LIVRO DE MATEMATICA 12, FELIX

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ca 12.a Classe
lrrt
Texlo Edifores
f/i"1, i4 4iir4/1n
Modulo de um ndmero real
lnterpretagdo geometrica de I x - yl=l y - *
Fungdo modulo
Griificos de l/(x) lefllxl)
Equaq6es e inequaqOes com m6dulos
10
10
1l
11
t3
Equaqoesdotipol"l : a.... 13
Inequaq6es do tipo l"l < d .. .. 14
InequaqOesdotipol"l >d.... 14
Exercicios propostos 16
Crllculocombinat6rio.... Z0
Factorialdeumnumeronaturaln.... 2L
Bermutaqio 2L
Arranjos sem repetiqdo (arranjos simples) 23
Combinaqio sem repetiqio 2+
Total de subconjuntos de um conjunto 26
Propriedades das combinaqdes 27
Bin6mio de Newton 29
Exercfcios propostos 3l
Probabilidades 33
Conceitos elementares 33
Operaqoes com acontecimentos 34
Teoria frequencista de probabilidade . 36
Definiqio axiomdtica de probabilidade 37
Exerc{cios propostos 42
Fungdo real de varidvel real (revisdo)
Funglo do 1.o grau (revisZo) ' ' '
Fungdo do 2." grau (revislo) ' ' '
Paridade de fungOes
Funqdo definida Por ramos
Fungdo hom6grafa
Operaqoes sobrefung6es''''''
Funqdo exponencial (revisdo)' "''
Fungdo logaritmica (revisio) ' '
i
Funglo trigoiiometrica (revisdo)
Funqdo Periodica': .'''
Funqdo trigonom6trica inversa
Funqdo inversa (revisio)
Composigao de lunqOes''' "
Llxercicios ProPostos
It
+6
47
49
5l
52
)z
))
51
56
57
59
60
62
63
6+
Sucess0es
Sucessao monotona
Sucessdo limitada
Limite duma sucessio
Infinitamente grande Positivo
Infinitamente grande negativo
Infinitamente grande em modulo
Infinitamente pequeno ou infinitesimo ' '
Sucessdo convergente
Crilculo do limite de sucess6es ' '
lndeterminagOes . .
Numero de NePer e o limite not6vel
Progressao aritm6tica
Termo geral duma progressao aritm6tica
Soma dos n termos consecutivos duma
6u
7l
7)
7\
73
73
74
7+
75
76
78
8I
83
83
85
progressdo aritmetica
Progressao geomdtrica
consecutivos durna
a progressao
proPostos
87
BB
B9
9l
Limites e continuidade de funcdes
NoEio de limite
Propriedades dos limites
Limites laterais
Definigio de limite
Limites infiriitos
Propriedades
Indeterminagdes
I
Limites de expressoes com exponenciais
elogaritmos ....
Limites notdveis
Fung0es continuas
Classificaqdo dos pontos de descontinuidade
Propriedades das fungoes continuas
Teorema de Bolzano ou de Bolzano-Cauchy
Exercicios ProDostns
96
96
98
99
I00
101
r02
r03
r06
107
L12
IV
LI4
115
r20
Noclio de derivada
l:cluaqao da recta tanqente a uma curva
numpontox:d
Funqdo derivada
Derivabilidade e continuidade
Regras de derivaEdo . . .
Monotonia e extremos relativos duma fungdo . . . . . . . . .
Concavidade e pontos de inflexdo duma funqdo . . . . . .
Assimptotas
Assimptota vertical
Assimptota horizontal
Assimptotas nao verticais . . .
Estudo da funq6o
Er rrciii lrs llt-{'}poili}s
a,
I
t
l}+'
t)4
| )'t
| )'1
t27
| 2()
l4()
l4\
| +,+
t44
t45
t45
l4rl
t5+
I
Primitiva 158
Integral indefinido l5u
Primitivas imediatas l5g
Primitivas por partes 16 |
Tabela de integrais | (16
Exe rcfcios prollLrstos . .. 17 |
Introdugdo L74
Forma alg€brica de um nrimero complexo 175
Igualdade entre nfmeros complexos............... I77
OperaEdes com numeros complexos
na forma alg€brica I77
AdiEno,...... I77
Subtracgio 177
Multiplicagio..,.,.......... I7B
Potenciaqtro I79
Divisdo...... 180
Rafzes em C de equaq6es quadriiticas
de coeficient cs reais
RepresentacAo gcom6trica dos numeros complexos ....
Forma trigclnrlmitrica de um numero complexo.........
Argumento cle um numero complexo
Igualdade cnt rr: numeros complexos...............
Operaqoes com complexos na forma trigonom6trica...
Adicao e subtracgio de compIexos...............
Multiplicaqdo de complexos..........
Potenciacdo de complexos ..............
DivisAo de complexos...............
Radiciacao de complexos ..............
Excrt'ic ios lrr()p("tstos
Notzrs historicas
Bibliografia
r82
183
r85
r85
IB7
189
189
r89
190
t9l
I9I
196
198
205
2t6
M6dulo de um numero reql
Na recta real, a distdncia dum ponto A ttrigcnt r'lrama-se modulo
valor absoluto da abcissa desse ponto.
-6-5-4-3-2-I0
Tanto o ponto A como o ponto B estio a 5 urtitlutlt's cla origem, ou seja,
a distdncia do ponto A d origem e do ponto B A oligcrrr (' 5.
Entao, como a distdncia 6 uma medida clc t'tttn;lt'itncnl"o, o valor abso-
luto e 5.
. l+51 : 5 (modulo *5 e 5) . l-51
l"l : d+ x: dv x=
I x sex>0
v :J <+
l-x sex(0 I-
-41
I
De acordo com a definigao,
calcule:
a)13-:l
b) l-3+51
c) l-3-:l
d) I tl+l-ol
e) 3l 5+51
0l-81+l:-tl
2
AdistAnciaentreA eB€3
unidades. Represente na recta
real.
3
Aplicando a dclinigao dctcr-
mlne:
a)l4x*llscx-' I
b) 15 2rl sc r: I
c)lxz 3r+ll lx'+rl
se x- -2
lnterpretog6o geom6tricq de
l, - yl: ly - *l
Consideremos uma recta real e os pontos A de abcissa 3 c ll clc abcissa -2.
BA
-5-4-3-2-I0l2J45x
A partir do eixo num6rico, podemos concluir tluc a distAncia entre A e
B€5.
Atraves da definigdo de m6dulo chcgamos iI tnt:stna conclusao.
Temos:
I " I 
: 
| " - 0 | representa a distdrrcia do ponto de abcissa x ao ponto de
abcissa 0.
l"-y | : ly -xl reprcscrrta a distincia do ponto de abcissaxao
ponto de abcissa y.
Logo: l3 - (-z) | : l-z - 3l ::
Representa a distdncia do ponto A ao ponto B.
De um modo geral serd:
lx-Yl:4+x-Y:avx-!:-a
Propriedades
Sejam x e y dois numeros reais diferentes de zero:
'lrl > o .l"l':x2,VxClR
'l"l 'lvl : l"'vt
l" + y I Desigualdade triangular
l"l
lvl
17:l'
x
v
'lrl +lvl=
Fungdo modulo
l)t'nomina-se funEdo modulo a fungaoflx) : lx I definida por:
Observe, entdo, que a funEdo modular e uma fungdo definida por duas
condiq6es, ou seja,
JG):xsex>0 n JQ): -xsex(0
Observando o grdfico, podemos concluir que:
'Df lR e Dj : [0, +oo1
.Zeros:x:0
. Variaqdo de sinal:
- A funqdo 6 positiva em lR\{0}.
- A funqio nunca € negativa.
. Monotonia:
- A funEdo e crescente em [0, +oo[.
- A funqdo 6 decrescente em l-*, 0[.
. Extremos relativos:
- A fungao tem um minimo no ponto de abcissa 0.
. Nao e injectiva.
Gr6ficos de I f(r) | " 
f( Ir I )
O grrifico da funqao lflx) | obtem-se a partir do grrificoflx), manrendo-se
os pontos de ordenada positiva ou nula epara os pontos de ordenada nega-
tiva tem-se uma simetria relativamente ao eixo dos xx.
Modulo
+
l;strrtlc as seguintes funqoes,
irrtliclrrclo o dominio, contra-
rlonrrnio, zcros, intervalos de
rrrorrolonilr c variagao de sinal.
a),q(r)
b) h(r )
2"1
I r
)
c)i(r)_ lj,l
5
Construa os griificos das
seguintes funq6es:
a)JG)-2x-3
8(r) : lzx -"31
b) flx) : x2'- 6x * 8
g(x): lx2-0x+sl
6
Na figura estd representaclo o
grdfico da funqao f.
Construa o gr:ifico de
BQ) : l/(r) l.
Conclui-se que o griifico de lf(x)l
pruiprio eixo, pois l/(x)l > O.
estd acima do eixo dos xx ou sobre o
Daclo o grrtlico da funqao J.
Rcprcscrrtc o grdfico g, se
8
Construa os griificos das
funcoes seguintes:
a)/r(x) : x-t 2
fr(x):lx+21
fz(x) : lxl+ z
b)gt(*):x2-4xI3
gz(x)=lx2-+x+Zl
8;(x):x2-4lxl+:
c) hr(x) : 2x - 4
hz&): zlxl- +
ll
hr(x) : lzlxl- +l
9
Seja dado o griifico da fungao
y : f(x). Represenre, em figu-
ras diferentes, as imagens
geometricas de:
a) g(x) : l/f"l 1
b)h(x):f(lxl)
c)h(x): l/(l"l)l
Conclui-se que a funqdo f(lxl)6 uma funqdo par, poisl | -"1) :I l"ll.
I. Construa os griificos de:
a)g(x): l-x-21
Resolugio
a)g(x): |-t-2l
g(x): -x-2
g(x):0+Y:-2
b)g(x): lx2-tl
g(x):x2-I
c:-1
b)g(x) : lx2 - I 
I
g(x) : 0 e x2 - I : O <> 1 : -r1
x1Ixl -l+l
:--r
2 )_ -v
-/u:g(x,):g(0):l
2. Construa os griificos de:
a) f(x) : l"l - z
Resoluqio
a)f(x): l"l- z
b: -2
f(x):x-2
x-2:Q4y:)
b)g(x): l"l'-zl*l
u)s{xl : l1l'-zl"l o g(x): }-zlxl(pois l"lr:x2,vx€tR)g(x):x2-2x
c:0
x2-2x:0<+x(x_ 2):0<>
<+J(: 0 v x:2
xla'x1 0+2
"r:-:2-: 2 
:r
!,: g(x): g(l) : -I
g(x) '. gt lx|)
Equog6es e inequog6es
com m6dulos
Equog6es do ripo lr l - ct
Para a sua resolugao, usamos a definiqdo de modulo.
De um modo geral:
l*l:o+x:dvx:-a.,a.>0
l. Resolva analiticamente as equaq6es seguintes:
a) lxl: s b) lxl- -7 c) lxl: o
Resolugio
a) lxl : 5 usando a definigioteremos:
x:5vx:-5 s: {-5,5l
b) lxl : -7 neste caso sera impossivel pois o modulo de um nume-
ro e sempre positivo.
Entao: 3 : {} ou A
c) lxl:0<>x:0
t0
llcsr
Modulo
rlvir t'rrr lR as ccluaqoes:
xl "'| \,5
xl - 5
zxl : z
lx 3l : I
Ix- -2
,-lx+)l
--)
a)
b)
c)
d)
e)
0
s:{0}
l*l: o
se aGlR+
ta a:d
se aClR-
- duas soluqdes.
- fnica soluEdo.
- nenhuma solu-
cao.
2. Resolva, em lR, cada uma das seguintes equaqoes:
a) lx+21:-S b) lx-31:O c) lx- 3l: l2x+tl
Resolugio
a) lx + 2l: -5 Equaqdoimpossivel. S:A
b) lx-31:0+x- 3:0+x:3 S:{3}
c) lx- 3l: l2x-l ll S" os m6dulos sao iguais €porque os nume-
ros sdo iguais ou simetricos.
:2x I I v x - 3 : -(2x + I)
4 v x-3:-2x-I+x:-4 v
1
L
1
Sendo aebdois nfmeros
reais positivos, podemos
afirmar que:
alb+a2>b2
lol t lbl+a2>bzll
-t3)
Quando sc trata (, utiliza-se
n (coniuncdo).
l*l.o
se a e lft+ -infinius solu-
QOeS.
se a C lR-- nenhuma solu-
eao.
11
I{esolva, analiticamente, as
inequagoes segutntes:
a) lx-51<3
b)ll-z'l<I'3
Quando se trata ), utiliza-se
v (disjuneao).
l"l>o
-rn*se4c tfb -rntrnltas
soluEoes.
seaClR-- lRdsoluEao.
T2
Resolva, analiticamenLe, as ine-
quacoes seSulnLes:
u)l+"+2ltro
b)
+l-- -2xl >5
5
13
Resolva, anal itican-rente,
inequaqoes:
^> 
[l*l z
tl x 2l>3
lb)-t-1"*51.;
lnequog6es do tipo lx | . o
De um modo geral:
l*l <rca.r( anx) -a
1. Resolva as inequagrit's sr.grrirrlr.s:
a) lxl < s
Resolugao
a) lxl '.- >
<>x{5nx
<> -5 - x.,- 5
h) lr ,l 
I
b) lx +l
<>\ +'
<> x. () A
Inequog6es
De um nroclo gcrirl:
do tipo
l"l tu<+xluvxl-a
l. Rcsolva as irrcc;uag(ics scguintes:
a)lxl>r
Ilcsolrrr''ao
a) lrl 't
ex-.5vr
l,)l:+xl=z
5
).
.lnr | )
r.l
I
I
x
 S
b) l: + xl .'. )
<>3+x>)v JI x<-2_
<+x2-l v r{-5
-55
S:xCl-.".-5[ Ui5,t*[
- ) -lS:xCl--,-51 U[-1,f-[
Resolug6o geom6tricq de equqg6es
Como jii vimos na interpreraqao geomerrica de l"- y | : ly - xl que
e a distdncia entre o ponto de abcissaxe o ponto de abcissa y,entao a reso-
luqao da equaqlo usando o rnetodo geom€trico baseia-se neste princfpio.
|. Resolva, geometricamente, as seguintes equaq6es:
a)lx- 3l:s b)lx+rl:+
Resolugio
a) Quais sdo as abcissas dos pontos cuja distAncia ao ponto de abcissa 3
e.5?
Deslocando a partir de 3, 5 unidades para a direita obtemos B e, para
a esquerda, obtemos -2.
Logo, a soluEdo da equagao serd:
5:{-2,8} -2-ro I2 3 4 5 6 7 8
b)lx+ rl:+o l"- (-t)l :+
Quais s6o as abcissas dos pontos cuja distAncia ao ponto de abcis-
sa -I6.4?
I
Represen
valo:
Modulo
It' nir lirrma de inter-
a) O conjunto de todos os nri-
meros reais cuja distAncia a 3
€ menor que 2.
b){x€lR:lx-31<7}
I rlc){x€lR:lx---l=0,,}
d) {x e lR: lx + 2l < 4,51
Resolva, geometdcamente, as
equaEoes seguintes:
a)lx-3|1 :2
b) ll - "l :3
c)13-*l:+
d)lx-21 :5
Resolva, geometricamente, as
inequagdes seguintes:
a) lx+81<5
b) lx- 5lr+
c) lx-21 =s
d) lx+ rl=_+
Deslocando d esquerda de -1,4 unidades obtemos -5, e d direita
obtemos 3 unidades.
Logo, a solugdo da equagio serd:
S : {-5, 3}
Resolug6o geom6tricq de inequqg6es
l. Resolva, geometricamente, as seguintes inequaq6es:
a)lx-41 <2
Resolugio
b)lr+*l=z
a) <Quais sio as abcissas dos pontos que distam menos de duas unida-
des do ponto de abcissa 4? >
Neste caso, procede-se do mesmo modo como nas equaqoes. Assim,
a partir do ponto 4 deslocam-se 2 unidades para a direita e para a
esquerda. As solugdes serao todos oi
valores inferiores ao deslocamento ^ ^
tanto para a direita como para a
esquerda.
b)l:+*l=zol*-(-r)l=z
<Quais sao as abcissas dos pontos que distam da abcissa -3 ndo
menos do que 2 unidades?>
Como a distAncia entre
x e3 € maior que 2, des-
l^^^-l^ I -locando a partir de -3, -5 -4 -3 -2 -I
s:12,6[
| . Itesolva, geometricamente, as seguintes equaqOes:
a) lx-31::
Resolugao
; segurnres equa
b)lx+Il:+
a) Quais sao as abcissas dos pontos cuja distAncia ao ponto de abcissa 3
e5?
Deslocando a partir de 3, 5 unidades para a direita obtemos 8 e, para
a esquerda, obtemos -2.
Logo. a solugao da equagao sera:
5 : {-2,8} -2-IO L 2 3 4
b)lx+11:+: lr-(-I)l:4
Quais sao as abcissas dos pontos cuja distdncia ao ponto de abcis-
sa-l€4?
Deslocando a esquerda de -1, 4 unidades obtemos -5, e a direita
obtemos 3 unidades.
Logo. a solugao da equagao serd:
s : {-5, 3}
Resolugdo geom6tricq de inequqg6es
S: l-*, -51 U I-t, +*[
l. Resolva, geometricamente, as seguintes inequaE6es:
a)lx-41 <2
Resolugio
b)lr+"1=z
a) <Quais sao as abcissas dos pontos que distam menos de duas unida-
des do ponto de abcissa 4?>
Neste caso, procede-se do mesmo modo como nas equagoes- Assim,
a partir do ponto 4 deslocam-se 2 unidades para a direita e para a
esquerda. As soluqoes serio todos os
valores inferiores ao deslocamento
tanto para a direita como para a
esquerda.
b)l
<Quais sio as abcissas dos pontos que distam da abcissa -3 nao
menos do que 2 unidades?>
Como a distAncia entre
x e3 € maior que 2, des-
locando a partir de -3,
2 unidades para a direita
e 2 unidades para a
Soluqao
s:]2,6[
esquerda, a soluqao serao os valores superiores a esses deslocamentos.
Modulo
'iil
l{cplcscntc rur lilrma de inter-
val<l:
a) O corritrrrto tlc torlos os nu-
rneros rcilrs crtjrr clistirrcia a 3
e menor qttc 2.
b) {x € lR:lx - 31 < z}
I rlc){xclR:lx- l-o,t}| 2l
d) {x c lR: lx + 2l < 4,51
15
Resolva, geometricamente, as
equagoes seguintes:
u) l"-31 :2
b) lI-xl -3
.)13-xl:4
d)lx-21 :5
r l'6.
Resolva, geometricamente, as
inequagoes seguintes:
a) lx+81<5
b)lx-51>1'tt^
1
c) lx-21 =e\
d) lx+71>:
z
Iffi
I. Rcprcscrrlc, r'la lorma de intervalos, cada um
clos sttbctltr.juntos em lR.
ar)A:{x€lR:x>0}
lr)tl:[xClR: x<-1,7]
c)C:{xe lR: x>-l^x=+}
| 2)
cl)D:{x€lR: -41x<-3}
e)E:{xctR: lxl <t}
f)F:{x€tR: lxl=Z,Sy
g)G:{x€lR: lt-11<6}
h)H:{xclR: lx+zl 't}
2. Calcule a distdncia entre os pontos de abcissas.
a)-4"-+
c) o e -12
b) -4 e 4,3
al ! 
" -1'6 
3
3. Resolva, analiticamente, as equagOes seguintes
em lR:
\l | -a)lxl:t
b) lxl - -2
c) lxl :21,
d)lx+41 :t
e) lx - ,l : +
nl"*1
e) lx - t
-0
- lr-lt-^l
h) lx+31:31"-
i)lx-31 :+*
r1
i)lx+31 :2lx--J.t ' | 3
k) lz-x -3
4. Resolva cada uma clas inequaqoes seguintes em lR:
^) lxl < s
b) lxl s I
c) lxl > +
Exercicios propostos
d)
e)
0
x
b)l *
[2'
-0
e)
<-z
x-31 <2
,,_ +1.
h) lO,Ix
i) lxl =
j)lzx tl'2
rtlk)lx ;1.+t-l
I o,r
5. Resolva its ittt'tlttitqtlcs scguintes em lR:
t
I
.lll*"! 2'r
|* 2l l--l
"'{ll
2. 0
t- 01-
I
2
z -2
l-]
rl)l2rrll 2nlx- rl>5
6. Calcule:
a) l-51 + lel
b) l-31 + l-rr
c) l-r-rl
d) l-l+rl
e)1251 - l-zs,
Dl-31+l-tzl-l3l
7. Tomando em conta qrr", 1&t =
a)\EsF
w \E6prqrc
,l tlo,atp^q'W
lx | . Calcule:
propostos
ll. llscreva na forma de intervalo de nfmeros reais.
a)
9. Resolva as seguintes bquag6es em lR e apre-
sente o conjunto soluqio na forma de interva-
los e geometricamente:
a)18-"1 :-t0
l"- tlb) , 
:1
c) l3x-41:z
d)l17-4xl:1
e)l2x-31:2x-3
0llx+21 :4-2x
dlz"-tl: lrx-ol
h) lax- Il : lzx+tl
10. Resolva as seguintes inequaqOes em lR e apre-
sente o conjunto solugao na forma de interva-
los:
a) 3xl < r
b)
x
1
L
<5
b)
c)
cl)
c)
l"-1]i--z
> lx+51
3 - xl<3
x-2 <3
2
5-3xl
r)
s)
lr)
<1
<53x- Il b) g(x) :
rE
i) lrx + 4l < -5
i, l+l'+
k) lx' - x- 4l >2
ll. Indique o conjunto solugio das seguintes
condi(oes:
a) l:x-61< ls-rxl
1b)l;-xl >lx+11
12. O conjuntosolugAode lxl - 1 ( 0 6:
A. S: l_co, _tlU [1, +ml
B. S: l_1, tt
C.S:[-1, l]
D.S:A
t3. O conjunto soluEio d" - l, + +l3
l-I>-4e:
A s:1-+, +lI 3 3L
B.S:A
c. s: i4. gI
L3 3L
D. s: l-*. -ai u 
-l9. 
** [I 3L 13 L
14. Determine o dominio das fung6es:
Ia)flx): r-i
b)flx) : {*t - 5
Ic)flx):1r_r,_,
d)flx) : M; - lr 3
I5. Construa os graficos das seguintes funq6es:
/t \x
a) JQ) : (;,) _ 
'
(+) ' -'
I
( ) ..'.,,..ri,r. rlc litr l:ltii.l. it tiit:r
','';ir::ri i:i ,:if iffri ;11:-lrfi!lltt)! a
{ 1:til.; I .}liii:t i]itatii.:; llriatjfc-
r:i):i!: a1tir'faltta.s sc 1l_,rl l,ll
.lili:1,]t)f?
:-
(l \liri:;i:s l,lir I rtll(;t:i. l. ails;I.
i,'tr5. tt;,::,,ir;j!::r r_: .,1. ititfi's r,il-t s:i1.tt,;-
i.i)! i,tC,ltt,tnllt.t I:l:ilt|;rt:.i :rt_l
irllrii.: Ir.:ritr i
f
L Ill('(l iilllt.,()., \,irr Li,r, I rir ;t.ia
SCi() (l(' :luloltto\1 | l);' q,1,.1;1; 1,;
lllilll('ll:1., l)()(l( tit .\ it I irill;it .,r''
S:lllOIl(l() (1il( ,r' r!tli I ti; r:.'. i.i
lla loll(l[t(llo t r I ir.,t .. ,rr ,.11r1
rji i,jlnclul>
r€-Q\)
, # L€-se cardinal.
l.'' Lst:lllha {chclc tlrr trrrnrir) lt.i ,,pq,,t.., I ,,
2."i.:tgr.:,.rlitrr.(sulrt'lrtlr') lr,rlr(,,ts I 
r''' r/
SeuXw ew binotorio
se uma tarefa envolve a realizaq6o de h Larefas, por uma determinada
ordem, e se hri nr maneiras de realizar a primeira, n2 maneiras de realizar a
segunda, ..., trp rn?ri€iras de realizar a riltima tarefa, entao hd flL. n2. ... . n1,
formas diferentes derealizar essa tarefa.
l. Qual e o numero de casos possivcis de 3 lanqamentos dum dado?
Rrslrlug:ill
i." i lt:g:ilrict-tt(), 6 (.ll:i()\
I " l,:llt,,'tntct1l0 -- (t t lrsos
i." i :,rt(ittltcltt0 - (r t'lrso:;
i' Qual e o numero de opqoes clc cscorha do chefe e subchefe numa
turma de 48 alunos?
e :;oli_lcao
o principio que acabiirnos de exemplificar tem a ver com o cardinal do
produto cartesiano de conjunlos.
Dado um conjunto A e um conjunto B, chama-se.l:.1'*iir.r-o r:;r,rtesiano de
por fi, e escreve-se AXB, ao conjunto dos pares ordenados em que o
rimeiro elemento pertence a A e o segundo elimento pertence a B:
AxB:{(a,b):aeAnbe.BI
Se A e B sdo conjuntos finitos entdo o e;u,l.rl'iil deA X B serd
#(exB):#Ax#B
l. SeA: {a,b,c} eB: {I,Z]lrem-se:
A x B : {(a, I), (a,2), (b, I), (b,2), (c, t), (c,2)} # (A x B) : 6
!. o nfmero de resultados no lanqamento de 3 moedas corresponde
ao cardinal de 43, sendo A : iface I MT, face logotipo):
#A3:2.2-2:B
F
lr,
Itr
rlt
lrr,
|ll
\t',
s(. I
lll;l
(ltl
t'lrt
lill
|lll
Perrnutogoo
Suponhamos que numa corrida de I00 m participam sete atletas. Nao
havendo empates, de quantas formas diferentes pode ficar a classificaqio
linal?
lfa7' 6' 5' 4' 3' 2' I maneiras
diferentes dos atletas preencherem os
lugares, pois existem 7 possibilidades
para escolher o primeiro lugar, 6 pata o
segundo, 5 para o terceiro, ..., e para o
s6timo n6o temos escolha.
O que pretendemos e contar todas as for-
mas possiveis de ordenar os 7 elementos,
ou seja, contar o numero total de sequ€n-
cias que se podem formar com 7 elementos que podem trocar (ou permu-
tar) entre si. A uma sequ€ncia de 7 elementos chama-se permuta('ao de 7 e
o nfmero total de formas de ordenar 7 elementos representa-se por:
Pz - <<Numero de permutaqdes de 7> ou
7! .- <Factorial de 7> ou <7 factorial>.
Ou seja,
Pt:71 :7 '6'5'4'3'2'I
e probobilidodes
5
L-alctrlc () \ itl()l (lll ( \l)l('\\.tt)
l(x)! ' l()l
r)9!
6
lLcsolva a crpressao:
(rt I ):, q,a
- l\!(rr I )l
7
VeriliqLrc t;ttc:
a)lt t7t / l.l,l
b)'; | 4l /! 8!
c) ll t -1.! + l0:
fi
(-irrc:o rallarigrs c clois rrtpilzcs
vio dispor-sr: cm fila l)ala ttnla
l,r1,rgr:tIi:t l)r' (lttJlltrr: lll:lllr'i
i-e,s st' l'tctti cnr cl islttt r, l'i r:e trt I o cls
tlois rirpirzes nirs porrlitsl
Colculo combinotorio
Fqctoriol de um nfmers nqturol n
( llrrrlr sC de Um nUmerO natural ?1 e lepresenta-se llttr tt! ito
;rtorlttlrt:
nt : n(n - l)(n - z)' ...' 2' I
rr! le-se <n factorial> ou <factorial de n>.
I Aplicando a definiqdo:
'-t)Zt:2'L
f,,)5! :5'4'3'2'l
c) (n * 1)! : (n + I)' n' (n- I)(n - 2)l
etr) 0! : I (por convenqio)
r2l 12'11! ^I '- 6' 11! 6' rr!
n (n - I)(n - 2)b---JTt : n(n - I)(n - 2)
9'-'g)t
Foctoriql de um nfmero nqturql n
( lrarna-se de um numero natural 11 e representa-se ltor rr! lro
It0(lillO.
nt : n(n - 1)(n - z)' ...' 2' I
rr! I€-se <n factorial> ou <factorial de n>.
L Aplicando a definigao:
a)21 :2'l
h) 5! : 5'4'3'2'I
c) (n * l)! : (r,r + 1)'n-(n- 1)(n - 2)!
d) 0l : I (por convenqdo)
. 12! l2.ll! ^\/ 6'llt 6.II!
n (n - 1)(n - z)(p-'3Tt : n(n - I)(n - 2)
Permuto96o
Suponhamos que numa corrida de 100 m participam sete atletas. Nao
havendo empates, de quantas formas diferentes pode ficar a classificagdo
final?
Ha 7' 6' 5' 4' 3' 2' I maneiras
diferentes dos atletas preencherem os
lugares, pois existem 7 possibilidades
para escolher o primeiro lugar, 6 para o
segundo, 5 para o terceiro, ..., e para o
setimo ndo temos escolha.
O que pretendemos 6 contar todas as for-
mas possiveis de ordenar os 7 elementos,
ou seja, contar o nfmero total de sequ€n-
cias que se podem formar com 7 elementos que podem trocar (ou permu-
tar) entre si. A uma sequ€ncia de 7 elementos chama-se perlnuta('ao de 7 e
o numero total de formas de ordenar 7 elementos representa-se por:
Pz - <<Nrimero de permutaQoes de 7> ou
7l - <Factorial de 7>> otr <<7 factorial>.
Ou seja,
Pt:7!:7 '6'5'4'3'2'I
Colculo combinotorio e probobilidodes
5
("alctrlc tl vrtlot tllt ( \l)r( 5\,t()
t(x)t . t() |
r)gl
6
l{csolva a erpressiio:
(n I)t
(n l)l
'7
VerilirlLrc r;trc:
a) 5t t 7l t' l).t
b)5r4!181
c)5!1ll+t0:
s
Cinco rapariuas e clois rapazcs
vao dispor-sc ern fila l)ara uma
lot,rgrl[-ia. I )c qrrlrrrtas rrran.'i
r;rs sc poclcnr dispor'. ficando os
ckris rapazcs lrirs ponLas?
9'-'g)t
1o
Dado um conjunto dc n clementos distintos' chama-se
,, , a toda a scclucncia que podemos formar com esses n elementos e
representa-se por P,, oLl llcrllrutagao de nl e tem-se:
Pn: nl
P, ld-se <permuta(,1io tlc tt clcmentos>.
n
(,
Um teste tem 9 clttt'stocs c
seguindo qualqucr ttrtlt'ttt.
dante respondcr?
run cstudante pode responder as quest6es
l)c cluantos modos diferentes pode o estu-
,rlli,tt
r Irl
rlrttt
rlr',1,
ll
l),tr
r'll r
It'll
I t'll
,| ,,
Com as letras cla Pttlitvrrt (,()MlilNAl()l{lA, cluantas palavras com
ordem e sentickr (' l.lossivcl litrtltitt'l
Quantas palavras (. ll0ssrvcl l()rnrar licltnclo as letras Bl sempre
iuntas?
Se hd n objectos corn fly
do tipo I, n2 do tipo 2, ...,
n, do tipo r, onde n1 *
I n2 1... * n,, cntdo
-nlhA- 
- 
-., permu-
Il1t.f12!.'.l1,l
tagoes dilcrcrrtcs clos n
objectos.
I
t rltlr
| ;l ll
| ,t tl
tl
Colculo combinotorio e nrobsbiIidudes
-+*t,.." t, , .a. , rr:,:ii:,,
Arronios sem re etigfro
(orronios si Xes)
l)rrtlo B : 12, 4,6, B] procuremos escrever todos os nfmeros de tr€s
llgurlsrnos diferentes que podemos formar. Como procedimento verifica-se
qtre t'ada um dos numeros pedidos corresponde a uma sequdncia de tr€s
f lerrrcrrtos distintos, escolhidos entre os elementos de B.
(,hamamos a uma sequ€ncia deste tipo, arranio si ples ou sttm rt:pc-
f rr.r,r1l1'4 elementos tomados 3 a 3, ou arranjo de4,3 a 3. O numero total
rft.sf cs arranjos de sequ€ncias represenla-se+A3 e jd sabemos que e igual a
+' ) ' 2:24.
Dado um conjunto com n elementos, o nfmero total de sequ€ncias de p ;
elementos distintos, escolhidos de entre os n elementos, com P 3 n, i
a P, e tem-se:
nAp:nx (r,r- I) x (n -2)\... x (rn -p+l):;!^,- tn-p)!
Por definiqdo'.nAn: n(n - 1) (n -2)... (n- p + l) n, p C lN n=-p
nt : n(n - I) (n - 2) . ... . (n - p + r) (n - p) (n - p - l) - ... . 3 . Z. I
t2
( rtlt rtlt .
",\, I ',\, , '\,
"r\, I '\,
l_l
Quitnlos l[n]rr'r-():,l, i :tl,g.u r'
tnOs irltiii:tlr0s 1,lt'ttt.tt r (\lll \)'-
alg:rllsIl1.ts dr) si-\lclllrl i.l( ( i
tual, scnt r:s rcrcl|l- l]i' ltl.ltl,r
que:
a) (-onrcccnr por 1
It) (.,'tttc. ct't |1r. 2 t' ir rllli
Llarn clTl l.
c) Sc'janl tlivisive is por i.
14
Qr.rantcs siio cls ni-lnleros coln'
prccnrlielos cirtrc l, 000 e I 001-}
lirrrn;elos pr,-tt' ;tl grrisitrl-q clis-
f.i!liilsi
Nurrra prtrr rt olrtttpit'ir ({f n:11:1-
qrio. (r :rtlct:rs <lrsprrllrln ;ts
rnrtl:rlirtrs <1r.'onr.. priiia I
it r,, r., ,- r,' .
I-ra rFi;rrlas rnanciriis di{crcltrs
iL: poil. Laztr a dislribi.lir;irlt
, l.rs lr.'rl;il irrs?
t0
(..r:sidlrc ii:(1r)i r-rs itLilnckls rli
ii;-lt:o ;r igrrristitrs cli I ct cntr.'s,
(]r,renlos clcsscs sio 1-r:rr csl
(:ntao, nl. : nAp' (n,- p)l
ou seja,'eo: ffiI c.q.m.
E fricil concluir que se p : n entAo nAr: n!, ou seja:
nAr: Pn: nl'
r.nAr: n
'Ar.: nAt (n - 1)
p."Ap-nAp Jn- (p - 1)l : "Ar-t(n- p + 1)(p > t)
IJrnavez que os arranjos de n elementos tomados p a p se podem
obter a partir dos arranjos de n elementostomados (p - t) u (p - l), colo-
cando a direita de cada um deles um dos elementos que, ainda, ndo figu-
ram ali e que sdo numeros de [(n - p + 1)].
Fazendo substituigdo sucessiva, finalmente, teremos:
"oo:n(n - 1)(n -2)...(n-p+\) n,pe lN,p<n
Logo, o numero total de arranjos de n elementosp ap eigual ao produto
de p numeros naturais consecutivos, por ordem decrescente, a pattir de n.
(n - p)l
t7
l',tt,t, , ,,, ,,';,..rllr:-.r i_.Lritr;i5
l.i, r , r r.:.::.t: llr. I ;i r. rlis-
I',,1ri , lr,':t:-:::11 lla:5 ||rc:.
I 'i : r,l.,rjiS.t f':l-Llil
. i:-i, . :- -.' 
.
: ::.:i it atll_ri) .ci'ilt iit!tr.lt;:1,
,: :l:..:':i:'
O nfmero de combinag6es
de n, p a p, tambdm se
representa:
/n\
\pl
It
\i; rl, -: l-tlll,:l la't:a
i' ::: i:l.t: :: I _1
1."A+:6'5'4'3
2.nAr: n(n - t)(n - Z) (n - 3)(n - a)
3" Quantos numeros de quatro algarismos diferentes e possivel formar
com cinco elementos do conjunto (I,3, 5, 6,7)?tAo:5.4.3.2:r2o
,'. Numa corrida com B participantes, de quantas maneiras se podem
distribuir as medalhas de ouro, prata c bronze?8A':8.7.6:336
i' o Nuno tem l0 Lipis de cor e quer pintar uma figura utilizando 6
cores diferentes. De quantas maneiras pode a figura-ser colorida?toAu : I0. 9. B. 7 . 6. 5 : I5l 200
Is Infi€ 0 sem repef$q *
subconjuntos dum conjunto dado. 
te' tlu scja' a ordem 6 irrelevantepara
Dado o conjunto-A: {2,3,5,7), quais os produtos de tres lactores
que 6 possivel formar com os elemcntos de A?
, Nestes casos, podemos concluir que os produtos pedidos ndo sao maisdo que o agrupamento de tr€s elemenios d" A, que apenas se distinguem seforem diferentes os seus elementos.
Assim: 2X3l;.5 2X3X7 2X5X7 3x5x7
I
rl
I
rl
di lrilirr :r r)r
l'ttliiC. ..r' i.,t t r,,
li'trtCSl
]] t a ,:: ti;l ii l ,]ii
t'ilt,::t.s:l::t.-
Preste atenQdo para a comutatividade d.a multiplicaqdo pois z x 3 x5,2 X 5 X 3... ndo sao diferentes.
Entio neste caso o que importa ndo sdo sequdncias de tr€s elementos,
mas sim combinaEoes de quatro elementos tomados 3 a 3.
. o numero de produtos de trcs factores que se podem formar com os
elementos do conjunto A : {2,3, 5,7} 6.
o *c, 
"" 
(1)
EntAo como obter +C,?
. Jii sabemos que g nrlm;rg de sequ€ncias de tr€s elementos que se podeobter a partir do conjunto A e4A3e que cada um dos r,rb.onl.,rrtos de tr€s
elementos origina 3! sequ€ncias distintas.
Colculo combinotorio e
( :rJ, I#FfiXl ..$lW'-) | t1,t : f.: ,; \+ -*w,|n J! ,, 'i
f)tlrtanto rAr: rCa
. 4^ 'A.
rttl s('lil L:} : -;i =
)l
l. Calcule:
o) 
uc,
esotrugao
. b - 
t'A.,
a) L,t: 
3L 
:
ncn nl.
.comp<tl
(n - p)tpl
l9
l)os l'l r'llrrrcrrtos cle [nla asgo-
(t.l(:rrr (l( (\lll(lilttic\ \ii() \r'r
t'sr ollrrrlo'' .) l)lrfil reprcsentar
lt t's, r,lrt nlulr ('n('()lttfo cotn
c'lt'rnt rrtos tlo N{inistclt-io da
I:tlttr ltr,.lr) ( l)r'\( lt\()i\ itll( t;l()
l lLttnrttto
Dc clrtatttits l()rnrir\ tlilr rt rrlt's
se poclc Illzt't- t ss:t L',t ollt;tl
2A
Quantas filas diferentes sc
podem formar com 6 bolas
verdcs, 3 bolas azuis er 4 bolas
encarnadas?
2l
(.orr <ls algarismos cl<l numcrcl
j) 77 ). rlunrrt()( ttuntt ros clil'c-
rctnte.g $c poclcn'r escrever?
.3!
4 .3.2
I)um modo geraI, cada conjunto de p elementos permite escrever p!
rrt't'irn.jos simples, o que quer dizer que o nfmero de subconjuntos com l)
rlcrncntos escolhidos de entre n pode obter-se dividindo o numero de
rrrrirnjos simples de n, p a p, por pt".
3.2
h.5.-+
b) n*'c,
-4
l,)
'An
pl
Ito
los
^TA
res
L21S
SC
3.2
b1 ''-lc.: (n + 3)! (n + 3) (n + 2) (n + 1),41
(;r'|3-3)13!
{.n't 3)(n + 2)(rr + r)
){fl 6
0
2. De quantos modos diferentes se pode escolher uma comissdo de tr€s
pessoas dum grupo de dez pessoas?
Resoluqao
Cacla subconjunto Ce tr€s elernentos satisfaz o peciido.
lLr- i0l ta"9' 8'7
(10 - 3)! 3r .il 3l
to.q.R
: | /tl
t)
l. Um saco contem I0 bolas brancas e 7 bolas pretas.
Tiram-se duas bolas. De quantos modos diferentes se podem tirar:
a) 56 bolas brancas? b) 56 bolas pretas? c) Bolas da mesma cor?
R.esolueao
os,
e-
ro
n-
e) L2
t I ,'r-
D 1 L.2_
7 . 6"5{
l0
(10 - 2)! 2r
7l
(a tlt )!
\I LJ. L. 7)l
: --*--:- - 21
2
rde
.res .) toC: +7c.. - 45 + 2l : 65
Jil vimos que (contar combinag6es> e (contar subconluntos de um
conjunto dado>.
tol dg r'.,1 tt'i r- r,',,.r'i i.{f"l {#nlr , , .,,,,,
se um conjunto s tem 12 elementos, qual e o numero total de subcon-
juntos dcssc conjunto?
(Nao csclucrca que o proprio 5 e o conjunto vazio a sdo subconjuntos
de S)
o rlitoclo mais simples de contagem do total de subconjuntos baseia-se
no princfpio da multiplicaEZo.
Basta imaginar os elementos de s dispostos em fila e sob cada um
dclcs cscrcver sim ou nao (S/N) conforme entra ou nao entra no subcon-
junto a definir.
Por cxemplo:
define o subconjunto [b, c, f, i].
Assim, para cadaelemento, so hii duas opcoes, S ou N, Iogo, o nfmero
total de subconjuntos tem de ser:
2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2_ X 2 X 2 X Z X 2 X 2 X 2 : 2r2 - 2+s
A conclusdo e analoga para #5 : n e a demonstragio pode ser feita
usando o mdtodo de inducdo mateme[ca.
:' O mimero total de subconjuntos, ou partes, de um conjunto
comnelementos62'.
I :.llli-,:,i:i:lt:r.:::i.:r (pafan C lN):
Se n - 1, obtemos a afirmagdo: <O nfmero total de subconiuntos de
um conjunto com I elemento 6 21>.
Esta afirmaqio e verdadeira pois se o conjunto s6 tem I elemento, os
fnicos subconjuntos sdo ovazio e o proprio conjunto*.
i:,r'::..::-a,:,: ::.1: lr:,:..t,.,:.r:,: O numero de subconjuntos de um conjunto
com :r elementos 6 ..1:'.
::' :. : O numero de subconjuntos de um conjunto com , elementos
Seja A um conjunto com ,, : elementos e B um subconjunt o de A
com elementos. Seja ainda ,:; o elemento de A que nio estd em B.
Por hip6tese de induEdo, o conjunto B tem 2p subconjuntos que, como
e 6bvio, tambem sdo subconjuntos de A. Relativamente a cada um destes
jlm
NNN
abcdefghi
NSSNNSNNS
Jt'
lrr
l,tp'
Pr,
t.
I
(p.2t
rv
I
* Se considerarmos n C lNe,
temos, para n : 0, um
fnico subconjunto que €
oQetambem2o: l.
1l
Colculo combinotorio
,..1}1t {'rcl,t{#,Ei{ttpffif {ilmfi$F,t'1titl{t 'dti ' 
!'
e probobilidsdes
o
n-
-os
2li strbconjuntos temos duas opg6es: acrescentar, ou ndo, o elemento rt,
flntllrr, ha Zp x 2 : 2p + I subconjuntos em A, como queriamos provar.
A afirmaqio do teorema 6 entdo vrilida para n : 1 e 6 hereditdria,
Iogo, 6 universal em lN.
Vt rilicagao do teorerna anterior para V: la,e,i,a,u)
"r 
r ireonlur-rt a vazir: (A'):
l.l '' cle silbconjuntos corrl I elemento:
f.l de subconjuntos co1-n 2 elementos:
trl " de subconjuntos com 3 elementos:
\l " de subconjuntos com 4 elementos:
\rrbconjunto pleno : V:
l:,,lefacto: I + 5 + l0 + l0 + 5 + l:3):2r - 2/\'
-se
tm
)n-
m
N
sde
), oS
lnto
)ntos
deA
:omo
estes
l
'Lt: 3
'cz : lo
lcr : lL)
'L+: )
I
tco:l e
tcn +
l-, anatrogamenle:
-l: . 
-'l ]--11 l
Propriedsdes
I t': -r i1 .i'"," i-
Esta propriedade das
(p.26):
I podemos afinnar quc:
'Lt 'C: ''L'|'(;:2j
dos combinqg6es
n t? 'll -i' * t', :::: "" 
tt i-. iftlal
combinag6es 6 o coroldrio do teorema anterior
tC,
7f.
| . Verificagdo do teorema anterior pari B : lb, d, r, c, ol .
Resoluqlo 
.+-
Subconjunta vazio (A). 1
f,l umero cle subconjuntos corr I elemenlo: '(, r 5
Nfmerr: ele suhconjur-]tos uom 2 eiernenlos: rC, -= 16
Nirlnero clc sr-lbconjililtos com 3 eletnenlos: 5{-, : 19
Nfmero de subcolt.junl()s ('or-n 4 elementos: 5C.,
Nf mero de subcon jLurl()s (.()rn _5 elcrnentos: 5C5
4
5
Delactcr: I + 5 I l() | l()+5* I : 32:25
Como tCo =. I c ''(.,, I porlt'nros afirmar que :
tCo+ 5C, +'tt.., l,( r l,( yI5(,-: )5
2. Quantos subconjuntos tcm rCo + ,C, + ,Cr. + 4C, + +Co 
?
Reso[ugao
+Co+r(;r |'f(.., l,(, 1,,, | +4+6+++I:16:24
3. Dispondo de 6 ingredicntes diferentes: fiambre, chouriqo, cogumelos,
ananas, milho e azeitonas, quantas variedades de pizza se podem
fazer?
,;:r{,,{. d0tlffitr,tf'Aig;r ':.ltr:llt':lii :ir:::::i::t::: : : il lil::lllr:,,1. : :,,1,.:l :ltit,ll
(r rlr':lt's intltl'(li('ntcs: o tr[rrnt'rir
t'(.'t * uCr, =: 2tr - 1 : 63
nau lcvar algumdos ingreclienles
cle variedades de. pizza e '26 - 64.
-5
--I
-I
- )#ll
; Podcm<ts rrtilizlu' l. L, i, -1 , 'i orr
, total cle varicrlrrtlt's tlt' 1ri11-11 1';
, acr + ('(., | (,(. r I (,(.,r +
, Sc aclmitilrnos t;rrc rr pi1;rt lloclc
(s<i mitssa), (.n(iro o nrrrrrcro lcltal
22
Escrcvrt as chras lirrhas scguin{cs n * I elementos na linha seguinte e assim sucessivamente...
clo triangtrlo tlc I'ascal que 5c A figura obtida denomina-se tridngulo de Fascal.
enconlra it0 ltrcltr
Em cada linha todas as combinaqOes
de elementos:
"co
l/-' lr'UO L,]
lco t.L, tC,
tL'n tc, t( t tC 
t
.C,i, u(_, ,c2 nC) ,c.o
''(.0 tCt tCt tC. 
'C, 
tC,
"( ,, "( , ,'{_r. o(,a ,.cr ,.C, ,,c,. 
I
ttrnu O --
Linha I ----->
Linha 2 ----->
Linha 3 --->
ttrnu, -----
Linha 5 ---->
Linha 6 ----->
Para procurar propriedades das combinag6es vamos construir um
esquema com os valores das combinaEoes de n elementos numa linha. de
Substituindo os simbolos nCo pelos
respectivos valores, obteremos:
il
t2l \-/t.l 3
\r,'\-r,t-'.-r-11641\--'- \-,.- \,/-\,/i 5 t0 l0 5 i
\-/ \/- -:tz/ \-/
5 15 20 l5 6 I
Colculo combinotorio e probobilidqdes
Tlncl0 ctn conta o tridngulo de Pascal, iremos interpretar ou justificar
jruprlcdades seguintes que sao validas para todo n € lN6:
nco l; tC,' :
() ttutttero de combinaq6es de n,0 a 0, representa o numero de sub-
,Il,,,t,,,, com zero elementos escolhidos de entre n' havendo apenas um
lOnltlllt()s com n elementos escolhidos de entre n' havendo apenas um
lnleo cttn;unto que existe nessas condiq6es que e o proprio conjunto'
S.Pcrrn$x €lo tlr x*Cur*p
(hr ttftmero de combinaqOes em termos de factoriais:
nl.
"co: (, lp))pr g ncn-P:
scndo a segunda expressdo equivalente 2r primeira' o que se torna evidente
clcctuando as operaqOes dentro do par€ntesis'
Bin6mio de Newton
Sabemos que (a + b)2 : a2 + zab + b)
Como obtlr o desenvolvimento de (a * b)3, (a + b)a ... e de um modo
gcral (a + b)", sem efectuar o produto- dos polin6mios?.
Comecemos por usar o algoritmo da multiplicaqio de polinomios:
h + b)3 : (a -r b)2 . (a + b) : (a2 + 2ab + b2)' (a -r b) :
:F+3a2b+3ab2*b3
(a + b)a : (a * b)3' (a + b) : (a3 + 3a2b * 3ab2 + b3)' (a * b) :
: t + 4a3b + 6*b2 -l 4ab3 + b4
verificamos que os coeficientes num6ricos dos termos sao exactamente
os nfmeros duma das linhas do tridngulo de Pascal:
ln -(n - fllt(n - P)l
2J
()bscrvt' rt lri:ittqtrlo clc Pascal e
rcspotttlit lts (lll('sla(s scgulnte-s:
a) Qr,rarlt()s llttlll('los te trl a
linha das cotttlrittrt( ot's tlc 5
elemen Ltlsl
b) A linha (lLtc [clll LJ clolllclltos
e a linha tlits ctlnthitt:tt trt's
de quantos eletnentos?
c) Qual o valor de P lro tercejro
elemento cla hnha clas conr-
binag6es 6Cn E na linha das
cotnbinaQoes 
loC,,?
d) Qu.rl o valor dc P no quinto
elemento da linha eln clue
n : 7? E na linha ern que
ll : Lv!
2+
Determrne:
a) n tal quc "C6 - "(1.,,
b) n l o tal cluc "'{., '. 
t"{'o
25
Curnplt:te, usanCcl combina-
c'()cs-
\ l)/- rra
it, L-2 t \-', - '
)t--b)"Chi. --cz
.) tt'Cro - 
ooc,rn : ..
n' (a+b)":)"Co't-k'bb
(a*b):nCoa!*
+ncril-Lb +"Czd'-2F +
+... + ncp il- p bp + ... +
* nC,_ r1bn -, + ncnb,
nl.
-(]s
t4
um
de
:Ios
(a*b)o:1
(a+b)r:larlb
(q+b)2:la2r26b+1b2
(a + b)3 : la3 + 3azb + 3ab2 + Ib3 ---------- 
->
(a+b)a:la4 + 4db + 6*b2 + 4aF + Ib4 - >
e se ordenarmos os termos pelas pot6ncias de a' €
padrdo para a parte literal de cada mon6mio'
1
ll
l2-1
133r
t46+l
facil perceber um
26
I ',( I (
iir
ii i i
}) l:l'- -1,')'
.i ur lrltttfitS Lt:rntc5
; -,) ),)'{l
Donde se induz que:
(a+ b)5 : ld.5 I ->a+b + tod3bz + rca2b3 -t iaba + lb5, visto que a
soma dos expoentes € sempre 5, ou seja,
(a + b)5 - ;i.,, a5 +'t', aab +'t, a3b2 + jC)d2b3 I tCrdb4 + 5{,:'b5
E finalmente, generalizandtl, com n € lN6, encontramos a {eir ula rlrr
hinomio de Nc$,lou, cujo scgundo membro tem t'l + I termos. V€-se que a
soma dos expoentes em cacla nronomio e n.
Repare que nC2 on - 2 y2 C o ]." tcrmo e tambem:
"Cp dn - P bP 6. o termo de ordem p * I
3. (2x - t)5 : 5co(2x)5 + 5cr(2x)4(-I)I + 5C2(2x) )(-l)2 +5(.\(Zi2(-1)3 +
+ 5C+(2x)(-1)a + (-r)5 :32x5 - U0x4 * U0xl * 40xz f 10x - I
'(**
3 (Zx- I)5:5Co(2x)t + tC, (2x)4(-I)I +5C2(2x) ](-l)2+ 5C3(2x)2(-t)3+ 5C4(2x)(-I)4+
+ 5c5(-1)5 :3)s5 - Boxa + 80t' - 40xz * IOx - I
o rlcr l" Prove que, sendo ff6> I, tambem a) L.
Resolugalr
s"iii> 1 eni.aoilri : I i h,comh> 0
()ras:1ti11'.': (l + h)": If 'C1 h+'C.rht
:larcclas sa() lr)(iJi l.rrsii ilas.
l-cgo, c ), 1.
+ ... > X pcrque ;rs
2. Demonstre que nCo * nCr * "Cz * ...t nCn : )n
do binomio de Newton
l?esolucao
c.q.d
, usando a formula
+l: *co(")r + 4cL(*)3 I * rr,r*,'(+)' + 4c\* (+)' . -.(+)- :
:ri + 4x5 + 6x2. +. +
27
f)e lcl nine o 7." Lernl
dcscrlvoivrn-r cnlll cle:
-/ l rtlia)l--; .l r'(i
\ Y :l
,./.r \'\"D)l-r I
\J ) |
4r
,rmlip
\t-r tll'>e ttr olr itttt ttl.t tl,'
/ \.)lrr' l.xl0,
exlsle urn lermo clc grau clois
J)e lermine-o"
Zn - (l + 1)r1 : rcs 1,. 1r'
-1 rC,11). rn : nCO I
lrois quaiquer potOncia de I
fr-,,.11]......:-l_ ,1Ct lll * I .
'C1 * "{-2 *
e igual a i.
I +',C2
,l tr('
tea
I rj'.r
lue a
1l]e e,
..1{.i
jrmula
l, Slrrrplilitluc:
(n + 2)l
.l',,t1-P,
l,
n!
) ( llt'r"rle o valor de:
rr) iAl
t') 7!
, r00('r-
98!
. 6,{,,'6co
B) --:;t-
)l
h)
Exercicios propostos
rr) 
(tr | ])l-2(n+3)!
2)l - nt
2(rr + I)! +3 (rn - l)!
I{E
9. Colocam-se num saco bolas de cores dife-
rentes: verde, azul, amarelo, vermelho e
lilis. Tirou-se, sucessivamente, uma bola ate
sair a bola amarcla.
Quantos casos diflerentes hd em que a bola
arnarela sai em (ltirno?
10. Numa turma de t0 raparigas quantas comis-
sOes"diferentes de cinco elementos 6 possivel
formar?
I1. Numa turma de I0 raparigas e B rapazes
quantas comissdes diferentes de cinco ele-
mentos e possivel formar?
a) Sem qualquer restriqdo?
b) Se em cada uma figurarem 3 raparigas e
2 rapazes?
c) Se I das alunas e 2 dos alunos se recu-
sarem a pertencer a qualquer comissdo?
12. Com os algarismos do conjunto:
c: {0,2,3,3,15}
a) Quantos produtos diferentes de dois fac-
tores distintos se podem obter?
b) Quantos produtos de factores diferentes
se podem obter?
13. Determine o numero de comiss6es com 4
membros que podem ser formados, escolhen-
do entre l0 funcionririos administrativos e os
funciondrios auxiliares de uma escola.
a) Sem quaisquer restrig6es.
b) Sendo dois elementos administrativos e
dois auxiliares.
14. No Futebol Nacional pafticipam 16 equipas
devendo cada uma delas jogar com cada uma
das restantes duas vezes. Qual e o nlmero
total de jogos do campeonato?
15. De quantos modos diferentes pode ser forma-
da uma comissao de 3 rapazes e 4 raparigas
de um grupo deBrapazes e 6 raparigas?
16. Em 18 compartimentos para CD's, de quantas
maneiras se podem arrumar 4 CD's diferentes?
l. l)etermine n sabendo que:
a) nAz : 110 b) nAz : 30 . 'Ar
c) (n + 2)l :72'nt al ;4 : 720
nt\n - r)l
'1. Quantos numeros de 3 algarismos se podem
representar com os algarismos 3, 5, 6 e 8?
5. Quantos nfmeros impares de 3 algarismos se
podem representar com os algarismos 0,1,2 e 3?
(r. Com os algarismos 0, 1, 2,3, 4 e 5, quantos
numeros de cinco se podem escrever?
7. Com os algarismos 0, 1, 2,3, 4 e 5.
a) Quantos numeros pares de quatro algaris-
mos se podem escrever?
b) Quantos numeros multiplos de cinco e pos-
sivel escrever?
8. Quantos numeros de quatro algarismos dife-
rentes 6 possivel formar com os elementos do
conjunto Il, 2, 3, 4, 5, 6\:
a) Sendo os algarismos das unidades?
b) Que sejam mriltiplos de 2?
c) Que estejam compreendidos entre 2 500 e
5 700.
Exercicios propostos
I
I
I
I
i
17. Cinco oradores, A, B, C, D e E sio convida-
dos para discursar num comicio. De quan-
tas maneiras podem ser ordenados:
a) Se B nio pode falar antes de A?
b) Se B falar imediatamente ap6s A?
18. De quantas maneiras se podem colocar 2 an€is
nos dedos m6dio, anelar e indicador das 2
maos, nio ficando 2 aneis no mesmo dcdrl?
19, Num campeonato distrital dc lurtchol, cada
uma das 10 equipas disputa2 .jogos com
todas as outras. Quantos .jogrls sc rlisputam
nesse campeonato?
20. De quantas maneiras se poclcrn scntar l0 pes-
soas numa mesa, 5 dc cacla laclo, sc 2 delas so
se puderem sentar num dos lados cla mesa?
2l.Para uma peqa de teatro hd 5 candidatos ao
papel de rei, 7 candidatos ao papcl de rainha
e I0 possiveis principes. De quantos modos
pode ser constituido o elenco da pcga?
22.Uma ementa de restaurante tcm 4 sopas, 5
pratos de peixe, 6 pratos de carnc, 5 qualida-
des de fruta e 3 doces. De quantas maneiras
diferentes se pode fazer uma releicdo com-
pleta? E se a refeiqdo incluir apenas sopa,
carne ou peixe, doce ou fruta?
23. AFl'ryia e o Artur pertencem a uma turma de
25 alunos. Vai constituir-se uma comissdo
com 5 alunos. Quantas comissdes se podem
formar, incluindo a FlAvia e nao incluindo o
Artur?
24.De quantas maneiras podem 7 jovens, 4
rapazes e 3 raparigas, entrar em fila numa
discoteca, supondo que as raparigas entram
primeiro?
25. Sem utilizar a calculadora, determina n e p,
tals que:
ucr. + uc, + rc, + 8cs: ,Cp
26. De quantas maneiras diferentes 5 rapazes e 5
raparigas podem ser separados em 2 grupos
de 5, se cada grupo tiver, pelo menos, 1
rapaz?
27. De quantas maneiras se podem distribuii, por
12 pessoas, 4 bolos iguais e 8 diferentes?
28. A turma A tem 46 alunos. O professor de Por-
tugu6s vai escolher 5 para um trabalho de
grupo e 9 para desempenhar, cada um deles,
um papel numa pega de teatro. De quantas
maneiras pode ser feita a escolha?
29. Para arranjar dinheiro para a viagem de finalis-
tas, os estudantes de uma turma vlo fazer e ven-
der rifas. Sao 500 rifas e os premios sdo 5 DVD's
diferentes e 7 CD's iguais. De quantas maneiras
podem distribuir os premios pelas rifas?
30. Numa turma de 40 alunos vdo ser escolhidos
5 para representar a escola numa cerimonia.
a) De quantas maneiras pode ser escolhida
essa representaQao?
b) Quantas representaQOes se podem formar
se o Nuno e a Rita, que sdo irmaos, ndo
puderem ser escolhidos simultaneamente?
3l . Quais os valores de x para os quais:
a) tzCzr* ] : lZcs-" b) 40c2, 
+ t : 4ocz**j
c) 2lCz, - zocx* 
rz * 'oc" * rt
32. Calcule:
a) O quarto termo do desenvolvimento de:
I
I
(
I
I
r
p
Io
l.
(". i)', xro
b) O termo em 26 do desenvolvimento de:
(r* LIo,.+o
\ lzl
33- Considere o desenvolvimento de:
I2
,x)0
um termo indepen-
b) Prove que ndo existe um termo em x2.
34. Um dos termos do desenvolvimento de (x * 1)"
e 1.2x. O valor de n e:
/.r 2 \
(,v" - ;J
a) Verifique que existe
dente de x.
I
t
I
frlnl
I
tlc l
A. t0 B. 11 C.12 D. 13
Colculo' combinotorio e
'| ::ia FA '
probobilidodes
ir5rfrnl
por
)or-
,de
:les,
ltas
idos
)nla.
hida
'mar
nao
:nte?
r*3
lpen-
+ l)n
t3
Probqbilids es
alis-
ven-
\,tD's
:iras
Conceitos etemenrsres
Aos
lllrll|l-se
len6menos cujo aparecimento depende inteiramente do acaso cha-
ilnritlcnos aleatolios ou aconaecnnentos.
ll
Sdo aleat6rias as experidncias que se fazem num jogo: comprar
hlllrcte de lotaria e saber se tem prdmio, o aparecimento da <coroa>
frutgamento da moeda ao ar; o aparecimento de 5 no langamento
tlrrclo...
um
no
do
Nas experi€ncias que se fazem nos laboratorios de Quimica, Fisica ou
lllologia, sabe-se qual o resultado da experi€ncia, por isso, chamam-se
rlr tr rirrtniglas.
Sao deterministas as experi€ncias seguintes: atirar uma pedra num
l,rgrr e medir o som que se faz; deitar iigua e azeite num copo e ver qual
rlos liquidos fica em cima; medir o tempo que demora a germinaqio de
rrrrr feijAo e de uma ervilha em algodao humido.
r\o conjunto formado por todos os resultados possiveis de uma expe-
rii'ncia chama-se , duma
l)rova ou . Representa-se habitualmente por E, S
orr O (Omega).
I Experi€ncia: <langar um dado e observar a face viradapara cima>.
Espaqo de acontecimentos: S : { l, 2, 3, 4, 5 , 6}
I Experi€ncia: <lanEar uma moeda de I MT ao ar e observar a face
virada para cima>.
Espaqo de acontecimentos: S : {face I MT, face logotipo}
: Acontecimento numa experiCncia 6 qualquer
: subconjunto do espago de resultados.
Um acontecimento 6 elementar se e constituido por um fnico resultado.
Um acontecimento 6 compcsto se 6 constituido por mais de um resultado.
Um acontecimento 6 certo se e constitufdo por todos os resultados do
cspaeo central.
Um acontecimento 6 imperssivel se ndo tem qualquer elemento do espaqo
dc resultados.
2E
L,nra urn:l li.rrlfur I bclas ii
branclr, I prsta e I r.ermelha).
N:r exLraegao de tLrn; bola
iutJieiue :
a) L)s casos possivcis.
b) O c(pJco de acontr.rnrc,r-
t(,5
r:) Urn acontecilnent0 certo.
d\ L rn a(r)ntl cirncrl;1r llp'r ,r'
sivel.
1,, ., ril :i.ll l;r,ila-.:l-
: i,i;t-la).
i- f . i-.r I
Experi€ncia: <lancar um dado e verificar a face viradapara cima>.
S: {I,2,3,4,5,61
. Aconteci mcnLo elementar:
A: Sair rnultiplo de 6;A : {6}
. Acontccirnento composto:
B: Sair rnultiplo de 2; B : {2,4,61
. Acor]l.cci mento certo:
(.: Sair um numero menor ou igual a 6; C : {1,2,3, 4, 5, 6l
. Acoutccimento impossivel:
l): Sair o numero 9;D : {}
Oper{ir.ijt:';sr frtl {: g e e t g
[f nifu,r;, t i\
A r,.. .dos acontecimentos A eB 6 o acontecimento que se realiza
quando sc realiza A ou B (ou ambos).
Rcpresenta-se A U B e e consrituido pelos resultados que pertencem a
pr'1,, r,,, ', , um dos acontecimentos.
, No langamento dum dado se A 6 o acontecimento (ser mriltiplo de 3> e
B o acontecimento <ser Par>:
: A: {3,6}
I B : IZ,4,6j
O acontecimentoA U B 6:
AUB:{2,3,4,6}
O acontecimento uniao de A com B 6 o acontecimento <ser mriltiplo de
3 ou par>. Os resultados I e 5 nAo fazern parte do acontecimento A U B por-
que ndo sdo mriltiplos de 3 nem sao pares'
$Y{l
A i:-ilei:sec{il dos acontecimentos A e B 6 o acontecimento que se realiza
;: r.: r,:r '.,.:. A e B se realizam simultaneamente.
Representa-se por A n B e 6 constituido pelos resultados comuns a A e a B.
Considerando a experi€ncia e os acontecimentos do exemplo ante-
r10r:
4: {3,6} B: {2,4,6} AnB: {6}
O acontecimento intersecqdo de A com B e o acontecimento <ser mfl-
tiplo de 3 e par>. O resultado 3 ndo pertence A O B porque embora per-
tenqa a A, ndo pertence a B.
E
Acontecimento uniao
E
Acontecimento interseccao
Colculo combinolorio e probobilidodes
menlo conlrqrio
lconteclmento contrdrio ou complementar de
uldo pur todos os resultados do espago que
A 6 o acontecimento
ndo pertencem a A.
por A e tem-se:
AUA:EeAaA:A
ealiza
cem a
r)e
No langamento dum dado, o acontecimento contrdrio de A: <sair par>
scrd A: <sair impar>.
No lanqamento de dois dados, o acontecimento confferio de B: <os
ndmeros das faces sio todos iguais> nao € <os numeros das faces sio
todos diferentes>, mas sim B: <pelo menos uma das faces tem um
nfmero diferente>.
Acontecimentos disiunlos
()s acontecimentos disjuntos, incompativeis ou mutuamente exclusi-
\'rrs 5fg acontecimentos que nao tdm resultados comuns e, portanto, a rea-
lf zagao dum deles implica a nAo realizaEdo do outro. A e B sio disjuntos se,
c st'l se,
l. Num saco com bolas numeradas de I a 10, <ser nfmero primo> e <(ser
divisivel por 4> sao acontecimentos disjuntos pois n6o hd nrimeros
primos que sejam divisiveis por 4.
2. Lanqa-se duas vezes um dado e registam-se os nrimeros das faces
viradas para cima. Os acontecimentos A: <os nfmeros sao ambos
fmpares> e B: <o produto dos nrimeros e par> sdo incompativeis
porque o produto de dois nrimeros impares e sempre fmpar e por-
tanto os dois acontecimentos n6o t€m resultados comuns.
o u.o.,i".i-lr.," t-n"rii""i;" ;" ';;"i;;;;".r".ru. ai u.o",".t-
mentos disjuntos; representa-se habitualmente por A.
Dois acontecimentos contrdrios sao sempre incompativeis, mas dois
acontecimentos incompativeis nAo s6o, necessariamente, contrarios.
D€ exemplos de acontecimentos incompativeis que nio sejam contrd-
rios, no lanqamento dum dado.
Resolugio
A : {1, 2) eB: {3, 5, 6i ou
A: 12,6) e B : [], 5] ou
A: <sair numero par>) e B: <sair 3 ou 5>.
)L
Os acontecimentos A e B sdo
disjuntos ou incompativeis.
No lancarncnto de um dado,r
corrsiclcrcrnoso acontecimerito
A: <sair nuurero irnpar> e o
acontccjmerrto B: <sair numero
irrle rior a 3>.
Inclique:
a) O acontecimento uniao dos
acontecirnentos A e B.
b) O acontccimcnto intersecgio
dos acontecimentos A e B.
c) O acontecimento contrerio
ao acontecimento A
d) Dois acontecimentos dis-
Juntos.
rde
)or-
realiza
reaB.
nte-
nril-
per-
Acontecimento contrdrio
A rllinlla clLlc a lrcqu€ncia relativa de um aconteci-
nrclll() tt'rrtlt'u cslllrilizlrr rrlrrrr clclcrminzrclo valor. A medida que o nfmero
clt'vczcs cnr (lrr('sc rcaliza it cxpcriCncia aunrcnl-a, e esse valor que se toma
l)il11r it probltbi I iclaclc.
(.orrsiclcrcnros a cxpcriencia de langamento duma moeda ao ar um
nirrncro clc vezes bastante elevado e registemos, em cada conjunto de lanqa-
lnclrtos o numero de vezes e a frequ€ncia, por exemplo, de <saiu cara>r.
E e o cs;-lr1'o rlc acorrtecimento.
A i' trrrr u( orrlccirnento.
( t' tttrr il( ()nl('( imento reuniao
tlos lrt orrlt'cinrcntos A e B.
(, t' rrnr acontccimento intersecgao
rlos ut'orrlccirnentos A e B.
A c trrn acontecimento certo.
A [' urn acontecimento impossivel.
A c Il sao acontecimentos contrdrios.
A c Il siio acorrtecimcntos disjuntos ou
inconrplrtivcis.
E € o conjunto universal.
ACE
C:AUB
C:AOB
A:E
A:a
B:A
AnB:A
0,400
0,550
0,450
0,525
0,525
0,487
0,502
0,492
0,501
, embora nao
a volta de 0,5, valor que tambem
: (salr cara).
10
20
40
80
160
320
640
I 280
2 000
Verifica-se, por
selam as mesmas,
se chama
4
l1
18
42
84
156
321
630
r 003
esta tabela, que as
rl
, itl
Colculo combinotorio e
1nq+,trr,tfi ,,l::;,i,:rl:.:;il1;,i1,:;ir.f,,,:i:,tlt,.t,4.i.i'i , Ii .::
l'(,t lllnl():
\il illunCro a volta do qual estabiliza a frequ€ncia relativa de um acontc-
r r|lr('nlo, quando o numero de repetig6es da experi€ncia cresce considc-
r,rvr'lnrcnte, chama-se do acontecimento.
A frequ€ncia relativa de um acontecimento A 6 um nlmero com-
preendido entre 0 e I, ou seja,
0<t<1
A frequdncia relativa de um acontecimento certo e 1.
Jr(acont. certo) : 1
A frequ€ncia relativa de um acontecimento impossfvel e 0 (zero).
f,(acont. impossivel) : 0
Ao acontecimento A de uma prova podemos sempre assocrar o acon-
tecimento contrdrio ou <nao A>, que notamos A e cuja frequ€ncia
relativa e
f,(E):r-f,(A)
F\].a-at.aueilnrcqo qxromqilcq .
de probqbilidsde
Seja E o espaeo de acontecimentos e P(E) o conjunto das suas partes.
(,hama-se prohabilidade a toda a aplicaqio p do conjunto P(E) no conjunto
10, I ] de numeros reais, q-ue v'erifica os seguintes axiomas:
Axioma 1 - A probabilidade de qualquer acontecimento A do conjunto
P(E) 6 um numero compreendido entre zero e um.
0<P(A)<t,.oir ACE l
Axioma 2 - A probabilidade do acontecimento certo € 1.
P(E) : 1, sendo E o espaqo de aconteci*"rlor-
Axioma 3 - A probabilidade da reuniio de dois acontecimentos incom-
pativeis (disjuntos) e igual a soma das probabilidades des-
ses acontecrmentos.
P(A U B) : P(A) + P(B), seA n B: A
36
')
a) Sc l'(,4) ., I e
)
5
/'(A U B) ,,.. :-, clctcrtninc
o
|(ll) dc rrrodo a clue A c I3
scjarn inc'ornpal[vcis
)llr)rr'f,(A) i c l'(lir 'n
)1
rn()str('Lltt(',\ c l] ttitrr slt,r
in c cl nr pal ivc is
\1
5r';:trt \, ll rloi:, aai)lltccl-
nt( ntr )'' ,lttttt t.p:lqo L" Calcr-rle:
:r)l'( \ ) ll) srrbcnrlo cir-le
l,t i) C..1; Ir(B) =- ;'1.1 6
I'i.r I i;;:11,3
i:i li'4 -; F) sallcr'rc1lr cluc :
l-r,.4) : 0,6: ,f'}{ll) : 0,7 e
r(,4 .J B) =' 0,e
]
:)rlr.l:r .1 t r rll,is alrllllt-'l;ui:n-
tls dc r..111'1 rspafil E Plillt
.-lri.:
a) Pl,{ r: R.r ' PtA ! F) ' 1
b) 11.,{ -, 8) 'r ;:(D) -
- t,(4) ., P(.,t u f)
E
Destes axiomas podemos deduzir as seguintes propriedades:
Teorerna I - A probabilidade do acontecimento A (nao A) e igual a
menos a probabilidade do acontecimento A'
p(A):r-P(A)
A:E,A n A : Q dondeP(A U A) : P(e) + P(A)
I
l)emonslrzrcirtt:
Sabe-se que A U
P(E) : I, entao:
P(e):I-P(A)
Teoremar).-Aprobabilidadedoactln|.cci|llcnt()irnptlssivel6zero.
Detn (tnsl t-itr'itt t
P(A) = 0
a: l:
P(a) = f,(L) : I - I'(E) : I - 1 :0
Teetrcr.ni,r I - Se A, B c (, sltl atctttttccirnentos incompativeis dois a dois'
entdo:
P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C)
-feorcrna 4 - sendo A c: ll dois ac()ntecimentos quaisquer, tem-se:
i P(A U 3; = P(A) + P(B) - P(A 
' 
B)
[)e nrotrs1r:t('lto:
AUB:(A\B)UB
No entanto A\B e B sao conjuntos disjuntos'
Por isso P(A U B) : P(A\n) + P(B)
4 : (A\B) U (A n B) e (A\B) n (A n B) : A
P(A): P(A\B) + P(A n B)
P(A\B):P(A)-P(AnB)
P(A U B) : [P(A) - P(A n B)] + P(B) : P(A) + P(B) - P(A n B)
1. Consideremos a experi€ncia que consiste em langar um dado equiii-
brado d.e faces numeradas de 1 a 6'
Os acontecimentos elementares {l},
mente equiprovdveis' incompativeis
universo, E: {1, 2,3,4,5,61 '
Assim:
t2), t3], {4}, {5}, {6} sao igual-
dois a dois, e a sua unido € o
P{1} + Pl2} + Pt3} + P{4} + P{5} + P{6}:P(E):I
PtI) : Pl2l:...:P{6} :*
2. Seja A o acontecimento <sairmriltiplo de 3>' isto 6' 4 : {3' 6}'
Aiendendo a queA : {3} U {6}, vem:
P(A) : P{3} + Pt6; +;+:+:*'o'seja' 
P(A): #:+:+
Colculo cornbinstorio e rs e ifi ndes
rIal
.n) -
a dois,
+ P(C)
:quili-
igual-
ro€o
I ttr gcral
t'
A probabilidade de um acontecimento A coincide com o quociente
tnlfc o;ni'ncr.r ('rds(]s far'r'rareis e o trutltr:t(r de rasus pr)sslvci\
letnpre que todos os acontecimentos elementares sdo equiprovaveis e
Ittcompativeis.
P(A): nfmero de casos favordveis
nfmero de casos possfveis
Tem-se um octaedro regular. As faces do
I a B. No lanqamento do octaedro, qual €
: O nrimero B?
octaedro sdo numeradas
a probabilidade de sair:
de obter'duas
: i i:i r1LL.
]()
'r.il,, n,l ! !ir-if ;; 1;;rob:tlti:itl:tlll
rltr :rr rrri, r il-,:111-al -.{. r,:laiir fl li
lrl(.\. , r I | . .' .t,,i'.,-
lllril,r,l,,1" r,,,:':,'fi,:;,:t:ti: ll"
r,i'rt', .a...-:..
It t\ ll ,1, lr lirrrrr I trrrlil;tliil-
iirt,.ir.
il) 1,t,, .r, \,li,i ! rii , | ,i , .,,r:
tl(r)lltt r llll, i)r
--itl-rartrL!r rl, "' \ . .
l-r) flo :ir)rrlr'. rrr'.i'tirr) !l
'1il aliilllir'i ill;.'11:i) !'
'i0
\o lancrlrr:;rto ril r:t.lr rlrr:iir
(',ca.raf.t i-. acr.tlttci:lllel l,..,\ :
(s:ti1-ut:i i]oi] lr) itlt1-::it'rt r''r
.1. \.: .. t .'. iti, ll .. i r', I
pr:lrilr lniclioL ;l 'J , ( :iiL rrl,
;rrlrb:rl;iiidad.: ,,io' .r\ ,'rr Ir'i
tllai't:ilS:
;r) I
i]) B
r);\lu
cl) .t rJ ii
e).tlll
+l
\ (, rir]j ili lasqiillrbcl r.1a
t sr-'ri;1 '.ltl lii:tltlt:li- llrl: iOl--
i,'tar. l'oi:1JI sr:it:rlior:ll,,los i l
.ri!: i-ii-rt a11li( ars 11*ai: C .\rtfa-
:i'i: ir:r':: a ;igc. o trlrti'r;tLlcl-
,'5,-,-,lill-r' I e nlrt r-rs | .l se le t-
,. lirii:ialat.
;1.) ili iru;nlirs trrirnriir"s pi--11c
:,..r r:sr,rlhido :i cquipr iir'
,;,1
bi Qrai ;i pri !;'.iriircil'^clc ilr
.!rr;.liic'r-i il:er- pari': da
i: r-1 il i ;r; i
de
: Um nrimero impar?
'I Um mriltiplo de 3?
,:.csiliugao
,,'_l:ijr [. : {i. :. -r" 4. ]. fr.;,8f
I lr,.ll;lr-:rl dt i:lsos l:rlor:!r r:rs: l
il nirr:r*r:c r.le casls possivrir,: 3.
i)iEl - 
l
:l .L. sair um nr.lncro ilrlpar. ,1 : il. 3.
l) ln;ri:lr-, dc r:asol illr,;;;11';i3 : '1
f-l 'n'.rmrro de e;si-rs pc.-{si!'ri1 .= $
llllil'lcfil fiil { :13113 pf-}3!l1r:1s
,-) li: sair urr.r ntiitil-rir).i. l. fi -. i':,6|
i ni.llneli,. rir r:a:cs furillilt'ls: l
"l irurri:::.1 a1a f;lsct p.rl:lilris : E
Lanqa-se uma moeda duas vezes. Qual a probabilidade
vezes coroa?
r$*luc;rr
:J i)esignclr-:oj ircr: il, * i;ir;. l-r *,.illoii
t-l s alor tr',- i rl il-r.l r)i i\r3si\ cis s:r,,. ;1r rlilrr rc {,ic : -
3. poili'i! obiri'. 1. 1C1,f 1{-;' i.{',. { 'i..
l) niinicill tla l;r5i-r5 fl'.,rlir:lis.. l.
iri.l.ri.l:
I
5
q:'l
l
I
B)
2l
= -:-63
Uma urna cont€m 20 bolas vermelhas e 30 bolas brancas. Extrai-se
uma bola ao acaso. ()urrl a probabilidade de que saia:
Uma bola vermcllra?
Uma bola brarrt'lt?
Uma bola vct'nrcllut ott branca?
Uma urna ctlttlttttt / lrttllrs grtt'llts t' (l
acaso e sitlttllltttt'rtntt'ttlt' fl lrollts, t;ttltl
4 e so 4 bolas prcl:tsi
lrolas brancas. Retirando, ao
c it probabilidade de se obter
Uma urna cor.rtdrn 5
tasnumeradas de I
bilidade de obter:
bolas. 3 vermelhas numeradas
a 2. Tira-se uma bola ao acaso.
de 1 a 3 e2pre-
Calcule a proba-
Um bola numerada com 1.
Uma bola vermelha.
Uma bola com um numero impar.
Colculo combinotorio e probobilidodes
,ao
DtCI
Dctermi,nagdo da probabilidade de um acontecimento quando os acon-
elementares nao sao equiprovS.veis.
AtC agora na determinaqdo das probabilidades, admitimos que todos os
possiveis sdo equiprovaveis. Por6m, hii casos em que estas condigdes
se verificam.
Por exemplo: podemos admitir no langamento duma'moeda ao ar que
das faces tem mais probabilidade de sair do que a outra, ou no langa-
de um dado ndo equilibrado, uma das faces tem mais probabilidade
sair do que as outras.
No lanqamento duma moeda ndo equilibrada, verifica-se que a pro-
babilidade de sair cara 6 dupla da de sair coroa. Determine a proba-
bilidade de sair:
:r) A face cara.
b) A face coroa.
Itesolugio
a) Sabe-se que P(cara) * P(coroa) : l, mas
P{cara) : 2b e P(coroa) : It
entao- Zb + b : -l <> 3b : 1 +b : 1
3
46
Nurn lunc;rmento de unr clado
vcri[icit-sc clue a probabilidade
dc sair ponto 5 6 tripla da pro-
babilitlatk' clc sair outro ponLo
do clatkr I)ctcrnrine a probabi-
liclacle <lc, rrurn langamento.
sa lr:
a) O ponto 2.
b) O pont<-r 5.
c) Um pouto irnpar.
d) Um ponlo superior a 3.
e) Um ponto nao inferior a J.
'tt
I-anqando dois dados, urn l)cr-
feiLo e outro tal que a probabi-
iidade de sair a fitcc scts st'.ja
dupla da de sair qualqucr
outra face do datlo. (.alculc a
probabilidadc clc:
a) Sairem pontos cuja soma
seja 7.
b) Saircnr p()ntos cuja soma
seja infcrior a 4.
c) Sairem pontos cuja soma
scja superior a 9.
d) Sairem ponlos cuja soma
nao seja inferior a I 0.
portanto P(cara) : 2b : 2'
b)P(coroa):b:
'L
l)
2. No lanEamento de um dado n6o equilibrado, a probabilidade de sair
o 2 6 dupla da de sair outro valor do dado. Determine a probabilidade
de sair:
a) Par.
b) Um valor nao inferior a 3.
Resolugio
a) ,{ prohabilidadc srra:
P(b2u b4u b6)
p{b) - 2p(b1) - zp{.b) - 2p(b+} : zp(b) :2p(b) - 2t
mas aP(bl) + P(bl) + P(b3) + P(b+) + P(b) + P{b) : I
t+2t+t+t+t+t:let: L
7
A probabilidade pedida sera:
P(bz + b4 + b; : P(bt) + P(b+') + P(bo)
b) A probabilidade de sair:
I
)114
--TT--
7777
114
777
!*!
77P(b) + P(b*) + P(.bj) + P(b) :
35. Considere a experi€ncia que consiste em lan-
gar duas moedas ao ar e anotar o resultado
das suas faces superiores.
Determine:
a) O espago de acontecimentos.
b) O numero de acontecimentos posslveis.
36. Na prova que consiste em langar um dado e
tomar nota do numero da face superior, consi-
dere os acontecimentos:
A: sair mfltiplo de 3
B: sair nfmero primo.
C: sair numero par.
a) Sao compativeis os acontecimentos A e B?
EBeC?
b) Indique o acontecimento A
c) Qual o acontecimento A U B?
d) Caracterize o acontecimento A n B
37. Uma dada prova P foi executada n vezes; o
acontecimento A, relativo a p, ocorreu x vezes
e o acontecimento B, tamb€m relativo a p.
ocorreu y vezes.
a) Determine a frequ€ncia relativa, respectiva-
mente, de A e de B.
b) Qual a frequ€ncia relativa do acontecimento
contrdrio ao acontecimento A?
c) Sendo os acontecimentos x e y incompati-
veis, determine f,(A * B),f, - frequ€ncia
relativa.
38. Num langamento duma moeda ao ar indique:
a) Um acontecimento certo.
b) Um acontecimento impossivel.
c) A frequ€ncia relativa dum acontecimento
certo.
d) A frequ€ncia relativa dum acontecimento
impossivel.
e) A frequ6ncia relativa do acontecimento
(salr cara)).
f) A probabilidade de <sair coroa).
39. No langamento dum dado perfeito, em forma
de tetraedro regular, cujas faces sdo numera-
das com I,2,3 e 4, determine a probabilida-
de do acontecimento A U B, sabendo que o
acontecimento A 6 <sair um numero impar> e
o acontecimento B 6 <sair um numero infe-
rior a 3>.
40. Prove que:
P(A) + P(B) = P(A U B), Ve, B C E
cios propostos
41. Um saco contdm 12 bolas, sendo 3 brancas, 5
azuis e 4 pretas. Tirando uma bola ao acaso,
diga qual a probabilidade de sair:
a) Bola branca.
b) Bola preta.
c) Bola branca ou azul.
d) noh vermelha.
42.De 30 declaragdes do imposro sabe-se que l0
apresentam erros.
a) Se um fiscal seleccionar ao acaso 5 decla-
raq6es para verificar, qual e a probabilida-
de dessas 5 conterem erros?
b) Se seleccionar B, qual a probabilidade de
pelo menos 1 conter erro?
43. Qual a probabilidade de aparecer 3 ou 6 no
lanEamento dum dado?
44. Langam-se dois dados equilibrados simulta-
neamente. Qual a probabilidade de se obter
uma soma de pontos igual a 9?
45.Uma urna contem I0 bolas pretas e 8 bolas
brancas. Retirando, ao acaso e simultanea-
mente, 6 bolas, qual a probabilidade de se
obter 3, e s6 3, bolas pretas?
46.Uma caixa cont€m l0 camisas das quais 4 sdo
defeituosas. Extraem-se 2 ao acaso. Encontre
ou apresente a probabilidade de que entre
CSTAS:
a) Nenhuma camisa 6 defeituosa.
b) Nenhuma camisa 6 boa.
(1." Chamada - 1996)
47. Numa caixa hii 24bolas de 4 cores diferentes:
vermelhas, azuis, verdes e amarelas. De cada
uma das cores hd seis bolas numeradas de I a
6. Extrai-se uma bola ao acaso da caixa. eual
e a probabilidade de a bola ser um 6? Indique
a letra correspondente a resposta correcta.
A.P:+ n.p:f6-4
c.P:+ D.p:r
24
(1.'chamada - 2000)
48. Numa caixa hii 5 laranjas e 4 maqds. Tiram-se
simultaneamente 2 frutos ao acaso. eual e a
probabilidade de ambos serem macds?
Exe rc
(I." chamada - 200I)
cas, 5
acaso,
lue 10
decla-
bilida-
rde de
r6no
multa-
: obter
t bolas
.tanea-
:dese
s4sio
rcontre
l entre
la - I996)
lrentes:
)e cada
;de1a
a. Qual
Indique
cta.
da - 2000)
iiram-se
)ual 6 a
da - 2001)
E x e r ci c I os propostos
Quatro rapazes e quatro raparigas vdo sen-
tar-se ao acaso numa mesa como a da figura.
Qual a probabilidade de cada rapaz ficar h
lrente de uma rapariga?
10, Scis amigos vdo ao crnema e sentam-se ao
ilcaso em lugares consecutivos. Qual a proba-
bilidade de a Ana. o Omaia e o Rui ficarem em
lugares seguidos?
| | , Quando se altera a ordem dos algarismos no
nfimero L3 Z+5, obtem-se outro. Considere
todos os numeros que se podem obter por
alteraqio da ordem dos algarismos de 13 245.
Qual a probabilidade de, escolhendo um des-
ses numeros ao acaso. se obter um numero
{mpar?
t2. Tr€s rapazes e tr€s raparigas vdo ao cinema e
ocupam os lugares de uma fila, numerados de
I a 6. Supondo que se sentam ao acaso, qual a
probabilidade de as raparigas ficarem nos
numeros pares?
51. Um saco tem bolas numeradas de 8 a 16.
a) Escolhendo uma bola ao acaso, qual a pro-
babilidade de o nfmero da bola ser primo?
b) Escolhendo duas bolas ao acaso, qual a
probabilidade de apenas uma delas ter um
nfmero primo?
54. AMarta tem tr€s filmes de terror, quatro filmes
comicos e cinco filmes policiais.
a) Vai de f6rias e quer levar metade dos fil-
mes. De quantas formas pode fazer a selec-
Edo de modo a levar pelo menos trCs filmes
comicos?
b) Por fim decidiu levar dois filmes de cada
g6nero e vai arrumd-los numa prateleira.
Supondo que o faz ao acaso, qual a probabi-
lidade dos filmes ficarem arrumados por
gdnero?
oooo
55.Langaram-se dois dados. Calcule a probabili-
dade de obter soma 5 ou produto 6.
56. Um jogo educativo tem peeas de madeira
com as formas:
AO!
Cada forma apresenta-se em tr€s cores (azul,
branco e vermelho) e em dois tamanhos
(grande e pequeno).
a) Quantas sAo as peEas?
b) Tirando uma peea ao acaso, qual a proba-
bilidade de ser um circulo vermelho?
57. Sejam x e y dois acontecimentos de um espaeo
E, tais que:
l1P(x): 1,P(* U y): - eP(y):704 3 -'
Determine h, sabendo que:
a) x e y sdo incompatfveis.
b)xCy
58. Sejam A e B acontecimentos de um espaqo E.
Determine P(A n B), sabendo que:
P(A) : 0,35;P(B) : 0,6 eP(A n B) : 0,2.
59. No inicio do ano, o director de uma turma
fez a sua caracterizaqao, na qual incluiu a
seguinte tabela:
6
Escolhido um aluno ao acaso. considere os
acontecimentos:
R: <Ser rapaz.r>
M: <Ter mais de 17 anos.>
Calcule as seguintes. probabilidades:
a) P(R)
d) P(R U M)
b) P(M)
e) P(Ro M)
c) P(R n M)
;, Sina ,
de vqri6vel reql (levis6o)
variiivel real sdo as fung6es em que o dominio e o
o subconjuntos de lR'
sabemos que uma funqdo pode ser definida por:
n.
' Expressdo analitica.
. Grdfico.
Praticamente verifica-se se o griifico representa ou nio uma fungio,
tragand Se elas intersectam o
grrifico io ndo 6 uma funq6o,
ou seja est6 associado urn e
um rinico valor de outra variAvel y'
=)oG--
5tn
o ^'
6 t/
bn '-
o
U
200
I50 2
Dismncia
Para a fungio representada
graficamente, indique:
a) O dominio e o contrado-
minio.
b) A varieivel independente e
a varilvel dependente.
c) Quantos litros de gasolina
gastou o carro depois de ter
percorrido 200 km?
d) Que distincia percorreu o
carro se gastou 16 litros de
gasolina?
e) Qual 6 a imagem por J de
r00?
D Qual € o objecto que tem
por imagem24?
E uma funqio
Monotonia
Ndo 6 uma funqio
Uma fungao € mon6tona num intervalo do dominio se for crescente ou
decrescente nesse intervalo.
Os intervalos de monotonia sio os intervalos do dominio onde a fun-
96o € crescente ou decrescente.
Uma funq6o diz-se constante num intervalo do dominio se nesse inter-
valo todos os objectos tiverem a mesma imagem.
Classificaqio de fungoes
Uma fungdo diz-se injectiva quando objectos diferentes tem sempre
imagens diferentes. r-
Sejah(x):f +4*:
a) Determine h(l), h(2),
h(-I) eh(-3).
b) Determine x se h(x) : 0.
ponto, a funqdo 6 injectiva, caso contr6rio ela 6 ndo injectiva'
Uma funqdo diz-se sobrejectiva quando o contradominio coincide com
o conjunto de chegaOa.
Os intervalos de monotonia sio os
Verifica-se se a funqdo 6 ou nao injectiva, graficamente, tlaqando lectas
paralelas ao eixo das abcissas e se elas intersectam o griifico em apenas um
E injectiva N6o e injectiva
s6o)
Linio e o
,)or:
FunE6es reois de vqriqvel reol
Verifique se os griificos seguin-
tes representam funqoes ou nio.
a)
2. SejaJ: lR - Rt
/ e sobrejectiva
Di: lR;: conjunto
de chegada
taneamente injectiva e
onde o griifico
intervalo toma
intervalo toma
funqio,
iectam o
r fungdo,
doume
cente ou
lte.
)ente.
de a fun-
sse inter-
n sempre
l.r) s
I
g e bijectiva
llrna funqdo diz-se bijectiva quando 6 simul
rolrrt' jcctiva
Indique as funq6es que sao
mon6tonas e os intervalos de
monotonla.
a) ulta--y-.
Fungdo do 1.o grou (revis6o)
(.hama-se funqdo do L" grau a toda a funqdo real de varidvel
rx;rressao analitica €dada na forma:
f(x):axrbcomd,beR.
t) zero de uma fungao e todo o objecto que tem como imagem o valor zero.
adzerodef+f(a):0
(,raficamente, os zeros de uma fungdo sao os pontos
rrt('rsecta o eixo das abcissas.
A fungAo diz-se negativa num certo intervalo, se nesse
r.rlores negativos.
A funqao diz-se positiva num certo intervalo, se nesse
r;rltlres positivos.
A funcdo diz-se crescente se:
Vxy, x2e Dj x1< x2+ f(x) < f(xz)
A fungdo diz-se decrescente se:
f(x):ax*b:a*0e
injectiva?
1;.'
A funEdo g(x) :5 diz-se uma
fungio constante.
a) Represente o gr6fico de g.
b) g 6 injectiva?
\r'jl /: lR - lR
/ r'sobrejectiva J nilo € sobrejectiva
h e bijectiva
ncide com
Yx1, x2 e D1 x1<-x2 + JQ) = J&z)
t
#
s
)
-7
Determine o sinal de a e de b
para f(x) : ax + b, nos se-
gurntes casos:
8
Construa os graficos e faga o
estudo completo das funcoes:
a) f(x) : -2x-r 3
b) g(x) -- 2x
c) h(x; : -,
I
Escreva na forma
f(x): ax*b asfunqoes
representadas graficamente:
a)J
Resoluqlo
a : -30" - a - tga : tg (-30') : - \5
[ung6o f(x) : dx + b, se o griifico de J passa
:2; Jz- Jt: a(x2- x)
2ey:2x
Significado dos coeficientes 4 e b
O coeficiente a € o coeficiente angular ou simplesmente o declive da
recta e determina a inclirracao da recta pois provem de a: tg a, onde a e o
dngulo de inclinacao cla rccta em relagao ao eixo das abcissas.
O coeficientc b c a orclenada na origem porque e a ordenada do ponto
com a abcissa zcr6 (0, h) e determina a intersecEdo da recta com o eixo das
ordenadas.
Dado o dngul<l clc inclinagio da recta, a, o declive 6 a: tg a.
Dados ckris pontos por onde passa o grrifico, o declive 6'. a: Jz - Jt' 
.xz- xt
Tipos de fung6es
Dc unr rttotlo qcral lcrnos:
l. Determine a expressdo analitica duma funqAo afim cujo grdfico passa
por (3, -5) e forma um dngulo de -30' com o sentido positivo do
eixo Ox.
"F
(3, -5) €f--5 - - ]+ 3 i beU:f3- 5;comoflx) : axt-b
,t; 
J
entdo,fx):--?x + !5-:
2.Determineaebda
por (3,6) e (r,2).
Resolugio
n:fz-Jt =..-_xz- xt
I
I
t1
4
-L
+
6-2 :
3-I
y-2:2(x-I)..y:Zx-z
Entao, f(x) :2x
Expressdo algdbrica Designaqdo Grrifico
./(r)'uxllr
Scb:0
[(x): *
Fungao afim
f(x): ax + b
Funcdo linear
Sea:0
f(x) : b
Funqdo constante
0
Fung6es reois de vori6vel reol
:clive da
rdea€o
Jo ponto
eixo das
lico passa
rsitivo do
s):dx*b
le J passa
)
- xr)
Fungdo do 2.o grqu (revis6o)
( lrirnra-se funqio do 2." grau ou funqio quadrdtica, a toda a funEao real
rfl v;rliiivel real cujo griifico € uma parabola e cuja expressao analitica e
rl,trllr nrt lbrma:
Ccndlg6o de pqrqlelismo dos reclqs
\r' rltt,r,, rt'r llrs I t' rn (ndo verti-
I llr | ',,lrr ;rlttitlr'llrs, clas formam
lllgttl,',, rlirrrris ('()rn o eixo das
lltr l',,,,t,, r', ;r0tltrttt(), os seus decli-
YIt o'f ,t t1,,tt;tis. tt1 : a^, OU Seja,
l// m+a: B +tga:tgB-dt: an
t.-:,
r,r r('( tl I passa por (2, 3) e e paralela a recta m
.,\ | 10. Determine a expressao analitica de l.
lllsolrrq-ao
,ff v 2x * l0 logo a: 2
ly ux*b l//m+a:2
(.', |) €l+3:2'2+b+b:I
l'rrtilrrl: y:2x-l
B\
de equagdo
Determine a expressao analiti-
ca duma funqio do I.o grau,
sabendo que 6 linear e passa
pelo ponto (2, l0).
.:
Determine a expressao analitica
de uma funqio do l.o grau,
cujo griifico passa pelos pon-
tos A( - l, 3) e B(L, 2) .
tz
Para que valores de m a fungdo
g(x):(m-3)x*I€
a) Crescente?
b) Decrescente?
c) Constante?
$
Determine o valor de h para
que o ponto (-1, 0) pertenEa
Condigoo de perpendiculqridqde dqs rectqs * r'ut;':o|tlTil.,
llrrirs r.cctas r e s sao perpendiculares se:
Iar: -- qs
,.'
Umarectal:y:ax*b€
paralela ir recta m:
y : 2x * 3. Determine o valor
de a.
I passa por (3,2i'e e
recta m de equaqdo
+ 5. Determine a
analitica de L
l)t'tcrrrrine o declive da recta r perpendicular A recta s: y :
llcsolugio
rl. =3
JQ): a* +bx+ c com4€ lR\{O},b,ce- lR
I
c)
16
S
a
obrer afirmaqoes verdadeiras'
a)
a-0
a_0
'17,
Determine as coordenadas do
v6rtice das funq6es quadrriti-
cas seguintes:
ilfG):xz+)x-l
b)g(x):2xti
18
A figura representa o grr'ifico
duma lunQao quadratica, com
Xt:6 cxv:8'
Determlne x2.
. Zeros da funqlo
Os zeros da tunqdo sao as soluq6es d" oi * bx f- c : 0
-b t\6
L -_ b2 - 4AC , Xr, *r: ---ii-
A > 0 + J(x)tetn 2 zeros distintos'
A : 0 +-JG) tetn I zero ou duas raizes reais iguais'
A < 0 + JQ) ndo tcm zeros'
. Coordenadas do vcrtice
-bAxu: i i Jv: -- o1J
h*xtx": 't-;- ;Yu: l(xu)
o Concavidadc da Parribtlla
;r';; 
^parzibtiltr 
lcrn a concavidade virada para cima'
Z a O -a parab<'ltr lcril a collcavidade virada para baixo'
. Ordenada na origcln
O coeficientc r' (: t'ltattlitclo tlrclclrada na origem pors
x : O + y : c c l('lll-sc tl Ptltrto (0' c)
. Eixo de simctria
Umapariibola(rt'tmal'igLrrasinr[trica'cu'iocixoclesimetriapassapelo
v€rtice e e paralclo atl cixo tlos yy'
Equagdo dcl cixtl dc sinrctria: X: xv
. Transformagio do trin6mio axz + bx'l c
Se xr e x2 sao t"'";;;ll;t J *' + bx -r c'entao esta expressio pode ser
escrita na lorma:
f(x): d(x- x) G- xz)
Um caso particular deste 6 quando x1 6 um unico zero' entao:
J@) : ax2 + bx a 6 + JG) 
: d(x- xr)2
Se (xn, )n) sdo as coordenadas do v6rtice' entao a expressao
f;,; :' "i 
-l bx * c pode ser escrita na forma:
JG) 
: a,(x - x)) 'r Yu
Determine as expressoes analiticas das funqOes quadrdticas segurntes:
b)
a1-0
Fung6es reois de voriovel reol
ridode de fung5es
Urrra fungdo diz-se prr se os valores equidistantes da origem (simetricos)
rclll a mesma lmagem.
passa pelo
() grdfico de uma funqio par € sim6trico em relaqdo
tlxo das ordenadas, ou seja, o ponto (x, y) pertence ao
) e o ponto(-x, y) tambem pertence ao griifico.
io pode ser
Utna fungao diz-se impar se aos valores simetricos de x correspondem
srmetncas.
, analiticamente, a paridade das seguintes fung6es:
s) f(x) : 2x b)S(x):x2-3 c) h(x) : 5x -r 7
Determine os valores de m
para os quais a funqao do 2.o
grau:
a)y:mx2 + (2m- l)x +
l-m - 2, tem a concavidade
virada para cima e duas raf-
zes reais distintas.
b)y: - mx2 r (4m - l)x +
*8m - 2, tem a concavida-
de voltada para baixo e 2
raizes reais iguais.
O graifico duma funEio qua-
drdtica f tem como v€rtice V e
passa pelo ponto P
Escreva a express5o analitica
de/se:
^)v(3,4) 
e P(5, 0)
b) V(-2, -1) e P(1,3)
Construa o grrifico e faEa o
estudo completo da funqao:
f(x):-*+zx+z
paridade.
a) f(x) : x
b) f(x) : 3x
c)f(x) :3x - 2
d)f(x): x2
e)f(x):3* - 2
Df(x):* +zx-t
c, de modo que
f(x) : ax2 + bx +
Ilerolucio
r) Sno dados os 2 zeros, por isso optamos pela transformagdo:
/(x) : axz + bx + c + f(x) : d.(x - x)(x - xz)
/(x)=a(x+L)(x-3)
(4,-Z)e f --2:a(4+I)(+ -3)e -2:5a+d:
lintaoflx) : -?r"+ I)(x - 3) <+ f(x) : -Z *, +
h) Sao dadas as coordenadas do v6rtice, por isso optamos por:
/(r): a(x- x)2 +yventaoxu: I eJu: -2
((), -f) €f- -I: a(0 - 1)2 - 2.+ a: I
I rrrao, f(x) : I' (x - I)2 - Z + J(x) : x2 - 2x - I
_2
5
+6
-x -r
55
f(-x):f(x),VxeD1
;eguintes:
x
Rcsolugio
a) J&) :2x I - ,r-^,., - -il^.\ \4^. --r, .-\ _ . g-y(-x) : -f(x),Vxe D1+ fG) efmpar
,r-v1 : -Lx)
: g(x), Vx e D, + g(x) e parn' 
tt!.; :' ;j , )- g(-x)
L
Classifique, analiticamente, as
seguintes funEdes quanto a sua
Determine os valores de a- b e
c) h(x) :5x * 7 \
h(-x) : -5x + 7 j+ h(x) ndo e par nem impar
I
I
I
l_
Dado o grdfico de
lx'+z,seo<x<3t(Y) : {r\'-/ l+x-t,se3(xs7
a) Determine o dominio de /.
b) Construa o gr:ifico/.
Construa o grdfico dg
[2 ,sex( -I
g(x): lt2r+I,se-Isxs7
12' ,sex)7
e determine o dominio da fun-
qao.
n
Dadas as funq6es f(x) :
)
g\x): -t'
a) Qual € o dominio deJ e de
o'lo'
b) Determinelt), SQ), J@,
/l \ /I\
d ; l'/{; I\zt \-/
c) Verifique, analiticamente,
se as funEoes sao pares ou
impares.
d) Represente, graficamente,
as fungoes:flx) e g(x).
e) Qual € o contradominio de
fedeg?
f) Estude a monotonia das
funE6es.
lz
1,*
l.-2
I
-ex
Fungdo definidq por rqmos
Observemos a seguinte funqdo:
f(x) :
, se x)2
I, se -2<x<2
, se x<-z
Enquanto exemplos fungdo da por uma
fnica expres ca em x, o € reP , Por exem-
plo, por ires s analitic que de o valor atri-
buido a x.
Verifica-se que ncia conjunto
clos valores de flx) nto nde um e
um so valor deflx) o da
Para se obter o grrifico deste tipo de fungoes e necessdrio construir o
grrifico de cada expressio analitica, no intervalo correspondente. Assim, no
caso do nosso exemplo, constroi-se o griifico de JG) : -2 se x € l-a, -21,
o grrifico deflx) : x 1- I sex e I-2, 2l ef(x) : 2 sex elZ, +-1'
Fungdo hom5grofo
A funqio hom6grafa e toda a fungio real de variiivel real cuja expressdo
analitica 6 da forma:
O dominio e constituido por todos os numeros reais que nao anulam o
denominador:
f(x) :## pode ser transformada na formaflx) : B + #;
As assimptotas verticais (AV) s6o os zeros do denominador:
Desde que o grau do numerador seja menor ou igual ao grau do deno-
minador, a fungdo terd assimptota horizontal (AH)'
Se o grau do numerador e igual ao grau do denominador, a assimptota
horizontal 6. a razAo dos coeficientes de x:
--.----x
a por uma
por exem-
valor atri-
) conjunto
onde um e
onstruir o
Assim, no
]--, -2[,
c[.
r expressao
l anulam o
h
fm
Fung6es reois de voriovel reol
Inu d0 nutncrador d menor que o grau do denominador, a assimp-
C:
E - tn '= 0 cntaoflx) : e terd como assimptotas os,eixos coordenados
r[-sc:
T
ax*b
SeJaj(x) : o + g ; determi-
ne os valores de a, b e c, saben-
do que o griifico passa por
/ \ / 5\
II,-21 " 10, -* | e tem como
\ / \ .r/
assimptota vertical x : 2.
L
x
No 1," c )." quadrantes quando lc > 0. A funqdo e decrescente.
Nrr 2," c 4," quadrantes 4uando h 1O. A fungdo 6 crescente.
frtflco de funeAo 1'ro^5grafa 6 uma hip6rbole.
2x*4
c construa o grrifico de f(x) : x-3
lcrolucAo
Tlrttrsbrmas ao def(x) : ++ em flx) : B * ;#
axlb
Sela t(x) : ------:-= determinecx+b
4ec,seAV:x: -2eAH.,
u:4
Paridade
f(x) : f(-x) VxeDl
f(x) epar.
2xI4 r2x-4x-3 x13
flx) nao 6 par.
f(-x): - JG)VxeD1
flx) € impar.
2x- 4 2x+ 4
x+3 --
flx) nao 6 impar.
Variaqdo do sinal
2x++l\x): -------'' x- 5
x-3
Considere as fung6es:
2 x*2
J\x):xeg\x): xz_2
a) Determine D1 _geDy+g.
b) Determine a expressio anali-
ticadef-gef+9.
c) Construa os grdficos d"f - g
ef+ g-
10. Grrifico:
, ., \ 2x-1 4 l0
Assim,J(x): x_3 +Jlx):2+ 
"_,
Estudo da funqdo:
l. Dr = {x€ lR: x - 3 * Ol;Dt : lR\{3}
1, Ponto de intersecgdo com Ox: y : 0 + 2x + 4 : 0 <+x - -2
3. Ponto de intersecq;lo comOy: x :0 oy : + * y : - +
l,Zeros:2x * 4 : 0 n x - 3 + 0 + y : -2
J,Yariaqaodosinal: f(x)> 0sex€ l--, -2lrl 13, +co1
f(x) < 0 se x e l-2,3[ (ver ao lado)
6, Paridade: f ndo €par nem impar' (ver ao lado)
7, / d injectiva; J ndo 6 sebrejectiva; f ndo 6 bijectiva.
8.-h = iO > O + A fungdo 6 decrescente'
9. Assimptotas: AV: x: 3; AH: Y - 2
Operog6es sobre fung5es
Consideremos duas fungoes' / e $,
. (/+ g)(x) : f(x) + g(x)
. (f 'g)(x) : f(x)' g(x)
reais de varidvel real. As expressdes:
' (f - g)(x) : f(x) - g(x)
f.. f(x). vlx): ;(")
representam novas fungdes de x, que se cha. Soma de/com g.
. Produto defpor g.
S"nao u, frr.;;t d.ffi;;
h(x): -2ei(x) - 
I
xf_I'
a) Determine as expressdes
analiticas de (h .i)(x) e
/h\,,l-. l(xr.\r/
b) Determine Dy.i e D 1, .
Considere as seguintes fun_
eoes:
'f(x) : f
'8(x):tr'
o ft(v) : *z
a) As funeoes f, g e h sao fun_
Qoes exponenciais? Justifi_
que.
b) Calcule:
(f+p(o)'f-g)(r)
cujos domfnios sio:
'DJ*s:D1lrD,
. DI. s: D1i Dr
. Df_ s: DyOD,
. DJ: DIn DsO {r g(x) +0)
l. Sejam dadas as fungdes reais de variiivel real: f(x): ./i: " "B(x) : \E.ujos domfnios sdo, respectivamenre:
D1: {x: x € lR,x< -l} Dr: [x:x G lR,x= _1]
Calcule:
d) f(")=
glx)
Resolugilo
As novas fungOes serao:
a)J@) + g(x) : Vt - x +\/t + x
DI *, : {x€ lR:x< 1} O {xe lR:x> -f};Df+s : [_], ll
b) fl") - s(x) : lI_, - \tri
DI-r: {x€lR:x=t} O{xe lR:x= -t};Dt_s:[_1, 1]
c)flx) .8(x) : lr - x .\h + ": /[ -11 . [lJ : lr-2
Dt = {x€ lR:x< I nx> -1 n I * x*0};Dr : l_t, t1
a) f(x) + g(x) b)Ix) - g(x) c) f(x) . sG)
I'
g
Fungdo exponenciql (revis6o)
A fungio exponencial de base 4 e expoente a varidver x de dominio rR €:
onde a e um nrimero real e diferente de l.
Se a ) I a funqdo 6 crescente.
Se 0 ( a L I afunEao 6 decrescente.
Fung6es reois de vori6vel reol
I
g(x) + 0\
i, 1l
nfnio lR e:
L) - o* e a= -e entao,Jf+) : (-e) I :14,que nio 6
l0meroreal. 
- \21
ls fung6es exponenciais definidas por:
= 2xi fz&): (+l' Jz(x):4; f+(x):(+)"
Crlcule:fi(O) +t(0) +/r(0) +/o(0)
Construa, no mesmo referencial, os grrificos de cada uma das fun-
q0es,
Indique para cada uma das fungOes:
lcsolueio
r)/r(0) +Jr(o) +l:(o) +t(0):1+ 1* I * l:4
b)
. O dominio
. A variaeio do sinal
. A injectividade
. O contradominio
o A monotonia
. A sobrejectividade
c) . O dominio de cada uma das fungdes 6 lR.
.Ocontradominio€lR+.
. Todas as fungdes sdo positivas.
. he h sdo mon6tonas crescentes.
. fze f+ sio mon6tonas decrescentes.
. Todas s6o injectivas.
. Nenhuma € sobrejectiva.
Construa os grrificos das fun-
Coes:
/rY
flx) = 3' e g(x)': (
\3/
no mesmo sistema de coorde-
nadas e faga o estudo completo
das fung6es.
Seja g(x) = Af(ax + b) + B.
Quais sio os valores de A, a,b,
e B, se:
a) f(x) = 3' e g(x) :3"* + + 5
b)l@) =Y
g(x):2'f+1-6
c)f(x):3' e
g(x): 3-k-t + 4
d)fk) : x2 e
g(x)= -(x-l)z+4
e)J@): P e
g(x): t-2 + |
Dos anos anteriores, jii sabemos que:
A fungaoflx) : d, com d c lR+\{I} tem as seguintes propriedades:
l.Df:lReDt:13+
2. A funedo exponencial 6 injectiva, mas nAo e sobrejectiva e por isso
Trqnsformqg6es lineqres (revis6o)
n6o 6 bijectiva.
3. A fungdo exponencial ndo 6 par nem impar.
4. A monotonia depende dos valores da base:
. se 0 ( a ( I entio a funqio