Relações Métricas na Circunferência

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e-Tec BrasilAula 9 | Relações métricas na circunferência 271
Aula 9 | Relações métricas na 
circunferência
Meta da aula
Apresentar os elementos de uma circunferência e algumas técnicas 
para realizar medições que envolvam cordas e retas secantes em 
uma circunferência.
Objetivos da aula
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
identificar os elementos de uma circunferência;1. 
utilizar os conceitos de ângulo central e de ângulo inscrito na 2. 
resolução de problemas;
utilizar a relação métrica entre as cordas de uma circunferência 3. 
na resolução de problemas; 
utilizar a relação métrica entre as secantes de uma circunferên-4. 
cia na resolução de problemas; 
utilizar a relação métrica entre uma secante e uma tangente de 5. 
uma circunferência na resolução de problemas.
Pré-requisitos
Para a melhor compreensão desta aula, você deverá relembrar 
os tópicos sobre:
•	 equações	do	2o grau e sistemas de equações que foram apre-
sentados nas Aulas 4 e 5, respectivamente;
•	 ângulos	(ângulo	raso,	ângulos	congruentes,	opostos	pelo	vér-
tice), assunto da Aula 6.
•	 semelhança	de	triângulos,	que	foi	tema	da	Aula	7,	e	o	de	tri-
ângulo retângulo, dado na Aula 8.
E tenha sempre em mãos uma calculadora para ajudar nas contas. 
Edificaçõese-Tec Brasil 272
Fonte:	www.sxc.hu/photo/778762
M
ar
ce
lo
 T
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Fonte: www.sxc.hu/photo/661092
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Fonte: www.sxc.hu/photo/499448
D
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 S
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Curvas no dia a dia
Se você olhar ao seu redor, perceberá que estamos cercados por objetos 
com superfícies curvas. Além de embelezar e dar um toque moderno aos 
ambientes,	objetos	com	essas	características	 tendem	a	ser	anatômicos	 (se	
adaptam melhor ao nosso corpo). Experimente sentar em uma cadeira com 
um assento totalmente plano e depois experimente uma cadeira com um 
assento que possua algumas curvas. Você irá constatar que esta segunda 
cadeira será bem mais confortável!
Fonte:	www.sxc.hu/photo/1144709	
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Fonte: www.sxc.hu/photo/1162801
A
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Q
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Figura 9.1: Veja que a cadeira da imagem à esquerda tem um acento totalmente reto. 
Já a cadeira à direita é curva e se adapta ao corpo da pessoa. Você concorda que a 
cadeira da direita deve ser mais confortável?
e-Tec BrasilAula 9 | Relações métricas na circunferência 273
Você já se perguntou por que as tubulações de água são cilíndricas? Então, 
veja algumas vantagens desse formato:
O volume de água que passa por um cano cilíndrico é maior do que o •	
volume que passaria por um cano de mesmo comprimento, produzido 
com a mesma quantidade de material, mas com outro formato.
Em um cano cilíndrico os resíduos escoam com mais facilidade, dificul-•	
tando o entupimento. 
Nesta aula, você se dedicará ao estudo da circunferência e dos elementos 
relacionados a ela. A circunferência é um caso especial de curva que é em-
pregada em diversos contextos como, por exemplo, em tubulações, como 
foi explicado aqui. Então, mãos à obra!
Circunferência ou círculo?
Muitas pessoas desconhecem as diferenças entre uma circunferência e um 
círculo. Você sabe qual a diferença entre essas duas formas? Se não sabe, vai 
descobrir agora. Veja a seguir as particularidades de cada uma.
Uma circunferência é o conjunto de pontos que tem a mesma distância de 
um ponto fixo em um plano. Esse ponto fixo é o centro da circunferência. 
Achou confuso? Então, observe a Figura 9.2 a seguir.
Figura 9.2: Em uma circunferência, todos os pontos que a compõem (na imagem 
temos representados alguns pontos – A, B, C e D) têm a mesma distância (na figura, 
todos medem 5) de um ponto que é o centro da circunferência (representado pelo 0). 
B 
A
D 
C
0
5
5
5
5
Edificaçõese-Tec Brasil 274
Já um círculo é o conjunto de todos os pontos que formam a circunferência 
mais todos os pontos que estão dentro da mesma.
Para entender melhor, olhe para a Figura 9.3.
Figura 9.3: A figura da esquerda representa uma circunferência. Já a figura da direita 
é um círculo.
Observe que na Figura 9.3, a circunferência é apenas a linha em forma de 
bola. O círculo, por sua vez, é a união da circunferência com todos os pontos 
internos da circunferência. O círculo é uma circunferência “cheia”.
 Fonte:	www.sxc.hu/photo/778762
M
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ra
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Figura 9.4: Quando olhamos para a extremidade de um tubo de concreto, vemos uma 
circunferência. Mas quando olhamos para uma bola de futebol, vemos um círculo.
Mas a circunferência não é só isso. Existem diversos elementos que com-
põem a circunferência. Aprender sobre esses elementos é muito importante 
para que você possa fazer cálculos nessa forma geométrica. A seguir, você 
irá aprender sobre esses elementos das circunferências.
e-Tec BrasilAula 9 | Relações métricas na circunferência 275
Elementos da circunferência
Uma circunferência apresenta diversos elementos relacionados a ela. 
Você verá cada um deles separadamente, embora muitos tenham alguma 
relação entre si.
Corda
O primeiro elemento que vamos ver é chamado de corda. Uma corda de 
uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades são pontos 
que pertencem à circunferência. Na Figura 9.5, os segmentos AB e CD são 
exemplos de cordas. 
A
B
D
C 0
Figura 9.5: Veja que as extremidades dos segmentos AB e são pontos que fazem 
parte da circunferência.
Diâmetro 
Agora olhe novamente para a Figura 9.5. Você reparou que a corda CD 
passa pelo centro da circunferência? Quando isso acontece, essa corda rece-
be o nome de diâmetro da circunferência, ou seja, o segmento de reta CD é 
uma corda e também um diâmetro. O diâmetro é outro elemento importan-
te de uma circunferência.
Raio 
Outro elemento da circunferência é o raio. O raio da circunferência é 
um segmento de reta que tem uma das extremidades no centro da 
circunferência e a outra extremidade pode ser qualquer ponto da mesma. 
Veja como é um raio na Figura 9.6.
Edificaçõese-Tec Brasil 276
D
C 0
P
Figura 9.6: Na circunferência acima, os segmentos de reta , e são o raio. 
Todos esses segmentos têm a mesma medida, pois todos os pontos de uma circunfe-
rência têm a mesma distância do centro da mesma.
Na Figura 9.6, podemos verificar que o segmento CD é a soma dos seg-
mentos CO e DO . Você já sabe que CD é o diâmetro, e agora aprendeu 
que CO e DO são raios da circunferência. Com base nessas informações, 
podemos dizer que a medida do diâmetro de uma circunferência é sempre 
duas vezes o valor da medida do raio dessa mesma circunferência.
Arco 
O próximo elemento da circunferência é o arco. O arco é definido como a 
distância entre dois pontos de uma circunferência, ao fazermos a medição 
sobre ela. Observe a Figura 9.7.
A
B
0
Figura 9.7: A curva mais escura representa o arco .
e-Tec BrasilAula 9 | Relações métricas na circunferência 277
Na Figura 9.7, chamamos de arco AB o conjunto formado pelos pontos A, 
B e todos os pontos da circunferência que estão no interior do ângulo AOB . 
Nessa figura, o ponto O é o centro da circunferência. 
O ângulo AÔB da Figura 9.7 é chamado de ângulo central. Todo ângulo que 
tem o vértice no centro de uma circunferência é chamado de ângulo central. 
Assim, AB é o arco correspondente ao ângulo central AOB .
Fonte: www.sxc.hu/photo/1112992
 A
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 A
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Fonte: www.sxc.hu/photo/903386 
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Fonte: www.sxc.hu/photo/1021962
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Figura 9.8: Você já tinha pensado nos arcos como sendo partes de uma circunferência?
Ângulo inscrito 
Um ângulo inscrito em uma circunferência é um ângulo que tem o vértice 
sobre a circunferência e os lados desse ângulo cruzam essa circunferência. 
Na Figura 9.9, o ângulo AVB é um ângulo inscrito. Veja:
A
B
o
V
Figura 9.9: é um ângulo inscrito na circunferência. 
Edificaçõese-Tec Brasil 278
Na Figura 9.9, podemos observar também que AOB é o ângulo central 
correspondente ao ângulo inscritoAVB , pois eles determinam o mesmo 
arco AB .
Existe uma relação entre o ângulo inscrito na circunferência e o ângulo 
central, que diz o seguinte: Um ângulo inscrito é a metade do seu ângulo 
central correspondente. 
Assim, para a Figura 9.9, temos que:
AVB
AOB


=
2
Usando esta relação é possível mostrar que quando um triângulo pode ser 
inscrito	em	uma	semicircunferência	(metade	exata	de	uma	circunferência),	
então, esse triângulo é retângulo. Veja a Figura 9.10:
V
o
A
B
Figura 9.10: O ângulo AÔB é um ângulo raso (180º) cujo vértice passa pelo centro O 
da circunferência, por isso ele é um ângulo central. O ângulo é um ângulo ins-
crito na circunferência que possui o mesmo arco. 
Você aprendeu que o ângulo inscrito AVB é a metade do ângulo central
AOB . 
Assim, AVB
AOB


=
2
 
Olhando para a Figura 9.10, podemos perceber que o ângulo AOB é um 
ângulo raso, portanto, AOB o
 = 180 
Logo,
AVB
AOB
AVB AVB
o
o


 = ⇒ = ⇒ =
2
180
2
90
e-Tec BrasilAula 9 | Relações métricas na circunferência 279
Se o ângulo AVB é 90º, então, o triângulo AVB é um triângulo retângulo.
Vejamos outra relação que podemos encontrar através dos ângulos ins- 
critos em uma circunferência. Para isso, observe atentamente a Figura 9.11 
a seguir:
A
C
O
B
D
Figura 9.11: Existem dois ângulos inscritos na circunferência acima, os ângulos 
e . O ângulo central correspondente aos dois é o BÔC.
Note que:
BOC•	 é o ângulo central correspondente ao ângulo inscrito CAB . 
Portanto, 
CAB =
BOC
2


BÔC também é o ângulo central correspondente ao ângulo inscrito •	 CDB . 
 Portanto, 
CAB =
BOC
2


Logo, podemos concluir, a partir das duas últimas equações, que CAB CDB = . 
Ou seja, para a circunferência da Figura 9.11, os ângulos CAB e CDB são 
congruentes.
Edificaçõese-Tec Brasil 280
 
O tamanho da volta ao mundo
A primeira medida da cir-
cunferência do nosso pla-
neta foi feita em torno de 
200 anos antes de Cristo. 
Um verdadeiro milagre, se 
considerarmos que naquela 
época não havia os moder-
nos aparelhos de medida da 
atualidade. Mas a matemá-
tica permite essas maravilhas, a grande diferença é o trabalho que 
dava para fazer essas contas em tempos remotos.
Foi um bibliotecário grego chamado Eratóstenes que realizou essa 
façanha. Ele descobriu que na cidade de Aswan, no Egito, em uma 
determinada hora de um dia de sol, se ele espetasse verticalmente 
uma vara no chão, ela não produzia sombra. Ele repetiu esse ex-
perimento no mesmo dia e hora na cidade de Alexandria, também 
no Egito. A diferença é que em Alexandria a vara produzia uma 
sombra. Ele, então, mediu o tamanho da sombra. 
Uma outra medida importante era a distância entre Aswan e a 
cidade de Alexandria. Esse cálculo foi baseado no tempo em que 
a caravana de camelos levava para fazer a viagem entre os dois 
lugares. Com essas informações, ele usou uma fórmula e alguns 
conceitos matemáticos e concluiu que a circunferência da Terra era 
de 40.000 Km. 
Atualmente, sabemos que essa medida é de aproximadamente 
40.072	Km,	ou	seja,	ele	errou	por	muito	pouco.	A	partir	da	circun-
ferência da Terra, podemos calcular o diâmetro, o raio, o volume e 
a área da superfície do nosso planeta.
Fontes: http://www.zenite.nu/ e http://www.portaldascuriosida-
des.com/forum/index.php/topic,23613.0.html
Fonte:	www.sxc.hu/photo/507340
A
rju
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C
he
nn
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e-Tec BrasilAula 9 | Relações métricas na circunferência 281
Além de saber identificar os diferentes elementos que você poderá encontrar 
em uma circunferência, é preciso saber que existem certas relações métricas 
entre eles. Na próxima seção, você aprenderá sobre essas relações.
Atividade 1 
Atende ao Objetivo 1
Observe com atenção a circunferência a seguir e depois responda às 
perguntas. 
D
3 cm
E
C
B
Qual o tamanho do raio dessa circunferência?a) 
Qual a medida do diâmetro dessa circunferência?b) 
De acordo com os elementos da circunferência que você aprendeu, qual c) 
(ou	quais)	são	o(s)	nome(s)	da	reta	ED?
Qual	(ou	quais)	reta(s)	desta	circunferência	é(são)	corda(s)?d) 
Você identifica algum ângulo inscrito nessa circunferência? Se a resposta e) 
for sim, diga qual é.
A
Edificaçõese-Tec Brasil 282
Quantos ângulos centrais você identifica nessa circunferência? f) 
Atividade 2 
Atende ao Objetivo 2
Na figura, o segmento de reta AB tem o mesmo tamanho do raio do círculo 
de centro O. O segmento de reta BH é perpendicular a AC , ou seja, forma 
um ângulo de 90º com AC . Calcule o HBC .
Dica para começar o problema: Ligue o ponto O ao ponto A e ao ponto B. 
Que figura acabou de se formar? Comece a desenvolver o raciocínio a partir 
dessa figura.
o
A
B
CH
 
e-Tec BrasilAula 9 | Relações métricas na circunferência 283
As relações métricas entre os elementos 
da circunferência
Existem diversos cálculos que podem ser realizados a partir dos elementos 
que formam uma circunferência. Mas para fazê-los é preciso entender as 
relações métricas que existem entre esses elementos. Essas relações foram 
encontradas através de estudos matemáticos e são bastante utilizadas nos 
diversos campos da engenharia, da física e tantas outras áreas do conheci-
mento.
Relação entre as cordas de uma circunferência
Na circunferência da Figura 9.12, temos duas cordas AB e CD que se 
cortam	(cruzam)	no	ponto	P	dessa	circunferência.	Veja	a	figura.
C
A
O
P
B
D
Figura 9.12: As cordas AB e da circunferência se cruzam no ponto P. O ponto 0 
é o centro da circunferência.
Para estabelecer uma relação métrica entre os segmentos AP PB CP PD, , e AP PB CP PD, , 
da Figura 9.12, precisamos fazer algumas modificações nessa figura. Vamos 
ligar, através de retas:
• os pontos A e C
• os pontos B e D
Edificaçõese-Tec Brasil 284
Veja como fica a Figura 9.12 após essas alterações.
C
A
O
D
B
P
Figura 9.13: Essa figura apresenta dois ângulos inscritos na circunferência: 
 e .
Note que a Figura 9.13 é igual à Figura 9.11. Lembra dela? Você aprendeu 
na Figura 9.11 que CAB CDBˆ ˆ= . Agora, observe que os ângulos CPA e BPDˆ
são ângulos opostos pelo vértice, portanto, CPA BPDˆ ˆ= . Assim, os triângulos 
∆PAC e ∆PDB são semelhantes.
Você deve se lembrar que existe uma relação entre os lados de triângulos 
semelhantes. Dessa forma,
AP
DP
PC
PB
AP PB DP PC= ⇒ × = ×
Veja a seguir uma aplicação dessa fórmula: 
Você aprenderá com mais detalhes em aulas posteriores, que para calcular 
o volume de água que cabe em um poço, é essencial saber o tamanho do 
raio desse poço. 
Observe o poço da Figura 9.14. A partir dela você irá aprender uma forma 
para calcular o raio da boca do poço.
 
e-Tec BrasilAula 9 | Relações métricas na circunferência 285
B
O P
x
A
CD
3m
2m
1m
Figura 9.14: O poço é uma circunferência. As medidas dos elementos no poço são: 
, e .
Além das medidas que constam da Figura 9.14, sabemos que OD OB X= = . 
Assim, pela relação entre as cordas em uma circunferência, temos: 
AP PB DP PC´ = ´
3 2 1 6´ = ´ Þ =DP DP , 
Olhando para a figura, vemos que DP OD OP= +
Sabemos que OD OB X= = , então:
DP X OP DP X OC PC= + Þ = + -( ) , o segmento OD é o raio da circunfe-
rência, assim como os segmentos OD e OB , por isso são todos do mesmo 
tamanho. Portanto:
DP X X DP X= + -( )Þ = -1 2 1, como nós sabemos o valor de DP , então:
6 2 1 6 1 2 7 2
7
2
3 5= − ⇒ + = ⇒ = ⇒ = ⇒ =X X X X X , 
Portanto, o raio do poço é de 3,5 m.
Edificaçõese-Tec Brasil 286
Atividade 3
Atende ao Objetivo 3
Uma corda AB , que mede 18 cm, corta uma corda CD de tal forma que 
dois segmentos PC e DP são formados e medem x e 2x cm, respectivamen-
te	(veja	na	figura	a	seguir).	A	corda	CD mede 12 cm. Então, calcule as os 
valores de w e de z, sabendo que w < z. 
b o
z
x
w
p
2x
c
a
d
A relação métrica entre secantes
Você lembra o que é uma secante? Secante é uma reta que cruza uma cir-
cunferência em dois pontos. Na circunferência da Figura9.15, vemos duas 
secantes, que se cruzam em um ponto P no exterior da circunferência.
 
A
B
P
C
O
D
Figura 9.15: Na figura existem duas retas secantes, e , que se encontram em um , 
ponto P fora da circunferência.
Para estabelecer uma relação métrica entre os segmentos AP , PB , CP e PD , 
é preciso fazer algumas alterações na Figura 9.15. Veja como ficam as 
mudanças na Figura 9.16:
e-Tec BrasilAula 9 | Relações métricas na circunferência 287
 
A
D
O
B
C
P
Figura 9.16: Os ângulos e são ângulos inscritos na circunferência. 
O ângulo BÔC é o ângulo central da circunferência.
Veja que foram traçadas duas retas pontilhadas ligando os pontos A e C, 
bem como os pontos D e B. Assim, formaram-se dois ângulos inscritos na 
circunferência: CAB e CDB . O ângulo BÔC é o ângulo central corresponden-
te a esses dois ângulos inscritos; então, CAB CDBˆ ˆ= . 
Note que o ângulo P̂ é comum aos triângulos ∆PAC e ∆PDB . Logo, os tri-
ângulos ∆PAC e ∆PDB são semelhantes. Sendo assim:
PC
PB
AP
DP
AP PB DP PC= ⇒ × = ×
Vamos ver como usar essa relação para encontrar o valor de x na 
Figura 9.17: 
A
B
C
x
x
D
O P
9
34
Figura 9.17: As retas secantes e em relação à circunferência.
Observe que AP PB PC x DP x= = = =34 9 2, , e AP PB PC x DP x= = = =34 9 2, ,
Edificaçõese-Tec Brasil 288
Assim, pela relação entre as secantes, temos:
 AP PB DP PC
x x
x
x
x
x
x
× = ×
× = ×
=
=
=
=
= = × =
34 9 2
306 2
306
2
153
153
153 3 17 3
2
2
2
2 117
 
 
 
 
Figura 9.18: Aprender sobre as relações métricas que envolvem circunferências é um 
objetivo importante para o futuro técnico em edificações.
Atividade 4 
Atende ao Objetivo 4
Na figura a seguir existem duas secantes que se encontram em um ponto 
P fora da circunferência. Algumas medidas são conhecidas e são apresen-
tadas na figura. A partir desses dados, determine o raio da circunferência a 
seguir.
A
11
B
5
P
4
C
E
F
D
12
O
e-Tec BrasilAula 9 | Relações métricas na circunferência 289
A relação métrica entre uma secante e uma tan-
gente
Tangente é uma reta que cruza uma circunferência apenas em um ponto, 
ou seja, ela toca a circunferência e, por esse motivo, é chamado de ponto 
de contato.
Observe com muita atenção a Figura 9.19.
A
B
O
D
D1 D2
C
P
Figura 9.19: Na figura acima, o ponto D se desloca em direção ao ponto C, transfor-
mando a secante na tangente .
Você já sabe que a reta DP é uma secante, não é mesmo? 
Imagine, então, que o ponto D comece a se deslocar e passe a ser o ponto 
D1. A reta D P1 continua sendo um secante, não é mesmo?
E se o ponto D se deslocar para o local onde está o ponto D2, o que aconte-
ce? Bom, a reta D P2 continua sendo uma secante, certo?
Agora, o que será que acontece se o ponto D se deslocar para onde está o 
ponto C? Essa reta CP ainda é uma secante?
A resposta para a última pergunta é não. A reta CP é uma tangente. Ou 
seja, conforme a secante DP 	tende	a	se	tornar	uma	tangente	(pelo	desloca-
mento), a medida do segmento DP tende a ser a medida do segmento PC . 
Como a secante DP tende a ter a medida da tangente PC , a partir da fórmu-
la da relação métrica entre secantes, podemos dizer, neste caso particular, 
que AP PB PC´ = ( )2 .
Edificaçõese-Tec Brasil 290
Atividade 5 
Atende ao Objetivo 5
Em relação à figura a seguir, sabemos que:
o segmento de reta •	 AB é o diâmetro da circunferência;
B é o ponto de tangência à circunferência do segmento •	 BC ;
o segmento de reta •	 DE é paralelo ao segmento BC .
Com base nessas informações, determine a medida do segmento DE da 
figura. 
 
Resumo
 Uma circunferência é o conjunto de pontos que têm a mesma distância •	
de um ponto fixo em um plano; já um círculo inclui os pontos que estão 
dentro da circunferência.
Corda é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunfe-•	
rência. Quando a corda passa pelo centro da circunferência ela é chama-
da de diâmetro.
Raio é um segmento de reta que tem uma das extremidades no centro da •	
circunferência e a outra em qualquer ponto da circunferência.
Arco é a distância entre dois pontos de uma circunferência ao fazermos •	
a medição sobre a circunferência.
C
D
9
16
A
O
E
B
e-Tec BrasilAula 9 | Relações métricas na circunferência 291
Ângulo central é aquele cujo vértice está sobre o centro da circunferência.•	
Ângulo inscrito em uma circunferência é aquele que tem o vértice na •	
circunferência e seus lados cruzando a mesma. A medida de um ângulo 
inscrito é a metade da medida do ângulo central correspondente. 
Todo triângulo que pode ser inscrito em uma semicircunferência é um •	
triângulo retângulo.
Quando duas cordas se cruzam dentro da circunferência, o produto entre •	
os segmentos formados em uma das cordas é igual ao produto dos seg-
mentos formados pela outra corda.
Quando duas secantes se encontram em um ponto fora da circunferência, •	
o produto da medida de uma das secantes pela medida do seu segmento 
externo à circunferência é igual ao produto da medida da outra secante, 
multiplicada pela medida do seu segmento externo à circunferência.
Quando uma secante se encontra com uma tangente em um ponto fora •	
da circunferência, o produto da medida da secante pela medida do seu 
segmento externo é igual ao quadrado da medida da tangente. 
Informações sobre a próxima aula
Na próxima aula, vamos descobrir como realizar o cálculo da área de algu-
mas figuras planas.
Respostas das atividades
Atividade 1
A reta a) AB é um raio dessa circunferência e mede 3 cm.
Sabemos que o tamanho do diâmetro de uma circunferência é o dobro b) 
do raio. Portanto, o diâmetro dessa circunferência mede 6 cm.
A reta c) ED pode ser chamada de diâmetro da circunferência, pois é uma 
corda que passa pelo centro da mesma.
Edificaçõese-Tec Brasil 292
As retas d) CD e ED são cordas da circunferência, embora, a corda ED 
tenha um nome especial, que é diâmetro.
Sim, o ângulo e) CDE é um ângulo inscrito na circunferência.
Existem três ângulos centrais nessa circunferência, ou seja, que têm f) 
seus vértices no centro A da circunferência. Eles são EÂB, BÂD e EÂD 
(ângulo	raso).
Atividade 2
O primeiro passo é traçar dois segmentos de reta na circunferência. Um dos 
segmentos ligará o ponto O ao ponto A, e outro ligará o ponto O ao ponto 
B. Veja, na figura a seguir, a região cinza, representando a área determinada 
pelos segmentos. 
O
A
H
B
C
Os segmentos AO e OB são os raios dessa circunferência. O problema diz que 
o segmento AB também é igual ao raio da circunferência. Então, o triângulo 
AOB é equilátero, pois todos os lados são iguais. Se o triângulo é equilátero, 
seus ângulos internos são congruentes. Assim, AÔB A B = =180
3
60
º
º .
Observe que AÔB é o ângulo central correspondente ao ângulo inscrito ACBˆ . 
Portanto, ACB
AOB
ACBˆ
ˆ
ˆ º
º= ⇒ = =
2
60
2
30
O ângulo ACBˆ é um dos ângulos do triângulo BHC; portanto,
ACB HCBˆ ˆ= = 30
e-Tec BrasilAula 9 | Relações métricas na circunferência 293
Como BHC é um triângulo retângulo, então: 
HBC HCB HBC HBC HBCˆ ˆ º ˆ º º ˆ º º ˆ º+ = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ =90 30 90 90 30 60
Atividade 3
Como CD = 12, então DP + PC = 12
x + 2x = 12 ⇒ 3x = 12
x = 4 ⇒ PC = 4 e DP = 2 x 4 = 8 
Pela relação entre as cordas, temos 
AP PB DP PC´ = ´
w z w z× = × ⇒ × =8 4 32 .	Vamos	chamar	essa	equação	de	(I).
O problema informa que AB = 18.
Então:	w	+	z	=	18	,	essa	é	a	equação	(II)
As	 equações	 (I)	 e	 (II)	 formam	 um	 sistema	 de	 equações.	 Para	 resolvê-lo,	 
utilizaremos o método da substituição.
Da	equação	(II),	temos	w	=	18	-	z,	substituindo	na	equação	(I),	temos:
( )18 32− × =z z
18 32 0z z− − =² ⇒ multiplicando por -1
z z² − + =18 32 0⇒ utilizemos a fórmula de Baskara.
∆ = − − × × = − =( )†18 4 1 32 324 128 196
z = − − ±
×
= ± = ±( )18 196
2 1
18 14
2
9 7
Quer dizer que z pode assumir dois valores:
Edificaçõese-Tec Brasil 294
Se	z	=	9	-	7	=	2,	então	w	=	18	–	z	⇒	w	=	18	–	2	=	16.Mas	o	problema	diz	
que w < z, mas, neste caso, não teremos w < z. Portanto, vamos testar a 
outra possibilidade.
Se	 z	=	 9	+	7	=	16,	 então	w	=	18	 -	 z	⇒	w	=	18	 –	 16	=	2.	Nesse	 caso,	 
w < z.
Logo w = 2 e z = 16.
Atividade 4
Vamos chamar o raio de r. Observe que r AO OE= = .
Podemos observar na figura que:
OE OF FE OE OF r OF OF r= + Þ = + Þ = + Þ = -2 2 2
Assim, usando a relação entre as secantes, temos:
AP PB DP PC´ = ´
( ) ( ) ( ) ( )11 5 5 4 16 5 12 4 4 80 16 4+ ´ = + + ´ Þ ´ = + + ´ Þ = + ´DF FC CP FC FC
80
4
16 20 16 20 16 4= + Þ = + Þ - = Þ =FC FC FC FC
Veja que AE e DC são duas cordas. Então, pela relação entre as cordas:
AF FE DF FC´ = ´
( )AO OF FE DF FC+ ´ = ´
( )r OF+ ´ = ´2 12 4	(OE OF FE= + , sabemos que OE r= , então:
r OF OF r= + Þ = -2 2 )
( ) ( )r r r r r r+ − × = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = + ⇒ =2 2 48 2 2
48
2
2 2 24 2 24 2 2 26
r r= ⇒ =26
2
13
Logo, o raio da circunferência é 13.
e-Tec BrasilAula 9 | Relações métricas na circunferência 295
Atividade 5
Se B é o ponto de tangência à circunferência, então, o segmento CB é tan-
gente à circunferência. Então:
CA CD CB´ = ( )2
( ) ( ) ( )16 9 9 25 9 25 9 25 9
5 3 15
2 2+ ´ = Þ ´ = Þ = ´ Þ = ´ Þ
= ´ Þ =
CB CB CB CB
CB CB
Você já aprendeu que os triângulos AED e ABC são semelhantes pelo caso 
AAA.
Logo,
CB
DE
CA
DA DE DE
= ⇒ = + ⇒ = ⇒15 9 16
16
15 25
16 25 15 16
240
25
9 6× = × ⇒ = =DE DE ,
Referências bibliográficas
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau; Fundamentos de matemática elementar; v. 9. 
São Paulo: Atual, 1995.
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JUNIOR; José Ruy; A conquista da 
matemática: v. 4. São Paulo, FTD, 2002.