Matemática: Compreensão e Prática

Prévia do material em texto

ÊNIO SILVEIRA
MATEMÁTICA
COMPREENSÃO E PRÁTICA
Componente curricular:
MATEMÁTICA
o8ano
COMPREENSÃO E PRÁTICAMANUAL DO 
PROFESSOR
MANUAL DO PROFESSOR
5a edição
São Paulo, 2018
Componente curricular: MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
COMPREENSÃO E PRÁTICA
ÊNIO SILVEIRA
Engenheiro mecânico pela Universidade Federal do Ceará. 
Engenheiro eletricista pela Universidade de Fortaleza. 
Diretor de escola particular. Autor de obras didáticas de Matemática.
o
ano8
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Silveira, Ênio
 Matemática : compreensão e prática / Ênio 
Silveira. – 5. ed. – São Paulo : Moderna, 2018. 
 Obra em 4 v. para alunos do 6o ao 9o ano.
 Componente curricular: Matemática.
 Bibliogra�a.
 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.
18-16948 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados
EDITORA MODERNA LTDA.
Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho
São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904
Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510
Fax (0_ _11) 2790-1501
www.moderna.com.br
2018
Impresso no Brasil
Coordenação editorial: Fabio Martins de Leonardo
Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Daniel Vitor Casartelli Santos, Maria José 
Guimarães de Souza, Marilu Maranho Tassetto, Romenig da Silva Ribeiro
Assistência editorial: Jeferson Felix da Silva, Larissa Calazans Nicoletti Mesquita
Preparação de texto: Mariane Genaro
Gerência de design e produção grá�ca: Everson de Paula
Coordenação de produção: Patricia Costa
Suporte administrativo editorial: Maria de Lourdes Rodrigues
Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite
Projeto grá�co: Mariza de Souza Porto
Capa: Bruno Tonel, Douglas Rodrigues José, Mariza de Souza Porto
 Foto: DKart/Getty Images 
Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho 
Edição de arte: Elaine Cristina da Silva
Editoração eletrônica: Teclas Editorial
Edição de infogra�a: Luiz Iria, Priscilla Boffo, Otávio Cohen
Ilustrações de vinhetas: Shutterstock
Coordenação de revisão: Maristela S. Carrasco
Revisão: Ana Cortazzo, Ana Maria C. Tavares, Cárita Negromonte, Cecilia Oku, 
Fernanda Marcelino, Know-how Editorial Ltda., Mônica Surrage, Renato da Rocha, 
Rita de Cássia Sam, Simone Garcia, Thiago Dias, Vânia Bruno, Viviane Oshima
Coordenação de pesquisa iconográ�ca: Luciano Baneza Gabarron
Pesquisa iconográ�ca: Carol Bock, Maria Marques, Mariana Alencar
Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues
Tratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, 
Marina M. Buzzinaro
Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, 
Vitória Sousa
Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro
Impressão e acabamento: 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Silveira, Ênio
 Matemática : compreensão e prática : manual do 
professor / Ênio Silveira. – 5. ed. – São Paulo : Moderna, 
2018. 
 Obra em 4 v. do 6o ao 9o ano.
 Componente curricular: Matemática.
 Bibliogra�a.
 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.
18-16950 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados
EDITORA MODERNA LTDA.
Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho
São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904
Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510
Fax (0_ _11) 2790-1501
www.moderna.com.br
2018
Impresso no Brasil
Coordenação editorial: Fabio Martins de Leonardo
Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Daniel Vitor Casartelli Santos, Daniela Santo 
Ambrosio, Maria Cecília da Silva Veridiano, Maria José Guimarães de Souza, Marilu 
Maranho Tassetto, Renata Martins Fortes Gonçalves, Romenig da Silva Ribeiro
Assistência editorial: Alexandre da Silva Sanchez, Jeferson Felix da Silva, Larissa 
Calazans Nicoletti Mesquita
Preparação de texto: Mariane Genaro
Gerência de design e produção grá�ca: Everson de Paula
Coordenação de produção: Patricia Costa
Suporte administrativo editorial: Maria de Lourdes Rodrigues
Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite
Projeto grá�co: Mariza de Souza Porto
Capa: Bruno Tonel, Douglas Rodrigues José, Mariza de Souza Porto
 Foto: Mariusz Szczygiel/Shutterstock 
Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho 
Edição de arte: Elaine Cristina da Silva, Eliazar Alves Cavalcanti Junior, Paula de Sá Belluomini
Editoração eletrônica: MRS Editorial
Ilustrações de vinhetas: Shutterstock
Coordenação de revisão: Maristela S. Carrasco
Revisão: Know-how Editorial Ltda.
Coordenação de pesquisa iconográ�ca: Luciano Baneza Gabarron
Pesquisa iconográ�ca: Carol Bock, Maria Marques, Mariana Alencar
Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues
Tratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, Marina M. 
Buzzinaro
Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, 
Vitória Sousa
Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro
Impressão e acabamento: 
III
Sumário
 Orientações gerais
• Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV
• Objetivos gerais da coleção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
• Organização da coleção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI
• Matemática escolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII
• Apresentação da proposta didática e distribuição dos conteúdos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX
• Quadros de objetos de conhecimento e habilidades do 8o ano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI
• Unidades temáticas de Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI
• O trabalho interdisciplinar na escola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVIII
• A utilização da história da Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIX
• As tecnologias e a aprendizagem da Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIX
• O papel do erro na aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
• Avaliação de aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXI
• Formação do professor — Sugestões de leitura e sites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXII
Orientações para o desenvolvimento das unidades
Unidade I ........................................................................................................................................................................................................................................................................................ 9
Capítulo 1 Conjuntos numéricos ........................................................................................................................................................................................10
Capítulo 2 Potenciação e radiciação ............................................................................................................................................................................ 31
Capítulo 3 Sistemas de equações do 1o grau .................................................................................................................................................47
Unidade II ...................................................................................................................................................................................................................................................................................69
Capítulo 4 Ângulos e transformações geométricas ............................................................................................................................70
Capítulo 5 Polígonos ......................................................................................................................................................................................................................... 98
Capítulo 6 Probabilidade ......................................................................................................................................................................................................... 112
Unidade III .............................................................................................................................................................................................................................................................................127
Capítulo 7 Triângulos e quadriláteros ..................................................................................................................................................................128
Capítulo 8 Área, volume e capacidade ................................................................................................................................................................156
Capítulo 9 Equações do 2o grau ..................................................................................................................................................................................... 171
Unidade IV ........................................................................................................................................................................................................................................................................... 187
Capítulo 10 Grandezas e proporcionalidade ................................................................................................................................................. 188
Capítulo 11 Medidas de tendência central e pesquisa estatística ............................................................................... 203
Capítulo 12 Gráficos estatísticos ....................................................................................................................................................................................219
IV
Orientações gerais
APRESENTAÇÃO
Esta coleção tem como objetivo principal servir de apoio didático para suas aulas. No Manual do Pro-
fessor, você encontra algumas reflexões sobre o processo de ensino e de aprendizagem da Matemática 
nos Anos Finais do Ensino Fundamental. 
Observe que falamos "de ensino e de aprendizagem” separadamente, pois entendemos que são 
processos que se articulam, mas são distintos: processo de ensino + processo de aprendizagem. 
Na escola, buscamos sempre que esses dois processos andem juntos, completem-se, e esse pressuposto 
guia a organização desta coleção. Lembramos você, professor, que a escolha do livro didático deve ser 
feita sempre a partir do conhecimento de sua realidade escolar. E, já que escolheu trabalhar com esta 
coleção, queremos ajudá-lo a atingir seus objetivos didáticos, valorizando sua autonomia didática na 
organização e gestão de suas aulas.
Esta coleção foi reformulada para atender os requisitos da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), 
abrangendo o desenvolvimento das habilidades tanto nos conteúdos quanto nas atividades e seções 
complementares. Assim, neste Manual, propomos orientações e ferramentas que visam ajudar no trabalho 
diário. Tratamos do uso de calculadoras e softwares, mas também do uso de materiais concretos, sempre 
no intuito de enriquecer a gama de materiais didáticos disponíveis. Procuramos também articular os 
 objetivos gerais da aprendizagem com a ideia de avaliação e os possíveis instrumentos a serem utilizados. 
Além disso, apresentamos sugestões de leituras que permitirão a você, professor, aprofundar-se em 
suas reflexões.
O professor é o grande mediador na relação entre o aluno e a Matemática escolar: ele planeja, organiza, 
elabora as situações de aprendizagem e faz a gestão do trabalho, sempre buscando que seus alunos 
adquiram conhecimentos para serem aplicados em situações presentes e futuras, tanto no âmbito escolar 
como em sua vida fora dos muros da escola. Não podemos esquecer que o objetivo da aprendizagem 
escolar é a formação humana integral e que, por esse motivo, é necessário levar em consideração a vida 
pessoal e a futura vida profissional dos alunos. Nesse sentido, Ferreira (2006)1 defende que a escola deve 
promover o desenvolvimento humano, conectando todos os conhecimentos, sejam de ordem cotidiana, 
sejam de ordem científica. 
Para construir este Manual do Professor, baseamo-nos nos princípios da Educação Matemática, área 
que estuda os processos de ensino e de aprendizagem da Matemática, ou seja, partimos da compreensão 
de que a Matemática feita pelos matemáticos é diferente da matemática a ser trabalhada na escola. 
Segundo Fiorentini e Lorenzato (2012)2, os estudos feitos no campo da Educação Matemática têm 
como perspectiva “o desenvolvimento de conhecimentos e práticas pedagógicas que contribuam para 
uma formação mais integral, humana e crítica do aluno e do professor” (p. 4). Nesse sentido, esta coleção 
visa tal formação e considera que não se pode confundir a aplicação de algoritmos com o fazer mate-
mático, pois a Matemática vai muito além. Assim, apresentamos a Matemática escolar de forma que o 
aluno possa desenvolver as habilidades preconizadas pela BNCC e, por meio delas, aprender a pensar 
matematicamente, resolver problemas diversos e concluir essa etapa da Educação Básica preparado 
para continuar seus estudos. 
1 FERREIRA, L. R. Matemática escolar: conceitos do cotidiano na vida profissional. ZETETIKÉ, v. 14, n. 26, jul./dez. FE/Unicamp, 2006. 
2 FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em Educação Matemática: percursos teóricos e metodológicos. 3. ed. Campinas: Editores Associados, 2009.
V
OBJETIVOS GERAIS DA COLEÇÃO
Ao escolher e organizar os conteúdos a serem abordados ao longo dos quatro anos desse ciclo es-
colar, tivemos a preocupação de proporcionar aos alunos as melhores condições para a construção dos 
conhecimentos matemáticos esperados para essa faixa de escolaridade. Pautamo-nos nos objetivos, nas 
competênciasgerais e específicas e nas habilidades estabelecidos pela Base Nacional Comum Curricular. 
Destacamos que, de acordo com a BNCC: 
É imprescindível destacar que as competências gerais da BNCC, apresentadas a seguir, 
inter-relacionam-se e desdobram-se no tratamento didático proposto para as três 
etapas da Educação Básica (Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio), 
 articulando-se na construção de conhecimentos, no desenvolvimento de habilidades e 
na formação de atitudes e valores.
Competências gerais da Base Nacional Comum Curricular
 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, 
social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e 
colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.
 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, 
incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para 
investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar 
soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
 3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, 
e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.
 4. Utilizar diferentes linguagens ‒ verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), 
corporal, visual, sonora e digital ‒, bem como conhecimentos das linguagens artística, 
matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias 
e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento 
mútuo.
 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de 
forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo 
as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir 
conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal 
e coletiva.
 6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos 
e experiên cias que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho 
e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com 
liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.
 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar 
e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os 
direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito 
local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, 
dos outros e do planeta.
 8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se 
na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica 
e capacidade para lidar com elas.
 9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se 
respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e 
valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, 
culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.
 10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência 
e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, 
inclusivos, sustentáveis e solidários.
VI
Além das competências gerais para todas as áreas, a BNCC estabelece as competências específicas para 
cada área do conhecimento. As de Matemática são:
 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e 
preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma 
ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para 
alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.
 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir ar-
gumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e 
atuar no mundo.
 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da 
Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras 
áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e 
aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na 
busca de soluções.
 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes 
nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comu-
nicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, 
produzindo argumentos convincentes.
 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, 
para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, 
validando estratégias e resultados.
 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, 
não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas 
e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, 
esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever 
algoritmos, como fluxogramas, e dados).
 7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, 
com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a 
diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer 
natureza.
 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no 
planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na 
busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não 
na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas 
e aprendendo com eles.
Considerando as competências gerais e específicas da Matemática, as habilidades de Matemática 
para os Anos Finais do Ensino Fundamental, esperamos, com esta coleção e a parceria com o professor, 
promover a aprendizagem eficiente da Matemática e contribuir para a formação integral do aluno.
ORGANIZAÇÃO DA COLEÇÃO
Esta coleção é organizada em quatro volumes. Cada volume está dividido em quatro unidades compostas 
de dois ou mais capítulos. Cada unidade apresenta uma seção de abertura e uma seção de fechamento.
A abertura de unidade apresenta a lista dos capítulos que a integram e propõe questões para instigar 
a curiosidade dos alunos para os assuntos que serão estudados na unidade. As questões não precisam ser 
respondidas em um primeiro momento, mas sugerimos retomá-las no final do estudo da unidade para que 
os alunos reflitam sobre o que aprenderam.
A abertura de capítulo propõe a observação e a reflexão de uma situação relacionada ao conteúdo do 
capítulo por meio de uma imagem e das questões do “É hora de observar e refletir”. Em seguida, o capítulo 
apresenta a seção “Trocando ideias”. Essa seção foi criada para incentivar uma conversa entre os alunos 
sobre assuntos do capítulo, mobilizando seus conhecimentos. Sugerimos explorá-la oralmente; se você 
achar necessário, solicite que respondam às questões por escrito no caderno. A seção busca favorecer 
principalmente o desenvolvimento das competências gerais 8, 9 e 10 da BNCC.
VII
Esse primeiro contato com o conteúdo a ser trabalhado permite ao professor inserir atividades diversas 
a cada capítulo: pesquisas, jogos, entre outras opções. É também uma oportunidade para desencadear 
um debate com os alunos, visando identificar os conhecimentos prévios para que estes sejam o ponto 
de partida para a aquisição de novos saberes. Um exemplo é a abordagem das operações com números 
naturais: os alunos já possuem algum conhecimentoadquirido nos anos anteriores; retomá-los permite 
ao professor desenvolver um trabalho mais significativo para o aluno.
Após a abertura de capítulo e a seção “Trocando ideias”, apresentamos os conteúdos, que são or-
ganizados de forma que o aluno aprenda paulatinamente. Nos tópicos, são apresentados definições, 
propriedades, exemplos e situações que permitem maior detalhamento da exposição do conteúdo; 
em seguida, há atividades a serem resolvidas pelos alunos. Com diferentes níveis de dificuldade, 
as atividades estimulam a discussão, a reflexão e a resolução em grupo e o trabalho com o cálculo 
mental e promovem o uso da calculadora e de outras tecnologias, como planilha eletrônica e softwares 
de construção de gráficos e de geometria dinâmica. O uso de tecnologias é uma prerrogativa do 
 professor e uma realidade no mundo de hoje. É importante que os alunos utilizem essas ferramentas 
para descobrir estratégias de resolução das atividades propostas distintas daquelas apresentadas na 
coleção. Valoriza-se, assim, também o desenvolvimento da criatividade e da autonomia, entre outras 
habilidades e competências.
Ao longo do capítulo, também são apresentadas as seções “Lendo e aprendendo”, com o objetivo de 
enriquecer a aprendizagem, e “Um pouco de história”, que aborda a história da Matemática para contex-
tualizar alguns assuntos.
Os capítulos são finalizados com a seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos”, que tem como 
objetivo retomar os conceitos e os procedimentos vistos no capítulo, incentivando a revisão, a autoavaliação 
e a criatividade por meio da resolução e da elaboração de problemas. Essa seção é composta de atividades 
de diversos níveis de dificuldade, incluindo desafios e questões de exames e concursos, cuidadosamente 
escolhidas, para que os alunos as resolvam com base nos conhecimentos adquiridos até aquele momento. 
A seção é dividida em três grupos distintos de atividades: "Revisitando", "Aplicando" e "Elaborando". No 
“Revisitando”, os alunos têm a oportunidade de verificar os conhecimentos consolidados. Então, se eles 
tiverem alguma dúvida em relação aos conteúdos, sugira que retomem a explicação e as atividades apre-
sentadas anteriormente no capítulo. Incentive-os a buscar a troca de conhecimento em grupo e, caso a 
dúvida persista, ajude-os a encontrar um bom caminho para a compreensão. O “Aplicando” traz desafios, 
questões de concursos e exames, e o “Elaborando” estimula a criatividade e a elaboração de questões 
pelos alunos, favorecendo principalmente o desenvolvimento das competências gerais 2, 4 e 10 e da 
competência específica de Matemática 5 da BNCC.
Alguns capítulos apresentam a seção “Resolvendo em equipe”, que destaca as etapas selecionadas 
para encaminhar a resolução de problemas, as quais devem ser analisadas e discutidas com os alunos. 
Além de favorecer, sobretudo, o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 9 e 10 e das compe-
tências específicas de Matemática 2, 3 e 5, a seção permite a transferência de estratégias de resolução 
para outros contextos e situações, servindo de base para a resolução das atividades do item “Aplicando” 
da seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos”, por exemplo. 
O trabalho em equipe é muito importante sob diversos pontos de vista: permite ao aluno aprender 
com os colegas, explicitar conhecimentos e dúvidas, facilitando a ação do professor, e validar o raciocínio 
construído por meio do diálogo com os demais colegas. Além disso, saber trabalhar em equipe é uma compe-
tência exigida nas mais diversas profissões de diferentes áreas. Pensando nisso, ao final de cada unidade, 
encontra-se a seção “É hora de extrapolar”, que propõe um trabalho colaborativo explorando a pesquisa, 
a comunicação e a elaboração de um produto final (podcast, cartilha, exposição de painéis, pesquisa e 
relatório), que será compartilhado com a turma ou com a comunidade escolar.
VIIIVIII
Com a finalidade de organizar o trabalho, a seção é dividida em etapas que promovem:
• o entendimento do contexto e dos objetivos do trabalho a ser realizado;
• a pesquisa individual ou coletiva;
• a elaboração, em grupo, do produto proposto;
• a apresentação e exposição do produto;
• a reflexão sobre a atuação do grupo e síntese do trabalho.
As etapas de pesquisa e elaboração do produto podem ser feitas extraclasse. Será necessário que o 
professor verifique o perfil dos alunos e oriente-os com relação ao prazo, aos materiais e a outros aspec-
tos necessários à realização do trabalho. A seção também favorece o desenvolvimento das competências 
gerais 2, 4, 7, 9 e 10 e das competências específicas de Matemática 2, 4, 5, 6, 7 e 8, procurando mobilizar 
conteúdos estudados nos capítulos que integram a unidade. Portanto, é recomendável trabalhar a seção 
depois de estudar os capítulos, mas, se o professor preferir trabalhar as etapas da seção à medida que os 
capítulos forem estudados, deverá atentar para os conhecimentos prévios necessários.
Além do Material do Professor impresso, a coleção oferece o Material do Professor – Digital, que 
apresenta uma proposta para implementar as competências gerais, as competências específicas e as 
habilidades indicadas na BNCC para os Anos Finais do Ensino Fundamental. Entre outros recursos, esse 
material oferece ao professor um plano de desenvolvimento voltado à prática pedagógica da sala de 
aula, abordando atividades recorrentes, subsídios para a gestão da sala de aula, habilidades essenciais, 
indicações de outras fontes de pesquisa, como livros, sites e artigos científicos, para aprimorar a atuação 
do professor, entre outras sugestões. Apresenta, ainda, um projeto integrador para ser desenvolvido 
em quatro etapas, uma para cada bimestre, sequências didáticas com planos aula a aula, propostas de 
acompanhamento de aprendizagem bimestrais com gabarito comentado, grade de correção e fichas para 
acompanhamento de aprendizagem dos alunos. Além disso, há o material digital audiovisual, que favorece 
a compreensão do conteúdo.
 Ao longo das orientações específicas para o desenvolvimento das unidades, indicaremos a possibilidade 
de uso dos recursos do Material do Professor – Digital.
MATEMÁTICA ESCOLAR 
Usualmente lemos ou escutamos frases como “aprender Matemática é importante para o desenvolvi-
mento do raciocínio”, e outras com os mesmos pressupostos. Realmente, essa é uma verdade que, para 
ser compreendida, precisa ser bem analisada. Em sua pesquisa, Maciel (2009)3 comprova a importância 
da Matemática na formação do cidadão. A autora afirma: 
Desse estudo concluiu-se que o ensino da Matemática é um dos elementos fundamentais 
para a formação social e intelectual do aluno, fazendo deste um ser humano dotado 
de conhecimento, possuidor da capacidade de evoluir culturalmente, se tratando de 
um cidadão apto e preparado para lidar com as mudanças da sociedade. Assim sendo 
imprescindível o desenvolvimento da autonomia, da criticidade, da criatividade e da 
capacidade de argumentação, assim se comprovou a importância do ensino da Matemática 
como componente curricular. (p. 1)
A Matemática escolar difere da Matemática acadêmica pelo grau de profundidade da abordagem: 
a Matemática feita pelos matemáticos tem características que não são adequadas às atividades para 
descoberta e aprendizagem. O conhecimento matemático passa, assim, por transformações que resul-
tam em um conjunto de saberes escolares, acessíveis aos alunos. É o que Chevallard (1991)4 chama de 
transposição didática: toda transformação sofrida por um saber para que este se adapte a uma instituição 
(nesse caso, a escola).
3 MACIEL, M. V. A importância do ensino da Matemática na formação do cidadão. Revista da Graduação. EdiPUCRS, 2009. Disponível em: 
<http://revistaseletronicas.pucrs.br/ojs/index.php/graduacao/article/view/6058>. Acesso em: 21 ago. 2018.
4 CHEVALLARD, Y.; JOHSUA, M-A. La transposition didactique. Grenoble: La Pensée Sauvage-Éditions, 1991.
http://revistaseletronicas.pucrs.br/ojs/index.php/graduacao/article/view/6058IXIX
6o ano
Unidades Capítulos Habilidades
I
1 Números naturais e sistemas de numeração EF06MA01 e EF06MA02
2 Operações com números naturais EF06MA03 e EF06MA12
3 Figuras geométricas espaciais EF06MA17 e EF06MA18
II
4 Igualdades e desigualdades EF06MA14
5 Múltiplos e divisores EF06MA04, EF06MA05 e EF06MA06
6 Frações EF06MA07, EF06MA09, EF06MA10 e EF06MA15
7 Números decimais EF06MA01, EF06MA08 e EF06MA11
III
8 Porcentagem EF06MA13
9 Figuras geométricas planas EF06MA18, EF06MA19, EF06MA20, EF06MA22, EF06MA25, 
EF06MA26 e EF06MA27
10 Ampliação e redução de figuras EF06MA16, EF06MA21 e EF06MA23
IV
11 Grandezas e medidas EF06MA24, EF06MA28 e EF06MA29
12 Probabilidade e estatística EF06MA30, EF06MA31, EF06MA32, EF06MA33 e EF06MA34
Tais transformações são demandadas e trabalhadas pelos que concebem currículos e propostas curriculares, pelas 
instituições de ensino, pelos autores de livros didáticos, pela sociedade, pelos pais etc. Os resultados são apresentados 
nas propostas curriculares, nos livros didáticos, e são trabalhados pelos professores em sala de aula, completando o 
ciclo de transformações: de saber científico a saber ensinado. 
Os conteúdos abordados nesta coleção encaixam-se nessa perspectiva: fazem parte do conjunto de conteúdos 
da Matemática escolar, da Matemática a ser aprendida pelos alunos durante sua escolaridade, sem perder de vista o 
saber de referência, ou seja, a Matemática em sua dimensão de saber científico.
APRESENTAÇÃO DA PROPOSTA DIDÁTICA E DISTRIBUIÇÃO DOS CONTEÚDOS
A Matemática trabalhada no Ensino Fundamental não tem um fim em si mesma; além de aprofundar e sistema-
tizar aprendizagens anteriores, abre as portas para novas aprendizagens, considerando as diversas áreas do saber, 
contribuindo para o desenvolvimento intelectual do aluno. O conhecimento matemático é, assim, o objeto de estudo 
nas aulas de Matemática, para que possa ser a ferramenta de trabalho tanto na resolução de problemas matemáticos 
como na aquisição de novos conhecimentos oriundos tanto da ciência como do cotidiano. 
Nesta coleção, a seleção dos conteúdos foi feita nessa perspectiva, e as abordagens propostas pressupõem 
o desenvolvimento de atitudes adequadas à formação do aluno. Escolhemos abordar conceitos e procedimentos 
(seleção e abordagem) tanto para aprofundar e retomar os conhecimentos prévios dos alunos quanto para iniciar a 
aquisição de novos conhecimentos a serem consolidados em anos posteriores de escolaridade. 
O professor pode acrescentar atividades, questionamentos, de modo a atender às especificidades de seus alunos: 
o livro didático nunca pode ser uma amarra para o professor, mas deve ser um facilitador de seu trabalho. O Manual 
do Professor traz sugestões que o professor poderá ou não utilizar, sempre a partir do conhecimento de seus alunos 
e do currículo da escola. A busca é e será sempre por um aprendizado não mecanizado, que permite a construção de 
significados e, portanto, de articulações entre conteúdos, áreas da Matemática e de outras áreas do conhecimento.
A distribuição do conteúdo desta coleção foi pensada com o intuito de favorecer o desenvolvimento das compe-
tências e habilidades da BNCC, tomando como princípio a importância da formação cidadã e integral dos estudantes. 
Para isso, sugere-se que cada unidade, composta de dois ou mais capítulos, seja trabalhada ao longo de um bimestre. 
No entanto, o professor, sempre que achar necessário, deverá fazer adaptações para adequar a estrutura proposta 
na coleção à realidade de suas turmas.
 Os quadros a seguir apresentam uma visão geral sobre como as habilidades foram desenvolvidas em cada unidade, 
capítulo a capítulo, nos quatro volumes referentes aos Anos Finais do Ensino Fundamental.
X
8o ano
Unidades Capítulos Habilidades
I
1 Conjuntos numéricos EF08MA04, EF08MA05 e EF08MA11
2 Potenciação e radiciação EF08MA01 e EF08MA02
3 Sistemas de equações do 1o grau EF08MA06, EF08MA07 e EF08MA08
II
4 Ângulos e transformações geométricas EF08MA15, EF08MA17 e EF08MA18
5 Polígonos EF08MA15 e EF08MA16
6 Probabilidade EF08MA03 e EF08MA22
III
7 Triângulos e quadriláteros EF08MA10 e EF08MA14
8 Área, volume e capacidade EF08MA06, EF08MA19, EF08MA20 e EF08MA21
9 Equações do 2o grau EF08MA06 e EF08MA09
IV
10 Grandezas e proporcionalidade EF08MA12 e EF08MA13
11 Medidas de tendência central e pesquisa estatística EF08MA25, EF08MA26 e EF08MA27
12 Gráficos estatísticos EF08MA23, EF08MA24 e EF08MA27 
7o ano
Unidades Capítulos Habilidades
I
1 Números inteiros EF07MA03 e EF07MA04
2 Múltiplos e divisores EF07MA01
3 Retas e ângulos EF07MA23
II
4 Frações EF07MA05, EF07MA06, EF07MA07, EF07MA08 e EF07MA09
5 Números racionais EF07MA10, EF07MA11 e EF07MA12
6 Linguagem algébrica e regularidades EF07MA13, EF07MA14, EF07MA15, EF07MA16 e EF07MA18
III
7 Porcentagem e juro simples EF07MA02
8 Proporcionalidade EF07MA09, EF07MA13 e EF07MA17 
9 Transformações geométricas EF07MA19, EF07MA20 e EF07MA21
IV
10 Grandezas e medidas EF07MA29, EF07MA30, EF07MA31 e EF07MA32
11 Figuras geométricas planas EF07MA22, EF07MA24, EF07MA25, EF07MA26, EF07MA27, 
EF07MA28 e EF07MA33
12 Probabilidade e estatística EF07MA34, EF07MA35, EF07MA36 e EF07MA37
XI
9o ano
Unidades Capítulos Habilidades
I
1 Potenciação e radiciação com números reais EF09MA01, EF09MA02, EF09MA03, EF09MA04 e EF09MA18
2 Matemática financeira EF09MA05
3 Segmentos proporcionais e semelhança EF09MA10, EF09MA12 e EF09MA14
II
4 Fatoração e equações do 2o grau EF09MA09
5 Função afim EF09MA06, EF09MA07 e EF09MA08
6 Função quadrática EF09MA06
III
7 Relações métricas no triângulo retângulo EF09MA13, EF09MA14 e EF09MA16
8 Circunferência, arcos e ângulos EF09MA11
9 Polígonos regulares EF09MA15 
IV
10 Vistas ortogonais e volumes EF09MA17 e EF09MA19
11 Construção de gráficos estatísticos EF09MA21 e EF09MA22
12 Probabilidade e estatística EF09MA20 e EF09MA23
QUADROS DE OBJETOS DE CONHECIMENTO E HABILIDADES DO 8o ANO
Na sequência, focamos o quadro do 8o ano, estabelecendo relações entre alguns objetos de 
conhecimento trabalhados nesse ano com objetos de anos anteriores ou posteriores, indicados após cada 
quadro de cada unidade, por meio de números. As competências serão indicadas ao longo das orientações 
específicas para o desenvolvimento das unidades, assim como as sugestões de trabalho interdisciplinar, 
de leitura, de vídeo, de atividade extra etc.
Unidade I (1o bimestre)
Capítulos Unidades temáticas 
da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimento é favorecido
1 Conjuntos numéricos Números Porcentagens. (1) (EF08MA04) Resolver e elaborar problemas, 
envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo 
o uso de tecnologias digitais.
Dízimas periódicas: fração 
geratriz. (2)
(EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimen-
tos para a obtenção de uma fração geratriz para 
uma dízima periódica.
Álgebra Sequências recursivas e não recur-
sivas. (3)
(EF08MA11) Identificar a regularidade de uma 
sequência numérica recursiva e construir um al-
goritmo por meio de um fluxograma que permita 
indicar os números seguintes.
XII
Unidade I (1o bimestre)
Capítulos Unidades temáticas 
da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimento é favorecido
2 Potenciação e radiciação Números Notação científica. (4) (EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de 
expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na 
representação de números em notação científica.
Potenciação e radiciação. (5) (EF08MA02) Resolver e elaborar problemas usan-
do a relação entre potenciação e radiciação, para 
representar uma raiz como potência de expoente 
fracionário.
3 Sistemas de equações do 
1o grau
Álgebra Valor numérico de expressões algé-
bricas. (6)
(EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que 
envolvam cálculo do valor numérico de expressões 
algébricas, utilizando as propriedades das operações.
Associação de uma equação linear 
de 1o grau a uma reta no planocar-
tesiano. (7)
(EF08MA07) Associar uma equação linear de 
1o grau com duas incógnitas a uma reta no plano 
cartesiano.
Sistema de equações polinomiais de 
1o grau: resolução algébrica e repre-
sentação no plano cartesiano. (8)
(EF08MA08) Resolver e elaborar problemas re-
lacionados ao seu contexto próximo, que possam 
ser representados por sistemas de equações de 
1o grau com duas incógnitas e interpretá-los, utili-
zando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.
(1)
• Cálculo de porcentagens e de acréscimos e decréscimos simples – 7o ano.
• Porcentagens: problemas que envolvem cálculo de percentuais sucessivos – 9o ano.
(2)
• Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações – 7o ano.
• Números reais: notação científica e problemas – 9o ano.
(3)
• Linguagem algébrica: variável e incógnita – 7o ano.
(4) e (5)
• Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações – 7o ano.
• Potências com expoentes negativos e fracionários – 9o ano.
• Números reais: notação científica e problemas – 9o ano.
(6), (7) e (8)
• Linguagem algébrica: variável e incógnita – 7o ano.
• Equivalência de expressões algébricas: identificação da regularidade de uma sequência numérica – 7o ano.
• Equações polinomiais do 1o grau – 7o ano.
• Funções: representações numérica, algébrica e gráfica – 9o ano.
• Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis – 9o ano.
Unidade II (2o bimestre)
Capítulos Unidades temáticas 
da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimento é favorecido
4 Ângulos e transforma-
ções geométricas
Geometria Construções geométricas: ângulos 
de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos 
regulares. (9)
(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos 
de desenho ou softwares de geometria dinâmica, 
mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 
30° e polígonos regulares.
Mediatriz e bissetriz como lugares 
geométricos: construção e proble-
mas. (10)
(EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e 
bissetriz como lugares geométricos na resolução 
de problemas.
Transformações geométricas: si-
metrias de translação, reflexão e 
rotação. (11)
(EF08MA18) Reconhecer e construir figuras 
obtidas por composições de transformações 
geométricas (translação, reflexão e rotação), 
com o uso de instrumentos de desenho ou de 
softwares de geometria dinâmica.
XIII
Unidade II (2o bimestre)
Capítulos Unidades temáticas 
da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimento é favorecido
5 Polígonos Geometria Construções geométricas: ângulos 
de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos 
regulares. (12)
(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos 
de desenho ou softwares de geometria dinâmica, 
mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 
30° e polígonos regulares.
(EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de 
um fluxograma, um algoritmo para a construção 
de um hexágono regular de qualquer área, a 
partir da medida do ângulo central e da utilização 
de esquadros e compasso.
6 Probabilidade Números O princípio multiplicativo da conta-
gem. (13)
(EF08MA03) Resolver e elaborar problemas de 
contagem cuja resolução envolva a aplicação do 
princípio multiplicativo.
Probabilidade e 
estatística
Princípio multiplicativo da contagem.
Soma das probabilidades de todos 
os elementos de um espaço amos-
tral. (14)
(EF08MA22) Calcular a probabilidade de eventos, 
com base na construção do espaço amostral, utili-
zando o princípio multiplicativo, e reconhecer que 
a soma das probabilidades de todos os elementos 
do espaço amostral é igual a 1.
(9), (10) e (12)
• Ângulos: noção, usos e medida – 6o ano.
• Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero – 7o ano.
• Polígonos regulares – 8o ano.
(11)
• Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção 
de simétricos em relação aos eixos e à origem – 7o ano.
• Simetrias de translação, rotação e reflexão – 7o ano.
(13) e (14)
• Problemas de contagem do tipo: “Se cada objeto de uma coleção A for combinado com todos os elementos de uma coleção B, quantos 
agrupamentos desse tipo podem ser formados?” – 5o ano.
• Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes – 9o ano.
Unidade III (3o bimestre)
Capítulos Unidades temáticas 
da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimento é favorecido
7 Triângulos e 
quadriláteros
Álgebra Sequências recursivas e não recur-
sivas. (15)
(EF08MA10) Identificar a regularidade de uma 
sequência numérica ou figural não recursiva e 
construir um algoritmo por meio de um fluxogra-
ma que permita indicar os números ou as figuras 
seguintes.
Geometria Congruência de triângulos e de-
monstrações de propriedades de 
quadriláteros. (16)
(EF08MA14) Demonstrar propriedades de qua-
driláteros por meio da identificação da congruên-
cia de triângulos.
8 Área, volume e 
capacidade
Álgebra Valor numérico de expressões algé-
bricas. (17)
(EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que 
envolvam cálculo do valor numérico de expres-
sões algébricas, utilizando as propriedades das 
operações.
Grandezas e medidas Área de figuras planas.
Área do círculo e comprimento de sua 
circunferência. (18)
(EF08MA19) Resolver e elaborar problemas 
que envolvam medidas de área de figuras geo-
métricas, utilizando expressões de cálculo de 
área (quadriláteros, triângulos e círculos), em 
situações como determinar medida de terrenos.
XIV
Unidade III (3o bimestre)
Capítulos Unidades temáticas 
da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimento é favorecido
8 Área, volume e 
capacidade
Grandezas e medidas Volume de bloco retangular.
Medidas de capacidade. (19)
(EF08MA20) Reconhecer a relação entre um litro 
e um decímetro cúbico e a relação entre litro e 
metro cúbico, para resolver problemas de cálculo 
de capacidade de recipientes.
(EF08MA21) Resolver e elaborar problemas que 
envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo 
formato é o de um bloco retangular.
9 Equações do 2o grau Álgebra Valor numérico de expressões algé-
bricas. (20)
(EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que 
envolvam cálculo do valor numérico de expres-
sões algébricas, utilizando as propriedades das 
operações.
Equação polinomial de 2o grau do tipo 
ax 2 = b. (21)
(EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem 
uso de tecnologias, problemas que possam ser 
representados por equações polinomiais de 
2o grau do tipo ax 2 = b.
(15) e (17)
• Linguagem algébrica: variável e incógnita – 7o ano.
(16)
• Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de lados e ângulos e ao paralelismo e perpendicularismo dos 
lados – 6o ano.
• Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos – 7o ano.
• Semelhança de triângulos – 9o ano.
(18)
• Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser decompostas por outras, cujas áreas podem ser 
facilmente determinadas como triângulos e quadriláteros – 7o ano.
• Medida do comprimento da circunferência – 7o ano.
• Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo – 9o ano.
(19)
• Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de medida convencionais mais usuais – 7o ano.
• Volume de prismas e cilindros – 8o ano.
(20) e (21)
• Linguagem algébrica: variável e incógnita – 7o ano.
• Equações polinomiais do 1o grau – 7o ano.
• Funções: representações numérica, algébrica e gráfica – 9o ano.
• Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis – 9o ano.
Unidade IV (4o bimestre)
Capítulos Unidades temáticas 
da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimento é favorecido
10 Grandezas e 
proporcionalidadeÁlgebra Variação de grandezas: diretamente 
proporcionais, inversamente propor-
cionais ou não proporcionais. (22)
(EF08MA12) Identificar a natureza da variação de 
duas grandezas, diretamente, inversamente pro-
porcionais ou não proporcionais, expressando a 
relação existente por meio de sentença algébrica 
e representá-la no plano cartesiano.
(EF08MA13) Resolver e elaborar problemas que 
envolvam grandezas diretamente ou inversa-
mente proporcionais, por meio de estratégias 
variadas.
XV
Unidade IV (4o bimestre)
Capítulos Unidades temáticas 
da BNCC 
Objetos de conhecimento da 
BNCC correlacionados
Habilidades da BNCC cujo 
desenvolvimento é favorecido
11 Medidas de 
tendência central e 
pesquisa estatística
Probabilidade e 
estatística
Medidas de tendência central e de 
dispersão. (23)
(EF08MA25) Obter os valores de medidas de 
tendência central de uma pesquisa estatística 
(média, moda e mediana) com a compreensão de 
seus significados e relacioná-los com a dispersão 
de dados, indicada pela amplitude.
Pesquisas censitária ou amostral.
Planejamento e execução de pesqui-
sa amostra. (24)
(EF08MA26) Selecionar razões, de diferentes 
naturezas (física, ética ou econômica), que 
justificam a realização de pesquisas amostrais 
e não censitárias, e reconhecer que a seleção 
da amostra pode ser feita de diferentes ma-
neiras (amostra casual simples, sistemática e 
estratificada).
(EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amos-
tral, selecionando uma técnica de amostragem 
adequada, e escrever relatório que contenha 
os gráficos apropriados para representar os 
conjuntos de dados, destacando aspectos como 
as medidas de tendência central, a amplitude e 
as conclusões.
12 Gráficos estatísticos Probabilidade e 
estatística
Gráficos de barras, colunas, linhas ou 
setores e seus elementos constituti-
vos e adequação para determinado 
conjunto de dados. (25)
(EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes 
tipos de gráficos para representar um conjunto 
de dados de uma pesquisa.
Organização dos dados de uma variá-
vel contínua em classes. (26)
(EF08MA24) Classificar as frequências de uma 
variável contínua de uma pesquisa em classes, 
de modo que resumam os dados de maneira 
adequada para a tomada de decisões.
Pesquisas censitária ou amostral.
Planejamento e execução de pesqui-
sa amostra. (27)
(EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amos-
tral, selecionando uma técnica de amostragem 
adequada, e escrever relatório que contenha 
os gráficos apropriados para representar os 
conjuntos de dados, destacando aspectos como 
as medidas de tendência central, a amplitude e 
as conclusões.
(22)
• Problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais – 7o ano.
• Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais – 9o ano.
(23)
• Estatística: média e amplitude de um conjunto de dados – 7o ano.
(24) e (27)
• Pesquisa amostral e pesquisa censitária. Planejamento de pesquisa, coleta e organização dos dados, construção de tabelas e gráficos e interpretação das informações 
– 7o ano.
• Planejamento e execução de pesquisa amostral e apresentação de relatório – 9o ano.
(25) e (26)
• Gráficos de setores: interpretação, pertinência e construção para representar conjunto de dados – 7o ano.
• Análise de gráficos divulgados pela mídia: elementos que podem induzir a erros de leitura ou de interpretação – 9o ano.
• Leitura, interpretação e representação de dados de pesquisa expressos em tabelas de dupla entrada, gráficos de colunas simples e agrupadas, gráficos de barras e de 
setores e gráficos pictóricos – 9o ano.
XVI
UNIDADES TEMÁTICAS DE MATEMÁTICA 
No que se refere aos conteúdos relacionados à unidade temática Números, espera-se que o aluno 
perceba seus diferentes usos e significados ao longo de sua escolaridade, ampliando o conhecimento 
construído em anos anteriores. As operações e suas propriedades são trabalhadas de forma gradativa, 
a cada conjunto numérico abordado: naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. 
A apresentação dos conteúdos se inicia com a abordagem dos sistemas de numeração, para depois 
apresentar o sistema de numeração decimal e o conjunto dos números naturais. A partir daí, apresentam-se 
os demais conteúdos, sistematicamente e sem que cada tópico ou capítulo esgote o conteúdo. O objetivo 
principal é a atribuição de significados: o cálculo é importante, mas a compreensão dos resultados obtidos 
na resolução de um problema, ou mesmo ao final de um procedimento, deve ser a meta principal do processo 
de ensino e de aprendizagem.
Nossa opção pela atribuição de significados se reflete não apenas ao longo dos capítulos, mas também 
nas orientações didáticas presentes na parte específica deste Manual. 
Ao longo dos Anos Finais do Ensino Fundamental, a Álgebra privilegia o desenvolvimento dos pro-
cessos de abstração e de generalização. Nesse aspecto, destaca-se a importância de que o ensino dos 
conteúdos dessa unidade temática não se limite à repetição de algoritmos. É necessário que o aluno 
desenvolva ferramentas para resolver problemas. Por isso, os exercícios de fixação são importantes, 
mas não devem se constituir em abordagem principal. 
O desenvolvimento do pensamento algébrico iniciado nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental deve 
ser retomado e aprofundado nos Anos Finais.
De acordo com a BNCC:
Nessa fase, os alunos devem compreender os diferentes significados das variáveis numé-
ricas em uma expressão, estabelecer uma generalização de uma propriedade, investigar a 
regularidade de uma sequência numérica, indicar um valor desconhecido em uma sentença 
algébrica e estabelecer a variação entre duas grandezas. É necessário, portanto, que os alu-
nos estabeleçam conexões entre variável e função e entre incógnita e equação. As técnicas 
de resolução de equações e inequações, inclusive no plano cartesiano, devem ser desenvol-
vidas como uma maneira de representar e resolver determinados tipos de problema, e não 
como objetos de estudo em si mesmos.
Outro aspecto a ser considerado é que a aprendizagem de Álgebra, como também aquelas 
relacionadas a outros campos da Matemática (Números, Geometria e Probabilidade e esta-
tística), podem contribuir para o desenvolvimento do pensamento computacional dos alu-
nos, tendo em vista que eles precisam ser capazes de traduzir uma situação dada em outras 
linguagens, como transformar situações-problema, apresentadas em língua materna, em 
fórmulas, tabelas e gráficos e vice-versa.
A percepção de padrões contribui bastante para a compreensão dos procedimentos, por exemplo, para 
a operação entre monômios, entre polinômios, para o desenvolvimento de expressões algébricas, para o 
trabalho com as funções: a introdução das letras como variável, como incógnita ou como símbolo pode ser 
trabalhada a partir da observação de padrões, antes que se apresentem os algoritmos. 
A utilização de calculadoras, planilhas eletrônicas e softwares para o ensino da Matemática também 
favorece a construção de significados; a construção de gráficos, por exemplo, pode ser extremamente 
favorecida pelo uso de ambiente computacional.
O papel da Geometria é fundamental na construção do conhecimento matemático pelo aluno. 
 O conhecimento nessa área é trabalhado desde os primeiros anos de escolaridade e se aprofunda nos 
Anos Finais do Ensino Fundamental, em uma articulação desejável entre a Geometria plana e a Geometria 
XVII
espacial. A utilização de softwares livres de geometria dinâmica (iGeom e GeoGebra, por exemplo) e de 
materiais concretos facilita a compreensão por meio da visualização e da manipulação das figuras geomé-
tricas, permitindo avançar no estudo do espaço, das formas, das grandezas relacionadas e suas medidas. 
As construções com régua e compasso ampliam e aprofundam as relações construídas pelos alunos. 
Nesse contexto, insere-se a abordagem das transformações geométricas, do estudo das vistas e da 
percepção espacial, dos deslocamentosno plano e no sistema cartesiano. A resolução de problemas é 
um cenário potencial para essa abordagem. Os primeiros passos na argumentação e na demonstração 
são dados também nesse cenário da Geometria. No entanto, deve-se evitar nessa fase de escolaridade o 
excesso de formalização. Isso porque a construção do pensamento geométrico é um processo não linear, 
que está em constante desenvolvimento ao longo da vida escolar do aluno.
O campo designado por Probabilidade e estatística é bastante propício ao desenvolvimento de 
atividades lúdicas e de atividades que trabalhem com a criticidade dos alunos: são trabalhadas no Ensino 
Fundamental algumas ferramentas que auxiliam na compreensão de notícias, de dados fornecidos pelas 
diversas mídias, de dados referentes à vida cotidiana pessoal do aluno e da família. Amplia-se, assim, um 
cenário de construção da cidadania. 
A coleta de dados e sua organização em tabelas e gráficos são uma etapa anunciada pelas pesquisas 
na área como fundamental para que os alunos aprendam a mobilizar correta e adequadamente seus 
conhecimentos para análise estatística desses dados coletados. O objetivo será sempre responder a um 
questionamento por meio da análise desses dados. 
Aprofunda-se também a discussão que permite distinguir o aleatório do determinístico. Nesse sentido, 
o estudo da probabilidade por meio de experimentações e simulações é bastante favorecido. O professor 
tem a possibilidade de utilizar tanto materiais concretos (jogos ou materiais construídos com os alunos, 
que possam ser utilizados para a realização de sorteios aleatórios e simulações) como softwares livres 
(por exemplo, o GeoGebra). O objetivo deve ser a construção de estimativas plausíveis para resultados 
de experimentos aleatórios. 
A leitura estatística e probabilística dos fatos que nos cercam fornece importantes elementos para 
decisões no campo pessoal, nutricional, de investimentos, de segurança, de confiabilidade em proces-
sos de qualidade, em processos de pesquisa de opinião, entre muitas outras. A percepção e a apreensão 
da variação dos dados coletados nos diversos contextos que se quer analisar são objetivos centrais no 
estudo dos conteúdos ligados ao tratamento da informação.
Os conteúdos relacionados à unidade temática Grandezas e medidas podem ser abordados em 
articulação com as demais unidades temáticas da Matemática escolar. Contextos ligados ao cotidiano 
do aluno fornecem elementos para que o professor possa trabalhar tais conteúdos em sala de aula, 
sem desvincular a Matemática da realidade do aluno. A compreensão das diversas grandezas e das 
medidas que se associam, destacando a discussão sobre as mudanças de unidades e os efeitos de tais 
mudanças na análise dos resultados observados na resolução das atividades propostas, é fundamental 
para a aprendizagem conceitual da Matemática. Nesse sentido, destaca-se o papel do trabalho com os 
instrumentos de medida. 
Sobre o estudo de Grandezas e medidas, a BNCC aponta:
As medidas quantificam grandezas do mundo físico e são fundamentais para a compreensão 
da realidade. Assim, a unidade temática Grandezas e medidas, ao propor o estudo das 
 medidas e das relações entre elas ‒ ou seja, das relações métricas ‒, favorece a integração 
da Matemática a outras áreas de conhecimento, como Ciências (densidade, grandezas e 
escalas do Sistema Solar, energia elétrica etc.) ou Geografia (coordenadas geográficas, 
densidade demográfica, escalas de mapas e guias etc.). Essa unidade temática contribui 
ainda para a consolidação e ampliação da noção de número, a aplicação de noções geométricas 
e a construção do pensamento algébrico.
XVIIIXVIII
O TRABALHO INTERDISCIPLINAR NA ESCOLA 
No vasto panorama do processo de ensino-aprendizagem, a aquisição de conhecimentos de Matemá-
tica não deve se restringir a esse componente curricular, mas abranger outros componentes curriculares. 
Então, o ensino só será completo se, no planejamento anual, houver previsão de propostas de trabalhos 
interdisciplinares na escola.
Partindo da atual organização do currículo escolar em diferentes componentes curriculares, como 
Língua Portuguesa, Matemática, Geografia, História, Ciências, Arte, entre outros, a interdisciplinaridade 
na Educação deve levar em conta uma abordagem que supere a fragmentação do saber escolar, muitas 
vezes trabalhado de modo excessivamente compartimentado e, por isso, distante da realidade dos alunos. 
O pesquisador Hilton Japiassu afirma que a interdisciplinaridade absorve os produtos dos diversos 
componentes curriculares, “tomando-lhes de empréstimo esquemas conceituais de análise a fim de 
fazê-los se integrar, depois de havê-los comparado e julgado” 5. Essa formulação, embora tenha em vista 
especificamente o saber acadêmico, cujo processo de disciplinarização responde a questões de natureza 
diversa da organização disciplinar do currículo escolar, não deixa de ser pertinente à aplicação de propostas 
interdisciplinares, que têm sido um desafio aos educadores. 
Quando o aluno se defronta com um problema, o conhecimento adquirido previamente acerca da 
situação apresentada não se limita à abordagem unicamente disciplinar, mas a ultrapassa. Maingain e 
Dufour 6 observam que o conhecimento é global, pautado em multidimensões, que não necessariamente 
se restringem às áreas disciplinares, entretanto, um campo disciplinar oferece as sistematizações 
 necessárias. A combinação das multidimensões e das sistematizações constrói representações de uma 
situação particular, sendo, portanto, compreendida como uma perspectiva interdisciplinar. Em outras 
palavras, pensar a interdisciplinaridade na Educação Básica significa estabelecer relações entre as dife-
rentes disciplinas para além da mera justaposição, mas aquém de uma fusão e, consequentemente, da 
desintegração do saber disciplinar.
Assim, nesta coleção, são favorecidas as situações de aprendizagem que, para além dos limites de 
cada componente curricular, incentivam a participação social, a cooperação, a tomada de decisões e a 
escolha de procedimentos. É uma proposta pensada para a ação do professor em sala de aula e para a 
ação do aluno tanto no ambiente escolar quanto no convívio social.
Nesse sentido, a postura do professor é fundamental para que o trabalho interdisciplinar seja desen-
volvido de forma consistente e significativa. Cabe aqui uma reflexão, de acordo com o professor Nilbo 
Ribeiro Nogueira 7:
Uma atitude interdisciplinar
É importante refletir sobre a postura do professor, pois é ela que norteará os trabalhos 
de caráter interdisciplinar. Acreditamos que não basta apenas ter vontade de praticar a 
interdisciplinaridade; deve haver uma vontade política que vai além do discurso e assume 
uma atitude interdisciplinar.
"... uma atitude diante de alternativas para conhecer mais e melhor, atitude de espera 
ante os atos consumados, atitude de reciprocidade que impele à troca, que impele ao 
diálogo ‒ ao diálogo com pares idênticos, com pares anônimos ou consigo mesmo ‒ 
atitude de humildade diante da limitação do próprio saber, atitude de perplexidade ante 
a possibilidade de desvendar novos saberes, atitude de desafio ‒ desafio perante o novo, 
desafio em redimensionar o velho ‒, atitude de envolvimento e comprometimento com as 
pessoas neles envolvidas, atitude, pois, de compromisso em construir sempre da melhor 
forma possível, atitude de responsabilidade, mas, sobretudo, de alegria, de revelação, de 
encontro, enfim, de vida.” (FAZENDA, 1998, p. 82)
5 JAPIASSU, Hilton. Interdisciplinaridade e patologia do saber. Rio de Janeiro: Imago, 1976. p. 32.
6 MAINGAIN, Alain; DUFOUR, Barbara. Abordagens didáticas da interdisciplinaridade. Lisboa: Instituto Piaget, 2002.
7 NOGUEIRA, Nilbo Ribeiro. Pedagogia dos projetos: uma jornada interdisciplinar rumo ao desenvolvimento das múltiplas inteligências. 7. ed. São Paulo: 
Érica, 2010.
XIXXIX
Tal atitude ainda exigirá romper com velhos paradigmas, acreditar no novo, conceber a 
hipótese de que oaprendiz é possuidor de um espectro de competências ávidas a serem 
desenvolvidas, e que apenas ministrando 100% de um determinado conteúdo não 
garantirá os estímulos, as ações, as vivências, a interação social e todos os demais fatores 
essenciais à construção do conhecimento. 
Por outro lado, a postura e a atitude interdisciplinar podem garantir uma atuação mediadora 
do professor que, tal qual um facilitador, busca o foco de interesse, facilita o acesso aos 
materiais de pesquisa, indaga mais do que responde, promove discussões etc., sempre 
preocupado mais com o processo do que com o produto, garantindo o sucesso do processo 
de aprendizagem.
Esta não pode e nem deve ser uma postura de um único professor. A grande dificuldade 
reside em disseminá-la por toda a equipe, evitando desta forma a desuniformidade das 
ações, que ora podem surgir de forma disciplinar e [ora] compartimentada em alguns 
professores, comprometendo o desenrolar do processo interdisciplinar. A equipe deve 
possuir perfeito canal de comunicação. A regra decisória passa a ser o consenso, já que 
desta forma pode-se cobrar o comprometimento; há de se estabelecer divisões de tarefas 
e equidade nas informações tanto de ordem procedimental como de resultados.
Desta forma, só é possível pensar em interdisciplinaridade quando se possui uma equipe 
comprometida, bem diferente dos grupos de sujeitos isolados, que preocupam-se no 
máximo com o produto mensurável, demonstrado nas avaliações de caráter quantitativo.
Conforme exposto pelo autor, o trabalho interdisciplinar só é efetivo se for desenvolvido em conjunto, 
por uma equipe comprometida de professores e com o apoio da escola. Além disso, os professores, 
mediadores do trabalho interdisciplinar, devem se preocupar mais com o processo do que com o produto. 
Para auxiliar nesse processo, esta coleção sugere possibilidades de trabalhos interdisciplinares ao longo 
das orientações específicas, mas é importante ressaltar que compete a cada escola e a cada equipe de 
profissionais definir o projeto que será desenvolvido de acordo com sua realidade. Nesse sentido, cabe 
a reflexão e a discussão coletiva para que se realize um trabalho interdisciplinar consistente e coerente 
com a proposta da escola e que seja enriquecedor para o aluno.
A UTILIZAÇÃO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
A abordagem de episódios da história da Matemática permite aos alunos a percepção de que a 
Matemática não é uma ciência pronta e acabada. Ela se desenvolveu (e se desenvolve) ao longo do 
tempo. Textos breves que trazem informações sobre fatos e pessoas ligadas ao seu desenvolvimento 
permitem ao professor promover discussões e sugerir pesquisas aos alunos, com o objetivo de ampliar 
os horizontes da aprendizagem matemática. 
No estudo de conteúdos da Geometria, por exemplo, o trabalho com pesquisas que permitam conhecer 
elementos sobre sua história, sobre os locais onde a Geometria se desenvolveu, sobre as características 
sociais e geográficas desses locais, pode contribuir para a compreensão do contexto no qual o objeto 
 matemático em estudo se desenvolveu. 
A aprendizagem matemática tem, assim, como ferramenta didática disponível a história da Matemática, 
junto à resolução de problemas e à modelagem. Não cabe ao livro didático fazer um estudo aprofundado 
da história, mas, sim, promover elementos que servirão como ponto de partida para complementação e 
aprofundamento dos conteúdos abordados. 
AS TECNOLOGIAS E A APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
A utilização das diversas tecnologias de aprendizagem na aula de Matemática permite uma expansão 
das oportunidades de aquisição de conhecimento – por exemplo, a calculadora e os softwares para 
aprendizagem da Matemática, que permitem a ampliação na busca de novas estratégias para resolução 
de problemas. Sobre esse assunto, discorre Aguiar (2008),8
A utilização e a exploração de aplicativos e/ou softwares computacionais em Matemática 
podem desafiar o aluno a pensar sobre o que está sendo feito e, ao mesmo tempo, levá-lo a 
articular os significados e as conjecturas sobre os meios utilizados e os resultados obtidos, 
conduzindo-o a uma mudança de paradigma com relação ao estudo, na qual as propriedades 
matemáticas, as técnicas, as ideias e as heurísticas passem a ser objeto de estudo. (p. 64)
8 AGUIAR, E. V. B. As novas tecnologias e o ensino-aprendizagem. VÉRTICES, v. 10, n. 1/3, jan./dez. 2008. Disponível em: 
<http://www.pucrs.br/famat/viali/tic_literatura/artigos/outros/Aguiar_Rosane.pdf>. Acesso em: 21 ago. 2018.
http://www.pucrs.br/famat/viali/tic_literatura/artigos/outros/Aguiar_Rosane.pdf
XX
A prontidão para a atuação profissional compreende o conhecimento de diversas tecnologias e 
linguagens, e a escola é um dos ambientes mais propícios para a construção de tal conhecimento. 
Não cabe ao Ensino Fundamental o preparo de mão de obra especializada. No entanto, em uma época 
em que as tecnologias digitais estão mais acessíveis, haja vista a quantidade de telefones celulares no 
Brasil, a escola não pode ficar alheia a essa realidade, deixando de instrumentalizar os alunos para o 
uso dessas tecnologias, especialmente para que conheçam os bons e os maus usos delas e se previnam. 
O PAPEL DO ERRO NA APRENDIZAGEM
O erro tem papel fundamental na vida de qualquer pessoa. Todos sabemos disso, no entanto, na 
aprendizagem escolar, o erro muitas vezes é motivo de frustração e angústia, levando muitos alunos a 
desistirem da escola por se sentirem incapazes.
A pesquisadora e professora norte-americana Jo Boaler discorre sobre a importância do erro ‒ tanto 
na escola quanto na vida ‒ na obra Mentalidades matemáticas (Porto Alegre: Penso, 2018), da qual 
destacamos os trechos a seguir.
[...] Carol Dweck reuniu-se com os professores e disse algo que os impressionou: "Toda vez que 
um aluno comete um erro de matemática, ele cria uma sinapse". Houve um audível suspiro na 
sala, enquanto os professores se davam conta da importância dessa declaração. Uma razão 
pela qual essa declaração é tão importante é que ela atesta o imenso poder e valor dos erros, 
embora os estudantes sempre pensem que cometer erros significa não ser uma "pessoa de 
matemática", ou pior, não ser inteligente. Muitos bons professores disseram a seus alunos 
durante anos que erros são úteis e mostram que estamos aprendendo, mas as novas evidências 
sobre o cérebro revelam algo mais significativo.
O psicólogo Jason Moser estudou os mecanismos neurais que operam nos cérebros das 
 pessoas quando elas cometem erros [...] Jason e seu grupo descobriram uma coisa fascinante. 
Quando cometemos um erro, o cérebro tem duas possíveis respostas. A primeira, chamada 
de negatividade relacionada ao erro (NRE), é um aumento da atividade elétrica quando o 
cérebro experimenta o conflito entre uma resposta correta e um erro. O interessante é que 
essa atividade cerebral ocorre quer a pessoa saiba que cometeu um erro ou não. A segunda 
resposta, chamada de Pe [atividade elétrica], é um sinal cerebral que reflete atenção 
consciente a erros. Isso acontece quando existe consciência de que um erro foi cometido e 
a atenção consciente é dada a ele.
Quando eu disse aos professores que erros causam disparos no cérebro e fazem com que 
ele cresça, eles argumentaram: "Com certeza isso acontece somente se os estudantes c or-
rigem seu erro e continuam a resolver o problema". Mas esse não é o caso. Na verdade, o 
estudo de Moser mostra que nós nem sequer precisamos estar conscientes de que come-
temos um erro para que ocorram disparos cerebrais. Quando professores me perguntam 
como isso é possível, respondo que o melhor raciocínio de que dispomos sobre tal assunto 
agora é que o cérebro dispara e cresce quando cometemos um erro, mesmo que não 
 estejamos conscientes disso, porque é um momento de dificuldade; o cérebro é desafiado 
e, nesse momento, ele cresce.
[...]
O poder dos erros é uma informação crucial, pois crianças e adultos, em toda parte, com 
frequência se sentem péssimos quando cometem umerro matemático. Eles pensam que 
isso significa que não são pessoas aptas para a matemática, porque foram educados em 
uma cultura do desempenho [...], na qual erros não são valorizados ‒ ou pior ‒ são punidos. 
Considerando o exposto, como educadores, podemos refletir sobre algumas questões:
• o erro deve ser encarado com naturalidade e incentivo para o acerto, para que o sentimento de 
 frustração e de desalento dê lugar ao de satisfação pelo aprender;
• a exposição dos erros pode proporcionar produtivos momentos de aprendizagem e ser feita pelos 
alunos para que, juntos, os compreendam e encontrem caminhos para o acerto;
• atividades desafiadoras e reflexivas devem fazer parte do dia a dia da sala de aula, no lugar das ativi-
dades que induzam ao acerto, pela sua simplicidade.
Adotar essas práticas pode ser proveitoso para os alunos, para os professores e para os responsáveis, 
que, muitas vezes, veem a aprendizagem dos filhos apenas pelo viés dos acertos e das notas.
XXI
AVALIAÇÃO DE APRENDIZAGEM
A avaliação é um momento fundamental no processo de ensino. Ela é um instrumento norteador do 
trabalho docente: “O que avaliar? Como avaliar?”.
Esses questionamentos permitem ao professor identificar possíveis dificuldades dos alunos, podendo 
construir atividades para sua superação. A avaliação permite rever e redesenhar os caminhos para que a 
aprendizagem seja alcançada ‒ e não vamos confundir a atribuição de uma nota com o acompanhamento 
do processo de aprendizagem visado. 
Para avaliar, é necessário conhecer os alunos e suas características relativas à aprendizagem matemática. 
É preciso identificar elementos que permitam ao professor estabelecer e reavaliar metas, processos, pla-
nejar atividades adequadas para a introdução, para o aprofundamento e para a avaliação da aprendizagem 
desses alunos. Cada um deles tem seu próprio ritmo, que deve ser considerado: o tempo didático e o tempo 
cronológico não correm da mesma forma o que, muitas vezes, explica as dificuldades detectadas. 
Não se trata de individualizar o ensino, mas de buscar as melhores formas de fazer a gestão das 
situações de aprendizagem e, em paralelo, das situações de avaliação. Estas acontecem continuamente, 
a cada aula, a cada momento. 
Vários são os instrumentos que permitem ao professor obter as informações necessárias para o 
melhor planejamento, assim como atender à necessidade de quantificação da aprendizagem: atribuir uma 
nota ou um conceito. Destaca-se a importância da utilização de vários instrumentos simultaneamente, 
de forma a melhorar as oportunidades para que o aluno mostre efetivamente o que aprendeu (ou o que 
não aprendeu e precisa ser retomado pelo professor). Por exemplo: provas, relatórios, autoavaliação, 
trabalhos em equipe, participação em discussões orais, abertura para expor suas dúvidas e, especial-
mente, a possibilidade de discutir seus erros, compreender por que errou e corrigi-los.
Cabe ao professor, com base no conhecimento de suas turmas, escolher os instrumentos mais ade-
quados aos objetivos fixados em seu plano de ensino. Algumas dessas medidas são subjetivas, mas os 
critérios utilizados devem ser explicitados aos alunos.
Destaca-se a necessidade de não limitar a avaliação aos aspectos cognitivos, uma vez que a formação do 
aluno deve ser a mais completa: aspectos comportamentais, atitudinais, também devem ser considerados. 
Lembramos que um objetivo a ser fixado é o de uma educação democrática, inclusiva, e a avaliação tem 
papel fundamental nesse processo. 
Para a elaboração do plano de avaliação, devem-se considerar os objetivos propostos em cada um 
dos níveis de escolaridade. Uma listagem desses objetivos permite sua operacionalização, e, a partir daí, 
escolhem-se os melhores instrumentos. 
Veja a seguir uma sugestão de listagem que considera não apenas os aspectos cognitivos específicos, 
mas também os atitudinais. Observe que a construção da autonomia é um objetivo perene, que acom-
panha toda a formação do aluno. 
Meu aluno é capaz de:
• “enfrentar” a resolução do problema;
• entender o contexto das atividades propostas;
• compreender o texto das atividades propostas;
• explicitar o problema com suas palavras;
• selecionar dados da questão de forma autônoma;
• resolver o problema;
• verificar se a solução é adequada;
• fazer uso adequado de calculadora e outros materiais de forma a buscar soluções para o que é 
 proposto de forma autônoma;
• trabalhar em grupo de forma colaborativa;
• trabalhar individualmente com autonomia;
• utilizar corretamente a linguagem matemática.
Para ajudar o professor no processo de avaliação contínua dos alunos, o Material do Professor ‒ 
Digital traz sequências didáticas relacionadas aos conteúdos bimestrais da coleção, com organização 
aula a aula, oferecendo uma ficha de autoavaliação para o aluno. Além disso, esse material apresenta 
avaliações bimestrais com gabarito comentado, grade de correção e ficha para acompanhamento de 
aprendizagem dos alunos. 
XXII
FORMAÇÃO DO PROFESSOR — SUGESTÕES DE LEITURA E SITES
A. Sugestões de leitura
BARBEIRO, Eulália da Conceição. A aprendizagem das equações do 1o grau a uma incógnita: uma análise 
dos erros e das dificuldades de alunos de 7o ano de escolaridade. Disponível em: <http://repositorio.ul.pt/
bitstream/10451/8318/1/ulfpie043292_tm.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018. 
BERNAL, Márcia Maria. Estudo do objeto proporção: elementos de sua organização matemática como 
objeto a ensinar e como objeto ensinado. Disponível em: <https://repositorio.ufsc.br/bitstream/
handle/123456789/86993/205628.pdf?sequence=1>. Acesso em: 16 ago. 2018.
BOALER, Jo. Mentalidades matemáticas . Porto Alegre: Penso, 2018.
BORRALHO, A.; BARBOSA, Elsa. Exploração de padrões e pensamento algébrico. Disponível em: <http://www.
ese.ipvc.pt/padroes/artigos/2009_10.pdf>. Acesso em: 23 out. 2018.> 
_______. CABRITA, I.; PALHARES, P.; VALE, I. Os padrões no ensino e aprendizagem da Álgebra. 
Disponível em: <https://dspace.uevora.pt/rdpc/bitstream/10174/1416/1/Padr%C3%B5es%20Caminha.
pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018. 
BRANCO, Neusa Cristina Vicente. O estudo de padrões e regularidades no desenvolvimento do pensamento 
algébrico. Disponível em: <http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/1197/1/17737_ULFC086729_TM.pdf>. 
Acesso em: 16 ago. 2018. 
BRASIL. Base Nacional Comum Curricular ‒ versão final. Brasília: MEC, 2017. Disponível em: <http://
basenacionalcomum.mec.gov.br/wp-content/uploads/2018/02/bncc-20dez-site.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018.
CAMPOS, Tania M. M.; SOUZA, Vera Helena G. de. Resolução de desigualdades com uma incógnita: uma análise 
de erros. Disponível em: <http://www.fisem.org/www/union/revistas/2008/14/Union_014_007.pdf>. 
Acesso em: 16 ago. 2018. 
COLLARES, Bruno Marques; LIMA, Diego Fontoura. Por que inverter o sinal da desigualdade em uma 
ine quação? Disponível em: <http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cnem/cnem/principal/re/PDF/
RE38.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018.
GROENWALD, Claudia Lisete Oliveira. Pensamento aritmético e pensamento algébrico no Ensino 
Fundamental. Disponível em: <http://w3.ufsm.br/ceem/eiemat/Anais/arquivos/ed_4/MC/MC_Groenwald_
Claudia.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018. 
HUMMES, Viviane Beatriz; NOTARE, Marcia Rodrigues. Aprendizagem significativa de equações do 1o grau: um 
estudo de caso com alunos do sétimo ano do Ensino Fundamental. Disponível em: <http://www.eventos.ulbra.
br/index.php/ebrapem2012/xviebrapem/paper/viewFile/420/350>. Acesso em: 16 ago. 2018. 
LIMA, Duílio Tavares de. Fichas temáticas : resolvendo equações do 1o grau. Disponível em: 
<http://www1.pucminas.br/imagedb/documento/DOC_DSC_NOME_ARQUI20130919095224.
pdf?PHPSESSID=5b59a548f19a92caf50a35dc8b2fb0d4>. Acesso em: 16 ago. 2018.
LOPES, Celi Aparecida Espasadin; MEIRELLES, Elaine. O desenvolvimento da Probabilidade e da Estatística. 
Disponível em: <https://www.ime.unicamp.br/erpm2005/anais/m_cur/mc02_b.pdf>. Acesso em: 
16 ago. 2018
MAGALHÃES, Adil Ferreira. Uma sequência de atividadespara ensinar (e aprender) inequações. Disponível em: 
<https://www.ppgedmat.ufop.br/arquivos/produtos_2013/Adil%20Ferreira.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018. 
MARTINI, Grasiela. Estratégias de trabalho para a aprendizagem de operações com números inteiros. 
Disponível em: <https://lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/29143/000775907.pdf?sequence=1>. 
Acesso em: 16 ago. 2018. 
http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/8318/1/ulfpie043292_tm.pdf
http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/8318/1/ulfpie043292_tm.pdf
https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/86993/205628.pdf?sequence=1
https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/86993/205628.pdf?sequence=1
http://www.ese.ipvc.pt/padroes/artigos/2009_10.pdf
http://www.ese.ipvc.pt/padroes/artigos/2009_10.pdf
https://dspace.uevora.pt/rdpc/bitstream/10174/1416/1/Padr%C3%B5es%20Caminha.pdf
https://dspace.uevora.pt/rdpc/bitstream/10174/1416/1/Padr%C3%B5es%20Caminha.pdf
http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/1197/1/17737_ULFC086729_TM.pdf
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/wp-content/uploads/2018/02/bncc-20dez-site.pdf
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/wp-content/uploads/2018/02/bncc-20dez-site.pdf
http://www.fisem.org/www/union/revistas/2008/14/Union_014_007.pdf
http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cnem/cnem/principal/re/PDF/RE38.pdf
http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cnem/cnem/principal/re/PDF/RE38.pdf
http://w3.ufsm.br/ceem/eiemat/Anais/arquivos/ed_4/MC/MC_Groenwald_Claudia.pdf
http://w3.ufsm.br/ceem/eiemat/Anais/arquivos/ed_4/MC/MC_Groenwald_Claudia.pdf
http://www.eventos.ulbra.br/index.php/ebrapem2012/xviebrapem/paper/viewFile/420/350
http://www.eventos.ulbra.br/index.php/ebrapem2012/xviebrapem/paper/viewFile/420/350
http://www1.pucminas.br/imagedb/documento/DOC_DSC_NOME_ARQUI20130919095224.pdf?PHPSESSID=5b59a548f19a92caf50a35dc8b2fb0d4
http://www1.pucminas.br/imagedb/documento/DOC_DSC_NOME_ARQUI20130919095224.pdf?PHPSESSID=5b59a548f19a92caf50a35dc8b2fb0d4
https://www.ime.unicamp.br/erpm2005/anais/m_cur/mc02_b.pdf
https://www.ppgedmat.ufop.br/arquivos/produtos_2013/Adil%20Ferreira.pdf
https://lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/29143/000775907.pdf?sequence=1
XXIII
MATA-PEREIRA, Joana; PONTE, João Pedro da. Desenvolvendo o raciocínio matemático: generalização 
e justificação no estudo das inequações. Disponível em: <http://doi.editoracubo.com.br/10.4322/ 
gepem.2014.021>. Acesso em: 16 ago. 2018. 
MEGID, M. A. Construindo Matemática na sala de aula: uma experiência com os números inteiros. In: FIORENTINI, 
D. & MIORIM, M. A. (Org.). Por trás da porta, que Matemática acontece? Campinas: Unicamp; Cempem, 2001.
MENEGAT, Maristela Ferrari. Uma nova forma de ensinar razão e proporcionalidade. Disponível em: <https://
lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/31572/000783440.pdf?...1>. Acesso em: 16 ago. 2018.
MIYASAKI, Dirce Mayumi. Modelagem matemática e educação ambiental: possibilidades para o Ensino 
Fundamental. Disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/359-4.pdf>. 
Acesso em: 16 ago. 2018.
NOGUEIRA JÚNIOR, Dárcio Costa. Ensino de razão e proporção na perspectiva curricular da rede. Disponível 
em: <http://www.lematec.net.br/CDS/ENEM10/artigos/CC/T8_CC1664.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018.
ROCHA NETO, Francisco Tavares da Rocha. Dificuldades na aprendizagem operatória de números inteiros 
no Ensino Fundamental. Disponível em: <http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/1440/1/2010_dis_
ftrneto.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018. 
SCHMITIZ, Ilda; SCHNEIDER, Deborah Sandra Leal Guimarães. A leitura de mundo através da estocástica: um 
olhar crítico da realidade, através da mídia e das tecnologias. Disponível em: <http://www.gestaoescolar.
diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/producoes_pde/artigo_ilda_schmitz.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018.
SILVA, Ana Claudia da. Dificuldades de aprendizagem na resolução de problemas envolvendo equações do 
1o grau. Disponível em: <http://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/12008/AnaClaudiadaSilvaPetronilo.pdf>. 
Acesso em: 16 ago. 2018. 
SILVA, Maria José Ferreira da. As concepções de números fracionários. Disponível em: <http://www.mat.
ufrgs.br/~vclotilde/disciplinas/html/def_mat_concepfracoes1.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018. 
B. Sites ‒ Acessos em: 16 ago. 2018.
• Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM): <http://www.sbembrasil.org.br/sbembrasil/>.
• Sociedade Brasileira de Matemática (SBM): <https://www.sbm.org.br/>.
• Portal do Professor – MEC: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/index.html>.
• Centro de Referência em Educação Mário Covas: <http://www.crmariocovas.sp.gov.br/>.
C. Laboratórios de Educação Matemática ‒ Acessos em: 16 ago. 2018.
• LEDUM – Laboratório de Educação Matemática (UFC): <http://www.ledum.ufc.br/>.
• LEM – Laboratório de Ensino de Matemática (Unesp – Rio Claro): <https://www.rc.unesp.br/igce/pgem/
gfp/lem/>.
• LEM – Laboratório de Ensino de Matemática (USP): <https://www.ime.usp.br/lem/>.
• Laboratório de Matemática (Faculdade de Educação – USP): <http://www2.fe.usp.br/~labmat/>.
• LEMAT – Laboratório de Educação Matemática (UFG): <http://lemat.mat.ufg.br/>.
• Laboratório virtual de Matemática (Unijuí – RS): <http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/>.
Além desses links, diversas revistas sobre o ensino e a aprendizagem da Matemática estão disponí-
veis para acesso livre, on-line. Por exemplo, o Portal do Professor (MEC) permite acessar artigos, livros, 
periódicos, entre outros recursos. Basta buscar por publicações relativas à Matemática, e o professor obterá 
como resultado diversos links para ajudá-lo com materiais, leituras etc. 
O site da SBEM dará acesso à Educação Matemática em Revista (disponível em: <http://www.
sbembrasil.org.br/revista/index.php/emr>; acesso em: 16 ago. 2018), contendo artigos destinados ao 
professor que ensina Matemática nos diversos níveis de escolaridade. Também dará acesso ao anúncio 
dos eventos organizados. 
Já o site da SBM dará acesso ao link para a Revista do Professor de Matemática (disponível em: <http://
www.rpm.org.br/>; acesso em: 16 ago. 2018), para a revista Professor de Matemática OnLine (disponível 
em: <https://pmo.sbm.org.br/>; acesso em: 16 ago. 2018) e outras publicações. 
http://doi.editoracubo.com.br/10.4322/gepem.2014.021
http://doi.editoracubo.com.br/10.4322/gepem.2014.021
https://lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/31572/000783440.pdf?...1
https://lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/31572/000783440.pdf?...1
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/359-4.pdf
http://www.lematec.net.br/CDS/ENEM10/artigos/CC/T8_CC1664.pdf
http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/1440/1/2010_dis_ftrneto.pdf
http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/1440/1/2010_dis_ftrneto.pdf
http://www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/producoes_pde/artigo_ilda_schmitz.pdf
http://www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/producoes_pde/artigo_ilda_schmitz.pdf
http://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/12008/AnaClaudiadaSilvaPetronilo.pdf
http://www.mat.ufrgs.br/~vclotilde/disciplinas/html/def_mat_concepfracoes1.pdf
http://www.mat.ufrgs.br/~vclotilde/disciplinas/html/def_mat_concepfracoes1.pdf
http://www.sbembrasil.org.br/sbembrasil/
https://www.sbm.org.br/
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/index.html
http://www.crmariocovas.sp.gov.br/
http://www.ledum.ufc.br/
https://www.rc.unesp.br/igce/pgem/gfp/lem/
https://www.rc.unesp.br/igce/pgem/gfp/lem/
https://www.ime.usp.br/lem/
http://www2.fe.usp.br/~labmat/
http://lemat.mat.ufg.br/
http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/
http://www.sbembrasil.org.br/revista/index.php/emr
http://www.sbembrasil.org.br/revista/index.php/emr
http://www.rpm.org.br/
http://www.rpm.org.br/
https://pmo.sbm.org.br/
XXIV
A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
1
ÊNIO SILVEIRA
Engenheiro mecânico pela Universidade Federal do Ceará. 
Engenheiro eletricista pela Universidade de Fortaleza. 
Diretor de escola particular. Autor de obras didáticas de Matemática.
Componente curricular: MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
COMPREENSÃO E PRÁTICA5a edição
São Paulo, 2018
o
ano8
2
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Silveira, Ênio
 Matemática : compreensão e prática / Ênio 
Silveira. – 5. ed. – São Paulo : Moderna, 2018. 
 Obra em 4 v. para alunos do 6o ao 9o ano.
 Componente curricular: Matemática.
 Bibliografia.
 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.
18-16948 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados
EDITORA MODERNA LTDA.
Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho
São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904
Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510
Fax (0_ _11) 2790-1501
www.moderna.com.br
2018
Impresso no Brasil
Coordenação editorial: Fabio Martins de Leonardo
Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Daniel Vitor Casartelli Santos, Daniela Santo 
Ambrosio, Maria Cecília da Silva Veridiano, Maria José Guimarães de Souza, Marilu 
Maranho Tassetto, Renata Martins Fortes Gonçalves, Romenig da Silva Ribeiro
Assistência editorial: Alexandre da Silva Sanchez, Jeferson Felix da Silva, Larissa 
Calazans Nicoletti Mesquita
Preparação de texto: Mariane Genaro
Gerência de design e produção gráfica: Everson de Paula
Coordenação de produção: Patricia Costa
Suporte administrativo editorial: Maria de Lourdes Rodrigues
Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite
Projeto gráfico: Mariza de Souza Porto
Capa: Bruno Tonel, Douglas Rodrigues José, Mariza de Souza Porto
 Foto: Mariusz Szczygiel/Shutterstock 
Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho 
Edição de arte: Elaine Cristina da Silva, Eliazar Alves Cavalcanti Junior, Paula de Sá 
Belluomini
Editoração eletrônica: MRS Editorial
Edição de infografia: Luiz Iria, Priscilla Boffo, Otávio Cohen
Ilustrações de vinhetas: Shutterstock
Coordenação de revisão: Maristela S. Carrasco
Revisão: Cárita Negromonte, Fernanda Marcelino, Leila dos Santos, Mônica Surrage, 
Renato da Rocha, Rita de Cássia Sam, Rosemary Lima, Vânia Bruno, Viviane Oshima
Coordenação de pesquisa iconográfica: Luciano Baneza Gabarron
Pesquisa iconográfica: Carol Bock, Maria Marques, Mariana Alencar
Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues
Tratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, 
Marina M. Buzzinaro
Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, 
Vitória Sousa
Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro
Impressão e acabamento: 
3
Caro aluno,
Ideias, por mais brilhantes e elaboradas que sejam, só adquirem sentido maior 
quando encontram aplicação no dia a dia. 
A Matemática jamais deve ser vista como problema, mas, sim, como solução. 
Ela nos conduz por caminhos aparentemente tortuosos ou inacessíveis, 
abrindo atalhos, encurtando distâncias e superando obstáculos cotidianos 
ou científicos.
Com as situações apresentadas neste livro, você adquirirá conhecimentos 
que ajudarão no desenvolvimento da sua formação escolar, pessoal e 
profissional. Em cada página estudada, tarefa resolvida ou atividade 
solucionada, você perceberá que a Matemática é uma ferramenta poderosa, 
que pode ajudá-lo a resolver muitos problemas.
O autor
Aos meus pais,
Isaías e Maria Amélia (in memoriam)
Apresentação
3
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
4
Estrutura das unidades
Abertura de capítulo
Propõe a observação 
e a reflexão de uma 
situação relacionada ao 
conteúdo do capítulo.
Apresentação 
do conteúdo
O conteúdo é 
apresentado com 
linguagem clara 
e direta.
Abertura de unidade
Apresenta os títulos dos 
capítulos que integram a 
unidade e propõe questões 
sobre os assuntos que 
serão estudados. 
Atividades
Com diferentes níveis de 
dificuldade, algumas atividades 
estimulam a discussão, a 
reflexão e a resolução em 
grupo, o trabalho com cálculo 
mental e promovem o uso 
da calculadora e de outras 
tecnologias, como planilha 
eletrônica e softwares de 
construção de gráficos e de 
geometria dinâmica.
Trocando ideias
Incentiva o diálogo 
sobre assuntos do 
capítulo. 
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Ícones utilizados na obra
Dupla CalculadoraCálculo mentalGrupo Tecnologia
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
191
Já vimos que grandeza é tudo aquilo que 
pode ser medido ou contado. Podemos citar 
como exemplos de grandezas a velocidade de 
um automóvel, a quantidade de garrafas  de 
leite envasadas numa indústria, a quantidade 
de moléculas de um gás etc.
Duas ou mais grandezas podem estar rela-
cionadas e variar de acordo com determinada 
proporção. Podemos chamar essas grandezas 
de diretamente proporcionais ou de inversa-
mente proporcionais, dependendo da forma 
com que se relacionam.
 Grandezas diretamente proporcionais
Um engenheiro de produção fez um levantamento sobre a produtividade de uma máquina de 
envasar leite. Os dados foram disponibilizados na tabela seguinte.
Grandezas e proporcionalidade1
Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre os valo-
res da primeira grandeza é igual à razão entre os valores correspondentes da segunda grandeza. 
Essa propriedade pode ser observada para as grandezas na tabela acima: quantidade de 
garrafas e tempo de produção. Veja:
▸ , 900
1 800
0 5,0 5,
1 25 55 5
▸ 1800
7 200
1 1 4 45 55 5
 ▸ ,
1800
2700
1
1 5,1 5,
2
3
= == =
▸ 7 200
14 400
4
8 2= == =
Produção de leite
Quantidade de garrafas 
(unidade)
Tempo de produção
 (hora)
900 0,5
1 800 1
2 700 1,5
7 200 4
14 400 8
Dados obtidos pelo engenheiro.
P
H
IL
IP
P
E
 H
U
G
U
E
N
/A
FP
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: R
A
FA
E
L 
O
LI
V
E
TT
I
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
192
Os valores dessas grandezas formam uma sequência de números diretamente proporcionais. 
Dessa sequência, podemos extrair uma constante de proporcionalidade. Veja:
, ,
 
0 5,0 5,
900
1
1 800
1 5,1 5,
2 700 00 
4
7 200 1 8005 5 5 55 5 5 5
A partir da constante de proporcionalidade e da propriedade fundamental das proporções, 
podemos determinar uma sentença algébrica que relacione essas grandezas.
Vamos representar a produção (quantidade de garrafas) pela letra p e o tempo de produção, p e o tempo de produção, p
por t. Temos que p é um número natural, e p é um número natural, e p t, um número real positivo. A razão entre a produção t, um número real positivo. A razão entre a produção t
e o tempo resulta na constante de proporcionalidade, t
p
1 8005 , então:
p 5 1 800 3 t
Com essa sentença, podemos encontrar a quantidade de garrafas de leite produzidas para 
qualquer número de horas e vice-versa. 
Exemplos
• Quantas garrafas de leite são envasadas 
num período de 12 horas de funcionamento?
p 5 1 800 3 t
p 5 1 800 3 12
p 5 21 600
São envasadas 21 600 garrafas.
• Quantas horas são necessárias para envasar 12 600 garrafas?
12 600 5 1 800 3 t 
t1 800
12 600
5
 7 5 t
 São necessárias 7 horas.
constante de proporcionalidade
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
1 Entre os pares de grandezas seguintes, identifique aqueles de grandezas diretamente 
proporcionais.
a) Número de trabalhadores e quantidade de morangos coletados numa plantação.
b) Número de lançamentos de um dado e quantidade de vezes que sai a face 3.
c) Número de caminhões e quantidade de mercadoria que foi entregue.
d) Comprimento de uma corda e o preço pago por ela.
e) Volume de água em uma caixa-d’água com um furo embaixo e tempode escoamento decorrido.
f) Tempo decorrido em uma partida de basquete e número de cestas.
2 Se a constante de proporcionalidade entre um par de grandezas diretamente proporcionais 
(x e x e x y) vale 10, escreva no caderno uma sentença algébrica que as relacione. y) vale 10, escreva no caderno uma sentença algébrica que as relacione. y
E
N
Á
G
IO
 C
O
E
LH
O
Para calcular a 
quantidade de garrafas envasadas, 
ou seja, a produção de garrafas 
de leite, devemos substituir o 
número de horas na sentença 
encontrada.
ou seja, a produção de garrafas 
de leite, devemos substituir o 
número de horas na sentença 
UNIDADE I
Nesta unidade você vai estudar
Capítulo 1 Conjuntos numéricos
Capítulo 2 Potenciação e radiciação
Capítulo 3 Sistemas de equações do 1o grau
É hora de começar
1 Quais são os conjuntos numéricos que você já conhece?
2 Raiz quadrada de 2 é um número natural, inteiro ou racional?
3 Em que situações do dia a dia você utiliza a potenciação? 
E a radiciação?
4 Como você representaria o total de pneus (P ), usando a 
linguagem algébrica, de x motos e x motos e x y automóveis?y automóveis?y
Trocando ideias
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
129
Já vimos que a rigidez do triângulo pode ser muito útil em diversos aspectos.
A não rigidez, ou seja, a mobilidade observada em outros polígonos, também pode ser 
igualmente útil.
 ▸ Vocês conhecem outros objetos que utilizam o quadrilátero para explorar a não rigidez? 
Neste capítulo vamos estudar os triângulos, os quadriláteros e suas propriedades.
S
TO
R
24
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
R
U
K
A
W
A
JU
N
G
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
JU
N
IO
R
 R
O
Z
Z
O
Detalhe do telhado com arquitetura moderna em estação de trem de Londres, Inglaterra, 2017.
O varal sanfonado é ideal para ambientes pequenos, 
pois pode ser encolhido quando não está em uso. 
O formato do varal facilita essa mobilidade.
O macaco lembra o formato de um quadrilátero, dando 
a mobilidade necessária para essa ferramenta utilizada 
para auxiliar na troca de pneus.
CAPÍTULO
Triângulos e quadriláteros7
128
Em Fortaleza, acontece o Festival Concreto (festival internacional 
da arte urbana), que valoriza a arte urbana utilizando muros, postes, 
calçadas, semáforos, laterais de prédios, lixeiras, ou seja, tudo que 
dê suporte para instalações de arte pública, propagando artistas e 
técnicas por toda a capital cearense. Observe o painel em produção 
do grafiteiro Kbeça, artista baiano, na edição de 2016 desse festival 
e responda às questões.
Você já viu muros e prédios com grafites em sua cidade? Conhece al-
gum grafiteiro?
Na produção desse painel, o artista utilizou um andaime articulado 
e motorizado. Qual polígono lembra esse sistema articulado? Você 
acha possível utilizar um sistema articulado baseado em triângulos?
M
A
X
 L
E
G
U
IZ
A
/F
E
S
TI
VA
L 
C
O
N
C
R
E
TO
É hora de observar e refletir
Cada volume desta coleção está dividido em quatro unidades, que são formadas por capítulos, 
organizadas de acordo com esta estrutura:
4
5
Lendo e 
aprendendo
Seção que 
complementa 
e enriquece 
o conteúdo
principal.
É hora de extrapolar
Atividade em grupo proposta como 
fechamento da unidade. Explora 
a pesquisa, a comunicação e a 
elaboração de um produto final, que 
será compartilhado com a turma ou 
com a comunidade escolar.
Um pouco de história
Texto que aborda a 
história da Matemática 
para contextualizar 
alguns assuntos.
Resolvendo 
em equipe
Atividade em grupo 
que explora a análise 
e o desenvolvimento 
de estratégias para 
a resolução de 
problemas.
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Trabalhando os conhecimentos adquiridos
Atividades diversificadas que abordam o conteúdo apresentado 
no capítulo. A seção é composta dos itens:
• Revisitando: promove a revisão de conteúdos.
• Aplicando: traz desafios, questões de concursos e exames.
• Elaborando: estimula a criatividade e a elaboração de questões.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
217
DESAFIO
5 Em um curso de língua estrangeira, as ida-
 Em um curso de língua estrangeira, as ida-
des dos alunos são:
16 anos, 20 anos, 22 anos, 18 anos, 17 anos, 
15 anos, 18 anos, 19 anos e 21 anos.
Agora, responda:
a) Qual é a mediana dessas idades?
b) Se nesse curso forem matriculados mais 
três alunos, com idades de 16  anos, 
20  anos e 24 anos, qual será a nova 
 mediana?6 As idades dos jogadores de um time de vô-
 As idades dos jogadores de um time de vô-
lei são: 18 anos, 21 anos, 19 anos, 23 anos, 
25 anos e 20 anos. Qual é a média de idade 
desses jogadores?7 (Enem) As notas de um professor que par-
ticipou de um processo seletivo, em que 
a banca avaliadora era composta por cin-
co membros, são apresentadas no gráfico. 
Sabe-se que cada membro da banca atri-
buiu duas notas ao professor, uma relativa 
aos conhecimentos específicos da área de 
atuação e outra, aos conhecimentos peda-
gógicos, e que a média final do professor 
foi dada pela aritmética de todas as notas 
atribuídas pela banca avaliadora.
18
Avaliador E
12
1614
19
Avaliador D
1
14
Avaliador C
13
17
Avaliador B
18
20
Conhecimentos pedagógicos
Conhecimentos específicos
Notas (em pontos)
Utilizando um novo critério, essa banca 
avaliadora resolveu descartar a maior e a 
menor notas atribuídas ao professor.
A nova média, em relação à média anterior, é
a) 0,25 ponto maior.
b) 1,00 ponto maior.
c) 1,00 ponto menor.
d) 1,25 ponto maior.
e) 2,00 ponto menor.
8 Cada aluno de uma turma com 60 alunos 
obteve nota 5 ou nota 10 em uma lista de 
atividades. Se a média das notas foi 6, 
quantos alunos obtiveram nota 5?
9 Uma loja de sapatos femininos fez uma 
pesquisa para saber a quantidade de sa-
patos de cada tamanho que era vendida. 
A pessoa que organizou os dados dessa 
pesquisa determinou a moda e a media-
na dos dados, encontrando a moda igual 
a 36 e a mediana igual a 37. Reúna-se 
com um colega e escrevam um texto ex-
plicando o significado desses dois dados. 
Depois, apresentem-no para os demais co-
legas da classe.
Lucas e Felipe estavam brincando de tiro ao 
alvo. A cada jogada, marcavam seus pontos 
em um quadro. Depois de cada um atirar 
20 vezes, o quadro de resultados ficou assim:
Atirador
Resultado50 30 20 10
0
50 30 20 10
0
50 30 20 10
0
50 30 20 10
0
50 30 20 10
0
Lucas
 4 6 5 4
1
Lucas
 4 6 5 4
1
Lucas
 4 6 5 4
1
Lucas
 4 6 5 4
1
Lucas
 4 6 5 4
1
Lucas
 4 6 5 4
1
Felipe
 6 3 5 3
3
Felipe
 6 3 5 3
3
Felipe
 6 3 5 3
3
Felipe
 6 3 5 3
3
Felipe
 6 3 5 3
3
Felipe
 6 3 5 3
3
LÉ
O
 F
A
N
E
LL
IQual é a média de pontos por tiro de cada 
um dos atiradores?
A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
Lembre-se:Não escreva no livro!
Avaliador A
16
18
Avaliador B
16
18
Conhecimentos específicos
Utilizando um novo critério, essa banca 
avaliadora resolveu descartar a maior e a 
menor notas atribuídas ao professor.
A nova média, em relação à média anterior, é
a) 0,25 ponto maior.
b) 1,00 ponto maior.
c) 1,00 ponto menor.
d) 1,25 ponto maior.
e) 2,00 ponto menor.
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
218
Elaborando
1 No caderno, construa um pequeno questionário para que um colega responda. No questionário, 
 No caderno, construa um pequeno questionário para que um colega responda. No questionário, 
deve haver perguntas para coletar dados de 5 variáveis quantitativas diferentes, discretas ou con-
tínuas. Troque seu questionário com o do seu colega e peça a ele que responda às suasperguntas 
e, ao lado de cada resposta, anote se a variável é quantitativa discreta ou contínua. Verifique 
se a classificação das variáveis e as respostas dadas por ele estão de acordo com o esperado. 
Caso haja divergência na resposta, conversem e tentem resolver as dúvidas. Se as dúvidas 
 permanecerem, consultem o professor.
2 Sente-se em dupla com um colega e, juntos, escolham um dos seguintes temas:
 Sente-se em dupla com um colega e, juntos, escolham um dos seguintes temas:
• Alimentação saudável
• Transporte urbano
• Atividade física
A partir do tema escolhido, discutam a respeito de uma pesquisa amostral para coletar dados 
desse tema. A população deve ser formada por alunos da sua escola. Pensem em uma amostra 
adequada para a coleta de dados e em pelo menos 4 variáveis (duas qualitativas e duas quan-
titativas). Elaborem as questões adequadas para coletar esses dados. Entrevistem a amostra 
definida por vocês. Organizem os dados e calculem a média, a mediana e a moda das variáveis 
quantitativas.
10
Pizzaria Y 230 230 230
Pizzaria Y 230 230 230
Pizzaria Y 230 230 230
Tecelagem Z 160 210 245
Tecelagem Z 160 210 245
Tecelagem Z 160 210 245
Tecelagem Z 160 210 245
Um investidor deseja comprar duas das 
empresas listadas na tabela. Para tal, ele 
calcula a média da receita bruta anual 
dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e 
escolhe as duas empresas de maior média 
anual. As empresas que este investidor 
escolhe comprar são
a) Balas W e Pizzaria Y.
b) Chocolates X e Tecelagem Z.
c) Pizzaria Y e Alfinetes V.
d) Pizzaria Y e Chocolates X.  
e) Tecelagem Z e Alfinetes V.
11
Mêsjan fev mar abr mai jun jul ago set out
Com base no gráfico, o valor da parte in-
teira da mediana dos empregos formais 
surgidos no período é
a) 212 952. 
b) 229 913. 
c) 240 621.
d) 255 496.
e) 298 041.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
18
20
Avaliador A
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Conhecimentos específicos
Utilizando um novo critério, essa banca 
avaliadora resolveu descartar a maior e a 
menor notas atribuídas ao professor.
A nova média, em relação à média anterior, é
a) 0,25 ponto maior.
b) 1,00 ponto maior.
c) 1,00 ponto menor.
d) 1,25 ponto maior.
e) 2,00 ponto menor.
Chocolates X 250 210 215
Chocolates X 250 210 215
Chocolates X 250 210 215
Pizzaria Y 230 230 230
Pizzaria Y 230 230 230
Pizzaria Y 230 230 230
Pizzaria Y 230 230 230
0
jan fev mar abr mai jun jul ago set out
Trabalhando os conhecimentos adquiridos
Faça as atividades no caderno.
Aplicando
Revisitando
56 47 50 46 48 54 53 52 49 48 51 40
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
216
1 Explique com suas palavras os significados de população e amostra em Estatística. Explique com suas palavras os significados de população e amostra em Estatística.
2 O que caracteriza uma pesquisa censitária e uma pesquisa amostral? Dê um exemplo de cada 
uma delas.
3 Dê um exemplo de sequência de dados em que há duas modas e um exemplo em que não 
há moda.
4 Dê 3 exemplos de variáveis qualitativas e 3 exemplos de variáveis quantitativas. Dê 3 exemplos de variáveis qualitativas e 3 exemplos de variáveis quantitativas.
1 Em uma escola com 3 mil alunos foram escolhidos 30, 15 meninos e 15 meninas, para opinar a 
respeito das atividades extraclasse que ocorreriam no mês de férias. Que porcentagem da popu-
lação representa essa amostra?
2 Os alunos do 9o ano de um colégio obtiveram as seguintes marcas (em metros) em uma com-
petição de salto em distância:
2,30 2,06 2,16 2,002,38 2,162,242,30
Determine a média, a mediana e a(s) moda(s) dessa distribuição.
3 Uma rede de lanchonetes pretendia se instalar em determinada região. A fim de avaliar a acei-
tação do serviço na região, foi feita uma pesquisa com a população local. Foram observadas 
algumas variáveis durante a pesquisa: sexo, tempo de residência na região, satisfação com as 
lanchonetes já presentes nas proximidades e a frequência de visitas a estabelecimentos comer-
ciais parecidos. As variáveis mencionadas são, respectivamente:
a) quantitativa, quantitativa, quantitativa, qualitativa.
b) quantitativa, quantitativa, qualitativa, qualitativa.
c) qualitativa, quantitativa, qualitativa, quantitativa.
d) qualitativa, quantitativa, quantitativa, quantitativa.
4 Os dados ao lado representam a 
massa, em quilograma, dos atletas 
de uma equipe juvenil de basquete.
a) Determine a média aritméti-
ca, a mediana e a moda dessa 
distribuição.
b) Quantos alunos estão abaixo da 
média?
LÉ
O
 F
A
N
E
LL
I
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
2
4
Conhecimentos específicos
Utilizando um novo critério, essa banca 
avaliadora resolveu descartar a maior e a 
menor notas atribuídas ao professor.
A nova média, em relação à média anterior, é
a) 0,25 ponto maior.
b) 1,00 ponto maior.
c) 1,00 ponto menor.
d) 1,25 ponto maior.
e) 2,00 ponto menor.
Chocolates X 250 210 215
Chocolates X 250 210 215
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
231
In
te
rp
re
ta
çã
o 
e 
id
en
tif
ic
aç
ão
 
do
s d
ad
os
• Analise as informações do enunciado e anote as que você julgar relevantes para a reso-
lução do problema.
• Há um único plano no qual não é possível gastar R$$ 30,00. Que plano é esse?
• Observando o gráfico, qual é o tempo mensal, em minuto, usando o plano A, em que se 
gasta R$$ 30,00? 
Pl
an
o 
de
 
re
so
lu
çã
o • Qual é o plano mais vantajoso para o usuário que pretende ter um uso mensal de 
60  minutos?
• Analise os planos C, D e E, com relação ao gasto de R$$ 30,00 por mês, e escreva uma 
conclusão.
Re
so
lu
çã
o
• Reúna-se com um colega.
• Mostre a ele seu plano de resolução e verifique se há ideias comuns entre vocês.
• Discutam as diferenças e as semelhanças de cada plano e escolham um dos planos para 
a execução do processo de resolução.
 Observação Observação
 Resolvam o problema de forma coletiva, mas façam o registro individual no caderno.
Ve
rif
ic
aç
ão
• Releiam o problema e verifiquem se todas as condições do enunciado foram satisfeitas.
Ap
re
se
nt
aç
ão
• Pesquisem no site da Agência Nacional de Telecomunicações (Anatel) os direitos e as
garantias dos usuários de telefonia. Para isso, poderão consultar o site disponível em:
<http://www.anatel.gov.br/institucional/> (acesso em: 11 out. 2018).
Resolvendo em equipe
(Enem) No Brasil, há várias operadoras e planos de telefo- No Brasil, há várias operadoras e planos de telefo-
nia celular. Uma pessoa recebeu 5 propostas (A, B, C, D e E) 
de planos telefônicos. O valor mensal de cada plano está em 
função do tempo mensal das chamadas, conforme o gráfico.
Essa pessoa pretende gastar exatamente R$$ 30,00 por 
mês com telefone. Dos planos telefônicos apresentados, 
qual é o mais vantajoso, em tempo de chamada, para o 
gasto previsto para essa pessoa?
a) A
b) B
c) C
d) D
e) E
Faça a atividade no caderno.
70
60
50
40
30
20
10
0
Tempo mensal (em minuto)
Va
lo
r m
en
sa
l (
em
 re
al
)
0 10 20 30 40 50 60
A
B
C
D
E
LU
IZ
 R
U
B
IO
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
215
Lendo e aprendendo
A Estatística na área de saúde
Assim como em outras áreas (educação, economia etc.), estudos mostram que a Assim como em outras áreas (educação, economia etc.), estudos mostram que a 
Estatística tem papel relevante nos avanços na área da saúde obtidos nos últimos sécuEstatística tem papel relevante nos avanços na área da saúde obtidos nos últimos sécu-
los, podendo utilizar a análise de dados paratestar hipóteses e assim verificar determilos, podendo utilizar a análise de dados para testar hipóteses e assim verificar determi-
nada evidência. 
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: C
LA
Y
TO
N
 C
A
S
S
IA
N
O
Pensando em um tratamento inovador, por exemplo, é possível fazer diversos testes Pensando em um tratamento inovador, por exemplo, é possível fazer diversos testes 
em laboratório e verificar que em determinadas condições, algumas reações químicas em laboratório e verificar que em determinadas condições, algumas reações químicas 
sempre ocorrem, mas devido à diversidade entre os seres humanos, as reações a detersempre ocorrem, mas devido à diversidade entre os seres humanos, as reações a deter-
minado tratamento podem ocorrer de forma diferente entre as pessoas. Nesse contexto, minado tratamento podem ocorrer de forma diferente entre as pessoas. Nesse contexto, 
a Estatística pode não garantir que uma pessoa será curada de uma doença utilizando a Estatística pode não garantir que uma pessoa será curada de uma doença utilizando 
certo tratamento, mas é possível inferir que, se em um estudo de determinado grupo comcerto tratamento, mas é possível inferir que, se em um estudo de determinado grupo com
1 000 pacientes com a mesma patologia 990 obtiverem resultado favorável após esse 000 pacientes com a mesma patologia 990 obtiverem resultado favorável após esse 
tratamento, há grandes chances de este ser eficaz. 
Em contrapartida, o uso inadequado da Estatística também pode ser responsável por 
erros de interpretação, mostrando resultados falsos ou suposições sem justificativas. 
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
206
Um pouco de história
Estatística: origem e finalidade
Os primeiros dados estatísticos encontrados são de aproximadamente 5000 a.C. no Egito 
antigo, e estavam relacionados a prisioneiros de guerra. A palavra "estatística" vem do latim 
status, que significa estado; essa palavra passou a ser utilizada porque os recenseamentos status, que significa estado; essa palavra passou a ser utilizada porque os recenseamentos status
eram feitos por ordem dos governantes que queriam obter dados da população para taxar im-
postos, daí vem também a palavra censo, derivada de cesere, que em latim significa taxar. 
Outras contagens populacionais foram realizadas no Egito e em outras regiões. Há registros 
de que, por volta de 2300 a.C., na China, por ordem do imperador Yao, foi realizado um censo 
da população e das lavouras cultivadas. 
Posteriormente, por volta dos séculos VIII ao 
IV a.C., os gregos e romanos também realiza-
ram censos da população para recrutar solda-
dos para o exército.
A palavra "estatística", no sentido de ob-
tenção, estudo e interpretação de dados, 
foi utilizada pela primeira vez na Alemanha, 
por volta do século XVIII. No Brasil, o primeiro 
censo foi realizado em 1872.
LÉ
O
 F
A
N
E
LL
I
A
LO
IS
IO
 M
A
U
R
IC
IO
/F
O
TO
A
R
E
N
A
Pesquisa censitáriaPesquisa censitária
A pesquisa censitária é aquela em que os dados são obtidos de toda a população. Uma pes-
quisa desse tipo permite uma grande precisão na análise e na interpretação das informações. 
Um exemplo de pesquisa censitária é o Censo demográfico que ocorre a cada 10 anos, realizado 
pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). 
Apesar de permitir uma maior precisão na análise, a pesquisa censitária pode ser inviável 
em algumas situações. Por exemplo, durante as eleições, em um curto intervalo de tempo, 
são realizadas muitas pesquisas para verificar a opinião pública a respeito dos candidatos. 
Imagine se toda a população brasileira fosse entrevistada uma vez por semana. Seriam mui-
tos dados para serem processados e cada rodada de entrevistas seria equivalente ao próprio 
processo eleitoral.
Pesquisa amostralPesquisa amostral
A pesquisa amostral é bastante comum em 
nosso cotidiano, principalmente de maneira 
informal. Por exemplo, no Mercado Municipal 
de São Paulo é comum os lojistas oferecerem 
aos clientes um pedaço ou uma unidade de 
fruta para provar, a fim de mostrar a qualida-
de do produto e, consequentemente, efetivar 
a venda. Caso alguém esteja interessado em 
cerejas, uma análise do tipo censitária seria 
inviável, pois não faz sentido provar cada uma 
delas antes de comprar. Comerciante no Mercado Municipal de São Paulo, 2017.
É hora de extrapolarÉ hora de extrapolar Faça as atividades no caderno.
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
185
O QUE VOCÊ SABE SOBRE A DIVERSIDADE CULTURAL DOS POVOS INDÍGENAS 
NO BRASIL?
Segundo o Censo demográfico de 2010, feito pelo IBGE, aproximadamente 897 mil pessoas se declara-
vam ou se consideravam indígenas, apresentando um aumento em relação ao número obtido na pes-
quisa censitária realizada no ano 2000, que foi de 734 mil pessoas. O Censo 2010 também revelou a 
existência de 274 línguas indígenas faladas entre as 305 etnias diferentes. Os modos de cultura desses 
importantes povos brasileiros apresentam semelhanças e diversidades que vale a pena conhecer.
Fotos: (1) Indígena da etnia Kalapalo pescando no lago Kusse, Querência, MT, 2009; (2) Membro da etnia Pataxó usando 
computador em escola da Aldeia Barra Velha, Porto Seguro, BA, 2014; (3) Crianças em escola na Aldeia Kuikuro, Alto 
Xingú, MT, 2012; (4) Indígena da etnia Kalapalo lavando mandioca para obter polvilho, Querência, MT, 2018.
Objetivos:  Analisar dados sobre a população 
indígena, pesquisar e analisar informações sobre 
os tipos de habitação dos povos indígenas e a arte 
da cerâmica e da cestaria indígenas e realizar uma 
exposição de painéis para a comunidade escolar.
Etapa 1: Análise de dados do fôlder Brasil 
Indígena produzido pelo IBGE. Indígena produzido pelo IBGE. Indígena
1. Reúna-se em grupo. Antes de realizar a pes-
quisa sobre os povos indígenas, respondam às 
perguntas a seguir no caderno.
a) Vocês conhecem alguns povos indígenas? 
Se sim, citem os nomes.
b) O que vocês sabem sobre os modos de vi-
ver dos índios brasileiros?
2. Leiam o fôlder Brasil Indígena (disponí-
vel em: <http://www.funai.gov.br/arquivos/
conteudo/ascom/2013/img/12-Dez/pdf-
brasil-ind.pdf>, acesso em: 10 out. 2018), que 
traz os principais resultados sobre a popula-
ção indígena brasileira apurados pelo Censo 
demográfico 2010 realizado pelo IBGE, e res-
pondam às questões a seguir:
a) Foram realizadas pesquisas censitárias 
nos anos de 1991 e 2000 para contabi-
lizar a população indígena brasileira. Os 
números obtidos nessas pesquisas foram 
294 mil e 734 mil, respectivamente. O re-
latório aponta que esse crescimento ex-
pressivo não poderia ser explicado ape-
nas pelos efeitos demográficos comuns 
(natalidade, mortalidade e migração). Que 
outro fator é apontado para explicar esse 
aumento dos valores populacionais?
b) “Não existem terras indígenas em áreas 
urbanas.” Segundo os dados sobre a dis-
tribuição espacial dos indígenas, essa afir-
mação é verdadeira ou falsa?
Etapa 2: Analisar informações sobre os tipos 
de habitação indígena e sobre a arte da cerâmica 
e cestaria.
3. Leia o trecho a seguir e, depois, faça o que se 
pede.
A aldeia Yanomami é uma casa de forma 
circular ou poligonal de diâmetro entre 20 e 
40 metros. A parte superior é aberta para per-
mitir a penetração de luz solar e a saída da 
fumaça. Essa abertura coincide internamente 
com a “praça central” da aldeia, onde se rea-
lizam cerimônias e pajelanças. [...] A aldeia-
-casa dura apenas um ou dois anos; após esse 
período é reconstruída em outro lugar. 
Habitação indígena: a aldeia. In: Terra brasileira. 
Disponível em: <http://www.terrabrasileira.com.
br/indigena/cotidiano/411aldeia.html>. 
Acesso em: 10 out. 2018.
D
E
LF
IM
 M
A
R
TI
N
S
/P
U
LS
A
R
 IM
A
G
E
N
S
R
E
N
AT
O
 S
O
A
R
E
S
/P
U
LS
A
R
 IM
A
G
E
N
S
R
IT
AB
A
R
R
E
TO
D
U
 Z
U
P
PA
N
I/
P
U
LS
A
R
 IM
A
G
E
N
S
E
D
S
O
N
 S
AT
O
/P
U
LS
A
R
 IM
A
G
E
N
S
Aldeia do Deminí em Território Indígena Yanomami, 
Barcelos, AM, 2012.
1 2 3 4
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
186
a) Qual é a área aproximada de uma casa ya-
nomami de formato circular com um raio de 
30 metros? Considere s 5 3,14.
b) Se uma aldeia A circular tem raio de 
20 metros e outra, B, tem raio de 40
metros, podemos afirmar que a área da
aldeia B corresponde ao dobro da área
da A? Justifique.
4. Escavações arqueológicas revelaram que a 
confecção de artefatos de cerâmica fazia par-
te dos costumes de diversos povos indíge-
nas que habitaram ou ainda habitam o Brasil. 
Foram encontrados objetos que visavam ao 
armazenamento ou ao uso culinário, 
além de vasos e outros objetos orna-
mentais que provavelmente eram 
utilizados em cerimoniais. 
Atualmente, as mulheres 
Kadiwéu produzem va-
sos, enfeites de parede 
e outros ornamentos. 
Tais peças são preen-
chidas por padrões com-
postos de formas de 
várias cores, como mos-
trado nas imagens. 
Artesã da etnia Kadiwéu produzindo cerâmica na 
Aldeia Alves de Barros, Porto Murtinho, MS, 2015.
Muitos dos padrões e desenhos utilizados pe-
los indígenas lembram figuras geométricas. 
Analisem as imagens dos vasos e identifi-
quem essas figuras.
5. Outras manifestações artísticas ocorrem na 
cestaria e na pintura corporal. Pesquisem na
internet imagens desses tipos de arte com
padrões que contenham figuras geométri-
cas. Selecionem duas das imagens pesqui-
sadas e identifiquem as formas geométricas.
Então, apresentem as imagens, que poderão
ser utilizadas na etapa de produção do painel
para os colegas de turma. Caso as imagens
pesquisadas não sejam referentes ao povo
indígena selecionado, disponibilize-as para
os demais colegas.
Etapa 3:  Produção dos painéis sobre as 
características de povos indígenas brasileiros.
6. Leia o texto a seguir e responda à questão.
Muitos povos [indígenas] reúnem, em seu 
cotidiano, modos de viver herdados de seus 
antepassados, além de produtos, institui-
ções e relações sociais adquiridas após a 
intensificação do contato com os “brancos”.
Quem são?. In: Povos indígenas no Brasil, 
Instituto Socioambiental (ISA). Disponível em: 
<https://pib.socioambiental.org/pt/
Quem_s%C3%A3o>. Acesso em: 10 out. 2018.
Podemos afirmar que atualmente os modos 
de viver dos brasileiros “não índios” também 
são influenciados e modificados por outras 
tradições culturais, inclusive as tradições 
indígenas? Se sim, citem alguns exemplos. 
Se não, expliquem por quê.
7. Escolham uma das populações indígenas do 
país e realizem uma pesquisa sobre: local, nú-
mero populacional, língua falada, organização 
da sociedade, história e aspectos culturais. 
Além dessas informações, selecionem ima-
gens e não se esqueçam de anotar as referên-
cias de todos os materiais utilizados.
8. Com base nas informações obtidas, elaborem 
um painel informativo, digital ou impresso, 
sobre o povo indígena escolhido. 
Etapa 4: Apresentação e análise dos painéis.
9. Disponibilizem o painel elaborado pelo grupo 
para que os colegas analisem e façam comen-
tários em relação à clareza das informações, 
à escolha das imagens e ao tamanho e à
disposição de textos e imagens.
10. Anotem as dúvidas,  as  opiniões e  as  suges-
tões dos colegas. 
11. Depois dos  ajustes  necessários, organizem 
uma exposição dos painéis para a comunidade 
escolar. 
Etapa 5: Síntese do trabalho realizado.
12. Algumas questões que devem ser discutidas:
a) As informações que vocês conheciam so-
bre os povos indígenas no início do traba-
lho correspondem às informações obtidas 
nas pesquisas? 
b) É importante que a população brasileira 
conheça mais sobre os povos indígenas? 
Por quê?
13. Redijam um texto que descreva o processo 
realizado pelo grupo nas etapas 3 e 4.
4. Escavações arqueológicas revelaram que a 
confecção de artefatos de cerâmica fazia par-
te dos costumes de diversos povos indíge-
nas que habitaram ou ainda habitam o Brasil. 
Foram encontrados objetos que visavam ao 
armazenamento ou ao uso culinário, 
além de vasos e outros objetos orna-
mentais que provavelmente eram 
utilizados em cerimoniais. 
Atualmente, as mulheres 
trado nas imagens. 
LU
C
IO
LA
 Z
VA
R
IC
K
/P
U
LS
A
R
 IM
A
G
E
N
S
PA
U
LO
 F
R
ID
M
A
N
/P
U
LS
A
R
 IM
A
G
E
N
S
PA
U
LO
 F
R
ID
M
A
N
/P
U
LS
A
R
 IM
A
G
E
N
S
Vasos de cerâmica Vasos de cerâmica 
indígena, MS, 2010.
5
6
Sumário
6
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
UNIDADE
I Capítulo 1 – Conjuntos numéricos 10
1. Números naturais ............................................................................................................................12
Sequência numérica ........................................................................................................................... 13
2. Números inteiros .............................................................................................................................15
3. Números racionais ..........................................................................................................................16
Representação decimal dos números racionais .................................................................................. 18
Cálculo de porcentagem .................................................................................................................... 19
Fração geratriz de uma dízima periódica ................................................................................................23
4. Números irracionais ........................................................................................................................25
5. Números reais ..................................................................................................................................27
Trabalhando os conhecimentos adquiridos ...........................................................................................28
Capítulo 2 – Potenciação e radiciação 31
1. Potenciação ......................................................................................................................................33
Expoente zero .............................................................................................................................................33
Expoente 1 ..................................................................................................................................................34
Expoente inteiro maior que 1 ...................................................................................................................34
Expoente inteiro negativo .........................................................................................................................34
Propriedades da potenciação ...................................................................................................................36
2. Radiciação .........................................................................................................................................40
Raiz quadrada exata ..................................................................................................................................41
Raiz quadrada aproximada .......................................................................................................................43
Trabalhando os conhecimentos adquiridos ...........................................................................................45
Capítulo 3 – Sistemas de equações do 1o grau 47
1. Pares ordenados e plano cartesiano ............................................................................................492. Equação do 1o grau com duas incógnitas ....................................................................................51
Representação gráfica das soluções de uma equação do 1o grau com duas incógnitas ...................51
3. Sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas .............................................................53
Resolução de sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas ................................................53
Solução gráfica de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas ....................... 57
Trabalhando os conhecimentos adquiridos ...........................................................................................62
É hora de extrapolar ......................................................................................................................................66
UNIDADE
II Capítulo 4 – Ângulos e transformações geométricas 70
1. Ângulos .............................................................................................................................................72
Classificação de ângulos ............................................................................................................................72
Ângulos congruentes .................................................................................................................................73
Bissetriz de um ângulo ..............................................................................................................................74
Mediatriz de um segmento ......................................................................................................................75
Construção de ângulos com régua e compasso ..................................................................................... 77
Retas paralelas ...........................................................................................................................................79
7
7
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
2. Lugares geométricos .......................................................................................................................80
Circunferência .............................................................................................................................................80
Mediatriz .....................................................................................................................................................81
Retas paralelas ...........................................................................................................................................82
Bissetriz .......................................................................................................................................................83
3. Transformações geométricas .........................................................................................................85
Translação ...................................................................................................................................................86
Rotação .......................................................................................................................................................87
Reflexão ......................................................................................................................................................88
Composição de transformações ...............................................................................................................92
Trabalhando os conhecimentos adquiridos ...........................................................................................94
Capítulo 5 – Polígonos 98
1. Polígonos ........................................................................................................................................100
Elementos de um polígono .....................................................................................................................100
Classificação dos polígonos .....................................................................................................................101
2. Diagonais de um polígono ...........................................................................................................102
3. Ângulos internos e ângulos externos de um polígono ...........................................................103
Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono .................................................................103
Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono ................................................................104
4. Polígonos regulares ......................................................................................................................106
Medida do ângulo interno e do ângulo externo de um polígono regular .........................................106
Ângulo central de um polígono regular ................................................................................................107
Construção de polígonos regulares com régua e compasso ...............................................................108
Trabalhando os conhecimentos adquiridos ........................................................................................ 109
Capítulo 6 – Probabilidade 112
1. Possibilidades .................................................................................................................................114
Princípio multiplicativo ............................................................................................................................116
2. Probabilidade ................................................................................................................................ 118
Trabalhando os conhecimentos adquiridos ........................................................................................ 122
É hora de extrapolar ................................................................................................................................... 124
UNIDADE
III Capítulo 7 – Triângulos e quadriláteros 128
1. Triângulo .........................................................................................................................................130
Classificação de triângulos ......................................................................................................................130
Cevianas notáveis: mediana, altura e bissetriz .....................................................................................132
2. Congruência de triângulos ............................................................................................................136
1o caso de congruência: LAL (Lado-Ângulo-Lado) ........................................................................................ 136
2o caso de congruência: ALA (Ângulo-Lado-Ângulo) ................................................................................. 137
3o caso de congruência: LLL (Lado-Lado-Lado) ......................................................................................... 137
4o caso de congruência: LAAo (Lado-Ângulo-Ângulo oposto) ................................................................. 137
3. Quadriláteros ..................................................................................................................................139
Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo ............................................140
4. Classificação dos quadriláteros ......................................................................................................... 141
Paralelogramos ........................................................................................................................................142Trapézios ...................................................................................................................................................147
Trapezoides ...............................................................................................................................................148
Trabalhando os conhecimentos adquiridos .........................................................................................152
8
8
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
UNIDADE
IV
Capítulo 8 – Área, volume e capacidade 156
1. Área de figuras planas ..................................................................................................................158
Área do retângulo e do quadrado ..........................................................................................................158
Área do triângulo e do paralelogramo ..................................................................................................159
Área do trapézio e do losango ...............................................................................................................159
2. Área do círculo ................................................................................................................................162
3. Volume e capacidade ...................................................................................................................165
Trabalhando os conhecimentos adquiridos ........................................................................................ 169
Capítulo 9 – Equações do 2o grau 171
1. Equação do 2o grau com uma incógnita ....................................................................................173
Equações completas e incompletas .......................................................................................................174
Raiz de uma equação do 2o grau ............................................................................................................175
2. Resolução de equações do 2o grau ............................................................................................176
Resolução de problemas .........................................................................................................................178
Resolução de equações incompletas do 2o grau com calculadora ou planilha eletrônica .................180
Trabalhando os conhecimentos adquiridos ........................................................................................ 183
É hora de extrapolar ................................................................................................................................... 185
Capítulo 10 – Grandezas e proporcionalidade 188
1. Grandezas e proporcionalidade ..................................................................................................191
Grandezas diretamente proporcionais ...................................................................................................191
Grandezas inversamente proporcionais ................................................................................................193
2. Representação da relação entre grandezas no plano cartesiano ..........................................196
Gráficos de grandezas diretamente proporcionais ...............................................................................196
Gráficos de grandezas inversamente proporcionais .............................................................................198
Trabalhando os conhecimentos adquiridos ........................................................................................ 200
Capítulo 11 – Medidas de tendência central e pesquisa estatística 203
1. Pesquisa estatística .......................................................................................................................205
População, amostra e pesquisas censitária ou amostral .....................................................................205
Variáveis estatísticas ................................................................................................................................209
2. Medidas de tendência central .....................................................................................................211
Médias ......................................................................................................................................................212
Mediana ....................................................................................................................................................213
Moda .........................................................................................................................................................213
Trabalhando os conhecimentos adquiridos ........................................................................................ 216
Capítulo 12 – Gráficos estatísticos 219
1. Apresentação de dados ................................................................................................................221
Distribuição de frequência ......................................................................................................................221
2. Gráficos de segmentos, de barras e de setores .......................................................................223
3. Cartograma e pictograma ............................................................................................................227
Cartograma ...............................................................................................................................................227
Pictograma ................................................................................................................................................228
4. A escolha do gráfico ......................................................................................................................229
Trabalhando os conhecimentos adquiridos ........................................................................................ 232
É hora de extrapolar ................................................................................................................................... 235
Respostas ..............................................................................................................................................238
Bibliografia ...........................................................................................................................................248
9
UNIDADE I
Nesta unidade você vai estudar
Capítulo 1 Conjuntos numéricos
Capítulo 2 Potenciação e radiciação
Capítulo 3 Sistemas de equações do 1o grau
É hora de começar
1 Quais são os conjuntos numéricos que você já conhece?
2 Raiz quadrada de 2 é um número natural, inteiro ou racional?
3 Em que situações do dia a dia você utiliza a potenciação? 
E a radiciação?
4 Como você representaria o total de pneus (P ), usando a 
linguagem algébrica, de x motos e x motos e x y automóveis?y automóveis?y
• Nesta unidade os alunos 
vão estudar as unidades te-
máticas Números e Álgebra. 
No capítulo 1, será retoma-
do tanto o cálculo de por-
centagens na resolução de 
problemas quanto o estudo 
de sequências determinadas 
por uma lei de formação re-
cursiva, além da exploração 
de dízimas periódicas.
No capítulo 2, a notação 
científica, potenciação e ra-
diciação serão os objetos de 
estudo aprofundados.
No capítulo 3, as equações 
de 1o grau serão emprega-
das na resolução de proble-
mas, associadas a retas no 
plano cartesiano.
• O objetivo das questões do 
“É hora de começar” é pro-
porcionar um momento de 
reflexão e instigar a curio-
sidade dos alunos para os 
assuntos que serão estu-
dados nos capítulos que 
integram esta unidade. As 
questões não precisam ser 
respondidasneste momento, 
mas sugerimos retomá-las no 
final do estudo da unidade 
para que os alunos reflitam 
sobre o que aprenderam. 
Veja plano de desenvolvi-
mento e projeto integrador 
no Material do Professor – 
Digital.
10
CAPÍTULO
Conjuntos numéricos1
PA
U
L 
H
A
N
N
A
/R
E
U
TE
R
S
/L
AT
IN
S
TO
C
K
Atletas de BMX durante 
competição nos Jogos 
Olímpicos Rio 2016.
10
É hora de observar e refletir
BMX ou Bicicross é um esporte praticado com bicicletas especiais de aro 20 ou 24 polegadas, 
em pistas de terra com alguns obstáculos. Observe o quadro abaixo, que apresenta algumas medidas 
dos pneus dessas bicicletas.
Algumas medidas dos pneus de aro 20 e aro 24
Aro 20 Aro 24
Diâmetro externo do pneu 52 cm 64 cm
Comprimento aproximado do pneu 163 cm 201 cm
Agora, responda às questões.
Como você faria para medir o comprimento aproximado de um pneu de bicicleta?
Divida a medida do comprimento aproximado dos pneus de aros 20 e 24 indicados no quadro 
acima, respectivamente, pela medida do diâmetro externo de cada um dos tipos de pneu. 
Quais foram os números encontrados? Eles são aproximadamente iguais?
aro 20: aproximadamente 3,134615; aro 24: aproximadamente 3,140625
Resposta pessoal.
Objetivos
• Consolidar e ampliar os 
significados dos números na-
turais, inteiros e racionais.
• Compreender o que é uma 
sequência numérica deter-
minada por uma lei de for-
mação recursiva e utilizá-la 
para resolver problemas.
• Resolver problemas que 
envolvam o cálculo de por-
centagem.
• Identificar uma dízima pe-
riódica e obter sua fração 
geratriz.
• Compreender a noção de 
número irracional; refletir 
a respeito das propriedades 
do conjunto dos números ir-
racionais; diferenciar um nú-
mero irracional dos demais já 
estudados; e, mobilizar tais 
conhecimentos para a reso-
lução de problemas. 
• Compreender a ideia de 
conjunto dos números reais.
Habilidades da BNCC 
• Este capítulo foi planejado 
para favorecer o desenvolvi-
mento das seguintes habili-
dades da BNCC: EF08MA04, 
EF08MA05 e EF08MA11.
• Nesse capítulo, faremos uma 
revisão dos números natu-
rais, inteiros e racionais. Em 
seguida, apresentaremos os 
números irracionais, passando 
a trabalhar com o conjunto 
dos números reais.
É hora de observar e refletir 
• A situação da abertura 
possibilita a introdução da 
ideia do número s (pi) como 
a razão aproximada entre o 
comprimento de uma circun-
ferência e a medida de seu di-
âmetro. Proponha aos alunos 
que meçam o comprimento e 
o diâmetro da circunferência 
de alguns objetos circulares e 
que depois dividam a medi-
da comprimento pela medi-
da do diâmetro para obser-
var que essa razão é sempre 
um valor próximo de 3,14; 
independentemente da cir-
cunferência considerada. Na 
segunda questão, espera-se 
que os alunos percebam que 
os números são aproximada-
mente iguais, já que, se arre-
dondarmos os valores para 
os décimos, teremos 3,1; e, 
se arredondarmos para os 
centésimos, teremos 3,14.
EF08MA04: Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais. 
EF08MA05: Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.
EF08MA11: Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma 
que permita indicar os números seguintes.
11
Trocando ideias
G
E
O
R
G
E
 T
U
TU
M
I Azeitona
450 g
R$ 9,75
Café
500 g
R$ 8,20
Leite em pó
400 g
R$ 10,25
Batata
R$ 5,00 por 1 kg
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
11
 ▸ Observem os números indicados na ilustração abaixo.
 ▸ Identifiquem:
• os números inteiros;
• os números racionais e não inteiros.
 ▸ Converse com os colegas sobre diferentes situações do dia a dia em que vocês utili-
zam números racionais na forma de fração e na forma decimal. 
Neste capítulo, você vai conhecer os números irracionais. Antes, porém, vamos retomar 
alguns conceitos e algumas propriedades dos conjuntos numéricos já estudados e anali-
sar as relações entre eles.
1; 5,00; 400; 450 e 500
23,5; 8,20; 9,75 e 10,25
Resposta pessoal. 
Trocando ideias
• Esta seção foi criada para 
incentivar uma conversa en-
tre os alunos sobre assuntos 
do capítulo, mobilizando 
seus conhecimentos. Sugeri-
mos explorá-la oralmente; se 
achar necessário, solicite que 
respondam às questões por 
escrito no caderno. A seção 
busca favorecer o desenvol-
vimento das competências 
gerais 4 e 9.
• Os racionais na forma de 
frações podem ser encontra-
dos, por exemplo, em medi-
das de receitas e em cotações 
de alguns materiais de cons-
trução, como brocas, buchas 
e parafusos.
Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, 
sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar in-
formações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.
Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo 
o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus 
saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.
12
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
12
Para contar uma quantidade de objetos, pessoas, animais etc., usamos os números naturais. 
O conjunto dos números naturais representado por v é dado por:
v 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
O zero é o menor número natural. Todo número natural tem um sucessor; desse modo, 
dizemos que a sequência dos números naturais é infinita. Todo número natural, com exceção 
do zero, tem um antecessor. 
Observe:
 ▸ O antecessor de 30 é 29. E o sucessor de 30 é 31.O antecessor de 30 é 29. E o sucessor de 30 é 31.
 ▸ O antecessor de 1 050 é 1 049.049.
Números naturais1
Para determinar 
o sucessor de um número 
natural qualquer, basta adicionar 
1 a esse número.
O sucessor de 999 é 1000 
(999 1 1 5 1000).
Para determinar o 
antecessor de um número 
natural qualquer, com 
exceção do zero, basta 
subtrair 1.
25 + 4 é 29 
e o sucessor 
de 29 é 30.
G
E
O
R
G
E
 T
U
TU
M
I
JO
S
É
 L
U
ÍS
 J
U
H
A
S
O que você achou da maneira como Luíza resolveu o problema? 
Os números naturais estão presentes em diversas situações e têm diferentes funções. 
Observe na imagem acima, por exemplo, a posição em que terminamos uma competição ou a 
indicação dos dias do mês no calendário.
Agora, acompanhe a situação a seguir.Agora, acompanhe a situação a seguir.
Luíza estava se entretendo em seu computador e encontrou o seguinte desafio a ser resolvido.
O antecessor da soma de um número positivo com 4 é igual ao sucessor da soma de 25 com 4. 
Que número é esse?
Veja como Luíza resolveu esse enigma.
O antecessor da 
soma de um número 
com 4 é o mesmo 
que esse número 
somado a 3.
Um número 
somado a 3 é igual 
a 30, então esse 
número é o mesmo 
que 30 – 3, ou seja, 
o número é 27.
AGOSTO DE 2018 AGOSTO DE 2018
• Inicie o estudo dos núme-
ros naturais retomando um 
pouco da história dos núme-
ros. Comente que eles surgi-
ram da necessidade humana 
de contar e de ordenar. Teo-
rias indicam que essa neces-
sidade pode estar ligada ao 
surgimento do ser humano 
sedentário, que passou a criar 
animais e a cultivar plantas, 
obrigando-o a buscar manei-
ras de contar o tempo para 
determinar os melhores mo-
mentos de plantio etc. 
• Comente que o zero foi 
o último algarismo a ser in-
ventado, pois está relaciona-
do à ideia de ausência, que 
demorou a ser compreen-
dida. Por exemplo, como o 
número 102 possui uma cen-
tena, duas unidades e ne-
nhumadezena, lemos “cen-
to e dois”, sem pronunciar a 
dezena ausente.
• Ao retomar os termos su-
cessor e antecessor, chame a 
atenção para os prefixos das 
palavras, a fim de que os alu-
nos não confundam os con-
ceitos. Exemplifique a ideia 
de sucessor e a de antecessor 
utilizando a reta numérica.
• Além da notação v, apre-
sente a notação dos naturais 
não nulos (v*).
• Uma abordagem interes-
sante que os conduzirá aos 
próximos conjuntos numéri-
cos é pensar nas operações 
matemáticas, concluindo com 
os alunos que os naturais são 
fechados para a adição e a 
multiplicação, mas não para a 
subtração e a divisão.
Sugestão de leitura
• Para obter mais informações sobre a história dos números e a importância da Matemática ao longo da 
 História, consulte o livro A história da Matemática, de Anne Rooney, da editora M. Books (São Paulo, 2012).
13
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
13
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: J
O
S
É
 L
U
ÍS
 J
U
H
A
S
Sequência numérica
Uma sequência numérica é uma sequência cujos elementos são números escritos em 
uma certa ordem. A sequência pode ser infinita, na qual usamos reticências para indicar 
que ela continua indefinidamente. Ou pode ser finita, na qual listamos todos os elementos. 
Cada um dos elementos da sequência é chamado de termo da sequência.
Podemos escrever algebricamente a lei de formação de uma sequência por meio de uma 
recursão, chamada lei de formação recursiva, que nos fornece os primeiros termos da sequência 
e uma sentença algébrica na qual cada termo depende de seus anteriores. Veja os exemplos.
 ▸ Uma sequência infinita na qual a1 5 0 e an 1 1 5 an 1 3, para todo n inteiro positivo.
Para ]1, temo 3 0 3 3n a1,n a1, temon atemos:n as: a a3 0a a3 0]3 0]a a]3 0]5 5n a5 5n a1,n a1,5 51,n a1, temon atemo5 5temon atemos:n as:5 5s:n as: 1 53 01 53 0a a1 5a a3 0a a3 01 53 0a a3 0]3 0]a a]3 0]1 5]3 0]a a]3 0] 1 53 31 53 31 5 51 5 51 1a a1 1a a5 51 15 5 23 023 03 01 53 023 01 53 01 
Para 2, temos 3 3 3 6n a2n a2,n a, temosn atemos:n a: a a5 5n a5 5n a2n a25 52n a2 temosn atemos5 5temosn atemos:n a:5 5:n a: 1 53 31 53 3a a1 5a a3 3a a3 31 53 3a a3 3]3 3]a a]3 3]1 5]3 3]a a]3 3] 1 53 61 53 62 15 52 15 5 2 3]2 3]3 32 33 3a a2 3a a3 3a a3 32 33 3a a3 3]3 3]a a]3 3]2 3]3 3]a a]3 3]3 31 53 32 33 31 53 3a a1 5a a2 3a a1 5a a3 3a a3 31 53 3a a3 32 33 3a a3 31 53 3a a3 3]3 3]a a]3 3]1 5]3 3]a a]3 3]2 3]3 3]a a]3 3]1 5]3 3]a a]3 3]2 112 1
Para ]3, temos 3 6 3 9n a3,n a3, temosn atemos:n a: a a]a a]3a a3 a a 5 5n a5 5n a3,n a3,5 53,n a3, temosn atemos5 5temosn atemos:n a:5 5:n a: 1 531 53a a1 5a a]a a]1 5]a a]3a a31 53a a3 1 56 31 56 33 5 53 5 51 3a a1 3a a5 51 35 5 4 4 1 541 51
Para 4, temo 3 9 3 12n a4,n a4, temon atemos:n as: a a5 5n a5 5n a4,n a4,5 54,n a4, temon atemo5 5temon atemos:n as:5 5s:n as: 1 53 91 53 9a a1 5a a3 9a a3 91 53 9a a3 9]3 9]a a]3 9]1 5]3 9]a a]3 9] 1 531 534 15 54 15 5 4 5]4 5]3 94 53 9a a4 5a a3 9a a3 94 53 9a a3 9]3 9]a a]3 9]4 5]3 9]a a]3 9]3 91 53 94 53 91 53 9a a1 5a a4 5a a1 5a a3 9a a3 91 53 9a a3 94 53 9a a3 91 53 9a a3 9]3 9]a a]3 9]1 5]3 9]a a]3 9]4 5]3 9]a a]3 9]1 5]3 9]a a]3 9]4 114 1
Essa lei de formação gera a sequência 
(0, 3, 6, 9, 12, ...), que é a sequência de 
múltiplos de 3.
 ▸ Uma sequência infinita na qual a1 5 0 e 
an 1 1 5 an 1 7, para todo n inteiro positivo.
Para 1, temo 7 0 7 7n a1,n a1, temon atemos:n as: a a5 5n a5 5n a1,n a1,5 51,n a1, temon atemo5 5temon atemos:n as:5 5s:n as: 1 571 57a a1 5a a]a a]1 5]a a]7a a71 57a a7 1 57 71 57 71 15 51 15 5 1 2]1 2]a a1 2a a]a a]1 2]a a]7a a71 27a a71 51 21 5a a1 5a a1 2a a1 5a a]a a]1 5]a a]1 2]a a]1 5]a a]7a a71 57a a71 27a a71 57a a71 111 1
Para 2, temos: 7 7 7 14n a2n a2,n a, temosn atemos: 7n a: 7a a: 7a a: 7: 75 5: 7n a5 5n a2n a25 52n a2 temosn atemos5 5temosn atemos: 7n a: 75 5: 7n a: 71 5: 71 5: 7a a1 5a a]a a]1 5]a a]: 7a a: 71 5: 7a a: 7 1 57 71 57 72 1: 72 1: 7: 75 5: 72 1: 75 5: 72 3]2 3]a a2 3a a]a a]2 3]a a]: 7a a: 72 3: 7a a: 71 52 31 5a a1 5a a2 3a a1 5a a]a a]1 5]a a]2 3]a a]1 5]a a]: 7a a: 71 5: 7a a: 72 3: 7a a: 71 5: 7a a: 72 112 1: 72 1: 71: 72 1: 7
Para ]3, t : 7 14 7 21n a3n a3, tn a, temosn aemos: 7n a: 7a a]a a]: 7a a: 7: 75 5: 7n a5 5n a3n a35 53n a3, tn a, t5 5, tn a, temosn aemos5 5emosn aemos: 7n a: 75 5: 7n a: 71 5: 71 5: 7a a1 5a a]a a]1 5]a a]: 7a a: 71 5: 7a a: 7 1 571 573 : 73 : 7: 75 5: 73 : 75 5: 71 3: 71 3: 7a a1 3a a: 7a a: 71 3: 7a a: 7: 75 5: 71 3: 75 5: 7 41 541 51: 71: 7
Para 4, t : 7 21 7 28n a 4n a 4, tn a, temosn aemos: 7n a: 7a a: 7a a: 7: 75 5: 7n a5 5n a 4n a 45 5 4n a 4, tn a, t5 5, tn a, temosn aemos5 5emosn aemos: 7n a: 75 5: 7n a: 71 5: 71 5: 7a a1 5a a]a a]1 5]a a]: 7a a: 71 5: 7a a: 7 1 51 71 51 74 1: 74 1: 7: 75 5: 74 1: 75 5: 74 5]4 5]a a4 5a a]a a]4 5]a a]: 7a a: 74 5: 7a a: 71 54 51 5a a1 5a a4 5a a1 5a a]a a]1 5]a a]4 5]a a]1 5]a a]: 7a a: 71 5: 7a a: 74 5: 7a a: 71 5: 7a a: 74 114 1: 74 1: 71: 74 1: 7
Essa lei de formação gera a sequência (0, 7, 14, 21, 28, ...), 
que é a sequência de múltiplos de 7.
Eventualmente são dados os primeiros termos de uma sequência, mas não a sua lei 
de formação e, mesmo assim, podemos determinar os demais termos dessa sequência. 
Observe a situação a seguir.
O símbolo ] (implica) 
significa que, se as afirmações à 
sua esquerda são verdadeiras, entãoentão 
as afirmações à sua direita também as afirmações à sua direita também 
serão verdadeiras.
Essa é a sequência 
de Fibonacci. Como 
desafio, proponho a vocês 
determinarem o 10o termo 
dessa sequência.
• Como a ideia dos núme-
ros naturais é necessária à 
ordenação, incluímos o tó-
pico “Sequência numérica”. 
Introduza as notações a1, 
a2, a3, ..., utilizada para re-
presentar os termos de uma 
sequência. Chame a atenção 
para o fato de que começa-
mos por a1, pois é o primeiro 
termo, sendo possível tam-
bém a indicação do primeiro 
termo como a0. 
• Comente que é possí-
vel ter uma sequência na 
qual a lei de formação 
seja independente do ter-
mo anterior, por exemplo, 
an 5 2n, para n > 0, que é a 
sequência dos números na-
turais pares. Nesse caso, a 
fórmula é tida como a fór-
mula do termo geral da se-
quência. 
• Nas sequências apresenta-
das, a lei de formação é feita 
de tal forma que cada valor 
da sequência é obtido em 
função do termo anterior ou 
dos termos anteriores. 
14
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
14
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
1 Escreva o antecessor e o sucessor de cada número.
a) 17
b) 12
c) 9
d) 999
e) 1 000
f) 1
g) 12 989
h) 13 000
2 Responda às questões no caderno.
a) Quais números naturais são maiores que o sucessor de 3 e menores que o antecessor de 10?
b) Quantos números naturais são menores que zero?
c) Existe algum número natural que é maior que o sucessor de 10 e menor que o ante-
cessor de 3?
3 Determine os termos que faltam nas sequências numéricas representados por .
a) 2, 4, 6, , , , ... , na qual a 
1
 5 2, a 
2
 5 4 e a 
n
 5 a 
n 2 2
 1 a 
n 2 1
, em que n . 2
b) 1, 5, 9, 13, 17, 21, , , ... , na qual a 
1
 5 1, a 
2
 5 5 e a 
n
 5 a 
1
 1 (n 2 1) 3 (a 
n 2 1
 2 a 
n 2 2 
), 
em que n . 2
O professor solicitou que elaborassem um esquema que representasse a forma como 
pensaram para resolver o problema.
Os alunos, então, montaram o seguinte esquema:
Após exporem o esquema para o professor, eles disseram que bastaria fazer o que é solicitado 
para determinar a seguinte sequência: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ..., na qual o 10o termo 
seria o 55.
INÍCIO
FINAL
2 3
1
4
sim
sim
não
não
INÍCIO: A partir da segunda posição, faça o seguinte:
1. O próximo termo já está definido?
2. Avance uma posição.
3. Defina o próximo termo como a soma da posição 
atual com a anterior.
4. A posição atual é a décima?
FINAL: 10o termo definido.
A
N
D
E
R
S
O
N
 D
E
 A
ND
R
A
D
E
 P
IM
E
N
TE
L
antecessor: 16; sucessor: 18
antecessor: 11; sucessor: 13
antecessor: 8; sucessor: 10
antecessor: 998; sucessor: 1 000
antecessor: 999; sucessor: 1 001
Explore a sequência de Fibonacci nas aulas mostrando sua relação com a natureza.
antecessor: 0; sucessor: 2
antecessor: 12 988; sucessor: 12 990
antecessor: 12 999; sucessor: 13 001
5, 6, 7 e 8
nenhum
10; 16; 26
25; 29
não
• Para a sequência de Fibo-
nacci, se julgar pertinente, 
apresente a lei de formação 
utilizando as notações de se-
quências: para a1 5 1, a2 5 1 
e n natural tal que n . 2. 
Assim, a lei de formação da 
sequência pode ser dada por 
an 5 an 2 1 1 an 2 2.
• Para a atividade 2, sugira 
aos alunos que façam uso da 
reta numérica.
Orientações para o 
professor acompanham o 
Material Digital Audiovisual
Material Digital Audiovisual
• Videoaula: O que vem depois?
15
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
15
No fim da tarde de determinado dia de julho, a 
temperatura na cidade de São Joaquim (SC) era 5 °C. 
No início da noite, essa temperatura caiu 8 °C. Qual foi 
a temperatura registrada após essa queda?
Para responder a essa pergunta, podemos fazer a 
seguinte subtração:
5 2 8 5 23
Isso significa que a temperatura chegou a três graus 
Celsius abaixo de zero, sendo indicada por um número 
negativo (23). O 23 é um exemplo de número inteiro.
O conjunto dos números inteiros representado 
por b é dado por:
b 5 {..., 25, 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Observe que todo número natural é também um nú-
mero inteiro. Todo número inteiro tem um sucessor e 
um antecessor; por exemplo: 23 é o sucessor de 24 
e 21 é o antecessor de 0.
Números inteiros2
Turistas observam a temperatura registrada 
na praça João Ribeiro, em São Joaquim, no 
inverno de 2017. O termômetro registrou uma 
temperatura abaixo ou acima de zero grau?
FA
B
IO
 C
O
LO
M
B
IN
I
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
1 Considere os números a seguir e responda:
5; 28; 0; 14; 2100; 57; 218; 
3
2
; 20,4; 21
a) Quais são números naturais?
b) Quais são números inteiros?
c) Todo número natural é um número inteiro?
2 Avalie as afirmações a seguir e copie as verdadeiras em seu caderno.
a) Há sempre um número inteiro entre dois números inteiros.
b) A diferença de dois números inteiros é sempre um número inteiro.
c) Existe número natural que não é número inteiro.
3 Escreva o que se pede:
a) os cinco menores números naturais ímpares;
b) os números inteiros negativos maiores que 25;
c) três números inteiros menores que 220;
d) os números naturais maiores que 23 e menores que 7.
0, 5, 14, 57
2100, 218, 28, 21, 0, 5, 14, 57
sim
falsa
verdadeira
falsa
exemplo de resposta: 221, 222 e 223
1, 3, 5, 7 e 9
24, 23, 22 e 21
0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6
abaixo de zero grau (21 ºC)
• Comente que o uso da letra 
b para representar o conjunto 
dos números inteiros se deve 
à palavra alemã zahlen, que 
significa “número”.
• Explique que os números 
inteiros são formados pelos 
naturais, os naturais acres-
cidos do sinal negativo e o 
zero, ou seja, são compostos 
de valores positivos, nega-
tivos e do elemento neutro 
zero. Chame a atenção para o 
fato de o zero ser o elemento 
neutro da adição.
• Retome a ideia de extensão 
de conjuntos e de propriedade 
de fechamento, comentando 
que os inteiros são fechados 
para a adição, subtração e mul-
tiplicação e que, no entanto, é 
necessário estender o conjunto 
quando envolve a operação 
de divisão.
• Se julgar adequado, apre-
sente a representação dos 
conjuntos com a utilização 
de diagramas, mostrando 
que o conjunto dos naturais 
está inscrito, ou contido, no 
conjunto dos inteiros.
• Se julgar conveniente, ex-
plore as notações e os sub-
conjuntos de b: b*, b1, b2, 
b*1, b*2.
• Na atividade 1, chame a aten-
ção para o fato de que não é 
porque um número está na 
forma de fração que não é in-
teiro ou natural. Dê exemplos 
de frações aparentes.
• A atividade 2 permite aos 
alunos refletir sobre proprie-
dades que valem em determi-
nado conjunto, mas não em 
outro. Amplie essa atividade 
solicitando que, para as frases 
falsas, apresentem um contra-
exemplo.
• Na atividade 3, se julgar 
necessário, oriente os alunos 
a usar a reta numérica. Su-
gerimos muita atenção na 
apresentação da ordenação 
numérica, pois é um assunto 
com o qual os alunos costu-
mam ter dificuldades. Para 
pensar na ordenação, utilize 
exemplos sobre altura e pro-
fundidade, como os andares 
de um prédio, sobre saldos 
positivos e negativos ou até 
mesmo sobre as eras antes 
de Cristo (a.C.) e depois de 
Cristo (d.C.).
16
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
16
4 Responda às questões abaixo considerando a sequência dos números inteiros.
a) Qual é o sucessor de 100?
b) Qual é o sucessor de 230?
c) Se n é um número inteiro, qual é a expressão que representa seu sucessor?
d) Se a é um número inteiro, qual é a expressão que representa seu antecessor?
5 O saldo bancário da conta de Pedro estava negativo em R$ 380,00. Ele fez um depósito e o 
novo saldo passou a ser R$ 970,00. Qual foi o valor do depósito realizado por Pedro?
6 Considere a sequência dos números inteiros a seguir:
..., 25, 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
a) Há quantos números inteiros entre 25 e 3?
b) Qual é o maior número inteiro negativo dessa se quência?
Observe a situação a seguir.
Uma peça de tecido com 75 metros vai ser dividida em 10 partes iguais. Quantos metros terá 
cada uma dessas partes? 
Para responder a essa pergunta, podemos efetuar a divisão:
75 4 10 5 7,5 
Portanto, cada uma dessas partes terá 7,5 metros.
Os números obtidos pela divisão de dois números inteiros, em que o divisor seja diferente 
de zero, podem ser escritos na forma de fração ou na forma decimal. Veja os exemplos a seguir.
 ▸ 10
75 5 7,5 
 ▸ 8
3
2 5 20,375
 ▸ 2
4 25
 ▸ 3
13 5 4,333...
 ▸ 25
1
2 5 20,04
 ▸ 9
45 52 5 2
Números que podem ser escritos na forma de fração, com numerador e denominador inteiros 
e denominador diferente de zero, são chamados de números racionais. 
Números racionais3
Lembre-se:
Não escreva no livro!
R$ 1 350,00
Há sete números inteiros: 24, 23, 22, 21, 0, 1 e 2
21
101
229
n 1 1
a 2 1
• Na atividade 4, chame a aten-
ção para o fato de que, para os 
inteiros negativos, quanto mais 
próximo do zero, maior será o 
valor. Nos itens c e d, ressalte 
que a representação dentro 
do conjuntos dos inteiros é a 
mesma que teríamos se con-
siderássemos o conjunto dos 
naturais. A diferença está no 
intervalo a ser considerado.
• Explore a atividade 5, tra-
zendo a ideia das opera-
ções com inteiros. Reforce a 
compreensão das operações 
dentro desse conjunto, fu-
gindo de regras decoradas.
• Na atividade 6, comente 
que a expressão “estar en-
tre” não considera os extre-
mos. Se julgar pertinente, no 
item a, apresente a represen-
tação simbólica 25 , x , 3.
Competência geral 1: Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e 
digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, demo-
crática e inclusiva.
Competência geral 3: Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar 
de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.
17
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
17
1 Todo número inteiro é um número racional, ou seja, pode ser escrito na forma Todo número inteiro é um número racional, ou seja, pode ser escrito na forma a
b em que a e a e a b
são números inteiros e são números inteiros e b % 0. Veja:
• 3 1
3
2
6
3
9
4
12
5 5 5 55 5 55 5 5
• 5 1
54
20
7
35
2 552 55 2 5 2 5 22 5 2 5
• 0 1
0
2
0
3
0
4
0
5 5 5 55 5 5 55 5 5 55 5 5 5
2 Os números racionais podem ser representados por pontos na reta numérica:Os números racionais podem ser representados por pontos na reta numérica:
2— — — 2,82,825
3
1020,4212223 5
2
21,3 1
4
3 Entre dois números racionais quaisquer sempre existe outro número racional. Por exemplo, Entre dois números racionais quaisquer sempre existe outro número racional. Por exemplo, 
entre 1,4 e 1,6, há infinitos números racionais. Alguns deles são: 1,45; 1,48; 1,5; 1,52 entre 1,4 e 1,6, há infinitos números racionais. Alguns deles são: 1,45; 1,48; 1,5; 1,52 
e 1,555.
Um pouco de história
Matemática e música
O matemático e filósofo grego Pitágoras (c. 570 a.C.-c. 496 a.C.) traçou 
uma ligação direta entre Matemática e música ao construir, com uma corda 
e dois cavaletes, um instrumento que ficou conhecido como “monocórdio 
de Pitágoras”. Com base em observações, ele percebeu que a altura de uma 
nota musical dependia do comprimento da corda que a produzia.
A divisão da corda em comprimentos diferentes possibilitou, posterior-
mente, a criação de uma escala com sete notas: dó, ré, mi, fá, sol, lá e si, 
que formam a escala pitagórica.
Dó Ré Mi Fá Sol Lá Si Dó
1
9
8
81
64
4
3
3
2 16
27 243
128
2
1
X
A
V
I
X
A
V
I
O conjunto dos números racionais é indicado por B e pode ser representado da seguinte 
maneira:
, ã úa
b , ãa b, ã b 0, ãem, ãqu, ãqu, ã, ãe e, ã, ãa b, ãe e, ãa b, ãs o, ãs o, ã n mún mú eros inteiros eB 5 %) 3
ObservaçõesObservações
Caricatura Caricatura 
representando 
Pitágoras.
LU
IZ
 R
U
B
IO
Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, 
sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar in-
formações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.
Competência específica 1: Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de di-
ferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e 
tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.
Um pouco de história
• Essa seção trata da relação 
entre Matemática e música 
por meio do instrumento co-
nhecido como “monocórdio 
de Pitágoras”. É importante 
que os alunos observem que 
cada nota musical está asso-
ciada a um número racional 
e reflitam como a Matemáti-
ca está presente em diversas 
situações e áreas do conhe-
cimento. Momentos como 
esse podem colaborar para o 
desenvolvimento das com-
petências gerais 1, 3 e 4 e da 
competência específica 1.
• Chame a atenção para o fato 
de que b deve ser diferente 
de zero porque não há divi-
são por zero. Uma forma de 
os alunos visualizarem isso é 
montando a conta de divi-
são com chave e utilizando a 
prova real. 
• Chame a atenção dos alunos 
para a observação 2, explo-
rando a representação de um 
número racional na reta numé-
rica, tanto na forma de fração 
quanto na forma decimal.
• Na observação 3, proponha 
uma reflexão aos alunos sobre 
a ideia de sucessão. Pergunte: 
“Quem é o sucessor de 1,0?” 
e a partir daí comente que o 
conjunto dos racionais é denso, 
ou seja, há uma infinidade de 
valores para cada intervalo de 
números. Por conta disso, não 
há a ideia de sucessor e ante-
cessor dentro desse conjunto.
No entanto, explique, se jul-
gar oportuno, que é sempre 
possível calcular o valor mé-
dio de dois racionais quais-
quer, reforçando a ideia de 
infinitos valores para cada 
intervalo.
18
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
18
 Representação decimal dos números racionais
Os números racionais na forma de fração podem ser representados na forma decimal. 
Observe os exemplos a seguir: 
Na divisão de 7 por 3, o algarismo 3 do quociente continuará se repetindo infinitamente. 
O número decimal 2,333... é uma dízima periódica e o algarismo 3 que se repete é chamado 
de período. 
A dízima 2,333... é uma dízima periódica simples, pois o período (3) aparece logo após a 
 vírgula. Podemos também representar a dízima 2,333... colocando um traço sobre o período, 
ou seja: 2,333... 5 ,2 3
 Agora, observe outros exemplos:
4 33
40 0,1212...
70
40
70
4
 ▸ 33
4 5 4 4 33 Portanto: 33
4 5 0,1212...
 Na divisão de 4 por 33, os algarismos 1 e 2 do quociente continuarão se repetindo, nessa 
ordem, infinitamente. O quociente 0,1212... é uma dízima periódica com período 12 (parte 
que se repete).
 A dízima 0,121212... também é uma dízima periódica simples, já que o período (12) aparece 
logo após a vírgula. 
Podemos representar a dízima 0,121212 por ,0 12.
 ▸ 5
4 5 4 4 5
4 5
40 0,8
0
Portanto: 5
4 5 0,8
 ▸ 10
7 5 7 4 10
7 10
70 0,7
0
Portanto: 10
7 5 0,7
 ▸ 22
8 5 22 4 8
22 8
60 2,75
40
0
Portanto: 8
22 5 2,75
 ▸ 3
7 5 7 4 3
7 3
10 2,333...
10
10
1
Portanto: 7
3 5 2,333...
• Se julgar conveniente, re-
tome o algoritmo da divisão, 
sanando eventuais dúvidas, 
de modo que não se torne 
um obstáculo na aprendiza-
gem dos números racionais. 
É importante que os alunos 
compreendam o algoritmo, 
dando significado aos passos 
para executá-lo, por exem-
plo, ao efetuar 7 : 10, pre-
cisamos colocar o algarismo 
0 e a vírgula no quociente, 
pois, ao dividir 7 unidades 
por 10, não obtemos unida-
de. Chame a atenção para a 
necessidade de saber as clas-
ses dos números.
• Ao trabalhar a represen-
tação decimal dos números 
racionais, é importante que 
fique claro para os alunos 
que tal representação será 
finita ou infinita periódica. 
Pode-se comentar com eles 
a possibilidade de decidir se 
a representação decimal de 
uma fração será finita ou in-
finita periódica sem ter que 
efetuar a divisão.
A representação decimal de 
uma fração será finita quan-
do for possível obter uma 
fração equivalente à fração 
original cujo denominador 
seja uma potência de 10. Por 
exemplo, a representação 
decimal das frações, 4
1 , 25
1 e 
200
7 é finita, pois:
4
1
100
25 0 25,5 5 ;
25
1
100
4 0 04,5 5 e 
200
7
1000
35 0 035,5 5
A representação decimal de 
uma fração será infinita e 
periódica quando não for 
possível obter uma fração 
equivalente à fração origi-
nal cujo denominador seja 
uma potência de 10. Por 
exemplo, a representação 
decimal das frações 7
1, 9
2 
e 11
7 é infinita e periódica. 
Nesse caso, proponha aos 
alunos que tentem encon-
trar uma fração equivalente 
a essas cujo denominador 
seja uma potência de 10 
para que percebam que isso 
não é possível.
Outra caracterização para esse critério é a seguinte: 
 � Se, ao decompor em fatores primos, o denominador da fração for somente potências de 2, de 5 ou de ambas, 
então a representação decimal da fração será finita.
 � Se, ao decompor em fatores primos, o denominador da fração for alguma potência com base diferente de 2 
ou de 5, então a representação decimal da fração será infinita e periódica.
• Comente sobre a dízima periódica composta, que o número da parte decimal que não se repete é 
chamado de anteperíodo.
19
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
19
29 90
290 0,322...
200
200
20
 ▸ 90
29
5 29 4 90 Portanto, 0
29
9 5 0,322...
Na divisão de 29 por 90, o algarismo 2 do quociente continuará se repetindo infinitamente. 
O número decimal 0,3222... é uma dízima periódica e o período é o algarismo 2 (algarismo que 
se repete). 
A dízima 0,3222... é uma dízima periódica composta, uma vez que, entre a vírgula e o 
período (2), existe uma parte não periódica, o algarismo 3.
Podemos representar a dízima 0,3222 por ,0 3,0 3, 2.
Cálculo de porcentagem
Em nosso cotidiano,podemos observar o uso da porcentagem em diversas situações. Observe 
alguns exemplos abaixo.alguns exemplos abaixo.
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: J
O
S
É
 L
U
ÍS
 J
U
H
A
S
Nessa semana, a 
televisão é vendida pela 
metade do preço!
Apenas hoje!
Esse carro de R$$ 20 000,00 
terá um desconto de 20%. 
Não perca!
TV EM PROMOÇÃO:
DE R$ 1 200,00 
POR R$ 600,00.
• No cálculo de porcenta-
gens, se necessário, relembre 
a multiplicação de frações. Se 
achar interessante, explique 
também sobre o uso de deci-
mais ou da regra de três na re-
solução de porcentagens.
20
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
20
A porcentagem indica a parte de um todo que contém 100 partes. Por exemplo, representar 
13% é o mesmo que se referir a 13 partes sobre 100 partes.
Como já sabemos, a porcentagem pode ser escrita na forma de fração. Dessa forma, 13% 
pode ser escrito como 100
13 .
Quando queremos calcular, de maneira rápida, o valor referente à porcentagem de um total, 
basta multiplicar a porcentagem (ou sua fração equivalente) pelo valor total. Observe os exem-
plos a seguir.
 ▸ Para calcular 13% de 730, basta multiplicar 730 por 13%, ou seja, multiplicar 730 por 100
13 . 
 ,730 10 ,10 ,0 ,0 ,13
10 ,10 ,0 ,0 ,9 490 94 ,94 ,93 5 53 5
Dessa forma, concluímos que 13% de 730 é 94,9.
 ▸ Nas situações mostradas na página 19, podemos calcular o desconto concedido na compra 
do carro da seguinte maneira:
% 20 20 000 100
20 20 000 100
400 000 4 0003 5203 520 0003 5000 3 5203 520 003 50003 50 5
Dessa forma, concluímos que o desconto é de R$$ 4 000,00 e o preço do carro será de 
R$$ 16 000,00 após aplicado o desconto.
 ▸ Para determinarmos a porcentagem de desconto na promoção da televisão, comparamos o 
preço após o desconto com o preço inicial. Assim:
%1 200
600
100
50 505 55 5
Agora, acompanhe a situação.
Marcos trabalha em uma empresa que compra e vende móveis usados. Para impulsionar as 
vendas, ele e a gerente prepararam um evento para exposição dos móveis no fim de semana. 
Na sexta-feira anterior ao evento, a gerente chegou com um lote grande de móveis e disse 
que esses também precisariam estar no evento. 
C
LA
Y
TO
N
 C
A
S
S
IA
N
O
Marcos, precisamos 
acrescentar 17% ao valor 
que pagamos por cada um. 
Aqui está a lista.
Como determinaremos 
o valor de venda desses 
móveis que chegaram?
• As porcentagens estão pre-
sentes no dia a dia ao falar-
mos sobre compras à vista 
ou a prazo. Podemos sempre 
nos deparar com situações de 
descontos, acréscimos e juros. 
Converse com a turma a res-
peito dessas possibilidades. 
Pergunte aos alunos se eles 
conseguem dar um exemplo 
em que perceberam o uso da 
porcentagem pelos respon-
sáveis durante uma compra 
ou algum exemplo que eles 
mesmos tenham vivenciado. 
É comum encontrarmos car-
tazes e anúncios como “tudo 
na loja com até 50% de des-
conto”. Pergunte a eles se 
compreendem o papel da 
palavra “até” nesse contex-
to, verificando se entendem 
que não são todos os produ-
tos que recebem essa porcen-
tagem de desconto. Explique 
que, quando for necessário 
comprar um produto ou pa-
gar por um serviço, é sempre 
interessante perguntarmos 
sobre descontos e sobre as 
condições do pagamento.
• A situação que envolve 
a empresa na qual Marcos 
trabalha pode favorecer o 
desenvolvimento de parte 
da habilidade EF08MA04.
Sugestão de atividade extra
• Se julgar adequado, sugi-
ra aos alunos que realizem 
mentalmente o cálculo das 
seguintes porcentagens:
 � 1% de R$ 200,00
 � 5% de R$ 200,00
 � 10% de R$ 320,00
 � 10% de R$ 123,00
 � 25% de R$ 1 000,00 
 � 30% de R$ 250,00
 � 12% de R$ 300,00
EF08MA04: Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.
21
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
21
11
8
9
10
B DCA
1
5
6
7
4
3
2 R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
17%
17%
17%
17%
17%
17%
17%
17%
17%
100,00
80,00
50,00
70,00
134,00
128,00
154,00
85,00
40,00
Valor de
compra
Valor
de venda
Porcentagem
para o aumento
Valor
do aumento
11
8
9
10
B DCA
1
5
6
7
4
3
2 R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
17%100,00
80,00
50,00
70,00
134,00
128,00
154,00
85,00
40,00
Valor de
compra
Valor
de venda
Porcentagem
para o aumento
Valor
do aumento
11
8
9
10
B DCA
1
5
6
7
4
3
2 R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
100,00
80,00
50,00
70,00
134,00
128,00
154,00
85,00
40,00
Valor de
compra
Valor
de venda
Porcentagem
para o aumento
Valor
do aumento
FórmulaA1
 ▸ Na segunda (coluna B), ele colocou a porcentagem que deveria ser aumentada em cada 
preço, conforme a gerente havia orientado e, em seguida, arrastou a célula B2 para bai-
xo até a célula B10. Assim, Marcos não precisa reescrever a mesma porcentagem nas 
outras células da coluna.
 ▸ A terceira coluna (coluna C), ele usou para multiplicar o valor da porcentagem pelo 
valor de compra e, assim, obter o valor do aumento referente a essa porcentagem. 
Após montar a fórmula, Marcos arrastou a célula C2 para baixo de modo que aplicasse a 
mesma fórmula até a célula C10.
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
Para fazer tudo em tempo hábil, Marcos resolveu dispor todos os valores em uma planilha 
eletrônica. Ele dividiu a planilha em 4 colunas, da seguinte maneira:
 ▸ Na primeira coluna (coluna A), ele colocou os valores pagos por cada móvel (valores de compra).
11
8
9
10
B DCA
1
5
6
7
4
3
2 R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
17%
17%
17%
17%
17%
17%
17%
17%
17%
100,00
80,00
50,00
70,00
134,00
128,00
154,00
85,00
40,00
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
17,00
13,60
8,50
11,90
22,78
21,76
26,18
14,45
6,80
Valor de
compra
Valor
de venda
Porcentagem
para o aumento
Valor
do aumento
11
8
9
10
B DCA
1
5
6
7
4
3
2 R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
17%
17%
17%
17%
17%
17%
17%
17%
17%
100,00
80,00
50,00
70,00
134,00
128,00
154,00
85,00
40,00
=A2*B2
Valor de
compra
Valor
de venda
Porcentagem
para o aumento
Valor
do aumento
• Proponha outras atividades 
para serem resolvidas usando 
um software de planilha ele-
trônica. Comente que o sinal 
de multiplicação é dado pelo 
asterisco (*).
22
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
22
 ▸ Por último, a quarta coluna (coluna D), ele usou para somar o valor de compra com o valor 
do aumento. Após montar a fórmula, Marcos arrastou a célula D2 para baixo de modo que 
aplicasse a mesma fórmula até a célula D10.
8
9
10
B DCA
1
5
6
7
4
3
2 R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
17%
17%
17%
17%
17%
17%
17%
17%
17%
100,00
80,00
50,00
70,00
134,00
128,00
154,00
85,00
40,00
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
=A2+C217,00
13,60
8,50
11,90
22,78
21,76
26,18
14,45
6,80
Valor de
compra
Valor
de venda
Porcentagem
para o aumento
Valor
do aumento
117,00
93,60
58,50
81,90
156,78
149,76
180,18
99,45
46,80
8
9
10
B DCA
1
5
6
7
4
3
2 R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
17%
17%
17%
17%
17%
17%
17%
17%
17%
100,00
80,00
50,00
70,00
134,00
128,00
154,00
85,00
40,00
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
17,00
13,60
8,50
11,90
22,78
21,76
26,18
14,45
6,80
Valor de
compra
Valor
de venda
Porcentagem
para o aumento
Valor
do aumento
Dessa forma, Marcos conseguiu calcular o preço de venda para todos os novos móveis a tempo 
de colocá-los à venda no evento.
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
1 Avalie as afirmações a seguir e copie as verdadeiras em seu caderno.
a) Todo número inteiro é racional.
b) Todo número racional é inteiro.
c) Todo número racional é natural.
d) Entre dois números racionais existe sempre outro número racional.
• Para as afirmações falsas, dê um exemplo que justifique tal classificação. Depois, converse 
com os colegas e o professor sobre os diferentes exemplos apresentados.
2 Indique um número situado entre:a) 3,457 e 3,459;
b) 1,05 e 1,06.
• Converse com o professor e os colegas para comparar os números indicados em cada caso.
• Há somente uma resposta para cada item ou há infinitas respostas? Justifique.
3 Escreva, no caderno, a representação decimal de cada um dos números racionais a seguir.
a) 
5
6
b) 
100
157
c) 
3
7
d) 
11
13
e) 
8
5
2
f) 
90
15
2
g) 
55
1
h) 
4
3
2
• Quais desses números racionais têm dízima periódica como representacão decimal?
4 Identifique o período das dízimas periódicas abaixo, classificando-as em simples ou compostas.
a) 23,4777... b) 0,333... c) ,0 052 d) 20,323232...
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
verdadeira
falsa; exemplo de justificativa: 0,1 é racional e não é inteiro.
falsa; exemplo de justificativa: 0,1 é racional e não é natural.
verdadeira
Respostas pessoais.
Há infinitas respostas.
1,2
7 (composta) 3 (simples) 5 (composta) 32 (simples)
2,3
1,57
20,625 0,018
20,751,18 20,16
; ; ;3
7
11
13
90
15
55
1
2
• Para a atividade 1, pode 
ser interessante a utilização 
do diagrama para a repre-
sentação dos conjuntos nu-
méricos e a localização dos 
exemplos nesse diagrama.
Esta atividade permite aos 
alunos refletir sobre proprie-
dades que valem em determi-
nado conjunto numérico, mas 
que não valem em outro.
• Para a atividade 2, item a, 
estimule os alunos a pensar 
que existe uma infinidade 
de números, não somente o 
3,458. Cite, como exemplo, 
os números 3,4571; 3,45711; 
3,457111 e 3,4571111; e 
co mente que poderíamos 
continuar indefinidamente 
apenas com o dígito 1 ou 
combinando outros. A mes-
ma ideia se aplica ao item b.
• Para esse problema, discuta 
com os alunos se seria possí-
vel obter o valor de forma 
direta, sem necessidade das 
duas colunas centrais, con-
cluindo sobre a possibilidade 
de se utilizar o fator 1,17.
23
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
23
5 Um dos benefícios do trabalhador brasileiro é o décimo terceiro salário, pago pelos emprega-
dores no fim do ano. Para quem trabalhou o ano inteiro, o valor a ser pago corresponde ao 
salário de dezembro e, para quem trabalhou menos de um ano, o valor a ser pago é propor-
cional à quantidade de meses trabalhados.
a) Se uma pessoa foi admitida em uma empresa no dia 1o de maio, quantos meses ela traba-
lhou nesse ano? Esse período corresponde a que fração de um ano?
b) Sabendo que o salário de dezembro dessa pessoa foi R$ 2 514,50, qual foi o valor do décimo 
terceiro salário recebido?
6 Alguém queria determinar, usando uma calculadora, quanto gastaria ao pagar duas contas nos valo-
res de R$ 329,18 e de R$ 2 231,11. Após apertar a tecla 5 , o resultado que apareceu no visor foi:
a) O resultado obtido está correto? Caso não esteja, explique o que pode ter acontecido.
b) Qual é o valor correto a pagar por essas duas contas?
7 Calcule a porcentagem dos valores abaixo conforme se pede.
a) 12% de 144
b) 25% de 1 024
c) 1% de 123 587 600
d) 24% de 72
 Fração geratriz de uma dízima periódica
Podemos determinar a fração que gera uma dízima periódica. Essa fração é chamada de 
fração geratriz. Observe os exemplos a seguir:
 ▸ Vamos determinar a fração geratriz da dízima 0,777...
 Indicamos a dízima periódica 0,777... por x.
x 5 0,777... I
 Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 10 para obter outro número com a 
mesma parte decimal.
10x 5 7,777... II
 Subtraímos, membro a membro, I de II , eliminando a parte decimal.
 10x 5 7,777...
2 x 5 0,777...
 9x 5 7
I
II
 Assim: x 5 9
7
 Portanto, 9
7 é a fração geratriz de 0,777...
 ▸ Vamos encontrar a fração geratriz da dízima 4,151515...
 Indicamos a dízima periódica 4,151515... por x.
x 5 4,151515... I
Lembre-se:
Não escreva no livro!
G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
8 meses; 12
8 (ou fração equivalente)
17,28
256
1 235 876
R$ 2 560,29
R$ 1 676,33
17,28
a) não; exemplo de explicação: A pessoa 
se esqueceu de apertar a tecla . para 
indicar a vírgula no valor 329,18.
• A atividade 5 permite aos 
alunos compreender como é 
feito o cálculo do décimo ter-
ceiro salário, ainda que não 
seja parte de sua realidade. 
Sempre que possível, propo-
nha situações envolvendo 
aspectos da educação finan-
ceira, pois, se bem escolhidas 
e exploradas, podem contri-
buir significativamente para 
a formação do aluno como 
cidadão.
• Para explorar o tópico 
“Fração geratriz de uma dí-
zima periódica”, verifique se 
há a necessidade de rever ou 
sanar eventuais dúvidas rela-
cionadas à multiplicação de 
decimais por potências de 10.
• O processo de obtenção da 
fração geratriz de uma dízi-
ma periódica deve ser traba-
lhado de forma cuidadosa 
para que os alunos possam 
compreender o significado 
do que está sendo feito, e 
não apenas memorizar um 
processo que pode não fazer 
sentido para eles.
24
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
24
 Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 100 para obter outro número com a 
mesma parte decimal.
100x 5 415,151515... II
 Subtraímos, membro a membro, I de II , eliminando a parte decimal.
 100x 5 415,151515...
 2 x 5 4,151515...
 99x 5 411
I
II
 Assim: x 5 99
411
 Portanto, 99
411 é a fração geratriz de 4,151515...
 ▸ Vamos determinar a fração geratriz da dízima 0,04777...
 Indicamos a dízima periódica 0,04777... por y.
y 5 0,04777... I
 Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 100 para obter uma dízima perió-
dica simples.
100y 5 4,777... II
 Multiplicamos os dois membros da igualdade II por 10 para obter outro número com a 
mesma parte decimal do segundo membro da igualdade II .
1 000y 5 47,777... III
 Subtraímos, membro a membro, II de III , eliminando a parte decimal.
 1 000y 5 47,777...
2 100y 5 4,777...
 900y 5 43
III
II
 Assim: y 5 900
43
 Portanto, 900
43 é a fração geratriz de 0,04777...
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
1 Determine a fração geratriz de cada uma 
das dízimas periódicas abaixo.
a) ,0 8
b) 3,151515...
c) 0,05222...
d) 0,007007007...
e) 2,4777...
f) 0,1444...
2 Calcule mentalmente e registre no cader-
no os resultados de:
a) 5 1 0,777...
b) 8 1 0,333...
c) 0,6 1 0,222...
d) 1,5 1 0,555...
3 Efetue as operações a seguir.
a) 0,5 1 0,555... b) ,2 7 3 0,06
4 Utilizando uma calculadora, determine o 
resultado de:
a) 8 000 4 9 000
b) 80 4 90
c) 16 4 18
d) 30 4 110
e) 3 000 4 11 000
f) 9 4 33
• Que regularidade você observou ao rea-
lizar essas divisões? Por que você acha 
que isso ocorreu?
9
8
99
312
900
47
999
7
90
223
90
13
5,777...
8,333...
0,8222...
2,0555...
1,0555... 0,1666...
4. a) 0,8888... b) 0,8888... c) 0,8888... d) 0,272727... e) 0,272727... f) 0,272727...
Respostas pessoais.
• A atividade 2 explora o 
cálculo mental envolvendo 
números decimais. Ativida-
des dessa mesma nature-
za contribuem para que os 
alunos, aos poucos, ampliem 
seu repertório de estratégias 
de cálculo envolvendo esses 
e outros números. 
• Na atividade 3, item b, 
chame a atenção para o fato 
de que se faz necessário pri-
meiramente encontrar a fra-
ção geratriz de 2,7777...
• A atividade 4 é importante 
por levar os alunos a estabe-
lecer conjecturas e a discutir 
Matemática por meio da ob-
servação de regularidades. 
Eles devem perceber que as 
divisões sugeridas nos itens 
a, b e c podem ser escritas 
como frações. Mais do que 
isso, essas frações são todas 
equivalentes entre si. A fra-
ção irredutível é a geratriz 
da dízima periódica que 
pode ser observada nas di-
visões propostas nos itens 
mencionados. A mesma re-
gularidade pode ser obser-
vada nos itens d, e e f.
25
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
25
2 é maior 
que 1 e 
menor 
que 2...
Luciano queriadeterminar o valor de 2 , ou seja, encontrar o número que elevado ao 
quadrado dê como resultado 2.
Inicialmente, ele verificou que 2 é um número decimal situado 
entre 1 e 2. Veja:
G
E
O
R
G
E
 T
U
TU
M
I
Números irracionais4
A seguir, verificou que 2 é um número decimal situado entre 
1,4 e 1,5. Veja:
Luciano continuou buscando o valor de 2 e verificou que é um 
número situado entre 1,41 e 1,42. Veja:
Ele avançou mais algumas etapas na busca da 2 encontrando:
Luciano prosseguiu com esse raciocínio, mas não encontrou um número que, elevado ao 
quadrado, resultasse exatamente em 2. Desse modo, Luciano se perguntou: 
 ▸ Será que existe um número que, ao ser elevado ao quadrado, resulte em 2?
Após muitos cálculos e estudos, os matemáticos provaram que 2 não é racional, isto é, 
não pode ser expresso como decimal exato ou dízima periódica. 
Números que têm infinitas casas decimais e não são periódicos são chamados de 
números irracionais.
Os matemáticos mostraram que existem infinitos números irracionais. Os números 2 , 3 , 
5 , 7 , 11 , 13 , 17 e seus simétricos são alguns exemplos de números irracionais.
1,4 , 2 , 1,5
1,42 5 1,96 1,52 5 2,25
1,41 , 2 , 1,42
1,412 5 1,9881 1,422 5 2,0164
1,414 , 2 , 1,415
1,4142 5 1,999396 1,4152 5 2,002225
1,4142 , 2 , 1,4143
1,41422 5 1,99996164 1,41432 5 2,00024449
1 , 2 , 2
12 5 1 22 5 4( 2 )2 5 2
• Se julgar pertinente, explo-
re um pouco mais a história 
dos números irracionais: fi-
cou claro para os matemáti-
cos que as frações não eram 
suficientes para medir todas 
as grandezas, mesmo que 
fossem positivas. Assim, já 
na Antiguidade grega ficou 
comprovado que, por exem-
plo, o lado de um quadrado 
é incomensurável com sua 
diagonal, ou seja, que não 
existe um segmento, por 
menor que seja seu compri-
mento, que possa servir de 
unidade de medida comum 
ao lado e à diagonal de um 
mesmo quadrado de manei-
ra que as medidas de ambos 
sejam múltiplos inteiros des-
sa unidade. Tal constatação, 
ao longo da História, acabou 
por provocar a introdução 
dos números irracionais e a 
ampliação do conjunto dos 
números racionais para o 
conjunto dos números reais. 
Se julgar adequado, propo-
nha aos alunos que façam 
uma pesquisa a respeito da 
descoberta da existência 
de segmentos incomensu-
ráveis e da crise que esse 
fato gerou na Matemática 
na Antiguidade. Oriente-os 
a buscar, principalmente,  a 
contribuição de Eudoxo 
para a superação de tal crise 
e explorar a relação entre os 
segmentos incomensuráveis 
e os números irracionais.
• Ao introduzir a noção de número irracional, explique aos alunos a diferença entre a aproximação de um 
número irracional, digamos 2 , dada por uma calculadora, e o próprio número 2 . É fundamental oferecer 
aos alunos um esclarecimento a respeito desse aspecto para que eles não confundam o número 2 com uma 
de suas aproximações racionais, por exemplo, 1,414 ou 1,414214. Pesquisas mostram que é comum o aluno não 
diferenciar um número irracional de uma aproximação racional.
26
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
26
Lendo e aprendendo
O número s (pi)
O número cujo valor corresponde ao quociente do comprimento de qualquer circunO número cujo valor corresponde ao quociente do comprimento de qualquer circun-
ferência pela medida de seu diâmetro (dobro da medida do raio), na mesma unidade, é ferência pela medida de seu diâmetro (dobro da medida do raio), na mesma unidade, é 
chamado de número s (pi).
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
medida do diâmetro da
circunferência (d )
 comprimento
da circunferência (C )
d
C
5 s
G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
LU
IZ
 R
U
B
IO
Determinar o valor de s foi, durante séculos, um desafio para os matemáticos. Eles prova foi, durante séculos, um desafio para os matemáticos. Eles prova-
ram que o número s tem infinitas casas decimais e não apresenta período, ou seja, não pode tem infinitas casas decimais e não apresenta período, ou seja, não pode 
ser escrito na forma de fração; portanto, é um número irracional.
O mais famoso dos números irracionais causa um fascínio tão grande em determinadas O mais famoso dos números irracionais causa um fascínio tão grande em determinadas 
pessoas que elas se dedicam a calcular mais e mais casas decimais. O professor Yasumasa pessoas que elas se dedicam a calcular mais e mais casas decimais. O professor Yasumasa 
Kanada, da Universidade de Tóquio, no Japão, é conhecido por bater vários recordes munKanada, da Universidade de Tóquio, no Japão, é conhecido por bater vários recordes mun-
diais, nas últimas duas décadas, no cálculo de casas decimais do s. Nessa busca, em 2002, . Nessa busca, em 2002, 
ele empregou um supercomputador durante mais de 600 horas, atingindo 1,241 trilhões ele empregou um supercomputador durante mais de 600 horas, atingindo 1,241 trilhões 
de casas. Em 2010, Shigeru Kondo, engenheiro japonês, obteve o número s com cerca de com cerca de 
5 trilhões de casas decimais. Observe a seguir o número s com 20 casas decimais.
3,14159265358979323846...
1 Escreva em seu caderno os números que 
são irracionais.
a) 0
b) 2
c) 23,14
d) 5
e) 0,777...
f) s
g) 1,73
h) 0,54
i) 4
j) 
900
3
k) 32
l) 49
2 Utilizando uma calculadora, determine, com 
aproximação de duas casas decimais, o 
valor de:
a) 2 32 312 32 32 32 3 c) 2 32 332 32 32 32 3
b) 2 3s 2 2 32 32 3 d) 3 23 223 23 23 23 2
3 Com uma calculadora, determine o valor 
aproximado, com cinco casas decimais, de:
a) 10 b) 
4
e o
3
e o
3
4e o4e o
Lembre-se:
Não escreva no livro!
c) 
7
22
d) 
50
13 146
e) 2 32 312 32 32 32 3
f) 
113
355
• Quais desses valores são mais próximos 
do valor de s?
4 Represente na reta numérica os números 
abaixo.
a) 2
b) 22
c) 2 22 22 22 2
d) 2 222 22 22 2
5 Coloque em ordem crescente os números 
a seguir.
; , ; ; ; ; ,3 1; ,3 1; ,2
3
; ;
3
; ;
10
2 2
3
; ;
3
; ;
4
0 5,0 5,; ,3 1; ,2; ,3 1; , 2 22 22 2; ; ; ;
alternativas b, d, f, k
3,15
20,32
2,45
0,32
3,16228 3,16049
3,14626
3,14286
3,14159
3,14159
e113
355
50
13 146
02 2√√√ 2 2√√√2√√√ 2√√√––
, ; , ; ; ; ;1 2, ;1 2, ; 0 5, ;0 5, ; 3
4 3 2; ;3 2; ; 2 3
10
2 ; ;; ;; ;
• É importante comentar 
com os alunos que existem 
infinitos números irracio-
nais, assim como existem 
infinitos números naturais, 
inteiros e racionais. Para aju-
dá-los a se convencerem de 
tal fato, proponha que escre-
vam no caderno exemplos 
de números irracionais, tais 
como 0,1011011101111..., 
0,1234567890070007... etc. 
Ajude os alunos a perceber 
por que esses números são 
irracionais mostrando que 
não há período.
Sugestão de atividade extra
• Aproveitando a seção “Lendo e aprendendo” sobre o número s (pi), solicite aos alunos que, em duplas, fa-
çam uma pesquisa a respeito da história desse número, visando aprofundar as informações tratadas no livro e 
perceber que vários conceitos matemáticos se desenvolveram ao longo do processo de busca pelo valor exato 
de s (enquanto se pensava que isso era possível) e de aproximações mais precisas. 
• Na atividade 2, calcu-
le também o valor de 5 , 
comentando que o resul-
tado não é o mesmo que 
2 31 . Se achar interes-
sante, calcule a raiz de 6 , 
comentando que é igual ao 
produto 2 33 .
27
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
27
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
1 Observe os números:
235; 3 ; 
5
40
; 1,222; s; 0,444...; 22 ; 
7
1
a) Quais deles são números naturais?
b) Quais deles são números inteiros?
c) Quais deles são números racionais?
d) Quais deles são irracionais?
e) Quais deles são reais?
f) Apresente-os em ordem crescente.
2 Dê um exemplo de:
a) número racional e não inteiro maior 
que 2;
b) número real e não racional maior que 3;
c) número inteiro e não natural maior 
que 4.
3 Escreva em seu caderno os números que 
pertencemao conjunto dos números 
reais. 
a) 
5
0
 d) 64 g) 11 111
b) 0 e) 362 h) 2s
c) 20,005 f) 1
Números reais5
Já vimos que os números naturais e os números inteiros são também números racionais. 
Se juntarmos em um só conjunto os números racionais e os números irracionais, obteremos o 
conjunto dos números reais, cujo símbolo é V.
V
Conjunto
dos números
irracionaisv
B
V
b
LU
IZ
 R
U
B
IO
Portanto, todos os números que estudamos até agora pertencem ao conjunto dos núme-
ros reais.
235; 2 2 ; 7
1 ; 0,444...; 1,222; 3 ; s; 5
40
4 Em cada item, escreva três números:
a) inteiros maiores que 215 e menores 
que 211;
b) racionais maiores do que 
4
3
2 e menores 
que 
2
1
2 ;
c) irracionais maiores que 1,3010010001;
d) Apresente as respostas anteriores em 
ordem decrescente. 
5 Avalie as sentenças a seguir e copie as 
verdadeiras no caderno.
a) Todo número inteiro é racional.
b) Todo número real é racional.
c) Toda dízima periódica é número ra cional.
d) Todo número irracional é real.
e) Todo número decimal não exato é irra- 
cional. 
f) Todo número real é irracional.
g) O número zero é real, inteiro e racional. 
c) 1,222; 0,444...; ;7
1
5
40 ; 235
235; 5
40
5
40
22 , 3 , s
Todos são reais.
Exemplo de resposta: 2,1
2. b) Exemplo de resposta: s
Não existe.
Todas as alternativas.
214, 213 e 212
Exemplo de resposta: 10
7
2 , 10
6
2 , 100
55
2
Exemplo de resposta: , ,2 3 5
verdadeira
verdadeira
verdadeira
verdadeira
falsa
falsa
falsa
Exemplo de resposta: 
5 ; 3 ; 2 ; 100
55
2 ; 10
6
2 ; 10
7
2 ; 212; 213; 214
• Em linguagem simbólica, 
comente que V 5 B0I.
• Na atividade 4, item c, 
comente que o número 
1,3010010001 é racional, 
mas a atividade pede que 
eles deem exemplos de irra-
cionais maiores do que este 
racional. Lembre-os de que os 
irracionais possuem infinitas 
casas decimais e não possuem 
período.
• A atividade 5 permite aos 
alunos refletir sobre pro-
priedades que valem em 
determinado conjunto, mas 
que não valem em outro. 
Se julgar pertinente, amplie 
a atividade solicitando a eles 
que justifiquem as alternati-
vas falsas.
Veja sequência didática 1 do 
1o bimestre no Material do 
Professor – Digital.
28
Trabalhando os conhecimentos adquiridos
Faça as atividades no caderno.
Aplicando
Revisitando
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
28
1 Classifique cada número a seguir como: natural, inteiro ou racional.
a) 23 b) 27 c) 
4
3
2 Observe os números que estão no quadro abaixo.
0,2 0,454545... 0,32 0,1 0,567 16,09
Copie, em seu caderno a tabela a seguir e complete-a com os números do quadro.
Dízima periódica Decimal exato
3 Explique o que são números irracionais. Dê um exemplo.
4 Um número natural é real? E um número real, é sempre natural?
1 Desenhe em seu caderno uma reta. Determine sobre ela um segmento de 10 cm cujas extremidades 
correspondam aos números 0 e 2. Em seguida, localize nesse segmento de reta os pontos corres-
pondentes aos números racionais: 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0; 1,2; 1,4; 1,6 e 1,8.
2 Escreva as sequências numéricas, formadas somente por números inteiros, conforme as indica-
ções a seguir.
a) O primeiro termo da sequência é 100 e os próximos termos são obtidos subtraindo-se 10 do 
termo anterior.
b) O primeiro termo da sequência é 100 e os próximos termos são obtidos adicionando-se 10 ao 
termo anterior.
c) O primeiro termo da sequência é 100 e os próximos termos são obtidos multiplicando-se por 
10 o termo anterior.
d) O primeiro termo da sequência é 100 e os próximos termos são obtidos dividindo-se por 10 o 
termo anterior.
Agora, responda às questões.
• Quais dessas sequências são formadas somente por números inteiros positivos?
• Uma dessas sequências é finita. Por que isso ocorreu?
• Se as sequências não precisassem ser formadas por números inteiros, essa sequência 
seria infinita?
natural, inteiro e racional racionalinteiro e racional
0,20,20,10,1
0,320,320,5670,567
16,0916,090,454545...0,454545...
São números que não podem ser escritos na forma de fração. Por exemplo: s
Sim. Todo número natural é um número real, porém, nem todo número real é natural. 
Um número natural é real? E um número real, é sempre natural?
Sim. Todo número natural é um número real, porém, nem todo número real é natural. 
Um número natural é real? E um número real, é sempre natural?
Por exemplo, 4
33
Sim. Todo número natural é um número real, porém, nem todo número real é natural. 
3
Sim. Todo número natural é um número real, porém, nem todo número real é natural. 
 é real, mas não é natural (é racional).
21,81,61,41,210,80,60,40,20
LU
IZ
 R
U
B
IO
1.
100, 90, 80, 70, 60, 50, 40, 30, 20, 10, 0, 210, 220, ...
100, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, ...
100, 1 000, 10 000, 100 000, 1 000 000, ...
100, 10, 1
Sequências dos itens b, c, d.
Uma dessas sequências é finita. Por que isso ocorreu?
Sequências dos itens b, c, d.
Uma dessas sequências é finita. Por que isso ocorreu?
sim
A sequência do item d é finita porque 
a divisão de 1 por 10 não resulta em um número inteiro, pois 0,1 é um número racional.
Uma dessas sequências é finita. Por que isso ocorreu?
a divisão de 1 por 10 não resulta em um número inteiro, pois 0,1 é um número racional.
Uma dessas sequências é finita. Por que isso ocorreu?
• A seção “Trabalhando os 
conhecimentos adquiridos” 
tem como objetivo retomar os 
conceitos e procedimentos vis-
tos no capítulo, incentivando 
a revisão, a autoavaliação e a 
criatividade por meio da reso-
lução e elaboração de proble-
mas. É composta de atividades 
de diversos níveis de dificul-
dade, incluindo questões de 
exames e concursos, cuida-
dosamente escolhidas, para 
que os alunos as resolvam 
com base nos conhecimentos 
adquiridos até o momento.
Revisitando
• Esta seção foi criada para 
que os alunos tenham a 
oportunidade de verificar 
os conhecimentos consolida-
dos. Se eles tiverem alguma 
dúvida em relação aos con-
teúdos avaliados na seção, 
sugira que retomem as pági-
nas do capítulo. Incentive-os 
a buscar a troca de conheci-
mento em grupo e, caso a 
dúvida persista, ajude-os a 
encontrar um bom caminho 
para a compreensão.
29
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
29
3 Trace, no caderno, uma reta numérica e localize nela os pontos correspondentes aos seguintes 
números reais:
a) ( )A ( )2( )( )( )( ) ;
b) B (23,5) ;
c) C
5
26d n;
d) D (20,4).
• Explique ao professor e aos colegas os procedimentos que você utilizou para localizar cada 
ponto.
4 Dê um exemplo de dois números irracionais cuja soma seja um número racional.
5 O produto ou o quociente de dois números irracionais pode ser um número racional? 
Justifique.
6 Os números reais abaixo representam valores aproximados de s. Identifique o número que 
mais se aproxima desse valor.
a) 
700
2 199
b) 
121
380
c) 21 22
d) ,9 9,9 9,
7 Determine a fração geratriz de cada dízima periódica.
a) 0,4282828...
b) ,3 4076
c) 5,454545...
d) ,0 0,0 0, 16
8 Calcule: ( 0,1333... 4 0,2 ) 3 1,2
9 Transforme os números racionais na forma fracionária para a forma decimal.
a) 
40
3
b) 
18
37
c) 
35
21
d) 
600
23
e) 
80
3
f) 
15
6
10 Indique, no caderno, o número irracional.
a) 144 b) 625 c) 37 d) 812
11 O diâmetro do pneu de uma bicicleta mede 60 cm.
Responda às questões:
a) Qual é a medida do raio de cada um dos pneus dessa bicicleta?
b) Quanto mede o comprimento de cada pneu dessa bicicleta? 
(Considere s 5 3,14.)
Lembre-se:
Não escreva no livro!
M
IN
D
S
C
A
P
E
 S
TU
D
IO
/\
S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
Exemplo de resposta: ( )3 3( )3 3( ) 03 31 23 3( )3 3( )1 2( )3 3( ) 5( )( )3 3( )( )( )( )3 3( )( )( )( )3 3( )
Sim, observe: 
Justifique.
Sim, observe: 
Justifique.
2 2 2
2
2
1e3 52 23 52 2 52 22 23 52 22 22 23 52 22 2
Os números reais abaixo representam valores aproximadosde Os números reais abaixo representam valores aproximados de Os números reais abaixo representam valores aproximados de 
alternativa a
Resposta pessoal.
495
212
3000
10223
11
60
495
8
0,075
,2 0,2 0, 5
0,6
,0 0383
0,0375
0,4
alternativa c
188,4 cm
30 cm
LU
IZ
 R
U
B
IO
5
4
0
20,4
23,5 11 22
AD C3. B
5
26
• Na atividade 3 os alunos 
provavelmente vão dizer 
que encontraram uma apro-
ximação para o item a, loca-
lizando essa aproximação na 
reta numérica. Isso nos per-
mite, portanto, encontrar 
aproximadamente a posição 
do ponto 2 . Explique que 
por meio de uma constru-
ção geométrica é possível 
localizar matematicamente 
o ponto na reta. Essa cons-
trução se baseia na diagonal 
de um quadrado de lado 
unitário. Podemos transferir 
com um compasso a medida 
do segmento que represen-
ta a diagonal de um quadra-
do de lado unitário para a 
origem da reta, colocando 
a ponta seca sobre o zero e 
riscando a reta com a outra 
ponta do compasso.
30
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
30
Elaborando
Retome a situação de Marcos, que compra e vende móveis usados (páginas 20 e 21). A gerente 
pediu para ele elaborar outra planilha reproduzida a seguir.
B DCA
1
4
3
2 R$
R$
R$
23%60,00
80,00
100,00
Valor de
compra
Valor
de venda
Porcentagem
para o aumento
Valor
do aumento
a) Junte-se com um colega e comparem a situação apresentada no capítulo (para os três primeiros 
itens) com a da planilha acima. Que semelhanças e diferenças vocês observam? 
b) Reproduzam, em uma planilha eletrônica, os valores de compra e a porcentagem para o 
aumento. Em seguida, obtenham o valor do aumento, o valor de venda para cada móvel e, 
também, o lucro, em real, obtido com a venda desses três móveis.
12 O raio do pneu de uma bicicleta mede 35 cm.
Quantas voltas deverá dar a roda dessa bicicleta para percorrer 1 099 m?
(Considere s 5 3,14.)
13 (FEI-SP) O preço das ações de uma empresa sofreu duas altas sucessivas de 20% e uma baixa 
de 10%. É correto afirmar que, nesse período todo, as ações tiveram uma alta de:
a) 30% b) 29,6% c) 28% d) 27,5% e) 25,2%
14 (Uerj) Um comerciante, para aumentar as vendas de seu estabelecimento, fez a seguinte promo-
ção para determinado produto:
COMPRE 4 UNIDADES E LEVE 5.
Essa promoção representa um desconto de x % na venda de 5 unidades. O valor de x é igual a:
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
15 (Enem)
 O Brasil é um país com uma vantagem econômica clara no terreno dos recursos naturais, dis-
pondo de uma das maiores áreas com vocação agrícola do mundo. Especialistas calculam que, 
dos 853 milhões de hectares do país, as cidades, as reservas indígenas e as áreas de preservação, 
incluindo florestas e mananciais, cubram por volta de 470 milhões de hectares. Aproximada-
mente 280 milhões se destinam à agropecuária, 200 milhões para pastagens e 80 milhões 
para a agricultura, somadas as lavouras anuais e as perenes, como o café e a fruticultura.
FORTES, G. Recuperação de pastagens é alternativa para ampliar cultivos. Folha de S.Paulo, 30 out. 2011.
De acordo com os dados apresentados, o percentual correspondente à área utilizada para agri-
cultura em relação à área do território brasileiro é mais próximo de 
a) 32,8%
b) 28,6%
c) 10,7%
d) 9,4%
e) 8,0%
A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
Lembre-se:
Não escreva no livro!
alternativa d
alternativa c
500 voltas
alternativa b
23%
23% R$ 23,00 R$ 123,00
Resposta pessoal.
R$ 18,40 R$ 98,40
R$ 13,80 R$ 73,80
Elaborando
• A seção incentiva a cria-
tividade e a elaboração de 
questões pelos alunos, favo-
recendo o desenvolvimento 
das competências gerais 5 e 
10 e da competência especí-
fica 5. 
• Se julgar adequado, pro-
ponha a seguinte atividade 
aos alunos: 
 � Junto com seu cole-
ga, elabore uma situação 
na qual os produtos são 
anunciados com desconto. 
Pense numa situação em 
que a expressão “descon-
tos de até...” seja utilizada. 
Crie uma tabela em uma 
planilha eletrônica para 
identificar as porcentagens 
de desconto, valor do des-
conto, valor da venda e lu-
cro. É importante que a em-
presa não tenha prejuízo.
Nessa atividade, chame a 
atenção para o final do 
enunciado, onde afirmamos 
que é importante para a em-
presa não ter prejuízo. Per-
gunte aos alunos qual deve 
ser a condição para que não 
se tenha prejuízo e como 
eles podem pensar na por-
centagem adequada para 
que isso não aconteça.
Competência geral 5: Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, signifi-
cativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, 
produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.
Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, 
tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e 
resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.
31
Objetivos
• Ampliar e sistematizar os 
casos de potenciação de base 
e expoente inteiros.
• Revisar conceitos e proprie-
dades referentes à radiciação 
e compreender quando o re-
sultado da raiz quadrada de 
um número é natural, racional, 
irracional ou inexistente no 
conjunto dos números reais.
• Resolver e elaborar proble-
mas usando a relação entre 
potenciação e radiciação.
Habilidades da BNCC 
• Este capítulo foi planejado 
para favorecer o desenvolvi-
mento das seguintes habili-
dades da BNCC: EF08MA01 e 
EF08MA02.
• Neste capítulo, vamos tra-
balhar potenciação e suas 
propriedades: o caso em que 
a base é um número real, e o 
expoente, um número intei-
ro; e radiciação com raiz qua-
drada exata e aproximada. 
É hora de observar e refletir 
• A situação apresentada na 
abertura do capítulo ofere-
ce uma oportunidade para 
que se discuta a quantidade 
processada de petróleo na 
plataforma P–55, no Campo 
Roncador (Bacia de Campos, 
RJ). Pode-se chamar a atenção 
dos alunos para que perce-
bam que a notação científica 
é útil para expressar números 
muito grandes, como é o caso 
do número 180 000, que cor-
responde à quantidade de 
barris de petróleo processa-
dos diariamente. 
EF08MA01: Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em 
notação científica.
EF08MA02: Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como 
potência de expoente fracionário.
CAPÍTULO
2 Potenciação e radiciação
31
É hora de observar e refletir
A plataforma de petróleo P-55 entrou em operação no fim de 2013, no Campo de Roncador (Bacia de 
Campos, no estado do Rio de Janeiro), ancorada a uma profundidade de cerca de 1 800 metros com capacidade 
diária para extrair 180 mil barris de petróleo e comprimir 6 milhões de metros cúbicos de gás natural.
Escreva o número 180 mil, citado no texto, como o produto do número 18 por uma potência de 10.
Considerando o período de um ano (365 dias), qual será a quantidade de barris extraídos pela plataforma? 
Escreva a resposta utilizando o produto de um número por uma potência de 10.
A
N
D
R
É
 R
IB
E
IR
O
/B
A
N
C
O
 D
E
 IM
A
G
E
N
S
 P
E
T
R
O
B
R
Á
S
Plataforma de petróleo semissubmersível P-55, 
Campo de Roncador na Bacia de Campos (RJ), 2017.
18 3 104
6 570 3 104 ou 657 3 105
32
Trocando ideias
• Esta seção foi criada para 
incentivar uma conversa en-
tre os alunos sobre assuntos 
do capítulo, mobilizando 
seus conhecimentos. Suge-
rimos explorá-la oralmente; 
se julgar necessário, solici-
te que respondam às ques-
tões por escrito no caderno. 
A seção busca favorecer odesenvolvimento das com-
petências gerais 2 e 9 e da 
competência específica 1.
• A situação proposta, cujo 
contexto é o revestimento 
de pisos, permite fazer um 
levantamento do conheci-
mento prévio dos alunos no 
que tange à raiz quadrada 
de um número natural. Por 
meio dessa sondagem inicial, 
planeje as estratégias a serem 
adotadas, o tipo de situação a 
ser privilegiada e as maneiras 
de avaliar os conhecimentos 
a serem construídos ao lon-
go do capítulo. Esteja atento 
para que a abordagem pro-
posta seja sempre desafiado-
ra para os alunos. 
• Chame a atenção dos alu-
nos para o fato de que exis-
tem algumas maneiras de 
obter o resultado solicitado. 
Eles podem contar na ima-
gem o número de ladrilhos 
e multiplicá-lo pela medida 
da lateral do ladrilho. Ou-
tra maneira é calcular a raiz 
de 225, sabendo que a sala 
tem formato quadrangular, e, 
desse modo, obter o número 
de ladrilhos da lateral da sala 
e, por fim, multiplicar pela 
medida da lateral do ladrilho. 
Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, 
a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver 
problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo 
o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus 
saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.
Competência específica 1: Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de di-
ferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e 
tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.
Trocando ideias
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
32
Observem as situações a seguir e façam o que se pede.
 ▸ Ana Clara trabalha na construção civil e colocará lajotas em um cômodo quadrado, 
conforme mostra a ilustração abaixo.
Considerando que todas as lajotas têm o mesmo tamanho, determinem o total de 
lajotas que deverá ser usado para revestir todo o piso.
 ▸ Vejam ao lado a vista superior do piso 
de uma sala. Sabendo que esse piso 
tem forma quadrangular e foi reves-
tido com 225 ladrilhos quadrados de 
lados medindo 40  cm, determinem a 
medida dos lados dessa sala.
 ▸ Que estratégias vocês utilizaram para 
resolverem as situações anteriores? 
Há mais de um modo de resolvê-las?
Neste capítulo, vamos ampliar os conhe-
cimentos sobre operações nos diversos 
conjuntos numéricos, fazendo uso da po-
tenciação e da radiciação.
G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
C
LÁ
U
D
IO
 C
H
IY
O
169 lajotas
6 m 
Resposta pessoal.
33
• Comente com os alunos que 
a potenciação é uma operação 
presente em outros campos 
da Matemática, tais como 
Álgebra e Geometria. É es-
sencial saber interpretar essa 
operação a partir de várias 
situações-problema.
• O foco da situação apre-
sentada não é explorar os 
conceitos físicos de ace-
leração, velocidade e dis-
tância, e sim exemplificar 
uma aplicação da potencia - 
ção em uma situação que 
apresenta uma modelagem 
da realidade. 
• Sugerimos que a justificati-
va do conceito de que todo 
número não nulo elevado 
a zero é igual a 1 seja apre-
sentada aos alunos após o 
trabalho com as propriedades 
de potência. 
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
33
Potenciação1
320 m
Torre Eiffel, Paris, França, 2016.
Vácuo
Na prática, utilizamos o termo "vácuo" 
para nos referir a um espaço no qual a 
maior parte do ar ou de outro gás foi 
retirada e no qual a pressão é extre-
mamente pequena.
Quando um objeto é abandonado no vácuo ou quando 
desconsideramos a ação do ar sobre esse objeto, ele cai 
em direção vertical, caracterizando um movimento cha-
mado queda livre.
Pode-se provar que um objeto em queda livre, a partir 
do repouso, durante um tempo (t ), expresso em segundo, 
percorre uma distância (d ), expressa em metro, que cor-
responde a: d
g t
25
8 2
 , em que g é a aceleração da gravi-
dade a que um objeto está submetido; e seu valor, próximo 
à superfície terrestre, é da ordem de 10 m/s2.
Considere a situação a seguir.
▸ Se soltássemos uma esfera metálica de uma altura 
de 320 m (a mesma altura da Torre Eiffel), a distância 
aproxi mada percorrida pela esfera após 2 segundos 
de queda seria: 
d t
2
10
2
10 2
2
10 4 205 5 5 5
8 8 82 2
 Portanto, a esfera teria percorrido após 2 s aproxima-
damente 20 m.
 No cálculo realizado, para encontrar a distância per-
corrida, utilizamos as operações de multiplicação, 
 potenciação e divisão.
Vamos retomar o estudo da potenciação considerando os casos a seguir, em que a base da 
potência é um número real e o expoente é um número inteiro.
 Expoente zero
Sendo a um número real não nulo, definimos:
a 0 5 1 , a % 0
Qualquer potência de base real não nula e expoente zero é igual a 1.
Exemplos
• (0,65)0 5 1
• (211,6)0 5 1
• (2)0 5 1
• (23)0 5 1
• (0,232323...)0 5 1
• 4
3 15
0
e o
P
H
O
TO
.U
A
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
34
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
34
 Expoente 1
Sendo a um número real, definimos:
a 1 5 a
Qualquer potência de base real e expoente 1 é igual à própria base.
• 8
5
8
5
2 5 2
1
e o
• (0,666...)1 5 0,666...
• (0,25)1 5 0,25
• (21,6)1 5 21,6
Exemplos
 Expoente inteiro maior que 1
Sendo a um número real com expoente inteiro n maior que 1, definimos:
a n 5 a 3 a 3 a 3 ... 3 a, n . 1
n fatores
Qualquer potência de base real e expoente inteiro maior que 1 é igual ao produto dessa base 
por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente.
• 5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
625
1
2 2 2 2 25 58 8 8
4
e e e e eo o o o o
• (0,1)3 5 (0,1) 3 (0,1) 3 (0,1) 5 0,001
• 23 5 2 3 2 3 2 5 8
• (27)2 5 (27) 3 (27) 5 49
Exemplos
Quando a base é um número menor que zero, podemos dizer que o sinal da potência pode ser:
▸ positivo, se o expoente é par:
 (23)2 5 (23) 3 (23) 5 9
▸ negativo, se o expoente é ímpar:
 (22)3 5 (22) 3 (22) 3 (22) 5 28
 Expoente inteiro negativo
Sendo a um número real não nulo e n um número inteiro, temos:
5
1 ou 1 , 0a
a a a2n
n
n
!e o
Qualquer potência de base real não nula e expoente inteiro negativo é igual à potência do 
inverso da base dada e expoente igual ao oposto do expoente dado.
Exemplos
• 222 5 
2
1
4
1
52 • (23)24 5 
( )3
1
81
1
2
54 • 3
2
3
2
1
9
4
1
4
9
5 5 5
2
2
2
e
e
o
o
Sugestão de atividade extra
• A fim de dar significado ao 
conceito de potenciação, pro-
ponha aos alunos a seguinte 
atividade:
 � Ao lançar uma moeda, há 
duas possibilidades de resul-
tado: cara (K) ou coroa (C).
Já ao lançar duas moedas 
distintas, há quatro possibi-
lidades: (K, K); (K, C); (C, K); 
(C, C).
E se forem lançadas três 
moedas distintas, quantas 
possibilidades haverá? 
Uma maneira de determi-
nar esse resultado é usando a 
árvore de possibilidades. Veja:
moeda
1a moeda
2a moeda
3a moeda
C
K
C
K
K p K, K, K
C p K, K, C
K p K, C, K
C p K, C, C
K
K p C, K, K
C p C, K, C
K p C, C, K
C p C, C, C
C
Ao todo, haverá 8 possibili-
dades.
Realizar esse mecanismo é 
bastante trabalhoso com 
três moedas, e se for lança-
do um número maior de mo-
edas o trabalho será ainda 
maior, mas há uma maneira 
mais prática. Ao observar a 
árvore de possibilidades aci-
ma, notamos que o número 
total de possibilidades será 
a multiplicaçãode fatores 
iguais. Veja:
 � 1 moeda: 2 possibilidades
 � 2 moedas: 4 (2 3 2 5 22) 
possibilidades
 � 3 moedas: 8 (2 3 2 3 2 5 23) 
possibilidades
Qual é o total de possibili-
dades no lançamento de seis 
moedas distintas?
Resposta: 
64 (2 3 2 3 2 3 23 2 3 2 5 26) 
pos sibilidades.
• A justificativa do conceito de potência com expoente inteiro negativo deve ser apresentada aos alunos 
após o trabalho com as propriedades de potência.
A
N
D
E
R
S
O
N
 D
E
 A
N
D
R
A
D
E
 P
IM
E
N
TE
L
35
Lendo e aprendendo
• Esta seção explora a no-
tação científica. Comente 
com os alunos que a notação 
científica é uma importante 
aplicação de potenciação e 
é bastante usada por cien-
tistas como astrônomos, 
físicos, biólogos, químicos, 
entre outros. 
Orientações para o 
professor acompanham o 
Material Digital Audiovisual
Material Digital Audiovisual
• Vídeo: Uma lenda sobre o 
xadrez
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
35
Lendo e aprendendo
Notação científica
Um número escrito em notação científica apresenta o seguinte formato: Um número escrito em notação científica apresenta o seguinte formato: a 3 10b, em que 
b é um expoente inteiro e a pertence ao intervalo 1 pertence ao intervalo 1 a pertence ao intervalo 1 a < a , 10. Observe os exemplos a seguir.
• 3 000 000 000 5 3 3 1 000 000 000 5 3 3 109 (aa 5 3 e b 5 9)
• 476 000 000 000 000 000 5 4,76 3 100 000 000 000 000 000 100 000 000 000 000 000 5 4,76 3 1017 (a 5 4,76 e b 5 17)
• 0,00000008 5 8 3 0,00000001 5 8 3 1028 (a 5 8 e 8 e bb 5 28)
• 0,0000032 5 3,2 3 1026 (a 5 3,2 e b 5 26)
Os primeiros indícios do uso da notação científica ocorreram com Arquimedes por volta do Os primeiros indícios do uso da notação científica ocorreram com Arquimedes por volta do 
século III a.C. 
Agora, observe os exemplos a seguir nos quais grandezas como a distância e a massaAgora, observe os exemplos a seguir nos quais grandezas como a distância e a massa
estão escritas em notação científica.
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: C
LÁ
U
D
IO
 C
H
IY
O
Krill
Crustáceo marinho semelhante 
a pequenos camarões, encon-
trado em águas frias. É fonte de 
a pequenos camarões, encon-
trado em águas frias. É fonte de 
a pequenos camarões, encon-
alimento para as baleias.
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
1 Calcule as potências a seguir.
a) 24
b) 
32
d n
2
d n
2
1d n1d n
c) 223
d) 
3
d n
5
d n
5
1d n1d n
e) (24)3
f) 103
g) (0,1)22 
h) 
22
d n2d n2
7
d n
7
3d n3d n
i) 1023 
j) 
2
d n
3
d n
3
2d n2d n
k) 0 10
l) (0,181818...)2
2 Calcule o valor de:
a) 3x 3 2 2x 2 2 x 1 5, para x 5 21
b) (21)8 2 3 3 (21)5 1 (21)16
c) 26 2 25 1 24 2 23 1 22 2 21 1 20
3 Os resultados de (29)2 e 292 são iguais? 
Justifique sua resposta.
4 Escreva os números a seguir em notação 
científica.
a) 5 400
b) 0,0025
c) 300 000 000
d) 0,00000637
A baleia azul se 
alimenta exclusivamente de krill. krill. krill
Observem as massas desses dois 
animais usando a mesma unidade 
de medida.
Urano é o sétimo planeta do 
Sistema Solar partindo do mais próximo, 
que é Mercúrio, para o mais distante, que 
é Netuno. Essa é a distância aproximada 
de Urano em relação ao Sol.de Urano em relação ao Sol.de Urano em relação ao Sol.de Urano em relação ao Sol.de Urano em relação ao Sol.de Urano em relação ao Sol.
Quem diria que um animal 
tão grande se alimenta de 
outro tão pequeno.
Note que, se não usássemos a notação científica para 
representar a distância aproximada de Urano até o Sol, o 
valor seria 2 871 000 000 km; já para representar a massa 
aproximada da baleia azul e do krill, teríamos, respectivakrill, teríamos, respectivakrill -
mente, 140 toneladas e 0,000002 toneladas.
16
8
1 000
0
100
264
8
1
125
1
9
49
1000
1
9
4
121
4
1
5
43
Não, pois (29)2 5 (29) 3 (29) 5 81 e 292 5 29 3 9 5 281.81.
5,4 3 103
2,5 3 1023
3,0 3,0 3 108
6,37 6,37 3 1026
36
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
36
5 Qual expressão tem maior valor: A ou B ?
A 5 
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
1 1 1 1
2 2 2 2 22 2 2
e e e e eo o o o o B 5 
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
1 1 1 1
2 2 2 2 22 2
e e e e eo o o o o
6 A partir do repouso, um corpo em queda livre 
percorre, no vácuo, uma distância d (em metro) 
que corresponde a 
g t
2
8 2
, em que g é a acele-
ração da gravidade (considere g  5  10  m/s2). 
Desprezando a resistência do ar, que distância 
percorre um paraquedista em queda livre 
durante os 12 primeiros segundos?
 Propriedades da potenciação
Todas as propriedades da potenciação são válidas para as potências de base real e expoente 
inteiro, desde que as condições para que existam as potências sejam obedecidas. 
1a propriedade 
Em uma multiplicação de potências de mesma base, conservamos a base e adicionamos os 
expoentes.
• (0,15)2 3 (0,15)3 5 (0,15)2 1 3 5 (0,15)5
• (0,777...)21 3 (0,777...)5 5 (0,777...)21 1 5 5 (0,777...)4
Exemplos
De modo geral: a m 3 a n 5 a m 1 n, em que a é um número real não nulo e m e n são números inteiros.
2a propriedade
Em uma divisão de potências de mesma base não nula, conservamos a base e subtraímos os 
expoentes.
De modo geral: a m 4 a n 5 a m 2 n, em que a é um número real não nulo e m e n são números inteiros.
3a propriedade
Uma potência elevada a um expoente pode ser escrita mantendo-se a base e multiplicando 
os expoentes.
Exemplos
• (0,19)6 4 (0,19)2 5 (0,19)6 2 2 5 (0,19)4 • 
5
5 55
5 52
2 2
3
7
7 ( 3) 10
Exemplos
• [(0,32)3]2 5 (0,32)3 3 2 5 (0,32)6 • 5
1
5
1
5
1
2 25 2 5
3 5 3 5 158
e e eo o o> H
De modo geral: (a m )n 5 a m 3 n, em que a é um número real não nulo e m e n são números inteiros.
G
E
R
M
A
N
S
K
Y
D
IV
E
R
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
Lembre-se:
Não escreva no livro!
720 m
O valor de A 5 35 16
5 é maior que B 5 21 225
34 .
• Para justificar o concei-
to de que todo número 
não nulo elevado a zero é 
igual a 1, basta considerar 
que podemos escrever uma 
potência com expoente igual 
a zero como uma potência 
de mesma base e expoente 
igual a 1 2 1, e daí utilizar 
a 2a propriedade estudada 
para verificar que o resultado 
é 1. Utilizando a linguagem 
matemática, temos: 
 � Seja a um número real 
qualquer diferente de zero. 
Assim: 
1a a
a
a
a
a
5 5 5 50 1 1
1
1
2
É possível também justificar 
a 2a propriedade a partir da 
1a e do conceito de potência 
com expoente inteiro nega-
tivo. Veja:
 � Seja a um número real 
qualquer diferente de zero 
e m e n números inteiros. 
Assim: 
1
a
a5n
n2
am 4 an 5 am 3 a2n 5
5 am1(2n) 5 am2n
pela 1a propriedade
Tais justificativas podem 
ser oferecidas aos alunos 
assim que se perceber que 
eles amadureceram seus 
conhecimentos sobre as 
propriedades de potência. 
Isso também poderá ajudá-
-los a se convencer da vali-
dade dessas propriedades e 
da relação que estabelecem 
com as demais.
37
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
37
4a propriedade
Em uma multiplicação de dois ou mais fatores elevados a um mesmo expoen te, podemos ele-
var cada um desses fatores a esse mesmo expoente.
Exemplos
• (2 3 5)23 5 223 3 523 • 5
3
2
1
5
3
2
1
53 3
2 2 22 2 2
e e eo o o
Exemplos
• (8 4 3)2 5 82 4 32 • 3
4
16
3
3
4
16
3
54 4
3 3 32 2 2
e e eo o o
De modo geral: (a 3 b)m 5 a m 3 b m, em que a e b são números reais não nulos e m é um 
nú mero inteiro.
5a propriedade
Em uma divisão elevada a um expoente, podemos elevar o dividendo e o divisor a esse mes-
mo expoente.
De modo geral: (a 9 b)m 5 a m 9 b m, em que a e b são números reais não nulos e m é um nú-
mero inteiro.
Cuidado!
Observe atentamente estas desigualdades:
• 23 1 24 % 23 1 4, pois: 24 % 128 • (5 1 3)2 % 52 1 32, pois: 64 % 34
• 23 2 24 % 23 2 4, pois: 28 % 2
1 • (5 2 3)2 % 52 2 32, pois: 4 % 16
• (52)3% 523, pois: 56 % 58
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
1 Indique sob a forma de uma só potência.
a) 23 3 24 3 25 3 26 f) 64 4 62
b) (23)2 g) (2 3 3)3
c) (6 4 3)3 h) 7 15 4 7 10
d) 103 3 10 3 10 i) 1021 3 102 3 1021
e) (34)23 
2 Calcule o valor de cada potência usando 
as propriedades da potenciação.
a) 
2 2
2 2 2
8
8 8
5 6
4 10 3
 c) 4
1 3
d n
b) (7 3 4)2 d) 2
2
1 3 2
d n= G
3 Determine o valor da expressão numérica:
(1,666...)21 1 
( )
9
3 38
8
10 5 32
4 Calcule o valor das expressões numéricas.
a) 32 3 41 2 20 1 31 3 32 3 33
b) (22)26 3 82 1 30
c) 61 3 322 1 421 2 4 3 7 0
d) 84 3 83 3 84 4 88
5 Escreva em seu caderno a(s) sentença(s) 
verdadeira(s).
a) (2 3 5)3 5 23 3 53
b) (2 1 5)3 5 23 1 53
c) (17 2 1)2 5 172 2 12
218
105
62
75
26
3212
63
23
100
64
784
764
2
512
verdadeira
falsa
falsa
64
1
64
1
15
14
2 12
37
• Comente com os alunos a 
importância das propriedades 
de potenciação para a simpli-
ficação dos cálculos.
• A atividade 3 utiliza a apli-
cação de algumas das proprie-
dades estudadas. Mostre aos 
alunos que na expressão dada 
há uma dízima que pode ser 
expressa da seguinte maneira:
1,666... 5 
15
9
Logo, a expressão numérica 
fica:
9
15
9
3 3
15
9
3
3
15
9
3
3
15
9
3
1
15
14
1
3
5
5 1 5 1 5
5 1 5
21
8
10 5 3
2 8
5 3
16
15
2
`
d
`
`
j
n
j
j
38
38
O território brasileiro já foi habitado por gigantes. Mastodontes, entre 
 outros animais de médio e grande porte, viveram aqui até 
9 mil anos atrás, quando foram extintos na última Era do Gelo. 
Mas como os cientistas fazem essas datações? Para isso, eles comparam 
dois tipos de carbono presentes em ossos, dentes e outros materiais fósseis 
desses animais.
Do ar à cadeia alimentar
As três formas de carbono entram na 
cadeia alimentar, pois são absorvidas pelas 
plantas na forma de gás carbônico (CO2). 
Ao se alimentar e respirar, os seres vivos 
trocam C-12 e C-14 continuamente com 
o meio ambiente, até atingir a mesma 
proporção da atmosfera.
Em 1 grama de carbono extraído 
de um ser vivo há cerca de 
38 bilhões de átomos de C-14, mas 
essa quantidade começa a diminuir 
assim que ele morre.
Carbono-14: raro e especial
O carbono é um elemento químico que existe na atmosfera e nos 
seres vivos. Observe a proporção das variedades de carbono.
Para cada 1,3 trilhão de átomos de 
carbono-12 (C-12), existe apenas um 
átomo de carbono-14 (C-14), 
uma variedade radioativa que se 
decompõe com o tempo, e 15 bilhões 
de átomos de carbono-13 (C-13).
Figura 1 – Proporção das três variedades de carbono
1,3 3 1012 átomos
1,5 3 1010 átomos
1 átomo
Relógio radioativo
A característica radioativa de um tipo de carbono permite calcular a idade 
de organismos mortos há dezenas de milhares de anos.
Lendo e aprendendo
Lendo e aprendendo
• Dedique atenção especial 
a esta seção, que trata da 
datação de organismos mor-
tos por meio do carbono-14. 
Comente com os alunos que 
em diversas experiências 
científicas é preciso traba-
lhar com números muito 
grandes (como a quantidade 
de átomos) ou ainda muito 
próximos de zero (como o 
tamanho de uma célula), por 
isso a ideia de potenciação e 
suas propriedades é bastante 
utilizada.
39
39
A
N
D
R
É
 D
U
C
C
I
Fontes: SALLES, L. O resgate do mastodonte brasileiro. Rio de Janeiro: Museu 
Nacional, 2005; FARIAS, R. A química do tempo: carbono-14. Química Nova 
na Escola, São Paulo, n. 16, p. 6-8, nov. 2002; SANTOS, G. M. et al. 
Datação por carbono-14 utilizando espectrometria de massa com 
acelerador de partículas. Revista de Física Aplicada e Instrumentação, São 
Paulo, v. 14, n. 1, p. 18-26, mar. 1999; CASSINO, R.; MEYER, K. Reconstituição 
paleoambiental do Chapadão dos Gerais (Quaternário tardio) a partir da 
análise palinológica da Vereda Laçador. Revista Brasileira de Paleontologia, 
Porto Alegre, v. 16, n. 1, p. 127-146, jan.-abr. 2013.
Nos restos do mastodonte da foto, 
a proporção de C-14 é cerca de 
4
1 da inicial.
Então, como f p2f p2
1f p1f p
n
5 4
1 , 2n 5 4. Logo, n 5 2.
De acordo com o gráfico acima, a proporção 
de C-14 é cerca de 
4
1 da inicial quando n 5 2.
Portanto, o animal morreu há aproximadamente 
11 460 anos (2 3 5 730 anos).
Como é feita a datação por carbono-14?
1 Com uma pequena amos-
tra extraída de fósseis, 
como a da foto ao lado, 
é  possível medir no la-
boratório a quantidadede 
C-12 e de C-14. Enquan-
to a quantidade de C-12 
permanece constante ao 
longo do tempo, a de C-14 
diminui. Portanto,quanto 
menor a quantidade de 
C-14 na amostra em re-
lação ao que havia antes 
da morte do ser vivo, mais 
antigo é o fóssil.
1
2 Quando um ser vivo morre, deixa de absorver 
carbono, e a variedade radioativa C-14 passa a se 
desintegrar a uma taxa chamada meia-vida, como 
podemos observar no grá�co a seguir. A cada 
5 730 anos, a proporção de C-14 cai à metade. 
A equação que expressa essa propriedade é: 
Os mastodontes eram mamíferos 
que viviam em bandos e se 
alimentavam de gramíneas 
e arbustos. Mediam de 3 a 
4 metros de altura, pesavam de   
4 a 7 toneladas e suas presas podiam 
atingir até 5 metros de comprimento. 
Essas medidas são muito próximas às 
dos elefantes africanos de hoje, que, 
quando adultos, têm cerca de 
4 metros de altura e chegam 
a pesar 7 toneladas.
 q 5 q0 3 2
1f p
n
, em que
q 0 5 quantidade de C-14 
antes da morte
q 5 quantidade de C-14 da 
amostra
n 5 número de meias-vidas
Restos fossilizados de 
um mastodonte são 
examinados na área rural 
do município de Padre 
Hurtado, próximo de 
Santiago do Chile, em 2011.
LU
IS
 H
ID
A
LG
O
/R
E
U
TE
R
S
/L
AT
IN
S
TO
C
K
1
5 730
2
11 460
3
17 190
0
1
Fr
aç
ão
 d
a 
qu
an
ti
da
de
 q
0 
 
de
 C
-1
4 
an
te
s 
da
 m
or
te
Meias-vidas (n)
Idade (em ano)
C-12
C-14 (q )
A
N
D
E
R
S
O
N
 D
E
 A
N
D
R
A
D
E
 P
IM
E
N
TE
L
8
1
1
4
1
2
• Nesta seção, é explorada de 
maneira intuitiva a noção 
de função exponencial e seu 
gráfico (quando a base é um 
número entre 0 e 1). Esse 
primeiro contato poderá 
auxiliá-los no trabalho mais 
aprofundado com funções 
exponenciais que será desen-
volvido no Ensino Médio. 
Sugestão de atividade extra
• Essa atividade se insere 
como retomada do conceito 
de porcentagem, estudado no 
7o ano, e como antecipação 
informal do conceito de juro 
composto, a ser trabalhado 
no 9o ano. 
• O objetivo dessa atividade 
é mostrar aos alunos como 
obter uma expressão geral 
após observar as regulari-
dades presentes nos cálculos 
que estão sendo realizados.
� Um capital de R$ 100,00 
foi aplicado à taxa de 2% ao 
mês, isto é, renderá, a cada 
mês, juro de 2% calculado 
sempre sobre o montante 
disponível no mês anterior. 
a) Qual será o montante 
disponível para o investi-
dor sacar depois de um 
mês de aplicação? Quanto 
de juro o capital rendeu 
nesse período? (Respostas: 
R$ 102,00; R$ 2,00.)
b) Qual será o montante 
disponível para o investi-
dor sacar depois de dois 
meses de aplicação? Quan-
to de juro o capital rendeu 
nesse período? (Respostas: 
R$ 104,04; R$ 4,04.) 
c) Qual será o montan-
te disponível para o in-
vestidor sacar depois de 
três meses de aplicação? 
Quanto de juro o capital 
rendeu nesse período? 
(Respostas aproximadas: 
R$ 106,12; R$ 6,12.)
• Comente com os alunos 
que, tal como no caso do car-
bono-14, aqui também pode-
mos obter os valores pedidos 
por meio da expressão com 
variável no expoente: 
M 5 C 3 (1 1 i )t, em que M 
é o montante, C o capital, t 
o tempo de aplicação e i a 
taxa (4100).
40
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
40
Radiciação2
No movimento de queda livre a partir do repouso de uma esfera metálica da Torre Eiffel apre-
sentada na página 33, vimos que a esfera metálica percorre, durante um tempo (t ), em segundo, 
uma distância (d ), em metro, que corresponde aproximadamente a: d
g t
25
g t3g t 2
Vimos também que,se soltássemos uma esfera metálica de uma altura de, por exemplo, 
320  m (a mesma altura da Torre Eiffel), desprezando a resistência do ar, após 2 segundos, a 
esfera teria percorrido aproximadamente 20 m. Agora, vamos determinar o tempo aproximado 
que essa esfera demoraria para chegar ao solo.
320 m
d 5
g t
2
g t3g t 2
320 5 t
2
10 3 2
10 3 t 2 5 640
t 2 5 10
640
t 2 5 64
Sabemos que t representa o tempo da quet representa o tempo da quet -
da e, por isso, é um valor positivo. Para obter o 
número positivo que elevado ao quadrado re-
sulta em 64, fazemos: 
64 5 8
Logo:
t 5 64
t 5 8 
Portanto, a esfera metálica levaria aproximadamente 8 segundos para chegar ao solo.
Nos cálculos acima, realizados para encontrar o tempo aproximado de queda da esfera metá-
lica, utilizamos as operações de multiplicação, divisão e radiciação.
Nesse exemplo, vimos que 64 5 8, pois 82 5 64.
Além da raiz quadrada ou 2a k, temos também as raízes cúbicas a k3a k3a ka ka k, quartas 4a k, quin-
tas a k5a k5a ka ka k, entre outras. Os números 2, 3, 4 e 5 nesses símbolos são chamados índices.
LU
IZ
 R
U
B
IO
• 225 5 15, pois: 152 5 225
• ,0 1,0 1, 6 5 0,4, pois: (0,4)2 5 0,16
• 49
16
5 7
4 , pois: 49
16
5
2
e o
7
e o
7
4e o4e o
• 125 52 5122 5125 52 55 55 525 53 , pois: (25)3 5 2125
• , ,0 0, ,0 0, ,08, ,08, ,1 0, ,1 0, ,31 051 04 , pois: (0,3)4 5 0,0081
• 1024 455 , pois: (4)5 5 1024
Exemplos
• Comente com os alunos 
que a radiciação é a operação 
matemática inversa à poten-
ciação. Enquanto a potencia-
ção é uma multiplicação de 
fatores iguais, a radiciação 
busca descobrir que fatores 
são esses, dando o resultado 
dessa multiplicação.
• Chame a atenção dos alunos para o fato de que, ao trabalhar com a raiz quadrada de números fracionários, 
devemos calcular a raiz do numerador e do denominador. E, no caso de números decimais, podemos encon-
trar uma fração representativa e aplicar a raiz quadrada na fração.
41
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
41
 Raiz quadrada exata
Considere as operações:
▸ 1 3 1 5 12 5 1
▸ 2 3 2 5 22 5 4
▸ 3 3 3 5 32 5 9
▸ 4 3 4 5 42 5 16
▸ 5 3 5 5 52 5 25
▸ 6 3 6 5 62 5 36
▸ 7 3 7 5 72 5 49
▸ 8 3 8 5 82 5 64
▸ 9 3 9 5 92 5 81
▸ 10 3 10 5 102 5 100
▸ 11 3 11 5 112 5 121
▸ 12 3 12 5 122 5 144
Os números 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 e 144 foram obtidos de um produto 
de dois fatores iguais. Chamados quadrados perfeitos, esses números têm como raiz quadrada 
o fator que os originou.
Assim:
▸ 1 5 1
▸ 4 5 2
▸ 9 5 3
▸ 16 5 4
▸ 25 5 5
▸ 36 5 6
▸ 49 5 7
▸ 64 5 8
▸ 81 5 9
▸ 100 5 10
▸ 121 5 11
▸ 144 5 12
Para determinar a raiz quadrada de números quadrados perfeitos, podemos utilizar a 
 decomposição em fatores primos.
Observação
Podemos representar raízes como potências de expoente fracionário, por exemplo, a raiz quadrada 
de um número é o mesmo que elevar esse número ao expoente 2
1 . Observe as igualdades a seguir.
• 49 495 2
1
• 5555 5 2
1
• 77 5 2
33
• 13 1357 3
73
• 54 435 5
3
• 5 55 5 586 6
8
3
4
Se a é um número real, p e q números naturais, com q % 0, podemos definir:
 a a5
q q
p
p
• Se possível, apresente aos 
alunos o método geométrico 
para representar os números 
quadrados perfeitos, no qual 
utilizamos a figura do qua-
drado e associamos o número 
à sua área. Esse entendimento 
favorece o desenvolvi mento 
da competência específica 3. 
Competência específica 3: Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática 
(Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à 
própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca 
de soluções.
42
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
42
Exemplos
1 296 5 24 3 34 
1 296 5 (22 3 32)2 5 362
Portanto , 1296 5 36, pois 362 5 1 296. 
1 296 2
648 2
324 2
162 2
81 3
27 3
9 3
3 3
1
▸ Vamos determinar a raiz quadrada de 10,89.
Inicialmente, transformamos o número decimal 10,89 na fração decimal 100
1089 .
Em seguida, decompomos em fatores primos seu numerador e seu denominador. Veja:
( )
( )
( , )100
1089
2 5
3 11
2 5( )2 5( )
3 1( )3 1( )1( )1( )
10
33 3 3( ,3 3( ,5 5 5 5 5
2 582 5
3 183 1
( )2 5( )8( )2 5( )
( )3 1( )8( )3 1( )
2 22 52 22 5
2 23 12 23 112 21
2
2
2
2 2
2e o
10
e o
10
33e o33
5 5 5 5 e o
Portanto, ,10 89 5
2
e o
10
e o
10
33e o33e o 5 10
33
5 3,3, pois (3,3)2 5 10,89.
▸ Vamos determinar a raiz quadrada de 1 296.
Inicialmente, decompomos 1 296 em fatores primos.
Um pouco de história
O símbolo que indica a raiz quadrada sempre foi assim? 
Extrair a raiz quadrada de um número x significa encontrar o número que, multiplicado por x significa encontrar o número que, multiplicado por x
si mesmo, resulta em x. O conceito foi criado por matemáticos árabes. Eles imaginavam um nú-
mero, por exemplo 25, e diziam que ele havia crescido de uma “raiz quadrada” com área igual a 
25. Era preciso, então, “extrair a raiz” e perceber que cada lado do quadrado media 5. A ideia foi 
adotada por matemáticos europeus no fim da Idade Média. Ao traduzir livros árabes, eles encon-
traram o conceito e passaram a aplicá-lo. Para simbolizar a raiz, os europeus optaram pela letra 
“r” minúscula, por ser a primeira letra da palavra radix – que significa “raiz” em latim. radix – que significa “raiz” em latim. radix
Acredita-se que o símbolo atual tenha surgido de uma mudança nessa abreviação do “r” 
manuscrito, que passou a sobrepor o número que estava depois dele. Contudo, não há regis-
tros precisos desse surgimento. Sabe-se apenas que o símbolo foi empregado pela primeira 
vez em 1525, no livro de álgebra Die Coss, de autoria do matemático alemão Christoff Rudolff Die Coss, de autoria do matemático alemão Christoff Rudolff Die Coss
(1499-1545), e que sua adoção geral só ocorreu no século seguinte. A vantagem do símbolo 
usado por Rudolff seria a possibilidade de, estendendo-se o travessão, indicar o número do 
qual se quer determinar a raiz quadrada, evitando, assim, o duplo entendimento. Com a evolu-
ção do uso da operação, convencionou-se a colocação de um índice sobrescrito à esquerda do 
símbolo para indicar raiz cúbica, raiz quarta etc.
NUNES, Ronaldo. O símbolo que indica a raiz quadrada sempre foi assim? Quem o criou? 
Revista Nova Escola. Disponível em: <https://novaescola.org.br/conteudo/959/o-simbolo-que-indica- 
a-raiz-quadrada-sempre-foi-assim-quem-o-criou>. Acesso em: 4 set. 2018.
• Ao trabalhar o cálculo de 
raízes quadradas de números 
reais que têm raiz exata, in-
centive os alunos a decompor 
o número em fatores primos 
ou, caso o número não seja 
inteiro, solicite a eles que 
obtenham, antes de calcu-
lar a raiz quadrada, a for-
ma fracionária. Ambas as 
estratégias não só retomam 
os conteúdos que já foram 
trabalhados como também 
facilitam os cálculos de 
extração da raiz quadrada.
Competência geral 1: Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e 
digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, demo-
crática e inclusiva.
Um pouco de história
• Conhecendo a história da 
Matemática, o aluno pode 
perceber que as teorias são 
frutos de desafios enfrenta-
dos pelos matemáticos da 
época, desenvolvidas com 
grande esforço e ordena-
das de maneira diferente da 
apresentada, depois de todo 
o processo de formalização. 
Desse modo, a seção busca 
favorecer o desenvolvimento 
da competência geral 1.
Veja sequência didática 2 do 
1o bimestre no Material do 
Professor – Digital.
https://novaescola.org.br/conteudo/959/o-simbolo-que-indica-a-raiz-quadrada-sempre-foi-assim-quem-o-criouhttps://novaescola.org.br/conteudo/959/o-simbolo-que-indica-a-raiz-quadrada-sempre-foi-assim-quem-o-criou
https://novaescola.org.br/conteudo/959/o-simbolo-que-indica-a-raiz-quadrada-sempre-foi-assim-quem-o-criou
43
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
43
 Raiz quadrada aproximada
Jonas comprou um terreno com forma de um quadrado que tem área igual a 500 m2. Qual é a 
medida do lado desse terreno?
a
a
500 m2
Considerando a a medida do lado do quadrado que representa o terreno, temos:
a 3 a 5 500 ] a2 5 500 ] a 5 500
Portanto, a medida do lado do terreno é 500 metros. Mas qual é o valor de 500 ?
Com o auxílio de uma calculadora, poderíamos facilmente determinar o valor aproximado 
de 500 . Porém, como nem sempre podemos contar com uma calculadora, vamos aprender a 
estimar esse valor por meio do uso de quadrados perfeitos. 
G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
1 Determine o valor das raízes quadradas.
a) 81 d) 144 g) 
16
1
b) 0 e) 1 h) 225
c) 
25
4
 f) 
169
64
 i) ,0 49
2 Sabendo que os números abaixo são qua-
drados perfeitos, determine a raiz quadrada 
de cada um deles. 
a) 1 225
b) 2 401
c) 3 136
d) 6 561
e) 6 400
f) 7 744 
3 Determine a raiz quadrada dos números a 
seguir.
a) 1,44
b) 12,96
c) 30,25
d) 72,25
e) 39,69
f) 94,09
4 Determine as raízes dos números a seguir.
a) 64
3
b) 2723
c) 64
6
d) ,0 343
3
e) 243
5
f) 
625
164
5 Determine o menor número inteiro não 
nulo pelo qual devemos multiplicar 360 
para obter como resultado um quadrado 
perfeito.
6 Faça os cálculos mentalmente, começan-
do pela raiz quadrada de 1.
43 31 21 13 7 3 11 1 1 1 1 1
7 Leia as questões abaixo e responda-as.
a) A raiz quadrada de um número natural 
compreendido entre 200 e 250 é um 
número inteiro. Que número é esse?
b) A raiz cúbica de um número natural 
compreendido entre 200 e 400 é um 
número ímpar. Que número é esse?
8 Escreva uma raiz em uma folha avulsa. 
A seguir, troque sua folha com um co-
lega e escreva a representação da raiz 
indicada por ele como potência de ex-
poente fracionário. Confira se a repre-
sentação do seu colega está correta.
9 12
0 1 15
0,75
2
13
8
4
1
35
4
Se julgar conveniente, oriente os alunos a escrever as raízes na forma de potência com expoente fracionário para que 
 possa utilizar a decomposição de números em fatores primos e as propriedades de potenciação.
81
0,7
49
23
56
2
80
3
88
1,2
3,6
5,5
6,3
9,7
8,5
10
7
225
343
Resposta pessoal.
5
2
• No cálculo de raízes quadra-
das aproximadas é fundamen-
tal que os alunos conheçam 
os quadrados perfeitos ou a 
raiz quadrada exata de alguns 
números (mesmo que não se-
jam quadrados perfeitos) para 
realizar as aproximações. Con-
vém incentivá-los a utilizar 
a calculadora para dar mais 
significado a esses cálculos, 
favorecendo, assim, o desen-
volvimento da competência 
específica 5.
• Se julgar oportuno, comen-
te com os alunos que há um 
método chamado dicotomia 
que permite calcular a raiz 
quadrada aproximada de um 
número real. Se necessário, 
pode-se propor aos alunos 
que, em grupos, pesquisem 
esse método e depois compar-
tilhem com os demais colegas 
o que entenderam dele. 
Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e 
resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.
Sugestão de leitura para o 
aluno 
• Contando a história da Ma-
temática: história de potên-
cias e raízes, de Oscar Guelli, 
Editora Ática.
O livro traz histórias sobre 
riquezas incalculáveis, dis-
tâncias enormes, números e 
cálculos fantásticos.
44
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
44
LÉ
O
 F
A
N
E
LL
I
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
1 Determine a raiz quadrada dos números 
com aproximação de uma casa decimal.
a) 40
b) 65
c) 85
d) 93
e) 122
f) 140
g) 800
h) 940
i) 1 010
j) 1 050
2 Utilizando uma calculadora, determine a 
raiz quadrada dos números, com aproxi-
mação de duas casas decimais.
a) 30
b) 8,6
c) 77
d) 110
e) 95
f) 50,8
g) 150
h) 86,25
i) 94
j) 125
3 Determine o valor das adições, com apro-
ximação de uma casa decimal.
a) 2 32 312 32 32 32 3
b) 5 75 715 75 75 75 7
c) 3 53 513 53 53 53 5
d) 7 117 117 17 17 17 1
4 Determine o valor de x, com uma casa de-
cimal, que satisfaça x36 381 1x1 1x .
5 Coloque em ordem crescente os números: 
, ,8 4, ,8 4, ,
5
4
, ,8 4, ,8 4, ,, ,8 4, ,8 4, ,, ,, ,8 4, , e 
2
7
6 Um quadrado tem área igual a 60 cm2. Qual 
é a medida do lado desse quadrado com 
aproximação de duas casas decimais?
7 Um cubo tem volume V igual a 200 dmV igual a 200 dmV 3. 
Qual é a medida da aresta a desse cubo 
com aproximação de uma casa decimal, 
sabendo que V 5 a3.
Observe que o número 500 situa-se entre os quadrados perfeitos 484 e 529.
Como 484 5 22 e 529 5 23, 500 é um número que está entre 22 e 23.
Calculamos os quadrados de alguns números situados entre 22 e 23, com uma casa decimal. 
Veja:
22,12 5 488,41
22,22 5 492,84
22,32 5 497,29 (, 500)
22,42 5 501,76 (. 500)
Assim, 22,3 corresponde a uma aproximação de 500 com uma casa decimal.
Para uma maior aproximação, podemos calcular os quadrados de números de duas casas 
decimais situados entre 22,3 e 22,4. Observe:
22,312 5 497,7361
22,322 5 498,1824
22,332 5 498,6289
22,342 5 499,0756
22,352 5 499,5225
22,362 5 499,9696 (, 500)
22,372 5 500,4169 (. 500)
Assim, 22,36 corresponde a uma aproximação de 500 com duas casas decimais.
Logo, o lado desse terreno mede aproximadamente 22,36 metros.
O número 499,9696 
está mais próximo 
de 500 que o 500,4169.
6,3
8,1
11,8
28,2
30,6
31,8
9,2
9,6
11,0 32,4
5,48
8,77 
10,48
9,76 
2,93
7,15
12,25
9,29
9,69
11,18
3,1 4,0
6,0
6,1
4,9
5
4 4 8 2
7
1 14 81 14 8 11 11 11 14 84 84 8
60 cm ou, aproximadamente, 7,74 cm
2002003 dm ou, aproximadamente, 5,8 dm dm ou, aproximadamente, 5,8 dm
EF08MA02: Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como 
potência de expoente fracionário. 
• As atividades propostas ex-
ploram procedimentos ma-
temáticos para o cálculo da 
raiz quadrada não exata e 
têm por intenção colaborar 
para o desenvolvimento da 
habilidade EF08MA02.
45
Trabalhando os conhecimentos adquiridos
Faça as atividades no caderno.
Aplicando
Revisitando
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
45
1 Escreva as sentenças a seguir em seu caderno e complete-as com um dos três termos entre
parênteses, a fim de torná-las verdadeiras.
a) Qualquer potência de base real não nula e expoente zero é igual a (zero/um/própria base). (zero/um/própria base).
b) Qualquer potência de base real e expoente 1 é igual a (zero/um/própria base).
2 Calcule o valor de:
a) 2021 b) 323 c) 422 d) 224
• Agora, escreva uma frase que sintetize o resultado de uma potência de base real não nula e 
expoente inteiro menor que zero.
3 Você estudou cinco propriedades usadas no cálculo de potências.
a) Essas propriedades envolvem quais operações entre as bases?
b) É possível aplicar alguma dessas propriedades na expressão a seguir? Justifique.
(32 1 23)2
4 Escreva no caderno os números que são quadrados perfeitos.
a) 49
b) 900
c) 32
d) 529
e) 4
f) 1 024
g) 67
h) 913
• Explique como você pensou para identificar esses números.
5 O número 123 não é um quadrado perfeito. É possível saber entre quais quadrados perfeitos ele 
se encontra?
1 Calcule.
a) 
256
225
b) 
1 089
4
c) 
100
1 024
d) 576
e) 
10000
4 225
f) 5625
2 Utilize uma calculadora para determinar 
o valor de:
a) 283
b) 56
c) 1,25
d) 0,43
3 Com o auxíliode uma calculadora, determi-
ne o valor de: (14 1 4 3 32) 3 (72 2 2 3 8 2 3)
4 Calcule.
a) 13 1222 2122 212
b) , , , , ,1 2, ,1 2, ,1 1, ,1 1, ,44 0 4, ,0 4, ,9 0, ,9 0, ,16 0 3,0 3, 61 1, ,1 1, ,1 11 11 1, ,1 1, ,1 1, ,1 1, ,441 144 1 1, ,1 1, ,9 01 19 0, ,9 0, ,1 1, ,9 0, ,161 116, ,, ,1 1, ,1 11 11 1, ,1 1, ,1 1, ,1 1, ,, ,1 1, ,1 1, ,1 11 11 1, ,1 1, ,1 1, ,1 1, ,, ,, ,1 1, , , ,, ,9 0, ,9 01 19 0, ,9 0, ,1 1, ,9 0, ,, ,9 0, ,9 0, ,9 01 19 0, ,9 0, ,1 1, ,9 0, ,, ,, ,9 0, ,
c) 16
9
1
4
1
7 121 1
9
1 1
9
1
1 1
1
1 27 11 27 11 07 11 07 121 027 11 27 11 07 11 27 11 11 11 1
d) , ,0 0, ,0 0, ,160 016, ,16, ,0 0, ,16, ,0270 020 00 020 0
1
3
1
e) 125 32 10241 25 31 25 32 11 22 1
3 5
12
3 5
125 3
3 5
5 35 31 25 3
3 5
5 31 25 3
10
2 1
10
2 1
3 5
5 35 31 25 35 35 31 25 35 35 31 25 32 12 12 1
5 Calcule, com aproximação de duas casas 
decimais.
a) 75
b) 7
c) ,3 5,3 5, 7
d) 500
6 Calcule o valor das expressões abaixo utili-
zando as propriedades de potência.
a) 
( )
m
( )m( )
m414
3 5( )3 5( ) 4
2
2 b) 
4 32c c
7
c c
7
1c c1 m m
7
m m
7
1m m1c cm mc c4c c4m m4c c4c cm mc c2c c2m m2c c2 4
c c
4
m m
4
c c
4
= Gc cm mc cGc cm mc cc cm m
própria base
Qualquer potência de base real e expoente 1 é igual a 
própria base
Qualquer potência de base real e expoente 1 é igual a (zero/um/própria base).
própria base
 (zero/um/própria base).
um
16
1
5
2
e o
4
e o
4
1e o1e o
16
1
5
4
e o
2
e o
2
1e o1e o
20
1
5
1
e o
Agora, escreva uma frase que sintetize o resultado de uma potência de base real não nula e 
e o
Agora, escreva uma frase que sintetize o resultado de uma potência de base real não nula e 
20
e o
20
1e o1e o 27
1
5
3
e o
3
e o
3
1e o1e o
Uma potência de base real não nula e expoente inteiro menor que zero Uma potência de base real não nula e expoente inteiro menor que zero 
é igual ao inverso dessa base elevado ao oposto desse expoente.
multiplicação, divisão e 
potenciação
É possível aplicar alguma dessas propriedades na expressão a seguir? Justifique.
potenciação
É possível aplicar alguma dessas propriedades na expressão a seguir? Justifique.
Não, pois dentro dos parênteses as 
potências estão sendo adicionadas.
Resposta pessoal.
alternativas a, b, d, e, f
Sim, entre 112 e 122, pois 112 5 121 e 122 5 144.
24
75
100
65
10
32
33
2
16
15
21 952
1 500
2,48832 
0,064 
15 625
4
5
0,1
5
6
65
8,66
2,65
1,89
22,36
11
e o
7
e o
7
1e o1e om33
• A seção “Trabalhando os 
conhecimentos adquiridos” 
tem como objetivo retomar 
os conceitos e procedimentos 
vistos no capítulo, incentivan-
do a revisão, a autoavaliação 
e a criatividade por meio da 
resolução e elaboração de 
problemas. É composta de 
atividades de diversos níveis 
de dificuldade, incluindo de-
safios, questões de exames e 
concursos, cuidadosamente 
escolhidas, para que os alu-
nos resolvam com base nos 
conhecimentos adquiridos 
até o momento.
Revisitando
• Esta seção foi criada para 
que os alunos tenham a 
oportunidade de verificar 
os conhecimentos consolida-
dos. Se eles tiverem alguma 
dúvida em relação aos con-
teúdos avaliados na seção, 
sugira que retomem as pági-
nas do capítulo. Incentive-os 
a buscar a troca de conhe-
cimento em grupo e, caso a 
dúvida persista, ajude-os a 
encontrar um bom caminho 
para a compreensão.
• As questões analisam e, por 
meio da revisão dos assuntos, 
ajudam na compreensão das 
operações de potenciação 
e radiciação, favorecendo a 
interpretação em situações-
-problema de outros campos 
da Matemática. 
Aplicando
• Para a realização dessas ati-
vidades, espera-se que os 
alunos tenham desenvolvido 
os raciocínios da operação de 
potenciação e a utilização das 
suas propriedades para sim-
plificação dos cálculos, como 
também da raiz quadrada 
exata e aproximada. Caso 
ainda ocorram dúvidas, recor-
ra às situações apresentadas 
no capítulo.
46
Lembre-se:
Não escreva no livro!
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
46
7 Responda às questões abaixo.
a) Sendo n um número natural, 2n 1 5 é 
quantas vezes maior que 2n?
b) Por quanto devemos dividir 1012 para 
obter 512?
8 (Enem) A Agência Espacial Norte-Americana 
(Nasa) informou que o asteroide YU 55 cru-
zou o espaço entre a Terra e a Lua no mês 
de novembro de 2011. A ilustração a seguir 
sugere que o asteroide percorreu sua traje-
tória no mesmo plano que contém a órbita 
descrita pela Lua em torno da Terra. Na figu-
ra, está indicada a proximidade do asteroide 
em relação à Terra, ou seja, a menor distân-
cia que ele passou da superfície terrestre.
TerraTerraT Lua
Proximidade
da Terra:da Terra:da T
325 mil km
Asteroide YU 55
Tamanho: 400 mTamanho: 400 mT
de diâmetro,
equivalente ao
tamanho de um
porta-aviões
O asteroide se aproximou
o suficiente para que cientistas
pudessem observar detalhes
de sua superfície.
Asteroide YU 55oide YU 55
Passagem:Passagem:
8 de novembro
às 21 h 28 min
(horário de Brasília)
Fonte: Nasa.
G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
Com base nessas informações, a menor 
distância que o asteroide YU 55 passou da 
superfície da Terra é igual a:
a) 3,25 # 102 km
b) 3,25 # 103 km
c) 3,25 # 104 km
d) 3,25 # 105 km
e) 3,25 # 106 km
9 Encontre o menor número inteiro que deve 
ser subtraído de 3 140 para que o resto seja 
um quadrado perfeito.
10 Determine x sabendo que x sabendo que x ,x 20 35 .
11 Responda às questões.
a) Qual é o maior número inteiro quadrado 
perfeito de quatro algarismos?
b) Qual é a raiz quadrada do número 
11 236?
c) A terça parte da raiz quadrada de um 
número x é igual a 12. Qual é o valor x é igual a 12. Qual é o valor x
de x?
12 Usando as propriedades da potenciação, 
faça os cálculos mentalmente e copie as 
expressões substituindo os quadradinhos 
pelos valores corretos.
a) 1002 3 1004 5 10 3 10 5 10
b) 1 0005 3 10 00022 5 3 5
c) 100 00010 4 10 0004 5 4 5
d) (100 000 0002 4 100 00024)2 5 
5 ( 4 )2 5 
13 Em uma sala havia 3 armários; em cada ar-
mário havia 3 caixas; em cada caixa havia 
3 estojos; e em cada estojo havia 3 colares. 
Quantos colares havia nessa sala?
14 O número de bactérias, em uma colônia, 
é duplicado a cada 30 minutos. Se inicial-
mente havia 2 bactérias nessa colônia, 
quantas bactérias haverá após um dia? 
Escreva esse número na forma de potência.
15 Paulo dispõe de 150 placas quadradas de 
mesmo tamanho e quer revestir a maior 
superfície quadrada possível com es-
sas placas. Sabendo que nenhuma placa 
poderá ser sobreposta e não poderá haver 
espaços sem revestimento, qual é o má-
ximo de placas que Paulo deverá utilizar 
para revestir essa área? Explique como 
você pensou para determinar esse valor.
Elaborando
 Junte-se com um colega e escreva três raízes quadradas exatas. Em seguida, peça a ele que 
calcule os valores dessas três raízes escrevendo-os como potência de expoente fracionário, 
utilizando também a decomposição em fatores primos e as propriedades de potenciação. 
Por fim, verifique se a representação que seu amigo fez está correta.
DESAFIO
Qual é o número de algarismos do produto 
512 3 85? 
106
1 296
412,09
9 801
81 colares
248
104 3 108 5 1012
1015 3 1028 5 107
1050 4 1016 5 10 1034
(1016 4 10220)2 5 (1036)2 5 1072
Resposta pessoal.
4
alternativa d
2¹²
32 vezes
13 algarismos
144 placas; resposta pessoal144 placas; resposta pessoal
Elaborando
• A seção incentiva a cria-
tividade e a elaboração de 
questões pelos alunos, favo-
recendo o desenvolvimento 
das competências gerais 2, 
4 e 10. 
• Oriente os alunos a escolher 
números com três ou mais 
algarismos. 
Espera-se que eles sejam 
capazes de produzir escritas 
do tipo:
144 3 2 3 2 125 3 5 3 52 4 2
1
1 2a k
• No desafio, oriente os alu-
nos a usar as propriedades 
de potências para escrever 
esse produto como uma no-
tação científica. O resultado 
é 8 3 1012, ou seja, o algaris-
mo 8 seguido de 12 zeros.
Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer àabordagem própria das ciências, incluindo a investigação, 
a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver 
problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora 
e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, 
experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.
Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, 
tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
47
CAPÍTULO
Sistemas de equações 
do 1o grau3
47
É hora de observar e refletir
Você já deve ter reparado que nas embalagens de bebidas e de alimentos constam valores que indi-
cam a quantidade de nutrientes, como carboidratos, proteínas, gorduras etc., e quanto essas quantidades 
representam dos Valores Diários de Referência (VDR). Veja, por exemplo, alguns valores que podem aparecer 
em um café da manhã se ingerirmos pão com margarina e suco de laranja*.
Pão com margarina 
(50 g 1 14 g)
Suco 
(200 mc) VDR
Carboidratos (g) 28 30 300
Proteínas (g) 4 1 75
Indicando por x a quantidade em gramas de pães com margarina e por x a quantidade em gramas de pães com margarina e por x y a quantidade em mililitros y a quantidade em mililitros y
de suco, responda às questões.
Que equação relaciona as quantidades em gramas de pães e em mililitros de suco que poderiam ser consu-
midas em um dia, tendo em vista o VDR de carboidratos?
Qual é a equação que relaciona as quantidades x e x e x y com o valor de proteínas?y com o valor de proteínas?y
* suco de laranja pasteurizado e adoçado
JU
N
IO
R
 R
O
Z
Z
O
/R
O
Z
Z
O
 IM
A
G
E
N
S
28x28x28 1 30y 30y 30 5 300
4x4x4 1 y = 75y = 75y
Lembre aos alunos que o VDR se mantém constante mesmo com 
o aumento do consumo diário dos carboidratos e das proteínas.
EF08MA06: Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as proprie-
dades das operações.
EF08MA07: Associar uma equação linear de 1o grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano.
EF08MA08: Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representados por sistemas de 
equações de 1o grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.
Objetivos 
• Relembrar a ideia de par
ordenado.
• Identificar uma equação do
1o grau com duas incógnitas 
e compreender a representa-
ção gráfica de suas soluções. 
• Compreender a ideia de
sistema de equações do
1o grau com duas incógnitas.
• Resolver e elaborar pro-
blemas que envolvam siste-
mas de equações do 1o grau
com duas incógnitas por
tentativa e erro, pelo méto-
do da substituição, pelo
mé todo da adição e por
repre sentação gráfica.
Habilidades da BNCC 
• Este capítulo foi planejado
para favorecer o desenvolvi-
mento das seguintes habili-
dades da BNCC: EF08MA06,
EF08MA07 e EF08MA08.
• O trabalho com a habilida-
de EF08MA06 será retomado
nos capítulos 8 e 9.
• Neste capítulo, vamos tra-
balhar com sistemas de
equações do 1o grau com
duas incógnitas e resolução
de problemas. Os alunos es-
tudarão os métodos da subs-
tituição e da adição e toma-
rão conhecimento da solu-
ção gráfica de uma equação
e de sistemas de equações.
É hora de observar e refletir 
• O problema proposto na
abertura deste capítulo dará
oportunidade de apresen-
tar o conceito de sistemas
de equações com duas in-
cógnitas. Não é necessário
resolver esse sistema nesse
momento. Apesar de o sis-
tema ter uma solução real,
não há solução viável no
cotidiano para uma quanti-
dade negativa de suco.
• Frise para os alunos que o
VDR é uma referência para
o dia inteiro e não apenas
para o café da manhã.
48
Trocando ideias
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
48
Observe a situação a seguir, em que Cássio e Leonardo conversam sobre o resultado 
final do campeonato de basquete na escola em que estudam.
LÉ
O
 F
A
N
E
LL
I
Considere:
x número de vitórias do time de Cássio
y número de vitórias do time de Leonardo
Veja o sistema de equações referente à situação:
Informação de Cássio
y 2 1 5 x 1 1
Time de Cássio 
recebe uma vitória.Time de Leonardo 
cede uma vitória.
 
Informação de Leonardo
y 1 1 5 2(x 2 1)
Time de Cássio 
cede uma vitória.Time de Leonardo 
recebe uma vitória.
dobro
 ▸ Que valores x ex ex y podem assumir? Por quê? y podem assumir? Por quê? y
 ▸ Por tentativas, atribuindo valores a x e a x e a x y, determine a quantidade de vitórias de y, determine a quantidade de vitórias de y
cada time.
Neste capítulo, vamos estudar a resolução de problemas envolvendo sistemas de equações 
do 1o grau com duas incógnitas.
É, Cássio... Mas, se 
uma de suas vitórias 
fosse nossa, estaríamos 
com o dobro do 
número de vitórias!
Leonardo, seu time não é tão 
melhor que o meu! Se uma 
de suas vitórias fosse nossa, 
estaríamos com o mesmo número 
de vitórias no campeonato.
x 5 5 e y 5 7
Valores naturais, porque x e x e x y correspondem y correspondem y
ao número de vitórias do time verde e do time 
vermelho, respectivamente.
, determine a quantidade de vitórias de 
vermelho, respectivamente.
, determine a quantidade de vitórias de 
Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, 
a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver 
problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo 
o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus 
saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.
Competência específica 2: Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos con-
vincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. 
Trocando ideias 
• Esta seção foi criada para 
incentivar uma conversa en-
tre os alunos sobre assun-
tos do capítulo, mobilizando 
seus conhecimentos. Suge-
rimos explorá-la oralmente; 
se julgar necessário, solicite 
que respondam às questões 
por escrito no caderno. A se-
ção busca favorecer o desen-
volvimento das competên-
cias gerais 2 e 9, assim como 
a competência específica 2.
• Pergunte aos alunos as 
possibilidades de valores 
para x e y que podem ser 
aplicados na afirmação de 
Cássio. Se julgar interessan-
te, construa um quadro co-
letivo com esses valores e, 
depois, volte para a segun-
da equação e questione se 
algum desses valores valida 
a informação de Leonardo.
• Utilize esta atividade para 
analisar os conhecimentos pré-
vios dos alunos sobre equa-
ções e expressões algébricas. 
49
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
49
Pares ordenados e plano cartesiano1
Em um plano, traçamos duas retas com orientação crescente, x e y, perpendiculares entre si, 
para fazer a representação geométrica de pares ordenados. Observe a figura abaixo.
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
1 2 3 4 52122
23
24
25
2627
1
2
3
4
21
22
23
24
0 x
y
A
E
F
DB
C
G
4
3
2
1
0 1 2 3 424 23 22 21
2122
23
24
x
y
P(3, 4)
 ▸ A reta horizontal é o eixo x ou eixo das abscissas.
 ▸ A reta vertical é o eixo y ou eixo das ordenadas.
 ▸ O ponto de intersecção entre as retas que representam esses eixos é denominado origem 
e corresponde ao ponto cujo par orde nado é (0, 0).
 ▸ O plano determinado por esses eixos é chamado de plano cartesiano.
Nessa representação, os pares ordenados são associados a pontos. Os elementos des-
ses pares são chamados de coordenadas cartesianas dos pontos. Em cada par ordenado, o 
1o elemento é a abscissa do ponto, e o 2o elemento é a ordenada do ponto. Então, do ponto P 
representado, temos:
 P (3, 4) 
4 é a ordenada do ponto P.
3 é a abscissa do ponto P.
3 e 4 são as coordenadas do ponto P.
Exemplo
Vamos representar no plano cartesiano os pontos cujas coordenadas são A(3, 2), B(24, 1), 
C(23, 23), D(5, 1), E(2, 0), F(0, 22) e G(25, 24).
Sugestão de livro o para o aluno
• O livro Encontros de primeiro grau, da autora Luzia Faraco Ramos, publicado pela editora Ática (São 
Paulo, 2001) como parte da coleção A descoberta da Matemática, é um excelente recurso para introduzir e 
compreender o que é e como se resolve uma equação do primeiro grau. O tema é abordado em meio a uma 
história envolvente.
• Comente com os alunos 
que cada par ordenado está 
associado a um único pon to 
do plano e que cada pon-
to do plano corresponde 
a um único par ordenado. 
Ao comentar, peça a eles 
que identifiquem a loca-
lização do ponto Q(4, 3) 
e o comparem com a do 
ponto P(3, 4) que foi re-
presentado no plano. Ape-
sar de os elementos serem 
iguais, a ordem em que eles 
se apresentam modifica a 
localização do ponto.
• No exemplo, observe se os 
alunos compreendem a re-
presentação dos pontos E e 
F, que se localizam em um 
dos eixos. Se necessário, dê 
outros exemplos similares.
50
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
50
Lendo e aprendendo
O sistema GPS
Atualmente, qualquer pessoa pode se localizar no planeta com lizar no planeta com 
precisão nunca antes imaginada. Isso se tornou possível graças ao precisão nunca antes imaginada. Isso se tornou possível graças ao 
sofisticado Sistema de Posicionamento Global — em inglês, sofisticado Sistema de Posicionamento Global — em inglês, Global 
Positioning System (GPS). O GPS é um sistema de posicionamen (GPS). O GPS é um sistema de posicionamen-
to geográfico que fornece as coordenadas de qualquer lugar na to geográfico que fornece as coordenadas de qualquer lugar na 
Terra, desde que se tenha um receptor de sinais de GPS. 
Nesse sistema, uma posição sobre a Terra é determinada em reNesse sistema, uma posição sobre a Terra é determinada em re-
lação ao Equador e ao Meridiano de Greenwich e é dada por três lação ao Equador e ao Meridiano de Greenwich e é dada por três 
números: latitude, longitude e altitude. A  ideia de latitude e de 
longitude pode ser associada a um sistema de coordenadas.
O perfeito funcionamento do GPS é obtido por meio da utilização 
de 24 satélites artificiais, que, dando uma volta em torno da Terra a 
cada 12 horas, enviam continuamente sinais de rádio. Existem ainda 
quatro satélites sobressalentes.
O GPS tem se tornado cada vez mais popular entre as pessoas. 
Atualmente, muitas pessoas utilizam, como GPS, o próprio aparelho 
de celular para se orientar em alguns trajetos que farão, dessa forma, 
facilitando as locomoções que fazem em seu dia a dia. Satélite artificial em 
órbita terrestre.
Receptor de sinais de GPS.
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
1 Determine as coordenadas de cada um 
dos pontos.
x
y
A
D
E B
C
G
F
H
I
J
4
3
2
11
0 1–1
–1
–2–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5 2
3
4
5
2 Trace um plano cartesiano no caderno. 
Em seguida, represente os pontos A, B, 
C, D, E, F, G, H, H, H I e I e I J, cujas coordenadas 
são:
A(0, 22)
B (23, 4)
C (0, 0)
D (2, 0)
E (22, 3)
F (1, 3)
G (3, 3)
H (21, 2)
I (21, 0)
J (21, 1)
3 Reúna-se com um colega e, para cada 
item, tracem duas retas numéricas perpen-
diculares entre si, determinando o plano 
cartesiano. Em seguida, representem cinco 
pontos cujos pares ordenados tenham:
a) coordenadas iguais;
b) coordenadas opostas;
c) abscissa igual a 3;
d) abscissa igual a 23;
e) ordenada igual a 2;
f) ordenada igual a 21.
4 Considerando as respostas dadas na ativi-
dade anterior, respondam às questões.
a) Em cada item, se unirmos os pontos, a 
linha formada dará ideia de uma reta?
b) Em relação ao eixo x, qual é a posição 
da reta dos pontos do item c? E da reta 
dos pontos do item d?
c) Em relação ao eixo x, qual é a posição 
da reta dos pontos do item e? E da reta 
dos pontos do item f?
A
N
D
R
E
Y
 A
R
M
YA
G
O
V
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
C
C
7/
S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
A(3, 2); B(1, 3); 
C(0, 1); D(23, 4); 
E(24, 3); F(F(F 22, 1); 
G(22, 22); H(25, 23);
I(4, 21); J(2, 24)
Respostas pessoais.
Sim.
perpendicular; 
da reta dos pontos do item 
perpendicular; 
da reta dos pontos do item 
perpendicular 
paralela; paralela
Lendo e aprendendo
• O texto estimula os alu-
nos a desenvolver uma vi-
são espacial. Explore a ideia 
de a localização por GPS es-
tar basea da na latitude (dis-
tância ao Equador medida 
ao longo do meridiano de 
Greenwich, em graus, po-
dendo variar entre 0º e 90º 
para Norte ou para Sul), na 
longitude (distância ao me-
ridiano de Greenwich me-
dida ao longo do Equador, 
também em graus, poden-
do variar entre 0º e 180º 
para Leste ou para Oeste) e 
na altitude.
• Antes de propor a realiza-
ção das atividades 2, 3 e 4, 
pergunte aos alunos quan-
tos pontos distintos são ne-
cessários para determinar 
uma reta. Caso não consi-
gam responder, comente 
que dois pontos distintos 
determinam uma única reta 
e, desse modo, para repre-
sentar graficamente as so-
luções de uma equação do 
1o grau com duas incógni-
tas que assumem valores re-
ais, basta encontrar dois pa-
res ordenados que sejam 
soluções, representá-los no 
plano e traçar a reta que 
passa por esses pontos.
• Retome o conceito de retas 
perpendiculares, assim como 
a construção dessas retas. 
• Se considerar adequado, 
após a resolução da ativi-
dade 2, represente no qua-
dro de giz um plano carte-
siano e solicite a diferentes 
alunos que localizem os nú-
meros indicados, conforme 
representação a seguir.
x
y
A
I
J
H
E
B
F G
DC
4
3
2
1
0 1 2–1
–1
–2
–2
–3– 4
–3
– 4
3 4
A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
• Para responder à atividade 3, os alunos deverão perceber que:
 � No item a, os pontos devem ter abscissas e ordenadas de mesmo valor: (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3) etc;
 � No item b,os pontos devem ter abscissas e ordenadas opostas: (1, 21), (21, 1), (2, 22), (22, 2) etc;
 � No item c, os pontos devem pertencer à reta perpendicular ao eixo x, no ponto (3, 0). Logo: (3, 0), (3, 1), (3, 21) etc;
 � No item d,os pontos devem pertencer à reta perpendicular ao eixo x, no ponto (23, 0). Logo: (23, 0), (23, 1), (23, 21) etc;
 � No item e,os pontos devem pertencer à reta perpendicular ao eixo y, no ponto (0, 2). Logo: (0, 2), (1, 2), (21, 2) etc;
 � No item f,os pontos devem pertencer à reta perpendicular ao eixo y, no ponto (0, 21). Logo: (0, 21), (1, 21), (21, 21) etc.
51
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
51
Equação do 1o grau com duas incógnitas2
Considere a situação a seguir.
Emília comprou uma caneta e dois lápis por R$$ 10,00. 
Indicando por x o preço de uma caneta e por x o preço de uma caneta e por x y o preço de um y o preço de um y
lápis, podemos representar a situação da seguinte maneira:
x 1 2y 5 10
Temos, então, um exemplo de equação do 1o grau com 
duas incógnitas.
Denominamos equação do 1o grau com duas in cógnitas (x e x e x y) aquela que pode ser y) aquela que pode ser y
reduzida a uma equação do tipo ax 1 by 5 c, em que c, em quec a, b e b e b c são números reais, chamados c são números reais, chamados c
coeficientes, com a % 0 e b % 0. 
 grau com duas incógnitas
G
E
O
R
G
E
 T
U
TU
M
I
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
1 Escreva uma equação que represente cada uma das situações a seguir.
a) O perímetro de um retângulo com lados de medidas x e x e x y é 48 cm.y é 48 cm.y
b) O comprimento x de um retângulo excede sua largura x de um retângulo excede sua largura x y em 9 cm.y em 9 cm.y
c) De um total de 20 lançamentos de dardos, Julinho acertou no alvo x lançamentos e errou x lançamentos e errou x
y lançamentos.y lançamentos.y
d) No tiro ao alvo, ganhando 5 pontos em cada um dos x tiros acertados e perdendo 3 pontos x tiros acertados e perdendo 3 pontos x
em cada um dos y tiros errados, Julinho fez 68 pontos.y tiros errados, Julinho fez 68 pontos.y
2 No sítio de Pedro, há x galinhas e x galinhas e x y porcos, em um total de 140 pés. Escreva uma equação que y porcos, em um total de 140 pés. Escreva uma equação que y
represente essa situação.
Representação gráfica das soluções de uma equação 
do 1o grau com duas incógnitas
A partir da equação do 1o grau com duas incógnitas x 1 2y 5 16, veja alguns possíveis valores 
de x e de x e de x y.
A equação x 1 2y 5 16 admite infini-
tas soluções, pois sempre teremos uma 
incógnita em função de outra, ou seja, 
para qualquer valor que atribuímos a x, x, x
vamos encontrar um valor para y.
x y x 1 2y 5 16
24 10 24 1 2 3 10 = 16
22 9 22 1 2 3 9 = 16
0 8 0 1 2 3 8 5 16
2 7 2 1 2 3 7 5 16
4 6 4 1 2 3 6 5 16
10 3 10 1 2 3 3 5 16
16 0 16 1 2 3 0 5 16
5x5x5 2 3y 3y 3 5 68
2x2x2 1 2y 2y 2 5 48
x 5 y 1 9
x 1 y 5 20
2x2x2 1 4y 4y 4 5 140
• Na atividade 1, nos itens 
a e b, estimule os alunos 
a construir os retângulos, 
indicando as medidas cor-
respondentes. Antes da 
construção da equação, é 
importante que eles visuali-
zem as representações algé-
bricas que irão desenvolver.
• Para que os alunos tenham 
clareza quanto ao significa-
do de cada incógnita é im-
portante que organizem os 
dados fornecidos. Por exem-
plo, mostre essa organiza-
ção na atividade 1, tanto 
no item c quanto no item d. 
Uma sugestão é escrever: 
 � x: números de acertos; 
 � y: número de erros. 
Assim como na atividade 2:
 � x: quantidade de galinhas; 
 � y: quantidade de porco. 
Se eles se acostumarem a or-
ganizar os dados para a re-
solução de problemas, não 
terão dúvidas quanto à de-
signação dos valores encon-
trados após as resoluções.
• Ao trabalhar a represen-
tação gráfica das soluções, 
relembre aos alunos que, 
para verificar se um par 
orde nado é solução de uma 
equação do primeiro grau, 
basta substituir os valores 
de x e y na equação e veri-
ficar se a igualdade é ver-
dadeira. Caso ela seja fal-
sa, significa que esse par or-
denado não é solução dessa 
equação.
• Caso os alunos tenham dú-
vida de que existem infini-
tas soluções para a equação 
x 1 2y 5 16, como mostra-
do no quadro desta página, 
diga a eles que estipulem 
um valor para x e que deter-
minem o valor de y que tor-
na a igualdade verdadeira. 
Faça o mesmo para y, pedin-
do que determinem o valor 
correspondente de x.
52
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
52
As soluções de uma equação do 1o grau com duas incógnitas podem ser expressas por pares 
ordenados (x, y) e representadas graficamente no plano cartesiano.
Na equação x 1 2y 5 16, os pares ordenados (24, 10), (22, 9), (0, 8), (2, 7), (4, 6), (10, 3) e 
(16, 0) são algumas das soluções da equação.
Observe a representação desses pares ordenados no plano cartesiano.
9
10
(24, 10)
(22, 9)
(0, 8)
(2, 7)
(4, 6)
(10, 3)
(16, 0)
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 424 23 22 21 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x
y
8
Note que os pontos estão alinhados de tal maneira que sugere que eles formam uma reta. 
O conjunto de soluções de qualquer equação do 1o grau com duas incógnitas, sendo 
estas números reais, é representado no plano cartesiano por uma reta.
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
1 Determine as coordenadas dos pontos A, 
B, C, D, E, F, G e H indicados no plano 
cartesiano abaixo.
x
A
B
C
D
H
E
1
21
21 1
0
F
G
y
2 Copie o plano cartesiano, visto acima, 
com os sete pontos cujos pares ordenados 
são soluções da equação x 1 2y 5 16. 
Depois, na equação, substitua x por cin-
co outros números e calcule os valores 
correspondentes de y. Localize no pla-
no os pontos (x, y) obtidos. Os novos 
pontos estão alinhados com os pontos 
anteriores?
3 Represente graficamente as soluções das 
equações.
a) x 1 y 5 3 e) 2x 2 y 5 4
b) y 5 x f) x 1 y 5 25
c) x 1 4y 5 4 g) x 1 y 5 0
d) x 2 y 5 6 h) x 1 y 5 6
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
:G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
x
y
3
3
b)
(0, 1)
(4, 0) x
yc)
(6, 0)
x
y
(0, 26)
d)
(2, 0)
x
y
 
(0, 24)
e)
x
y
 
(25, 0)
(0, 25)
f )
x
y
2
22
g)
(0, 6)
(6, 0)
x
y
 
h)
(0, 3)
(3, 0)
x
y
 
3. a)
sim
A(4, 4)
B(25, 3)
C(22, 22)
D(5, 21)
E(2, 0)
F(0, 5)
G(0, 25)
H(4, 24)
• Espera-se que os alunos 
percebam que a equação 
sugerida possui infinitas so-
luções. O gráfico e o quadro 
são ferramentas que podem 
auxiliar nessa percepção. 
• Espera-se, na atividade 
3, que os alunos percebam 
que a partir de dois pontos 
é possível representar a reta 
que corresponde à solução 
gráfica de cada equação. 
Esses pontos podem ser de-
terminados de forma con-
veniente considerando, por 
exemplo, x 5 0. Dessa for-
ma, é possível determinar y. 
Pode-se também fazer o 
contrário: igualar o y a zero 
e achar o valor de x. Nesses 
casos, para cada item, tem-
-se os seguintes pontos:
 � No item a, (0, 3) e (3, 0);
 � No item b, (0, 0);
 � No item c, (0, 1) e (4, 0);
 � No item d, (0, 26) e (6, 0);
 � No item e, (0, 24) e (2, 0);
 � No item f, (0, 25) e (25, 0);
 � No item g, (0, 0);
 � No item h, (0, 6) e (6, 0).
53
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
53
Considere a situação a seguir.
Um grupo de amigos foi a uma mercearia e comprou mangas e abacaxis para uma sobremesa. 
Sistema de equações do 1o grau 
com duas incógnitas
3
G
E
O
R
G
E
 T
U
TU
M
I
Sabendo que o grupo gastou R$  44,00 na compra, quantas mangas foram compradas? 
E abacaxis?
Vamos indicar por x a quantidade de mangas e por y a quantidade de abacaxis. Assim, 
 podemos representar essa situação em linguagem algébrica da seguinte forma:
x 1 y 5 12 O grupo comprou 12 frutas.
3x 1 5y 5 44 O grupo gastou R$ 44,00.
Temos, portanto, duas equações do 1o grau com as mesmas duas incógnitas, x e y, que formam 
um sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas.
Indicamos o sistema de equações assim:
x y
x y
12
3 5 44
1 5
1 5
*
Para responder às perguntas do problema, é necessário resolver esse sistema de equações. 
A seguir, vamos aprender a resolvê-lo.
 Resolução de sistemas de equações 
do 1o grau com duas incógnitas
Acompanhe a situação a seguir.
Jonas possui R$ 130,00 em cédulas de R$ 10,00 e R$ 20,00, em um total de 9 cédulas. Quantas 
cédulas de cada espécie possui Jonas?
Indicando por x o número de cédulas de R$ 10,00 e por y o número de cédulas de R$ 20,00, 
podemos escrever um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas que represen-
te essa  situação. Veja:
x y
x y
9
10 20 130
1 5
1 5
*
A solução do sistema deve satisfazer as duas equações.
Precisamos comprar 
12 frutas.
• Comente com os alunos so-
bre as etapas para a constru-
ção do sistema de equações, 
retomando a importância da 
organização dos dados. 
• Fale para os alunos que re-
solver um sistema de equa-
ções com duas incógnitas, 
x e y, é o mesmo que encon-
trar todos os pares (x, y) que 
satisfazem simultaneamente 
as equações do sistema.
54
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 de 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
54
Na busca dessa solução, podemos realizar tentativas, atribuindo valores a x e a y. Assim:
x y x 1 y 5 9 10x 1 20y 5 130
2 7 2 1 7 5 9 10 3 2 1 20 3 7 5 160
3 6 3 1 6 5 9 10 3 3 1 20 3 6 5 150
4 5 4 1 5 5 9 10 3 4 1 20 3 5 5 140
5 4 5 1 4 5 9 10 3 5 1 20 3 4 5 130
Observe que x 5 5 e y 5 4, ou seja, o par ordenado (5, 4) é uma solução do sistema, pois satis-
faz as duas equações.
Resolvemos esse sistema pelo método da tentativa. A desvantagem desse método é que 
ele não nos garante que vamos achar uma solução, nem que essa solução, se encontrada, 
seja única. Assim, precisamos de métodos mais sistemáticos que possam nos garantir sobre a 
existência ou não de soluções e sobre a quantidade de soluções (quando existir). Nesse sen-
tido, vamos estudar agora os métodos da substituição e da adição para resolver um sistema 
de equações do 1o grau com duas incógnitas.
Método da substituição
Considere o sistema: 
x y
x y
5
2 3 10
2 5 2
1 5
*
Para resolvermos esse sistema pelo método da substituição, inicialmente escolhemos uma 
das equações e isolamos uma das incógnitas. Isolando x na equação x 2 y 5 5, temos: 
x 5 25 1 y
Em seguida, substituímos x por 25 1 y na equação 2x 1 3y 5 10, para obter uma equação 
com apenas a incógnita y.
2x 1 3y 5 10
2(25 1 y) 1 3y 5 10
210 1 2y 1 3y 5 10
5y 5 20
y 5 4
Depois, substituímos o valor de y em uma das equações, determinando x :
x 5 25 1 y
x 5 25 1 4
x 5 21
Portanto, a solução do sistema é o par ordenado (21, 4).
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
1 Resolva novamente o sistema apresentado no tópico "Método da substituição", mas agora 
isolando a incógnita y na equação x 2 y 5 5. A solução também é o par ordenado (21, 4)?
2 Resolva os sistemas de equações pelo método da substituição.
a) 
x y
x y
2
2 26
1 5 2
2 5
* b) x y
x y
3 11
2 8
2 5 2
1 5
* c) 
x y
x y
2 2 4
3 2 1
1 5
2 5
* d) 
x y
x y
2 3 9
4 5 7
1 5
2 5
*
sim
(3, 1)(1, 1)(22, 5)(8, 210)
• Vistos os dois métodos de solução de sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas, solicite aos alunos 
que resolvam o sistema que soluciona o problema da mercearia da página anterior. Espera-se que concluam que 
foram compradas 8 mangas e 4 abacaxis.
• Ressalte para os alunos que 
foram usados apenas valores 
naturais nessa situa ção, pois 
o problema trata de uma 
quantidade de cédulas e não 
podemos ter uma quanti-
dade de cédulas negativas, 
ou não inteiras.
• Ao apresentar o método 
de tentativa, deixe claro que, 
para alguns casos, pode não 
ser a forma mais eficaz de 
chegar à solução do sistema. 
Exemplifique utilizando o 
par de equações 23x 1 7y 5 
5 17 e 8x 1 2y 5 11 e es-
pere alguns instantes para 
que os alunos comentem 
sobre possíveis soluções. 
Nesse caso, encontrar o par 
ordenado apenas por tentati-
vas pode ser mais complexo, 
já que a solução é dada pelo 
par ordenado 62
43b , 62
169 l.
• Comente sobre o método 
da substituição, abordan-
do o isolamento de uma in-
cógnita em determinado 
membro de uma equação. 
Explique que isso é feito a 
partir da realização de ope-
rações em ambos os mem-
bros da igualdade, assim 
como já devem ter feito 
no estudo de equações do 
1o grau. Exemplifique no 
quadro de giz, se necessá-
rio, e certifique-se de que 
está claro para os alunos 
que a manipulação algébri-
ca dos termos da equação.
• Proponha as seguintes 
questões aos alunos: “Você 
acha que há outras maneiras 
de resolver esse sistema sem 
substituir x pela expressão 
25 1 y? Se fosse escolhida 
a segunda equação para iso-
lar uma das incógnitas, o re-
sultado seria o mesmo?”. 
 Espera-se que os alunos 
percebam que é possível iso-
lar y na primeira equação, 
substituir a expressão obti-
da na segunda e assim obter 
x 5 –1 e que, escolhendo a 
segunda equação, o resulta-
do também seria o mesmo. 
Se julgar conveniente, peça 
que resolvam o mesmo sis-
tema escolhendo a segunda 
equação para isolar uma das 
incógnitas.
55
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
55
Método da adição
Usaremos as balanças para ilustrar a resolu-
ção, pelo método da adição, de um sistema de 
duas equações do 1o grau com duas incógni-
tas: nas ilustrações representadas por e 
e, algebricamente, por x e y, respectivamente.
Adicionando as duas linhas do sistema de equação, temos:
Assim como os dois 
pratos de uma balança, 
os dois membros de 
uma equação devem ser 
“equilibrados”. A balança 
equilibrada simboliza 
uma igualdade.
18 kg2 kg
20 kg
4 kg
Substituindo o valor de x na equação I ou na equação II , obtemos o valor de y.
3x 5 y 1 2 I
3 3 4 5 y 1 2
12 2 2 5 y 1 2 2 2
10 5 y
2x 1 y 5 18 II
2 3 4 1 y 5 18
8 1 y 2 8 5 18 2 8
y 5 10
Portanto, o par ordenado (4, 10) é solução do sistema.
Assim, vale 4 kg e vale 10 kg.
5x 1 y 5 y 1 2 1 18 Subtraímos a incógnita y em 
ambos os lados da equação; 
com isso, a eliminamos, já que 
existe a mesma quantidade 
nos dois membros.
5x 5 20
x 5 4 Obtemos o valor de x.
Multiplicamos os dois membros 
da igualdade por 1
5
.5
1 3 5x 5 5
1 3 20
2 kg
18 kg
3x 5 y 1 2
2x 1 y 5 18
3x y 2
2x y 18
5 1
1 5
* I
II
G
E
O
R
G
E
 T
U
TU
M
I
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
:G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
5x 1 y 2 y 5 y 1 20 2 y 
Sugestão de atividade extra
• Após a leitura e aplicação 
do método da adição, pro-
ponha aos alunos que resol-
vam a seguinte atividade, 
baseada no exemplo dado 
no livro.
 � Problema: Há duas balan-
ças em equilíbrio: na primei-
ra há dois triângulos de um 
lado e uma estrela do outro; 
na segunda balança, há cin-
co triângulos e uma estre-
la de um lado e um peso de 
sete quilogramas do outro. 
 � Resolução: ao adicionar as 
duas equações, verificamos 
que sete triân gulos mais 
uma estrela é igual a uma 
estrela mais sete quilogra-
mas, ou seja, sete triângulos 
é igual a sete quilogramas. 
Com isso, cada triângulo 
tem massa de um quilogra-
ma e cada estrela, de dois 
quilogramas.
56
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
56
Exemplos
• Vamos resolver o sistema pelo método de 
adição:
 
x y
x y
16
2
1
2 5
5*
 Adicionando essas equações membro a membro, 
obte mos outra igualdade. Veja:
x 1 y 5 16
1 x 2 y 5 2
2x 1 0y 5 18
 2x 5 18
 x 5 2
18
 x 5 9
 Substituindo o valor de x em uma das equações, determinamos o valor de y :
 x 1 y 5 16
 9 1 y 5 16
 y 5 16 2 9
 y 5 7
 Portanto, a solução do sistema é o par ordenado (9, 7).
• Vamos determinar a solução do sistema: 
x y
x y
5 28
2 3 7
1 5 2
1 5 2
*
 Observe que nenhuma das incógnitas tem os coeficientes opostos.
 Inicialmente, vamos escolher a incógnita x para “preparar” o sistema, multiplicando ambos os 
membros da igualdade por 22.
 Ao multiplicar todos os termos da equação x 1 5y 5 228 por (22), obtemos uma equação 
equivalente a ela, que, ao ser adicionada membro a membro com a equação 2x 1 3y 5 27, fará 
com que a incógnita x seja eliminada. Veja:
 
x y
x y
5 28
2 3 7
1 5 2
1 5 2
* 
3 (22)
 ] 
x y
x y
2 10 56
2 3 7
2 2 5
1 5 2
*
 Depois de eliminar a incógnita x, determinamos o valor de y.
22x 2 10y 5 56
1 2x 1 3y 5 27
0x 2 7y 5 49
y 5 27
 Substituindo o valor de y na equação x 1 5y 5 228, determinamos o valor de x :
 x 1 5 3 (27) 5 228
 x 2 35 5 228
 x 5 7
 Portanto, a solução do sistema é o par ordenado (7, 27). 
Adicionando os termos opostos y e 2y, 
a incógnita y é eliminada.
Observe que as equações 
desse sistema apresentam 
uma incógnita (y) com 
coeficientes opostos, 
11 e 21.
G
E
O
R
G
E
 T
U
TU
M
I
Sugestão de leitura 
• Sugerimos a leitura da dissertação de Gilmar Tolentino intitulada “Situações-problemas aplicadas na apren-
dizagem de equações e sistemas de equações do primeiro grau com duas variáveis”. Neste trabalho, o au-
tor tem como objetivo mostrar a importância da aplicação desituações-problemas para a aprendizagem de 
equações e sistemas por alunos do ensino fundamental, com o uso de balança de dois pratos. Disponível em: 
<https://repositorio.ufscar.br/bitstream/handle/ufscar/5952/5508.pdf?sequence=1>. Acesso em: 26 out. 2018.
• Explique aos alunos que 
“preparar” o sistema signifi-
ca produzir novas equações, 
equivalentes às anteriores, 
com coeficientes opostos para 
uma incógnita. Comente que 
a soma de coeficientes opos-
tos pode ocorrer com qual-
quer uma das incógnitas.
• Comente com os alunos que 
também é possível multipli-
car ambos os membros das 
equações por outros núme-
ros e obter, nas duas no-
vas equações, coeficientes 
de y opostos. Se julgar con-
veniente, proponha aos alu-
nos que encontrem um nú-
mero pelo qual podemos 
multiplicar a primeira equa-
ção e o número pelo qual 
devemos multiplicar a se-
gunda equação, de modo 
que os coeficientes de y em 
ambas sejam opostos. Uma 
possibilidade é multiplicar a 
primeira equação por 3 e a 
segunda equação por 25.
https://repositorio.ufscar.br/bitstream/handle/ufscar/5952/5508.pdf?sequence=1
57
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
57
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
1 Resolva os sistemas de equações abaixo 
utilizando o método da adição.
a) 
x y
x y
2 5
3 10
1 5
2 5
* e) 
x y
x y
0
2 3 5
2 5
1 5
*
b) 
x y
x y
5 7
2 7
2 5
1 5
* f) 
x y
x y
2 6 10
4 2 1
1 5
2 5 2
*
c) 
x y
x y
4 4
5 1
2 5 2
2 5
* g) 
x y
x y
2 4
2 0
1 5
2 5
*
d) 
x y
x y
2 6
2
1 5
2 5
* h) 
x y
x y
2 13
3 14
1 5
2 5
*
2 Releia a situação apresentada na abertura 
deste capítulo. Resolva o sistema forma-
do pelas duas equações obtidas e, depois, 
responda no caderno.
• A solução do sistema pode ser emprega-
da no mundo real? Justifique.
3 A soma de dois números é 320, e a di-
ferença entre eles é 60. Determine esses 
números.
4 Em uma fazenda em que só há galinhas e 
vacas, há um total de 36 cabeças e 102 pés. 
Quantas galinhas há nessa fazenda?
 Solução gráfica de um sistema de duas equações do 1o grau 
com duas incógnitas
Podemos obter a solução de um sistema a partir da representação gráfica das soluções das 
equações (retas) que o compõe. Veja os exemplos a seguir.
 ▸ Considere o sistema: 
x y
y x
5
2 4
1 5
2 5
*
 Para obter graficamente a solução desse sistema, inicialmente vamos determinar a reta 
que representa a solução de cada uma das equações. 
 Para traçar uma reta, basta conhecer dois pontos distintos dela. Assim, atribuindo valores 
para x e determinando os valores correspondentes de y em cada equação, obtemos as 
coordenadas dos pontos que permitirão traçar duas retas. Cada uma dessas retas repre-
senta as soluções de uma equação. 
x 1 y 5 5
x y (x, y)
0 5 (0, 5)
5 0 (5, 0)
2y 2 x 5 4
x y (x, y)
0 2 (0, 2)
24 0 (24, 0) 
x
x + y = 5
2y – x = 45
2
0–4 5
y
 As coordenadas do ponto de encontro das retas formam o par ordenado que é a solução 
do sistema. Nem sempre é possível obter essas coordenadas com precisão, mas podemos 
alcançar boas aproximações delas e depois verificá-las, substituindo-as nas equações.
G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
(3, 21) (1, 1)
(5, 24)
(2, 3)
130 e 190
21 galinhas
2. Não, pois não podemos servir uma quantidade negativa de suco y
23
2255 2d n.
,
3
10
3
4e o
1. f) ,
2
1
2
3e o g) ,
5
4
5
8e o h) ,
7
41
7
25e o
• Na atividade 1, sugira que 
os itens sejam resolvidos no 
quadro de giz coletivamente, 
para que sejam esclarecidas 
dúvidas antes que deem con-
tinuidade à resolução das 
demais atividades.
• Se tiver oportunidade, 
trabalhe a solução gráfi-
ca de sistemas de equações 
do primeiro grau com duas 
incógnitas utilizando um 
software de construção de 
gráficos. Ilustre os casos das 
páginas seguintes e peça 
aos alunos que alterem os 
coeficientes das incógnitas, 
observando, por exemplo, 
os efeitos da mudança 
de sinal nas incógnitas x. 
Eles devem perceber que 
esta alteração muda a in-
clinação da reta no plano 
cartesiano.
58
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
58
Para obter as coordenadas do ponto de encontro, traçamos, por ele, retas perpendiculares 
aos eixos. 
x
P(2, 3)
x + y = 5
2y – x = 45
2
0
3
–4 52
y
Nesse caso, as retas são concorrentes e o par ordenado (2, 3) é a única solução do sistema. 
Assim, dizemos que o sistema é possível e determinado, pois tem uma única solução.
 ▸ Vamos resolver, agora, o sistema: 
x y
x y
2 4
2 4 8
1 5
1 5 2
*
Inicialmente, traçamos no plano cartesiano as retas que representam as soluções das 
equações. Em seguida, procuramos determinar o ponto em que as retas se encontram.
2x 1 4y 5 28
x y (x, y)
0 22 (0, 22)
24 0 (24, 0)
x 1 2y 5 4
x y (x, y)
0 2 (0, 2)
4 0 (4, 0)
x
x 1 2y 5 4
2x 1 4y 5 28
2
24
22
40
y
Observamos que as retas são paralelas, ou seja, não têm ponto comum. Logo, não é possí-
vel encontrar o par ordenado (x, y), que corresponde à solução do sistema. 
Assim, o sistema é impossível, pois não tem solução.
Veja a resolução do sistema pelo método da adição:
x y
x y
2 4
2 4 8
1 5
1 5 2
* ] 
x y
x y
x y
2 4 8
2 4 8
0 0 16
2 2 5 2
1 1 5 2
1 5 2
Na igualdade 0x 1 0y 5 216 obtida, temos uma sentença falsa, pois para quaisquer valo-
res dados a x e a y multiplicados por zero resultam em zero, e não em 216.
Portanto, o sistema é impossível, como já tínhamos visto na solução gráfica.
3 (22)
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
• Pergunte aos alunos se 
há pontos em comum na 
segunda situação. Nesse 
momento, aproveite para 
retomar o conceito de retas 
paralelas, mostrando que 
não há uma solução que sa-
tisfaça ambas as equações, 
ou seja, a solução do sistema 
é impossível.
59
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
59
 ▸ Vamos determinar a solução do sistema: 
x y
x y
3
8 8 24
1 5
1 5
*
Inicialmente, traçamos no plano cartesiano as retas que representam as soluções das 
 equações. Em seguida, procuramos determinar os pontos de encontro das retas.
x8x + 8y = 24
x + y = 3
3
30
yx 1 y 5 3
x y (x, y)
0 3 (0, 3)
3 0 (3, 0)
8x 1 8y 5 24
x y (x, y)
0 3 (0, 3)
3 0 (3, 0)
Observamos que as retas são coincidentes, ou seja, têm infinitos pontos comuns. Assim, 
o sistema é possível e indeterminado, pois tem infinitas soluções. Para obter qualquer 
uma dessas infinitas soluções, basta, em uma das equações, atribuir um valor para uma 
das incógnitas e calcular o valor correspondente da outra.
Veja essa resolução algébrica:
x y
yx
3
8 8 24
1 5
1 5
* ] 
x
x y
y8 8
8 8 24
241
1 5
5*
Como podemos observar, as equações são idênticas, o que justifica as retas do plano car-
tesiano serem coincidentes. Isso equivale a termos apenas uma equação, mas com duas 
incógnitas, gerando infinitas soluções.
3 8
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
1 Represente graficamente as soluções dos 
sistemas. Em seguida, classifique cada 
um dos sistemas em possível e deter-
minado, possível e indeterminado ou 
impossível.
a) 
x y
x y
5 10
2 10 20
2 5
2 5
*
b) 
x y
x y
2 3 12
4 6 14
2 5
2 5
*
c) 
x y
x y
2 4 10
2 5
2 5
2 5
*
d) 
x y
x y
2 4
4 2 8
1 5
2 2 5 2
*
e) 
x y
x y
2 8
2 6
1 5
2 5 2
*
f) 
x y
x y
2 7
6 3 15
2 5
2 5
*
g) 
x y
x y
6
4
1 5
1 5
*
h) 
x y
x y
6
2
1 5
2 5
*
A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
possível e 
indeterminado impossível
y
21–1
–1
–2
–2 3 40
1
2
3
4
5
6
A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O1. h)
possível e 
determinado; (2, 4)
possível e 
indeterminado
impossível
impossível
possível e 
indeterminado
possível e 
determinado; (4, 2)
•Após apresentar os tipos 
de solução de um sistema 
de equações do 1o grau com 
duas incógnitas, retome ra-
pidamente o significadoda 
reta que representa uma 
equação no plano. Verifique 
se os alunos, de fato, com-
preenderam que uma reta 
no plano representa todas 
as possíveis soluções de uma 
equação. Eles devem ser ca-
pazes de explicar que a so-
lução do sistema só existe 
quando há pelo menos um 
ponto do plano que per-
tence às duas retas. Nesse 
caso, elas são concorrentes, 
e o sistema é possível e de-
terminado. Quando há mais 
de um ponto no plano que 
pertencem simultaneamen-
te às duas retas, essas retas 
que representam a solução 
do sistema são, necessaria-
mente, coincidentes, assim o 
sistema é possível e indeter-
minado.
60
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
60
2 Observe o gráfico abaixo.
x
y
421–1
–1
–2
–3
–2–3 30
1
3
4
5
2
5 6
Agora, verifique qual dos sistemas de 
equação abaixo está de acordo com o grá-
fico acima.
a) 
x y8 81 5
x y 21 5* d) 
x y6 6 122 2 52
x y2 2 41 5
x y 02 5*
b) 
x y3 6 122 1 5
x y2 2 41 5* e) 
x y
x y
2 2 4
3 3 12
1 5
1 5
x y 02 5*
c) 
x y3 6 121 5
x y 02 5
*
3 Observe o sistema de equações abaixo.
 x y2 22 52
x y4 2 42 52
x y4 2 42 2 52*
Agora, verifique qual dos gráficos abaixo 
pode ser uma representação gráfica do 
sistema de equações acima.
a)
x
y
421–1
–1
–2
–3
–2–3 30
1
3
4
2
b)
x
y
21–1
–1
–2
–3
–2–3 30
1
3
2
c)
x
y
21–1
–1
–2
–3
–2–3 30
1
3
2
d)
x
y
21
–1
–1
–2
–3
–2–3 30
1
3
2
4 Observe os sistemas de equação abai-
xo e os gráficos que os acompanham. 
Verifique se os gráficos podem ser uma 
representação gráfica adequada do siste-
ma e, caso não sejam, copiem o sistema 
em seu caderno e desenhem uma repre-
sentação gráfica adequada.
a) 
x y
x y
2
4
1 5
2 5
*
x
y
21–1
–1
–2
–3
–4
–5
–2–3 3 4 5 60
1
2
3
4
b) 
x y
x y
2 5
3 6
2 52
2 2 5
*
x
y
21–1
–1
–2
–3
–4
–2–3–4–5–6 30
1
2
3
4
5
6
x5421–1
–1
–2
–3
–2
–4
–5
30
1
3
4
5
2
y
x421–1
–1
–2
–3
–2 30
1
2
5
y
21–1
–1
–2
–2 30
1
3
4
5
2
421–1
–1
–2
–2–3–4–5–6 30
1
3
4
5
6
7
8
2
421–1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
30
1
2
5
x
y
421–1–1
–2
–2–3–4 30
1
3
4
5
6
7
8
2
5 6
x421–1
–1
–2
–3
–2–3
–4
–4
–5
–5 30
1
2
5
1. b)
1. f)
1. g)
x
y
421–1–1
–2
–3
–2–3
–4
–4
–5
30
1
3
4
2
1. c)
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
Lembre-se:
Não escreva no livro!
alternativa d
alternativa d
4. b) Esta representação gráfica 
não possui incoerências com 
o sistema de equações.
4. a) Este gráfico não 
representa o sistema 
de equação deste item. 
O gráfico correto é:
1. d)
1. e)
1. a)
• Ao final das atividades, 
espera-se que os alunos per-
cebam que, quando as equa-
ções forem equivalentes, a 
representação gráfica dessas 
equações será composta de 
retas coincidentes. Se julgar 
necessário, retome a idea de 
equações equivalentes com 
a turma.
Veja a sequência didática 3 
do 1o bimestre no Material 
do Professor – Digital.
61
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
61
In
te
rp
re
ta
çã
o 
e 
id
en
tif
ic
aç
ão
 d
os
 d
ad
os • Analise as informações do enunciado e anote aquelas que julgar relevantes para a reso-
lução do problema.
• Se um prego, três parafusos e dois ganchos pesam 24 g, quanto pesarão dois pregos, 
seis parafusos e quatro ganchos?
• Com a informação obtida no item anterior, associada à informação dada no enunciado de 
que dois pregos, cinco parafusos e quatro ganchos pesam 44 g, é possível encontrar a 
massa de um parafuso. Determine-a.
Pl
an
o 
de
 
re
so
lu
çã
o • Escreva três equações com as informações do respectivo enunciado. 
• Monte um sistema com as três equações.
• Multiplique a primeira equação por 12 e relacione-a com a terceira equação. Que conclusões 
você obteve?
Re
so
lu
çã
o
• Reúna-se com mais dois colegas. 
• Mostre a eles seu plano de resolução e verifique se há ideias em comum entre vocês.
• Discutam quais são as diferenças e as semelhanças de cada plano e escolham um dos 
planos para a execução do processo de resolução.
• Verifique, com seus colegas, qual é o plano de resolução que alcança o objetivo de ma-
neira mais eficiente e adequada.
ObservaçãoObservação
Resolvam o problema de forma coletiva, mas façam o registro individual no caderno.
Ve
rif
ic
aç
ão
• Releiam o problema e verifiquem se todas as condições do enunciado foram satisfeitas.
Ap
re
se
nt
aç
ão • Cada grupo deverá criar duas novas situações de compra na loja de ferragens, buscando 
sempre quantidades de pregos, parafusos e ganchos que sejam múltiplas das quantida-
des originais. Em seguida, deverão fazer as equações de modo que respondam às ques-
tões formuladas. Essas novas situações devem ser apresentadas na forma de cartazes e 
explicadas para toda a turma.
Resolvendo em equipe
(OBM) Numa loja de ferragens, vários produtos são vendidos pelo peso [massa]. Um prego, 
três parafusos e dois ganchos pesam 24 g. Dois pregos, cinco parafusos e quatro ganchos pe-
sam 44 g. Juquinha comprou 12 pregos, 32 parafusos e 24 ganchos. Quanto pesou sua compra?
a) 200 g b) 208 g c) 256 g d) 272 g e) 280 g
Faça a atividade no caderno.
alternativa d
48 g
4 g
Seja x a massa do prego, x a massa do prego, x y a massa do parafuso e y a massa do parafuso e y z a massa do gancho. z a massa do gancho. z
Assim: Assim: Assim: xxx 111 3 3 3yyy 3y 3 3y 3 3y 3 111 2 2 2zzz 55 24, 2 24, 2 24, 2xxx 24, 2x 24, 2 24, 2x 24, 2 24, 2x 24, 2 111 5 5 5yyy 5y 5 5y 5 5y 5 111 4 4 4zzz 4z 4 4z 4 4z 4 55 44 e 12 44 e 12 44 e 12xxx 44 e 12x 44 e 12 44 e 12x 44 e 12 44 e 12x 44 e 12 111 32 32 32yyy 32y 32 32y 32 32y 32 111 24 24 24zzz 24z 24 24z 24 24z 24 55 PPP
Considerando a massa do parafuso, é possível responder à questão proposta.
Exemplo de resolução: Se a massa do parafuso é 4 g, temos:Exemplo de resolução: Se a massa do parafuso é 4 g, temos: 4yy4y4 5 288 2 P
4 3 4 5 288 2 P
P 5 272
Uma nova situação poderia ser, por exemplo: Qual é a massa 
de 7 pregos, 15 parafusos e 14 ganchos? Resposta: 144 g
x y z
x y
x y z P
3 2x y3 2x y 24
2 5x y2 5x y 4 4z4 4z 4
12x y12x y32x y32x y 24z P24z P
1 1x y1 1x y3 21 13 2x y3 2x y1 1x y3 2x y 5
1 1x y1 1x y2 51 12 5x y2 5x y1 1x y2 5x y 4 454 4
1 1x y1 1x y1 1x y1 1x y321 132x y32x y1 1x y32x y z P5z P
***
12x12x12 1 36y 36y 36 1 24z 24z 24 5 288
1212xx12x1212x12 11 32 32yyy 32y 32 32y 32 11 24 24zz 24z 24 24z 24 5 PP 3 ( ( (21)1)1)
12x12x12 1 36y 36y 36 1 24z 24z 24 5 288
2 2 12121212xx12x1212x12 2 32 32yyy 32y 32 32y 32 2 24 24 24 24zz 24z 24 24z 24 5 2PP
4y4y4 5 288 2 P
12x12x12 24z 24z 24
1212 24 24 24z 24
3 (12)x y z
x y zx y zx y z
x y z P
3 2x y3 2x y 24
2 5 42 5 4x y z2 5 4x y zx y z2 5 4x y z 4444
12x y12x y32x y32x y 24z P24z P
1 1x y1 1x y3 21 13 2x y3 2x y1 1x y3 2x y 5
1 1x y1 1x y1 1x y1 1x y321 132x y32x y1 1x y32x y z P5z P
2 5 4+ +2 5 4x y z2 5 4x y z+ +x y z2 5 4x y zx y z2 5 4x y z+ +x y z2 5 4x y z =*** ]] ]]
Competência específica 2: Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos con-
vincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. 
Competência específica 3: Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Arit-
mética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria 
capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.
Resolvendo em equipe
• A seção destaca as etapas 
selecionadas para encaminhar 
a resolução de problemas. 
Elas devem ser analisadas 
e discutidas com os alunos. 
Além de favorecer o desen-
volvimento das competên-
cias gerais 2, 4, 9 e 10 e das 
competências específicas 2 
e 3, a seção permite a trans-
ferência de estratégias de 
resolução para outroscon-
textos e situações, servin-
do de base para a resolução 
das atividades do “Aplican-
do” da seção “Trabalhando 
os conhecimentos adquiri-
dos” deste ou de outros ca-
pítulos, por exemplo. 
• Para a resolução desta ati-
vidade, organize a turma 
em grupos de 4 ou 5 alunos. 
Observe as diferentes estra-
tégias utilizadas pelos grupos. 
Eles poderão utilizar imagens, 
analisar as proporções, encon-
trar equações equivalentes 
e assim por diante. Por fim, 
solicite que socializem as es-
tratégias para que os alunos 
possam descobrir diferentes 
formas de resolução.
Competência geral 2: Exercitar a 
curiosidade intelectual e recorrer 
à abordagem própria das ciências, 
incluindo a investigação, a refle-
xão, a análise crítica, a imaginação 
e a criatividade, para investigar 
causas, elaborar e testar hipóteses, 
formular e resolver problemas e 
criar soluções (inclusive tecnológi-
cas) com base nos conhecimentos 
das diferentes áreas.
Competência geral 4: Utilizar di-
ferentes linguagens – verbal (oral 
ou visual-motora, como Libras, e 
escrita), corporal, visual, sonora e 
digital –, bem como conhecimentos 
das linguagens artística, matemáti-
ca e científica, para se expressar e 
partilhar informações, experiências, 
ideias e sentimentos em diferentes 
contextos e produzir sentidos que 
levem ao entendimento mútuo.
Competência geral 9: Exercitar a 
empatia, o diálogo, a resolução 
de conflitos e a cooperação, fa-
zendo-se respeitar e promovendo 
o respeito ao outro e aos direitos 
humanos, com acolhimento e va-
lorização da diversidade de indi-
víduos e de grupos sociais, seus 
saberes, identidades, culturas e 
potencialidades, sem preconcei-
tos de qualquer natureza.
Competência geral 10: Agir pes-
soal e coletivamente com auto-
nomia, responsabilidade, flexibili-
dade, resiliência e determinação, 
tomando decisões com base em 
princípios éticos, democráticos, in-
clusivos, sustentáveis e solidários.
62
Trabalhando os conhecimentos adquiridos
Faça as atividades no caderno.
Aplicando
Revisitando
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
62
1 O que é um par ordenado?
2 Uma equação do 1o grau com duas incógnitas admite infinitas soluções. Proponha três pares de 
soluções para a equação 2x 2 y 5 4.
3 Um sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas sempre pode ser resolvido pelo método 
da adição e também pelo da substituição? Como você decide o método que vai empregar na 
resolução?
4 Sobre a representação gráfica das soluções de um sistema de equações do 1o grau, grau,
copie as sentenças a seguir, completando com uma das opções dadas nos parênteses.
a) Se as retas que representam as soluções das equações são (concorrentes/paralelas/coinci-
dentes), haverá uma única solução do sistema. Assim, o sistema é (possível e determinado/
possível e indeterminado/impossível).
b) Se as retas que representam as soluções das equações são coincidentes, haverá (uma única 
solução/infinitas soluções) do sistema. Assim, o sistema é (possível e determinado/possível e 
indeterminado/impossível).
c) Se as retas que representam as soluções das equações são (concorrentes/paralelas/coinciden-
tes), (não haverá/haverá) solução. Assim, o sistema é impossível.
1 Para cada item, desenhe um plano cartesia-
no e nele marque cinco pontos de coorde-
nadas (x, y), de maneira que:y), de maneira que:y
a) y seja o dobro de y seja o dobro de y x ;
b) y seja a metade de y seja a metade de y x ;
c) y seja o oposto de y seja o oposto de y x ;
d) y seja o oposto do dobro de y seja o oposto do dobro de y x ;
e) y seja a soma de y seja a soma de y x com 2;x com 2;x
f) y seja a soma de y seja a soma de y x com 3;x com 3;x
g) y seja a soma de y seja a soma de y x com 4.x com 4.x
2 A soma de dois números é 115, e a diferença 
entre eles é 41. Determine -os.
3 O par ordenado (x, x, x y) é a solução do sistema: y) é a solução do sistema: y
x y
x y
40
20
1 5x y1 5x y
2 5x y2 5x y
*
Resolva-o e, depois, encontre o valor de:
a) x 2 2 y 2 c) x 2 1 y 2
b) x 3 y d) 
y
x
4 A soma de dois números é 163. O quociente 
do maior número pelo menor é 5, e o resto 
é 7. Determine -os.
5 O par ordenado (x, x, x y) é a solução do sistema: y) é a solução do sistema: y
x y
x y
2 3x y2 3x y 14
5 1x y5 1x y
2 5x y2 5x yx y2 3x y2 5x y2 3x y
5 11 55 1x y5 1x y1 5x y5 1x y
*
Determine a alternativa correta.
a) x 5 4y
b) x 4 y 5 24
c) x 3 y 5 24
d) x 5 24y
6 A soma de dois números é 43, e um deles 
excede o outro em cinco unidades. Quais 
são esses números?
78 e 37
137 e 26
Sugestão: x 1 y 5 163, y 5 5x 5x 5 1 7
alternativa c
800
300
1 000
3
Respostas 
pessoais.
É um par de elementos, indicado por (xÉ um par de elementos, indicado por (xÉ um par de elementos, indicado por ( , y), em que há uma ordem: y), em que há uma ordem: y x é o primeiro valor e x é o primeiro valor e x y é o segundo.y é o segundo.y
Exemplo de resposta: (0, 24); (2, 0); (1, 22)
sim; resposta pessoal
concorrentes; possível e determinado
infinitas soluções; possível e indeterminado
paralelas; não haverá
19 e 24
• A seção “Trabalhando os 
conhecimentos adquiridos” 
tem como objetivo retomar 
os conceitos e procedimentos 
vistos no capítulo, incenti-
vando a revisão, a autoava-
liação e a criatividade por 
meio da resolução e elabo-
ração de problemas. É com-
posta de atividades de di-
versos níveis de dificuldade, 
incluindo desafios, cuida-
dosamente escolhidas, para 
que os alunos as resolvam 
com base nos conhecimentos 
adquiridos até o momento.
Revisitando
• Esta seção foi criada para 
que os alunos tenham a 
oportunidade de verificar 
os conhecimentos consolida-
dos. Se eles tiverem alguma 
dúvida em relação aos con-
teúdos avaliados na seção, 
sugira que retomem as pági-
nas do capítulo. Incentive-os 
a buscar a troca de conheci-
mento em grupo e, caso a 
dúvida persista, ajude-os a 
encontrar um bom caminho 
para a compreensão.
Aplicando
• Na atividade 1, pergunte 
aos alunos sobre os deslo-
camentos que ocorreram. 
Deixe que eles comparti-
lhem e percebam algumas 
regularidades. 
• A atividade 3 utiliza a solu-
ção de um sistema de equa-
ções do 1o grau como valo-
res a serem adotados e subs-
tituídos em variáveis de al-
gumas expressões algébricas. 
Retome com os alunos a 
ideia de incógnita e de va-
riável, diferenciando-as e 
identificando no caso das 
equações e expressões. Essa 
atividade também tem por 
intenção contribuir para o 
desenvolvimento da habili-
dade EF08MA06.
EF08MA06: Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as proprie-
dades das operações.
63
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
63
7 Hoje, Ronaldo tem o dobro menos quatro 
anos da idade de Pedro. Há dez anos, a 
idade de Ronaldo era o triplo da idade de 
Pedro. Quantos anos eles têm hoje?
8 Julinho está brincando de tiro ao alvo. 
A cada tiro que acerta no alvo, ele ganha 
cinco pontos e, a cada tiro errado, perde 
três pontos. Ele já deu 20 tiros e ganhou  
68  pontos. Quantos tiros Julinho acertou 
até agora?
9 A diferença entre as idades de Fábio e de 
Moisés é 27 anos. Fábio tem o sêxtuplo da 
idade de Moisés menos três anos. Qual é 
a idade de cada um?
10 Resolva mentalmente os sistemas de equa-
ções abaixo.
a) 
x y
x y
10
2
1 5
2 5
* b) 
x y
x y
30
10
1 5
2 5
*
11 Resolva os sistemas de equações do 1o grau 
com duas incógnitas utilizando o método 
da substituição.
a) 
x y
x y
5
7
2 5
1 5
* c) 
x y
y
4 6
4 8
2 5
5
*
b) 
x y
x y
2 0
2 4
1 5
2 5
* d) 
x y
x y
0
2 14
1 5
1 5
*
12 Em um estacionamento, há automóveis 
e bicicletas, no total de 32 veículos e 
88 pneus. Determine o número de veículos 
de cada tipo.
13 Se 3a 1 8b 5 45 e 5a 1 6b 5 53, deter-
mine o valor de a 2 b.
14 Em um circo, havia dois valores de in-
gresso:um para os adultos e outro para 
as crianças. Um grupo de seis crianças e 
um adulto pagou R$ 71,00 pelos ingressos. 
Outro grupo, de sete crianças e quatro adul-
tos, pagou R$  131,00. Qual era o preço de 
 cada ingresso?
15 A diferença entre dois números é 72, e o 
quociente entre eles é 5. Quais são esses 
números?
16 Utilizando o método da adição, resolva 
 cada um dos sistemas de equações do 
1o grau com duas incógnitas.
a) 
x y
x y
20
8
1 5
52
* c) 
x y
x y
4 1
15 20
1 5 2
2 5 2
*
b) 
x y
x y
2 5
3 2 25
1 5
2 5 2
* d) 
x y
x y
2 3 26
3 2 19
1 5
1 5
*
17 O perímetro de um retângulo é 200  cm. 
Sabendo que a medida de um de seus lados 
excede a medida do outro lado em 30 cm, 
determine as dimensões desse retângulo.
18 Júlio comprou um terreno de 264 hectares 
de área. Ele o desmembrou em duas partes, 
de modo que uma, destinada à criação de 
aves, representasse 
8
3
 da área da parte res-
tante. Calcule a área, em hectare, da parte 
reservada ao aviário.
19 Determine dois números cuja diferença é 
3
11
, sabendo que a soma do dobro do maior 
número com o triplo do menor é 
3
17
.
20 Em um caderno estão desenhados triân-
gulos e quadrados, totalizando 35 figuras e 
125 lados. Calcule o número de quadrados.
21 Determine o par (x, y) de números reais 
que é solução de cada sistema abaixo.
a) 
y x
x y
5 3
2 3 8
5 1
2 5 2
*
b) 
x y
x y
2 7
5
5 1
1 5 2
*
c) 
, , ,
, ,
x y
x y
1 3 0 8 0 35
0 2 0 35 1
2 5
1 5
*
d) 
( ) ( )
x y
y x xy
4 3
6 5 70
2 5 2
1 1 5 18
*
22 A soma de dois números é 195. A divisão do 
maior pelo menor tem quociente 12 e resto 
zero. Determine-os. 15 e 180
16 tiros
Fábio: 33 anos; Moisés: 6 anos
Ronaldo tem 28 anos, e Pedro, 16 anos. 
(6, 4)
(20, 10)
4
(1, 22)
(6, 1)
(2, 2)
(14, 214)
20 bicicletas e 12 automóveis
criança: R$ 9,00; adulto: R$ 17,00
(25, 5)
(14, 6)
(25, 1)
(1, 8)
18 e 90
35 cm e 65 cm
72 hectares
3
10
3
1e 2
20 quadrados
(21, 2)
(21, 2 4)
(5; 2)
(1,5; 2)
Lembre-se:
Não escreva no livro!
• Nas atividades 10 e 11, 
se tiver oportunidade e jul-
gar adequado, peça aos alu-
nos que construam um plano 
cartesiano para cada sistema 
proposto, esboçando o gráfi-
co e destacando as soluções.
• Comente, na atividade 18, 
que hectare é uma unidade 
de medida para superfícies 
agrárias: 1 hectare corres-
ponde a 10 000m2.
64
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
64
23 Observe a figura, que representa a solu-
ção gráfica de um sistema, e responda às 
questões.
x
11
–33
22
0
y
yy = 2 = 2x – 7 – 7
yy = –2,5 = –2,5xx + 2
AA(((((2, –3)2, –3)2, –3)2, –3)2, –3)
a) Quais são as duas equações desse 
sistema?
b) Qual é o par ordenado que é solução 
desse sistema?
c) Qual é o valor de x que torna verdadeira x que torna verdadeira x
a igualdade 2x 2 7 5 22,5x 1 2?
24 Resolva graficamente os sistemas a seguir 
e classifique-os em possível e determinado, 
possível e indeterminado ou impossível.
a) 
x y
x y
3 5x y3 5x y
2 4x y2 4x y
1 5x y1 5x y3 51 53 5x y3 5x y1 5x y3 5x y
2 42 52 4x y2 4x y2 5x y2 4x y2 422 4
*
b) 
x y
x y
2 5x y2 5x y 8
6 1x y6 1x y5 2x y5 2x y 4
1 5x y1 5x y2 51 52 5x y2 5x y1 5x y2 5x y
1 5x y1 5x y6 11 56 1x y6 1x y1 5x y6 1x y5 21 55 2x y5 2x y1 5x y5 2x y
*
c) 
x y
x y
2 4x y2 4x y
3 6x y3 6x y 6
x y2 5x y2 42 52 4x y2 4x y2 5x y2 4x y
2 5x y2 5x yx y3 6x y2 5x y3 6x y
*
d) 
( )
( )
x y( )x y( )
x y( )x y( )
3 2( )3 2( )x y3 2x y( )x y( )3 2( )x y( ) 20
5 5( )5 5( )x y5 5x y( )x y( )5 5( )x y( )
3 21 23 2( )3 2( )1 2( )3 2( )x y3 2x y1 2x y3 2x y( )x y( )3 2( )x y( )1 2( )x y( )3 2( )x y( ) 5
( )2 1( )( )x y( )2 1( )x y( )5 52 15 5( )5 5( )2 1( )5 5( )x y5 5x y2 1x y5 5x y( )x y( )5 5( )x y( )2 1( )x y( )5 5( )x y( )5 555 5
*
e) 
x y
x y
5 6x y5 6x y 30
10 12x y12x y 60
1 5x y1 5x y5 61 55 6x y5 6x y1 5x y5 6x y
1 5x y1 5x y1 5x y1 5x y121 512x y12x y1 5x y12x y
*
f) 
x y
x y
4 5x y4 5x y
3 3
4
2
1 5x y1 5x y4 51 54 5x y4 5x y1 5x y4 5x y
1 5
y
1 5
y
3 3
1 5
3 3
*
1 5
25 A soma de dois números é 81, e o menor é 
7
2
 do maior. Quais são esses números?
26 Em uma bolsa, há R$$ 640,00 em cédulas de 
R$$ 10,00 e R$$ 50,00. Sabendo que o total de 
cédulas é 24, determine o número de cédu-
las de cada espécie.
27 Para determinar a envergadura dos ani-
mais pré-históricos ilustrados abaixo, 
o professor Hugo chegou às seguintes 
equações matemáticas: x 1 y 5 5,96 e 
2x 1 4y 5 12,84.
O Cearadactylus
sobre o mar e capturava 
peixes com seus longos 
dentes curvados.
O corpo do 
Pterodactylus era Pterodactylus era Pterodactylus
coberto por um 
pelo fino.x
Cearadactylus voava Cearadactylus voava Cearadactylus
sobre o mar e capturava 
y
Determine a medida das envergaduras 
(x e x e x y) desses animais, sabendo que a uniy) desses animais, sabendo que a uniy -
dade utilizada pelo professor Hugo foi o 
metro.
28 Tenho avestruzes e coelhos, em um total de 
35 cabeças e 110 pés. Calcule o número 
de avestruzes e o de coelhos.
29 Lana possui notas de R$$  5,00 e R$$  10,00. 
São 20 notas que totalizam R$$  140,00. Há 
quantas notas de cada valor?
G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
G
E
O
R
G
E
 T
U
TU
M
I
C
R
É
D
IT
O
S
 D
A
S
 F
O
TO
S
:
A
V
E
S
TR
U
Z
: A
A
R
O
N
 A
M
AT
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
;
C
O
E
LH
O
: J
O
S
H
U
A
 L
E
W
IS
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
y 5 2x 2x 2 2 7; y 5 22,5x2,5x2,5 1 2
(2, 23)
x 5 2
(21, 2); possível e 
determinado
(6, 4); possível e 
determinado
impossível
possível e indeterminado
possível e indeterminado
impossível
10 cédulas de R$ 50,00; 14 cédulas de R$ 10,00
x 5 5,5 m, y 5 0,46 m
18 e 63
15 avestruzes e 20 coelhos15 avestruzes e 20 coelhos
12 notas de R$ 5,00; 8 notas de R$ 10,00
Se julgar necessário, diga aos alunos que as imagens nesta 
página não foram apresentadas em escala de tamanho.
Lembre-se:
Não escreva no livro!
Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, 
a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver 
problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, 
tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e 
resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.
• Se tiver oportunidade, 
peça aos alunos que utilizem 
um software de construção 
de gráficos para verificar a 
solução dos sistemas propos-
tos na atividade 24.
65
Elaborando
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
65
DESAFIO
Observe as três balanças a seguir e determine 
a massa de , e .
5 kg5 kg
7 kg
30 O quadrado e o triângulo equilátero abaixo 
têm o mesmo perímetro. Determine x e x e x y.y.y
14 cm
y
x
31 Duas caixas contêm, conjuntamente, 84 cho-
colates. Se fossem tirados quatro chocolates 
de uma das caixas e colocados na outra, 
ambas ficariam com o mesmo número de 
chocolates. Quantos chocolates contém ca-
da uma das caixas?
32 O perímetro de um retângulo é 36 cm. Se 
a um dos lados for adicionado 1 cm e, do 
outro lado, forem subtraídos 2 cm, a fi-
gura obtida será um quadrado. Calcule as 
dimensões do retângulo.
33 Uma pilha de 40 tábuas tem 1,7 m de 
altura e é formada por tábuas de 2 cm 
e de 5 cm de espessura. Quantas são as 
tábuas de 2 cm?
34 Ana e Clara têm, juntas, 16 anos. Daqui 
a um ano, Ana terá o dobro da idade de 
Clara. Qual é a idade de cadauma?
35 Dois tanques contêm juntos 900 c de óleo. 
Se passarmos 100c do primeiro tanque 
para o segundo, este ficará com o dobro 
do número de litros do primeiro. Quantos 
litros contém o segundo tanque?
36 Determine dois números, sabendo que o 
dobro da sua diferença é 4 e o quádruplo 
do inverso de sua soma é 2.
DESAFIO
Tenho duas vezes a idade que tu tinhas quan-
do eu tinha a idade que tu tens. Quando ti-
veres a idade que tenho, a soma de nossas 
idades será 45 anos. Quantos anos tenho?
1 Elabore um problema no qual uma pessoa precisa sacar determinada quantia em dinheiro 
num caixa eletrônico. Entretanto, o caixa eletrônico só possui notas de R$$ 20,00 e R$$ 50,00. 
Informe no problema a quantidade total de notas que saíram do caixa eletrônico. A resolução 
do problema deve envolver um sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas. Sente-se grau com duas incógnitas. Sente-se 
em dupla, troque seu problema com o do colega e resolva o que ele propôs. Em seguida, cor-
rijam as resoluções um do outro e conversem caso discordem de algum passo da resolução.
2 Elabore um problema sobre a idade de dois primos, um mais novo e um mais velho, cuja 
solução envolva um sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas. Sente-se em dupla, grau com duas incógnitas. Sente-se em dupla, 
troque seu problema com o do colega e resolva o que ele propôs. Em seguida, corrijam as 
resoluções um do outro e conversem caso discordem de algum passo da resolução.
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
 3 kg; 3 kg;
 1 kg
 2 kg; 2 kg;
x minha idade atual
y tua idade atual
(x(x( 2 y) y) y diferença entre nossas idades, em qualquer época
Desafio.Desafio.
[ ([ ( )])]
[ ( )] [ ( )]
x y[ (x y[ (x yx y[ (x y[ ([ (x y[ (x yx y)]x y)])]x y)]
x x[ (x x[ ( y y)]y y)] [ (y y[ (x y)]x y)]
2x y2x yx y2x yx y2x y
45
[ (5 2[ (x y5 2x y[ (x y[ (5 2[ (x y[ (x y5 2x yx y2x y5 2x y2x y x y2x y
1 2[ (1 2[ (x x1 2x x[ (x x[ (1 2[ (x x[ ( 1 1[ (1 1[ (y y1 1y y[ (y y[ (1 1[ (y y[ ( 2 5)]2 5)]x y2 5x y)]x y)]2 5)]x y)]
**
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Ana: 11 anos; Clara: 5 anos
x 5 6 cm; y 5 8 cm
500 c
10 tábuas
7,5 cm; 10,5 cm
46 e 38 chocolates
2 e 0
20 anos
idades será 45 anos. Quantos anos tenho?
20 anos
idades será 45 anos. Quantos anos tenho?
Lembre-se:
Não escreva no livro!
• Uma resposta possível para a atividade 2 seria:
 � Jorge ( j ) e Pedro ( p ) são primos e estão discutindo sobre a idade deles. A diferença entre suas idades é de 4 anos. 
Quando Jorge tinha a idade de Pedro, a idade de Pedro era a metade da idade de Jorge. Quantos anos eles têm hoje?
Resolução: o sistema a ser resolvido é 
4
4j p
p
5
5
2
2 2
j
Z
[
\
]]]]
]]]]
. Ao resolver o sistema, concluímos que Jorge tem 16 anos e 
Pedro tem 12.
• No primeiro Desafio, os 
alunos terão a oportunida-
de de explorar diferentes 
formas de resolução. É pro-
vável que alguns utilizem 
apenas a balança e equa-
ções equivalentes e outros 
construam todo o sistema. 
O compartilhamento das 
diferentes estratégias tor-
na a atividade ainda mais 
enriquecedora, dando ao 
aluno a oportunidade de 
se deparar com diferen-
tes formas de resolução de 
uma maneira investigativa.
Elaborando
• A seção incentiva a cria-
tividade e a elaboração de 
questões pelos alunos, favo-
recendo o desenvolvimen-
to das competências gerais 2 
e 10 e da competência espe-
cífica 5. 
• Solicite aos alunos que 
rea lizem as atividades 1 e 2 
em duplas, registrando as si-
tuações-problema em uma 
folha avulsa. Para finalizar, 
peça que façam as correções 
de seus próprios problemas.
• Uma possibilidade para a 
atividade 1 seria: 
 � Em um caixa eletrônico há 
apenas notas de R$ 20,00 e de 
R$ 50,00. Sabe-se que Maria 
Flor sacou ao todo 25 notas e 
um valor total de R$ 950,00. 
Quantas notas de R$ 20,00 e 
de R$ 50,00 ela sacou?
 � Resolução: considerando 
a quantidade de notas de 
R$ 20,00 como x e de R$ 50,00 
como y, temos:
25
20 50 950
x y
x y
1 5
1 5
*
25 25 (I)
20 50 950 (II)
x y x y
x y
1 5 ] 5 2
1 5
*
Substituindo (I) em (II), te-
mos: 
20(25 2 y) 1 50y 5 950 ] 
] y 5 15
Se y 5 15, então:
x 1 15 5 25 ] x 5 10
Maria Flor sacou 10 notas 
de R$ 20,00 e 15 notas de 
R$ 50,00.
66
É hora de extrapolar Faça as atividades no caderno.
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
66
AS CONDIÇÕES DE VIDA E DE TRABALHO SÃO IGUAIS PARA HOMENS E MULHERES? 
Nos últimos séculos, as mulheres conseguiram conquistar vários direitos e espaços, 
especialmente no Ocidente, mas, ainda hoje, as perspectivas das mulheres em 
relação ao trabalho, à autonomia e à representação política não atingiram a 
igualdade desejada. Um dos objetivos da Agenda 2030 da ONU é a igualdade de 
gênero, que, para ser atingida, depende dos esforços de toda a sociedade.
Objetivos: Analisar dados sobre a desigualdade de gênero; pesquisar a biografia de mulheres de destaque; 
produzir e divulgar um podcast com a biografia da personalidade escolhida.
Etapa 1: Análise de dados sobre a desigualdade de gênero no país.
1. A turma deverá se organizar em cinco grupos e ler o trecho a seguir sobre o Índice de Desigualdade 
de Gênero.
 O Relatório de Desenvolvimento Humano de 2018, publicado pelo Programa das Nações Unidas para o 
Desenvolvimento (PNUD), traz a classificação de 189 países em relação ao Índice de Desenvolvimento 
Humano (IDH) para o ano de 2017, com o Brasil ocupando a 79a posição. Além dos valores de IDH, há 
valores que se referem ao Índice de Desigualdade de Gênero (IDG), cuja definição é:
O Índice de Desigualdade de Gênero (IDG) reflete desigualdades com base no gênero em três di-
mensões − saúde reprodutiva, autonomia e atividade econômica. A saúde reprodutiva é me-
dida pelas taxas de mortalidade materna e de fertilidade entre as adolescentes; a autonomia é 
medida pela proporção de assentos parlamentares ocupados por cada gênero e a obtenção de 
educação secundária ou superior por cada gênero; e a atividade econômica é medida pela taxa 
de participação no mercado de trabalho para cada gênero.
O IDG [...] mostra a perda no desenvolvimento humano devido à desigualdade entre as conquistas 
femininas e masculinas nas três dimensões do IDG.
PNUD Brasil. O que é IDH. Disponível em: <http://www.br.undp.org/content/
brazil/pt/home/idh0/conceitos/o-que-e-o-idh.html>. Acesso em: 28 set. 2018.
 Quando o IDG é analisado, constata-se uma piora na classificação do Brasil no ranking publicado pelo 
PNUD em 2018, pois o país passou a ocupar a 94a posição. As altas taxas de mortalidade materna, as 
desigualdades salariais entre homens e mulheres e a baixa representação feminina na política são 
fatores que contribuem para que o valor do IDG brasileiro seja baixo.
a) Leiam o relatório Estatísticas de gênero: indicadores sociais das mulheres no Brasil, produzido 
pelo IBGE, que traz dados estatísticos sobre alguns indicadores que tratam das diversidades so-
ciais entre o sexo feminino ou o masculino. Para ler o relatório, consulte: <https://biblioteca.ibge.
gov.br/visualizacao/livros/liv101551_informativo.pdf>, acesso em: 28 set. 2018.
b) Cada grupo deverá escolher um dos cinco domínios do relatório em que os indicadores foram 
 organizados:
• estruturas econômicas, participação em atividades produtivas e acessos e recursos;
• educação;
• saúde e serviços relacionados;
• vida pública e tomada de decisões;
• direitos humanos das mulheres e meninas.
 Elaborem um resumo sobre os dados do domínio escolhido, identificando aqueles que se referem às 
 dimensões consideradas para o cálculo do IDG. 
c) Compartilhem o resumo elaborado com os colegas e montem um único documento que englobe 
 todas as informações coletadas sobre os domínios abordados no relatório. 
2. Em 2017, o Brasil ficou na 152a posição no ranking da União Interparlamentar (UIP) que avalia 
190 países e informa a quantidade de homens e mulheres atuantes na política.Um dos fatores 
relevantes para que o Brasil ocupasse essa colocação, a última posição entre os países da América 
do Sul, é que apenas 10,5% dos deputados federais são mulheres. 
 Sabendo que, em 2017, havia 513 deputados federais no Brasil, respondam às questões.
5 IGUALDADE 
DE GÊNERO
Alcançar a igualdade de gênero e empoderar todas as mulheres e meninas 
é o que determina o Objetivo de Desenvolvimento Sustentável (ODS) 
número 5 da ONU. No total, são 17 objetivos para transformar o mundo. 
A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
Resposta pessoal.
Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora 
e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, 
experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.
Competência geral 5: Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, 
reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir 
conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.
É hora de extrapolar
• A seção propõe o fecha-
mento da unidade por meio 
de um trabalho colabora-
tivo que explora a pesqui-
sa, a comunicação e a elabo-
ração de um produto final 
(podcast ou seminário), que 
será compartilhado com a 
turma ou com a comunida-
de escolar.
• Com a finalidade de orga-
nizar o trabalho, a seção é 
dividida em etapas que pro-
movem:
 � Entendimento do contex-
to e dos objetivos do traba-
lho a ser realizado.
 � Pesquisa coletiva.
 � Elaboração, em grupo, do 
produto proposto.
 � Apresentação e exposição 
do produto.
 � Reflexão e síntese do tra-
balho.
As etapas de pesquisa e ela-
boração do produto podem 
ser realizadas extraclasse. 
Verifique o perfil dos alunos 
e oriente-os com relação ao 
prazo, aos materiais e a ou-
tros aspectos necessários à 
realização do trabalho. 
• A seção também favorece 
o desenvolvimento das com-
petências gerais 4, 5 e 9 e 
das competências específicas 
5, 6 e 7, procurando mobili-
zar conteúdos estudados nos 
capítulos que integram a 
unidade. Portanto, é reco-
mendável trabalhar a seção 
depois de estudar os capítu-
los, mas, se preferir trabalhar 
as etapas da seção à medida 
que os capítulos forem estu-
dados, atente para os conhe-
cimentos prévios necessários.
• Se achar oportuno, traba-
lhe esta seção em parceria 
com o professor de História. 
Os alunos podem aprofun-
dar a pesquisa e o debate 
sobre os momentos históri-
cos em que ocorreram mar-
cos da participação das mu-
lheres na sociedade, incluin-
do uma pesquisa sobre o Dia 
Internacional da Mulher.
http://www.br.undp.org/content/brazil/pt/home/idh0/conceitos/o-que-e-o-idh.html
http://www.br.undp.org/content/brazil/pt/home/idh0/conceitos/o-que-e-o-idh.html
https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv101551_informativo.pdf
https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv101551_informativo.pdf
67
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
67
a) Qual é o cálculo que precisamos realizar para determinar a quantidade de deputadas federais na 
Câmara dos Deputados? Qual foi o resultado obtido?
b) É conveniente utilizar o número obtido para representar o número de deputadas federais 
 mulheres? Por quê?
c) Em 2017, o número de deputados do sexo masculino correspondia a 27 mais o óctuplo do número 
de deputados do sexo feminino. Representem a relação entre o número de deputados do sexo 
feminino e o número de deputados do sexo masculino e determinem o número de cadeiras da 
Câmara de Deputados que foi ocupado por mulheres.
3. Agora, vocês vão se organizar em novos grupos. 
 Cada novo grupo será composto de, no mínimo, um integrante de cada grupo que elaborou o resumo para 
um dos domínios do relatório Estatísticas de gênero: indicadores sociais das mulheres no Brasil. 
a) Elaborem uma lista com ações que consideram importantes para combater a desigualdade de 
gênero nos diversos aspectos sociais apresentados.
b) Apresentem a lista para os demais colegas e promovam uma discussão coletiva, a fim de criar uma 
lista única para a turma. 
Etapa 2: Pesquisa e análise de informações sobre a participação feminina na sociedade.
4. No estudo Perspectivas sociais e de emprego no mundo: tendências para mulheres 2018, feito 
pela Organização Internacional do Trabalho (OIT), afirma-se que “as diferenças de participação 
 entre homens e mulheres no mercado de trabalho seguem sendo grandes”. Um dos campos que 
conta com a baixa participação feminina é o das ciências. Segundo a Unesco, menos de 30% dos 
pesquisadores no mundo são mulheres. 
 Vocês conhecem Marie Curie, uma das cientistas mais importantes da história? Leiam o texto a seguir.
[...]
Marie recebeu, em 1903, o Prêmio Nobel de Física, em reconhecimento pelos 
extraordinários serviços obtidos em suas investigações conjuntas sobre os fe-
nômenos da radiação, tornando-se a primeira mulher a receber a honraria.
As pesquisas realizadas por Marie resultaram na descoberta de dois novos 
elementos químicos: o polônio, que ganhou este nome em homenagem ao 
país natal dela, e o rádio. [...] Em 1911, recebeu outro prêmio, desta vez o 
Nobel de Química – por suas pesquisas com o rádio, tornando-se a primeira 
pessoa, até então, a ganhar duas vezes o Prêmio Nobel. 
Marie Curie: vida, obra e descobertas. Canal Ciência, Portal de Divulgação Científica 
e Tecnológica. Brasília: IBICT. Disponível em: <http://www.canalciencia.ibict.br/
personalidades_ciencia/Marie_Curie.html>. Acesso em: 28 set. 2018.
 Agora, respondam às questões.
a) Quais foram as conquistas científicas de Marie Curie?
b) Vocês conhecem outras mulheres cientistas? Em caso afirmativo, quais?
5. Observem os nomes e as fotos das mulheres mostradas a seguir e respondam: quais delas vocês 
conhecem? Por que são consideradas mulheres de destaque?
Marie Curie (1867-1934).
Ada Lovelace Amelia Earhart Malala Yousafzai Maria Quitéria
Maryam MirzakhaniRosa Parks Tarsila do AmaralValentina Tereshkova
W
O
R
LD
 H
IS
TO
R
Y
 A
R
C
H
IV
E
/A
N
N
 R
O
N
A
N
 
C
O
LL
E
C
TI
O
N
/A
G
B
 P
H
O
TO
 L
IB
R
A
R
Y
B
R
ID
G
E
M
A
N
 IM
A
G
E
S
/K
E
Y
S
TO
N
E
 
B
R
A
S
IL
B
E
TT
M
A
N
N
/G
E
TT
Y
 IM
A
G
E
S
H
U
LT
O
N
 A
R
C
H
IV
E
/G
E
TT
Y
 IM
A
G
E
S
S
TA
N
FO
R
D
 N
E
W
S
 S
E
R
V
IC
E
/Z
U
M
A
 
P
R
E
S
S
/G
LO
W
 IM
A
G
E
S
D
AV
ID
 H
IM
B
E
R
T/
H
A
N
S
 L
U
C
A
S
/A
FP
R
O
M
U
LO
 F
IA
LD
IN
I/
TE
M
P
O
 
C
O
M
P
O
S
TO
 -
 C
O
LE
Ç
Ã
O
 
PA
R
TI
C
U
LA
R
D
O
M
E
N
IC
O
 F
A
IL
U
TT
I -
 M
U
S
E
U
 
PA
U
LI
S
TA
 D
A
 U
N
IV
E
R
S
ID
A
D
E
 
D
E
 S
Ã
O
 P
A
U
LO
, S
Ã
O
 P
A
U
LO
A
LE
XE
I N
IK
O
LS
K
Y
\T
A
S
S
 V
IA
 G
ET
TY
 
IM
A
G
E
S
10,5% de 513; 53,865
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Prêmios Nobel de Física e de Química.
Resposta pessoal.
Espera-se que os alunos respondam que não é conveniente porque o número obtido 
não é inteiro.
Exemplo de resposta: h 5 27 1 8 3 m, sendo h 
o no de homens e m o no de mulheres; m 5 54.
Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e 
resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.
Competência específica 6: Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não direta-
mente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros 
e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens paradescrever algoritmos, 
como fluxogramas, e dados).
Competência específica 7: Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em 
princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, 
sem preconceitos de qualquer natureza.
• Abra a discussão, solicitan-
do aos alunos que comen-
tem o que leram no relató-
rio, se já conheciam os da-
dos apresentados, para que 
expressem suas opiniões so-
bre o tema.
• No item b da atividade 2, 
faça um levantamento dos 
dados identificados pelos 
alunos e anote-os em forma 
de um esquema. Este esque-
ma pode ser feito no quadro 
de giz ou usando algum sof-
tware específico para elabo-
ração de mapas mentais.
• Na atividade 3, se possível, 
disponha as carteiras em U 
ou em roda para que todos 
os alunos possam se ver du-
rante o debate.
• O assunto abordado na 
etapa 2, pode ser aprofun-
dado com as seguintes lei-
turas: 
 � OIT: participação das mu-
lheres no mercado de tra-
balho ainda é menor que a 
dos homens. ONUBR (Na-
ções Unidas no Brasil), 7 de 
março de 2018. Disponível 
em: <https://nacoesunidas.
org/oit-participacao-das-
mulheres-no-mercado-de-
trabalho-ainda-e-menor-que-
dos-homens/>. Acesso em: 
11 out. 2018; 
 � Mulheres e meninas na 
ciência, da UNESCO, 2017. 
Disponível em: <http://www.
unesco.org/new/pt/brasilia/
natural-sciences/science-and-
technology/women-and-
girls-in-science/>. Acesso em: 
11 out. 2018. 
Competência geral 9: Exercitar a 
empatia, o diálogo, a resolução 
de conflitos e a cooperação, fa-
zendo-se respeitar e promovendo 
o respeito ao outro e aos direi-
tos humanos, com acolhimento 
e valorização da diversidade de 
indivíduos e de grupos sociais, seus 
saberes, identidades, culturas e 
potencialidades, sem preconceitos 
de qualquer natureza.
http://www.canalciencia.ibict.br/personalidades_ciencia/Marie_Curie.html
http://www.canalciencia.ibict.br/personalidades_ciencia/Marie_Curie.html
https://nacoesunidas.org/oit-participacao-das-mulheres-no-mercado-de-trabalho-ainda-e-menor-que-dos-homens/
https://nacoesunidas.org/oit-participacao-das-mulheres-no-mercado-de-trabalho-ainda-e-menor-que-dos-homens/
https://nacoesunidas.org/oit-participacao-das-mulheres-no-mercado-de-trabalho-ainda-e-menor-que-dos-homens/
https://nacoesunidas.org/oit-participacao-das-mulheres-no-mercado-de-trabalho-ainda-e-menor-que-dos-homens/
https://nacoesunidas.org/oit-participacao-das-mulheres-no-mercado-de-trabalho-ainda-e-menor-que-dos-homens/
https://nacoesunidas.org/oit-participacao-das-mulheres-no-mercado-de-trabalho-ainda-e-menor-que-dos-homens/
https://nacoesunidas.org/oit-participacao-das-mulheres-no-mercado-de-trabalho-ainda-e-menor-que-dos-homens/
https://nacoesunidas.org/oit-participacao-das-mulheres-no-mercado-de-trabalho-ainda-e-menor-que-dos-homens/
http://www.unesco.org/new/pt/brasilia/natural-sciences/science-and-technology/women-and-girls-in-science/
http://www.unesco.org/new/pt/brasilia/natural-sciences/science-and-technology/women-and-girls-in-science/
http://www.unesco.org/new/pt/brasilia/natural-sciences/science-and-technology/women-and-girls-in-science/
http://www.unesco.org/new/pt/brasilia/natural-sciences/science-and-technology/women-and-girls-in-science/
http://www.unesco.org/new/pt/brasilia/natural-sciences/science-and-technology/women-and-girls-in-science/
http://www.unesco.org/new/pt/brasilia/natural-sciences/science-and-technology/women-and-girls-in-science/
http://www.unesco.org/new/pt/brasilia/natural-sciences/science-and-technology/women-and-girls-in-science/
68
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
68
6. Escolham uma das mulheres apresentadas e pesquisem sua biografia e os desafios enfrentados 
 por ela em seu campo de atuação. Façam também uma pesquisa sobre as conquistas ou os desafios 
 enfrentados pela população feminina na sociedade da época em que essa mulher viveu.
Etapa 3: Pesquisa e planejamento para a produção de um podcast.
7. Façam uma pesquisa que tenha como objetivo responder às seguintes questões:
a) O que são podcasts? 
b) Como os podcasts são produzidos e reproduzidos?
c) Indiquem uma vantagem de se consumir podcasts.
8. Organizem e elaborem um roteiro para a produção de um podcast sobre a personalidade feminina 
pesquisada. 
 O objetivo do podcast é divulgar a história dessas mulheres de destaque para a comunidade escolar, 
trazendo dados biográficos e desafios vividos, e informar uma conquista ou um desafio enfrentado 
pela população feminina na época em que essas mulheres viveram.
 Vejam as dicas a seguir.
• Estude bem o assunto, pois é importante que se tenha domínio sobre o que se vai falar. 
• Crie uma lista com o planejamento de todo o conteúdo que vai entrar no episódio com a divisão 
das tarefas para a produção.
• Use a criatividade. Mesmo que o podcast não seja visível, crie cenários com a voz, sempre 
priorizando o entendimento do público. 
• Elabore um roteiro visando à organização do conteúdo do que será apresentado. O roteiro pode 
conter: vinheta de início, apresentação dos locutores, rápida introdução do tema, abordagem do 
tema, preparação para o fechamento e encerramento.
• Guarde uma cópia da gravação original, evitando possíveis problemas com erros de edição do áudio. 
9. Com a turma, escolham um único nome para os podcasts, como se fizessem parte de um programa. 
Todos os podcasts devem iniciar com a mesma vinheta. 
Etapa 4: Análise dos roteiros e gravação do podcast.
10. Disponibilizem  o roteiro elaborado  para que os demais colegas  comentem sobre a clareza das 
informações e sobre os recursos sonoros que o grupo pretende utilizar.
11. Anotem as dúvidas, as opiniões e as sugestões dos colegas. 
12. Depois dos ajustes necessários, ensaiem algumas vezes antes do momento da gravação.
13. Gravem o podcast. Lembrem-se de escolher um local sem ruídos e cuidem para que os áudios sejam 
captados de forma clara.
14. Divulguem o produto para a comunidade escolar. Vocês podem organizar um momento para 
executar o áudio na própria escola, por exemplo, durante o intervalo.
Etapa 5: Síntese do trabalho realizado. 
15. Algumas questões que devem ser discutidas:
a) Vocês acham importante que as pessoas conheçam as histórias dessas mulheres? Por quê?
b) O que pode ser feito para que as mulheres conquistem mais espaço no mercado de trabalho?
16. Redijam um texto que descreva o processo realizado pelo grupo nas etapas 2 e 3.
Respostas pessoais.
• Para a atividade 4, da eta-
pa 2, se achar convenien-
te, promova um debate so-
bre a participação das mu-
lheres nas ciências. Pergun-
te aos alunos por que eles 
acham que essa participa-
ção é baixa e quais são as di-
ficuldades encontradas por 
elas. Sugira o filme Estre-
las além do tempo (Drama/
ficção histórica, 2 h 7 min, 
Fox Film, 2016) que relata 
a história de três cientistas 
afro-americanas que traba-
lharam na NASA e tiveram 
atuação de destaque du-
rante a corrida espacial na 
década de 1960. 
• Na atividade 6, faça um 
levantamento para verifi-
car qual personalidade foi 
escolhida por cada grupo. 
Se houver repetições, con-
verse com os grupos para so-
licitar que escolham outra 
personalidade para que a 
pesquisa apresente diversi-
dade. Caso seja necessário, 
proponha um sorteio.
• Na atividade 8, se não for 
possível gravar o podcast, 
os alunos podem preparar 
seminários para apresentar 
para a turma e para a comu-
nidade escolar.
• Verifique com os grupos 
que optaram por mulheres 
contemporâneas qual con-
quista ou desafio da popu-
lação feminina de modo 
geral foi escolhido por eles. 
Se houver repetição, sugira 
que selecionem outra infor-
mação da pesquisa feita na 
etapa 3 para compartilhar.
• Se achar oportuno, esta-
beleça uma parceria com o 
professor de Língua Portu-
guesa para auxiliar os alu-
nos na escolha do tipo de 
texto (reportagem, entrevis-
ta,narração etc.) e elabora-
ção desses textos.
• Para consolidar o estudo 
da unidade, releia e refaça 
coletivamente as atividades 
do “Revisitando” e as ques-
tões da abertura de unidade.
Veja proposta de avaliação 
de aprendizagem no Mate-
rial do Professor – Digital.
69
UNIDADE II
Nesta unidade você vai estudar
Capítulo 4 Ângulos e transfomações geométricas
Capítulo 5 Polígonos
Capítulo 6 Probabilidade
É hora de começar
1 Você já viu alguma obra de arte em que foi empregado o 
conceito de transformação geométrica?
2 Como você definiria um polígono regular?
3 Que situação do dia a dia você conhece em que a ideia de 
probabilidade está presente?
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
• Nesta unidade, os alu-
nos estudarão os conteú-
dos das unidades temáticas
Geometria (capítulos 4 e 5),
Números e Probabilidade e
estatística (capítulo 6). Em
Geometria, relembraremos
e aprofundaremos conceitos
envolvendo ângulos, retas
e polígonos, como media-
triz, bissetriz, construção de
um polígono regular, além
de aprofundar o conheci-
mento sobre as transfor-
mações geométricas (trans-
lação, reflexão e rotação).
No capítulo 6 trabalharemos
com problemas de contagem 
envolvendo a aplicação do
princípio multiplicativo da
contagem e de determina-
ção do espaço amostral para
o cálculo de probabilidade de
eventos.
• O objetivo das questões
propostas em “É hora de co-
meçar” é instigar a curiosida-
de dos alunos pelos assuntos
de transformações geométri-
cas, polígonos regulares e a
ideia de probabilidade – as-
suntos que serão estudados
nos capítulos que integram
esta unidade. As questões
não precisam ser respondi-
das neste momento, mas su-
gerimos retomá-las no final
do estudo da unidade para
que os alunos reflitam sobre
o que aprenderam.
Veja plano de desenvolvi-
mento e projeto integrador 
no Material do Professor – 
Digital.
70
CAPÍTULO
Ângulos e transformações 
geométricas 4
IL
U
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
S
 M
O
R
A
IS
70
É hora de observar e refletir
Você já brincou de caça ao tesouro? Utilizando as pistas a 
partir de cada marco, procure o baú do tesouro.
 � A distância do marco 1 ao baú é a mesma distância desse 
marco à árvore de copa azul. 
 � A distância do marco 2 ao baú é a mesma distância do 
marco 4 ao baú. 
 � A distância entre a trilha que passa somente pelo 
marco 3 e o baú é igual à distância desse marco à árvore 
de copa amarela.
 � A distância do baú à trilha do marco 2 é a mesma distân-
cia do baú à trilha que passa pelos marcos 3 e 4.
É possível delimitar as regiões onde o baú está localizado a 
partir dessas pistas?
Com uma única pista é possível encontrar o baú?
1
2 4
3
1 3
4
2
sim
Não; são necessárias pelo menos duas pistas.
Com uma única pista é possível encontrar o baú?
Não; são necessárias pelo menos duas pistas.
Com uma única pista é possível encontrar o baú?
1
Objetivos
• Retomar o conceito e a 
classificação de ângulos, bem 
como identificar ângulos con-
gruentes.
• Reconhecer e construir a 
bissetriz de um ângulo.
• Reconhecer e construir a 
mediatriz de um segmento.
• Construir ângulos de 90°, 
60°, 45° e 30° utilizando ré-
gua e compasso.
• Compreender a circunfe-
rência, a mediatriz, a bisse-
triz e a reta paralela como 
lugar geométrico, resolven-
do problemas aplicando 
esses conceitos.
• Reconhecer transformações 
geométricas e realizá-las com 
régua, compasso, transferidor 
e malha quadriculada.
Habilidades da BNCC
• Este capítulo foi planejado 
para favorecer o desenvolvi-
mento das seguintes habili-
dades da BNCC: EF08MA15, 
EF08MA17 e EF08MA18. 
• O desenvolvimento da ha-
bilidade EF08MA15 será com-
plementado no capítulo  5 
(“Polígonos”), com a constru-
ção de polígonos regulares.
É hora de observar e refletir
• Aproveite a abertura para 
retomar com os alunos alguns 
conceitos como reta e ângulo, 
traba lhados no 7o ano. Faça 
uma sondagem para verificar 
os conhecimentos prévios a 
res peito dos conteúdos que 
se rão trabalhados no capí-
tulo.
EF08MA15: Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 
90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares.
EF08MA17: Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.
EF08MA18: Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rota-
ção), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.
71
Trocando ideias
C
LA
Y
TO
N
 C
A
S
S
IA
N
O
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
71
 Observem a situação abaixo. 
 Márcia, Paulo, Estela e Jorge, alunos do 8o ano, estão rea-
lizando algumas medições no parquinho em que crianças 
do 3o ano estão brincando. A atividade faz parte de um tra-
balho de Geometria.
 ▸ Márcia está observando as cordas de um balanço. Essas cordas lembram que cons-
trução geométrica?
 ▸ O contorno da vista de cima do brinquedo em que está Paulo lembra qual construção 
geométrica?
 ▸ Que características Jorge pode ter observado para chegar a essa conclusão?
Neste capítulo, vamos retomar, estudar ou nos aprofundar em assuntos como ângulos, 
figuras geométricas e transformações geométricas. 
A distância entre 
as duas cordas é a 
mesma, de cima até 
embaixo.
A distância do centro à 
borda do brinquedo é a 
mesma em toda a volta.
Eu observei que 
o suporte central 
deste brinquedo 
lembra a bissetriz de 
um ângulo.
Paulo
Márcia
Estela
Jorge
duas retas paralelas
uma circunferência
Resposta 
pessoal.
Trocando ideias
• Esta seção foi criada para 
incentivar uma conversa en-
tre os alunos sobre assuntos 
do capítulo, mobilizando 
seus conhecimentos. Suge-
rimos explorá-la oralmente; 
mas, se julgar necessário, so-
licite por escrito no caderno. 
A seção busca favorecer o 
desenvolvimento das com-
petências específicas 2 e 4.
• Incentive os alunos a buscar 
suas próprias estratégias para 
responder às questões.
Competência específica 2: Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos 
convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.
Competência específica 4: Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e 
culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica 
e eticamente, produzindo argumentos convincentes.
72
A
B
O
lado
lado
vértice
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
72
As semirretas OA OBe determinam dois ângulos que podem ser indicados por AOBW .
 Classificação de ângulos
De acordo com sua medida, um ângulo pode ser classificado em:
Duas semirretas de mesma origem determinam no plano duas regiões, que, na figura abaixo, 
estão destacadas com cores diferentes.
Ângulos1
Denomina-se ângulo a região do plano limi-
tada pela união de duas semirretas que têm 
a mesma origem. 
• Ângulo nulo 
O
A B
med(AOBW ) 5 0°
• Ângulo de uma volta
O
A B
med(AOBW ) 5 360°
• Ângulo reto
O B
A
med(AOBW ) 5 90°
• Ângulo raso ou de meia-volta
O BA
180º
med(AOBW ) 5 180°
• Ângulo agudo
O B
A
30°
0° , med(AOBW ) , 90°
• Ângulo obtuso
90° , med(AOBW ) , 180°
O
140°
B
A
 L
U
IZ
 R
U
B
IO
 
 L
U
IZ
 R
U
B
IO
 
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
• Explique para a turma a no-
tação 0° , med(AOBW ) , 90°, 
que transmite a ideia de um 
intervalo, em que a medida 
de AOBW está entre 0° e 90°, 
excluindo esses extremos do 
intervalo. A mesma ideia vale 
para a notação referente ao 
ângulo obtuso.
73
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
73
Lendo e aprendendo
Enquadramentos: planos e ângulos em uma filmagem Enquadramentos: planos e ângulos em uma filmagem 
Na linguagem cinematográfica, enquadrar significa escolher o que será mostrado Na linguagem cinematográfica, enquadrar significa escolher o que será mostrado 
em  cada cena de um filme. Fazer uma boa escolha no enquadramento é o primeiro pasem  cada cena de um filme. Fazer uma boa escolha no enquadramento é o primeiro pas-
so para um produto de qualidade. O enquadramento é determinado pela combinação de so para um produto de qualidade. O enquadramento é determinado pela combinação de 
três elementos.
• O plano é o principal elemento do enquadramento e é determinado pela distância entre é o principal elemento do enquadramento e é determinado pela distância entre 
a câmera e o objeto que está sendo filmado. No planejamento de um filme, por exemplo, a câmera e o objeto que está sendo filmado. No planejamento de um filme, por exemplo, 
pode haver um detalhamento na classificação dos planos; porém, inicialmente foram pode haver um detalhamento na classificação dos planos; porém, inicialmente foram 
criados três tipos: aberto, médio e fechado.
• A altura do ângulo é, basicamente, dividida em três posições fundamentais: ângulo é, basicamente, dividida em três posições fundamentais: ângulo 
normal, câmera alta e câmera baixa.
• O lado do ângulo é dividido em quatro posições fundamentais: frontal (linha reta com é dividido em quatro posições fundamentais: frontal (linha reta com o 
nariz), 4
3 (45° com o nariz), perfil (90° com o nariz) e de nuca (linha reta com a nuca de (45° com o nariz), perfil (90° com o nariz) e de nuca (linha reta com a nuca de 
uma pessoa).
Observação: se em vez de uma pessoa tivermos objetos nas cenas, por exemplo, serão Observação: se em vez de uma pessoa tivermos objetos nas cenas, por exemplo, serão Observação: se em vez de uma pessoa tivermos objetos nas cenas, por exemplo, serão 
feitas adaptações a fim de encontrar as posições correspondentes.
Quadro em plano aberto. Quadro em plano médio. Quadro em plano fechado.
Ângulos congruentes
Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida.
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
V
D
C
30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°
O
B
A 30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°30°
med(C DC DVC DW ) 5 30°med(AOBW ) 5 30°
AOB C DB C&B CVDVDW W
FO
TO
S
: F
E
R
N
A
N
D
O
 F
A
V
O
R
E
TT
O
Lemos: "o ângulo 
AOBW é congruente 
ao ângulo CVDW ."
Sugestão de atividade extra
• Proponha aos alunos que, 
de posse de uma câmera fo-
tográfica ou de vídeo, façam 
alguns experimentos apli - 
cando os conhecimentos ad-
quiridos a partir da leitura da 
seção “Lendo e aprendendo”. 
Peça a eles que façam testes 
com planos, altura do ângu-
lo e, principalmente, com 
lado do ângulo. Eles podem 
utilizar um objeto da escola 
como alvo das experimenta-
ções. Uma opção para a rea-
lização dessa atividade, caso 
os alunos não disponham de 
equipamentos eletrônicos, é 
providenciar revistas e jor-
nais para que façam recor-
tes com os enquadramentos 
que encontrarem. Peça que 
documentem o trabalho no 
caderno, explicando e justi-
ficando as imagens e expli-
citando o plano, a altura e o 
lado do ângulo. O objetivo da 
atividade é habituá-los à to-
mada de uma referência e à 
compreensão do conceito de 
ângulo utilizado no trabalho.
74
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
74
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
1 Classifique os ângulos abaixo em nulo, ra-
so, volta inteira, reto, agudo ou obtuso.
2 Classifique cada ângulo destacado nas fi-
guras abaixo em agudo, reto ou obtuso.
3 Determine o valor de a, sabendo que AOBV
e MNPX são congruentes. a 5 36°
B
A D
Cb) 
retos: A BW e A BW
agudo: DW
obtuso: CW
A
B C
D
a) 
agudos: C AW e C AW
obtusos: B DW e B D e B DB DW
O
1 30°22222222222222222222222222a
3333333333333333333333333333333333333333333333
B
A
N
1 27°3a
44444444444444444444444444444444444
P
M
a) 
b)
c)
e)
f)
d) 
O D
C
O
C
B
A
Bissetriz de um ângulo
Na figura ao lado, a semirreta OC , interna ao 
ângulo AOBW , divide AOBW em dois ângulos con-
gruentes. Assim, a semirreta OC é a bissetriz
do ângulo AOBW .
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
O
P
D
L OA
A B C
L E
O
Bissetriz de um ângulo é a semirreta interna a esse ângulo com origem no vértice 
do ângulo que o divide em dois ângulos congruentes.
AOC COBC C&C CW W
O
B
A
agudo
nulo
reto
raso
obtuso
volta inteira
• Na atividade 3, comen-
te que, se dois ângulos são 
congruentes, a medida des-
ses ângulos é a mesma. Os 
alunos devem chegar à se-
guinte sentença:
3
2 30 4
3 27a a
1 5 1c c
12 3
2 30 12 4
3 27a a
3 1 5 3 1c cd dn n
8a 1 12 3 30° 5 9a 1 12 3 27°
a 5 36°
Portanto, a 5 36°. 
75
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
75
C A
O
D
B
C A
O
ED
B
2o) Centramos o compasso em C e 
em D e traçamos arcos que se 
cruzam, na região interna do 
ângulo, obtendo um ponto E.
Construção geométrica da bissetriz de um ângulo
Para determinar a bissetriz do ângulo AOBW , podemos realizar os seguintes passos:
1o) Dado um ângulo AOBW , cen tramos 
o compasso em O e, com uma 
abertura qualquer, determinamos 
os pontos C e D sobre as 
semirretas OA OBe , 
respectivamente.
O
E
C
D
A
B
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
 Mediatriz de um segmento
Na figura abaixo, a reta m é perpendicular ao segmento de reta AB e passa pelo ponto M, 
ponto médio de AB . O ponto médio de um segmento de reta é aquele que o divide em dois seg-
mentos congruentes. Assim, m é mediatriz do segmento de reta AB .
Observação
Podemos indicar a medida de um segmento AB por med( )d AB ou, simplesmente, por AB.
A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
A M
m
B
Mediatriz é a reta perpendicular a um segmento de reta que passa pelo ponto médio 
desse segmento.
3o) Traçamos OE determinando, 
assim, a bissetriz de AOBW .
• As justificativas para as 
construções geométricas 
não serão trabalhadas nesse 
momento. Entretanto, os pas-
sos da construção podem ser 
compreendidos pelos alunos, 
bem como as propriedades 
que são consequências dessas 
construções. As justificativas 
de cada um dos passos serão 
trabalhadas no Ensino Médio.
A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
• Ao citar o ponto médio, se 
julgar conveniente, construa 
o segmento a seguir no qua-
dro de giz, destacando a pro-
priedade do ponto médio, 
que é dividir um segmento 
de reta em duas partes con-
gruentes entre si.
A M B
76
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
76
Construção geométrica da mediatriz de um segmento de retaConstrução geométrica da mediatriz de um segmento de reta
Para determinar a mediatriz do segmento de reta AB, podemos realizar os seguintes passos:
A BA B
A B
C
D
M
1o) Dado um segmento de reta AB , 
centramos o compasso em A e, 
com uma abertura maior que a 
metade do segmento, traçamos 
um arco de circunferência.
3o) Traçamos CD determinando, 
assim, a mediatriz de AB . 
Observe que M, intersecção de M, intersecção de M
AB com CD , é o ponto médio 
do segmento.
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
1 Na ilustração, OB é a bissetriz de AOCV , e 
OD é a bissetriz de COEV .
O A
B
DE C
a) Qual é a medida de AOBV se 
med(BOCVQual é a medida de VQual é a medida de 
) 5 35°?b) Qual é a medida de CODV se 
med(DOEVQual é a medida de VQual é a medida de 
) 5 25°?
c) Qual é a medida de DOAV ?
2 Na figura abaixo, OC é a bissetriz de AOBV
e med(AOCV ) 5 25°. Determine as medi-
das de AOB BV V e de B BOCV V .
O B
C
A
2o) Centramos o compasso em B 
e, com a mesma abertura, 
traçamos um outro arco que 
cruze o primeiro. Com isso, 
obtemos os pontos C e D.
95°
25°
35°
med( BAOW ) 5 50°; 
med( OB CW ) C) C 5 25°
40°
70°
3 Construa, com o auxílio de um transferi-
dor, um ângulo de 80°. Em seguida, uti-
lizando régua e compasso, determine a 
bissetriz desse ângulo. Escreva no cader-
no a medida de cada ângulo obtido.
4 No caderno, utilizando régua e compasso:
a) construa um ângulo qualquer;
b) divida o ângulo em quatro ângulos 
congruentes.
5 Na figura abaixo, OB é bissetriz de ,AOC O,C O, DV
é bissetriz de COEV , med(AOCV ) 5 80° e 
med(COEV ) 5 60°. Determine med(BODV ).
A
B
CD
E
O
Sugestão de atividade extra 
• Proponha a seguinte situ-
ação para os alunos: “Dado 
um segmento AB , siga os 
passos para a construção 
da mediatriz desse segmen-
to. Entretanto, utilize como 
abertura do compasso a me-
dida do segmento AB”.
• Ao encontrarem as inter-
secções C e D, peça para li-
garem as extremidades do 
segmento a essas intersec-
ções, formando dois triân-
gulos. Pergunte aos alunos 
o que eles podem dizer 
em relação aos lados desses 
triângulos e o segmento AB . 
Os alunos devem perceber 
que os triângulos são equi-
láteros e as medidas de seus 
lados são iguais a AB.
• Nessa atividade, os alunos 
poderão constatar que a 
construção da mediatriz de 
um segmento de reta pode 
ser utilizada para desenhar 
um triângulo equilátero. 
• Na atividade 4, sugira 
aos alunos que construam, 
no item a, um ângulo sufi-
cientemente grande para 
que sua divisão não seja 
tão difícil de fazer. Para o 
item b, eles podem utilizar 
a construção da bissetriz 
três vezes: a primeira divide 
o ângulo em duas partes, e as 
duas próximas devem dividir 
essas duas partes ao meio, 
resultando em 4 ângulos de 
mesma medida.
77
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
77
 Construção de ângulos com régua e compasso
A seguir, vamos ver como podemos construir alguns ângulos com o auxílio de régua e com-
passo. Esses ângulos podem ser utilizados, por exemplo, na construção de figuras planas ou em 
transformações geométricas.
Ângulo de 60°
Observe o passo a passo para a construção de um ângulo cuja medida é de 60°.
6 Na figura abaixo, M é o ponto médio de 
AB, e N é o ponto médio de BC .
Se med(AB ) 5 10 cm e med(BC) 5 8 cm, 
determine med(MN ).
A M B N C
10 cm 8 cm
7 Na figura abaixo, R, S e T são os pon-
tos médios dos segmentos ,AB BC CDe , 
respectivamente.
A R
4 cm 2 cm
B S C T D
6 cm
Determine:
a) a medida do segmento RS ;
b) a medida do segmento ST ;
c) a medida do segmento SD;
d) a medida do segmento RD.
9 cm
10 cm
7 cm
4 cm
3 cm
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
LU
IZ
 R
U
B
IO
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
LU
IZ
 R
U
B
IO
O B AO B A
2o) Centramos o compasso em B e, 
com a mesma abertura, traçamos 
um arco cruzando o arco anterior, 
determinando o ponto C.
1o) Traçamos uma semirreta OA. Centramos 
o compasso em O e, com uma 
abertura qualquer, traçamos um arco, 
determinando em OA o ponto B.
8 Copie o segmento de reta 
____
 AB no caderno 
e, com o auxílio de um compasso, determi-
ne sua mediatriz.
A
B
9 Copie o :ABC no caderno e, com o auxí-
lio de um compasso, trace as mediatrizes 
dos segmentos 
____
 AB , 
___
 BC e 
____
 AC .
A
B C
O
60°
B A
C
3o) Traçamos OC 
determinando, 
assim, o 
ângulo BOCW 
medindo 60°.
Um ângulo cuja medida é de 30° pode ser construído traçando-se a bissetriz de um ângulo de 60°.
Lembre-se:
Não escreva no livro!
• Na atividade 8, caso seja ne-
cessário, retome a construção 
da mediatriz apresentada na 
página anterior, explicando 
o passo a passo.
• Na atividade 9, os alunos 
trabalham com a construção 
do circuncentro do triângulo. 
Ao construírem o ponto que é 
a intersecção das três media-
trizes, oriente-os a colocar a 
ponta-seca do compasso nes-
se ponto e a abrir o compasso 
até algum vértice do triângu-
lo e que, assim, tracem uma 
circunferência. Depois, per-
gunte o que percebem com a 
construção. Incentive a turma 
a raciocinar sobre a proprie-
dade da mediatriz. Comente 
que o ponto de intersecção 
pertence às três mediatrizes. 
Os alunos devem associar essa 
propriedade à construção da 
circunferência, observando 
que todas as distâncias do 
ponto de intersecção das 
mediatrizes aos vértices do 
triângulo são iguais entre si e 
numericamente iguais à me-
dida do raio da circunferência 
que circunscreve o triângulo.
• Após explorar a constru-
ção do ângulo de 60°, peça 
aos alunos que proponham 
uma maneira de construir 
um ângulo de 120°. Eles po-
dem obter esse ângulo cons-
truindo dois ângulos de 60° 
consecutivos. Caso tenham 
dificuldades, oriente-os a 
obter o ângulo de 60° e, 
em seguida, utilizar o lado 
construído (OC da imagem) 
como se fosse a base utiliza-
da no início da construção 
(OA da imagem).
78
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
78
BA
2o) Centramos o compasso em C e, com uma abertura 
maior que CA, traçamos um arco.
1o) Traçamos a reta AB . Centramos o compasso em A 
e, com uma abertura qualquer, traçamos um arco 
cruzando a reta AB em dois pontos, determinando 
os pontos C e D.
Ângulo de 90º
Observe, a seguir, o passo a passo para a construção de um ângulo cuja medida é de 90°.
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
Observação
Na construção do ângulo de 90°, determinamos dois pontos 
(C e D) que equidistam do vértice do ângulo (A) e, com isso, 
repetimos os mesmos passos da construção da mediatriz.
Equidistante
Apresenta a mesma distância en-
tre dois ou mais objetos (pontos, 
por exemplo).
Um ângulo cuja medida é de 45° pode ser construído traçando-se a bissetriz de um ângulo reto.
BAC D
E
BAC D
4o) Traçamos AE determinando, assim, o ângulo BAEW , 
que mede 90º.
3o) Centramos o compasso em D e, com a mesma 
abertura do passo anterior, traçamos um arco, 
cruzando o arco anterior e determinando o ponto E.
BAC D
Comente com os alunos que, para construir um ângulo reto a partir de um de seus lados, basta 
prolongar a semirreta, tornando-a uma reta, e proceder como no passo a passo descrito.
• Depois que os alunos cons-
truírem o ângulo de 90°, peça 
que construam um quadrado. 
Em seguida, eles devem de-
terminar a bissetriz de algum 
dos ângulos retos do quadra-
do. Pergunte o que podem 
observar em relação a essa 
bissetriz. Espera-se que eles 
percebam que se trata da dia-
gonal do quadrado.
• Se julgar adequado, peça 
para os alunos construírem 
os ângulos de 75° e 105°, que 
podem ser obtidos a partir 
dos algoritmos vistos ante-
riormente para a construção 
de ângulos e da bissetriz.
79
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
79
Retas paralelas
Já vimos no 7o ano a construção de retas paralelas com o uso de esquadros. Agora, vamos ver 
como construir retas paralelas usando régua e compasso.
sBOA sBOA
M N
s
tNM
O
1o) Traçamos a reta s e marcamos um ponto s e marcamos um ponto s O
qualquer em s. Centramos o compasso em 
O e traçamos um arco que intercepta O e traçamos um arco que intercepta O s em s em s A
e em B.
2o) Com centros em A e em B e um mesmo raio (mesma B e um mesmo raio (mesma B
altura), menor que AB, traçamos arcos que interceptam o AB, traçamos arcos que interceptam o AB
arco do passo anterior e determinamos os pontos M e M e M N.
3o) Traçamos t /s passandopor s passando por s M e por M e por M N.
Um pouco de história
As construções geométricas na Grécia antiga 
Os gregos desenvolveram a geometria da régua (sem escala) e compasso a partir do século V a.C. 
e até hoje ela tem uma grande importância na compreensão da Matemática elementar.
A geometria da régua e do compasso é uma sequência de passos finita que varia entre as 
seguintes operações:
• traçar uma reta, desde que sejam conhe-
cidos pelo menos dois pontos;
• desenhar uma circunferência, desde que 
sejam conhecidos o centro e o raio;
• marcar intersecções.
Na Antiguidade, as construções com ré-
gua e compasso eram consideradas uma 
fascinante e envolvente atividade lúdica. 
E
N
Á
G
IO
 C
O
E
LH
O
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
desenhar uma circunferência, desde que 
Um pouco de história
• Esta seção contribui para 
o desenvolvimento da com-
petência específica 1, que se 
refere ao reconhecimento 
da Matemática como uma 
ciência humana.
• Se julgar oportuno, pro-
ponha aos alunos que pes-
quisem sobre a invenção da 
régua e também do com-
passo. É importante que 
eles percebam que gran-
de parte das invenções são 
resultados do esforço em-
pregado na resolução de 
problemas.
Competência específica 1: Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de di-
ferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e 
tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.
80
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
80
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
Lugares geométricos2
A ilustração que abre este capítulo representa uma ilha que contém um baú do tesouro ca-
muflado entre os elementos da cena. A proposta consiste em localizar o baú utilizando as pistas 
fornecidas. A cada pista vamos delimitar uma região. Para saber a localização exata do baú, será 
necessário decifrar três pistas.
Cada pista sugere uma propriedade das seguintes construções: circunferência, mediatriz, 
retas paralelas e bissetriz. A essas pistas damos o nome de lugar geométrico.
Lugar geométrico é a figura formada por todos os pontos do plano que têm em comum 
uma determinada propriedade. 
 Circunferência
Observe abaixo o recorte da ilustração da abertura do capítulo.
1 No caderno, trace a semirreta AC e construa o ângulo BACW de medida 15°.
2 No caderno, construa um ângulo reto utilizando o passo a passo da construção do ângulo 
de 60° e da bissetriz.
3 Dos ângulos de 30°, 45°, 100°, 125° e 150°, quais podem ser construídos com régua e usando 
as construções que aprendemos até aqui? Construa, no caderno, aqueles que forem possíveis.
4 Desenhe, em seu caderno, uma reta r e um ponto P externo a essa reta e construa, com régua 
e compasso, uma reta s, paralela à r, passando pelo ponto P.
A pista que será utilizada traz a seguinte informação:
“A distância do marco 1 ao baú é a mesma distância desse marco à árvore de copa azul".
G
U
S
 M
O
R
A
IS
marco 1
30°, 45° e 150°
• Nas atividades 1 e 2, para 
a construção do ângulo de 
15° e do ângulo de 90°, os 
alunos deverão utilizar as 
construções aprendidas até 
o momento e aplicar a cons-
trução da bissetriz. Na ativi-
dade 1, por exemplo, podem 
construir um ângulo de 60° e 
sua bissetriz duas vezes, ob-
tendo 30° e, depois, 15°. Para 
obter 90° na atividade 2, 
eles podem construir dois 
ângulos de 60° consecutivos 
e determinar a bissetriz de 
um deles.
• Na atividade 3, há mais de 
uma maneira de construir os 
ângulos apresentados. Por 
exemplo, no ângulo de 150°, 
o aluno pode construir um 
ângulo de 90° e, a partir da 
perpendicular, construir um 
ângulo de 60° (90° 1 60° 5 
5 150°). Outra forma de cons-
truir esse ângulo é, a partir 
de um ângulo raso, construir 
um ângulo de 30° no sentido 
horário (180° 2 30° 5 150°).
• Para a atividade 4, caso os 
alunos tenham dificuldade, 
comente que o ponto P deve 
ser considerado como um dos 
pontos obtidos no segundo 
passo da construção de uma 
reta paralela (M ou N), da 
página anterior. 
• O estudo sobre lugares geo-
métricos, nesse momento, 
será feito de forma intuitiva, 
a partir da definição de cada 
um deles dentro do contex-
to da abertura do capítulo. 
Assim, não vamos utilizar a 
linguagem matemática for-
mal para comparar conjuntos 
de pontos do plano. Conse-
quentemente, as demons-
trações das propriedades de 
cada um dos lugares geomé-
tricos apresentados ficarão 
para estudos posteriores.
• Neste tópico trabalharemos 
os conceitos necessários para 
promover e contribuir com o 
desenvolvimento da habili-
dade EF08MA17 da BNCC.
EF08MA17: Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.
81
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
81
Mediatriz
Observe outro recorte feito a partir da ilustração da abertura. 
I L
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
S
 M
O
R
A
IS
Como sabemos a distância do marco 1 à árvore, é possível delimitar uma linha em que seja 
possível encontrar o baú. Sabemos que na circunferência encontram-se todos os pontos do pla-
no que mantêm a mesma distância a partir do seu centro. Isso significa que o baú do tesouro 
está em algum lugar da circunferência.
A pista que vamos utilizar traz a seguinte informação:
“A distância do marco 2 ao baú é a mesma distância do marco 4 ao baú".
A circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de um 
ponto fixo.
marco 1
marco 4
marco 2
• Ao apresentar a definição 
de circunferência como lu-
gar geométrico, construa no 
quadro de giz uma circun-
ferência utilizando um giz 
preso a um barbante. Segu-
re uma ponta do barbante 
no centro da circunferência 
e com a outra ponta, com 
o giz preso, risque a circun-
ferência. Com o barbante 
preso, mostre que qualquer 
ponto da circunferência 
está à mesma distância de 
seu centro (o ponto fixo), e 
essa distância é determinada 
pela medida do raio da cir-
cunferência (do comprimen-
to do barbante).
Orientações para o 
professor acompanham o 
Material Digital Audiovisual
Material Digital Audiovisual
• Áudio: Círculos nas plantações
82
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
82
Não sabemos a posição do baú, mas conhecemos a localização do marco 4, então, a partir do 
ponto médio do segmento que une os marcos 2 e 4, as distâncias d são iguais. d são iguais. d
A mediatriz é a reta perpendicular que passa pelo ponto médio e é possível demostrar que, 
dado um ponto qualquer da mediatriz, a distância entre esse ponto e uma das extremidades do 
segmento (neste caso, por exemplo, ponto que localiza o marco 2) é igual à distância entre esse 
mesmo ponto e a outra extremidade do segmento (ponto que localiza o marco 4).
A informação que vamos utilizar diz: 
“A distância da trilha que passa somente pelo marco 3 ao baú é igual à distância desse 
marco à árvore de copa amarela".
Assim, o tesouro está em algum lugar da mediatriz, o que reduz as possibilidades de loca- 
lização do baú para os pontos de intersecção entre a mediatriz e a circunferência.
Retas paralelas
Observe agora outro recorte da ilustração da abertura. 
Mediatriz é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de dois 
pontos fixos dados (extremidades de um segmento de reta).
I L
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
S
 M
O
R
A
IS
marco 4
marco 3
marco 2
d d
• Se julgar adequado, ao ex-
plicar a mediatriz como lugar 
geométrico, relembre os pas-
sos da construção da media-
triz por meio de circunferên-
cias. Faça, no quadro de giz, 
a construção da mediatriz e 
coloque mais de um par de 
circunferências concêntricas,mostrando que as intersec-
ções estão sobre a mediatriz 
de seus centros. 
83
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
83
Como conhecemos a distância h entre o marco 3 e a árvore de copa amarela e o baú está à 
mesma distância da trilha, que contém apenas esse marco, podemos concluir que o baú está em 
uma linha paralela a essa trilha, passando pela árvore de copa amarela. 
I L
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
S
 M
O
R
A
IS
Observação
A distância entre um ponto A distância entre um ponto OO e uma reta O e uma reta O r é dada r é dada r
pela medida do segmento de reta perpendicular pela medida do segmento de reta perpendicular 
a r, com uma extremidade no ponto r, com uma extremidade no ponto r O e a outra O e a outra O
extremidade no ponto O', na intersecção do seg-
mento com a reta r.
A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
O’
r
O
Distância entre O e O e O r é igual a r é igual a r OO' .OO' .OO'
A última pista traz a seguinte informação: 
“A distância do baú à trilha do marco 2 é a mesma distância do baú à trilha que passa pelos 
marcos 3 e 4".
Bissetriz
Observe este último recorte da ilustração da abertura. 
A reta paralelaA reta paralelaA é o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de uma reta dada. 
marco 3
h
marco 1
marco 2
marco 4
marco 3
Com essa pista, podemos garantir a localização exata do baú. 
• Pode não ser trivial para 
os alunos compreenderem a 
bissetriz de um ângulo como 
uma semirreta com pontos 
que equidistam dos lados 
desse ângulo. Caso tenham 
dificuldade, faça a constru-
ção da bissetriz de um ângu-
lo no quadro de giz.
84
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
84
Poderíamos ter utilizado essa pista antes de outras. Verifica-se que as semirretas (trilhas) 
que saem do marco 4 e passam pelos marcos 2 e 3 formam um ângulo e que um ponto qualquer 
da bissetriz desse ângulo tem a mesma distância a cada lado do ângulo. Essa informação confir-
ma a localização do baú. 
ATIVIDADES
1 O lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de dois pontos fixos é denominado
a) semirreta. b) ponto médio. c) mediatriz. d) bissetriz.
2 A afirmação abaixo é verdadeira? Justifique.
A distância entre a rua das Américas e a dos Eucaliptos é a mesma em qualquer ponto, pois 
elas são paralelas.
Rua
 do
s E
uc
ali
pto
s
Rua
 da
s A
mér
ica
s
Rua
 d
as
 F
lor
es
Rua Himalaia
Rua das Rosas
Rua Maurício Borges
Rua Tibério
S
E
LM
A
 C
A
PA
R
R
O
Z
A bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam dos 
lados desse ângulo.
Faça as atividades no caderno.
G
U
S
 M
O
R
A
IS
marco 1
marco 2
marco 4
marco 3
Imagem ilustrativa sem escala.
d
d
d
d
alternativa c
Espera-se 
que os alunos 
respondam 
que sim, pois 
as ruas são 
paralelas, 
e retas 
paralelas 
são o lugar 
geométrico 
do plano 
que mantém 
a mesma 
distância de 
uma reta.
Sugestão de atividade extra
• Após a realização da ativi-
dade 2, convide os alunos a 
buscar, em mapas da região 
onde moram ou em alguma 
grande cidade brasileira, ou-
tros exemplos de ruas apa-
rentemente paralelas e de 
ruas que parecem formar 
ângulos de 30°, 45°, 60° e 90°. 
• Os alunos podem realizar 
uma brincadeira de caça ao 
tesouro utilizando esses ma-
pas da mesma forma que foi 
feito na abertura do capítulo. 
Peça que se reúnam em gru-
pos de quatro alunos e ela-
borem um mapa do tesouro 
com base no mapa e nas ruas 
escolhidas. O tesouro deve 
estar numa posição que seja 
possível de identificar por 
meio de pistas com descri-
ções geométricas. Oriente os 
grupos a trocar as atividades, 
entregando apenas o mapa e 
as descrições. Dê algum tem-
po para que tentem localizar 
o tesouro, anotem numa fo-
lha e destroquem os mapas, 
as folhas com a resposta e as 
instruções de localização do 
tesouro. Cada grupo deve 
avaliar se os colegas seguiram 
corretamente as instruções e 
se conseguiram localizar o 
tesouro a partir das pistas. 
Se algum grupo não conse-
guir encontrar o tesouro, 
analise a resolução e o pró-
prio enunciado, esclarecen do 
eventuais dúvidas.
85
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
85
3 Na figura abaixo, as mesas de madeira no centro são denominadas tribunas. Qual delas o pa-
lestrante deve ocupar na sala para que este esteja à mesma distância de cada poltrona de uma 
mesma fileira da plateia?
4 Mariana tentou construir a bissetriz do ângulo AOBV conforme os passos abaixo e percebeu, na B conforme os passos abaixo e percebeu, na B
última etapa, que a construção tinha um erro. Em qual quadro ocorreu o erro? Como Mariana 
deve corrigir?
tribuna 2
mesma fileira da plateia?
tribuna 2
mesma fileira da plateia?
Você já deve ter estudado as isometrias, que são transformações geométricas que preser-
vam a forma e o tamanho de uma figura, como a translação, rotação e reflexão, que podemos 
encontrar na ilustração a seguir.
Transformações geométricas3
A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
C
LÁ
U
D
IO
 C
H
Y
IO
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: C
LÁ
U
D
IO
 C
H
Y
IO
S
E
LM
A
 C
A
PA
R
R
O
Z
Lembre-se:
Não escreva no livro!
O erro aconteceu no 
quadro 2. Para traçar os 
arcos que determinam o 
ponto C, a abertura do 
compasso deve ser a 
mesma.
• Na atividade 3, verifique 
se os alunos percebem que a 
segunda tribuna é o centro 
de 3 fileiras que estão distri-
buídas conforme 3 circunfe-
rências concêntricas. Assim, 
devem aplicar o conceito de 
circunferência como lugar 
geométrico para resolver esse 
problema.
• Neste tópico, retomamos as 
ideias de isometrias que fo-
ram trabalhadas no 7o ano. 
Ademais, aprofundamos algu-
mas ideias e realizamos cons-
truções com as transforma-
ções usando régua, compasso 
e transferidor, favorecendo o 
desenvolvimento da habilida-
de EF08MA18 da BNCC.
EF08MA18: Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rota-
ção), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.
86
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
86
 Translação
A translação é o deslocamento de uma figura dado por um vetor.
Um vetor ( ) pode ser representado por um segmento orientado que indica a direção, 
o sentido e o deslocamento.
Observe a seguir algumas translações de polígonos na malha quadriculada. 
A
C
B
A
C
B
A’
C’
B’
O vetor (em azul) indica a direção, o sentido e a distância do deslocamento. Note que cada ponto 
do triângulo translada de acordo com o vetor. Assim, o triângulo A’B’C’ é a translação do triângulo ABC.
Veja abaixo, mais um exemplo de translação.
F
G
I
H
F
G
I
H
F’
G’
I’
H’
vetor
Faça a atividade no caderno.ATIVIDADE
1 Em uma malha quadriculada, copie as figuras abaixo e as translade de acordo com o vetor.
a) b) 
G I
H
A F
E D
B C
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
G I
H’
I’G’
H
A F E’ D’
E D
F’A’
B’ C’
B C
• Para a realização das ativi-
dades propostas, reproduza 
a malha quadriculada dispo-
nível neste Manual e a distri-
bua para os alunos.
• Na atividade 1, os alunos 
podem estranhar o fato de 
a figura se sobrepor na res-
posta do item b. Explique 
que o deslocamento promo-
vido pela translação não foi 
suficiente para que as figuras 
não se sobrepusessem e que 
a construção está correta.
87
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
87
 Rotação
A rotação é o giro de uma figura em torno de um centro de rotação, em determinado sentido 
(horário ou anti-horário), segundo um ângulo de rotação.
A figura abaixo foirotacionada 60° no sentido horário. Sucessivas rotações de 60° nesse 
sentido produzem a figura em vermelho a seguir.
centro de rotação sucessivas rotações
rotação de 60°
no sentido horário
Na figura acima, o centro de rotação é um vértice do polígono, mas podemos escolher o centro 
de rotação em qualquer posição, inclusive externo ou interno à figura a ser rotacionada.
Construção de uma rotação com transferidor e compasso
Podemos rotacionar uma figura utilizando um transferidor e um compasso.
Dada uma figura, o centro, o ângulo e o sentido da rotação, acompanhe os passos a seguir 
para obter a rotação da figura.
 centro de rotação: O
 ângulo de rotação: 40°
 sentido da rotação: anti-horário
O
A
C
B
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
O
A
C
B
A’
B’
C’
40°
O
A
C
B
O
A
C
B
A’
B’
C’
40°
2o) Colocamos o centro do transferidor em O, 
alinhando o transferidor com AO, marcamos 40°; 
onde a medida do ângulo cruzar com o arco que 
passa pelo ponto A, marcamos o ponto A’. 
Fazemos o mesmo com os pontos B e C, marcando 
os pontos B ’ e C ’, atentando para o sentido do giro.
1o) Centramos o compasso no ponto O e traçamos 
um arco passando pelo ponto A, outro passando 
por B e um terceiro passando por C.
3o) Unimos os pontos A’, B’ e C’, obtendo a rotação do 
triângulo ABC de um ângulo de 40° no sentido anti-
-horário em torno do ponto O.
Sugestão de atividade extra 
• Antes de abordar o es-
tudo sobre rotação, peça 
aos alunos que pesquisem 
previamente o significado 
dessa palavra. Peça também 
que encontrem imagens 
com exemplos de rotações 
na natureza ou em obras 
de arte. Os alunos podem 
apresentar, por exemplo, 
imagens de algumas flores 
e frutos, como pétalas em 
torno de um centro, ou de 
um corte horizontal de uma 
mexerica. Explique que a 
rotação pode ser imaginada 
também em objetos de três 
dimensões, como os sóli-
dos geométricos, a própria 
mexerica ou, até mesmo, 
o planeta Terra. A rotação 
nesses casos se dá em torno 
de uma reta. Entretanto, o 
objeto de estudo serão os 
cortes desses objetos, pois 
nesse momento nos concen-
traremos nas figuras planas. 
As imagens de exemplos 
podem ser obtidas em jor-
nais, revistas ou impressas 
a partir da internet. Orien-
te os alunos a colar as ima-
gens no caderno, identifi-
cando o centro de rotação 
e justificando o motivo de 
acreditarem que as ima-
gens apresentadas foram 
rotacionadas em torno de 
determinado ponto. Caso 
haja divergências entre o 
conceito e o que os alunos 
apresentaram, explique os 
problemas e esclareça even-
tuais dúvidas.
88
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
88
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
1 Em uma malha quadriculada, copie as 
figuras abaixo e obtenha as rotações de 
centro O :
a) do ponto A, com um de giro de 90°, 
no sentido horário;
A
O
b) do ponto D, com um giro de 45°, no 
sentido horário;
O
D
c) do segmento de reta AB , com um giro 
de 60°, no sentido horário.
A
B
O
2 Copie as figuras abaixo em uma malha 
quadriculada e obtenha as rotações:
a) de centro P, no sentido horário, com 
uma rotação de 90°; 
P Q
RS
b) de centro O, no sentido anti-horário, 
com uma rotação de 180°;
A
B
C
O
DE
c) de centro P, no sentido anti-horário, 
com uma rotação de 45°. 
A B
P
D C
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
 Reflexão
A reflexão é a transformação geométrica que reflete todos os pontos de uma figura em rela-
ção a uma reta (simetria axial) ou a um ponto (simetria central), mantendo cada ponto da figura 
à mesma distância do eixo de simetria ou do centro de reflexão, respectivamente.
Simetria axial
Reconhecemos a simetria axial pela presença de um eixo de simetria. 
Uma figura pode ter mais de um eixo de simetria.
Axial
Palavra derivada de 
axis, termo latino 
que significa “eixo”.
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
O
D
D’
um eixo de simetria dois eixos de simetria vários eixos de simetria
A A’
O
A B B’
A’
O
PP’S’
R’ Q’
Q
RS
A
B
CO
DE
E’D’
C’ A’
B’
A B
P
D C
C’
A’
B’
D’
• Antes de iniciar a explora-
ção do tópico “Reflexão”, 
pergunte aos alunos se já re-
pararam em como é a escrita 
“bombeiros” ou “ambulân-
cia” na frente dos carros de 
emergência. Pergunte se con-
seguem explicar o motivo. Em 
seguida, peça que escrevam 
essas palavras no caderno e 
determinem sua reflexão, 
como na imagem a seguir.
Eixo de simetria
AMBULÂNCIA
BOMBEIROS
AMBULÂNCIA
BOMBEIROS
89
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
89
r
A
B
B’
A’
M
N
' 'A B é simétrico de AB em 
relação à reta r.
'
'
AM A M
BN B N
&
&
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
r
A
A’
M
A‘ é simétrico de A em 
relação à reta r.
'AM A M&
Vamos representar o eixo de simetria pela reta r. Podemos determinar, em relação a esse eixo, a 
figura simétrica de um ponto, de um segmento de reta, de uma reta ou de uma figura plana qualquer.
 ▸ Simetria de um ponto
Dois pontos distintos A e A’ são simétricos em relação a uma reta r se esta divide o seg men - 
 to 'AA perpendicularmente no seu ponto médio.
 ▸ Simetria de um segmento de reta
Na figura abaixo, os pontos A’ e B’ são, respectivamente, simétricos de A e B em relação à 
reta r. Dizemos, então, que os segmentos AB e ' 'A B são simétricos em relação à reta r.
 ▸ Simetria de uma reta
Os pontos A, B e C estão alinhados, assim como seus simétricos A’, B’ e C’ . As retas AB e BA' ' 
são simétricas em relação à reta r.
r
A
A’
B
B’
C
C’
M
N
' 'A B é simétrica de AB em 
relação à reta r.
'
'
AM A M
BN B N
&
&
90
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
90
 ▸ Simetria de um círculo
Os centros O e O e O O‘ são simétricos em relação à reta O‘ são simétricos em relação à reta O‘ r, e os círculos têm o mesmo raio.r, e os círculos têm o mesmo raio.r
A
A’O’
M
N
rO
'
'
' '
OM O M'O M'
AN A N'A N'
OA O A' 'O A' '
&
&
&
O círculo de centro O ’ e raio medindo 
O ’A’ é simétrico do círculo de centro O
e raio medindo OA em relação à reta r.r.r
 ▸ Simetria de um polígono
Na figura, note que os pontos A’, B ’, C ’, D ’ e E ’ são, respectivamente, simétricos de A, B, B, B C, C, C D e D e D E
em relação à reta r. Dizemos que os polígonos r. Dizemos que os polígonos r ABCDE e ABCDE e ABCDE A’B ’C ’D ’E ’ são simétricos em relação à 
reta r.r.r
M
N
E’
A’
A
E
D
B
C
r
B’
C’
D’
O P
Q
A‘B‘C‘D‘E‘ é simétrico de A‘B‘C‘D‘E‘ é simétrico de A‘B‘C‘D‘E‘ ABCDE
em relação à reta r.r.r
'
'
'
'
'
M M'M M'A AM MA AM M
BO B O'B O'
CQ C Q'C Q'
DP D P
EN E N'E N'
M MA AM M&M MA AM M
&
&
P D&P D
&
Lendo e aprendendo
Uma imagem simétrica
Na foto ao lado, vemos o reflexo de uma 
paisagem na superfície de um lago. É pos-
sível identificar um eixo de simetria ou 
eixo de reflexão, pois a imagem refletida 
tem  a mesma forma e o mesmo tamanho 
que a original, mas está invertida em rela-
ção  a  ela. Observe que, se essa foto fosse 
dobrada na linha do eixo de simetria, as par-
tes correspondentes ficariam sobrepostas.
eixo de 
reflexão
D
E
A
/V
. G
IA
N
N
E
LL
A
/D
E
 A
G
O
S
TI
N
I/
G
E
TT
Y
 IM
A
G
E
S
Lago Bohinj refletindo as montanhas, Parque 
Nacional de Triglav, Eslovênia, 2018.
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: G
U
IL
H
E
R
M
E
 C
A
S
A
G
R
A
N
D
I
Sugestão de leitura
• No link indicado abaixo, há uma resposta de um professor de Física sobre o fenômeno da imagem refletida 
no lago. Se achar pertinente, trabalhe essa questão com os alunos, explicando a eles o que provoca o reflexo 
da montanha na água. Disponível em: <https://www.if.ufrgs.br/novocref/?contact-pergunta=por-que-ocorre-
reflexo-da-paisagem-na-superficie-da-agua>.