MATEMÁTICA CBMPA

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MATEMÁTICA 
PARTE 2 
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MATEMÁTICA 
 
 
3 
 
 
PROGRAMA: 
MATEMÁTICA: Unidades de Medida - Distância, Área, 
Volume, Massa e Tempo; Ângulos; Circunferência e 
Círculo; Triângulos; Semelhança de Triângulos; Relações 
Métricas no Triângulo Retângulo; Teorema de Pitágoras; 
Áreas e Perímetros de Figuras Planas; Geometria 
Espacial. 
 
Unidades de Medida – Distância, Área, Volume, Massa 
e Tempo 
 
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 
Desde a Antiguidade os povos foram criando suas 
unidades de medida. Cada um deles possuía suas 
próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do 
comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca de 
informações e as negociações com tantas medidas 
diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de 
medida único para cada grandeza. 
Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, 
um grupo de representantes de vários países reuniu-se 
para discutir a adoção de um sistema único de medidas. 
Surgia o sistema métrico decimal. 
Para podermos comparar um valor com outro, utilizamos 
uma grandeza predefinida como referência, grandeza 
esta chamada de unidade padrão. 
As unidades de medida padrão que nós brasileiros 
utilizamos com maior frequência são o grama, o litro e 
o metro, assim como o metro quadrado e o metro 
cúbico. 
Além destas também fazemos uso de outras unidades de 
medida para realizarmos, por exemplo a medição de 
tempo, de temperatura ou de ângulo. 
Dependendo da unidade de medida que estamos 
utilizando, a unidade em si ou é muito grande ou muito 
pequena, neste caso então utilizamos os seus múltiplos 
ou submúltiplos. 
 
 
 
Múltiplos e Submúltiplos 
 
 
 
Conversão entre Unidades de Medida 
 
1 m = 100 cm 100 cm2 = 0,01 m2 
1 L = 1000 mL 0,01 m3 = 10 dm3 
1 kg = 1000 g 124,5 dam2 = 0,01245 km2 
 
Relações entre as unidades de capacidade, massa e 
volume 
 
Exemplos: 
10,5 L = 10500 cm3 4,75 m3 = 4750 L 
 
Unidades de tempo 
1 h = 60 min 1 min = 60 s 1 h = 3600 s 
1 h = 60´1´ = 60´´ 1 h = 3600´´ 
 
Calcular: 
5 h 10 min 27 s 4 h 12 min 15 s 
 – 
 + 
2 h 42 min 50 s 3 h 53 min 49 s 
MATEMÁTICA 
PARTE 2 
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MATEMÁTICA 
 
 
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EXERCÍCIO 
 
 
01. (EsSA) Durante uma corrida rústica o atleta vencedor 
percorreu 326,0dam. Esta distância corresponde a: 
a) 32,6km 
b) 326km 
c) 3,26km 
d) 0,326km 
 
 
 
02. (EsSA) O resultado, em decâmetros, da expressão 
3,7km + 0,8hm + 425cm, é: 
a) 378,425 
b) 382,25 
c) 450,425 
d) 45,425 
 
 
 
03. (EEAR) Dividindo-se 7,28 dam em pedaços de 
348,2cm, encontra-se: 
a) 2cm + 3160mm 
b) 20cm + 316mm 
c) 2 pedaços + 316cm 
d) 20 pedaços + 3160mm 
 
 
 
04. Se 1,8 m2 de um terreno custam R$ 72.000,00, 
quanto custarão, em reais, 0,03 hm2 desse terreno? 
a) 120.000,00 
b) 1.200.000,00 
c) 12.000.000,00 
d) 120.000.000,00 
 
 
05. Uma jarra tem 52 cL de leite. Foram retirados 4,8 dL 
para se fazer um bolo e adicionou-se 1 L . Qual o volume 
final de leite? 
a) 104 cm3 
b) 10,4 m3 
c) 1,04 dm3 
d) 0,104 mm3 
 
 
06. (CESGRANRIO/05) Certa mercadoria foi comprada 
por R$ 4,0 o quilograma e vendida por R$ 0,10 cada 20 g. 
Qual foi o lucro, em reais, obtido pelo comerciante na 
venda de 5 kg desta mercadoria? 
a) 1,0 
b) 2,0 
c) 3,0 
d) 4,0 
e) 5,0 
 
 
07. (CESGRANRIO/04) Uma caixa d'água tem 1,960m3 de 
volume. Quantos litros d'água serão necessários para 
encher a caixa? 
a) 0,0196 
b) 0,196 
c) 19,6 
d) 196 
e) 1960 
 
 
08. (CESGRANRIO) Em certas regiões rurais do Brasil, 
áreas são medidas em alqueires mineiros. Um alqueire 
mineiro é a área de um terreno quadrado de 220 metros 
de lado. Qual é a área, em quilômetros quadrados, de 
uma fazenda com 30 alqueires mineiros? 
a) 1,452 
b) 14,52 
c) 145,2 
d) 1 452 
e) 14 520 
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09. (TRT-PA) Uma das medidas de volume utilizada nos 
Estados Unidos da América é o galão, que equivale a 3,79 
litros. Um carregamento de 3000 galões de óleo 
necessita de um caminhão tanque para ser transportado. 
Para transportar a carga em uma única viagem, o 
caminhão tanque deve possuir, no mínimo, a capacidade 
de 
a) 0,9 m³ 
b) 10 m³ 
c) 12 m³ 
d) 90 m³ 
e) 120 m³ 
 
 
10. (FCC/12) Uma torneira do tanque de uma residência 
que está pingando, vaza 300 ml por dia. Considerando 
um mês de 30 dias, é correto afirmar que, se esta 
torneira não for consertada, a quantidade total de água 
desperdiçada ao final desse mês será, em litros, igual a 
a) 0,09 
b) 0,9 
c) 9 
d) 0,3 
e) 3 
 
 
 
 
 
11. (FCC/07) Certo dia, um Auxiliar Judiciário gastou 11 
880 segundos para arquivar uma determinada 
quantidade de processos. Se ele iniciou essa tarefa às 12 
horas e 45 minutos e trabalhou ininterruptamente até 
completá-la, então ele a concluiu às 
a) 15 horas e 13 minutos. 
b) 15 horas e 24 minutos. 
c) 16 horas e 3 minutos. 
d) 16 horas e 26 minutos. 
e) 16 horas e 42 minutos. 
 
 
12. (CESGRANRIO/05) Um avião parte de determinada 
cidade às 10h 25min e chega a seu destino às 16h 10min. 
Qual a duração desse voo? 
a) 5h 25min 
b) 5h 45min 
c) 5h 55min 
d) 6h 45min 
e) 6h 55min 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
01. C 06. E 11. C 
02. A 07. E 12. B 
03. C 08. A 
04. B 09. C 
05. C 10. C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ÂNGULO 
 
 
É a reunião de duas semirretas de mesma origem, não 
contidas numa mesma reta. 
 
 
- O ponto O é o vértice do ângulo. 
- As semirretas 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ 𝑒 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ e são os lados do ângulo. 
- AÔB é o ângulo. 
 
 
 
ÂNGULO RETO 
É um ângulo igual a 90º. 
 
 
 
 
ÂNGULO AGUDO 
É um ângulo menor que 90º. 
 
 
 
 
ÂNGULO OBTUSO 
É um ângulo maior que 90º. 
 
 
 
ÂNGULO RASO: É o ângulo que mede dois retos. 
 
ÂNGULOS COMPLEMENTARES: Dois ângulos são 
complementares se, e somente se, a soma de suas 
medidas é 90º. Um deles é o complemento do outro. 
 
 
ÂNGULOS SUPLEMENTARES: Dois ângulos são 
suplementares se, e somente se, a soma de suas medidas 
é 180º. Um deles é o suplemento do outro. 
 
 
ÂNGULOS REPLEMENTARES: Dois ângulos são 
replementares se, e somente se, a soma de suas medidas 
é 360º. Um deles é o replemento do outro. 
 
 
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE (O.P.V) 
Dois ângulos são O.P.V. se, e somente se, os lados de um 
ângulo são as semirretas opostas dos lados do outro. 
Ângulos opostos pelo vértice são congruentes. 
 
 
 
 
 
 
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BISSETRIZ DE UM ÂNGULO 
É a semirreta (𝑂𝐶̅̅ ̅̅ ) que parte do vértice de um ângulo 
(AÔB), dividindo-o em dois outros ângulos congruentes. 
 
 
ÂNGULOS CONSECUTIVOS 
 São ângulos quepossuem o mesmo vértice e um lado 
comum. 
Os ângulos AÔB e AÔC são consecutivos. 
 
 
 
ÂNGULOS ADJACENTES 
 São ângulos consecutivos que não possuem ponto 
interior comum. 
Os ângulos AÔB e BÔC são adjacentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 
 
01. (CESD) Um ângulo acrescido do dobro de seu 
complemento, é igual ao seu triplo, então este ângulo 
mede, em graus 
a) 45 
b) 40 
c) 25 
d) 20 
 
 
 
 
 
02. (CFS) As bissetrizes de dois ângulos adjacentes e 
suplementares formam, em graus, um ângulo de 
a) 45 
b) 60 
c) 75 
d) 90 
 
 
 
 
 
03. (CESD) Efetuando (47º 18’ 30”) : 7, encontra-se 6º 
45’ x”. Logo, o valor de x é 
a) 10 
b) 20 
c) 30 
d) 40 
 
 
 
 
 
 
 
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04. (CFS) Na figura, os ângulos AÔC e BÔD são ângulos 
retos e as medidas dos ângulos AÔB e CÔD são dadas em 
graus. O valor de x, em graus, é 
 
 
a) 5 
b) 10 
c) 15 
d) 20 
 
 
 
05. (CESD) Na figura, o valor de , em graus , é 
 
a) 90 
b) 110 
c) 140 
d) 150 
 
 
 
06. O suplemento da soma de dois ângulos é 55º. Um 
deles é a metade do suplemento do outro. A diferença 
entre eles é 
a) 5º 
b) 10º 
c) 15º 
d) 20º 
 
 
07. (CESD) Considerar os ângulos adjacentes AÔB e BÔC, 
conforme a figura. Se o segundo é o dobro do primeiro e 
o ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos dados 
mede 30º, então os ângulos AÔB e BÔC medem, 
respectivamente, 
 
a) 10º e 20º 
b) 15º e 30º 
c) 20º e 40º 
d) 30º e 60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
01. A 06. C 
02. D 07. C 
03. C 
04. B 
05. B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 
 
 
CIRCUNFERÊNCIA 
É um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a 
um ponto dado desse plano é igual a uma distância (não 
nula) dada. O ponto dado é o centro e a distância dada é 
o raio da circunferência. 
O - centro 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ - Corda 
𝐶𝐷̅̅ ̅̅ - Diâmetro 
𝑂𝑃̅̅ ̅̅ - Raio 
 
 
CÍRCULO 
É um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a 
um ponto dado desse plano é menor ou igual a uma 
distância (não nula dada). O círculo é a reunião da 
circunferência com seu interior. 
Obs.: Centro, Raio, Corda, Diâmetro de um círculo são 
Centro, Raio, Corda, Diâmetro da respectiva 
circunferência. 
 
 
RETA SECANTE 
É a reta que intercepta a circunferência em dois pontos 
distintos. 
RETA TANGENTE 
É a reta que intercepta a circunferência num único ponto. 
 
Propriedades: 
a) A tangente é perpendicular ao raio no ponto de 
tangencia 
b) O diâmetro perpendicular a uma corda divide-a ao 
meio. 
c) De um ponto externo à circunferência traça-se apenas 
dois segmentos tangentes distintos e congruentes a ela 
e com origem nesse ponto. 
 
ÂNGULOS NO CÍRCULO 
a) ÂNGULO CENTRAL: Tem o vértice no centro. 
 
 
b) ÂNGULO INSCRITO: O vértice é um ponto do círculo e 
cujos lados são cordas. 
 
c) ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERNO: É o ângulo formado 
por duas cordas. 
 
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d) ÂNGULO EXCÊNTRICO EXTERNO: É o ângulo formado 
por duas secantes. 
 
 
e) ÂNGULO DE SEGMENTO: É o ângulo cujo vértice é um 
ponto do círculo e cujos lados são uma tangente e uma 
secante ao círculo. 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO CÍRCULO 
a) CORDAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) SECANTES 
 
c) TANGENTE E SECANTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURAS CIRCULARES 
a) Círculo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Setor Circular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TRIÂNGULOS 
 
 
- Os pontos A, B e C são os vértices do ∆ABC. 
- Os segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ (de medida c), 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ (de medida b) e 
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ (de medida a) são os lados do triângulo. 
- Os ângulos BÂC ou Â, ABC ou B e ACB ou C são os 
ângulos do ∆ABC (ou ângulos internos do ∆ABC). 
- Os ângulos Â, B e C e os lados 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ são, 
respectivamente opostos. 
 
 
RELAÇÕES NO TRIÂNGULO QUALQUER 
 
 
1) Qualquer lado é menor que a soma dos outros dois: 
 a < b + c 
 b < a + c 
 c < a + b 
2) A soma dos ângulos internos é 1800: 
 Â + B + C = 1800 
 
CLASSIFICAÇÃO 
1) Quanto aos lados 
EQUILÁTEROS - três lados e três ângulos (600) 
congruentes. 
ISÓSCELES - dois lados e dois ângulos congruentes. 
ESCALENOS – três lados e três ângulos diferentes. 
 
2) Quanto aos ângulos 
RETÂNGULO - tem um ângulo reto (900). 
ACUTÂNGULO - tem os três ângulos agudos (< 900). 
OBTUSÂNGULO - tem um ângulo obtuso (900<x<1800) 
Obs: O lado oposto ao ângulo reto de um triângulo 
retângulo é sua hipotenusa e os outros dois são os 
catetos do triângulo. 
 
ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO: 
1) MEDIANA DE UM TRIÂNGULO (M) 
É um segmento com extremidades num vértice e no 
ponto médio do lado oposto. 
 
 
Baricentro - É o encontro das três medianas, que se dá 
1/3 da base. 
 
2) BISSETRIZ INTERNA DE UM TRIÂNGULO (b) 
É o segmento com extremidades num vértice e no lado 
oposto que divide o ângulo desse vértice em dois ângulos 
congruentes. 
 
Teorema da bissetriz interna: 
A bissetriz do ângulo interno de um triângulo determina 
sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos 
outros dois lados. 
BD
CD
=
AB
AC
 
 
Incentro - É o encontro das três bissetrizes (é o centro do 
círculo inscrito). 
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3) MEDIATRIZ DE UM TRIÂNGULO (m) 
É a perpendicular traçada pelo ponto médio do lado do 
triângulo. 
 
Circuncentro - É o encontro das três mediatrizes (é o 
centro do círculo circunscrito). 
 
4) ALTURA DE UM TRIÂNGULO (h) 
É o segmento que liga um dos vértices ao lado oposto (ou 
a seu prolongamento) e que é perpendicular a este lado. 
 
 
Ortocentro - É o encontro das três alturas 
 
Propriedades que relacionam os ângulos de um triângulo 
1) A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 
180º. 
2) A medida do ângulo externo de um triângulo é igual a 
soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes. 
 
 
3) A soma dos ângulos externos de um triângulo é 360º. 
4) Cada ângulo de um triângulo é suplemento da soma 
dos outros dois. 
5) Num triângulo qualquer, pelo menos, dois ângulos são 
agudos. 
6) Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são 
complementares. 
7) Os ângulos agudos de um triângulo retângulo isósceles 
são iguais e cada um mede 45º. 
8) Cada ângulo de um triângulo equilátero mede 60º. 
 
TEOREMAS SOBRE TRIÂNGULOS 
1) O ângulo formado por duas bissetrizes internas de um 
triângulo, é igual a um ângulo reto, somado com a 
metade do terceiro ângulo. 
 
 
 
2) O ângulo formado por duas bissetrizes externas de um 
triângulo, é igual a um ângulo reto, diminuído da metade 
do terceiro ângulo. 
 
 
 
3) O ângulo, formado pela bissetriz com a altura, 
traçadas no mesmo vértice de um triângulo, é igual a 
semi diferença dos ângulos de base. 
 
 
 
 
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4) O ângulo formado por uma bissetriz interna de um 
triângulo com a bissetriz externa de um ângulo não 
adjacente ao primeiro, é igual a metade do terceiro. 
 
 
 
5) O ângulo, formado pela altura e mediana traçadas de 
um mesmo vértice é igual a diferença dos ângulos de 
base. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 
 
 
01. (CFS) É correto afirmar que um triângulo retângulo 
a) não pode ser isósceles 
b) possui apenas uma altura 
c) tem ortocentro no vértice do ângulo reto 
d) tem cada ângulo externo maior que o interno 
adjacente. 
 
 
02. (EEAR) Os ângulos internos de um triângulo são 
expressos, em graus, por 3x400; 4x100 e 5x300. Qual 
o valor de cada um? 
a) 20º, 90º e 70º 
b) 46º, 94º e 40º 
c) 26º, 98º e 56º 
d) 50º, 110º e 20º 
 
 
 
03. (EEAR) O triângulo, cujos ângulos internos são 
expressos em graus, por x300; 2x200 e x500, é 
a) retângulo 
b) isósceles 
c) acutângulo 
d) obtusângulo 
 
 
 
04. (EEAR) O ângulo formado pelas bissetrizes dos 
ângulos agudos de um triângulo retângulo vale 
a) 1350 
b)1250 
c) 1150 
d) 1050 
 
 
 
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05. (EEAR) Em um triângulo ABC, o ângulo B mede 360 
menos que o ângulo A e 90 mais que o ângulo C. O ângulo 
B mede: 
a) 420 
b) 510 
c) 720 
d) 870 
 
 
06. (CFS) No triângulo ABC retângulo em A, o ângulo MÂH 
= 200. M é ponto médio de BC e AH é a altura. O menor 
ângulo do triângulo ABC é, em graus: 
 
a) 35 
b) 40 
c) 50 
d) 60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
01. C 
02. A 
03. D 
04. A 
05. B 
06. A 
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
 
 
Dois triângulos são semelhantes, se e somente se, 
possuem os três ângulos ordenadamente congruentes 
(iguais) e os lados homólogos proporcionais. 
 
 
 
 
 
Sendo 2P o perímetro e A a área de um triângulo: 
 
 
Dois lados homólogos (correspondentes) são tais que 
cada um deles está em um dos triângulos e ambos são 
opostos a ângulos congruentes. 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL 
Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e 
intercepta os outros dois em pontos distintos, então o 
triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro. 
 
 
Obs: Todas as medidas (altura, bissetriz, mediana,...) do 
triângulo ADE são proporcionais as medidas do triângulo 
ABC. 
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15 
TEOREMA DE TALES 
Um feixe de retas paralelas determina, em duas 
transversais quaisquer, segmentos proporcionais. 
 
 
 
 
 
ÂNGULOS FORMADOS POR FEIXE DE RETAS PARALELAS 
CORTADOS POR RETAS TRANSVERSAIS 
 Quando duas retas paralelas r e s são cortadas 
por uma transversal t, dois ângulos quaisquer 
determinados por duas dessas retas têm medidas iguais 
(são congruentes) ou são suplementares (soma = 180°). 
 
 
 
 
Ângulos iguais: 
a = c = e = g / b = d = f = h 
Ângulos suplementares: 
a + b = 180° / a + d = 180° / b + c = 180° 
c + d = 180° / a + f = 180° / a + g = 180° 
b + e = 180° / b + g = 180° 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 
 
 
01. (MOVENS) Considere que dois triângulos 
semelhantes tenham alturas iguais a 12 cm e 18 cm. 
Então, a razão entre as áreas desses triângulos, ou seja, 
a divisão da área do triângulo de menor altura pela área 
do de maior altura, é igual a: 
a) 0,444... 
b) 0,666... 
c) 1 
d) 1,5 
e) 2,25 
 
 
 
 
 
02. As figuras a seguir representam as ruas de duas 
cidades P e Q. Por coincidência, as cidades possuem 
formas semelhantes. Determine na cidade Q, a distância 
entre a farmácia (ponto F) e o gabinete do Prefeito 
(ponto G). (As figuras não estão em escala). 
 
a) 230 m 
b) 130 m 
c) 115 m 
d) 65 m 
e) 32,5 m 
 
 
 
 
 
CBMPA 
MATEMÁTICA 
 
 
16 
03. (EEAR) No triângulo da figura, AB = 16, AC = 24, BC = 
20 e AN = 18, sendo MN // BC, AM + MN vale: 
 
a) 24 
b) 27 
c) 28 
d) 30 
 
04. (EEAR) O perímetro, em cm, do quadrado inscrito em 
um triângulo de base 24cm e altura 16cm é: 
 
a) 9,6 
b) 10 
c) 38,4 
d) 40 
 
05. (EEAR) Num triângulo isósceles de 54 cm de altura e 
36 cm de base está inscrito um retângulo de 18 cm de 
altura, com base na base do triângulo. A base do 
retângulo mede, em cm: 
a) 23 
b) 24 
c) 25 
d) 26 
 
06. (PM/PA) Observe as figuras abaixo, que representam 
quadriláteros com medidas indicadas em centímetros. 
Sabendo que o quadrilátero ABCD é semelhante ao 
quadrilátero MNPQ e aplicado as propriedades da 
semelhança de polígonos, assinale a opção correta. 
 
a) O perímetro do quadrilátero ABCD é 48 cm menor 
que o perímetro do quadrilátero MNPQ. 
b) A razão do perímetro do quadrilátero ABCD para o 
perímetro do quadrilátero MNPQ é de 10 para 36. 
c) A razão do lado CD para o lado QM é de 3 para 7. 
d) A razão de semelhança do polígono da esquerda para 
o da direita é 1/4. 
 
07. Na figura, a reta DE é paralela ao lado BC do triângulo 
ABC. Calcule o valor de x: 
 
a) 9 
b) 8 
c) 7 
d) 6 
e) 5 
 
08. Na figura abaixo os segmentos BC e DE são paralelos, 
AB = 15 m, AD = 5 m e AE = 6 m. A medida do segmento 
CE é: 
 
a) 5 m 
b) 6 m 
c) 10 m 
d) 12 m 
e) 18 m 
CBMPA 
MATEMÁTICA 
 
 
17 
09. No triângulo, DE // BC. Então o valor de x é: 
 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 10 
e) 12 
 
 
10. Os lados de um triângulo medem 20 cm, 30 cm e 35 
cm. Outro triângulo, semelhante a esse, tem por 
perímetro 34 cm. O lado maior desse segundo triângulo 
mede: 
a) 8 cm 
b) 10 cm 
c) 12 cm 
d) 14 cm 
e) 16 cm 
 
 
 
GABARITO 
01. A 06. C 
02. D 07. A 
03. B 08. D 
04. C 09. B 
05. B 10. D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS E UM TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
 
TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS: 
1. O quadrado do cateto é a projeção desse cateto 
multiplicada pela hipotenusa. 
 c2 = a . m b2 = a . n 
 
2. O quadrado da altura é o produto das projeções. 
h2 = m . n 
 
3. A altura é o produto dos catetos dividido pela 
hipotenusa. 
h =
b. c
a
 
 
4. A hipotenusa é a soma das projeções. 
a = m + n 
5. O quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados 
dos catetos (TEOREMA DE PITÁGORAS). 
a2 = b2 + c2 
 
 
 
CBMPA 
MATEMÁTICA 
 
 
18 
EXERCÍCIO 
 
01. Duas réguas de madeira, AB e CD, com 8 cm cada uma 
estão ligadas em suas extremidades por dois fios, 
formando o retângulo ABCD (fig. 1). Mantendo-se fixa a 
régua AB e girando-se 180o a régua CD em torno do seu 
ponto médio, sem alterar os comprimentos dos fios, 
obtêm-se dois triângulos congruentes AIB e CID (fig.2). A 
distância, em cm, entre as duas réguas, nessa nova 
posição (fig.2) é: 
 
 
a) 5√3 
b) 5√2 
c) 5 
d) 6 
e) 10 
 
 
 
 
02. No triângulo ABC, retângulo em A, a medida de h é: 
 
a) 7 cm 
b) 3 cm 
c) 4 cm 
d) 4,8 cm 
e) 5,8 cm 
 
 
03. Calcule a altura relativa à hipotenusa de um triângulo 
retângulo cujos catetos medem 12 cm e 9 cm. 
a) 9,3 cm 
b) 8,6 cm 
c) 6,4 cm 
d) 7,2 cm 
e) 5,8 cm 
 
 
04. (MSCONCURSOS) Considere um edifício com 24 m de 
altura e uma escada colocada a 10 m de sua base ligada 
ao topo dele, como mostra a figura a seguir: 
 
O comprimento dessa escada é de: 
a) 25 m. 
b) 26 m. 
c) 24 m. 
d) 20 m. 
e) 18 m. 
05. Na borda de uma piscina, será colocado um 
escorregador apoiado numa viga já existente de 5 m de 
altura. Se o escorregador será reto e medirá 13 m 
seguindo o esquema a seguir, qual será a medida da 
extremidade inferior do escorregador até o “pé” da viga? 
 
a) 8 m 
b) 10 m 
c) 12 m 
d) 14 m 
e) 16 m 
 
 
CBMPA 
MATEMÁTICA 
 
 
19 
06. (MOVENS) Sabendo-se que os catetos de um 
triângulo retângulo medem 12 cm e 5 cm, assinale a 
opção correta: 
a) A hipotenusa desse triângulo mede 16,9 cm. 
b) A altura desse triângulo 6 cm. 
c) A projeção do cateto maior sobre a hipotenusa é igual 
a 144/13 cm. 
d) A projeção do cateto menor sobre a hipotenusa é 
igual a 25/12 cm. 
 
 
07. Quais as medidas dos dois catetos no triângulo 
retângulo abaixo? 
 
a) 17 e 10 
b) 19 e 17 
c) 10 e 8 
d) 12 e 16 
e) 20 e 17 
 
 
08. x e y, na figura abaixo, medem: 
 
a) 17/5 e 37/5 
b) 36/15 e 27/15 
c) 27/5 e 48/5 
d) 81/5 e 144/5 
e) 27/15 e 48/15 
 
 
09. No triângulo ABC, Â = 90° e AD é a altura relativa ao 
lado BC. Sabendo-se que BD = 2 cm e AD = 4 cm, o valor 
de CD em centímetros é: 
 
a) 4 
b) 8 
c) 2√5 
d) 4√5 
e) 2 + √5 
 
 
 
10. Durante um treinamento, dois maratonistas partem 
de uma mesma cidade em direção reta; um em sentido 
leste e outro em sentido norte. Sabendo que o primeiro 
corre 20 km/h e o segundo 25 km/h. Após 2 horas a 
distância que os separa aproximadamente é: 
a) 50 km 
b) 64 km 
c) 60 km 
d) 70 km 
e) 58 km 
 
 
 
 
GABARITO 
01. D 06. C 
02. D 07. D 
03. D 08. C 
04. B 09. B 
05. C 10. B 
 
 
 
 
 
 
 
CBMPA 
MATEMÁTICA 
 
 
20 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
 
 
 
TRIÂNGULOPITAGÓRICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 
 
 
01. Duas réguas de madeira, AB e CD, com 8 cm cada uma 
estão ligadas em suas extremidades por dois fios, 
formando o retângulo ABCD (fig. 1). Mantendo-se fixa a 
régua AB e girando-se 180o a régua CD em torno do seu 
ponto médio, sem alterar os comprimentos dos fios, 
obtêm-se dois triângulos congruentes AIB e CID (fig.2). A 
distância, em cm, entre as duas réguas, nessa nova 
posição (fig.2) é: 
 
 
 
 
a) 5√3 
b) 5√2 
c) 5 
d) 6 
 
 
 
02. Considere um edifício com 24 m de altura e uma 
escada colocada a 10 m de sua base ligada ao topo dele, 
como mostra a figura a seguir: 
 
CBMPA 
MATEMÁTICA 
 
 
21 
O comprimento dessa escada é de: 
a) 25 m. 
b) 26 m. 
c) 24 m. 
d) 20 m. 
 
 
 
03. No triângulo ABC, retângulo em A, a medida de h é: 
 
a) 7 cm 
b) 3 cm 
c) 4 cm 
d) 4,8 cm 
 
 
 
 
 
04. (MOVENS) Sabendo-se que os catetos de um 
triângulo retângulo medem 12 cm e 5 cm, assinale a 
opção correta: 
a) A hipotenusa desse triângulo mede 16,9 cm. 
b) A altura desse triângulo 6 cm. 
c) A projeção do cateto maior sobre a hipotenusa é igual 
a 144/13 cm. 
d) A projeção do cateto menor sobre a hipotenusa é 
igual a 25/12 cm. 
 
 
 
 
 
05. x e y, na figura abaixo, medem: 
a) 17/5 e 37/5 
b) 36/15 e 27/15 
c) 27/5 e 48/5 
d) 81/5 e 144/5 
e) 27/15 e 48/15 
 
 
06. Durante um treinamento, dois maratonistas partem 
de uma mesma cidade em direção reta; um em sentido 
leste e outro em sentido norte. Sabendo que o primeiro 
corre 20 km/h e o segundo 25 km/h. Após 2 horas a 
distância que os separa aproximadamente é: 
a) 50 km 
b) 64 km 
c) 60 km 
d) 70 km 
d) 58 km 
 
 
07. (IDECAN/16) Tales desenhou um triângulo retângulo 
com as seguintes medidas, todas dadas em centímetros. 
Qual é o perímetro deste triângulo? 
 
a) 6 cm. 
b) 9 cm. 
c) 12 cm. 
d) 15 cm. 
 
 
 
 
CBMPA 
MATEMÁTICA 
 
 
22 
08. (VUNESP/15) Para proteção das plantas, uma grade 
foi colocada em todo o perímetro do jardim 
representado na figura, que tem a forma de um triângulo 
retângulo. 
Se a área desse jardim é 96 m2, então a medida do seu 
perímetro é igual, em metros, a 
 
a) 48. 
b) 50. 
c) 52 
d) 56. 
e) 58. 
 
 
GABARITO 
01. C 06. B 
02. B 07. C 
03. D 08. A 
04. C 
05. C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREAS E PERÍMETROS DE FIGURAS PLANAS 
 
 
ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS 
Área ou superfície de uma figura plana tem a ver com o 
conceito (primitivo) de sua extensão(bidimensional). 
Na Geometria, as formas mais conhecidas são: triângulo, 
quadrado, retângulo, paralelogramo, losango, trapézio e 
círculo. Todas essas formas possuem fórmulas 
matemáticas para o cálculo da medida de suas 
superfícies. Para o cálculo de área envolvendo as figuras 
mais complexas desenvolvemos cálculos matemáticos 
específicos entre outras técnicas. 
 
ÁREA E PERÍMETRO 
A área mede o espaço ocupado pelo objeto em um plano 
horizontal. 
A área é uma medida que envolve o cálculo do produto 
de duas dimensões: o comprimento e a largura. 
Costuma-se chamar de base (b) para o comprimento e 
altura (h) para a largura. 
 
Perímetro é a soma de todas as medidas dos lados de um 
polígono. 
 
TRIÂNGULOS 
 
 
 
 
CBMPA 
MATEMÁTICA 
 
 
23 
Área em função dos lados e do raio do círculo inscrito 
A = p . r 
 
Área em função de dois lados e do ângulo compreendido 
A =
b. c
2
× sen 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
 
 
Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço, 
em que estudamos as figuras que possuem mais de duas 
dimensões. Essas figuras recebem o nome de sólidos 
geométricos ou figuras geométricas espaciais e são 
conhecidas como: prisma (cubo, paralelepípedo), 
pirâmides, cone, cilindro, esfera. 
PRISMAS 
O prisma reto é um sólido com duas bases paralelas e 
iguais, em forma de polígono, e faces laterais 
retangulares. 
Podemos ter prismas triangulares, quadrangulares, 
pentagonais, hexagonais etc., conforme os polígonos das 
bases tenham três, quatro, cinco, seis ou mais lados 
respectivamente. 
Exemplos: 
 
 
Os prismas regulares, são prismas retos cujas bases são 
polígonos regulares. 
Como exemplo, temos um prisma hexagonal regular e 
sua planificação; veja a figura: 
 
 
Nos prismas, os lados das faces laterais são chamados de 
arestas laterais e os lados dos polígonos das bases são 
chamados de arestas da base; quando o prisma é reto, o 
comprimento das arestas laterais chama-se altura do 
prisma. 
 
 
 
CBMPA 
MATEMÁTICA 
 
 
24 
FORMULÁRIO: 
Volume do prisma: V = AB . h 
Área do prisma: A = 2.AB + AL 
V: volume 
AB: área da base 
h: altura 
A: área total 
AL: área lateral 
 
PIRÂMIDE 
É todo poliedro formado por uma face inferior e um 
vértice comum a todas as faces laterais. As faces laterais 
de uma pirâmide são triangulares e o número de faces 
depende do número de lados do polígono da base. As 
pirâmides são ainda classificadas de acordo com o 
polígono da base. 
Uma pirâmide é chamada reta quando possui todas as 
arestas laterais congruentes, ou ainda, quando a reta que 
une o vértice da pirâmide ao centro do polígono da base 
da mesma é perpendicular ao plano que contém a 
referida base. Se além de reta, sua base for um polígono 
regular dizemos então que a pirâmide é regular. 
 
FORMULÁRIO: 
Volume da pirâmide: V = 
1
3
 .AB. h 
Área da pirâmide: A = AB + AL 
Relação entre apótemas: r² + h² = (ap)² 
r: apótema da base 
ap: apótema da pirâmide 
 
 
 
 
 
CILINDRO 
O cilindro reto ou cilindro de revolução é o cilindro 
obtido girando-se um retângulo ao redor de um de seus 
lados: 
 
FORMULÁRIO: 
Volume do cilindro: V = AB. h ⇒ AB = π.r2 
Área do cilindro: A = 2.AB + AL 
Área lateral: AL = 2.π.r.h 
V: volume; AB: área da base; h: altura (geratriz do 
cilindro); A: área total; AL: área lateral. 
Obs.: cilindro equilátero é o cilindro em que a altura é 
igual ao diâmetro da base. (h = 2.r) 
 
CONE 
O cone circular reto ou cone de revolução é o cone que 
se obtém girando um triângulo retângulo ao redor de um 
dos catetos: 
 
 
FORMULÁRIO: 
Volume do cone: V = 
1
3
π.r2. h 
Área do cone: A = AB + AL ⇒ AB = π.r2 
Área lateral: AL = π.r.g 
 
V: volume; AB: área da base; h: altura (geratriz do 
cilindro); A: área total; AL: área lateral; g: geratriz. 
Obs.: Cone equilátero é o cone cuja geratriz é igual ao 
diâmetro da base. (g = 2.r) 
 
CBMPA 
MATEMÁTICA 
 
 
25 
ESFERA 
Dado um ponto O e um segmento de medida R, esfera de 
centro O e o raio R é o conjunto de todos os pontos P do 
espaço, tais que a medida do segmento é menor ou igual 
a R. 
 
 A = 4.π.r2 V = 
4
3
π.r3 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 
 
 
01. (CESPE–DOCAS/PA/06) Considere que uma caixa-
d’água cúbica tem as arestas medindo 2m de 
comprimento. Então essa caixa-d’água tem capacidade 
para mais de 7.000 litros de água. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. (CESGRANRIO–AMAZ/05) Um reservatório de forma 
cúbica de 4m de aresta está cheio de água até 3/4 de sua 
capacidade. Quantos metros cúbicos de água há nesse 
reservatório? 
a) 12 
b) 24 
c) 32 
d) 40 
e) 48 
 
 
03. (CESPE–CORREIOS/11) Nos Correios, são utilizados 
vários tipos de caixas para o envio de encomendas, entre 
elas, a caixa do tipo 4B, um paralelepípedo retângulo, em 
papel ondulado, com arestas medindo 360 mm, 270 mm 
e 180mm. O volume dessa caixa, em dm3, é 
a) superior a 18 e inferior a 21. 
b) superior a 21 e inferior a 24. 
c) superior a 24. 
d) inferior a 15 
e) superior a 15 e inferior a 18. 
 
 
 
 
 
04. (CESGRANRIO–TRANSPETRO/06) Uma seringa de 
forma cilíndrica tem 8cm de comprimento e 1,6cm de 
diâmetro. A quantidade, em mililitros, de remédio 
líquido que essa seringa contém quando cheia até 50% 
de sua capacidade é, aproximadamente, de: 
a) 2 
b) 4 
c) 8 
d) 12 
e) 16 
 
 
 
05. (CESGRANRIO–ANP/05)O número máximo de latas 
cilíndricas de 8cm de altura e 3 cm de raio que podem 
ser guardadas em uma caixa cúbica de 1m3 de volume 
corresponde a: 
a) 384 
b) 768 
c) 1.536 
d) 2.304 
e) 3.072 
CBMPA 
MATEMÁTICA 
 
 
26 
06. A medida da geratriz de um cone reto de 96 cm2 de 
área total e 6 cm de raio da base é: 
a) 2 cm 
b) 4 cm 
c) 8 cm 
d) 10 cm 
 
 
 
 
07. Um prisma reto tem por base um losango cujas 
diagonais medem 8 cm e 4 cm, respectivamente. Se a 
altura do prisma é de 6 cm, então o volume desse prisma, 
em centímetros cúbicos, é: 
a) 72 
b) 86 
c) 92 
d) 96 
 
 
 
 
 
08. Quantas latas de 5 litros de água são necessárias para 
encher totalmente o tanque abaixo? 
 
a) entre 5000 e 6000 
b) entre 6000 e 7000 
c) entre 7000 e 8000 
d) entre 8000 e 9000 
e) entre 9000 e 10000 
 
 
 
09. (ENEM) Uma fábrica produz barras de chocolates no 
formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo 
volume. As arestas da barra de chocolate no formato de 
paralelepípedo medem 3cm de largura, 18cm de 
comprimento e 4cm de espessura. Analisando as 
características das figuras geométricas descritas, a 
medida das arestas dos chocolates que têm o formato de 
cubo é igual a: 
a) 5 cm 
b) 6 cm 
c) 12 cm 
d) 24 cm 
e) 25 cm 
 
 
 
 
10. (ENEM) Uma empresa de refrigerantes, que funciona 
sem interrupções, produz um volume constante de 
1800000cm3 de líquido por dia. A máquina de encher 
garrafas apresentou um defeito durante 24 horas. O 
inspetor de produção percebeu que o líquido chegou 
apenas à altura de 12cm dos 20cm previstos em cada 
garrafa. A parte inferior da garrafa em que foi depositado 
o líquido tem forma cilíndrica com raio da base de 3cm. 
Por questões de higiene, o líquido já engarrafado não 
será reutilizado. Utilizando  = 3, no período em que a 
máquina apresentou defeito, aproximadamente quantas 
garrafas foram utilizadas? 
a) 555 
b) 5555 
c) 1333 
d) 13333 
e) 133333 
 
 
 
 
 
GABARITO 
01. NO VÍDEO 06. D 
02. E 07. D 
03. E 08. C 
04. C 09. B 
05. E 10. B 
 
CBMPA 
MATEMÁTICA 
 
 
27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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