Grandezas Proporcionais

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e-Tec BrasilAula 3 | Grandezas proporcionais e escalas 61
Aula 3 | Grandezas proporcionais 
e escalas
Meta da aula
Apresentar como as grandezas podem estar relacionadas atra-•	
vés de uma proporção direta ou de uma proporção inversa.
Objetivos
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
identificar quando duas grandezas são diretamente ou inversa-1. 
mente proporcionais;
utilizar a regra de três para resolver problemas que envolvam 2. 
grandezas diretamente ou inversamente proporcionais;
determinar medidas reais de comprimento de objeto ou de lu-3. 
gares representados em um desenho, através de uma escala 
utilizada em sua confecção;
definir qual escala utilizar em diferentes tipos de desenho.4. 
Pré-requisito
Para a melhor compreensão desta aula, você deverá rever os con-
ceitos de Razão e Proporção (Aula 2).
 
As Ciências Exatas (a física, a matemática etc.) baseiam-se na medição de 
grandezas, sendo essa uma característica fundamental.
Podemos dizer que uma grandeza é tudo aquilo que pode ser medido, men-
surado ou contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou 
diminuídas. Como exemplo de grandezas, nós temos: o volume, a massa, a 
superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e 
a produção, entre outras.
São comuns no nosso dia a dia situações em que relacionamos duas ou mais 
grandezas. As figuras a seguir apresentam alguns exemplos:
Edificaçõese-Tec Brasil 62
Fonte: www.sxc.hu/photo/986695
Pa
ul
o 
C
or
re
a
Figura 3.1: Numa corrida com percurso definido, quanto maior for a velocidade, me-
nor será o tempo gasto. 
Fonte: www.sxc.hu/photo/454186
C
ha
rli
e 
Ba
lc
h
Figura 3.2: Num forno utilizado para a produção de aço fundido, quanto maior for o 
tempo de trabalho, maior será a produção de aço. 
e-Tec BrasilAula 3 | Grandezas proporcionais e escalas 63
As relações entre diferentes grandezas são feitas através da comparação 
entre elas, conforme veremos a seguir. 
Relações entre grandezas
A medição de grandezas é comum no nosso cotidiano. Por exemplo, o dono 
de uma mercearia não pode realizar seus negócios se não medir. Com uma 
balança, ele mede a massa pedida de batatas ou de açúcar. Um lojista, com 
o metro, mede a quantidade de tecido que lhe solicitaram. Em uma indústria 
mede-se com o relógio o tempo de trabalho dos operários. 
Fonte: www.sxc.hu/photo/1023783 Fonte: www.sxc.hu/photo/559800
C
ar
lo
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Za
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Fonte: www.sxc.hu/photo/1068015
Sa
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ra
 M
ha
tr
e
Figura 3.3: Há diferentes coisas que podem ser medidas: o dono da quitanda mede 
pesos; o lojista, comprimentos; a indústria, tempos. 
Quando quisermos nos referir a um valor genérico de uma grandeza, utiliza-
remos uma variável. Por exemplo, um elevador de carga funciona atenden-
do aos padrões de segurança de transportar, no máximo, 600 kg por vez. 
Assim, a grandeza que interessa para determinar se um objeto pode ou não 
ser transportado nesse elevador é a sua massa. Podemos indicar a medida 
da massa de qualquer objeto a ser transportado por uma variável P (em kg), 
e diremos que um objeto pode ser transportado com segurança nesse eleva-
dor desde que P 600£ kg.
Não é raro o caso em que precisamos analisar diversas grandezas na reali-
zação de uma atividade. Veja o seguinte caso: a construção de uma caixa 
d’água numa certa comunidade envolve diversas grandezas que influenciam 
na realização dessa tarefa, como número de trabalhadores, quantidade de ti-
jolos, dimensões, tempo dentro do qual a obra deverá ser entregue, número 
de famílias na comunidade, quantidade de água que deverá ser armazena-
da, altura em que a caixa d’água deverá ser colocada etc. 
Edificaçõese-Tec Brasil 64
Figura 3.4: Para a construção de uma caixa d’água, é necessário um projeto que en-
volva diferentes grandezas, tais como volume, comprimento, capacidade e tempo.
As grandezas não estão isoladas; muitas delas apresentam alguma relação 
entre si. No exemplo da construção da caixa d’água, a quantidade de tijolos 
depende das dimensões da caixa, que por sua vez dependem da quantidade 
de água que se deseja armazenar. Esta é estabelecida a partir do número de 
pessoas que serão atendidas. Dessa forma, a alteração de uma única gran-
deza pode provocar variações nas outras. 
Analisaremos, a partir deste momento, alguns casos específicos em que a 
variação nas medidas de uma grandeza promove a variação nas medidas 
das outras. 
Grandezas diretamente proporcionais
Considere que um caminhoneiro esteja viajando por uma rodovia com ve-
locidade de 80 km/h. Duas grandezas são importantes ao analisar essa via-
gem: intervalo de tempo e deslocamento.
Analisemos então o efeito de possíveis variações no valor do intervalo de 
tempo sobre os valores do deslocamento. Após 1 hora do início da viagem, 
e-Tec BrasilAula 3 | Grandezas proporcionais e escalas 65
o automóvel terá se deslocado 80 km; após 2 horas, o seu deslocamento já 
será de 160 km, e assim por diante, como mostra a tabela a seguir.
Tabela 3.1: Medição do deslocamento de um caminhão em uma rodovia 
Deslocamento ∆s 
(km)
80 160 240 320 400 ...
Intervalo de 
Tempo ∆t (h)
1 2 3 4 5 ...
Perceba que, embora as duas grandezas tenham seus valores alterados, a 
razão entre o valor do deslocamento realizado pelo valor do intervalo de 
tempo correspondente resulta sempre em 80 km/h, ou seja, D
D
=
s
t
80 . 
No caso em que o caminhão ainda está parado, temos deslocamento e in-
tervalo de tempo nulos, não sendo possível falar em divisão. Por esse motivo 
é preferível mencionar que D = ×Ds t80 .
Duas grandezas X e Y são ditas diretamente proporcionais quando pode-
mos definir seus valores genéricos pelas variáveis x e y obedecendo à se-
guinte relação:
x = k . y
sendo k um valor constante não nulo (constante de proporcionalidade).
Nas figuras a seguir temos exemplos de grandezas diretamente proporcionais:
Fonte: www.sxc.hu/photo/622829
Je
an
 S
ch
ei
je
n
Figura 3.5: Quanto maior o número de itens comprados de uma mercadoria, maior 
será o valor pago nessa compra.
Edificaçõese-Tec Brasil 66
Fonte: www.sxc.hu/photo/995898
D
or
a 
Pe
te
Fonte: www.sxc.hu/photo/498197
A
fo
ns
o 
Li
m
a
Figura 3.6: Quanto menor for o tempo de funcionamento de uma máquina de lavar, 
menor será o consumo de energia.
Fonte: www.sxc.hu/photo/845716
La
nc
e 
H
an
co
ck
Figura 3.7: Quanto maior é o intervalo de tempo durante o qual a torneira está aber-
ta, maior é o volume de água derramado.
e-Tec BrasilAula 3 | Grandezas proporcionais e escalas 67
 
Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando, após 
sofrerem quaisquer variações em suas medidas, a razão entre elas 
(desde que não nulas) permanece constante.
 
Diversos são os problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais 
em que desejamos descobrir o valor de uma grandeza conhecida, o valor da 
outra e a constante de proporcionalidade. Mostramos um exemplo a seguir.
Exemplo 3.1: 
Durante uma construção, foram gastos R$ 134,40 na compra de 42 metros 
de canos, percebendo-se depois que havia a necessidade de mais 20 metros 
de cano. Qual o valor a ser pago pela nova metragem de cano? Vejamos 
duas diferentes formas de responder a esse problema. 
Resposta 1:
Considere 
p
V
n
:
:
:
 o pre�o do metro de cano.
 o valor a ser pago.
 o nœmeero de metros de cano.
ì
í
ïïïï
î
ïïïï
preço
número
A cada metro de cano comprado, devemos pagar p reais; logo: 
se comprarmos 2 metros de cano, pagaremos p reais duas vezes;•	
se comprarmos 3 metros de cano, pagaremos p reais três vezes;•	
...
se comprarmos n metros de cano, pagaremos p reais n vezes.•	
De um modo geral, temos V p n ou
V
n
p= × = (desde que n seja não 
nulo), em que p é a constante de proporcionalidade.
Assim, a metragem de cano comprada e o valor a ser pago pela compra são 
grandezas diretamente proporcionais.
Edificaçõese-Tec Brasil 68
Metragem de cano Valor a ser pago
Situação 1: n1= 42 V1 = 134,40
Situação 2: n2 = 20 V2 = ?
V
n
V
n
V
V V2
2
1
1
2
2 220
134 40
42
20 134 40
42
64= Þ = Þ =
×
Þ =
, ,
Resposta 2:
Em problemas que envolvam grandezas proporcionais, é comum utilizarmos 
uma regra prática, denominada regra de três, para obtermos a igualdade 
anterior.
 Metragem de cano Valor a ser pago
 42 134,40
 20 x
Um aumento na metragem de cano deve provocar aumento, na mesma pro-
porção, no valor a ser pago. Indicamos isso através das flechas. 
Faremos agora a igualdade das razões entre os valores de uma mesma gran-
deza, na mesma ordem, já que as setas apontam no mesmo sentido.
42
20
134 40 20
42 134 40
42 20 134 40
20 134 40
42
64
= =
= × Þ =
×
Þ =
,
,
,
,
x
ou
x
x x x
au
m
en
to
au
m
en
to
e-Tec BrasilAula 3 | Grandezas proporcionais e escalas 69
Atividade 1 
Atende aos Objetivos 1 e 2
Na reforma de uma casa, foram gastos R$ 60,00 na compra das lajotas que 
revestiram o piso da cozinha retangular de 3 m × 4 m. Quanto se gastará na 
compra da mesma lajota para revestir uma sala retangular de 5 m × 6 m?
Atividade 2 
Atende aos Objetivos 1 e 2
Sabendo que um televisor apresenta consumo médio mensal de 15 kWh, quan-
do permanece ligado em torno de 6 horas por dia, diga qual a redução mensal 
no consumo de energia se este permancer ligado apenas 4 horas por dia.
Atividade 3 
Atende aos Objetivos 1 e 2
Foi feito um pedido de 12.000 metros de determinado tecido a uma tece-
lagem, sendo destinados três teares de mesma capacidade produtiva para 
essa produção, num período de trabalho previsto para 72 horas. Após 500 
metros produzidos por um dos teares, ele apresentou defeito mecânico. Em 
Edificaçõese-Tec Brasil 70
quanto tempo, a partir do defeito, será concluída a produção pedida pelos 
outros dois teares?
Atividade 4 
(Atende aos Objetivos 1 e 2)
A distância entre as cidades de Crato e Juazeiro do Norte é de 15 km. Após a 
implantação do metrô ligando as duas cidades, espera-se que o tempo médio 
de viagem seja de 12 minutos. Uma futura ampliação da rede de metrô pode 
estender a malha férrea para 24 km, atingindo outra cidade próxima. Saben-
do que o metrô se desloca com velocidade constante, quanto tempo levaria 
alguém que se desloca do ponto inicial ao ponto final dessa linha férrea?
Atividade 5 
Atende aos Objetivos 1 e 2
Uma mola de tração apresenta alongamento proporcional à força à qual é 
submetida, desde que essa não ultrapasse 0,8 kgf. Realizam-se quatro en-
saios com essa mola e os resultados se encontram organizados na tabela a 
seguir. Preencha os valores que estão faltando na tabela:
e-Tec BrasilAula 3 | Grandezas proporcionais e escalas 71
Força (kgf) 0,2 0,5
Alongamento da 
Mola (cm)
0,5 1,2 3,2
Grandezas inversamente proporcionais
Sejam A e B duas cidades cuja distância rodoviária é de 360 km. Podemos 
realizar uma viagem entre as duas cidades com diversas velocidades, com 
maior ou menor duração. 
Vejamos na tabela a seguir como variações no valor da velocidade influen-
ciam no valor do intervalo de tempo gasto na viagem.
Tabela 3.2: Diversas velocidades apuradas entre as cidades A e B
Velocidade v 
(km)
60 72 90 120 ...
Intervalo de 
Tempo ∆t (h)
6 5 4 3 ...
Perceba que, se multiplicarmos o valor da velocidade pelo respectivo valor do 
intervalo de tempo, teremos sempre o mesmo resultado (360 km).
Duas grandezas X e Y são ditas inversamente proporcionais quando puder-
mos definir seus valores genéricos pelas variáveis x e y obedecendo à seguin-
te relação:
x . y = k
sendo k um valor constante não nulo (constante de proporcionalidade).
Nas figuras a seguir temos exemplos de grandezas inversamente proporcionais:
Edificaçõese-Tec Brasil 72
Figura 3.8: Quanto maior o número de teares numa fábrica, menor é o intervalo 
de tempo necessário para produção de certa metragem de tecido.
Fonte: www.sxc.hu/photo/565934
Le
o 
C
in
ez
i
Figura 3.9: Quanto maior é a capacidade volumétrica de um recipiente, 
menor é o número de recipientes necessários para armazenar certo volume 
de líquido.
e-Tec BrasilAula 3 | Grandezas proporcionais e escalas 73
M
ic
ha
l Z
ac
ha
rz
ew
sk
i.
Fonte: www.sxc.hu/
photo/956950
Fonte: www.sxc.hu/photo/655784
G
ab
rie
l R
ob
le
do
Figura 3.10: Quanto maior é a vazão de um hidrante, menor é o intervalo de tempo 
necessário para encher a piscina.
 
Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando, 
após sofrerem quaisquer variações em suas medidas, o produto 
entre elas permanece constante.
 
Mostramos a seguir um exemplo:
Exemplo 3.2: 
Duas torneiras de vazão v enchem um tanque em 30 minutos. Em quanto 
tempo três torneiras de vazão v enchem esse tanque? A seguir, duas diferen-
tes formas de responder o problema. 
Resposta 1:
Considere: 
t
v
V
n
:
:
:
:
ì
í
ïïïïïïï
î
ïïïïïïï
A cada minuto, uma torneira despeja v litros de água no tanque; logo:
aberta durante 1 minuto, a torneira despeja v litros de água;•	
Vazão
Indica o volume de líquido 
que passa por uma seção 
transversal de um duto a cada 
unidade de tempo.
S
E
Ç
Ã
O
Vazão de líquido em um duto.
Glossário
o intervalo de tempo, em minutos, necessário para 
uma torneira encher o tanque
a vazão de uma torneira em litros por minuto.
a capacidade do tanque em litros.
o número de torneiras utilizadas
Edificaçõese-Tec Brasil 74
aberta durante 2 minutos, a torneira despeja v litros de água duas vezes;•	
...
aberta durante t minutos, a torneira despeja v litros de água t vezes.•	
Assim, em t minutos, cada torneira despeja v . t litros de água; logo:
duas torneiras despejam v •	 . t litros duas vezes;
três torneiras despejam v •	 . t litros três vezes;
...
n torneiras despejam v •	 . t litros n vezes.
Portanto, em t minutos são despejados n . v . t litros de água. Queremos que 
esse volume desejado seja igual ao da piscina, então:
V n v t n t
V
v
= × × Þ × =
em que V e v são constantes e, portanto, V
v
 é a constante de proporciona-
lidade.
Assim, o número de torneiras utilizadas e o intervalo de tempo em que des-
pejam água no tanque são grandezas inversamente proporcionais.
Número de Torneiras Intervalo de Tempo
Situação 1: n1 = 2 t1 = 30
Situação 2: n2 = 3 t2 = ?
n t n t t t t utos1 1 2 2 2 2 22 30 3
60
3
20× = × Þ × = × Þ = Þ = min .
Resposta 2:
Organizemos os valores das grandezas como a seguir e utilizemos a regra 
de três.
e-Tec BrasilAula 3 | Grandezas proporcionais e escalas 75
 Número de torneiras Intervalo de tempo
 2 30
 3 x
O aumento na quantidade de torneiras utilizadas deve provocar a diminui-
ção, na mesma proporção, no intervalo de tempo necessário para que o 
tanque fique cheio. Indicamos isso através das flechas. 
Faremos agora a igualdade das razões entre os valores de uma mesma gran-
deza em ordens distintas, já que as setas apontam em sentidos opostos.
 
Com a regra de três é de fundamental importância, utilizar a mes-
ma unidade para medidas de mesma grandeza.
 
Atividade 6 
Atende aos Objetivos 1 e 2
Duas bombas de irrigação com vazão v permitem a irrigação de um pasto 
em 30 minutos. Se utilizarmos cinco bombas de irrigação com vazão v para 
a irrigação do mesmo pasto, isso ocorrerá em quanto tempo isso ocorrerá?
Atividade 7 
Atende aos Objetivos 1 e 2
O número y de voltas da roda de uma bicicleta é dado em função do número 
x de voltas do pedal pela seguinte relação y
R
R
xCOROA
CATRACA
= × , em que RCOROA indica 
au
m
en
to
di
m
in
ui
çã
o
Edificaçõese-Tec Brasil 76
o raio da coroa próximo ao pedal, e indica o raio da catraca que fica na roda 
traseira, ambas na mesma bicicleta e expressas na mesma unidade. Numa bi-
cicleta de marchas, há várias catracas de raios diferentes. Na primeira marcha, 
ao darmos 20 pedaladas, a roda completa 30 voltas. Qual o número de voltas 
dadas pela roda ao darmos 20 pedaladas, sabendo que o raio da catraca na 
quarta marcha é metade do raio da catraca na primeira marcha?
Atividade 8
Atende aos Objetivos1 e 2
Se utilizarmos um balde de 15 litros para encher um tanque com água, serão 
necessários 60 despejos. Se desejarmos encher o mesmo tanque em 40 des-
pejos, qual a capacidade mínima do balde que devemos utilizar?
Atividade 9 
Atende aos Objetivos 1 e 2
O motorista de uma empresa de ônibus comunica aos seus passageiros que a 
viagem terá duração de 3 horas; entretanto, por um problema de balancea-
mento das rodas, o motorista teve de reduzir a velocidade do ônibus em 20% 
do que habitualmente utiliza. Nesse caso, qual será o atraso nessa viagem?
e-Tec BrasilAula 3 | Grandezas proporcionais e escalas 77
Escalas
A utilização de desenhos para representar objetos ou lugares remonta à pré-
história. O homem pré-histórico marcou nas pedras seres humanos, animais, 
plantas e elementos do seu mundo, expressando as suas vivências.
De lá pra cá, muito se evoluiu nesse tipo de representação. O cuidado básico 
que se deve ter ao desenhar algum objeto é procurar manter a proporção 
entre as medidas de comprimento no desenho e as medidas reais de compri-
mento do que se deseja representar.
Figura 3.11: Os desenhos funcionavam como uma espécie de comunicação entre os 
nossos antepassados. Achava-se que os desenhos eram uma espécie de código entre 
as pessoas de um mesmo grupo, ou quem sabe entre pessoas de grupos diferentes. 
Como ainda não existia escrita, as pessoas desenhavam. 
Edificaçõese-Tec Brasil 78
Na maior parte dos casos, o desenho não pode ser feito com as mesmas medi-
das do comprimento do objeto, cabendo a redução ou a ampliação. Por exem-
plo, a planta de uma casa é feita através de redução; já a figura de um microor-
ganismo num livro didático pode ser analisada graças a uma ampliação.
Para que o formato e as características originais do objeto ou lugar sejam bem 
representados num desenho, é importante que as medidas de comprimento 
sejam proporcionais às medidas reais de comprimento do objeto ou lugar, sen-
do a constante de proporcionalidade chamada de escala ou escala numérica.
Assim,
Escala=
uma medida qualquer no desenho
medida real corresponddente
.
A escala pode ser definida como a razão entre uma medida qualquer de 
comprimento no desenho e a medida real do objeto, ambas expressas na 
mesma unidade.
Então, uma escala numérica 1:500.000 indica que cada 1 unidade de com-
primento medida no desenho corresponde, na realidade, a 500.000 unida-
des de comprimento do que se deseja representar.
A utilização de escalas é muito importante na confecção de mapas, plantas e 
maquetes, pois é através delas que conseguimos obter as medidas de com-
primento reais.
Exemplo 3.3: 
Para incentivar a venda de apartamentos ainda em construção, as cons-
trutoras contratam o serviço de empresas especializadas em confecção de 
maquetes. As maquetes permitem que pessoas nada acostumadas a ver 
plantas possam ter uma melhor visualização de como será o apartamento. 
Se uma maquete de um edifício for construída utilizando-se a escala 1:50, 
qual a altura do edifício, se a altura da maquete é de 60 cm?
Resposta:
A razão entre a altura da maquete e altura real (H) do edifício resulta na 
escala. Sendo assim, temos:
e-Tec BrasilAula 3 | Grandezas proporcionais e escalas 79
60 1
50
50 60 3 000 30
cm
H
H cm H cm ou H m= Þ = Þ = =, . .
Perceba que, como a distância utilizada no desenho estava em centímetros, 
a distância real correspondente foi obtida também em centímetros, sendo 
feita, no final, a conversão para a unidade mais adequada.
Exemplo 3.4: 
A empresa de táxi aéreo Fênix utiliza helicópteros para fazer o transporte de exe-
cutivos. Um cliente contrata a empresa para levá-lo da cidade A para a cidade B, 
e pergunta a duração do voo, a fim de escolher o melhor horário de saída. Não 
sendo comum esse trajeto, o atendente, utilizando um mapa feito na escala de 
1:2.000.000, mede a distância de 2 cm. Sabendo que um helicóptero se desloca 
com velocidade de 200 km/h, que resposta o atendente deve dar ao cliente?
Resposta:
Através da escala do mapa, podemos obter a distância real (d) entre as duas 
cidades, como mostramos:
2 1
2 000 000
4 000 000 40
cm
d
d cm ou d km= Þ = =
. .
. . .
Como a velocidade média é a razão entre a distância que separa as cidades 
e o intervalo de tempo que dura o voo, temos:
200
40 200
1
40
200 40 1
40 1
200
km h
km
T
km
h
km
T
km T km h
km h
km
T
/ = Þ = Þ × = ×
Þ
×
Þ == =0 2 12, min .h ou T utos
O atendente deveria, então, informar que o voo entre as cidades duraria 
cerca de 12 minutos.
Escala numérica × escala gráfica
Quando a escala é informada em forma de fração, dizemos que se tratar de 
uma escala numérica, como, por exemplo, 1
200 ou 1:200, conforme vimos 
anteriormente. Podemos também expressar a escala utilizada num desenho 
através de uma barra graduada, como a seguir. Nesse caso, dizemos que se 
trata de uma escala gráfica.
Edificaçõese-Tec Brasil 80
0 5 10 15 20 25 km
Figura 3.12: Escala gráfica em que cada centímetro indica 5 km.
A escala gráfica apresenta como vantagens:
o fato de permitir encontrar diretamente as medidas reais sem precisar a) 
da realização de cálculos;
o fato de sofrer as mesmas dilatações ou contrações que o desenho, ga-b) 
rantindo certa precisão à leitura de mapas mais velhos.
Que escala devo utilizar?
Antes de iniciar um desenho, devemos decidir qual escala utilizar. Já vimos 
que, ao representar objetos ou locais num desenho, quase sempre é impos-
sível desenhar mantendo-se as medidas reais de comprimento; portanto, 
sempre haverá a necessidade de realizar ampliação ou redução.
É comum utilizarmos escalas numéricas com numerador 1; sendo assim, o 
denominador é que indicará se a escala promoverá uma ampliação e redu-
ção, e como ocorrerá.
Considere a escala numérica E D= 1 e as seguintes possibilidades:
Se D = 1, então cada unidade de medida de comprimento no desenho equi-
vale à mesma medida na situação real, ou seja, o desenho foi feito em ta-
manho real.
Se D > 1, então cada unidade de medida de comprimento no desenho equi-
vale a uma medida maior na situação real, ou seja, o desenho foi feito em 
tamanho reduzido.
Se D < 1, então cada unidade de medida de comprimento no desenho equi-
vale a uma medida menor na situação real, ou seja, o desenho foi feito em 
tamanho ampliado.
Na tabela a seguir mostramos que escalas devem ser utilizadas de acordo 
com o que se deseja desenhar; mas trata-se apenas de uma recomendação.
e-Tec BrasilAula 3 | Grandezas proporcionais e escalas 81
Tabela 3.3: Recomendação de diferentes tamanhos de escala
Aplicação Escala
Detalhes de terrenos urbanos 1:50
Planta e pequenos lotes e edifícios 1:100 e 1:200
Planta de arruamentos e lotamentos urbanos, cartas 
cadastrais urbanas
1:500
1:1000
Planta de propriedades rurais, cartas cadastrais urbanas, 
cartas temáticas urbanas
1:1.000
1:2.000
1:5.000
Cartas temáticas urbanas, cartas cadastrais, cartografia 
topográfica sistemática
1:5.000
1:10.000
1:25.000
Cartas de municípios, cartografia topográfica sistemática 1:50.000
1:100.000
Mapas de estados, países, continentes etc. 1:200.000
1:10.000.000
Fonte: Apostila de Desenho Técnico Topográfico do Prof. Cristiano Nascimento (CEFET – SC)
Atividade 10 
Atende ao Objetivo 3
A maquete de um prédio é confeccionada na escala de 1:75. Querendo me-
lhorar o seu visual, a construtora resolve utilizar bonecos de 5 cm de altura 
sem consultar a empresa que confeccionou a maquete. Será que essa foi 
uma boa escolha?
Atividade 11 
Atende ao Objetivo 4
A planta de uma casa foi feita num papel de tamanho A4 (21 cm × 29,7 cm). 
Para aumentar em 25% o desenho feito, foi utilizada uma máquina de fotocó-
Edificaçõese-Tec Brasil 82
pia. Se a escala usada pelo desenhista foi de 1: 100, qual é a escala do desenho 
ampliado?
Atividade 12
Atende ao Objetivo 4
Deseja-se fazer a planta de uma casa numa folha de 20 cm × 30 cm, dei-
xando apenas 1 cm de margem em sua maior dimensão, parapermitir a 
impressão. Se as dimensões reais da casa são de 25 m × 42 m, que escala 
que devemos utilizar, de modo a aproveitar ao máximo o espaço disponível 
na folha?
Resumo
São comuns, no nosso dia a dia, situações em que relacionamos duas ou •	
mais grandezas.
As grandezas não estão isoladas e muitas delas apresentam alguma relação en-•	
tre si. A alteração de uma única grandeza pode provocar variações nas outras.
Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando, após sofre-•	
rem quaisquer variações em suas medidas, a razão entre suas medidas 
correspondentes (desde que não nulas) permanece constante.
e-Tec BrasilAula 3 | Grandezas proporcionais e escalas 83
Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando, após so-•	
frerem quaisquer variações em suas medidas, o produto entre elas per-
manece constante.
Quando quisermos nos referir a um valor genérico de uma grandeza, •	
utilizaremos uma variável.
Duas grandezas X e Y são ditas diretamente proporcionais quando pu-•	
dermos definir seus valores genéricos pelas variáveis x e y, obedecendo à 
seguinte relação:
x = k . y
sendo k um valor constante não nulo (constante de proporcionalidade).
Duas grandezas X e Y são ditas inversamente proporcionais quando pu-•	
dermos definir seus valores genéricos pelas variáveis x e y, obedecendo à 
seguinte relação:
x . y = k
sendo k um valor constante não nulo (constante de proporcionalidade).
A regra de três permite resolver de forma simplificada situações que en-•	
volvem grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.
Com a regra de três, é de fundamental importância utilizar a mesma •	
unidade para medidas de mesma grandeza.
Um cuidado básico que se deve ter ao desenhar algum objeto é procurar •	
manter a proporção entre as medidas de comprimento no desenho e as 
medidas reais de comprimento do que se deseja representar.
A escala pode ser definida como a razão entre uma medida qualquer de •	
comprimento no desenho e a medida real de comprimento correspon-
dente, ambas expressas na mesma unidade.
Quando a escala é informada em forma de fração, dizemos tratar-se de •	
escala numérica, como por exemplo 1
200 ou 1:200. Podemos também 
expressar a escala utilizada num desenho através da barra graduada, 
como a seguir. Nesse caso, dizemos que se trata de uma escala gráfica.
Edificaçõese-Tec Brasil 84
0 5 10 15 20 25 km
Na escala numérica •	 E D= 1 temos as seguintes possibilidades:
Se D = 1, então cada unidade de medida de comprimento no desenho 
equivale à mesma medida na situação real, ou seja, o desenho foi feito 
em tamanho real.
Se D > 1, então cada unidade de medida de comprimento no desenho 
equivale a uma medida maior na situação real, ou seja, o desenho foi 
feito em tamanho reduzido.
Se D < 1, então cada unidade de medida de comprimento no desenho 
equivale a uma medida menor na situação real, ou seja, o desenho foi 
feito em tamanho ampliado.
Informações sobre a próxima aula
Como tema da nossa próxima aula, teremos as equações, mais especifica-
mente, as equações de 1° e 2º graus. Além de mostrarmos as técnicas de re-
solução desses tipos de equações, procuraremos estudar situações-problema 
que serão equacionadas. 
Referência
Apostila de Desenho Técnico Topográfico do Professor Cristiano Nascimento (CEFET – SC).
Respostas das atividades
Atividade 1
O importante no revestimento de superfícies é a área da região a ser reves-
tida. Podemos indicar que a área da região a ser revestida (AR) é igual a n 
vezes a área da lajota (AL), em que n é o número de lajotas utilizadas nesse 
revestimento, ou seja, 
e-Tec BrasilAula 3 | Grandezas proporcionais e escalas 85
A n A n
A
A
Equa�ª o IR L
R
L
= × Þ = ( ).(Equação I).
Além disso, o valor pago também pode ser expresso a partir de n, já que o 
valor pago (VP) é n vezes o preço (p) de uma lajota, ou seja, 
(Equação II).V n p n
V
pR
P= × Þ =
Das equações I e II, concluímos que: 
A
A
V
p
A
A
p
V
A
V
A
p
R
L
P
R P
R
P
L= Þ = Þ =1 . .
Como o preço e a área da lajota são valores constantes, podemos afirmar 
que a área da região a ser revestida e o valor a ser pago são grandezas dire-
tamente proporcionais.
Área da região a ser revestida (m²) Valor a ser pago (R$)
Situação 1: ARI = 3 . 4 = 12 VP1 = 60
Situação 2: AR2 = 5 .6 = 30 VP2 = ?
A
A
A
A V
V V
V r
R
P
R
P P
P P
P
1
1
2
2 2
2 2
2
12
60
30
12 60 30
1 800
12
150
= Þ = Þ × = × Þ =
Þ =
.
eeais.
Atividade 2
Organizemos os valores das grandezas, como a seguir, e utilizemos a regra 
de três.
 Consumo de energia Intervalo de tempo
 15kWh 6 h
 x 4 h
A diminuição no intervalo de tempo em que o televisor fica ligado deve pro-
vocar a diminuição, na mesma proporção, no consumo de energia mensal 
desse aparelho. 
di
m
in
ui
çã
o
di
m
in
ui
çã
o
Edificaçõese-Tec Brasil 86
Faremos agora a igualdade das razões entre os valores de uma mesma gran-
deza na mesma ordem, já que as setas apontam no mesmo sentido.
15 6
4
15 4
6
10
x
x x kWh= Þ =
×
Þ = .
Atividade 3
Como os teares apresentam a mesma capacidade produtiva, caberia a cada 
um deles a produção de 4.000 m de tecido durante 72 horas. 
No momento em que o tear parou por defeito mecânico, cada tear já havia 
produzido 500 m. Os 3.500 m restantes do tear com defeito deverão ser re-
partidos entre os dois que ficaram, ou seja, cada um deverá produzir, a partir 
desse instante, 3.500 + 1.750 = 5.250 m.
Organizando os valores de cada grandeza, temos:
 Metragem de tecido Tempo de produção
 4.000 m 72 h
 5.250 m x
O aumento na metragem que cada tear deve produzir vai provocar um au-
mento, na mesma proporção, no tempo necessário para a produção. 
Faremos agora a igualdade das razões entre os valores de uma mesma gran-
deza na mesma ordem, já que as setas apontam no mesmo sentido.
x
x x h ou x h e
72
5 250
4 000
5 250 72
4 000
94 5 94 30= Þ =
×
Þ = =
.
.
.
.
, min
Atividade 4
A velocidade média é a razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo 
gasto. Como neste problema consideramos que o metrô se desloca com ve-
locidade constante, deslocamento e tempo médio de viagem são grandezas 
diretamente proporcionais.
au
m
en
to
au
m
en
to
e-Tec BrasilAula 3 | Grandezas proporcionais e escalas 87
D
D
=
s
t
v cons te( tan )(constante)
Analisando as duas situações propostas, temos:
Deslocamento
(km)
Tempo de viagem (min)
Situação 1: ∆s1 = 15 ∆t1 = 12
Situação 2: ∆s2 = 24 ∆t2 = ?
D
D
=
D
D
Þ =
D
Þ ×D = × Þ D =
×
Þ D =
s
t
s
t t
t t
t
1
1
2
2 2
2 2
2
15
12
24
15 12 24
12 24
15
19 8, mmin
Atividade 5
Já que o alongamento da mola é proporcional à força, a razão entre os valo-
res da primeira coluna fornecerá a constante de proporcionalidade k.
k = =
0 2
0 5
0 4
,
,
,
A partir da constante de proporcionalidade, podemos determinar os valores 
que faltam na tabela do problema.
Força (kgf) 0,2 x 0,5 z
Alongamento da 
mola (cm)
0,5 1,2 y 3,2
x
x x kgf
y
y y cm
z
1 2
0 4 1 2 0 4 0 48
0 5
0 4 0 4 0 5 1 25
3
,
, , , ,
,
, , , ,
,
= Þ = × Þ =
= Þ × = Þ =
22
0 4 0 4 3 2 1 28= Þ = × Þ =, , , ,z z kgf
Atividade 6
Organizemos os valores das grandezas, como a seguir, e utilizemos a regra 
de três.
Edificaçõese-Tec Brasil 88
 Número de bombas Intervalo de tempo
 2 30
 5 x
O aumento na quantidade de bombas utilizadas deve provocar a diminuição 
na mesma proporção no intervalo de tempo necessário para que o pasto seja 
irrigado. Indicamos isso através das flechas. 
Faremos agora a igualdade das razões entre os valores de uma mesma gran-
deza em ordens distintas, já que as setas apontam em sentidos opostos.
2
5 30
5 2 30
2 30
5
12= Þ = × Þ =
×
Þ =
x
x x utosmin .
Atividade 7
Como fixamos o número de pedaladas em 20 e o raio da coroa também é 
fixo, encontremos a relação entre o raio da catraca e o número de voltas 
dadas pela roda da bicicleta.
Assim:
y . RCATRACA = RCOROA 
. x (constante)
Ou seja, o raio da catraca e o númerode voltas dadas pela roda da bicicleta 
são grandezas inversamente proporcionais.
Organizando os dados das duas situações, temos:
Número de voltas dadas pela roda Raio da catraca
Situação 1: y1 = 30 R1
Situação 2: y2 R R
2
1
2=
y R y R y
R
R
y
y2 2 1 1 2
1
1
2
22
30
2
30 60× = × Þ × = × Þ = Þ = .
au
m
en
to
di
m
in
ui
çã
o
e-Tec BrasilAula 3 | Grandezas proporcionais e escalas 89
Perceba que, por serem inversamente proporcionais às grandezas analisadas 
neste problema, ao dividirmos uma por 2, a outra também o será.
Atividade 8
A capacidade C do tanque é dada pelo produto entre o número n de despe-
jos e o volume v de água despejado em cada operação, ou seja, C = n . v.
Duas situações são descritas no nosso problema:
Número de despejos
Volume despejado em cada operação
(litros)
Situação 1: n1 = 60 v1 = 15
Situação 2: n2 = 40 v2 = ?
Como a capacidade do tanque é constante, trata-se de grandezas inversa-
mente proporcionais, ou seja,
n v n v v v
v litros
2 2 1 1 2 2
2
40 60 15
60 15
40
22 5
× = × Þ × = × Þ =
×
Þ = ,
O enunciado fala em capacidade mínima (encontramos 22,5 litros) para exi-
gir que a capacidade do balde seja utilizada totalmente em cada operação.
Atividade 9
Da definição de velocidade média, temos:
v
s
t
s v t=
D
D
Þ D = ×D
O deslocamento s∆ é fixo, já que tratamos de viagem entre duas cidades; 
portanto, velocidade e tempo de duração da viagem são grandezas inversa-
mente proporcionais.
Analisando as duas situações propostas no problema, temos:
Velocidade do ônibus Tempo de duração da viagem (h)
Situação 1: v1 ∆t1 = 3
Situação 2: v2 = 0,80 . v1 ∆t2 = ?
v t v t v t v t horas2 2 1 1 1 2 1 20 80 3
3
0 80
3 75×D = ×D Þ × ×D = × Þ D = =,
,
,
Edificaçõese-Tec Brasil 90
Perceba que o atraso é de 0,75 h. Temos, então: 0 75
3
4
3
4
, h h= = . 60 
min = 45 min; logo, a viagem, que era prevista para 3 h, será completa-
da com o atraso de 45 minutos.
Atividade 10
Para saber se a escolha foi conveniente ou não, devemos determinar a altura 
(h) das pessoas que estão sendo representadas pelos bonecos.
1
75
5
75 5 375 3 75= Þ = × Þ = =
cm
h
h cm h cm ou h m,
Podemos concluir que a escolha não foi conveniente, já que a altura encon-
trada está fora dos padrões reais de altura de um homem.
Atividade 11
Considere D o comprimento real da casa, d o comprimento do desenho da 
casa antes da ampliação e E1 a escala do desenho no papel A4. Com a defi-
nição de escala, temos:
E
d
D
d
D1
1
100
= Þ =
Após a ampliação do desenho, seu novo comprimento será aumentado em 
25%, ou seja, teremos 1,25d.
A nova escala será E2, que será dada por:
E
d
D
E
d
D
E E2 2 2 2
125
1 25 1 25
1
100
1 25
100
=
×
Þ = × Þ = × Þ =, ,
,
É comum expressar uma escala tendo 1 como denominador. Para isso, 
basta dividirmos o numerador e o denominador por 1,25, obtendo, assim, 
E2
1
80
= ..
e-Tec BrasilAula 3 | Grandezas proporcionais e escalas 91
Atividade 12
Para aproveitar ao máximo a folha, a maior dimensão da casa será desenha-
da na maior dimensão da folha.
Devemos verificar:
(i) que escala fará os 42 metros da casa serem desenhados em 30 cm;
E
cm
m
cm
cm1
30
42
30
4 200
1
140
= = =
.
(ii) que escala fará os 25 metros da casa serem desenhados em 20 cm.
E
cm
m
cm
cm2
20
25
20
2500
1
125
= = =
Quanto menor a escala, maior a redução realizada. Como o desenho deve 
caber nas duas dimensões da folha, aproveitando o máximo disponível, utili-
zaremos a escala que proporciona a maior redução dentre as escalas obtidas, 
ou seja, devemos utilizar a escala 1
140
.
Referência bibliográfica
NASCIMENTO, Cristiano. Desenho Técnico Topográfico (Instrumental e normas). 
Florianópolis: CEFET/SC, 200?. Apostila 4.