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O vértice de uma parábola
1ª SÉRIE
Aula 13 – 3º Bimestre
Matemática
Etapa Ensino Médio
Vértice de uma parábola.
Compreender o que é o vértice da parábola e investigar o ponto de máximo ou de mínimo de funções polinomiais de segundo grau.
Conteúdo
Objetivo
Habilidade: (EM13MAT402) Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica.
Estimativa de tempo para o desenvolvimento das seções:
Para começar: 10 min.
Foco no conteúdo: 5 min.
Na prática 1: 10 min.
Na prática 2: 10 min.
Aplicando: 10 min.
 
O quadrado é um caso especial do retângulo?
Dentre todos os retângulos de perímetro 20 cm, determine o de área máxima.
Técnica: “Virem e conversem”
Tempo: 10 min.
Para começar
Correção
Para começar
Correção
Ou seja, a área é máxima para o quadrado de lado 5 cm. 
Para começar
Coordenadas do vértice de uma parábola
O ponto é chamado vértice da parábola, que representa a função 
Tempo: 5 min.
Foco no conteúdo
Vértice de uma parábola, de acordo com a concavidade e a quantidade de raízes
a > 0 (Concavidade voltada para cima)
V
V
V
Foco no conteúdo
a < 0 (Concavidade voltada para baixo)
Foco no conteúdo
Atividade 1
Determine as coordenadas dos vértices das seguintes parábolas, representadas pelas funções:
Técnica: “Todo mundo escreve”
Tempo: 10 min.
Na prática
Correção
Na prática
Correção
Na prática
Correção
Na prática
Atividade 2
a. Determine as coordenadas dos vértices da parábola que representa a função polinomial do segundo grau f cujos zeros são -5 e -3 e o coeficiente a é igual a 1.
b. Determine a e b de modo que o gráfico da função definida por tenha o vértice no ponto (4, -25) 
Técnica: “Todo mundo escreve”
Tempo: 10 min.
Na prática
Correção
Na prática
Correção
Na prática
Em certo retângulo, as medidas do comprimento x e largura y são numericamente iguais às coordenadas (x, y) do vértice da parábola que representa a função polinomial do segundo grau definida por 
. 
De acordo com essas informações, determine a área desse retângulo. 
Técnica: “Mostre-me”
Tempo: 10 min.
Aplicando
Correção
Aplicando
Compreender o que é o vértice da parábola e investigar o ponto de máximo ou de mínimo de funções polinomiais de segundo grau.
O que aprendemos hoje?
Tarefa SP
Localizador: 97758
Professor, para visualizar a tarefa da aula, acesse com seu login: tarefas.cmsp.educacao.sp.gov.br
Clique em “Atividades” e, em seguida, em “Modelos”.
Em “Buscar por”, selecione a opção “Localizador”.
Copie o localizador acima e cole no campo de busca.
Clique em “Procurar”. 
Videotutorial: http://tarefasp.educacao.sp.gov.br/
19
IEZZI, Gelson, HAZZAN, Samuel. Fundamentos da Matemática Elementar, V. 1, 8 ed. São Paulo: Atual, 2013. 
LEMOV, Doug. Aula Nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2018.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista do Ensino Médio. São Paulo, 2019.
Referências
Lista de imagens e vídeos
Slide 3 – Elaborada pelo autor.
Slide 4 – Elaborada pelo autor.
Slide 5 – Elaborada pelo autor.
Slide 6 – Elaborada pelo autor.
Slide 7 – Elaborada pelo autor.
Slide 8 – Elaborada pelo autor.
Referências
Material 
Digital
(
)
2
Considerando o retângulo de lados a e b,
 temos:
Perímetro2a2b202a2bab10
b10a
Sendo y a área do retângulo, temos que:
yabya10aya10a
=+Þ=+Þ+=Þ
Þ=-
=×Þ=×-Þ=-+
(
)
(
)
2
MMM
M
Como o sinal do coeficiente de a é negat
ivo
existe um máximo, que é dado por:
b1010
xxx
2a212
10
x5
2
=-Þ=-Þ=-Þ
×--
Þ==
a5 e b10a, 
então: b1055
==-
=-=
=-+
=-+-
=-+
2
2
2
a. y2x5x2
2
b. yxx
9
c. yx3
59
V,
48
æö
=-
ç÷
èø
(
)
2
2
2
a. y2x5x2
a2, b5, c2
b4ac
5422
2516
9
=-+
==-=
D=-××
D=--××
D=-
D=
V
V
V
y
4a
9
y
42
9
y
8
D
=-
×
=-
×
=-
(
)
V
v
V
b
x
2a
5
x
22
5
x
4
=-
×
-
=-
×
=
11
V,
236
æö
=
ç÷
èø
(
)
2
2
2
b. yxx
9
2
a1, b1, c
9
2
141
9
8981
1
999
=-+-
=-==-
æö
D=-×-×-
ç÷
èø
-
D=-==
(
)
(
)
v
v
v
b
x
2a
1
x
21
11
x
22
=-
=-
×-
=-=
-
(
)
(
)
v
v
v
y
4a
11
99
y
414
111
y
9436
D
=-
=-=-
×--
=×=
(
)
V0,3
=
(
)
(
)
2
2
c. yx3
a1, b0, c3
1413
0413
12
=-+
=-==
D=-×-×
D=-×-×
D=
(
)
(
)
v
v
v
b
x
2a
0
x
21
0
x0
2
=-
=-
×-
=-=
-
(
)
(
)
v
v
v
y
4a
1212
y
414
12
y3
4
D
=-
=-=-
×--
==
V
V
V
y
4a
44
y
414
y1
D
=-
=-=-
×
=-
(
)
V4,1
=--
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
12
12
2
2
a.
x5 e x3
a1
Escrevendo a função
na forma fatorada, temos:
fxaxxxx
fx1x5x3
fxx5x3
fxx3x5x15
fxx8x15
=-=-
=
éù
=×-×-
ëû
éù
=×--×--
ëû
=+×+
=+++
=++
2
a1, b8, c15
84115
6460
4
===
D=-××
D=-
D=
V
V
V
b
x
2a
88
x
212
x4
=-
=-=-
×
=-
(
)
2
25a48a49
-=×+-×-
Então, temos que:
2516a32a9
2516a9
16a925
16a16
a1
b8a
b81
b8
-=--
-=--
=-+
=
=
=-
=-×
=-
2
yx8x9
=--
(
)
2
vv
b.
yaxbx9
V4,25
x4, y25
b
48ab
2a
b8a
=+-
=-
==-
=-Þ=-Þ
Þ=-
(
)
O ponto V 4,25,pertence
a função, logo:
V
V
y
4a
49
y
4
D
=-
=-
1
2
×-
(
)
V
4949
y
22
æö
ç÷
èø
=-=
-
49
Área do retângulo = xy9
2
441
Área do retângulo = u.a
2
×=×
(
)
(
)
2
x
fx9x16
2
1
a, b9, c16
2
1
9416
2
64
818132
2
49
=-+-
=-==-
æö
D=-×-×-
ç÷
èø
D=-=-
D=
V
V
b
xx
2a
9
xx
2
==-
==-
1
2
×-
(
)
V
9
xx9
1
æö
ç÷
èø
==-=
-