concavidade e pontos de inflexdo duma funqdo . . . . . .
Assimptotas
Assimptota vertical
Assimptota horizontal
Assimptotas nao verticais . . .
Estudo da funq6o
Er rrciii lrs llt-{'}poili}s
a,
I
t
l}+'
t)4
| )'t
| )'1
t27
| 2()
l4()
l4\
| +,+
t44
t45
t45
l4rl
t5+
I
Primitiva 158
Integral indefinido l5u
Primitivas imediatas l5g
Primitivas por partes 16 |
Tabela de integrais | (16
Exe rcfcios prollLrstos . .. 17 |
Introdugdo L74
Forma alg€brica de um nrimero complexo 175
Igualdade entre nfmeros complexos............... I77
OperaEdes com numeros complexos
na forma alg€brica I77
AdiEno,...... I77
Subtracgio 177
Multiplicagio..,.,.......... I7B
Potenciaqtro I79
Divisdo...... 180
Rafzes em C de equaq6es quadriiticas
de coeficient cs reais
RepresentacAo gcom6trica dos numeros complexos ....
Forma trigclnrlmitrica de um numero complexo.........
Argumento cle um numero complexo
Igualdade cnt rr: numeros complexos...............
Operaqoes com complexos na forma trigonom6trica...
Adicao e subtracgio de compIexos...............
Multiplicaqdo de complexos..........
Potenciacdo de complexos ..............
DivisAo de complexos...............
Radiciacao de complexos ..............
Excrt'ic ios lrr()p("tstos
Notzrs historicas
Bibliografia
r82
183
r85
r85
IB7
189
189
r89
190
t9l
I9I
196
198
205
2t6
M6dulo de um numero reql
Na recta real, a distdncia dum ponto A ttrigcnt r'lrama-se modulo
valor absoluto da abcissa desse ponto.
-6-5-4-3-2-I0
Tanto o ponto A como o ponto B estio a 5 urtitlutlt's cla origem, ou seja,
a distdncia do ponto A d origem e do ponto B A oligcrrr (' 5.
Entao, como a distdncia 6 uma medida clc t'tttn;lt'itncnl"o, o valor abso-
luto e 5.
. l+51 : 5 (modulo *5 e 5) . l-51
l"l : d+ x: dv x=
I x sex>0
v :J <+
l-x sex(0 I-
-41
I
De acordo com a definigao,
calcule:
a)13-:l
b) l-3+51
c) l-3-:l
d) I tl+l-ol
e) 3l 5+51
0l-81+l:-tl
2
AdistAnciaentreA eB€3
unidades. Represente na recta
real.
3
Aplicando a dclinigao dctcr-
mlne:
a)l4x*llscx-' I
b) 15 2rl sc r: I
c)lxz 3r+ll lx'+rl
se x- -2
lnterpretog6o geom6tricq de
l, - yl: ly - *l
Consideremos uma recta real e os pontos A de abcissa 3 c ll clc abcissa -2.
BA
-5-4-3-2-I0l2J45x
A partir do eixo num6rico, podemos concluir tluc a distAncia entre A e
B€5.
Atraves da definigdo de m6dulo chcgamos iI tnt:stna conclusao.
Temos:
I " I 
: 
| " - 0 | representa a distdrrcia do ponto de abcissa x ao ponto de
abcissa 0.
l"-y | : ly -xl reprcscrrta a distincia do ponto de abcissaxao
ponto de abcissa y.
Logo: l3 - (-z) | : l-z - 3l ::
Representa a distdncia do ponto A ao ponto B.
De um modo geral serd:
lx-Yl:4+x-Y:avx-!:-a
Propriedades
Sejam x e y dois numeros reais diferentes de zero:
'lrl > o .l"l':x2,VxClR
'l"l 'lvl : l"'vt
l" + y I Desigualdade triangular
l"l
lvl
17:l'
x
v
'lrl +lvl=
Fungdo modulo
l)t'nomina-se funEdo modulo a fungaoflx) : lx I definida por:
Observe, entdo, que a funEdo modular e uma fungdo definida por duas
condiq6es, ou seja,
JG):xsex>0 n JQ): -xsex(0
Observando o grdfico, podemos concluir que:
'Df lR e Dj : [0, +oo1
.Zeros:x:0
. Variaqdo de sinal:
- A funqdo 6 positiva em lR\{0}.
- A funqio nunca € negativa.
. Monotonia:
- A funEdo e crescente em [0, +oo[.
- A funqdo 6 decrescente em l-*, 0[.
. Extremos relativos:
- A fungao tem um minimo no ponto de abcissa 0.
. Nao e injectiva.
Gr6ficos de I f(r) | " 
f( Ir I )
O grrifico da funqao lflx) | obtem-se a partir do grrificoflx), manrendo-se
os pontos de ordenada positiva ou nula epara os pontos de ordenada nega-
tiva tem-se uma simetria relativamente ao eixo dos xx.
Modulo
+
l;strrtlc as seguintes funqoes,
irrtliclrrclo o dominio, contra-
rlonrrnio, zcros, intervalos de
rrrorrolonilr c variagao de sinal.
a),q(r)
b) h(r )
2"1
I r
)
c)i(r)_ lj,l
5
Construa os griificos das
seguintes funq6es:
a)JG)-2x-3
8(r) : lzx -"31
b) flx) : x2'- 6x * 8
g(x): lx2-0x+sl
6
Na figura estd representaclo o
grdfico da funqao f.
Construa o gr:ifico de
BQ) : l/(r) l.
Conclui-se que o griifico de lf(x)l
pruiprio eixo, pois l/(x)l > O.
estd acima do eixo dos xx ou sobre o
Daclo o grrtlico da funqao J.
Rcprcscrrtc o grdfico g, se
8
Construa os griificos das
funcoes seguintes:
a)/r(x) : x-t 2
fr(x):lx+21
fz(x) : lxl+ z
b)gt(*):x2-4xI3
gz(x)=lx2-+x+Zl
8;(x):x2-4lxl+:
c) hr(x) : 2x - 4
hz&): zlxl- +
ll
hr(x) : lzlxl- +l
9
Seja dado o griifico da fungao
y : f(x). Represenre, em figu-
ras diferentes, as imagens
geometricas de:
a) g(x) : l/f"l 1
b)h(x):f(lxl)
c)h(x): l/(l"l)l
Conclui-se que a funqdo f(lxl)6 uma funqdo par, poisl | -"1) :I l"ll.
I. Construa os griificos de:
a)g(x): l-x-21
Resolugio
a)g(x): |-t-2l
g(x): -x-2
g(x):0+Y:-2
b)g(x): lx2-tl
g(x):x2-I
c:-1
b)g(x) : lx2 - I 
I
g(x) : 0 e x2 - I : O <> 1 : -r1
x1Ixl -l+l
:--r
2 )_ -v
-/u:g(x,):g(0):l
2. Construa os griificos de:
a) f(x) : l"l - z
Resoluqio
a)f(x): l"l- z
b: -2
f(x):x-2
x-2:Q4y:)
b)g(x): l"l'-zl*l
u)s{xl : l1l'-zl"l o g(x): }-zlxl(pois l"lr:x2,vx€tR)g(x):x2-2x
c:0
x2-2x:0<+x(x_ 2):0<>
<+J(: 0 v x:2
xla'x1 0+2
"r:-:2-: 2 
:r
!,: g(x): g(l) : -I
g(x) '. gt lx|)
Equog6es e inequog6es
com m6dulos
Equog6es do ripo lr l - ct
Para a sua resolugao, usamos a definiqdo de modulo.
De um modo geral:
l*l:o+x:dvx:-a.,a.>0
l. Resolva analiticamente as equaq6es seguintes:
a) lxl: s b) lxl- -7 c) lxl: o
Resolugio
a) lxl : 5 usando a definigioteremos:
x:5vx:-5 s: {-5,5l
b) lxl : -7 neste caso sera impossivel pois o modulo de um nume-
ro e sempre positivo.
Entao: 3 : {} ou A
c) lxl:0<>x:0
t0
llcsr
Modulo
rlvir t'rrr lR as ccluaqoes:
xl "'| \,5
xl - 5
zxl : z
lx 3l : I
Ix- -2
,-lx+)l
--)
a)
b)
c)
d)
e)
0
s:{0}
l*l: o
se aGlR+
ta a:d
se aClR-
- duas soluqdes.
- fnica soluEdo.
- nenhuma solu-
cao.
2. Resolva, em lR, cada uma das seguintes equaqoes:
a) lx+21:-S b) lx-31:O c) lx- 3l: l2x+tl
Resolugio
a) lx + 2l: -5 Equaqdoimpossivel. S:A
b) lx-31:0+x- 3:0+x:3 S:{3}
c) lx- 3l: l2x-l ll S" os m6dulos sao iguais €porque os nume-
ros sdo iguais ou simetricos.
:2x I I v x - 3 : -(2x + I)
4 v x-3:-2x-I+x:-4 v
1
L
1
Sendo aebdois nfmeros
reais positivos, podemos
afirmar que:
alb+a2>b2
lol t lbl+a2>bzll
-t3)
Quando sc trata (, utiliza-se
n (coniuncdo).
l*l.o
se a e lft+ -infinius solu-
QOeS.
se a C lR-- nenhuma solu-
eao.
11
I{esolva, analiticamente, as
inequagoes segutntes:
a) lx-51<3
b)ll-z'l<I'3
Quando se trata ), utiliza-se
v (disjuneao).
l"l>o
-rn*se4c tfb -rntrnltas
soluEoes.
seaClR-- lRdsoluEao.
T2
Resolva, analiticamenLe, as ine-
quacoes seSulnLes:
u)l+"+2ltro
b)
+l-- -2xl >5
5
13
Resolva, anal itican-rente,
inequaqoes:
^> 
[l*l z
tl x 2l>3
lb)-t-1"*51.;
lnequog6es do tipo lx | . o
De um modo geral:
l*l <rca.r( anx) -a
1. Resolva as inequagrit's sr.grrirrlr.s:
a) lxl < s
Resolugao
a) lxl '.- >
<>x{5nx
<> -5 - x.,- 5
h) lr ,l 
I
b) lx +l
<>\ +'
<> x. () A
Inequog6es
De um nroclo gcrirl:
do tipo
l"l tu<+xluvxl-a
l. Rcsolva as irrcc;uag(ics scguintes:
a)lxl>r
Ilcsolrrr''ao
a) lrl 't
ex-.5vr
l,)l:+xl=z
5
).
.lnr | )
r.l
I
I
x
 S
b) l: + xl .'. )
<>3+x>)v JI x<-2_
<+x2-l v r{-5
-55
S:xCl-.".-5[ Ui5,t*[
- ) -lS:xCl--,-51 U[-1,f-[
Resolug6o geom6tricq de equqg6es
Como jii vimos na interpreraqao geomerrica de l"- y | : ly - xl que
e a distdncia entre o ponto de abcissaxe o ponto de abcissa y,entao a reso-
luqao da equaqlo usando o rnetodo geom€trico baseia-se neste princfpio.
|. Resolva, geometricamente, as seguintes equaq6es:
a)lx- 3l:s b)lx+rl:+
Resolugio
a) Quais sdo as abcissas dos pontos cuja distAncia ao ponto de abcissa 3
e.5?
Deslocando a partir de 3, 5 unidades para a direita obtemos B e, para
a esquerda, obtemos -2.
Logo, a soluEdo da equagao serd:
5:{-2,8} -2-ro I2 3 4 5 6 7 8
b)lx+ rl:+o l"- (-t)l :+
Quais s6o as abcissas dos pontos cuja distAncia ao ponto de abcis-
sa -I6.4?
I
Represen
valo:
Modulo
It' nir lirrma de inter-
a) O conjunto de todos os nri-
meros reais cuja distAncia a 3
€ menor que 2.
b){x€lR:lx-31<7}
I rlc){x€lR:lx---l=0,,}
d) {x e lR: lx + 2l < 4,51
Resolva, geometdcamente, as
equaEoes seguintes:
a)lx-3|1 :2
b) ll - "l :3
c)13-*l:+
d)lx-21 :5
Resolva, geometricamente, as
inequagdes seguintes:
a) lx+81<5
b) lx- 5lr+
c) lx-21 =s
d) lx+ rl=_+
Deslocando d esquerda de -1,4 unidades obtemos -5, e d direita
obtemos 3 unidades.
Logo, a solugdo da equagio serd:
S : {-5, 3}
Resolug6o geom6tricq de inequqg6es
l. Resolva, geometricamente, as seguintes inequaq6es:
a)lx-41 <2
Resolugio
b)lr+*l=z
a) <Quais sio as abcissas dos pontos que distam menos de duas unida-
des do ponto de abcissa 4? >
Neste caso, procede-se do mesmo modo como nas equaqoes. Assim,
a partir do ponto 4 deslocam-se 2 unidades para a direita e para a
esquerda. As solugdes serao todos oi
valores inferiores ao deslocamento ^ ^
tanto para a direita como para a
esquerda.
b)l:+*l=zol*-(-r)l=z
<Quais sao as abcissas dos pontos que distam da abcissa -3 ndo
menos do que 2 unidades?>
Como a distAncia entre
x e3 € maior que 2, des-
l^^^-l^ I -locando a partir de -3, -5 -4 -3 -2 -I
s:12,6[
| . Itesolva, geometricamente, as seguintes equaqOes:
a) lx-31::
Resolugao
; segurnres equa
b)lx+Il:+
a) Quais sao as abcissas dos pontos cuja distAncia ao ponto de abcissa 3
e5?
Deslocando a partir de 3, 5 unidades para a direita obtemos 8 e, para
a esquerda, obtemos -2.
Logo. a solugao da equagao sera:
5 : {-2,8} -2-IO L 2 3 4
b)lx+11:+: lr-(-I)l:4
Quais sao as abcissas dos pontos cuja distdncia ao ponto de abcis-
sa-l€4?
Deslocando a esquerda de -1, 4 unidades obtemos -5, e a direita
obtemos 3 unidades.
Logo. a solugao da equagao serd:
s : {-5, 3}
Resolugdo geom6tricq de inequqg6es
S: l-*, -51 U I-t, +*[
l. Resolva, geometricamente, as seguintes inequaE6es:
a)lx-41 <2
Resolugio
b)lr+"1=z
a) <Quais sao as abcissas dos pontos que distam menos de duas unida-
des do ponto de abcissa 4?>
Neste caso, procede-se do mesmo modo como nas equagoes- Assim,
a partir do ponto 4 deslocam-se 2 unidades para a direita e para a
esquerda. As soluqoes serio todos os
valores inferiores ao deslocamento
tanto para a direita como para a
esquerda.
b)l
<Quais sio as abcissas dos pontos que distam da abcissa -3 nao
menos do que 2 unidades?>
Como a distAncia entre
x e3 € maior que 2, des-
locando a partir de -3,
2 unidades para a direita
e 2 unidades para a
Soluqao
s:]2,6[
esquerda, a soluqao serao os valores superiores a esses deslocamentos.
Modulo
'iil
l{cplcscntc rur lilrma de inter-
val<l:
a) O corritrrrto tlc torlos os nu-
rneros rcilrs crtjrr clistirrcia a 3
e menor qttc 2.
b) {x € lR:lx - 31 < z}
I rlc){xclR:lx- l-o,t}| 2l
d) {x c lR: lx + 2l < 4,51
15
Resolva, geometricamente, as
equagoes seguintes:
u) l"-31 :2
b) lI-xl -3
.)13-xl:4
d)lx-21 :5
r l'6.
Resolva, geometricamente, as
inequagoes seguintes:
a) lx+81<5
b)lx-51>1'tt^
1
c) lx-21 =e\
d) lx+71>:
z
Iffi
I. Rcprcscrrlc, r'la lorma de intervalos, cada um
clos sttbctltr.juntos em lR.
ar)A:{x€lR:x>0}
lr)tl:[xClR: x<-1,7]
c)C:{xe lR: x>-l^x=+}
| 2)
cl)D:{x€lR: -41x<-3}
e)E:{xctR: lxl <t}
f)F:{x€tR: lxl=Z,Sy
g)G:{x€lR: lt-11<6}
h)H:{xclR: lx+zl 't}
2. Calcule a distdncia entre os pontos de abcissas.
a)-4"-+
c) o e -12
b) -4 e 4,3
al ! 
" -1'6 
3
3. Resolva, analiticamente, as equagOes seguintes
em lR:
\l | -a)lxl:t
b) lxl - -2
c) lxl :21,
d)lx+41 :t
e) lx - ,l : +
nl"*1
e) lx - t
-0
- lr-lt-^l
h) lx+31:31"-
i)lx-31 :+*
r1
i)lx+31 :2lx--J.t ' | 3
k) lz-x -3
4. Resolva cada uma clas inequaqoes seguintes em lR:
^) lxl < s
b) lxl s I
c) lxl > +
Exercicios propostos
d)
e)
0
x
b)l *
[2'
-0
e)
<-z
x-31 <2
,,_ +1.
h) lO,Ix
i) lxl =
j)lzx tl'2
rtlk)lx ;1.+t-l
I o,r
5. Resolva its ittt'tlttitqtlcs scguintes em lR:
t
I
.lll*"! 2'r
|* 2l l--l
"'{ll
2. 0
t- 01-
I
2
z -2
l-]
rl)l2rrll 2nlx- rl>5
6. Calcule:
a) l-51 + lel
b) l-31 + l-rr
c) l-r-rl
d) l-l+rl
e)1251 - l-zs,
Dl-31+l-tzl-l3l
7. Tomando em conta qrr", 1&t =
a)\EsF
w \E6prqrc
,l tlo,atp^q'W
lx | . Calcule:
propostos
ll. llscreva na forma de intervalo de nfmeros reais.
a)
9. Resolva as seguintes bquag6es em lR e apre-
sente o conjunto soluqio na forma de interva-
los e geometricamente:
a)18-"1 :-t0
l"- tlb) , 
:1
c) l3x-41:z
d)l17-4xl:1
e)l2x-31:2x-3
0llx+21 :4-2x
dlz"-tl: lrx-ol
h) lax- Il : lzx+tl
10. Resolva as seguintes inequaqOes em lR e apre-
sente o conjunto solugao na forma de interva-
los:
a) 3xl < r
b)
x
1
L
<5
b)
c)
cl)
c)
l"-1]i--z
> lx+51
3 - xl<3
x-2 <3
2
5-3xl
r)
s)
lr)
<1
<53x- Il b) g(x) :
rE
i) lrx + 4l < -5
i, l+l'+
k) lx' - x- 4l >2
ll. Indique o conjunto solugio das seguintes
condi(oes:
a) l:x-61< ls-rxl
1b)l;-xl >lx+11
12. O conjuntosolugAode lxl - 1 ( 0 6:
A. S: l_co, _tlU [1, +ml
B. S: l_1, tt
C.S:[-1, l]
D.S:A
t3. O conjunto soluEio d" - l, + +l3
l-I>-4e:
A s:1-+, +lI 3 3L
B.S:A
c. s: i4. gI
L3 3L
D. s: l-*. -ai u 
-l9. 
** [I 3L 13 L
14. Determine o dominio das fung6es:
Ia)flx): r-i
b)flx) : {*t - 5
Ic)flx):1r_r,_,
d)flx) : M; - lr 3
I5. Construa os graficos das seguintes funq6es:
/t \x
a) JQ) : (;,) _ 
'
(+) ' -'
I
( ) ..'.,,..ri,r. rlc litr l:ltii.l. it tiit:r
','';ir::ri i:i ,:if iffri ;11:-lrfi!lltt)! a
{ 1:til.; I .}liii:t i]itatii.:; llriatjfc-
r:i):i!: a1tir'faltta.s sc 1l_,rl l,ll
.lili:1,]t)f?
:-
(l \liri:;i:s l,lir I rtll(;t:i. l. ails;I.
i,'tr5. tt;,::,,ir;j!::r r_: .,1. ititfi's r,il-t s:i1.tt,;-
i.i)! i,tC,ltt,tnllt.t I:l:ilt|;rt:.i :rt_l
irllrii.: Ir.:ritr i
f
L Ill('(l iilllt.,()., \,irr Li,r, I rir ;t.ia
SCi() (l(' :luloltto\1 | l);' q,1,.1;1; 1,;
lllilll('ll:1., l)()(l( tit .\ it I irill;it .,r''
S:lllOIl(l() (1il( ,r' r!tli I ti; r:.'. i.i
lla loll(l[t(llo t r I ir.,t .. ,rr ,.11r1
rji i,jlnclul>
r€-Q\)
, # L€-se cardinal.
l.'' Lst:lllha {chclc tlrr trrrnrir) lt.i ,,pq,,t.., I ,,
2."i.:tgr.:,.rlitrr.(sulrt'lrtlr') lr,rlr(,,ts I 
r''' r/
SeuXw ew binotorio
se uma tarefa envolve a realizaq6o de h Larefas, por uma determinada
ordem, e se hri nr maneiras de realizar a primeira, n2 maneiras de realizar a
segunda, ..., trp rn?ri€iras de realizar a riltima tarefa, entao hd flL. n2. ... . n1,
formas diferentes derealizar essa tarefa.
l. Qual e o numero de casos possivcis de 3 lanqamentos dum dado?
Rrslrlug:ill
i." i lt:g:ilrict-tt(), 6 (.ll:i()\
I " l,:llt,,'tntct1l0 -- (t t lrsos
i." i :,rt(ittltcltt0 - (r t'lrso:;
i' Qual e o numero de opqoes clc cscorha do chefe e subchefe numa
turma de 48 alunos?
e :;oli_lcao
o principio que acabiirnos de exemplificar tem a ver com o cardinal do
produto cartesiano de conjunlos.
Dado um conjunto A e um conjunto B, chama-se.l:.1'*iir.r-o r:;r,rtesiano de
por fi, e escreve-se AXB, ao conjunto dos pares ordenados em que o
rimeiro elemento pertence a A e o segundo elimento pertence a B:
AxB:{(a,b):aeAnbe.BI
Se A e B sdo conjuntos finitos entdo o e;u,l.rl'iil deA X B serd
#(exB):#Ax#B
l. SeA: {a,b,c} eB: {I,Z]lrem-se:
A x B : {(a, I), (a,2), (b, I), (b,2), (c, t), (c,2)} # (A x B) : 6
!. o nfmero de resultados no lanqamento de 3 moedas corresponde
ao cardinal de 43, sendo A : iface I MT, face logotipo):
#A3:2.2-2:B
F
lr,
Itr
rlt
lrr,
|ll
\t',
s(. I
lll;l
(ltl
t'lrt
lill
|lll
Perrnutogoo
Suponhamos que numa corrida de I00 m participam sete atletas. Nao
havendo empates, de quantas formas diferentes pode ficar a classificaqio
linal?
lfa7' 6' 5' 4' 3' 2' I maneiras
diferentes dos atletas preencherem os
lugares, pois existem 7 possibilidades
para escolher o primeiro lugar, 6 pata o
segundo, 5 para o terceiro, ..., e para o
s6timo n6o temos escolha.
O que pretendemos e contar todas as for-
mas possiveis de ordenar os 7 elementos,
ou seja, contar o numero total de sequ€n-
cias que se podem formar com 7 elementos que podem trocar (ou permu-
tar) entre si. A uma sequ€ncia de 7 elementos chama-se permuta('ao de 7 e
o nfmero total de formas de ordenar 7 elementos representa-se por:
Pz - <<Numero de permutaqdes de 7> ou
7! .- <Factorial de 7> ou <7 factorial>.
Ou seja,
Pt:71 :7 '6'5'4'3'2'I
e probobilidodes
5
L-alctrlc () \ itl()l (lll ( \l)l('\\.tt)
l(x)! ' l()l
r)9!
6
lLcsolva a crpressao:
(rt I ):, q,a
- l\!(rr I )l
7
VeriliqLrc t;ttc:
a)lt t7t / l.l,l
b)'; | 4l /! 8!
c) ll t -1.! + l0:
fi
(-irrc:o rallarigrs c clois rrtpilzcs
vio dispor-sr: cm fila l)ala ttnla
l,r1,rgr:tIi:t l)r' (lttJlltrr: lll:lllr'i
i-e,s st' l'tctti cnr cl islttt r, l'i r:e trt I o cls
tlois rirpirzes nirs porrlitsl
Colculo combinotorio
Fqctoriol de um nfmers nqturol n
( llrrrlr sC de Um nUmerO natural ?1 e lepresenta-se llttr tt! ito
;rtorlttlrt:
nt : n(n - l)(n - z)' ...' 2' I
rr! le-se <n factorial> ou <factorial de n>.
I Aplicando a definiqdo:
'-t)Zt:2'L
f,,)5! :5'4'3'2'l
c) (n * 1)! : (n + I)' n' (n- I)(n - 2)l
etr) 0! : I (por convenqio)
r2l 12'11! ^I '- 6' 11! 6' rr!
n (n - I)(n - 2)b---JTt : n(n - I)(n - 2)
9'-'g)t
Foctoriql de um nfmero nqturql n
( lrarna-se de um numero natural 11 e representa-se ltor rr! lro
It0(lillO.
nt : n(n - 1)(n - z)' ...' 2' I
rr! I€-se <n factorial> ou <factorial de n>.
L Aplicando a definigao:
a)21 :2'l
h) 5! : 5'4'3'2'I
c) (n * l)! : (r,r + 1)'n-(n- 1)(n - 2)!
d) 0l : I (por convenqdo)
. 12! l2.ll! ^\/ 6'llt 6.II!
n (n - 1)(n - z)(p-'3Tt : n(n - I)(n - 2)
Permuto96o
Suponhamos que numa corrida de 100 m participam sete atletas. Nao
havendo empates, de quantas formas diferentes pode ficar a classificagdo
final?
Ha 7' 6' 5' 4' 3' 2' I maneiras
diferentes dos atletas preencherem os
lugares, pois existem 7 possibilidades
para escolher o primeiro lugar, 6 para o
segundo, 5 para o terceiro, ..., e para o
setimo ndo temos escolha.
O que pretendemos 6 contar todas as for-
mas possiveis de ordenar os 7 elementos,
ou seja, contar o nfmero total de sequ€n-
cias que se podem formar com 7 elementos que podem trocar (ou permu-
tar) entre si. A uma sequ€ncia de 7 elementos chama-se perlnuta('ao de 7 e
o numero total de formas de ordenar 7 elementos representa-se por:
Pz - <<Nrimero de permutaQoes de 7> ou
7l - <Factorial de 7>> otr <<7 factorial>.
Ou seja,
Pt:7!:7 '6'5'4'3'2'I
Colculo combinotorio e probobilidodes
5
("alctrlc tl vrtlot tllt ( \l)r( 5\,t()
t(x)t . t() |
r)gl
6
l{csolva a erpressiio:
(n I)t
(n l)l
'7
VerilirlLrc r;trc:
a) 5t t 7l t' l).t
b)5r4!181
c)5!1ll+t0:
s
Cinco rapariuas e clois rapazcs
vao dispor-sc ern fila l)ara uma
lot,rgrl[-ia. I )c qrrlrrrtas rrran.'i
r;rs sc poclcnr dispor'. ficando os
ckris rapazcs lrirs ponLas?
9'-'g)t
1o
Dado um conjunto dc n clementos distintos' chama-se
,, , a toda a scclucncia que podemos formar com esses n elementos e
representa-se por P,, oLl llcrllrutagao de nl e tem-se:
Pn: nl
P, ld-se <permuta(,1io tlc tt clcmentos>.
n
(,
Um teste tem 9 clttt'stocs c
seguindo qualqucr ttrtlt'ttt.
dante respondcr?
run cstudante pode responder as quest6es
l)c cluantos modos diferentes pode o estu-
,rlli,tt
r Irl
rlrttt
rlr',1,
ll
l),tr
r'll r
It'll
I t'll
,| ,,
Com as letras cla Pttlitvrrt (,()MlilNAl()l{lA, cluantas palavras com
ordem e sentickr (' l.lossivcl litrtltitt'l
Quantas palavras (. ll0ssrvcl l()rnrar licltnclo as letras Bl sempre
iuntas?
Se hd n objectos corn fly
do tipo I, n2 do tipo 2, ...,
n, do tipo r, onde n1 *
I n2 1... * n,, cntdo
-nlhA- 
- 
-., permu-
Il1t.f12!.'.l1,l
tagoes dilcrcrrtcs clos n
objectos.
I
t rltlr
| ;l ll
| ,t tl
tl
Colculo combinotorio e nrobsbiIidudes
-+*t,.." t, , .a. , rr:,:ii:,,
Arronios sem re etigfro
(orronios si Xes)
l)rrtlo B : 12, 4,6, B] procuremos escrever todos os nfmeros de tr€s
llgurlsrnos diferentes que podemos formar. Como procedimento verifica-se
qtre t'ada um dos numeros pedidos corresponde a uma sequdncia de tr€s
f lerrrcrrtos distintos, escolhidos entre os elementos de B.
(,hamamos a uma sequ€ncia deste tipo, arranio si ples ou sttm rt:pc-
f rr.r,r1l1'4 elementos tomados 3 a 3, ou arranjo de4,3 a 3. O numero total
rft.sf cs arranjos de sequ€ncias represenla-se+A3 e jd sabemos que e igual a
+' ) ' 2:24.
Dado um conjunto com n elementos, o nfmero total de sequ€ncias de p ;
elementos distintos, escolhidos de entre os n elementos, com P 3 n, i
a P, e tem-se:
nAp:nx (r,r- I) x (n -2)\... x (rn -p+l):;!^,- tn-p)!
Por definiqdo'.nAn: n(n - 1) (n -2)... (n- p + l) n, p C lN n=-p
nt : n(n - I) (n - 2) . ... . (n - p + r) (n - p) (n - p - l) - ... . 3 . Z. I
t2
( rtlt rtlt .
",\, I ',\, , '\,
"r\, I '\,
l_l
Quitnlos l[n]rr'r-():,l, i :tl,g.u r'
tnOs irltiii:tlr0s 1,lt'ttt.tt r (\lll \)'-
alg:rllsIl1.ts dr) si-\lclllrl i.l( ( i
tual, scnt r:s rcrcl|l- l]i' ltl.ltl,r
que:
a) (-onrcccnr por 1
It) (.,'tttc. ct't |1r. 2 t' ir rllli
Llarn clTl l.
c) Sc'janl tlivisive is por i.
14
Qr.rantcs siio cls ni-lnleros coln'
prccnrlielos cirtrc l, 000 e I 001-}
lirrrn;elos pr,-tt' ;tl grrisitrl-q clis-
f.i!liilsi
Nurrra prtrr rt olrtttpit'ir ({f n:11:1-
qrio. (r :rtlct:rs <lrsprrllrln ;ts
rnrtl:rlirtrs <1r.'onr.. priiia I
it r,, r., ,- r,' .
I-ra rFi;rrlas rnanciriis di{crcltrs
iL: poil. Laztr a dislribi.lir;irlt
, l.rs lr.'rl;il irrs?
t0
(..r:sidlrc ii:(1r)i r-rs itLilnckls rli
ii;-lt:o ;r igrrristitrs cli I ct cntr.'s,
(]r,renlos clcsscs sio 1-r:rr csl
(:ntao, nl. : nAp' (n,- p)l
ou seja,'eo: ffiI c.q.m.
E fricil concluir que se p : n entAo nAr: n!, ou seja:
nAr: Pn: nl'
r.nAr: n
'Ar.: nAt (n - 1)
p."Ap-nAp Jn- (p - 1)l : "Ar-t(n- p + 1)(p > t)
IJrnavez que os arranjos de n elementos tomados p a p se podem
obter a partir dos arranjos de n elementostomados (p - t) u (p - l), colo-
cando a direita de cada um deles um dos elementos que, ainda, ndo figu-
ram ali e que sdo numeros de [(n - p + 1)].
Fazendo substituigdo sucessiva, finalmente, teremos:
"oo:n(n - 1)(n -2)...(n-p+\) n,pe lN,p<n
Logo, o numero total de arranjos de n elementosp ap eigual ao produto
de p numeros naturais consecutivos, por ordem decrescente, a pattir de n.
(n - p)l
t7
l',tt,t, , ,,, ,,';,..rllr:-.r i_.Lritr;i5
l.i, r , r r.:.::.t: llr. I ;i r. rlis-
I',,1ri , lr,':t:-:::11 lla:5 ||rc:.
I 'i : r,l.,rjiS.t f':l-Llil
. i:-i, . :- -.' 
.
: ::.:i it atll_ri) .ci'ilt iit!tr.lt;:1,
,: :l:..:':i:'
O nfmero de combinag6es
de n, p a p, tambdm se
representa:
/n\
\pl
It
\i; rl, -: l-tlll,:l la't:a
i' ::: i:l.t: :: I _1
1."A+:6'5'4'3
2.nAr: n(n - t)(n - Z) (n - 3)(n - a)
3" Quantos numeros de quatro algarismos diferentes e possivel formar
com cinco elementos do conjunto (I,3, 5, 6,7)?tAo:5.4.3.2:r2o
,'. Numa corrida com B participantes, de quantas maneiras se podem
distribuir as medalhas de ouro, prata c bronze?8A':8.7.6:336
i' o Nuno tem l0 Lipis de cor e quer pintar uma figura utilizando 6
cores diferentes. De quantas maneiras pode a figura-ser colorida?toAu : I0. 9. B. 7 . 6. 5 : I5l 200
Is Infi€ 0 sem repef$q *
subconjuntos dum conjunto dado. 
te' tlu scja' a ordem 6 irrelevantepara
Dado o conjunto-A: {2,3,5,7), quais os produtos de tres lactores
que 6 possivel formar com os elemcntos de A?
, Nestes casos, podemos concluir que os produtos pedidos ndo sao maisdo que o agrupamento de tr€s elemenios d" A, que apenas se distinguem seforem diferentes os seus elementos.
Assim: 2X3l;.5 2X3X7 2X5X7 3x5x7
I
rl
I
rl
di lrilirr :r r)r
l'ttliiC. ..r' i.,t t r,,
li'trtCSl
]] t a ,:: ti;l ii l ,]ii
t'ilt,::t.s:l::t.-
Preste atenQdo para a comutatividade d.a multiplicaqdo pois z x 3 x5,2 X 5 X 3... ndo sao diferentes.
Entio neste caso o que importa ndo sdo sequdncias de tr€s elementos,
mas sim combinaEoes de quatro elementos tomados 3 a 3.
. o numero de produtos de trcs factores que se podem formar com os
elementos do conjunto A : {2,3, 5,7} 6.
o *c, 
"" 
(1)
EntAo como obter +C,?
. Jii sabemos que g nrlm;rg de sequ€ncias de tr€s elementos que se podeobter a partir do conjunto A e4A3e que cada um dos r,rb.onl.,rrtos de tr€s
elementos origina 3! sequ€ncias distintas.
Colculo combinotorio e
( :rJ, I#FfiXl ..$lW'-) | t1,t : f.: ,; \+ -*w,|n J! ,, 'i
f)tlrtanto rAr: rCa
. 4^ 'A.
rttl s('lil L:} : -;i =
)l
l. Calcule:
o) 
uc,
esotrugao
. b - 
t'A.,
a) L,t: 
3L 
:
ncn nl.
.comp<tl
(n - p)tpl
l9
l)os l'l r'llrrrcrrtos cle [nla asgo-
(t.l(:rrr (l( (\lll(lilttic\ \ii() \r'r
t'sr ollrrrlo'' .) l)lrfil reprcsentar
lt t's, r,lrt nlulr ('n('()lttfo cotn
c'lt'rnt rrtos tlo N{inistclt-io da
I:tlttr ltr,.lr) ( l)r'\( lt\()i\ itll( t;l()
l lLttnrttto
Dc clrtatttits l()rnrir\ tlilr rt rrlt's
se poclc Illzt't- t ss:t L',t ollt;tl
2A
Quantas filas diferentes sc
podem formar com 6 bolas
verdcs, 3 bolas azuis er 4 bolas
encarnadas?
2l
(.orr <ls algarismos cl<l numcrcl
j) 77 ). rlunrrt()( ttuntt ros clil'c-
rctnte.g $c poclcn'r escrever?
.3!
4 .3.2
I)um modo geraI, cada conjunto de p elementos permite escrever p!
rrt't'irn.jos simples, o que quer dizer que o nfmero de subconjuntos com l)
rlcrncntos escolhidos de entre n pode obter-se dividindo o numero de
rrrrirnjos simples de n, p a p, por pt".
3.2
h.5.-+
b) n*'c,
-4
l,)
'An
pl
Ito
los
^TA
res
L21S
SC
3.2
b1 ''-lc.: (n + 3)! (n + 3) (n + 2) (n + 1),41
(;r'|3-3)13!
{.n't 3)(n + 2)(rr + r)
){fl 6
0
2. De quantos modos diferentes se pode escolher uma comissdo de tr€s
pessoas dum grupo de dez pessoas?
Resoluqao
Cacla subconjunto Ce tr€s elernentos satisfaz o peciido.
lLr- i0l ta"9' 8'7
(10 - 3)! 3r .il 3l
to.q.R
: | /tl
t)
l. Um saco contem I0 bolas brancas e 7 bolas pretas.
Tiram-se duas bolas. De quantos modos diferentes se podem tirar:
a) 56 bolas brancas? b) 56 bolas pretas? c) Bolas da mesma cor?
R.esolueao
os,
e-
ro
n-
e) L2
t I ,'r-
D 1 L.2_
7 . 6"5{
l0
(10 - 2)! 2r
7l
(a tlt )!
\I LJ. L. 7)l
: --*--:- - 21
2
rde
.res .) toC: +7c.. - 45 + 2l : 65
Jil vimos que (contar combinag6es> e (contar subconluntos de um
conjunto dado>.
tol dg r'.,1 tt'i r- r,',,.r'i i.{f"l {#nlr , , .,,,,,
se um conjunto s tem 12 elementos, qual e o numero total de subcon-
juntos dcssc conjunto?
(Nao csclucrca que o proprio 5 e o conjunto vazio a sdo subconjuntos
de S)
o rlitoclo mais simples de contagem do total de subconjuntos baseia-se
no princfpio da multiplicaEZo.
Basta imaginar os elementos de s dispostos em fila e sob cada um
dclcs cscrcver sim ou nao (S/N) conforme entra ou nao entra no subcon-
junto a definir.
Por cxemplo:
define o subconjunto [b, c, f, i].
Assim, para cadaelemento, so hii duas opcoes, S ou N, Iogo, o nfmero
total de subconjuntos tem de ser:
2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2_ X 2 X 2 X Z X 2 X 2 X 2 : 2r2 - 2+s
A conclusdo e analoga para #5 : n e a demonstragio pode ser feita
usando o mdtodo de inducdo mateme[ca.
:' O mimero total de subconjuntos, ou partes, de um conjunto
comnelementos62'.
I :.llli-,:,i:i:lt:r.:::i.:r (pafan C lN):
Se n - 1, obtemos a afirmagdo: <O nfmero total de subconiuntos de
um conjunto com I elemento 6 21>.
Esta afirmaqio e verdadeira pois se o conjunto s6 tem I elemento, os
fnicos subconjuntos sdo ovazio e o proprio conjunto*.
i:,r'::..::-a,:,: ::.1: lr:,:..t,.,:.r:,: O numero de subconjuntos de um conjunto
com :r elementos 6 ..1:'.
::' :. : O numero de subconjuntos de um conjunto com , elementos
Seja A um conjunto com ,, : elementos e B um subconjunt o de A
com elementos. Seja ainda ,:; o elemento de A que nio estd em B.
Por hip6tese de induEdo, o conjunto B tem 2p subconjuntos que, como
e 6bvio, tambem sdo subconjuntos de A. Relativamente a cada um destes
jlm
NNN
abcdefghi
NSSNNSNNS
Jt'
lrr
l,tp'
Pr,
t.
I
(p.2t
rv
I
* Se considerarmos n C lNe,
temos, para n : 0, um
fnico subconjunto que €
oQetambem2o: l.
1l
Colculo combinotorio
,..1}1t {'rcl,t{#,Ei{ttpffif {ilmfi$F,t'1titl{t 'dti ' 
!'
e probobilidsdes
o
n-
-os
2li strbconjuntos temos duas opg6es: acrescentar, ou ndo, o elemento rt,
flntllrr, ha Zp x 2 : 2p + I subconjuntos em A, como queriamos provar.
A afirmaqio do teorema 6 entdo vrilida para n : 1 e 6 hereditdria,
Iogo, 6 universal em lN.
Vt rilicagao do teorerna anterior para V: la,e,i,a,u)
"r 
r ireonlur-rt a vazir: (A'):
l.l '' cle silbconjuntos corrl I elemento:
f.l de subconjuntos co1-n 2 elementos:
trl " de subconjuntos com 3 elementos:
\l " de subconjuntos com 4 elementos:
\rrbconjunto pleno : V:
l:,,lefacto: I + 5 + l0 + l0 + 5 + l:3):2r - 2/\'
-se
tm
)n-
m
N
sde
), oS
lnto
)ntos
deA
:omo
estes
l
'Lt: 3
'cz : lo
lcr : lL)
'L+: )
I
tco:l e
tcn +
l-, anatrogamenle:
-l: . 
-'l ]--11 l
Propriedsdes
I t': -r i1 .i'"," i-
Esta propriedade das
(p.26):
I podemos afinnar quc:
'Lt 'C: ''L'|'(;:2j
dos combinqg6es
n t? 'll -i' * t', :::: "" 
tt i-. iftlal
combinag6es 6 o coroldrio do teorema anterior
tC,
7f.
| . Verificagdo do teorema anterior pari B : lb, d, r, c, ol .
Resoluqlo 
.+-
Subconjunta vazio (A). 1
f,l umero cle subconjuntos corr I elemenlo: '(, r 5
Nfmerr: ele suhconjur-]tos uom 2 eiernenlos: rC, -= 16
Nirlnero clc sr-lbconjililtos com 3 eletnenlos: 5{-, : 19
Nfmero de subcolt.junl()s ('or-n 4 elementos: 5C.,
Nf mero de subcon jLurl()s (.()rn _5 elcrnentos: 5C5
4
5
Delactcr: I + 5 I l() | l()+5* I : 32:25
Como tCo =. I c ''(.,, I porlt'nros afirmar que :
tCo+ 5C, +'tt.., l,( r l,( yI5(,-: )5
2. Quantos subconjuntos tcm rCo + ,C, + ,Cr. + 4C, + +Co 
?
Reso[ugao
+Co+r(;r |'f(.., l,(, 1,,, | +4+6+++I:16:24
3. Dispondo de 6 ingredicntes diferentes: fiambre, chouriqo, cogumelos,
ananas, milho e azeitonas, quantas variedades de pizza se podem
fazer?
,;:r{,,{. d0tlffitr,tf'Aig;r ':.ltr:llt':lii :ir:::::i::t::: : : il lil::lllr:,,1. : :,,1,.:l :ltit,ll
(r rlr':lt's intltl'(li('ntcs: o tr[rrnt'rir
t'(.'t * uCr, =: 2tr - 1 : 63
nau lcvar algumdos ingreclienles
cle variedades de. pizza e '26 - 64.
-5
--I
-I
- )#ll
; Podcm<ts rrtilizlu' l. L, i, -1 , 'i orr
, total cle varicrlrrtlt's tlt' 1ri11-11 1';
, acr + ('(., | (,(. r I (,(.,r +
, Sc aclmitilrnos t;rrc rr pi1;rt lloclc
(s<i mitssa), (.n(iro o nrrrrrcro lcltal
22
Escrcvrt as chras lirrhas scguin{cs n * I elementos na linha seguinte e assim sucessivamente...
clo triangtrlo tlc I'ascal que 5c A figura obtida denomina-se tridngulo de Fascal.
enconlra it0 ltrcltr
Em cada linha todas as combinaqOes
de elementos:
"co
l/-' lr'UO L,]
lco t.L, tC,
tL'n tc, t( t tC 
t
.C,i, u(_, ,c2 nC) ,c.o
''(.0 tCt tCt tC. 
'C, 
tC,
"( ,, "( , ,'{_r. o(,a ,.cr ,.C, ,,c,. 
I
ttrnu O --
Linha I ----->
Linha 2 ----->
Linha 3 --->
ttrnu, -----
Linha 5 ---->
Linha 6 ----->
Para procurar propriedades das combinag6es vamos construir um
esquema com os valores das combinaEoes de n elementos numa linha. de
Substituindo os simbolos nCo pelos
respectivos valores, obteremos:
il
t2l \-/t.l 3
\r,'\-r,t-'.-r-11641\--'- \-,.- \,/-\,/i 5 t0 l0 5 i
\-/ \/- -:tz/ \-/
5 15 20 l5 6 I
Colculo combinotorio e probobilidqdes
Tlncl0 ctn conta o tridngulo de Pascal, iremos interpretar ou justificar
jruprlcdades seguintes que sao validas para todo n € lN6:
nco l; tC,' :
() ttutttero de combinaq6es de n,0 a 0, representa o numero de sub-
,Il,,,t,,,, com zero elementos escolhidos de entre n' havendo apenas um
lOnltlllt()s com n elementos escolhidos de entre n' havendo apenas um
lnleo cttn;unto que existe nessas condiq6es que e o proprio conjunto'
S.Pcrrn$x €lo tlr x*Cur*p
(hr ttftmero de combinaqOes em termos de factoriais:
nl.
"co: (, lp))pr g ncn-P:
scndo a segunda expressdo equivalente 2r primeira' o que se torna evidente
clcctuando as operaqOes dentro do par€ntesis'
Bin6mio de Newton
Sabemos que (a + b)2 : a2 + zab + b)
Como obtlr o desenvolvimento de (a * b)3, (a + b)a ... e de um modo
gcral (a + b)", sem efectuar o produto- dos polin6mios?.
Comecemos por usar o algoritmo da multiplicaqio de polinomios:
h + b)3 : (a -r b)2 . (a + b) : (a2 + 2ab + b2)' (a -r b) :
:F+3a2b+3ab2*b3
(a + b)a : (a * b)3' (a + b) : (a3 + 3a2b * 3ab2 + b3)' (a * b) :
: t + 4a3b + 6*b2 -l 4ab3 + b4
verificamos que os coeficientes num6ricos dos termos sao exactamente
os nfmeros duma das linhas do tridngulo de Pascal:
ln -(n - fllt(n - P)l
2J
()bscrvt' rt lri:ittqtrlo clc Pascal e
rcspotttlit lts (lll('sla(s scgulnte-s:
a) Qr,rarlt()s llttlll('los te trl a
linha das cotttlrittrt( ot's tlc 5
elemen Ltlsl
b) A linha (lLtc [clll LJ clolllclltos
e a linha tlits ctlnthitt:tt trt's
de quantos eletnentos?
c) Qual o valor de P lro tercejro
elemento cla hnha clas conr-
binag6es 6Cn E na linha das
cotnbinaQoes 
loC,,?
d) Qu.rl o valor dc P no quinto
elemento da linha eln clue
n : 7? E na linha ern que
ll : Lv!
2+
Determrne:
a) n tal quc "C6 - "(1.,,
b) n l o tal cluc "'{., '. 
t"{'o
25
Curnplt:te, usanCcl combina-
c'()cs-
\ l)/- rra
it, L-2 t \-', - '
)t--b)"Chi. --cz
.) tt'Cro - 
ooc,rn : ..
n' (a+b)":)"Co't-k'bb
(a*b):nCoa!*
+ncril-Lb +"Czd'-2F +
+... + ncp il- p bp + ... +
* nC,_ r1bn -, + ncnb,
nl.
-(]s
t4
um
de
:Ios
(a*b)o:1
(a+b)r:larlb
(q+b)2:la2r26b+1b2
(a + b)3 : la3 + 3azb + 3ab2 + Ib3 ---------- 
->
(a+b)a:la4 + 4db + 6*b2 + 4aF + Ib4 - >
e se ordenarmos os termos pelas pot6ncias de a' €
padrdo para a parte literal de cada mon6mio'
1
ll
l2-1
133r
t46+l
facil perceber um
26
I ',( I (
iir
ii i i
}) l:l'- -1,')'
.i ur lrltttfitS Lt:rntc5
; -,) ),)'{l
Donde se induz que:
(a+ b)5 : ld.5 I ->a+b + tod3bz + rca2b3 -t iaba + lb5, visto que a
soma dos expoentes € sempre 5, ou seja,
(a + b)5 - ;i.,, a5 +'t', aab +'t, a3b2 + jC)d2b3 I tCrdb4 + 5{,:'b5
E finalmente, generalizandtl, com n € lN6, encontramos a {eir ula rlrr
hinomio de Nc$,lou, cujo scgundo membro tem t'l + I termos. V€-se que a
soma dos expoentes em cacla nronomio e n.
Repare que nC2 on - 2 y2 C o ]." tcrmo e tambem:
"Cp dn - P bP 6. o termo de ordem p * I
3. (2x - t)5 : 5co(2x)5 + 5cr(2x)4(-I)I + 5C2(2x) )(-l)2 +5(.\(Zi2(-1)3 +
+ 5C+(2x)(-1)a + (-r)5 :32x5 - U0x4 * U0xl * 40xz f 10x - I
'(**
3 (Zx- I)5:5Co(2x)t + tC, (2x)4(-I)I +5C2(2x) ](-l)2+ 5C3(2x)2(-t)3+ 5C4(2x)(-I)4+
+ 5c5(-1)5 :3)s5 - Boxa + 80t' - 40xz * IOx - I
o rlcr l" Prove que, sendo ff6> I, tambem a) L.
Resolugalr
s"iii> 1 eni.aoilri : I i h,comh> 0
()ras:1ti11'.': (l + h)": If 'C1 h+'C.rht
:larcclas sa() lr)(iJi l.rrsii ilas.
l-cgo, c ), 1.
+ ... > X pcrque ;rs
2. Demonstre que nCo * nCr * "Cz * ...t nCn : )n
do binomio de Newton
l?esolucao
c.q.d
, usando a formula
+l: *co(")r + 4cL(*)3 I * rr,r*,'(+)' + 4c\* (+)' . -.(+)- :
:ri + 4x5 + 6x2. +. +
27
f)e lcl nine o 7." Lernl
dcscrlvoivrn-r cnlll cle:
-/ l rtlia)l--; .l r'(i
\ Y :l
,./.r \'\"D)l-r I
\J ) |
4r
,rmlip
\t-r tll'>e ttr olr itttt ttl.t tl,'
/ \.)lrr' l.xl0,
exlsle urn lermo clc grau clois
J)e lermine-o"
Zn - (l + 1)r1 : rcs 1,. 1r'
-1 rC,11). rn : nCO I
lrois quaiquer potOncia de I
fr-,,.11]......:-l_ ,1Ct lll * I .
'C1 * "{-2 *
e igual a i.
I +',C2
,l tr('
tea
I rj'.r
lue a
1l]e e,
..1{.i
jrmula
l, Slrrrplilitluc:
(n + 2)l
.l',,t1-P,
l,
n!
) ( llt'r"rle o valor de:
rr) iAl
t') 7!
, r00('r-
98!
. 6,{,,'6co
B) --:;t-
)l
h)
Exercicios propostos
rr) 
(tr | ])l-2(n+3)!
2)l - nt
2(rr + I)! +3 (rn - l)!
I{E
9. Colocam-se num saco bolas de cores dife-
rentes: verde, azul, amarelo, vermelho e
lilis. Tirou-se, sucessivamente, uma bola ate
sair a bola amarcla.
Quantos casos diflerentes hd em que a bola
arnarela sai em (ltirno?
10. Numa turma de t0 raparigas quantas comis-
sOes"diferentes de cinco elementos 6 possivel
formar?
I1. Numa turma de I0 raparigas e B rapazes
quantas comissdes diferentes de cinco ele-
mentos e possivel formar?
a) Sem qualquer restriqdo?
b) Se em cada uma figurarem 3 raparigas e
2 rapazes?
c) Se I das alunas e 2 dos alunos se recu-
sarem a pertencer a qualquer comissdo?
12. Com os algarismos do conjunto:
c: {0,2,3,3,15}
a) Quantos produtos diferentes de dois fac-
tores distintos se podem obter?
b) Quantos produtos de factores diferentes
se podem obter?
13. Determine o numero de comiss6es com 4
membros que podem ser formados, escolhen-
do entre l0 funcionririos administrativos e os
funciondrios auxiliares de uma escola.
a) Sem quaisquer restrig6es.
b) Sendo dois elementos administrativos e
dois auxiliares.
14. No Futebol Nacional pafticipam 16 equipas
devendo cada uma delas jogar com cada uma
das restantes duas vezes. Qual e o nlmero
total de jogos do campeonato?
15. De quantos modos diferentes pode ser forma-
da uma comissao de 3 rapazes e 4 raparigas
de um grupo deBrapazes e 6 raparigas?
16. Em 18 compartimentos para CD's, de quantas
maneiras se podem arrumar 4 CD's diferentes?
l. l)etermine n sabendo que:
a) nAz : 110 b) nAz : 30 . 'Ar
c) (n + 2)l :72'nt al ;4 : 720
nt\n - r)l
'1. Quantos numeros de 3 algarismos se podem
representar com os algarismos 3, 5, 6 e 8?
5. Quantos nfmeros impares de 3 algarismos se
podem representar com os algarismos 0,1,2 e 3?
(r. Com os algarismos 0, 1, 2,3, 4 e 5, quantos
numeros de cinco se podem escrever?
7. Com os algarismos 0, 1, 2,3, 4 e 5.
a) Quantos numeros pares de quatro algaris-
mos se podem escrever?
b) Quantos numeros multiplos de cinco e pos-
sivel escrever?
8. Quantos numeros de quatro algarismos dife-
rentes 6 possivel formar com os elementos do
conjunto Il, 2, 3, 4, 5, 6\:
a) Sendo os algarismos das unidades?
b) Que sejam mriltiplos de 2?
c) Que estejam compreendidos entre 2 500 e
5 700.
Exercicios propostos
I
I
I
I
i
17. Cinco oradores, A, B, C, D e E sio convida-
dos para discursar num comicio. De quan-
tas maneiras podem ser ordenados:
a) Se B nio pode falar antes de A?
b) Se B falar imediatamente ap6s A?
18. De quantas maneiras se podem colocar 2 an€is
nos dedos m6dio, anelar e indicador das 2
maos, nio ficando 2 aneis no mesmo dcdrl?
19, Num campeonato distrital dc lurtchol, cada
uma das 10 equipas disputa2 .jogos com
todas as outras. Quantos .jogrls sc rlisputam
nesse campeonato?
20. De quantas maneiras se poclcrn scntar l0 pes-
soas numa mesa, 5 dc cacla laclo, sc 2 delas so
se puderem sentar num dos lados cla mesa?
2l.Para uma peqa de teatro hd 5 candidatos ao
papel de rei, 7 candidatos ao papcl de rainha
e I0 possiveis principes. De quantos modos
pode ser constituido o elenco da pcga?
22.Uma ementa de restaurante tcm 4 sopas, 5
pratos de peixe, 6 pratos de carnc, 5 qualida-
des de fruta e 3 doces. De quantas maneiras
diferentes se pode fazer uma releicdo com-
pleta? E se a refeiqdo incluir apenas sopa,
carne ou peixe, doce ou fruta?
23. AFl'ryia e o Artur pertencem a uma turma de
25 alunos. Vai constituir-se uma comissdo
com 5 alunos. Quantas comissdes se podem
formar, incluindo a FlAvia e nao incluindo o
Artur?
24.De quantas maneiras podem 7 jovens, 4
rapazes e 3 raparigas, entrar em fila numa
discoteca, supondo que as raparigas entram
primeiro?
25. Sem utilizar a calculadora, determina n e p,
tals que:
ucr. + uc, + rc, + 8cs: ,Cp
26. De quantas maneiras diferentes 5 rapazes e 5
raparigas podem ser separados em 2 grupos
de 5, se cada grupo tiver, pelo menos, 1
rapaz?
27. De quantas maneiras se podem distribuii, por
12 pessoas, 4 bolos iguais e 8 diferentes?
28. A turma A tem 46 alunos. O professor de Por-
tugu6s vai escolher 5 para um trabalho de
grupo e 9 para desempenhar, cada um deles,
um papel numa pega de teatro. De quantas
maneiras pode ser feita a escolha?
29. Para arranjar dinheiro para a viagem de finalis-
tas, os estudantes de uma turma vlo fazer e ven-
der rifas. Sao 500 rifas e os premios sdo 5 DVD's
diferentes e 7 CD's iguais. De quantas maneiras
podem distribuir os premios pelas rifas?
30. Numa turma de 40 alunos vdo ser escolhidos
5 para representar a escola numa cerimonia.
a) De quantas maneiras pode ser escolhida
essa representaQao?
b) Quantas representaQOes se podem formar
se o Nuno e a Rita, que sdo irmaos, ndo
puderem ser escolhidos simultaneamente?
3l . Quais os valores de x para os quais:
a) tzCzr* ] : lZcs-" b) 40c2, 
+ t : 4ocz**j
c) 2lCz, - zocx* 
rz * 'oc" * rt
32. Calcule:
a) O quarto termo do desenvolvimento de:
I
I
(
I
I
r
p
Io
l.
(". i)', xro
b) O termo em 26 do desenvolvimento de:
(r* LIo,.+o
\ lzl
33- Considere o desenvolvimento de:
I2
,x)0
um termo indepen-
b) Prove que ndo existe um termo em x2.
34. Um dos termos do desenvolvimento de (x * 1)"
e 1.2x. O valor de n e:
/.r 2 \
(,v" - ;J
a) Verifique que existe
dente de x.
I
t
I
frlnl
I
tlc l
A. t0 B. 11 C.12 D. 13
Colculo' combinotorio e
'| ::ia FA '
probobilidodes
ir5rfrnl
por
)or-
,de
:les,
ltas
idos
)nla.
hida
'mar
nao
:nte?
r*3
lpen-
+ l)n
t3
Probqbilids es
alis-
ven-
\,tD's
:iras
Conceitos etemenrsres
Aos
lllrll|l-se
len6menos cujo aparecimento depende inteiramente do acaso cha-
ilnritlcnos aleatolios ou aconaecnnentos.
ll
Sdo aleat6rias as experidncias que se fazem num jogo: comprar
hlllrcte de lotaria e saber se tem prdmio, o aparecimento da <coroa>
frutgamento da moeda ao ar; o aparecimento de 5 no langamento
tlrrclo...
um
no
do
Nas experi€ncias que se fazem nos laboratorios de Quimica, Fisica ou
lllologia, sabe-se qual o resultado da experi€ncia, por isso, chamam-se
rlr tr rirrtniglas.
Sao deterministas as experi€ncias seguintes: atirar uma pedra num
l,rgrr e medir o som que se faz; deitar iigua e azeite num copo e ver qual
rlos liquidos fica em cima; medir o tempo que demora a germinaqio de
rrrrr feijAo e de uma ervilha em algodao humido.
r\o conjunto formado por todos os resultados possiveis de uma expe-
rii'ncia chama-se , duma
l)rova ou . Representa-se habitualmente por E, S
orr O (Omega).
I Experi€ncia: <langar um dado e observar a face viradapara cima>.
Espaqo de acontecimentos: S : { l, 2, 3, 4, 5 , 6}
I Experi€ncia: <lanEar uma moeda de I MT ao ar e observar a face
virada para cima>.
Espaqo de acontecimentos: S : {face I MT, face logotipo}
: Acontecimento numa experiCncia 6 qualquer
: subconjunto do espago de resultados.
Um acontecimento 6 elementar se e constituido por um fnico resultado.
Um acontecimento 6 compcsto se 6 constituido por mais de um resultado.
Um acontecimento 6 certo se e constitufdo por todos os resultados do
cspaeo central.
Um acontecimento 6 imperssivel se ndo tem qualquer elemento do espaqo
dc resultados.
2E
L,nra urn:l li.rrlfur I bclas ii
branclr, I prsta e I r.ermelha).
N:r exLraegao de tLrn; bola
iutJieiue :
a) L)s casos possivcis.
b) O c(pJco de acontr.rnrc,r-
t(,5
r:) Urn acontecilnent0 certo.
d\ L rn a(r)ntl cirncrl;1r llp'r ,r'
sivel.
1,, ., ril :i.ll l;r,ila-.:l-
: i,i;t-la).
i- f . i-.r I
Experi€ncia: <lancar um dado e verificar a face viradapara cima>.
S: {I,2,3,4,5,61
. Aconteci mcnLo elementar:
A: Sair rnultiplo de 6;A : {6}
. Acontccirnento composto:
B: Sair rnultiplo de 2; B : {2,4,61
. Acor]l.cci mento certo:
(.: Sair um numero menor ou igual a 6; C : {1,2,3, 4, 5, 6l
. Acoutccimento impossivel:
l): Sair o numero 9;D : {}
Oper{ir.ijt:';sr frtl {: g e e t g
[f nifu,r;, t i\
A r,.. .dos acontecimentos A eB 6 o acontecimento que se realiza
quando sc realiza A ou B (ou ambos).
Rcpresenta-se A U B e e consrituido pelos resultados que pertencem a
pr'1,, r,,, ', , um dos acontecimentos.
, No langamento dum dado se A 6 o acontecimento (ser mriltiplo de 3> e
B o acontecimento <ser Par>:
: A: {3,6}
I B : IZ,4,6j
O acontecimentoA U B 6:
AUB:{2,3,4,6}
O acontecimento uniao de A com B 6 o acontecimento <ser mriltiplo de
3 ou par>. Os resultados I e 5 nAo fazern parte do acontecimento A U B por-
que ndo sdo mriltiplos de 3 nem sao pares'
$Y{l
A i:-ilei:sec{il dos acontecimentos A e B 6 o acontecimento que se realiza
;: r.: r,:r '.,.:. A e B se realizam simultaneamente.
Representa-se por A n B e 6 constituido pelos resultados comuns a A e a B.
Considerando a experi€ncia e os acontecimentos do exemplo ante-
r10r:
4: {3,6} B: {2,4,6} AnB: {6}
O acontecimento intersecqdo de A com B e o acontecimento <ser mfl-
tiplo de 3 e par>. O resultado 3 ndo pertence A O B porque embora per-
tenqa a A, ndo pertence a B.
E
Acontecimento uniao
E
Acontecimento interseccao
Colculo combinolorio e probobilidodes
menlo conlrqrio
lconteclmento contrdrio ou complementar de
uldo pur todos os resultados do espago que
A 6 o acontecimento
ndo pertencem a A.
por A e tem-se:
AUA:EeAaA:A
ealiza
cem a
r)e
No langamento dum dado, o acontecimento contrdrio de A: <sair par>
scrd A: <sair impar>.
No lanqamento de dois dados, o acontecimento confferio de B: <os
ndmeros das faces sio todos iguais> nao € <os numeros das faces sio
todos diferentes>, mas sim B: <pelo menos uma das faces tem um
nfmero diferente>.
Acontecimentos disiunlos
()s acontecimentos disjuntos, incompativeis ou mutuamente exclusi-
\'rrs 5fg acontecimentos que nao tdm resultados comuns e, portanto, a rea-
lf zagao dum deles implica a nAo realizaEdo do outro. A e B sio disjuntos se,
c st'l se,
l. Num saco com bolas numeradas de I a 10, <ser nfmero primo> e <(ser
divisivel por 4> sao acontecimentos disjuntos pois n6o hd nrimeros
primos que sejam divisiveis por 4.
2. Lanqa-se duas vezes um dado e registam-se os nrimeros das faces
viradas para cima. Os acontecimentos A: <os nfmeros sao ambos
fmpares> e B: <o produto dos nrimeros e par> sdo incompativeis
porque o produto de dois nrimeros impares e sempre fmpar e por-
tanto os dois acontecimentos n6o t€m resultados comuns.
o u.o.,i".i-lr.," t-n"rii""i;" ;" ';;"i;;;;".r".ru. ai u.o",".t-
mentos disjuntos; representa-se habitualmente por A.
Dois acontecimentos contrdrios sao sempre incompativeis, mas dois
acontecimentos incompativeis nAo s6o, necessariamente, contrarios.
D€ exemplos de acontecimentos incompativeis que nio sejam contrd-
rios, no lanqamento dum dado.
Resolugio
A : {1, 2) eB: {3, 5, 6i ou
A: 12,6) e B : [], 5] ou
A: <sair numero par>) e B: <sair 3 ou 5>.
)L
Os acontecimentos A e B sdo
disjuntos ou incompativeis.
No lancarncnto de um dado,r
corrsiclcrcrnoso acontecimerito
A: <sair nuurero irnpar> e o
acontccjmerrto B: <sair numero
irrle rior a 3>.
Inclique:
a) O acontecimento uniao dos
acontecirnentos A e B.
b) O acontccimcnto intersecgio
dos acontecimentos A e B.
c) O acontecimento contrerio
ao acontecimento A
d) Dois acontecimentos dis-
Juntos.
rde
)or-
realiza
reaB.
nte-
nril-
per-
Acontecimento contrdrio
A rllinlla clLlc a lrcqu€ncia relativa de um aconteci-
nrclll() tt'rrtlt'u cslllrilizlrr rrlrrrr clclcrminzrclo valor. A medida que o nfmero
clt'vczcs cnr (lrr('sc rcaliza it cxpcriCncia aunrcnl-a, e esse valor que se toma
l)il11r it probltbi I iclaclc.
(.orrsiclcrcnros a cxpcriencia de langamento duma moeda ao ar um
nirrncro clc vezes bastante elevado e registemos, em cada conjunto de lanqa-
lnclrtos o numero de vezes e a frequ€ncia, por exemplo, de <saiu cara>r.
E e o cs;-lr1'o rlc acorrtecimento.
A i' trrrr u( orrlccirnento.
( t' tttrr il( ()nl('( imento reuniao
tlos lrt orrlt'cinrcntos A e B.
(, t' rrnr acontccimento intersecgao
rlos ut'orrlccirnentos A e B.
A c trrn acontecimento certo.
A [' urn acontecimento impossivel.
A c Il sao acontecimentos contrdrios.
A c Il siio acorrtecimcntos disjuntos ou
inconrplrtivcis.
E € o conjunto universal.
ACE
C:AUB
C:AOB
A:E
A:a
B:A
AnB:A
0,400
0,550
0,450
0,525
0,525
0,487
0,502
0,492
0,501
, embora nao
a volta de 0,5, valor que tambem
: (salr cara).
10
20
40
80
160
320
640
I 280
2 000
Verifica-se, por
selam as mesmas,
se chama
4
l1
18
42
84
156
321
630
r 003
esta tabela, que as
rl
, itl
Colculo combinotorio e
1nq+,trr,tfi ,,l::;,i,:rl:.:;il1;,i1,:;ir.f,,,:i:,tlt,.t,4.i.i'i , Ii .::
l'(,t lllnl():
\il illunCro a volta do qual estabiliza a frequ€ncia relativa de um acontc-
r r|lr('nlo, quando o numero de repetig6es da experi€ncia cresce considc-
r,rvr'lnrcnte, chama-se do acontecimento.
A frequ€ncia relativa de um acontecimento A 6 um nlmero com-
preendido entre 0 e I, ou seja,
0<t<1
A frequdncia relativa de um acontecimento certo e 1.
Jr(acont. certo) : 1
A frequ€ncia relativa de um acontecimento impossfvel e 0 (zero).
f,(acont. impossivel) : 0
Ao acontecimento A de uma prova podemos sempre assocrar o acon-
tecimento contrdrio ou <nao A>, que notamos A e cuja frequ€ncia
relativa e
f,(E):r-f,(A)
F\].a-at.aueilnrcqo qxromqilcq .
de probqbilidsde
Seja E o espaeo de acontecimentos e P(E) o conjunto das suas partes.
(,hama-se prohabilidade a toda a aplicaqio p do conjunto P(E) no conjunto
10, I ] de numeros reais, q-ue v'erifica os seguintes axiomas:
Axioma 1 - A probabilidade de qualquer acontecimento A do conjunto
P(E) 6 um numero compreendido entre zero e um.
0<P(A)<t,.oir ACE l
Axioma 2 - A probabilidade do acontecimento certo € 1.
P(E) : 1, sendo E o espaqo de aconteci*"rlor-
Axioma 3 - A probabilidade da reuniio de dois acontecimentos incom-
pativeis (disjuntos) e igual a soma das probabilidades des-
ses acontecrmentos.
P(A U B) : P(A) + P(B), seA n B: A
36
')
a) Sc l'(,4) ., I e
)
5
/'(A U B) ,,.. :-, clctcrtninc
o
|(ll) dc rrrodo a clue A c I3
scjarn inc'ornpal[vcis
)llr)rr'f,(A) i c l'(lir 'n
)1
rn()str('Lltt(',\ c l] ttitrr slt,r
in c cl nr pal ivc is
\1
5r';:trt \, ll rloi:, aai)lltccl-
nt( ntr )'' ,lttttt t.p:lqo L" Calcr-rle:
:r)l'( \ ) ll) srrbcnrlo cir-le
l,t i) C..1; Ir(B) =- ;'1.1 6
I'i.r I i;;:11,3
i:i li'4 -; F) sallcr'rc1lr cluc :
l-r,.4) : 0,6: ,f'}{ll) : 0,7 e
r(,4 .J B) =' 0,e
]
:)rlr.l:r .1 t r rll,is alrllllt-'l;ui:n-
tls dc r..111'1 rspafil E Plillt
.-lri.:
a) Pl,{ r: R.r ' PtA ! F) ' 1
b) 11.,{ -, 8) 'r ;:(D) -
- t,(4) ., P(.,t u f)
E
Destes axiomas podemos deduzir as seguintes propriedades:
Teorerna I - A probabilidade do acontecimento A (nao A) e igual a
menos a probabilidade do acontecimento A'
p(A):r-P(A)
A:E,A n A : Q dondeP(A U A) : P(e) + P(A)
I
l)emonslrzrcirtt:
Sabe-se que A U
P(E) : I, entao:
P(e):I-P(A)
Teoremar).-Aprobabilidadedoactln|.cci|llcnt()irnptlssivel6zero.
Detn (tnsl t-itr'itt t
P(A) = 0
a: l:
P(a) = f,(L) : I - I'(E) : I - 1 :0
Teetrcr.ni,r I - Se A, B c (, sltl atctttttccirnentos incompativeis dois a dois'
entdo:
P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C)
-feorcrna 4 - sendo A c: ll dois ac()ntecimentos quaisquer, tem-se:
i P(A U 3; = P(A) + P(B) - P(A 
' 
B)
[)e nrotrs1r:t('lto:
AUB:(A\B)UB
No entanto A\B e B sao conjuntos disjuntos'
Por isso P(A U B) : P(A\n) + P(B)
4 : (A\B) U (A n B) e (A\B) n (A n B) : A
P(A): P(A\B) + P(A n B)
P(A\B):P(A)-P(AnB)
P(A U B) : [P(A) - P(A n B)] + P(B) : P(A) + P(B) - P(A n B)
1. Consideremos a experi€ncia que consiste em langar um dado equiii-
brado d.e faces numeradas de 1 a 6'
Os acontecimentos elementares {l},
mente equiprovdveis' incompativeis
universo, E: {1, 2,3,4,5,61 '
Assim:
t2), t3], {4}, {5}, {6} sao igual-
dois a dois, e a sua unido € o
P{1} + Pl2} + Pt3} + P{4} + P{5} + P{6}:P(E):I
PtI) : Pl2l:...:P{6} :*
2. Seja A o acontecimento <sairmriltiplo de 3>' isto 6' 4 : {3' 6}'
Aiendendo a queA : {3} U {6}, vem:
P(A) : P{3} + Pt6; +;+:+:*'o'seja' 
P(A): #:+:+
Colculo cornbinstorio e rs e ifi ndes
rIal
.n) -
a dois,
+ P(C)
:quili-
igual-
ro€o
I ttr gcral
t'
A probabilidade de um acontecimento A coincide com o quociente
tnlfc o;ni'ncr.r ('rds(]s far'r'rareis e o trutltr:t(r de rasus pr)sslvci\
letnpre que todos os acontecimentos elementares sdo equiprovaveis e
Ittcompativeis.
P(A): nfmero de casos favordveis
nfmero de casos possfveis
Tem-se um octaedro regular. As faces do
I a B. No lanqamento do octaedro, qual €
: O nrimero B?
octaedro sdo numeradas
a probabilidade de sair:
de obter'duas
: i i:i r1LL.
]()
'r.il,, n,l ! !ir-if ;; 1;;rob:tlti:itl:tlll
rltr :rr rrri, r il-,:111-al -.{. r,:laiir fl li
lrl(.\. , r I | . .' .t,,i'.,-
lllril,r,l,,1" r,,,:':,'fi,:;,:t:ti: ll"
r,i'rt', .a...-:..
It t\ ll ,1, lr lirrrrr I trrrlil;tliil-
iirt,.ir.
il) 1,t,, .r, \,li,i ! rii , | ,i , .,,r:
tl(r)lltt r llll, i)r
--itl-rartrL!r rl, "' \ . .
l-r) flo :ir)rrlr'. rrr'.i'tirr) !l
'1il aliilllir'i ill;.'11:i) !'
'i0
\o lancrlrr:;rto ril r:t.lr rlrr:iir
(',ca.raf.t i-. acr.tlttci:lllel l,..,\ :
(s:ti1-ut:i i]oi] lr) itlt1-::it'rt r''r
.1. \.: .. t .'. iti, ll .. i r', I
pr:lrilr lniclioL ;l 'J , ( :iiL rrl,
;rrlrb:rl;iiidad.: ,,io' .r\ ,'rr Ir'i
tllai't:ilS:
;r) I
i]) B
r);\lu
cl) .t rJ ii
e).tlll
+l
\ (, rir]j ili lasqiillrbcl r.1a
t sr-'ri;1 '.ltl lii:tltlt:li- llrl: iOl--
i,'tar. l'oi:1JI sr:it:rlior:ll,,los i l
.ri!: i-ii-rt a11li( ars 11*ai: C .\rtfa-
:i'i: ir:r':: a ;igc. o trlrti'r;tLlcl-
,'5,-,-,lill-r' I e nlrt r-rs | .l se le t-
,. lirii:ialat.
;1.) ili iru;nlirs trrirnriir"s pi--11c
:,..r r:sr,rlhido :i cquipr iir'
,;,1
bi Qrai ;i pri !;'.iriircil'^clc ilr
.!rr;.liic'r-i il:er- pari': da
i: r-1 il i ;r; i
de
: Um nrimero impar?
'I Um mriltiplo de 3?
,:.csiliugao
,,'_l:ijr [. : {i. :. -r" 4. ]. fr.;,8f
I lr,.ll;lr-:rl dt i:lsos l:rlor:!r r:rs: l
il nirr:r*r:c r.le casls possivrir,: 3.
i)iEl - 
l
:l .L. sair um nr.lncro ilrlpar. ,1 : il. 3.
l) ln;ri:lr-, dc r:asol illr,;;;11';i3 : '1
f-l 'n'.rmrro de e;si-rs pc.-{si!'ri1 .= $
llllil'lcfil fiil { :13113 pf-}3!l1r:1s
,-) li: sair urr.r ntiitil-rir).i. l. fi -. i':,6|
i ni.llneli,. rir r:a:cs furillilt'ls: l
"l irurri:::.1 a1a f;lsct p.rl:lilris : E
Lanqa-se uma moeda duas vezes. Qual a probabilidade
vezes coroa?
r$*luc;rr
:J i)esignclr-:oj ircr: il, * i;ir;. l-r *,.illoii
t-l s alor tr',- i rl il-r.l r)i i\r3si\ cis s:r,,. ;1r rlilrr rc {,ic : -
3. poili'i! obiri'. 1. 1C1,f 1{-;' i.{',. { 'i..
l) niinicill tla l;r5i-r5 fl'.,rlir:lis.. l.
iri.l.ri.l:
I
5
q:'l
l
I
B)
2l
= -:-63
Uma urna cont€m 20 bolas vermelhas e 30 bolas brancas. Extrai-se
uma bola ao acaso. ()urrl a probabilidade de que saia:
Uma bola vermcllra?
Uma bola brarrt'lt?
Uma bola vct'nrcllut ott branca?
Uma urna ctlttlttttt / lrttllrs grtt'llts t' (l
acaso e sitlttllltttt'rtntt'ttlt' fl lrollts, t;ttltl
4 e so 4 bolas prcl:tsi
lrolas brancas. Retirando, ao
c it probabilidade de se obter
Uma urna cor.rtdrn 5
tasnumeradas de I
bilidade de obter:
bolas. 3 vermelhas numeradas
a 2. Tira-se uma bola ao acaso.
de 1 a 3 e2pre-
Calcule a proba-
Um bola numerada com 1.
Uma bola vermelha.
Uma bola com um numero impar.
Colculo combinotorio e probobilidodes
,ao
DtCI
Dctermi,nagdo da probabilidade de um acontecimento quando os acon-
elementares nao sao equiprovS.veis.
AtC agora na determinaqdo das probabilidades, admitimos que todos os
possiveis sdo equiprovaveis. Por6m, hii casos em que estas condigdes
se verificam.
Por exemplo: podemos admitir no langamento duma'moeda ao ar que
das faces tem mais probabilidade de sair do que a outra, ou no langa-
de um dado ndo equilibrado, uma das faces tem mais probabilidade
sair do que as outras.
No lanqamento duma moeda ndo equilibrada, verifica-se que a pro-
babilidade de sair cara 6 dupla da de sair coroa. Determine a proba-
bilidade de sair:
:r) A face cara.
b) A face coroa.
Itesolugio
a) Sabe-se que P(cara) * P(coroa) : l, mas
P{cara) : 2b e P(coroa) : It
entao- Zb + b : -l <> 3b : 1 +b : 1
3
46
Nurn lunc;rmento de unr clado
vcri[icit-sc clue a probabilidade
dc sair ponto 5 6 tripla da pro-
babilitlatk' clc sair outro ponLo
do clatkr I)ctcrnrine a probabi-
liclacle <lc, rrurn langamento.
sa lr:
a) O ponto 2.
b) O pont<-r 5.
c) Um pouto irnpar.
d) Um ponlo superior a 3.
e) Um ponto nao inferior a J.
'tt
I-anqando dois dados, urn l)cr-
feiLo e outro tal que a probabi-
iidade de sair a fitcc scts st'.ja
dupla da de sair qualqucr
outra face do datlo. (.alculc a
probabilidadc clc:
a) Sairem pontos cuja soma
seja 7.
b) Saircnr p()ntos cuja soma
seja infcrior a 4.
c) Sairem pontos cuja soma
scja superior a 9.
d) Sairem ponlos cuja soma
nao seja inferior a I 0.
portanto P(cara) : 2b : 2'
b)P(coroa):b:
'L
l)
2. No lanEamento de um dado n6o equilibrado, a probabilidade de sair
o 2 6 dupla da de sair outro valor do dado. Determine a probabilidade
de sair:
a) Par.
b) Um valor nao inferior a 3.
Resolugio
a) ,{ prohabilidadc srra:
P(b2u b4u b6)
p{b) - 2p(b1) - zp{.b) - 2p(b+} : zp(b) :2p(b) - 2t
mas aP(bl) + P(bl) + P(b3) + P(b+) + P(b) + P{b) : I
t+2t+t+t+t+t:let: L
7
A probabilidade pedida sera:
P(bz + b4 + b; : P(bt) + P(b+') + P(bo)
b) A probabilidade de sair:
I
)114
--TT--
7777
114
777
!*!
77P(b) + P(b*) + P(.bj) + P(b) :
35. Considere a experi€ncia que consiste em lan-
gar duas moedas ao ar e anotar o resultado
das suas faces superiores.
Determine:
a) O espago de acontecimentos.
b) O numero de acontecimentos posslveis.
36. Na prova que consiste em langar um dado e
tomar nota do numero da face superior, consi-
dere os acontecimentos:
A: sair mfltiplo de 3
B: sair nfmero primo.
C: sair numero par.
a) Sao compativeis os acontecimentos A e B?
EBeC?
b) Indique o acontecimento A
c) Qual o acontecimento A U B?
d) Caracterize o acontecimento A n B
37. Uma dada prova P foi executada n vezes; o
acontecimento A, relativo a p, ocorreu x vezes
e o acontecimento B, tamb€m relativo a p.
ocorreu y vezes.
a) Determine a frequ€ncia relativa, respectiva-
mente, de A e de B.
b) Qual a frequ€ncia relativa do acontecimento
contrdrio ao acontecimento A?
c) Sendo os acontecimentos x e y incompati-
veis, determine f,(A * B),f, - frequ€ncia
relativa.
38. Num langamento duma moeda ao ar indique:
a) Um acontecimento certo.
b) Um acontecimento impossivel.
c) A frequ€ncia relativa dum acontecimento
certo.
d) A frequ€ncia relativa dum acontecimento
impossivel.
e) A frequ6ncia relativa do acontecimento
(salr cara)).
f) A probabilidade de <sair coroa).
39. No langamento dum dado perfeito, em forma
de tetraedro regular, cujas faces sdo numera-
das com I,2,3 e 4, determine a probabilida-
de do acontecimento A U B, sabendo que o
acontecimento A 6 <sair um numero impar> e
o acontecimento B 6 <sair um numero infe-
rior a 3>.
40. Prove que:
P(A) + P(B) = P(A U B), Ve, B C E
cios propostos
41. Um saco contdm 12 bolas, sendo 3 brancas, 5
azuis e 4 pretas. Tirando uma bola ao acaso,
diga qual a probabilidade de sair:
a) Bola branca.
b) Bola preta.
c) Bola branca ou azul.
d) noh vermelha.
42.De 30 declaragdes do imposro sabe-se que l0
apresentam erros.
a) Se um fiscal seleccionar ao acaso 5 decla-
raq6es para verificar, qual e a probabilida-
de dessas 5 conterem erros?
b) Se seleccionar B, qual a probabilidade de
pelo menos 1 conter erro?
43. Qual a probabilidade de aparecer 3 ou 6 no
lanEamento dum dado?
44. Langam-se dois dados equilibrados simulta-
neamente. Qual a probabilidade de se obter
uma soma de pontos igual a 9?
45.Uma urna contem I0 bolas pretas e 8 bolas
brancas. Retirando, ao acaso e simultanea-
mente, 6 bolas, qual a probabilidade de se
obter 3, e s6 3, bolas pretas?
46.Uma caixa cont€m l0 camisas das quais 4 sdo
defeituosas. Extraem-se 2 ao acaso. Encontre
ou apresente a probabilidade de que entre
CSTAS:
a) Nenhuma camisa 6 defeituosa.
b) Nenhuma camisa 6 boa.
(1." Chamada - 1996)
47. Numa caixa hii 24bolas de 4 cores diferentes:
vermelhas, azuis, verdes e amarelas. De cada
uma das cores hd seis bolas numeradas de I a
6. Extrai-se uma bola ao acaso da caixa. eual
e a probabilidade de a bola ser um 6? Indique
a letra correspondente a resposta correcta.
A.P:+ n.p:f6-4
c.P:+ D.p:r
24
(1.'chamada - 2000)
48. Numa caixa hii 5 laranjas e 4 maqds. Tiram-se
simultaneamente 2 frutos ao acaso. eual e a
probabilidade de ambos serem macds?
Exe rc
(I." chamada - 200I)
cas, 5
acaso,
lue 10
decla-
bilida-
rde de
r6no
multa-
: obter
t bolas
.tanea-
:dese
s4sio
rcontre
l entre
la - I996)
lrentes:
)e cada
;de1a
a. Qual
Indique
cta.
da - 2000)
iiram-se
)ual 6 a
da - 2001)
E x e r ci c I os propostos
Quatro rapazes e quatro raparigas vdo sen-
tar-se ao acaso numa mesa como a da figura.
Qual a probabilidade de cada rapaz ficar h
lrente de uma rapariga?
10, Scis amigos vdo ao crnema e sentam-se ao
ilcaso em lugares consecutivos. Qual a proba-
bilidade de a Ana. o Omaia e o Rui ficarem em
lugares seguidos?
| | , Quando se altera a ordem dos algarismos no
nfimero L3 Z+5, obtem-se outro. Considere
todos os numeros que se podem obter por
alteraqio da ordem dos algarismos de 13 245.
Qual a probabilidade de, escolhendo um des-
ses numeros ao acaso. se obter um numero
{mpar?
t2. Tr€s rapazes e tr€s raparigas vdo ao cinema e
ocupam os lugares de uma fila, numerados de
I a 6. Supondo que se sentam ao acaso, qual a
probabilidade de as raparigas ficarem nos
numeros pares?
51. Um saco tem bolas numeradas de 8 a 16.
a) Escolhendo uma bola ao acaso, qual a pro-
babilidade de o nfmero da bola ser primo?
b) Escolhendo duas bolas ao acaso, qual a
probabilidade de apenas uma delas ter um
nfmero primo?
54. AMarta tem tr€s filmes de terror, quatro filmes
comicos e cinco filmes policiais.
a) Vai de f6rias e quer levar metade dos fil-
mes. De quantas formas pode fazer a selec-
Edo de modo a levar pelo menos trCs filmes
comicos?
b) Por fim decidiu levar dois filmes de cada
g6nero e vai arrumd-los numa prateleira.
Supondo que o faz ao acaso, qual a probabi-
lidade dos filmes ficarem arrumados por
gdnero?
oooo
55.Langaram-se dois dados. Calcule a probabili-
dade de obter soma 5 ou produto 6.
56. Um jogo educativo tem peeas de madeira
com as formas:
AO!
Cada forma apresenta-se em tr€s cores (azul,
branco e vermelho) e em dois tamanhos
(grande e pequeno).
a) Quantas sAo as peEas?
b) Tirando uma peea ao acaso, qual a proba-
bilidade de ser um circulo vermelho?
57. Sejam x e y dois acontecimentos de um espaeo
E, tais que:
l1P(x): 1,P(* U y): - eP(y):704 3 -'
Determine h, sabendo que:
a) x e y sdo incompatfveis.
b)xCy
58. Sejam A e B acontecimentos de um espaqo E.
Determine P(A n B), sabendo que:
P(A) : 0,35;P(B) : 0,6 eP(A n B) : 0,2.
59. No inicio do ano, o director de uma turma
fez a sua caracterizaqao, na qual incluiu a
seguinte tabela:
6
Escolhido um aluno ao acaso. considere os
acontecimentos:
R: <Ser rapaz.r>
M: <Ter mais de 17 anos.>
Calcule as seguintes. probabilidades:
a) P(R)
d) P(R U M)
b) P(M)
e) P(Ro M)
c) P(R n M)
;, Sina ,
de vqri6vel reql (levis6o)
variiivel real sdo as fung6es em que o dominio e o
o subconjuntos de lR'
sabemos que uma funqdo pode ser definida por:
n.
' Expressdo analitica.
. Grdfico.
Praticamente verifica-se se o griifico representa ou nio uma fungio,
tragand Se elas intersectam o
grrifico io ndo 6 uma funq6o,
ou seja est6 associado urn e
um rinico valor de outra variAvel y'
=)oG--
5tn
o ^'
6 t/
bn '-
o
U
200
I50 2
Dismncia
Para a fungio representada
graficamente, indique:
a) O dominio e o contrado-
minio.
b) A varieivel independente e
a varilvel dependente.
c) Quantos litros de gasolina
gastou o carro depois de ter
percorrido 200 km?
d) Que distincia percorreu o
carro se gastou 16 litros de
gasolina?
e) Qual 6 a imagem por J de
r00?
D Qual € o objecto que tem
por imagem24?
E uma funqio
Monotonia
Ndo 6 uma funqio
Uma fungao € mon6tona num intervalo do dominio se for crescente ou
decrescente nesse intervalo.
Os intervalos de monotonia sio os intervalos do dominio onde a fun-
96o € crescente ou decrescente.
Uma funq6o diz-se constante num intervalo do dominio se nesse inter-
valo todos os objectos tiverem a mesma imagem.
Classificaqio de fungoes
Uma fungdo diz-se injectiva quando objectos diferentes tem sempre
imagens diferentes. r-
Sejah(x):f +4*:
a) Determine h(l), h(2),
h(-I) eh(-3).
b) Determine x se h(x) : 0.
ponto, a funqdo 6 injectiva, caso contr6rio ela 6 ndo injectiva'
Uma funqdo diz-se sobrejectiva quando o contradominio coincide com
o conjunto de chegaOa.
Os intervalos de monotonia sio os
Verifica-se se a funqdo 6 ou nao injectiva, graficamente, tlaqando lectas
paralelas ao eixo das abcissas e se elas intersectam o griifico em apenas um
E injectiva N6o e injectiva
s6o)
Linio e o
,)or:
FunE6es reois de vqriqvel reol
Verifique se os griificos seguin-
tes representam funqoes ou nio.
a)
2. SejaJ: lR - Rt
/ e sobrejectiva
Di: lR;: conjunto
de chegada
taneamente injectiva e
onde o griifico
intervalo toma
intervalo toma
funqio,
iectam o
r fungdo,
doume
cente ou
lte.
)ente.
de a fun-
sse inter-
n sempre
l.r) s
I
g e bijectiva
llrna funqdo diz-se bijectiva quando 6 simul
rolrrt' jcctiva
Indique as funq6es que sao
mon6tonas e os intervalos de
monotonla.
a) ulta--y-.
Fungdo do 1.o grou (revis6o)
(.hama-se funqdo do L" grau a toda a funqdo real de varidvel
rx;rressao analitica €dada na forma:
f(x):axrbcomd,beR.
t) zero de uma fungao e todo o objecto que tem como imagem o valor zero.
adzerodef+f(a):0
(,raficamente, os zeros de uma fungdo sao os pontos
rrt('rsecta o eixo das abcissas.
A fungAo diz-se negativa num certo intervalo, se nesse
r.rlores negativos.
A funqao diz-se positiva num certo intervalo, se nesse
r;rltlres positivos.
A funcdo diz-se crescente se:
Vxy, x2e Dj x1< x2+ f(x) < f(xz)
A fungdo diz-se decrescente se:
f(x):ax*b:a*0e
injectiva?
1;.'
A funEdo g(x) :5 diz-se uma
fungio constante.
a) Represente o gr6fico de g.
b) g 6 injectiva?
\r'jl /: lR - lR
/ r'sobrejectiva J nilo € sobrejectiva
h e bijectiva
ncide com
Yx1, x2 e D1 x1<-x2 + JQ) = J&z)
t
#
s
)
-7
Determine o sinal de a e de b
para f(x) : ax + b, nos se-
gurntes casos:
8
Construa os graficos e faga o
estudo completo das funcoes:
a) f(x) : -2x-r 3
b) g(x) -- 2x
c) h(x; : -,
I
Escreva na forma
f(x): ax*b asfunqoes
representadas graficamente:
a)J
Resoluqlo
a : -30" - a - tga : tg (-30') : - \5
[ung6o f(x) : dx + b, se o griifico de J passa
:2; Jz- Jt: a(x2- x)
2ey:2x
Significado dos coeficientes 4 e b
O coeficiente a € o coeficiente angular ou simplesmente o declive da
recta e determina a inclirracao da recta pois provem de a: tg a, onde a e o
dngulo de inclinacao cla rccta em relagao ao eixo das abcissas.
O coeficientc b c a orclenada na origem porque e a ordenada do ponto
com a abcissa zcr6 (0, h) e determina a intersecEdo da recta com o eixo das
ordenadas.
Dado o dngul<l clc inclinagio da recta, a, o declive 6 a: tg a.
Dados ckris pontos por onde passa o grrifico, o declive 6'. a: Jz - Jt' 
.xz- xt
Tipos de fung6es
Dc unr rttotlo qcral lcrnos:
l. Determine a expressdo analitica duma funqAo afim cujo grdfico passa
por (3, -5) e forma um dngulo de -30' com o sentido positivo do
eixo Ox.
"F
(3, -5) €f--5 - - ]+ 3 i beU:f3- 5;comoflx) : axt-b
,t; 
J
entdo,fx):--?x + !5-:
2.Determineaebda
por (3,6) e (r,2).
Resolugio
n:fz-Jt =..-_xz- xt
I
I
t1
4
-L
+
6-2 :
3-I
y-2:2(x-I)..y:Zx-z
Entao, f(x) :2x
Expressdo algdbrica Designaqdo Grrifico
./(r)'uxllr
Scb:0
[(x): *
Fungao afim
f(x): ax + b
Funcdo linear
Sea:0
f(x) : b
Funqdo constante
0
Fung6es reois de vori6vel reol
:clive da
rdea€o
Jo ponto
eixo das
lico passa
rsitivo do
s):dx*b
le J passa
)
- xr)
Fungdo do 2.o grqu (revis6o)
( lrirnra-se funqio do 2." grau ou funqio quadrdtica, a toda a funEao real
rfl v;rliiivel real cujo griifico € uma parabola e cuja expressao analitica e
rl,trllr nrt lbrma:
Ccndlg6o de pqrqlelismo dos reclqs
\r' rltt,r,, rt'r llrs I t' rn (ndo verti-
I llr | ',,lrr ;rlttitlr'llrs, clas formam
lllgttl,',, rlirrrris ('()rn o eixo das
lltr l',,,,t,, r', ;r0tltrttt(), os seus decli-
YIt o'f ,t t1,,tt;tis. tt1 : a^, OU Seja,
l// m+a: B +tga:tgB-dt: an
t.-:,
r,r r('( tl I passa por (2, 3) e e paralela a recta m
.,\ | 10. Determine a expressao analitica de l.
lllsolrrq-ao
,ff v 2x * l0 logo a: 2
ly ux*b l//m+a:2
(.', |) €l+3:2'2+b+b:I
l'rrtilrrl: y:2x-l
B\
de equagdo
Determine a expressao analiti-
ca duma funqio do I.o grau,
sabendo que 6 linear e passa
pelo ponto (2, l0).
.:
Determine a expressao analitica
de uma funqio do l.o grau,
cujo griifico passa pelos pon-
tos A( - l, 3) e B(L, 2) .
tz
Para que valores de m a fungdo
g(x):(m-3)x*I€
a) Crescente?
b) Decrescente?
c) Constante?
$
Determine o valor de h para
que o ponto (-1, 0) pertenEa
Condigoo de perpendiculqridqde dqs rectqs * r'ut;':o|tlTil.,
llrrirs r.cctas r e s sao perpendiculares se:
Iar: -- qs
,.'
Umarectal:y:ax*b€
paralela ir recta m:
y : 2x * 3. Determine o valor
de a.
I passa por (3,2i'e e
recta m de equaqdo
+ 5. Determine a
analitica de L
l)t'tcrrrrine o declive da recta r perpendicular A recta s: y :
llcsolugio
rl. =3
JQ): a* +bx+ c com4€ lR\{O},b,ce- lR
I
c)
16
S
a
obrer afirmaqoes verdadeiras'
a)
a-0
a_0
'17,
Determine as coordenadas do
v6rtice das funq6es quadrriti-
cas seguintes:
ilfG):xz+)x-l
b)g(x):2xti
18
A figura representa o grr'ifico
duma lunQao quadratica, com
Xt:6 cxv:8'
Determlne x2.
. Zeros da funqlo
Os zeros da tunqdo sao as soluq6es d" oi * bx f- c : 0
-b t\6
L -_ b2 - 4AC , Xr, *r: ---ii-
A > 0 + J(x)tetn 2 zeros distintos'
A : 0 +-JG) tetn I zero ou duas raizes reais iguais'
A < 0 + JQ) ndo tcm zeros'
. Coordenadas do vcrtice
-bAxu: i i Jv: -- o1J
h*xtx": 't-;- ;Yu: l(xu)
o Concavidadc da Parribtlla
;r';; 
^parzibtiltr 
lcrn a concavidade virada para cima'
Z a O -a parab<'ltr lcril a collcavidade virada para baixo'
. Ordenada na origcln
O coeficientc r' (: t'ltattlitclo tlrclclrada na origem pors
x : O + y : c c l('lll-sc tl Ptltrto (0' c)
. Eixo de simctria
Umapariibola(rt'tmal'igLrrasinr[trica'cu'iocixoclesimetriapassapelo
v€rtice e e paralclo atl cixo tlos yy'
Equagdo dcl cixtl dc sinrctria: X: xv
. Transformagio do trin6mio axz + bx'l c
Se xr e x2 sao t"'";;;ll;t J *' + bx -r c'entao esta expressio pode ser
escrita na lorma:
f(x): d(x- x) G- xz)
Um caso particular deste 6 quando x1 6 um unico zero' entao:
J@) : ax2 + bx a 6 + JG) 
: d(x- xr)2
Se (xn, )n) sdo as coordenadas do v6rtice' entao a expressao
f;,; :' "i 
-l bx * c pode ser escrita na forma:
JG) 
: a,(x - x)) 'r Yu
Determine as expressoes analiticas das funqOes quadrdticas segurntes:
b)
a1-0
Fung6es reois de voriovel reol
ridode de fung5es
Urrra fungdo diz-se prr se os valores equidistantes da origem (simetricos)
rclll a mesma lmagem.
passa pelo
() grdfico de uma funqio par € sim6trico em relaqdo
tlxo das ordenadas, ou seja, o ponto (x, y) pertence ao
) e o ponto(-x, y) tambem pertence ao griifico.
io pode ser
Utna fungao diz-se impar se aos valores simetricos de x correspondem
srmetncas.
, analiticamente, a paridade das seguintes fung6es:
s) f(x) : 2x b)S(x):x2-3 c) h(x) : 5x -r 7
Determine os valores de m
para os quais a funqao do 2.o
grau:
a)y:mx2 + (2m- l)x +
l-m - 2, tem a concavidade
virada para cima e duas raf-
zes reais distintas.
b)y: - mx2 r (4m - l)x +
*8m - 2, tem a concavida-
de voltada para baixo e 2
raizes reais iguais.
O graifico duma funEio qua-
drdtica f tem como v€rtice V e
passa pelo ponto P
Escreva a express5o analitica
de/se:
^)v(3,4) 
e P(5, 0)
b) V(-2, -1) e P(1,3)
Construa o grrifico e faEa o
estudo completo da funqao:
f(x):-*+zx+z
paridade.
a) f(x) : x
b) f(x) : 3x
c)f(x) :3x - 2
d)f(x): x2
e)f(x):3* - 2
Df(x):* +zx-t
c, de modo que
f(x) : ax2 + bx +
Ilerolucio
r) Sno dados os 2 zeros, por isso optamos pela transformagdo:
/(x) : axz + bx + c + f(x) : d.(x - x)(x - xz)
/(x)=a(x+L)(x-3)
(4,-Z)e f --2:a(4+I)(+ -3)e -2:5a+d:
lintaoflx) : -?r"+ I)(x - 3) <+ f(x) : -Z *, +
h) Sao dadas as coordenadas do v6rtice, por isso optamos por:
/(r): a(x- x)2 +yventaoxu: I eJu: -2
((), -f) €f- -I: a(0 - 1)2 - 2.+ a: I
I rrrao, f(x) : I' (x - I)2 - Z + J(x) : x2 - 2x - I
_2
5
+6
-x -r
55
f(-x):f(x),VxeD1
;eguintes:
x
Rcsolugio
a) J&) :2x I - ,r-^,., - -il^.\ \4^. --r, .-\ _ . g-y(-x) : -f(x),Vxe D1+ fG) efmpar
,r-v1 : -Lx)
: g(x), Vx e D, + g(x) e parn' 
tt!.; :' ;j , )- g(-x)
L
Classifique, analiticamente, as
seguintes funEdes quanto a sua
Determine os valores de a- b e
c) h(x) :5x * 7 \
h(-x) : -5x + 7 j+ h(x) ndo e par nem impar
I
I
I
l_
Dado o grdfico de
lx'+z,seo<x<3t(Y) : {r\'-/ l+x-t,se3(xs7
a) Determine o dominio de /.
b) Construa o gr:ifico/.
Construa o grdfico dg
[2 ,sex( -I
g(x): lt2r+I,se-Isxs7
12' ,sex)7
e determine o dominio da fun-
qao.
n
Dadas as funq6es f(x) :
)
g\x): -t'
a) Qual € o dominio deJ e de
o'lo'
b) Determinelt), SQ), J@,
/l \ /I\
d ; l'/{; I\zt \-/
c) Verifique, analiticamente,
se as funEoes sao pares ou
impares.
d) Represente, graficamente,
as fungoes:flx) e g(x).
e) Qual € o contradominio de
fedeg?
f) Estude a monotonia das
funE6es.
lz
1,*
l.-2
I
-ex
Fungdo definidq por rqmos
Observemos a seguinte funqdo:
f(x) :
, se x)2
I, se -2<x<2
, se x<-z
Enquanto exemplos fungdo da por uma
fnica expres ca em x, o € reP , Por exem-
plo, por ires s analitic que de o valor atri-
buido a x.
Verifica-se que ncia conjunto
clos valores de flx) nto nde um e
um so valor deflx) o da
Para se obter o grrifico deste tipo de fungoes e necessdrio construir o
grrifico de cada expressio analitica, no intervalo correspondente. Assim, no
caso do nosso exemplo, constroi-se o griifico de JG) : -2 se x € l-a, -21,
o grrifico deflx) : x 1- I sex e I-2, 2l ef(x) : 2 sex elZ, +-1'
Fungdo hom5grofo
A funqio hom6grafa e toda a fungio real de variiivel real cuja expressdo
analitica 6 da forma:
O dominio e constituido por todos os numeros reais que nao anulam o
denominador:
f(x) :## pode ser transformada na formaflx) : B + #;
As assimptotas verticais (AV) s6o os zeros do denominador:
Desde que o grau do numerador seja menor ou igual ao grau do deno-
minador, a fungdo terd assimptota horizontal (AH)'
Se o grau do numerador e igual ao grau do denominador, a assimptota
horizontal 6. a razAo dos coeficientes de x:
--.----x
a por uma
por exem-
valor atri-
) conjunto
onde um e
onstruir o
Assim, no
]--, -2[,
c[.
r expressao
l anulam o
h
fm
Fung6es reois de voriovel reol
Inu d0 nutncrador d menor que o grau do denominador, a assimp-
C:
E - tn '= 0 cntaoflx) : e terd como assimptotas os,eixos coordenados
r[-sc:
T
ax*b
SeJaj(x) : o + g ; determi-
ne os valores de a, b e c, saben-
do que o griifico passa por
/ \ / 5\
II,-21 " 10, -* | e tem como
\ / \ .r/
assimptota vertical x : 2.
L
x
No 1," c )." quadrantes quando lc > 0. A funqdo e decrescente.
Nrr 2," c 4," quadrantes 4uando h 1O. A fungdo 6 crescente.
frtflco de funeAo 1'ro^5grafa 6 uma hip6rbole.
2x*4
c construa o grrifico de f(x) : x-3
lcrolucAo
Tlrttrsbrmas ao def(x) : ++ em flx) : B * ;#
axlb
Sela t(x) : ------:-= determinecx+b
4ec,seAV:x: -2eAH.,
u:4
Paridade
f(x) : f(-x) VxeDl
f(x) epar.
2xI4 r2x-4x-3 x13
flx) nao 6 par.
f(-x): - JG)VxeD1
flx) € impar.
2x- 4 2x+ 4
x+3 --
flx) nao 6 impar.
Variaqdo do sinal
2x++l\x): -------'' x- 5
x-3
Considere as fung6es:
2 x*2
J\x):xeg\x): xz_2
a) Determine D1 _geDy+g.
b) Determine a expressio anali-
ticadef-gef+9.
c) Construa os grdficos d"f - g
ef+ g-
10. Grrifico:
, ., \ 2x-1 4 l0
Assim,J(x): x_3 +Jlx):2+ 
"_,
Estudo da funqdo:
l. Dr = {x€ lR: x - 3 * Ol;Dt : lR\{3}
1, Ponto de intersecgdo com Ox: y : 0 + 2x + 4 : 0 <+x - -2
3. Ponto de intersecq;lo comOy: x :0 oy : + * y : - +
l,Zeros:2x * 4 : 0 n x - 3 + 0 + y : -2
J,Yariaqaodosinal: f(x)> 0sex€ l--, -2lrl 13, +co1
f(x) < 0 se x e l-2,3[ (ver ao lado)
6, Paridade: f ndo €par nem impar' (ver ao lado)
7, / d injectiva; J ndo 6 sebrejectiva; f ndo 6 bijectiva.
8.-h = iO > O + A fungdo 6 decrescente'
9. Assimptotas: AV: x: 3; AH: Y - 2
Operog6es sobre fung5es
Consideremos duas fungoes' / e $,
. (/+ g)(x) : f(x) + g(x)
. (f 'g)(x) : f(x)' g(x)
reais de varidvel real. As expressdes:
' (f - g)(x) : f(x) - g(x)
f.. f(x). vlx): ;(")
representam novas fungdes de x, que se cha. Soma de/com g.
. Produto defpor g.
S"nao u, frr.;;t d.ffi;;
h(x): -2ei(x) - 
I
xf_I'
a) Determine as expressdes
analiticas de (h .i)(x) e
/h\,,l-. l(xr.\r/
b) Determine Dy.i e D 1, .
Considere as seguintes fun_
eoes:
'f(x) : f
'8(x):tr'
o ft(v) : *z
a) As funeoes f, g e h sao fun_
Qoes exponenciais? Justifi_
que.
b) Calcule:
(f+p(o)'f-g)(r)
cujos domfnios sio:
'DJ*s:D1lrD,
. DI. s: D1i Dr
. Df_ s: DyOD,
. DJ: DIn DsO {r g(x) +0)
l. Sejam dadas as fungdes reais de variiivel real: f(x): ./i: " "B(x) : \E.ujos domfnios sdo, respectivamenre:
D1: {x: x € lR,x< -l} Dr: [x:x G lR,x= _1]
Calcule:
d) f(")=
glx)
Resolugilo
As novas fungOes serao:
a)J@) + g(x) : Vt - x +\/t + x
DI *, : {x€ lR:x< 1} O {xe lR:x> -f};Df+s : [_], ll
b) fl") - s(x) : lI_, - \tri
DI-r: {x€lR:x=t} O{xe lR:x= -t};Dt_s:[_1, 1]
c)flx) .8(x) : lr - x .\h + ": /[ -11 . [lJ : lr-2
Dt = {x€ lR:x< I nx> -1 n I * x*0};Dr : l_t, t1
a) f(x) + g(x) b)Ix) - g(x) c) f(x) . sG)
I'
g
Fungdo exponenciql (revis6o)
A fungio exponencial de base 4 e expoente a varidver x de dominio rR €:
onde a e um nrimero real e diferente de l.
Se a ) I a funqdo 6 crescente.
Se 0 ( a L I afunEao 6 decrescente.
Fung6es reois de vori6vel reol
I
g(x) + 0\
i, 1l
nfnio lR e:
L) - o* e a= -e entao,Jf+) : (-e) I :14,que nio 6
l0meroreal. 
- \21
ls fung6es exponenciais definidas por:
= 2xi fz&): (+l' Jz(x):4; f+(x):(+)"
Crlcule:fi(O) +t(0) +/r(0) +/o(0)
Construa, no mesmo referencial, os grrificos de cada uma das fun-
q0es,
Indique para cada uma das fungOes:
lcsolueio
r)/r(0) +Jr(o) +l:(o) +t(0):1+ 1* I * l:4
b)
. O dominio
. A variaeio do sinal
. A injectividade
. O contradominio
o A monotonia
. A sobrejectividade
c) . O dominio de cada uma das fungdes 6 lR.
.Ocontradominio€lR+.
. Todas as fungdes sdo positivas.
. he h sdo mon6tonas crescentes.
. fze f+ sio mon6tonas decrescentes.
. Todas s6o injectivas.
. Nenhuma € sobrejectiva.
Construa os grrificos das fun-
Coes:
/rY
flx) = 3' e g(x)': (
\3/
no mesmo sistema de coorde-
nadas e faga o estudo completo
das fung6es.
Seja g(x) = Af(ax + b) + B.
Quais sio os valores de A, a,b,
e B, se:
a) f(x) = 3' e g(x) :3"* + + 5
b)l@) =Y
g(x):2'f+1-6
c)f(x):3' e
g(x): 3-k-t + 4
d)fk) : x2 e
g(x)= -(x-l)z+4
e)J@): P e
g(x): t-2 + |
Dos anos anteriores, jii sabemos que:
A fungaoflx) : d, com d c lR+\{I} tem as seguintes propriedades:
l.Df:lReDt:13+
2. A funedo exponencial 6 injectiva, mas nAo e sobrejectiva e por isso
Trqnsformqg6es lineqres (revis6o)
n6o 6 bijectiva.
3. A fungdo exponencial ndo 6 par nem impar.
4. A monotonia depende dos valores da base:
. se 0 ( a ( I entio a funqio6 mon6tona decrescente.
. se d> 1 entio a fungio e mon6tona crescente.
5. A fungdo exponencial tem sempre uma assimptota horizontal que
coincide com o eixo das abcissas e cuja equaqao €y : 0.
6. Todos os greificos da fungio exponencial passam pelo ponto (0, I), isto
6, intersectam o eixo das ordenadas no ponto I.
Partindo do conhecimento do grffico duma fungio elementarJpode-se
obter o grrifico de g(x) : Af(ax + b) + B atrav6s de transformagdes.
Eis os passos a seguir:
l. y : flx): construir o griifico de flx) atrayes da tabela de valores (x, y) .
2.y: f(x+b): deslocar horizontalmente o grrifico obtido em 1. em b
unidades: paraa direita, se b < 0 ou para a esquerda, se b ) 0.
->
lr
I
I
I
I 3.y: f(ax+b): multiplicar as abcissas dos pontos obtidos no griifico
anterior pelo factor o!o' A fungio vaialargar na horizontal'
a
4. y : AfGx + b): multiplicar as ordenadas dos pontos do Sr,ali;o anterior
'' i"t"?l:; ,'nl''e'ft"cal ird esticar na vertical para cima se lA | > I
5.y : Aj;lx + b) * B: deslocamento na vertical do grrifico anterior em
B, unidades para cima, se B ) 0 ou para baixo' se B ( 0'
. SeA: -I temooi: -Jfa: simetria do grdfico anterior emrelaqio
ao eixo dos xx. . .-1^ ^
. Se a = -l temo s y : f(-x): simetria do grdficoJem relagio ao eixo
dos yy.
6.AeB s6 arteram as ordenadas dospontos do grrifico def isto €,ape-
nas tCm efeitos *'titui'' Isto impiica que-y : f(x) e y : AJ(x) + B
,i* o *.r*o dominio e contradominios diferentes'
7. a ebs6 alteram 
^,^uUti"utao 
grrifrco def isto e' y : J(x) e y : J@x'l b)'
nio t€m, .- g"'ui' o *"""o"do*inio mas t€m o mesmo contradomi-
g. ill .o.fr.ientes A, a, b e Bndo mudam' na ess€ncia' o trpo de grrifico de J'
Fung6o logoritmicq (revis6o)
A fungtro logaritmica 6 a funqdo a que cada nfmero real positivo x faz
corresponder o logaritmo de x nabase 4:
Dada a funqao:
J&): t+t
a) Complete:
O erdfico de / obt6m-se a
puriit do grdfico d9 Y : T
Itraves dtima translagao de
- 
unidades Parra -'
b) Usando transformag6es- Ii-
neares, construa o gr6fico
deflx)=2:+L'
c) Qual € a equagdo -da 
recta' 
due e assimPtota do grdfico
d"J?
d) Qual €oD'f
Seja dada a funqdo:
f(x) : tot 
)
a)Faea uma tabela e construa
o grdfico de/.
b)DetermineoDl eoD'J'
c) Classifique a fun96o quanto
n injectividade, monotonia e
paridade.
r-_*--
Determine o
seguintes funq6es:
a) fG) : log, (x t 3)
b) g(x) : log3 +
c) h(x) = Iog , (-x)
7
x*1
d) hG) : log, xll
- xz-l
e) l(x) : tog la y
a € nR+\{ 1}
Dos anos anteriores jii sabemos que:
. Dr: [t+
. Dl: [t
. JL injectiva e sobrejectiva, logo bijectiva'
o J 6 mon6tona crescente'
c f nao 6 Par nem imPar'
Comparaqlo entre as funqoes flx) : t e g(x) : logox;a € tr{+\{ IJ
R
n.
Contradominio R-
Monotonia
a)1 Crescente
l<a<] Decrescente Decrescente
Assimptotas A.H.: Y : 0 A.V:x = 0
Entdo: logo 0; Iogo ( - 1) ; log, (-100) ndo tdm sentido pois o Dt: trt*
no grdfico
l.
lco anterior
l>1.
Interror em
em relaqdo
qdo ao eixo
isto 6, ape-
=AJQ)+B
= J@x * b),
ontradomi-
grrifico de/.
rsitivo x faz
*\{I}
)
n€6o trigonom6trico (revis6o)
Qual e o dominio de g(x) - log 
1 
& - 2)?
lcrolucao
Dr= lx cR; x - 2> 0l
X-2>0+x)2 Dr:12,*ol
Quale o dominio de h(x) : tog l{ I
Resolugio
Or={ten'
i*'o
l*x:0<+x:-l
l-x:0<+x:I L-:
I)a an6lise da tabela, verificamos:
Dt : l-1, II
Dos anos anteriores, jA estA bastante famlliarizado com as funqOes trigo-
. f(x) = senx
Da observagdo do grrlfico vem:
I. DJ :7R
2.D't : [-1; I]
3. Paridade:Je impar.
4. f nao 6 injectiva nem sobrejectiva.
5. Periodo principal: T : 2rr, pois sen l2r + xl : sen x
6. A funqdo e monotona crescente se:
"e fo, Tl " ll".,rnl, o"G [0, 2rr]
L ") L.Z J
A funqdo 6 mon6tona decrescente se:
*.fT,?'l vxG[0,2ntlzzl
7. Zeros da fungdo: sen x : 0 <> x : hr;h e Z
S.Miiximodafungio: senx: I<>x: J + 2hr,he Z
x -@ -I I *o
L*x 0 + a +
L-x + T 0
I*x
L-x 0 + ND
a) Construa, usando transfor-
magOes lineares, o grdfico
de g(x) : lo& (x + 2).
b) Determine, graficamente, o
Dre o D'r.
c) Determine, analiticamente, D"
d) Complete: o grdfico de g
obt€m-se a partir do grdfico
de f(x): log, x, atrav|s
duma translagao de 
- 
uni-
dadesparaa 
-.
Dada a fungdo:
h(x):logrx-2
a) Como se obtdm o grdfico de
h apartir do grdfico de
IG): log' x
b) Construa o grdfico de h.
I
Dadas as funEOes:
g(x):T-Beh(x):Y-t
a) Explique como se obt€m os
grdficos de g(x) e de h(x) a
partir de2'.
b) Indique o D'6.
= -R+
.l( \) ('otgx
:,, :":.il}+ tijtiilthl IaU iia,!,itr/+'\l"ttl,,!. I
FunE6es reois de vqriovel reol
Seja g(x) : tg dx ou
g(x) : cotg ax entao o
periodo serd:
J: lx e IR: x * hn,h e Z| -R
x ..- JQ) : cotg x
I t,r ,'lrs.'rvagao do grdlico, vem:
ll)l {xClR: x*hr,heZJ
) lr'l /?
I l'rrr itlade:Je impar.
'l / rriro e injectiva mas 6 sobrejectiva.
') l't'rrodo principal: T : tt
tr r\ lunqAo € monotona decrescente.
| /t'rosdafunEdo: cotgx:0<> 
":: 
lhr,heZ.
H A lunqio nao tem mdximo rr"- *i.rirrro.
tl lrt[racao geral da tangente:
rtrtgx: cotg d,+x: d+hr,h€Z
lungdo peri6dico
llrrrrr l'unQao f diz-se peri6dica se existir um nfmero real T, tal que:
Vx €]R:flx + T) :flx)
;\o rtrmero T chama-se periodo da funqao/.
I'roposiqdo:
"r' 
I i periodo da funqdoJ entdo qualquer numero <nT>, onde
n: +I, -r2, ...
lrurrlrt'nr e periodo da fungao/.
r\o rnenor numero positivo T que verifique a condiEdo dada chama-se
;tu totlo principal.
As l'unq6es trigonomdtricas sdo funEoes periodicas.
r\s lung6es f(x) : sen x e JQ) : cos x tCm como periodo principal
| 2tr enquanto que as fungoes JQ) : tg x e f(x) : cotg x tdm como
lrlr totlo principal T : rr.
l.t,alculecosI590".
Itesoluqio
(.omo o dngulo 1 590" € superior ao perfodo 360", vamos reduzi-lo atraves da formula:
I 590'
l& + nr) : f(x) _l ri"o" | ?u: _- 
t
a ||v |4:n
150:x + 1 590o: 150o + 4'360"
Entio: cos I 590": cos (I50" + 4'360") : cos I50"
l50o e 2.'Q logo cos 150" tem um sinal (-)
Logo cos I 590' : cos I50o : cos (IB0o -- I50o) : - cos 30o : -
L- | |taltl
\5
1: - :;ar:t:;.i\ti:;*[! t\.i \!\l ttL\' :
|.n "'-ll-t't I
entao, neste caso, ela terdt
r f-r, ri -.L l
x
l-+,:l
f(x) : arc sen x
(,trjo gr':rlico scni.
1I
I2tJt
,I
Da andlise do griifico verificamos que:
r.Dr: [-r, r]
2.D',:l-! " 
l, | )') |L - -l
3. Monotona crescente
4.Je injectiva e ndo sobrejectiva.
5. f e impar.
6. Assimptotas: nao tem.
7. Zero de funqao: x : 0
. f(x) : arc cos x
AJQ) : cos x e injectiva se D'y: [0, rr] entao, nesre caso, ela terir
lnversa.
Logo
f, I-t, ]l --+ [0, n]
x,- f(x) : arc cos x
Cujo greifico serii:
f(x) : senx
f-'(") : arc sen x
flx) : cos x
f-'(") : arc cos x
Propriedades:
I. sen (arc senx) :;
2. cos (arc cos x) : 1
3. tg (arc tgx) : x
4. cotg (arc cotg x) : x
5. arc sen(sen x) : x
6. arc cos(cos x) : x
7. arc tg(tgx) : x
8. arc cotg(cotgx) : x
Fung6o trigonom6tricq inversq
As funqoes trigonometricas t€m
goes injectivas.
' f(x) : arc sen x
inversa nos intervalos em que sao fun-
AJG) : scn x t1 injcctiva seD', :
inversa. Logo
x 0
6
TI
4
d
t aL
tl
6
d-7 ll
-3 -t JG):: arc sen x
f-'(") :: senx 0
I
2
\,8
2
I _l
2
y2
-) -t x
6
3
2
x 0
tli TI
4 a t -3 tl-T 6 2
f(x) :
: AIC COS X
f-'{t) :: COSX 1
It
2
t
-) 0 _1
2
_t,
2
-1 x
lue sao fun-
aso, ela terA
+
lrI*)
6
3
2
rso, ela terd
. f{ r ) ;lr.(' lg X
! /i r lrr, r c injectiva se D1 : 3[ "",a", 
neste caso, ela teta
Fung6es reois de voriovel reol
+l
Construa os graficos das Iurr
eoes:
a) g(x) - arc cos x
b) h(x) : arc tg x
c) h(x) - arc cotg x
42
Determine o dorninio, o conlra-
dominio e estude a paridade,
a injectividadc e a ocorr€ncia clc
assimplotas das luncocs seguin-
tes:
a) g(r) : arc cos x
b) h(x) : arc cot-g x
lrr rrr,rlr,, ,lo 1'llrlrto vcrilicamos que:
ll,,llll
r lr/ l() rrl
I i l,,rr,rlUil;t (l('( !'('scente
| / , rrr lr ( | tvrt (' nao sobrejectiva.
, / , rr.rr' l):u (' rrltct impar.
tr \ ,ilnl)l()llt: ttzro tem.
, rl(r,l.r lrrrr('aO:,6 :1
lnl)'t-
f [t - ]0,21
x,--f(x) : arctgx
| 't, t
lti \
Itr
I
I
,rr r.rlrst' clo grafico verificamos que:
l't //iI'I
I \lun(',roeimpar.
| \ lrrrrlrro e injectiva.
If Tl, \..,,r1il1)l()las: y:_ 2ey:,
(r r'{ ro rllr lungao: x : 0.
.r(\):alrccotgx
\ /r r ) (()tg x 6 injectiva se Di : ]0, n[ entao, neste caso, ela serd
' 
| , | | ()j',()
f:n?, - 10, rrl
x,-rf(x): arc cotg r
I r lr r 1',rlrlit'0 sefa:
r(r 
)
I t)ll' \
e) sen (arc tg | )
f)nr..,,rlt.n( l)| \ -/
, '.!- ,. / VJ \
Il , 5rin ( arc sen ) )
I
h) cos /a.c .o, ! \
\ 2)
/*t
i) arc tg {,g *}\ r/
j) cotg (arc cotg 2 006)
TT
) J -4 6
U i T
TI
J
TI
2
J@):: arctgx
co -lt -l 0 6
3
I {t -@
n
6 7 ;
J
'tl
-z
2
3n
.)
-f o
f(x) :
: arc cotg 1
'f oo It I \,5
a
-)
0 I ^E-VJ -m x
Da aniilise do grrifico verificamos que:
l.Dy:lR
2. D'1: 10, rl
3. Mon6tona decrescente
4. J € injectiva e ndo sobrejectiva.
5. J 6. ndo par e nao impar.
6. Assimptotas:y : 0 ey : r.
7. Ndo tem zeros.
Dada a funqao
t'(x): 3 +t2.-x
a) Mostre que o ponto A(4, l)
pertence ao grdfico da fun-
Edo inversa de/.
b) Determine o contradomi-
nio deJ.
Fungdo inverso (revis6o)
Determine a inversa da funqdo seguinte:
a) f(x) : 2log (x - 3) + 2 b) flx)
Resoluqlo
a) J@) :Zlog(x - 3) + 2
y :2log(x - 3) + 2
tt-) 
l-2
+:los(x-3)<+x-3:I0 2
z-
-^tr' .-r,.<>y:10 *3+J-'(x):10
-)
b) f(x) - ----=-- + 3- x- I
2 .^ 2
y:--: - rjey-j: --:_ e' x-I " x-L
+x-L:-] - eJ:-2 - +
y - J x- J
Atravds de varios exemplos, iremos recordar o que foi dado nos anos
anteriorcs.
Seja./ uma l'ungao injectiva sobre o seu dominio DJ. Entio, existe uma
funqio./' ', inversa de [, tatnbem injectiva sobre o seu dominio DJ-r, com
as propriccladcs scguintes:
O dominio da funcao inversa e o contradomfnio da funqio:
D1-r: D'y
O contradominio da funcio inversa € o dominio da funq6o:
D'1-t: D1
Derermine /-1(x) se:
a) JG) :2x - 4
b)flx):dx+b a#O
c)f(x):-) -z- x++
d)flx) : t - 2
e)/(x) - 2"-4
lr \
D IG) : IoBz (,;" - tJ
g)/(x) :2logx
2^
IJx- I
2<+x: l0
x- 2t +3
I_
y-3
r +/-i(x)
+3
Fung6es reois de vori6vel reol
poslg6o de fung6es
duas fung6es reais de variavel
3 g, de dominios D1e D* resPecti-
, r'ltama-se funqao composta de
/ c rcpresenta-se por gol d funEao
rlel'lnida:
-
\,5 X
) nos anos
existe uma
D;-1, com
Dtut {x € nR: x e D1n /(x) c Dr}
A'lttrrcit,r g./ lc-se ngaposf> ou <</seguido de gri.
f: {(0,4), (I,0), (2, 1), (3,2)l
g: {(0,2), (I,3), (2,0), (3,4)l
determine:
a) f.f (0)
b) (g"l(0)
c) UOQ)
a) k'D(l)
Sejamflx) :1fi 
" 
g(i = *,
determine:
u) (/.r(sl
u) (g"l(5)
c) (/"1(-3)
a) k.Jx-3)
e) Dyog
f) Ds"I
ftttrqrlo composta goJ faz corresponder a um objecto ]c uma rmagem
crtttto objecto para a funqdo g.
I corrrllosigio de funq6es ndo 6 comutativa mas 6 associativa.
clueJe g sao permutdveis se:
s"J: J"s
.l'(x) :2x e
r) (/t,s)(3)
c) (/t's)(-a)
t) (i's)(x)
Resolugao
r) (/t'gX3) :/[s(3)l : f(4) : 8
b) (g.f)(3) : slf3)l : 9(6) :7
c) (/t'g)(-4) : ftgea)l : J(-l) : -6
d) (g,,|(a) : glg(a)l : g(5) : 6
c) (['gXx) : JIg@)l : f(x * r) : 2(x+ I) : 2r + 2
D k.'r(x) : gIJ(x)l : gQ-x) :2x * r
g(x): x * 1. Determine:
b) (g.r(r)
d) (g"r(+)
D QO6)
F3
a) f(-2)
b)/(rl
.) (fOG2)
d) f"rr:l
e) (f.f)(O)
Na figura estd representado o
grrifico de /. Determine:
Fung6es reois de voriovel reol
posigdo de fung6es
Drdus duas funqoes reais de variaivel
/ e g, de dominios D1 e D* respecti-
lc, t:hama-se fungao composta de
$m / c representa-se por gol d funqdo
tlt'l'inida:
l)r,,1 = {x CnR: xe Dy nflx) C Dr}
A f rrrrcao g"J lc-se <gaposJ> ou <<Jseguido de g>.
A ltrrrt:do composta gof faz corresponder a um objecto x uma
t'0tno objecto para a funqlo g.
I t'orrrposiqio de funqOes nao 6 comutativa mas e associativa.
Dlz-str que/e g sdo permutdveis se:
.[(x) :2x e
r) (/t,g)(3)
c) (/,'g)(-a)
c) (/.'g)(x)
Rcsolugio
r) (/'g)(3) :/lg(3)l : J(4):8
h) (g"l(l) : gr(3)1 : 9(6) :7
c) (/"s)(-4) : J[sea)l : f?31 : -6
d) k"l(+) : glg(4)l : g(5) : 6
c) $'g)(x) :/[g(x)] : J(x * L) :2(x + I) : 2r. + 2
f) (g"f)(x) : gff(x)l : gQ-x) : )x. r r
I
-
\,5 X
Dadas as funE6es:
/: tro,4), (r, o), (2, 1), (3,2))
s: t(0,2), (I,3), (2,0), (3,4)l
determine:
a) (f.l(0)
b) (g"l(0)
c) UAQ)
a) k.i(l)
determine:
a) (J'fl(5)
U) (g.l(:)
c) (/"1(-3)
a) kd(-3)
e) Dyog
D Ds"J
Na figura est6 representado o
grdfico de /. Determine:
a) f(-2)
b)t(3)
c) (f"fl(-z)
d) (f"rt:l
e) (/"f)(0)
I nos anos
:xiste uma
Dy-r, com
lmagem
g(x):x*I.Determine:
b) (g"l(r)
d) (g"f)(+)
0 k,l(x)
+3
l
2 +Lx-3
l. Construa os grrificos das seguintes fungoes do
1." grau, indicando em cada caso a sua mono-
tonia.
a) y: ax,sea: I;2;
b)Y:x*b,seb:-
c)Y:2x-4
Id)y:-=x-I-L
2. Determine,para cada funqio do exercicio ante-
rior, o dngulo que o seu grafico forma com o
sentido positivo do eixo dos rr.
3. Determine os valores de a e b da funqio
J(x) : ax * b, se o grrifico def
a) Forma um dngulo de 45o com o sentido
positivo do eixo dos xx e passa por (0, 6).
b) Forma um dngulo de -30o com o sentido
positivo do eixo dos xx e Passa por (0, -3).
c) Forma um dngulo de 60n com o sentido
positivo do eixo dos xx e passa por (1, -5).
d) Passapor (0,0) e(2,4)'
e) Passa por (2, -5) e (-3, -Z).
f) Passa por (x1, yr) e (xz,t).
4.Pela leitura do grrifico da funqdo quadrritica
Exe rcici os proPoslos
f(x) : a* + bx * c. Determine:
a) Os valores de monotonia.
b) Os zeros da fungio.
c) O contradominio da funqdo.
d) A equagio do eixo de sime-
tna.
e) Os valores inteiros dexpata os quaisflx) > 0.
0 O sinal de a.
g) O valor de c.
5. Usando transformaq6es lineares, construa os
grrificos das seguintes funqOes:
a) f(x) - 2x+3
b)g(x):-T+!
lt-=
c) h(x) :2'^ 2
d) Determine o contradominio de cada uma
das funqoes anteriores.
6. Represente os grrificos das seguintes funq6es:
a) f(x) : logz (-x) + 3
b) g(x) :2log, (x - 3)
2
c) h(x) :2logr(2x - 4)
d) Determine o dominio e a equaqdo da
assimptota vertical para cada uma dessas
fungdes.
7. Construa os graficos das seguintes fungOes:
I
a) g(x) : Zsen fx
b) h(x) : 3cos 2x -t 2
/ *\
c) k(x) : sen (" - *'l + r
\ r/
d)Determine o contradominio, a paridade e
o periodo de cada uma dessas funqoes.
8. Seja f(x) : A sen x'l B. Determine A e B se:
^) 
D'f : I-3, 3l b) D'J : 12, 4l
c) Di : [4, 8l d) D'J : [0, 4]
e)D'f : t-5, Il f)D'J: [-1,+9891
9. Duma fungdo J sabendo que DJ : l-2,31 e
P": [-L,41.
Determine D, e D', se:
a) g(x) : f(x + 3) b) gk) : -2f(x)
c) g(x) : f(x) + 7 d) g(x) : f(3x)
e) g(x) : J(x+ 4) + 4 0 g(x) : 3f(x) - 3
10. Diga se os griificos das seguintes funq6es t€m
uma assimptota horizontal e/ou vertical e
determine as equag6es dessas assimptotas se:
a) J&) : lo1z(x - 5)
/ r \x
b)e(x):[+l -7' \)t
c) h(x) :2logr(3x + 4) + 5
d) lc(x) - -3 - 24"-5 + 6
I
e) t(x) : ----:- + 2x- 5
-)Dmrxl:-- j- -l2X- J
!: -tr -z2'
2; o;3
F..EXercrctos proposfos
tes funq6es:
tes funqdes:
l paridade e
fung6es.
neAeBse:
4l
4l
1, +9891
: 1_2,31 e
: -2f(x)
: f(3x)
:3J&) - 3
fung6es t€m
u vertical e
rmptotas se:
flgura mostra os grrificos de:
)=2r
'1 = p'J&)
h(x):p.Jk)+t
tcrmine p e q?
Dlclu uma parte do grrifico da funqio.
(,ornplete-o, sabendo que J €:
t) Par. b) impar.
Determine (f"g)(x) e (go-f (x) se:
IG):3x e g(x):x-3
t&):x2+2 e g(x):x-2
[(x):f e g(x)- I
P+t
f(x):logrx e g(x):2x*1
a paridade da fungaoJ * g se:
fepareg6.par.
)Jtpareg6impar.
c)/d impar e g€par.
d)/6impar eg6.impar.
Analise, graficamente, a paridade da fungdo
J@) : arc cos x.
) Determine o valor de h, sabendo que
g(x) : arc cos x * he uma funqio fmpar.
Construa os griificos das seguintes fung6es:
b) s(x) :
, a) Construa os griificos das fung6es:
f(x) : I senxl e g(x) : sen lxl
b) Estude apaidade e a periodicidade de/e g.
18. Deternline a fungdoJ-1, inversa de.f, everifi-
que depois a resposta calculando (fof-r)(x) e
U-Lofl(x),,
a)f(x):4x*I'
4
b)flx) : V,x* o
5x*4 ,3c)J@): Zx_3,**t
19. Sejamfl x) : 2ser 
/ n \
'\"- t/"
g(x) :arc sen I Determine:
2
a) f"g)(x) b) (g"f (n)
20. Sabendo que o domfnio e o contradominio de
JQ) : arc tg x sdo, respectivamente, DJ :.R e
1* *f
D'r: l+, +1, determine o dominio e o con-' )z zL
tradominio de:g(x):2arctgft-+)
\ z/
21. Sabendo queflx) : arc cos x tem Dr: | - I, Il
?D's: [0, n], determine o dominio e o con-
tradominio de:
h(x) :2arc cos (2x + I)
22. Seja dada a fungdo:
I x*I, sexSl
{/ ^,\ -)J\^) -llogr(x- 1), sex) I
Construa os griificos de:
a)y: f(x)
c)y: fllxl)
b)y : lflx) |
d)y: lJ(l"l) |
23. Considere a funqiof definida emR por:
I
f(x):; - x
") 
O","r-rrrirle o domfnio e os zeros.
b) Mostre que f e injectiva.
c) Determine a funqdo f -' " mostre que / e
sobrejectiva.
Irrr r.ss6es num6ricas
r f{rrq,ro de sucessSo
, lr,ililo geral de uma sucessao
' lrrrrite de uma sucesseo. C6lculo de limites e operaqoes
, , ,rrr limites
, lr rr lr,tcrminaqoes
' lrrrrrtcs notdveis
Srrr cssao infinitamente grande e infinitamente pequena
Pror;ressSo aritmetica e progressao geom6trica: f6rmula
(ftr lcrmo geral e soma de n termos de uma progressSo
Ptoqressao infinita
r A;rltr agoes
Ef
sao.
s.
3m6ticos. Lltttiles de sucess6es:definiqdo e cSlculo de limites
t--
DUCeSSOeS
Chama-sc srrccssarl a toda a fungAo real de varidvel natural que se tra-
duz simbolici,lnrcn [c por:
ar: lN--* lR
nd-v
Os pontos, nesta aplicaeao, peftencem ao conjunto dos numeros
rais e as imagens sio nrimeros reais. Portanto, esta € uma aplicagdo <
cial> que nos permite apresentar apenas a sequencia de imagens pois co
o dominio 6nV, este 6 o unico conjunto ordiniirio.
Umavez que a varidvel toma valores naturais, 6 representada
por n e ndo por x.
Sejaaaplicaeaoun: lr 2 3 4
\r 3 5 7
... n \-n€ N
...2n- 1/-yc R
Considere as sucessdes defini-
das por:
2n*I
qn-
n
n7f nnvn:cos 
^ - sen;
TT
a) Catc.rte os cinco primeiros
termos.
b) Represente-os graficamente.
onde o domfnio : IL, 2, 3, 4, ..., n\
e o contradomfnio : {1,3, 5,7, ...,2n - l}
Neste caso podemos definir a sucessdo (aplicaqdo) da seguinte forma
apenas:
un: {1, 3, 5, 7 , ...,2n - r}
Como o conjunto lN 6 ordinririo, podemos concluir que:
. O primeiro nfmero impar 6 1.
. O segundo nfmero impar 6 3.
. O terceiro numero impar e 5.
Assim, sucessivamente.
Representagio griifica duma sucessio
Como vimos na definiEio, uma sucessdo 6 uma aplicagdo denV emIR,
entao, graficamente serd uma sequ€ncia de pontos isolados.
Seja a sucessiro un: lN - lR
n-_"1h:n*l
Nesta sequ€ncia, e na forma de representar, a
fungio tem uma nova terminologia.
un: n * I --+ termo geral
n - ordem do termo
(u) - sucessdo
{unl - contradominio da sucessao
Assim, na sucessdo un: fl * I temos.
ill : I t I : 2 - oprimeiro termo da sucessdo 6 2.
trz:2 * 1 :3 - o segundo termo da sucessdo 6 3 ou ainda o termo
de ordem 2 na sucessio un: n I | €.3.
Como existe uma ordem natural pela qual slo apresentados os objec-
tos, estes designam-se por ordens e as suas respectivas imagens por
da sucessio.
Dado o termo geral de uma sucessdo, 6 possivel calcular qualquer
termo dessa sucessio.
?
1234567
Fung6es reois de vori6vel noturol
rl que se
imeros
caQao <e
ls pors
guinte
r deDJ em
linda o te
rdos os objec
ns por ter
2n * r. 
calcule o valor d.o:u sucessao un: 
3n
ro, quinto e trigdsimo termos.
;t0-(simo termo + dp.
lnf sf rrro primeiro termo - dn + r.
i1,
3.3 9
2.ll_! _ 11
l'5 15
?-:l9l t -3.30
Seja wn a sucessao cujo termo
geral d wn :
Indique, justi[icando, o valor
I6gico de cada uma das seguin-
tes proposigoes:
)4a)3nClN:w,:l
zo
b)0<w,sl:Vn€lN
)
,1
(lt'"
60+l
90
61
90
2n*2II 2n I3
3n-t33n'l 3
Drttlos os primeiros termos de uma sucessao e possivel determinar o
dc ordem n e chama-se termo geral da sucessio.
() tcrmo geral define a expressdo analitica na variivel da sucessio.
Delcrmine a expressao do termo geral das sucessOes seguintes:
)') 2,4,6, B, ..., an
b) l, 3, 5,7, ..., an
c) l, B, 13, 18, 23, ..., an
d) -2,5, -8, rr, ..., an
Rcsolucio
ffi
a
t
pares. Entdo, cada termo
termo respectivo por 2. A
a sucessdo (u,) de termo
nI7
a) Determine os cinco primei-
ros terrnos da sucessao.
c) Determine a ordem depois
da qual:l) llepresenta a sucessao dos nrimeros
obt€m-se multiplicando a brdem do
cxpressio do termo geral 6 an: 2n.
h) Representa a sucessao dos numeros impares a partir de I. Entio
cada termo sera o anterior ao nrimero par. A expressdo do termo
geral € dn--.Zn- -.
c) E necessdrio encontrar a relaEdo que existe entre os termos con-
secutivos, isto €, a operaqio que gere sucessivamente os te os.
Como nem todas as sucessdes tem a mesma caracteristica v os
6
u, 1 -)
ular qualque estudar como determinar o termo geral:
Seja (ur) uma sucesslo definida
senepar
se n € imPar
a) Determrne os seis Primeiros
termos da sr cessao'
12"
b) Averigue tt ft 
6 termo da
sucessao.
c) Para n Par, determine:
1In+t- lln
,"ir* " 
t*-o geral das
sucessoes seguintes:
11
u) 4,2,t,t, O,
-.1 3 7
b) t'7' u' '
c) 3, 15, 63'255, "'
5'0)+5
5'r )+5
5'2)+5
5'3
' :3 + 5(n- 1):31 5n-J=5n-2
an: "'=
d)ar= l-Zl =7:2
az--15l :::2*3
at= l-til : 8:2 + 3 + 3
a+= | lll : ll = 2+ 3 + 3 + 3 -- 2 + 3'3
qn= lanl 
:2 + 3(n+ l) : 2'l 3n - 3 - 3n - I
4n: (-I)" (3n - 1) (porque:1"=:"::::1.].,,.,',, 
o,
ilr;;ri'"ru.,o poderd fazer averificaeao para confirmar os
termos da sucessao'
2. Escreva os cinco primeiros termos da sucessdo (u") definida por:
[2n-l sen€Pat
u-: I" lzn sen6imPar
Resoluglo
O primeiro terrno € a imagem de I que e impar e' portanto'
u':l'.t: ?^ ; SSo, u2 -- 2x 2 - r :3'
Jiu2ea imagem de 2' que e Par' e' Por t
De modo id€ntico' sera:
ut--2x 3 : 6, rt+=zx4 - I:-/ e 1ts:2x5 : 10
E, por exemPlo, rt2oo: 399 e uaal : 802'
3. Escreva os sete primeiros termos da sucessio (a') definida por:
[5-" se n35
^:)'. | -> se n>6In-:
Resoluqio - ^-l
l."t:5-|:4, 4z:5- 2:3' d:,=5-3-2' 44:5-+: t
os-- 5- 5 : 0, do:6 - J : I e a7- 7 - 5--2'
d2s:2O-5:15'
Considere a sucessao (v')
definida Por:
1 _1
vr:li vz:11 ttt- 3
a) Determine os seis Primeiros
termos: 
I
b) Veritique se o nrimero ; e
termo da sucessao-
c) Determine o termo geral da
sucessao'
E, por exemPlo,
Fung6es reois de voriovel noturol
):>n-z
)
- 2:3
- 2:8
i-2:13
)
rnfirmar os
a por:
por:
i-4:l
-3
o mon6tonq
que uma sucessdo 6 mon6tona se for sempre crescente ou sem-
dtcrescente.
A sucessdo de termo geral an 6 crescente se:
, D€ um exemplo de uma sucessio crescente.
Resolugio
(2, 5, 8, Il ... ar) e uma sucessdo crescente, pois qualquer termo pos-
terior 6 sempre superior ao anterior, isto e,
2<5<B<1I ... ou ay1a2 1a3 1aa, 1a5...<d"-r1an
Prove que a sucessao ,r: #6 crescente.
Resoluqio
Temos que provar qua. dn* 1- ar) 0
n*lf I n*I n-1 2 n*I
(n + 2)(2n + 4) - (n + I)(2n + 6)
(2n +" 6)(2n + 4)
): ------;_1_ > 0, Vn € lN(2n+6)l2n+4)
3. D€ um exemplo de uma sucessio decrescente.
Resolugio
(11,8, 5,2... ar) 6 uma sucessdo decrescente, qualquer termo poste-
rior 6 menor que o seu anterior, isto 6, ll > 8 > 5 > 2 ..., ou seja,
a1 ) a2) a3) ...> an - t) an
4.Digase a sucessio de termo geral, an: :+,e monotona.n-r r
Resolugio
Temos que provar que: dn + t. - an ( 0 ou dn t- r - ar) 0
Assim teremos:
n-13 n*2
A.+t-a-:- 
-
--|LTL--||n*2n*1
2n-1 4
<0,Vn€lN.
Estude quanto i monotonia
as sucess6es de termo geral:
a)un= 3n * (-I)n
b) vn : ="f3-
Mostre que a sucessao (un)
definida por:
n*lu":1n+L
€ decrescente.
Seja (un) 
"-ul"..ttt" J"
termo geral un: I * vn.
O que pode dizer acerca da
monotonia de (u,), sabendo
que:
a) (vr) 6 crescente.
b) (vr) e decrescente.
(n+2)(n+l)
A sucessio 6 mon6tona decrescente porque a fracqio e negativa, Vn c lN.
l0
Use as conclusdes de 9 para
classificar quanto d monotonia
as sucessdes definidas por:
Ia)un:2+ I
n
b)vn:3*n
Averigue se sdo ou ndo mon6-
tonas as sucessdes seguintes:
a
a)xr: ---- +5
n'
b) yn: \/E" + |
c) zn: 6(-l)" # n
Sucessdo limitqdq
Uma sucessio diz-se limitada quando o conjunto dos seus termos tem
minorante e majorante, ou seja, quando 6 minorada e majorada.
Um numero real m e minorante do conjunto dos termos de sucessio
(an) se:
t a"> rl, Vn € lN
Um nfmero real m € majorante do conjunto dos termos de
(a,) se:
dr3 m, Vn c lN
se uma sucessdo ndo € majorada e/ou ndo e minorada diz-seque nao
limitada.
o estudo da monotonia de uma sucessio poderri facilitar a classi
qdo de uma sucessao em limitada ou nio limitada, mas as situaedes
muitas c as sucessdes podem ndo ser mon6tonas e ser limitadas tal
podem ser mon6tonas e nio ser limitadas.
Toda a sucessdo crescente e minorada e toda a sucessdo decrescente
majorada.
a) dn:2n * 1 b) bn: (-l)n . n
Resolugio
a) cada termo da sucessd.o (a,) e a soma do dobro da respectiva
ordem com um. Ndo e possivel encontrar um valor que seja supe-
rior ou igual a todos os termos da sucessio. o conjunto dos ter-
mos da sucessio (an) 6 minorado, por exemplo, dn) l, Vn G lN,
logo a sucessdo nio e limitada.
b)A sucessao (br) 6 igual a n, se n 6. par e 6 igual a a - n,se n 6
fmpar. Para os termos de ordem par, a sucessio nio € majorada e
para os termos de ordem impar, a sucessdo nao e minorada, logo (bn)
ndo e limitada.
c) O termo geral da sucessdo pode ser escrito como:
1F ):-vn a l5n' tn'
Quanto maior for a ordem do termo, menor serd o valor da
_5
expressao --,isto €, menor serd o valor real subtraido a !.7n' 3
Assim, a sucessdo € crescente. Sendo cada termo superior ao ante-
rior, o primeiro termo da sucessdo e o maior minorante da mesma:
cr=
)-. n--)
C)Cn: -,Jn-
Mostre que s4o limitadas as
sucessoes de termo geral (un)
definidas por:
)h
a) u-: 
-
nI2
/'- I \nb)u,:I-' "
n
c)un:cosn
3n2
1_5
JJ
Estude quanto i limitaqdo as sucessdes definidas por:
I
1
I
r
)$ ()s valores reais do intervalo l-m,
lcnlr()s da sucessao, isto e, I
4
€ lN, c,
rl sucessdo tambem e majoradajri que nenhum termo 6 superior
lgtrll 1!'
\ =r,a !, Vn G lN. Logo (cn) e uma sucessao limitada.
Ite dumq sucessdo
nltqmente grqnde positivo
Grtttsicleremos a sucessio dos multiplos de 3, dn:3n, em que alguns Justifique que as sucessdes
- 1] *t""ram o conjunto
Fung6es reois de voriovel nolurol
seguintes sAo infinitamente
grandes positivos:
a) rn: 5n2 + 2
b)sn:4+\Ei
c) yn: 9n2
t+
Com base nos grdficos das
SUCCSSOCS:
r -. I I5n: )" e Qn: -)" '
investigue o limite de (d").
Mostre que a sucessao (d.) de
termo geral d.: 3 - 2n 6 um
i nfinitamente grande negat-ivo.
termos te
se que nao
a classifi
ituagoes
las tal co
lecrescente
respectrva
: seja supe-
to dos ter-
,Vn€lN,
-n,sen6
majorada e
la,logo (bn)
o valor da
I) a -.3
ior ao ante-
da mesma:
rr{l():
lstird algum multiplo de 3 maior que todos os outros? Ndo. Pois
lor que seja o multiplo de 3 que imaginemos ainda existe outro
do que ele e todos os multiplos de 3 sao tambem maiores do que o
que rmagmamos.
rros que a sucessdo dos multiplos de 3 e um infinitamente grande
()u que tende para mais infinito e escreve-se:
lim (3n) : *oo ou 3n - +oo
l0: hmite de3n€ *m ou 3n tende para *oo.
to (an) e um infinitamente grande positivo se, e so se, qualquer
rt numero real A, e possfvel determinar uma ordem a partir da
os termos da sucessdo sao maiores do que A.
a ordem a paftir da qual os termos da sucessao an: 3n sdo
do que 300.
>l00enll00
ptrtir do termo de ordem l0I, todos os termos da sucessdo sdo maio-
do clue 300.
nltqmente grqnde negqtivo
Drda a sucessAo, bn: - (3n), em que alguns dos seus termos sao:
-3, -6, -9, -L2, -I5, ...
$e rnultiplicarmos por - I os termos da sucessdo (b,) obtemos a suces-
mfiltiplos de 3 ou dn:3n que jri sabemos tende para *m. Dizemos
que a sucessao (br) tende para -oo ou que 6 um infinitamente grande nega-
tivo e escreve-se:
lim (-3n) : -oo ou -3n- -a
As sucess6es:
[n: fl
^avn: vl'l
wn: fr2
- -1n4n-'
sao infinitamente grandes
em m6dulo.
A sucessao (ar) e um infinitamente grande negativo se' e so se' a suces-
sao (- a) e um infinitamente grande positivo'
Infinirqmenle gronde em m6dulo
Consideremos a sucessd o: cn : ( - l)' 3n'
Alguns termos sdo: -3, +6, -9, +12' -15' "'
Emm6duloostermosdasucessdosioostermosdasucessiodosmrilti-
pto, a" 3, que jii sabemos tende para *rc' Dizemos' entao' que a sucessao
ir"i ""a" 
p"r, irrfinia o" q"t i um infinitamente grande em m6dulo e
escreve-se:
Iim | (- I)n . 3n | : +- ou (- 1)' ' 3n--' q
a) Determine os cinco primer- 
A sucessdo (a^) 6 um infinitamente grande em modulo se, e so se, a
ros termos de (er)
b) Obtenha o grrifico da suces- sucessao ( | o" | ) e um infinitamente grande positivo'
I sao.
Iim/-t\:oou-l -o\ n/ n
6 r,-(-t)"+:0""(-t)".|-o
Dada a sucessao:
en: (-2)n' (n + 1)
c) Prove que se trata de um
infinitamente grande em
m6dulo.
Das sucessOes:
o,:I, bn: n.cn: (-l)n
,'- l l'
d-: nz, en: \-+ 
,
IL
3 000
J":-n 'gn:/'n:
h. : sen !! ', i^: n sen nI
''r Z " z
Diga quais delas sao:
a) lnfinitamente grandes'
b) Infinitamente Pequenas'
Averigue se a sucesslo (cn)
um infinitamente Pequeno:
4n:
ul;!;
-r; - +,-+,
-t, !;-+,
Irt;
I
l.3
lnfinirqmenie Pequeno
ou infinif6simo
Dadas as sucessdes e alguns dos seus termos:
I
Un: -'''n
1
vA -''n
I
w- : (-I)n=;,.n
Verificamosqueemqualquerdoscasosostermosdassucess6esseapro-
ximamdezerosemnuncaassumlressevalor'Dizemos'entao'queas
sucessOes tendem para zero ou que convergem para zero ou que tOm por
limite zero ou ainda que sio infinitesimos e escreve-se:
ri-(!):oou I 
-o\nl n
A sucessdo (an) e um infinitamente pequeno ou infinit€simo se' e s6 se'
-:-- )^n JULLJJAV \anl v _^_^ _---
-.a 6 p*uqrrufqrr",'q""sejaDepossiveiencoltrarumaordemapartirda^s
. n > 0 quul todos os termos sao em modulo menores que 6'
l, {,,
1,.1,,
ll
grande ne
lo
io dos mrilti-
te a sucessao
m modulo e
soes se apro-
ntao, que as
que tem po
r Se, e SO Se,
a partir da
FI
=l--l
FunE6es reois de vori6vel noturol
l9
n2+-
Mostre cue -# - 0.
n'
Conllrme que tende p)ara zero
a sucessdo de termo geral:
, :4(-l)2n+t
'nI ,n'-r I
As sucess6es:
I- - einfinitamente pequeno.
fl,
n-+ch: ,* ernlrmtamente
+ UUU
llilt(lc.
essqo convergenle
llrrr;r sucessio € convergente quando existe um numero real a que € o
llrrrtll
f lrrr,r strcessao de termo geral (ar) e convergentepara d, com a € lR,
rr,,r', (r,, - a € infinit€simo.
llt,' .,r' tambem que a e o limite da sucessdo dn e escreve-se:
an- d ou lim an: a
I lrrr,r srrcessao que nao 6 convergente e divergente.
rrrf o i definigdo, prove que an: #lconverge para2..
2n
--)-
2n-2n-2 -2
n-|l n]_I n-1 7
| -) | -r
rrtr | ----:- | < a € um infinitesimo, podemos dizer que (a. - 2)
lr?-1_ll n
Utn inlinitesimo, ou seja, que (an) tende para2 ou que tem por limi-
l, rrrr que (an) convergepara2.
rrrtls ainda que:
I Uttrrr sucessdo (arr) e convergente para o se, e so se, dn - a 6 um infi-
nltesimo, ou seja,
t' Vb > 0, existeuma ordemdepois da qual la, - al < 6
hln condigao e equivalente a
-6 ( an - a<6 <> a - 6 < an1 a* 6
rl;r.trllrr ir (luc dn e valor aproximado de a com erro inferior a 6. Tamb6m
Slfvc: rt,,€ Ta (a).
Tl (rl) f0-sc <vizinhanqa de centro a e raio 6> e representa o intervalo
Ian: -n
br: + )
n-l
Il(- .._ u- - '"Vn"zil
sao infinitdsimos de refer€ncia
Da definiEao de sucessdo
convergente resulta imedia-
tamente que todo o infinit€-
simo 6 convergente para
zero.
Os infinitamente grandes
sio sucessdes divergentes.
Diga em cada um dos casos se
a sucessdo e convergente ou
I ---o
n
divergente.
a) an: 2"
/ r \nb)b_:l:l
\2)
c) d": (-l)'
r-l)n
d) e, : '----:'
n
nTl
e) Jr: sen t
(
122
Recorrendo a definiqao prove
que:
,nz
aJ ---:- + I'ntI2
,,4n-12 2D, 
- 
--'6n-r I 3
4-)n
c) --,1 - -2ll-fllrr b,a*6[.
23
Recorrendo i definigio prove
que:
, 2n*l
A) Un: 
"
nao converge para I.
3nb)un: g"+r
I
nao converge para -.
2nIl
lt:-'"n 3nr3
1
converge para 7. Determine
5
a menor ordem a partir da qual
os termos de un sAo valores
)
aoroximados de : com erro
J
A sueessdo definida por ctn:'# convsrge para2,-
Determine a menor ord.iir a partir da qual os termos da sucessdo sao
valores aproximados de 2 com erro inferior a uma mil6sima.
Resoluqio
an 6 valor aproximado de 2 com erro inferior a uma milesima se:
lo,-Zl <0,00I
lo,- zl < o,oot .t 2n-1 3
n
'h- (fr) : ffi: t ,',+ o, v n Grv eb * o)
. Iim /+) : -rm (se a * O eb : O)
\b"l
.lim anbn: lim arliT b' : 4to (aebnaopodem ser simultaneamente nulos). tim\li : Vli^ o^ : y; (se lc e par, a > o)
< 0,00I <+
2n-1 3-2n < 0,00I <> < 0,00I <+< 0,001 <+
3+n) ^- <+n>3000
U.UUI
Os termos de ordem superior a 3 000 sio valores aproximados de
com erro inferior a 0.00I.
C6lculo do limire de sucess6es
Se (4") e (br) slo duas sucess6es convergentes e lim (a^) : a e lim (b") : b.
Entao, verificam-se as seguintes propriedades:
. lim (ar, + b) : lim a, * lim bn: a I b
. lim (ar, - bn) : lirn an- lim bn: a - b
. Iim (d" 'bn) : lim ar'limbn: a'b
3
n
3
n
inferior a l0-4.
25
Determine lim att se:
a) a:4
b) a: -5
,2.c) a: -- j
il a:Nt
e) a : 0,99
f) ,t : 1,003
26
Calculc os limites das suces-
soes scguintes:
/na)a,,-1
't
n*l
D) D-:'n
limh:h(lc:constante)
11+@
1+!eb-:-+n"\/n
(' '*) :r;rim(#) :'
rr propriedades anteriores e indique:
(an - bn) b) lim (a"'b")
IFE e) hm d-b,
Investigue o limite de cada
uma das sucessdes:
, 6n*I
a) on: --5n
/ I \nb)bn:5-l;l
\J/
Verifique se sdo verdadeiras ou
falsas as igualdades seguintes:
a) Iim /f\' : o
\21
b)lim(n2-2'10100):0
c)lim I :o
5
l?"
d)limf+ zn) :o
\ ,,r- /
c) hm (i-)
D hm (!^)
na se:
0,00I e
nados de 2
!s
lim (bn) :
lfrn(ar-b,):1-0:l
lftrr (4, 'b^): I'0:0
lrrrr (fo) : * : +- (a sucessdo 6 divergente)\b"/ u
Itrrr V[+4 : 14 +0 : r
llrrr {-4: fl[ : 0
tt,,'/4) :9:o
\d"l I
ls sucess6es sdo divergentes, teremos:
r Se lim dr: *a elimbr: {m, gntdo
lim (a" + bn) : *m, simbolicamente, (+oo) + (+m1 : (+-).
r Se lim an: -* e lim b, - -m, entAo
lim (a, - bn) : -oo, simbolicamente, (-*) + (--) : (-*).
r Se lim dn: +a e lim bn : -oo, entao
lim (a" . bn) : -oo, simbolicamente, (+-) ' (--) : --.
. Se lim d^: d, a € lR\{O} e lim bn : -+- oo, entao
Ilm f : 0, simbolicamente, + :0, V a e lR\{0}.
Dn
la+' : o
.Se0( o.-l,errtao I
[4-- : *oo
[d.+* : +*
I.SealI,entio 1 rla_*: a*_ 
:0
. (*m)+-: *o
. (+@)--: ----l--(*-)*-
Ir 
-n
+oo
As sucessOes:
Un: ll
vr: li
wn: n2
y :)n\n
sao infinitamente grandes
em m6dulo.
t6
Dada a sucessao:
e,,: (-21,. (rr I l)
a) Dctcrntirrc os c.irrr o pr rnrt.i
ros tcnnos clc (r.,,)
b) Obtcnha o gr-uli(.() tlrr srrt.t.s
sao.
c) Provc qLle sc Inlt2r oc tul
infinitarrentc granclc crrr
rnoclulo
l7
Das sucessdes:
Iq,:i; b,: n; c,, : (_l),,
dr: n2; er:
3 000{-.ln - , $r: 2n;
t
Vn : --i
n
Iwn: (- 1)':;
n -t,i'-+'
ffi::::ff1r:?) rende para _m ou que e um infinitamenre srande nesa_
lim (-3n) : -@ ou _3n _ _aOU -)n+-a
A sucessio (a') e um-infinitamente grande negativo se, e so se, a suces-sdo (-a,) € um infinitamente grandJpositivo.
Infinitqmente grqnde em modufo
Consideremos a sucessdo: cn : (_t)r 3r.Alguns rermos sdo: _3, +0,'_q, fiZ, _.,,s, ...Em moduro os termos da sucessao rto o, termos da sucessao dos multi_plos de 3, que jii sabemos tende para f oo. Dizemos, entao, que a sucessio
:::*":3: 
para infinito ou que i um infrniramenre grande em m6dulo e
lim l(-11,.3nf : 1- ou (_l;,.3n _ oo
A sucessao (a) e um infinitamente grande em modulo se, e s6 se, asucessio (1""1) e um infinitamente grande positrvo.
Dadas as sucessdes e alguns dos seus termos:l
un:!: 11.f.n -, 2, 3,...
-t: - l. - 1.' 2' 3'"'
n.:sen "" i
21'lr
Diga quais delas sdo:
a) Infinitamente grandes.
b) Infinitamenre pequenas.
].9,.
Averigue se a sucessd o (ar) e
um infinitamente pequeno:
:nsentrfr
z
verificamos que em quarquer d.os casos os termos das sucessoes se apro_ximam de zero sem nunca assumir esse valor. Dt.;;;;,;;rao, que assucessoes tendem para zero ou que convergem para zero ou que tcm porlrmlte zero ou ainda que sao infinitesimos e escre\e_se:
limf l):oou 1*o
\n / n
A sucessio (a,
;fll.:::,J;ai :ilJt;f,"::T:1,,ffi::?
ores que 6.
/ r\hm(-+):oou-I*o
\ n/ n
hm (-r)"+ : o o, /-r)' . 1 ..* o\ /n \-) n
, n( 6
n>0
fnfinitqmente pequeno
ou infinif6simo I
(ilr(
sc(
itltc
e grande
ise,a
sl
El
FunE6es reqis de voriovel nolurol
19
n)+n
Mostrc quc ---;j + 0
Confirme que tende para zero
a sucessAo de termo geral:
4e l)2n + t
t:
n2+l
As sucessdes:
;do dos mu
uea
em modulo
e, e so se,
;soes se a
ntao, que
que tem po
llo
I se, e so se,
a partir da
I
qn-
n
b^: +n'
tt,, rr t' infinitamente grande =r;:1 U ,nfi.,r,umente pequeno.
n
- +000-..... ' n2 .. t...
fr - ,r, " 
rnlrmtamente pequeno + an: 
4-OO0 
e rnhnitamente
ltntrrlc.
s6o convergenfe
tlttrr sucessio e convergente quando existe um numero real a que e o
lltrrl tc.
lllrlir sucessao de termo geral (a") 6 convergentepara a, com a c lR,
+ rrll \(" dn - a e infinitesimo.
f )r,' sc tambem que a e o limite da sucessao ,ln e escreve-se:
do- a ou lim an: 4
I lrrr:r sucessao que ndo € convergente 6 divergente.
rrdo ir definiqio, prove que d,, : #lconverge para2.
lcsolugao
-2n
lltt 2: 
- n*I n*lnl
< Z e um infinitesimo, podemos dizer que (an - 2.)
n
6 tttn infinit6simo, ou seja, que (an) tende para 2 ou que tem por limi-
ft 2, ou que (a,) converge para2.
ucamos ainda que:
1,1c-:------a-:-"Vn"2n
sAo infinitesimos de reler€ncia.
_1- 2n-2n-2 -2.
Da definiEdo de sucessio
convergente resulta imedia-
tamente que todo o infinit€-
simo € convergente para
zelo.
Os infinitamente grandes
sdo sucessdes divergentes.
2l
Diga em cada um dos casos se
a sucessio 6 convergente ou
I *o
n
-2
n-tl
fl('rcv(:: arEY6@).
'V'n (a) l€-se <vizinhanEa de centro a e raio 6> e representa o intervalo
olrr-6,a*E[.
' llrrrrt sucessao (ar) e convergente para a se, e so se, an - a e um infi-
iltt('slmo, ou seja,
Sc V 6 ) 0, existe uma ordem depois da qual la, - al < a
| ,,t,r t ondigao e equivalente a
-6 ( an - a<6 <> a - 6 < arl a I 6
,rr',rrrlrt'il que ane valor aproximado de a com erro inferior a 6. Tambem
divergente.
r rtra) an: z
/ r \nb)b-:l:l
\2/
c) d": (-1)^
r - l )"
d)e,:' -'
nnn
e) J": sen t
\,22
Recorrendo A definigdo prove
que:
n2
a) -:-+1'nzl2
4n*) )b) -i -1or1 -f I 5
4-)n
c) --,f --2n-r'l
23
Recorrendo a definigio
que:
- 2n-fl
A)un: 
"
nao converge Para I
3nb)un: g"+L
nAo converge Para
24
A sucessio:
2nl l
-'n tnl )
)
converqe ltara I . De lcl'tttitrc
{
a menor ordcm a Partir da qual
os termos de u,, sio valorcs
,2
aproxlmados de J 
com crro
1^ L
rnterlor a lU '.
'25 
'
Determine lim att se:
a)a:4
g) 6: -5
\Lc)a: t
il a:lT
e) q: 0,99
0 a : -1,003
26
Calcule os limites das suces-
s6es segurntes:
,2n
Uan: j
n*1b)b": 
-
''n
limlc:h(h:constante)
1'l+@
-1
+n> ,* en>3000
U,UUI
Os termos de ordem superior a 3 000
com erro inferior a 0,001.
< 0,00I <>
sao valores aproximados de 2
l,
2
2n*3
A sucessio dcfinida pot an: -; conv€rge pata-z'
Determinc a menor ordem a partir da qual os telmos da sucessao sao
valores aproximados de 2 com erro inferior a uma milesima'
Resolugao
a,, (' valor aproximado de 2 com erro inferior a uma milesima se:
lu,,-21 <o,oot
lu,-zl <o,oor*t -2
2n*3-2n
n
< 0,001 <> { 0.001 <+ < 0,001 <>
2n*3
J
;
3
n
Cqlculo do limire de sucess6es
Se (ar) e (b,) sio duas sucess6es convergentes e lim (ar) : a e lim (b,) : b'
Entao, verificam-se as seguintes propriedades:
. lim (d, + b,) : lim a, * lim br: a j- b
. lim (an - bn) : lim a, - Iim bn: a - b
. Iim (an 'b,) : lim 4,' lim b, : a'b
.ri,ofi-) : ll-3 : ! {b^+o,vn€[V eb#o)
\b"l llmDn 0
. llmi +\: -rm (se a * O eb : o)
\D"/
.lirn a,br: lim arliT bn - ob (aebniopodem ser simultaneamente nulos)
. Li1n\la, : {Lr^ o, : !; (se lc e par, a> o)
esrma se:
( 0,001 <>
ximados de 2
)es
z e lim (b,):
:reamente nu
rm propriedades anteriores e indique:
lltn (a,, - bn)
lln t/i^+E e) tim fl-b,
l)llrrr(4"-b,):1-0:1
b) linr(an'b,):1'0:0
b) lim (a,'b^) c) hm (g')
0 h'' (2-)
lf fuce$soes:an: r+ ! e br: +'
Investigue o limite de cada
uma das sucessdes:
. 6n*I
A) an: --Jn
/ I \nb)b"::-l;l
\r/
Veri.fique se sio verdadeiras ou
falsas as igualdades seguintes:
a) lim /l'\" : o
\2/
b)lim(n2-2'10roo):0
c)lim!:0'3
"E-vtn
d) hm f+ .zn) : o
\r1- I
c) lrrrr (!a) : + : *m (a sucessio e divergente)\bn/ u
tl) lirrr Va, +[ : /1 +!- : I
r) lirn /-5n: VO : 0
Dlirnlb"):9:o\anl r
5f as sucess6es sao divergentes, teremos:
. Se lim An: +a elimbr: f oo, entiO
lim (4" + b) : *m, simbolicamente,(+oo) + (+oo; : (+-).
. Se lim dn: -q e lim bn : -oo, entao
lim (a" - b,) : -m, simbolicamente, (--) + (--) : (--).
. Se lim dn: lq e lim b, : -oo, entao
lim (a" 'bn) : -oo, simbolicamente, (+*) . (--) : -*.
. Se lim dr: d, a C lR\{O} e lim bn - -r- m, entao
hm f : 0, simbolicamente, + : O,V a€ lR\{Q}.
Dn
.Se0(a(l,entio
. Se a ) l. entAo
(+
lo
1_la
fa+- 
: o
1
Ld-- : *oo
*: *m
-:*:o
a''
rf r rl):r;umf;l) :o
\ 11 / \ vn /
I. Se a, -3; bn* i, .,
(c") e (d.) sucessdes de
--+ -oo; d, - la e en - 0 sendo (a), (bn),
termos positivos. Qual e o limite das suces-
b) (dn' cn) e)(bn)d"
-oo b) dr,Cr- -* OZ -od)Z-**
r) b) lim 3' n*4 c, Irm 
-n
l) : Iim 2n* liml : 2. (+oo) + I : *m f tr : *rc
lim3 3 3
Iim(n+4) *m*4 -fcrc
Ir
-5'lim - 
: -5 .lim : -5 .0 : 011 +oo
Mostre que:
-4n*4a)lim --,-#- :0
(n r rr-
b) lim (-4n3 * 500) : -oo
c) lim [(-4)" ' ln + z1 : *
rn ?)n
d) lim _Y_ : 0
+
soes?
a) (4n. cn)
Resoluqio
a) an' cr-
e) (b,)d,' : o
2. Calcule:
a) lim (2n *
Resoluqio
a) lim (2n f
b) lim 3
' n-t4
-5c) lim :
h
u,(4
"(+)
I
Indeterminqg6es
Das operag6es com sucess6es diferentes podem resultar vdrias indeter-
minaqdes como:
oo - oo; 3; -o; 0 . oo, I-
Das operaqdes com sucess6es convergentes podem resultar indetermi-
naeoes como:
9ouoo
0
Quando efectuando alguns c:ilculos se determina o limite diz-se que
se levantou a indeterminacio.
Indeterminog6o *-
Levanta-se esta indeterminaqio, normalmente, colocando em evid€n-
cia no numerador e no denominador os termos de maior pot€ncia.
As indeterminagdes * . O . oo transformam-se muitas vezes, depois de'0
efectuad.os alguns cailculos na indeterminagao a.
FunE6es reqis de vori6vel noturql
,(a), (b),
das suces-
e)(bn)d"
*l:*oo
viirias inde
Itar indete
nite diz-se q
Ldo em
tencia.
rezes, depois
,, 2n3
llnl *n'-rI
d) lirn
2n . r : lim Z :4n4
,*[1
Y tl l-
Determine lrlg a, se:
a) a,:1
crda um dos seguintes limites:
'# b)rim# c)hmT#
,. n*\/n \r. 3n+I
llm 
- 
el rilii2n 2"-5
1
2
: lim ---1-: lim +: lim (2n): +a
*('. i)
s,z(r.+)
-a,. )n' ,. ) :0:Ilm 
# 
:llm-: Iim
:lim n .l:lim I
2nZ
/ T \3n(1+ 3" )
2n
_1
2
?n+lc)lim-#:lim
L"-)
1l-nz _ 7n
Calcule lim -;i;
,. 3',:llm-
2n
:rim(+)" n2-rl
o)a:
l- 5 \)nlL--l-t )nl\ -/
Comon)0
l"l:"
2n-f 5
Dum modo geral dados dois polinomios de graus, respectivam ente j p
e q, tem-se:
31
Determine lim a- se:
F)'-. )11- -r Ja)ar: ilJn'-+
b) a,: 2-3nI4n2
.le) a-:
3n
h) a,:
a6nP I d1flP- r +... + on aonP
bsn4
: limbgna*bpa-t+...+bo
: -T sep: q"
=aseP)4
=0sep1q
n*2
n-I
lndeterminog6o oo - oo
Calcule:
a) lim (3" - 4)
Dependendo do tipo de sucessoes envolvidas utilizam-se normalmente
dois mdtodos para levantar a indeterminagao.
i) a,:
r rn*2 ' rtt)'z f z
rn+2 ' anz -rz
(3n - 5)2 (n + 2)3
(n2+25)(3n3-5)
(n - 10)85 (n - 105)25
Resolugio
a) lim (3" - 4") : co - m. Levanta-se a indeterminagio colocando a
maior pot€ncia em evid€ncia.
lim (3' - 4'): timl-*'1-3') : tlrn f -+'/t - {)l :
L \- 4',)l
: rim [-+, (, - (1)')l : rim (-4,) r : -coL \ \+//l
b) lim (-r) + n) : -m + co
lim(-n2+n):h ['l' n \l-ltm[-n2fr - !).l*L_'-\'_7/i I \ ntl
: lim [(-n2) . 1] : --
c) rim (l;i - \6): oo - ."
,. \f2r+1-\E;
llm-:
I
b) lim 1-n2 + n) c) lim (\6i - l;)
Neste caso levanta-se a indetermi-
naczro multiplicando pelo conju-
gado ambos os termos da fracgdo
j) a":
(2 - nrsl+ (n3 + tt)
32
Indique. justi[icando. se sdo
verdadeiras ou falsas as seguin-
tes afirmaqoes:
-3n I n2a)lim , :-3
-r) : +*
/1 )n
c, llm I' ll 2n-!tJI\
,l 41n'- )n -r n'
\rll::
/z
_4
7
: lim
: lim
(\,E, + r - \,8) (\t, + r + l;)
ffi+6:limffid) lim
- tn'
L +f2n
1 _^_U
-Fm
Nr
I
lllt t'
lr ttt ,
Itr l,r
lltn t,
! lt';
Nr1,
Fung6es reois de voriovel noturol
de Neper e o limire not6vel
/ 1 \n
fuccsstlrr (a,,) definida por dn: ll +: | , verifica-se que a
\ n/
moll(l1()na crescente e que o seu crescimento € cada vez mais
xlttru-sc de um certo valor. Verifica-se tambdm que ela 6 limi-
0t s('trs Lermos estao no intervalo t2,31 . Sendo mon6tona e
lln c t'onvergente. O limite da sucessdo 6 um numero irracional
-sc llcla letra e e chama-se constante de Euler ou nrimero de
I\n+a
-l :e
n/
l\hn L
-l :e^
n/
h\' t
-l:e*nl
.tim(r+
. rim (r
. ri- (r
Itrn /t +
\
Itrnft -
Iim (r +
timfr + edo)
/5
lim(t + g2
tim /r +
/2
lim 
11 
+
fr *1)":.
\ n/
r 1.7 | tl28r 1828...
-sc que:
/ I \c"
r llrrrI I + -j- | : r,sedn+ +@
\ a"/
/ 1 \n*arlirn[1+ , I
\ n-r aJ
/ I \n t.limlt+=l:eT,kcR\{o}
\ nnl
r'
l,
t,
+.
).
6. e'l:e
,L
lfl
rormalmen
- l;)
a indetermi-
pelo conju-
s da fracEao
1^ :U
*oo
7. lim( ': 
)'
: 
)' )-':
:
8. lim ( rt- -2
e. lim / rt- :
n rim (+3)": rim(r. #t)"*'-' :
/ I \n+2'limlI* 
- 
| -\ n-r z I
1
e2
: r'- 
[(' 
. +)l
/ 1 \_2: lim {t + --i^ I
\ nf z I
:l.e:e
hm |,r * Z)"
\ n/
ro rim (r . +)t: nm (r +
: rim 
[(r 
-'
: ri- [/r +
L\
- /-2\0 - r
- \L,,/ - 
f
.:.
Calcule:
/ I \tta)rrmlI+^ |\ rnl
/ <\2nb)limlr+:l
\ n/
/ 1 \3r
c)limIr - -r I
\ 11 /
/ I \n+Id)limft+:l
\ nl
/ s \n
e)limlt- -1 I
\ 2")
/ t+) \"
Dlim{ "' ^ )
\ n-r J /
rli,
lli'i
ili
ill
ll
FunE6es reqis de voriovel noturol
)l
io qritm6ticq
as seguintes sucess6es:
{, 6, ll, l0 ... a,)
prltnctra d uma sequ€ncia de numeros pares, isto 6, a diferenqa
obter o termo0 tertno seguinte e o anterior € 2, ou seja, para se
Idlciona-se a mesma unidade, neste caso 2 (dois).
tegunda sequ€ncia tambem tem as mesmas caracterfsticas, isto 6, a
cntrc os termos consecutivos € 3 (tr€s).
Cotno sc verifica, sao duas sucessOes <especiais> em que a determina-
scus termos obedece a uma ordem estipulada por um valor cons-
tlttt' c' adicionado sempre ao termo anterior para se obter o seguinte.
tl;lo de sucessdo da-se o nome lle progressao aritm€tica.
l irritmetica.
dni r - dn: d, Vn € lN or dn11: dnl d
dcl'iniqao de progressao aritm6tica resulta entio que:
r Sc d ) 0 a progressdo 6 mon6tona crescente.
o Sc d < 0 a progressio 6 monotona decrescente.
r Se d : 0 a progressdo € constante.
mq progressdo qritm6ticq
Sejam 4t, az, ay ...i 4n os termos de uma progressdo aritmetica.
Assim:
4r: dL
A2: A1l d
d3:d2 ld.:a1 -fdld.:a1 *2d
d4: d3 * d: a1* 2d * d: a1-f 3d
h: dt+ d+ d+ .................. + d+
(n - 1) parcelas
Seguindo a mesma lei de formaqdo podemos determinar o termo geral
ou o termo de ordem n:
llrrra progressio aritmetica 6 uma sucessdo
(l()is termos consecutivos e constante. A d
em que a diferenea (d)
chama-se razlo da pro-
Indica as que sao progressoes
aritmdticas:
a) (1,3, 5,7...)
b) (2,4,6,8...)
c) (3, Z, lr, r5...)
d) (:,1,3,3...)
e) (5,3, r, -r...)
I) (Vr \,U, \/1,14...)
Duma progressao aritm€tica
(an) sabe-se que ay: 5 e
4z: 9-
Determine d e a3.
\n+2)l :
ar: al 1)d, Vn € lN
Determine o d€cimo quarto
termo ar+ e o termo geral
das progressOes aritm€ticas
segurntes:
a) a": (5; 9; 13; f 7...)
b) s": (7;4; l; -2...)
Verifique se (un) € uma pro-
ssio aritm€tica:
a)u": > - ln
b)il":n2+I
,4
C) Ur: -n
d)ur: n-1
u",".-i.r" u-dil;;;;;
primeiro tenno 4r duma pro-
gressao aritmetica, sabendo
que o seu nono tenno €2 e o
seu d6cimo terceiro termo
e -10.
ResoluQio
Dados
tl:t|r, 4': dt + (n - r)d 
{t::? L
Logo 7 / 15\4r5: dt + (f 5 - l)a e drs: 50 + +4 (- ;)*
2
l. Determine os termos a5, a.26 da progressio aritmetica cujo primeiro
termo e2earazAo€,d:3.
Resoluqio
Dados
4r: 2 an: or + (n - l)d cln: dt. + @ - l)d
d:3 aj:2 + (5 - l)3 + ctzo:2 + (20 - I)3 <>
4s: ? + a5:2 + 12 as dzo:2 * 57
azo:? +a5:14 ec.zo:59
2. Determine o d6cimo quinto termo da progressao aritni6tica se d5: 35
e A21 : -25.
5d
<> _25 <> _25 <>
(-
I
60 
* 1|a:-yIro
35: a1+ (? - t)a
<>
-25: a1* (21 - l)d
..{- -+ * {:'::'- 
(-+) 
" l:::;'|5:50
5
2
FunE6es reois de voriovel nolurol
dumcr progressdo qritm6ticq
COnsideremos os oito primeiros termos de uma progressdo aritmetica:
23
4710131619
23
23
Attrrliscmos o que sucede se o numero dos termos for impar:
dos n primeiros lermos
r primeiro
i<>
Se d5: 35
1,, Considere (u") uma progressdo
aritm€tica de razilo d,sendo u1
o primeiro termo e 5, a soma
dos primeiros termos da suces-
sao.
a) Se u1 : 3 e d: 4, calcule
1r7, r.r15 e 51s.
b) Se u5 : 6 e d: -2, calcule
u1, u19 e 55.
c) Se u+ : 16 e ue:3+, calcule
qed.
d) Se d : 3, e u5: 17, calcule
Uy
e)Se ualu5lua=63 e
u1s -f uD: 102, calcule d e
lt1.
Numa progressao aritmetica,
tem-se u2: 21 e u6 : 384.
a) Determine o primeiro termo
eataz o.
b) Calcule a soma dos 10 pri-
meiros termos.
62
2
25 28 31 34 37
L-6- |
62
- r)d
<+
l-r)a
'ulando pelo processo anterior, teremos:
\ = (25 + 37). ! * t : (25 + 37). 2 + (25 + 37). + 
:
: (25 + tn. (z- +) 
: (25 + 37)' +
60
r6
n termos consecutivos de uma progressdo aritmdtica, a soma
tcrmos equidistantes dos extremos 6 constante e igual d soma dos
Se houver termo m6dio, esse serrl igual a semi-soma dos extremos.
quer n seja par ou fmpar, a soma dos n termos de uma progres-
€ dada por:
41 ?. ensio o primeiro termo e o riltimo termo a somar.
a soma dos 12 primeiros termos da progresslo aritm6tica (4,
16, ,.,).
15:50
+
+
an: dt
. at l- Ild
r4+II'4+
r ,+ + 44:48
+ (n-l)d 5',:
Srz :
<+ Sr2 :
2
4+48
'I2e
12+
<+ s,, : 52 . 12: 312
2
.. - fu, :2un- I
L'n*t:u'-7
a) Calcule os quatro
primeiros termos de (u,,)
4l
Seja a sucessio (un) definida
por:
b) A sucessdo (u,,) e uma
progressao aritm6tica?
c) Estude quanto a
monotonia a sucessdo (u,,).
d) Se a soma dos primciros
termos de (u,,) 6 -93,
quantos tcrmos sc
somaram?
42
Quantos numeros pares ha
entre 200 e 20 000?
Por outro lado, a formula da soma pode
sabemos que o termo geral e dn: a1 I (n
(ar + a") tSn:f.n'ASSlm'
^ nlat I a1 I (n - I)dl
,.2
ser escrita da seguinte forma:
-l)aeasoma6
6 -3 e o orimeiro termo 6.23. Cal-
+ (n - r)d]
'/:to
tlt,,+ (n - r)dl
Numa progrcssao aritm€tica a razAo
cule a sotna clos l5 primeiros termos.
Rcsoltrr;rio
I)aclos
d-., l
u1 ''- )\
23+14
,.: il'.^
( -3)s.:rl z' 2l
e srs - P,ou - 42) + J.)'
:15
z
Progressdo geom6tricq
Observe as seguintes sucessdes:
(4 , L6, 64 ...) e (48, -24 , 12, - 6...)
Facilmente notamos que se trata duma sucessao ndo aritm6tica, pois a
diferenga entre os termos consecutivos nAo e constante.
Mas se em vez de adicionarmos os termos anteriores multiplicarmos
pela mesma constante, notamos que se trata talJjrbem de sucessoes (espe-
ciais>, onde o quociente entre os termos consecutivos e constante.
As sequ€ncias com estas caracteristicas dA-se o nome de progressao
geometrica e o quociente de razio da progressao geomdtrica.
Uma progressdo geometrica e uma sucessAo em que a razd,o (q) entre
dois termos consecutivos 6 constante.
A"+t
a, 
:4,Vn € lN (a, # 0) ou dn+r:4n'4
A monotonia da progressdo depende pois dos sinais do primeiro termo e
da razd,o, podendo verificar-se os seguintes casos:
I at ) 0 a progressAo geom6trica e monotona crescente.
rgg4)Ie1' t a1 1O a progressdo geom6trica 6 monotona decrescente.
' Se 4 : I a progressdo geometrica e constante.
. Se 0 < q<t 
" {ot 
> 
!aFogressaogeom€tricaemonotonadecrescente'
la1 ( 0 a progressio geom6trica e mon6tona crescente.
' Se q ( 0 a progressao geometrica 6 ndo monotona (oscilante).
FunE6es reois de voriovel nofurol
'l
Calcule arazao das sucess6es seguintes:
a) 4,16,64, ...
b) 48, -24, 12, -6, ...
Resoluqlo
") + : tr6 - I + q: + earazdodaprogressio geometrica.164
b) -6 : 12 : -24 :_! _'r2-24482
+ q : - +, a razd,oda progressio geom6trica.
Termo gerql
dumq progress6o geom6tricq
l. Se numa progressdo geom6trica dt: I e q: 3, calcule aa.
Resoluqio
h-tan: at' 4" d+ : I . 34 - 1 o o* : 1' 33e da : 27
2. Determine o quinto termo du
meiro termo e 2 e a razAo 6 -
geometrica em que o pri-
Verifique se as sucessoes sao
progressoes geometricas e cal-
cule a razAo.
a) (3, 8, 15...)
b) (-18, 6, -2...)
c)(1,f -a,I-2ata2)
d) a,b,ab (b * 0)
Determine o decimo termo
das seguintes progress6es geo-
metritas:
il
As medidas expressas em
graus dos Angulos internos de
um quadrildtero constituem
termos consecutivos de uma
progressdo geom6trica de
razao 2. Qual 6 a medida de
cada dngulo do quadriliitero?
e 23. Cal-
I
r)d 
I
I
Sejam dL, d2, d3, ..., dn- r,6In os termos duma progressao geom€trica. a) (16, -g,4...)
Assim: li \E \
ar:dr b)(;, ., .t )
r"z:clt'Q 44:d3'4:dt'qz'q:4t'43 \z
a3: a2'4: h'q'q: at'42 d5: a4'4: 4t'q3'q.: at'4+
an: h.4'-r,Vn C lN
retica, pois a
rltiplicarmos
ssoes (espe-
rte.
) progressao
:do (q) entre
reiro termo e
crescente.
decrescente.
l decrescente.
I Crescente.
ante).
Resoluqio
-- ldn: at' 4"
6s: 2 (-g)" oo,: r. (- +)- +d5:, (.+).-
+ a<: z.( !\* I
- \16/ 
as:T
onde (4") e o termo geral da progressio geom6trica.
46
Determine o termo geral das
seguintes sucess6es:
a) (3; -6; 12; -24; -48...)
b) (3:2: 1, 9, 16'..)
3927
c) (5; 11; I7;23;29...)
d) (5; -ll;17; -23;29...)
^,( lT z z\E o ...)CJI :
\ 5 9' 13 17 I
Podemos obter outra f6rmula para o termo geral duma progressao
geom€trica.
Sejam ane amos termos duma progressao geom6trica de ordem n e m
(n> m) derazao q.
Al,42, Aj, .,., Ayn, An
Assim,
[an:at'4"^,_t,oJu: 
,, (r-', o h _ q, l-m* to an - qn-^
1o^:at'4^-' um (4'q- ' a^ ' a^
dn: d^'qn-^, Vn € lN
Numa progrcssao geom€trica o nono termo € 512 e o quarto termo e I6.
Detcrmine a razao e o termo de ordem um.
n/-!,'\ 4'
9
o,f
3._ 5 7
8' 16' 32'
)
:',47:
Seja (b,) uma progressao geo-
m6trica de razao r, tal que
a ^--4z: r' e A7 : .L)O.
Determine:
a) Arazao e o primeiro termo
desta sucessAo.
b) A soma dos vinte primeiros
lermos.
ar: d*' 4n 
m
Rcsolugao
Dados
a9: 512
aa: 16
q:?
l{l - :
as: a4' qn -'+ dg a+' 45 + q5 : 3-9- +
(.r+
+ q5: + * 45 
: 32 € q: lt2. o q: 2.
Entio: a+ : at' 43
16: a1' (2)3 + 6r: 16
8 * at: z
"'t qan
d"-i
n-ldn: ar' 4"
Somo dos n primeiros termos consecutivos
dumq progressdo geom6tricq
Dum modo geral, se dt, d2, d3, ..., dn sd.o os n primeiros termos duma
progressao geometrica de razdo q,
5r:drla2-la3 1...*an
4'Sr:4at-tQdzt4att
- 
+ \+
42 A3 A4
4Sn- Sn: qdn- dr mas
5, (q - I): q'at4" '- o,
5, (q - l) : ar(q" - t)
a, (a" - l)
i^: ---: , ou )n :'' q- I
FunE6es reois de vqri6vel nqturol
r progre
rrdem n e
ermo e 16.
A soma dos n termos de uma progressdo geometrica de a1 como pn-
termo e q como razd,o 6.:
It'ule a soma dos quatro primeiros termos de uma progressdo geo-
rica se dr: -2 e q: -3.
llcsolugio
5,, :dI H
5+ : -2 + S+: -2'
- 160
<> )+ : ---.- :
4
md dos lermos dumq progress6o
m6tricq infinito
Dadaa progressao geomdtrica (ar), consideremos a1, o primeiro termo,
g razilo da progressdo:
hm(a1' 1-o^ ):lims,\ r-q I
Se a sucessao (Sr) for convergente, entao o seu limite e a soma de
rutivos os termos da progressdo geometrica (a),
termos du
A sucessdo Sn nio e convergente se >1.
lim(a1 i-T):ctt +- 4n-oporquelql .r\ r-q I r-q
S. lq | < I, (Sn) 6 convergente e a soma de todos os termos da progres-
gcomdtrica (a") 6:
I. Calcule a seguinte soma:
0,2+ 0,02 + 0,002 +...
Resoluqio
Trata-se da soma duma progressdo geom6trica em que d1 : 0'2 e
q: 0,r
Sn:lim5n:
A1
I-q1
e calcule a soma de <todas>
as 6reas dos quadrados entre
a Iinha a cheio e a tracejada.
Escreva na forma de fracqao a
dizill:ra infinita 3,(f 2).
0.25n:r-cF+rn:
z
10-2
9 =' )n:9
IO
2. Escreva na forma de fracqio a dizima infinita e peri6dica 2, (7).
Resoluqio
Repare que2,777... :2 f- 0,7 + 0,07 + 0,007 + "'
A soma 0,7 + O,O7 + 0,007 + ... e a soma dos termos da progressdo
geometrica de primeiro termo 0,7 e razao 0,L
7
10^7S,:; I '*5n:9r- 
ro
Entdo
) (7\:)+L-25
-\\t/ 9 9
cejada.
Resolugio
As medidas das dreas estao em progressdo geom6trica de
medida d.e areado primeiro semicirculo e ], entao:
I
razao - e a
A
1
2tr:-
3
rt+
23sr: e5,
Exe rcicios propostos
lne rts tr€s primeiros termos de cada
dlr succssoes definidas por:
rln-5
-21'nr
* ( 2)t'+1 - (-2)"
n2-r1: 0,2 e bn- \E
I,'."(+)\-/
f.(lttc se - € Lermo das sucess6es seguintes:
L
.t )
l) 1,, : 3 - n2 }fn:
. *+r
3) g,: 
"
c) c, : [(-1)' * l]n d)dn:r*+
rrogressao
rnadamen-
metade do
[, calcule a
l linha tra-
tclc a monotoniadas seguintes sucess6es de
nltos gerars:
il,,: | - 3n b)bn: n2 - r3n+ 45
C) t,, : d)c,: (- t;"
1
:azao - e a
4
DC exemplo duma sucessio que:
l) Seja crescente e convergente para 0.
b) Sela um infinitamente grande em modulo.
c) Seja decrescente e convergentepara -3.
rl) Seja nlo mon6tona e tenha limite igual a 0.
e) Tenha uma subsucessdo a tender para 0 e
outra subsucessdo infinitamente grande
negaflva.
ll, Verifique se as sucess6es seguintes sio ou nio
limitadas:
2n*7
ir) dn: b) bn: n-12
l-n
5n
6. Considere a sucessao:
or:4P
n-1 2
a) Determine a5.
b) Verifique se o numero ,"a I e ou nao termo
5
da sucessdo e, em caso afirmativo, indique a
sua ordem
c) Verifique se a sucessdo e m rnotona.
7. Calcule o lim a, se exrste:
. I -2n2a) a-: --:-
nzl2n
b) an: n*5
. h2*lon-I
uI w-: 5n*3
^ ^T-d)a,: zn+vn
'' 3n*I
, 1-lTn'
?) cin: - Ln'-r )
f)an:1"+2-ln-r
-1n+ I - 1n
6)qn- tn]-lT
8. Dada a sucessdo definida por: an: 17 
- 
2n
3
a) Calcule o termo de ordem 20 e investigue se
os numeros 0 e -5 sio, ou ndo, termos da
sucessio.
b) Mostre que (ar) e uma progressao aritme-
tica decrescente.
c) Calcule a soma dos 20 primeiros termos da
sucessao.
9.Para cada uma das progressdes aritm6ticas
indicam-se os cinco primeiros termos, deter-
mine expressdes dos respectivos termos gerais:
a) 0, 6, 12,18,24, ...
b) I,5,9,13,L7,...
c) 1, -5, -11, -L7, -23,...
10. Calcule os seguintes limites:
a) lim !1
n-* 3n
3.2n+6.5r_t_l
2n2 - 3n-____-_
(n t- I)\/n2 + t
d)
e)lim ( "t -n--\n*2
0lim/r*f\}n*-\ nJ
/ 1 \n
g)lim lt--i In*-\ n+ 2 )
b) lim
n+@
c) lim
n+@
n2+3
nI I
h) lim
n+@
i)lim / n2+1 1"n-o\ 4z + 5 )
i) lim , 8n
n+@ 2n+ | + 3n+z
k)|ry- to/fi -li>t
l;6,o / 5n-z 
1:'n-o\5n+3)
m) lim f-'
n+@ 2-n
n)tim ir - {\''--\ n)
/ rr4no)lim[t+:1
n*_\ n/
p)lim f+J+)'.'n-a\Zn_ lf
q) rim (, - !\"*'n+@ \ 3r/
,n/ 1\7r)limlt+:1-n*-\ n /
Exe rcicios pro
Y
postos
ll. Numa progressdo aritm6tica, tem_se u?, : 90
e tt6 : 2 430. Determine:
a) ut e arazAo. b) uro
12. Num estudo feito num laboratorio, verificou
que uma dada cultura de bacterias aumenrava
10olo por hora. Sabendo que se iniciou a cul_
tura com 150 bacterias:
a) Quantas bact6rias existem ao fim de tr€s
horas?
b) Ao fim de quanto rempo o nfmero de bac_
tdrias triplica?
13. A sucessao (u,) e uma progressio geometrica
de razao 0,3 e u2: 0,9.
a) Escreva o termo geral da progressdo.
b) Determine o termo de ordem 20.
c) Calcule a soma dos 20 primeiros termos.
14. Calcule a soma das primeiras l0 pot€ncias de
2 de expoente natural.
15. Considere a (serpente
quadrada> representada
na figura. O primeiro
(arco> tem B cm de lado,
o segundo 4 cm, o tercei_
ro 2 cm, e assrm sucessi_
vamente.
4
a) Indique o termo geral da sucessao dos
comprimentos dos .(arcos> da serpente.
b) Calcule o comprimento da serpente consti_
tufda por 10 <arcos>.
c) Calcule o comprimento da serpenre,
supondo que lem infinitos (arcos).
6. Considere a sucessao de termo geral:
qn:2'4l - n
a) Prove gue (ar) € uma progressdo geometrica
I
de razd,o !.
4
b) Calcule a soma dos cinco primeiros termos
da sucessao dad.a.
c) Calcule a soma de todos os termos da
sucessio (a,).
Exe rcicios ProPostos
r (r,l ,t,,), ,, l.,iFii;it:ilra. ',,.;':'iir:'i'f; 
i
l-Se il3 :
, verificou-se
; aumentava
riciou a cul-
fim de tr€s
nero de bac-
l geom6trica
essao.
10.
:iros termos.
pot€ncias de
4
ucessdo dos
serpente.
?ente constr-
ra Serpente,
:cos>).
eral:
ao geomdtrica
neiros termos
rs termos da
, Na espiral da figura o primeiro segmento."t"*
1,6 cm e cada um dos seguintes mede i
tltt anterior.
a) Determine o comprimento da espiral que
esLi desenhada'
b) Se continuassemos indefinidamente a espiral'
sera que o seu comprimento seria infinito?
Mostre que nio, indicando o comprimento
total.
Itl. O Manuel pretende fazer um canil para tr€s
cdes de forma rectangular' com,800 m2 de irea'
Serii vedado torn '"d" 
e dividido' tamb6m com
rede, em tr€s partes rguais' como se mostra na
figura.
o?i"r*it" as dimens6es do canil de modo a
que o gasto em rede seja minimo'
Escolha mriltiPla
2-5n.
19. A sucessao de termo geralun- - t- e:
A. Convergente
B. Nio mon6tona
C. Limitada
D. Si*e,ri.u de um infinitamente grande posi-
tlvo
20. A sucessio de termo geral vn - 3-2''
A. E uma progressdo geom6trica de tazS'o 3 '
B.
C. de razAo I/9'
D.
2I. Uma sucessao convergente € sempre:
A. Mon6tona'
B. Limitada'
C. Inversa de um infinitamente grande'
D. Um infinit6simo'
22' A sucessio 
rrrt r.nv tJn: sen -T "'
A. Monotona
B. Convergente
C. Divergente
D. Progressio geometnca
23. rJmasucessdo mon6tona € sempre:
A. Convergente
B. Limitada
C. Um infinitamente grande
D. Positiva ou negativa a Partir de
ordem
24. A somade duas sucess6es divergentes:
A. E sempre uma sucessdo divergente'
B. E semPre convergente'
C. Pode ser convergente'
D. Nlo 6 uma sucessao'
certa
25. A sucessio de termo geral:
/ I\n
un: _ 
\_ Tl
A. Nno 6 monotona'
B. Ndo 6 convergente'
C. E um infinltamente grande em m6dulo'
D. Nio 6limitada'
26. Se a sucesslo un 6 tal que
un - ltn+ t ) 0, V n e lN' entio:
A. un € uma Progressao aritm6tica, 
.
B. u' nio e uma progressao geometnca'
C. und decrescente'
i. ieum infinitamente grande positivo'
Limites e continuidade de fung6es
. Limites de uma funqao
. DefiniqSo de limite de uma funqio num ponto
. Fung6o infinitamente pequena e infinitamente grande
. Operaqoes com limites
. Propriedades dos limites de fung6es
. Limites not6veis
. Cdlculo de limites
.Indeterminagoes
Continuidade de funcoes
. Definigao
. Fungoes contlnuas
. Limites laterais
. Propriedades e operaq6es sobre funEoes contfnuas
. Limites infinitos
Limites e continuidode de fung6es
Nog6o de limire
do nosso estudo e, dada a funEdo y : f(x), saber se contro_I independente x se pode saber o q". u.o",.." ?r variiivel
,,'11"
Seja / o gr:ifico representado e
definido pela expressao:
x*l
I(x) : 
-
- x*2
Complete:
lim f(x):x++@ -
lim f(x): _
X--@
lim f(x) :
x+-2
lim f(x): _x--z
A tabela e o griifico sugerem que i medida que x se aproxim a d,e 0, yaproxima-se de -3.
Diz-se que:
. O limite deflx) quando se tende para zero e _3 e escreve_se:
|g3 rx) : -:
' Quando x se aproxim a de -2 o limite de f(x) nio existe e escreve-se:
ltgr/f"l nio existe
Assim, o de uma funqao num ponto pode existir ou nao.
. ,o valor d te pode obter-se po..r-u simpres substituigdo da variiivelindependenr
No caso anterior:
|g /r*; : liq +: e': ! : -,x+u- x-o xl2 O+2
lI
I
ie contro-
i variiivel
is de um
d o valor
:2_6
c1t'a
----t
de0,y
'eve-se:
ariiivel
Em muitos casos, o calculo do limite duma funEdo num ponto pode
obter-se por concretizagtro da variaivel independente.
Calcule cada um dos seguintes limites:
a) liqx3
x+2
b) lim^(x2 - t)
JC+U
c) lim^
x+u
ResoluEio
a) lim f :23:8
x-2
b) lim (x2 - t; :02 - I : -l
x--0
xz+5 02+ltJ.'lIB 
"+I: 6*t:'
Considere-seagora a fungdo real de varidvel real:
f(x) : *-+
x-12
D/: lR\{-2}
Graficamente, a funqdo ser6:
. Pela leitura do grafico tem-se: Itgr_r/C"l - -4.
O valor -4 ndo pode ser obtido por concretizagio da variiivel x na fun-
x2-4 o -qaoflx) : # pois obtem-se o valor f,,t"" ndo e um numero real. Este
exemplo sugere duas notas importantes:
. O limite de f(x) quando x se aproxima de a nAo depende do valor de
f(a). O limite, se existir, 6 apenas dependente dos valores de/ quando
x*aexseaproximadea.
. Para calcular o limite duma funqdo num ponto, 6 importante conhecer
as tecnicas de ciilculo de limites, pois nem sempre a simples substi-
tuiqdo da variiivel independente resolve o problema.
Limites e conlinuidode de funE6es
w
x'f )
"+ I
Determine:
a) lim
x-+@
2
b) lim 
-x+-@xtI
-lc) lim 
-x+-@ lc t J
5
d) lim lx-I X- I
e) lim-
x+z x2-+
f) lim - -+-^-x--j lXJ t)-
5
xa.3
Propriedqdes dos fimites
Se f e a funqdo corrstan1c,.,( x) : h, entao paraqualquer valor de a G lR:
l\ f@ : f;g;h: h
Sef e a funqdo iac'ria:rtlc, .[(x) :x, entdo para qualquer valor de a € lR:
!111f&) 
: a
Se L1 e L2 sao doisnir rrl('ros rcuis e fgSf"l : Lr € W@: L2, entao:
' yyiu+ d(x) : fgs{"t * },g/r"t : Lr * Lz
'\rry"(f ' O&): lg s&) .tim,y1x) : L1 . L,
'H(f)o =
Calcule:
a) lim T
x+2
d)tim(p-lx+
Resolugio
a)IimT : Tx+2
c) lnrnr(-3h_+ 5)
o)lg ("? - z* +
(x-l)(x2-ri
-
x2
lir4 (x -
lim x2x-I
0 lim
'l'g tfr"lt" : tt;gf&)]" : Li
' r:\W@ : E /(, : \/l2,Lz > o se n e par.
L'= 
il,com 
L1 # 0
-5
1) : 
irrl1 
(x2) + lim_ (-3x) * lim Ix+l x_l' x*l
:l-3*l f
e) lim
x-l lgi r" - l)(xz - 3)___
lim x2
x-l
I) 'Iry, (P - 3)
f--l _lx-rJ
/ "-3
: lim
I
(
Limiies e conlinuidode de funE6es
. , t: 1r I ,.:, r, - ,, ,i'llt :ron/4U{{4{Ef&'w"r"$ia,.n5rii}l 1'{i.ljiifi:':,ia.?]-ijrtl;'.1'dif'li}]i#4i.ril!r}
Llmites lqterois
lx , Se x<2
Seia f(x) : .|..-J-.J\.., 
lX + Z , Se X) 2
Observando o grafi.o concluimos que d
rrrcdida que x se aproxima de 2 a funqao flx)
rrilo se aproxima duma constante fnica.
Diz-se que nio existe limite deflx) quando
r tende para2 e escreve-se:
Ndo exisre I'lrl") ou VWA)
Quando x se aproxima de 2 pela direita, flx) aproxima-se de 4'
Escreve-se:
, lg f@):4
(L€-se: o limite lateral a direita de 2- de JG) e 4).
Quando x se aproxima de 2 pela esquerda, f(x) aproxima-se de 2'
Escreve-se:
\Y f(x) : z
(L€-se: o limite lateral d esquerda de 2 de f(x) 6 2).
Aos limites referidos chamam-se limites laterais.
5e existirem os limites laterais de uma funqio num ponto, o lirnlls 4n
fungao nesse ponto existe se, e so se, os limites laterais forem iguais.
tes laterais
x+ a-'.
sex20
l-:-, sex e lR[
c)flx): fx'+2
[z , sex€lR
para a: o
f -3, sex( -I
Id)flx):1 rr- r
t;='sex2-r
para a1 : -I
scx(0
sc x 5 -3
sex) -3
Em quais das alineas do exer-
cicio anterior existe limflx)?
x+a
=.-- I
(x2 , se x(.2
f(xj: I _J" 
l-x+6, sex)2
Existirii l"rgflx) : I
Resoluqlo
Calculam-se os limites laterais:
ll+fl"1 : li+ (x2) : )2 : 4
l'+/("1 
: 
l\'I] (-x + 6): -2
lim f(x) - b + lim (x) : lim [(x) : b
x+ar x+a-" x+a-'
Considere a funqlo real de variavel realJdefinida por:
-t6:4
o",'"T1""":1jll':""T"",*;, j?,;,','ff:;*+J"ff_T:1?*T::
rais, quando x tende para 2,ou seja,
Esre resultado pode ,". .ojr?tufl 
:'
qao do griifico. r--- Jrr LUr'.'raclo geometricamente pela observa-
"";,:i ;fr0"i,:,ff"1ffiT1#,T,tff 
,1,,,,-,, " 
d e u ma ru n E a o qu a n d o a
funEao ar"rr" po.r,o
Definigdo de fimire
o do conceito de limite,
e do franc€s Cauchy.
, por ser a mais utilizada.
em a. possivel excepEio o" or"T''l"ilffi ffiJ::il#:
Escreve-se:
limf(x) = 6x+a-
Se dado qualquer e > O e possivel encontrar um 6 ) O, de modo gue:
Ix _ al < 6, entao lf(x) _ bl < 
"
.lim flx): lim f(x):2x+_t- x-l- .' '
'limf(y1 : 2x-1
. A funqao nao estd definida no
ponto x : I
' JT.,("):r' l'{_ f(x):t
. NAo exisre 
Irgi fCl
'-f(t; : ,
' ItIl,/("):z; lirn f(x):1x+l- x-l- r'-
. Ndo exisre lEffrl
. f(I): I
.lg.-f("):o,l,S- f6):z
. Nao exisre |EfCl
. A funqdo nao estd definida para,c: I
' iiT- /r"l : tim f(fl : 4x+z x_2- " '
.lim_ f(x) : 4
'f(2) : 7
. lim_ flx) : 11111 f(r) : r
x+l x*l- r.-
'lim f(x) : 2x-l -
.f(r):t
limite de
nites late-
observa-
l quando a
lo valor da
e limite,
chy
utilizada.
intervalo
definida
',lrrrlrolicamente:
rlYf(") : u
Ve )ol 6(e) > o, I x- dl . a- lfd -U1 <e
v
-Lc
b
-t
b
b
a-6 a a*6
I
'x
Limites infinitos
Consideremos as funeOes reais de variavel real:
e g(x) : 1
1
euando o limite de uma fungdo num ponto a € lR e um nrimero real, o
limite existe, e o que acontece quando x---' I para as funqdesJeg.
Quando o limite de uma fung6o num ponto a e lR nao e um numero real,
o Iimite nao existe, e o que acontece quando x -- 0 para as fungoesJe g.
No entanto, usa-se a seguinte escrita:
|g3./f"l 
: *@, ]g3 .fC"l - -m; Jg flx): -
|'13. St"l : *@, I'13-gf"l 
: *@, |5 Sf"l : * m
De acordo com a definiqao, nenhum destes limites existe porque m ndtr
e um numero real.
De igual modo deve-se interpretar o estudo dos limites de flx) quatttltr
X - *m oUx - -oo ou aindax - co.
Por simplilicaqdo de linguagem e de escrita. usam-se para os limitcs irlli-
nitos as mesmas notaqoes e leituras como se eles de facto existissem.
O conhecimento da existencia ou ndo de limite de uma funcao clltando
y + la ou quando x + -@ pode ser formalizado aplicando as propricda-
des dos limites que a seguir se apresentam.
Limites e conlinuidode de funq6es
que:
Propriedqdes
supondo q"" lt+* f(x) e lTl_ t,", exisrem, e sendo a umaconsranre
real, tem-se:
I. lim a: a
x;++@
'. J'+-0,") t g(")l : 
l']1_.{") . l,+_g(")
'. l'+- tJ&) ' s(x)l: J+_ flx) . lim _ s(x)
4. Iim f&)" ir+- g(x) - __lrnf;t 
; lu1- g(x) * o
5. lim --1. :0
tr+,@ Jlx) 
t' se 
1111*Ix) 
: *m(ou -m)
6. 
I'T, *l'(x) + 0,r. 
XT*_g(x) 
: O, ..,tao ti* _-4! ndo exisre.
Estas propriedades tambem sdo vzilidas se substituirmos nas expressoesanteriores o (+oo; por (-oo).
l5- "': *oo e lim *4: o
I'S*_ lh- f(x)l : k . li* 
^")Estas propriedades podem ser udrizadas no cdlculo de alguns limites.
Calcule:
a) lim x2-xl3
3x3+l ul rim _$-=4 I ] c) limx-taxz - 2X -f 3 x-+o
Jc++@
Resolugio
Como os limites
quando x---|m, exlstem
Colocando em evi 
, a maior
potdncia de x pode aplicar_se a propriedad ,. h
"lr'S**'h:o
v2-uI2
a) lim : limx++@ 3xr f I :$:o
-3, 3 \T 
-l
)lx'I
:*m
)
i)riil ai\, Nii,t ll't4yl4 l!,i i , tl1i1 li!l'r'rrj$:j.jl
rnqgoes
nqg6O oo - oo
Normalmente, a indeterminaqio m - oo surge no ciilculo do limite de
lungdo polinomial ou de uma funqdo irracional.
A cstrat6gia para Ievantar a indeterminagio depende do caso em estudo.
r A expresslo alg€brica da funqio 6 uma funqlo polinomial.
rlcule: lim (3xz - 2x + 7): [m - m]
x-+@
Resoluqdo
Colocando em evid€ncia a maior potCncia de x, vem:
Limifes e confinuidode de funE6es
Calcule:
\E+3 -l;a) Ltm 
^x++@ z
b) lirn &E - \E + 3)
r++@
c) lim (\t7 + z, - o=)'x+*o'
d) Ii- _(\r?+ 2" - 6 + 
")
.) Irg _tr-l&'-r"+r)
F) lim (x-1F-tx+5)' x-+@'
e) lim (*+lFll+zx-6)
" x-+o'
h) lim__(i - ,F * ,. - 6)
P
lim (3x2 - 2x * 7) : lim [r"'(++@ x-+- 
I
: 3(+-)2' (1
('-+.+)l :
um
f,+-
lim
x+
l:l
Ca
a)
b)
c)
d)
-0+0):fmpressoes
stem
lalor
Em geral, temos:
f(x) : qnx" + a.- t{- t + ... + oo
lim f(x): lim lor'(, + 4"-r 
+
x-o" r-- L \ qnx
+ ,')
+2)
. l\-t--l
)I
x4+z)
5X'
3*
_x2
:-t
3x
)+3
c'-:
2f-
-3x5
/al.x-
/a(x-
@
l2t
@\
(-
an- 2
4nx2
++
lim f(x): lim (a"x')'lim
r-o' x+6 ' x+o
lim f(x): Iim (4"x")
y+@- x+@
('
, an-t 
,-r--r
anx
h-z
4nx2
Uma funqdo polinomial admite, quando x --+ +m ou quando x + -@ ou
ainda quando x + oo, omesmo limite que o seu monomio de maior grau.
. A expressio algebrica da fungio € uma funqio irracional.
Para levantar esta indeterminaqao, usa-se a estrat6gia de multiplicar e
dividir a expressdo pelo binomio conjugado.
Calcule lim (\E + 3 - {n: [m - o]
x-+@
Resolugio
lim x-1 3-x-;:+*yla3 +li
: lim 3 :o
x++@ +OO
-t;
Indetermino96o
Esta indeterminagio resulta do ciilculo do limite quando x --- oo de
uma funqio racional.
Assim,
'' P(x)Ilm --. :Ilm
x+6 Q(X) x+@
oo
m
!nx'+ ar-txn-l + ... -r cto
b^x^lb^_rx^-1+...+bo
/ a--. h_za,xnlI * 
- 
**'^ 
\' an x dn x2: lim
J(+O b^x^(r.+f.#+ +#)
,. 4,Xn: llm _-_
'* b^x^
o valor do limite vai depender do grau do polinomio do numerad.or
ser igual, superior ou inferior ao grau do polinomio do denominador.
' o grau do polinomio do numerador e igual ao grau do porinomio do
denominador.
Calcule:
a) lim
x++@
2f-3x L-xl3x2b) lim
,(€-@
aaI -rx-+x'
Resoluqio
5/.3+3x2+I
2x3 - 3xa) lim : lim;-;tu 5x3 i 3x2 +
2
5
2F
>x'
3x2
(4x + 2)z (5x - 2)3
x't tl
-4x2
d) Iim
1++@
O limite da fungdo racional quando x +oo e igual ao quo-
ciente dos coeficientes dos termos de maior grau.
. O grau do polinomio do numerador e menor do que o grau do
polinomio do denominador.
,' ',{t!6,
+oode Calcule:
a) lim
2x2+3x+l b) Iim 3x--r 4x2
x++@ X' - Ll-4x+f
2f-4x+t
x-+@
Resoluqio
EntAo:
O limite da funqdo racional quando x + @ 6' zero'
. O grau do polinomio do numerador 6 maior do que o grau
polinomio do denominador.
Calcule:
2x2+3x-5
a) Lrm ------
x+-@ X-t- I
Resoluqio
^\,. 2**3x-5-,,- 2x)
a) lim -----------,- : llm
x+-d X* [ ,tr+-r X
'')
:
A1
;
2x2
3
,)
1x-
: lim
x++@
:lim
x-+o
-0
-0
to\
7)
b"\
,*)
merador
dor.
Lomio do
- 5X'
- 4x2
b) Iim
x-+@ x2-3x+2
: lim
x++@
b) lim
x++@
zf-4*+r
x2-3x+2
: lim (2x): -a
x+-@
)u3-^ : lim 2x: le
X) x-+@
Entio:
O limite da funqdo racional quando x'--> @ 6 infinito'
Em geral:
O limite duma funqdo racional quando x --+ oo 6 o quoclente
dos coeficientes dos monomios de maior grau'
Limitcr . contlnuldodr dc funE6es
I
I
I
I
I
( ,rrlculr or lltnlllr rllulnl?ri
ltt I
a) lllll
\'l'r' \ |
l2rl
b) lirn' x+-@ t I
ltl | 2t
c., rlm --;- 
,x++, )x t .l
l"l + )xd)lim #x+-o 5X t 't
r---
Yx'e) lrm _-----
x-*o /-X - )
t--=\x'f) Iim :-- -
X+-@ 4 J
,+{i-+*
' E) llm 1--7dO " x+-e L^
*+tld-+*h)lrm^-' x+lq ./-X- I
r grau do
. I ' , :r,r ,il ,rl ;.j'liJ*t+1i{hFrrtiit t :
le os limites r.g,rr.r,"l, 
- Indeterminqgoo *
se depois de efectuarmos os cdlculos possfveis obtemos uma indetermi__o
nagao do tipo f 6 porque a fracgio nio e irredutfvel.
o valor para o qual x estii a tende r 6. raizdo numerador e do denominador.
envidencia a menor pot€ncia de x.
x3-x2*5x-5e) Iim
x-l 3-3x
-2-la)lim ^ L-'.iii l-x blJS F-+xc) lim
x*0 x2-x
- -z
lni=f:ffi:+
Vx -3
x-9
Resolugio
u) lin 
= 
: 19l : linl 
(x - r)(x 1 r) : rimx-r l-x Lol ;ji -(x-l) x+r
b) limx-9
: limx-9 (x - q$l; + 3)
: lq l: limlol -";e
c) limx-0
:f8l:mx3-4x
i-x
ll
Calcur le:
-t
'ls;$:o lnx_T-:U
lG+z -zc) limx-l l/z*-t+t-
a) limx-0 b)linr d+3 - dx+u t
e) lim
x--5
(x - q)(\t +5
limites de express6es
com exponenciqis e logqritmos
. lim
x.-0 'l+*#:*o'P€lN
. lim
x-+@
Limites e conlinuidode de fung6es
I
Calcule os limites seguintes:
:fql:hm
L0l x-o
-d(eb - t)
a) lim (2x + t)(e I - r)
x++@
d*v2b)lim :x++@ xf I
I
c) lim
a+-o J( €
d) liml e i
x-0
x2-5x+6
") ItE, l" (,. - D
ln(h+2)-1n2
r., lrm -------- ,-h*0 n
/ l\
e)lim2x'lnll+:l- x*o \ x/
lnx
n/ llm, ,x+lx - I
ln (3x)
rJ rlm
x++@ X
j) lim^ x ln x
x+u
)x_1k)lim " '' x-0 ln (3x + l)
Zx
Linador.
:ando a
rdo em
.b-1: lim (-e')'lim^-* : -l ' I :
x-0 x+O b
:Iimd.lim ' ' :e3.l:A
t-0 t-0. t
ln (x * I)3
b
ln(5+x)
4+x
_3
2
3:-
2
,. ln(x+I)
llm 
-
c) lim' x--0
d) lim
x+-+
.. ln(y+I): llm/-0 y
MudanEa de varidvel
4*x:y, logo
5+x:y+l
x--4+],-0
I
MudanEa de varirivel
5*x:y
6+x:y+l
x.--5-y.-0
-2
-I
6
+_n
t -'r
e) lim' r--5
h(x+6)
x+5
:fql
L0l
: lim
y-0
Limires not6veis
sen x
Jri sabe que a funqio de varidvel rcal x r,; selr x e continua em lR (em
particular, emx = 0), Pelo que
Iim senx:sen0:0.r-0
Entdo, Xg, T conduz-nos a uma indeterminaQao do ttP" 3
Vamos averiguar que valores toma a expressio T nas vizinhangas
dopontox:0.
Comecemos Por reconhecer que
sen x
isto 6, quex \J, T e uma fungio Par.
o limr-0
)3
sen(-x) _ -senx
-x -x
sen x
et+3-e3 -[0-l -,.* d(d-l) -b)ls--- t :Lol :ls- 
r
Por isso, basta estudar o limite d direita de x : 0.
Usando uma calculadora, verificamos que os valores d" 9"t "
- 
se apro-
ximam de I quando x se aproxima de zero. observamos intuitivamente que
r. S€IIX
+Tr; : I, e o grdfico obtido na calcuradora, confirma esre resurtado.
Grrifico de y : s€h x 
na janela
TRIG. X
Retlrando os eixos v€-se o
<buracor em (0,1),
AtenEdo:
lim senx : o
x++6 X
pois-ISsenx<1e,sex>0,tem-se:- I 
= 
senx 
= 
I
xxx
como !n.r (- l): t!- f : 0, tamb.m lim sCir - o--x*+-\ Xl x++@X x++€ X
Nio confunda com a situaEio de indeterr ' - 0
notdvel. 
, suuacao oe rncleterminagdo 
5- 
a Cue se refere o limite
Vamos verificar por via geometrica.
Consideremos o dngulo ao centro 4 AOp
(positivo e menor que um dngulo recto) numa cir-
cunfer€ncia de raio I; OA : Op : I.
Como o raio 6 I, a um dngulo de x rad corres-
ponde um arco com x unidades de comprimento.
Por outro lado pp' : sen x,B : tg x e, da
observaqdo da figura, conclui-se que:
senx(xltgx
Dividindo por sen x, vem I < x
sen x cos x
A fungdo L ,fica enquadrada entre I " 
!,rrras
senx - cosx
,. I
llm 
-
x-0 cG x
-1
entio concluiu-se que lim^ x : I e tamb€m lim^ 
lU : 1.x-o senx x*0 x
Estes limites fazem parte dos chamados limites not6veis referidos no
programa e permitem calcular ouffos limites em situag6es de indetermina-
o
qio do tipo i .-U
Corolirio
Demonstragao
sen n
H5:[3] :l's-=:]'s sen x
,. senx ,. I: llm 
- 
'tlm 
-
x-0 X x+0 COS X
:l.l:
x
I
I. Calcule:
\ r. sgn2 x
4., lllllx+u X
c)lim tg'(2x)
x-0 X
SCN X
e) trm
x-0 f - I
Resoluqio
sen2 x
a) Irm^
J(+U X
b) lim^
JT+U
sen x
?r
1 - cosx
o, lrm
x-0 X
D hm 9 sen (2x)
x-0 X
f^l: l9l: lim senx .limsenx-- r'o: o
LQl x-0 X x-0
o)l'$-T-:l*l:l,+T H 1
x'
Calcule os limites seguintes
das funqoes trigonom€tricas:
a)lim S-r-0 2x
sen 2xDrllm 
-
-x-o 3x * I
cos 4x
c) Irm _
x-O S€Il JJC
: 2lim tg (2x)
x-0 2x
:1.(*-):foo
:2.t:2
lim
x-0
l-
(I-cosx)(I+cosx)
x(L*cosx)
- cos2 x sen2 x: Iim
x (l + cosx) x-o x (I * cos x)
sen 2x - senx : lim
x-0d)lim^
x+t,
e) lirn
x'-0
0 lim
14 +o -r
senx * sen 5x
' x-b sen b - sen 4x
cosx-lq)hm J- r-0 Jx'
h)lim sen t
r-0 X-1I
x*senxr/ lrm --_
r-0 Xf SenZX
sen x' sen 3x. sen 5x
J/ limi(+u r
(1993 - Epoca Especial) CSH.
2x
.".r ti :lim settx.li- t"tx :l.o:ox-0 x .r*0 l*cosx
\r. senx lo-l ,. / scnx x \e, llm :r-l:ltlnl'x*o d-1 LQJ '-o\ x d-I )
:lim senx.lim x :1.1:1
x-0 X x-0 d-I
f) lirn 9 ,"r, (2x) : l9l : 2e lim sen (2x) -x--0 x L 0l x-0 2x
i ,. sen (2x):zerm- :2e.I:2e
x*0 2X .
2. Calcule, mas comece por verificar que se trata de indeterminaQdes do
.0
trDo - .^0
a) lim sen (3x)
x-o 2x
/ r\b)lim It.sen:lt_+_ \ t /
Resoluqio
a) lim sen-(3x) : Iim 1r 
sen (3x) 
" l) 
: r'r*o 2x lx-o\ 3x Zl
,"ar !/ 1r t
b) llm [t .sen 1l : lim r : tr-*-\ tl *_o ;
xl:f22
t
?,
a,
r,
5t
lo
I
r .lim |,t i )-
'\ "--\ xl
' Demonstra-se que:
lim /r*l\":.x_+@\ Xl
Na expressa" (t * *)'o.o""mos 
a varidvel " 
p,,,. I, cntao se i( - oo
implica y - 0 portanto pode-se reescrever o limitc noleive I de outro modo:
Limites e continuidode de fungoes
t4"
Calcule os limites seguintes:
z l\^
a)lim {i+-l.r--\ xl
/ 3 \z'+:b)lim (l+-lx--\ x/
r I\"
c)lim ll--lx--\ xl
7x*5\z*d)lim | 
-lx-@\X-f z Inm /r
Y-O\
* r)*
Calcule os seguintes limites:
a)limfry\'
x--\ x I
Resolugdo
b) l,* (1 - x)' : [I-l
fr r- +l-'
limllr+(-x)l 
I'-oll ' )
2
b) lim (1 - x)'
x-0
I
hrq (f + y)v € mais um exemplo de indetermi
v-0
utiliza-se, a seguinte
-l"l'31 B(x):*,
g(x)
15,
Calcule: 
a
a) lim (l * x)'
x+(,
I
b)lim(1 -x) x
lr+u
h
th-x\ 'c)lim | , I
"-o\ o I
In (l * mx)o/ lrnlx-u x
I
-_2 .
e) lim (2 - cos x) "" "
r-0
i
lx\F-
fllim I I' -t ) Ix-z\-/
ln cos xg/ llm ,
x+U ^
(1983, 2 " 6poca)
_) I
e2
olim/t * fY out-o\ x I
nagdo do tipo 1-.
Para levantar esta indeterminagio, geralmente,
formula:
Sejam f(x) e g(x) duas funq6es tais que ltgl lkl
entao:
lim [f6;1str) : "WIf(x) 
- r] '
x+d '
Calcule:
a)tim /"-t\.x__\x * I/
Resoluqio
/v- l\x
a) liq.f 
-- I ; Ix) :x*_1x + I/
Iim*:limx=l
x+@X t L y+o;6
h-f+) :[l-] :s
x*-\x * I/
b) lim (l * sen x)
x+u
x- I
xfl e g(x): x
;
llm
limx: oo
(+i-,1 : 
"lB 
(=.) _ 
"_,
I , _. I
L\r! /1 , ,-- llm (l*scnx_I).;
b) lim (l * sen x) x : [-] = er{(} :r-0
li- SenX
x,
e^'" :et:e
Fung6es continuqs
Seja f a fungdo represenrada graficamente:
Nota-se que:
'Ilg,fft) nao existe.
'f;!of{") nao existe.
. A funqio nao esti definida em x = c.
. 
f'gi/f"l + fG).
A fungao/€ descontinua em cada um dos pontos a,b, c e d e continua
em todos os outros pontos do dominio.
o conceito de limite duma funEdo num ponto permite-nos, entao,
enunciar a seguinte definiqdo de continuidade.
Diz-se que uma fungao/e continua num ponto a (a € Dr) se e so se:
Estude a continuidade da funqao/no ponto x : 0 se:
+ ,sex)0
vx
*+x,sexso
f(x) :
.nui
tao
e:
Resolugio
lim f(x) : lim -L :
x-o- x*0* VX
lim Ix) : lim (x2 + x)
x-O- " x-ri
16,-"f, :9
x+u X
]'5./t"l 
: 
I'g_ff"l - 0 + f'gfkl : 0;fl0) : 0
Como lg ff"l : -f(0) errtao f e conrinua em x : 0.
se uma funqdo nio e continua num ponto do seu dominio, enuo e
descontinua nesseponto.
Uma funqdo pode nio ser contfnua num
nua a esquerda ou i direita de a.
ponto a e D1 mas ser conti-
A funqdo 6 continua emx : 0 | A fungao € contlnua emx : 2
Se uma funqdo 6 continua em todos os pontos de um intervalo aberto
la,bI,6 continua nesse intervalo.
Uma funqdo 6 continua num intervalo fechado la, bl se € contfnua
em la, b[, d direita de a e d esquerda de b.
se uma funqdo e continua em todos os pontos do seu dominio dize-
mos, simplesmente, que a fungdo € contfnua.
Limifes e continuidode de fung6es
tstude a continuidade lateral
de cada uma das funqoes reais
de varidvel real, nos ponros
: t :' :-.:-4.:lri;;ti:a!,
indicados:
yi
a)f(x):1-L
l3
Pata x: -l
, sex) -l
, sexS -l
r-
b)J(x) :J o
lxt- -2
para x: 2
1, sex)2
, sex=2
, sex 12
ponto d.
]g;. /t"l : I'g f(x) : i'4 lf"l : fG)
Uma funqdo pode ser apenas continua d esquerda (ou a direita) de um
ponto e ser continua nesse ponto. Isso acontece se a funqao nao estd definida
a direita (ou a esquerda) desse ponto.
lim _Ix) : lim. IG) : a
x+a x+a
lim f(x) : b: f(a)x+a-
Dada a funqao:
(-o se x: 2
I
f(x):l*'-+| ^ sex*2
l* -,
a) Determine fl2).
6; calculeJg f&).
c) A funqao/€ continua? Jus-
tifique.
i
4
/ € continua i esquerdu 11 e .ottti.t.ru a aireitaje
dea. la.
lg l&) : J@) ltiyi.fti : f{a)
apresenta uma desconti-
nuidade bilateral em a.
il...
Analise, graficamente, 
" .r;;nuidade das funqoes seguintes,
classificando os pontos de
descontinuidade:
a)JG):x-lxl
Clqssificogdo
dos pontos de desconrinuidqde
infinito ou nio existe.
Propriedqdes dqs fung6es conlinuqs
. A fungio constantefix) = C €continua em lR.
. A funeio identidadeflx) = x € conrfnua em lR.
. Se/e g sio fung6es contlnuas em x : 4, entao:
f + ge contfnua em x = 4.
f'secontinuaemrc:4.
f: e contfnua emx : a (se g(a) # 0).
g
. SeJe continua em )c : a, entdo:
/" (, e AD 6 contfnua em a.
f e continua em a (n elN efla) > 0 n € par).
. SeJe contfnua emx: ae g€contfnua em{a), entio a funqaogo/
6 continua em a.
. A fungdo exponencial € continua.
' A funEdo logaritmica d contfnua em todos os pontos do domfnio.
. As fung6es trigonomdtricas sio continuas.
. A funqdo polinominal € contfnua.
. A fungdo racional € continua em todos os pontos do domfnio.
l. Estude a continuidade das seguintes fung6es, classificando os pontos
de descontinuidade:
x2-+
b) g(x) :
c) h(x) : sexelRf
sexe tri
x2t
Iz
L;-" ,
se x)2
se x32
lxz_+
e)l(x): l".r 'sex*-2
I
|.0 ,sex: -2
floe-l"Lsex>-2
0m(x):J
L 3 ,sexl-2
Ana]ise. analiticamente, a con-
tinuidade das fungoes seguin-
tes no ponto de abcissa x: a
e classifique os pontos de des-
continuidade:
a) J@|: x2+x , Para
xr:0; xz: -l
-?-b)f(x): -;1 .oara
-Jx'
xr : 0; )c2.: 3
I x'-I
| 
__:__, 
J! 
^ 
_
c)f(x):lxzIx-2
I
I I ,sex:
t
l-b+2. sex)0a)f(x):l * *r, sexSo
Resolugio
l-2x-t2. sex)0a)f(x): { r , ^lx'+ 2, sex < 0
liq.flx) : lim (-2x + 2)x+u x-0*
lim flx) : lint (x2 + 2) :
X+U X+0-
J(o) : z
b)/(x): x-2'
3,
sex*2
sex:2
xz: -2
sex-'-2
sexs2
Entao J € continua pois 
lrg6 f(x) : f(O) .
x)
r).
OS
e
ef
lx2-4l-, sex+2b)J(x):lx-z
L 3, sex:2
,. x2-4 fo-l ,. (x-z)(x+2)
jry x-z : Lol:l'S *-2 :+
f(2) :3
A fungdo e descontinua no ponto x : 2 porque hn1 flx) + f(Z).
x: 2 € ponto de descontinuidade eliminiivel.
2. Determineh de modo que a funEdo/seja continua em lR, sendo:
t h , sex--3
I
f(x):1*-r. sex+-3
Ix+3'
Resolugio
I tt , sex:-3
I
[(x):l "r-n. sex +_3
I x+3'
Para que a funqdo seja continua num ponto: lim flx) : J@).
O ponto de descontinuidade € x : -3.
lim -f(x) :J(-r)
rc+ -J
lim /*'- n\:,,
"--:\ x+3 )
-hx--3 x -f 3
, tttites e continuid"o" o,:*.l:;ffi
e)flx):
sex C lR-
.-+
sex€lH6
sexetn
sex€lRj
f) f(x) :
fsen x ,
I
1
lcos 
x ,
I-t'
I
._2'
{
?
Indique os pontos de desconti-
nuidade das luncoes seguintes,
classificado-os.
x*2
a) l\x) : L- x'+z+)
l*-5, sex)2
b)/(x):J 7. sexs2t "
r^
c)f(x): fx+r' sex=4- 
l3x - 3, sex>. 4
-6: k
Se h : -6 a funqio JQ) e continua em -3. dea€lR,
ngno / seja
Teoremq de Bolzqno
ou de Bolzqho - Couchy
Observe o grrifico da funqno/definida por:
f(*): f - x Ie2) : -6 elQ) -6
sex(-2
sexz 2
sex:2
sex*0
2x-I, sexlq
x I3 , sex>- a
x-2 ,sex*2P-sx+6
a, sex:2
c)flx) :
d)flx):
f(x)
a).
:os
Ls€
g'f
Limites e conlinuidode de fung6es
i+
(x2-4
l-, sex*2b)f(x):lx-2-l
|. 3, sex:2
,. x2-4 f0l ,. (x-2)(x+z)
llm-:l-t:tlm --- 
- 
:Lt
x-2 x-2 LOl x-2 x-Z
f(2) :3
A funcio e descontinua no ponto x : 2 porque hq flx) + JQ).
x : 2 € ponto de descontinuidade eliminiivel.
2. Determine h de modo que a fung6o/seja continua em lR, sendo:
t h , sex=-l
If(x):1t=. sex + _3
Ix*3'
ResoluEio
I h , sex:-l
I
f(x) :l xz - 9| 
-, 
sex#-3
I x-t J
euru qli" a funqdo seja contlnua num ponto: lim J(x) : f(a).
O ponto de descontinuidade € x = -3.
l'g_r/C"1 
:fl-3)
lim /"'- n\ 
--,,x--3\ x*3l
lim (x-3)(x+3) -,,x--3 x*3
-6: h
Se h : -6 a fungdo f(x) e contlnua em -3.
e)flx):
isen x
J
l.or "
I_,,
I
*-2'
, sexClR-
, sexe Rf
sexClR-
sexClR[
f)f(x):
Indique os pontos de desconti-
nuidade das funqdes seguintes,
classificado-os.
x*2
a) Ilx) : .-+z+>
(*-5, sex>-2
b)/(x): I 7. sex:-lt ''
r-
c)f(x):.12x+I, sex34- [3x-3, sex)4
Teoremq de Bolzono
Determine o valor de a C lR,
de modo que a funqdo / seja
continua em lR.
1xI3, sex(2
a)J(x): 1 o, sex22
L
I a, sex:2
I
b) f(x) : ,l sen x sex*0
lx
ou de Bolzqlro - Couchy
Observe o grrifico da fungZoJdefinida por:
J@):f-x Ie, - -6 ef(z): 6
c)Ix):
d)/(x):
2x-1, sex(a
x I3 , sex>- q
x-2 ,sex*2
x2-5x+6
a, sex:2
-r',
Sendoflx):-x++4:
a) Verifique que J e uma fun-
eao par.
b) Esboce o grrifico def
c) Determine f(l) e 12). Que
pode concluir relativamente
ir existdncia de zeros em
ll, 2[?
d) Sabendo que / tem apenas
dois zeros, determine-os
com aproximaqao irs d6ci-
mas (utilize a calculadora).
Quando o xvaria entre -2 e2,f(x) varia entre -6 e 6, ou seja, toma
qualquer valor compreendido entre JG2) e f(2).
A fungdoJd uma fungao polinomial, logo 6 uma funqao continua. Ao
passar de -6 a6,Jpassa por todos os valores intermddios.
Podemos enunciar o seguinte teorema:
' Seja f uma fungdo continua em [4, bl. Seh € um valor entre J@) e J(b)
r'entao existe pelo menos umponto c €la, b[ tal queflc) = h.
Mais intuitivamente:
Uma funqio continua num intervalo nio passa de um valor a outro
sem passar por todos os valores intermedios.
,4----1ul
ll-l
scja/(x) : 1 - 2f -t x5. A funqao/e continua em lR Portlrrc ('uma fun-
gao polinomial; logo e continua no-intervalo I- I , I | .
ComoJ(-I) : 2e,f(I) : 0 e 0 ( r a t,o Teoreml clc l|rlzitlro garante
quea equaQaof(x):]t"*soluqao no intervalo l- l, ll.
Corolirio do Teorema de Bolzano
Sef 6 continua em la,bl e se J@) x f(b) ( O, entdo a funf iio./ tem, pelo
menos, um zero em ]a, b[, ou seja:, 3 c e ]a,bl: Jk) : 0
1. Provar que a equaQd,o x3 - x * I : 0 tem pelo menos uma raiz no
intervalo l-2, -II.
ResoluqAo
Calculemos f(-2) e/(- 1):
Je2) - -B +z+ t: -5<0
^-l):-l-FI*1:I)0donde, JeD'lt-,, < 0 significa queJtem pelo menos umaraiz
nesse intervalo. Aplicaqdo do coroliirio do Teorema dc Bolzano.
2. Esbogar o grdfico deJ(x) - x3 - x * I com uma calculadora gtdfica,
e determinar, com aproximagdo 2rs centesimas, o zero pertencente ao
intervalo referido em 1.
Resoluqio
rnin. : -3
mdx:3
csc. - I
min : -5
m;{x. : 5
esc. : I
Com as ferramentas da calculadora fazendo <andar> o cursor por cima
do griifico chegarA ao valor pretendido no intervalo l- 2, - I t.
O valor aproximado as centesimas do zero de f € -1 ,32.
Limites e confinuidode de funE6es
ma
Ao
3. Considere uma funqio/contfnua em 12' 5[ e tal queJQ): -1 e
f(S) : 4. O que pode dizer acerca do valor logico das afirmaqoes
seguintes?
a) 1c e 12,
f(c) :6
Resolugio
5[: Ic) : 0 b)f cel2,5[: f(c) c) 3 c e 12,51:
As afirmagOes das alineas a) e b) sAo verdadeiras. Por aplicagdo do
Teorema de Bolzano (ou o seu coroldrio na alinea a)) e atendendo a
que -l < 0 < 4 e -I < 3 < 4, ou seja, 0 e 3 estdo entreJ(Z) ef(5),
podemos concluir que as equaeoes JQ) : 0 e flx) : 3 tdm soluqdo
em ]2, 5[. Quanto 2r alineac), nada podemos afirmar acerca do valor
l6gico da afirmaqio. Observe as representaqdes grAficas seguintes,
ambas compativeis com as condigOes do enunciado.
<> (x:2 n03x31) v(x: I nl(x S3)+ xe A
A disjunEao das duas condiqdes 6 uma condigdo impossivel
ambas as condigoes sdo impossiveis: 2 G [0, l] e f G ll, 31.
Entdo f nio tem zeros.
No caso da fungio do grdfico l, a afirmagdo 6.falsa: a equaqaoflc) : 6
nao tem solugio em ]2,5[.Jri em relagdo i fungio representada no
griifico 2 a afirrnagAo € verdadeir :
flcr) : 6 e Jk) : 6 e c1e c2 pertencem ao intervalo 12,51.
f2-4se0<r<I
4. Sejaf a funqdo definida em [0, 3] porflx) :.{ 
_
a)verifiqueo"" /(+) < 0efl2) >0. Ilogzx 
se 1( x=3
b) Mostre, por via dndlftica, que a fungioJnZo te zeros.
c) Explique por que n6o se pode aplicar o Teorema de Bolzano i fun-
4 -2$<0 e f(2):logz2: I )0
Sejaflx) : -x3 - x'l 4.
Determine o conjunto dos valo-
res de h para os quais o teorema
de Bolzano permite concluir
queaequagaof(x):htem
pelo menos uma soluqio no
intervalo ll,2[.
Use o teorema de Bolzano para
provar queflx) : lnx + x tem
pelo menos um zero no inter-
valo lI, I1
Se/definida por:
lax-2, sex(I
I
/(x):12 , sex-I
I
Ibx+1, sex)l
Determine valores para a eb de
modo que o teorema de Bolza-
no se possa aplicar d funqao /
no intervalo[l, 3l mas nAo no
intervalo [0, l].
pois
Grrlfico I
i-
i
;
cr cz5
Griifico 2
no
:lo
ralz
ica,
)ao
-3
I
-5
,5
I
clma
+
Repare que dizer que / e
continua.- [0, l] apenas
garante, no ponto I, a
continuidade ir esquerda.
A velocidade de um foguetAo,
desde o arranque at6 se esgo_
tar o combustrvel, pode ser
dada em km por segundo por
v(t) : -3ln (t - 0,005rt -- 0,01t. A varidvel t desrgna o
tempo em segundos ap6s o
arranque. Mostre que o fogue-
tao aringiu a velocidade- de
600 m/s entre o mrnuto e o
mrnuto e meio depois do
arranque.
26
A fnica condiqao necessdria para aplicar o Teoremauma funeao definida num intervalo fechado e quecontinua nesse in
ri.u pu."yt" ro p" entao essa 
i"*$:t"rir" u continuaem [0, l]* e em
coes continuas. intervalos € definida por fun-
lim,-Ix):li-, _(2 - 4):2r-4- -2 e lim _f(x):x*l x+l- ' 
"_1,_: 
l'Tt* 
log2 x: o
Como os limites laterais sio
funqdo/ndo e continua no int
no ponto l. E esta arazAo
para a funEAo/neste inter
5. Um doente toma certo medica
Seja C(f) : 2,5(e-, - ear) a 4esre medica_mento no sangue, t horas depois do. Justifique,usando o Teorema de Bolzano, iue , entre as dez e
T,!ff;.^ia' 
em que a concentraeao do medicam".rio ,ro"rurgr" e
Resoluqio
As concentraEdes ds dez horas e is dez e meia sao, respectivamente,C(1) e C(I,5). A funqdo C(t) e conrinua em lR e, portanro, € conri_nua em It; 1,5] e tem_se:
Fltl^;rf !:.'.- :? I 9:t8 e c(r,5) :2,5(e-1,5 _ e3) _ 0,43
i""T',:,:i::i":,:"_1]?.e 0,43. ." ,.:i'iir,5) : d,il'Ir,t, o
*:::t.1":"t,"1. saranre q,,," i, e Jrii,;i'.i,t:"d,',
:#T":'-,i"rll1l=0";i"" exis* "* i;,;;;;;;';, ;f" _"r, ._
Ai:3:::._:1,:"r:.0"=T:ot:^_enro no sansue e 0,5 mgA.observe a represenragio da funqio c "- il1"l'^'.1'-t 
tnu, 
_
da solucro "''.^-*,1- 
n e a mteryreheao grrificada soluqZo encontrada. C(t
0
0,5
0.43
ta
4a
ri-
ua
n-
de
:n-
no
a-
e,
;e
e
'.4
ua
res
Limites e continuidode de fung6es
6. De uma funEioJde domfnio lR sabe-se que:
. E continua.
. E impar.
.5€ovalormdximo.
Justifique que o contradomfnio de f e [-5, 5l'
Resoluqio
Como J 6. impar, concluimos que -5 e o valor minimo deJ e, uma
vez que J 6 contfnua, o Teorema de Bolzano garante que a funqio
toma todos os valores entre -5 e 5. Portanto, D'J : [-5, 5].
Uma fungZo / nas condigOes do enunciado pode ser a que a seguir
se representa graficamente:
O volume de uma "rf"ru 
e
dado em fungao do raio por:
4y: j.r13
Use o Teorema de Bolzano para
mostar que I,25 cm € um valor
aproximado do raio de uma
esfera de volume 8,25 cm3 com
erro inferior a 0,01.
Repare que, nio se exigindo a continuidade def o contradominio jri
nao tem que ser [-5,5], como se exemplifica no griifico embaixo
em que o contradominio da fungio 6l-2,2t U t-5,5).
I. Calcule os limites seguintes:
, i- ^r-a) lim (Vx - !x + 1)
x++o
j-
b) lim (x-tfxz+7x2-5)
x++c
r--
c) lim (x - ^rfx2 + 7* - 5)
x+- 
_x3_x*14
drlrm --;. --- x+@ +f -r>X2-L
2f - 6xz
e) tlm
T+@
t -,,3L^
D I'g - 46 ooo,- 
'
G-LQ"1-to
s) ITI 
-14, 
- yyls - x)ffi
u2+7t.*12
h)lim- ^ ')'' 
-
x+-J x- - 9
\
D litq
x+l
x2 + 2i -]4 r-2
r.5-t
l) Iinl
x+r l-x+
p) I'j8
q) Iim- lc+@
t'-r
Exercfcios ProPostos
/ I \-3x
') lsl lt - ;,)
/ - \x*6
')l's (;fu)
I r ,\x2
o l'sl (#:i)
, \I
I v \-
")l's (,'* ;)"
l \l
")l'S lt-') '
/ \'
w)lirq (t+senxl'
x+u\/
xlln(x+5)-ln(x+3)l
( 1983 - 1." Epoca)
x) lirq (l * sen 2x) '""'"
x+u
y)l,s wl.'
z) Iim
J(+-€
2. Calcule os limites seguintes das funq6es trigo-
nom6tricas:
3x
") ItS ,-.' :'
b) lim sen-5x
' x-0 tg 2J
sen x ' senlx
c,l hm ----- 1-,(+U X-
d)}s2"tfr*@
ts.x' tgSxe)rm --
x+U Sen- X
1-cos2x
I) lII4 --=-;--x+u ZX'
s) lim sen 3x --senx
"' x-0 sen )X
h) Iim 2x
. x_o 1gL"3
Exercrcios propostos
3. Analise, analiticamente, a continuidade das
funEdes seguintes no ponto indicado e classifi-
que os pontos de descontinuidade:
\./ \ x-7
a) J&) : ;t: 5x? + 6, xt:2;x2:3
ta_v
b)J(x) x'- x
-5,
x2-r
f+x-z
sex: I x1: l;
sex* I xz: -2
x: -2
x=0
4. Indique os pontos de descontinuidade das fun-
g6es seguintes e classifique-os.
a) f(x) :
*+4x+3
(x+1)(x+2)(x+3)
-0
+0
sex2 2
sex 12
5. Estude a continuidade da seguinte fung2o:
x--1
5- Mostre que a funEdo/definida por:
r lxl
| - 'sex*0l^l(xj : 1- | o.sex:o
\
e descontintaparax : 0.
7.Dada a funEao/definida por:
a) Construa o grrifico de J paru a : 2.
b) Deterinine o valor grrifico de apara que f
seja continua.
c) Justifique que J ndo € continua em x : 3.
(2.' Epoca - 1988)
8. Dadas as fung6es reais de variiivel real:
r x+ I. sex)2
f(rr) - )r\'/ l2x-I, sex<2'
estude a continuidade def(x) e g(x).
9- A figura em baixo mostra o grrifico deJ.
a) Calcule:
.liq_ J&) . lim flx)x+U x-0-
b) Para que valores de
xafunqio6conti-
nua?
c) Indique o contrado-
minio deJ.
d) Estude a paridade de/.
(I.' Epoca - 2002)
10. Dadas as fung6es reais de varidvel real:
I x+I, sex)2
J(xt:I_- L2x-I. sexSI
sex) 2
g(x)
estude a continuidade de JG) + g(x) no
Ponto x : 2' 
(2." Epoca - 1988)
rt
FJ
$
['
t
I
.,;.,,,,1.,.':.lll;:l
t,r 
$',;l
Q@ lh.Ib+ h))
/'(x) ou (dJ\* - , "" f 11)
\dx 1,.-,,
Se fizermos ath: x, vem
h:x-q, comoh-0,
tamb€m x - q.
I
Usando a definiqao derivada
determine as derivadas nos
pontosx-a,x:2ex:-3
das fungoes:
a) -f(x) : 2v)
b) g(x) : x3
c)h(x):xr-3*+6
d) i(x) : \/i
--')e) llx) -
L
Nog6o de derivqdq
Consideremos uma fungdo/e o seu graifico e tomemos os pontos
P(a, f(a)) e Q(@ + h), f(a + h))
ataxa da variagio m€dia de/no intervalo la, a -l hl e dada por:
T.v.m.ba*nl:'W
h
que € o declive da recta secante ao gnifico nos pontos P e Q.Se movermos o
ponto Q sobre a curva, aproximando-o do ponto P, obtemos intervalos de
amplitude cada vez menor, e o declive da recta tangente i curva no ponto
P, que 6 dado por:
A este limite chamamos derivada de / no ponro p (a, f(a)) e e o mais
importante limite do ciilculo diferencial.
A derivada de uma funqdo J num ponto x: d e um numero real e
representa-se por/'(a) e € coincidente com ataxa instantinea de variaqio
da fungdo nesse ponto.
A derivada de uma funqAo /no ponto x : d 6 dada pelo seguinte limite,
se existir:
f(a+h)-J@)
h
. A raz6,o f(a+h)-f(a) € designada por razdo incremental.
Geometricamente, a derivada f'(a) coincide com o declive da recta tan-
gente a curva no ponto x: a.
A derivada a esquerda de uma funqdo 'f no ponto x : d 6 dada pelo
seguinte limite, se existir:
/'(a) : lim
Geometricamente ,/'(a-) e o valor d.o declive da semitangente d /squerda
do grrifico deJ no referido ponto.
A derivada d direita no mesmo ponto E dada pelo seguinte limite, se
existir:
f'(a+) : lim
h*0+
f(a+h)-f(a)
h
Geometricamente, f'(a*) 6 o valor do declive da semitangente d direita
do grrificoJno ponto x: ct.
)so
ide
nto
lals
lIe
Qao
rite,an-
elo
'.rda
,se
C6lculo diferenciol
Equogdo dq rectq tqngente q umq
curvq num ponto x -.c,
uma vez que a derivada de uma fungio / num ponto x : d coincide
com o declive da recta tangente d curva no ponto (a,f(a)),vejamos como
determinar a equagao da recta tangenlc ?r curva nesse ponto.
Basta substituir na formula ! - rt : f'(x)(x - x1) os valores dados,
ou seja,
Determine a equaqdo de
nopontox:1.
Resolugao
f'(x) :2x ; .f'(I) :
recta tangente ao grrifico da fungdo f(x) : *
2;f(t).1
2,
Escreva a equacao da recta tan-
gentc clas scguintes [ungoes:
a)g(x):/+lparax:2
b) h(x) : (x - l)r para x: I
c)./(x) -- i - 4x para x - 4
ttxd, l(x) - h l)ara .y: 0
.\- T I
3
Determine o declive da recta
tangente ao griifico da fungao:
Ix): -3x2+2x
r-roponlox:2.
a) Detennine a abcissa do pon-
to do grAfico de/. cu.ja recta
tangente tem um coeficien-
te angular igual a l
b) Determine a orclenada desse
ponro.
y - | : 2(x- 1) e y : 2x -- ) 1- I <-> y : 2x- |
= lim
fi-0
: lim
h-0
Fung6o derivqdo
comecemos por considerar o movimento dum autom6vel. num certo
intervalo de tempo, traduzido pela expressilo: I
d(t) = tz + 2t Dada a fulrqao:
Calculemos a derivada de fungAo no ponto t : 4: f(x) : 
-
d'(a) : 1io,
h-0
d(a+ h) - d(a) 2ah+h2+zh
h
h(2a+h+2) :ltlbQa+h+2):2aI2
umavez que calculzimos a derivada de d(t) num ponto t: d coma G lR
podemos escrever: d'(t):2t + 2sendo d,(t) afunqao derivada ded(t).
Qual serii a derivada da fungdo para t = I? substiruindo a por I na
expressdo obtida, vern d' (l) : 4.
Neste caso, esta nova funEio d chamada velocidade, e tamb6m se pode
denotar por:
v(t):2t+2
Se fizermos t : 2, o valor obtido ser6 6 m,/s que representa a derivada de
d(t) no instante t : 2. Fisicatlente, este valor e i veloiidade instantdnea do
autom6vel no instante t : 2, isto 6, o valor que o velocimetro do automovel
apresenta.
D / 6 possfvel obter uma nova funqdo.;[' a que sechama d"J.
O da funEao derivadaf , 6 o conjunto dos pontos onde a fun_
gdo f te da finita.
Derivqdqs sucessivqs
Se pretendermos determinar a aceleragdo do autom6vel, referido ante-
riormente, no instante t : 3, precisamos de calcular a derivada da fungdo
velocidade nesse instante. Comecemos por calcular a expressao da derivada
de v em qualquer instante t.
(-aiculc e J:rimcila c a segunda
clcrivadas c1a lungio.
l(.r) : lrr -r 2r * I
6
L)ado o guifico de ./''
a) Complctc conr tttn cl tts
simbolos >. < ou -
'f'(r) o
'J',(l) _ o
. l't(r) o
b) lndiclue unl ponLo ondc a
dcrivacla eriste .
v(t+h)-v(t)
h
2t+2h+Z-
v'(t) :1i-
l,l+u
: lim
h-0
: lim
h-0
2t-Z
Constatamos que, neste caso, a derivada da velocidade (aceleragao) 6
constante em qualquer instante.
A aceleraqio 6 a derivada da fungdo velocidade e a velocidade 6 a deri-
vada da fungdo espaeo, pelo que a funqdo aceleragio d a segunda derivada
da fungio espago.
E, pois, possfvel definir derivadas de viirias orclctts, isto 6, uma fun-
edo J' , derivada de J, serii tamb€m derivavel, denominando-se segunda
derivada de f e representando-se porJ't . '
Analogamente, podem-se definir/'n , f'u, ...
Usando a definiqdo de derivada verificamos que paraflx) : x2'.
. A primeira derivada de f € f' (x) : 2x.
. A segunda derivada e f' (x) : 2; aterceira derivada e J"' (x) : 0, ...
Derivqdss lqterqis
Consideremos uma fungao/ definida graficamente em [-I,41.
f e derivdvel emx : 0? E emx : l? E em x : 2?
J serA derivrivel em x : 0 se existirem e forem iguais os limites laterais:
f'(0*) : lim
x+u
/(o + h) -J(o)
J'(0-) : litl_
]C+U
h
/(o + h) -/(o)
Por observagio do griifico, verificamos queJ'(0-) : -I e/'(0*): 1,
o que significa que os limites laterais no ponto zero sAo diferentes, donde se
conclui que/ndo e derivrivel em x : 0, apesar de ser continua nesse ponto.
Analogamente, conclui-se que/nio e derivrivel nos pontos x : 1 e x: 2.
SejaJuma funqdo real e a um ponto do dominio de/.
Chama-se de rivada lateral ?r direita de a e representa-se por f '(a*):
f(x) - f(a) f(a+h)-J@)J',@*): lT. J'G+): lSx- cI
D
lnte-
nQao
v^da
Eao) 6
a deri-
:rivada
ra fun-
:gunda
1.
:s laterais:
''(0+) : 1,
s, donde se
esse ponto.
=lex:2.
r J'(a+)'.
J@_
JG) : \li
Chama-se .trerir'*r1;l latrelnl ii cstlrtt'r.l.r de a e representa-sepor J'(a-):
' 
f'(a-) : r;2-\ -p o" J' @- i;-o h
Se existirem e forem iguais as derivadas laterais no ponto d, entao
cxiste a derivada de fungdo no ponto a e (. igual ao valor comum das deri-
vadas laterais.
: f'(a): fi(o*) = J'@-)
erivs &XX mde e confinuido e3
Observe os seguintes grrificos:
a
r234x
g(x) = x2 m(x)
ecleul difer rrcisI
Verifique que g admite
derivada para qualquer
a€Dr.
5
4
3
2
I
I se x(3
se x:3
lse x)3
Calculemos/'(0), g'(1) e m' (3):
' /'(0)
f,(o+) : lim (h) - (o) : lim' h-0t n h-o-r
: +oo
Analogamente, conclui-se queJ'(0-) : *m.
Donde,
/'(o) : +*
. g'(I)
o(1 +h)-s(I),. (I +h)2-I
e'(l):lim D'- ; - :llmo \-/ i;o h i;o h
,. 2h+h2 ,. h(2+h): Iim : lim : lim (2 + h1:2
h-0hh-0nh-0
A funqdo g admite derivada finita em x: I.
* m'(3)
m'(3+): lim
n+u
m(3+h)-m(3)
Iim
h-0*
2(3+h)-r-3
Iim
h*0+
6+2h-4m'(3*): lim
n+u
m'(3-): lim
h-0-
: lim
n+u
I
Considere a fungao:
g(xl:x2-I
a) g adrnitc derivada em r - 0l
Jr-rstifique.
b) O que pode concluir sobrc a
continuidade de g ern r .. ()l
I
Consiclere a [uncao de [inicla
po r:
a) Esboce o gr;ifico cle.f
b) O que pocie concluir sohre a
coniinuidade de f em x - 0?
Jusrifique .
c) Verifique que .f nao e deri-
vivel em x: 0" Explique
por que razAo estt facLc:
naer contradiz o teorema da
continuidade e derivabili-
dade.
10
Consic.lere
a) A,,'erigue se existe,f'(1)
b) Ilefina a funqic f'{x)
f x. sex20
ftxl:)-
[-\ x scx{0
f 
x+ j, sex51
l3x+f, sexll
m(3 + h) - m(3) _ 3+h-1-3
Iim
h-0-
:lim h-r
h-o h 
:+oo
A funqdo m admite derivada infinita em x : 3.
Como acabdmos de verificar, o valor da derivada de uma fungdo, num
ponto x : d, pode ser finito ou infinito. Quando o valor da derivada num
ponto 6 finito, dizemos que a funq'ao c derivdvel nesse ponto.
No caso das fung6es com derivada infinita, constatdmos que estas
podem ser continuas ou descontinuas: f " * t€m derivadas infinitas em
x : 0 e x: 3, respectivamente, e.j[€ continua nesse ponto enquanto que m
6 descontinua em x:3.
Quanto a exist€ncia de derivada finita num ponto, vamos provar que
esta garante a continuidade da fungdo nesse ponto.
-feorcma:
Toda a fungdo que admite derivada finita num dado ponto 6 continua
I nesse ponto.
Demonstragio:
Suponhamos que a funqdoJtem derivada finita para x: d.
Aigualdadef(x)_f(a):ry(x_a)everdadeiraparaVx*a.
Aplicando limites a ambos os membros, vem:
-oL x_d l
:r:+t'\ -t-I' 'hm (x - a): f'(a)'o
ComoJ'(a) e finita, tem-se:
l'+ tfkl - f@)l: o ou I'g; fC"l : f@)
o que 6 equivalente a dizer queJd continua em x : a.
Vejamos que o reciproco do teorema anterior pode ndo ser verdadeiro,
isto e, uma fungdo pode ser continua num ponto e nao ter derivada nesse
ponto.
Consideremosflx) : l"l " o respectivo
grrifico.
Esta funqdo 6 continua em x : 0 e nesse
ponto nao tem derivada, jri que/'(0-) : -1
e f'(0+) : l.
C6lculo diferenciol
Regrqs de derivog6o
Derivods do fung6o qfim
Yara J 6) : mx + b determinemosJ'(x):
r,,,.\ _,.- f(x + h) -J(x) _f (x): lrm" ,h-0 n
: limh-0
Donde:
(mx+mh+b)-(mx+b)
f(x) : mx *b wtAot'(x) = m
A derivada de uma funqdo do tipo f(x) : mx * b 6 igual a m que 6 o
declive da recta que a representa.
Da expressdo anterior, podemos tirar as seguintes conclusOes:
. A derivada deJ(;l-): x € igual a l: (x)' : 1.
. A derivada de uma fungdo conslanl('€ igual a 0: (b)' : g.
Derivqdq dq somo e dq diferengo
de duos funq6es
Consideremos duas fungoes, J e g, que admitem derivada finita num
ponto a,entloJ * gederivrivel emc e(f + g)'(a) = J'@) + g'(a).
DemonstraeAo
V@) + S(a)l': lntl;
h
f(a + h) - f(a) * c@ + h) - s@): lim
h-0
l1:,'
Calcule a derivada das funqoes
segulnl-es:
aJJG) -- 3x - 1
I
b) f(x) : ;xi
c)lQ):qx(a*0)
3x-2
d) Jtx) : T̂
e) f(x) : xz 3x
f)f(x)-3xz-6x+8
num
num
estas
ts em
lue m
,r que
x* a.
f(a+h)+ s@ + h) - f(a) - s@)
- g(a)h)
n
(a+I
:1,(a) + g,(a)
Se, em vez de duas, se tratar de tr€s ou mais fung6es, o processo de
crilculo da derivada 6 aniilogo.
A derivada da soma de duas ou mais fungOes num ponto de derivada
finita 6 sempre igual a soma das derivadas das funqoes nesse Ponto.
(f + g)'(x) : t/(x) + g(x)J' :1'{x) + g'(x)
I
rl
De modo id€ntico:
A de duas ou mais funq6es num ponto de derivada
finita e sempre igual d diferenEa das derivadas das funqoes nesse ponto.
U -9'G):lJG) -g(x)l':f'(x) -g'(x)
Para J@) :2x I 3
1. (f + 8)'(x) : (2x + 3)'
Z. A - B)'(x) : (2x -r 3)'
e
-r
g(x)
()xJ :
()xl :
:5x
2*5:7
2-5:-3
Derivqdq do produto de fun66es
Consideremos duas funq6es, J e g, que admitem derivada finita num
ponto a, entAo J' g 6 deriviivel em a.
V@)' g(a)l' :1'(a)' g(a) + g'(a)'f(a)
Demonstracao
Somando e subtraindo f(a) ' g(a + h), vem:
a' 0'
: lim
h-0
: Iim
h-0
(a) :
f(a + h) . g(a + h) - f(a)' s@+ h) + f(a)' s@+ h) - f(a)' s@)
V@ + h) - J@)l' s(a + tr) + f(a)' [g(a + h) - g(a))
.. f(a + h) - f(a) /:!rm- , =-.9\4
h*0 n
h
+h)+r;*w#.rc,
: IY,W' ls'co + h) +';ntutP' 
|33/tar
:1'(a) . g(a) + g'(a) .f(a)
A derivada do procluto de duas ou mais funqoes num ponto de derivada
finita e dada por:
(/' g)'(x) : J'(x) g(x) + g'(x) f(x)
Paraf(x):xtI e g(x):x2+2
(f . g)'(x) : (x * r)'' (* + 2) + (* + z)'' (x * ]) :
: l(* + 2) + ?: (x + r) : * + 2 + * + ls : 3i + b + 2
'r.j:lr!,';t ,iri;
Derivqdq do produto dumq conslEnle
por umq fung6o
Sendo lc uma constante e/uma funqdo que admite derivada finita num
ponto, entao o produto deh por J tambdm admite derivada.
Aplicando ategra do produto, obtemos:
lk'f(x)l' : h' ' g(x) + h'f'(x) -- h' f'(x)
A derivada do produto de uma c()trsl2lnlc por Lrma fungio e igual ao
produto da constante pela derivada da funqdo:
lk'f(x)1':tu'.1''(x)
l. (3*)' :3(x2)' :3(2x) : 6x
- lt ,\' l, r., : !12*1 : *,.\tr') : t\x-) 2'
Derivqdq dumo pot6nciq
de expoente nqturql
Considerando uma funqdo J que admite derivada finita num ponto 4,
Cqlculo
L2
Caicule, aplicanclo as regras da
derivacao, a clct'ivada clc cacla
uma das [uucOcs scguintcs:
a)JQ;:x2+4xrl
b) S(") : x(8x -F l)
c) h(x) - (r2 l)2
d) i(x) : (-x + 1)(x2 - .{r)
a num
'g(a)
f(a)
derivada
entdo a pot€ncia de expoente natural tamb€m admite derivada nesse ponto.
Comecemos por determinar a derivada de [f(x)13.
Ora, f(x)13 : J(x) 'J(x) 'flx), logo, para calcular a sua derivada,
camos aregra do produto:
(y(")l')' : f(x) 'JG)'f(x)l'
: f '(x)'V(x)12 + J'&) ' y(x)12 + f '(x)'lf(x)12
:3.J,(x) .lf(x)12
Donde:
(t/C"ll")' : n' lf(x)l'' [f(x)]'- t
A derivada duma pot€ncia dc cxpocntc nalrtral de uma funQdo € sem-
pre igual ao produto do expoente por uma potencia com o expoente sub-
traido de uma unidade, a multiplicar pela derivada da base:
,l (tJC"lt')' : n. f'(x). [f(x)]" - t
Em particular,
(xn)' : rrxn- |
[(x-z;:]':3'
-3.
'(x-2)2
Z)z -- 31* - 212
(x - 2)'
l'(x-
Derivadq dum quociente
consideremos duas funqoes, J e g, que admitem derivada finita num
ponto a e g(a) + o. Afungao $ a^uem admite derivada finita no ponto 4.gld)
Demonstragao
- X^)
sG)
l;
I
(t)' ",: r'$
g(a + h)
: lim s@) f(a + h) - f(a) s(a + h)
h-0 h g(a + h) S@)
Adicionando e subrrain do g(a) f(a),
: rim s@fc.D - s@I@ ! s(r)fld -
h-oh-
= lim g(a)
n+u
f(a+h)-f(a) -f(6ejp:
- f'(a) g(a) - g'(a) f(a)
Is@)lz
A derivada de um quociente de duas funE6es num ponto de derivada
finita e dada por:
(*)'*,:
\d/
ll9) sQ) - f(x) s'(x)
13
Calcule, aplicando as regras
da derivagao, a derivada cle
cacla uma das funcocs scguin-
tes:
Is&)]2
uf 
-'la) ilx) :- t0
)x1
(l + 0)(x- 3) - (x+ l)(l - 0) _ /_]_
b) g(r) : (x - l)z
-4
(x - l)zz)c)n\x): , - ,x'
->-2 
- z
rl) i(xt : ''^ --'
x'
Derivqdq dumo polGncio
de expoente rqcionql
Consideremos uma fungao/definida porflx) : 2x-2.
A expressdoflx) pode ser escrira na forma de f(x) : +.x-
Para calcular a derivada def, aplicamos a regra do quociente.
Donde vem:
_0-2x.2 -4x 4= ---J- : __j_ : ___l_ : _4x_3x' x' x,
le derivada
C6lculo diferenciol
que esta derivada poderia ter sido obtidala partir de uma
rnaloga i da pot€ncia de expoente natural, estendida d pot€ncia de
lnte inteiro. I
Consideremos uma outra fu4gao g definida por: g(x) : x2
Reparemos que g(x) tambdm pode ser escrita como: g(r) : Vx '
Podemos calcular a sua derivada recorrendo i definiqio:
S'(x) : |i36
\Fn -l;
O crilculo deste limite conduz-nos a uma indeterminaEio do tipo $'
Multiplicando e dividindo pelo conjugado do numerador' vem:
S'(x) : |t13
x*h-x: lim
h-0 hsEii + li) h(\/x+h +\/x)
: Iim
hr0
)oFn +\E
- r r _L^.-i: rlrfr - -------:-- : -------: 
= ^[10 Vx + h + lx 2^,lx 2
Estendendo a regra da pot€ncia de expoente natural d pot€ncia de
expoente fracciondrio, vem:
/+\' r ]-r t -+ I\x.):rx :r* :ffi
A derivada duma potencia de expoente racional nio nulo duma fun-
q 6 sempre igual ao produto do expoente por essa pot€ncia com o
e oente subtraido duma unidade, a multiplicar pela derivada da base:
Derivqdq dq fung6o comPoslq
Consideremos duas fung6es, f . g, que admitem derivada finita num
ponto a. A fungio f"g)(x) tambem admite derivada finita no ponto 4.
(fog)'(a): lg6
.t
..',/ \
| ./\\v/\-'l I
I-
Calcule a derivada d* f"*
q6es seguintes:
a)f(x):\F
b)^r) :1fix + z
I
c)flx) : W
d)f(i:lE
r (\E-x + r)' : 
l(". 
t)*]' : I r" * ,)* -'
. l, ill' r !-' x
2. (\F-t)' : l(",-r)t | : ; (* - 3)2' -bc: -W--
L\/)L
-4x-3
.l 3
( .on..,i j,.]i-t :is ftr tC|r,,! :
/(i) -. -x * I r: g(r) ... rl
a) l-rl.:uli: lr(r) - (g,,1(r).
ir) l.;ieulc l'( i).
l5
{.allriic a <1rrir.-ada dc ciclr
unra cias f ur;r-:ir:s scgl_rinles:
a)./(r) -- ."1'
b) glr) =. :.'
c) Jr(v) :,: 21 0,':t
u{) ii.) .- {{
A fungdo exponencial e a
fnica funEio cuja expres_
sio da derivada coincide
com a pr6pria fungio.
Vamos multiplicar e dividir por g(a + h) - g(a).
s(a+h)-s z)
: lim sG+h)-s@)
: lim
h-0
h-o g@ + h) - g(a)
(fog)' (x) : g, Ife)l . g, (x)
, [(2x * 1;u1' :2(2x * 1)z-r .(2x + l), :2(2x* 1) .2 :
-4(2x+l):gx*4
erfvffi w dq fungdo exponencis$
Por definiqao, vem:
f,(x):t-^f(x+h) - f(x): 
lirl 
n*\- n :1i^ d.eh- d- h_o 
^ 
-f=b 6 h+o h
:fgo :!ry(e +r) :.*.16^41 :d.r:d
sendo g(x) uma ,rrrr", l"*jr\ 
h ) " 'i'lo 
h
[es@)1' : gBG) ou (eu), : Lt, . eucom u : g(x)
A derivada da fungio exponencial dc h:rsc c d dada por:
: ({)t:{ 
I
Sendo u : g(x) uma funEdo, tem_se:
lim
h-0
: f'[g(a)]' g'(a)
ao produto da
Fg', 
l#:'
(eu)' : u' . e, I
I
->l
S"j exPonencial de base a) 7.
mos que:
d' : etna donde d : (elna:'x - 4xlna
Aplicando a regra da derivada da exponencial de base e,
-\A' 
: (d't"or' : (sxln d)t . exha: ln o. rxrna _Sendoflx) uma fungao, vem:
(af@)' : ln d.f '(x) . d@) ou (au), : ln q.. u, .
A derivada eiuma ftlngan exptlncncial de base r.r ),
vem:
lna.d
au comu: f (x)
I e dada por:
(d)' - ln a. au i
(a+h)l-fl,g6)l
g(a+ h) - g(a)
[s,(a+h)]-JIsG)l
Sendo u : f (x) uma fungio, tem-se:
t.s'
rto da
tase g)
a) I.
riJ
). (3\' :2'ln3'32* :2'3b 'ln3
I7
Calcule as derivadas das
goes seguintes:
a)Ix): I02x-3
b)g(")-2Vx+I
3r
c) h(x): i
d) i(x1 : 5"2
[un-
Derivodq dq fungdo logoritmo
Derivada da funqao logaritmo de basc c
Consideremos a funEdo definida por g(x) : ln x.
Calculemos utilizando a definigilo de derivada de g.
.. ln(x+h)-lnx8\x):lrm--_--------.-=Ilmo" h-0 h h+0
'(+")
:tsl+'('*)] =Hrl''(+")*l :
: t$ l'" (' 
. +)*] : Fs ['" (' 
. +)* 
*] :
[lnflx)l' : # ou (ln u)' : + com u :r /k)
A derivada da funeio logaritrno de basc,o € dada por:
Sendo u : JQ) uma fungdo, tem-se:
Derivada da ftinqio logaritmo de base'a ) I
SejaJ(x) : logox,
(logox)' :
Sendoflx) uma funqio vem:
. f. | . ,_ \+lt: ,".+= ,: *|**l' .+ 
/ l: 
rrle^ = -
Sendoflx) uma fungio, vem:
11r
-=-Ina x xlna
x)
llog^ f(x)l' : ffiou 0o8o u)' = #T com u : f(x)uma funsdo.
A derivada da funqio logaritmo de base a > | t dada por:
l: ..
Calcule a derivada de cada
uma clas fungoes seguintes:
a) JG): In (x - 1)
D) gtx) : In Vx
c) h(x) : Iog (x + 3)
(logox)' _I
xln a
Sendoflx) : u uma fungio,tem-se:
/1 \' " u'(log- u/
" utna
t- .-
d) i(x) - rrr ^
e) m(x) : loc (x2 1)
l. (ln 2x)' : + : 2
-:
2x
I
x
2x( ^'2\'2. (loe x2)' : --*l - 
:" x'ln I0 x2ln 10
z
xln I0
Derivodq do
Seja:
fun96o m6dulo
19,
Calcule a derivada das
coes segurnles:
a)m(x):1"-zl
b)'r(x):l:x+ol
c) p(x) : l+ - txl
fun-
o" : {-:
sex>0
sex(0
Para x = 0, f(x) : x donde..f'(x) : I.
Para x < 0, flx) : -x donde f'(x) :
Averiguemos a exist€ncia de derivada
/'(o) : lim
/l+u
/(o + h) -f(o) : lim
11+u
: lim
h-0
,h+0
Para determinar este limite, teremos que calcular;
h* lll e hm lhl ,isroe.
h-0+ h lr_O- h --'
z0
Estude a
g(x) - lx
Iim
h-0+
h
h
: lim I:l e lim
h-0+ h-0-
_h
h
:lim-l:-I
h*0+
derir.abilidacie cle Como estes limites sao diferentes, concluimos que ndo existe limite
- 2l , para x : 2. pata x : 0, ou seja, nao existe derivada neste ponto.
Diz-se que a funqdo f(x): lrl ndo 6 derivrivelno ponto (0,0).
Graficamente, verificamos que se trata de um ponto anguloso, ndo
sendo possivel traQar uma recta tangente no ponto.
Cdlculo diferenciol
Derivqdo dq fungdo seno
Vamos obter a fungZo derivada da fungdo f(x) : sen x aplicando a
definiqao de derivada no ponto x:
/-___ _-\f _ r! sen (x * h) - senx
1s-h.r7 : rlrr--r
h-0 h
,. senxcos h * sen h cosx - senx
urrrh-0 h
1. senx (cos h - I) * sen h cosx
h--o h
_ rj___ senx (cos h - 1) , r,
-Tluu
h-0 h h-O
: senx.lim cosh- I * cosx.limh-o h --- h;o
:senx'0*cosx.I:cosx
Assim, podemos afirmar que a fungdo dcrivada da fungdo seno e a fun-
sen h cos x
sen(x*ft):
:senxcosh*senhcosx,
2l
Calcr"rle a clerivacla de cada uma
clas fungoes seguintes:
a),I(r) : 2sen ,x
b) s(r) : sen 3r
c) h(x) * I
sen 2x
d) m(n) : ln (sen x)
lim -0x*0
eao co-seno:
(sen x)' : cos x
Sendo u(x) uma qualquer fungdo real de variilvel real, derivdvel, o
resultado anterior pode ser generalizado, aplicando o teorema de derivada
da funqao composta:
l. (sen 2x)' : cos?sc(2x)' :2cos2x
2. [sen2(5x + I)]' : 2cos (5x + I) . (5x + I)' : IOcos (5x *
Derivqdo dq fungdo Go-s€ho
Para determinar a derivada da fungdo f(x) : cos x, em vez de irmos
pela definiEZo, basta considerar:
r /n \1, lt \, lt \(cosx)' : lsenl; -")l : (; -x) cos(; -"1 : -Ir"""-L \- /r / \: -senx
Podemos, entio, afirmar que a fungdo derivada da fungio co-seno € o
sim6trico da funEdo seno:
(cos x)' : -senx
Este resultado pode tamb6m ser generalizado,
quer funqio real de variavel tealu(x), derivzivel:
considerando uma qual-
't -t
Calcule a derivacla cias
q0es scglttntes:
-\ ir--, 
- ^^.- 
_1,.
af],!i - lu:.^
1
\Z
., COS JX
c) ir(x) : 1n (cos x)
d) i(-t) : cos (r2 - tr)
fun-
[cos u(x)l' : -u'(x)' sen u(x)
1. (cos 5x)' : -sen 5x (5x)' : -5 sen (5x)
2. cos2(3x - f) : -2sen(3x - l)(3x - 1)' : -6sen (3x - 1)
Derivqdq du funEdo fongenle
Para determinar a derivada da fungio J(x) : tg x faremos flx) :
Aplicando a definigdo, teremos:
/senx\'@:
I _ | : / \)
\ .os x / (cos x)"\/
sen x.
cos x
7f
Calculc a clt:riveclit tlrts ltttr-
q(]es segullltes:
a) JLt) : tg 5,r
b) g{rl :
cosxcosx+senxsenx cos2x*sen2x
(cos x)2
ou seJa,
I
(tq xl :- cos- x
; (tgu)':k
(3x),
I. lte (3x)]' : ' -
cos2 (3x) cos2 (3x)
'(;;)':
_I I
t""- 
"tg2 x
Derivqdo ds fungdo co-fqngente
Para determinar a derivada da fungdo J(x) : cotg x faremos
Aplicando a definiqdo teremos:
f(x) : COS X
sen x
(cos x)' sen x - (sen x)' cos x
sen2 x
-sen Jc sell x - cos x cos x
sen2 x
(cotgx)' : -
sen2 x ; (cotg tt)' : -
h
C6lculo diferenciol
I
sen2x 2+
(.alculcr a clclivada das 1r-rnq:r1es
scilltl 11 t cs:
a) /(x) ,- c:t>tg )x
h)gtv) 2
t:otg 2.r
sen2x*cos2x
sen2 x
sen2 u
/'(x) : lim
tl+(,
ou seJa,
y:l; +x:y2entdoJ'(x)
DerivEdq dEs fung6es trigonom6tricqs
inversqs
Derivada ,1" Y = arc sen x
Atendendo a que a funqdo inversa do sen x (. o arc sen x e aplicando a
derivaqdo da funqZo inversa, vem:
(arcsen *l':;f - - I -(seny,) cosy
\h-"' ; (arcaenu)'= \m
Derivada de Y = arc cos x
Seguindo o mesmo raciocfnio y : arc cos x resulta da inversa de x : cos y.
ll
2y 2't/x
vi -;at \h-.'
x
/ -\r 
-(arc sen r( / -
cos x
sen x
11
(arc cos x)' : .---- v(cosY) senY {l - cos2y
(arc cos x)' : - -+ ; (arc cos u)'vr-x' vr-u'
Derivsdq dq fungdo inversq
Para a funEao J : f(x), a fungdo inversa serd x : g(y).Pela definiqao,
If(x): . .- g\x)
h-0
f'@)=fu
I
g'(x)
I
I
il
I
25
Calcule as derivadas seguinte-s:
a).f'(x) : arc sen 2x
b)/'(,r) : arc cos 2x
1cJ.l t.xt : arc tg -
d),f'(x) : u...o,i r"
Derivada d" y : arc tg x
A funEZo y : arctgxeainversa dex: tgy. Entio,
Derivada ,1" y - arc corg x
Do mesmo modo,
/ . \, I I I 1i?TC l_s_ _f i : 
--
' o (rgy)' I liry2y L_lx2
cosZ y
fr{1u'j (arc tgx)' = -: _, ; arc tg u: Ifrld_*--*
(arc cotg "l':,;fi;
I:--:_
I I * cotg2 y
sen2 y
(arc cotg x)' : - I-lx2 ; (arc cotg u)' : -
I . (2 arc sen x)' :
II,
I]-u2
2.. (arc cos 3x)' : -
3. (2arc cotgx)':
Monotonio e exlremos relotivos
dumq fungdo
Consideremos as seguintes fung6es definidas por:
'J(x):4x.g(x): x2-6x .h(x):f .i(x): I ol(1): -x2+Ix
Apos determinarmos as funE6es derivadas, analisaremos a monotonia e
a exist€ncia dos extremos.
. f(x) : 4x entdo f'{x) : f
-verificamos 
que a fungdo/' 6 sempre positiva e por observagdo do grrifico
a fungao/ e crescente em lR e ndo tem extremos.
. g(x) : * - 0x entdo g'(x) : 2x - 6
Estudemos g/ quanto ao sinal:
+00
(' ( omparemo-lo com a tabela da monotonia da fungdo g:
x-@3+oo
Monotonia de g \ -L) v
Verificamos que de:
] -*, 3[ g' 6 negativa e a fungao g 6 clct'rcsccnlt:.
run zero para x: 3, mudando de sinal i\ tlircitit c lt cstlttcrcla de 3.
h(x) : *t entao h'(x) :3"2
Estudemos h'quanto ao sinal:
x -@ () lrxr
Sinal de h' t () |
A fungdo h'e positiva em ]-oo,0l U l(), lool c a lltttq:ao h e crescente
em.[t.
A funqdo h' tem um zero parax: 0, rrrirs rrito nttttlu clc sinal 2t direita e 2l
esquerda desse valor. A funqlo h nao tcttt ('xll'('tllos n'llttivos.
I - .t/ r I'ltx):- entao l(x/:- )xx'
observando os respectivos grrificos, vcrilit'it-sc tlrrc a lunqdo i'e negativa
eml-m,0[ U ]0, +oo[ eafung6oiedecrcst't'trl('('rrr | *,0[ U ]0' +m['
A funqao i'nio tem zeros e a funqao i nirl tctrl ('xll'cll1os.
Mostra-se que:
Se uma funqdo 6 contfnua num intervalo I do scu clomfnio, com :'i-t:;-r"'l'l;l:t
;-:s111.1',1 ,.,r1., em todos oS pontos de I, entdo 6 r I t'rr , t tt ncsse intervalo. l
se uma funqio 6 continua num intervalo I do seu clominio, com ;i,:l::..,.';,1 ;l
i;.j:::;i'i !ii!l. em tOdOS OS pOntOS de I, ent6O € rlcr r r'\( | n | | nesse intervalO. 
l
Em relaqio aos ,::;,i: :i:'-il-',il:l' l':.: i;r'l-li'1.:l:
Se uma funqdoJ, continua num intervalo I do scu dominio, tem ;::i;'ad;r
;:r:.a para x: d, a e l, eJ' passa nesse ponto de
funqaoJ tem parax : 4 um 1 r ''.; It'lalivrr'
. j(x) : -x2 + 1 entao j'(x) : -2x
Se observarmos os grrificos representados eltl lado, podemos construir a
seguinte tabela que relaciona as duas fungdcs:
x-@0+m
Sinal de j' i + () -
Monotoniadej r' 0 \
\ Decrescente
V Crescente
*+t
:llli r.'. e
grrifico
Observe o gr6fico da fun-
sao f em la,bl:
JG), f(x), f(x+) eflb) sao
minimos relativos de /. O
menor deles 6 flxa), que se
chama ruinimo absoluto.
f(x),J@) eflx5) sao mrixi-
mos relativos deJ. O maior
deles 6J(x5), que se chama
m6ximo absoluto.
Note que ?wL x2? x3 nao hd
derivada.
. IJma fungdo que tem deri-
vada em todos os pontos
do intervalo s6 pode ter
extremos relativos, nesse
intewalo, nos pontos onde
a derivada se anula.
. Os intervalos onde a fun-
Elo 6 sempre crescente ou
decrescente, chamam-se
inlervalos de monotonia.
iletermine r:s inLerValos cle
rnonoionia e os e xlre mcg
relativeis, easo exislam, das
seguintes fungOes:
a) .f(x) -- - * t' 6x
3
b) g,x) - '. :- X;l
A funeao g C crescente em
) 2 ,tem l--. ri.| 3'L
,:i:::,.il:i::i:: i:: lli: :t t :lllli;::]t :i ! llll,::l; jll
Ou seja, para x: O, a funqdo j' anula-se e a funqdo j tem um maximo
relativo.
Mostra-se que:
Se uma fungdo J continua num intervalo I do seu dominio, tem derivada
nula para x = d, d e I, e af' passanesse ponto de positiva anegativa, a
fungdo / tem pata x : d uln miximo relativo.
No caso da funqdo y : lxl , jri verificrimos que a funqdo ndo tem derivada
para x: 0, no entanto, a fungio apresenta um minimo relatir'o, pois: no
ponto em que nio existe clerivada, mas existam derivadas i esquerda e ?l
direita desse ponto, se estas passarem de neS4ativa a positiva, existe um
ninirno rclativn e se estas passarem de positiva a negativa, existe um
nriixirrro rclalivo.
Considere a funqio, real de variavel real, definida por: g(x) : * - * - +x.
a) Indique os intervalos de monotonia e os extremos de g, caso existam.
b) Escreva uma equaqio da recta tangente ao grdfico de g no ponto de
abcissa 0.
Rcsolucao
zl g'(x) : (2x) * x) - 4x)' : 6* - 2x * 4
(.alculernos os zeros da fungio derivada, aplicando a fctnnula rese-ttrvente.
.g'(x): A<>6* -Zx-_ 4:A<>x: tq v:t:l
Seguidamente, conslruarnos a tabela de rnonotonia:
t.Ja
z6
-Zl , It3L I
inirno.(-i)'-( ir
maxlmo
Mdximo:
Minirno:
b)y-S(0):g'(0)
y-0:'-1&-
s'(c) : -4
g' muda de
7
-- lem um
")
14
zl
x:0
C,omo nos ponlos em que a derivada e nula a fungao
sinal, a fun{lc g Ll:nr extrernos relatil,os: para 16 : -
4(1): -l
(x-0) s(0)-0
0l €y: -4x
(
C
('r
rl
Colcu!o diferenciol
,a
vada
;: no
rea
um
um
Concqvidode
e pontos de inflex6o dumq fungdo
Observe os griificos d" f, f' e f" sendo f(x) : f -f 4x -l 2.
No intervalo l--, 0[, a concavidadc do grrifico deJest6 vo].tada para
cinra. Neste intervalo, d medida que x cresce, o declive da tangente a curva,
/'(x), passa de negativo a zero e em seguida toma valores positivos.
Podemos afirmar que, no intervalo l-*, 0[,/' 6 crescente 
"f 
" e positiva.
No intervalo ]0, +o[, a concavidirrlc cstd virada para baixo. Neste
intervalo, J' passa de positiva a zero e em seguida toma valores negativos,
/' e decrescente ef" e negativa.
Para x: 0, z concavidade do grdfico de/muda de sentido.
A segunda derivada 6 positiva em ]-o, 0[, e negativa etrL ]O, *m[, e
anula-se em 0, donde (0, /(0)) d um ponto de inflexio.
Se/"(x) concavidade do grrifico deJestA voltada p^ta cim .
Se f " (x) a concavidade do grdfico d,etf estA ysltada para
baixo.
Aos pontos do grrifico da funglo onde se dd a mudanEa no sentido da
concavidade, e que correspondem aos zeros de f"(x), chamaln-se pontos
de inftrexdo.
Calcule a primeira derivada, estude o sinal da segunda derivada e inves-
tigue a existdncia de pontos de inflexdo das fungOes seguintes:
a) g(x) : -4x4 +
x2
b.) h(x) : :--------9-x'
R.esoluqdo
a) g'(x) : -16Y3 * 12x2
S" (x) : -'18,x2 * 74x
Zeros de g":
t"(.xJ : 0 <+ -24x {l.x 1) <+,y :
)1-,
Calcule a segunda derivada
cla,s funqoes seguintes :
a)Ir):r-r-6.12
.x
tr) Slx) : :*x-l
c) h(x) :
6x
d) i19 :
Considere o grrifico de J:
Tncliqrie nos grdficos seguintes a
{'uu f".
/
l
I
I
\*/ representa a concavi-
dade voltada para cima.
,--\ representa a concavi-
dade voltada para baixo.
29
{n:tlitr' o 't'ntidtl dls ctrnc:-tvi
claclcs c a eristdncia cle pontos
cle inllexio nas funcdes dclini-
chs por:
a)J(r):fi-x-rl
b) g(.x) : .rr - l.x2 + +
)- |
c) h(.r) :'
xt
ND - nio esu definida.
seguidanrc.tc, corlsrruarnos e tabcla prara andlise cla concaviclade e
pontos dc inllcrlio.
*',rt I
C
0
Pi
I
+
,g(x-) l
I
()spontos(0.0)e /l I \
I f , o Js6o 
Pontos de inflcriltr
b) t)r, .. lnu- 1. 3)
lr'(.1) - , t,l t+(.\'2 -1 l)
/.1 ("\, :
(9 - -r')'
U] i:l
1Tl
cle
i
{
ct'ice t
acla e
)ltlos
url dtltttt-
-3c3,
rn{lexao
Assimptotqs
Iremos estudar regras para enconftar as equaqdes das assimptotas verti-
cais e horizontais do grrifico das fungoes definidas por expressOes analiticas.
Assimptotq verlicql
A recta de equaqdo x: d 6 assimptota vertical do grdfico duma fun-
qio/se e s6 se:
; lq. f(x) : am (ou -m) ou +y,-f("): *oo (ou -oo) ;
sabemos que nas fung6es hom6grafas em cada zero do denominad.or
hii uma assimptota vertical desde que o numerador nio se anule simulta-
neamente.
Se pretendemos encontrar as assimptotas verticais dcvcmos:
I." Determinar os pontos a tais que a e ponto de acumulaqdo (ou seja,
na vizinhanqa de a tem que existir pelo menos um elemento do DJ q.r" ,rao
seja a) do dominio def e a S Dlou/nao 6 continua em q.
2." Calcular 
lg"_ ff"l e/ou lim_ flx).
Graficamente: (ver ao lado)
A recta x: a 6 a assimptota vertical nos griificos das fungoes f, g"h.
Colculo diferenciol
-
ao
'erti-
.rcas.
fun-
ador
ulta-
seJa,
nao
Assimptoto horizontql
A exist€ncia de is prende-se com o comportamen-
to da fungao quando
A recta de equagdo y : b e assimptota horizontal do grrifico duma fun-
g0o/se e s6 se:
lim f(x) = b ou lim f(A : b
X+r@- I+ @J'
Uma assimotota horizontal
o grrifico duma fungdo tem, no maximo, duas assimptotas horizon-
trris: uma que acompanha o grrifico quando x --+ *m e outra quando x
.+ 
-@.
Duas assimptotas horizontais
Graficamente: (ver ao lado)
Assimptotos n6o verticqis
Consideremos agora a fungdo g, definida por:
g(x) :
cujo grrifico 6:
x*3 Uma assimptota horizontal
(s6 para *co)
Verifique que x : -3 € a assimptota vertical ao grrifico de g.
Investiguemos a existencia de outras assimptotas a este grdfico.
Podemos obter as assimptotas obliquas ao grdfico de uma fungio,
empregando o algoritmo da divisdo.
Donde,
g(x) :- x f I * , em que (-x * 1) € a parte inteira de g(x).
Ora, ;i1 * 0, quandox -..-> +@; logo J : -x* I serri a equaqdo da
assimptota obliqua ao grrifico de g.
eh.
I
I
I
. ^ 
vejamos outro processo para determinar as assimptotas ndo verticais
de fungOes racionais ou de outro tipo.
Seja y : ntx + b a equagao da assimptoh nao vertical ao griifico de
uma funqdof
Determinemos o declive , m, e a ordenada na origem, b.
^ Repare que, quando x - *m, a distancia entre as ordenadas dos pontos da
fungio e as ordenadas dos pontos da recta com a mesma abcissa tende para 0.
Observando a figura ao lado, podemos escrever:
x++@ -
olim lf(x)-mx-bl:gx++o -
y=rnx+b
30
Esboce os gr:i{icos dls lLrrrrrics
5eguintes e clctcrrninc lrs r'(lu;l-
q6es das respcr'ti!tis ir.!sr lll)r()-
tas:
v- I
aJjri\ : r ,
b) g(x) :
)
c) hf-r) : . l- ,.{" -- -}x j- b
FaEa um estudo aniilogo
quandox- -@ everifi-
que que se obt6m os mes-
mos valores param eb.
Donde:
ou seJa,
vem,
vamos calcular b:
donde,
f(x)-mx-blim
x++@ -0
rim lf@ -^-x++@ L X
|+-*:o
bl_^rl-"
lim
x-+@
f&)
-:mx
It9* tfl") - mx - bl: O
b : lim lf(x) - mxl
x++@
Podemos dizer que:
O grAfico f admite uma assirnprtote obhq&a de equaEa o y : mx I b.
sendo
,. Kx)m: lim a e b: lim [f(x) - mxlx++@ X x-- o'J' '
{/ -.\m:lim J\o/ e b:lim t1e)-mxlx+-@ X x--@-
Se m : 0, obtemos y : b quee a equaqdo de uma
ao grrifico de/.
Colculo diferenciol
l. Seja a fungoJdefinida por:
f(x) : x2+4x
x-12
a) Esboce o grrlfico deJ.
b) Determine analftica e graficamente as assimptotas ao grrifico de J.
Resoluqao
a)
b) Por observaeao do grrifico, parc('c scr
possivel afirmar que este aprcscltlit
duas assimptotas, uma vertical c ()ulra
obliqua. Verifiquemos que assim t':
. x : -2 e uma assimptota vt:rlit'al
ao grrifico de/porque:
31,
Determine as equagdes das as-
s totas aos graficos d,e J e g:
lim x2 -r 4x .. lir'x--2'---wfr-2'xt z
x2+4x a) f(x) :
x-l 2 -i
. Deterrninernos a equaqdo da assimptota obliqua:
b) g(x) : x-2
x2+4x
lim : lirn
X+Xt X x+!@
x*2
x lim x2-4x
-t.-'',- X2+2X
u:!y,-*tf{x) - mxl: l,,A- (+y-- ") 
:
2x
xt2
Donde,y : x + 2 €aequac{o da assimptota obliqua ao griiica deJ
2. Estude as assimptotas da fungdo seguinte:
2x-yJ
":-' x-I
ResoIuEao
D:{x€lR: x-1+0}
D: lR\{I}
lim 2x - x)
-\+.1 -- .r-T*-\- |
. Assimptota nao vertical
y:mxib
f/ .,\r : l_'I- ; b: lim [e) - nxlY+rx X x--I@
^l.LX - X'
/, .- tim l',- -,"'- t -xl | : rim (,* - x2 , . r\ -
'- 'lx-l I ,*rx \x-l- 
r-"')-
lirn 2x *, * !, 
_I: 
lim __x , : I
.\,-x X- I xlT@ X-I
Donde, y - -r t I e a equagao da assimptota nao vertical (obliqua).
l. Estudo das funE6es definidas por:
-la\f(x): ;;r b)g(x): fr- cU(x) : xd
Resolugao
-ta) f(x) 2x-ll
. Dominio: D1: lxe lR:2x+ 1+ O);Dr : R\l-+}' L 2)
. Continuidade: a fungdo e continuaem todo o seu dominio.
x: I e uma assimptota vertical porque:
Iim 2x - x2
x- I -t^^
Estudo dq fungoo
Para estudar uma fungdo real de varizivel real, normalmente procede-se
d andlide de:
. Dominio
. Continuidade
. Assimptotas
. Paridade
. Monotonia e extremos
. Concavidade e pontos de inflexao
Este estudo conduz-nos ao esboEo do grrifico da funqAo.
. Assimptotas.x: -+ " 
y: o2'
. Paridade: a funqio nao € par nem impar.
f(-x) # JQ),V x c DJ, pelo que/nao 6 par.
f(-") * -f(x), V x C ?f, pel,r qr-te /ndo e impar.
. Ivlonotonia e extremos:,['(x) :1;f;,
/'(x) nunca se anula.
Tabela de aniilise da monotonia:.
. A funqaoJ 6 crescente em
I ll...l r Il-oc. --l u l--. +ol
| 2l I 2 L
. A funQaof ndo tem extremos rclittivos.
. Concavidade e pontos de inflextrr: ./ "(x) a#
Construamos uma tabela para andlisc da t'tttrt'aviclacle e pontos de inflexao:
. A segunda derivada:
Positiva .- 
]--, -+[ .
Negativa 
"*]-], 
**[,
nao se anula, pelo que nao existem
pontos de inflexao da fungao.
Utilizamos os valores obtidos
para esbogar o grafico deJ.
b) s(x) - -1-" lnx
Dominio: Dr: [xC lR: x] 0 n lnx# 0) :
: {x€ lR:x> O n x * 1} : 10, +oo[\{l}
. A funQdo 6 continua no seu dominio pois
continuas.
-+ ^0t -TLI_
6 o quociente de funq6es
. A funeao nao e par nem impar.
. Assimptotas verticais: atendendo i continuidade da funeao no
seu dominio, temos apenas que estuclar () comportamento de g
quando x tende para 0 e para I que siio os pontos de acumulagao
do dominio que nao lhe pertencem.
,.x0lim 
-:
x-0* lnx -oc
A recta de equagio x : 0 nao e assimptota vertical do grdfico de g. +
x
J"G)
/(x)
I'G
{x€lB:x)0nx
32,
Faqa o estudo das func6es
segurntes:
^)nlx): , .x"- r
b)J(x):x3-2xz-4x
x2-4c/r\xr: xz+Zx+l
4x-8
d)plx): A- (x- rr
e) u(x) : log (1 - x)2
Facultativo
y.:mx*b
fk)m: lim
r=@
b: lim lf@) - mxl
ra@ -
+
le-se
1. x I ,. x Iltq. , : 
^r 
:+x e lim -'Y-- 
-:-3ox>r lnx u i--l lnx 0-
A recta de equagao x : I e assimprota vertical do grr4fico de g.
. Assirnplotas nao verticais: a represcnlagatl gra[ira nio c muito
esclarccedora, embora sugira a exist€ncia duma assirnptota oblf-
qua com um declive positivo e pequeno.
I
lnx
33
A concentraqAo, em mg por
cm3, de unl medicamento no
sangue de uma pessoa (. dada
por:
0,18 r
-l !\ 
- 
- 
- -f rL/ ( + .Jt + 25
Determine o periodo l, cnr
horas, no quaI a conc:cntraqzlo
e rnais intensa.
34
Urna companhia de aviaqicl nAo
permrte que se transPortem
pacotes de fbnna cilindnca em
que a soma da altura com o
perinretro cla base ultrapasse
'I 62 cm. Quais cleverAo ser as
medidas da altura e do raio da
base, itara que o pacote que
tcnha o meior volunrc scja acci-
te pela cornpanhia?
,. l(x,llm
r- +-m X
: lim
r+f @
Se existir uma assimptota nao vertical, serd uma recta horizontal pr:is
Y : 0, ou seia, m
q(x) -. linr , 
{- - tcc (limiLe rrotdvcl).
r+irc ln X
lrntao, o grdfico de g nao tem assirnptotas ndo vcrticais.
Quarndo x + +co tambem g(x) - f m mas nao se (encostar) a qualquer
rccta.
' g(x) nao d par nem impar.
. Monolonia e extremos: ln x-- tl 'x
I
.e'(x):(*) : x' 'lnx - (ln x)' 'x
(ln x)2 (ln r)r
lnx- l
(ln x)r
. Zerosdeg': g'(x) : 0 <>lnx-1 : 0 nx€Ds e x: (
Como no dominio de g se tem (ln x)2 sempre positivo, o .sinal de g' e
o sinal de ln ,x - l, sendo:
lnx-l)0+lnxll<+xle
g(e) d rninimo ndo absoluto jd clue , como limos antcl'i()nncltrcl
1,$ s(x)^: -m.
g(e) *- r-; : e cminiuorelativclt: ocontradominiodcgelnc
D'*: l-*,0[ U [r:, *m[, pois jdconcluimosque I,r11 g(.x) : cc
lr$,S(") 
: 0, lim g(x) : *cc e rambdm llg_.q(t) 
: *rc.
. concavidactres: a observaqio clo grdfico em 10, 1[nlo deixa duvi-
das de q grrlfico tem a concavidade virada para baixo'
Serii que ll", +-1 a concavidadc clo grrifico estd sempre virada
para cima?
Sinal de g"
Concavidade de g ND
' (lnx)2 - [(lnx)2]' (lnx - l)
(ln x)a
I
Nl)
NI)
rutE,i
Calcule dois nrimeros cuja
soma 6 25 e tais que o dobro
do primeiro mais o triPlo do
quadrado do segundo seja
minimo.
,. .l
t.t :il
Pretende-se fazer um catLaz
quc tem de obedecer 2rs seguin-
tes condiq6es:
A ilustragao tern de ocuPar
900 cm2.
As margens deverao ter 5 cm.
Calcule as dimensoes do car-
laz de modo a que a quanti-
dade de papel utilizado seja
minima.
Pretende-se construit uma
janela de perimetro igual a 8
metros. A janela 6 formada
por um rectanElulo e um
semicirculo, conlorme rePre-
senta a figura.
lndique as dirnensoes da
janela de forma a que a drea
seja mdxima.
Ilnx- ll' (lnx- l)
8"(x): | .r-.r, | :
L \rrr ^/ I
.l
-r . (lnx)2 -
_x
2lrr .x (ln x)' (ln x - l)
(ln.x)'1
41-x (ln:
.X
(ln x)'l
-t2+2t>0etel0,2t.
Entao -(lnx)2 * Zlnx ) 0 <+ lnx € 10, 2l n'r e Dr<>x € lL,etl'
B"(x):0<> -(lnx)2 *Zlnx:0 n x€ l),,e lnx(-ln x'l2):
:0nxeDg
(lnx:0vln x:'2) nxe Dr<+(x lv r-- 't/) nxe Dg-" x:e)
Como x e (ln x)a saopositivos'no clorrrlttio, 0 sitlal cle g" so depende do
sinal de -(lnx)2 * 2Inx.
Fazenclo lnx : t, podemos estudar o sittitl tlc 1) + 2t'
Ponto de inflexao " 
("t,
Entdo o grdlico de g serei:
Nao verticais:
r,rr: lim
x-+@
m: Iim
x+ -@
c) Ix) : xd
. Dominio: D1 : lR.
. Continuiclade: a luncio i continua crm lR
. Assimptotas:
Verticais: ndo tem.
fa)
f@
x
-.J
: lim ^ t : litn C*: *oo
x++m X X++@
^.J: lim ^t :lim e*:0
x+'-@ x x+-'6
$1w!3h3i {!:
simptota horizontal.
lor de b.
x : linr -l- (l
t ('-r ' ( t
imptota horizontal.
!
j . Paridade: a llngao nao e par ncnr irrrprrr.
3 /(-x): -rc-r -/(r) - xc
i Doncle,J( x) + -/(r),logo, / rrio (' impar.
l(-rl: :
. Monotonia e extremos:
f'(x):dtxd
_f'(") : 0 <+ C * xc''. () <>
eel(l tx), ()<r'
<+lI r-()<>r , I
'-:__i -r , ,. . .
-___0_* 
i t
\ j"r',,. ,
c tttittirtto lt'lativo.
/ r\
{ l, ) c ttrrr pt)nltr rrrininrtl.
\ ('/
..f e decrcsccntc cttt l- oo, I I c crescente em ]- l, +oc[.
. Concaviclaclc c porrt<ls clr: inflcxao.
J"(x): erfti*xr'' -.2c' *xC
l"t") : 0 <+ 2er f xt''-= 0 e e'(2 l- r) : 0 <> 2 f x : 0 <>
+x: _2
xx-2:*o
i.|,'I I t-,
' De ]--*, -)[ a funqao tem a concavidadc voltada para baixo e em ]-2, +oo[ a c:our:avidacle
estd voltada pirra eima. log,, I Z. - l;) . l,- p()nio cic irrllcxiio.
\ r"/
Esbocemos o grzifico da fungao /.
2. Numa empresa de distribuiqdo de leite, os pacotes sdo de base
quadrada e a alt:ura adicionada com o perimetro da base € igual a
60 cm.
Que dimens6es deverd ter cada pacote de modo que o seu volume
seja miiximo?
Colculo diferenciol
Resolugao
Designemos por a o lado da basc do pacote e por h a sua altura.
Enmo, vem: h I 4a : 60 <+ h : 60 - 4a
O volume do pacote em funqdo clc u e'.
V(a) : * (60 - 4a) : 60az - 4u)
V'(a) : l20a - I2a2
Zeros deV'(a):
V'(a) : 0 + I20a -l2d: 0 <+ u(|20 -l}a)
Construamos a tabela da variacilo:
.x
J'',G)
lG)
:0<>a:0va:I0
O volume e mdximo quanclo a: 10. L-ogo, a altura eh:60 - 40
s6es de cada pacote sio l0 cm l() crrr, c 20 cm.
3. Dadas as seguintes fungoes:flx) : ++ e g(x) : f - t.
a) Estude avariaEd,o e determine os extremos da funqdo f.
b) Esboce o griifico d" l/f"l I.
c) Determine a equagdo da recta tangente ao grdfico de/no ponto de abcissa x : 0.
(x-f l)'(x - 1) - (x + l)(x _ I ),
(x - I)2
: 20. Pelo que as dimen-
(2.' Epoca - 1998)
-2
(x - 1)2
ResoluEio
A) J'Q) :
(x-r)-(x+r)
(x - l)2
Pontos criticos:
-)
f '(x\ : O -;--i; : 0 impossivel(x- r)
O unico ponto critico 6 o ponto x: - I ondc a derivada ndo existe.
/ nao tem extremos.
b) Com ajuda das alineas anteriores podemos construir o griifico da fun-
qao y : f(x).
A partir do grdfico y : f(x) podemos.facilmente encontrar o griifico da
funqaoy : lJ(x) |
c) y - ;,s :f'(x)(x - xo) equaqao da recta tla tangente
J6:/(ro):J(o):ffi:-t
-1f'("):;_-='enrAo f' (0): -2 ou- (x - 1)-
J-io:f'(x) (x-xo)+y- (-I): -2(x- 0)<.y-f l: -2x+
e y : -2x - I equagao da recta da tangente
l. Considere a fungdo/definida por:
a) Estude a continuidade de f .
b) Calcule:
' f '(r), por definigio.
. lim f(x)x+-@
2. Determine a derivada das funqdes seguintes:
u2, a)J&):x4- i+lT"-lj
5
/ r-- ' r \2
b) f(x) :l t"-=5 
|' \ x-r )
.) /(x) :lF - z
e) flx) - logzQx - I)
f) f(x) : xzlog, x
d /(x) : ln (2x2 + 3x + 5)
h) flx) : sen (4x - l)
i) flx) : x sen x2
j) /(x) - cos 3x
COS X
k) 
^") 
: cosx (tg x - 1)
l) fl") : arc cos (2 x)
m) flx) : 3arc tg (x - I)
n) /(x) : 2arcr"tt 1&' - t
o) f(x) - e2x+ r
I
P) f(x): e x
q)/(x) -2e-'2+2'
Exe rcicios propostos
3. Considere as funq6es/e g definidas por:
f(x):[3-t, x>I' LI x(l
g(x): lt -"1
CaracLerize cada uma das funq6es:
a)f + g
b) f,
c) g,
d) (f + g;'
4. Considere a funqdo g definida por:
fx+ a , x32
g(x) : I 3*
I "-T ' x)2
t
Justifique:
a) g e continua em x: 2.
b) g nao tem derivada no ponto x : 2, mas
g(2) e um extremo relativo da fungdo.
5. Dadas as funq6es f (*) : 2x I 3 e
/ \ X- Ig(x/: x+2
a) Indique o domfnio g.
b) Calcule os zeros de g(x).
c) Determine as equag6es das assimptotas do
grrifico de g, caso existam.
d) Faqa o estudo da vaiaqAo da fungdo e deter-
mine os extremos de g caso existam.
e) Esboce o grrifico de g.
f) A funqdo / e injectiva? Justifique a sua res-
posta.
(2"rpoca-200r)
6. Sendo f(x) : e3 entao f,(x) pode ser definida
por:
A- 3e2 B.3d C. I D.0
f"-)d)f(x)-l':---=
\ x+2
Exercicios propostos
do
7. Considere a funqao/(xl : fl1 e g(x) : d.
a) Determine fog) (0).
b) Determine a funEio inversa de g, caso exista.
c) Indique o dominio de/.
d) Determine os zeros da fungao deJ.
e) Determine os intervalos de variaqao e os
extremos deJ.
f) Esboce o grrifico deJ.
g) Estude a paridade de J, justificando a res-
posta.
Adaptado (t " Epoca - 2002)
8. Dada a funqaof(x) :2f - 6x.
a) Determine os zeros.
b) Estude a variagAo da funqdo e indique os
extremos.
c) Esboce o grrifico def.
(1." Epoca - 2003)
9. Considere a fungaoJ(x) : x2(x -f 2).
a) Indique o dominio de/.
b) Determine os zeros da fungdo.
c) Estude a variaqdo e indique os extremos.
d) Esboce o grrifico de/.
(2.^ Epoca - 2003)
10. Dadas as seguintes funq6es: f(x) : f+ "
, \ 2x-llq(x/ :"x
a) Determine o dominio deJe de g.
b) Determine (f"g) (-1).
c) Determine a(s) equaQao(oes) da(s) assimp-
tota(s) do grafico de/.
d) Detennine os intervalos de iariaqao da
fungAo,[.
e) Esbocc o grdfico de/.
0 Estudc a in.jcctivida<Ic d,ef .
Atlirptatlo (l " Chamada- 1998)
ll. Dadas as seguintcs l'ung<ies:
f(x) : x3 - 2x2 * xeg(x) : ex * I
a) Indique o dominio de g.
b) Determinc a expressdo analitica da fun-
gdo inversa dc g.
c) Determine a expressio analitica da fun-
qao inversa de (gtfl (1).
d) Determine os zeros da fungao /.
e) FaQa o estudo da variacao e determine
o(s) extremo(s) da funqaoJ.
0 Esboce o grrifico de /.
Adaptado (2 " Chamada - 1998)
12. A altura _7 (em metros) de uma flecha langada
por um arqueiro, em funqio do tempo x (em
segundos), pode ser definida pela seguinte
expressio: t
J: -O,lxz l2,4xl I,7
a) Qual 6 a altura mdxima atingida pela flecha?
b) Em que instante esta atinge o solo?
c) Qual 6 a velocidade da flecha no momento
em que atinge o solo?
13. Averigue, entre os rectdngulos de 6rea igual a
49 dm2, qual 6 aquele que tem perimetro
mfnimo?
.. f'(x) - J'G)
14. Se existe li+, ;:1- entao e necessa-
riamente igual a:
A.0 B.^r) c./'(r)
ICS-
:00I)
rida
D./'(1)
Fun55o primitiva
- Primitiva e integral indefinido (de tabela): definigSo e pro-
priedades
.T6cnicas de primitivagSo: primitivas imediatas e primitiva-
gio por partes
rnQao
'emos
leter-
rnQao
:l em
adeJ
to, se
encial
indica
feren-
go,
s pro-
eclR
PotGnciq
Primitivo de umo funEdo
Primitivqs imediqtqs
r1.,rararesorveresregrupoqeexercrcros,ometodo autllizaretransformara Derlmineasfunqdesprimiti-
funqdo a primirivar, evidenremenre sem a akerar,numa funEd" ;;;;;; vas das funsoes seguintes:
existentes na tabela de primitivas elementares e de seguid4 primitivri-la ime- 
."a) x
diatamente recorrendo i dita tabela. Em geral, nesta fase inicial, alem da ' b) 2r
tabela, vamos usar o seguinte resultackl: , 
c) x5
Regra da derivada da funqdo composra: { w fu@Dl: F, (u(x))u,(x)
Tabela de primitivrrs clementares
'd)3
I
e).
f) cos x
g) sen x
h) cos 2x
i)c
j) 5*
k) ---1-I *xz
l) _=__L_'\/+-*2
rgio
[un-
:e si
lma
O","rrrt"" * f.i*i,ir,", au,
funEdes seguintes:
{'a) -512 * 4x -r 3
$t) -"(" - r)(x + 2)
.1 2 3
al 
- 
-11x'rx
d)!t + x{x - \[x+r
e) sen 3x cos 5x
nW + zli
")+-z*++
Resolugio:
")'(+ - 2x2. *):
a1 {x - z{"
x
I
3 P /-2px2-3Px-3: xs 2^., 3 ^.-,G-Tr-t'
*(a* -I)
Calcule uma primitiva das seguintes funq6es:
, b),l* -z\li : p({#- r{#)= p*} - 2p"-u3:zli- otli
LO
)S
r-
o
n
Primitivqs imediqtos
Para resolver este grupo de exercicios, o metodo a:utllizar e transformar a
funqdo a primitivar, evidentemcntc scm a alterar, numa fungao do tipo das
existentes na tabela de primitivas clcrncntares e de seguida primitivii-la ime-
diatamente recorrendo i dita labcla. [rn geral, nesta fase inicial, al€m da
tabela, vamos usar o seguinte resultlrclo'
Regra da derivada da fungdo conrlx)sta: 
* ro fu(x))l: F,(u(x))u,(x)
Tabela dc pri rrril ivrrs clementares
ii6,
c, c€lR cx
rf(cr # -l) Xo+1
cr*I
I
i log lxl
d d
COS X sen x
sen x -cos x
sec2 x -tgx
cosec2 x cotg x
arc tg x
arc sen x
Pot6ncio
Primitivo de umq
-*'
I
Determine as fungdes primiti-
vas das fungoes seguintes:
a)x
b) 2x
c) x'
d)3
I
e).
l) cos x
g) sen x
h) cos 2r
i) e"
j) 5'
k) ---1-:I*xZ
nlLl 
--
\4-x'
2
Determine as primitivas das
fungoes seguintes:
,d a)-lru i4x*3
'+,b) -x(x - 1)(x + 2)
,1 2 3c) )- .+-x'x-x
d)\f+*f"-/lc+l
e) sen 3x cos 5x
rl/"' + zliP txsl : #+ ; P [u"]: a++
Calcule uma primitiva das seguintes fungdes:
^)+ -zx2+ 1Jxt
Resoluqdo:
")t(+ _ 2x2+
b) Y" - 2l'
x
I
.P*r-2Px2-3Pr-3:
x52-3
rr-;f- rx-z
J\
1lx'/
1-
\l x-)\l v / r; ,*\ 7 r t.b)P "" -.- vJ' :Pl^14-Z+lorl:Px z -2Px-2/1-2\/x-6Vxx - \Vx' -V x'J
Exponenciol
P[Cl: d; Pfeuu']:su
b) d"" 2' cos2-x
r +f {:,rrl , u'n: t n: I a
-l/xLo7
^)f 
d*
Resoluq6o
a)P (x3*\: +
b)p (euobcos)->r\:| ,2cos?:e-"'ff=A; Pu'd :
o r# : - P(-+ 
"'')n=-,;, 
P u' { = - d : - g'r
| *:i **
Logoritmo
'[+] 
:'os x; t lal : Ios ul
Lul
",l l-+e
dv ri4V= 7 ' 1q 4V
= Lp!-:!logl,
[u=l+4{l + u +
:|,*rr + 4dl
b) P;# :, &r-:"r!t * 
: 
^rlul 
:1og I logx I
, Arc lg /Arc sen
Calcute uma Primitiva das
fung6es segrrintes:
.uli
i :-= b)
yx
c)
Calcule uma primitiva das seguintes fung6es:
Calcule uma primitiva das seguintes funq6es:
itivss por Porles
st'r'qao abordaremos uma t6cnica de primitivaqdo que € conse-
tlirccta da regra de derivaqdo do produto' J:i sabemos que se
) sfro duas tunqoes entao a derivada do produto 6 dada por:
(fg)':f'g+t'T'
grr opriedade conclui-se, imediatamente, que
Jg:PU'g+fg')
, lr,rtlctnos considerar as equival€ncias:
' (/',q r 1g) + fB : P U' g) + P U$) +P (J'g) : Jg - P (Jg')
rrr:r igttaldade 6 a f6rmula da primitivaqlo por pailes:
P(f'g):fs-P(Jg')
( ( nr( l t'r"rtilizada sempre que a funqdo a primitivar seja o produto
lrlr( ()('s, I e g, emqlr"1a"lr"tii ser fricil de primitivar e g facil de
t'nso silbcmos primitivar/derivar quer o p nen-
i,fil(fri ol)scrvar que u 
""po,,""titi, 
ap6s trcl
, n., frrro que o pol evemos escolher o poun6mio
a dcrivar, uma vez uln grauD por cada derivagdo
Primitivo de umo fung6o
arc sen x2
I ur.tgu: I u*tz"-
primitiva das seguintes funq6es:
x4 
b)L, * ,* 
c)
,7/xa7
'd-
lul
'* '- : e--4:= -
I xa ' ll _ (*r),
,,2* ^ e2,
)-o 2" - 
I
z ' ^G:-'' - (-z\2lu=x-12
Vr \^./
L 2e2* 1
1Y 111.Fft"7a 2
: arc sen 1I: arc sen e"
II:taTCSenu=-
t o"u . : P-.-
| (d)2 r":ei lt - r'
"l:+bglr +4{l
fu'It 
L ri*, l: arc tsx
p [ - ]l- 
-l: 
arc sen x
Llt-"r)
Put,'=uy-Pu',t
Calcule uma primitiva das seguintes func6es:
a)(x-rdn Dfz*+lfx c)fe
Resolugio
a)P(x-3Wn seJa:u:Jr-3; u,:L
y' = dD: y:2dD
entdo:
P (r - 3)d/2 : 2 (x -3){D - 2 p dD : 2(x -3)d/2 - 4 p ! *. : 2(x -3)dr2 - 4 {2b)P(2t+f)d' seja:u=2x2+t; u,:4x 
Z
P (*+r) d' :
c)Pfd:
2x2+l - 4f -e" - -=- l:- A'-' 3 L3
seja:u:ri ;
y:d 
;
v' - g3x',
entio:
p (zxz* l)s3x - zx'z_+I 
,r, _ 
+ p xd,
seja agora: u = xi u, : l;
v,:dr;u:ld,3-
entao:
t-u:Td
*o*l :*':' ",,-Ixd"+ ! a,r J J g"- 27
rt' :3x2y:d
Pf {: f d-3Px2d de novo se: u: x2; tt, : b
y':d. y:{
fica:P-rrid: f d-31*t -2pxd): f d_3p t6pxd
ese: u_x; lt,:l
y':d; y:d
obtem-sefinalmente: pf d: f d-3x2d + 6lxd_pa1l:f d_3id r6xd _6d
Polin6mio/sen ou cos
funEoes seguintes: 
das
a) x7 da o.illitjr'Xir:l|ll quer o polinomio, quer o sen/cos.
b) x2 senx (mesrna). Ao passo qu 
s se primitivar/derivar, fica na
Devemos escorher o porinomio como fungio a derivar, uma vez que<diminui um grau), po, .udu derivagdo que sofre.
Primilivo de umo fungdo
Calcule uma primitiva das seguintes fungOes:
a) (2x - l) sen 2x
Resolugio
a) P Q:c - I) sen 2x
P (Zx - l) sen 2x:
67p al.Zcos5x
v' = cos 5.r ;
b) +-Z cos 5x
seja: u = 2x - l; rr, :2
v' = sen 2x; v: - | ,orZt
-+ cos2x*pcos *:_u;, cos2x*
seja: u=At?; u':*
n=]cos5x
j r"nz'
"#sen5x- + Psen 5x= rt2sen5x+ 
f cos5x
(Exponenciol ou sen ou cos)/sen ou cor
Neste caso sabemos primitivar/derivar quer o exponencial, quer o sen/cos.
Devemos observar que o sen/cos, ap6s se primitivar/derivar, fica na(mesma>. Tal como a exponencial. A escolha e arbitraria e a primitiva d
<recursiva>. No entanto, a segunda escolha deve ser lgual, escolher o polinG
mio como fungio a derivar, uma vez que <diminut rim graur por cada deri-
vagdo <que sofre>.
, +2cos 5x :
cut.,rtffi r'*;;*" *
funE6es seguintes:
a) elsen 3x
b) sen2 x cos3 x
Resolugio
P sen2x cos 3x seja: u : sen 2x; tt' : 2 cos 2x
v':cos3x I
P sen 2xcos 3x : ],".r 2xsen l* -4;.", *:; ;, 
ttn 
"
3 ---- -'- 3 '
u' :- 2sen?s
v=-f.orr"
Psen2xcos3x: f ,.n2xsen y-4f- + cos2xcos3x- ] r.r,2xcosaxl3 -----'- 3 L 3 --- J l: a ,"n 2x sensx + lcos 2x cos 3x + 4sen ?sc cos 3x. 3 9--- 9"-ou seja:
seja: u : cos)sc;
vt : sen 3x;
Calcule uma primitiva da seguinte fungio: sen 2x cos 3x
P sen2xcos 3x :2 / I
5 (,t t"" 2xsen 3x *
P sen2xcos 3x : $ ,"r, 2x sen 3x + Z155
a)log x
Resolugio
a)Pllog xl
b) log2 x
seja: u: log x ; rrt:
v,:l ; v:x
P [log xl : xlogx - t 
[r + ] 
:rlogx - p [rl : x(rogx - r)
b) P [log2 x] seja: u: rog2 x, tt, : 2 L log,
v,:l i y:x 
x
Plog2 x: xlog2 x - 2plogx
seja: u: logx ; u' _ I
v,:l : u:rt
Plog2 x: xlog] x - 2lxlogx - p ll : xlogz x _ )xlogx * )s
cos 2x cos 3x : a ,"r, 2x sen 3x + Zcos 2x cos 3x
Logoritmo
Neste caso temos i
unidade, isto s, vl1ififf":H"HnT#:ffi"1T1""a primitivar € a
2r
t cos 2xcos3x)
I
x
Calcule uma primitiva das seguintes func6es:
Primifivo de umo fung6o
u = sec.x ;
y':sec2x ;
u' : tE.x secx
v: tgx
Ptgzxsecx: secxtgx - PtE' xsecx - log I secx * tgxl :
: secx t1x - P tgz xsecx - log I secx * tgx I
2 P tE'x secx : secr( tgx - log I secx * tgx I
"llPt{xsecx: } secxtgx- Tloglsecx* tgxl
Trigonorn6tricos
Calcule uma primitiva da seguinte fungio:
tg2 xsecx
Resolu€o
ptgtxsecx: P4+ secx: P L -^:YL* ".tt:PE{_ -Psecx:PseC x-Psecxcos'x cos'x cos'x
Asegundaprimitiva€imediataPsecx:loglsecx+tgxl,aprirneiraprimitiva-sepor
Partes:
Trigonom6tricos invercos
: x arc sen
Calcule uma primitiva das
funqdes seguintes:
t)tg3 ?xsen3 2x
b) sen2 x
Calcule uma primitiva da seguinte fung2o:
x
arc sen -
Resoluqio
xx
P arc sen - seJa: il : arc sen t ;
y':I;
x
P arc sen ; - x arc sen
.)
" -P
3
: x arc sen
: xarc*" f + A
Determine as primitivas se_
gutntes:
a) arc tg 3x
b) \/;, -i,
: xarcr." f + 3{r 
=
Outros situog5es
Resolugio
P! -p :p+_p_g:
vL_x. \/L_x2
arcse x-p+
\/t _ x2
seja:u:16. ,:l
v'= r,r=-:+ e(r- 'f"',
y = -1/| 
"z
P\/1 -x2= arcsenx-f_"f, _?1w+ pvi:?l :
'Jarcsenx1_x _p\/|*z
portanro:zp{t-* 
arcsen x + y{1 _*z o
<+ el1 -"; - 3..r"nx t x{l_r,
Tqbelq de integrqis
I
A integraEio e um processo
analogo i primitivaEdo, rns a
noheao de integral indefinido
tem algumas vantagens sobre a
n-otagdo de primitivagdo, por
lsso, usaremos as duas nota_
eoes.
obtendo uma tabela de integrais.
.. 
Tabela de integrais
l. fo du: cJ_
2- [u'du - -u'*tr a+'__tC.q#_I- r- ,r. lJ,du:u+C
rdur,J-;_:lnlul+c
5. fo"du: ,ou + CJ lna
- t...o. 
Jr" 
du: eu I C
- r.t.llnudx:Lrlnu_u+C
6. 
Jsen 
udu: -cos u * C
9. 
Jcos 
u du: sen u * C
rc.[--4+:tsu+c
J cost u -6 -'
n.I d\ :-^f.-'J t"tt'u ctg u f C
frz. 
Jtgu 
du. : - In I cos ul + C
rJ.Jcorgudu: lnlsen ul+ C
u' I# "r-: | ^,"tgL + c:
rc I*___tua:*,nl#|.,
rdu16' Jffii: arcsen t * r: - arc.o, a + c
i.-- A
''a tt du \L(- ll--+ |: - arcr"r, a * C: arccos L + CJ\ Va.-r. 1 d cr
r8.f -A:r I 
-,
-"' J N"rt h- tnlu t\u2-r hl + C
I
,.._Y:r1,ubela 
u.pode ser considerado como uma varidvel ou umatunEio. Caso u(x) seja uma fungio temos: du : u,(x) dx.
- i *rrotgL + c
Primitivo de umq funEdo
" l.: l':,.. ;':' ilii4i|frtu
8
Calcule os integrais seguintes:
f ,.-a) Jlx dx
at[!;
J \,' X-
olrz*_ 5x+3)d:r
al / rr - x) ttxax
a [-tu'J2x-3
D [-E-!-'JI-2x3
g) | ,t" d*
h) [ q2x dx
i) / r..' (2x + r) dx
.,f dxj,J ti-r
k)[ d"'J 9+x2
r) f .4{J x'-l
le-
na
ao
t. I x{t - 4x2)2 dx - -* / -* (3 - 4x2)2 dx : (3 - 4xz)t
3
+C
2. lsxe-"2d":+ I-,*u* dx- -+."2 + c
r./r" G)xdx:/qt4 a,:Wtalt-t a.:rn(x) + - I+ *f f I f V
: rn(x) + - + I, *: rn(x) + - ++ + c :rn@l _x2
4
+C
ou seJa:
/ r" r"l x dx: -1",)$ _x2
+
+C,C€I?
4. 
Jarctgx 
dx
Denotand.o u: arc1gx, du : dxtemos ',. - dx
t 4u : I + x2:, 
| : x. Por conseguinte,
fur. tg x dx : x arctg* - [ r* 
d!., : xarctgx - t!f)= :J " o-- JI_lxz .__o-- Il+xz-
: xarctsx - + 14,.\* : xarctsx - * ," I I + x2 | + c
t.In cosxdx
Denotando u: d, dv: cosxdxtemos du: d dx, y: senx. por conseguinte,
fe rotxdx: e"senx - /r"n xddx
Aplicamos mais uma vez o m6todo de integraEio por partes ao ultimo integral:
u : d, dv : sen x dx, entd,o du : d dx, y : -cosx
Por conseguinte:
le rorxdx: d senx- (* f-.or") - /f-.o sx) d*): *senx * ex cosx
Designando, : 
Jn cosx dxtemos I : dsenx * d cosx _ I.
Daquivem I- e'senx t ex cosx* a
lln(21-1 11a
-[tcosxax
,.7
x3+x-zli-l
Primitivo de umo fungdo
+rnlxt+ft+7*,
a': l("* L -zx-|- 4)*:J\ x x'I
: ['* . I + - z fr+ dx-3 [x-'a"
: ! *lnrxr -, -r'-, 1l*, : I
s. /.o, Gx) dx: | ,"r, (4x) + c
s. [ztrr'*rdx: [rt'*'d(P 
+ L): st' +r + c
Nota: Quando determinamos v a partir do seu diferencial dt, pode-
mos tomar uma constante arbitrdria, visto que ela nio figura no resultado
final. Portanto e prefedvel escolher a constante igual a zero (C : 0)'
dl#
Resolugio
os integrais seguintes:
A integraglo por partes emprega-se frequentemente no cdlculo de
integrais das seguintes classes de funq6es:
. Funqdo logaritmica, fungdes trigonometricas.
. Produto de um polin6mio por uma fungdo das classes de fungoes
exponenciais, logaritmicas, trigonom6tricas e trigonom6tricas
lnversas.
. Produto de uma funEio exponencial com outras fung6es.
l. Calcule as seguintes integrais, utilizando a t6cnica de integraqdo pol partes.
b) [ arsenxdx ,> [ fz* * 1) senx dx
a) Fagamos u: xe d": tt+ dx; logo du= dxev:2rF-r, e assim,
i 1 dx:ludv:uv-lvdu=J641 J r
!:y6fiT1 - l2fia1dx:?x'lx + f + (x+ f)Vx* I
I5
a)Jxr"n*d*
v)lxedx
f-
c)JxVl *xdx
d) f x'zsenxdx
")[ frua'
Olncosxdx
* C:+
d) 
J 
xi senx dx
'/x+t(x-2)+C
b) Faeamosu: arcsen xedv: dx,logodu: ,r'_= dxev:x, eassim,
dt:-2x,eassim, I a"=f-! | ,.,-..i- !
r J ;i:"du=uz:-G-A2.Porturrto,
f
f 
arcsen xdx: xarcsen x+R + C
c) Facamos u= 2x* I edv: sen xdx, logo du = 2dxey: _ cosx,eassim,
Irr* 1)sen xdx= - (l-x* l)cos x+ fzcosxdx= 2(senn-r(cosx) - cos x* c
d) segue imediatamente do item e qu" [, sen x dx= sen x os x * C
Fagamos entaou: f edy = senrd*,logo du = 3x2dx _ cosx. portanto,
Jl sen x dx : -.t'cos x + 3 [x2 cos x dx- J" -'" ' '4'' (t)
os que podemos calculi_lo tamblm por partes,
2xdxey: - senx,eassim,
ewaglo acima, concluimos que
[x2 "os 
x dx =x2senx - 2 (sen x - x cos x)
Substituindo (2) em (1), obtemos
fa
JrP 
sen x dx = - ri cos x * 3isenx * 6xcos _ 6 senx * C.
2. Determine o integral indefinido das seguintes funqoes:
5r:-
a) l&) :7x2 + 4
J
Resolugio
b)g(t):+-1*t,
"/ \7
' a) lltx + q) dx= 2xT * 4x* c\/
,le-3*r,) o,=# t6-ta+! t2+c
(2)
Exe rcicios proposf os
1. Primitive as seguintes fung6es:
-\f4/
\lI - x+
o6t
Ir\vt
lI - eo*
.xc)^' llxz
il lt + {xrz
e)3senx**
f) rr-n
g"\-r + P
2. Primitive as seguintesfungoes:
a) e2ttn" cos x
b) tgx
,1c, ,l_
x'-r 2
d) sen3 x cos3 x
,de)-4+&'
flx
lt-t+
3. Calcule as primitivas seguintes:
^, 
x2-2x+5
d
b)xsenxcosx
.) log-"
t'
,', logx
!) 
/_
\tx
e) log (x + \7t + *)
I --z-sen'x
g) sen (logx)
n, loelx
x'
i) arc sen2 x
4. Calcule os integrais indefinidos utilizando as
propriedades brisicas e as f6rmulas da tabela de
integrais.
"> 
lfo* + 8x + 3) dx
J.
b)f+r\x
c) f?z + r) (x2 - 2) dxrw
d) l-# _J X--f I
-tf fu-'Jx2-lo
.dxnl-
"111g-*,
\R
D I ts'*d"
ilv e a"
:>|ffia"
'- lnx
dJ
Introdug6o
os numeros na rurais surgiram da necessidade do Homem reracionarobjectos a quantidades, os eleire.,,otq.," pertencem a esse conjunto sdo:
lN: {0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10, 11,...}
o zero surgiu posteriormente com a finaridade de expressar algo nulono preenchimento posicional.
_ O conjunto dos ndmeros naturais
da contagem, no comercio a sua utili
era preciso expressar prejufzos. Os
resolver tal siluaEao. criaram o conju
pelaletra Z.
z: {... , -4, -3, _2,
OpcragCres comerciais representando
culaclas, por exemplo,
- 1, 0, r,2,3, 4, ... j
lucros ou prejuizos podiam ser cal_
20 - 25: -5 (prejuizo)
-10 + 30:20 (lucro)
-100 + 70 : -30 (prejuizo)
Com a evolugdo dos ciilculos, dos numeros inteiros niosatisfazia algumas operaE6es, ass ulado um novo conjuntonumerico: o conjunto dos nrimeros
unido entre o .Jnj,,rr,o dos numeros narurais:ffi:r"'"XTHr",tit:J:
ilxlr#J"*erais 
que podem ser escritos na forma d" f;;;;" ou nrmeros
O : { ...; -5; ...; -4,7: ...: -2;...; -l; ...; 0; ...; 2,65; ...;4: ... }
mais ndo podem ser escritos na forma de fracEio,
em ao conjunto dos racionais, eles formam o con_
paraaMaremddca.?-:;-XX?"::?1:i:l;l:"j'#HT::'#j?ru;
A uniio dos conjuntos dos numeros naturais, inteiros, racionais e irra-cionais formam o conjunto dos nfmeros reais.
reais deu_se ao longo de todo o pro_
dendo is necessidades da sociedade.
ram numa situaEao
os resolver a equa_
I
I
il
l.r
it
: --!-r1A *.,Xtt
€xtr -2
2+r
U
ulo
;ito
lue
de
rdo
al-
nar
ao
to
na
OS
'os
o-
e.
lo
a-
.o,
n-
CS
t).
a-
N0meros complexos
Ao desenvolvermos a f6rmula resolvente deparamos-nos com a raiz
quadrada de um nfmero negativo, sendo impossivel a resoluqio dentro
do conjunto dos nrimeros reais, pois ndo existe um numero negativo
que elevado ao quadrado tenha como resultado outro numero negativo.
A resolugdo destas raizes s6 foi possivel com a criagao e adequagao dos
numeros complexos, por Leonhard Euler. Os nrimeros complexos sdo
representados pela letra C e mais conhecidos como o numero daletra i,
sendo designada nesse conjunto a seguinte fundamentagdo: i2 : - I.
Esses estudos levaram os matemdticos ao ciilculo das raizes de
numeros negativos, pois com a utilizaEdo do termo i2 : -1, tamb6m
conhecido como nfmero imagirrzirio, 6 possivel extrair a raiz quadrada
de nfmeros negativos. Observe o processo:
z:5 +
Re(2) :
Im(2):
Temos:
^[-, -v -r -
11 :
i
4
tl
5
zOndeaeap^rtereal(a
(b:Im())eieaunidade
: Re (z)), b o coeficiente da p^rte ima1inaria
imagindria.
14: /-r ' ro :1f -1 ' 4t: V--1 ' \@
EnUo:
l-to : +i
Os numeros complexos constituem o
lN: conjunto dos numeros naturais
Z: conjunto dos numeros inteiros
O: conjunto dos numeros racionais
ll: conjunto dos nfmeros irracionais
lR: conjunto dos nfmeros reais
C: conjunto dos numeros complexos
Formq olg6bricq
maior conjunto num6rico existente.
-t , ^_ _ Iqe um numero complexo
O conjunto C e a sua representagao grdl'ica correspondem a uma
ampliaqdo do conjunto dos nfmeros reais, por inclusdo da unidade da ima-
giniiria i e atrav6s de extensdo, a este novo conjunto, de propriedades de
adigdo e multiplicaqao de lR.
Assim, todos os elementos do conjunto dos nfmeros reais e i:
,, A : {z:z: d+bi tri2 - -I, a,b elRl
- Esta forma de representagdo dos numeros complexos designa-se por
forma algebrica
z:aIbi comd,b €lR
Se b : 0, z seriaigual a zero,
isto 6, seria um nrimero real.
Costuma-se designar os
nrimeros complexos por z,
21,22...Ay (r)1, (l)2...
Sempre que escrevermos o
numero complexo na forma
algdbrica, as lerras a, b, c, d,
etc., representam numeros
rea$.
Indique, para cad.a um dos
complexos seguintes, a parte
real e aparte imagindria.
.t
a) z:;i
b)or:i-4
c)t:8
d)u: (y7 +Di
Numeros complexos:
, 3 * 2i; -r,i + lzi; -2- i;t + !;lii
Casos particulares
.Seb:0ea*O
Z:a+Oi <+ Z:a
Assim' z i um numero rear. o que estd de acordo com o facto de rR € c..Sca:0ebf0
Z:0 + bi <> Z: bi
b)z:
e) z:
Im{3) :
Im(2) :
Im(2) :
Im(2) :
Im(2) :
Im(2) :
t
;- 20i
4
--l)
-20
y2
0
+
5
I
-3;
t.
2',
-4:
b) Imaginr4rio puro
Neste caso, z nao tem parte real, isto 6, trata_se de um imaginrlrio puro.
l. Identifique a parte real e a parte imaginiiria dos numeros complexos
segulntes:
a)z:-3+5i
d)z:7
Resoluqio
a) Re(2) :
b) Re(z) :
c) Re(z) :
d) Re(z) : Z;
e) Re(z) : 0;
0 Re12; - -2;
a) Numero real
Resoluqdo
2. Determine o valor dehpara gue z : (h _ 6) _f bi seia:
a)Para que o complexo seja um numero real devemosfazer: a * O e
b:0,logo h-6+O nb:0 <> ht'6 nb:0.
b) Para que o complexo seja um imaginririo puro: a : 0 e b * O-
logok - 6- O n b *0 + h:6 n b*0.
c) z: -a + \5i
f)z:i-2
lguoldqde entre nfmeros complexos
Dois numeros complexos na forma alg€brica:
4: a}-bi e at: cf- di
sao iguais se e so se forem iguais os coeficientes das partes rcais r.tlrrs
partes imagindrias:
al-bi: c+ di + a:ctb: d
Operog6es com nrimeros
complexos nq formq olg6bricq
Adig6o
complexos z e a 6. um outro nfmero complexo,
paftes reais de z e a e cuja parte imagindria se
imaginririas de ze a:
zt at: d+bi I c+ di: a-f ctbi+ di: (at c) + (b+ ili
Portanto.
zl a : (a + c) + (b * d)icom a,b, c,d € lR
Resolugio
ztl_ Zz: (6 + 51) + (2+ i) : 6 + 2+ 5i + i: g * 6i
(b - d)i com A, b, c, d €lR
Subtrocg6o
Dados dois numeros complexos 2 : a * bi e o) : c * di,ao sub_
trairmos teremos:
z- o: (a-l bi) - (c + di) : a+ bi- c - di: a- c * bi - di
:(a_c)+(b_d)i
Portanto,
z- @: (a-
Determine os valorcs de lc e s
para os quals:
a)s+3hi=2*5i
b)k+2i:i2+szi
z,:)I)ist
Zz: 5i
zt: 4
z4:3+i
Determine:
a)zt-1 4
b)4+zz-lzt
Dados dois complexos {1 : 6 i 5i
:..r:.fl-itri
Dados os complexos:
zt: -3 I 2i
zz: 3i
4:6
4:5-i
Determine:
a)zz-zr
b) z+ Zr- Zz
As propriedades da adigao e
multiplicaqio em lR sAo
vdlidas em C - propriedade
comutativa, associativa, dis-
tributiva. etc.
Dados dois nrimeros complexs5 Zt : 4 + 5i e zz: - I
Calcule a sua subtraccao.
Resolucio
Zt- Zz: @ + 5i) - (-1 + 3i) : 4 + 5i+ | - 3i
:4+1+(f-3)i:5+2i
Mulriplicoe6o
Multiplicogdo de um nfmero reql
por um complexo
O produto de um nrimero real por um numero complexo e um numero
complexo cujas partes real e imagindria sio multiplicadas por esse nfmero
real.
Sendo
z: d -l bi e a,b,k C lR tem-se:
kz:k(a+bi):ka+ (kb)i
Multiplicog6o de um complexo
pelo unidqde imogin6riq
Determinando o produto de um nrimero complexo z : 4 * bi por i,
obt€m-se
i z: i (a + bi) : ia t ,,i:_rS- b - -b -r ai
Mulriplicogdo de dois nfmeros complexos
Calculando o produto de dois numeros, z : d + bi e a : c I di, tem-se
z.@: (a+bi)-(c+ di):
: ac * adi -r bci + bdi2 :
:dcladi*bci-bd:
(i2 : r)
: (ac - bd) + (ad + bc)i
ou seJa,
z. @ : (a + bi) . (c + di) : (ac - bd) +
+ (ad + bc)i, com 4, b, c, d € lR
Numeros complexos
Efectue as multiplicagdes seguintes:
a)3(2-si) b)t(10+
c)zr:5*i e Z2:2-i
Resoluqio
5.,
-t)2'
a)3(2-5i):6-l5i
b)i(10-lil: tOi -2ir: Igi+ 5: l* roi2222
c) (5 + i) (2-i) : 5 . 2- 5i+ 2i-i2: l0 - 3i+ I : II - ll
Daclos os complexos:
zr:2*3i
ut:4Ii
I)ctcrmine:
a)zs+ tt
b)o-z
c)zXa.t
Potenciog6o
A unidade imaginiiria i foi definida como um numero cujo quadrado d
igual a - 1.
Pot6ncias de i:
i0:1
ir:i
i2: -r
i3:i2.i:_i
i4: i2.i2: (-I).(-l) = I
i5: i2.i3: (-I).(-i) : i
i6: i2. ia: (- I) . 1 : -I
i7: i2.i5: (- I).i: -i
I 
jli'cl uc as multiplicaqdes
scguintcs:
a)(2 Fi)(-i +I)
h) 5i (4+i)
.)( j - i)(i_-2)
Percebe-se que os valores das pot€ncias de i se repetem no ciclo I, i,
-I, -i de quatro em quatro a partir do expoente zero. Portanto, para secalcular qualquer potcncia inteira de i, basta elev6-la ao resto da divisdo do
expoente por 4. Assim, podemos resumir:
il
Calcule:
a) (2i)5
b) (-i)23
82:4x20 + 2
c) [(-i + 2) - (2 - zi)]too
L.i82:i2: -l 8214
02 20
2. i200r : iL : i 2O0Il4 200I :4 x 500 + I
00r 500
Efectue:
ilG-i)3
b) (i + t)4
At6' agora estuddmos a potenciaEdo de imagindrios puros, mas e claro quepode ser tamb6m efectuada a potenciagao de qiralqu., io-"r" .omprexo.
Calculemos o quadrado do complex o z: a I bi:
z2 : (a + bi)2 : a2 + 2abi t (bi1z : az + Zabi - b2 : h2 _ b2) l_ 2abiffi ;Fr.,r
A aplicagdo dos casos notdveis da multiplicaEio torna facil o ciilculo daspot€ncias de numeros muito elevado.Caso isso aconteea
de um ,,,r,,,..o-.orrrp i:"Tt"Til:;1:r;1Newton:
(a t b)n - nCs 
an fuo i nCt an - L b + ... a nCn _ r ab, - | + n6n oo 6n,
Antes de estudarmos a regra da divisdo, abordaremos a noEdo de conju-gado de um numero complexo bastante utirizada q,'urao se" trabarha comnfmeros complexos.
Coniugodo de um nfmero complexo
Dado um numero complexo z : ct i bi, chama_se conjugado de z erepresenta-se por v, a um oufto numero complexo que p"lr"t a mesmaparte real d" z"aparteimaginiiria e o sim€tric o de a * bi.
7: a - bi sendo z: d + bi, a,b e lR
l. (1 + i)2 : I + 2i + i2 : | + 2i _ I : 2i
2. (t - i)2 : 1 - 2i + i2 : | - Zi - 1 : _2i
3.(t + i)r2:l(r + i)z]a: (2i)6:26.i6:64.(i2)z:64.(_I)3: _64
a.(1. - i)zoo - f(t - 41too: (-21;roo: (_2)100. ir00 _
- 2100 . ezlso _ 2100. (_t;ro _ 2t00. 1 _ 
2100
5'(2- i)6: oCo x26x (-i;o* 6Crx2sx (-i)1 * 6Czx 2+x 1-i1z+ 6c3x 23x 1_ilta* aC+X 22 x (-i;+ * 6Crx 2r X (_,)5 * aCaX 20 X (_i)o:
:26+ 6x32x(-i) + 15 x 16 x (_,) + 20 x B x (_i) + t5 x 4 x I + 6x2 xi++ I x I x (- r) : 64 - Lgzi - 240 - 160i + 60 + r2i _ r : _ rrr _ 340i
Divis6o
'.,9',r
Determine o conjugado de:
a)3 - 4i
b) zi
c;5-li
Nfmeros complexos
l.Z:3-5i =+ Z:3-l 5i
2.2:2-\ryi + a:3+12i
Agora estamos em condigOes clt' a;trcnder a regra para dividir os nume-
ros complexos na forma algebrica.
Para dividir um numero cornplcxo (, por outro Z + 0, basta multiplicar
o numerador e o denominador pclo complexo conjugado do denominador.
l0
Sendo z -- li + 2i, calcule:
a)z+2
b)zxZ
iI
7'l
AS
:al
le
(c+di)x(a-bi)
Portanto, o quociente de dois nfmeros complexos o) : c + di e 7: a -f bi
e dado por:
@_c+di,a-bi
z a-rbi a-bi
(3 + zi) (4 - 2i)
(4 + 2i) (4 - 2i)
t2-6i+Bi-4i):--:
4z _ (2i),
ca - cbi -t dai - bdiz
aL2 - b2i2
12+Zi+4
16+ 4
r6+2i 4 I
-n 
:5 + 10 t
(') cl-di ac-lbcl , nl-ch.
-: 
*:---- I L,) ,rUrbrcrd€lR
Z dfDl atlb' il-rD'
3+2i
4+2i
Inverso de um n6mero comPlexo
O inverso de um numero € a troca do numerador pelo denominador e
vice-versa, desde que essa fracqdo ou nfmero seja diferente de zero. Num
numero complexo acontece da mesma forma. Dado um numero complexo
qualquer nao nulo z: 4 + bi, o seu inverso serd representado Por z-1.
-l
: a-bi -a-bi
oz _ yz (_L) a2 + b2
Portanto,
f
Determine o inverso dos com-
plexos seguintes:
.ta) 
-:
z-r Jt
Ib)- :;)- zl
Lju-
cm
I I I _ r. a-bi _ a-bi _
v 
: 
d + bi 
: 
-o 
t, 6i n 
d - bi - d, - 6zrz -
ze
ma
Como d : Re Z,b : Imze a2 + 6z : I zl2,podemos escrever:
--r- Rez Imz
II
z |-4i"
I+4i_ I+4ir+4i-FIGP __ I+4i I+4i-r-16x(_l):r+16: I+4i I 4--:17-:v*vi
,Quando multiplicamos um numero comprexo pelo seu inverso o resul-tado serd sempre igual a I, z x z-r : t. observe a -ottifh."qdo do com_plexog: f - 4ipeloseuinverso:
(r-4i)ff+1i) - r2---=42i2: r - 16i2: r__!_Q_(:_D -_\ri)L71717
: ti,,u:#:,
Rqizes em C de equqg6es
quqdr6ticqs de coeficienres reois
resolugAo as de coeficientes
tipo di + G lR, verificou_se
o existem, ao.
numero real.
": -bt\lF-4* e)2a
Assim:
'seb2 - 4ac ) 0, existem duas soluq.es reais e diferentes paraaequagao.
. Seb2 - 4ac: 0, hd apenas uma soluqdo.
. Seb2 - 4ac <-0, nio hd soluE6es rears.
A criaqdo do conjunto C leva, natur
raizes das equaqoes quadriiticas ndo s
caso b2 - 4ac ( 0 deixa de constituir
de equaqdes, para surgirem duas raizes
que sdo manifestamente os complexos c
Calcule:
a)x2+3:g
b)x2+5x*7:0
N0meros complexos
I. x2 + 4 : 0 + x2 : -4 + x= i 2iv x= - 2i
2. x2 - 4x -l 13: 0 <+ x2 - 4x + 4 +9 : 0 + (x-2)z :
+x-2:3ivx-2:-31
+x:2+31 vx:2- 3l
Aplicando simplesmente a f6rmula resolvente, tem-sc:
Xt,2 :4 tyT6 - n a+1ffi<>xI,2= 
2 * xl,2=
-9
+-r6it- + xt2:2 + 3i
Marque os afixos dos comple-
xos no diagrama de Argand:
2+3i ..r P
_5i ._ a
I-i '- R
i+1,.r s
P€oafixodez
Representq 96o geom6trlcq
dos n0meros complexos
A cada numero complexo z: a t bi estA assoclado um par de nfmeros
reais (a, b) e, consequentemente, a esse nfmero complcxo corresponde um
ponto num referencial de dois eixos ortogonais.
Relativamente ao ponto de coordenadas (a, b) cliz-sc que 6 o afixo do
complexo z: albi.
sendo a primeira coordenada do ponto a partc real de z e a segunda
coordenada o coeficiente da parte imagindria, dd-se o nome d.e eixo real ao
eixo das abcissas e o nome de eixo imagindrio ao eixo das ordenadas. A
este referencial e habitual chamar-se diagrama (ou plano) de Argand.
Se a parte real de 2 for nula, o ponto (0, b) situa-se no eixo imaginiirio -
trata-se de um imaginririo puro.
No caso da representaqio de um com-
plexo cuja parte imaginriria € nula, ou
seja, de um nfmero real, o ponto (a, 0)
situa-se naturalmente no eixo real.
Um numero complexo z: a -l bi
(com a e b reais), para alem de poder ser
representado no diagrama de Argand por
um ponto P (a,b), pode tamb6m ser re-
presentado por um vector do plano, de
coordenadas (a,b):i - (a,b)
z:d+bi,,-(a,b)
O vector OP : (a, b) representa, portanto, o complexo z: d -f bi.Tra_
tando-se de um vector 6 possivel calcular a sua norma:
llo;il:tF+F
a qual nio 6 mais do que a distdncia do ponto p d origem do referencial.
Esse valor designa-se por modulo do complexo z " 
."pr.renta_se por I z I
ou p.
/-.-lzl:p:11a2+b2
caso o complexo em causa seja um numero real ou um imagin:irio
puro, o seu modulo corresponde respectivamente ao valor absoluto da
parte real ou da parte imaginiiria. De facto, sendo
z : d + 0i tem-se lzl : !a2 * 02 : \la2 : lal
e sendo
z : 0 * bi tem-se lzl : lG + F : {F : bl
Considerando os complexos g1 - -3i, Z2:2i - 7 e Zz: g vamos re-
presentii-los no plano de Argand:
I
I
Determine o modulo de cacla
um dos complexos indicados:
a) zr:3i - 8
b) zr: 4i
c) 4:2
A estes complexos correspondem os vectores:
olr: (0, -3), oiP2: Gl,z) edpr: (8, o).
Calculemos os modulos dos complexos:
lzrl:l1-tY:t
lzzl:\K-?Y+2, :\f4s+4 : ist
I zzl: VB2 : e
_ O afixo do complexo Zr situa-se no eixo imaginzirio a 3 unidades de
distdncia da origem, valor que coincide com o do m6dulo. o mesmo
acontece com o complexo Z3 cujo afixo se situa no eixo real a B unidades
da origem.
Nrlmeros complexos
al.
al
lo
la
S
Argumento de um nfmero complexo
Formq trigonom6tricq
de um nrimero complexo
Retomemos a representagao geom€trica de um numero complexo
z: x -f yi.
O ingulo 0 representado € o menor dngulo positivo cujo lado origem e o
semieixo real positivo e cujo lado extremidade d a semi-recta OP. Diz-se
que 0 € o argumento positivo mfnimo do complexo z (0 < 0 < 2n).
Qualquer nfmero complexo z # 0 tem infinitos argumentos, todos eles
podendo ser escritos como 0 * 2hn (h e Z).
Escreve-se
) argz: 0 + 2fu (h eZ)
A localizagdo do ponto P no plano de Argand € dada pela distdncia do
ponto i origem e pelo dngulo 0. Alids, € possfvel relacionar aparte real e a
pafie imaginriria de z com o modulo e o argumento deste complexo.
Jri foi visto que p : \F 4
Tendo em conta a figura ao lado pode concluir-se que
senO:d e cosO:f
O que e equivalente a
Ix:pcos0Iy: psen0 comp:1*?+y'
Com base nestas igualdades podemos escrever
z: x +yi : pcos 0 * psen0 i : p(cos 0 * isen 0)
E usual abreviar cos 0 * i sen 0 por cis 0. Assim, a forma trigonometrica
de um nrimero complexo e:
i z: pcis0: p(cos0 f isen0)
Foi anteriormente referido que o afixo de um nfmero real 7: x (x € lR) se
situa no eixo real. Assim sendo, o argumento de z E um dngulo de amplitude
zero ouTr.
Analisemos as duas situag6es:
. z:xcoma€ lR
P:lzl:lx*0il:tx
donde
z-P (x,y)
Escreve-se habitualmente
isen0enaosen0i.
i cos0*isen0:cis0
:lxl€ lR'
z-xcis()
lxlc lR+
l6
Escreva os complexos
forma alg€brica:
a) 2cis !
b) cis 3;
Nocasoemquex:0e
y : 0 trata-se de um nfme-
ro real, a que corresponde o
ponto (0, 0) E habitual
afirmar que este elemento
de C tem argumento inde-
terminado.
I.7 "
Escreva os complexos na
forma trigonom€trica:
a) -3
b) +i
Ic)-ji
Poder-se-ia afirmar que o
argumento de z era - 0.
No entanto, nAo seria o
argumento positivo mini-
mo.
p : Izl : l0 + yil : lyl :y c lR-
z:Ycis{
z
L ti-i
. z: x comx € lR-
P : lzl : lx* 0il : lxl : -x€ lR+
donde z:- x cis n
No caso de z ser um imaginririo puro, o afixo situa-se no eixo imaginii-
na rio pelo que o argumento positivo minimo 0 serii um dngulo de amplitude
4 ou -3rt2')
Conrid"r"rnos dois casos distintos:
. z: yi comy C lR+
donde
' Z: yi com J
P : lzl: | 0 + yil : lbl : -ye lR+
donde
Relativamente a um complexo 2 na
forma trigonometrica, representemos o seu
conjugado f:
z: -v cis 3t-2
P:lzl :lx*0il:lxl:
-T
3r
2
N0meros complexos
^-le
como jri tinha sido referido, o complexo z e o seu conjugado 7 t€m o
mesmo m6dulo.
Quanto aos argumentos positivos minimos, embora sejam distintos, 6
possivel estabelecer uma relagdo entre eles:
arg2:2n - argz
ou seja, sendo: z : pcis 0 tem-se:
(2r - 0)
lguoldqde enlre nfmeros complexos
Para que dois complexos, Z e w, cscritos na forma trigonometrica sejam
iguais € necessdrio que l"ellh?rlll o lllcsmo modulo e o mesmo argumento
positivo minimo, isto e,
z: w +lzl: lwl n arg z: ar|w l2hr,Yz,w eC (11e2)
I. Mostremos que, sendo wr : -* i e w2 : 2cis-2
Resoluqio
Comecemos por escrever o primeiro membro da igualdade na fo
trigonometrica:
/r\
4w. : 4( -Li\ : 4 x ! i :2i :2cis a
\ zl z 2
A igualdade 4wt: w2€ vi.lida visto que os m6dulos de 1 e u2sdo
iguais e os argumentos, respec mente, + . +, diferem de 4n, ou
22.
seja, estio verificadas as condigoes necessariaspar^ garanlit a igualda-
de de dois ndmeros complexos na forma trigonom€trica.
2.Determinemosom6duloeoargumentodoscomplexosu:-7i"u:*-]i,escrevend'o-os
seguidamente na forma trigonometr ica. ' 2 2
Resolugio
9rr
2
, € vrilida a igualdade 4 wy: w2.
4r--2X2r
(h:2)
No caso de u : -7i tratando-se de urn
ficiente da parte gindria e negativo
imaginiirio negativo. consequentement
da origem e igual allrli'ul: | -7 l:7 -
O argumento o de 
" 
e+ visto este se
mado pelo semieixo real positivo e pe
Iado). 2*
->Podemos entao escrever que u : 7 cis -]'
) (lus(-UrUPrg2(LrSt - ILev-- 
l',--^"'" :.
I tl ra>
2
No caso de v e necessdrio determinar primeiro o seu modulo:
lvl:. f ttf +/--!-Y: ,1* r- i2 -\Tv\zi \ z) YT +-\tT-t
Assim, atendendo a expressdo (1):
r I \2
I t:;cos0)-
lt\/,t-t:tsenu
O menor ingulo positivo que verifica as duas condiqoe5 g ZA
ou seja, € este o argumento positivo minimo de v. 4
Consequentemente, vZ 7nv: I cls;
3. Dados os complexo5 zl : 3cis a , Zz: _ 5ie Zr : E . ,i, A
calcule zzf- zt- it. 3 - 3 '-* 4
ResoluEio:
Vamos escrever Zt e Zzna forma algebrica:
Estes resultados permitem calcular
z2tz1-23: -5i+ 3 + lvt i-(L +-) )' la
\J
+(_lg. *:Vj1, _
\ : 2 )'-
1 \tt'))
ltE- \.
))
rcoso: L:OI \) 2<+ .{
fsene:-+:-\Zv22
:9.o(2", -+): gsi5 n -
* isen +):g (+.+,): l*1,:*.*'
^T,.: t cis 1I
:g(."';
fx : pcos 0(,)t, : psen 0
com p :t/?JT
Importante:
Para adicionar nfmeros
complexos, estes devem
estar representados na
forma alg€brica.
z,:;(.o, t *rsen s):r(+ *,f): + **,
-lJ1-t-a
32
6
7
6
+(-r+
_7
6
Operog6es com complexos
nq formq trigonom6tricq
Adigdo e subtrocgdo de complexos
Consideremos quaisquer dois nimeros complexos, z e rrr (diferentes de
zero), escritos na forma trigonom€trica e calculemos a sua soma:
z : pcis 0 a: p'cis 0'
zl co: pcis0 * p'cise'
Ndo existindo qualquer relaqio numdrica cntrc p e p' nem entre 0 e 0' , a
adiqdo entre os dois complexos nio pode scr cxpressa de nenhuma forma
mais abreviada.
O mesmo se passaria no caso da subtracqdo. Assim, ndo tem qualquer
utilidade adicionar ou subtrair nfmcros complexos na forma trigonom6-
trica, tanto mais que e relativamente simples faz€-lo quando se encon-
tram na forma algebrica. Aliris, € sempre possivel, dado um numero
complexo na forma trigonometrica, escrev€-lo na forma algebrica.
Multiplicog6o de complexos
Para determinar o produto de dois numeros complexos na forma trigo-
nomdtrica, z : pcis 0 e a;: p'cis 0', vai ser necessdrio recorrer is formulas
trigonometricas da adiqdo.
zX a: (pcis0) X (p'cis0'): p X p'X cis0 X cis0'
Atendendoaquecis0: cos0 * isen0 e cis0': cos0'+ isen0'
Obtem-se
cis 0 X cis 0' : (cos 0 * isen0) X (cos 0' * isen0') :
: cos 0 X cos 0' * cos 0 X i sen 0' * i sen 0 X cos 0' + i2 sen 0' X sen 0' :
: cos 0 X cos 0' - sen 0 X sen 0' * i(cos 0 X sen 0' * sen 0 X cos 0') :
: cos (0 + 0') + isen (0 + 0') : cis (0 * 0')
Assim, o produto de dois numeros complexos na forma trigonomdtrica
6 dado por:
z\ a: (pcis 0) X (p'cis 0') : (p X p') X cis (0 t 0')
Numeros complexos
a)(2+2i)+
b) ] cis
Relembre que:
rr
3cis ;
3n*l;
4 4'
sen(a*b):
:senaXcosb+cosdXsenb
cos(a*b):
:cos4Xcosb-sendXsenb
I. Resolve, em C, cada uma das equaq6es seguintes:
a)t+iz*\fjz:o
c) z3 - 2i2: o
e)f:(r+2i)3
b)za+222+4:o
d) za : (I + 2i)4
Resoluqlo
Em todas as equaqdes estd posta de parte a hip6tese de substituir Zpor x * yidadas as dificulda_
des que encontrarfamos nos crilculos.
a) z4 + iz+ lz 7- 0<> z(f + i + {r: o<+ z: o v t : -t/j - i
A equagio tem como soluqoes o zero e as raizes cubicas d" -V5 - i. Escrevendo -V3 - i na
forma trigonometrica, podemos usar a formula de De Moivre para determinar as suas raizes de
indice 3.
Para determinar as suas raizes de indice 3, fazemos:
:- + h2r:\Ecis-9 . :/fcis (* *9), o:o.re23 ---\t8 3 l,
Entao, : Vt.i, (; +hr),h:o,r
h:0, I
Temos entdo que a equaqdo dada € equivalente a;
Z: O v z: llt.i, -7t 2- l9r. 1/-- 3rr
lg u a : 1y'2 cis fS u z=YZ cis ,,
b) Trata-se de uma equaqio do 4 'o grau que se diz biquadrada (tem apenas terrnos de grau 4 , 2 e 0) .
substituindo 22 por a;, obtemos a equaqdo do 2." grau a| * 2a * 4 : 0. por aplicaqio da f6rmula
resolvente para equagOes do 2.o grau, chegamos a
,: =++0): -_4p €0): -z-'2lti +a: - 1-\6i vwttt: -l-iji.
comow: t,tem-se z2: -r+1,6i v *: -t -1,5 i.PararesolverestasequaEoesescrevemos
- 1 + lj i " - I - lj inuforma trigonomdtrica e aplicamos a formula de De Moivre.
- I + lji :2cis+ e - r -tlji : 2cis(.+)
,ffl-,)
N0meros complexos
A equaqAo dada e equivalente a:
,r^ T J^ / ?r\ 2rrz:\'2cis i v z:\2cis;1 v z:yz.t.(-;,) v z:\'zcis f .
Repare que, neste caso, as soluq't1cs nao sao as rafzc.s quartas de um numero e, portanto, as suas
imagens geometricas nio sdo os v('rtic:cs clc trnt c;urrclrerckl.
c) Na resoluqAo da equaqao zJ - {2 i i () tcrrros (luc l)crc:orrer o caminho que utilizdmos para che-
gar d formula de De Moivrc,
E imediato gue z : 0 6 umit sttlttqilo; l)rocrrrcrr'ros ill{()ril as solugoes nao nulas na forma trigono-
metrica.
Sejaz:pcis0 com p>0;crrtrkrl, pcls( (f)
z3 -lDiZ: 0 <+ zr : tEii <+ (pcis0)t V2..irl. l,.it (-o).*
<+p3cis(30):\Dpcis(l -rl) .',,' /21rn l(l l--rl + h2n,hEz+
<>p2 : t2 n40:1: h21-,h e-Z <>1, VVl n o ! * @,hez
2 8 2',
Entao, z: tllcis(t . I c os villolcs rlislirrtos tlc t poclcnr scr obtidos atribuindo a lc os valo-
res 0, l, 2 e 3. A equaEdo dada t cc;r,rivirlcrrtt. l:
Z:0 v z: t/rcis I v r n'|' 5n 
V2cis 2' u r:\12^,- l3n
g :=Vl('ls ft vZ: g cisf
d) Hri tend€ncia neste caso a dizer que z: | + 2i c ,.. (lx)nto I'inal>, o que nao este certo.
E um facto que uma soluqao e. I + 2i, rras rlil() tr ir (rnicir. As solug6es da equagio sdo as raizes de
indice 4 de (l + 2i)4, o que quer dizer que a ccprar,.ilo tcul (platro solugdes.
As raizes ndo podem ser calculadas directamcrrtc ;lcla fr'rrrnula clc Dc Moivre, porque nao conse-
guimos escrever (I + Zi)a na forma trigonomr(trica. Mas sabcrrros (lLlc uma raiz 6. I f- 2i e que as
imagens geometricas das quatro raizessdo vCrticcs clc um cltraclrado com centro na origem.
Ouseja,podemosobterasoutrasraizesmultiplicando I + 2iprlri, puri2epori3.
As soluqoes da equaqio sdo entao:
I+2i
(1 +2i).i:-2Ii
(l+2i).i):-I-2i
(I + 2i). i3 : (1 + 2i) . (-i1 : 2 -'
tr" Represente, no plano de Argand, os afixos dos
complexos:
Zr:-1-i
zr: ti + It
Zs: - 3zz
t.z2- - ;l
L
4- <l
2. Apresente, na forma algdbrica, os complexos
de afixos P1, p2 e p3.
3. Considere uma famflia de numeros complexos
zr,: (r2h- r) + (+ - r\i,r,ez
\,/
Determine o(s) valor(es) do parAmetro lc de
modo que;
a) 4rseja numero real
b) znseiaum imaginiirio puro.
c)Rezn-1rr'Zh
4. De um determinado nfmero complexo sabe_se
que:
. O coeficiente da parte imaginlria € o dobro
da parte real.
. O seu modulo e ].
Escreva, na forma algebrica, o numero com_
plexo referido.
5. Dado o complexo 2 I i, o seu sim€trico 6
dado por:
A.-2-i u.i_*,
2T
'' 5 - 5 t D.2-i
6. Determine os complexos z e 2,, sabendo que:.Rez:2lmz.
.ImZ:-ReZ:-3.
. z + z' € um nfmero real.
Exe rcici os proposf os
7. Calcule:
a) i5o
b) i:s ' i7 a iao2
8. Dados os nfmeros complexos:
a:2- ji u:-/10
z:9i - 9
Indique para cada um deles:
a) A parte real.
b) A parte imagin:iria.
c) O conjugado.
d) O modulo.
e) O simdtrico.
9. Considere os numeros complexos:
Zy : 2a - i e z2: (a * Z) + (b _ 3)i
com d e b nfmeros reais. Determine a eb, d.e
modo que:
a) zt: zz
b) zz: Zt
10" Considere o numero complexo
p:-3+2i
a) Represente-o no plano de Argand pelo vec_
tor correspondente.
b) Efectue geometricamente as operaq6es:
bL) -2p bz)p
b3) -ip ba) 3p - ip
l. Considere os numeros complexos:
y:3n-i y:1fi-ln a:i
Calcule:
a) 2v - \/3u
Du'! t,ito
O 2\bi - otL5 (u - v)
Exercicios propostos
,-i-fr.:;:tfir l', I 41,frfi1,tt1'dr',':'{r ,
12. Considere os complexos:_2i
\:3 - 2i (2: --l-----
Calcule:
a)3I2i
b)11+12
c) (rz - i) : (r1 -l r)
13. Sejam ar e z dois nfmeros complexos quais-
quer na forma alg6brica. Mostre que:
a)z-2:2lmz' i
b) a+ o: a+ 0)
C)Z'@:Z'A
14. Represente na forma alg€brica cada um dos
numeros complexos:
d) O complexo de m6dulo I0 e argume"to - fr.
15" Represente na forma trigonometrica os nfme-
ros complexos seguintes:
7
u) Z b) -3i
dli-lrr ul-+*Ez2
16- Considere os complexos:
zr:I- i 7t:\f3i+ I Z3:crs a
+
Represente na forma trigonomdtrica:
a)4 b)2,
za
c); d) zz'zt
!I
Ie) lz2l x:
23
tr7. Resolva, effi C, as equaeoes seguintes:
a)2zz-3:0
b)522*lo:o
c)72+7: 1
18. Calcule as raizes: 
t
a) Quadradas de -i e de - tr *Y,
b) Cribicas de 6i.
c) Quartas de -I.
d) Quintas de 4i - 4.
e) Sextas de I.
Exercicios de Escolha Mfltipla
19. A igualdade Re (zr' z) : Re (zr) ' Re (zz):
A. Nunca 6 verdadeira.
B. E verdadeirapara todos os complexos.
C. 56 6 verdadeira se 21 e z2 forem reais.
D. 56 6 verdadeira s€ Z1 ou z2 forem reais.
20" A igualdade Re (iz) : - Im (z):
A. Nunca 6 verdadeira.
B. E verdadeira para qualquer complexo z.
C. E verdadeira se e so se z 6 um imaginiirio
puro.
D" So e falsa se z 6 reaI.
21. (1 - i)2 eigual a:
A"2 B. o C. -2i D. (I + i)2
22. Seja z um nfmero imagindrio. O conjugado
de z -1 16.:
A.z-l B.l-z
C"z-rl D.z-I
23- O inverso do nfmero 2 * 2i (:
"1I
^.;+;i 
B.-2-2i
lI-llc..--i D.;-;i
LZla
24. Sejam Zt : I -l i e zz : i It dois numeros
complexos. Sendo ,: &, qual das afirma-
g6es seguintes 6 verdadeira?
1-l-
A. @ = j cis 4 iB. at :fi-cis 
4
1'7-11-
C,a= icisTiD.a: lcis!
Os nOrneros
A obra
introduqdo
hindu foi o
bado em L202. O seu autor' Leonardo de Pisa, mais
conhecido pot Fibonacci (da familia dos Bonacci) 
'
era filho dum mercador de Pisa, uma das poderosas
cidades comerciais dos seculos XII e XIII'
Desde muito jovem visitou o Oriente e o
Norte de Africa onde o novo sistema de numera-
qZlo jA era largamente usado.
Ao longo das suas viagens conheceu a obra
de Al-Khwarizmi (s€c' lX) e assimilou numerosas
informaq6es aritm€ticas e algebricas que compi-
lou no seu Primeiro livro.
Escreveu depois <<Practica Geometriae>>
onde, analogamente, descreve as suas recolhas
sobre Geometria e Trigonometria'
Mas Fibonacci nl,o foi apenas um compila-
dor, pois estes livros cont€m muitos exemplos
nao encontrados em documentos drabes' Al6m de
que outra obra sua <Liber quadratorum> (Dos
nfmeros quadrados) representa o primeiro avan-
go d.o mundo ocidental em Aritm6tica depois de
Diofanto (sec. III).
O Liber Abacci que, apesar do nome, trata de
tudo menos de dbaco' como a seguir se entende-
16, comeqa asslm:
rr. 1(q
<Estes sao os novos simbolos dos indianos:
Com eEes e com o sinal 0, que em drabe se chama
zephir-um, qudlquet nimero pode ser escnto como 4
seguir demonstro.>>
E importante lembrar que, embora o novo
sistema de numeraqio jri fosse conhecido no Oci-
dente desde o s6c' XI, foi muito dificil desenrai-
zar da pratica corrente a -numeraqio romana (ou
u gr"gi no Imperio Bizantino); 6 que a maior
Notos historicos
parte dos cdlculos eram realizados com ribacos
(q..udros de madeira com esferas m6veis) e s6 os
resultados tinham de ser registados por escrito; e
para isso a numeraqio romana (ou a grega) eram
adequadas. A <guerra> entre os <abacistas> que
qar"ri^* continuar com as numeraqOes cldssicas e
os oalgoritmistas> que defendiam o sistema
hindu, melhorado pot Al-Khw arizmi, arrastou-se
durante s€culos.
E espantoso que, em 1299, a cidade de FIo-
renqa ainda publicou um 6dito proibindo o uso
dos algarismos indo-drabes no com€rcio, porque
ntorna'vam as falsificaq6es demasiado friceis>'
Este edito mostra, simultaneamente, que o novo
sistema de numeragio estava a divulgar-se' o que
se deve ao livro fundamental de Fibonacci, entre-
tanto revisto e melhorado em 1228'
Ao longo da escolaridade foi-se ampliando
o conceito de nrimero, d semelhanqa do que
aconteceu na Hist6ria da Matemiitica ao longo
dos s6culos (nfmeros naturais, fraccion6rios'
negativos, irracionais). E, ampliando o- concei-
toie nrimeros, alargaram-se as possibilidades
de ciilculo algebrico.
Vais agora conhecer um novo epis6dio dessa
evolugio: a ampliagio do conjunto dos nfmeros
reais para o dos nfmeros complexos ou imagina-
rios. A designaqio de nfmeros imaginiirios pode
criar a ideia de que estes numeros nao existem' A
n tureza da sua exist6ncia 6 a mesma da dos
ouros numeros: todos s6o uma construqao mate-
IJjlatica.
Esta nova ampliagio veio responder a pro-
blemas levantados pela resoluqdo de equaqdes'
quando conduzem ataizes quadradas de nume-
ros negativos. No entanto, e ao contrdrio do que
seria iatural supor-se, as raizes quadradas de
nfmeros negatlvos nao surgiram a prop6sito da
resoluqio de equaqoes do 2'" grau' Foi ao resol-
ver equaq6es do 3.o grau que' pela primeiravez'
se admitiramraizes quadradas de nfmeros nega-
trvos.
(
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8 568 3 360 3 003
IoI
:1210 ,2g 240
.,r..rr:)r,t ifid;il.,,, . 
,.,
J! :it Sair bola_branca (B), Sai. bola preu
. 
(P), Sair bola vermelha (V)
t,) [B, B vl
, ) Sair bola branca ou preu ou verrne_
rna,
. 
.rr Sair bola amarela (por exemplo).
lf \ i 14,5,61
, 12,4,6)
Sair nrimero impar
rr AaB=tt2,24,361.
1 u u : 14,6, B, t2, 16, r8,20,
24,28,32.36].
| 
11 ,2,3,51
ll)
Sair nlmero pa
" <sarr nrimero par) e (sair ntmero
5r.
i '' 23 200;33 60O ,,: 5g,t5ok
.) i , )7;2;1
, ,l
2
0,85; 0,10; 0,05
t. ..:.'l .
ll ;:lSdo, porqueA n B : 13] # A,sAo,porqueAaB:{2}+A
,,', A: [7,2,4,5)
AU B : 12,3,5,61
. ' {6.1-sair numero 6
.L(il= x. 
f.(D__ Ln Jt, 
n
irJ,(A):1 -
n
.)J,(A+B)=:l +L=x+Jnnn
;f: :r,l gail cara ou coroa.
lr i Sair simulkneamente cara e coroa
rril 0 :] I
22
' P(AUB) = p(A) r p(B) _ p(r n nr _
)a::+:_ r _ J
4 4 4-i
" ::o) : P(B) = P(A U B) - P(A o B) eP(A n B) I 0 ]ogo p(A) + prR) >> P(Au B)
' #C.P:36, #C.F 6 o cardinal do con_junto {(3, 6), (4,5), (5,4), (6,3)}
41P= ' :'
369
7 - 6^
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I 800;352
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.:: 19 958 400
'uAn t, c, = a6c. at. A^
tooc, rnrO.=5ooa- 4g:,.
,, :rr65g00g :,,1649572
x=2vx:0 x=9 r:?
' :::672F
,^ / r D
'"Ct zt 1; l- = tt.zs ,.\-'/
' .t 
s1- o 5." termo €12C*1-21+ = , nro. . Aexptessao geral dos termos e
lla. /'-r\k -- - --,R\ -/ ^ 
z e
72-3h
2 -z+n=
'1P(At + p(n; = -!Z 
'12
r0,8 :0,6 l
I P(AUB) = 0,16 + 0,24 = O,4O
'r\A/=r-0.16:0,84
,l I
i:,'-
IA
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792 ,::P=0,4
I
10
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^24 . r=-IJ 13
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7. a) Nao 6 monotona.
b) Mon6tona decrescente
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6. 
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9- a)un€ crescente. b) u*e decrcscctllr'
10. a) un d decrescente Po'q"t un = l- C
decrescente.
b) vn6 crescente porque' vn = n c cr't'
cente
Il. a) Mon6tona crescente
b) Mon6tona crescente
c) Nao 6 mon6tona.
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tz.a):<-f,i-, <:z
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b)0=I-;=,
c) -1 < cos n s I
13. a) lim (5n2 + 2) : +@
o) I'iLe+\E+D:+*
c) Iim9n2:fo
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14. -a
15. lrm (3 - 2n) : -@
16. a) e1 = -4; ez= 12 er= -32' ea: 80;
es: -I92
c) |5:l(-2)"'(n 
+ l)l= +o
17 . a) bn; d^; gn h) a; en', Jn
18. Nao 6.
21. a) Divergente b) Convcrgctrtc
c) Divetgente d) Divergcntc
e) Convergente
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25.a)fo 61 rc c)0 d)+- e)0 l)rc
26. a) +a b) I
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zz. a) fr1; 
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b) tim l5-l;)l:5
n_@ L \J/ I
28.a)V b)F c)F d)V
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2. d) E termo tlu ructlrltl rl" - n
3. a)Decrescentc hl Nlll 
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c) Crescente rl) l)l'trr rttlr
e)Decrescente l) l)rtrrrtrttlr
g) Crescente
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'i u) Limitada b) Linrltrrclrt
t ) Nao limitada d) Limita(hl
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b) Nilo i' Iermo da sucessao'
( ) Moll(')Lona decrescente'
7.rt) 2 b)0 c)- d)3
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autores Aronc Chll.iil! r Orlendb{ltahrngo
bollr Morgadlnho
Lda. - $qceqbhuo
LJ;. - tvtocamiftue
Darlene Mavale
Arlindo Pals Uamuaee
Texto Editorec, Ldr. - Mogamblqur
Texto Edltorrl, Ldr.
coordcnagdo 
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ed,itores 
f.t
capa e abcrturasj
ilustrag6es ;
arranjo gr6fico
paginagSo I
pr6-impressdo '
impress6o l
e acabamentos
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Avenlda JUlluE Nycnrg, 46 o Balno Polanr r Clmonto B o Maputo o Moqambique
Tels, (+258) 21 4eAA48 r 21 49 90 71 Frx:21 49 86 48
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\,,tApuro, ouru6Ro de 2015 . 2.. EDtgAo r 2.. TTRAGEM r REGISTADO NO INLD 8oB o NUMERo: 6453/RLINLD/10
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