Semelhança de Triângulos

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e-Tec BrasilAula 7 | Semelhança de triângulos 209
Aula 7 | Semelhança de triângulos
Meta da aula
Apresentar problemas aplicando semelhança de triângulos e o •	
Teorema de Tales.
Objetivos da aula
Ao concluir esta aula, você deverá ser capaz de:
aplicar o conceito de congruência de triângulos;1. 
resolver problemas utilizando semelhança de triângulos;2. 
resolver problemas utilizando o Teorema de Tales.3. 
Pré-requisitos
Para esta aula, é importante que você tenha em mente os con-•	
ceitos que aprendeu na Aula 3 sobre grandezas proporcionais. 
Também é importante estar com os conceitos da aula sobre 
ângulos (Aula 6) bem afiados.
Congruentes, semelhantes ou iguais? Eis a 
questão
Todas as vezes que enxergamos um determinado objeto, o nosso cérebro 
tenta compará-lo com algo que já vimos, só após essa comparação é que 
somos capazes de reconhecê-lo. O interessante, por exemplo, é que se você 
está acostumado a ver um determinado objeto sempre na posição vertical, 
no dia em que este objeto estiver na posição horizontal ainda assim você 
será capaz de reconhecê-lo.
Edificaçõese-Tec Brasil 210
Fonte: www.sxc.hu/photo/1185444
Observe que, no nosso exemplo, independente da posição geométrica do 
objeto, suas características “gerais” são preservadas (veja a escada da foto). 
Então, dois objetos rígidos serão ditos congruentes se a única diferença en-
tre eles for a sua disposição geométrica. Sendo assim, o simples abrir e fe-
char de uma porta não altera as características gerais desta porta, apenas 
a sua localização. Portanto, podemos dizer então que a “porta aberta” é 
congruente à “porta fechada”.
Já a definição de semelhança é meio confusa! Podemos verificar em um di-
cionário que um dos significados da palavra semelhança é que dois objetos 
são semelhantes quando forem quase iguais, ou seja, quando existir muito 
pouca diferença entre eles. Essa definição é muito vaga! Vamos, então, usar 
a definição matemática de semelhança. Deste ponto em diante quando dis-
sermos que dois objetos são semelhantes, estaremos dizendo que um objeto 
é uma ampliação do outro. Portanto, a maquete de um edifício e o edifício 
pronto é um exemplo de semelhança.
A
dr
ia
n 
G
tz
e-Tec BrasilAula 7 | Semelhança de triângulos 211
Assim, pela nossa definição de semelhança, se dois objetos são congruentes 
eles também são semelhantes. E quando dois objetos são congruentes e 
suas posições no espaço coincidem (ou seja, estão sobrepostos), então dize-
mos que os objetos são iguais.
Embora as definições dadas sejam de caráter geral, nós nos restringiremos 
a explorar essas definições na geometria plana. Usaremos, mais especifica-
mente, no estudo do triângulo que é um polígono muito utilizado, tanto 
como base para estudo de outras figuras geométricas como em nosso coti-
diano. Por exemplo, a rigidez proporcionada pelos triângulos é utilizada na 
sustentação das estruturas em construções de modo geral. Por esses moti-
vos, precisamos nos dedicar bastante ao estudo dessa figura.
Congruência de triângulos
De acordo com o texto introdutório, podemos dizer que duas figuras planas 
são congruentes quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões, ou 
seja, o mesmo tamanho. Veja o exemplo a seguir:
Figura 7.1: Os dois aviões acima são congruentes. Veja que eles possuem a mesma 
forma e o mesmo tamanho.
Edificaçõese-Tec Brasil 212
No caso dos triângulos, existe a congruência entre os lados e os ângulos. 
Quando um triângulo ABC é congruente a um triângulo DEF, escrevemos da 
seguinte forma:
≡ ABC DEF
B E
A C D F
Então, dois triângulos são congruentes quando os lados e os ângulos de um deles 
têm, respectivamente, as mesmas medidas dos lados e dos ângulos do outro.
Para verificar se um triângulo é congruente a outro, não é necessário saber 
a medida de todos os seis elementos (três lados e três ângulos) de cada um, 
basta conhecer três desses elementos. Veja a seguir os quatro possíveis casos 
de congruência entre triângulos.
Primeiro caso de congruência de triângulos
Dois triângulos são congruentes quando os três lados de um dos triângulos 
são congruentes aos três lados do outro triângulo (Lado - Lado - Lado: LLL).
Exemplo:
7 cm
7 cm
C A
B
E
F D
3 cm
3 cm
5 cm
5 cm
O ≡ → ABC DEF Lê-se: O triângulo ABC é congruente ao triângulo DEF (LLL).
e-Tec BrasilAula 7 | Semelhança de triângulos 213
Segundo caso de congruência de triângulos
Dois triângulos são congruentes quando um lado e os ângulos adjacentes (vizi-
nhos) a esse lado de um dos triângulos são congruentes ao lado e aos ângulos 
adjacentes a esse lado do outro triângulo (Ângulo - Lado - Ângulo: ALA).
Exemplo:
60º
60º
40º
40º
7 cm
7 cm
C F
D
E
A
B
O lado AC do triângulo da esquerda é igual ao lado DE do triângulo da 
direita. Ambos medem 7 centímetros. Nos dois triângulos, os ângulos ad-
jacentes ao lado que mede 7 centímetros medem 60º e 40º. Quer dizer: 
 ≡ ≡BCA FED 60º e  ≡ ≡CAB FDE 40º
Então,
≡ → ABC DEF O triângulo ABC é congruente ao triângulo DEF (ALA).
Terceiro caso de congruência de triângulos
Dois triângulos são congruentes quando dois lados e o ângulo que fica entre 
esses lados de um dos triângulos são congruentes com os dois lados e o ân-
gulo entre eles, do outro triângulo (Lado - Ângulo - Lado: LAL).
Exemplo:
C
7 cm
7 cm
5 cm
5 cm
60º
60º
B
A
P
M
R
O lado AC do triângulo da esquerda é igual ao lado RM do triângulo da 
direita. Ambos medem 7 centímetros.
Edificaçõese-Tec Brasil 214
O lado CB do triângulo da esquerda também é igual ao lado RP do triângu-
lo da direita. Ambos medem 5 centímetros.
O ângulo entre os lados AC e CB do triângulo da esquerda mede 60º, 
que é a mesma medida do ângulo entre os lados RM e RP do triângulo da 
direita. Quer dizer:  ≡ ≡ACB MRP 60º .
Então,
≡ → ABC MPR O triângulo ABC é congruente ao triângulo MPR (LAL).
 
Note que, neste caso, os ângulos iguais (60°) ficam entre os lados 
iguais!
 
Quarto caso de congruência de triângulos
Dois triângulos são congruentes quando um lado, um ângulo adjacente e o 
ângulo oposto a esse lado de um dos triângulos são iguais a um lado, um 
ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado do outro triângulo. (Lado – 
Ângulo adjacente – Ângulo oposto : LAAo).
Exemplo:
A
7
C 5
B
R
7 M
P
5 60
60
O lado BC do triângulo da esquerda é igual ao lado PN do triângulo da 
direita. Ambos medem 7 centímetros.
O ângulo oposto ao lado BC do triângulo da esquerda mede 65º, que é a 
mesma medida do ângulo oposto do lado PN do triângulo da direita. Quer 
dizer:  ≡ ≡BAC NMP 65º .
e-Tec BrasilAula 7 | Semelhança de triângulos 215
Um dos ângulos adjacentes ao lado BC do triângulo da esquerda mede 
45º, que é a mesma medida de um dos ângulos adjacentes do lado PN do 
triângulo da direita. Quer dizer:  ≡ ≡ACB MNP 45º .
Então,
≡ → ABC MNP O triângulo ABC é congruente ao triângulo MNP (LAAo).
Agora que você já sabe o que é congruência de triângulos e também conhe-
ce todos os casos de congruência, vejamos um exemplo.
Um bloco de pedra tem a forma de um triângulo como no desenho a seguir.
A B
D
C
Algumas medidas desse triângulo são conhecidas. Você percebeu que o lado 
AD e o lado DC do bloco de pedra estão cortados por um pequeno traço? 
Esse traço indica que esses lados têm a mesma medida. Ou seja, que AD = 
DC . Outras medidas conhecidas estão na figura a seguir:
A B
0,3y + 0,11
D
C
Edificaçõese-Tec Brasil 216
Observação: A unidade de medida usada é o metro.
Vamos, então, calcular os valores de x, y e o comprimento da moldura desse 
bloco (aquela linha preta que está em torno do triângulo).
Olhando para a figura sabemos que:
AB = x, AD = 1, BC = 0,5 e CD = 0,3y + 0,1
Observe que os dois triângulos que formam o bloco de pedra têm as seguin-
tes características:
→ ≡ado AD DCL
 → ≡ngulo ADB BDCÂ
→ado DBL (comum aos dois triângulos ABD e DBC)
Portanto, ≡ ABD DBC por LAL (terceiro caso de congruênciade triângulo).
Como = ≡ ⇒AD DC 0,3y + 0,1 = 1
Resolvendo a equação, temos:
= −
=
= =
0,3y 1 0,1
0,3y 0,9
0,9
y 3
0,3
Como concluímos que o triângulo ABD é congruente ao triângulo DBC, en-
tão = ≡ ⇒ = ⇒ =AB BC x 0,5 AC 1
Para se calcular o comprimento da moldura do bloco, devemos calcular o 
perímetro deste triângulo. O perímetro de qualquer figura é a soma dos 
tamanhos de todos os seus lados. No caso do triângulo desse exemplo é:
+ + = + +AD DC AC 1 1 1.
Portanto, x = 0,5; y = 3 e o comprimento da moldura = 3 metros.
Agora é com você! Chegou o momento de praticar um pouco para fixar os 
conceitos.
e-Tec BrasilAula 7 | Semelhança de triângulos 217
Atividade 1
Atende ao Objetivo 1
Considere as afirmações:
Se dois ângulos A e B de um triângulo são congruentes aos ângulos C e D I. 
respectivamente de outro triângulo, então esses triângulos são congruentes.
Dois triângulos que têm dois lados e um ângulo respectivamente con-II. 
gruentes são triângulos congruentes.
Dois triângulos que têm um lado, um ângulo adjacente e o ângulo opos-II. 
to a esse lado respectivamente congruentes são triângulos congruentes.
Assinalando V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas, a alternativa 
que apresenta a sequência CORRETA é:
VFVa) 
VFFb) 
VVFc) 
FFVd) 
FVVe) 
Semelhança de triângulos
Ao estudar semelhança de triângulo, veremos a importância da matemática 
na vida prática. Por exemplo, se um dia você for construir uma ponte de ma-
deira e precisar saber a quantidade de material que precisará comprar para 
fazer essa ponte, você não precisará atravessar o rio para isso. Basta fazer os 
cálculos utilizando semelhança de triângulo.
Edificaçõese-Tec Brasil 218
Fonte: www.sxc.hu/photo/1198338
Figura 7.2: A distância entre as duas margens de uma ponte pode ser calculada usan-
do-se o conceito de semelhança de triângulos.
Você se lembra do conceito de semelhança? Duas figuras são semelhantes 
quando têm a mesma forma, mas não têm necessariamente o mesmo tama-
nho. Quando duas figuras S e T são semelhantes, representamos como:
S ~ T
Figura 7.3: As duas imagens acima são mapas do Brasil. Embora não sejam do mesmo 
tamanho, elas possuem a mesma forma. Portanto, são semelhantes.
O
lg
ic
a 
K
ra
si
c
e-Tec BrasilAula 7 | Semelhança de triângulos 219
Dois triângulos são semelhantes quando:
todos os ângulos de um deles são congruentes aos respectivos ângulos •	
do outro, e
os lados homólogos são proporcionais.•	
No entanto, no caso dos triângulos, basta verificar se os triângulos possuem:
dois pares de ângulos respectivamente congruentes, ou•	
se os lados homólogos são proporcionais.•	
Ou seja, atendendo a apenas uma dessas características já é possível dizer 
que os triângulos são semelhantes.
Agora observe os dois triângulos (ABC e DEF) a seguir:
A
C B F
D
E
b
a
c e f
d
70
30 80
70
30 80
Figura 7.4: Será que os triângulos ABC e DEF são semelhantes?
Se os homólogos são proporcionais, então a razão entre os lados homólogos 
é uma constante. (Lembra da Aula 3?)
Assim, nos triângulos da Figura 7.4:
= =
a b c
d e f
O homólogo do lado b (do triângulo ABC) é o lado e (do triângulo DEF). Veja 
que os ângulos  A e C correspondem aos ângulos  D e F, respectivamente.
Agora pense um pouco!
Homólogos
São elementos que, 
em figuras semelhantes, 
estão dispostos da 
mesma maneira.
Glossário
Edificaçõese-Tec Brasil 220
Seguindo o raciocínio desenvolvido ante-
riormente, ainda sobre os triângulos da 
Figura 7.4 responda:
Qual é o lado homólogo do lado i. a 
(do triângulo ABC)?
Qual é o lado homólogo do lado ii. c (do 
triângulo ABC)?
Pensou? Agora confira a resposta:
O homólogo do lado i. a (do triângulo 
ABC) é o lado d (do triângulo DEF).
O homólogo do lado ii. c (do triângulo ABC) é o lado f (do triângulo DEF).
 
CUIDADO: Não confunda congruência com semelhança de triângulos.
Dois triângulos são congruentes quando possuem o mesmo tamanho.•	
Dois triângulos são semelhantes quando têm os lados homólogos •	
proporcionais. Os triângulos semelhantes podem ter lados com ta-
manhos diferentes.
 
Vamos fazer mais um exemplo? Então, observe os dois triângulos semelhan-
tes na figura a seguir:
D
B
C
6
4
3
x
A
Você sabe dizer qual o valor de x?
e-Tec BrasilAula 7 | Semelhança de triângulos 221
A partir da semelhança entre triângulos, podemos determinar o valor de x. 
Como? Simples, identificando os lados homólogos e montando a proporção 
entre eles. Desta forma, temos:
=
3 4
6 x
Resolvendo a proporção:
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
24
3x 6 x 4 3x 24 x x 8
3
Medindo por meio das sombras
Conta a lenda que, quando o matemático e filósofo grego Tales (século VI 
a.C.) chegou ao Egito, os sacerdotes (religiosos daquela época) pediram que 
ele descobrisse a altura da pirâmide de Quéops. Essa pirâmide foi construída 
por volta do ano de 2500 a.C., e é considerada uma das grandes maravilhas 
do mundo antigo.
Fonte: www.sxc.hu/photo/359080
Figura 7.5: Pirâmide de Quéops no Egito.
Para atender ao pedido dos sacerdotes, Tales traçou uma linha no solo com o 
mesmo comprimento da sua altura (altura do próprio Tales). Ele ficou parado 
na extremidade dessa linha e esperou que sua sombra, projetada pelo Sol, 
A
nd
re
a 
D
e 
St
ef
an
i
Edificaçõese-Tec Brasil 222
ficasse igual à sua altura traçada no solo. Nesse exato momento, ele mediu 
a sombra da pirâmide (veja a figura a seguir).
Figura 7.6: Tales mediu o tamanho da pirâmide usando o conceito de semelhança 
de triângulos. O tamanho da pirâmide e da sua sombra é proporcional à altura e ao 
tamanho da sombra de Tales, respectivamente.
O matemático respondeu aos sacerdotes: “Agora que minha sombra é igual 
à minha altura, o comprimento da sombra da pirâmide deve coincidir com o 
comprimento de sua altura.”
Esse é o conceito de semelhança e, com ele, podemos medir a altura de 
edifícios, árvores, postes telefônicos, usando apenas a sombra que projetam 
no solo.
Na sequência existem duas atividades para você praticar. Faça as atividades 
com atenção e, se for necessário, volte ao início desta seção para reforçar 
o estudo.
Atividade 2
Atende ao Objetivo 2
Um edifício projeta uma sombra de 30m. Ao mesmo tempo um poste de 
12m projeta uma sombra de 4m. Qual a altura do edifício, sabendo que o 
edifício e o poste são perpendiculares ao solo?
e-Tec BrasilAula 7 | Semelhança de triângulos 223
Atividade 3
Atende ao Objetivo 2
Uma empresa de construção pretende construir uma ponte AB para atra-
vessar uma lagoa (veja a figura a seguir).
A
B
C E
D
Ri
ca
rd
o 
Fe
rr
ei
ra
 P
ar
ai
zo
Edificaçõese-Tec Brasil 224
Para a parte da ponte onde passarão as pessoas, será usada uma tábua 
retangular de 1 metro de largura. As outras medidas do triângulo que está 
formado sobre a figura do lago são:
Dados: AC 20 m AD 6m AE 5m DE BC= = = //
Qual será o comprimento da ponte?
O Teorema de Tales
Você ficará surpreso com tantas aplicações diferentes para este teorema. Ele 
pode ser usado, por exemplo, no cálculo:
da altura de prédios;•	
de distâncias entre navios (ou aviões) e algum ponto de referência.•	
inclusive, do modo certo para aumentar o almoço de domingo!•	
Você verá que todos esses exemplos tratam de proporcionalidade de núme-
ros (ou regra de três).
Observe a figura a seguir. É o desenho de uma vassoura caída sobre uma 
escada.
e-Tec BrasilAula 7 | Semelhança de triângulos 225
Ângulo entre a escada e 
o cabo da vassoura
Figura 7.7: Existe uma vassoura caída sobre a escada. O cabo da vassoura forma 
ângulos com os degraus da escada.
Veja que o cabo da vassoura forma ângulos iguais com todos os degraus. Isso 
só acontece porque os degraus são todos horizontais, ou seja, paralelos.
Quando retas paralelas são cortadas por uma transversal, os ângulos forma-
dos nas retas paralelas são chamados de ângulos correspondentes (você se 
lembra da Aula 6?). Esses ângulos são iguais. Para entender melhor, observe 
a figura a seguir.Cabo da vassoura
Degrau da escada
70º
70º
110º
110º
Figura 7.8: A figura da direita é uma representação mais simples da figura da vas-
soura caída sobre a escada. A linha tracejada no desenho à esquerda representa a 
continuação das linhas horizontais formadas pelos degraus.
Edificaçõese-Tec Brasil 226
Nas imagens da Figura 7.8, podemos verificar que os ângulos formados 
entre o cabo da vassoura e os degraus têm a mesma medida (70º). E os 
ângulos formados entre o cabo da vassoura e as linhas tracejadas também 
são iguais (110º).
E se as retas paralelas fossem cortadas por duas retas transversais? O que 
será que aconteceria?
A
1 1,5
1 ?
A’
B B’
C C’
Figura 7.9: Nessa figura, vemos três retas paralelas sendo cortadas por duas retas 
transversais. Quando as retas são cortadas umas pelas outras, formam-se segmentos 
(pedaços) dessas retas.
Essas retas paralelas e transversais geram segmentos proporcionais. Quando 
um feixe de retas (um conjunto de três ou mais retas) paralelas é cortado por 
duas transversais, se os segmentos numa das retas forem iguais, então os 
segmentos na outra reta também serão.
Vamos entender essa explicação usando a Figura 7.9. Veja que a reta trans-
versal que está à esquerda corta as retas paralelas formando dois segmentos 
que são do mesmo tamanho ( )= =AB BC 1 . Se isso acontece com essa trans-
versal, o mesmo deverá acontecer com a transversal do lado esquerdo, ou 
seja, ′ ′ ′ ′= =A B B C 1,5 .
Podemos calcular o valor de x da seguinte forma:
= ⇒ =
1 1,5
x 1,5
1 x
Mas e quando os segmentos da primeira reta não forem iguais, como mostra 
a figura a seguir?
e-Tec BrasilAula 7 | Semelhança de triângulos 227
A
1 1,5
2 ?
A’
B B’
D D’
Figura 7.10: Três retas paralelas são cortadas por duas retas transversais. As retas 
transversais não estão formando segmentos de mesmo tamanho com as paralelas.
Veja que na Figura 7.10 os segmentos formados pelo cruzamento da 
transversal que está do lado direito com as retas paralelas não são iguais: 
= =AB 1e BD 2
Então, como poderemos calcular o valor do segmento ′ ′B D formado pelo 
cruzamento da transversal do lado esquerdo com as paralelas? Neste caso, 
dizemos que estes quatro segmentos ( )′ ′ ′ ′AB, BD A B e B D, são proporcio-
nais. Ou seja, 1 está para 2, assim como 1,5 está para x = ?. Montamos, 
assim, a proporção:
= ⇒ =
1 1,5
x 3
2 x
E concluímos que ′ ′ =B D 3.
Desse exemplo, podemos extrair o enunciado do Teorema de Tales que diz o 
seguinte: Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas transversais 
segmentos de retas proporcionais.
x y
z w
Edificaçõese-Tec Brasil 228
= =
x y x z
ou
z w y w
Você deve estar se perguntando qual a relação entre o Teorema de Tales e a 
semelhança de triângulos. Para responder a essa pergunta, vamos analisar a 
figura a seguir.
A
MN
C B
Figura 7.11: Nessa figura, vemos dois triângulos. O ∆AMN e o ∆ABC.
Você deve ter reparado que a figura anterior é um triângulo. Nela o segmen-
to MN é paralelo ao segmento BC .
Ao traçarmos três retas paralelas, uma passando pelo segmento MN , outra 
pelo segmento BC , e outra pelo vértice A, teremos a seguinte imagem:
A
MN
BC
Assim, conforme visto na Aula 6, os ângulos ANM e ACB são ângulos 
correspondentes, portanto, são iguais. Isso acontece porque o lado AC do 
triângulo é uma reta transversal que corta as três retas paralelas.
Observe também, que o ângulo  é comum aos triângulos ∆AMN e ∆ABC. 
Se esses triângulos possuem dois lados iguais, significa que o terceiro lado 
também é igual. Então, podemos concluir que os triângulos ∆AMN e ∆ABC 
são semelhantes.
e-Tec BrasilAula 7 | Semelhança de triângulos 229
Você já sabe que em triângulos semelhantes os lados homólogos são pro-
porcionais. Sendo assim:
= = ⇔ = = ⇔
+ = + = ⇔ + = + =
AN + NC AM + MBAC AB BC BC
AN AM MN AN AM MN
AN NC AM MB BC NC MB BC
1 1
AN AN AM AM MN AN AM MN
Somando -1 aos três membros obtemos:
= = −
NC MB BC
1
AN AM MN
Na primeira igualdade, temos =
NC MB
AN AM
Invertendo as frações =
AN AM
NC MB
Observe que esta última igualdade é exatamente a conclusão do Teorema de 
Tales: =
AN AM
NC MB
.
Vamos fazer, então, uma pequena adaptação na Figura 7.11 para mostrar-
mos a validade do Teorema de Tales por meio da semelhança de triângulos. 
Veja a próxima figura:
A A’
M’
B’
N
C
Figura 7.12: Três linhas paralelas cortadas por duas transversais.
Se traçarmos uma reta paralela à reta ′ ′

A B que passe por A, teremos uma cons-
trução em que AM = A’M’ e que MB = M’B’. Veja como fica na Figura 7.13.
Edificaçõese-Tec Brasil 230
A
N
C
A’
M’M
B’B
Figura 7.13: Esta figura é uma cópia da Figura 7.12. No entanto, foi acrescentada uma 
reta transversal que cruza o ponto A e é paralela à reta ′ ′

A B .
Note que a Figura 7.13 é igual ao caso analisado na Figura 7.11, não é 
mesmo? Portanto, 
′ ′
=
′ ′
AN A M
NC M B
.
Vamos ver um exemplo do dia a dia em que podemos aplicar o teorema 
de Tales.
Para calcular o custo de reformar o telhado de um galpão, é necessário 
descobrir as dimensões (o tamanho) do telhado. Observe a figura do galpão 
a seguir.
Figura 7.14: Galpão onde os segmentos AF BE e CD, representam as colunas de 
sustentação do telhado. Esses três segmentos são paralelos.
e-Tec BrasilAula 7 | Semelhança de triângulos 231
Na Figura 7.14, as colunas de sustentação do telhado estão representadas 
pelos segmentos de reta AF, BE e CD. Algumas medidas do galpão já eram 
conhecidas: AB = 2m, BC = 8m e FE = 3,2m.
Como podemos determinar a medida do segmento FD ?
Vamos chamar FD de x. Assim:
FD = FE + ED ⇒ x = 3,2 + ED ⇒ x - 3,2 = ED
Como as colunas de sustentação do telhado são paralelas, podemos consi-
derar que os segmentos de reta FD e AC são retas transversais que cortam 
essas paralelas. Desse modo, podemos usar o Teorema de Tales para resolver 
esse cálculo.
Usando o teorema de Tales, temos:
( )
−
= ⇒ =
− =
− =
= +
=
= ⋅
=
x 3,2ED BC 8
FE AB 3,2 2
x 3,2
4
3,2 3,2
x
1 4
3,2
x
4 1
3,2
x
5
3,2
x 5 3,2
x 16
Portanto, uma das medidas do telhado é 16 m.
Agora é a sua vez de colocar a mão na massa. Faça a próxima atividade para 
verificar seu aprendizado e depois leia o resumo da aula.
Edificaçõese-Tec Brasil 232
Atividade 4
Atende ao Objetivo 3
A figura abaixo mostra um mapa com três estradas paralelas (r//s//t) que são 
cortadas por duas vias transversais. Determine a distância x (em Km) entre os 
cruzamentos dessas vias e estradas indicadas no mapa.
x - 3 x
r
s
t
x + 2 x - 2
Resumo
Reconhecer se um objeto é congruente ao outro é muito simples, pois bas-•	
ta verificar se são iguais. Esse mesmo conceito vale para os triângulos.
Casos de congruência de triângulos:•	
1º Caso de congruência de triângulos: Lado – Lado – Lado: LLL
2º Caso de congruência de triângulos: Ângulo – Lado – Ângulo: ALA
3º Caso de congruência de triângulos: Lado – Ângulo – Lado : LAL
e-Tec BrasilAula 7 | Semelhança de triângulos 233
4º Caso de congruência de triângulos: Lado – Ângulo adjacente – Ân-
gulo oposto : LAAo
Semelhança de triângulos: Duas figuras são semelhantes quando têm •	
a mesma forma, mas não tem necessariamente o mesmo tamanho. Se 
duas figuras S e T são semelhantes, denotamos: S ~ T.
Dois triângulos são semelhantes, se e somente se possuem os três ângu-•	
los ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais. Se 
os homólogos são proporcionais, então, a razão entre os lados homólo-
gos é uma constante.
Teorema de Tales: Um feixe de retas paralelas cortadas por duas retas •	
transversais forma segmentos de retas proporcionais.
x y
t
q
z
p
= =
x z p
y t q
Informação sobre a próxima aula
Na próxima aula, vamos estudar as propriedades das medidas dos lados de 
um triângulo especial, o triângulo retângulo. Então, até lá!
Respostas das atividades
Atividade 1
A afirmação I é FALSA, pois os casos de congruências são: LAL – ALA – •	
LLL – LAAo. Dois triângulos com 3 ângulos iguais (sedois ângulos são 
iguais, o terceiro também será) são semelhantes, mas podem não ser 
Edificaçõese-Tec Brasil 234
congruentes. Para serem congruentes, os lados também precisam ser do 
mesmo tamanho.
A afirmativa II é FALSA, o certo é: “Dois triângulos que têm dois lados e •	
o ângulo que fica entre esses lados, respectivamente, congruentes são 
triângulos congruentes – LAL”.
A afirmativa III é VERDADEIRA, veja o 4º caso de congruência LAAo.•	
Portanto, a resposta é a alternativa d.
Atividade 2
Para resolver este problema, vamos desenhar os triângulos formados pelo 
edifício, o poste e suas sombras. Veja o desenho a seguir.
H
A
C
D
B F E30m 4m
12m
O triângulo ABC (formado pelo prédio e sua sombra) é semelhante ao 
triângulo DEF (formado pelo poste e sua sombra) por dois motivos. Primeiro, 
os ângulos A e F são iguais ( )= = °A F 90 . Segundo, como os raios solares 
se propagam em linha reta e são paralelos, as retas BC e DE são paralelas, 
isto quer dizer que o ângulo B é igual ao ângulo E . Se dois ângulos de um 
triângulo são iguais, o terceiro também é, portanto,  =C D.
Se os triângulos são semelhantes, os lados homólogos são proporcionais:
= ⇒ ⇒
H 30
4H 360 H 90m
12 4
= =
Logo, a altura do edifício é 90 metros.
e-Tec BrasilAula 7 | Semelhança de triângulos 235
Atividade 3
O primeiro passo é separar os dois triângulos que existem na imagem. Tere-
mos, assim, o ∆ABC e o ∆ADE. Veja as imagens a seguir:
A
20 m
D E
B C
x
A
20 m
CB
x
A
5 m
D E
6 m
Como os lados DE e BC são paralelos, os lados AB e BC são como as trans-
versais que cortam paralelas e formam ângulos correspondentes. Por isso, 
podemos concluir que os triângulos ABC e ADE são semelhantes, pois 
   ≡ ≡ ≡ B D, C E e A A .
Se os triângulos são semelhantes, os lados homólogos são proporcionais:
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
6 x 20x 20 120
5x 6 x 20 x x x 24m
6 5 5 5
Assim, o comprimento da ponte será de 24 m.
Atividade 4
Para ficar mais fácil de analisar podemos mexer na figura sem alterar a ideia 
original. É só desenhar às ruas transversais de forma que elas não se cruzem 
mais. Veja como fica no esquema a seguir:
Edificaçõese-Tec Brasil 236
x - 3 x
r
s
t
x - 2 x + 2
Perceba que as retas que estão simbolizando as ruas transversais foram des-
locadas horizontalmente. Mas esse deslocamento manteve as transversais 
paralelas à posição original. Ao fazer dessa maneira, mantivemos o tamanho 
dos segmentos formados pelo cruzamento das transversais com as paralelas. 
Com essa nova formação fica fácil perceber que podemos aplicar o Teorema 
de Tales para descobrir o valor de x.
Aplicando o teorema de Tales, teremos:
( )( ) ( )
− −
=
+
− + = −
x 3 x 2
x x 2
x 3 x 2 x x 2
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, 
temos:
x² + 2x – 3x – 6 = x² – 2x
Propriedade distributiva 
da multiplicação em 
relação à adição
Segundo essa propriedade, 
devemos multiplicar cada 
um dos termos de uma 
expressão por todos os 
termos da outra expressão.
Glossário
e-Tec BrasilAula 7 | Semelhança de triângulos 237
Vamos passar tudo para o 1º membro (não podemos nos esquecer de trocar 
o sinal dos termos ao passá-los do 2º membro para o 1º membro)
x² + 2x – 3x – 6 – x² + 2x = 0
 x – 6 = 0
 x = 6
Logo, a distância x é igual a 6 Km.
Referências bibliográficas
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamento de Matemática Elementar. 
Geometria Plana v. 9. 6. ed. São Paulo: Atual, 1985. Disponível em: klickeducacao.ig.com.br>. 
Acesso em 10 fev. 2009.
GIOVANNI, José Ruy. et al. A Conquista da Matemática: 8ª série. São Paulo: FTD, 2002. 
IEZZI Gelson. et al. Matemática e Realidade: 8ª. série. 5. ed. São Paulo. Atual, 2005.
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática, idéias e desafios: 8ª série. São Paulo: 
Saraiva, 2006.