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LIVRO DO PROFESSOR
MATEMÁTICA
8.° ANO - LIVRO 1
ENSINO FUNDAMENTAL
SAE DIGITAL S/A
Curitiba
2021
SAE DIGITAL S/A
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Diretoria editorial Lucélia Secco
Gerência editorial Tassiane Aparecida Sauerbier
Coordenação editorial Ednei Leite de Araújo
Edição Eliane Peixoto de Lima, Rodrigo Zeni Stocco
Revisão Everson de Lara Caetano, Gabriele Varão, Juliana Basichetti Martins, Priscila Sousa, Thainara Gabardo, 
Victor Truccolo
Coordenação de qualidade -
Qualidade Brunno Freire, Igor Spisila, Mariana Chaves
Cotejo Anna Karolina de Souza, Ludmilla Borinelli, Rafaella Ravedutti, Wagner Revoredo
Supervisão de produção visual Jéssica Suelen de Morais
Iconografia Jhennyfer Pertille
Cartografia Júlio Manoel França da Silva
Ilustrações Carlos Morevi, Deny Machado, Scarllet Anderson
Arte da capa Carlos Morevi | atiger/Jag_cz/Shutterstock
Projeto gráfico Gustavo Ribeiro Vieira
Diagramação André Lima, Gustavo Ribeiro Vieira, Jéssica Xavier de Carvalho, Luana Santos, Luisa Piechnik Souza, 
Mariana Oliveira, Ralph Glauber Barbosa, Raphaela Candido, Silvia Santos, Thaísa Werner, 
Thiago Figueiredo Venâncio
Coordenação de Processos Janaina Alves
Processos Janio Lima, Raul Jungles, Vitor Ribeiro
Autor José Wilson Cardoso, Márcia Martins Romeira Sakai, Ednei Leite de Araújo
Coordenação pedagógica Cristiane Sliva, Jardiel Loretto Filho
© 2021 – SAE DIGITAL S/A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do deten-
tor dos direitos autorais.
Todos os direitos reservados.
SAE DIGITAL S/A. 
R. João Domachoski, 5. CEP: 81200-150 
Mossunguê – Curitiba – PR 
0800 725 9797 | Site: sae.digital 
FICHA CATALOGRÁFICA
S132
SAE, 8. ano : matemática. 8. ano : livro do professor : livro 1 / SAE DIGITAL S/A. - 1. 
ed. - Curitiba, PR : SAE DIGITAL S/A, 2021. 
112 p. : il. ; 28 cm.
ISBN 978-85-535-1226-3
1.Matemática - Estudo e ensino (Ensino fundamental). I. Sistema de Apoio ao En-
sino.
 CDD: 372.7
 CDU: 372.47
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1. Pilares pedagógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .VI
2. Ensino Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII
3. Conheça o material do SAE Digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI
4. Pressupostos teórico -metodológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVIII
5. Programação anual de conteúdos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXVI
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Fruir e participar de práticas 
diversificadas da produção 
artístico-cultural.
Tomar decisões com base em princípios 
éticos, democráticos, inclusivos, 
sustentáveis e solidários.
Investigar causas, elaborar e testar 
hipóteses, formular e resolver 
problemas e criar soluções.
Entender e explicar a realidade, 
continuar aprendendo e 
colaborar com a sociedade.
Comunicar-se, acessar e 
produzir informações e 
conhecimentos, resolver 
problemas e exercer 
protagonismo e autoria.
Cuidar de sua saúde física e emocional, 
reconhecendo suas emoções e as dos 
outros, com autocrítica e capacidade 
para lidar com elas.
Formular, negociar e defender ideias, 
pontos de vista e decisões comuns, 
com base em direitos humanos, 
consciência socioambiental, consumo 
responsável e ética.
Expressar-se e partilhar informações, 
experiências, ideias, sentimentos e 
produzir sentidos que levem ao 
entendimento mútuo.
Entender o mundo do trabalho e fazer 
escolhas alinhadas à cidadania e ao seu 
projeto de vida com liberdade, autonomia 
criticidade e responsabilidade.
Fazer-se respeitar e promover respeito ao 
outro e aos direitos humanos, com 
acolhimento e valorização da diversidade, 
sem preconceito de qualquer natureza.
Repertório cultural
Cultura digital
Autoconhecimento e 
autocuidado Responsabilidade e cidadania
Conhecimento
Pensamento científi-
co crítico e criativo
Comunicação
Trabalho e 
projeto de vida
Empatia e cooperação
Argumentação
Educação Infantil
Construção do letramento científico, 
matemático e linguístico em consonância 
com os direitos de aprendizagem e os 
campos de experiências.
Quantidade considerável de questões de 
vestibular e de Enem que trazem 
abordagens complexas e interdisciplinares.
Estímulo em rodas de conversa e 
valorização do conhecimento 
prévio da criança. 
Problematização e vínculo entre curiosidade, 
bem como estabelecimento de ponte entre 
conhecimentos prévios e novos.
Estímulo à oralidade e 
troca de experiências.
Relação do conhecimento prévio 
com os saberes das ciências. 
Pré-vestibular
Compreensão da abordagem teórica 
com apresentação de conteúdo relevante, 
sistematizado e hierarquizado.
Conexões entre todos os campos de 
experiências e objetivos de aprendizagem e 
desenvolvimento preconizados pela BNCC.
Construção e apresentação dos 
conceitos estruturais das ciências que 
permitirão o desenvolvimento das 
habilidades previstas no segmento.
Vínculo do conteúdo com o 
contexto e exploração de 
questões complexas em 
relação a conceitos ou a 
visões de mundo. 
Busca por novas conexões entre os 
objetos apreendidos, atrelando-se 
um ou mais conhecimentos de 
diferentes áreas.
Os objetos de conhecimento são estudados 
e analisados sob diferentes perspectivas: 
geográfica, científica, matemática, histórica, 
filosófica e linguística. Ensino Médio
Exposição sistematizada e hierarquizada de 
conhecimento e informação relevante. 
Pré-vestibular
Novas 
conexões
Mundo do 
aluno
Mundo 
revisitado
Tomada de 
ações
Saberes 
iniciais
Iniciativa 
concreta
Aproximação 
pelo afeto
Engajamento
Autonomia
Mundo 
transformado
Mundo das 
ciências
Pesquisas e 
descobertas
Domínio 
das bases 
conceituais
Relevância
Interdependência 
dos saberes
Conhecimentos 
de diferentes 
áreas
Educação Infantil
Ensino Médio
Ensino Médio
Educação Infantil
Fundamental 
Anos Iniciais
Fundamental 
Anos Finais
Aprofundamento do conhecimento 
científico por meio de apresentação e 
sistematização de conteúdos relevantes.
Protagonismo
Rigor conceitual e conteúdo relevante
Tr
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re
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id
ad
e
Complexidade e saberes múltip
los
Tomada de ações, transformação da realidade 
local, engajamento naquilo que o aluno pode e 
consegue empreender e em ações que 
transformam o mundo. 
Estabelecimento de relação entre os 
conteúdos curriculares para compreensão 
e interação com o mundo, bem como 
engajamento social e científico.
Estabelecimento de relação entre 
os conteúdos curriculares para 
compreensão e interação com o 
mundo.
Observação da realidade para 
compreensão do mundo e 
desenvolvimento integral da criança.
Ensino Médio
Fundamental 
Anos Iniciais
Fundamental 
Anos Iniciais
Fundamental 
Anos Finais
Fundamental 
Anos Finais
Educação Infantil
Fundamental 
Anos IniciaisFundamental 
Anos Finais
SAE Digital 
e BNCC
IV MATEMÁTICA
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Fruir e participar de práticas 
diversificadas da produção 
artístico-cultural.
Tomar decisões com base em princípios 
éticos, democráticos, inclusivos, 
sustentáveis e solidários.
Investigar causas, elaborar e testar 
hipóteses, formular e resolver 
problemas e criar soluções.
Entender e explicar a realidade, 
continuar aprendendo e 
colaborar com a sociedade.
Comunicar-se, acessar e 
produzir informações e 
conhecimentos, resolver 
problemas e exercer 
protagonismo e autoria.
Cuidar de sua saúde física e emocional, 
reconhecendo suas emoções e as dos 
outros, com autocrítica e capacidade 
para lidar com elas.
Formular, negociare defender ideias, 
pontos de vista e decisões comuns, 
com base em direitos humanos, 
consciência socioambiental, consumo 
responsável e ética.
Expressar-se e partilhar informações, 
experiências, ideias, sentimentos e 
produzir sentidos que levem ao 
entendimento mútuo.
Entender o mundo do trabalho e fazer 
escolhas alinhadas à cidadania e ao seu 
projeto de vida com liberdade, autonomia 
criticidade e responsabilidade.
Fazer-se respeitar e promover respeito ao 
outro e aos direitos humanos, com 
acolhimento e valorização da diversidade, 
sem preconceito de qualquer natureza.
Repertório cultural
Cultura digital
Autoconhecimento e 
autocuidado Responsabilidade e cidadania
Conhecimento
Pensamento científi-
co crítico e criativo
Comunicação
Trabalho e 
projeto de vida
Empatia e cooperação
Argumentação
Educação Infantil
Construção do letramento científico, 
matemático e linguístico em consonância 
com os direitos de aprendizagem e os 
campos de experiências.
Quantidade considerável de questões de 
vestibular e de Enem que trazem 
abordagens complexas e interdisciplinares.
Estímulo em rodas de conversa e 
valorização do conhecimento 
prévio da criança. 
Problematização e vínculo entre curiosidade, 
bem como estabelecimento de ponte entre 
conhecimentos prévios e novos.
Estímulo à oralidade e 
troca de experiências.
Relação do conhecimento prévio 
com os saberes das ciências. 
Pré-vestibular
Compreensão da abordagem teórica 
com apresentação de conteúdo relevante, 
sistematizado e hierarquizado.
Conexões entre todos os campos de 
experiências e objetivos de aprendizagem e 
desenvolvimento preconizados pela BNCC.
Construção e apresentação dos 
conceitos estruturais das ciências que 
permitirão o desenvolvimento das 
habilidades previstas no segmento.
Vínculo do conteúdo com o 
contexto e exploração de 
questões complexas em 
relação a conceitos ou a 
visões de mundo. 
Busca por novas conexões entre os 
objetos apreendidos, atrelando-se 
um ou mais conhecimentos de 
diferentes áreas.
Os objetos de conhecimento são estudados 
e analisados sob diferentes perspectivas: 
geográfica, científica, matemática, histórica, 
filosófica e linguística. Ensino Médio
Exposição sistematizada e hierarquizada de 
conhecimento e informação relevante. 
Pré-vestibular
Novas 
conexões
Mundo do 
aluno
Mundo 
revisitado
Tomada de 
ações
Saberes 
iniciais
Iniciativa 
concreta
Aproximação 
pelo afeto
Engajamento
Autonomia
Mundo 
transformado
Mundo das 
ciências
Pesquisas e 
descobertas
Domínio 
das bases 
conceituais
Relevância
Interdependência 
dos saberes
Conhecimentos 
de diferentes 
áreas
Educação Infantil
Ensino Médio
Ensino Médio
Educação Infantil
Fundamental 
Anos Iniciais
Fundamental 
Anos Finais
Aprofundamento do conhecimento 
científico por meio de apresentação e 
sistematização de conteúdos relevantes.
Protagonismo
Rigor conceitual e conteúdo relevante
Tr
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Complexidade e saberes múltip
los
Tomada de ações, transformação da realidade 
local, engajamento naquilo que o aluno pode e 
consegue empreender e em ações que 
transformam o mundo. 
Estabelecimento de relação entre os 
conteúdos curriculares para compreensão 
e interação com o mundo, bem como 
engajamento social e científico.
Estabelecimento de relação entre 
os conteúdos curriculares para 
compreensão e interação com o 
mundo.
Observação da realidade para 
compreensão do mundo e 
desenvolvimento integral da criança.
Ensino Médio
Fundamental 
Anos Iniciais
Fundamental 
Anos Iniciais
Fundamental 
Anos Finais
Fundamental 
Anos Finais
Educação Infantil
Fundamental 
Anos IniciaisFundamental 
Anos Finais
I N F O G R Á F I C O 
S A E E B N C C
VMATEMÁTICA
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VI MATEMÁTICA
1. Pilares pedagógicos
Os pilares pedagógicos do sistema de ensino do SAE Digital vêm ao en-
contro das habilidades esperadas dos aprendizes, expostos a um ambiente 
que exige leitura plural do mundo, caracterizada por constantes mudanças 
nos campos científico, tecnológico e político.
Os desafios da atualidade preveem uma formação que priorize a capa-
cidade de refletir e de interpretar as realidades local e global, bem como agir 
de acordo com as necessidades coletivas por meio do desenvolvimento da 
empatia, da resiliência e do senso de cooperação.
Para desenvolver habilidades que atendam a tão complexas necessida-
des, as estratégias do SAE Digital estão fundamentadas em quatro pilares do 
trabalho pedagógico: protagonismo, rigor conceitual e conteúdo relevante, 
complexidade e saberes múltiplos e transformação da realidade.
Protagonismo
Uma prática pedagógica estruturada no protagonismo considera o es-
tudante como centro do processo de sua aprendizagem, tem como ponto de 
partida os conhecimentos prévios que ele possui para, a partir deles, promover 
o fortalecimento de sua identidade, a sua autonomia e o desenvolvimento das 
habilidades necessárias à concretização de seu projeto de vida e sua atuação 
na sociedade com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sus-
tentáveis e solidários.
Rigor conceitual e conteúdo relevante
Esse pilar, que abarca duas ideias complementares, corrobora o enten-
dimento de que a educação deve sempre se pautar em bases conceituais do 
conhecimento acadêmico e científico. Na era da informação, a escola assume 
o papel de propulsora da pesquisa para a escolha, a apropriação e a produção 
do conhecimento por parte dos professores e dos estudantes, a fim de garantir 
a sistematização dos processos de ensino e de aprendizagem pautados na 
precisão da cientificidade e na relevância do currículo.
Complexidade e saberes múltiplos
O paradigma atual do conhecimento requer a superação da disposição 
estanque do currículo escolar. Trazemos como proposta para o trabalho peda-
gógico o pilar complexidade e saberes múltiplos visando ao desenvolvimento 
do pensamento complexo, que só se efetiva por meio de um trabalho inter e 
transdisciplinar. Promover a religação dos saberes com vistas à formação de 
leitores competentes e capazes de atuar em um cenário complexo é um dos 
compromissos impreteríveis dos quais a escola não pode se eximir.
 Os pilares pedagógicos 
do sistema de ensino 
do SAE Digital visam 
o desenvolvimento de 
competências que contribuam 
para viabilização do projeto de 
vida dos estudantes, de forma 
que ele incida positivamente 
na sociedade global. 
 A educação é o único 
fazer capaz de transformar 
potenciais em competências 
para viver. Agir em favor 
de nossas gerações, nessa 
perspectiva, é criar concepções 
e práticas educacionais 
que sejam capazes de 
gerar competências 
para que o indivíduo 
transforme a si mesmo e 
as suas circunstâncias a 
partir do desenvolvimento 
pleno de seus potenciais. 
(DELORS, 2001, p. 100) 
 O material didático 
consistente fundamenta-se 
em cuidadosa construção 
conceitual e adequação 
metodológica. As formas e os 
mecanismos que norteiam 
a realização do trabalho e a 
elaboração de suas conclusões 
são claros, apropriados e 
resistentes ao processo de 
crítica franca e aberta. Ele gera 
conhecimento confiável. 
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VIIMATEMÁTICA
Transformação da realidade
Com base no entendimento da educação como agente transformador da 
realidade, o sistema de ensino do SAE Digital incorpora à sua proposta pedagó-
gica um trabalho sistemático com temas contemporâneos de relevância social 
que afetam a vida humana em escala local, regional e global. Ao promover 
a consciência dos direitos e deveres de todo ser humano, o exercício pleno 
da cidadania e a tomada de decisões para iniciativas concretas de impacto 
socioambiental, visamos à manutenção do estado democrático de direito e 
à transformação da realidade.
Tecnologia digital 
relevante – SAE Digital
Conceito de tecnologia digital 
relevante – SAE Digital
São recursos digitais –livros, atividades, jogos, realidade aumentada, 
vídeos, animações, aplicativos, plataforma adaptativa, avaliações, ferramentas 
de gestão escolar, de gestão da aprendizagem e de desenvolvimento dos 
profissionais da Educação – concebidos com intencionalidade pedagógica, 
integrados à proposta e aos conteúdos dos materiais impressos e com uma 
dinâmica eficiente, a fim de que cumpram um papel efetivo no processo 
educativo por meio
1) da interação do aluno com o conteúdo digital, tendo como propósito 
contribuir para a sua aprendizagem;
2) da sensibilização/motivação do aluno para a aprendizagem;
3) da promoção da apropriação de conceitos ou do desenvolvimento de 
habilidades e atitudes; 
4) do acompanhamento do desempenho e das adaptações e das perso-
nalizações necessárias a uma aprendizagem significativa; 
5) da gestão do desempenho e da aprendizagem do aluno;
6) da formação permanente do professor. 
Outras considerações a respeito 
de tecnologia digital relevante
O projeto de Tecnologia digital relevante – SAE Digital também tem como 
enfoque aproximar a produção do SAE Digital às metodologias contemporâ-
neas da aprendizagem:
 • Por desenvolver o conteúdo digital produzido em consonância com 
o material impresso, pode ser considerado como um modelo híbrido 
de ensino.
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VIII MATEMÁTICA
 • Por promover a autonomia do aluno em seu processo de aprendiza-
gem, os objetos digitais podem ser considerados como metodologia 
ativa.
 • Por promover o uso de diversas mídias digitais, os objetos digitais 
podem contribuir para o letramento digital. 
 • Por ofertar feedbacks do desempenho dos alunos, pode contribuir 
com a regulação e a autorregulação da aprendizagem.
2. Ensino Fundamental
O Ensino Fundamental faz parte de um dos níveis da Educação Básica. 
Desde 2006, passou a ter duração de 9 anos, de acordo com a Lei de Diretrizes 
e Bases da Educação (LDB n.º 9.395/96), em que foram alterados os artigos 
29, 30, 32 e 87, por meio da Lei Ordinária n.º 11.274/2006.
O Ensino Fundamental é obrigatório e atende as crianças a partir dos 6 
anos de idade. Está dividido da seguinte forma:
 • Anos iniciais – do 1.o ao 5.o ano.
 • Anos finais – do 6.o ao 9.o ano.
Além da LDB, o Ensino Fundamental é regido por documentos, como as 
Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental, o Plano Nacional 
de Educação (PNE) de 2014, as resoluções do Conselho Nacional de Educação 
(CNE) e a Base Nacional Comum Curricular (BNCC).
A versão homologada, em dezembro de 2017, da BNCC apresenta as 
competências gerais que se inter-relacionam e perpassam todos os compo-
nentes curriculares ao longo da Educação Básica.
2.1 SAE Digital no Ensino Fundamental
Nos anos finais do Ensino Fundamental, o trabalho escolar deve instigar 
nos alunos a curiosidade e o prazer pelas descobertas, além de promover a 
aprendizagem das diferentes formas de sistematização das informações e dos 
temas trabalhados. Isso porque o conhecimento adquirido já nos primeiros 
anos do Ensino Fundamental é essencial para o desempenho dos alunos nas 
próximas fases da vida escolar.
Os conteúdos sistematizados que compõem o sistema de ensino do SAE 
Digital estão relacionados às seguintes áreas de conhecimento:
 • Linguagens.
 • Matemática.
 • Ciências da Natureza.
 • Ciências Humanas.
 Segundo o artigo 32 da 
LDB, o Ensino Fundamental 
tem como objetivo:
1) o desenvolvimento da 
capacidade de aprender, 
tendo como meios básicos 
o pleno domínio da leitura, 
da escrita e do cálculo;
2) a compreensão do 
ambiente natural e social, 
do sistema político, da 
tecnologia, das artes e 
dos valores em que se 
fundamenta a sociedade;
3) o desenvolvimento 
da capacidade de 
aprendizagem, tendo 
em vista a aquisição 
de conhecimentos e 
habilidades e a formação 
de atitudes e valores;
4) o fortalecimento dos 
vínculos de família, dos 
laços de solidariedade 
humana e de tolerância 
recíproca em que se 
assenta a vida social. 
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IXMATEMÁTICA
2.1.1 Linguagens
Para expressar ideias, pensamentos, sentimentos e intenções e estabe-
lecer relações interpessoais, faz-se necessário o uso da linguagem. É também 
pela linguagem que se podem construir os quadros de referências culturais 
– concepções e ideologias, mitos, representações, conhecimento científico 
e arte.
A linguagem – oral, escrita, imagética ou corporal – faz parte da atividade 
discursiva, ou seja, do ato de falar, de expressar claramente ideias, informações 
ou sentimentos a alguém. 
A linguagem possibilita ao homem a apreensão do mundo exterior, dan-
do-lhe meios para se posicionar criticamente perante os outros, tornando-o 
agente transformador. Dessa forma, a linguagem é compreendida como a 
maior ferramenta da convivência humana, assim como das transformações 
que a educação busca. Parece difícil alcançar as mudanças necessárias para 
a construção de um mundo melhor sem os saberes provenientes da área de 
linguagens e sua aplicação prática.
Essas são as reflexões das quais partem a seleção e a sistematização do 
material didático SAE Digital nessa área, que compreende:
 • Língua Portuguesa.
 • Língua Inglesa.
 • Língua Espanhola.
 • Arte.
 • Educação Física.
2.1.2 Matemática
O trabalho desenvolvido em Matemática tem como objetivo a compreen-
são e o uso dos conteúdos relevantes na resolução de desafios e problemas; 
a busca pelos resultados; a prática de levantar hipóteses e confrontá-las, sem 
receio de errar.
[...] A Matemática se faz presente desde cedo e durante toda a vida dos indivíduos. O 
indivíduo está imerso num mundo de números (quantificando, medindo, comparando, 
realizando cálculos etc.) quando realiza diversas atividades do cotidiano: em casa, nas 
ruas, na escola [...]. Para que ele seja bem-sucedido nessas atividades é necessário que o 
indivíduo seja numeralizado. Mas o que significa ser numeralizado? [...] ser numeralizado 
significa “ser capaz de pensar sobre e discutir relações numéricas e espaciais utilizando as 
convenções da nossa própria cultura” [...]. Ser numeralizado está além de resolver cálculos, 
é ter uma boa compreensão e intuição sobre os números, sendo capaz de compreender as 
regras implícitas que envolvem os conceitos matemáticos, utilizando-os nas suas prática co-
tidianas, nos diversos contextos e em diferentes sistemas de comunicação e representação.
[...]
O sentido de número [...] refere-se à habilidade de lidar, de forma flexível e eficiente, 
com números e quantidades nas situações cotidianas extraescolares. [...]
BATISTA, Rosita Marina Ferreira; SILVA, Juliana Ferreira Gomes da; SPINILLO, Alina Galvão. 
Os usos e funções dos números e medidas em situações escolares e extraescolares. 
Simpósio Internacional de Pesquisa em Educação Matemática. Pernambuco, 2008.
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X MATEMÁTICA
Com base nessas reflexões, o material do SAE Digital apresenta os conteú-
dos relevantes da área de Matemática relacionados à resolução de problemas 
na vida cotidiana e à aplicação desses saberes nos desafios próprios do mun-
do escolar. A proposta de trabalho leva em conta a capacidade intelectual, a 
estruturação do pensamento e o desenvolvimento do raciocínio lógico dos 
alunos, reforçando que não há como desassociar um aspecto do outro. 
Dessa forma, o material do SAE Digital propõe um trabalho no qual en-
sinar e aprender Matemática não se limite a dar respostas, mas sim a propor 
investigações, respeitar as ideias e o conhecimento prévio de cada aluno, pos-
sibilitando o desenvolvimento da vontade de estudar os conteúdos da área.
2.1.3 Ciências Humanas
A área das Ciências Humanas tem um objetivo maior, que é ampliar a 
compreensão dos alunos sobre sua realidade e a das pessoas em outros es-
paços e outros períodos.
Para tanto, essa área trabalha com a consciência de que os alunos são 
agentes transformadores do seu momentohistórico, do seu espaço geográ-
fico, e fazem constantes reflexões sobre os acontecimentos na sociedade em 
que vivem. Dessa forma, podem fazer escolhas e estabelecer critérios para 
orientar suas ações de maneira mais consciente e propositiva.
No material do SAE Digital, as Ciências Humanas compreendem:
 • Geografia. • História. • Filosofia.
A Geografia estuda as relações entre o processo histórico que regula a 
formação das sociedades humanas e o funcionamento da natureza, por meio 
da leitura do espaço geográfico e da paisagem.
A História estuda as sociedades ao longo do tempo, proporcionando aos 
alunos condições para se compreenderem como sujeitos históricos.
A Filosofia apresenta conceitos e situações que estimulam os alunos a 
desenvolver o raciocínio, o espírito crítico e o gosto pela busca do conhe-
cimento e dos saberes elaborados por diferentes filósofos em períodos e 
locais diversos.
2.1.4 Ciências da Natureza
O ensino de Ciências da Natureza possibilita que diferentes explicações 
do mundo, das transformações produzidas pelos seres humanos e dos fe-
nômenos da natureza possam ser expostas, comparadas e compreendidas. 
O trabalho nessa área permite que o conhecimento prévio dos alunos seja 
explorado e contraposto com diferentes explicações, de forma crítica, ques-
tionadora, investigativa e reflexiva. As propostas de reflexão desenvolvem a 
percepção dos limites de cada conceito e a explicação dos modelos científicos, 
favorecendo a construção da autonomia de pensamentos e ações.
São características gerais do trabalho escolar com as Ciências da Natureza: 
a) buscar a compreensão dos fenômenos da natureza; b) gerar representações 
do mundo; c) descobrir e explicar fenômenos naturais; d) organizar e sintetizar 
o conhecimento científico em teorias.
 As propostas de 
trabalho partem sempre 
do conhecimento prévio 
dos alunos sobre os 
conteúdos relevantes, 
confrontando-o com as 
explicações apresentadas 
no espaço escolar. 
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XIMATEMÁTICA
3. Conheça o material do SAE Digital
3.1 Impressos
O material de cada ano está organizado em quatro livros, contendo to-
dos os componentes curriculares: Língua Portuguesa, Matemática, História, 
Geografia, Ciências, Língua Inglesa, Arte, Educação Física e Filosofia.
Além desses, o componente curricular Língua Espanhola, para todos os 
anos, é oferecido separadamente.
3.1.1 Livros – aluno
Os componentes curriculares são organizados em unidades, e estas, em 
capítulos.
As aberturas dos capítulos funcionam como uma provocação para os 
alunos, que são convidados a apresentar o que já sabem sobre o tema, rela-
cionando esse saber à leitura de imagens.
Em seguida, o material conduz os alunos por um caminho de leituras, 
debates, relação de atividades individuais e coletivas, produções de textos 
e experimentos. A intenção é ampliar e aprofundar conhecimentos ou, em 
algumas situações, confrontar saberes e elaborar outros. As propostas de tra-
balho são apresentadas em seções de atividades com objetivos específicos. 
Conheça melhor cada uma delas na página seguinte. 
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XII MATEMÁTICA
Conheça as seções, os boxes e os ícones do seu livro
Esta seção apresenta exercícios mais 
desa� adores e de � xação que devem ser 
resolvidos no caderno.
VAMOS PRATICAR MAIS?
É um espaço que apresenta relações entre o conteúdo que você 
está estudando e as tecnologias referentes a ele. 
MATEMÁTICA E TECNOLOGIA
ATIVIDADES
Geralmente esta seção está no � nal de cada 
capítulo. Seu objetivo é levá -lo a rever os con-
teúdos estudados. 
PARA SABER MAIS
Indica o momento de aprofundar ou ampliar 
algum aspecto do conteúdo que você está 
estudando no capítulo.
CONEXÃO
Este é um espaço que apresenta texto e 
atividades que fazem a articulação entre 
diversos conteúdos.
INTERAÇÃO
Quando aparecer esta seção, será proposto um 
trabalho em grupo, como debate, pesquisa e 
elaboração de painel.
PARA IR ALÉM
Aqui você encontra dicas de leituras, músicas 
ou vídeos para aprofundar seu conhecimento.
COLOCANDO EM PRÁTICA
É um espaço que apresenta exercícios resolvidos 
para você compreender a sua sistematização.
TER ATITUDE
Esta seção apresenta uma proposta para um 
trabalho prático.
DESENVOLVER E APLICAR
Esta seção propõe atividades investigativas e 
motivadoras para você resolver individualmente. 
DE OLHO NA PROVA
É uma seção exclusiva para o 9.º ano e apre-
senta questões de provas para auxiliar você a 
ingressar no Ensino Médio.
EM TEMPO
É o momento de recordar uma ideia ou uma 
fórmula já estudada. Pode apresentar, também, 
a explicação ou o signi� cado de um termo ou 
de um conteúdo apresentado no texto.
Este ícone indica que há uma Realidade 
aumentada que pode ser acessada com 
o celular ou tablet.
Quando aparecer este ícone, será a hora 
de exercitar a oralidade com os colegas 
de turma.
Esta seção aparece quando há necessi-
dade de explicar os procedimentos para 
realização de uma atividade.realização de uma atividade.COMO FAZE
R
Este ícone indica o 
desenvolvimento 
da educação para o 
consumo consciente.
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XIIIMATEMÁTICA
As unidades e os capítulos programados para cada livro, por componen-
tes curriculares, buscam se adequar ao trabalho realizado em dez semanas 
de aula, com a seguinte sugestão de distribuição:
Componente curricular Aulas por semana Total de aulas 
Matemática 5 50
Língua Portuguesa 5 50
Geografia 3 30
História 3 30
Ciências 3 30
Artes 1 10
Língua Inglesa 2 20
Filosofia 1 10
Educação Física 2 20
Língua Espanhola 1 10
3.1.2 Livros – professor
O material para o professor apresenta uma organização especial. No 
livro 1 são expostas:
 • apresentação dos princípios pedagógicos do material;
 • proposta de trabalho pedagógico por componente curricular;
 • explicação das seções do Livro do professor;
 • programação anual dos conteúdos (unidades, capítulos, conteúdos 
descritos, número de aulas).
O miolo do Livro do professor apresenta o Livro do aluno de forma 
reduzida. No entorno do Livro do aluno, são apresentadas ao professor as 
orientações pedagógicas, organizadas nas seguintes seções: 
 • Objetivos do capítulo – sempre no início de cada capítulo, determi-
nam as metas a serem alcançadas, relacionadas ao conteúdo abordado 
e à expectativa de aprendizagem por parte dos alunos.
 • Encaminhamento metodológico – orientações sugeridas, sejam com 
relação ao conteúdo, ao procedimento ou à atitude para desenvolver 
o trabalho;
 • Habilidades trabalhadas no capítulo de acordo com a BNCC;
 • Dica para ampliar o trabalho – indicações de filmes e sites, sinopses 
e pequenos textos;
 • Sugestão de atividade – indicações de tarefa para serem realizadas 
em sala de aula;
 • Realidade aumentada – apresenta a lista de RAs que fazem parte do 
capítulo;
 • Orientação para RA – encaminhamentos metodológicos e sugestões 
de atividade inseridos na página que apresenta o ícone da RA.
 • Resposta – gabaritos e sugestões de resposta às atividades propostas.
3.2 Digital
A experiência com os materiais didáticos do SAE Digital vai além do 
trabalho com o material impresso. 
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XIV MATEMÁTICA
Alunos e professores contam com uma versão digital dos livros, dispo-
nível para lousa digital, computadores, tablets e smartphones, na qual estão 
inseridos os objetos digitais e os áudios para língua estrangeira. Também 
há atividades propostas na Plataforma de Aprendizagem Adaptativa, na 
Plataforma Literária e no Portal SAE Digital. 
Conheça a seguir cada um desses materiais.
3.2.1 Livros digitais e Realidade 
aumentada – aluno
Essas ferramentas permitem visualizar digitalmente o livro igual ao 
impresso, porém acrescido de animações e recursos para ampliar imagens, 
acompanhar slides e fixar o conteúdo por meio de diversos exercícios. Ao todo,são 14 formas de interação disponíveis para auxiliar o trabalho do professor 
e tornar o aprendizado mais dinâmico, sendo um complemento para a sala 
de aula e para os estudos em casa. Depois de baixados, os recursos podem 
ser utilizados offline, ou seja, não necessitando a conexão com a internet.
Nos livros impressos, um ícone com o código RA (Realidade aumentada) 
permite a visualização dos objetos digitais.
As Realidades aumentadas estão disponíveis do 6.º ao 9.º ano para 
os componentes curriculares de Língua Portuguesa, Matemática, História, 
Geografia, Ciências, Língua Inglesa, Arte, Filosofia, Educação Física e Língua 
Espanhola. 
3.2.2 Livros digitais e Realidade aumentada – professor
O Livro digital do professor apresenta o mesmo conteúdo do Livro digital 
do aluno, acrescido de orientações metodológicas. Estas referem-se tanto às 
propostas de trabalho do livro impresso quanto aos objetos digitais e as RAs.
Os encaminhamentos metodológicos para os Objetos digitais e às RAs 
referem-se ao conteúdo do componente curricular e à forma do próprio 
objeto. Além disso, oferecem sugestões de como ampliar o trabalho com a 
atividade proposta.
3.2.3 Plataforma de Aprendizagem Adaptativa
A ferramenta oferece questões e videoaulas prontas para os alunos uti-
lizarem como forma de estudo.
Esse espaço possibilita ao estudante acompanhar videoaulas de con-
teúdos ministrados em sala de aula e testar seus conhecimentos por meio 
de questões vinculadas ao assunto que está sendo estudado. O sistema gera 
dados para que o professor e a gestão pedagógica acompanhem o desem-
penho do estudante na realização das atividades propostas na plataforma 
e a assertividade nas questões acerca dos conteúdos estudados. Com base 
nos dados coletados, o professor e a gestão pedagógica têm parâmetros para 
estabelecer novas estratégias de ensino.
As atividades propostas na plataforma estão disponíveis para todos os 
livros que serão usados no ano escolar.
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XVMATEMÁTICA
3.2.4 Plataforma Digital Literária
A Plataforma Digital Literária é uma ferramenta que tem como objetivo 
o trabalho com obras significativas das literaturas brasileira e mundial.
Antes do período de matrículas, a escola recebe a lista de obras que 
são indicadas para serem trabalhadas, por livro, com cada turma do Ensino 
Fundamental. 
São oferecidas cinco opções de trabalho para os 6.º, 7.º e 8.º anos, en-
quanto para o 9.º ano há oito opções. A escola pode, então, escolher com 
qual obra prefere trabalhar.
Por meio dessa ferramenta, o professor realiza o trabalho com o livro 
selecionado. Para isso, ele conta com:
 • encaminhamentos metodológicos;
 • avaliações;
 • propostas de produção de texto;
 • vídeos de contextualização histórica, que podem ser exibidos em sala 
de aula.
Ao trabalhar com a plataforma literária, os alunos contam com:
 • vídeos que instigam a leitura;
 • quiz;
 • questões digitais elaboradas sobre o contexto literário da obra.
Os livros selecionados e indicados pelo sistema de ensino do SAE Digital 
para a escolha da escola são:
Plataforma literária - Ensino Fundamental II
Ano Título do livro Autor Editora
6.º
O que é liberdade Renata Bueno Cia das Letrinhas
Dom Quixote (em quadrinhos) Miguel de Cervantes - Adaptação 
de Márcia Williams Ática
Diário de Pilar em Machu Picchu Flávia L. e Silva Zahar
A guerra de Troia em 
versos de cordel Mauricio de Sousa e Fábio Sombra Melhoramentos
A cidade sinistra dos corvos Lemony Snicket Cia das Letrinhas
7.º
A droga da obediência Pedro Bandeira Moderna
Comédias para se ler na escola Luis Fernando Verissimo Objetiva
Sonhos em Amarelo Luiz Antonio Aguiar Melhoramentos
O menino sem imaginação Carlos Eduardo Novaes Ática
A megera domada William Shakespeare - Adaptação 
de Flávio de Souza Editora FTD
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XVI MATEMÁTICA
Plataforma literária - Ensino Fundamental II
Ano Título do livro Autor Editora
8.º
O mistério das aranhas verdes Carlos Heitor Cony e Anna Lee Salamandra
O mistério da Casa Verde Moacyr Scliar Ática
O Médico e o Monstro Robert Louis Stevenson Melhoramentos 
Volta ao mundo em 80 dias Júlio Verne Melhoramentos
Chapeuzinho Vermelho 
em Manhattan Jerome Kakan Martins Fontes
9.º
Eu sou Malala Malala Yousafzai e Christina Lamb José Olympio
O melhor da crônica brasileira 
Ferreira Gullar, José Lins do 
Rego, Rachel de Queiroz e 
Luis Fernando Verissimo
José Olímpio
A menina que roubava livros Markus Zusak Intrínseca
Viagem ao centro da Terra Júlio Verne Melhoramentos
Os miseráveis Vitor Hugo - Tradução e 
adaptação de Walcyr Carrasco Moderna
Orgulho e preconceito Jane Austen Paulus
Casa de pensão Aluísio de Azevedo Obliqclássicos
Histórias de vaqueiros e cantadores Luis Câmara Cascudo Global
*A Plataforma Literária apresenta atividades para todos os livros indicados, 
porém, tais livros não são vendidos pelo SAE Digital.
3.2.5 Desafio SAE Teens 
Tem como objetivo dimensionar o desempenho dos alunos em seus 
processos de aprendizagem, oferecendo resultados e hipóteses para investir 
neles, redirecionar a prática pedagógica e aprimorar nossos materiais. Conta 
com aplicação impressa e online, sendo que neste segundo modelo ofere-
cemos correção em duas metodologias – Teoria de Resposta ao Item/TRI e 
Teoria Clássica de Testes/TCT – e disponibilizamos os relatórios de resultados 
dos alunos.
O Desafio SAE Teens conta com 38 questões para o 6.º e o 7.º ano, 48 para 
o 8.º ano e 54 para o 9.º ano. Os componentes curriculares cobertos são 
Língua Portuguesa, Língua Inglesa, Língua Espanhola, Matemática, História, 
Geografia, Ciências, Filosofia e Arte, sendo que o aluno opta por uma das 
duas línguas estrangeiras.
3.2.6 Portal SAE Digital
O Portal SAE Digital é um ambiente virtual desenvolvido para ampliar a 
possibilidade de interação e troca de informação entre educadores e escola.
São várias ferramentas de interação e conteúdo pedagógico disponibi-
lizadas em diferentes formatos e linguagens, dentre elas:
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XVIIMATEMÁTICA
Banco de provas.
Áudio para download e 
acompanhamento das 
aulas de Língua Inglesa 
e Língua Espanhola.
Conteúdos programáticos. Material do professor.
Planejamento da 
plataforma literária. Videoaulas.
O Banco de provas apresenta uma avaliação bimestral para cada um dos 
componentes curriculares. Cada prova conta com 10 questões, entre disser-
tativas e de múltipla escolha, que abordam todo o conteúdo trabalhado no 
livro. Todas as questões recebem um valor de acordo com o grau de desafio 
apresentado.
As provas estão disponíveis em dois formatos:
 • PDF – não editável, para a aplicação de um mesmo instrumento de ava-
liação em todas as turmas, caso a escola considere essa possibilidade.
 • Word – editável, para se adequar à realidade de cada turma, caso a 
escola considere essa possibilidade.
Em ambos os formatos há tanto a versão para o aluno, com o espaço 
destinado às respostas, quanto a versão para o professor, com os gabaritos.
3.2.7 Caderno digital de produção de textos 
É oferecido bimestralmente, no Portal SAE Digital, um caderno de pro-
dução textual para cada ano. O material amplia o estudo dos gêneros desen-
volvidos pelo material didático. Nesse caderno, com base em textos atuais 
e diversificados, é feita uma análise detalhada da estrutura dos gêneros que 
dão fundamento ao texto a ser desenvolvido pelo aluno, num total de cinco 
produções bimestrais. 
O caderno proporciona, também, subsídios ao professor para proceder 
à correção, bem como orientar a reescrita de textos de seus alunos.
3.2.8 Caderno digital de atividades de Matemática 
No Portal SAE está disponibilizado bimestralmente, para os professores, 
quatro cadernos digitais de atividades, um para cada um dos anos finais do 
Ensino Fundamental.
Cada caderno tem, em média, 100 exercícios distribuídos entre oscapítu-
los de cada livro, sempre conectado ao material didático. O objetivo é oferecer 
aos alunos a possibilidade de ampliar o contato com o raciocínio matemático. 
O professor pode decidir quantos e quais exercícios utilizar com sua 
turma, levando em conta a realidade local. Todos os cadernos apresentam 
os gabaritos para os professores.
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XVIII MATEMÁTICA
4. Pressupostos teórico -metodológicos
A Base Nacional Comum Curricular
A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) é um documento 
de caráter normativo que define o conjunto orgânico e progressivo 
de  aprendizagens essenciais  que todos os alunos devem desenvolver 
ao longo de etapas e modalidades da Educação Básica, de modo que 
tenham assegurados seus direitos de aprendizagem e desenvolvimento, 
em conformidade com o que preceitua o Plano Nacional de Educação 
(PNE). Este documento normativo aplica-se exclusivamente à educação 
escolar, tal como a define o § 1.º do Artigo 1.º da Lei de Diretrizes e Bases 
da Educação Nacional (LDB, Lei n.º 9.394/1996)1, e está orientado pelos 
princípios éticos, políticos e estéticos que visam à formação humana 
integral e à construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva, 
como fundamentado nas Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação 
Básica (DCN)2.
Referência nacional para a formulação dos currículos dos sistemas 
e das redes escolares dos estados, do Distrito Federal e dos municípios e 
das propostas pedagógicas das instituições escolares, a BNCC integra a 
política nacional da Educação Básica e vai contribuir para o alinhamento 
de outras políticas e ações, em âmbito federal, estadual e municipal, refe-
rentes à formação de professores, à avaliação, à elaboração de conteúdos 
educacionais e aos critérios para a oferta de infraestrutura adequada para 
o pleno desenvolvimento da educação.
Nesse sentido, espera-se que a BNCC ajude a superar a fragmentação 
das políticas educacionais, enseje o fortalecimento do regime de cola-
boração entre as três esferas de governo e seja balizadora da qualidade 
da educação. Assim, para além da garantia de acesso e permanência na 
escola, é necessário que sistemas, redes e escolas garantam um patamar 
comum de aprendizagens a todos os estudantes, tarefa para a qual a 
BNCC é instrumento fundamental.
Ao longo da Educação Básica, as aprendizagens essenciais definidas 
na BNCC devem concorrer para assegurar aos estudantes o desenvolvi-
mento de dez  competências gerais, que consubstanciam, no âmbito 
pedagógico, os direitos de aprendizagem e desenvolvimento.
Na BNCC, competência é definida como a mobilização de conhe-
cimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas 
e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas com-
plexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo 
do trabalho.
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XIXMATEMÁTICA
Ao definir essas competências, a BNCC reconhece que a “educação 
deve afirmar valores e estimular ações que contribuam para a transforma-
ção da sociedade, tornando-a mais humana, socialmente justa e, também, 
voltada para a preservação da natureza” (BRASIL, 2013)3, além de se mos-
trar alinhada à Agenda 2030 da Organização das Nações Unidas (ONU)4.
É imprescindível destacar que as competências gerais da Educação 
Básica, apresentadas a seguir, inter-relacionam-se e desdobram-se no 
tratamento didático proposto para as três etapas da Educação Básica 
(Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio), articulando-se 
na construção de conhecimentos, no desenvolvimento de habilidades e 
na formação de atitudes e valores, nos termos da LDB.
Competências gerais da Educação Básica 
1) Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos 
sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e 
explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a 
construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.
2) Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria 
das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a 
imaginação e a criatividade para investigar causas, elaborar e testar 
hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive 
tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
3) Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das 
locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas 
da produção artístico-cultural.
4) Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como 
Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como 
conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, 
para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e 
sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que 
levem ao entendimento mútuo.
5) Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação 
e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas 
diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comuni-
car, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, 
resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida 
pessoal e coletiva.
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6) Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apro-
priar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem 
entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer esco-
lhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, 
com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.
7) Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis 
para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e deci-
sões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a 
consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito 
local, regional e global, com posicionamento ético com relação 
ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.
8) Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, 
compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas 
emoções e as dos outros com autocrítica e capacidade para lidar 
com elas.
9) Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a coopera-
ção, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos 
direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade 
de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes suas identidades, 
suas culturas e suas potencialidades, sem preconceitos de qual-
quer natureza.
10) Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, 
flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com 
base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis 
e solidários.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Educação 
é a Base. Versão Final. Brasília: MEC/CONSED/UNDIME, 2018.
BNCC no Ensino Fundamental – Anos Finais
Ao longo do Ensino Fundamental – Anos Finais, os es-
tudantes se deparam com desafios de maior complexida-
de, sobretudo devido à necessidade de se apropriarem 
dos conhecimentos relacionados às áreas nas diferentes 
lógicas de organização. Tendo em vista essa maior es-
pecialização, é importante, nos vários componentes 
curriculares, retomar e ressignificar as aprendizagens 
do Ensino Fundamental – Anos Iniciais no contexto 
das diferentes áreas, visando ao aprofundamento e à 
ampliação de repertórios dos estudantes.
Nesse sentido, também é importante  fortalecer 
a autonomia  desses adolescentes, oferecendo-lhes 
condições e ferramentas para interagir criticamente com 
diferentes conhecimentos e fontes de informação.
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XX MATEMÁTICA
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XXIMATEMÁTICA
Os estudantes dessa fase inserem-se em uma faixa etária que cor-
responde à transição entre infância e adolescência, marcada por intensas 
mudanças decorrentesde transformações biológicas, psicológicas, sociais 
e emocionais. Nesse período de vida, como bem aponta o Parecer CNE/
CEB n.º 11/2010, ampliam-se os vínculos sociais e os laços afetivos, as 
possibilidades intelectuais e a capacidade de raciocínios mais abstratos. 
Os estudantes tornam-se mais capazes de ver e avaliar os fatos pelo ponto 
de vista do outro, exercendo a capacidade de descentração, “importante 
na construção da autonomia e na aquisição de valores morais e éticos” 
(BRASIL, 2010).
As mudanças próprias dessa fase da vida implicam a compreensão 
do adolescente como sujeito em desenvolvimento, com singularidades 
e formações identitárias e culturais próprias, que demandam práticas 
escolares diferenciadas, capazes de contemplar suas necessidades e seus 
diferentes modos de inserção social. Conforme reconhecem as DCN, é 
frequente, nessa etapa,
observar forte adesão aos padrões de comportamento dos jovens da mesma idade, 
o que é evidenciado pela forma de se vestir e também pela linguagem utilizada por 
eles. Isso requer dos educadores maior disposição para entender e dialogar com as 
formas próprias de expressão das culturas juvenis, cujos traços são mais visíveis, 
sobretudo, nas áreas urbanas mais densamente povoados.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Educação 
é a Base. Versão Final. Brasília: MEC/CONSED/UNDIME, 2018.
Há que se considerar, ainda, que a cultura digital tem promovido 
mudanças sociais significativas nas sociedades contemporâneas. Em de-
corrência do avanço e da multiplicação das tecnologias de informação e 
comunicação e do crescente acesso a elas pela maior disponibilidade de 
computadores, telefones celulares, tablets e afins, os estudantes estão di-
namicamente inseridos nessa cultura, não somente como consumidores. 
Os jovens têm se engajado cada vez mais como protagonistas da cultura 
digital, envolvendo-se diretamente em novas formas de interação multi-
midiática e multimodal e de atuação social em rede, que se realizam de 
modo cada vez mais ágil. Por sua vez, essa cultura também apresenta forte 
apelo emocional e induz ao imediatismo de respostas e à efemeridade 
das informações, privilegiando análises superficiais e o uso de imagens 
e formas de expressão mais sintéticas, diferentes dos modos de dizer e 
argumentar característicos da vida escolar.
Todo esse quadro impõe à escola desafios ao cumprimento do seu 
papel relacionado à formação das novas gerações. É importante que a 
instituição escolar preserve seu compromisso de estimular a reflexão e 
a análise aprofundada e contribua para o desenvolvimento, no estudan-
te, de uma atitude crítica em relação ao conteúdo e à multiplicidade de 
ofertas midiáticas e digitais. Contudo, também é imprescindível que a 
escola compreenda e incorpore mais as novas linguagens e seus modos 
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XXII MATEMÁTICA
de funcionamento, desvendando possibilidades de comunicação (e tam-
bém de manipulação), e que eduque para usos mais democráticos das 
tecnologias e para uma participação mais consciente na cultura digital. 
Ao aproveitar o potencial de comunicação do universo digital, a escola 
pode instituir novos modos de promover a aprendizagem, a interação 
e o compartilhamento de significados entre professores e estudantes.
Além disso, e tendo por base o compromisso da escola de propiciar 
uma formação integral, balizada pelos direitos humanos e princípios 
democráticos, é preciso considerar a necessidade de desnaturalizar 
qualquer forma de violência nas sociedades contemporâneas, incluindo 
a violência simbólica de grupos sociais que impõem normas, valores e 
conhecimentos tidos como universais e que não estabelecem diálogo 
entre as diferentes culturas presentes na comunidade e na escola.
Em todas as etapas de escolarização, mas de modo especial entre os 
estudantes dessa fase do Ensino Fundamental, esses fatores frequente-
mente dificultam a convivência cotidiana e a aprendizagem, conduzindo 
ao desinteresse e à alienação e, não raro, à agressividade e ao fracasso 
escolar. Atenta a culturas distintas, não uniformes nem contínuas dos 
estudantes dessa etapa, é necessário que a escola dialogue com a diver-
sidade de formação e vivências para enfrentar com sucesso os desafios 
de seus propósitos educativos. A compreensão dos estudantes como 
sujeitos com histórias e saberes construídos nas interações com outras 
pessoas, tanto do entorno social mais próximo quanto do universo da 
cultura midiática e digital, fortalece o potencial da escola como espaço 
formador e orientador para a cidadania consciente, crítica e participativa.
Nessa direção, no Ensino Fundamental – Anos Finais, a escola pode 
contribuir para o delineamento do projeto de vida dos estudantes, ao 
estabelecer uma articulação não somente com os anseios desses jovens 
em relação ao seu futuro, como também com a continuidade dos estudos 
no Ensino Médio. Esse processo de reflexão sobre o que cada jovem quer 
ser no futuro, e de planejamento de ações para construir esse futuro, pode 
representar mais uma possibilidade de desenvolvimento pessoal e social.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Educação 
é a Base. Versão Final. Brasília: MEC/CONSED/UNDIME, 2018.
Nas próximas páginas, você encontrará os pressupostos teórico-meto-
dológicos e os objetivos gerais de todos os componentes curriculares. Para 
conhecer os objetivos específicos e os encaminhamentos metodológicos para 
cada capítulo, por componente curricular, você deve usar o livro do professor.
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XXIIIMATEMÁTICA
4.2 Matemática
A invenção de símbolos matemáticos e suas atribuições foi e continua 
sendo uma construção gradual, caracterizada por regras. O ser humano não 
pode, porém, ficar preso à simples memorização dessas regras, porque é po-
tencialmente capaz de desenvolver raciocínios e estratégias próprias para a 
resolução de problemas, embora muitas vezes não domine completamente 
toda a linguagem simbólica convencional. 
Partindo dessa ideia, a linguagem e a compreensão matemáticas, propos-
tas no material, orientam os alunos na construção de sentido e significado de 
uma linguagem matemática. Dessa forma, a intenção é que eles se apropriem 
de unidades temáticas, propostas na BNCC, para a compreensão dessa ciência:
 • Números – Resolver problemas com números naturais, inteiros e ra-
cionais, envolvendo as operações básicas; dominar o cálculo da por-
centagem e suas variações; resolver situações-problemas, incluindo 
geometria.
 • Álgebra – Desenvolver as ideias de regularidades; saber generalizar 
padrões; conhecer e aprofundar as propriedades de igualdade; com-
preender o significado de incógnita e variável; aprofundar o estudo 
de funções e equações, sabendo diferenciar os conceitos.
 • Geometria – Analisar e produzir transformações e ampliações/reduções 
de figuras geométricas planas, identificando seus elementos variantes 
e invariantes; desenvolver os conceitos de congruência e semelhan-
ça; formar o raciocínio hipotético-dedutivo; aproximar a Álgebra da 
Geometria, desde o início do estudo do plano cartesiano, por meio da 
geometria analítica. 
 • Grandezas e medidas – Reconhecer comprimento, área, volume e 
abertura de ângulo como grandezas associadas a figuras; resolver 
problemas envolvendo essas grandezas com o uso de unidades de 
medida padronizadas mais usuais; estabelecer e utilizar relações entre 
diversas grandezas, para abordar grandezas derivadas como densi-
dade, velocidade, energia, potência etc.; determinar expressões de 
cálculo de áreas de quadriláteros, triângulos e círculos e as de volumes 
de prismas e de cilindros; introduzir medidas de capacidade de arma-
zenamento de computadores como grandeza associada a demandas 
da sociedade moderna. 
 • Probabilidade e estatística – Planejar e construir relatórios de pesqui-
sas estatísticas descritivas, incluindo medidasde tendência central 
e construção de tabelas e diversos tipos de gráfico; definir questões 
relevantes da população a ser pesquisada, a decisão sobre a necessi-
dade ou não de usar amostra e, quando for o caso, a seleção de seus 
elementos por meio de uma adequada técnica de amostragem.
clawan/shutterstock
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 23 15/09/2020 17:21:35
XXIV MATEMÁTICA
1) Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto de 
necessidades e preocupações de diferentes culturas, em dife-
rentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui 
para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para 
alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no 
mundo do trabalho.
2) Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a ca-
pacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos 
conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.
A organização didática do material decorre da compreensão das estrutu-
ras de cada conteúdo que se deseja ensinar e do entendimento de que cada 
pessoa tem sua maneira própria de aprender. Privilegiou-se a problematiza-
ção das ideias como meio de construção de conceitos e do significado das 
notações numéricas e geométricas. Os assuntos foram abordados de forma 
clara e precisa – e, na medida do possível, por meio de exemplos práticos, 
pois não se aprende matemática sem praticar.
As questões resolvidas não têm intenção de servir como “manual de 
utilização”, mas representam o pontapé inicial para as atividades a serem 
solucionadas individualmente, a fim de reforçar os conceitos já assimilados. 
A abordagem teórica segue uma linha destinada a consolidar e enriquecer 
uma teoria necessária. Procurou-se dar atenção especial para os conteúdos 
não serem apresentados de uma única maneira.
A metodologia adotada pressupõe intervenções constantes do professor, 
com a finalidade de orientar os alunos e de permitir-lhes estabelecer relações 
com situações vivenciadas anteriormente, levando-os a expressar o pensa-
mento por meio da linguagem espontânea e, posteriormente, por meio da 
linguagem matemática convencional. Dessa forma, será possível desmistificar 
os “mitos matemáticos”, que serão, então, substituídos por uma aprendizagem 
prazerosa e estimulante.
Por fim, é importante esclarecer que uma concepção de ensino que va-
loriza a criatividade, a intuição e os processos de raciocínio e de aquisição de 
conceitos necessita de uma prática pedagógica dinâmica e de um processo 
avaliativo mais abrangente e diversificado. Nesse sentido, a avaliação é parte 
do processo educativo e não deve ter caráter de finalização, ou seja, deve 
servir para evidenciar o que os alunos aprenderam e o que ainda necessitam 
aprender.
Competências específicas para a Matemática:
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 24 15/09/2020 17:21:36
XXVMATEMÁTICA
3) Compreender as relações entre conceitos e procedimentos 
dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, 
Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do co-
nhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de 
construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo 
a autoestima e a perseverança na busca de soluções.
4) Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e 
qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo 
a investigar, organizar, representar e comunicar informações 
relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, 
produzindo argumentos convincentes.
5) Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecno-
logias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas 
cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando 
estratégias e resultados.
6) Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se 
situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto 
prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, 
utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, 
esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras lin-
guagens para descrever algoritmos, como fluxogramas e dados).
7) Desenvolver ou discutir projetos que abordem, sobretudo, 
questões de urgência social, com base em princípios éticos, de-
mocráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade 
de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos 
de qualquer natureza.
8) Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando cole-
tivamente no planejamento e no desenvolvimento de pesquisas, 
para responder a questionamentos, e na busca de soluções para 
problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não 
na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo 
de pensar dos colegas e aprendendo com eles.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Educação 
é a Base. Versão Final. Brasília: MEC/CONSED/UNDIME, 2018.
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XXVI MATEMÁTICA
5. Programação anual de conteúdos
Nas próximas páginas, você encontrará as programações anuais de todos 
os componentes curriculares referentes aos 4 anos do Ensino Fundamental – 
Anos Finais. Elas foram organizadas para que você possa montar um grande 
painel em sua sala, se achar conveniente. Para isso, basta recortar as progra-
mações do seu livro da coordenação.
A elaboração desse painel possibilitará a você ter uma visualização com-
pleta dos conteúdos que serão trabalhados em todos os anos e todos os com-
ponentes curriculares. Dessa forma, você poderá auxiliar os seus professores 
na identificação de conteúdos que aparecem em mais de um componente 
e que poderão ser trabalhados em paralelo, bem como na elaboração de 
projetos interdisciplinares ou complementares.
O material do SAE Digital passa por atualizações constantes ao longo 
do ano, em todos os livros. Então, é importante que você fique atento para 
algumas mudanças que vierem a ocorrer nas programações dos conteúdos. 
Se isso acontecer, você pode fazer uma cópia da programação que é enviada 
bimestralmente no livro do professor. Dessa maneira, o painel da sua sala de 
coordenação estará sempre atualizado.
Ainda, no QR Code aqui disposto, apresentamos também uma propos-
ta de trabalho para os modelos trimestrais. O QRcode irá direcioná-lo a um 
arquivo em PDF. Esse arquivo pode ser impresso, e também está disponível 
para consulta no Portal.
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XXVIIMATEMÁTICA
Programação anual de conteúdos – Matemática – 8.o ano
Unidades Capítulos Conteúdos Habilidades Aulas
Li
vr
o 
1
1. Conjuntos 
numéricos
1. Ampliando 
os conjuntos 
, ,  e 
 • Ampliando os conjuntos dos naturais, dos inteiros e dos racionais
 • Representação numérica dos números racionais
 • Dízimas periódicas e geratriz de uma dízima
 • Representação percentual dos números racionais e aplicações
 • Os números irracionais
EF08MA04
EF08MA05 7
2. Números reais
 • Definição de conjunto dos reais 
 • Representação na reta numérica
 • Operações básicas com os reais e suas propriedades
 • Expressões numéricas envolvendo as quatro operações
SAE + 9
3. Potências e raízes
 • Propriedades da potenciação
 • Potências de base 10 e notação científica
 • Radiciação e propriedades
 • Extraindo raízes quadradas aproximadas
 • Expressões numéricas
EF08MA01
EF08MA02 7
2. Estatística e 
probabilidade
1. Gráficos, pesquisas 
e medidas 
estatísticas
 • Gráficos de barras, colunas, linhas e setores
 • Medidas de tendência central e de dispersão
 • Pesquisas censitária e amostral
 • Planejamento e execução de pesquisa amostral
EF08MA23
EF08MA24
EF08MA25
EF08MA26
EF08MA27
4
2. Probabilidade
 • Espaço amostral
 • Eventos
 • Princípio multiplicativo 
 • Cálculo de probabilidades
 • Resolver e elaborar problemas
EF08MA03
EF08MA22 4
3. Polinômios
1. Expressões literais
 • Expressões algébricas e numéricas
 • Valor numérico de uma expressão algébrica
 •Classificação de expressões algébricas
EF08MA06 5
2. Monômios
 • Composição de um monômio
 • Grau de um monômio
 • Operações com monômios
EF08MA06 7
3. Definição e 
operações
 • Composição de um polinômio
 • Grau de um polinômio
 • Adição, subtração, multiplicação e divisão de polinômios
EF08MA06 7
Li
vr
o 
2
4. Expressões 
algébricas I
1. Produtos notáveis
 • Quadrado da soma e da diferença de dois termos
 • Produto da soma pela diferença de dois termos
 • Cubo da soma e da diferença de dois termos
 • Múltiplos e divisores
EF08MA06 9
2. Fatoração, múltiplos 
e divisores
 • Fator comum em evidência e agrupamento
 • Diferença de dois quadrados e trinômio quadrado perfeito
 • MMC e MDC entre monômios e polinômios
EF08MA06 9
5. Introdução às 
frações 
algébricas
1. Frações algébricas • Quociente de dois polinômios 
 • Denominador de uma fração algébrica EF08MA06 9
2. Simplificação 
e equivalência 
de frações
 • Simplificações de frações algébricas
 • Frações algébricas equivalentes EF08MA06 7
6. Geometria I
1. Geometria no plano
 • Ponto, reta e plano
 • Postulados
 • Semirreta, segmento de reta, medida de um segmento, segmentos 
congruentes, ponto médio de um segmento
 • Segmentos consecutivos, colineares e adjacentes
SAE + 4
2. Ângulos
 • Definição de ângulo
 • Medida de um ângulo
 • Ângulos congruentes, consecutivos e adjacentes
 • Bissetriz de um ângulo
 • Mediatriz de um segmento
 • Ângulos: agudo, reto, obtuso e raso
 • Ângulos complementares e suplementares
 • Ângulos opostos pelo vértice
EF08MA15
EF08MA17 5
3. Polígonos
 • Regiões convexa e côncava
 • Polígonos convexos
 • Elementos de um polígono
 • Perímetro de um polígono
 • Diagonais de um polígono
 • Transformações geométricas
EF08MA16
EF08MA18 7
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 27 15/09/2020 17:21:36
XXVIII MATEMÁTICA
Unidades Capítulos Conteúdos Habilidades Aulas
Li
vr
o 
3
7. Expressões 
algébricas II
1. Operações com 
frações algébricas
 • Frações algébricas equivalentes
 • Adição, subtração, multiplicação e divisão de frações algébricas 
 • Potenciação de frações algébricas
EF08MA06 7
2. Equações do 
segundo grau 
e fracionárias
 • Equações fracionárias
 • Resolução de equações fracionárias
 • Equações do segundo grau do tipo ax2 = b
EF08MA06
EF08MA09 7
3. Sequências 
recursivas e não 
recursivas
 • Sequências geométricas recursivas e não recursivas
 • Sequências numéricas recursivas e não recursivas
EF08MA10
EF08MA11 6
8. Equações e 
inequações 
do 1.º grau
1. Equações e 
desigualdades
 • Equações literais
 • Inequações do 1.º grau, conjunto universo e conjunto verdade
 • Representação geométrica das soluções de uma inequação
 • Princípios de equivalência, aditivo e multiplicativo em uma desigualdade
 • Resolução de uma inequação
SAE + 9
2. Sistemas de 
equações com 
duas variáveis
 • Soluções de um sistema de equações
 • Métodos resolutivos de um sistema de equações do 1.º grau com duas 
incógnitas
 • Representação gráfica de sistemas de equações no plano cartesiano
EF08MA07
EF08MA08 9
9. Geometria II
1. Retas
 • Retas paralelas e transversais e suas propriedades
 • Relações entre ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma 
transversal
SAE + 5
2. Volume e 
capacidade
 • Medidas de capacidade, múltiplos e submúltiplos
 • Volume do paralelepípedo, cubo, cilindro
EF08MA20
EF08MA21 7
Li
vr
o 
4
10. Plano cartesiano
1. Coordenadas 
cartesianas
 • Coordenadas cartesianas
 • Gráfico de uma equação do 1.º grau com duas incógnitas
EF08MA07
EF08MA08 7
2. Gráfico e 
interpretação 
geométrica
 • Gráfico de um sistema de equações 
 • Interpretação geométrica da solução de um sistema de equações
EF08MA07
EF08MA08
EF08MA12
EF08MA13
7
11. Polígonos
3. Triângulos
 • Elementos dos triângulos e suas relações
 • Classificação quanto aos lados e aos ângulos
 • Mediana, altura e bissetriz e construções geométricas
 • Congruência de triângulos 
 • Propriedades do triângulo retângulo e do isósceles
EF08MA15
EF08MA17
EF08MA19
14
4. Quadriláteros
 • Elementos dos quadriláteros
 • Soma dos ângulos internos e externos de um polígono qualquer
 • Paralelogramo, retângulo, losango, quadrado e trapézio
EF08MA14
EF08MA19 11
12. Circunferência 
e círculo
1. Definições e 
relações entre as 
circunferências
 • Definições: circunferência e círculo
 • Elementos da circunferência
 • Comprimento da circunferência e área do círculo
 • Posições relativas entre uma reta e uma circunferência
 • Posições relativas de duas circunferências
EF08MA19 5
2. Ângulos na 
circunferência
 • Ângulo central, ângulo inscrito, ângulo de segmento
 • Congruência de arcos
 • Correspondência entre arcos e cordas
 • Ângulos com vértices que não pertencem à circunferência
 • Circunferência inscrita no triângulo e no quadrilátero
SAE + 5
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 28 15/09/2020 17:21:36
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Matemática
Unidade 1 | Conjuntos numéricos
Capítulo 1 | Conjuntos , ,  e I ............................................................................ 70
Capítulo 2 | Números reais .......................................................................................... 80
Capítulo 3 | Potências e raízes .................................................................................. 89
Unidade 2 | Estatística e probabilidade
Capítulo 1 | Gráficos, pesquisas e medidas estatísticas ........................... 101
Capítulo 2 | Probabilidade ....................................................................................... 113
Unidade 3 | Polinômios
Capítulo 1 | Expressões literais .............................................................................. 120
Capítulo 2 | Monômios ................................................................................................ 127
Capítulo 3 | Definição e operações ..................................................................... 138
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 69 15/09/2020 17:21:37
70 MATEMÁTICA
os alunos, sugerimos que você selecione essas seções em cada capítulo e reserve para 
cada uma um espaço adequado em seu planejamento. 
Já a seção Atividades apresenta exercícios com outro objetivo: sistematizar, de 
maneira direta, os conteúdos trabalhados. A seção está localizada, geralmente, ao final 
de cada capítulo, antes do mapa conceitual. A seguir, sugerimos duas possibilidades 
para você desenvolver o trabalho com ela. 
 • Selecionar as atividades de acordo com a sequência do conteúdo, orientando os 
alunos a resolvê-las em casa.
 • Trabalhar com todas elas ao final do capítulo, como revisão do que foi estudado. 
Objetivos do capítulo
 • Relembrar os conceitos e as 
características dos conjuntos 
dos números naturais, inteiros, 
racionais e irracionais.
 • Ampliar os conceitos 
da representação decimal 
dos números racionais, da 
geratriz de uma dízima e das 
dízimas periódicas (simples e 
composta).
 • Identificar as representações 
dos números racionais.
 • Resolver e elaborar proble-
mas que envolvem cálculo de 
porcentagens, com e sem o 
uso de tecnologias digitais.
Realidade aumentada 
 • Dízimas periódicas e suas 
frações geratrizes
 • Raízes quadradas não exatas
Encaminhamento 
metodológico
Neste capítulo, trabalhare-
mos as habilidades EF08MA04 e 
EF08MA05 da BNCC. A primeira 
habilidade trata da resolução 
e elaboração de problemas, 
envolvendo cálculo de por-
centagens, incluindo o uso de 
tecnologias digitais. A segunda 
habilidade trata de reconhecer 
e utilizar procedimentos para a 
obtenção de uma fração geratriz 
para uma dízima periódica. Este 
capítulo tem foco na ampliação 
dos conceitos de conjuntos 
numéricos já estudados.
Por meio da pergunta 
inicial, é possível investigar se os 
alunos se lembram dos con-
juntos numéricos, das regras e 
propriedades de cada um.
Dica para ampliar 
o trabalho
As seções Interação, 
Desenvolver e aplicar, 
Matemática e tecnologia, 
Conexão e Ter atitude podem 
aparecer no decorrer do conteú-do. Elas apresentam atividades 
contextualizadas, que buscam 
a interação com os saberes de 
colegas ou com informações 
provenientes de diferentes tex-
tos e imagens. Antes de iniciar 
o trabalho do bimestre com 
EF
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U
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01
Ampliando os conjuntos ,  e 
Em nosso dia a dia, utilizamos os números naturais para fazer contagens. Esse conjunto é repre-
sentado da seguinte forma:
 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Porém, há situações em que os números naturais não são suficientes. É preciso, então, ampliar 
nosso campo numérico para conseguir fazer essas representações.
Já vimos que podemos representar a soma de, por exemplo, 3 + 2, que é 5.
Como podemos representar a diferença 2 – 3?
Com os números naturais, não é possível representar essa situação. Para isso, precisamos de outro 
conjunto, o conjunto dos inteiros.
O conjunto dos números inteiros é formado pelos números naturais e pelos números negativos. 
Esse conjunto é representado da seguinte forma:
 = { ..., –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Porém, em algumas situações, precisamos ampliar novamente nosso campo numérico, pois os 
números inteiros não são suficientes para fazer algumas representações.
Podemos representar divisões entre números inteiros quando o denominador é diferente de zero, 
por exemplo, 16 : 8 = 2. 
Como podemos representar a divisão 1 : 2?
Com números inteiros, não conseguimos. Para isso, podemos utilizar uma fração ou um número deci-
mal, pertencentes ao conjunto dos números racionais. Esse conjunto é representado da seguinte forma:
 � � ��
�
�
�
�
�
..., , ..., ,... ,..., ,..., ,..., ,...1
1
3
0
1
5
1
3
2
Representação dos números racionais
Os números racionais podem ser escritos na forma decimal ou fracio-
nária. E as frações? Como podemos fazer para transformar uma fração em 
número decimal?
É importante lembrar que uma fração também significa uma divi-
são, na qual o numerador é o dividendo e o denominador é o divisor.
Quando a divisão entre dois números inteiros tem resto zero, 
dizemos que o quociente é um número decimal exato. Porém, 
em situações nas quais a divisão apresenta resto diferente de 
zero, obtemos uma dízima. 
  Exemplos:
 • 51
99
0 515151= , ... → dízima periódica
 • 1
2
0 5= , → decimal exato
 • 3 = 3,0 = 3,00 → decimal exato
71MATEMÁTICA
ixpert/Shutterstock
un
idade
70
1. Conjuntos , ,  e  
A necessidade de classificar e agrupar as coisas, como objetos, pessoas ou informações, existe desde que 
o homem buscou compreender o mundo em que vive. Precisamos estabelecer regras e propriedades que 
permitam aos elementos envolvidos fazer parte de determinado grupo. Por exemplo, nós, seres humanos, 
vivemos em uma cidade, localizada em um estado, que fica em um país, que se encontra no planeta Terra. 
Na Matemática também temos conjuntos assim, em que o agrupamento de números acontece conforme a 
necessidade de resolver situações. Além disso, há grupos maiores que englobam outros menores e, a esses 
grupos, damos o nome de conjuntos numéricos.
Que conjuntos numéricos você conhece?
1
• Conjuntos: naturais, inteiros, 
racionais e irracionais
• Dízimas periódicas e não periódicas
• Geratriz de uma dízima periódica
• Representação percentual de racionais
• Números irracionais
Conjuntos numéricos
Escola Digital
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 70 15/09/2020 17:21:48
71MATEMÁTICA
Dica para ampliar 
o trabalho
“Uma exposição sistemá-
tica dos conjuntos numéricos, 
utilizados na Matemática, pode 
ser feita a partir dos números 
usados para contar, chamados 
de números naturais. [...] A ideia 
do número zero só apareceu 
mais tarde, tendo sido introduzi-
do pelos hindus. [...]”
 = {0, 1, 2, 3, ...}
Da ampliação de  para 
um conjunto ‘maior’, [...] sur-
giram os números negativos, 
posteriormente incorporados ao 
conjunto dos números inteiros. 
Dessa forma, temos: 
 = {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} 
[...] Os números negativos 
tiveram uma aceitação relati-
vamente recente. No entanto, 
problemas envolvendo frações 
já eram resolvidos pelos babi-
lônios e egípcios, levados pelas 
necessidades básicas do dia a 
dia, muitos séculos antes de 
Cristo. O papiro egípcio Ahmes 
(ou Rhind) data de 1700 a.C. e 
contém, dentre outros, pro-
blemas envolvendo frações. 
Ampliando então o conjunto 
dos inteiros [...], surgiram os nú-
meros racionais que são defini-
dos como: números que podem 
ser escritos na forma 
p
q
, sendo 
p
q
 ∈  e q ≠ 0.”
JESUS, Adelmo Ribeiro de et al. 
Conjuntos numéricos e funções. 
Disponível em: http://url.sae.digital/
InrBOCn. Acesso em: 24 jul. 2019.
Encaminhamento metodológico
Converse com os alunos sobre a ampliação dos conjuntos numéricos. Comente 
que essa ampliação está diretamente ligada à necessidade do homem. Explore os 
conceitos na reta numérica. Primeiro, com os números naturais; depois, amplie para os 
inteiros e racionais. Se possível, utilize a mesma reta numérica, acrescentando subdivi-
sões e a ampliando. Relembre os conceitos das operações (eles serão ampliados quan-
do estudarmos o conjunto dos números reais no capítulo 2 desta unidade). 
EF
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Ampliando os conjuntos ,  e 
Em nosso dia a dia, utilizamos os números naturais para fazer contagens. Esse conjunto é repre-
sentado da seguinte forma:
 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Porém, há situações em que os números naturais não são suficientes. É preciso, então, ampliar 
nosso campo numérico para conseguir fazer essas representações.
Já vimos que podemos representar a soma de, por exemplo, 3 + 2, que é 5.
Como podemos representar a diferença 2 – 3?
Com os números naturais, não é possível representar essa situação. Para isso, precisamos de outro 
conjunto, o conjunto dos inteiros.
O conjunto dos números inteiros é formado pelos números naturais e pelos números negativos. 
Esse conjunto é representado da seguinte forma:
 = { ..., –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Porém, em algumas situações, precisamos ampliar novamente nosso campo numérico, pois os 
números inteiros não são suficientes para fazer algumas representações.
Podemos representar divisões entre números inteiros quando o denominador é diferente de zero, 
por exemplo, 16 : 8 = 2. 
Como podemos representar a divisão 1 : 2?
Com números inteiros, não conseguimos. Para isso, podemos utilizar uma fração ou um número deci-
mal, pertencentes ao conjunto dos números racionais. Esse conjunto é representado da seguinte forma:
 � � ��
�
�
�
�
�
..., , ..., ,... ,..., ,..., ,..., ,...1
1
3
0
1
5
1
3
2
Representação dos números racionais
Os números racionais podem ser escritos na forma decimal ou fracio-
nária. E as frações? Como podemos fazer para transformar uma fração em 
número decimal?
É importante lembrar que uma fração também significa uma divi-
são, na qual o numerador é o dividendo e o denominador é o divisor.
Quando a divisão entre dois números inteiros tem resto zero, 
dizemos que o quociente é um número decimal exato. Porém, 
em situações nas quais a divisão apresenta resto diferente de 
zero, obtemos uma dízima. 
  Exemplos:
 • 51
99
0 515151= , ... → dízima periódica
 • 1
2
0 5= , → decimal exato
 • 3 = 3,0 = 3,00 → decimal exato
71MATEMÁTICA
ixpert/Shutterstock
un
idade
70
1. Conjuntos , ,  e  
A necessidade de classificar e agrupar as coisas, como objetos, pessoas ou informações, existe desde que 
o homem buscou compreender o mundo em que vive. Precisamos estabelecer regras e propriedades que 
permitam aos elementos envolvidos fazer parte de determinado grupo. Por exemplo, nós, seres humanos, 
vivemos em uma cidade, localizada em um estado, que fica em um país, que se encontra no planeta Terra. 
Na Matemática também temos conjuntos assim, em que o agrupamento de números acontece conforme a 
necessidade de resolver situações. Além disso, há grupos maiores que englobam outros menores e, a esses 
grupos, damos o nome de conjuntos numéricos.
Que conjuntos numéricos você conhece?
1
• Conjuntos:naturais, inteiros, 
racionais e irracionais
• Dízimas periódicas e não periódicas
• Geratriz de uma dízima periódica
• Representação percentual de racionais
• Números irracionais
Conjuntos numéricos
Escola Digital
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72 MATEMÁTICA
Encaminhamento 
metodológico
Enfatize a diferença entre 
dízimas periódicas simples e 
compostas. Destaque, ainda, o 
padrão e a regularidade presen-
te nas dízimas periódicas, por 
exemplo:
1
9
0 1111= , ...
2
9
0 2222= , ...
Na seção Desenvolver e 
aplicar, utilizamos a calculadora 
para aplicar este conceito. É 
possível solicitar mais valores. 
Abaixo estão algumas opções.
Fr
aç
ão
Re
pr
es
en
ta
çã
o 
de
ci
m
al
Co
nc
lu
sã
o
1
8
0,125 Decimal 
exato.
11
9
1,2222... Dízima 
simples.
1311
990
1,32424... Dízima 
composta.
Resposta
As respostas para a seção 
Desenvolver e aplicar estão no 
Livro do aluno.
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01
Geratriz de uma dízima periódica simples
Vamos obter a fração geratriz da dízima periódica 0,222...
1.°) Chamamos essa dízima de: x = 0,222... (I).
2.°) Considerando que o período dessa dízima é formado por um algarismo (p = 1), multiplicamos am-
bos os membros da igualdade (I) por 10 para obter outro número na forma decimal com o mesmo período. 
10x = 2,222... (II)
3.°) Subtraímos membro a membro (I) de (II) e, assim, a parte que se repete desaparece.
� �x
2
9
10 2 222
0 222
9 2
x
x
x
�
� �
�
, ...
, ... , essa é a fração geratriz. 
Geratriz de dízima periódica composta
Vamos obter a fração geratriz da dízima periódica 2,6121212...
1.°) Chamamos essa dízima de: x = 2,61212... (I).
2.°) Multiplicamos os dois membros da igualdade (I) por 10 para obter uma dízima periódica simples.
10x = 26,1212... (II)
3.°) Considerando que o período dessa dízima é formado por dois algarismos (p = 2), multiplica-
mos ambos os membros da igualdade (II) por 100 para obter outro número na forma decimal com o 
mesmo período.
1 000x = 2 612,1212... (III)
4.°) Subtraímos membro a membro (II) de (III) e, assim, a parte que se repete desaparece.
1000 2 612 1212
10 26 121212
990 2 586
x
x
x
�
� �
�
, ...
, ... � � � �x
2 586
990
1293
495
431
165
, essa é a fração geratriz da dízima periódica.
 
1. Classifique as frações em dízima periódica simples, periódica composta ou decimal exato.
a) 
17
8
b) 
2
45
c) 4
11
  Solução:
a) Decimal exato, pois, ao efetuarmos a divisão, temos resto zero.
8
2,125
17
 10
 20
 40
 0
b) Dízima periódica composta, pois, ao efetuarmos a divisão, temos que, após a vírgula, aparece 
uma parte que não se repete, vindo a seguir o período.
45
0,0444...
200
 200
 200
COLOCANDO EM PRÁTICA
73MATEMÁTICA
Dízimas periódicas
Quando a divisão apresenta resto diferente de zero, que pode prosseguir infinitamente, tendo 
como resultado um decimal sem fim, existem duas possibilidades: esse decimal pode ser uma dízima 
periódica ou dízima não periódica.
As dízimas periódicas são formadas por períodos. O período de uma dízima é formado pelos nú-
meros que se repetem, e esses números são representados por um traço acima deles.
  Exemplos:
 •
2
3
0 666 0 6= =, ... , , o período é igual a 6.
 •
3
11
0 27272727 0 27= =, ... , , o período é igual a 27.
Existem dois tipos de dízimas periódicas: as simples e as compostas. Entenderemos a diferença 
entre elas analisando o período (p) de cada uma.
1) Simples: quando logo após a vírgula aparece o período.
  Exemplos:
 • 0 333 0 3, ... ,= (período: 3)
 • 1 212121 1 21, ... ,= (período: 21)
2) Composta: quando, após a vírgula, há uma parte que não se repete, e o período aparece na 
sequência.
  Exemplos:
 • 0 1666 0 16, ... ,= (parte não periódica: 1; período: 6)
 • 0 21353535 0 2135, ... ,= (parte não periódica: 21; período: 35)
Geratriz de uma dízima periódica
A fração irredutível que dá origem a uma dízima periódica é 
denominada fração geratriz. Observe, a seguir, como calcular a fra-
ção geratriz tanto de uma dízima simples quanto de uma composta.
EM TEMPO
Fração irredutível é a fração que já 
está na sua forma simplificada, ou seja, 
o numerador e o denominador não 
apresentam termos divisíveis entre si. 
 
Com uma calculadora, descubra a representação decimal das frações abaixo, concluindo se são 
dízimas periódicas simples ou compostas.
Fração Representação decimal Conclusão
7
6
1
11
25
22
DESENVOLVER E APLICAR
D
VA
RG
/S
hu
tt
er
st
oc
k
72 MATEMÁTICA
1,1666... Dízima periódica 
composta.
0,090909... Dízima periódica 
simples.
1,1363636... Dízima periódica 
composta.
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 72 15/09/2020 17:22:08
73MATEMÁTICA
dada pela distância do período 
até a vírgula. 
4.º Resolva a diferença 
no numerador e simplifique a 
fração caso seja possível.
Vamos encontrar a fração 
geratriz de 30,566...
Seguindo os passos, 
temos:
1.º 
3056
2.º 3056 305−
3.º 
3056 305
90
 −
4.º 
2 751
90
917
30
 
=
Orientação para RA 
Esta Realidade aumentada 
tem como foco a verificação 
de conceitos a respeito das 
frações geratrizes e das dízimas 
periódicas.
Encaminhamento metodológico
Neste momento, é apresentado um método prático para encontrar a fração geratriz 
tanto de dízima periódica simples quanto de composta. Neste momento, é proposto aos 
alunos que reconheçam e utilizem procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz 
para uma dízima periódica, desenvolvendo assim a habilidade EF08MA05 da BNCC. Caso 
julgue necessário, realize mais exemplos. 
Dica para ampliar o trabalho 
Regra prática para calcular a fração geratriz:
1.º Copie o número (sem a vírgula) até incluir o período uma vez, ele será o nume-
rador da fração geratriz.
2.º Subtraia o número que vier antes do período (sem a vírgula).
3.º No denominador, coloque os algarismos 9 e 0. A quantidade de algarismos 9 
será dada pela quantidade de dígitos do período. A quantidade de algarismos 0 será 
EF
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_8
_M
AT
_L
1_
U
1_
01
Geratriz de uma dízima periódica simples
Vamos obter a fração geratriz da dízima periódica 0,222...
1.°) Chamamos essa dízima de: x = 0,222... (I).
2.°) Considerando que o período dessa dízima é formado por um algarismo (p = 1), multiplicamos am-
bos os membros da igualdade (I) por 10 para obter outro número na forma decimal com o mesmo período. 
10x = 2,222... (II)
3.°) Subtraímos membro a membro (I) de (II) e, assim, a parte que se repete desaparece.
� �x
2
9
10 2 222
0 222
9 2
x
x
x
�
� �
�
, ...
, ... , essa é a fração geratriz. 
Geratriz de dízima periódica composta
Vamos obter a fração geratriz da dízima periódica 2,6121212...
1.°) Chamamos essa dízima de: x = 2,61212... (I).
2.°) Multiplicamos os dois membros da igualdade (I) por 10 para obter uma dízima periódica simples.
10x = 26,1212... (II)
3.°) Considerando que o período dessa dízima é formado por dois algarismos (p = 2), multiplica-
mos ambos os membros da igualdade (II) por 100 para obter outro número na forma decimal com o 
mesmo período.
1 000x = 2 612,1212... (III)
4.°) Subtraímos membro a membro (II) de (III) e, assim, a parte que se repete desaparece.
1000 2 612 1212
10 26 121212
990 2 586
x
x
x
�
� �
�
, ...
, ... � � � �x
2 586
990
1293
495
431
165
, essa é a fração geratriz da dízima periódica.
 
1. Classifique as frações em dízima periódica simples, periódica composta ou decimal exato.
a) 
17
8
b) 
2
45
c) 4
11
  Solução:
a) Decimal exato, pois, ao efetuarmos a divisão, temos resto zero.
8
2,125
17
 10
 20
 40
 0
b) Dízima periódica composta, pois, ao efetuarmos a divisão, temos que, após a vírgula, aparece 
uma parte que não se repete, vindo a seguir o período.
45
0,0444...
200
 200
 200
COLOCANDO EM PRÁTICA
73MATEMÁTICA
Dízimas periódicas
Quando a divisão apresenta resto diferente de zero, que pode prosseguir infinitamente, tendo 
como resultado um decimal sem fim, existemduas possibilidades: esse decimal pode ser uma dízima 
periódica ou dízima não periódica.
As dízimas periódicas são formadas por períodos. O período de uma dízima é formado pelos nú-
meros que se repetem, e esses números são representados por um traço acima deles.
  Exemplos:
 •
2
3
0 666 0 6= =, ... , , o período é igual a 6.
 •
3
11
0 27272727 0 27= =, ... , , o período é igual a 27.
Existem dois tipos de dízimas periódicas: as simples e as compostas. Entenderemos a diferença 
entre elas analisando o período (p) de cada uma.
1) Simples: quando logo após a vírgula aparece o período.
  Exemplos:
 • 0 333 0 3, ... ,= (período: 3)
 • 1 212121 1 21, ... ,= (período: 21)
2) Composta: quando, após a vírgula, há uma parte que não se repete, e o período aparece na 
sequência.
  Exemplos:
 • 0 1666 0 16, ... ,= (parte não periódica: 1; período: 6)
 • 0 21353535 0 2135, ... ,= (parte não periódica: 21; período: 35)
Geratriz de uma dízima periódica
A fração irredutível que dá origem a uma dízima periódica é 
denominada fração geratriz. Observe, a seguir, como calcular a fra-
ção geratriz tanto de uma dízima simples quanto de uma composta.
EM TEMPO
Fração irredutível é a fração que já 
está na sua forma simplificada, ou seja, 
o numerador e o denominador não 
apresentam termos divisíveis entre si. 
 
Com uma calculadora, descubra a representação decimal das frações abaixo, concluindo se são 
dízimas periódicas simples ou compostas.
Fração Representação decimal Conclusão
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1
11
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DESENVOLVER E APLICAR
D
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72 MATEMÁTICA
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 73 15/09/2020 17:22:14
74 MATEMÁTICA
Resposta
1. As respostas estão no Livro 
do aluno.
2. 
a) 
4
9
5
9
1+ = . Correta.
b) 
10
9
111= , . Incorreta.
3. 
a) 7
9
b) 5
9
c) 25
9
d) 43
900
4. 
a) 
7
10
b) 
33
100
c) 
119
333
d) 
123
999
e) 
7
3
f ) 
407
900
g) 
425
90
h) 
309
99
Sugestão de atividade
Dada a dízima periódica, 
determine sua fração geratriz:
a) 0,4444...
 ` Solução: 
4
9
b) 0,5454... 
 ` Solução: 54
99
EF
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_M
AT
_L
1_
U
1_
01
Representação percentual dos números racionais
Veja abaixo a quantidade de municípios que participaram da primeira fase da OBMEP.
Porcentagem significa “a cada cem” e pode ser 
definida como a centésima parte de uma grandeza. 
Em frações nas quais o denominador não é igual 
a 100, efetuamos a divisão do numerador pelo 
denominador até a segunda casa decimal, depois 
multiplicamos por 100 e, assim, encontramos a 
porcentagem referente.
Como fazemos para descobrir como se representam porcentagens de forma fracionária?
Por exemplo, em 2019 pouco mais de 99% (noventa e nove porcento) dos municípios participaram 
da primeira fase da OBMEP. Em fração temos 99
100
 = 0,99 = 99%.
  Exemplos:
 •
3
100
0 03 3= =, % •
29
100
0 29 29= =, %
Agora, para descobrirmos o aumento percentual de algo, podemos seguir os passos abaixo.
Dividir o valor menor 
pelo valor maior. 
Subtrair 1 do 
valor encontrado.
Multiplicar o valor abso-
luto (módulo) por 100. 
→ →
  Exemplo:
Em uma loja, Carol gostou de uma calça no valor de R$98,00. No caixa, ao efetuar o pagamento, a 
atendente informou que, com o desconto, custaria R$90,00. Qual foi o percentual de desconto?
1.º : 
90
98
 ≅ 0,918
2.º : 0,918 – 1= – 0,082
3.º : 0,082 · 100 = 8,2 %
Ano Municípios
2005 93,50%
2010 99,16%
2015 99,48%
2019 99,71%
 
O salário mínimo é o menor valor que uma empresa 
pode oferecer ao seu trabalhador com carteira 
assinada.
Analise o gráfico e discuta com um colega:
a) Em qual ano houve o maior reajuste do salário 
mínimo e qual percentual se aplica a esse reajuste?
b) Pode-se afirmar que houve um reajuste superior 
a 5% no ano de 2013 em comparação a 2012? 
Por quê?
c) Elabore uma situação-problema que envolva porcentagens. Em seguida, troque-a com 
seu colega e resolva o problema criado por ele.
INTERAÇÃO
2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
545
622 678 724
788
880 937Salário mínimo
Fonte: Dieese/Governo Federal
75MATEMÁTICA
EF
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_8
_M
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01
 c) Dízima periódica simples, pois, ao efetuarmos a divisão, a parte periódica aparece logo após 
a vírgula.
11
0,3636...
40
 70
 40
 70
 40
 
1. Complete a tabela com os dados correspondentes.
Fração
 
8
3
10
9
7
12
16
9
Dízima
Período
2. Verifique se as adições a seguir estão corretas.
a) 0 4 0 5 1, ,� � 
b) 0 6 0 4 1, ,� � 
3. Escreva a fração geratriz de:
a) 0,77777... b) 0,555... 
c) 2,777... d) 0,04777... 
4. Escreva a fração equivalente a cada um dos seguintes números.
a) 0,7 
c) 0,357357... 
e) 2,3 
g) 4,72 
b) 0,33 
d) 0,123123123... 
f ) 0,452 
h) 3,12 
ATIVIDADES
74 MATEMÁTICA
1 7
1,1
6
2,6 1,7
3
0 583,
c) 1,2424...
 ` Solução: 
1 2424 1 0 2424 1
24
99
99 24
99
123
99
41
33
, ... , ...= + = + =
+
= =
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 74 15/09/2020 17:22:40
75MATEMÁTICA
respeito ao valor do salário míni-
mo. Ao questionar a opinião dos 
alunos quanto a esse valor, eles 
podem desenvolver uma noção 
crítica de cidadania.
Dica para ampliar 
o trabalho
Uma das possíveis origens 
do símbolo de porcentagem (%) 
seria que ele evoluiu da expres-
são matemática 
x
100
. Já alguns 
documentos sugerem que ele 
evoluiu da escrita latina de 
per centum. O que sabemos é 
que, desde meados do século 
XVII, esse símbolo é utilizado 
para indicar a porcentagem. 
Entretanto, o historiador David 
Eugene Smith diz que o símbolo 
seria originalmente escrito per 
100 ou per c, pois estudando um 
manuscrito de 1425, observou 
que continha um círculo por 
cima do c. Com o tempo, a pala-
vra per acabaria por desapare-
cer e o c teria evoluído para um 
segundo círculo. Abaixo estão 
mudanças do símbolo de por-
centagem ao longo dos séculos:
Símbolo no 
século XV
Símbolo no 
século XVII
Símbolo a 
partir do 
século XVII
Resposta
As respostas da seção
Interação são:
a) Em 2012 com um aumento 
de aproximadamente 14,65%.
b) Sim, pois aumentou em 9%.
c) Resposta pessoal.
Encaminhamento metodológico
Ao trabalhar com a representação percentual de números racionais, pergunte aos 
alunos o que eles lembram sobre porcentagem. Compartilhe o texto a seguir sobre a 
evolução do símbolo de porcentagem. Destaque o fato de estarmos dando um novo 
significado para a representação centesimal quando o denominador é 100. Questione -
-os por que podemos dividir uma fração (que não tem o denominador igual a 100) e 
mesmo assim encontrarmos a porcentagem. Peça exemplos e faça alguns cálculos com 
os alunos. Neste momento, ao trabalhar com o cálculo de porcentagens, a habilidade 
EF08MA04 da BNCC é desenvolvida.
Na seção Interação, espera-se que os alunos pensem em situações como: “Qual é 
o percentual de aumento entre o salário mínimo de 2011 e o salário mínimo verificado 
em 2017?”. Possivelmente, surgirão problemas semelhantes e a partilha das resoluções 
pode ser feita em um segundo momento, possibilitando aos alunos que dialoguem a 
respeito dos raciocínios utilizados para compreender que uma mesma situação-pro-
blema admite mais de um raciocínio correto. Outro tema que pode ser trabalhado diz 
EF
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1_
U
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01
Representação percentual dos números racionais
Veja abaixo a quantidade de municípios que participaram da primeira fase da OBMEP.
Porcentagem significa “a cada cem” e pode ser 
definida como a centésima parte de uma grandeza. 
Em frações nas quais o denominador não é igual 
a 100, efetuamos a divisão do numerador pelo 
denominador até a segunda casa decimal, depois 
multiplicamos por 100 e, assim, encontramos a 
porcentagem referente.
Como fazemos para descobrir como se representam porcentagens de forma fracionária?
Por exemplo, em 2019 pouco mais de 99% (noventa e nove porcento) dos municípios participaram 
da primeira fase da OBMEP. Em fração temos 99
100
 = 0,99 = 99%.
  Exemplos:
 •
3
100
0 03 3= =, % •
29
100
0 29 29= =, %Agora, para descobrirmos o aumento percentual de algo, podemos seguir os passos abaixo.
Dividir o valor menor 
pelo valor maior. 
Subtrair 1 do 
valor encontrado.
Multiplicar o valor abso-
luto (módulo) por 100. 
→ →
  Exemplo:
Em uma loja, Carol gostou de uma calça no valor de R$98,00. No caixa, ao efetuar o pagamento, a 
atendente informou que, com o desconto, custaria R$90,00. Qual foi o percentual de desconto?
1.º : 
90
98
 ≅ 0,918
2.º : 0,918 – 1= – 0,082
3.º : 0,082 · 100 = 8,2 %
Ano Municípios
2005 93,50%
2010 99,16%
2015 99,48%
2019 99,71%
 
O salário mínimo é o menor valor que uma empresa 
pode oferecer ao seu trabalhador com carteira 
assinada.
Analise o gráfico e discuta com um colega:
a) Em qual ano houve o maior reajuste do salário 
mínimo e qual percentual se aplica a esse reajuste?
b) Pode-se afirmar que houve um reajuste superior 
a 5% no ano de 2013 em comparação a 2012? 
Por quê?
c) Elabore uma situação-problema que envolva porcentagens. Em seguida, troque-a com 
seu colega e resolva o problema criado por ele.
INTERAÇÃO
2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
545
622 678 724
788
880 937Salário mínimo
Fonte: Dieese/Governo Federal
75MATEMÁTICA
EF
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01
 c) Dízima periódica simples, pois, ao efetuarmos a divisão, a parte periódica aparece logo após 
a vírgula.
11
0,3636...
40
 70
 40
 70
 40
 
1. Complete a tabela com os dados correspondentes.
Fração
 
8
3
10
9
7
12
16
9
Dízima
Período
2. Verifique se as adições a seguir estão corretas.
a) 0 4 0 5 1, ,� � 
b) 0 6 0 4 1, ,� � 
3. Escreva a fração geratriz de:
a) 0,77777... b) 0,555... 
c) 2,777... d) 0,04777... 
4. Escreva a fração equivalente a cada um dos seguintes números.
a) 0,7 
c) 0,357357... 
e) 2,3 
g) 4,72 
b) 0,33 
d) 0,123123123... 
f ) 0,452 
h) 3,12 
ATIVIDADES
74 MATEMÁTICA
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 75 15/09/2020 17:22:44
76 MATEMÁTICA
Resposta
As respostas para a seção 
Atividades são:
1. As respostas estão no Livro 
do aluno.
2. 
a) 3 b) 7,5
3. Menor do que o preço 
original.
A resposta para a seção 
Interação é pessoal, mas espe-
ra-se que os alunos encontrem 
um valor próximo de pi.
Encaminhamento 
metodológico
Neste momento, é impor-
tante recordar as diferenças 
entre os números racionais e 
irracionais.
Apresente os exemplos a 
seguir:
 • 2 1 4142= , ...
 • 3 1 7320= , ...
 • 5 1 70993 = , ...
Ao trabalhar com os exem-
plos, retome algumas raízes 
quadradas exatas e explique 
como podemos encontrar, por 
estimativa, valores aproximados 
para raízes não exatas. 
Na seção Interação, leve 
para a sala de aula alguns objetos 
circulares, barbante e uma fita 
métrica ou régua. O objetivo é 
que os alunos consigam encon-
trar o valor aproximado de p.
EF
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01
 
Um número irracional especial
Na Matemática, existe uma constante muito utilizada para cálculos que envolvem circunferência. O 
valor que encontramos na seção Interação é aproximadamente o valor de π (pi). Essa constante é tão antiga 
que, há milhares de anos, os egípcios e os babilônicos já a estudavam e tentavam encontrar o seu valor.
O π é um número irracional que relaciona o comprimento da circunferência e seu diâmetro. O seu 
cálculo é feito da seguinte maneira:
comprimento da circunferênci
 3,1415...
a
diâmetro da circunferência
= π ≅
1. Os amigos da sala do 8.º ano estavam conversando em um grupo de mensagens depois da 
aula e Pedro lançou o seguinte desafio:
“Qual é a forma decimal de 
8
5
 e −
7
2
?” Resolva.
Depois, Vanessa mandou a seguinte mensagem: 
“Qual é a forma fracionária de 2,8 e 9,5?” Resolva.
2. Observe os números a seguir e responda às seguintes perguntas.
–3 –4,2 – 
2
5
 0 0,555... 3 
a) Quais deles pertencem ao conjunto ? 
b) Quais deles pertencem ao conjunto ? 
c) Quais deles pertencem ao conjunto , mas não pertencem a ?
d) Quais deles pertencem ao conjunto , mas não pertencem a ?
3. (Prova Brasil adap.) Em uma loja de informática, Paulo comprou: um computador no valor de 
R$2.200,00, uma impressora por R$800,00 e três cartuchos que custam R$90,00 cada um. Os 
objetos foram pagos em 5 parcelas iguais. O valor de cada parcela, em reais, foi igual a:
a) 414.
b) 494.
c) 600.
d) 654.
e) 356.
4. Ontem caiu uma chuva muito forte e 25% dos alunos não compareceram à aula. Dos que vie-
ram, 10% ficaram gripados. Sabendo que nessa sala há 40 alunos, quantos ficaram gripados?
5. Se um produto custa R$10,00 e está com um desconto de 7,5%, qual é o valor atual do produto?
 
ATIVIDADES
77MATEMÁTICA
EF
21
_8
_M
AT
_L
1_
U
1_
01
 
 
1. Relacione a segunda linha de acordo com a primeira.
a) 20% b) 15% c) 80% d) 45%
( ) 
6
40
( ) 
45
100
( ) 
4
5
( ) 
20
100
2. Resolva as porcentagens a seguir.
a) 10% de 30: _______________________ b) 25% de 30: _______________________
3. Em uma promoção, o preço de um produto baixou 20%. Após o término da promoção, o valor 
aumentou em 20%. Esse novo valor é maior, menor ou igual ao preço original?
ATIVIDADES
Números irracionais
A escola de Atenas, de Rafael Sanzio (1483-
1520), representa o encontro dos grandes filósofos 
da Antiguidade (Platão – apontando para cima – e 
Aristóteles estão ao centro), simbolizando a procura 
racional pela verdade. 
Além da grande contribuição que deram à 
Geometria, esses matemáticos também apontaram 
a não existência de um número racional que pudes-
se representar com exatidão a medida de muitos 
comprimentos. Algumas dessas medidas eles não 
conseguiam escrever na forma fracionária, com a e 
b números inteiros e b ≠ 0. Esses números formaram 
o conjunto que chamamos de irracionais (que têm 
como símbolo ), em que o valor numérico tem infi-
nitos algarismos decimais não periódicos.
va
tic
an
.v
a/
©
 W
ik
im
ed
ia
Co
m
m
on
s
SANZIO, Rafael. A Escola de Atenas. 1511. Afresco, 
500 cm x 700 cm. Palácio Apostólico, Vaticano.
Vamos descobrir o valor de um número especial.
Para isso, vamos realizar uma experiência. Você vai precisar de objetos circulares (tampa de 
garrafa ou pote, moedas etc.), barbante, régua ou fita métrica e calculadora.
Com dois colegas, escolham 4 objetos diferentes e preencham a tabela a seguir.
Objeto Comprimento da 
circunferência (c)
Diâmetro da 
circunferência (d)
Cálculo de 
c
d
Que valor vocês obtiveram na última coluna? 
INTERAÇÃO
76 MATEMÁTICA
b d c a
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 76 15/09/2020 17:22:50
77MATEMÁTICA
4. 25% de 40 = 10; vieram 
30; 10% de 30 = 3 alunos.
5. R$9,25
Dica para ampliar 
o trabalho
“Como obtemos os dígi-
tos de PI?
PI, o valor da razão entre 
a circunferência de qualquer 
círculo e seu diâmetro, é a mais 
antiga constante matemática 
que se conhece. É também um 
dos poucos objetos matemá-
ticos que, ao ser mencionado, 
produz reconhecimento e até 
mesmo interesse em pratica-
mente qualquer pessoa [...].
PI está em todos os 
lugares 
O rolar das ondas numa 
praia, o trajeto aparente diário 
das estrelas no céu terrestre, o 
espalhamento de uma colônia 
de cogumelos, o movimento 
das engrenagens e rolamentos, 
a propagação dos campos ele-
tromagnéticos e fenômenos e 
objetos, do mundo natural e da 
Matemática, estão associados 
às ideias de simetria circular e 
esférica. Ora, o estudo e uso de 
círculos e esferas, de um modo 
quase que inexorável, acaba 
produzindo o PI. [...] Ele é uma 
das constantes universais da 
Matemática.
[...]”
UFRGS. Cálculo das constantes 
elementares clássicas: o caso do 
Pi. Disponível em: 
http://url.sae.digital/7RJ5a1f. 
Acesso em: 24 jul. 2019. Adaptado.
Orientação para RA 
Esta Realidade aumentada 
pretende mostrar que as raízes 
que não apresentam resultado 
exato são números irracionais.
Resposta
1. 
1,6 e –3,5 / 
14
5
19
2
e
2. 
a) 0 e 3
b) –3, 3 e 0
c) –3
d) −
2
5
, 0,555... e –4,2
3. D
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1_
U
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01
 
Um número irracional especial
Na Matemática, existe uma constantemuito utilizada para cálculos que envolvem circunferência. O 
valor que encontramos na seção Interação é aproximadamente o valor de π (pi). Essa constante é tão antiga 
que, há milhares de anos, os egípcios e os babilônicos já a estudavam e tentavam encontrar o seu valor.
O π é um número irracional que relaciona o comprimento da circunferência e seu diâmetro. O seu 
cálculo é feito da seguinte maneira:
comprimento da circunferênci
 3,1415...
a
diâmetro da circunferência
= π ≅
1. Os amigos da sala do 8.º ano estavam conversando em um grupo de mensagens depois da 
aula e Pedro lançou o seguinte desafio:
“Qual é a forma decimal de 
8
5
 e −
7
2
?” Resolva.
Depois, Vanessa mandou a seguinte mensagem: 
“Qual é a forma fracionária de 2,8 e 9,5?” Resolva.
2. Observe os números a seguir e responda às seguintes perguntas.
–3 –4,2 – 
2
5
 0 0,555... 3 
a) Quais deles pertencem ao conjunto ? 
b) Quais deles pertencem ao conjunto ? 
c) Quais deles pertencem ao conjunto , mas não pertencem a ?
d) Quais deles pertencem ao conjunto , mas não pertencem a ?
3. (Prova Brasil adap.) Em uma loja de informática, Paulo comprou: um computador no valor de 
R$2.200,00, uma impressora por R$800,00 e três cartuchos que custam R$90,00 cada um. Os 
objetos foram pagos em 5 parcelas iguais. O valor de cada parcela, em reais, foi igual a:
a) 414.
b) 494.
c) 600.
d) 654.
e) 356.
4. Ontem caiu uma chuva muito forte e 25% dos alunos não compareceram à aula. Dos que vie-
ram, 10% ficaram gripados. Sabendo que nessa sala há 40 alunos, quantos ficaram gripados?
5. Se um produto custa R$10,00 e está com um desconto de 7,5%, qual é o valor atual do produto?
 
ATIVIDADES
77MATEMÁTICA
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01
 
 
1. Relacione a segunda linha de acordo com a primeira.
a) 20% b) 15% c) 80% d) 45%
( ) 
6
40
( ) 
45
100
( ) 
4
5
( ) 
20
100
2. Resolva as porcentagens a seguir.
a) 10% de 30: _______________________ b) 25% de 30: _______________________
3. Em uma promoção, o preço de um produto baixou 20%. Após o término da promoção, o valor 
aumentou em 20%. Esse novo valor é maior, menor ou igual ao preço original?
ATIVIDADES
Números irracionais
A escola de Atenas, de Rafael Sanzio (1483-
1520), representa o encontro dos grandes filósofos 
da Antiguidade (Platão – apontando para cima – e 
Aristóteles estão ao centro), simbolizando a procura 
racional pela verdade. 
Além da grande contribuição que deram à 
Geometria, esses matemáticos também apontaram 
a não existência de um número racional que pudes-
se representar com exatidão a medida de muitos 
comprimentos. Algumas dessas medidas eles não 
conseguiam escrever na forma fracionária, com a e 
b números inteiros e b ≠ 0. Esses números formaram 
o conjunto que chamamos de irracionais (que têm 
como símbolo ), em que o valor numérico tem infi-
nitos algarismos decimais não periódicos.
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s
SANZIO, Rafael. A Escola de Atenas. 1511. Afresco, 
500 cm x 700 cm. Palácio Apostólico, Vaticano.
Vamos descobrir o valor de um número especial.
Para isso, vamos realizar uma experiência. Você vai precisar de objetos circulares (tampa de 
garrafa ou pote, moedas etc.), barbante, régua ou fita métrica e calculadora.
Com dois colegas, escolham 4 objetos diferentes e preencham a tabela a seguir.
Objeto Comprimento da 
circunferência (c)
Diâmetro da 
circunferência (d)
Cálculo de 
c
d
Que valor vocês obtiveram na última coluna? 
INTERAÇÃO
76 MATEMÁTICA
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 77 15/09/2020 17:22:56
78 MATEMÁTICA
Encaminhamento 
metodológico
Neste momento, é apre-
sentada aos alunos a seção 
Vamos praticar mais? com 
algumas atividades de fixação 
sobre o conteúdo estudado e 
outras desafiadoras. Estas ativi-
dades devem ser resolvidas no 
caderno.
Resposta
1. 
a) 453
999
b) 7
45
c) 11
9
d) -11
9
e) 1 236
99
f ) 8
999
 027
2. As respostas estão no Livro 
do aluno.
3. D
4. C
5. D
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01
Conjuntos , ,  e  – Relacionando conceitos
1,41421356...
1
5
—
racionais
CONJUNTOS 
NUMÉRICOS
irracionais
naturais
inteiros
escritos 
na forma
podem ser
contém
contém
exemplo
0,233... exemplo
exemplo
25% exemplo
podem ser
0,5 exemplo
 
 
dízima 
periódica
 
 
79MATEMÁTICA
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1_
U
1_
01
 
1. Qual é a fração geratriz de cada dízima periódica a seguir?
a) 0,453
c) 1,2222...
e) 12,4848...
b) 0,15
d) –1,222...
f ) 8,035035...
2. Escreva V (verdadeiro) ou F (falso).
a) 
2
3
0 6= , ( ) b) 2 777
25
9
, ... = ( )
d) 
3
4
0 75= , ( )
f ) 0 5
5
100
, = ( )
c) � �
5
1000
 ( )
e) 
330
100
33
10
= ( )
3. (SAERJ) A Rua Patos do Sul é muito movimentada. Em um minuto passam, aproximadamente, 
16 carros. Como 1 hora tem 60 minutos, quantos carros, aproximadamente, passam pela Rua 
Patos do Sul durante 2 horas? 
a) 32 carros.
b) 96 carros.
c) 960 carros.
d) 1 920 carros.
4. Em uma fábrica, 2 máquinas produzem parafusos. Sabendo que uma máquina produz 350 
parafusos por dia e que a outra produz a metade desse número no mesmo tempo, quantos 
parafusos serão produzidos em 10 dias por essas duas máquinas?
a) 525
b) 3 500
c) 5 250
d) 10 500
5. (CEFET-MG – 2016) Sobre os números racionais 
1
11
, 
7
33
 e 
14
55
, é correto afirmar que: 
a) apenas dois desses números, em sua forma decimal, são representados por dízimas 
periódicas. 
b) apenas um desses números, em sua forma decimal, é representado por uma dízima perió-
dica simples. 
c) os três números, em sua forma decimal, podem ser representados por dízimas periódicas 
tais que o período de cada uma delas é um número primo.
d) os três números, em sua forma decimal, podem ser representados por dízimas periódicas 
tais que o período de cada uma delas é um número divisível por 3.
VAMOS PRATICAR MAIS?
78 MATEMÁTICA
V V
F V
V F
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 78 15/09/2020 17:23:05
79MATEMÁTICA
 
Encaminhamento metodológico 
A proposta desta seção é validar e verificar a aprendizagem do aluno. O mapa 
conceitual tem como objetivo principal sintetizar o conhecimento adquirido, por isso é 
importante que o aluno contribua com a sua construção. Essa prática pode ajudá-lo a 
organizar os assuntos e os temas relacionados aos conceitos trabalhados durante toda 
a sequência didática do livro.
Sugerimos que esta seção seja explorada em todo o seu potencial, não só com 
enfoque na validação da aprendizagem do aluno, mas também na autocrítica do 
professor, uma vez que ela pode dar insumos para todo o processo de ensino e apren-
dizagem, oferecendo dados e relatos para uma avaliação e validação dos objetivos 
propostos.
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01
Conjuntos , ,  e  – Relacionando conceitos
1,41421356...
1
5
—
racionais
CONJUNTOS 
NUMÉRICOS
irracionais
naturais
inteiros
escritos 
na forma
podem ser
contém
contém
exemplo
0,233... exemplo
exemplo
25% exemplo
podem ser
0,5 exemplo
 
 
dízima 
periódica
 
 
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01
 
1. Qual é a fração geratriz de cada dízima periódica a seguir?
a) 0,453
c) 1,2222...
e) 12,4848...
b) 0,15
d) –1,222...
f ) 8,035035...
2. Escreva V (verdadeiro) ou F (falso).
a) 
2
3
0 6= , ( ) b) 2 777
25
9
, ... = ( )
d) 
3
4
0 75= , ( )
f ) 0 5
5
100
, = ( )
c) � �
5
1000
 ( )
e) 
330
100
33
10
= ( )
3. (SAERJ) A Rua Patos do Sul é muito movimentada. Em um minuto passam, aproximadamente, 
16 carros. Como 1 hora tem 60 minutos, quantos carros, aproximadamente, passam pela Rua 
Patos do Sul durante 2 horas? 
a) 32 carros.
b) 96 carros.
c) 960 carros.
d) 1 920 carros.
4. Em uma fábrica, 2 máquinas produzem parafusos. Sabendo que uma máquina produz 350 
parafusos por dia e que a outra produz a metade desse número no mesmo tempo, quantos 
parafusos serão produzidos em 10 dias por essas duas máquinas?
a) 525
b) 3 500
c) 5 250
d) 10 500
5. (CEFET-MG – 2016) Sobre os números racionais1
11
, 
7
33
 e 
14
55
, é correto afirmar que: 
a) apenas dois desses números, em sua forma decimal, são representados por dízimas 
periódicas. 
b) apenas um desses números, em sua forma decimal, é representado por uma dízima perió-
dica simples. 
c) os três números, em sua forma decimal, podem ser representados por dízimas periódicas 
tais que o período de cada uma delas é um número primo.
d) os três números, em sua forma decimal, podem ser representados por dízimas periódicas 
tais que o período de cada uma delas é um número divisível por 3.
VAMOS PRATICAR MAIS?
78 MATEMÁTICA
decimal exato
dízima não 
periódica
fracionária
percentual
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 79 15/09/2020 17:23:07
80 MATEMÁTICA
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02
Conjunto dos reais 
Vimos que existem alguns conjuntos numéricos que fazem parte de outro conjunto maior, como o 
conjunto dos números naturais, que está contido no conjunto dos números inteiros.
Será que existe um conjunto numérico que englobe os conjuntos , ,  e ?
A união entre o conjunto dos números racio-
nais (no qual estão contidos também os conjuntos 
dos números naturais e números inteiros) e o 
conjunto dos números irracionais é um conjunto 
numérico denominado conjunto dos números 
reais, que representamos pela letra . Assim, po-
demos estabelecer a seguinte relação de inclusão 
entre os diversos conjuntos conhecidos:
  Exemplos:
 • 3 é um número real, pois pertence aos  (3 ∈ );
 •
1
3
 é um número real, pois pertence aos 
 
1
3
��
�
�
�
�
�;
 • – π é um número real, pois pertence aos  (– π ∈ ).
Em relação às raízes, temos duas situações:
1.a) As raízes de índice par (quadrada, quarta, sexta, ...) de um número negativo não representam 
um número real.
 • −4 não é um número real, pois não existe número real que, elevado ao quadrado, resulte 
em –4;
 • −164 não é um número real, pois não existe número real que, elevado à quarta, resulte em –16.
2.a) As raízes de índice ímpar (cúbica, quinta, sétima, ...) de um número negativo representam um 
número real.
 • −83 é um número real, pois � � �8 23 ;
 • −2435 é um número real, pois � � �243 35 .
  


 
Observe os números a seguir e simplifique-os, se necessário. Depois, responda às perguntas. 
–37 π
3
5
36
4
0 3, − 3
a) Quais números acima fazem parte do conjunto dos números naturais? 
b) Quais números acima fazem parte do conjunto dos números inteiros? 
c) Quais números acima fazem parte do conjunto dos números racionais? 
d) Quais números acima fazem parte do conjunto dos números irracionais? 
e) Quais números acima fazem parte do conjunto dos números reais? 
ATIVIDADES
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un
idade
80
2. Números reais 
O Brasil está localizado na América do Sul, que está localizada no continente chamado América. Este 
faz parte do planeta Terra, que se encontra no Sistema Solar. O Sistema Solar pertence à galáxia Via Láctea, 
assim como os planetas Júpiter e Saturno.
Você observou que, para cada situação, existe um grupo maior, formado por grupos menores? Com 
os números isso também ocorre. Será que existe um conjunto que engloba todos os conjuntos numéricos 
que já estudamos?
1
• Conjunto dos reais
• Representação geométrica 
na reta numérica
• Operações básicas no 
 conjunto dos reais
Conjuntos numéricos
Representação da 
Terra no Universo.
Escola Digital
Objetivos do capítulo
 • Ampliar o conceito dos 
conjuntos numéricos.
 • Identificar a representação 
geométrica dos números reais.
 • Ampliar o significado 
de adição, subtração, 
multiplicação e divisão.
Realidade aumentada
 • O conjunto dos reais e 
outros conjuntos numéricos
 • A ordem das operações
Encaminhamento 
metodológico
Este capítulo tem foco na 
ampliação dos conceitos de 
conjuntos numéricos já estu-
dados e mostra aos alunos que 
alguns conjuntos numéricos 
estão contidos em outros.
Por meio da pergunta 
inicial, o aluno é levado a refletir 
acerca da existência de um 
conjunto numérico maior, que 
engloba todos os conjuntos 
numéricos estudados até agora. 
Converse com os alunos a 
respeito disso e inicie o estudo 
sobre o conjunto dos números 
reais. 
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 80 15/09/2020 17:23:21
81MATEMÁTICA
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02
Conjunto dos reais 
Vimos que existem alguns conjuntos numéricos que fazem parte de outro conjunto maior, como o 
conjunto dos números naturais, que está contido no conjunto dos números inteiros.
Será que existe um conjunto numérico que englobe os conjuntos , ,  e ?
A união entre o conjunto dos números racio-
nais (no qual estão contidos também os conjuntos 
dos números naturais e números inteiros) e o 
conjunto dos números irracionais é um conjunto 
numérico denominado conjunto dos números 
reais, que representamos pela letra . Assim, po-
demos estabelecer a seguinte relação de inclusão 
entre os diversos conjuntos conhecidos:
  Exemplos:
 • 3 é um número real, pois pertence aos  (3 ∈ );
 •
1
3
 é um número real, pois pertence aos 
 
1
3
��
�
�
�
�
�;
 • – π é um número real, pois pertence aos  (– π ∈ ).
Em relação às raízes, temos duas situações:
1.a) As raízes de índice par (quadrada, quarta, sexta, ...) de um número negativo não representam 
um número real.
 • −4 não é um número real, pois não existe número real que, elevado ao quadrado, resulte 
em –4;
 • −164 não é um número real, pois não existe número real que, elevado à quarta, resulte em –16.
2.a) As raízes de índice ímpar (cúbica, quinta, sétima, ...) de um número negativo representam um 
número real.
 • −83 é um número real, pois � � �8 23 ;
 • −2435 é um número real, pois � � �243 35 .
  


 
Observe os números a seguir e simplifique-os, se necessário. Depois, responda às perguntas. 
–37 π
3
5
36
4
0 3, − 3
a) Quais números acima fazem parte do conjunto dos números naturais? 
b) Quais números acima fazem parte do conjunto dos números inteiros? 
c) Quais números acima fazem parte do conjunto dos números racionais? 
d) Quais números acima fazem parte do conjunto dos números irracionais? 
e) Quais números acima fazem parte do conjunto dos números reais? 
ATIVIDADES
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idade
80
2. Números reais 
O Brasil está localizado na América do Sul, que está localizada no continente chamado América. Este 
faz parte do planeta Terra, que se encontra no Sistema Solar. O Sistema Solar pertence à galáxia Via Láctea, 
assim como os planetas Júpiter e Saturno.
Você observou que, para cada situação, existe um grupo maior, formado por grupos menores? Com 
os números isso também ocorre. Será que existe um conjunto que engloba todos os conjuntos numéricos 
que já estudamos?
1
• Conjunto dos reais
• Representação geométrica 
na reta numérica
• Operações básicas no 
 conjunto dos reais
Conjuntos numéricos
Representação da 
Terra no Universo.
Escola Digital
Encaminhamento metodológico
Retome com os alunos os conjuntos numéricos que eles já estudaram. Escreva 
alguns números no quadro e questione-os à qual conjunto cada número pertence. 
Aproveite para perguntar a respeito do fato de um número fazer parte de dois 
conjuntos.
Resposta
a) 36
4
= 9
b) –37 e 36
4
c) 
3
5
, 0,3 , –37 e 36
4
d) e − 3
e) − −37
3
5
36
4
0 3 3, , , , , π e
Orientação para RA
O objetivo desta Realidade 
aumentada é verificar o 
que os alunos entendem 
sobre os conjuntos numéricos 
completando corretamente as 
afirmativas sobre eles.
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82 MATEMÁTICA
83MATEMÁTICA
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02
Operações
No conjunto , obtido pela reunião dos números racionais e dos números irracionais, sempre são 
possíveis as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão (com divisor diferente de zero). As 
propriedades estudadas relativas a também valem para .
Será que efetuamos as operações no conjuntodos reais da mesma forma como efetuávamos nos 
outros conjuntos já estudados?
Adição e subtração
A adição de números reais resulta em um 
número real. Se os sinais forem iguais, somamos 
os números e conservamos o sinal. Se os sinais fo-
rem diferentes, subtraímos os números e damos 
o sinal do maior número em módulo.
Observe as propriedades dessas operações.
 • comutativa: a + b = b + a;
 • associativa: a + (b + c) = (a + b) + c;
 • elemento neutro (o número zero): 
a + 0 = 0 + a = a;
 • elemento oposto: a + (–a) = 0.
A subtração é a operação inversa da adição. 
Ao subtrairmos números reais, temos como re-
sultado um número real. 
Perceba que toda subtração é uma adição, 
pois podemos indicar uma subtração de a – b 
como a + (–b).
Multiplicação e divisão
A multiplicação de números reais resulta em 
um número real. A divisão é a operação inversa 
da multiplicação. Ao dividirmos números reais, 
temos como resultado um número real.
Observe as propriedades dessas operações.
 • comutativa: a · b = b · a;
 • associativa: a · (b · c) = (a · b) · c;
 • elemento neutro: a · 1 = 1 · a = a;
 • elemento inverso: a · 
1
a
 = 1, com a ≠ 0;
 • distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c.
A operação associa a cada par de nú-
meros reais a e b, com b ≠ 0, o quociente 
a
b
, que também é um número real. Utilizando a 
propriedade do elemento inverso, temos que o 
quociente pode ser escrito como um produto: 
a
b
 = a · b–1. 
Expressões numéricas
Ao resolvermos expressões numéricas, seguimos esta ordem:
1.º) Multiplicações e divisões na ordem em que aparecem.
2.º) Adições e subtrações na ordem em que aparecem.
  Exemplos:
 • 5 ∙ 4 + 6 : 2 =
 = 20 + 3 = 
 = 23
 • 7 + 2 · 30 : 10 =
 = 7 + 60 : 10 = 
 = 7 + 6 = 13
Se aparecerem os sinais de associação, eles devem ser resolvidos na seguinte ordem:
1.º) Parênteses ( ); 2.º) Colchetes [ ]; 3.º) Chaves { }.
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U
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02
Representação geométrica: reta numérica
Entre o conjunto dos números reais e o conjunto dos 
pontos de uma reta, podemos estabelecer uma correspon-
dência biunívoca, ou seja, cada número real corresponde a 
um único ponto da reta, e cada ponto da reta é correspon-
dente a um único número real.
Observe a reta numérica a seguir com a representação 
de alguns números reais.
–3 –2 –1 0 1 2 3 4
� � �5 2 24, � � �
1
2
0 5, 2 1 41≅ ,
EM TEMPO
Correspondência biunívoca: quan-
do existe uma relação entre dois 
conjuntos na qual cada elemento 
do primeiro conjunto corresponde a 
apenas um do segundo, e vice-versa.
 
Você e seus colegas vão construir uma reta numérica real. Será um cartaz para deixar nos mu-
rais da sala de aula. Conforme forem descobrindo a localização dos números racionais e irracionais 
estudados, vocês os encaixarão nessa reta. Ao longo das aulas, terão como consultar a localização 
desses números de maneira mais rápida.
Vocês precisarão de uma cartolina, uma régua e canetas hidrográficas coloridas.
 • 1.º passo: cortem a cartolina em quatro partes, como mostra a figura.
 • 2.º passo: colem as quatro partes da cartolina uma ao lado da outra.
 • 3.º passo: desenhem uma reta numerada com a régua. Escolham uma unidade de medida 
e façam as marcações, como mostra a figura.
–3 –2 –1 0 1 2 3
 • 4.º passo: preencham a reta numérica com os valores já descobertos.
–3 –2 –1 0 1 2 3
≅ 1,41� � �
5
3
1 66, 2
INTERAÇÃO
de um triângulo retângulo, cujos catetos medem 1 e n mede n+1. Assim, podemos 
marcar sobre uma reta todos os irracionais da forma n .
Como localizar na reta numerada irracionais como o número p, por exemplo? O 
método, nesse caso, consiste numa verdadeira perseguição ao número irracional. A 
ideia é “ir fechando o cerco” a esses números por aproximações racionais por falta e por 
excesso, cada vez melhores, de tal maneira que o número irracional esteja sempre entre 
essas aproximações. [...]”
UFRJ. Localizando irracionais – A continuidade de reta. Disponível em: http://url.sae.digital/1r5qXlm. 
Acesso em: 24 jul. 2019.
Encaminhamento 
metodológico
A representação geométrica 
do conjunto dos números reais 
é importante, por isso a construa 
com os alunos, se possível. 
Na seção Interação, os 
alunos construirão a represen-
tação de uma reta numérica 
real. Indique a eles o lugar em 
que devem colocar o número 
zero nessa reta. Esta atividade 
tem o objetivo de envolver toda 
a turma, para que os alunos 
discutam em que localidade 
estaria cada ponto. Mas, se não 
for possível, reúna-os em dois 
ou três grupos e peça a eles 
que comparem as suas retas 
construídas. Depois, colem as 
representações nos murais da 
sala de aula.
Dica para ampliar 
o trabalho
Como localizar números 
irracionais em uma reta 
numérica?
“Da maneira como foi 
estabelecido o sistema de 
coordenadas, é fácil localizar 
os números inteiros numa reta 
numerada, como mostra a 
figura a seguir.
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
Os números racionais 
também podem ser localizados 
facilmente. Por exemplo, se 
queremos representar um 
racional cujo denominador seja 
o número inteiro n, devemos 
dividir cada segmento de com-
primento unitário em n partes 
iguais. [...] Mas, como é possível 
marcar na reta numerada os 
números irracionais? 
[...] podemos obter o 
número 2 , como a medida 
da hipotenusa de um triângulo 
retângulo de catetos de compri-
mento unitário. Por sua vez, 3 
pode ser obtido como a medida 
da hipotenusa do triângulo 
retângulo em que um dos 
catetos é igual a um e o outro 
é igual a 2 . De uma maneira 
geral, a medida da hipotenusa 
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83MATEMÁTICA
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Operações
No conjunto , obtido pela reunião dos números racionais e dos números irracionais, sempre são 
possíveis as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão (com divisor diferente de zero). As 
propriedades estudadas relativas a também valem para .
Será que efetuamos as operações no conjunto dos reais da mesma forma como efetuávamos nos 
outros conjuntos já estudados?
Adição e subtração
A adição de números reais resulta em um 
número real. Se os sinais forem iguais, somamos 
os números e conservamos o sinal. Se os sinais fo-
rem diferentes, subtraímos os números e damos 
o sinal do maior número em módulo.
Observe as propriedades dessas operações.
 • comutativa: a + b = b + a;
 • associativa: a + (b + c) = (a + b) + c;
 • elemento neutro (o número zero): 
a + 0 = 0 + a = a;
 • elemento oposto: a + (–a) = 0.
A subtração é a operação inversa da adição. 
Ao subtrairmos números reais, temos como re-
sultado um número real. 
Perceba que toda subtração é uma adição, 
pois podemos indicar uma subtração de a – b 
como a + (–b).
Multiplicação e divisão
A multiplicação de números reais resulta em 
um número real. A divisão é a operação inversa 
da multiplicação. Ao dividirmos números reais, 
temos como resultado um número real.
Observe as propriedades dessas operações.
 • comutativa: a · b = b · a;
 • associativa: a · (b · c) = (a · b) · c;
 • elemento neutro: a · 1 = 1 · a = a;
 • elemento inverso: a · 
1
a
 = 1, com a ≠ 0;
 • distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c.
A operação associa a cada par de nú-
meros reais a e b, com b ≠ 0, o quociente 
a
b
, que também é um número real. Utilizando a 
propriedade do elemento inverso, temos que o 
quociente pode ser escrito como um produto: 
a
b
 = a · b–1. 
Expressões numéricas
Ao resolvermos expressões numéricas, seguimos esta ordem:
1.º) Multiplicações e divisões na ordem em que aparecem.
2.º) Adições e subtrações na ordem em que aparecem.
  Exemplos:
 • 5 ∙ 4 + 6 : 2 =
 = 20 + 3 = 
 = 23
 • 7 + 2 · 30 : 10 =
 = 7 + 60 : 10 = 
 = 7 + 6 = 13
Se aparecerem os sinais de associação, eles devem ser resolvidos na seguinte ordem:
1.º) Parênteses ( ); 2.º) Colchetes [ ]; 3.º) Chaves { }.
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Representação geométrica: reta numérica
Entre o conjunto dos númerosreais e o conjunto dos 
pontos de uma reta, podemos estabelecer uma correspon-
dência biunívoca, ou seja, cada número real corresponde a 
um único ponto da reta, e cada ponto da reta é correspon-
dente a um único número real.
Observe a reta numérica a seguir com a representação 
de alguns números reais.
–3 –2 –1 0 1 2 3 4
� � �5 2 24, � � �
1
2
0 5, 2 1 41≅ ,
EM TEMPO
Correspondência biunívoca: quan-
do existe uma relação entre dois 
conjuntos na qual cada elemento 
do primeiro conjunto corresponde a 
apenas um do segundo, e vice-versa.
 
Você e seus colegas vão construir uma reta numérica real. Será um cartaz para deixar nos mu-
rais da sala de aula. Conforme forem descobrindo a localização dos números racionais e irracionais 
estudados, vocês os encaixarão nessa reta. Ao longo das aulas, terão como consultar a localização 
desses números de maneira mais rápida.
Vocês precisarão de uma cartolina, uma régua e canetas hidrográficas coloridas.
 • 1.º passo: cortem a cartolina em quatro partes, como mostra a figura.
 • 2.º passo: colem as quatro partes da cartolina uma ao lado da outra.
 • 3.º passo: desenhem uma reta numerada com a régua. Escolham uma unidade de medida 
e façam as marcações, como mostra a figura.
–3 –2 –1 0 1 2 3
 • 4.º passo: preencham a reta numérica com os valores já descobertos.
–3 –2 –1 0 1 2 3
≅ 1,41� � �
5
3
1 66, 2
INTERAÇÃO
Encaminhamento metodológico
Peça aos alunos que levem panfletos, jornais e revistas e, organizados em grupos, 
produzam situações-problema utilizando as operações de adição e subtração com 
números reais. 
Relembre como podemos criar um problema em Matemática: 
 • o enunciado deve conter todas as informações necessárias para a resolução do 
problema;
 • o enunciado deve ser claro e criativo;
 • deve haver resolução.
Criados os problemas, peça aos grupos que os troquem e os resolvam individual-
mente. Depois, solicite que compartilhem as respostas obtidas.
Orientação para RA 
A Realidade aumentada 
desta página tem como objetivo 
ampliar os estudos sobre as 
expressões numéricas.
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Brasil tem mais de 
204 milhões de habitantes, diz IBGE
O Brasil tem uma população de 204 450 649 ha-
bitantes, segundo dados do IBGE (Instituto Brasileiro 
de Geografia e Estatística), publicados nesta sex-
ta-feira (28) no Diário Oficial da União. Os dados 
são estimativas de população feitas com base no dia 
1.º de julho de 2015. 
Do ano passado para cá, a população cresceu cerca de 0,87% 
– em 2014, segundo o IBGE, o Brasil havia chegado a 202 768 562 
de habitantes.
O Estado mais populoso, São Paulo, tem 44,4 milhões de habitantes 
– 21,7% da população total do país. Já no Estado menos populoso, 
Roraima, vivem 505,6 mil pessoas – 0,2% da população total. [...]
BRASIL tem mais de 204 milhões de habitantes, diz IBGE. UOL, 28 ago. 2015. 
Disponível em: http://url.sae.digital/UELSRKH. Acesso em: 18 jul. 2019.
No site www.ibge.gov.br/apps/populacao/projecao/, é possível verificar quantas pessoas há no Brasil. 
Esse site é atualizado a cada 20 segundos. Veja a população do Brasil em 18 de julho de 2019.
a) Qual é a população do Brasil atualmente?
b) Qual é a diferença entre o número populacional que você encontrou e o que está apresen-
tado no texto?
c) Qual foi essa diferença, em percentual?
d) Se a população da Bahia representa 4,57% da população total, com base no dia 1.° de julho 
de 2015, qual é a quantidade de habitantes nesse estado? 
MATEMÁTICA E TECNOLOGIA
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  Exemplos:
 • 5 ∙ (4 + 6) : 2 =
 = 5 ∙ 10 : 2 = 
 = 25
 • [(7 + 2) · 30] : 10 =
 = [9 · 30] : 10 = 
 = 270 : 10 = 27
 
1. Calcule o valor das expressões numéricas a seguir.
a) 
1
5
1
3
3
5
1
15
0 9��
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2
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2. Resolva as expressões numéricas a seguir.
a) 
1
3
1
9
5
4
3
4
+





⋅ −






b) 
1
5
1 5
1
3
+





⋅







 +
c) 0 5 2
1
3
2
5
, ⋅ +





⋅








 
d) 
2
5
3
4
2
3
3+





⋅







 : 
e) 
2
5
3
4
2
3
3−





⋅







 : 
ATIVIDADES
Encaminhamento 
metodológico
Ao trabalhar com as 
expressões numéricas, realize 
mais exemplos com os alunos.
Resposta
1. 
a) 1,79999...
b) 37
18
2
1
18
=
c) 27
2. 
a) 
2
9
b) 
19
3
 = 6 
1
3
c) 
8
15
d) 
23
90
e) −
7
90
Sugestão de atividade
1. Qual é o valor das expressões 
numéricas a seguir?
a) [2 · (3 – 4 : 2) – 2 · (5 – 2 · 2)]
 ` Solução: 
0
b) [(2 + 3) · (4 + 2)] : [2 · (20 : 4)]
 ` Solução: 
3
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Brasil tem mais de 
204 milhões de habitantes, diz IBGE
O Brasil tem uma população de 204 450 649 ha-
bitantes, segundo dados do IBGE (Instituto Brasileiro 
de Geografia e Estatística), publicados nesta sex-
ta-feira (28) no Diário Oficial da União. Os dados 
são estimativas de população feitas com base no dia 
1.º de julho de 2015. 
Do ano passado para cá, a população cresceu cerca de 0,87% 
– em 2014, segundo o IBGE, o Brasil havia chegado a 202 768 562 
de habitantes.
O Estado mais populoso, São Paulo, tem 44,4 milhões de habitantes 
– 21,7% da população total do país. Já no Estado menos populoso, 
Roraima, vivem 505,6 mil pessoas – 0,2% da população total. [...]
BRASIL tem mais de 204 milhões de habitantes, diz IBGE. UOL, 28 ago. 2015. 
Disponível em: http://url.sae.digital/UELSRKH. Acesso em: 18 jul. 2019.
No site www.ibge.gov.br/apps/populacao/projecao/, é possível verificar quantas pessoas há no Brasil. 
Esse site é atualizado a cada 20 segundos. Veja a população do Brasil em 18 de julho de 2019.
a) Qual é a população do Brasil atualmente?
b) Qual é a diferença entre o número populacional que você encontrou e o que está apresen-
tado no texto?
c) Qual foi essa diferença, em percentual?
d) Se a população da Bahia representa 4,57% da população total, com base no dia 1.° de julho 
de 2015, qual é a quantidade de habitantes nesse estado? 
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02
  Exemplos:
 • 5 ∙ (4 + 6) : 2 =
 = 5 ∙ 10 : 2 = 
 = 25
 • [(7 + 2) · 30] : 10 =
 = [9 · 30] : 10 = 
 = 270 : 10 = 27
 
1. Calcule o valor das expressões numéricas a seguir.
a) 
1
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2. Resolva as expressões numéricas a seguir.
a) 
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




⋅ −






b) 
1
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3
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




⋅







 +
c) 0 5 2
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




⋅
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
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


 
d) 
2
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




⋅



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


 : 
e) 
2
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




⋅



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


 : 
ATIVIDADES
Encaminhamento metodológico
Na seção Matemática e tecnologia, se possível, leve os alunos ao laboratório de 
informática e peça a eles que acessem o site www.ibge.gov.br/apps/populacao/projecao/. 
Solicite aos alunos que pesquisem a quantidade de habitantes no estado em que residem 
e a população total do Brasil, do último censo demográfico; peça a eles que respondam 
quanto representa em % a população do estado em que vivem. Depois, questione-os a 
respeito da diferença da população atual com a população indicada no livro.
A seguir, há mais dados populacionais para que os alunos calculem a diferença. 
Questione-os sobre o crescimento e o decaimento da população.
População total 2000/2060
2010 195 497 797 2040 228 153 204
2020212 077 375 2050 226 347 688
2030 223 126 917 2060 218 173 888
Durante a realização da 
atividade, faça com que os 
alunos percebam qual é a última 
data de acesso. Peça a eles que 
estimem em quanto a popu-
lação aumentou e, portanto, 
em quanto está a população 
atualmente antes de realmente 
pesquisarem. Questione se 
a diferença encontrada está 
próxima do que estimaram.
Resposta
As respostas para a seção 
Matemática e tecnologia são:
a) A resposta depende da data 
de consulta.
b) A resposta depende da data 
de consulta.
c) A resposta depende dos 
dados obtidos na data da 
consulta.
d) Aproximadamente 9,34 
milhões.
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1. Assinale a afirmação verdadeira.
a) Entre dois números naturais distintos, sempre existe um número natural.
b) Entre dois números inteiros distintos, sempre existe um número inteiro.
c) Entre dois números reais distintos, existe sempre um número finito de números reais.
d) Entre dois números reais distintos, existem infinitos números reais. 
2. Dois números x e y estão localizados na reta numérica como na imagem a seguir. Onde está 
localizado o produto xy?
x y
–1 0 1 2
a) À esquerda de 0. b) Entre 0 e x. c) Entre x e y. d) Entre y e 1.
3. Substitua o símbolo � �
3
4
0 
para que as operações a seguir fiquem corretas.
a) � �
3
4
0 b) 
5
4
11
8
� � c) 
9
3
9
6
� � d) � � �
5
9
17
9
4. (OBMEP-2016) Em um clube, as escolinhas de futebol e de basquete têm exa-
tamente quatro atletas em comum. Eles correspondem a 10% dos atletas da 
escolinha de futebol e a 25% dos atletas da escolinha de basquete. Quantos 
atletas participam de apenas uma dessas escolinhas?
a) 35 b) 40 c) 44 d) 48 e) 56
5. (OBMEP-2016) Juliana começou a escrever, em ordem crescente, uma lista dos 
números inteiros positivos cuja soma dos algarismos é divisível por 5. Sua lista 
começou com 5, 14, 19, 23 e terminou quando ela encontrou dois números con-
secutivos. Qual é a soma dos algarismos do penúltimo número dessa lista?
a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50
6. (OBMEP-2015) Rita tem R$13,37 em moedas de 1 centavo, de 5 centavos, de 10 centavos, de 25 
centavos, de 50 centavos e de 1 real. Ela tem a mesma quantidade de moedas de cada valor. 
Quantas moedas ela tem no total?
a) 24 b) 30 c) 36 d) 42 e) 48
7. (OBMEP) Quantos números inteiros, múltiplos de 3, existem entre 1 e 2 005?
a) 664 b) 665 c) 667 d) 668 e) 669
8. (OBMEP) Na conta indicada a seguir, as letras X, Y e Z representam algarismos distintos. Qual 
é o algarismo representado pela letra Z?
a) 1
b) 3
c) 5
d) 6
e) 8
VAMOS PRATICAR MAIS?
SA
E 
D
IG
IT
A
L 
S/
A
SA
E 
D
IG
IT
A
L 
S/
A
X X X X
Y Y Y Y
Z Z Z Z
Y X X X Z
+
86 MATEMÁTICA
EF
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_8
_M
AT
_L
1_
U
1_
02
 
1. Quais dos números a seguir não pertencem ao conjunto dos números reais?
− − − −3 2 8 49 4932 3, , , , eπ
2. Marque na reta r os pontos indicados no quadro a seguir.
Ponto A B C D E F G
Abscissa −
3
4
1
4
1
1
2 
0,4 −
7
2 
−3
1
4
-
3
1 
0 1–1–2–3–4 2
3. Qual é o número racional na forma decimal que está escondido?
SA
E 
D
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IT
A
L 
S/
A
4. Para viajar, Pedro encheu o tanque do seu carro com gasolina. Na primeira parte da viagem, ele 
gastou 
1
3 do tanque. Na segunda etapa, ele gastou mais 
1
3 . Pedro gastou mais que 
1
2 tanque?
5. (OBM) Esmeralda compra cinco latas de azeite, a quatro reais e setenta centavos a lata, cinco 
latas de leite em pó, a três reais e doze centavos cada, e três caixas de iogurte com seis iogurtes 
cada caixa ao preço de oitenta centavos por iogurte. Paga com uma nota de cinquenta reais 
e quer saber quanto irá receber de troco. Qual das expressões aritméticas a seguir representa 
a solução para este problema? 
a) 50 – 5 · (4,70 + 3,12) +18 · 0,80 
c) −[5 · (4,70 + 3,12) + 3 · 6 · 0,80] + 50
e) 50 − [5 · (4,70 + 3,12) +6 · 0,80]
b) 5 · 4,70 + 5 · 3,12 + 3 · 6 · 0,80 − 50
d) 50 − [5 · (4,70 + 3,12) + 3 · 6 + 0,80]
6. Um alimento congelado tem a temperatura de –2°C. Depois de aquecido no micro-ondas, a 
sua temperatura subiu 28°C. Qual é a temperatura atual do alimento?
ATIVIDADESResposta
1. √–3 e √–49
2. As respostas estão no Livro 
do aluno.
3. –2,25
4. Gastou mais do que meio 
tanque.
5. C
6. 26°C 
E F G A B D C
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 86 15/09/2020 17:24:01
87MATEMÁTICA
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1. Assinale a afirmação verdadeira.
a) Entre dois números naturais distintos, sempre existe um número natural.
b) Entre dois números inteiros distintos, sempre existe um número inteiro.
c) Entre dois números reais distintos, existe sempre um número finito de números reais.
d) Entre dois números reais distintos, existem infinitos números reais. 
2. Dois números x e y estão localizados na reta numérica como na imagem a seguir. Onde está 
localizado o produto xy?
x y
–1 0 1 2
a) À esquerda de 0. b) Entre 0 e x. c) Entre x e y. d) Entre y e 1.
3. Substitua o símbolo � �
3
4
0 
para que as operações a seguir fiquem corretas.
a) � �
3
4
0 b) 
5
4
11
8
� � c) 
9
3
9
6
� � d) � � �
5
9
17
9
4. (OBMEP-2016) Em um clube, as escolinhas de futebol e de basquete têm exa-
tamente quatro atletas em comum. Eles correspondem a 10% dos atletas da 
escolinha de futebol e a 25% dos atletas da escolinha de basquete. Quantos 
atletas participam de apenas uma dessas escolinhas?
a) 35 b) 40 c) 44 d) 48 e) 56
5. (OBMEP-2016) Juliana começou a escrever, em ordem crescente, uma lista dos 
números inteiros positivos cuja soma dos algarismos é divisível por 5. Sua lista 
começou com 5, 14, 19, 23 e terminou quando ela encontrou dois números con-
secutivos. Qual é a soma dos algarismos do penúltimo número dessa lista?
a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50
6. (OBMEP-2015) Rita tem R$13,37 em moedas de 1 centavo, de 5 centavos, de 10 centavos, de 25 
centavos, de 50 centavos e de 1 real. Ela tem a mesma quantidade de moedas de cada valor. 
Quantas moedas ela tem no total?
a) 24 b) 30 c) 36 d) 42 e) 48
7. (OBMEP) Quantos números inteiros, múltiplos de 3, existem entre 1 e 2 005?
a) 664 b) 665 c) 667 d) 668 e) 669
8. (OBMEP) Na conta indicada a seguir, as letras X, Y e Z representam algarismos distintos. Qual 
é o algarismo representado pela letra Z?
a) 1
b) 3
c) 5
d) 6
e) 8
VAMOS PRATICAR MAIS?
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Y Y Y Y
Z Z Z Z
Y X X X Z
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02
 
1. Quais dos números a seguir não pertencem ao conjunto dos números reais?
− − − −3 2 8 49 4932 3, , , , eπ
2. Marque na reta r os pontos indicados no quadro a seguir.
Ponto A B C D E F G
Abscissa −
3
4
1
4
1
1
2 
0,4 −
7
2 
−3
1
4
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3
1 
0 1–1–2–3–4 2
3. Qual é o número racional na forma decimal que está escondido?
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4. Para viajar, Pedro encheu o tanque do seu carro com gasolina. Na primeira parte da viagem, ele 
gastou 
1
3 do tanque. Na segunda etapa, ele gastou mais 
1
3 . Pedro gastou mais que 
1
2 tanque?
5. (OBM) Esmeralda compra cinco latas de azeite, a quatro reais e setenta centavos a lata, cinco 
latas de leite em pó, a três reais e doze centavos cada, e três caixas de iogurte com seis iogurtes 
cada caixa ao preço de oitenta centavos por iogurte. Paga com uma nota de cinquenta reais 
e quer saber quanto irá receber de troco. Qual das expressões aritméticas a seguir representa 
a solução para este problema? 
a) 50 – 5 · (4,70 + 3,12) +18 · 0,80 
c) −[5 · (4,70 + 3,12) + 3 · 6 · 0,80] + 50
e) 50 − [5 · (4,70 + 3,12) +6 · 0,80]
b) 5 · 4,70 + 5 · 3,12 + 3 · 6 · 0,80 − 50
d) 50 − [5 · (4,70 + 3,12) + 3 · 6 + 0,80]
6. Um alimento congelado tem a temperatura de –2°C. Depois de aquecido no micro-ondas, a 
sua temperatura subiu 28°C. Qual é a temperatura atual do alimento?
ATIVIDADES
Resposta
1. D
2. B
3. 
a) 
3
4
b) 
1
8
c) 
3
2
9
6
 ou
d) 
12
9
4
3ou
4. D
5. D
6. D
7. D
8. E
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88 MATEMÁTICA
88 MATEMÁTICA
Números reais - Relacionando conceitos
 
 
 
 
operações 
matemáticas
5 · 3 (2 + 3)
irracionais
REAIS
contêm
no qual existem
de
exemplo
podem estar 
na forma de
racionais
 
 
soma
subtração
multiplicação
divisão
expressões 
numéricas
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 88 15/09/2020 17:24:10
89MATEMÁTICA
Encaminhamento 
metodológico
Neste capítulo, desen-
volveremos as habilidades 
EF08MA01 e EF08MA02 da 
BNCC.
A primeira habilidade 
trata de efetuar cálculos com 
potências de expoentes inteiros 
e aplicar esse conhecimento na 
representação de números em 
notação científica. A segunda 
habilidade trata de resolver e 
elaborar problemas usando a 
relação entre potenciação e 
radiciação para representar uma 
raiz como potência de expoente 
fracionário. Este capítulo tem 
foco na ampliação das operações 
no conjunto numérico dos reais. 
O texto inicial problema-
tiza os significados que uma 
mesma palavra pode apresen-
tar dado o contexto em que 
é inserida. Solicite aos alunos 
mais exemplos de palavras que 
utilizamos em Matemática, mas 
que têm outros significados nas 
outras disciplinas, no dia a dia 
etc. A pergunta inicial investiga 
se os alunos se lembram do 
conceito de potência.
O texto inicial apresenta 
uma das aplicações da notação 
científica. Solicite aos alunos 
que pesquisem exemplos de 
aplicações da notação científica 
que utilizamos em Matemática, 
mas que são utilizadas nas ou-
tras disciplinas, como a medição 
de distâncias astronômicas que 
é utilizado em Ciências.
Objetivos do capítulo
 • Ampliar o significado de potenciação e radiciação.
 • Aplicar o conhecimento da representação de números em notação científica.
 • Compreender o conceito da extração de raízes quadradas por aproximação.
Realidade aumentada 
 • Propriedades das potências
 • Propriedades dos radicais
123dartist/Shutterstock
un
idade
89
3. Potências e raízes
A notação científica é de grande importância para a ciência em geral. Na notação científica, utilizamos 
a potência como instrumento para escrever números muito grandes ou muito pequenos de uma forma que 
seja mais fácil de trabalhar com eles. 
O uso da notação científica para representarmos números, sejam muito grandes, sejam muito peque-
nos, é essencial.
Você já viu notação científica antes? Onde podemos usá-la?
1
• Potenciação e radiciação nos reais
• Potências de base 10 e notação científica
• Valor aproximado de uma raiz
• Expressões numéricas 
envolvendo potências e raízes
Conjuntos numéricos
Escola Digital
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 89 15/09/2020 17:24:21
90 MATEMÁTICA
 • Fácil construção: como visto, o processo de obtenção da curva é simples, com ape-
nas três passos repetidos indefinidamente.
 • Difícil descrição matemática: apesar da facilidade da construção, não existe uma 
função analítica simples que descreva a curva de Koch. [...]”
FUZZO, Regis Alessandro et al. Fractais: algumas características e propriedades. Disponível em: 
http://url.sae.digital/ex41zRM. Acesso em: 24 jul. 2019.
Encaminhamento 
metodológico
Neste momento, retoma-
mos o conteúdo de potenciação 
por meio de uma situação-pro-
blema. Leia a situação com os 
alunos e façam juntos a cons-
trução do fractal. Se possível, 
construam também o fractal no 
GeoGebra online. 
No site a seguir há o passo 
a passo de como podemos 
construir a curva de Koch no 
GeoGebra.
 • http://url.sae.digital/lCwL9sP
Orientação para RA 
A Realidade aumentada 
desta página procura siste-
matizar as propriedades das 
potências. Verifique se os alunos 
apresentam dificuldades e, caso 
as tenham, dê outros exemplos.
Dica para ampliar 
o trabalho
“Niels Fabian Helge 
von Koch (1870-1924) foi um 
matemático sueco, nascido em 
Estocolmo, que deu seu nome 
ao famoso fractal conhecido 
como o ‘floco de neve Koch’, que 
foi um dos primeiros fractais de 
curvas a ser descrito.
[...] Esta curva possui as 
principais características fractais, 
como:
 • Autossemelhança: é possível 
encontrar em cada nível da 
curva de Koch quatro cópias 
da figura no nível anterior, em 
tamanho reduzido, sendo que, 
para cada uma dessas quatro 
partes, ocorre o mesmo. Desse 
modo, vemos que a autos-
semelhança é encontrada 
em cada parte da figura, não 
importando qual está sendo 
observada.
 • Estrutura fina: não importa 
o quanto ampliamos a curva 
de Koch, a quantidade de 
detalhes que vemos continua 
sendo grande.
91MATEMÁTICA
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03
Notação científica
Uma das aplicações das potências está na necessidade de abreviar a escrita de números com muitos 
algarismos. Essa escrita é chamada de notação científica. 
Por exemplo, o número 256 000 000 é escrito como 2, 56 · 100 000 000 e 100 000 000 pode ser escrito 
como uma potência de base 10, ou seja, 100 000 000 = 108. Logo, 256 000 000 = 2, 56 · 108.
  Exemplos:
 • 3, 5 · 105 = 3,5 · 100 000 = 350 000 • 4,8 · 10-4 = 4,8 · 0, 0001 = 0, 00048
Um número racional em notação científica é sempre representado por 
um número entre 1 e 9 multiplicado por uma potência de base 10.
 
Observe o ranking dos países que mais utilizam aparelhos celulares. Depois, preencha a última 
coluna com a quantidade de celulares em notação cientifica.
Posição País Número de 
celulares
Número em 
notação cientifica
1 China 398 000 000 108
2 EUA 202 000 000 108
3 Rússia 115 000 000 108
4 Japão 95 000 000 107
5 Brasil 86 000 000 107
6 Índia 79 000 000 107
7 Alemanha 73 000 000 107
8 Itália 59 000 000 107
9 Reino Unido 58 000 000 107
10 França 47 000 000 107
Fonte: Folha Online. Disponível em: http://url.sae.digital/c7Adj3E.
ATIVIDADES
ES
B 
Pr
of
es
si
on
al
/S
hu
tt
er
st
oc
k
 
 Junto a um colega, pesquise dados que podemos representar 
em notação científica. Depois, utilizando as informações pesqui-
sadas, elabore um problema que envolva notação cientifica. Em 
seguida, troque-o com seu colega e resolva o problema criado 
por ele.
INTERAÇÃO
90 MATEMÁTICA
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03
Potenciação 
Vamos construir um fractal? Siga as seguintes regras sobre um 
seguimento de reta (etapa 1).
1.° Divida o seguimento em três segmentos de reta de 
mesma medida.
2.° Desenhe um triângulo equilátero tendo como base o segmento 
do meio.
3.° Remova o segmento da base do triângulo construído 
(etapa 2).
Ao repetir sucessivamente essas três regras em cada um dos segmentos, obtemos o fractal repre-
sentado ao lado, conhecido como Curva de Koch.
Como podemos encontrar o número de segmentos do fractal em qualquer etapa?
A potenciação com números reais é a ampliação do conceito que já estudamos. A base é um nú-
mero real e o expoente é um número inteiro.
p = bn = b · b · ... · b · b
Potência n vezes o fatorBase
Expoente
Voltando à nossa situação inicial, na primeira etapa há 1 segmento, na segunda, 4 segmentos e, 
na terceira, 16 = 4 · 4 = 4², …, ou seja, há um padrão. O padrão é 4n-1, em que n é o número da etapa. 
Nesse tipo de situação, a potência nos ajuda a representar a fórmula geral.
Propriedades da potenciação
 • Multiplicação de potências de mesma 
base: (a)n · (a)m = (a)n+m 
 • Potência de potência: ( ) ( ) •a an
m n m�� �� �
 • Potência de um quociente: 
a
b
a
b
n n
n
�
�
�
�
�
� � 
 • Divisão de potências de mesma base:
(a)n : (a)m = (a)n-m 
 • Potência de um produto: ( ) ( ) ( ) ( )a b a b
n n n�� � � �
 • Potência de expoente negativo: 
a
b
b
a
n n
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
 
Observe alguns casos especiais:
 • (1, 05)1 = 1, 05  potência de base real com expoente 1 é igual à própria base;
 • (–7, 23452...)0 = 1  potência de base real não nula com expoente 0 é igual a 1;
 • 2
1
2
1
2
1
2
1
4
1
2
2
2
� � � �
�
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�
�
� � � � �
�
 potência de base real não nula com expoente inteiro 
negativo é igual à potência que tem como base o inverso da base original e, como expoente,o 
oposto do expoente original.
Etapa 1
Etapa 2
Etapa 3
Etapa 4
Etapa 5
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 90 15/09/2020 17:24:24
91MATEMÁTICA
Encaminhamento metodológico
Recorde com os alunos as propriedades da potenciação (que no conjunto dos 
números reais são as mesmas que nos demais conjuntos numéricos estudados). É im-
portante que o aluno entenda as propriedades neste momento para realizar os cálculos 
numéricos, para que, depois, ele consiga realizar os cálculos algebricamente. Trabalhe 
alguns exemplos para aprofundar o assunto. 
Medeie a elaboração de problemas utilizando os dados apresentados. Ao solicitar 
aos alunos que apliquem o conhecimento de potências na representação de números 
em notação cientifica, estamos desenvolvendo parte da habilidade EF08MA01 da BNCC.
91MATEMÁTICA
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03
Notação científica
Uma das aplicações das potências está na necessidade de abreviar a escrita de números com muitos 
algarismos. Essa escrita é chamada de notação científica. 
Por exemplo, o número 256 000 000 é escrito como 2, 56 · 100 000 000 e 100 000 000 pode ser escrito 
como uma potência de base 10, ou seja, 100 000 000 = 108. Logo, 256 000 000 = 2, 56 · 108.
  Exemplos:
 • 3, 5 · 105 = 3,5 · 100 000 = 350 000 • 4,8 · 10-4 = 4,8 · 0, 0001 = 0, 00048
Um número racional em notação científica é sempre representado por 
um número entre 1 e 9 multiplicado por uma potência de base 10.
 
Observe o ranking dos países que mais utilizam aparelhos celulares. Depois, preencha a última 
coluna com a quantidade de celulares em notação cientifica.
Posição País Número de 
celulares
Número em 
notação cientifica
1 China 398 000 000 108
2 EUA 202 000 000 108
3 Rússia 115 000 000 108
4 Japão 95 000 000 107
5 Brasil 86 000 000 107
6 Índia 79 000 000 107
7 Alemanha 73 000 000 107
8 Itália 59 000 000 107
9 Reino Unido 58 000 000 107
10 França 47 000 000 107
Fonte: Folha Online. Disponível em: http://url.sae.digital/c7Adj3E.
ATIVIDADES
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 Junto a um colega, pesquise dados que podemos representar 
em notação científica. Depois, utilizando as informações pesqui-
sadas, elabore um problema que envolva notação cientifica. Em 
seguida, troque-o com seu colega e resolva o problema criado 
por ele.
INTERAÇÃO
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03
Potenciação 
Vamos construir um fractal? Siga as seguintes regras sobre um 
seguimento de reta (etapa 1).
1.° Divida o seguimento em três segmentos de reta de 
mesma medida.
2.° Desenhe um triângulo equilátero tendo como base o segmento 
do meio.
3.° Remova o segmento da base do triângulo construído 
(etapa 2).
Ao repetir sucessivamente essas três regras em cada um dos segmentos, obtemos o fractal repre-
sentado ao lado, conhecido como Curva de Koch.
Como podemos encontrar o número de segmentos do fractal em qualquer etapa?
A potenciação com números reais é a ampliação do conceito que já estudamos. A base é um nú-
mero real e o expoente é um número inteiro.
p = bn = b · b · ... · b · b
Potência n vezes o fatorBase
Expoente
Voltando à nossa situação inicial, na primeira etapa há 1 segmento, na segunda, 4 segmentos e, 
na terceira, 16 = 4 · 4 = 4², …, ou seja, há um padrão. O padrão é 4n-1, em que n é o número da etapa. 
Nesse tipo de situação, a potência nos ajuda a representar a fórmula geral.
Propriedades da potenciação
 • Multiplicação de potências de mesma 
base: (a)n · (a)m = (a)n+m 
 • Potência de potência: ( ) ( ) •a an
m n m�� �� �
 • Potência de um quociente: 
a
b
a
b
n n
n
�
�
�
�
�
� � 
 • Divisão de potências de mesma base:
(a)n : (a)m = (a)n-m 
 • Potência de um produto: ( ) ( ) ( ) ( )a b a b
n n n�� � � �
 • Potência de expoente negativo: 
a
b
b
a
n n
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
 
Observe alguns casos especiais:
 • (1, 05)1 = 1, 05  potência de base real com expoente 1 é igual à própria base;
 • (–7, 23452...)0 = 1  potência de base real não nula com expoente 0 é igual a 1;
 • 2
1
2
1
2
1
2
1
4
1
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2
2
� � � �
�
�
�
�
� � � � �
�
 potência de base real não nula com expoente inteiro 
negativo é igual à potência que tem como base o inverso da base original e, como expoente, o 
oposto do expoente original.
Etapa 1
Etapa 2
Etapa 3
Etapa 4
Etapa 5
Resposta
As respostas para a seção 
Atividades estão no Livro do 
aluno.
As respostas para a seção 
Interação são pessoais.
3,98 x 
2,02 x
1,15 x
9,5 x 
8,6 x 
7,9 x 
7,3 x 
5,9 x 
5,8 x 
4,7 x 
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 91 15/09/2020 17:24:28
92 MATEMÁTICA
sistematizar as propriedades das raízes. Procure verificar se os alunos apresentam 
dificuldades e, caso as tenham, dê outros exemplos.
Encaminhamento metodológico.
Neste momento, estamos aplicando as propriedades da potenciação a fim de en-
contrar uma única potência, dessa forma estamos dando ferramentas para desenvolver 
a habilidade EF08MA01 da BNCC.
Resposta
1. 
a) 59
b) 
2
3
2
3
9 9
9





 =
c) 1612
d) 
9
12
9
12
5 5
5





 =
e) 
7
9
9
7
3 3
3





 =
−
f ) 5,4
g) (4,7)6 · (6,4)6
h) 8
i) (–2)25
2. 
a) 150,2 · 1000000 = 
= 150,2 · 106 = 1,502 · 108
b) 22 250 000 = 2,225 · 107
Sugestão de atividade
1. Transforme em uma só 
potência:
a) 22 · 25
 ` Solução: 27
b) 46 : 43
 ` Solução: 43
c) [(3)2]4
 ` Solução: 38
d) 2
3
3






 ` Solução: 
2
3
3
3
2. Reduza a uma potência:
a) [(–34)3]
 ` Solução: [(–34)3] = (–3)4 · 3 = (–3)12
b) 2
5
1 2














− −
 ` Solução:
 2
5
2
5
2
5
1 2 1 2 2














= 




 = 





− − − ⋅ −( ) ( )
Orientação para RA
A Realidade aumen-
tada desta página procura 
93MATEMÁTICA
EF
21
_8
_M
AT
_L
1_
U
1_
03
Propriedades da radiciação
Veja, a seguir, algumas propriedades da radiciação:
 • Raiz de 1: 1 1n = . 
 • Potência de uma raiz: a an
n� � � . 
 • Transformação de raiz em potência: a abn
b
n= .
 • Quociente de raízes: 
a
b
a
b
n
n
n
= .
 • Multiplicação de raízes: a b a bn n n� � � .
A raiz quadrada de um número quadrado perfeito é sempre um número racional.
  Exemplos:
 • 400 20= • 1024 32=
A raiz quadrada de um número não quadrado perfeito é sempre um número irracional.
  Exemplos:
 • 3 ≅ 1,7320... • 2 ≅ 1,4142...
 
1. Calcular a raiz quadrada de 324.
  Solução: 
Inicialmente, devemos decompor o número 324 em fatores primos e escrevê-lo na sua forma 
fatorada.
Decomposição:
324 2
162 2
81 3
27 3
9 3
3 3
1 22 · 34 ou 22 · 32 · 32
Depois, devemos escrever a raiz quadrada do número como raiz quadrada do produto da sua 
forma fatorada e aplicar a definição de raiz quadrada e as suas propriedades.
324 2 3 3 2 3 3 2 3 3 182 2 2 2 2 2� � � � � � � � � �
Portanto, 324 18= .
COLOCANDO EM PRÁTICA
92 MATEMÁTICA
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1_
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03
Radiciação
Observe a seguinte situação: Ana herdou um terreno quadrado 
com uma área de 81 m2. Para cercá-lo, ela vai mandar construir um 
muro nas laterais e no fundo. Na frente desse terreno, ela colocará 
uma grade. 
 Qual deve ser a largura da grade que Ana colocará na frente 
de seu terreno?
Já estudamos a radiciação, que é uma ferramenta matemática 
importante para resolvermos esse tipo de situação. Como o terreno é quadrado, precisamos descobrir 
um número que, multiplicado por ele mesmo, tenha como produto 81. Ou seja, vamos calcular a raiz 
quadrada de 81.
81 9= , pois 9 · 9 = 81
Portanto, a largura do portão que Ana vai colocar em frente ao seu terreno é igual a 9 metros.
A radiciação de números reais é: 
Radicando Raiz n vezes
Índice
a b → bn = b · b · ... · b · b = a=
n
Em que a e b são números reais e n é um número inteiro.
  Exemplos:
 • 121 11= , pois 11 · 11 = 121 • 0 01 0 1, ,= , pois 0,1 · 0,1 = 0,01
SAE DIGITAL S/A
 
1. Aplicando as propriedades da potenciação, transforme em uma única potência:
a) 55 · 54
 
b) 2
3
3 3
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 
c)(162)6
 
d) 9
12
9
12
20 15
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�:
 
e) 7
9
3
3
−
−
 
f ) (5,4)4 : (5,4)3
 
g) [(4,7) · (6,4)]3
 
h) 85 : 84
 
i) (–2)14 · (–2)2 · (–2)9
 
2. Considere os números abaixo e escreva-os em notação científica.
a) 150,2 milhões: 
b) 22 250 000: 
ATIVIDADES
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 92 15/09/2020 17:24:41
93MATEMÁTICA
 ` Solução: 9
b) 144
 ` Solução: 12
c) 225
 ` Solução: 15
d) 324
 ` Solução: 18
e) 441
 ` Solução: 21
f ) 576
 ` Solução: 24
Encaminhamento metodológico
Retome o conteúdo de radiciação visto nos anos anteriores para os outros conjun-
tos numéricos. Destaque que uma raiz quadrada pode ter como resultado um número 
natural, racional, irracional ou inexistente no conjunto dos reais. É importante que os 
alunos saibam, pelo menos, os 20 primeiros números quadrados. Monte uma tabela no 
quadro e peça a ajuda dos alunos para preenchê-la. Solicite a eles que copiem essa ta-
bela em seus cadernos. Nas propriedades da radiciação, estamos introduzindo um con-
ceito que auxiliará a desenvolver a habilidade de resolver e elaborar problemas usando 
a relação entre potenciação e radiciação para representar uma raiz como potência de 
expoente fracionário (EF08MA02).
Sugestão de atividade
1. Com a calculadora, sem utilizar a tecla de raiz, encontre as raízes de:
a) 81
93MATEMÁTICA
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1_
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03
Propriedades da radiciação
Veja, a seguir, algumas propriedades da radiciação:
 • Raiz de 1: 1 1n = . 
 • Potência de uma raiz: a an
n� � � . 
 • Transformação de raiz em potência: a abn
b
n= .
 • Quociente de raízes: 
a
b
a
b
n
n
n
= .
 • Multiplicação de raízes: a b a bn n n� � � .
A raiz quadrada de um número quadrado perfeito é sempre um número racional.
  Exemplos:
 • 400 20= • 1024 32=
A raiz quadrada de um número não quadrado perfeito é sempre um número irracional.
  Exemplos:
 • 3 ≅ 1,7320... • 2 ≅ 1,4142...
 
1. Calcular a raiz quadrada de 324.
  Solução: 
Inicialmente, devemos decompor o número 324 em fatores primos e escrevê-lo na sua forma 
fatorada.
Decomposição:
324 2
162 2
81 3
27 3
9 3
3 3
1 22 · 34 ou 22 · 32 · 32
Depois, devemos escrever a raiz quadrada do número como raiz quadrada do produto da sua 
forma fatorada e aplicar a definição de raiz quadrada e as suas propriedades.
324 2 3 3 2 3 3 2 3 3 182 2 2 2 2 2� � � � � � � � � �
Portanto, 324 18= .
COLOCANDO EM PRÁTICA
92 MATEMÁTICA
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03
Radiciação
Observe a seguinte situação: Ana herdou um terreno quadrado 
com uma área de 81 m2. Para cercá-lo, ela vai mandar construir um 
muro nas laterais e no fundo. Na frente desse terreno, ela colocará 
uma grade. 
 Qual deve ser a largura da grade que Ana colocará na frente 
de seu terreno?
Já estudamos a radiciação, que é uma ferramenta matemática 
importante para resolvermos esse tipo de situação. Como o terreno é quadrado, precisamos descobrir 
um número que, multiplicado por ele mesmo, tenha como produto 81. Ou seja, vamos calcular a raiz 
quadrada de 81.
81 9= , pois 9 · 9 = 81
Portanto, a largura do portão que Ana vai colocar em frente ao seu terreno é igual a 9 metros.
A radiciação de números reais é: 
Radicando Raiz n vezes
Índice
a b → bn = b · b · ... · b · b = a=
n
Em que a e b são números reais e n é um número inteiro.
  Exemplos:
 • 121 11= , pois 11 · 11 = 121 • 0 01 0 1, ,= , pois 0,1 · 0,1 = 0,01
SAE DIGITAL S/A
 
1. Aplicando as propriedades da potenciação, transforme em uma única potência:
a) 55 · 54
 
b) 2
3
3 3
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 
c) (162)6
 
d) 9
12
9
12
20 15
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�:
 
e) 7
9
3
3
−
−
 
f ) (5,4)4 : (5,4)3
 
g) [(4,7) · (6,4)]3
 
h) 85 : 84
 
i) (–2)14 · (–2)2 · (–2)9
 
2. Considere os números abaixo e escreva-os em notação científica.
a) 150,2 milhões: 
b) 22 250 000: 
ATIVIDADES
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 93 15/09/2020 17:24:44
94 MATEMÁTICA
Resposta
1. 
a) 4
3
2
b) 
5
3
5
5
c) 15 16 4 15⋅ =
d) 1 254
e) 25 25
6
4
3
2=
f ) 
9
13
7
7
g) 489
h) 1
i) 9 163 3×
2. 
a) 90
b) 200
c) 11
d) 13
e) 15
f ) 25
Encaminhamento 
metodológico
Relembre o conceito de 
quadrados perfeitos com os alu-
nos, pois ele é importante quan-
do calculamos a raiz quadrada 
aproximada de um número 
para, posteriormente, conferir-
mos os resultados encontrados.
Faça o passo a passo sobre 
como extrair raízes quadradas 
aproximadas com os alunos. 
Depois, peça a eles que encon-
trem a raiz aproximada de outros 
valores. Utilize a calculadora, 
posteriormente, para conferir os 
resultados encontrados.
Exemplo: 89
A raiz está entre 9 e 10, 
pois 92 = 81 e 102 = 100. Por 
tentativas, obtemos que será 9,4. 
(9,12 = 82,81, 9,22 = 84,64, 
9,32 = 86,49 e 9,62 = 88,36).
95MATEMÁTICA
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1. Calcule o valor de 5
 
com uma casa decimal de aproximação.
2. Utilizando o método de extrair raízes quadradas aproximadas, calcule as raízes abaixo arre-
dondando os décimos.
a) 45 b) 111 c) 72 
ATIVIDADES
Expressões numéricas
Ao resolvermos expressões numéricas, seguimos esta ordem: 
1.°) Potências e raízes, na ordem em que aparecem;
2.°) Multiplicações e divisões, na ordem em que aparecem;
3.°) Adições e subtrações, na ordem em que aparecem.
  Exemplo:
6 + 2 · 3 + 5 · 2³ + 2² : 2 + 3 + 5 =
= 6 + 2 · 3 + 5 · 8 + 4 : 2 + 3 +5 =
= 6 + 6 + 40 + 2 + 3 + 5 =
= 62
Se aparecerem os sinais de associação, eles devem ser resolvidos na seguinte ordem:
1.°) Parênteses ( ); 2.°) Colchetes [ ]; 3.°) Chaves { }.
  Exemplo:
(6 + 2) · 3 + {[(5 · 2³) + 2²] : 2} + 3 + 5 = 
= 8 · 3 + {[(5 · 8) + 4] : 2} + 3 + 5 = 
= 8 · 3 + {[40 + 4] : 2} + 3 + 5 =
= 8 · 3 + {44 : 2} + 3 + 5 =
= 8 · 3 + 22 + 3 + 5 =
= 24 + 22 + 3 + 5 =
= 54
94 MATEMÁTICA
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03
Valor aproximado de uma raiz
Como vimos, a raiz quadrada dos números que não são quadrados perfeitos apresenta apenas 
aproximações como resposta. Observe como calculamos a raiz quadrada aproximada de números 
que não têm raiz quadrada exata.
Qual é o valor aproximado de 3?
O número 3 está entre os quadrados perfeitos 1 e 4.
1 < 3 < 4
Isso significa que 3 é um número que está entre 1 e 4 .
1 3 4
1 3 2
< <
< < 
O valor de 3
 
pode ser considerado 1 (raiz quadrada aproximada por falta) ou 2 (raiz quadrada 
aproximada por excesso).
Podemos melhorar a aproximação considerando as casas decimais dessa raiz.
Observe:
 • 1,52 = 2,25 • 1,62 = 2,56 • 1,72 = 2,89 • 1,82 = 3,24
Pelos valores obtidos, a raiz quadrada de 3 está entre 1,7 e 1,8.
Da mesma maneira, podemos aumentar a precisão com mais uma casa decimal.
Observe:
 • 1,712 = 2,9241 • 1,722 = 2,9584 • 1,732 = 2,9929 • 1,742 = 3,0276
Portanto, ao considerarmos duas casas decimais, o valor aproximado de 3
 
é igual a 1,73.
 
1. Aplicando as propriedades da radiciação, simplifique as raízes.
f ) 
a) 43
 
b) 
5
3
5
 
c) 15 16⋅
 
d) 125441
41� �
 
e) 2564
 
 
9
13
7
 
g) 48962
62� �
 
h) 125
 
i) 9 163 ⋅
 
2. Em seu caderno, calcule as raízes quadradas a seguir por meio de fatoração em números primos. 
a) 8 100
c) 121
e) 225
b) 40 000 
d) 169
f ) 625
 
ATIVIDADES
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 94 15/09/2020 17:24:57
95MATEMÁTICA
Dica para ampliar 
o trabalho
Vamos resolver algumas 
expressões numéricas?
No site a seguir, há um 
jogo das expressões numéri-
cas. Acesse-o e aproveite para 
praticar as operações. Anote as 
expressões e os seus resultados 
e comente com a turma. Vocês 
podem criar uma tabela para ver 
quem conseguiu resolver mais 
expressões em determinado 
tempo. Aproveitem!
 • http://url.sae.digital/za4X7Mi
Resposta
1. Primeiro identificamos entre 
quais números quadrados 
perfeitos está 5.
4 5 9 2 5 3< < ⇒ < <
2,12 = 4,41
2,22 = 4,84 
2,32 = 5,29
Logo, 5 ≅ 2,2.
2. 
a) 6,7
b) 10,5
c) 8,5
Encaminhamento metodológico
Se possível, enfatize que, para resolver as expressões numéricas, precisamos obe-decer à seguinte ordem dos sinais de associação:
1.°) Parênteses ( );
2.°) Colchetes [ ];
3.°) Chaves { }.
Dentro dos sinais de associação, devemos resolver as operações na seguinte 
ordem:
1.°) Potências e raízes;
2.°) Multiplicações e divisões;
3.°) Adição e subtração.
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03
 
1. Calcule o valor de 5
 
com uma casa decimal de aproximação.
2. Utilizando o método de extrair raízes quadradas aproximadas, calcule as raízes abaixo arre-
dondando os décimos.
a) 45 b) 111 c) 72 
ATIVIDADES
Expressões numéricas
Ao resolvermos expressões numéricas, seguimos esta ordem: 
1.°) Potências e raízes, na ordem em que aparecem;
2.°) Multiplicações e divisões, na ordem em que aparecem;
3.°) Adições e subtrações, na ordem em que aparecem.
  Exemplo:
6 + 2 · 3 + 5 · 2³ + 2² : 2 + 3 + 5 =
= 6 + 2 · 3 + 5 · 8 + 4 : 2 + 3 +5 =
= 6 + 6 + 40 + 2 + 3 + 5 =
= 62
Se aparecerem os sinais de associação, eles devem ser resolvidos na seguinte ordem:
1.°) Parênteses ( ); 2.°) Colchetes [ ]; 3.°) Chaves { }.
  Exemplo:
(6 + 2) · 3 + {[(5 · 2³) + 2²] : 2} + 3 + 5 = 
= 8 · 3 + {[(5 · 8) + 4] : 2} + 3 + 5 = 
= 8 · 3 + {[40 + 4] : 2} + 3 + 5 =
= 8 · 3 + {44 : 2} + 3 + 5 =
= 8 · 3 + 22 + 3 + 5 =
= 24 + 22 + 3 + 5 =
= 54
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03
Valor aproximado de uma raiz
Como vimos, a raiz quadrada dos números que não são quadrados perfeitos apresenta apenas 
aproximações como resposta. Observe como calculamos a raiz quadrada aproximada de números 
que não têm raiz quadrada exata.
Qual é o valor aproximado de 3?
O número 3 está entre os quadrados perfeitos 1 e 4.
1 < 3 < 4
Isso significa que 3 é um número que está entre 1 e 4 .
1 3 4
1 3 2
< <
< < 
O valor de 3
 
pode ser considerado 1 (raiz quadrada aproximada por falta) ou 2 (raiz quadrada 
aproximada por excesso).
Podemos melhorar a aproximação considerando as casas decimais dessa raiz.
Observe:
 • 1,52 = 2,25 • 1,62 = 2,56 • 1,72 = 2,89 • 1,82 = 3,24
Pelos valores obtidos, a raiz quadrada de 3 está entre 1,7 e 1,8.
Da mesma maneira, podemos aumentar a precisão com mais uma casa decimal.
Observe:
 • 1,712 = 2,9241 • 1,722 = 2,9584 • 1,732 = 2,9929 • 1,742 = 3,0276
Portanto, ao considerarmos duas casas decimais, o valor aproximado de 3
 
é igual a 1,73.
 
1. Aplicando as propriedades da radiciação, simplifique as raízes.
f ) 
a) 43
 
b) 
5
3
5
 
c) 15 16⋅
 
d) 125441
41� �
 
e) 2564
 
 
9
13
7
 
g) 48962
62� �
 
h) 125
 
i) 9 163 ⋅
 
2. Em seu caderno, calcule as raízes quadradas a seguir por meio de fatoração em números primos. 
a) 8 100
c) 121
e) 225
b) 40 000 
d) 169
f ) 625
 
ATIVIDADES
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 95 15/09/2020 17:25:03
96 MATEMÁTICA
Encaminhamento 
metodológico
Na seção Interação, em um 
primeiro momento, peça aos 
alunos que resolvam a situação 
proposta utilizando números 
para a verificação. Depois, 
pergunte a eles o que descobri-
ram e quais exemplos utiliza-
ram. Realize mais exemplos no 
quadro. 
Resposta
As respostas para a seção 
Atividades são:
1. 
a) 176
b) 188
c) 1281
d) 513
e) –2500
f ) 2716
2. 
a) 5
b) –6
c) 
221
90
 = 2 41
90
d) –378
e) -1
4
A resposta para a seção 
Interação é:
A igualdade não é 
verdadeira. Por exemplo: 
9 16 25 5+ = = , mas 
9 16 3 4 7+ = + = , ou seja, 
os valores são diferentes.
Sugestão de atividade
Encontre o valor das ex-
pressões numéricas seguintes:
a) [(6)² + (7)²] : 25
 ` Solução: 17
b) [(5 + 3) · 12] : [(5 – 3) · 2²]
 ` Solução: 12
c) [(28 + 4 · 2) : 3 + 8 · 3] : 6 
 ` Solução: 6
d) [2 + (22 – 5 · 6)] : (–5 + 2) + 1
 ̀ Solução: 3
97MATEMÁTICA
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03
 
Vamos construir a raiz quadrada de um segmento! 
Leia este texto e siga o procedimento. Lembre-se de que você precisará de régua, 
compasso, lápis e borracha.
[...]
Raiz quadrada de um segmento
Dado um segmento qualquer, é possível extrair a raiz 
quadrada desse segmento, isto é, construir um segmento 
cuja medida seja a raiz quadrada da medida desse segmento. 
Os gregos já conheciam esse processo desde o século V a.C., 
e isso sugere que as relações do triângulo retângulo são 
herança desses povos. 
[...] construir o segmento que representa a raiz quadrada 
do segmento AB representado ao lado. 
Dado o segmento AB, prolongamos esse segmento de 
uma unidade até o ponto B’. 
Determinamos, então, o ponto médio do segmento 
AB’ e, com centro nesse ponto médio (M), construímos um 
semicírculo de diâmetro AB’. A perpendicular levantada pelo 
ponto B em relação ao segmento AB, representada aqui pelo 
segmento BS, é a raiz quadrada do segmento AB. 
Observe que esse segmento seria a altura do triângulo retângulo SAB’, inscrito ao 
semicírculo de diâmetro AB’.
LIMA, Eliane. Desenho geométrico – Instrucionais de matemática. Matematicando. 16 ago. 2018. 
Disponível em: http://www.matematicando.net.br/desenho-geometrico/. Acesso em: 24 jul. 2019.
DESENVOLVER E APLICAR
A B B’1
M
MA B
S
1 B’
aj
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
 
1. Estou pensando em um número! O resultado do quadrado dele é o número 5 184. Em que 
número estou pensando?
2. Em um estacionamento há 4 carros. Cada carro tem 4 rodas e em cada roda há 4 parafusos. 
Qual é o total de parafusos desses 4 carros? 
3. Marcos disse que a expressão x a� � � �6 5 4 144 é um número racional. Valéria disse 
que é um número irracional. Quem está certo?
4. Se Everson contar uma notícia para 2 amigos e eles contarem para mais 2 amigos que contam 
para mais 2 amigos, quantas pessoas sabem da notícia?
ATIVIDADES
96 MATEMÁTICA
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1. Resolva as expressões numéricas a seguir.
a) 2² + 4³ + 3³ ∙ 2²
b) (2² + 4² + 3³) ∙ 2²
c) 3 ∙ {43 + [5 ∙ 60 + 7 ∙ (92 – 80)]} 
d) 3 ∙ 43 + [5 ∙ 60 + 7 ∙ (92 – 80)]
e) (33 + 3 ∙ 7) · 2 − {4 ∙ [800 – (32 ∙ 2 + 10) · 2]}
f ) (33 + 3 ∙7) · 2 + 4 · [800 – (32 ∙ 2 + 10) · 2]
2. Resolva as expressões numéricas a seguir em seu caderno.
a) 60 : {2 · [–7 + 18 : (–3 + 12)]} – [7 · (–3) – 18 : (–2) + 1]
b) 100 2 8 2 24 2 3 24 2− −( )⋅ −


 − − +( )


:
c) 
4
3
7
5
1
2
4
9
1
5
+ ⋅ +





−
d) 3 1 12 13 4 1
1
3
1⋅ − + ⋅ − + ⋅ −













 −








e) 
3
3
4
6
3
4
4
7
3
4
2
2 1
1
⋅ −





 + ⋅






−
⋅ −





 +
 − −
−

















ATIVIDADES
 
Algumas sentenças matemáticas podem nos confundir. Observe o exemplo:
a b a b� � �
Será que essa sentença é válida para qualquer número natural?
Reúnam-se em grupos e testem alguns exemplos para descobrir se essa sentença é válida. O 
que vocês descobriram? Elaborem exemplos em que a igualdade funciona e em que não funciona. 
Sabendo disso, a sentença apresentada acima é verdadeira? Por quê?
INTERAÇÃO
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 96 15/09/2020 17:25:19
97MATEMÁTICA
Encaminhamento metodológico
Na seção Desenvolver e aplicar, peça aos alunos que construam a raiz quadrada 
utilizando desenho geométrico.
Resposta
A resposta para a seção Desenvolver e aplicar é pessoal.
As respostas para a seção Atividades são:
1. 72
2. 64 parafusos.
3. x = 3
 3 é racional, logo Marcos está certo.
4. 8 pessoas.
97MATEMÁTICA
EF
21
_8
_M
AT
_L
1_
U
1_
03
 
Vamos construir a raiz quadrada de um segmento! 
Leia este texto e siga o procedimento. Lembre-se de que você precisará de régua, 
compasso, lápis e borracha.
[...]
Raiz quadrada de um segmento
Dado um segmento qualquer, é possível extrair a raiz 
quadrada desse segmento, isto é, construir um segmento 
cuja medida seja a raiz quadrada da medida desse segmento. 
Os gregos já conheciam esse processo desde o século V a.C., 
e isso sugere que as relações do triângulo retângulo são 
herança desses povos. 
[...] construir o segmento que representa a raiz quadrada 
do segmento AB representado ao lado. 
Dado o segmento AB, prolongamos esse segmento de 
uma unidade até o pontoB’. 
Determinamos, então, o ponto médio do segmento 
AB’ e, com centro nesse ponto médio (M), construímos um 
semicírculo de diâmetro AB’. A perpendicular levantada pelo 
ponto B em relação ao segmento AB, representada aqui pelo 
segmento BS, é a raiz quadrada do segmento AB. 
Observe que esse segmento seria a altura do triângulo retângulo SAB’, inscrito ao 
semicírculo de diâmetro AB’.
LIMA, Eliane. Desenho geométrico – Instrucionais de matemática. Matematicando. 16 ago. 2018. 
Disponível em: http://www.matematicando.net.br/desenho-geometrico/. Acesso em: 24 jul. 2019.
DESENVOLVER E APLICAR
A B B’1
M
MA B
S
1 B’
aj
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
 
1. Estou pensando em um número! O resultado do quadrado dele é o número 5 184. Em que 
número estou pensando?
2. Em um estacionamento há 4 carros. Cada carro tem 4 rodas e em cada roda há 4 parafusos. 
Qual é o total de parafusos desses 4 carros? 
3. Marcos disse que a expressão x a� � � �6 5 4 144 é um número racional. Valéria disse 
que é um número irracional. Quem está certo?
4. Se Everson contar uma notícia para 2 amigos e eles contarem para mais 2 amigos que contam 
para mais 2 amigos, quantas pessoas sabem da notícia?
ATIVIDADES
96 MATEMÁTICA
EF
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1_
U
1_
03
 
1. Resolva as expressões numéricas a seguir.
a) 2² + 4³ + 3³ ∙ 2²
b) (2² + 4² + 3³) ∙ 2²
c) 3 ∙ {43 + [5 ∙ 60 + 7 ∙ (92 – 80)]} 
d) 3 ∙ 43 + [5 ∙ 60 + 7 ∙ (92 – 80)]
e) (33 + 3 ∙ 7) · 2 − {4 ∙ [800 – (32 ∙ 2 + 10) · 2]}
f ) (33 + 3 ∙7) · 2 + 4 · [800 – (32 ∙ 2 + 10) · 2]
2. Resolva as expressões numéricas a seguir em seu caderno.
a) 60 : {2 · [–7 + 18 : (–3 + 12)]} – [7 · (–3) – 18 : (–2) + 1]
b) 100 2 8 2 24 2 3 24 2− −( )⋅ −


 − − +( )


:
c) 
4
3
7
5
1
2
4
9
1
5
+ ⋅ +





−
d) 3 1 12 13 4 1
1
3
1⋅ − + ⋅ − + ⋅ −













 −








e) 
3
3
4
6
3
4
4
7
3
4
2
2 1
1
⋅ −





 + ⋅






−
⋅ −





 +
 − −
−

















ATIVIDADES
 
Algumas sentenças matemáticas podem nos confundir. Observe o exemplo:
a b a b� � �
Será que essa sentença é válida para qualquer número natural?
Reúnam-se em grupos e testem alguns exemplos para descobrir se essa sentença é válida. O 
que vocês descobriram? Elaborem exemplos em que a igualdade funciona e em que não funciona. 
Sabendo disso, a sentença apresentada acima é verdadeira? Por quê?
INTERAÇÃO
Sugestão de atividade
Peça aos alunos que cons-
truam a raiz quadrada de outros 
segmentos, por exemplo, de 
7 cm, 9 cm etc.
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 97 15/09/2020 17:25:24
98 MATEMÁTICA
Resposta
As respostas para a seção 
Atividades são:
5. 
a) 7,87
b) 12,57
c) 15,81
d) 17,32
e) 23,30
f ) 3,61
6. C
7. C
8. Simplificando a expressão, 
encontramos 5.
As respostas para Vamos 
praticar mais? são:
1. 
a) 10
b) 4
c) 
2
3
d) 12
e) 
1
2
f ) 1
g) 0,2
h) –1
i) –8
j) 1 024
99MATEMÁTICA
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1_
U
1_
03
 2. Calcule o valor das raízes a seguir.
a) 16
c) 81
e) 256
b) 49
d) 121
f ) 3 16
3. (OBM) Qual dos números a seguir está mais próximo de (0,8992 – 0,1012) · 0,5?
a) 1
d) 0,5
b) 0,9
e) 0,4
c) 0,8
4. (OBM-2016) Qual é o valor da expressão 
2016 1
2015
2 -
?
a) 1 003
d) 2 016
b) 2 030
e) 2 017
c) 2 015
5. (OBM-2015) Qual é o valor da expressão 20152 – 2015 · 2014 – 20142 + 2014 · 2015?
a) 0 
d) 2029 
b) 1 
e) 4029 
c) 2015
6. Encontre a dizima periódica de 0 4444, ... .
7. Você sabia que:
I. em um grama de água (H2O), há 23 000 000 000 000 000 000 000 moléculas?
II. o diâmetro de um fio de cabelo é de aproximadamente 0,0001 m?
III. as células da bactéria Escherichia coli têm formato cilíndrico, com 0,0000008 m de diâmetro?
IV. o número 140 000 000 representa, em metros, o diâmetro do planeta Júpiter?
Em seu caderno, escreva, em notação científica, os números apresentados em cada curiosidade.
8. (CPM) Se A � � � � �8 16 2 8
1
3
1
4 2
4
3( ) , então A vale:
a) 8. b) 16. 
c) 14. d) 12. 
e) 10.
9. Simplifique as seguintes potências de expoente racional:
a) 9
3
2 . b) 8
4
3 . 
c) 64
2
3 . d) 81 0 25− , . 
e) 16
5
4
2
5�
�
�
�
�
� .
10. (OBMEP) Qual é o valor de 1
1
1
2
3
+
−
 ?
a) 
1
3
b) 3
2
c) 
4
3
d) 2 e) 4
98 MATEMÁTICA
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1_
U
1_
03
 5. A calculadora nos ajuda em várias contas. Vamos explorá-la?
Usando a tecla para calcular a raiz quadrada, encontre os resultados das raízes abaixo. 
a) 62
d) 300 
b) 158
e) 543
c) 250
f ) 14
6. (UFPI) A nossa galáxia, a Via Láctea, contém cerca de 400 bilhões de estrelas. Suponha que 
0,05% dessas estrelas possuam um sistema planetário onde exista um planeta semelhante à 
Terra. O número de planetas semelhantes à Terra, na Via Láctea, é:
a) 2,0 ∙ 104.
b) 2,0 ∙ 106.
c) 2,0 ∙ 108.
d) 2,0 ∙ 1011.
e) 2,0 ∙ 1012. 
7. (UFRGS – 2013) Um adulto humano saudável abriga cerca de 100 bilhões de bactérias, somente 
em seu trato digestivo. Esse número de bactérias pode ser escrito como:
a) 109.
b) 1010.
c) 1011.
d) 1012.
e) 1013.
8. A professora de Patrícia passou um desafio para a turma. Vamos ajudá-la a resolvê-lo? Depois, 
simplifique a expressão.
160000 1225
35 6400
×
×
 
1. Substitua o símbolo  para que as operações a seguir fiquem corretas.
a) ()² = 100 
c) ()² = 
4
9
e) ()³ = 
1
8
g) ()² = 0,04
i) (–2)³ =  
b) ()³ = 64 
d) ()² = 144 
f ) ()³ = 1 
h) ()³ = –1 
j) (–2)10 =  
 
VAMOS PRATICAR MAIS?
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 98 15/09/2020 17:25:30
99MATEMÁTICA
5. E
6. 0 4444 0 666, ... , ...=
7. 
I. 2,3 · 1022
II. 1 · 10–4
III. 8 · 10–7
IV. 1,4 · 108
8. B
9. 
a) 27
b) 16
c) 16
d) 1
3
e) 4
10. E
 
Resposta
2. 
a) 4
b) 7
c) 9
d) 11
e) 16
f ) 12
3. E
4. E
99MATEMÁTICA
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03
 2. Calcule o valor das raízes a seguir.
a) 16
c) 81
e) 256
b) 49
d) 121
f ) 3 16
3. (OBM) Qual dos números a seguir está mais próximo de (0,8992 – 0,1012) · 0,5?
a) 1
d) 0,5
b) 0,9
e) 0,4
c) 0,8
4. (OBM-2016) Qual é o valor da expressão 
2016 1
2015
2 -
?
a) 1 003
d) 2 016
b) 2 030
e) 2 017
c) 2 015
5. (OBM-2015) Qual é o valor da expressão 20152 – 2015 · 2014 – 20142 + 2014 · 2015?
a) 0 
d) 2029 
b) 1 
e) 4029 
c) 2015
6. Encontre a dizima periódica de 0 4444, ... .
7. Você sabia que:
I. em um grama de água (H2O), há 23 000 000 000 000 000 000 000 moléculas?
II. o diâmetro de um fio de cabelo é de aproximadamente 0,0001 m?
III. as células da bactéria Escherichia coli têm formato cilíndrico, com 0,0000008 m de diâmetro?
IV. o número 140 000 000 representa, em metros, o diâmetro do planeta Júpiter?
Em seu caderno, escreva, em notação científica, os números apresentados em cada curiosidade.
8. (CPM) Se A � � � � �8 16 2 8
1
3
1
4 2
4
3( ) , então A vale:
a) 8. b) 16. 
c) 14. d) 12. 
e) 10.
9. Simplifique as seguintes potências de expoente racional:
a) 9
3
2 . b) 8
4
3 . 
c) 64
2
3 . d) 81 0 25− , . 
e) 16
5
4
2
5�
�
�
�
�
� .
10. (OBMEP) Qual é o valor de 1
1
1
2
3
+
−
 ?
a) 
1
3
b) 3
2
c) 
4
3
d) 2 e) 4
98 MATEMÁTICA
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1_
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03
 5. A calculadora nos ajuda em várias contas. Vamos explorá-la?
Usando a tecla para calcular a raiz quadrada, encontre os resultados das raízes abaixo. 
a) 62
d) 300 
b) 158
e) 543
c) 250
f ) 14
6. (UFPI) A nossa galáxia, a Via Láctea, contém cerca de 400 bilhões de estrelas. Suponha que 
0,05% dessas estrelas possuam um sistema planetário onde exista um planeta semelhante à 
Terra. O número de planetas semelhantes à Terra, na Via Láctea, é:
a) 2,0 ∙ 104.
b) 2,0 ∙ 106.
c) 2,0 ∙ 108.
d) 2,0 ∙ 1011.
e) 2,0 ∙ 1012. 
7. (UFRGS – 2013) Um adulto humano saudável abriga cerca de 100 bilhões de bactérias, somente 
em seu trato digestivo. Esse número de bactérias pode ser escrito como:
a) 109.
b) 1010.
c) 1011.
d) 1012.
e) 1013.
8. A professora de Patrícia passou um desafio para a turma. Vamos ajudá-la a resolvê-lo? Depois, 
simplifique a expressão.160000 1225
35 6400
×
×
 
1. Substitua o símbolo  para que as operações a seguir fiquem corretas.
a) ()² = 100 
c) ()² = 
4
9
e) ()³ = 
1
8
g) ()² = 0,04
i) (–2)³ =  
b) ()³ = 64 
d) ()² = 144 
f ) ()³ = 1 
h) ()³ = –1 
j) (–2)10 =  
 
VAMOS PRATICAR MAIS?
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 99 15/09/2020 17:25:37
100 MATEMÁTICA
100 MATEMÁTICA
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1_
03
Potências e raízes - Relacionando conceitos
contêm
 • potência de um produto:
[(a) · (b)]n = (a)n · (b)n
 • potência de um quociente: a
b
=
a
b
n n
n
�
�
�
�
�
�
 • potência de expoente negativo: a
b
b
a
n n
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
 • multiplicação de po-
tências de mesma base:
 • raiz de 1:
 • divisão de potências 
de mesma base: 
 • potência de 
uma raiz:
 • potência de potência:
 • transformação 
de raiz em 
potência: 
 • quociente de raízes: 
a
b
a
b
n
n
n
=
 • multiplicação de raízes: a b a bn n n� ��
em que em que
REAIS
como como
operações
com
de
propriedades
com
de
propriedades
Potência
…���
b b 
Radicand aiz vezes
…n
Índice nb
n
raízespotências
 
 
 
 
 
(a)n · (a)m = (a)n + m
(a)n : (a)m = (a)n – m
[(a)n]m = (a)n · m abn
b
na=
an
n
a( ) =
1 1n =
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 100 15/09/2020 17:25:43
101MATEMÁTICA
Andrey_Popov/Shutterstock
un
idade
Escola Digital
101
1. Gráfi cos, pesquisas e medidas estatísticas
Diversas profissões fazem uso de gráficos e tabelas com a intenção de facilitar a leitura dos resultados 
de uma pesquisa, pois as informações são apresentadas de maneira mais visual. 
Você se recorda de já ter visto gráficos no seu dia a dia?
Quais eram esses gráficos? Em que situações eles foram utilizados? 
2
• Gráficos de barras, colunas, 
linhas e setores
• Medidas de tendência 
central e de dispersão
• Pesquisa censitária ou amostral
Estatística e probabilidade
Objetivos do capítulo
 • Relembrar os conceitos de gráficos de barras, colunas, linhas ou setores.
 • Ampliar os conceitos de medidas de tendência central e de dispersão.
 • Ampliar os conceitos de pesquisa censitária ou amostral.
 • Realizar o planejamento e a execução de uma pesquisa amostral.
Realidade aumentada
 • Censo
Encaminhamento metodológico 
Neste capítulo, desenvolveremos as habilidades EF08MA23, EF08MA24, 
EF08MA25, EF08MA26 e EF08MA27 da BNCC.
A primeira, EF08MA23, 
é a habilidade de avaliar a 
adequação de diferentes tipos 
de gráficos para representar o 
conjunto de dados de uma pes-
quisa. A segunda, EF08MA24, 
é a habilidade de classificar as 
frequências de uma variável 
contínua de uma pesquisa em 
classes, resumindo os dados 
de maneira adequada para a 
tomada de decisões. A terceira, 
EF08MA25, é a habilidade de 
obter os valores de medidas 
de tendência central de uma 
pesquisa estatística (média, 
moda e mediana) com a com-
preensão de seus significados 
e relacioná-los com a dispersão 
de dados, indicada pela 
amplitude. A quarta, EF08MA26, 
é a habilidade de selecionar 
razões de diferentes naturezas 
(física, ética ou econômica) 
que justificam a realização 
de pesquisas amostrais e não 
censitárias, e reconhecer que 
a seleção da amostra pode ser 
feita de diferentes maneiras 
(amostra casual simples, 
sistemática e estratificada). A 
quinta, EF08MA27, é a habi-
lidade de planejar e executar 
pesquisa amostral, com base 
em uma técnica de amostragem 
adequada, e escrever relatório 
que contenha os gráficos 
apropriados para representar os 
conjuntos de dados, destacando 
aspectos como as medidas de 
tendência central, a amplitude e 
as conclusões.
Nas perguntas introdutó-
rias do capítulo, levante outras 
formas de se registrarem 
pesquisas e questione os 
alunos se eles utilizam gráficos 
em seu dia a dia.
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 101 15/09/2020 17:25:54
102 MATEMÁTICA
Romolo Tavani/Shutterstock
103MATEMÁTICA
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01
Gráfico de setores
Esse tipo de gráfico é muito usado na comparação entre a ocorrência de cada variável da pesquisa 
e o percentual total, uma vez que todo o círculo corresponde a 360°, que é igual a 100%. Observe 
um exemplo a seguir.
Uma pesquisa realizada com os alunos do 8.º ano de um colégio identificou a categoria preferida 
de filmes deles. Veja o gráfico, com o resultado da pesquisa, e a forma de explicitar os ângulos de cada 
um dos setores.
Categoria de filme 
preferida3%
12%
33%
52%
Aventura 52%
Documentário 12%
Comédia 33%
Animação 3%
 
Realizem uma pesquisa com os alunos de sua sala sobre a preferência de filmes de vocês. 
Separem-se em três grupos, cada grupo deve construir um dos tipos de gráficos (barras, linhas e 
setores) com os mesmos dados. Depois, os grupos vão expor seus gráficos para os demais da turma 
e todos devem eleger o gráfico que melhor representa os resultados para esse caso.
INTERAÇÃO
 
1. Observando os dados apresentados no gráfico de setores, que conclusões você pode tirar em 
relação às categorias de filmes preferidas pelos alunos do 8.º ano?
2. Na sua opinião, por que foi escolhido um gráfico de setores para apresentar essas informações?
3. O que significa 52% correspondente ao número de entrevistados?
ATIVIDADES
 •
52
100
360 0 52 360 187 2� � � � � � �, ,
 •
12
100
360 0 12 360 43 2� � � � � � �, ,
 •
3
100
360 0 03 360 10 8� � � � � � �, ,
 •
33
100
360 0 33 360 118 8� � � � � � �, ,
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_M
AT
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1_
U
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01
Gráficos de barras, colunas, linhas e setores
Os gráficos proporcionam uma compreensão objetiva dos resultados de uma pesquisa, pois pro-
duzem, no pesquisador e no público em geral, uma interpretação rápida dos dados coletados. Existem 
diferentes tipos de gráficos que podem ser encontrados diariamente em situações do nosso cotidiano, 
como jornais, revistas e notícias na televisão. Cada tipo de gráfico tem uma finalidade com base no tipo 
de conclusão que se deseja obter. Veja a seguir alguns exemplos e suas finalidades. 
Gráfico de barras e colunas 
Os gráficos de barras, verticais ou horizontais, apresentam os dados por meio de retângulos. Um 
dos objetivos do uso desse tipo de gráfico é comparar quantidades. Veja a seguir um exemplo.
Participação da população por idade
%
 d
a 
po
pu
la
çã
o
2012 2018
Ano
65 ou mais
de 0 a 13 anos
0
5
10
15
20
25
Neste caso, é fácil verificar que a população de pessoas com 65 anos ou mais ultrapassou a popu-
lação de 0 a 13 anos entre 2012 e 2018.
Gráfico de linhas
No gráfico de linhas, um ponto no gráfico é desenhado para cada valor. Depois, esses pontos são 
unidos por meio de segmentos de reta. O objetivo do uso desse tipo de gráfico é possibilitar ao leitor 
que observe tendências e variações entre os dados apresentados.
O gráfico a seguir representa a quantidade de automóveis vendidos em uma concessionária pelos 
vendedores Roberto, Sofia e Letícia entre os meses de janeiro e abril de 2019.
Janeiro
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4
2
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Fevereiro Março Abril
Roberto
Sofi a
Letícia
Q
ua
nt
id
ad
e 
de
 v
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cu
lo
s
Veículos vendidos
Com base na análise do gráfico apresentado, pode-se concluir que o número de vendas de Letícia 
sofreu uma variação diferente das vendas de Roberto e Sofia. Letícia vendeu mais no mês de fevereiro 
e, em seguida, sofreu uma diminuição no número de veículos vendidos.
Encaminhamento 
metodológico
Se possível, traga para 
a aula reportagens de jornais 
e revistas para que os alunos 
possam perceber como gráficos 
e tabelas são utilizados por tais 
meios de comunicação. Além 
disso, peça a eles que analisem 
o formato do gráfico, propondo 
uma conversa sobre o que foi 
possível observar.
Destaque aos alunos que 
os gráficos devem apresentar as 
informações tendo em vista os 
seguintes aspectos.
“A representação gráfica 
deve ser utilizada levando-se 
em conta algumas qualidades 
essenciais básicas para a 
construção destes:
 • Simplicidade: as informações 
contidas em um gráfico 
devem ser diretas e detalhes 
secundários devem seromitidos; ás vezes na 
construção de um gráfico o 
ideal é a forma mais simples e 
direta de apresentação.
 • Clareza: as informações 
devem ser claras possibilitando 
uma interpretação correta sem 
dúvidas sobre os resultados;
 • Veracidade: o gráfico deve 
expressar a verdade sobre os 
dados estudados.”
ECHEVESTE, Simone et al. 
Estatística divertida: trabalhando 
com gráficos na escola. Disponível 
em: http://url.sae.digital/
WOtndg1. Acesso em: 23 jul. 2019.
Apresentamos um gráfico 
de barras com um tema muito 
importante a ser explorado em 
sala de aula, a participação da 
população por idade. Como 
a população de idosos está 
aumentando, podemos levantar 
esses dados das famílias dos 
alunos, questionando qual a 
idade dos avós deles. É possível 
fazer uma pesquisa no bairro 
onde estudam para fazer esse 
mesmo gráfico com a realidade 
local. Essa atividade também 
contribui para o desenvolvi-
mento da competência espe-
cífica de Matemática para o 
Ensino Fundamental – Anos 
Finais, da BNCC (desenvolver 
o raciocínio lógico, o espírito 
de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos 
conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo). Também estamos 
desenvolvendo a habilidade de avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para 
representar o conjunto de dados de uma pesquisa (EF08MA23).
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Romolo Tavani/Shutterstock
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Gráfico de setores
Esse tipo de gráfico é muito usado na comparação entre a ocorrência de cada variável da pesquisa 
e o percentual total, uma vez que todo o círculo corresponde a 360°, que é igual a 100%. Observe 
um exemplo a seguir.
Uma pesquisa realizada com os alunos do 8.º ano de um colégio identificou a categoria preferida 
de filmes deles. Veja o gráfico, com o resultado da pesquisa, e a forma de explicitar os ângulos de cada 
um dos setores.
Categoria de filme 
preferida3%
12%
33%
52%
Aventura 52%
Documentário 12%
Comédia 33%
Animação 3%
 
Realizem uma pesquisa com os alunos de sua sala sobre a preferência de filmes de vocês. 
Separem-se em três grupos, cada grupo deve construir um dos tipos de gráficos (barras, linhas e 
setores) com os mesmos dados. Depois, os grupos vão expor seus gráficos para os demais da turma 
e todos devem eleger o gráfico que melhor representa os resultados para esse caso.
INTERAÇÃO
 
1. Observando os dados apresentados no gráfico de setores, que conclusões você pode tirar em 
relação às categorias de filmes preferidas pelos alunos do 8.º ano?
2. Na sua opinião, por que foi escolhido um gráfico de setores para apresentar essas informações?
3. O que significa 52% correspondente ao número de entrevistados?
ATIVIDADES
 •
52
100
360 0 52 360 187 2� � � � � � �, ,
 •
12
100
360 0 12 360 43 2� � � � � � �, ,
 •
3
100
360 0 03 360 10 8� � � � � � �, ,
 •
33
100
360 0 33 360 118 8� � � � � � �, ,
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Gráficos de barras, colunas, linhas e setores
Os gráficos proporcionam uma compreensão objetiva dos resultados de uma pesquisa, pois pro-
duzem, no pesquisador e no público em geral, uma interpretação rápida dos dados coletados. Existem 
diferentes tipos de gráficos que podem ser encontrados diariamente em situações do nosso cotidiano, 
como jornais, revistas e notícias na televisão. Cada tipo de gráfico tem uma finalidade com base no tipo 
de conclusão que se deseja obter. Veja a seguir alguns exemplos e suas finalidades. 
Gráfico de barras e colunas 
Os gráficos de barras, verticais ou horizontais, apresentam os dados por meio de retângulos. Um 
dos objetivos do uso desse tipo de gráfico é comparar quantidades. Veja a seguir um exemplo.
Participação da população por idade
%
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2012 2018
Ano
65 ou mais
de 0 a 13 anos
0
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Neste caso, é fácil verificar que a população de pessoas com 65 anos ou mais ultrapassou a popu-
lação de 0 a 13 anos entre 2012 e 2018.
Gráfico de linhas
No gráfico de linhas, um ponto no gráfico é desenhado para cada valor. Depois, esses pontos são 
unidos por meio de segmentos de reta. O objetivo do uso desse tipo de gráfico é possibilitar ao leitor 
que observe tendências e variações entre os dados apresentados.
O gráfico a seguir representa a quantidade de automóveis vendidos em uma concessionária pelos 
vendedores Roberto, Sofia e Letícia entre os meses de janeiro e abril de 2019.
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Fevereiro Março Abril
Roberto
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Veículos vendidos
Com base na análise do gráfico apresentado, pode-se concluir que o número de vendas de Letícia 
sofreu uma variação diferente das vendas de Roberto e Sofia. Letícia vendeu mais no mês de fevereiro 
e, em seguida, sofreu uma diminuição no número de veículos vendidos.
Encaminhamento metodológico
Na atividade da seção Interação, proponha aos alunos uma discussão sobre o 
melhor tipo de gráfico para cada tipo de dado. Por exemplo, as porcentagens ficam 
melhor representadas no gráfico de setores. Considere essa sugestão para as análises 
das questões ao longo do capítulo.
É importante para o desenvolvimento das habilidades propostas neste capítulo 
fazer questionamentos aos alunos que mobilizem diferentes habilidades cognitivas. 
Sugestões: 
O que esse gráfico representa?
Em que se baseou o autor para a escolha desse formato de gráfico?
Dica para ampliar o trabalho
“Atividade: Vamos brincar de quebra-cabeça? 
Objetivo: Trabalhar os conceitos de representação gráfica através do Gráfico de 
setores. 
Material: Papel pardo, 
papel-cartaz colorido, cola, 
tesoura.
Procedimentos: Para esta 
atividade o professor, inicial-
mente, dividirá a turma em 
dois grandes grupos (ou mais 
dependendo da quantidade de 
alunos) e apresentará algumas 
tabelas contendo as porcenta-
gens dos resultados. Cada grupo 
receberá 3 tabelas que serão as 
mesmas para todos os grupos. 
O professor terá em uma caixa 
“pedaços/fatias” de gráficos 
de setores de cores distintas, 
as fatias corresponderão às 
porcentagens indicadas em 
cada tabela. Os grupos deverão 
montar um gráfico de setores 
correspondente a cada tabela 
utilizando as fatias corretas 
correspondentes aos percen-
tuais. O grupo que montar o 
gráfico mais rápido vence.”
ECHEVESTE, Simone et al. 
Estatística divertida: trabalhando 
com gráficos na escola. Disponível 
em: http://url.sae.digital/
WOtndg1. Acesso em: 23 jul. 2019.
Resposta
As respostas para a seção 
Atividades são:
1. Pode-se concluir que o estilo 
de filme aventura é o preferido.
2. Resposta pessoal. 
3. 52% representa que a 
maioria prefere o estilo de filme 
aventura.
A resposta da seção 
Interação é pessoal.
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01
  Exemplo:
Um professor de Educação Física registrou a distância dos saltos dos alunos durante o treino e obteve o se-
guinte quadro. 
Aluno Distância do 
salto (em cm) Aluno Distância do 
salto (em cm)
Gustavo 89 Ana 90
Lívia 99 Aline 97
Rafaela 100 Edna 85
Mateus 98 José 77
Frederico 87 Jayme 65
Lizandra 88 Dirceu 70
A distância média é dada por: 
89 + 99 + 100 + 98 + 87 + 88 + 90 + 97 + 85 + 77 + 65 + 70
112
1045
12
87 c� � m
Organizando os dados em ordem crescente para calcular a 
mediana temos {65, 70, 77, 85, 87, 88, 89, 90, 97, 98, 99, 100} com 
88 e 89 como termos centrais.
Logo, a mediana é 
88 89
2
88 5
�
� , cm.
Um conjunto de dados é chamado de amodal, uma vez 
que nenhum valor do conjunto de dados se repete. 
Prazis Images/Shutterstock
 
1. Em grupos, realizem uma pesquisa com todos os alunos de sua sala para identificar a altura de 
cada um. Depois, registrem as seguintes informações sobre as alturas de vocês.
a) Média: 
b) Mediana: 
c) Moda: 
2. (G1 – UTFPR-2017) Um aluno realizou cinco provas em uma disciplina,obtendo as notas 10, 
8, 6, x e 7. Sabe-se que a média aritmética simples destas notas é 8. Assinale qual a nota da 
prova representada por x.
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
ATIVIDADES
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Medidas de tendência central
Alguns recursos podem ser utilizados para extrair informações dos dados apresentados em uma 
pesquisa estatística. Essas técnicas são denominadas medidas de tendência central. Vamos conhecer 
três delas: média, mediana e moda. Para isso, utilizaremos o exemplo a seguir.
O número de desempregados aumentou em mais de 2 milhões em 2016 e chegou a 12 milhões de 
brasileiros. Para 2017, a expectativa era de que o mercado de trabalho melhorasse a partir de meados do ano. 
DESEMPREGO ainda deve subir mais em 2017, antes de começar a cair. Correio do 
Estado. 26 dez. 2016. Disponível em: http://url.sae.digital/s5OUUDE. Acesso em: 24 jul. 2019.
Taxa de desemprego 
(% média dos últimos 3 meses)
12
10
8
6
4
2
0
9,5
10,2 10,9 11,2 11,2 11,3 11,6
11,8 11,8 11,8
JAN FEV MAR ABR MAIO SET OUTAGOJUN JUL
A média aritmética da taxa de desemprego é dada por:
 
9 5 10 2 10 9 11 2 11 2 11 3 11 6 11 8 11 8 11 8
10
111 3
10
, , , , , , , , , , ,� � � � � � � � �
� ��1113,
Essa expressão também pode ser escrita como uma média aritmética ponderada, uma vez que 
alguns valores se repetem, ou seja, apresentam “peso” diferente dos demais. 
9 5 10 2 10 9 11 2 11 6 11 8
10
111 3
10
1113
2 3, , , , , , ,
,
� � � � � � �
� �
O cálculo da mediana consiste em determinar o valor central do conjunto de dados, ou seja, esse 
valor divide o conjunto de dados ao meio. Para isso, sempre devemos representar todos os valores em 
ordem crescente ou decrescente. 
Dados em ordem: 9,5; 10,2; 10,9; 11,2; 11,2; 11,3; 11,6; 11,8; 11,8; 11,8.
Como são 10 dados (número par), a mediana será a média aritmética entre os dois termos 
centrais, que são 11,2 e 11,3. Logo, a mediana será 
11 2 11 3
2
11 25
, ,
,
�
� .
A moda é representada pelo valor mais frequente no conjunto de dados. Nesse caso, a taxa modal 
é igual a 11,8. 
Encaminhamento 
metodológico
Ao explicar aos alunos 
as médias aritméticas, per-
gunte-lhes o que mudaria no 
cálculo da média caso houvesse 
alteração em algum dado ou na 
quantidade de meses. Sugira 
uma alteração para analisarem 
em conjunto.
Neste momento estamos 
dando inicio no desenvol-
vimento da habilidade de 
obter os valores de medidas 
de tendência central de uma 
pesquisa estatística (média, 
moda e mediana), com a com-
preensão de seus significados, e 
relacioná-los com a dispersão de 
dados, indicada pela amplitude 
(EF08MA25).
Dica para ampliar 
o trabalho
“Um dos grandes pro-
blemas vistos hoje no ensino, 
principalmente na área de 
ciências exatas, é a difícil fixação 
do aluno para com a matéria 
dada pelo professor. Dentre os 
vários fatores envolvidos no 
processo ensino aprendizagem 
destacamos que o modo 
tradicional da apresentação 
dos conteúdos pelo professor e 
a falta de interesse da maioria 
dos alunos têm contribuído 
negativamente para tal situação. 
Uma das maneiras de tornar as 
aulas mais atrativas e prazerosas 
para os alunos é considerar 
o uso de jogos. O jogo, se 
adequadamente utilizado como 
uma metodologia de ensino, 
pode tornar o aluno ativo no 
desenvolvimento de seu próprio 
conhecimento, favorecendo 
assim o desenvolvimento de seu 
raciocínio.”
LOPES, J. M.; RESENDE, J. S.; 
CORRAL, R. S. O ensino dos 
conceitos de média, mediana 
e moda através de um jogo de 
cartas. Disponível em: http://url.
sae.digital/Cgu3NER. Acesso em: 
24 jul. 2019.
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  Exemplo:
Um professor de Educação Física registrou a distância dos saltos dos alunos durante o treino e obteve o se-
guinte quadro. 
Aluno Distância do 
salto (em cm) Aluno Distância do 
salto (em cm)
Gustavo 89 Ana 90
Lívia 99 Aline 97
Rafaela 100 Edna 85
Mateus 98 José 77
Frederico 87 Jayme 65
Lizandra 88 Dirceu 70
A distância média é dada por: 
89 + 99 + 100 + 98 + 87 + 88 + 90 + 97 + 85 + 77 + 65 + 70
112
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Organizando os dados em ordem crescente para calcular a 
mediana temos {65, 70, 77, 85, 87, 88, 89, 90, 97, 98, 99, 100} com 
88 e 89 como termos centrais.
Logo, a mediana é 
88 89
2
88 5
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� , cm.
Um conjunto de dados é chamado de amodal, uma vez 
que nenhum valor do conjunto de dados se repete. 
Prazis Images/Shutterstock
 
1. Em grupos, realizem uma pesquisa com todos os alunos de sua sala para identificar a altura de 
cada um. Depois, registrem as seguintes informações sobre as alturas de vocês.
a) Média: 
b) Mediana: 
c) Moda: 
2. (G1 – UTFPR-2017) Um aluno realizou cinco provas em uma disciplina, obtendo as notas 10, 
8, 6, x e 7. Sabe-se que a média aritmética simples destas notas é 8. Assinale qual a nota da 
prova representada por x.
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
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Medidas de tendência central
Alguns recursos podem ser utilizados para extrair informações dos dados apresentados em uma 
pesquisa estatística. Essas técnicas são denominadas medidas de tendência central. Vamos conhecer 
três delas: média, mediana e moda. Para isso, utilizaremos o exemplo a seguir.
O número de desempregados aumentou em mais de 2 milhões em 2016 e chegou a 12 milhões de 
brasileiros. Para 2017, a expectativa era de que o mercado de trabalho melhorasse a partir de meados do ano. 
DESEMPREGO ainda deve subir mais em 2017, antes de começar a cair. Correio do 
Estado. 26 dez. 2016. Disponível em: http://url.sae.digital/s5OUUDE. Acesso em: 24 jul. 2019.
Taxa de desemprego 
(% média dos últimos 3 meses)
12
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6
4
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10,2 10,9 11,2 11,2 11,3 11,6
11,8 11,8 11,8
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A média aritmética da taxa de desemprego é dada por:
 
9 5 10 2 10 9 11 2 11 2 11 3 11 6 11 8 11 8 11 8
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Essa expressão também pode ser escrita como uma média aritmética ponderada, uma vez que 
alguns valores se repetem, ou seja, apresentam “peso” diferente dos demais. 
9 5 10 2 10 9 11 2 11 6 11 8
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O cálculo da mediana consiste em determinar o valor central do conjunto de dados, ou seja, esse 
valor divide o conjunto de dados ao meio. Para isso, sempre devemos representar todos os valores em 
ordem crescente ou decrescente. 
Dados em ordem: 9,5; 10,2; 10,9; 11,2; 11,2; 11,3; 11,6; 11,8; 11,8; 11,8.
Como são 10 dados (número par), a mediana será a média aritmética entre os dois termos 
centrais, que são 11,2 e 11,3. Logo, a mediana será 
11 2 11 3
2
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,
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A moda é representada pelo valor mais frequente no conjunto de dados. Nesse caso, a taxa modal 
é igual a 11,8. 
Resposta
1. Respostas pessoais.
2. D
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01
 2. Retomando o gráfico de salários mínimos que apresentamos no primeiro capítulo deste livro, 
responda às perguntas. 
Fonte: Dieese/Governo Federal.
Salário mínimo
2008 20122009 20132010 2014 20162011 2015 2017
415
465
510
545
622
678
724
788
880
937
a) Quanto o salário mínimo aumentou de 2008 para 2017?
b) Em relação ao salário mínimo de 2017, houve um aumento de quantos por cento se compa-
rado ao valor observado em 2008?
c) Analisando a variação do salário mínimo, qual foi o aumento médio entre 2008 e 2017?
d) Qual foi a média aritmética do sálario mínimo entre 2008 e 2017?
e) Qual é o salário mínimo mediano?
f) Qual é o salário mínimo modal?
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Medidas de dispersão
As medidas de dispersão são medidas estatísticas que possibilitam determinar a dispersão dos 
valores do conjunto de dados.
A amplitude será a diferença entre o maior e o menor elemento do conjunto dedados obtidos 
em uma pesquisa. Assim, para encontrar a amplitude de uma lista de dados numéricos, basta subtrair o 
menor elemento do maior. Aqui, estamos tomando como referência apenas as variáveis quantitativas.
A variância é uma medida de dispersão que mostra o quão distante cada valor desse conjunto 
está do valor médio. 
No exemplo anterior, a média calculada foi de 87 cm. Para determinar a variância, devemos encon-
trar o quadrado da diferença entre cada elemento e a média. Observe a seguir.
(89 – 87)2 = (2)2 = 4
(99 – 87)2 = (12)2 = 144
(100 – 87)2 = (13)2 = 169
(98 – 87)2 = (11)2 = 121
(87 – 87)2 = (0)2 = 0
(88 – 87)2 = (1)2 = 1
(90 – 87)2 = (3)2 = 9
(97 – 87)2 = (10)2 = 100
(85 – 87)2 = (–2)2 = 4
(77 – 87)2 = (–10)2 = 100
(65 – 87)2 = (–22)2 = 484
(70 – 87)2 = (–17)2 = 289
A variância é dada por: 
4 144 169 121 0 1 9 100 4 100 484 289
12
1425
12
118 75 2� � � � � � � � � � �
� � , .cm
Veja que a unidade de medida da distância ficou elevada ao quadrado. Logo, para continuar com 
a unidade de medida condizente, que é centímetro, basta extrair a raiz quadrada da variância. A esse 
resultado dá-se o nome de desvio padrão.
Desvio padrão = 118 75 10 90, ,≅ cm .
Isso significa que os valores estão dispersos em aproximadamente 11 centímetros. Quanto maior 
esse resultado, mais dispersos estão os dados do conjunto.
 
1. (Enem-2014) Em uma escola, cinco atletas disputam a medalha de ouro em uma competição 
de salto em distância. Segundo o regulamento dessa competição, a medalha de ouro será dada 
ao atleta mais regular em uma série de três saltos. Os resultados e as informações dos saltos 
desses cinco atletas estão no quadro a seguir.
Atleta 1° salto 2° salto 3° salto Média Mediana Desvio 
padrão
I 2,9 3,4 3,1 3,1 3,1 0,25
II 3,3 2,8 3,6 3,2 3,3 0,40
III 3,6 3,3 3,3 3,4 3,3 0,17
IV 2,3 3,3 3,4 3,0 3,3 0,60
V 2,3 3,3 2,2 3,1 3,5 0,81
A medalha de ouro foi conquistada pelo atleta de número
a) I b) II c) III
d) IV e) V
ATIVIDADES
Encaminhamento 
metodológico
Neste momento estamos 
introduzindo um conceito novo 
de medidas de dispersão, essas 
são basicamente a análise da 
distância entre os números de 
um dado conjunto. Os termos 
amplitude e variância são am-
plamente utilizados nos jornais 
ao se falar da temperatura. 
Aproveite o momento para falar 
sobre a variação da temperatura 
e a amplitude térmica que 
ocorreu no dia anterior ou sobre 
a previsão do dia.
Resposta
1. C 
O atleta III foi o mais regular, 
porque apresentou o menor 
desvio de padrão.
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 2. Retomando o gráfico de salários mínimos que apresentamos no primeiro capítulo deste livro, 
responda às perguntas. 
Fonte: Dieese/Governo Federal.
Salário mínimo
2008 20122009 20132010 2014 20162011 2015 2017
415
465
510
545
622
678
724
788
880
937
a) Quanto o salário mínimo aumentou de 2008 para 2017?
b) Em relação ao salário mínimo de 2017, houve um aumento de quantos por cento se compa-
rado ao valor observado em 2008?
c) Analisando a variação do salário mínimo, qual foi o aumento médio entre 2008 e 2017?
d) Qual foi a média aritmética do sálario mínimo entre 2008 e 2017?
e) Qual é o salário mínimo mediano?
f) Qual é o salário mínimo modal?
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01
Medidas de dispersão
As medidas de dispersão são medidas estatísticas que possibilitam determinar a dispersão dos 
valores do conjunto de dados.
A amplitude será a diferença entre o maior e o menor elemento do conjunto de dados obtidos 
em uma pesquisa. Assim, para encontrar a amplitude de uma lista de dados numéricos, basta subtrair o 
menor elemento do maior. Aqui, estamos tomando como referência apenas as variáveis quantitativas.
A variância é uma medida de dispersão que mostra o quão distante cada valor desse conjunto 
está do valor médio. 
No exemplo anterior, a média calculada foi de 87 cm. Para determinar a variância, devemos encon-
trar o quadrado da diferença entre cada elemento e a média. Observe a seguir.
(89 – 87)2 = (2)2 = 4
(99 – 87)2 = (12)2 = 144
(100 – 87)2 = (13)2 = 169
(98 – 87)2 = (11)2 = 121
(87 – 87)2 = (0)2 = 0
(88 – 87)2 = (1)2 = 1
(90 – 87)2 = (3)2 = 9
(97 – 87)2 = (10)2 = 100
(85 – 87)2 = (–2)2 = 4
(77 – 87)2 = (–10)2 = 100
(65 – 87)2 = (–22)2 = 484
(70 – 87)2 = (–17)2 = 289
A variância é dada por: 
4 144 169 121 0 1 9 100 4 100 484 289
12
1425
12
118 75 2� � � � � � � � � � �
� � , .cm
Veja que a unidade de medida da distância ficou elevada ao quadrado. Logo, para continuar com 
a unidade de medida condizente, que é centímetro, basta extrair a raiz quadrada da variância. A esse 
resultado dá-se o nome de desvio padrão.
Desvio padrão = 118 75 10 90, ,≅ cm .
Isso significa que os valores estão dispersos em aproximadamente 11 centímetros. Quanto maior 
esse resultado, mais dispersos estão os dados do conjunto.
 
1. (Enem-2014) Em uma escola, cinco atletas disputam a medalha de ouro em uma competição 
de salto em distância. Segundo o regulamento dessa competição, a medalha de ouro será dada 
ao atleta mais regular em uma série de três saltos. Os resultados e as informações dos saltos 
desses cinco atletas estão no quadro a seguir.
Atleta 1° salto 2° salto 3° salto Média Mediana Desvio 
padrão
I 2,9 3,4 3,1 3,1 3,1 0,25
II 3,3 2,8 3,6 3,2 3,3 0,40
III 3,6 3,3 3,3 3,4 3,3 0,17
IV 2,3 3,3 3,4 3,0 3,3 0,60
V 2,3 3,3 2,2 3,1 3,5 0,81
A medalha de ouro foi conquistada pelo atleta de número
a) I b) II c) III
d) IV e) V
ATIVIDADES
Resposta
2. 
a) Houve um aumento de R$522,00 no período de 2008 a 2017.
b) 125,78%
c) O salário variou, em média, R$58,00 entre 2008 e 2017.
d) A média aritmética do salário mínimo é R$656,40.
e) Valores centrais: 622 e 678. Salário mínimo mediano = R$650,00 
f ) Não há, porque o conjunto de dados é amodal.
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01
É muito comum, em pesquisas amostrais, encontrarmos as informações a respeito do erro percen-
tual, uma vez que não foi possível entrevistar todos os manifestantes. A amostra precisa estar fortemente 
relacionada ao que se deseja responder com a pesquisa. 
 
Em 2010, o IBGE atualizou os dados do censo e concluiu que o Brasil tem 190 755 799 habitan-
tes. Dados preliminares divulgados em 2010 apontavam 190 732 694, número que cresceu quase 
20 vezes em 140 anos, segundo o instituto.
Observe a comparação entre a população de 2000 e a de 2010, para os estados da região Norte.
Brasil
População em 2000 População em 2010
169 590 693 190 755 799
Região Norte 12 893 561 15 864 454
Rondônia 1 377 792 1 562 409
Acre 557 226 73 559
Amazonas 2 813 085 3 483 985
Roraima 324 152 450 479
Pará 6 189 550 7 581 051
Amapá 475 843 669 526
Tocantins 1 155 913 1 383 445
LAURIANO, Carolina; DUARTE, Nathália. IBGE atualiza dados do Censo e diz que Brasil tem 190.755.799 
habitantes. G1. 29 abr. 2011. Disponível em: http://url.sae.digital/DTNvSb4. Acesso em: 23 jul. 2019.
Utilizando os dados informados do último censo do IBGE, elabore uma situação-problema 
envolvendo as ideias da estatística destacadas neste capítulo. Troque seu problema com um colega. 
Depois de resolvê-los, discutam como foi o processo de resolução.
INTERAÇÃO
 
1. Os membros de uma família apresentam idades de: 35, 44, 11, 13, 34 e 12 anos. Se uma pessoa 
de 16 anos se juntar ao grupo, o que ocorrerá com a média de idade?
2. Observe a tabela a seguir e complete-a com a amplitude térmica de cada cidade.
Capital Temperatura 
mínima
Temperatura 
máxima Amplitude
Aracajú 23,0°C 28,4°C
Belém 23,6°C 34,5°C
Boa Vista 23,4°C 32,4°C
Brasília 16,2°C 27,9°C
ATIVIDADES
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01
Pesquisas censitárias e amostrais
Vimos como apresentar dados de uma pesquisa e como fazer análises estatísticas com esses dados. 
Mas como essas pesquisas podem ser realizadas? Vamos apresentardois tipos de pesquisa, a censitária 
e amostral.
Quando realizamos uma pesquisa com todos os elementos de uma população, estamos realizando 
um censo. A pesquisa censitária envolve todos os membros de uma população, ou seja:
Em uma pesquisa censitária é levantado 100% dos dados do grupo.
Assim, a margem de erro se aproxima de zero dada a exatidão das respostas.
Considerando a impossibilidade de obter informações com todas as pessoas de um grupo muito 
grande ou com todos os elementos de um universo de dados, é necessário realizar a coleta de dados 
por amostragem, ou seja, quando o público-alvo de uma pesquisa é muito grande, devemos optar por 
fazer uma pesquisa amostral. 
POPULAÇÃO
AMOSTRA
Observe o gráfico a seguir, com dados ilustrativos sobre a prática de esportes no Brasil. É importante 
observar que apenas alguns brasileiros participaram dessa pesquisa. Pelos resultados apresentados, 
essa amostra foi escolhida de maneira intencional, ou seja, participaram da pesquisa apenas as pessoas 
que praticam esportes. Observe que, no gráfico, não há a informação “não pratica esporte”. Essa foi uma 
amostra intencional. 
Esportes praticados no Brasil
Futebol
Basquete
Vôlei
Natação
Outros
11%
13%
9%
39%
28%
Encaminhamento 
metodológico
Neste momento estamos 
retomando o tema de pesquisas 
censitária e amostrais. É um 
tema recorrente em anos de 
eleições, visto que pesquisas 
amostrais são feitas quase que 
diariamente a fim de saber 
qual candidato tem mais ou 
menos pretensão de votos. 
Caso julgue interessante, realize 
com os alunos pesquisas com 
um mesmo tema com amostra 
e de forma censitária para que 
eles comparem os resultados e 
compreendam as diferenças.
Neste momento estamos 
trazendo insumos aos alunos 
para que possam: selecionar 
razões de diferentes naturezas 
(física, ética ou econômica) 
que justificam a realização 
de pesquisas amostrais e 
não censitárias; reconhecer 
que a seleção da amostra 
pode ser feita de diferentes 
maneiras; planejar e executar 
pesquisa amostral, com base 
em uma técnica de amostragem 
adequada; e escrever relatório 
que contenha os gráficos 
apropriados para representar os 
conjuntos de dados, destacando 
aspectos como as medidas de 
tendência central, a amplitude e 
o resumo dos dados de maneira 
adequada para a tomada de 
decisões, desenvolvendo, assim, 
as habilidades EF08MA24, 
EF08MA26 e EF08MA27 da 
BNCC.
Dica para ampliar 
o trabalho
No site a seguir há um 
vídeo da Khan Academy sobre 
técnicas de amostragem de 
pesquisas amostrais.
 • http://url.sae.digital/
ZRYKFTq
Orientação para RA
Nesta Realidade aumen-
tada os alunos aprenderão 
como é feito o Censo.
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É muito comum, em pesquisas amostrais, encontrarmos as informações a respeito do erro percen-
tual, uma vez que não foi possível entrevistar todos os manifestantes. A amostra precisa estar fortemente 
relacionada ao que se deseja responder com a pesquisa. 
 
Em 2010, o IBGE atualizou os dados do censo e concluiu que o Brasil tem 190 755 799 habitan-
tes. Dados preliminares divulgados em 2010 apontavam 190 732 694, número que cresceu quase 
20 vezes em 140 anos, segundo o instituto.
Observe a comparação entre a população de 2000 e a de 2010, para os estados da região Norte.
Brasil
População em 2000 População em 2010
169 590 693 190 755 799
Região Norte 12 893 561 15 864 454
Rondônia 1 377 792 1 562 409
Acre 557 226 73 559
Amazonas 2 813 085 3 483 985
Roraima 324 152 450 479
Pará 6 189 550 7 581 051
Amapá 475 843 669 526
Tocantins 1 155 913 1 383 445
LAURIANO, Carolina; DUARTE, Nathália. IBGE atualiza dados do Censo e diz que Brasil tem 190.755.799 
habitantes. G1. 29 abr. 2011. Disponível em: http://url.sae.digital/DTNvSb4. Acesso em: 23 jul. 2019.
Utilizando os dados informados do último censo do IBGE, elabore uma situação-problema 
envolvendo as ideias da estatística destacadas neste capítulo. Troque seu problema com um colega. 
Depois de resolvê-los, discutam como foi o processo de resolução.
INTERAÇÃO
 
1. Os membros de uma família apresentam idades de: 35, 44, 11, 13, 34 e 12 anos. Se uma pessoa 
de 16 anos se juntar ao grupo, o que ocorrerá com a média de idade?
2. Observe a tabela a seguir e complete-a com a amplitude térmica de cada cidade.
Capital Temperatura 
mínima
Temperatura 
máxima Amplitude
Aracajú 23,0°C 28,4°C
Belém 23,6°C 34,5°C
Boa Vista 23,4°C 32,4°C
Brasília 16,2°C 27,9°C
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Pesquisas censitárias e amostrais
Vimos como apresentar dados de uma pesquisa e como fazer análises estatísticas com esses dados. 
Mas como essas pesquisas podem ser realizadas? Vamos apresentar dois tipos de pesquisa, a censitária 
e amostral.
Quando realizamos uma pesquisa com todos os elementos de uma população, estamos realizando 
um censo. A pesquisa censitária envolve todos os membros de uma população, ou seja:
Em uma pesquisa censitária é levantado 100% dos dados do grupo.
Assim, a margem de erro se aproxima de zero dada a exatidão das respostas.
Considerando a impossibilidade de obter informações com todas as pessoas de um grupo muito 
grande ou com todos os elementos de um universo de dados, é necessário realizar a coleta de dados 
por amostragem, ou seja, quando o público-alvo de uma pesquisa é muito grande, devemos optar por 
fazer uma pesquisa amostral. 
POPULAÇÃO
AMOSTRA
Observe o gráfico a seguir, com dados ilustrativos sobre a prática de esportes no Brasil. É importante 
observar que apenas alguns brasileiros participaram dessa pesquisa. Pelos resultados apresentados, 
essa amostra foi escolhida de maneira intencional, ou seja, participaram da pesquisa apenas as pessoas 
que praticam esportes. Observe que, no gráfico, não há a informação “não pratica esporte”. Essa foi uma 
amostra intencional. 
Esportes praticados no Brasil
Futebol
Basquete
Vôlei
Natação
Outros
11%
13%
9%
39%
28%
Encaminhamento metodológico
Reserve um momento para essa atividade e possibilite aos alunos que reflitam a 
respeito do uso das ideias estatísticas apresentadas para elaborar e resolver problemas. 
Espera-se que eles desejem investigar a população média da região Norte, o percentual 
da população de um estado em relação à população brasileira, entre outras situações. 
Todos os raciocínios devem ser valorizados e discutidos. 
Resposta
As respostas da seção Interação são pessoais.
As respostas para a seção Atividades são:
1. Há uma redução na média de 24,83 – 23,57 = 1,26
2. As respostas estão no Livro do aluno.
5,4°C
10,9°C
9,0°C
11,7°C
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01
 3. Observe o gráfico a seguir, que representa a distribuição de terras no Brasil. 
Floresta Amazônica
350 milhões de hectares
Outras áreas
138 milhões de hectares
Pastagens
200 milhões de hectares
Outras áreas de preservação
100 milhões de hectares
Área utilizada para a agricultura
63 milhões de hectares
Como se distribuem as terras no Brasil*
Brasil – 851 milhões de hectares**
*Em valores aproximados
**Um hectare vale 10 mil 
metros quadrados
7,4%
41,1%
23,5%
16,2%
11,8%
HARNIK, Simone. Etanol abre vagas para engenheiro agrônomo. G1. 8 maio 2007. 
Disponível em: http://url.sae.digital/uYyMKjA. Acesso em: 24 jul. 2019.
Se explicitarmos o gráfico de como se distribuem as terras no Brasil,
a) que ângulo da região representará a Floresta Amazônica?
b) que ângulo da região representará a área utilizada para a agricultura? 
4. (Enem-2017) O gráfico apresenta a taxa de desemprego (em %) para o período de março de 
2008 a abril de 2009, obtida com base nos dados observados nas regiões metropolitanas de 
Recife, Salvador, Belo Horizonte, Rio de Janeiro, São Paulo e Porto Alegre.
IBGE. Pesquisa mensal de emprego. Disponível em: www.ibge.gov.br. 
Acesso em: 30jul. 2012 (adaptado).
8,6 8,5
8,1
7,7 7,6
7,57,6
7,97,9
8,2
6,8
8,5
8,9
9,0
Taxa de desemprego (%)
04 05 06 07 08 09 10 11 12 02 03 04
01/09
03/08
A mediana dessa taxa de desemprego, no período de março de 2008 a abril de 2009, foi de
a) 8,1%. b) 7,7%. c) 8,0%.
d) 7,6%. e) 7,9%.
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1. (UNCISAL-2015) Em cada bimestre, uma faculdade exige a realização de quatro tipos de avaliação, 
calculando a nota bimestral pela média ponderada dessas avaliações. Se a tabela apresenta as 
notas obtidas por uma aluna nos quatro tipos de avaliações realizadas e os pesos dessas avaliações
Avaliação Nota Peso
Prova escrita 6 4
Avaliação continuada 7 4
Seminário 8 2
Trabalho em grupo 9 2
sua nota bimestral foi aproximadamente igual a
a) 8,6. b) 8,0. c) 7,5. d) 7,2. e) 6,8.
2. A tabela a seguir mostra o número de gols marcados em cada rodada por duas equipes que 
lideraram a competição.
Times 1.ª rodada 2.ª rodada 3.ª rodada 4.ª rodada
A 5 4 2 3
B 4 1 5 1
Calcule a média aritmética e a moda desses valores para cada time.
3. O departamento financeiro de uma empresa fez um levantamento do salário de cada colabo-
rador, conforme levantamento apresentado na tabela a seguir. 
Salário em reais Número de funcionários
1 600 12
2 800 8
3 200 4
4 500 4
6 200 2
Qual é o salário médio dos colaboradores dessa empresa?
4. Ana e Marcos resolveram comparar as suas notas em cinco disciplinas. A média bimestral dos 
dois alunos em cada uma dessas disciplinas está representada na tabela a seguir. 
Ana Marcos
Português 8,5 9,5
Matemática 9,5 9,0
Geografi a 8,0 8,5
Inglês 7,0 8,0
História 7,0 5,0
VAMOS PRATICAR MAIS?
Sabendo que os dois alunos tiveram 
a mesma média aritmética geral das 
notas apresentadas, qual é a variância 
do conjunto de notas de Ana e Marcos?
Resposta
3. 
a) 411
100
360 0 411 360 147 96
,
, ,� � � � � � �
411
100
360 0 411 360 147 96
,
, ,� � � � � � �
b) 7 4
100
360 0 074 360 26 64
,
, ,� � � � � � �
7 4
100
360 0 074 360 26 64
,
, ,� � � � � � �
4. C 
Mediana �
�
�
( , , )%
%
7 9 8 1
2
8
Encaminhamento 
metodológico
Para enriquecer a ativi-
dade, elabore questionamentos 
feitos com base nos gráficos 
construídos pelos alunos (tema 
pesquisado, que conclusões 
podem ser extraídas) e convide-
-os a responder oralmente ou a 
realizar a atividade no caderno. 
Havendo disponibilidade, 
proponha a eles que construam 
um gráfico usando um software, 
como o Calc (https://pt-br.
libreoffice.org/) ou a Planilha 
(https://drive.google.com). 
Nesse caso, reserve um tempo 
para que os alunos conheçam o 
software.
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 3. Observe o gráfico a seguir, que representa a distribuição de terras no Brasil. 
Floresta Amazônica
350 milhões de hectares
Outras áreas
138 milhões de hectares
Pastagens
200 milhões de hectares
Outras áreas de preservação
100 milhões de hectares
Área utilizada para a agricultura
63 milhões de hectares
Como se distribuem as terras no Brasil*
Brasil – 851 milhões de hectares**
*Em valores aproximados
**Um hectare vale 10 mil 
metros quadrados
7,4%
41,1%
23,5%
16,2%
11,8%
HARNIK, Simone. Etanol abre vagas para engenheiro agrônomo. G1. 8 maio 2007. 
Disponível em: http://url.sae.digital/uYyMKjA. Acesso em: 24 jul. 2019.
Se explicitarmos o gráfico de como se distribuem as terras no Brasil,
a) que ângulo da região representará a Floresta Amazônica?
b) que ângulo da região representará a área utilizada para a agricultura? 
4. (Enem-2017) O gráfico apresenta a taxa de desemprego (em %) para o período de março de 
2008 a abril de 2009, obtida com base nos dados observados nas regiões metropolitanas de 
Recife, Salvador, Belo Horizonte, Rio de Janeiro, São Paulo e Porto Alegre.
IBGE. Pesquisa mensal de emprego. Disponível em: www.ibge.gov.br. 
Acesso em: 30 jul. 2012 (adaptado).
8,6 8,5
8,1
7,7 7,6
7,57,6
7,97,9
8,2
6,8
8,5
8,9
9,0
Taxa de desemprego (%)
04 05 06 07 08 09 10 11 12 02 03 04
01/09
03/08
A mediana dessa taxa de desemprego, no período de março de 2008 a abril de 2009, foi de
a) 8,1%. b) 7,7%. c) 8,0%.
d) 7,6%. e) 7,9%.
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1. (UNCISAL-2015) Em cada bimestre, uma faculdade exige a realização de quatro tipos de avaliação, 
calculando a nota bimestral pela média ponderada dessas avaliações. Se a tabela apresenta as 
notas obtidas por uma aluna nos quatro tipos de avaliações realizadas e os pesos dessas avaliações
Avaliação Nota Peso
Prova escrita 6 4
Avaliação continuada 7 4
Seminário 8 2
Trabalho em grupo 9 2
sua nota bimestral foi aproximadamente igual a
a) 8,6. b) 8,0. c) 7,5. d) 7,2. e) 6,8.
2. A tabela a seguir mostra o número de gols marcados em cada rodada por duas equipes que 
lideraram a competição.
Times 1.ª rodada 2.ª rodada 3.ª rodada 4.ª rodada
A 5 4 2 3
B 4 1 5 1
Calcule a média aritmética e a moda desses valores para cada time.
3. O departamento financeiro de uma empresa fez um levantamento do salário de cada colabo-
rador, conforme levantamento apresentado na tabela a seguir. 
Salário em reais Número de funcionários
1 600 12
2 800 8
3 200 4
4 500 4
6 200 2
Qual é o salário médio dos colaboradores dessa empresa?
4. Ana e Marcos resolveram comparar as suas notas em cinco disciplinas. A média bimestral dos 
dois alunos em cada uma dessas disciplinas está representada na tabela a seguir. 
Ana Marcos
Português 8,5 9,5
Matemática 9,5 9,0
Geografi a 8,0 8,5
Inglês 7,0 8,0
História 7,0 5,0
VAMOS PRATICAR MAIS?
Sabendo que os dois alunos tiveram 
a mesma média aritmética geral das 
notas apresentadas, qual é a variância 
do conjunto de notas de Ana e Marcos?
Resposta
1. A média ponderada é calculada somando os produtos entre pesos e notas e 
dividindo o resultado pela soma dos pesos. Portanto: 7,17 ≅ 7,2.
2. Time A: Média aritmética = 3,5; Moda = Amodal.
 Time B: Média aritmética = 2,75; Moda = 1.
3. Resposta: R$2.826,67. 
4. Ana: 0,9 e Marcos: 2,5.
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112 MATEMÁTICA
112 MATEMÁTICA
Gráficos, pesquisas e medidas estatísticas – Relacionando conceitos 
GRÁFICOS
tendência central
pesquisas
amostral
podem ser de
as quais podem ser
informações
apresentam
dispersão
setores
barras
segmentos
de
medidas
que podem gerar
que podem ser 
resultados de
censitárias amostrais
dispersão
segmentos
barras
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113MATEMÁTICA
AndrewFirst|fotogestoeber/Shutterstock
un
idade
113
2. Probabilidade
Os participantes de um programa de auditório podem escolher entre 3 portas. Atrás de uma delas, há 
um carro. Atrás das outras, há apenas cabras. Depois que um dos participantes escolhe uma porta, o apre-
sentador, que sabe o que há atrás de cada porta, abre uma das que não foram escolhidas, revelando uma 
cabra. Ele então pergunta ao participante: Você gostaria de mudar sua escolha para a outra porta fechada? 
Para o participante, é vantajoso mudar?
2
• Espaço amostral
• Eventos
• Princípio multiplicativo 
• Cálculo de probabilidades
Estatística e probab ilidade
Escola Digital
Objetivos do capítulo
 • Compreender e determinar espaço amostral e princípio multiplicativo.
 • Determinar a chance de um evento acontecer.
 • Determinar probabilidades.
 • Resolver e elaborar problemas.
Realidade aumentada
 • Possível ou provável?
Encaminhamento metodológico 
Neste capítulo, desenvolveremos as habilidades EF08MA03 e EF08MA22 da BNCC.
A primeira habilidade trata de resolver e elaborar problemas de contagem cuja 
resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo. A segunda habilidade trata 
de calcular a probabilidade 
de eventos, com base na 
construção do espaço amostral, 
utilizando o princípio multipli-
cativo, e reconhecer que a soma 
das probabilidades de todos os 
elementos do espaço amostral éigual a 1.
Após a leitura do texto 
introdutório do capítulo, 
realize a discussão da situação, 
destacando a ideia de chance. 
Espera-se que os alunos 
compreendam que, quando 
você escolhe uma das 3 portas, 
sua chance de ganhar o carro é 
de 1 em 3. Isso significa que a 
probabilidade de encontrar uma 
cabra é 2/3, ou seja, o dobro. 
“Vamos à explicação de 
Marilyn: quando você escolhe 
uma das 3 portas, sua chance 
de ganhar o carro é de 1/3. Isso 
significa que a probabilidade 
de encontrar uma cabra é 2/3, 
ou seja, o dobro. Acontece que 
essa probabilidade, embora não 
pareça, se mantém a mesma 
depois que o apresentador abre 
uma das portas (mesmo porque 
o carro continua no mesmo 
lugar). Se você tiver escolhido 
a porta certa (probabilidade de 
1/3) e mudar, perderá. Mas se 
você tiver escolhido uma porta 
errada (probabilidade de 2/3) e 
mudar, ganhará. Então, se você 
mudar, sua chance de ganhar 
se torna duas vezes maior do 
que a probabilidade de errar de 
novo. A história do programa 
comprovou a tese. Houve duas 
vezes mais ganhadores entre 
aqueles que mudaram de porta 
do que entre os que mantive-
ram a escolha inicial.”
SANTI, Alexandre de; KIST, 
Cristine; GARATTONI, Bruno. 
Sorte: como controlar a sua. 
Superinteressante. 3 ago. 2018. 
Disponível em: http://url.sae.
digital/13iLQtH. 
Acesso em: 14 ago. 2019.
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Abacaxi com carameloCaramelo
Abacaxi
Creme
Morango
Flocos
Caramelo
Caramelo
Caramelo
Calda
Calda
Calda
Calda
Chocolate
Chocolate
Chocolate
Chocolate
Creme com calda
Morango com chocolate
Abacaxi com calda
Creme com chocolate
Flocos com caramelo
Abacaxi com chocolate
Morango com caramelo
Flocos com calda
Creme com caramelo
Morango com calda
Flocos com chocolate
Opções de sabor Opções de cobertura Possibilidades
Observe que cada sabor pode ser combinado com uma das 3 coberturas. Como são 4 sabores, 
efetuamos 4 · 3 = 12 possibilidades. A operação de multiplicação utilizada para determinar o total de 
possibilidades para formar um agrupamento é chamada de princípio multiplicativo. Portanto, Marcela 
pode escolher um sorvete com cobertura de 12 modos diferentes.
Probabilidade
Quando estudamos as chances de algo acontecer em um experimento, estamos determinando 
a probabilidade de algo acontecer. Um famoso exemplo é a probabilidade de, ao lançar uma moeda 
para o alto, a face da moeda virada para cima ser cara.
Para compreender como determinar a probabilidade, vamos primeiramente conhecer definições 
básicas, como espaço amostral, evento e princípio multiplicativo.
Espaço amostral
O principal objetivo do estudo das probabilidades é analisar o experimento 
aleatório, ou seja, aquele cujo resultado é incerto. O conjunto de todos os resul-
tados possíveis de um experimento aleatório é denominado espaço amostral. 
Por exemplo, ao considerarmos o lançamento de uma moeda, a face vi-
rada para cima pode ser cara ou coroa. Assim, o espaço amostral S é dado por 
S = {cara, coroa}.
A amostra, por sua vez, é a parte do espaço que representa características 
do todo-referência.
Eventos
Um evento é definido como um subconjunto do espaço amostral. No lançamento de um dado, 
em relação à face voltada para cima, podemos ter, por exemplo, os seguintes eventos:
em que o número é par 
{2, 4, 6}.
em que o número é impar
{1, 3, 5}.
A
B
Princípio multiplicativo
No princípio multiplicativo, nossa ferramenta principal é a multiplicação. Por meio dele consegui-
mos resolver problemas de contagem sem a necessidade de enumerar cada um dos elementos. Veja 
no exemplo a seguir como desenvolvemos esse raciocínio.
Marcela está indecisa quanto ao sorvete que vai escolher, pois a sorveteria oferece 4 sabores (aba-
caxi, creme, morango e flocos) e 3 opções de cobertura (caramelo, calda e chocolate) das quais ela gosta.
De quantos modos diferentes Marcela pode escolher um sabor de sorvete e uma cobertura? Esse 
tipo de contagem pode ser realizado por meio do seguinte quadro de possibilidades.
Abscent/Shutterstock
testing/Shutterstock
stockcreations/Shutterstock
 
Observe a imagem a seguir, que representa o mapa de assentos de uma aeronave. 
nitinut380/Shutterstock
Os assentos em amarelo estão na classe executiva. Os assentos marcados em azul, na classe 
econômica. 
Utilizando as informações apresentadas, elabore uma situação-problema envolvendo a ideia 
de princípio multiplicativo. Em seguida, troque a situação que você elaborou com um colega. Cada 
um resolve a situação-problema do outro para, em seguida, discutir as ideias de resolução. 
INTERAÇÃO
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Probabilidade
Quando estudamos as chances de algo acontecer em um experimento, estamos determinando 
a probabilidade de algo acontecer. Um famoso exemplo é a probabilidade de, ao lançar uma moeda 
para o alto, a face da moeda virada para cima ser cara.
Para compreender como determinar a probabilidade, vamos primeiramente conhecer definições 
básicas, como espaço amostral, evento e princípio multiplicativo.
Espaço amostral
O principal objetivo do estudo das probabilidades é analisar o experimento 
aleatório, ou seja, aquele cujo resultado é incerto. O conjunto de todos os resul-
tados possíveis de um experimento aleatório é denominado espaço amostral. 
Por exemplo, ao considerarmos o lançamento de uma moeda, a face vi-
rada para cima pode ser cara ou coroa. Assim, o espaço amostral S é dado por 
S = {cara, coroa}.
A amostra, por sua vez, é a parte do espaço que representa características 
do todo-referência.
Eventos
Um evento é definido como um subconjunto do espaço amostral. No lançamento de um dado, 
em relação à face voltada para cima, podemos ter, por exemplo, os seguintes eventos:
em que o número é par 
{2, 4, 6}.
em que o número é impar
{1, 3, 5}.
A
B
Princípio multiplicativo
No princípio multiplicativo, nossa ferramenta principal é a multiplicação. Por meio dele consegui-
mos resolver problemas de contagem sem a necessidade de enumerar cada um dos elementos. Veja 
no exemplo a seguir como desenvolvemos esse raciocínio.
Marcela está indecisa quanto ao sorvete que vai escolher, pois a sorveteria oferece 4 sabores (aba-
caxi, creme, morango e flocos) e 3 opções de cobertura (caramelo, calda e chocolate) das quais ela gosta.
De quantos modos diferentes Marcela pode escolher um sabor de sorvete e uma cobertura? Esse 
tipo de contagem pode ser realizado por meio do seguinte quadro de possibilidades.
Abscent/Shutterstock
testing/Shutterstock
stockcreations/Shutterstock
114 MATEMÁTICA
Encaminhamento 
metodológico
Neste momento, retoma-
mos as ideias da probabilidade. 
Converse com os alunos a 
respeito do conceito da palavra 
e tente diferenciá-lo do conceito 
de possibilidade por meio 
da frase “A probabilidade de 
um evento acontecer dentre 
algumas possibilidades”.
O cálculo de probabilida-
des é um conceito complexo 
para os alunos, por isso cada 
exemplo deve ser feito com 
cuidado e atenção, de maneira a 
sempre priorizar exemplos que 
podem ser realizados de forma 
concreta, como o lançamento 
de dados e moedas.
No texto de princípio mul-
tiplicativo, são dadas aos alunos 
ferramentas para desenvolver a 
habilidade de resolver e elaborar 
problemas de contagem cuja 
resolução envolva a aplicação 
do princípio multiplicativo 
(EF08MA03 da BNCC).
Dica para ampliar 
o trabalho
Segundo os pesquisadores 
Bryant e Nunes (2012), quatro 
condições são fundamentais 
para a construção do conceito 
de probabilidade:
 • compreensão da natureza, 
das consequências e do uso 
cotidiano da aleatoriedade;
 • formação e categorização de 
espaços amostrais;
 • comparação e quantificação 
de probabilidades;
 • entendimento de correlações 
(relações entre eventos).
A ideia de evento aleatório 
está associada às situações de 
incerteza e imprevisibilidade. Ao 
lançar uma moeda, por exem-
plo, não podemos prever qual 
dassuas 2 faces vai ser mostrada 
(cara ou coroa).
Para termos um pouco 
de segurança em prever o 
resultado de uma situação 
probabilística, é fundamental 
conhecer o espaço amostral, ou 
seja, todos os possíveis resulta-
dos que poderão surgir.
BRYANT, P.; NUNES, T. Children’s 
understanding of probability: 
a literature review. London (UK): 
Nuffield Foundation, 2012.
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Abacaxi com carameloCaramelo
Abacaxi
Creme
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Flocos
Caramelo
Caramelo
Caramelo
Calda
Calda
Calda
Calda
Chocolate
Chocolate
Chocolate
Chocolate
Creme com calda
Morango com chocolate
Abacaxi com calda
Creme com chocolate
Flocos com caramelo
Abacaxi com chocolate
Morango com caramelo
Flocos com calda
Creme com caramelo
Morango com calda
Flocos com chocolate
Opções de sabor Opções de cobertura Possibilidades
Observe que cada sabor pode ser combinado com uma das 3 coberturas. Como são 4 sabores, 
efetuamos 4 · 3 = 12 possibilidades. A operação de multiplicação utilizada para determinar o total de 
possibilidades para formar um agrupamento é chamada de princípio multiplicativo. Portanto, Marcela 
pode escolher um sorvete com cobertura de 12 modos diferentes.
Probabilidade
Quando estudamos as chances de algo acontecer em um experimento, estamos determinando 
a probabilidade de algo acontecer. Um famoso exemplo é a probabilidade de, ao lançar uma moeda 
para o alto, a face da moeda virada para cima ser cara.
Para compreender como determinar a probabilidade, vamos primeiramente conhecer definições 
básicas, como espaço amostral, evento e princípio multiplicativo.
Espaço amostral
O principal objetivo do estudo das probabilidades é analisar o experimento 
aleatório, ou seja, aquele cujo resultado é incerto. O conjunto de todos os resul-
tados possíveis de um experimento aleatório é denominado espaço amostral. 
Por exemplo, ao considerarmos o lançamento de uma moeda, a face vi-
rada para cima pode ser cara ou coroa. Assim, o espaço amostral S é dado por 
S = {cara, coroa}.
A amostra, por sua vez, é a parte do espaço que representa características 
do todo-referência.
Eventos
Um evento é definido como um subconjunto do espaço amostral. No lançamento de um dado, 
em relação à face voltada para cima, podemos ter, por exemplo, os seguintes eventos:
em que o número é par 
{2, 4, 6}.
em que o número é impar
{1, 3, 5}.
A
B
Princípio multiplicativo
No princípio multiplicativo, nossa ferramenta principal é a multiplicação. Por meio dele consegui-
mos resolver problemas de contagem sem a necessidade de enumerar cada um dos elementos. Veja 
no exemplo a seguir como desenvolvemos esse raciocínio.
Marcela está indecisa quanto ao sorvete que vai escolher, pois a sorveteria oferece 4 sabores (aba-
caxi, creme, morango e flocos) e 3 opções de cobertura (caramelo, calda e chocolate) das quais ela gosta.
De quantos modos diferentes Marcela pode escolher um sabor de sorvete e uma cobertura? Esse 
tipo de contagem pode ser realizado por meio do seguinte quadro de possibilidades.
Abscent/Shutterstock
testing/Shutterstock
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Observe a imagem a seguir, que representa o mapa de assentos de uma aeronave. 
nitinut380/Shutterstock
Os assentos em amarelo estão na classe executiva. Os assentos marcados em azul, na classe 
econômica. 
Utilizando as informações apresentadas, elabore uma situação-problema envolvendo a ideia 
de princípio multiplicativo. Em seguida, troque a situação que você elaborou com um colega. Cada 
um resolve a situação-problema do outro para, em seguida, discutir as ideias de resolução. 
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Probabilidade
Quando estudamos as chances de algo acontecer em um experimento, estamos determinando 
a probabilidade de algo acontecer. Um famoso exemplo é a probabilidade de, ao lançar uma moeda 
para o alto, a face da moeda virada para cima ser cara.
Para compreender como determinar a probabilidade, vamos primeiramente conhecer definições 
básicas, como espaço amostral, evento e princípio multiplicativo.
Espaço amostral
O principal objetivo do estudo das probabilidades é analisar o experimento 
aleatório, ou seja, aquele cujo resultado é incerto. O conjunto de todos os resul-
tados possíveis de um experimento aleatório é denominado espaço amostral. 
Por exemplo, ao considerarmos o lançamento de uma moeda, a face vi-
rada para cima pode ser cara ou coroa. Assim, o espaço amostral S é dado por 
S = {cara, coroa}.
A amostra, por sua vez, é a parte do espaço que representa características 
do todo-referência.
Eventos
Um evento é definido como um subconjunto do espaço amostral. No lançamento de um dado, 
em relação à face voltada para cima, podemos ter, por exemplo, os seguintes eventos:
em que o número é par 
{2, 4, 6}.
em que o número é impar
{1, 3, 5}.
A
B
Princípio multiplicativo
No princípio multiplicativo, nossa ferramenta principal é a multiplicação. Por meio dele consegui-
mos resolver problemas de contagem sem a necessidade de enumerar cada um dos elementos. Veja 
no exemplo a seguir como desenvolvemos esse raciocínio.
Marcela está indecisa quanto ao sorvete que vai escolher, pois a sorveteria oferece 4 sabores (aba-
caxi, creme, morango e flocos) e 3 opções de cobertura (caramelo, calda e chocolate) das quais ela gosta.
De quantos modos diferentes Marcela pode escolher um sabor de sorvete e uma cobertura? Esse 
tipo de contagem pode ser realizado por meio do seguinte quadro de possibilidades.
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114 MATEMÁTICA
Encaminhamento metodológico
Para explorar o conceito de probabilidade, usamos a árvore de possibilidades. 
Desenvolva mais exemplos com os alunos, com números maiores de possibilidades. 
Além disso, expanda o exemplo dado sugerindo outras opções de sabores e/ou 
coberturas.
Na seção Interação, espera-se que os alunos apliquem o princípio multiplicativo 
na resolução de situações-problema. Faça a mediação do processo de elaboração e 
resolução. Espera-se que os alunos proponham situações como “De quantas maneiras 
podem ser escolhidos dois assentos em qualquer classe?” ou, ainda, “De quantas 
maneiras podem ser escolhidos três assentos apenas da classe econômica?”. Possibilite 
a partilha das resoluções, pois podem surgir diversos raciocínios para resolver uma 
mesma situação-problema. 
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 2. Marcelo possui as peças de roupas e os pares de sapato mostrados a seguir e deseja escolher 
uma combinação para ir a uma festa. 
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, E
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, 
M
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a/
Sh
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ck
a) De quantas maneiras distintas Marcelo pode se vestir escolhendo uma camiseta, uma calça 
e um sapato?
b) Qual é a probabilidade de Marcelo escolher aleatoriamente uma camiseta vermelha, uma 
calça e um par de sapatos?
c) Marcelo comprou mais uma calça. Assim, a probabilidade de ele escolher aleatoriamente 
uma camiseta vermelha, uma calça e um par de sapatos é menor, maior ou igual ao resultado 
obtido no item anterior? Por quê?
3. Observe a imagem a seguir, que representa um dado cujas faces estão numeradas de 1 a 12. 
Qual é a probabilidade aproximada de lançar o dado uma vez e sair um número par e menor 
do que 10?
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Cálculo de probabilidades
Retomando a situação apresentada na abertura do capítulo, tem-se que, na escolha de uma das 
três portas, a probabilidade de sair cabra é 
2
3
, pois o espaço amostral conta com 3 elementos (porta 1, 
porta 2 e porta 3) e o evento “sair cabra”, 2 elementos. Assim, a probabilidade de um evento é calcu-
lada por meio da razão entre o número de elementos do evento e o número de elementos do espaço 
amostral. Esse resultado pode ser representado por meio de fração, deporcentagem ou em decimal. 
Seu cálculo é obtido da seguinte forma:
probabilidade de um evento acontecer =
número de elementos do evento
número de elementos 
do espaço amostral
A soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1 e, quando o 
número de elementos do evento é igual ao número de elementos do espaço amostral, dizemos que é 
um evento certo de acontecer.
 
1. Na imagem ao lado estão representados os assen-
tos de uma sala de cinema. 
Qual é a probabilidade de um assento da primei-
ra fileira ser escolhido aleatoriamente?
  Solução:
Evento: escolher aleatoriamente um assento da 
primeira fileira. Número de elementos: 6.
Espaço amostral: todos os assentos da sala de cine-
ma. Número de elementos: 48.
Probabilidade = 
6
48
0 125 12 5= =, , %.
COLOCANDO EM PRÁTICA
ni
tin
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38
0/
Sh
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rs
to
ck
 
1. Em um bingo, cada cartela contém números de 1 a 75. A cada rodada, um número é sorteado 
e o jogador verifica se ele está em sua cartela. Qual é a probabilidade de ser sorteado aleato-
riamente um número múltiplo de cinco?
ATIVIDADES
116 MATEMÁTICA
Encaminhamento 
metodológico
A probabilidade é utilizada 
em várias situações do nosso 
cotidiano, como em senhas, 
em pesquisas de satisfação, em 
condições climáticas, em troca 
de placa de carros e em jogos 
de azar. Crie outras situações 
para ampliar esse conceito com 
os alunos e, se possível, utilize 
o Caderno digital para mais 
atividades. 
Neste momento os alunos 
podem calcular a probabilidade 
de eventos, com base na 
construção do espaço amostral, 
utilizando o princípio multipli-
cativo, e reconhecer que a soma 
das probabilidades de todos os 
elementos do espaço amostral 
é igual a 1, desenvolvendo, 
assim, a habilidade EF08MA22 
da BNCC.
Resposta
1. 15
75
0 2 20= =, %
Orientação para RA
Nesta Realidade aumen-
tada, levantamos a diferença 
entre os termos possível 
e provável.
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 2. Marcelo possui as peças de roupas e os pares de sapato mostrados a seguir e deseja escolher 
uma combinação para ir a uma festa. 
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a) De quantas maneiras distintas Marcelo pode se vestir escolhendo uma camiseta, uma calça 
e um sapato?
b) Qual é a probabilidade de Marcelo escolher aleatoriamente uma camiseta vermelha, uma 
calça e um par de sapatos?
c) Marcelo comprou mais uma calça. Assim, a probabilidade de ele escolher aleatoriamente 
uma camiseta vermelha, uma calça e um par de sapatos é menor, maior ou igual ao resultado 
obtido no item anterior? Por quê?
3. Observe a imagem a seguir, que representa um dado cujas faces estão numeradas de 1 a 12. 
Qual é a probabilidade aproximada de lançar o dado uma vez e sair um número par e menor 
do que 10?
Vi
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Cálculo de probabilidades
Retomando a situação apresentada na abertura do capítulo, tem-se que, na escolha de uma das 
três portas, a probabilidade de sair cabra é 
2
3
, pois o espaço amostral conta com 3 elementos (porta 1, 
porta 2 e porta 3) e o evento “sair cabra”, 2 elementos. Assim, a probabilidade de um evento é calcu-
lada por meio da razão entre o número de elementos do evento e o número de elementos do espaço 
amostral. Esse resultado pode ser representado por meio de fração, de porcentagem ou em decimal. 
Seu cálculo é obtido da seguinte forma:
probabilidade de um evento acontecer =
número de elementos do evento
número de elementos 
do espaço amostral
A soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1 e, quando o 
número de elementos do evento é igual ao número de elementos do espaço amostral, dizemos que é 
um evento certo de acontecer.
 
1. Na imagem ao lado estão representados os assen-
tos de uma sala de cinema. 
Qual é a probabilidade de um assento da primei-
ra fileira ser escolhido aleatoriamente?
  Solução:
Evento: escolher aleatoriamente um assento da 
primeira fileira. Número de elementos: 6.
Espaço amostral: todos os assentos da sala de cine-
ma. Número de elementos: 48.
Probabilidade = 
6
48
0 125 12 5= =, , %.
COLOCANDO EM PRÁTICA
ni
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1. Em um bingo, cada cartela contém números de 1 a 75. A cada rodada, um número é sorteado 
e o jogador verifica se ele está em sua cartela. Qual é a probabilidade de ser sorteado aleato-
riamente um número múltiplo de cinco?
ATIVIDADES
116 MATEMÁTICA
Resposta
2. 
a) De 80 maneiras distintas.
b) 
20
80
0 25 25= =, %
c) 
24
96
0 25 25= =, %. A probabilidade permanece a mesma, uma vez que o número de 
elementos do evento e do espaço amostral sofreram uma variação na mesma proporção. 
3. 
4
12
0 333 33 3= ≅, , %
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118 MATEMÁTICA
Probabilidade – Relacionando conceitos
PROBABILIDADE
cálculo de 
probabilidade
espaço amostral
experimento aleatório
chance de algo ocorrer
fração
é a 
evento
 decimalporcentagem
ao fazer
em um
que é 
representado 
por
em que se 
sabe qual é o
119MATEMÁTICA
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1. (UEG-2015) Érika resolve passear com a cachorrinha Kika e, antes de sair do apartamento, 
escolhe colocar uma roupa e uma coleira na cachorrinha. Se Kika tem 7 roupas e 3 coleiras, 
todas distintas, de quantas maneiras Érika pode escolher uma roupa e uma coleira para passear 
com a Kika? 
a) 10 b) 21 
c) 35 d) 42
2. (IFPE-2012) Por questão de segurança os bancos instalaram ao lado da maçaneta da porta, que 
dá acesso à área por trás dos caixas, um teclado como o da figura abaixo.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
0
Para entrar nessa área, cada funcionário tem a sua própria senha. Suponha que esta senha seja 
composta de quatro dígitos distintos. Quantas senhas poderão ser criadas se forem usados 
apenas os números primos que aparecem no teclado? 
a) 6 b) 24 c) 80
d) 120 e) 720
3. (Unisinos-2012) Num restaurante, são oferecidos 4 tipos de carne, 5 tipos de massa, 8 tipos de 
salada e 6 tipos de sobremesa. De quantas maneiras diferentes podemos escolher uma refeição 
composta de 1 carne, 1 massa, 1 salada e 1 sobremesa? 
a) 23. b) 24. c) 401.
d) 572. e) 960.
4. Um shopping estava oferecendo cupons para o sorteio de um carro. Ao todo, cada uma das 
30 lojas dispunha de 100 cupons. Guilherme realizou muitas compras e preencheu 20 cupons, 
depositando todos eles em uma urna. Qual é a probabilidade de ele ganhar o carro no sorteio?
5. (PUC-RJ) Jogamos dois dados comuns. Qual a probabilidade de que o total de pontos seja 
igual a 10?
a) 
1
12
b) 
1
11
c) 
1
10
d) 
2
23
e) 
1
6
VAMOS PRATICAR MAIS?
118 MATEMÁTICA
Resposta
1. B
2. B
3. E
4. 
20
3000
0 00667 0 67≅ =, , %
5. A
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119MATEMÁTICA
Probabilidade – Relacionando conceitos
PROBABILIDADE
cálculo de 
probabilidade
espaço amostral
experimento aleatório
chance de algo ocorrer
fração
é a 
evento
 decimalporcentagem
ao fazer
em um
que é 
representado 
por
em que se 
sabe qual é o
119MATEMÁTICA
EF
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1_
U
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02
 
1. (UEG-2015) Érika resolve passear com a cachorrinha Kika e, antes de sair do apartamento, 
escolhe colocar uma roupa e uma coleira na cachorrinha. Se Kika tem 7 roupas e 3 coleiras, 
todas distintas, de quantas maneiras Érika pode escolher uma roupa e uma coleira para passear 
com a Kika? 
a) 10 b) 21 
c) 35 d) 42
2. (IFPE-2012) Por questão de segurança os bancos instalaram ao lado da maçaneta da porta, que 
dá acesso à área por trás dos caixas, um teclado como o da figura abaixo.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
0
Para entrar nessa área, cada funcionário tem a sua própria senha. Suponha que esta senha seja 
composta de quatro dígitos distintos. Quantas senhas poderão ser criadas se forem usados 
apenas os números primos que aparecem no teclado? 
a) 6 b) 24 c) 80
d)120 e) 720
3. (Unisinos-2012) Num restaurante, são oferecidos 4 tipos de carne, 5 tipos de massa, 8 tipos de 
salada e 6 tipos de sobremesa. De quantas maneiras diferentes podemos escolher uma refeição 
composta de 1 carne, 1 massa, 1 salada e 1 sobremesa? 
a) 23. b) 24. c) 401.
d) 572. e) 960.
4. Um shopping estava oferecendo cupons para o sorteio de um carro. Ao todo, cada uma das 
30 lojas dispunha de 100 cupons. Guilherme realizou muitas compras e preencheu 20 cupons, 
depositando todos eles em uma urna. Qual é a probabilidade de ele ganhar o carro no sorteio?
5. (PUC-RJ) Jogamos dois dados comuns. Qual a probabilidade de que o total de pontos seja 
igual a 10?
a) 
1
12
b) 
1
11
c) 
1
10
d) 
2
23
e) 
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VAMOS PRATICAR MAIS?
118 MATEMÁTICA
chance de algo ocorrer
fração decimal
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120 MATEMÁTICA
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un
idade
Representação do 
homem na Lua 
com o planeta 
Terra ao fundo.
120
1. Expressões literais
Você já viu em algum filme uma cena na qual astronautas flutuam dentro de uma nave espacial ou na 
superfície da Lua? Em qualquer lugar do planeta, nossa massa sempre será a mesma. E no espaço? Por que 
astronautas e objetos flutuam quando estão lá?
A tabela ao lado mostra o peso (em Newtons) de objetos na Terra e 
na Lua.
Analisando os dados, como é possível calcular o peso de uma pessoa 
na Terra sabendo que, na Lua, ela tem 100 Newtons? Você sabe como usar 
uma expressão algébrica para resolver esse problema?
Terra Lua
Televisão 180 30
Carro 7 200 1 200
3
• Diferença entre expressões 
algébricas e numéricas
• Classificação de expressões 
algébricas
• Valor numérico de uma 
 expressão algébrica
Polinômios
Escola Digital
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01
Expressões algébricas e numéricas
Na Matemática, muitas vezes utilizamos letras para representar números ainda desconhecidos e 
escrever simbolicamente algumas sentenças. Essa técnica é utilizada em generalizações, como fórmulas 
e propriedades. Sempre que o valor representado pela letra variar, as letras poderão ser chamadas de 
variáveis. Quando utilizamos letras na resolução de situações que envolvem números desconhecidos, 
como equações e inequações, elas recebem o nome de incógnitas.
Quando estamos trabalhando com expressões algébricas, simbolicamente podemos expressar as 
sentenças em uma balança de pratos, que deve estar equilibrada. 
SA
E 
D
IG
IT
A
L 
S/
A
Prato 1 Prato 2
Como podemos representar a expressão algébrica da situação acima?
A expressão algébrica será: 
40 + x + x = 90 + 25 + 15 + x
Prato 1 Prato 2
Agrupando os termos semelhantes, a expressão algébrica ficará: 
40 + 2x = 130 + x. 
A figura ao lado nos mostra um bloco retangular de dimensões a, b e c.
A medida do volume é dada pela expressão a · b · c, que contém 
apenas letras. Expressões desse tipo são chamadas expressões algé-
bricas ou literais.
Assim, uma expressão matemática que contém números e letras, ou somente letras, é denomi-
nada expressão algébrica ou literal.
  Exemplos:
 • 4x – 1 • a2 + ab • x2 – 2x + 1 •
a b
a
−
2
Outra situação é quando trabalhamos com áreas, perímetros e volumes. Observe que a figura nos 
mostra um retângulo cujas dimensões são 5 cm e 3 cm.
A medida do perímetro do retângulo é dada pela expressão 
3 + 3 + 5 + 5. Podemos simplificá-la escrevendo 2 · (3) + 2 · (5). 
EM TEMPO
Perímetro é a medida do contorno de uma figura. Podemos 
calculá-lo somando a medida de todos os lados de uma figura 
geométrica.
Como 2 · (3) + 2 · (5) é uma expressão que apresenta apenas números, é chamada expressão 
numérica.
a
c
b
5
3
Objetivos do capítulo
 • Reconhecer e classificar 
expressões algébricas.
 • Construir conhecimento 
para encontrar o valor 
numérico de uma expressão 
algébrica.
Realidade aumentada
 • Representando por meio de 
uma expressão algébrica
 • Uma expressão, muitos 
valores
Encaminhamento 
metodológico
Neste capítulo, desenvol-
veremos a habilidade EF08MA06 
da BNCC, que tem como obje-
tivo resolver e elaborar proble-
mas que envolvam cálculo do 
valor numérico de expressões 
algébricas utilizando as pro-
priedades das operações. Este 
capítulo tem foco na utilização 
da representação algébrica 
para generalizar situações e 
encontrar o valor numérico.
Comente com os alunos 
que eles já viram um pouco 
de uma importante área da 
Matemática chamada Álgebra, 
que utiliza símbolos, normal-
mente letras de nosso alfabeto, 
para generalizar situações e 
resolver problemas. Depois, 
explore a pergunta inicial, com 
a qual é possível verificar se o 
aluno se lembra do conceito de 
expressões algébricas.
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un
idade
Representação do 
homem na Lua 
com o planeta 
Terra ao fundo.
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1. Expressões literais
Você já viu em algum filme uma cena na qual astronautas flutuam dentro de uma nave espacial ou na 
superfície da Lua? Em qualquer lugar do planeta, nossa massa sempre será a mesma. E no espaço? Por que 
astronautas e objetos flutuam quando estão lá?
A tabela ao lado mostra o peso (em Newtons) de objetos na Terra e 
na Lua.
Analisando os dados, como é possível calcular o peso de uma pessoa 
na Terra sabendo que, na Lua, ela tem 100 Newtons? Você sabe como usar 
uma expressão algébrica para resolver esse problema?
Terra Lua
Televisão 180 30
Carro 7 200 1 200
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• Diferença entre expressões 
algébricas e numéricas
• Classificação de expressões 
algébricas
• Valor numérico de uma 
 expressão algébrica
Polinômios
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Expressões algébricas e numéricas
Na Matemática, muitas vezes utilizamos letras para representar números ainda desconhecidos e 
escrever simbolicamente algumas sentenças. Essa técnica é utilizada em generalizações, como fórmulas 
e propriedades. Sempre que o valor representado pela letra variar, as letras poderão ser chamadas de 
variáveis. Quando utilizamos letras na resolução de situações que envolvem números desconhecidos, 
como equações e inequações, elas recebem o nome de incógnitas.
Quando estamos trabalhando com expressões algébricas, simbolicamente podemos expressar as 
sentenças em uma balança de pratos, que deve estar equilibrada. 
SA
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Prato 1 Prato 2
Como podemos representar a expressão algébrica da situação acima?
A expressão algébrica será: 
40 + x + x = 90 + 25 + 15 + x
Prato 1 Prato 2
Agrupando os termos semelhantes, a expressão algébrica ficará: 
40 + 2x = 130 + x. 
A figura ao lado nos mostra um bloco retangular de dimensões a, b e c.
A medida do volume é dada pela expressão a · b · c, que contém 
apenas letras. Expressões desse tipo são chamadas expressões algé-
bricas ou literais.
Assim, uma expressão matemática que contém números e letras, ou somente letras, é denomi-
nada expressão algébrica ou literal.
  Exemplos:
 • 4x – 1 • a2 + ab • x2 – 2x + 1 •
a b
a
−
2
Outra situação é quando trabalhamos com áreas, perímetros e volumes. Observe que a figura nos 
mostra um retângulo cujas dimensões são 5 cm e 3 cm.
A medida do perímetro do retângulo é dada pela expressão 
3 + 3 + 5 + 5. Podemos simplificá-la escrevendo 2 · (3) + 2 · (5). 
EM TEMPO
Perímetro é a medida do contorno de uma figura. Podemos 
calculá-lo somando a medida de todos os lados de uma figura 
geométrica.
Como 2 · (3) + 2 · (5) é uma expressão que apresenta apenas números, é chamada expressão 
numérica.
a
c
b
5
3
Encaminhamento metodológico
Quando trabalhamos com expressões algébricas, uma maneira lúdica é utilizar 
balanças. A seguir, há o passo a passo da resolução da situação-problema da balança, 
mas antes peça aos alunos que resolvam a expressão para encontrar o valor de x. 
Questione: se o valor de x mudar, o que acontece com o valor da expressão? Outra 
estratégia é trabalhar com áreas, perímetros e volumes.Calculando, temos:
Expressão algébrica dada:
40 + 2x = 130 – x 
Subtraímos 40 nos dois lados da igualdade para manter a balança em equilíbrio:
40 + 2x – 40 = 130 – x – 40 
2x = 90 – x 
Adicionamos x nos dois lados da igualdade para manter a balança em equilíbrio:
2x + x = 90 – x + x 
3x = 90
Dividimos por 3 nos dois 
lados da igualdade para manter 
a balança em equilíbrio:
3
3
90
3
x = .
x = 30.
Orientação para RA
Nesta Realidade 
aumentada, para que os 
alunos entendam a importância 
das expressões algébricas e 
reconheçam que elas facilitam 
a compreensão dos cálculos 
efetuados em algumas situa-
ções, eles deverão encontrar as 
fórmulas para cálculo de áreas 
de algumas figuras planas.
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122 MATEMÁTICA
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Valor numérico de uma expressão algébrica
Quando temos uma expressão algébrica para representar uma situação e podemos substituir as 
variáveis por números para efetuar as operações indicadas, obtemos o valor numérico dessa expressão.
  Exemplo:
Considere o retângulo cujas dimensões são x e y.
A área de um retângulo é dada pelo produto de suas dimensões. Assim, nesse caso, a área do retângulo 
é representada pela expressão algébrica: x · y.
Quando o comprimento do retângulo é 5 cm e a largura é 3 cm, a área é de: 
x · y = (5 cm) · (3 cm) = 15 cm2
Dizemos, então, que 15 é o valor numérico da expressão x · y, quando x = 5 e y = 3.
Códigos de guerra ou equações matemáticas?
O matemático francês François Viète, nascido em 1540, conselheiro do rei da França Henrique IV, 
durante a guerra contra a Espanha, decifrava os códigos secretos por meio da Matemática. Para 
ele, decifrar códigos era o mesmo que resolver equações.
Veja uma tabela de codificação.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a b c d e f g h i j
l m n o p q r s t u
v x z
Para decifrar uma mensagem secreta, como: 40103 = 47402730, substituímos os números 
pelas letras. Assim:
4 0 1 0 3 = 4 7 4 0 2 7 3 0
e a b a d é e h e a c h d a
p l m l o p s p l n s o l
v x v v z v
A mensagem decifrada é: Pablo é espanhol.
Agora é sua vez! Utilizando a tabela de codificação a seguir, decifre a mensagem.
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a e i o u b c d f g
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v x z
7351793 = 1491401273
DESENVOLVER E APLICAR
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1. Em uma caixa há 30 canetas esferográficas. Se eu comprar x dessas caixas mais 7 canetas avul-
sas, qual será a expressão literal que representa a quantidade de canetas que vou comprar?
  Solução:
 1 caixa = 30 canetas
x caixas = 30x canetas
Total de canetas = 30 · x + 7
Portanto, a expressão literal é: 30x + 7.
2. Escreva as expressões algébricas que expressam o perímetro e a área da figura a seguir.
  Solução:
Perímetro: p = x + y + x + y + y + x + y + x = 4x + 4y
Área: A = x · y + x · x + x · y = 2xy + x²
Logo, as expressões algébricas que expressam o perímetro e a área 
são 4x + 4y e 2xy + x², respectivamente. 
COLOCANDO EM PRÁTICA
x
x
x x
y y
 
1. Represente, de forma simbólica, as frases a seguir.
a) A subtração de três números consecutivos: 
b) O quadrado da soma de dois números: 
c) A soma dos cubos de dois números: 
2. (IFSP-2017) O perímetro de um triângulo é de 36 dm. As medidas são expressas por três nú-
meros inteiros consecutivos. Assinale a alternativa que apresenta quanto mede o menor lado 
do triângulo.
a) 9 dm
b) 10 dm
c) 11 dm
d) 12 dm
e) 13 dm
3. Observe a figura a seguir cujas dimensões são dadas em centímetros. Escreva a expressão al-
gébrica que representa a área dessa figura em centímetros quadrados.
 
ATIVIDADES
x
3
2
x
Encaminhamento 
metodológico
Na seção Colocando 
em prática, exploramos um 
problema por meio de contex-
tualização e outro problema a 
respeito de área.
Resposta
1. 
a) a – (a + 1) – (a + 2) = – a – 3 
b) (a + b)²
c) a³ + b³
2. C
3. Área total: (x² + 6) cm²
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Valor numérico de uma expressão algébrica
Quando temos uma expressão algébrica para representar uma situação e podemos substituir as 
variáveis por números para efetuar as operações indicadas, obtemos o valor numérico dessa expressão.
  Exemplo:
Considere o retângulo cujas dimensões são x e y.
A área de um retângulo é dada pelo produto de suas dimensões. Assim, nesse caso, a área do retângulo 
é representada pela expressão algébrica: x · y.
Quando o comprimento do retângulo é 5 cm e a largura é 3 cm, a área é de: 
x · y = (5 cm) · (3 cm) = 15 cm2
Dizemos, então, que 15 é o valor numérico da expressão x · y, quando x = 5 e y = 3.
Códigos de guerra ou equações matemáticas?
O matemático francês François Viète, nascido em 1540, conselheiro do rei da França Henrique IV, 
durante a guerra contra a Espanha, decifrava os códigos secretos por meio da Matemática. Para 
ele, decifrar códigos era o mesmo que resolver equações.
Veja uma tabela de codificação.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a b c d e f g h i j
l m n o p q r s t u
v x z
Para decifrar uma mensagem secreta, como: 40103 = 47402730, substituímos os números 
pelas letras. Assim:
4 0 1 0 3 = 4 7 4 0 2 7 3 0
e a b a d é e h e a c h d a
p l m l o p s p l n s o l
v x v v z v
A mensagem decifrada é: Pablo é espanhol.
Agora é sua vez! Utilizando a tabela de codificação a seguir, decifre a mensagem.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
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7351793 = 1491401273
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1. Em uma caixa há 30 canetas esferográficas. Se eu comprar x dessas caixas mais 7 canetas avul-
sas, qual será a expressão literal que representa a quantidade de canetas que vou comprar?
  Solução:
 1 caixa = 30 canetas
x caixas = 30x canetas
Total de canetas = 30 · x + 7
Portanto, a expressão literal é: 30x + 7.
2. Escreva as expressões algébricas que expressam o perímetro e a área da figura a seguir.
  Solução:
Perímetro: p = x + y + x + y + y + x + y + x = 4x + 4y
Área: A = x · y + x · x + x · y = 2xy + x²
Logo, as expressões algébricas que expressam o perímetro e a área 
são 4x + 4y e 2xy + x², respectivamente. 
COLOCANDO EM PRÁTICA
x
x
x x
y y
 
1. Represente, de forma simbólica, as frases a seguir.
a) A subtração de três números consecutivos: 
b) O quadrado da soma de dois números: 
c) A soma dos cubos de dois números: 
2. (IFSP-2017) O perímetro de um triângulo é de 36 dm. As medidas são expressas por três nú-
meros inteiros consecutivos. Assinale a alternativa que apresenta quanto mede o menor lado 
do triângulo.
a) 9 dm
b) 10 dm
c) 11 dm
d) 12 dm
e) 13 dm
3. Observe a figura a seguir cujas dimensões são dadas em centímetros. Escreva a expressão al-
gébrica que representa a área dessa figura em centímetros quadrados.
 
ATIVIDADES
x
3
2
x
Encaminhamento metodológico
 Neste momento, apresentamos como é possível obter o valor de uma expres-
são algébrica com duas variáveis, com o objetivo de resolver e de elaborar problemas 
que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas utilizando as 
propriedades das operações, desenvolvendo, assim, a habilidade EF08MA06 da BNCC.
Resposta
A resposta para a seção Desenvolver e aplicar é: 
Decodificando 7351793 = 1491401273 encontraremos Roberto é engenheiro.
Orientação para RA
Esta Realidade aumentada traz a proposta de substituir a variável por um valor. 
Atividades como essa são importantes para investigar o que o aluno entendeu sobre o 
assunto.
Dica para ampliar 
o trabalho
“A palavra criptografia 
é composta de dois termos 
gregos kryptos (kyptos – secreto, 
escondido, oculto) e grapho 
(grapho – escrita, grafia). Ela é 
a ciência (ou arte) de escrever 
uma mensagem original em 
cifras ou códigos, tornando-a 
incompreensível e difícil de 
ser decifrada ou decodificada. 
A criptografia é o estudo de 
técnicas matemáticas, relacio-
nadas com a confidencialidade, 
integridade, autenticaçãode 
dados, ou seja, consiste na 
substituição de dados num 
código secreto como medida 
de segurança para que possam 
existir comunicações seguras. 
O mais interessante é que a 
metodologia da criptografia 
não mudou muito até meados 
do século XX. Somente depois da 
Segunda Guerra Mundial, com o 
aparecimento do computador, a 
área realmente floresceu utili-
zando algoritmos matemáticos 
mais sofisticados, o que tornou 
difícil a resolução e exigiu um 
conhecimento mais aprofundado 
dos conceitos matemáticos. Na 
verdade, a criptografia formou a 
base para a ciência da computa-
ção moderna. [...]”
FREIRE, Paloma Barbosa; 
CASTILHO, José Eduardo. A 
matemática dos códigos 
criptografados. Disponível em: 
http://url.sae.digital/sG4aZk2. 
Acesso em: 24 jul. 2019. Adaptado.
Sugestão de atividade
Solicite aos alunos que 
criem outros códigos e façam 
frases. Depois, eles devem 
trocar as frases codificadas com 
os colegas para que eles as 
decifrem.
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 123 15/09/2020 17:28:39
124 MATEMÁTICA
125MATEMÁTICA
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 3. Em uma lanchonete, para agilizar no momento de registrar os pedidos, os funcionários criaram 
um código para os três combinados vendidos:
Produto Combinado 1 Combinado 2 Combinado 3
Preço R$17,00 R$18,50 R$21,90
a) Se comprarmos 2 combinados 1, 3 combinados 2 e 1 combinado 3, qual será o valor gasto?
b) Agora, se comprarmos x combinado 1, y combinado 2 e z combinado 3, qual será a expres-
são algébrica que representa esse gasto?
 
1. Expresse algebricamente as áreas e os perímetros das figuras a seguir (as medidas estão em 
centímetros).
a) 
A
b
B
2
9
b) 
C
A
b
D
B
1
z
y
2. Escreva utilizando símbolos matemáticos:
a) O dobro do número a somado com a metade de b.
b) O número x menos o seu inverso.
c) A soma dos quadrados dos números a, b e c.
d) A raiz quadrada da soma dos números x e y.
3. Calcule o valor numérico das expressões algébricas a seguir.
a) 3ab, para a = 2 e b = –3. b) 
a b
a
�
�
3
12 , para a = 3 e b = –2.
d) 2 2x y− , para x = –1 e y = –7. c) 2x3y – 3x2 + 4y, para x = 2 e y = 3.
4. Calcule o valor numérico de (x + y)2 e o de x2 + y2, em cada caso.
a) x = 3 e y = 4
d) x = 0 e y = 9
b) x = –7 e y = 7
e) x = y = 1
c) x = 6 e y = –5
f ) x = 1,1 e y = 0,4
5. Escreva (V) verdadeira ou (F) falsa de acordo com a classificação das expressões.
 ) ( 2ab + 5b2, racional inteira. 
 ) ( x y z+ + , irracional.
 ) (
7 8
2x y
+ , racional inteira. 
 ) ( 8ab2 + 7a – b, racional inteira.
 ) ( 3 2x x+ , irracional. 
 ) ( 2
3 2
x y
+ , racional fracionária.
 ) ( 9ab – 10b2 –1, racional fracionária. 
 ) (
3
1
�
�
a
b
, racional fracionária.
6. Para que valores de x a expressão algébrica não é um número real?
a) 
xb b
x
�
�
3
2
b) 
1 7
3
2� �
�
b x
x
c) 
x x
x
3 2 5
2 1
� �
�
VAMOS PRATICAR MAIS?
124 MATEMÁTICA
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01
 
Classificação de expressões algébricas
As expressões algébricas podem ser classificadas de acordo com a disposição da parte literal. 
Observe a tabela:
Exemplos Característica Classificação
3x – 2y, x y
2
2+ Não contêm variável no 
denominador. Expressões algébricas racionais inteiras.
x y
x
−
, 
a
x
+1
2
Contêm variável no 
denominador. Expressões algébricas racionais fracionárias.
2 4 5x a a+ +, Contêm variável dentro 
do radical. Expressões algébricas irracionais.
Para que uma expressão algébrica racional fracionária represente um número real, o 
denominador deve ser diferente de zero. E para que uma expressão algébrica irracional 
represente um número real, o radicando deve ser maior ou igual a zero.
1. Um polígono de seis lados apresenta quatro lados de comprimento x e dois lados de compri-
mento x + 1.
a) Represente o perímetro desse polígono utilizando expressão algébrica.
b) Calcule o valor numérico do perímetro para x = 10 e para x = 12,5.
2. Observe a figura a seguir cujas dimensões são dadas em centímetros. Escreva a expressão al-
gébrica que representa a área dessa figura em centímetros quadrados. Depois, suponha que 
x = 6 e y = 3 e calcule o valor numérico dessa expressão.
8
3
x
y
ATIVIDADES
 
O gasto mensal de energia de um aparelho elétrico é dado pela expressão: G = P · H · D
1 000
, em que: 
 • G é o gasto em quilowatt-hora (kWh);
 • P é a potência do aparelho elétrico em watt (W);
 • H é o número de horas que o aparelho elétrico funciona por dia;
 • D é o número de dias que o aparelho elétrico funciona por mês.
Com seus colegas, elabore uma situação-problema envolvendo a expressão algébrica 
apresentada. Troquem suas situações elaboradas e as resolvam. 
INTERAÇÃO
Para x = 12,5, temos o perímetro igual a 77.
2. 8x + 3y 
O valor numérico é 57.
Encaminhamento 
metodológico
Na seção Interação, vamos 
utilizar uma expressão real e 
uma situação real para aplicar o 
conceito do valor numérico de 
uma expressão. 
Comente com os alunos 
que quando uma expressão 
algébrica é racional fracionária 
ou irracional, nem sempre 
é possível determinar seu 
valor numérico. Sempre que 
o denominador se tornar zero 
ou o radicando for negativo, a 
expressão algébrica não terá 
valor real, pois a divisão por zero 
não tem significado e não existe 
raiz de índice par de números 
negativos no conjunto dos 
números reais.
Por exemplo:
1. A expressão algébrica 
 
5
1
y
y −
 para y = 1 não tem valor 
numérico, pois:
5 1
1 1
5
0
⋅
−
= ∃
2. A expressão algébrica 
2 3x + para x = –2 não tem 
valor numérico, pois:
2 3 2 2 3 4 3 1x + = ⋅ − + = − + = − ∃( ) 
2 3 2 2 3 4 3 1x + = ⋅ − + = − + = − ∃( ) 
Solicite aos alunos que 
escolham um aparelho elétrico 
e pesquisem informações a 
respeito dele. Essa pesquisa 
pode ser realizada em sala de 
aula, utilizando sites de busca, 
mas, caso prefira, traga essas 
informações relacionadas aos 
aparelhos mais utilizados no 
nosso dia a dia, como chuveiro 
elétrico refrigerador e máquina 
de lavar roupa. Nessa situação, 
os alunos podem comparar 
gastos mensais com aparelhos 
elétricos, analisando a potência 
ou o tempo de utilização de 
cada um.
Resposta
1. 
a) Perímetro 6x + 2.
b) Para x = 10, temos o 
perímetro igual a 62.
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125MATEMÁTICA
125MATEMÁTICA
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_M
AT
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1_
U
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01
 3. Em uma lanchonete, para agilizar no momento de registrar os pedidos, os funcionários criaram 
um código para os três combinados vendidos:
Produto Combinado 1 Combinado 2 Combinado 3
Preço R$17,00 R$18,50 R$21,90
a) Se comprarmos 2 combinados 1, 3 combinados 2 e 1 combinado 3, qual será o valor gasto?
b) Agora, se comprarmos x combinado 1, y combinado 2 e z combinado 3, qual será a expres-
são algébrica que representa esse gasto?
 
1. Expresse algebricamente as áreas e os perímetros das figuras a seguir (as medidas estão em 
centímetros).
a) 
A
b
B
2
9
b) 
C
A
b
D
B
1
z
y
2. Escreva utilizando símbolos matemáticos:
a) O dobro do número a somado com a metade de b.
b) O número x menos o seu inverso.
c) A soma dos quadrados dos números a, b e c.
d) A raiz quadrada da soma dos números x e y.
3. Calcule o valor numérico das expressões algébricas a seguir.
a) 3ab, para a = 2 e b = –3. b) 
a b
a
�
�
3
12 , para a = 3 e b = –2.
d) 2 2x y− , para x = –1 e y = –7. c) 2x3y – 3x2 + 4y, para x = 2 e y = 3.
4. Calcule o valor numérico de (x + y)2 e o de x2 + y2, em cada caso.
a) x = 3 e y = 4
d) x = 0 e y = 9
b) x = –7 e y = 7
e) x = y = 1
c) x = 6 e y = –5
f ) x = 1,1 e y = 0,4
5. Escreva (V) verdadeira ou (F) falsa de acordo com a classificação das expressões.
 ) ( 2ab + 5b2, racional inteira. 
 ) ( x y z+ + , irracional.
 ) (
7 8
2x y
+ , racional inteira. 
 ) ( 8ab2 + 7a – b, racional inteira.
 ) ( 3 2x x+ , irracional. 
 ) ( 2
3 2
x y
+ , racional fracionária.
 ) ( 9ab – 10b2 –1, racional fracionária. 
 ) (
3
1
�
�
a
b
, racional fracionária.
6. Para que valores de x a expressão algébrica não éum número real?
a) 
xb b
x
�
�
3
2
b) 
1 7
3
2� �
�
b x
x
c) 
x x
x
3 2 5
2 1
� �
�
VAMOS PRATICAR MAIS?
124 MATEMÁTICA
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3_
01
 
Classificação de expressões algébricas
As expressões algébricas podem ser classificadas de acordo com a disposição da parte literal. 
Observe a tabela:
Exemplos Característica Classificação
3x – 2y, x y
2
2+ Não contêm variável no 
denominador. Expressões algébricas racionais inteiras.
x y
x
−
, 
a
x
+1
2
Contêm variável no 
denominador. Expressões algébricas racionais fracionárias.
2 4 5x a a+ +, Contêm variável dentro 
do radical. Expressões algébricas irracionais.
Para que uma expressão algébrica racional fracionária represente um número real, o 
denominador deve ser diferente de zero. E para que uma expressão algébrica irracional 
represente um número real, o radicando deve ser maior ou igual a zero.
1. Um polígono de seis lados apresenta quatro lados de comprimento x e dois lados de compri-
mento x + 1.
a) Represente o perímetro desse polígono utilizando expressão algébrica.
b) Calcule o valor numérico do perímetro para x = 10 e para x = 12,5.
2. Observe a figura a seguir cujas dimensões são dadas em centímetros. Escreva a expressão al-
gébrica que representa a área dessa figura em centímetros quadrados. Depois, suponha que 
x = 6 e y = 3 e calcule o valor numérico dessa expressão.
8
3
x
y
ATIVIDADES
 
O gasto mensal de energia de um aparelho elétrico é dado pela expressão: G = P · H · D
1 000
, em que: 
 • G é o gasto em quilowatt-hora (kWh);
 • P é a potência do aparelho elétrico em watt (W);
 • H é o número de horas que o aparelho elétrico funciona por dia;
 • D é o número de dias que o aparelho elétrico funciona por mês.
Com seus colegas, elabore uma situação-problema envolvendo a expressão algébrica 
apresentada. Troquem suas situações elaboradas e as resolvam. 
INTERAÇÃO
Resposta
As respostas para a seção Atividades são:
3. 
a) R$111,40 b) 17x + 18,5y + 21,9z
As respostas para a seção Vamos praticar mais? são:
1. 
a) Área: 9b + 18
Perímetro: 2b + 22
b) Área: yb + y + zb + z
Perímetro: 2z + 2y + 2b + 2
2. 
a) 2
2
a
b+ b) x
x
- 1
c) a2 + b2 + c2 d) x y+
3. 
a) –18
b) -3
8
c) 48 
d) 3
4. As respostas para os valores 
numéricos das expressões 
seguem a ordem (x + y)2 e 
x2 + y2.
a) 49 e 25.
b) 0 e 98.
c) 1 e 61.
d) 81 e 81.
e) 4 e 2.
f ) 2,25 e 1,37.
5. As respostas estão no Livro 
do aluno.
6. 
a) a = 2, pois 2 – 2 = 0 e o 
denominador não pode ser 
igual a zero.
b) a = –3, pois –3 + 3 = 0 e o 
denominador não pode ser 
igual a zero.
c) a = 
1
2
, pois 2 · 
1
2
 –1 = 0 e 
o denominador não pode ser 
igual a zero.
Sugestão de atividade
Calcule o valor numérico 
da expressão x² + 4x – 5 para os 
seguintes valores de x:
a) 2
 ` Solução: 
7
b) –1
 ` Solução: 
–8
c) 
1
3
 ` Solução: 
–
32
9
d) −
1
2
 ` Solução: 
−
27
4
V
V
F
V
V
F
F
V
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126 MATEMÁTICA
126 MATEMÁTICA
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01
Expressões literais – Relacionando conceitos
EXPRESSÕES
algébricas numéricas
variável
simplificar
x + x + x + x = 4x 3x = 18 → x = 6
encontrar seu valor numérico
apresentam apenascontêm
números
2 · (5) + 2 · (4)
podemos
exemplo exemplo
podem ser
exemplo
 
variável
numéricas
simplificar encontrar seu valor numérico
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 126 15/09/2020 17:29:05
127MATEMÁTICA
Alf Ribeiro/Shutterstock
un
idade
Fluxo intenso 
de carros.
127
2. Monômios
Está cada vez mais difícil circular pelos grandes centros em um veículo. A quantidade de automóveis 
por pessoa chega a 1:4. Isso significa que, para quatro habitantes, há um carro. Em 2016, Curitiba, capital 
paranaense, apresentou a relação aproximada de um carro para cada 1,5 pessoa, o que significa que temos 
dois carros para cada três pessoas. Para reverter essa situação, o ideal é que a população se conscientize da 
importância de utilizar o transporte público. Outra opção, não tão eficiente, é recorrer a táxis. Mas, nesse 
caso, há um valor para cada quilômetro rodado. 
Como podemos calcular o quanto se paga por uma corrida de 6 quilômetros em uma cidade sabendo 
que o preço cobrado por quilômetro rodado é R$2,25? E para calcular qualquer valor? 
3
• Composição de um monômio
• Monômios semelhantes
• Grau de um monômio
• Operações com monômios
Polinômios
Escola Digital
Objetivos do capítulo
 • Reconhecer, em um monômio, o coeficiente, a parte literal e o grau.
 • Identificar os termos semelhantes em uma expressão.
 • Realizar as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação 
com os termos de um monômio.
Realidade aumentada
 • Monômios com o mesmo grau
 • Operações entre monômios
Encaminhamento 
metodológico
Neste capítulo, 
desenvolveremos a habilidade 
EF08MA06 da BNCC, que 
tem como objetivo resolver e 
elaborar problemas que envol-
vam cálculo do valor numérico 
de expressões algébricas, 
utilizando as propriedades 
das operações. Este capítulo 
tem foco na exploração e na 
representação de monômios.
Na pergunta inicial, é 
possível explorar se o aluno 
consegue elaborar um monô-
mio para resolver a situação. A 
resposta ao questionamento é: 
“o valor a ser pago é R$13,50 e, 
para calcular qualquer valor, a 
expressão é 2,25x”.
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02
 
Operações com monômios
Para efetuarmos operações entre monômios, devemos observar seus termos e, principalmente, 
sua parte literal. Observe como devemos proceder quando vamos somar ou subtrair e quando vamos 
multiplicar ou dividir monômios.
Adição e subtração
Só podemos efetuar a adição e a subtração de monômios entre termos semelhantes. Quando os 
termos envolvidos na operação de adição ou subtração não forem semelhantes, deixamos a operação 
indicada. 
Veja um exemplo: 
A figura a seguir é composta de retângulos com medida x e y.
x
x
yy
y
Calculando o perímetro da figura acima, temos: x + 2y + 2x + y + x + y . Separando os termos 
semelhantes e os adicionando, temos: 
x + x + 2x = 4x e y + y + 2y = 4y
Logo, o perímetro é 4x + 4y.
Dois ou mais termos semelhantes podem ser reduzidos ao efetuar as operações indicadas, 
ou seja, ao adicionar algebricamente os coeficientes e manter a parte literal.
Quando adicionamos algebricamente os monômios semelhantes (termos semelhantes) que existem 
em uma expressão, simplificando-a, dizemos que estamos reduzindo termos semelhantes.
1. Um retângulo apresenta área igual a 42ab2x3. Qual é o grau do monômio apresentado? 
2. Escreva um monômio que tenha o coeficiente igual ao do monômio 3x4y e seja semelhante 
ao monômio –2ab3c. 
3. Dê o grau de cada um dos seguintes monômios:
a) 7x³ 
d) – 8b
b) –2x4 
e) 3x2yz3
c) 96a3
f ) 9abcd
ATIVIDADES
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_M
AT
_L
1_
U
3_
02
Composição de um monômio
Observe a seguinte situação: 
Rafaela deseja reformar o seu banheiro e, para isso, ela colocará lajotas 
novas. As dimensões de cada lajota são x e y, em centímetros. O novo piso 
terá 3 lajotas na largura e 5 no comprimento. Assim, o comprimento do 
chão do banheiro é 5y, a largura é 3x e a área é 15xy cm².
As expressões 3x, 5y e 15xy cm² são chamadas de monômios ou 
termos algébricos.
Expressões algébricas que têm um único termo são chamadas de monômios. Elas podem apresentar 
ou não a parte literal ou parte numérica.
Em um monômio, a parte numérica é chamada de coeficiente numérico, e a variável ou o pro-
duto das variáveis (inclusive seu expoente) é denominada parte literal.
  Exemplos:
2x
2
3 x2y
Parte numérica
Parte numérica
Parte literal Parte literal
Nos casos em que o monômio é formado apenas por um número real, dizemos que são monô-
mios sem parte literal. E quando o coeficiente de um monômio é zero, ele representa o número real 
zero e é chamado de monômio nulo. 
  Exemplos:
0x = 0 0ab= 0 0x3y2 = 0 –7 10 
2
3 3 2
Monômios nulos Monômios sem a parte literal
Monômios semelhantes
Dois ou mais monômios (ou termos algébricos) são semelhantes quando os expoentes são iguais, 
têm a mesma parte literal, ou não têm parte literal. 
  Exemplos:
 • 3x e –7x são monômios semelhantes, pois apresentam a mesma parte literal: x.
 • –2ab e 5ab são monômios semelhantes, pois apresentam a mesma parte literal: ab.
 • 5x2y e 2xy3 não são monômios semelhantes, pois não apresentam a mesma parte literal: x2y e xy3.
Grau de um monômio
O grau de um monômio com coeficiente não nulo é dado pela soma dos expoentes da parte literal. 
  Exemplos:
 • 5x2y3 é um monômio de 5.º grau (soma dos expoentes das variáveis x e y: 2 + 3 = 5).
 • –3ab é um monômio do 2.º grau (soma dos expoentes das variáveis a e b: 1 + 1= 2).
 • 10x3 é um monômio do 3.º grau (tem apenas a variável x: 3).
 • 5 é um monômio de grau zero (não tem parte literal).
x
5y
y
3x
SA
E 
D
IG
IT
A
L 
S/
A
Orientação para RA
Nesta Realidade aumentada, os alunos devem relacionar os monômios com o 
mesmo grau.
Encaminhamento 
metodológico
Converse com os alunos a 
respeito da situação-problema 
e explore-a com outros valores. 
Destaque o fato de que um 
monômio apresenta somente 
um termo algébrico, ou seja, 
um monômio é uma expressão 
algébrica definida apenas pela 
multiplicação entre o coefi-
ciente e a parte literal. Realize 
mais exemplos.
Quando estiver 
trabalhando com monômios 
semelhantes, escreva alguns 
monômios semelhantes e não 
semelhantes no quadro. Depois, 
pergunte aos alunos quais são 
semelhantes e o porquê da 
semelhança.
 ` Exemplos:
2x –3ay 4b2 
2
3
 x2y 7 2
2x → coeficiente: 2 e parte literal: 
x.
–3ay → coeficiente: –3 e parte 
literal: ay.
4b2 → coeficiente: 4 e parte literal: 
b2.
 2
3
 x2y → coeficiente: 2
3
 e parte 
literal: x2y.
7 2 → coeficiente: 7 2 e parte 
literal: não há.
Destaque que o grau de 
um monômio pode ser dado 
em relação a uma das variáveis. 
Nesse caso, o grau é igual ao 
expoente da variável. Assim:
 • o monômio 3x3y2 é do 3.º 
grau em relação à variável 
x e do 2.º grau em relação à 
variável y.
 • o monômio –5a4b3 é do 4.º 
grau em relação à variável 
a e do 3.º grau em relação à 
variável b.
Perceba que o grau é 
definido somente para uma 
expressão racional e inteira. 
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 128 15/09/2020 17:29:17
129MATEMÁTICA
129MATEMÁTICA
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02
 
Operações com monômios
Para efetuarmos operações entre monômios, devemos observar seus termos e, principalmente, 
sua parte literal. Observe como devemos proceder quando vamos somar ou subtrair e quando vamos 
multiplicar ou dividir monômios.
Adição e subtração
Só podemos efetuar a adição e a subtração de monômios entre termos semelhantes. Quando os 
termos envolvidos na operação de adição ou subtração não forem semelhantes, deixamos a operação 
indicada. 
Veja um exemplo: 
A figura a seguir é composta de retângulos com medida x e y.
x
x
yy
y
Calculando o perímetro da figura acima, temos: x + 2y + 2x + y + x + y . Separando os termos 
semelhantes e os adicionando, temos: 
x + x + 2x = 4x e y + y + 2y = 4y
Logo, o perímetro é 4x + 4y.
Dois ou mais termos semelhantes podem ser reduzidos ao efetuar as operações indicadas, 
ou seja, ao adicionar algebricamente os coeficientes e manter a parte literal.
Quando adicionamos algebricamente os monômios semelhantes (termos semelhantes) que existem 
em uma expressão, simplificando-a, dizemos que estamos reduzindo termos semelhantes.
1. Um retângulo apresenta área igual a 42ab2x3. Qual é o grau do monômio apresentado? 
2. Escreva um monômio que tenha o coeficiente igual ao do monômio 3x4y e seja semelhante 
ao monômio –2ab3c. 
3. Dê o grau de cada um dos seguintes monômios:
a) 7x³ 
d) – 8b
b) –2x4 
e) 3x2yz3
c) 96a3
f ) 9abcd
ATIVIDADES
128 MATEMÁTICA
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02
Composição de um monômio
Observe a seguinte situação: 
Rafaela deseja reformar o seu banheiro e, para isso, ela colocará lajotas 
novas. As dimensões de cada lajota são x e y, em centímetros. O novo piso 
terá 3 lajotas na largura e 5 no comprimento. Assim, o comprimento do 
chão do banheiro é 5y, a largura é 3x e a área é 15xy cm².
As expressões 3x, 5y e 15xy cm² são chamadas de monômios ou 
termos algébricos.
Expressões algébricas que têm um único termo são chamadas de monômios. Elas podem apresentar 
ou não a parte literal ou parte numérica.
Em um monômio, a parte numérica é chamada de coeficiente numérico, e a variável ou o pro-
duto das variáveis (inclusive seu expoente) é denominada parte literal.
  Exemplos:
2x
2
3 x2y
Parte numérica
Parte numérica
Parte literal Parte literal
Nos casos em que o monômio é formado apenas por um número real, dizemos que são monô-
mios sem parte literal. E quando o coeficiente de um monômio é zero, ele representa o número real 
zero e é chamado de monômio nulo. 
  Exemplos:
0x = 0 0ab = 0 0x3y2 = 0 –7 10 
2
3 3 2
Monômios nulos Monômios sem a parte literal
Monômios semelhantes
Dois ou mais monômios (ou termos algébricos) são semelhantes quando os expoentes são iguais, 
têm a mesma parte literal, ou não têm parte literal. 
  Exemplos:
 • 3x e –7x são monômios semelhantes, pois apresentam a mesma parte literal: x.
 • –2ab e 5ab são monômios semelhantes, pois apresentam a mesma parte literal: ab.
 • 5x2y e 2xy3 não são monômios semelhantes, pois não apresentam a mesma parte literal: x2y e xy3.
Grau de um monômio
O grau de um monômio com coeficiente não nulo é dado pela soma dos expoentes da parte literal. 
  Exemplos:
 • 5x2y3 é um monômio de 5.º grau (soma dos expoentes das variáveis x e y: 2 + 3 = 5).
 • –3ab é um monômio do 2.º grau (soma dos expoentes das variáveis a e b: 1 + 1= 2).
 • 10x3 é um monômio do 3.º grau (tem apenas a variável x: 3).
 • 5 é um monômio de grau zero (não tem parte literal).
x
5y
y
3x
SA
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D
IG
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Encaminhamento metodológico
Quando estiver trabalhando com as operações com monômios, aborde sempre 
outros valores para as situações expostas no Livro do aluno. Na subtração, destaque 
o fato de que estamos utilizando uma das propriedades da adição, ou seja, estamos 
adicionando o oposto de um número. 
Recorde com os alunos as operações de adição e subtração entre frações. 
 • Denominadores iguais: quando os denominadores são iguais, os numeradores 
devem ser somados ou subtraídos de acordo com os sinais operatórios e o valor do 
denominador mantido.
 • Denominadores diferentes: quando os denominadores são diferentes, precisamos 
encontrar um denominador comum. Para isso, utilizaremos o MMC. O novo 
denominador deve ser dividido pelos denominadores atuais, multiplicando-se o 
quociente pelo numerador correspondente. Desse modo, encontraremos frações 
equivalentes às originais com 
denominadores iguais. Para 
efetuarmos a operação de 
adição ou subtração, seguimos 
os passos de “denominadores 
iguais”.
Se possível, faça os 
exemplos a seguir para reforçar 
o conhecimento dos alunos:
 • (+5ab) + (–8ab) + (+7ab) =
= 5ab – 8ab + 7ab = → 
eliminando os parênteses
→ (5 – 8 + 7)ab = → pela 
propriedade distributiva
→ 4ab
 • (–2x) + (+5y) + (+4x) + (–6y) =
= –2x + 5y + 4x – 6y = → 
eliminando os parênteses
→ –2x + 4x + 5y – 6y = 
→ agrupando os termos 
semelhantes
→ 2x – y
Na operação de multipli-
cação, recorde que uma variável 
que não apresenta potência 
está elevada a 1. Efetue outras 
operações com os alunos para 
que eles possam relembrar 
todos os casos. Destaque que, 
para efetuarmos a multiplicação 
de dois ou mais monômios, de-
vemos recordar a propriedade 
da multiplicação de potências 
de mesma base.
A partir deste momento, 
o objetivo principal é trazer 
insumos para que os alunos 
possam resolver e elaborar 
problemas que envolvam 
cálculo do valor numérico de 
expressões algébricas utilizando 
as propriedades das operações, 
conforme a habilidadeEF08MA06 da BNCC.
Resposta
1. Grau 6.
2. 3ab3c
3. 
a) Grau 3.
b) Grau 4.
c) Grau 3.
d) Grau 1.
e) Grau 6.
f ) Grau 4.
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130 MATEMÁTICA
131MATEMÁTICA
EF
21
_8
_M
AT
_L
1_
U
3_
02
Divisão de monômios
Para efetuarmos a divisão de monômios, utilizamos a propriedade da divisão de potências de 
mesma base. Assim, considere a seguinte situação:
Sabendo que área da figura ao lado é 6x2y, podemos determinar a largura 
dessa figura dividindo a área pelo comprimento 2x. Assim, temos: 6x2y
2x
 · 
Utilizando a propriedade de potências de mesma base, ficará 6x2y
2x
 = 6x2yx–1
2
 
= 6x2–1y
2
 = 6
2
1x y = 6
2
xy = 3xy.
Acabamos de efetuar a divisão entre monômios e encontramos o valor da largura: 3xy
Para determinarmos o quociente de dois monômios com o divisor não nulo, calculamos o quo-
ciente dos coeficientes numéricos e o quociente das partes literais aplicando, quando necessário, a 
propriedade do quociente de potências de mesma base.
2x
 
Candido Torquato Portinari foi um grande 
pintor brasileiro. Ao lado, observamos uma de 
suas telas de conteúdo social, chamada Café. 
Como a Matemática é uma ferramenta importante 
para o nosso dia a dia, o professor de Arte pediu 
aos alunos que dividissem a tela de Portinari em 
quatro partes: A, B, C e D. Depois, determinou 
que calculassem a área de cada uma das partes 
indicadas na figura, a soma dessas áreas e a área 
total. Faça isso também. O que você percebeu?
DESENVOLVER E APLICAR
x
A
D
x
5
5
B
C
Representação da tela de Candido Portinari 
dividida em 4 partes.
PORTINARI, Candido. Café. 1935. Óleo sobre 
tela, 130 cm X 195 cm. Museu Nacional de 
Belas Artes, Rio de Janeiro.
130 MATEMÁTICA
EF
21
_8
_M
AT
_L
1_
U
3_
02
Multiplicação de monômios
Vamos calcular a área do retângulo:
Assim: 2x · 3xy = 2 · x · 3 · x · y = (2 · 3) · (x · x · y) = 6x2y
Acabamos de efetuar multiplicação entre monômios.
Podemos dizer que:
Para determinarmos o produto de dois ou mais monômios, calculamos o produto dos coe-
ficientes numéricos e o produto das partes literais aplicando, quando necessário, a propriedade 
do produto de potências de mesma base.
Como podemos fazer a adição, a subtração e a multiplicação entre monômios? 
Eliminando os parênteses.
Pela propriedade distributiva.
Mínimo múltiplo comum.
Soma algébrica dos coefi cientes.
 • 
(–6a4b3c) · (–5a2b) · (–bc3) =
= (–6) · a4 · b3 · c · (–5) · a2 · b · (–1) · b · c3 =
= (–6) · (–5) · (–1) · a4 · a2 · b3 · b · b · c · c3 = 
= –30a6b5c4
–30 a
6
b
5
c
4
Separando os coeficientes da parte literal.
Multiplicando os coeficientes e a parte literal.
 • 
��
�
�
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�� ��
�
�
�
�
� �
� � � �
� � ��
�
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�
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� �
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� ��
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�
3
4
5
6
3
4
5
6
3
4
5
6
9 10
12
x x
x x
x
��
�
� �
�
x
x
1
12
COMO FAZE
R
2x
3xy
 
1. Determine as seguintes adições algébricas de cada operação.
a) –5a + 3a 
c) 2bc – 1
5
 bc 
b) 10am – 13am 
d) 1
2
 x2 – 2
5
 x2 
2. Calcule as seguintes somas, subtrações e multiplicações de monômios.
a) –7xy3z4 + 13xy3z4 – 4xy3z4 
c) 12x · 2xy · 3xy 
b) 1
4
 x3 – 1
2
 x3 + 1
8
 x3 
d) 7
3
 xy · 9
4
 x 
ATIVIDADES
Sugestão de atividade
Observe os monômios a 
seguir e responda ao que se 
pede.
4ab2 4a2b 3x2y3
 –3x2y3 3a2b
a) Quais deles apresentam a 
parte literal igual, ou seja, são 
semelhantes?
 ` Solução:
4a2b e 3a2b; 3x2y3 e –3x2y3.
b) Quais deles têm o mesmo 
coeficiente?
 ` Solução:
4ab2 e 4a2b; 3x2y3 e 3a2b.
c) Quais deles têm o maior grau?
 ` Solução:
3x2y3 e –3x2y3 (grau 5). 
Resposta
1. 
a) –2a
b) –3am
c) 9bc
5
d) x2
10
2. 
a) 2xy3z4
b) – x
3
8
c) 72x3y2
d) 63
12
 x2y
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AT
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1_
U
3_
02
Divisão de monômios
Para efetuarmos a divisão de monômios, utilizamos a propriedade da divisão de potências de 
mesma base. Assim, considere a seguinte situação:
Sabendo que área da figura ao lado é 6x2y, podemos determinar a largura 
dessa figura dividindo a área pelo comprimento 2x. Assim, temos: 6x2y
2x
 · 
Utilizando a propriedade de potências de mesma base, ficará 6x2y
2x
 = 6x2yx–1
2
 
= 6x2–1y
2
 = 6
2
1x y = 6
2
xy = 3xy.
Acabamos de efetuar a divisão entre monômios e encontramos o valor da largura: 3xy
Para determinarmos o quociente de dois monômios com o divisor não nulo, calculamos o quo-
ciente dos coeficientes numéricos e o quociente das partes literais aplicando, quando necessário, a 
propriedade do quociente de potências de mesma base.
2x
 
Candido Torquato Portinari foi um grande 
pintor brasileiro. Ao lado, observamos uma de 
suas telas de conteúdo social, chamada Café. 
Como a Matemática é uma ferramenta importante 
para o nosso dia a dia, o professor de Arte pediu 
aos alunos que dividissem a tela de Portinari em 
quatro partes: A, B, C e D. Depois, determinou 
que calculassem a área de cada uma das partes 
indicadas na figura, a soma dessas áreas e a área 
total. Faça isso também. O que você percebeu?
DESENVOLVER E APLICAR
x
A
D
x
5
5
B
C
Representação da tela de Candido Portinari 
dividida em 4 partes.
PORTINARI, Candido. Café. 1935. Óleo sobre 
tela, 130 cm X 195 cm. Museu Nacional de 
Belas Artes, Rio de Janeiro.
130 MATEMÁTICA
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1_
U
3_
02
Multiplicação de monômios
Vamos calcular a área do retângulo:
Assim: 2x · 3xy = 2 · x · 3 · x · y = (2 · 3) · (x · x · y) = 6x2y
Acabamos de efetuar multiplicação entre monômios.
Podemos dizer que:
Para determinarmos o produto de dois ou mais monômios, calculamos o produto dos coe-
ficientes numéricos e o produto das partes literais aplicando, quando necessário, a propriedade 
do produto de potências de mesma base.
Como podemos fazer a adição, a subtração e a multiplicação entre monômios? 
Eliminando os parênteses.
Pela propriedade distributiva.
Mínimo múltiplo comum.
Soma algébrica dos coefi cientes.
 • 
(–6a4b3c) · (–5a2b) · (–bc3) =
= (–6) · a4 · b3 · c · (–5) · a2 · b · (–1) · b · c3 =
= (–6) · (–5) · (–1) · a4 · a2 · b3 · b · b · c · c3 = 
= –30a6b5c4
–30 a
6
b
5
c
4
Separando os coeficientes da parte literal.
Multiplicando os coeficientes e a parte literal.
 • 
��
�
�
�
�
�� ��
�
�
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�
� �
� � � �
� � ��
�
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3
4
5
6
3
4
5
6
3
4
5
6
9 10
12
x x
x x
x
��
�
� �
�
x
x
1
12
COMO FAZE
R
2x
3xy
 
1. Determine as seguintes adições algébricas de cada operação.
a) –5a + 3a 
c) 2bc – 1
5
 bc 
b) 10am – 13am 
d) 1
2
 x2 – 2
5
 x2 
2. Calcule as seguintes somas, subtrações e multiplicações de monômios.
a) –7xy3z4 + 13xy3z4 – 4xy3z4 
c) 12x · 2xy · 3xy 
b) 1
4
 x3 – 1
2
 x3 + 1
8
 x3 
d) 7
3
 xy · 9
4
 x 
ATIVIDADES
Encaminhamento metodológico
Na seção Desenvolver e aplicar, peça aos alunos que criem o monômio associado 
para cada área e depois obtenham a área total. Nesse momento, eles podem somar as 
áreas já encontradas ou encontrar a área utilizando a multiplicação. Comente com os 
alunos que os dois modos estão corretos.
Na divisão de monômios, recorde a propriedade da divisão de potências de 
mesma base:
 • x7 : x3 = x · x · x · x · x · x · x : x · x · x = x4;
 • y3 : y3 = y · y · y : y · y · y = y0 = 1;
 • b2 : b5 = b · b : b · b · b · b · b = 1
b3 = b–3.
Podemos generalizar 
que o expoente da divisão das 
potências de mesma base é 
igual à diferença dos expoentes 
iniciais.
Resposta
As respostas para a seção 
Desenvolver e aplicar são: 
Áreas:
A = x2
B = 5x
C = 52 = 25
D = 5x
A + B + C + D = x2 + 10x + 
25 = (x + 5)2
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132 MATEMÁTICA
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1_
U
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02
 
Calcule as seguintes potências de monômios.
a) (–ab2)3 
c) ��
�
�
�
�
�
4
5
5 4
2
a b
e) (–mx2)3
g) (–5x2)3
b) (3x4y)4
d) (–2a4b3c)6 
f ) (–4a3c)0
h) ��
�
�
�
�
�
2
3
3 4
3
ab c
ATIVIDADES
 
Uma sequência é um conjunto (ou grupo) no qual os seus elementosestão escritos em uma 
determinada ordem.
Observe a sequência de quadrados com palitos de fósforos.
N
op
pa
nu
n 
K/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Forme dupla com um colega e respondam:
a) Quantos palitos são necessários para fazer 25 quadrados? 
b) Quantos quadrados é possível fazer com 127 palitos? 
c) Qual a fórmula que expressa a quantidade de palitos para n quadrados? Ela é um monômio? 
Por quê?
 
INTERAÇÃO
132 MATEMÁTICA
EF
21
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_M
AT
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1_
U
3_
02
 
Potenciação de monômios
Para efetuarmos a potenciação de monômios, devemos recordar a propriedade de potência de 
potências e a propriedade distributiva em relação à multiplicação. Assim, considere a seguinte 
situação:
A área do quadrado ao lado é (2xy3)2. 
Utilizando a propriedade de produto entre potências, a área será: 
22 · x2 · y3·2 = 4x2y6.
Acabamos de calcular a potenciação de monômios.
 • A potenciação de potência pode ser escrita como o produto de potências de mesma base que 
utiliza suas propriedades. 
 • O expoente da potenciação de potência é igual ao produto dos expoentes iniciais. 
 • A potenciação é distributiva em relação à multiplicação (basta multiplicar o expoente da potência 
pelos expoentes de cada fator envolvido na multiplicação).
2xy
3
1. Calcule os seguintes quocientes.
a) (–24y5) : (–6y2) b) – 
2
3 mn3 : 
4
3 mn
  Solução: 
a) 
( ) : ( )� � �
�
�
�
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�
�
24 6
24
6
4
4
5 2
5
2
5 2
3
y y
y
y
y y
y
b) ��
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2
3
4
3
2
3
4
3
2
3
4
3
3
3
mn mn
mn
mn
m
m
:
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n
m n n
n
3
1 1 3 1 2
2
2
3
3
4
2
4
1
1
2
COLOCANDO EM PRÁTICA
 
Calcule os seguintes quocientes.
a) (–25y5) : (–5y2) 
c) (14x3y3) : (2xy)
b) (–a4b2) : (2a3b)
d) (32x3yz2) : (8xyz)
ATIVIDADES
Encaminhamento 
metodológico
Destaque aos alunos 
que as potências podem ser 
escritas como um produto de 
potências de mesma base e, 
por isso, podemos utilizar suas 
propriedades. Podemos genera-
lizar, também, que o expoente 
da potenciação de potências é 
igual ao produto dos expoentes 
iniciais.
Orientação para RA
Nesta Realidade 
aumentada, os alunos deverão 
perceber que é possível ter um 
polinômio de grau 1, mesmo 
que existam vários monômios 
na sua composição (exemplo: 
x – y – z). Também devem 
entender que, para formar um 
polinômio de determinado grau, 
basta escolher um monômio do 
grau desejado e os demais de 
graus menores.
Resposta
a) 5y³
b) – 
1
2
 ab
c) 7x2y2
d) 4x2z
Sugestão de atividade
Calcule os seguintes quocientes:
a) (a4b) : (2ab)
 ` Solução:
 1
2
 a3 ‘
b) (2x³y5z2) : −





1
3
yxz
 ` Solução:
–6x2y4z
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133MATEMÁTICA
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1_
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02
 
Calcule as seguintes potências de monômios.
a) (–ab2)3 
c) ��
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4
5
5 4
2
a b
e) (–mx2)3
g) (–5x2)3
b) (3x4y)4
d) (–2a4b3c)6 
f ) (–4a3c)0
h) ��
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2
3
3 4
3
ab c
ATIVIDADES
 
Uma sequência é um conjunto (ou grupo) no qual os seus elementos estão escritos em uma 
determinada ordem.
Observe a sequência de quadrados com palitos de fósforos.
N
op
pa
nu
n 
K/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Forme dupla com um colega e respondam:
a) Quantos palitos são necessários para fazer 25 quadrados? 
b) Quantos quadrados é possível fazer com 127 palitos? 
c) Qual a fórmula que expressa a quantidade de palitos para n quadrados? Ela é um monômio? 
Por quê?
 
INTERAÇÃO
132 MATEMÁTICA
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1_
U
3_
02
 
Potenciação de monômios
Para efetuarmos a potenciação de monômios, devemos recordar a propriedade de potência de 
potências e a propriedade distributiva em relação à multiplicação. Assim, considere a seguinte 
situação:
A área do quadrado ao lado é (2xy3)2. 
Utilizando a propriedade de produto entre potências, a área será: 
22 · x2 · y3·2 = 4x2y6.
Acabamos de calcular a potenciação de monômios.
 • A potenciação de potência pode ser escrita como o produto de potências de mesma base que 
utiliza suas propriedades. 
 • O expoente da potenciação de potência é igual ao produto dos expoentes iniciais. 
 • A potenciação é distributiva em relação à multiplicação (basta multiplicar o expoente da potência 
pelos expoentes de cada fator envolvido na multiplicação).
2xy
3
1. Calcule os seguintes quocientes.
a) (–24y5) : (–6y2) b) – 
2
3 mn3 : 
4
3 mn
  Solução: 
a) 
( ) : ( )� � �
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24 6
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6
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3
4
2
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1
2
COLOCANDO EM PRÁTICA
 
Calcule os seguintes quocientes.
a) (–25y5) : (–5y2) 
c) (14x3y3) : (2xy)
b) (–a4b2) : (2a3b)
d) (32x3yz2) : (8xyz)
ATIVIDADES
Resposta
As respostas para a seção Atividades são:
a) –a3b6
b) 81x16y4
c) 
16
25
10 8a b
d) 64a24b18c6
e) –m3x6
f ) 1
g) –125x6
h) - 8
27
3 9 12a b c
As respostas para a seção 
Interação são:
a) 76 palitos.
b) 42 quadrados.
c) 3n + 1 não é um monômio, 
porque não tem um único 
termo.
Encaminhamento 
metodológico
Na seção Interação, há 
uma atividade investigativa 
para trabalhar com sequências 
e monômios. Se possível, leve 
palitos de fósforos para que 
os alunos simulem algumas 
situações.
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 133 15/09/2020 17:29:40
134 MATEMÁTICA
135MATEMÁTICA
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1_
U
3_
02
 4. O dono de uma loja de esporte compra alguns produtos por x reais a dúzia e revende cada 
produto por 
x
9
 reais. Qual é o seu lucro em reais para cada produto?
5. Na figura ao lado, a área do pentágono menor é representada por y2
6
, 
e a área do pentágono maior é representada por 4y².
Determine a área da parte pintada de azul.
6. Se você dividir (–7y +10y +2y) por (–10y² – 15y²), que monômio você encontrará?
7. Observe a figura a seguir.
5 4x
3x
a) Escreva a expressão que representa a soma das áreas dos retângulos.
b) Calcule 3x · (4x + 5).
c) Compare os resultados obtidos nos dois últimos itens. O que você percebeu?
8. O número de bactérias existentes em determinada fruta é dado pelo monômio 2a2b3. Sabendo 
que cada bactéria se divide em outras duas a cada 1 minuto, calcule o monômio que representa 
a quantidade de bactérias depois de 5 minutos.
9. Calcule a área de cada quadrado de lados:
a) (3xy) b) (9m2n) 
 
1. A fórmula que permite calcular a área de um triângulo equilátero é dada pela expressão: 

2 3
4
, 
cujo lado tem por medida .
a) Escreva o coeficiente desse monômio. 
b) Escreva a parte literal desse monômio.
VAMOS PRATICAR MAIS?
134 MATEMÁTICA
EF
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1_
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3_
02
 
1. Para o retângulo seguinte, escreva uma expressão simplificada que represente o perímetro e 
a área.
5x
3
2
 x
2. Considere o retângulo formado por quadradinhos de lado z.
a) Quais são as medidas do comprimento e da largura desse 
retângulo?
b) Qual é a área do retângulo?
3. O número de cada retângulo na pirâmide mágica é obtido pela adição dos números dos dois 
retângulos situados abaixo. Escreva uma expressão simplificada no retângulo superior.
a) 
–2x –7x –x
–8x
b) 
1
2 
x x
4x
3x
ATIVIDADES
Z
Z
 
Na cidade de Teresina (PI), existe o projeto Matemática Transforma Você, em que os alunos 
ministram aulas para outros alunos e acompanham os jovens nos exercícios durante os finais de 
semana, em salas de aulas.
Estudante [...] do ensino fundamental [...], Luana dos Santos Costa estava encontrando 
dificuldades na disciplina Matemática e tirando notas baixas. [...] 
Para enfrentar os problemas surgidos na sala de aula, Luana dos Santos Costa pro-
curou os professores, estudantes universitários e alunos do Ensino Médio que criaram o 
Matemática Transforma Você, que ministra aulas e acompanha osjovens nos exercícios 
durante os finais de semana em salas de aulas [...].
No silêncio do colégio, durante os dias do final de semana, os estudantes e os pro-
fessores ocupam salas de aula para que os alunos respondam os exercícios monitorados 
pelos docentes e tutores.
 RIBEIRO, Efrém. Professores e estudantes se unem para ajudar alunos da região do Parque 
Brasil a superarem as dificuldades com matemática nas escolas. Meio Norte. 30 ago. 2015. 
Disponível em: http://url.sae.digital/2ymmmiP. Acesso em: 24 jul. 2019.
Como no exemplo, vamos fazer um Grupo da Matemática em sua escola? Como você organi-
zaria esse grupo? Converse com os seus colegas, discutam como vocês podem montar o grupo e 
coloquem as ideias em ação! Lembre-se de que esse evento deve ser registrado com fotografias e 
descrição das atividades desenvolvidas.
TER ATITUDEEncaminhamento 
metodológico
Na seção Ter atitude, 
é proposta a criação de um 
grupo de estudos. Ele pode 
ser feito durante o intervalo 
das aulas, durante um período 
predeterminado ou em um 
sábado, como apresentado na 
reportagem. 
Para organizar o grupo 
de estudos, é possível dividir a 
turma em grupos.
 • Grupo 1: os alunos que 
têm maior afinidade com a 
Matemática são os tutores.
 • Grupo 2: um grupo de 
alunos para organizar a sala e 
as filas.
 • Grupo 3: organizadores do 
evento.
 • Grupo 4: divulgadores do 
evento.
Resposta
1. Perímetro: 13x
Área: 15x2
2
 
2. 
a) Comprimento: 4z
 Largura: 2z
b) 8z²
3. As respostas estão no Livro 
do aluno. –17x
–9x
11 x
2
3 x
2
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135MATEMÁTICA
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 4. O dono de uma loja de esporte compra alguns produtos por x reais a dúzia e revende cada 
produto por 
x
9
 reais. Qual é o seu lucro em reais para cada produto?
5. Na figura ao lado, a área do pentágono menor é representada por y2
6
, 
e a área do pentágono maior é representada por 4y².
Determine a área da parte pintada de azul.
6. Se você dividir (–7y +10y +2y) por (–10y² – 15y²), que monômio você encontrará?
7. Observe a figura a seguir.
5 4x
3x
a) Escreva a expressão que representa a soma das áreas dos retângulos.
b) Calcule 3x · (4x + 5).
c) Compare os resultados obtidos nos dois últimos itens. O que você percebeu?
8. O número de bactérias existentes em determinada fruta é dado pelo monômio 2a2b3. Sabendo 
que cada bactéria se divide em outras duas a cada 1 minuto, calcule o monômio que representa 
a quantidade de bactérias depois de 5 minutos.
9. Calcule a área de cada quadrado de lados:
a) (3xy) b) (9m2n) 
 
1. A fórmula que permite calcular a área de um triângulo equilátero é dada pela expressão: 

2 3
4
, 
cujo lado tem por medida .
a) Escreva o coeficiente desse monômio. 
b) Escreva a parte literal desse monômio.
VAMOS PRATICAR MAIS?
134 MATEMÁTICA
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1_
U
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02
 
1. Para o retângulo seguinte, escreva uma expressão simplificada que represente o perímetro e 
a área.
5x
3
2
 x
2. Considere o retângulo formado por quadradinhos de lado z.
a) Quais são as medidas do comprimento e da largura desse 
retângulo?
b) Qual é a área do retângulo?
3. O número de cada retângulo na pirâmide mágica é obtido pela adição dos números dos dois 
retângulos situados abaixo. Escreva uma expressão simplificada no retângulo superior.
a) 
–2x –7x –x
–8x
b) 
1
2 
x x
4x
3x
ATIVIDADES
Z
Z
 
Na cidade de Teresina (PI), existe o projeto Matemática Transforma Você, em que os alunos 
ministram aulas para outros alunos e acompanham os jovens nos exercícios durante os finais de 
semana, em salas de aulas.
Estudante [...] do ensino fundamental [...], Luana dos Santos Costa estava encontrando 
dificuldades na disciplina Matemática e tirando notas baixas. [...] 
Para enfrentar os problemas surgidos na sala de aula, Luana dos Santos Costa pro-
curou os professores, estudantes universitários e alunos do Ensino Médio que criaram o 
Matemática Transforma Você, que ministra aulas e acompanha os jovens nos exercícios 
durante os finais de semana em salas de aulas [...].
No silêncio do colégio, durante os dias do final de semana, os estudantes e os pro-
fessores ocupam salas de aula para que os alunos respondam os exercícios monitorados 
pelos docentes e tutores.
 RIBEIRO, Efrém. Professores e estudantes se unem para ajudar alunos da região do Parque 
Brasil a superarem as dificuldades com matemática nas escolas. Meio Norte. 30 ago. 2015. 
Disponível em: http://url.sae.digital/2ymmmiP. Acesso em: 24 jul. 2019.
Como no exemplo, vamos fazer um Grupo da Matemática em sua escola? Como você organi-
zaria esse grupo? Converse com os seus colegas, discutam como vocês podem montar o grupo e 
coloquem as ideias em ação! Lembre-se de que esse evento deve ser registrado com fotografias e 
descrição das atividades desenvolvidas.
TER ATITUDE
Resposta
As respostas para a seção Atividades são:
4. x
36
 reais.
5. 23y2
6
6. – 1
5y
7. 
a) 12x² + 15x
b) 12x² + 15x
c) Os dois resultados são iguais.
8. 32a10b15
9. 
a) 9x2z2
b) 81m4n2
As respostas para a seção 
Vamos praticar mais? são:
1. 
a) b) ℓ23
4
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136 MATEMÁTICA
137MATEMÁTICA
Monômios – Relacionando conceitos 
contêm
MONÔMIOS
um termo algébrico
parte numérica
subtraçãosoma multiplicação divisão potenciação
podendo fazercom
que possui
operaçõesparte literal
grau
de
136 MATEMÁTICA
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02
 2. Represente a área da figura a seguir formada pelos três quadrados usando um monômio.
A
B C
X
X
X
X
3. Calcule as seguintes somas e subtrações de monômios.
a) 5a2m + 3a2m – 2a2m b) 14 6 52 2 2
ab
c
ab
c
ba
c
− − c) 65m3n2p5 – 29m3n2p5
4. Calcule os seguintes produtos e as divisões de monômios.
a) (–ab2) · (a2b3) 
c) 
4
5
10
3
2a b a�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�
e) (–36m2n) : (12mn)
g) (–4m2n2) : (–mn2)
b) (3x4) · (–6x2) 
d) ( )− ⋅ −





2
7
4
4 3 3a b c ac 
f ) (7k3p4) : (2k3p) 
h) ��
�
�
�
�
� �� �1
4
2ab ab:
5. Observe a caixa a seguir, que tem a forma de um bloco retangular, e uma de suas planificações. 
As medidas das arestas da caixa, em uma mesma unidade, estão representadas por monômios 
indicados na figura. Determine o monômio que representa a área total da superfície da caixa 
(soma das áreas das faces).
4x
3x
x
2 4x
3x A A
C
B
C
B
3x
x
2
x
2
x
2
Resposta
2. ÁreaA = x²; ÁreaB = x²; Áreac= x²
Área total: 3x² 
3. 
a) 6a2m
b) 3 2
ab
c
c) 36m3n2p5
4. 
a) –a3b5
b) –18x6
c) 
8
3
3a b
d) 7
2
5 3 4a b c
e) –3m
f) 
7
2
3p
g) 4m
h) 
1
8
5. 31x2
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 136 15/09/2020 17:29:53
137MATEMÁTICA
137MATEMÁTICA
Monômios – Relacionando conceitos 
contêm
MONÔMIOS
um termo algébrico
parte numérica
subtraçãosoma multiplicação divisão potenciação
podendo fazercom
que possui
operaçõesparte literal
grau
de
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02
 2. Represente a área da figura a seguir formada pelos três quadrados usando um monômio.
A
B C
X
X
X
X
3. Calcule as seguintes somas e subtrações de monômios.
a) 5a2m + 3a2m – 2a2m b) 14 6 52 2 2
ab
c
ab
c
ba
c
− − c) 65m3n2p5 – 29m3n2p5
4. Calcule os seguintes produtos e as divisões de monômios.
a) (–ab2) · (a2b3) 
c) 
4
5
10
3
2a b a�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�
e) (–36m2n) : (12mn)
g) (–4m2n2) : (–mn2)
b) (3x4) · (–6x2) 
d) ( )− ⋅ −





2
7
4
4 3 3a b c ac 
f ) (7k3p4) : (2k3p) 
h) ��
�
�
�
�
� �� �1
4
2ab ab:
5. Observe a caixa a seguir, que tem a forma de um bloco retangular, e uma de suas planificações. 
As medidas das arestas da caixa, em uma mesma unidade, estão representadas por monômios 
indicados na figura. Determine o monômio que representa a área total da superfície da caixa 
(soma das áreas das faces).
4x
3x
x
2 4x
3x A A
C
B
C
B
3x
x
2
x
2
x
2
 
subtração multiplicação divisão
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Composição de um polinômio
Dado o prisma a seguir, vamos calcular o seu volume!
Calculando o volume do prisma, temos:
V = (3x + 2) · (2x – 1) · (x + 5) =
= (6x2 + x – 2) · (x + 5) =
= 6x3 + 31x2 + 3x – 10
O volume desse prisma é 6x3 + 31x2 + 3x –10. Observe que ele apresenta mais de um monômio.
Como essa expressão algébrica apresenta mais de um monômio, ela é chamada de polinômio. 
Sempre que houver uma soma algébrica de monômios, podemos chamá-la de polinômio.
Polinômio é a soma algébrica entre monômios.
É comum atribuir nomes diferentes às expressões algébricas, de acordo com a quantidade de 
parcelas (termos), com partes literais diferentes que compõem essas expressões.
Número de parcelas Nome Exemplos
1 Monômio 3ax²
2 Binômio 2bx – 3ax²
3 Trinômio 4x + 2by – 3ax²
Qualquer número Polinômio x³ + ax + a²x + a³
O polinômio, assim como o monômio, também apresenta grau. Nesse caso, o grau de um polinô-
mio reduzido não nulo é dado pelo seu termo de maior grau. Desse modo, temos:
 • O polinômio x³y – 2x4y3 + 5xy4 é do 7.º grau.
 • O polinômio a³ + 2a²b² – 5ab é do 4.º grau.
O grau de um polinômio pode ser estabelecido, também, em relação a determinada variável. 
Nesse caso, o grau é dado pelo maior expoente com que a variável aparece nos termos não nulos dos 
polinômios. Assim:
 • O polinômio x³ – 3x²y + 5xy² é do 
3.º grau em relação a x.
2.º grau em relação a y.
 • O polinômio m5n + 10m2 é do 
5.º grau em relação a m.
1.º grau em relação a n. 
Resolvendo a situação da página anterior:
Se aumentar o comprimento da residência em y metros, a nova área será representada pela ex-
pressão algébrica: 2x2 + 3xy + y2.
3x + 2
x + 5
2x – 1
EM TEMPO
O cálculo do volume 
de qualquer prisma é 
obtido ao multiplicar 
a área da base pela 
altura. 
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un
idade
138
3. Defi nição e operações
As expressões algébricas representam números reais. Com elas podemos efetuar todas as opera-
ções que já conhecemos, além de utilizar as propriedades dessas operações.
Sabendo disso, imagine que um construtor fez a planta baixa de uma residência, em forma re-
tangular, na qual o comprimento é o dobro da largura. Entretanto, o proprietário resolveu aumentar a 
área construída. 
Representando inicialmente as dimensões por x e 2x e o aumento por y metros, de comprimento 
e largura, como ficará a sua área?
3
• Composição de um polinômio
• Operações com polinômios
Polinômios
Escola Digital
Objetivos do capítulo
 • Reconhecer as partes literais 
e o grau de um polinômio.
 • Identificar e diferenciar 
monômios, trinômios e 
polinômios.
 • Realizar operações 
de adição, subtração, 
multiplicação, divisão e 
potenciação com os termos de 
um polinômio.
Realidade aumentada
 • Grau de um polinômio
 • Multiplicação de polinômios
Encaminhamento 
metodológico
Neste capítulo, 
desenvolveremos a habilidade 
EF08MA06 da BNCC, que 
tem como objetivo resolver e 
elaborar problemas que envol-
vam cálculo do valor numérico 
de expressões algébricas, 
utilizando as propriedades das 
operações. Este capítulo tem 
foco no estudo de polinômios, 
suas características e operações. 
Por meio da pergunta 
inicial, os alunos devem cons-
truir uma expressão e, nesse 
momento, o resultado será um 
polinômio. Pergunte a eles se 
a expressão algébrica é um 
monômio. Faça um comparativo 
entre monômios e polinômios.
A expressão encontrada 
para a área, após o aumento de 
y metros, será: 2x² + 3xy + y².
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Composição de um polinômio
Dado o prisma a seguir, vamos calcular o seu volume!
Calculando o volume do prisma, temos:
V = (3x + 2) · (2x – 1) · (x + 5) =
= (6x2 + x – 2) · (x + 5) =
= 6x3 + 31x2 + 3x – 10
O volume desse prisma é 6x3 + 31x2 + 3x –10. Observe que ele apresenta mais de um monômio.
Como essa expressão algébrica apresenta mais de um monômio, ela é chamada de polinômio. 
Sempre que houver uma soma algébrica de monômios, podemos chamá-la de polinômio.
Polinômio é a soma algébrica entre monômios.
É comum atribuir nomes diferentes às expressões algébricas, de acordo com a quantidade de 
parcelas (termos), com partes literais diferentes que compõem essas expressões.
Número de parcelas Nome Exemplos
1 Monômio 3ax²
2 Binômio 2bx – 3ax²
3 Trinômio 4x + 2by – 3ax²
Qualquer número Polinômio x³ + ax + a²x + a³
O polinômio, assim como o monômio, também apresenta grau. Nesse caso, o grau de um polinô-
mio reduzido não nulo é dado pelo seu termo de maior grau. Desse modo, temos:
 • O polinômio x³y – 2x4y3 + 5xy4 é do 7.º grau.
 • O polinômio a³ + 2a²b² – 5ab é do 4.º grau.
O grau de um polinômio pode ser estabelecido, também, em relação a determinada variável. 
Nesse caso, o grau é dado pelo maior expoente com que a variável aparece nos termos não nulos dos 
polinômios. Assim:
 • O polinômio x³ – 3x²y + 5xy² é do 
3.º grau em relação a x.
2.º grau em relação a y.
 • O polinômio m5n + 10m2 é do 
5.º grau em relação a m.
1.º grau em relação a n. 
Resolvendo a situação da página anterior:
Se aumentar o comprimento da residência em y metros, a nova área será representada pela ex-
pressão algébrica: 2x2 + 3xy + y2.
3x + 2
x + 5
2x – 1
EM TEMPO
O cálculo do volume 
de qualquer prisma é 
obtido ao multiplicar 
a área da base pela 
altura. 
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idade
138
3. Defi nição e operações
As expressões algébricas representam números reais. Com elas podemos efetuar todas as opera-
ções que já conhecemos, além de utilizar as propriedades dessas operações.
Sabendo disso, imagine que um construtor fez a planta baixa de uma residência, em forma re-
tangular, na qual o comprimento é o dobro da largura. Entretanto, o proprietário resolveu aumentar a 
área construída. 
Representando inicialmente as dimensões por x e 2x e o aumento por y metros, de comprimento 
e largura, como ficará a sua área?
3
• Composição de um polinômio
• Operações com polinômios
Polinômios
Escola Digital
Encaminhamento metodológico
Para ampliar o conceito de monômios para polinômios, utilize as figuras geomé-
tricas calculando o perímetro, a área e o volume. Utilize retângulos, quadrados, prismas 
etc. Comente a atribuição dos nomes às expressões algébricas conforme a quantidade 
de termos e as suas diferenças.
A partir desse momento, por meio da habilidade EF08MA06 da BNCC, temos 
como objetivo principal trazer ferramentas para que os alunos possam resolver e 
elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, 
utilizando as propriedades das operações.
Orientação para RA
Nesta Realidade aumentada, os alunos devem perceber que é possível ter 
um polinômio de grau 1, mesmo que existam vários monômios na sua composição 
(exemplo: x – y – z). Também, devem entender que, para formar um polinômio de 
determinado grau, basta 
escolher um monômio do grau 
desejado e os demais de graus 
menores.
Sugestão de atividade
1. Dado um paralelepípedo cujas 
medidas são: altura 2xy, largura 
2x² e comprimento 2y², calcule o 
volume desse paralelepípedo.
 ` Solução:
8x³y³
2. Considere o polinômio 
x4 – 10x2 + 9 e responda:
De que grau é esse 
polinômio?
 ` Solução:
Grau 4.
3. Dado o polinômio 
 3 – 5x2 + 7x4 – x + 5x5 + 2x3, 
escreva-o na forma ordenada, 
segundo as potências 
crescentes da variável x.
 ` Solução:
3 – x – 5x² + 2x³ + 7x4 + 5x5
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Operações com polinômios
Como podemos efetuar as operações com polinômios?
Será que as operações com polinômios são parecidas com as operações com monômios?
Adição e subtração
Observe as seguintes situações.
Como podemos adicionar os perímetros do triângulo e do quadrilátero a seguir?
O perímetro do triângulo é x + 2y +z.
O perímetro do quadrilátero é 3x + z + 2y + 4.
Para calcular a soma, vamos agrupar os termos semelhantes e, 
depois, reduzir os termos semelhantes. Assim:
 (x + 2y + z) + (3x + z + 2y + 4) =
= x + 2y + z + 3x + z + 2y + 4 =
= x + 3x + 2y + 2y + z + z + 4 =
= 4x + 4y + 2z + 4
E se quisermos subtrair o perímetro do triângulo do perímetro do quadrilátero?
Para calcular a subtração, vamos somar o perímetro do quadrilátero com o oposto do perímetro 
do triângulo, depois efetuamos os cálculos com os termos semelhantes e os reduzimos. 
O oposto do perímetro do triângulo é – (x + 2y + z) = –1 · (x + 2y + z) = –x – 2y – z. Assim, 
 (3x + z + 2y + 4) + (–x – 2y – z) =
= 3x + z + 2y + 4 – x – 2y – z =
= 3x – x + 2y – 2y + z – z + 4 =
= 2x + 4
2yx
z
3x 2y
4
z
A adição e a subtração de polinô-
mios consistem no agrupamento ou 
na redução dos termos semelhantes.
 
1. Sendo A = 3x² – ax + 2a² e B = 4x² + 2ax – a², calcule em seu caderno.
a) A + B b) A – B
2. Observando a figura ao lado, responda:
a) Que polinômio representa a área da figura?
b) Qual é a forma reduzida do polinômio?
3. Calcule as seguintes somas e subtrações de polinômios.
a) (3x – 4y + 7z) + (2x – 3y – z) 
 
ATIVIDADES
x
x I III
IV V
II
x
a
a
a x
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Polinômios com uma só variável
Observe a imagem ao lado. 
A área do retângulo é:
A

 = (2x) ∙ (x + 2) = 2x2 + 4x
Note que em 2x2 + 4x há so-
mente uma variável.
Quando um polinômio está ordenado e nele não aparece uma ou mais potências de x, dizemos 
que os coeficientes desses termos são zero e que o polinômio é incompleto.
  Exemplos:
• x³ – 3x + 1 é incompleto e pode ser escrito x³ + 0x² – 3x + 1 (forma geral).
• x5 – x2 – 4 é incompleto e pode ser escrito x5 + 0x4 + 0x3 – x2 + 0x – 4 (forma geral).
x + 2
2x
Polinômios que têm somente 
uma variável são denominados 
polinômios com uma variável, 
ou, simplesmente, polinômios 
na variável x.
 
 Entre os polinômios 2ax; x³ – x² + x – 1; y² – 2y + 1; a² + b² – 2ab – 2bc; a² – b²; x + 2a e 
x²y² + 4xy + 4, identifique:
a) os binômios;
b) os trinômios.
 
ATIVIDADES
 
Leia o trecho do texto a seguir.
Os grilos são um termômetro natural, pois permitem ter uma ideia da temperatura 
ambiente. Ao fim de tarde, eles cantam com uma frequência maior do que à noite, por esta 
ser mais fresca, ou seja, o seu canto é muito mais lento. Esta observação foi quantificada e 
publicada pela primeira vez em 1897 pelo inventor americano Amos Dolbear, num artigo 
chamado O grilo como termômetro, que forneceu a fórmula empírica � � �
�
10
40
7
( )N
, co-
nhecida como lei de Dolbear (dá uma temperatura aproximada da temperatura ambiente). 
Na fórmula, N é o número de vezes que os grilos cantam durante um minuto, θ a tempe-
ratura ambiente em graus Celsius. Por exemplo, se os grilos cantarem a uma taxa de 110 
vezes por minuto, a temperatura será de 20°C.
ANACLETO, Alcinda Maria da Costa. Temperatura e sua medição. 2007. Dissertação 
(Mestrado em Física para o Ensino) – Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, 
Portugal, 2007. Disponível em: http://url.sae.digital/nsTbTdu. A cesso em: 24 jul. 2019.
Utilizando as informações apresentadas no texto, descubra a ve-
locidade que um grilo cantaria no dia de hoje. Depois, crie uma 
situação que envolva a lei de Dolbear.
DESENVOLVER E APLICAR
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b) O grau do polinômio em relação à variável x.
 ` Solução:
O polinômio é do 5.º grau em relação à variável x.
Encaminhamento 
metodológico
Comente com os alunos 
que é comum escrever os 
polinômios ordenados segundo 
as potências decrescentes da 
variável x.
Espera-se que o aluno 
utilize as relações entre N e θ. 
Dado o valor da temperatura 
θ, qual é o valor da frequência 
N? Possibilite aos alunos que 
atribuam valores a uma dessas 
variáveis para determinar a 
outra, retomando, assim, a ideia 
de equação do primeiro grau.
 ` Exemplo:
5x5 + 7x4 + 2x3 – 5x2 – x + 3
Na seção Desenvolver e 
aplicar, peça aos alunos que 
compartilhem os resultados 
encontrados.
Resposta
a) a² – b², x + 2a
b) y² – 2y + 1; x²y² + 4xy + 4
As respostas para a 
seção Desenvolver e aplicar são 
pessoais.
Sugestão de atividade
1. Qual é o grau do polinômio 
x4 – 10x2 + 9? 
 ` Solução:
O polinômio é do 4.º grau.
2. Um retângulo tem seu 
comprimento medindo x + 5 e 
sua altura medindo 3x.
a) Represente a área desse 
retângulo por meio de um 
polinômio na variável x.
 ` Solução:
3x² + 15x
b) De que grau é esse 
polinômio?
 ` Solução:
Do 2.º grau.
3. Dado o polinômio 
5a3 – 2a2x4 + x5, determine:
a) O grau do polinômio.
 ` Solução:
O polinômio é do 6.º grau.
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Operações com polinômios
Como podemos efetuar as operações com polinômios?
Será que as operações com polinômios são parecidas com as operações com monômios?
Adição e subtração
Observe as seguintes situações.
Como podemos adicionar os perímetros do triângulo e do quadrilátero a seguir?
O perímetro do triângulo é x + 2y + z.
O perímetro do quadrilátero é 3x + z + 2y + 4.
Para calcular a soma, vamos agrupar os termos semelhantes e, 
depois, reduzir os termos semelhantes. Assim:
 (x + 2y + z) + (3x + z + 2y + 4) =
= x + 2y + z + 3x + z + 2y + 4 =
= x + 3x + 2y + 2y + z + z + 4 =
= 4x + 4y + 2z + 4
E se quisermos subtrair o perímetro do triângulo do perímetro do quadrilátero?
Para calcular a subtração, vamos somar o perímetro do quadrilátero com o oposto do perímetro 
do triângulo, depois efetuamos os cálculos com os termos semelhantes e os reduzimos. 
O oposto do perímetro do triângulo é – (x + 2y + z) = –1 · (x + 2y + z) = –x – 2y – z. Assim, 
 (3x + z + 2y + 4) + (–x – 2y – z) =
= 3x + z + 2y + 4 – x – 2y – z =
= 3x – x + 2y – 2y + z – z + 4 =
= 2x + 4
2yx
z
3x 2y
4
z
A adição e a subtração de polinô-
mios consistem no agrupamento ou 
na redução dos termos semelhantes.
 
1. Sendo A = 3x² – ax + 2a² e B = 4x² + 2ax – a², calcule em seu caderno.
a) A + B b) A – B
2. Observando a figura ao lado, responda:
a) Que polinômio representa a área da figura?
b) Qual é a forma reduzida do polinômio?
3. Calcule as seguintes somas e subtrações de polinômios.
a) (3x – 4y + 7z) + (2x – 3y – z) 
 
ATIVIDADES
x
x I III
IV V
II
x
a
a
a x
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Polinômios com uma só variável
Observe a imagem ao lado. 
A área do retângulo é:
A

 = (2x) ∙ (x + 2) = 2x2 + 4x
Note que em 2x2 + 4x há so-
mente uma variável.
Quando um polinômio está ordenado e nele não aparece uma ou mais potências de x, dizemos 
que os coeficientes desses termos são zero e que o polinômio é incompleto.
  Exemplos:
• x³ – 3x + 1 é incompleto e pode ser escrito x³ + 0x² – 3x + 1 (forma geral).
• x5 – x2 – 4 é incompleto e pode ser escrito x5 + 0x4 + 0x3 – x2 + 0x – 4 (forma geral).
x + 2
2x
Polinômios que têm somente 
uma variável são denominados 
polinômios com uma variável, 
ou, simplesmente, polinômios 
na variável x.
 
 Entre os polinômios 2ax; x³ – x² + x – 1; y² – 2y + 1; a² + b² – 2ab – 2bc; a² – b²; x + 2a e 
x²y² + 4xy + 4, identifique:
a) os binômios;
b) os trinômios.
 
ATIVIDADES
 
Leia o trecho do texto a seguir.
Os grilos são um termômetro natural, pois permitem ter uma ideia da temperatura 
ambiente. Ao fim de tarde, eles cantam com uma frequência maior do que à noite, por esta 
ser mais fresca, ou seja, o seu canto é muito mais lento. Esta observação foi quantificada e 
publicada pela primeira vez em 1897 pelo inventor americano Amos Dolbear, num artigo 
chamado O grilo como termômetro, que forneceu a fórmula empírica � � �
�
10
40
7
( )N
, co-
nhecida como lei de Dolbear (dá uma temperatura aproximada da temperatura ambiente). 
Na fórmula, N é o número de vezes que os grilos cantam durante um minuto, θ a tempe-
ratura ambiente em graus Celsius. Por exemplo, se os grilos cantarem a uma taxa de 110 
vezes por minuto,a temperatura será de 20°C.
ANACLETO, Alcinda Maria da Costa. Temperatura e sua medição. 2007. Dissertação 
(Mestrado em Física para o Ensino) – Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, 
Portugal, 2007. Disponível em: http://url.sae.digital/nsTbTdu. A cesso em: 24 jul. 2019.
Utilizando as informações apresentadas no texto, descubra a ve-
locidade que um grilo cantaria no dia de hoje. Depois, crie uma 
situação que envolva a lei de Dolbear.
DESENVOLVER E APLICAR
Almazks/Shutterstock
Encaminhamento metodológico
Mostre aos alunos que podemos efetuar a adição pelo dispositivo prático, como é 
mostrado a seguir.
Sejam os polinômios:
A = 2a + 3b – 5c
B = –3a – 2b + 3c, determine:
a) A + B
(2a + 3b – 5c) + (–3a – 2b + 3c)
= 2a + 3b – 5c – 3a – 2b + 3c → eliminando os parênteses
= 2a – 3a + 3b – 2b – 5c + 3c → agrupando os termos semelhantes
= –a + b – 2c → reduzindo os termos semelhantes
Dispositivo prático:
A → 2a + 3b – 5c
B → –3a – 2b + 3c
A + B → –a + b – 2c
b) A – B
(2a + 3b – 5c) – (–3a – 2b + 3c)
= 2a + 3b – 5c + 3a + 2b – 3c → 
eliminando os parênteses
= 2a + 3a + 3b + 2b – 5c – 3c → 
agrupando os termos 
semelhantes
= 5a + 5b – 8c → reduzindo os 
termos semelhantes
 A → 2a + 3b – 5c
 –B → 3a + 2b – 3c
A – B → 5a + 5b – 8c 
→ os sinais dos termos do 
polinômio B foram todos 
trocados.
Resposta
1. 
a) 7x² + ax + a²
b) –x² – 3ax + 3a²
2. 
a) x² + ax + ax + ax + x²
b) 2x² + 3ax
3. 
a) 5x – 7y + 6z
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Divisão de polinômios
Podemos dividir um polinômio tanto por um monômio quanto por outro polinômio não nulo. 
Para dividirmos um polinômio por um monômio não nulo, devemos dividir cada termo do polinômio 
por esse monômio. Observe.
1.º caso: quando dividimos um polinômio por um monômio, utilizamos a propriedade distributiva.
  Exemplo:
Quociente (6x4 – 21x3 + 15x2) : (3x2), com x ≠ 0. 
(6x4 – 21x3 + 15x2)
(3x2) = 
 
6x4
3x2 – 
21x3
3x2 + 
15x2
3x2 
 = 2x2 – 7x + 5
Logo, o quociente é igual a: 2x² – 7x + 5.
2.º caso: quando dividimos um polinômio por outro polinômio, devemos ordená-los segundo as 
potências decrescentes da variável e completá-los. 
I. Dividimos o 1.º termo do dividendo pelo 1.º termo do divisor, obtendo o 1.º termo do 
quociente.
II. Multiplicamos o 1.º termo do quociente pelo divisor e subtraímos o resultado do dividendo.
III. Fazemos a redução de termos semelhantes no dividendo.
IV. Repetimos a operação, considerando como dividendo o 1.º resto parcial. 
V. Prosseguimos da mesma forma até o 1.º termo do resto não ser divisível pelo 1.º termo do 
divisor.
 2. Calcule os seguintes produtos.
a) (a2 – b) (2a – 5b)
b) (2x – 3) (x2 – 3x + 5)
c) (2x2 – 3x + 3) (x – 3)
3. Dados A = xy – 1, B = x – y e C = xy(x – y), escreva o polinômio expresso por A · B – C e calcule 
o seu valor numérico para x = –5 e y = –2.
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 b) (x² – 2x + 1) + (3x² + 4x – 2) + (x² – 2x + 2) 
c) (2x³ + 3x² – 2x + 1) + (–2x³– 3x² + 7x – 2)
d) (y – 7x) + (3x – 6y) + (2y – 7x) + (–x – 3y)
4. Considerando a imagem a seguir e os polinômios que representam a medida dos lados, de-
termine o polinômio que representa o perímetro do polígono.
2x3+ 4
x3+ 1
x3+ 1
2x3+ 4
x3+ 1
x3+ 1
 
1. Calcule os seguintes produtos em seu caderno.
a) (2x + 1) ∙ (–6x² – 5x + 3)
b) (a² – 1) ∙ (2a² – 2a +1)
c) (2x² – 3x + 3) · (x – 3)
d) (4a² – 3ay + 2y²) ∙ (2a – y)
ATIVIDADES
Multiplicação
Para multiplicarmos um polinômio por outro polinômio, devemos multiplicar cada termo de um 
deles por todos os termos do outro e reduzir os termos semelhantes. Utilizamos a propriedade distri-
butiva nesse tipo de multiplicação.
  Exemplo: 
(x + 3) · (2x² – x + 5) =
= x · (2x² – x + 5) + 3 · (2x² – x + 5) =  Pela propriedade distributiva.
= 2x³ – x² + 5x + 6x² – 3x + 15 = 
= 2x³ + 5x² + 2x + 15  Reduzindo os termos semelhantes.
Podemos, também, dispor os polinômios em um dispositivo prático.
 2x2 – x + 5
 x x + 3
 2x3 – x2 + 5x  Multiplicação de 2x
2
 – x + 5 por x. 
 + 6x2 – 3x + 15  Multiplicação de 2x
2
 – x + 5 por 3.
 2x3 + 5x2 + 2x + 15
Encaminhamento 
metodológico
Comente com os 
alunos que, para efetuarmos a 
multiplicação de um polinômio 
por outro polinômio, também 
devemos utilizar a propriedade 
distributiva da multiplicação. 
Mostre a eles que podemos 
efetuar a multiplicação pelo 
dispositivo prático, como é 
mostrado neste outro exemplo:
Calcular (x – 1) · (x2 + 3x + 3)
= x · (x2 +3x + 3) + (–1) · (x2 + 3x + 3) 
→ Propriedade distributiva
= x3 + 2x2 – 3 
→ Reduzindo os termos semelhantes
Dispositivo prático:
x2 + 3x + 5
x – 1
x3 + 3x2 + 3x → Multiplicação por x
– x2 – 3x – 3
x3 + 2x2 + 0x + –3
 x3 + 2x + –3
→ Multiplicação 
 por 3
Resposta
As respostas para a 
primeira seção Atividades são:
3. 
b) 5x² + 1
c) 5x – 1
d) –12x – 6y
4. 8x3 + 12
As respostas para a 
segunda seção Atividades são:
1. 
a) –12x³ – 16x² + x + 3
b) 2a4 – 2a3 – a2 + 2a –1
c) 2x³ – 9x² + 12x – 9
d) 8a³ – 10a²y + 7ay² – 2y³
Orientação para RA
Esta Realidade aumentada 
exibe uma animação com o 
passo a passo de uma multipli-
cação de polinômios. 
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Divisão de polinômios
Podemos dividir um polinômio tanto por um monômio quanto por outro polinômio não nulo. 
Para dividirmos um polinômio por um monômio não nulo, devemos dividir cada termo do polinômio 
por esse monômio. Observe.
1.º caso: quando dividimos um polinômio por um monômio, utilizamos a propriedade distributiva.
  Exemplo:
Quociente (6x4 – 21x3 + 15x2) : (3x2), com x ≠ 0. 
(6x4 – 21x3 + 15x2)
(3x2) = 
 
6x4
3x2 – 
21x3
3x2 + 
15x2
3x2 
 = 2x2 – 7x + 5
Logo, o quociente é igual a: 2x² – 7x + 5.
2.º caso: quando dividimos um polinômio por outro polinômio, devemos ordená-los segundo as 
potências decrescentes da variável e completá-los. 
I. Dividimos o 1.º termo do dividendo pelo 1.º termo do divisor, obtendo o 1.º termo do 
quociente.
II. Multiplicamos o 1.º termo do quociente pelo divisor e subtraímos o resultado do dividendo.
III. Fazemos a redução de termos semelhantes no dividendo.
IV. Repetimos a operação, considerando como dividendo o 1.º resto parcial. 
V. Prosseguimos da mesma forma até o 1.º termo do resto não ser divisível pelo 1.º termo do 
divisor.
 2. Calcule os seguintes produtos.
a) (a2 – b) (2a – 5b)
b) (2x – 3) (x2 – 3x + 5)
c) (2x2 – 3x + 3) (x – 3)
3. Dados A = xy – 1, B = x – y e C = xy(x – y), escreva o polinômio expresso por A · B – C e calcule 
o seu valor numérico para x = –5 e y = –2.
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 b) (x² – 2x + 1) + (3x² + 4x – 2) + (x² – 2x + 2) 
c) (2x³ + 3x² – 2x + 1) + (–2x³– 3x² + 7x – 2)
d) (y – 7x) + (3x – 6y) + (2y – 7x) + (–x – 3y)
4. Considerando a imagem a seguir e os polinômios que representam a medida dos lados, de-
termine o polinômio que representa o perímetro do polígono.
2x3+ 4
x3+ 1
x3+ 1
2x3+ 4
x3+ 1
x3+ 1
 
1. Calcule os seguintes produtos em seu caderno.
a) (2x + 1) ∙ (–6x² – 5x + 3)
b) (a² – 1) ∙ (2a² – 2a +1)
c) (2x² – 3x + 3) · (x – 3)
d) (4a² – 3ay + 2y²) ∙ (2a – y)
ATIVIDADES
Multiplicação
Para multiplicarmos um polinômio por outro polinômio, devemos multiplicar cada termo de um 
deles por todos os termos do outro e reduzir os termos semelhantes. Utilizamos a propriedade distri-
butiva nesse tipo de multiplicação.
  Exemplo: 
(x + 3) · (2x² – x + 5) =
= x · (2x² – x + 5) + 3 · (2x² – x + 5) =  Pela propriedade distributiva.
= 2x³ – x² + 5x + 6x² – 3x + 15 = 
= 2x³ + 5x² + 2x + 15  Reduzindo os termos semelhantes.
Podemos, também, dispor os polinômios em um dispositivo prático.
 2x2 – x + 5
 xx + 3
 2x3 – x2 + 5x  Multiplicação de 2x
2
 – x + 5 por x. 
 + 6x2 – 3x + 15  Multiplicação de 2x
2
 – x + 5 por 3.
 2x3 + 5x2 + 2x + 15
Resposta
2. 
a) 2a3 – 5a2b – 2ab + 5b2
b) 2x3 – 9x2 + 19x – 15
c) 2x3 – 9x2 + 12x – 9
3. O polinômio é – x + y. O valor numérico é 3.
Sugestão de atividade
Determine o polinômio que representa a área da região colorida na figura a seguir 
e calcule o valor numérico desse polinômio quando x = 2 e y = 1.
3x
2x
y
y
 ` Solução: 
6x² – xy – y²
Valor numérico 21.
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1. Determine os seguintes quocientes e os restos das divisões indicadas.
a) (x³ – 5x² + 4x – 1) : (x – 2) b) (x4 + x² + 1) : (x2 – x + 1) 
c) (2y4 – 9y3 – 6y2 + 16y –3) : (2y2 + y – 3) d) (a5 + a3 + 1) : (a3 – 1)
2. Associe verdadeiro (V) ou falso (F) a cada uma das sentenças.
 ) ( (x + y) (x2 – xy + y2) = x3 + y3
 ) ( (a2 + b2) (a + b) = a3 + b3
 ) ( (–a + 3) (–a – 3) = a2 – 9
ATIVIDADES
 
Vamos fazer um jogo das operações entre polinômios?
Materiais: papel-cartão vermelho e azul, tesoura e régua.
Construção: em duplas, façam 20 quadrados vermelhos e 20 azuis com lado 4 cm; 20 quadra-
dos vermelhos e 20 azuis com lado 2 cm; 15 retângulos vermelhos e 20 azuis com lados 4 cm e 2 cm. 
Os quadrados maiores representam o x², os quadrados menores representam o y² e os retângulos 
representam xy. A cor azul representa valores positivos e a cor vermelha, valores negativos. 
Exemplos de cada uma das cartas.
x2 x2
xy y
xy y
Vamos efetuar a adição (2x² + 2xy – y) + (x² – xy – 2y).
(2x² + 2xy + y) + (x² – xy – 2y) = 3x² + xy – y
x2 x2
x2 xy
y
x2
xy
y y
x2
x2
xy
xy
y =+
Eliminamos os valores opostos e adicionamos os termos semelhantes. 
Agora é com vocês! Representem geometricamente e algebricamente as operações:
 • (2x² + 4xy) + (3x² – 6xy + y)
 • (–5x² + 2xy – 3y) + (x² + 6xy + 3y)
 • (3x² – xy – 6y) – (2x² – 2xy – 3y)
 • (x² + 4xy – 4y) – (4x + xy – y)
INTERAÇÃO
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  Exemplos:
1. Calcular (3x² + 2x – 4) : (x – 1).
 3x2 + 2x – 4
–3x2 + 3x
x – 1
3x + 5
 5x – 4
–5x + 5
1
Quociente: 3x + 5
Resto: 1
2. Determinar o quociente (x4 – 1) : (x2 + 1).
Observe que o dividendo e o divisor são po-
linômios incompletos. Devemos escrevê-los 
na forma geral, desse modo:
 x4 + 0x3 + 0x2 + 0x – 1
–x4 – 0x3 – x2
 –x2 + 0x – 1
 x2 + 0x + 1
x2 + 0x + 1
x2 – 1
0
Quociente exato: x2 – 1
Resto: 0
Observações:
 • O polinômio quociente, quando não nulo, tem grau igual à diferença entre os graus do dividendo 
e do divisor.
 • Se o grau do dividendo é menor que o grau do divisor, o quociente é zero e o resto é o próprio 
dividendo.
 • A divisão está terminada quando encontramos um resto zero ou um resto que é um polinômio de 
grau menor que o grau do divisor.
 • Se o dividendo for um polinômio incompleto, devemos completá-lo antes de iniciar a divisão. 
Já estudamos a relação fundamental da divisão:
Dividendo divisor
quociente
 resto
Dividendo = divisor · quociente  Para divisões exatas.
Dividendo = divisor · quociente + resto  Para divisões aproximadas.
Aplicando essa relação fundamental, conseguimos resolver problemas envolvendo polinômios.
 
1. Determine o polinômio P que, dividido por x – 4, resulta no quociente x² – x – 2.
  Solução:
P = (x – 4) · (x² – x – 2)
P = x (x² – x – 2) – 4 (x² – x – 2)
P = x³ – x² – 2x – 4x² + 4x + 8
P = x³ – x² – 4x² – 2x + 4x + 8
P = x³ – 5x² + 2x + 8
Logo, o polinômio P = x³ – 5x² + 2x + 8.
 Pela relação fundamental da divisão.
quociente.
divisor.
dividendo.
 Aplicando propriedade distributiva.
 Efetuando as multiplicações.
 Agrupando os termos semelhantes.
 Reduzindo os termos semelhantes.
COLOCANDO EM PRÁTICA
Encaminhamento 
metodológico
Quando dividimos um 
polinômio por outro polinômio, 
utilizamos o método da chave. 
Explique o passo a passo para 
os alunos. No primeiro exemplo, 
temos:
Dividimos inicialmente 
3x2 por x e encontramos 
3x. Multiplicamos 3x por 
x – 1 e vemos quanto falta 
para 3x2 + 2x – 4, ou seja, 
subtraímos 3x2 – 3x de 3x2 + 
2x – 4. Enquanto o grau do 
resto for maior ou igual ao grau 
de x – 1, continua-se a divisão. 
Dividimos agora 5x por x e 
encontramos 5. Multiplicamos 
5 por x – 1 e vemos quanto falta 
para 5x – 4, ou seja, subtraímos 
5x + 5 de 4x – 4 e encontramos 
x–1. Como o grau é menor 
que o de x – 1, a nossa divisão 
está finalizada. Assim, temos 
quociente: 3x + 5 e resto: 1.
Dica para ampliar 
o trabalho
“[...] podemos optar por 
usar o método básico da divisão 
(método das chaves). Esse 
método consiste em fazermos a 
divisão no seguinte formato
P(x) D(x)
R(X) Q(x)
em que, se dividirmos P(x) por 
D(x) (o divisor), vamos obter 
dois novos polinômios Q(x) (o 
quociente) e R(x) (o resto), de 
modo que P(x) = D(x) ⋅ Q(x) + 
R(x).”
LIMA, Eliane. Conjuntos numéricos. 
Matematicando. 24 jul. 2019. 
Disponível em: 
http://url.sae.digital/G0x93KF. 
Acesso em: 24 jul. 2019.
PG21LP281SDM0_MIOLO_EF21_8_MAT_L1_LP.indb 144 15/09/2020 17:30:40
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03
 
1. Determine os seguintes quocientes e os restos das divisões indicadas.
a) (x³ – 5x² + 4x – 1) : (x – 2) b) (x4 + x² + 1) : (x2 – x + 1) 
c) (2y4 – 9y3 – 6y2 + 16y –3) : (2y2 + y – 3) d) (a5 + a3 + 1) : (a3 – 1)
2. Associe verdadeiro (V) ou falso (F) a cada uma das sentenças.
 ) ( (x + y) (x2 – xy + y2) = x3 + y3
 ) ( (a2 + b2) (a + b) = a3 + b3
 ) ( (–a + 3) (–a – 3) = a2 – 9
ATIVIDADES
 
Vamos fazer um jogo das operações entre polinômios?
Materiais: papel-cartão vermelho e azul, tesoura e régua.
Construção: em duplas, façam 20 quadrados vermelhos e 20 azuis com lado 4 cm; 20 quadra-
dos vermelhos e 20 azuis com lado 2 cm; 15 retângulos vermelhos e 20 azuis com lados 4 cm e 2 cm. 
Os quadrados maiores representam o x², os quadrados menores representam o y² e os retângulos 
representam xy. A cor azul representa valores positivos e a cor vermelha, valores negativos. 
Exemplos de cada uma das cartas.
x2 x2
xy y
xy y
Vamos efetuar a adição (2x² + 2xy – y) + (x² – xy – 2y).
(2x² + 2xy + y) + (x² – xy – 2y) = 3x² + xy – y
x2 x2
x2 xy
y
x2
xy
y y
x2
x2
xy
xy
y =+
Eliminamos os valores opostos e adicionamos os termos semelhantes. 
Agora é com vocês! Representem geometricamente e algebricamente as operações:
 • (2x² + 4xy) + (3x² – 6xy + y)
 • (–5x² + 2xy – 3y) + (x² + 6xy + 3y)
 • (3x² – xy – 6y) – (2x² – 2xy – 3y)
 • (x² + 4xy – 4y) – (4x + xy – y)
INTERAÇÃO
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  Exemplos:
1. Calcular (3x² + 2x – 4) : (x – 1).
 3x2 + 2x – 4
–3x2 + 3x
x – 1
3x + 5
 5x – 4
–5x + 5
1
Quociente: 3x + 5
Resto: 1
2. Determinar o quociente (x4 – 1) : (x2 + 1).
Observe que o dividendo e o divisor são po-
linômios incompletos. Devemos escrevê-los 
na forma geral, desse modo:
 x4 + 0x3 + 0x2 + 0x – 1
–x4 – 0x3 – x2
 –x2 + 0x – 1
 x2 + 0x + 1
x2 + 0x + 1
x2 – 1
0
Quociente exato: x2 – 1
Resto: 0
Observações:
 • O polinômio quociente, quando não nulo, tem grau igual à diferença entre os graus do dividendo 
e do divisor.
 • Se o grau do dividendo é menor que o grau do divisor, o quociente é zero e o resto é o próprio 
dividendo.
 • A divisão está terminada quando encontramos um resto zero ou um resto que é um polinômio de 
grau menor que o grau do divisor.
 • Se o dividendo for um polinômio incompleto, devemos completá-lo antes de iniciar a divisão. 
Já estudamos a relação fundamental da divisão:
Dividendo divisor
quociente
 resto
Dividendo = divisor · quociente  Para divisões exatas.
Dividendo = divisor · quociente + resto  Para divisões aproximadas.
Aplicando essa relação fundamental, conseguimos resolver problemas envolvendo polinômios.
 
1. Determine o polinômio P que, dividido por x – 4, resulta no quocientex² – x – 2.
  Solução:
P = (x – 4) · (x² – x – 2)
P = x (x² – x – 2) – 4 (x² – x – 2)
P = x³ – x² – 2x – 4x² + 4x + 8
P = x³ – x² – 4x² – 2x + 4x + 8
P = x³ – 5x² + 2x + 8
Logo, o polinômio P = x³ – 5x² + 2x + 8.
 Pela relação fundamental da divisão.
quociente.
divisor.
dividendo.
 Aplicando propriedade distributiva.
 Efetuando as multiplicações.
 Agrupando os termos semelhantes.
 Reduzindo os termos semelhantes.
COLOCANDO EM PRÁTICA
Resposta
As respostas para a seção Atividades são:
1. 
a) Q = x² – 3x – 2 e R = –5
b) Q = x² + x + 1 e R = 0
c) Q = y² – 5y + 1 e R = 0
d) Q = a² + 1 e R = a² + 2
2. As respostas estão no Livro do aluno.
As respostas para a seção Interação são:
 • 5x2 – 2xy + y
 • – 4x2 + 8xy
 • x2 – 3y + xy
 • x2 – 4x + 3xy – 3y
Encaminhamento 
metodológico
No exemplo da seção 
Interação, se possível, construa 
com os alunos a operação 
proposta utilizando as cartas. 
Também, dê outros exemplos 
antes de pedir a eles que façam as 
operações propostas. O objetivo 
é que os alunos compreendam 
as operações com polinômios 
e realizem operações com 
polinômios na forma algébrica e 
geométrica.
V
F
V
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 4. Reduza os termos semelhantes e classifique-os em monômio, binômio ou trinômio.
a) 2a + 3b – 1 – 3b + a
b) x + 3y – 6x – 3y + 6x – 2
c) a2 – 3a + 1 – a2 + 5a – 4 + 3a + 7a – 12a + 2
d) 2x3 – 3 + 2x2 – x3 – 2x2 + 3x – x3 + 3 – 3x
e) a – b – 3c + 2ab – 3ac + bc – 2ab + 3c + b – 4a + ac
5. Reduza os termos semelhantes, ordene-os e dê o grau de cada polinômio.
a) 4x2 – 7x + 6x2 + 2 + 4x – x2 – 1
b) 6x + 1 – x2 – 2 + 3x – 2x + x2 – 3x
c) 3x + 4 – 5x2 + 7x – 3x3 + 6x2 – 7 + 2x + 8x3
d) x4 – 2x3 + 3x2 + 2x – 1 + 4 – 3x – 3x2 + 4x3 – x4 + 5x3 – 2x
6. Dados A = 3x + 2; B = –4x + 3; C = –5x – 2 e D = 2x – 1, calcule:
a) A – B 
c) C – D – A 
e) A · A
g) C · C
b) A + B – C 
d) A – B + C – D 
f ) B · B
h) D · D
7. Simplifique as expressões.
a) (2x + 3) (3 – 2x) – 2(1 – x) b) (2x –1) (x + 2) + (x – 1) (x – 2) 
c) (x – 1) (x2 + x + 1) – (x – 1)(x2 + 1) d) (a + b) (a + b – c) – c (c + a – b) 
8. Calcule os produtos de polinômios e coloque-os em ordem.
a) (2x + 5) (x2 – 4x + 9)
c) (x2 + 3x + 4) (–2x2 – x + 3)
e) (x – 2) (16 + 8x + 4x2 + 2x3 + x4) + 32
g) (1 – x) (1 + x + x2) (1 + x3 + x6)
b) (3x2 – 1) (x2 + x – 5)
d) (x2 – x +1) (x3 – 3x2 – 2x + 4)
f ) (x3 + x2 – 1) (x2 – x + 1)
9. Efetue as divisões polinomiais.
a) (20x5 – 16x4) : 4x3 b) (x2 – 2x) : (–x) c) (4a + 2b – 5) : (–1)
10. Divida A por B e encontre o quociente Q e o resto R, em cada item.
a) A = –2x4 – 11x3 – x2 + 18x + 8 e B = x2 + 5x + 2
b) A = 18x2 – 20x + 13 e B = 3x2 – 4x + 1
c) A = x5 – x4 + 2x3 + 2x2 + 6 e B = x2 – x
11. Em uma divisão de polinômios, o divisor é x2 + 3x – 6, o resto é 2x + 11 e o quociente é x3 + 2x – 1. 
Qual é o dividendo?
12. Em uma divisão de polinômios, o divisor é x3 – x + 2, o resto é 2x2 – x + 1 e o quociente é 3x + 8. 
Qual é o valor numérico do dividendo para x = 1?
13. Dividindo-se um polinômio P por x² – 1, vamos obter quociente x + 2 e resto x – 3. Qual é o 
quociente e o resto da divisão do polinômio P por x – 2?
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1. Em uma partida de basquete, Oscar fez x arremessos à cesta e acertou 60% desses arremessos 
menos 1. Ricardo também fez x arremessos e acertou 40% mais 2. Nessas condições, recordando 
que 60% = 0,6 e 40% = 0,4, escreva:
a) O polinômio que representa a quantidade de arremessos que Oscar acertou.
 
b) O polinômio que representa a quantidade de arremessos que Ricardo acertou.
c) O polinômio que representa a quantidade que os dois acertaram juntos e outro que repre-
senta a diferença entre Oscar e Ricardo.
2. Duas lojas vendem o mesmo aparelho por um mesmo preço de x reais quando o pagamento 
é à vista. Para comprar a prazo, esse aparelho tem preços diferentes.
 Loja 1: entrada de 60% do preço x mais duas prestações de y reais.
 Loja 2: entrada de 40% do preço x mais três prestações de y reais.
Nessas condições, responda ao que se pede.
a) Que polinômio representa o preço do aparelho na loja 1, para comprar a prazo? 
b) Que polinômio representa o preço do aparelho na loja 2, para comprar a prazo?
3. Um aparelho eletrodoméstico está à venda em uma loja nas seguintes condições: uma entra-
da de x reais e 4 prestações de y reais. Se a loja vender, em um dia, 15 desses aparelhos, que 
polinômio representa a quantia que a loja vai faturar com essa venda? 
 
ATIVIDADES
 
1. Dado o polinômio 5a3 – 2a2x4 + x5, determine:
a) o grau do polinômio;
b) o grau do polinômio em relação à variável x.
2. Considere o polinômio x4 – 10x2 + 9 e responda ao que se pede.
a) De que grau é esse polinômio?
b) O polinômio é completo ou incompleto?
c) Caso seja incompleto, escreva a forma geral desse polinômio.
3. Dê o grau de cada polinômio.
a) A = x3 + 0x2 + 2x + 4
c) C = 0x3 + 0x2 + 3x + 1
e) E = 1 + x + x2 + x3
b) B = 0x3 + 2x2 + 0x – 2
d) D = 0x3 + 0x2 + 0x + 4
VAMOS PRATICAR MAIS?
Resposta
As respostas para a seção 
Atividades são:
1. 
a) 0,6x – 1
b) 0,4x + 2
c) Acertaram juntos: 
0,6x – 1 + 0,4x + 2 = x + 1
Diferença entre Oscar e Ricardo: 
(0,6x – 1) – (0,4x + 2) = 0,2x – 3
2. 
a) 0,6x + 2y
b) 0,4x + 3y
3. (x + 4y) 15 = 15x + 60y
As respostas para a seção 
Vamos praticar mais? são:
1. 
a) O polinômio é do 6.º grau.
b) O polinômio é do 5.º grau 
em relação à variável x.
2. 
a) O polinômio é do 4.º grau.
b) O polinômio é incompleto, 
pois o coeficiente dos termos de 
graus 1 e 3 são iguais a 0 (zero).
c) Esse polinômio, na sua forma 
geral, é escrito assim: 
x4 + 0x3 – 10x2 + 0x + 9.
3. 
a) 3.º grau.
b) 2.º grau.
c) 1.º grau.
d) Grau 0.
e) 3.º grau.
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 4. Reduza os termos semelhantes e classifique-os em monômio, binômio ou trinômio.
a) 2a + 3b – 1 – 3b + a
b) x + 3y – 6x – 3y + 6x – 2
c) a2 – 3a + 1 – a2 + 5a – 4 + 3a + 7a – 12a + 2
d) 2x3 – 3 + 2x2 – x3 – 2x2 + 3x – x3 + 3 – 3x
e) a – b – 3c + 2ab – 3ac + bc – 2ab + 3c + b – 4a + ac
5. Reduza os termos semelhantes, ordene-os e dê o grau de cada polinômio.
a) 4x2 – 7x + 6x2 + 2 + 4x – x2 – 1
b) 6x + 1 – x2 – 2 + 3x – 2x + x2 – 3x
c) 3x + 4 – 5x2 + 7x – 3x3 + 6x2 – 7 + 2x + 8x3
d) x4 – 2x3 + 3x2 + 2x – 1 + 4 – 3x – 3x2 + 4x3 – x4 + 5x3 – 2x
6. Dados A = 3x + 2; B = –4x + 3; C = –5x – 2 e D = 2x – 1, calcule:
a) A – B 
c) C – D – A 
e) A · A
g) C · C
b) A + B – C 
d) A – B + C – D 
f ) B · B
h) D · D
7. Simplifique as expressões.
a) (2x + 3) (3 – 2x) – 2(1 – x) b) (2x –1) (x + 2) + (x – 1) (x – 2) 
c) (x – 1) (x2 + x + 1) – (x – 1)(x2 + 1) d) (a + b) (a + b – c) – c (c + a – b) 
8. Calcule os produtos de polinômios e coloque-os em ordem.
a) (2x + 5) (x2 – 4x + 9)
c) (x2 + 3x + 4) (–2x2 – x + 3)
e) (x – 2) (16 + 8x + 4x2 + 2x3 + x4) + 32
g) (1 – x) (1 + x + x2) (1 + x3 + x6)
b) (3x2 – 1) (x2 + x – 5)
d) (x2 – x +1) (x3 – 3x2 – 2x + 4)
f ) (x3 + x2 – 1) (x2 – x + 1)
9. Efetue as divisões polinomiais.
a) (20x5 – 16x4) : 4x3 b) (x2 – 2x) : (–x) c) (4a + 2b – 5) : (–1)
10. Divida A por B e encontre o quociente Q e o resto R, em cada item.
a) A = –2x4 – 11x3 – x2 + 18x + 8 e B = x2 + 5x + 2
b) A = 18x2 – 20x + 13 e B = 3x2 – 4x + 1
c) A = x5 – x4 + 2x3 + 2x2 + 6 e B = x2 – x
11. Em uma divisão de polinômios, o divisor é x2 + 3x – 6, o resto é 2x + 11 e o quociente é x3 + 2x – 1. 
Qual é o dividendo?
12. Em uma divisão de polinômios, o divisor é x3 – x + 2, o resto é 2x2 – x + 1 e o quociente é 3x + 8. 
Qual é o valor numérico do dividendo para x = 1?
13. Dividindo-se um polinômio P por x² – 1, vamos obter quociente x + 2 e resto x – 3. Qual é o 
quociente e o resto da divisão do polinômio P por x – 2?
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1. Em uma partida de basquete, Oscar fez x arremessos à cesta e acertou 60% desses arremessos 
menos1. Ricardo também fez x arremessos e acertou 40% mais 2. Nessas condições, recordando 
que 60% = 0,6 e 40% = 0,4, escreva:
a) O polinômio que representa a quantidade de arremessos que Oscar acertou.
 
b) O polinômio que representa a quantidade de arremessos que Ricardo acertou.
c) O polinômio que representa a quantidade que os dois acertaram juntos e outro que repre-
senta a diferença entre Oscar e Ricardo.
2. Duas lojas vendem o mesmo aparelho por um mesmo preço de x reais quando o pagamento 
é à vista. Para comprar a prazo, esse aparelho tem preços diferentes.
 Loja 1: entrada de 60% do preço x mais duas prestações de y reais.
 Loja 2: entrada de 40% do preço x mais três prestações de y reais.
Nessas condições, responda ao que se pede.
a) Que polinômio representa o preço do aparelho na loja 1, para comprar a prazo? 
b) Que polinômio representa o preço do aparelho na loja 2, para comprar a prazo?
3. Um aparelho eletrodoméstico está à venda em uma loja nas seguintes condições: uma entra-
da de x reais e 4 prestações de y reais. Se a loja vender, em um dia, 15 desses aparelhos, que 
polinômio representa a quantia que a loja vai faturar com essa venda? 
 
ATIVIDADES
 
1. Dado o polinômio 5a3 – 2a2x4 + x5, determine:
a) o grau do polinômio;
b) o grau do polinômio em relação à variável x.
2. Considere o polinômio x4 – 10x2 + 9 e responda ao que se pede.
a) De que grau é esse polinômio?
b) O polinômio é completo ou incompleto?
c) Caso seja incompleto, escreva a forma geral desse polinômio.
3. Dê o grau de cada polinômio.
a) A = x3 + 0x2 + 2x + 4
c) C = 0x3 + 0x2 + 3x + 1
e) E = 1 + x + x2 + x3
b) B = 0x3 + 2x2 + 0x – 2
d) D = 0x3 + 0x2 + 0x + 4
VAMOS PRATICAR MAIS?
Resposta
4. 
a) 3a – 1; binômio.
b) x – 2; binômio.
c) – 1; monômio.
d) 0; monômio.
e) –3a – 2ac + bc; trinômio.
5. 
a) 9x2 – 3x + 1; 2.º grau.
b) 4x – 1; 1.º grau.
c) 5x3 + x2 + 12x – 3; 3.º grau.
d) 7x3 – 3x + 3; 3.º grau. 
6. 
a) 7x – 1
b) 4x + 7
c) –10x – 3
d) –2
e) 9x2 + 12x + 4
f ) 16x2 – 24x + 9
g) 25x2 + 20x + 4
h) 4x2 – 4x + 1
7. 
a) –4x2 + 2x + 7
b) 3x2
c) x2 – x
d) a2 + b2 – c2 + 2ab – 2ac
8. 
a) 2x3 – 3x2 – 2x + 45
b) 3x4 + 3x3 – 16x2 – x + 5
c) –2x4 – 7x3 – 8x2 + 5x + 12
d) x5 – 4x4 + 2x3 + 3x2 – 6x + 4
e) x5
f ) x5 + x – 1
g) 1 – x9
9. 
a) 5x2 – 4x
b) –x + 2
c) –4a – 2b + 5
10. 
a) Q = –2x2 – x + 8 e 
R = –20x – 8.
b) Q = 6 e R = 4x + 7.
c) Q = x3 + 2x + 4 e R = 4x + 6.
11. x5 + 3x4 – 4x3 + 5x2 – 13x + 17
12. 24
13. Q = x2 + 4x + 8 e R = 11.
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148 MATEMÁTICA
148 MATEMÁTICA
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Definição e operações – Relacionando conceitos
é a soma entre
POLINÔMIO
a soma entre monômios
mais de uma variável
 
soma subtração multiplicação divisão
agrupando
podendo 
fazer
operações
de
que podem ter
 
 
monômios
uma variável
termos semelhantes
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MATEMÁTICA XXIII
Referências
ANACLETO, Alcinda Maria da Costa. Temperatura e sua medição. 2007. Dissertação (Mestrado em Física para o Ensino) – 
Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, Portugal, 2007. Disponível em: http://url.sae.digital/nsTbTdu. Acesso em: 
24 jul. 2019.
ATIQUE, Roberta Godoi Wik. Geometria. Disponível em: http://url.sae.digital/uHfvaOl. Acesso em: 8 ago. 2017.
BARBOSA, R. M. Descobrindo a Geometria Fractal para Sala de Aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2002. 160 p.
BRASIL tem mais de 204 milhões de habitantes, diz IBGE. UOL. 28 ago. 2015. Disponível em: http://url.sae.digital/UELSRKH. 
Acesso em:  24 jul. 2019.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular – BNCC: educação é a base. Brasília, 2017. Disponível em:
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/wp-content/uploads/2018/02/bncc-20dez-site.pdf. Acesso em: 8 mar. 2019.
ECHEVESTE, Simone et al. Estatística divertida: trabalhando com gráficos na escola. Disponível em: http://url.sae.digital/
WOtndg1. Acesso em: 23 jul. 2019.
EUCLIDES. Os Elementos. Tradução de: Irineu Bicudo. São Paulo: UNESP, 2009. 593 p.
FREIRE, Paloma Barbosa; CASTILHO, José Eduardo. A matemática dos códigos criptografados. Disponível em: http://url.sae.
digital/sG4aZk2. Acesso em: 24 jul. 2019.
FUZZO, Regis Alessandro et al. Fractais: algumas características e propriedades. In: Encontro de Produção Científica e 
Tecnológica, 4, 2009, Campo Mourão (PR). Anais [...]. Campo Mourão (PR): Faculdade Estadual de Ciências e Letras de Campo 
Mourão, 2009. Disponível em: http://url.sae.digital/ex41zRM. Acesso em: 24 jul. 2019.
GEOGEBRA. Disponível em: http://web.geogebra.org/app/. Acesso em: 24 jul. 2019.
IBGE.  Projeção da população do Brasil e das Unidades da Federação.  Disponível em: http://www.ibge.gov.br/apps/
populacao/projecao/. Acesso em: 24 jul. 2019.
IEZZI, G. Fundamentos da Matemática Elementar. São Paulo: Atual, 2013. v. 6. 206 p.
IMENES, L. M.; JAKUBOVIC, J.; LELLIS, M. Álgebra. São Paulo: Atual, 2009. 48 p.
JESUS, Adelmo Ribeiro de et al. Conjuntos numéricos e funções. Disponível em: http://url.sae.digital/InrBOCn. 
Acesso em: 24 jul. 2019.
LIMA, Eliane. Conjuntos numéricos. Matematicando. 24 jul. 2019.  Disponível em: http://www.matematicando.net.br/calculo-
zero/. Acesso em: 24 jul. 2019.
LIMA, Eliane. Desenho Geométrico. Matematicando. 16 ago. 2018. Disponível em: http://www.matematicando.net.br/
desenho-geometrico/. Acesso em: 24 jul. 2019.
MACHADO, S. D. A. Educação Matemática – Uma (Nova) Introdução. São Paulo: EDUC, 2008. 254 p.
ROQUE, T. História da Matemática. Rio de Janeiro: Zahar, 2012. 512 p.
SADOVSKY, P. O Ensino de Matemática Hoje. Rio de Janeiro: Ática, 2010. 112 p.
SANTI, Alexandre de; KIST, Cristine; GARATTONI, Bruno. Sorte: como controlar a sua. Disponível em: http://url.sae.
digital/13iLQtH. Acesso em: 23 jul. 2019.
SANTOS, J. C. Números. Portugal: Universidade do Porto, 2014. 299 p.
UFRGS. Cálculo das constantes elementares clássicas: o caso do Pi. Disponível em: http://url.sae.digital/7RJ5a1f. Acesso 
em: 24 jul. 2019.
UFRJ. Localizando irracionais – A continuidade de reta. Disponível em: http://url.sae.digital/1r5qXlm. Acesso em: 8 ago. 2017.
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