Razão e Porcentagem

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e-Tec BrasilAula 2 | Razão e porcentagem 31
Aula 2 | Razão e porcentagem
Meta da aula
Apresentar•	 	os	conceitos	de	razão	e	de	porcentagem,	exemplifi-
cando	a	utilização	em	diversas	situações.
Objetivos da aula
Ao	final	desta	aula,	você	deverá	ser	capaz	de:
aplicar	o	uso	correto	das	razões	para	representar	partes	de	um	1.	
todo;
explicar	o	significado	de	uma	razão	de	valores	numa	dada	si-2.	
tuação;
utilizar	 a	 razão	 entre	 grandezas	 para	 expressar	 como	 elas	 se	3.	
relacionam;
calcular	a	parte	de	um	todo	através	de	porcentagem;4.	
calcular	um	valor	que	é	dado	como	porcentagem	de	outro;5.	
analisar	 problemas	 que	 envolvam	 aumentos	 e	 reduções	 per-6.	
centuais.
 
O que é razão?
A	razão	é	o	quociente	entre	dois	números.	Trata-se	de	um	conceito	antigo	
e	essencial	para	o	conhecimento	matemático	e	que,	em	princípio,	é	usado	
para	comparar	duas	quantidades	ou	duas	medidas.
Para	melhor	compreender	o	que	é	a	razão,	observe	o	exemplo	a	seguir:
Exemplo 2.1: 
Vamos	considerar	um	caminhão	com	12	metros	de	comprimento	e	um	carro	
de	passeio	com	3	metros	de	comprimento.	Para	compararmos	as	medidas	
dos	dois	veículos,	precisamos	dividir	o	comprimento	de	um	deles	pelo	outro:
12
4
3
= 	 (O	tamanho	do	caminhão	é	quatro	vezes	o	tamanho	do	carro	de	
passeio.)
Edificaçõese-Tec Brasil 32
Simplificação de frações 
Consiste	em	dividir	numerador	
e	denominador	por	um	
mesmo	número	natural	
diferente	de	1	e	que	seja	
divisor	comum	de	ambos.
Glossário
Utilizando	a	simplificação	de	frações,	podemos	também	dizer	que	o	carro	de	
passeio	tem	um	quarto	do	comprimento	do	caminhão.	
3
3
3 1
12 4
¸
¸
= 	 (O	tamanho	do	carro	de	passeio	é	um	quarto	do	comprimento	
do	caminhão.)
Fonte:	www.sxc.hu/photo/953130
M
ic
ha
l	Z
ac
ha
rz
ew
sk
i
Ra
fa
el
	V
ila
Fonte:	www.sxc.hu/photo/1042539
Figura 2.1: A razão entre números é utilizada frequentemente para comparar duas me-
didas. No exemplo anterior, o caminhão é quatro vezes maior que o carro de passeio.
e-Tec BrasilAula 2 | Razão e porcentagem 33
Então,	dados	dois	números	reais	a	e	b	(b	≠	0),	podemos	definir	a	razão	en-
tre	a	e	b,	nessa	ordem,	como	o	quociente	da	divisão	entre	a	(antecedente)	
e	b	(consequente).
Indicaremos	a	razão	entre	a	e	b	por	
a
b
	ou		a	:	b		ou	 ab 	,	e	o	seu	valor	poderá	
ser	expresso	na	forma decimal	ou	na	forma de fração.
As	razões	são	usadas	com	frequência	para	indicar	uma	parte	de	um	todo,	
como,	por	exemplo,	 2
3
da	construção	já	estão	concluídos;	 1
4
	da	popula-
ção	do	município	X	mora	na	zona	rural.	No	primeiro	caso,	a	razão	indica	que,	
ao	dividirmos	o	que	deveria	ser	construído	em	três	partes	iguais,	duas	delas	
já	foram	realizadas.
Fonte:	www.sxc.hu/photo/1020809
Bi
lly
	A
le
xa
nd
er
Figura 2.2: O pedreiro Tião já conseguiu construir 2/3 de sua nova casa, faltando 
apenas 1/3 para concluir a obra. 
No	outro	caso,	a	razão	indica	que	a	cada	quatro	habitantes	do	município	X,	
um	deles	mora	na	zona	rural.
Edificaçõese-Tec Brasil 34
Fonte:	www.sxc.hu/photo/707398
Va
sa
nt
	D
av
e
Figura 2.3: A população rural, devido à mecanização da 
agricultura, vem diminuindo muito em relação à popula-
ção urbana.
 
Um em cada 5 jovens não completou o ensino fundamental
(da	Folha On-line)	
Reportagem	da	Folha de S. Paulo	mostra	que	um	em	cada	cinco	
jovens	entre	18	e	29	anos	e	que	vivem	em	cidades	abandonou	a	
escola	antes	de	completar	o	ensino	fundamental.	
Segundo	trabalho	feito	pela	Secretaria	Geral	da	Presidência	da	Re-
pública	com	base	na	Pnad	2006	(Pesquisa	Nacional	por	Amostra	
de	Domicílios),	do	IBGE,	dos	34	milhões	de	jovens	urbanos	do	país,	
7,4	milhões	tiveram	de	um	a	sete	anos	de	estudo	–	período	insufi-
ciente	para	concluir	o	ciclo	–	e	813,2	mil	são	analfabetos.	
No	topo	da	lista	de	exclusão	estão	cinco	estados	do	Nordeste.	O	lí-
der	é	Alagoas,	com	46%	dos	jovens	em	uma	dessas	duas	situações.	
Na	outra	ponta	do	ranking	está	São	Paulo,	com	15%	de	exclusão.	
e-Tec BrasilAula 2 | Razão e porcentagem 35
	
“Há	20	anos,	quando	muitos	desses	jovens	estavam	em	idade	es-
colar,	 o	 sistema	 de	 ensino	 apresentava	 uma	 cobertura	menor	 e	
uma	exclusão	maior”,	declara	o	professor	Fernando	Tavares	Jr.,	da	
Universidade	Federal	de	Juiz	de	Fora,	em	Minas	Gerais.	“Por	outro	
lado	 [há	20	anos],	 a	 reprovação	e	 a	 evasão	eram	bem	maiores.	
Os	dois	fatores	conjugados	produziram	uma	exclusão	educacional	
maior	nessa	geração”,	completa.	
Um	quadro	geral	sobre	a	péssima	situação	da	educação	nacional	
pôde	ser	visto	em	dezembro,	com	os	resultados	do	Pisa	(Programa	
Internacional	de	Avaliação	de	Alunos),	da	OCDE	(Organização	para	
a	Cooperação	e	o	Desenvolvimento	Econômico).	Entre	57	nações	
avaliadas,	os	alunos	brasileiros	obtiveram	a	53ª	posição	em	mate-
mática,	a	52ª	em	ciências	e	a	48ª	em	leitura.	
(Fonte:	http://www1.folha.uol.com.br/folha/educacao/ult305u365413.
shtml)
 
Ao	estabelecermos	a	razão	entre	dois	números,	devemos	simplificar	a	fração	
gerada	até	sua	forma	irredutível,	como	mostramos	a	seguir.	Assim,	teremos	
maior	facilidade	de	perceber	qual	parte	do	todo	representa	aquela	fração.
Vejamos	 alguns	 exemplos	 desse	 uso	das	 frações	 e	 de	 sua	 simplificação	 à	
forma	irredutível:
Exemplo 2.2: 
Se	numa	reunião	estão	24	homens	e	18	mulheres,	estabeleça	a	razão	entre	
o	número	de	homens	e	o	número	de	membros	da	reunião:
÷2 ÷324 12 4	 			=				 	 				=					
42 21 7÷2 ÷3
A	razão	indica	que	para	cada	42	membros	da	reunião	existem	24	homens.	
Fazendo	a	simplificação	da	fração,	obtemos	4/7.	Essa	fração	nos	indica	que,	
para	cada	7	membros	da	reunião,	nós	temos	4	homens.
Perceba	que	nem	toda	fração	pode	ser	simplificada.	Por	exemplo,	a	fração	
4/7	não	pode	ser	simplificada,	pois	numerador	e	denominador	não	apresen-
tam,	além	do	1,	divisores	naturais	comuns;	dizemos	então	que	4/7	é	uma	
fração	irredutível.	
Edificaçõese-Tec Brasil 36
Exemplo 2.3: 
Na	nota	fiscal	de	compra	de	parte	do	material	necessário	para	a	reforma	de	
uma	casa,	há	a	 seguinte	discriminação	de	valores:	200	 reais	em	cimento;	
800	reais	em	tijolo	e	telhas;	400	reais	em	tinta.	Quanto	do	total	gasto	nessa	
compra	representa	o	valor	gasto	com	tijolo	e	telhas?
÷2 ÷100800 400 4	 			=				 	 			=					
1.400 700 7÷2 ÷100
A	razão	indica	que,	para	cada	7	reais	gastos	na	aquisição	de	material,	4	reais	
foram	para	a	compra	de	tijolos	e	telhas.
Razão de grandezas
Também	podemos	utilizar	 a	 razão	de	duas	grandezas	de	espécies	diferentes	
para	mostrar	como	elas	se	relacionam.	Nesse	caso,	a	razão	deve	vir	acompanha-
da	das	unidades	de	cada	medida.	Vejamos	alguns	casos	em	que	isso	ocorre.
Velocidade Médiaa)	 	é	a	razão	entre	a	distância	percorrida	por	um	móvel	e	
o	intervalo	de	tempo	em	que	o	deslocamento	ocorreu.	
Fonte:	www.sxc.hu/photo/983018
K
ev
in
	v
an
	d
er
	D
ra
ai
Figura 2.4: Numa viagem, quanto maior a velocidade média no percurso, menor 
será o tempo de viagem. Quanto menor for a velocidade média, maior será o tem-
po de viagem. 
e-Tec BrasilAula 2 | Razão e porcentagem 37
Exemplo 2.4: 
Se	um	automóvel	percorre	160	quilômetros	durante	2	horas,	qual	a	veloci-
dade	média	do	automóvel	nesse	trecho?
Resposta:	Sua	velocidade	média	é	de	
160km =80km / h
2h
,	ou	seja,	com	essa	
velocidade	o	carro	percorre	80km	a	cada	hora.
Densidadeb)	 	 é	 a	 razão	entre	 a	massa	de	um	corpo	e	o	 volume	que	ele	
ocupa.	
Azeite
Água
Fonte:	http://mundoeducacao.uol.com.br/upload/conteudo_
legenda/b5b08f8566c7e	afa085e1f56e872442d.jpg
Figura 2.5: Existem líquidos que flutuam em outros líquidos. Nesta experiência, po-
demos observar que o azeite flutua na água. A água possui uma densidade maior do 
que o azeite. Recolhendo um volume igual para cada um dos líquidos, temos que a 
água mais densa é a que possui uma quantidade maior de matéria (massa), sendo, 
por isso, o líquido mais pesado.
Exemplo 2.5: 
Se	um	corpo	de	5.000g	ocupa	um	volume	de	200	cm3,	qual	a	densidade	do	
objeto?
Resposta:	Dizemos	que	a	sua	densidade	é	de	 3
3
5.000g = 25g / cm
200cm
;	ouseja,	
se	pudéssemos	distribuir	 igualmente	a	massa	do	objeto,	teríamos	25g	em	
cada	1cm3	ocupado	pelo	objeto.
Densidade Demográficac)	 	é	a	razão	entre	o	número	de	habitantes	de	uma	
localidade	e	a	área	dessa	localidade.	
Edificaçõese-Tec Brasil 38
Fonte:	www.sxc.hu/photo/608561
Sa
nj
a	
G
je
ne
ro
Figura 2.6: Conforme vimos, a densidade demográfica corresponde ao número de 
habitantes por unidade de área. Com o rápido crescimento da população mundial, 
especialmente nos países subdesenvolvidos, estatísticas nos dão conta de que em 
2050 poderemos chegar a 13 bilhões de habitantes no planeta. 
Exemplo 2.6: 
Um	corretor	de	imóveis,	querendo	fechar	a	venda	de	um	terreno	num	bairro	
afastado,	diz	ao	cliente	que	o	bairro	está	prosperando	e	nos	últimos	12	meses	
a	densidade	demográfica	aumentou	de	8	hab./ha		para		20	hab./ha.	Supondo	
que	a	área	do	bairro	é	de	cerca	de	20	hectares,	qual	o	número	aproximado	de	
moradores	que	se	mudaram	para	o	bairro	nos	últimos	12	meses?
Resposta:	Seja	n	o	número	de	moradores	do	bairro	12	meses	atrás,	temos	
que	
n =8
20
;	ou	seja,	n	x	1	=	20	x	8,	onde	n	=	160.	Considerando	que	nos	
últimos	12	meses	 chegaram	x	moradores,	 a	nova	densidade	demográfica	
nos	permite	dizer	que	
n x 160 x
20 20 (160 x).1 20.20 160 x 400 x 240.
20 20
+ +
= Þ = Þ + = Þ + = Þ =
e-Tec BrasilAula 2 | Razão e porcentagem 39
Escalad)	 	 é	 a	 razão	entre	 as	medidas	de	 comprimento	de	um	desenho	e	
as	medidas	de	comprimento	correspondentes	do	objeto	que	o	desenho	
retrata,	todas	na	mesma	unidade.
Fonte:	www.sxc.hu/photo/1976403
Be
nj
am
in
	E
ar
w
ic
ke
r
Figura 2.7: Se em um mapa a escala indicada é de 1: 100.000, isso significa que a cada 
1 u.c. (unidade de comprimento) no desenho a medida correspondente do objeto 
real é de 100.000 u.c.
Exemplo 2.7: 
Se		em	um	aeromodelo	cada	1cm	equivale	a	2	metros	do	avião	que	se	dese-
jou	representar,	qual	a	escala	utilizada	na	confecção	do	aeromodelo?
Resposta:	A	escala	utilizada	será	de	 1cm 1=
2.000cm 2.000
	ou		1	:	2.000.
Perceba	que	na	escala	dividimos	grandezas	expressas	na	mesma	unidade;	
essa	razão	é	adimensional	(não	utiliza	unidades	de	medida).
Edificaçõese-Tec Brasil 40
Atividade 1 
Atende ao Objetivo 1
A	direção	de	uma	rádio	determinou	que	para	cada	7	músicas	tocadas,	5	de-
veriam	ser	músicas	brasileiras.	Expresse	a	razão	entre	o	número	de	músicas	
brasileiras	e	o	número	de	músicas	estrangeiras.	Se,	cumpridas	as	ordens	da	
direção	ao	fim	do	dia,	foram	executadas	24	músicas	estrangeiras,	quantas	
músicas	nacionais	foram	executadas	nesse	período?
Atividade 2 
Atende aos Objetivos 2 e 3
A	distância	rodoviária	entre	Juazeiro	do	Norte	e	Iguatu	é	de	150	km.	Se	um	
automóvel	percorreu	essa	distância	em	3	horas,	qual	foi	a	velocidade	média	
desse	veículo?	Explique	o	que	informa	o	resultado	encontrado.
Atividade 3 
Atende ao Objetivo 3
A	maquete	de	um	edifício	foi	feita	na	escala	de	1:	100.	Se	a	maquete	tem	
altura	de	40cm,	qual	a	altura,	em	metros,	do	edifício?	
e-Tec BrasilAula 2 | Razão e porcentagem 41
Atividade 4
Atende ao Objetivo 3
Na	planta	de	um	terreno,	um	duto	de	irrigação	cujo	comprimento	é	de	48	
metros	foi	representado	no	papel	por	um	segmento	de	2,4dm.	Determine	a	
escala	utilizada	na	planta.
Porcentagem
A	aplicação	do	conceito	de	porcentagem	é	algo	permanente	no	nosso	coti-
diano,	abrangendo	tanto	problemas	simples	e	rápidos,	como,	por	exemplo,	
um	desconto	em	um	supermercado,	quanto	problemas	mais	complexos,	re-
lativos	à	taxa	de	juros	do	comércio	no	Brasil.
Porcentagem	é	uma	razão	centesimal,	ou	seja,	trata-se	de	uma	fração	cujo	
denominador	é	100.	Por	ser	uma	razão,	podemos	indicar	uma	porcentagem	
na	forma	de	fração	e	na	forma	decimal,	mas	também	podemos	expressá-la	
por	meio	do	símbolo	%.
Edificaçõese-Tec Brasil 42
	
Vários	documentos	antigos	afirmam	que	o	 símbolo	%	 evoluiu	a	
partir	da	escrita	da	expressão	latina	per centum,	que	quer	dizer	por 
cento,	sendo	conhecido	em	seu	formato	atual	desde	meados	do	
século	XVII.	Apesar	do	nome	latino,	a	criação	do	conceito	de	repre-
sentar	valores	em	relação	a	uma	centena	é	atribuída	aos	gregos.		
A	seguir,	vemos	a	evolução	da	representação	do	símbolo	da	porcen-
tagem	até	chegar	ao	que	hoje	se	utiliza	como	representação	(%).
Os diferentes símbolos da porcentagem:
	 Símbolo	no	século	XV	 Símbolo	no	século	XVII	 Símbolo	a	partir	do	século	XVIII
Fonte:	http://pt.wikipedia.org
	
Vejamos,	então,	as	formas	de	expressar	uma	porcentagem:
5%		=	5
100
		=	0,05		(leia-se	cinco por cento)
A	primeira	 forma	é	utilizada	principalmente	em	anúncios,	propagandas	e	
textos	de	forma	geral,	como,	por	exemplo,	“o	arroz	teve	um	aumento	de	
30%”;	a	 forma	de	 fração	é	utilizada	nos	cálculos	manuais	que	envolvam	
porcentagem,	como	“de	um	grupo	de	100	alunos	da	faculdade	de	educação	
física,	40	se	especializaram	em	vôlei,	ou	seja,	40/100”.		Já	a	forma	decimal	
é	utilizada,	por	exemplo,	quando	efetuamos	a	divisão,	no	caso	do	exemplo	
anterior:	40/100	=	0,4.
e-Tec BrasilAula 2 | Razão e porcentagem 43
Fonte:	www.sxc.hu/photo/800204
Br
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n	
W
.	M
os
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y
Sa
nj
a	
G
je
ne
ro
Fonte:	www.sxc.hu/photo/962493
Figura 2.8: Por onde andamos, sempre podemos estar diante de um cálculo de porcenta-
gem, seja para simbolizar o desconto no preço do arroz, seja para descobrir o número de 
alunos que se especializaram em vôlei em uma turma da faculdade de educação física.
Porcentagens para representar partes de um todo
É	comum	oferecer	a	um	vendedor,	além	do	salário	fixo,	uma	comissão	em	
função	das	vendas	por	ele	realizadas,	com	o	objetivo	de	estimular	o	aumento	
das	vendas.	Então,	você	já	deve	ter	ouvido	falar	que,	além	do	salário,	o	ven-
dedor	ganha	uma	comissão	(C)	de	x%	sobre	o	faturamento	total	(F)	obtido	
com	suas	vendas.	Com	isso	queremos	informar	ao	vendedor	que	parte	do	
faturamento	obtido	com	suas	vendas	será	destinada	a	ele.
Edificaçõese-Tec Brasil 44
Vejamos	como	retratar	matematicamente	essa	situação:
C x x= ou C= F,
F 100 100
×
onde:	 C é	o	valor	da	comissão	do	vendedor;
	 F	é	o	faturamento	total	obtido	com	as	vendas;
x
100
é	a	porcentagem	(fração	centesimal)	que	indica	a	razão	entre	C	e	F.
Perceba	que	a	comissão	é	obtida	multiplicando-se	a	porcentagem	pelo	fatu-
ramento	total	obtido	com	as	vendas	daquele	vendedor.	Dizemos,	nesse	caso,	
que	a	porcentagem é em relação ao faturamento.
	
Em	muitos	casos	utiliza-se	a	porcentagem	sem	dizer	em	relação	a	
quê	ela	se	refere.	Esse	é	um	erro	grave.	No	caso	que	citamos	ante-
riormente,	a	mesma	comissão	poderia	ser	de	x%	sobre	o	lucro	ob-
tido	nas	vendas,	ou	ainda	sobre	o	faturamento	obtido	nas	vendas	
de	apenas	um	dos	produtos.	Então,	muito	cuidado	e	atenção	para	
saber	sobre	qual	valor	a	porcentagem	incide.
	
Seguem	alguns	exemplos:
Exemplo 2.8: 
Numa	construção	trabalham	12	homens	e	4	mulheres.	Determine	a	porcen-
tagem	de	operários	da	obra	que	são	homens.
Resposta:	Considere	x%	a	porcentagem	de	operários	da	obra	que	são	ho-
mens;	então	temos:
Número	de		homens		=	 x
100
.	total	de	operários	da	obra;	logo,
( )x 12 100
12 12 4 12 100 16x x x 75
100 16
×
= × + Þ × = Þ = Þ =
Ou	seja,	75%	dos	operários	da	construção	são	homens.	Já	as	mulheres	cor-
responderão	a	25%	dos	operários	da	obra,	de	modo	a	completar	a	totalida-
de	(100%)	dos	operários.
e-Tec BrasilAula 2 | Razão e porcentagem 45
Exemplo 2.9: 
O	salário	pago	por	uma	firma	a	um	pedreiro	era	de	400	reais	 	em	2007.	
Tendo	sido	reajustado	este	ano,	passando	a	valer	432	reais,	o	aumento	cor-
responde	a	qual	porcentagem	do	valor	do	salário	em	2007?
Resposta:	O	aumento	foi	de		432	–	400	=	32	reais;	queremos	descobrir	x,	que	
é	a	porcentagem	de	400	reais	correspondente	ao	aumento.	Então,	temos:
x
100
	.	valor	do	salário	do	pedreiro	em	2007	=	valor	do	aumento	salarial	do	
pedreiro
x
400 32 4x 32 x 8
100
× = Þ = Þ =
Ou	seja,	o	aumento	dado	corresponde	a	8%	do	valor	do	salário	em	2007.
Cálculo de porcentagens de valores
No	exemplo	anterior,	o	aumento	poderiater	sido	informado	aos	funcionários	
da	seguinte	forma:	“Vocês	terão	um	reajuste	de	8%	sobre	o	salário	atual.”	
Perceba	que,	nesse	caso,	os	funcionários	teriam	de	calcular	quanto	vale	8%	
de	400	reais.
A	situação	é	a	mesma,	só	que	agora	os	dados	que	temos	são	outros.	Veja:
8 3.200
400 A A A 32 reais
100 100
× = Þ = Þ =
Note	que,	para	calcularmos	8%	de	400	reais,	bastou	multiplicarmos	a	por-
centagem	sobre	o	valor	a	que	ela	se	referia.
Exemplo 2.10: 
Numa	cidade	de	80.000	habitantes,	um	levantamento	estatístico	descobriu	
que	85%	da	população	não	possuem	casa	própria.	Determine,	então,	quan-
tas	pessoas	da	cidade	não	possuem	casa	própria.
Resposta:	Para	descobrirmos	o	número	N	de	pessoas	sem	casa	própria	nessa	
cidade,	basta	calcularmos	o	valor	de	85%	de	80.000	habitantes.
Edificaçõese-Tec Brasil 46
85
N 100.000 N 85.000
100
= × Þ =
Aumentos percentuais
Você	acha	que	um	aumento	de	2	reais		no	preço	de	um	produto	é	grande	ou	
pequeno?	A	resposta	depende	do	valor	do	produto.	Se	o	produto	custava	
inicialmente	500	reais,	o	aumento	citado	é	pequeno	em	relação	ao	preço	do	
produto,	mas	se	o	produto	custava	4	reais,	então	esse	aumento	é	grande	em	
relação	ao	preço	do	produto.
Utilizamos	a	porcentagem	para	indicar	quão	grande	é	um	aumento	em	rela-
ção	ao	que	se	deseja	aumentar.
	
	
Custo médio do metro quadrado de janeiro a maio de 2008
Fonte:	http://www.sidra.ibge.gov.br/bda/const/default.asp
Pela	análise	da	variação	percentual,	percebemos	rapidamente	que	
em	maio	de	2008	ocorreu	aumento	muito	maior	no	custo	do	me-
tro	quadrado	construído	do	que	nos	meses	anteriores	de	2008.	
	
Se	houver	um	aumento	de	x%	sobre	um	valor	V1,	então	o	valor	V2	após	o	
aumento	será	dado	pelo	valor	inicial	acrescido	do	aumento	de	A.
Na	linguagem	matemática:
2 1 1
x
V V A (I) e A V (II)
100
= + = ×
Substituindo,	 	 na	 equação	 	 (I),	 o	 valor	 de	A	que	 temos	na	 equação	 (II),	
obtemos:
2 1 1
x
V V V
100
= + × 	,	e	colocando	V1	em	evidência	chegamos	a
e-Tec BrasilAula 2 | Razão e porcentagem 47
2 1
x
V 1 V .
100
æ ö÷ç= + ×÷ç ÷çè ø
Perceba	que	para	obtermos	o	novo	valor	basta multiplicar o valor inicial pelo 
fator 
2 1
x
V 1 V .
100
æ ö÷ç= + ×÷ç ÷çè ø
 .
Vejamos	o	que	ocorre	com	esse	fator	para	alguns	valores	de	x:
aumento	de	2%	sobrea)	 	 1 2 1 2 1V V (1 0,02) V V 1,02 V ;Þ = + × Þ = ×
aumento	de	13%	sobre	b)	 1 2 1 2 1V V (1 0,13) V V 1,13 V ;Þ = + × Þ = ×
aumento	de	62%	sobrec)	 	 1 2 1 2 1V V (1 0,62) V V 1,62 V ;Þ = + × Þ = ×
aumento	de	200%	sobred)	 	 1 2 1 2 1V V (1 2,00) V V 3 V .Þ = + × Þ = ×
Ou	seja,
um	aumento	de	2%	multiplicaria	o	valor	inicial	por	1,02;•	
um	aumento	de	13%	multiplicaria	o	valor	inicial	por	1,13;•	
um	aumento	de	62%	multiplicaria	o	valor	inicial	por	1,62;•	
um	aumento	de	200%	multiplicaria	o	valor	inicial	por	3.	•	
Exemplo 2.11: 
Um	boleto	bancário	recomenda	ao	caixa	a	cobrança	de	multa	de	2%	por	dia	
de	atraso.	Com	base	nisso,	se	um	boleto	com	valor	de	30	reais	for	pago	no	
dia	seguinte	ao	do	vencimento,	qual	o	valor	a	ser	cobrado?
Resposta:	Temos	V1	=	30	reais	e		x	=	2;	deseja-se	saber		o	valor	V2	após	a	
cobrança	da	multa.
2 2 2
2
V 1 30 V 1,02 30 V R$ 30,60
100
æ ö÷ç= + × Þ = × Þ =÷ç ÷çè ø
Edificaçõese-Tec Brasil 48
Reduções percentuais
Podemos,	da	mesma	forma,	utilizar	a	porcentagem	para	indicar	se	a	redução	
de	um	valor	foi	grande	ou	pequena.	Podemos	citar	como	exemplos:	
O	número	de	assassinatos	na	cidade	de	Juazeiro	durante	o	primeiro	semes-a)	
tre	de	2008	reduziu	em	30%	em	relação	ao	mesmo	período	de	2007.
Na	promoção	do	Dia	dos	Namorados,	qualquer	produto	da	loja	tem	des-b)	
conto	de	10%	sobre	seu	preço.
O	número	de	casos	de	dengue	em	 junho	sofreu	 redução	de	50%	em	c)	
relação	ao	observado	em	maio.
Se	houver	redução	de	x%	sobre	um	valor	V1,	então	o	valor	V2	após	a	redução	
será	dado	pelo	valor	inicial	diminuído	da	redução	A.
Na	linguagem	matemática:
2 1 1
x
V V A (I) e A V (II)
100
= - = ×
Substituindo,	na	equação	(I),	o	valor	de	A	que	temos	na	equação		(II),	obtemos:
2 1 1
x
V V V
100
= - × ;	colocando	V1	em	evidência,	chegamos	a	 2 1
x
V 1 V
100
æ ö÷ç= - ×÷ç ÷çè ø
	
Perceba	que	para	obtermos	o	novo	valor	basta multiplicar o valor inicial pelo 
fator 2 1
x
V 1 V
100
æ ö÷ç= - ×÷ç ÷çè ø
.
Vejamos	o	que	ocorre	com	esse	fator	para	alguns	valores	de	x:
redução	de	2%	sobre	a)	 1 2 1 2 1V V (1 0,02) V V 0,98 V ;Þ = - × Þ = ×
redução	de	13%	sobre	b)	 1 2 1 2 1V V (1 0,13) V V 0,87 V ;Þ = - × Þ = ×
redução	de	62%	sobre	c)	 1 2 1 2 1V V (1 0,62) V V 0,38 V ;Þ = - × Þ = ×
Ou	seja,
um	desconto	de	2%	multiplicaria	o	valor	inicial	por	0,98;•	
e-Tec BrasilAula 2 | Razão e porcentagem 49
um	desconto	de	13%	multiplicaria	o	valor	inicial	por	0,87;•	
um	desconto	de	62%	multiplicaria	o	valor	inicial	por	0,38.•	
Exemplo 2.12: 
Uma	empresa	fez	durante	o	mês	de	junho	um	racionamento	de	energia	re-
duzindo	em	15%	o	seu	consumo	em	relação	ao	mês	anterior.	Se	em	maio	o	
consumo	mensal	da	empresa	foi	de	500	kWh,	qual	foi	o	consumo	energético	
da	empresa	em	junho?
Resposta:	Temos	V1	=	500		e		x	=	15;		deseja-se	saber		o	consumo	V2	após	o	
racionamento.
2 2 2
15
V 1 500 V 0,85 500 V 425kWh
100
æ ö÷ç= - × Þ = × Þ =÷ç ÷çè ø
Aumentos ou reduções percentuais sucessivas
Em	caso	de	aumentos	percentuais	 sucessivos	sobre	um	valor	 inicial,	basta	
multiplicarmos	pelos	fatores	que	representam	cada	aumento	percentual.
Assim,	se	o	preço	P	de	um	produto	sofrer	um	aumento	em	maio	de	10%	sobre	
seu	preço	e	em	junho	voltar	a	receber	um	aumento	agora	de	20%	sobre	seu	
preço,	o	novo	preço	após	os	dois	aumentos	será	dado	por	1,10	.	1,20	.	P	=	1,32P,	
ou	seja,	será	equivalente	ao	aumento	de	32%	sobre	o	preço	inicial.
Da	mesma	forma,	se	um	valor	P	sofrer	redução	de	10%	sobre	seu	valor	e	em	
seguida	voltar	a	receber	uma	redução	agora	de	20%	sobre	seu	valor,	o	novo	
valor	após	as	duas	reduções	será	dado	por	0,90	.	0,80	.	P	=	0,72P,	ou	seja,	será	
equivalente	à	redução	de	28%	sobre	o	valor	inicial.
Exemplo	2.13:	Um	cliente	do	Banco	do	Brasil	deixa	 	o	capital	de	2.000,00	
aplicado	na	caderneta	de	poupança	durante	os	meses	de	abril,	maio	e	junho.	
Sabendo	que	as	taxas	de	juros	nesses	meses	foram	de	0,8%,	1%	e	1,2%,	qual	
o	valor	que	o	cliente	tem	à	disposição	na	poupança	após	tais	aumentos?
Resposta:	Nesta	situação,	o	valor	inicial	é	V1	=	2.000,00;	há,	então,	um	aumen-
to	sobre	esse	valor	de	0,8%,	gerando	valor	V2	=	1,008.	2.000,00	=	2.016,00;	
no	fim	do	próximo	mês,	haverá	o	aumento	de	1%	sobre	V2,	gerando	a	quantia	
V3	=	1,01
.2.016	=	2.036,16;	e,	finalmente,	no	terceiro	mês,	sobre	V3	ocorrerá	
o	aumento	de	1,2%,	resultando	em	V4	=	1,012
.	2.036,16	≅ 2.060,59.
Edificaçõese-Tec Brasil 50
Esse	cálculo	poderia	ser	feito	diretamente	da	seguinte	forma:
V4	=	(1	+	0,008)	
.	(1+0,01)	.	(1+0,012)	.	2.000	⇒ V4	=	2.060,59
Atividade 5
Atende ao Objetivo 4
Num	certo	dia,	5.800	pessoas	compareceram	ao	embarque	na	rodoviária,	
tendo	faltado	35	passageiros.	Se	forem	vendidas	6.000	passagens	para	esse	
dia,	expresse	o	número	de	passageiros	que	não	conseguiram	embarcar	como	
uma	porcentagem	do	total	de	pessoas	que	compraram	passagem.
Atividade 6
Atende ao Objetivo 4
Os	dados	a	seguir	foram	obtidos	no	Censo	do	IBGE	de	2000.	Os domicílios 
próprios que ainda estão sendo pagos	correspondem	a	qual	percentual
do	total	de	domicílios	existentes	no	país?a)	
do	total	de	domicílios	próprios?b)	
Características	dos	domicílios	brasileiros
e-Tec BrasilAula 2 | Razão e porcentagem 51
Fonte:	http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/censo2000/tabelabrasil131.shtm
Atividade 7 
Atende ao Objetivo 5
A	Polícia	Rodoviária	Federal	faz	um	levantamento	mensal	sobre	os	acidentes	
automobilísticos	ocorridos	nas	rodovias	federais	do	país.	O	comandante	da	
Polícia	Rodoviária	Federal,	em	entrevista	a	um	jornal,	afirmou	que	em	cerca	
de	60%	dos	acidentes	a	causa	é	imprudência	e/ou	embriaguez	do	motorista.	
Edificaçõese-Tec Brasil 52
Com	base	nesse	dado,	qual	o	número	aproximado	de	acidentesque	pode-
riam	ser	evitados	com	a	não	ingestão	de	bebidas	alcoólicas	e	o	respeito	à	
sinalização	numa	semana	em	que	ocorreram	400	acidentes?
Atividade 8 
Atende ao Objetivo 6
Uma	loja	de	material	de	construção	que	vende	o	saco	de	cimento	a	20	reais	
resolve	reajustar	o	preço	dele	em	20%.	Após	um	mês	do	aumento,	percebe	
que	a	 venda	de	cimento	 reduziu	muito	e	 cria	uma	promoção	em	que	na	
compra	de	10	ou	mais	sacos	há	a	redução	de	20%	sobre	o	valor	a	ser	pago.	
Quanto	deverá	pagar	uma	pessoa	que	comprar	10	sacos	durante	a	promo-
ção	da	loja?
Atividade 9 
Atende ao Objetivo 6
Dois	descontos	sucessivos	de	20%	e	30%	são	equivalentes	a	um	único	des-
conto	de:
a)	25%	 b)	26%	 c)	44%	 d)	45%
e-Tec BrasilAula 2 | Razão e porcentagem 53
Atividade 10
Atende ao Objetivo 6
Na	tabela	a	seguir,	comparamos	os	preços	médios	dos	produtos	da	cesta	bá-
sica	de	maio	de	2008	com	os	preços	dos	mesmos	produtos	em	maio	de	2007	
na	cidade	de	Fortaleza.	As	variações	percentuais	anuais	estão	expressas	em	
relação	ao	preço	de	cada	produto	em	2007.	Complete	os	dados	que	faltam	
com	aproximação	de	duas	casas	decimais.	Considere:
PA	como	o	preço	do	arroz	em	maio	de	2008;
PB	como	o	preço	do	açúcar	em	maio	de	2007;
iA	a	variação	percentual	do	preço	do	feijão;
iB	a	variação	percentual	do	preço	do	pão.
Comparação do custo da cesta básica de maio de 2007 com o custo de maio 
de 2008
Fortaleza 
Maio de 2008 
Produtos Quantidades
Gasto Mensal 
Variação 
anual 
%
Tempo de Trabalho (1)
Maio 
de 2007 
R$
Maio 
de 2008 
R$
Maio 
de 2007
Maio 
de 2008
Carne 4,5 kg 35,69 49,64 39,09 20h40min 26h19min
Leite 6 l 7,86 9,48 20,61 4h33min 5h02min
Feijão 4,5 kg 7,52 20,43 iA 4h21min 10h50min
Arroz 3,6 kg 5,08 PA 39,57 2h56min 3h46min
Farinha 3 kg 4,29 5,61 30,77 2h29min 2h58min
Tomate 12 kg 22,56 37,68 67,02 13h04min 19h58min
Pão 6 kg 26,70 34,32 iB 15h27min 18h12min
Café 300 g 2,39 2,77 15,90 1h23min 1h28min
Edificaçõese-Tec Brasil 54
Banana 7,5 dz 10,80 12,68 17,41 6h15min 6h43min
Açúcar 3 kg PB 3,00 -31,51 2h32min 1h35min
Óleo 900 ml 2,11 3,68 74,41 1h13min 1h57min
Manteiga 750 g 10,41 10,41 0,00 6h02min 5h31min
Total da Cesta 139,79 196,79 40,78 80h56min 104h19min
(1)	Tempo	que	o	trabalhador	de	salário	mínimo	precisa	para	comprar	a	Ração	Essencial	
(Decreto	Lei	nº	399	de	30/4/1938)	
Fonte:	http://www.dieese.org.br/rel/rac/trajun08.xml#FORTALEZA
Resumo
A	razão	entre	a		e		b	é	o	quociente	da	divisão	de	a		por	b,	sendo	indicada	•	
por:
a aou a :b ou bb
As	 razões	 são	 usadas	 com	 frequência	 para	 indicar	 uma	 parte	 de	 um	•	
todo.
e-Tec BrasilAula 2 | Razão e porcentagem 55
Em	alguns	casos	utilizamos	a	razão	de	duas	grandezas	de	espécies	dife-•	
rentes	para	mostrar	como	elas	se	relacionam.
A	velocidade	média,	a	densidade,	a	densidade	demográfica	e	a	escala	•	
são	exemplos	de	razão	entre	grandezas.
Porcentagem	é	uma	razão	centesimal,	ou	seja,	 trata-se	de	uma	fração	•	
cujo	denominador	é	100.
Toda	porcentagem	deve	ser	dada	em	relação	a	um	valor.•	
Expressa-se	uma	porcentagem	na	forma	de	fração,	na	forma	decimal	ou	•	
utilizando	o	símbolo	%.
Um	aumento	de	x%	sobre	V	(valor	inicial)	é	indicado	por	•	 x
1 V
100
æ ö÷ç + ×÷ç ÷çè ø
.
Uma	redução	de	x%	sobre	V	(valor	inicial)	é	indicada	por	•	 x
1 V
100
æ ö÷ç - ×÷ç ÷çè ø
.
Em	caso	de	reduções	ou	aumentos	percentuais	sucessivos	sobre	um	valor	•	
inicial,	basta	multiplicarmos	pelos	fatores	que	representam	cada	aumen-
to	ou	redução	percentual.
Informações sobre a próxima aula
Na	próxima	aula,	vamos	mostrar	que	as	grandezas	não	estão	 isoladas;	ao	
contrário,		relacionam-se	com	outras,	sendo	em	muitos	casos	usado	o	con-
ceito	de	proporção	para	mostrar	como	isso	ocorre.	Focaremos	nossa	atenção	
em	analisar	as	grandezas	diretamente	proporcionais	e	inversamente	propor-
cionais;	além	disso,	aprofundaremos	um	pouco	mais	o	nosso	estudo	sobre	
escalas	iniciado	nesta	aula.
Respostas das atividades
Atividade 1
A	 direção	 determinou	 que	 as	 músicas	 fossem	 tocadas	 seguindo	 a	 razão	
5musicas brasileiras
7músicas
.	Considere	que	ao	longo	do	dia,	além	das	24	músicas	
Edificaçõese-Tec Brasil 56
estrangeiras,	 também	 tenham	 sido	executadas	 x	músicas	nacionais;	 desta	
forma,	no	total,	foram	tocadas	24	+	x	músicas,	e	podemos	escrever:
x 5
7x 5 (24 x) 7x 120 5x
24 x 7
= Þ = × + Þ = +
+
7x 5x 120 2x 120 x 60- = Þ = Þ =
Atividade 2
A	velocidade	média	v	é	a	razão	entre	a	distância	percorrida	d	e	intervalo	de	tem-
po	t	em	que	isso	ocorreu.	Desta	forma,	temos	
150 kmd
v 50 km / h,
t 3h
= = =
indicando	que	o	carro	percorreu	em	média	50	km	a	cada	hora	de	viagem.
Atividade 3
A	escala	fornece	a	razão	entre	uma	medida	na	maquete	e	a	medida	corres-
pondente	no	edifício	construído	(em	mesma	unidade	da	medida	na	maque-
te);	logo,	sendo	h	a	medida	da	altura	do	edifício,	temos:
40 cm 1
h 1 40 10 h 4.000 cm ou h 40m
hcm 100
= Þ × = × Þ = =
Atividade 4
Para	determinar	a	escala	E	em	que	foi	feita	a	planta,	basta	calcular	a	razão	
entre	 uma	medida	na	planta	 e	 a	medida	 correspondente	 no	 terreno	 (em	
mesma	unidade	da	medida	na	planta).	Assim,	temos:
1
2 2 3
2,4 dm 24 10 1 1
E E E E
48 10 dm 48 10 2 10 2 1000
-×
= Þ = Þ = Þ = Þ
× × × ×
1
E E 1: 2.000
2.000
= Þ =
Atividade 5
Os	35	passageiros	que	faltaram	ao	embarque	nesse	dia	correspondem	a	x%	
de	6.000	pessoas,	cabendo	determinar	o	valor	de	x.	Fazendo	os	cálculos,	
temos:
e-Tec BrasilAula 2 | Razão e porcentagem 57
x 36
6.000 35 60x 35 x x 0,6
100 60
× = Þ = Þ = Þ =
Ou	seja,		o	número	de	faltosos	corresponde	a	0,6%	do	total	de	pessoas	que	
compraram	passagem.
Atividade 6
Considere	que	a)	 o número de domicílios próprios que ainda estão sendo 
pagos	corresponde	a	x%	do	número	total	de	domicílios	do	país.	Utilizan-
do	os	dados	da	tabela,	temos:
x 100 3.057.467
3.057.467 44.795.101 x 6,83
100 44.795.101
×
= × Þ = @
Ou	seja,	do total de domicílios do país,	apenas	6,83%	são	próprios,	mas	
ainda	estão	sendo	pagos.
Considere	que	b)	 o número de domicílios próprios que ainda estão sendo 
pagos	corresponde	a	y%	do	número	total	de	domicílios	próprios	do	país.	
Utilizando	os	dados	da	tabela,	temos
x 100 3.057.467
3.057.467 33.306.136 x 9,18
100 33.306.136
×
= × Þ = @
Ou	seja,	do total de domicílios próprios,	apenas	9,18%	ainda	estão	sen-
do	pagos.
Atividade 7
O	número	de	acidentes	que	poderiam	ser	evitados	corresponde	a	60%	dos	
400	acidentes	ocorridos	na	semana,	ou	seja,	a	não	ingestão	de	bebidas	alcoó-
licas	e	o	respeito	à	sinalização	evitariam	
60
400 60 4 240
100
× = × = 	acidentes.
Atividade 8
Apesar	de	o	aumento	e	a	redução	serem	expressos	pelo	mesmo	percentual,	
perceba	que	se	referem	a	valores	diferentes.	Enquanto	o	aumento	de	20%	
é	sobre	o	preço	inicial,	a	redução	de	20%	deve	ser	calculada	sobre	o	preço	
Edificaçõese-Tec Brasil 58
após	o	aumento.
Veja	o	que	ocorreria	com	o	preço	do	saco	se	comprássemos	10	sacos:
Antes	do	aumento:	P1	=	20	reais
Após	o	aumento:	 ( )2 2 2P 1 0,20 20 P 1,20 20 P 24 reais= + × Þ = × Þ =
Durante	a	promoção:	 ( )3 3 3P 1 0,20 24 P 0,80 24 P 19,20 reais= - × Þ = × Þ =
( )3 3 3P 1 0,20 24 P 0,80 24 P 19,20 reais= - × Þ = × Þ =
Deveríamos,	portanto,	pagar	10	.	19,20	=	192	reais	pelos	10	sacos	de	cimento.
Atividade 9
O	que	o	problema	deseja	é	encontrar	uma	redução	percentual	que	resulte	no	
mesmo	valor	que	as	reduções	sucessivas	de	20%	e	30%.	Como	não	foi	dito	
sobre	qual	valor	seriam	feitos	os	descontos,	adotemos	um	valor	genérico	V1.
Com	as	duas	reduções	de	20%	e	de	30%,	teremos:	
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
V (1 0,20) (1 0,30) V
V 0,80 0,70 V
V 0,56 V
V (1 0,44) V
44
V 1 V
100
= - × - ×
= × ×
= ×
= - ×
æ ö÷ç= - ×÷ç ÷çè ø
Ou	seja,	poderíamos	obter	o	mesmo	resultado	por	meio	de	uma	única	redu-
ção	de	44%	(opção	C).
Atividade 10
A
A
A
A
A
39,57
P 5,08 5,08
100
P 0,3957 5,08 5,08
P (1 0,3957) 5,08
P 1,3957 5,08
P 7,09
- = ×
= × +
= + ×
= ×
=
a)	
e-Tec BrasilAula 2 | Razão e porcentagem 59
B B
B B
B
B
B
B
31,51
3,00 P P
100
31,51
3,00 P P
1003,00 (1 0,3151) P
3,00 0,6849 P
3,00
P
0,6849
P 4,38
- = ×
= - ×
= - ×
= ×
@
=
b)	
A
A
A
A
i
20,43 7,52 7,52
100
12,91 100 i 7,52
1291
i
7,52
i 171,68
- = ×
× = ×
=
=
c)	
B
B
B
B
i
34,32 26,70 26,70
100
7,62 100 i 26,70
762
i
26,70
i 28,54
- = ×
× = ×
=
=
d)	
Referências bibliográficas
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