Massa e centro de massa

Prévia do material em texto

5
Volume e centro de massa
São Luís
2024
Momentos e centro de massa 
Se considerarmos uma lâmina, que tenha a sua densidade variável, ocupando determinada região D, e x y, sendo a sua função densidade). O centro de massa é o ponto que representa o comportamento da lâmina como se toda a massa dela estivesse concentrada neste ponto.
Desta forma, o centro de massa dessa lâmina, é exatamente o ponto nas coordenadas x y, . Ou seja, é o ponto de massa única, que uma partícula teria simultaneamente os mesmos momentos. Sendo assim, temos que essas coordenadas são dadas em x M m y = e y M m x = , em que M y x x y dA D , e M x y x y dA D , são os momentos em relação aos eixos x e y, respectivamente.
Aplicações da Integral Tripla 
Vamos tratar agora algumas aplicações das integrais triplas, que podem ser interpretadas em diversas situações. Volume Para as integrais triplas, podemos destacar um caso especial, onde U1 - Integrais múltiplas 37 f x( ,y z, ) = 1 para todos os pontos da região de integração E, sendo representada por V dV E . Uma forma fácil de resolvê-la é por integral iterada, assim como já vimos na aula da seção anterior. Vale lembrar que neste caso, não é necessário utilizar a integral tripla para calcular o volume, entretanto ela é um recurso alternativo para estabelecer os cálculos. Massa e centro de massa assim como nas integrais duplas, podemos determinar a massa e o centro de massa nas integrais triplas. Desta forma, se a densidade de uma região E é x y, ,z em unidades de massa por unidade de volume, em qualquer ponto (x, y, z) temos
Os segundos momentos, denominados momentos de inércia em relação aos eixos coordenados, são aplicados quando a densidade é constante, e desta forma, chamamos o centro de massa do sólido de centroide. E assim, é o esboço da região triangular dada pela equação que representa a região. Desta forma, é preciso determinar as variações de x, y e z. Ou seja, para resolver a integral é necessário determinar os limites de integração.
1. Competência de fundamentos de área Conhecer e ser capaz de aplicar, na engenharia e área de exatas, os cálculos referentes a: integrais múltiplas, equações diferenciais ordinárias e à teoria de transformada de Laplace. 
2. Objetivos de aprendizagem aplicar cálculo de volumes, massa e centro de massa em diversas regiões que nos cercam em situações do cotidiano. 
3. Conteúdos relacionados Integral tripla, massa e centro de massa. 
4. Descrição da situação problema A fim de completar a sua aprendizagem, imagine que você terá que trabalhar no subsolo das torres verticais no prédio do Congresso Nacional, onde fica localizada a casa de máquinas, e terá que substituir as bases de apoio das bombas d’água. Entretanto, ao fazer uma verificação do local, você percebeu que para realizar essa tarefa, terá que deslocar e substituir algumas placas metálicas, que servem de suporte para eletrodutos e foram instaladas indevidamente por outra empresa que fez os reparos anteriores. Desta forma, para realizar a sua tarefa, antes você terá que construir uma estrutura de metal, cujas dimensões não estão padronizadas e não contemplam uma superfície em formato geométrico de fácil construção. Sendo assim, será necessário determinar a massa
image1.png