Topologia (1)

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Noções (básicas) de Topologia Geral, espaços métricos,
espaços normados e espaços com produto interno
André Arbex Hallack
Setembro/2011
Introdução
O presente texto surgiu para dar suporte a um Seminário (de mesmo nome) oferecido pelo
Departamento de Matemática da Universidade Federal de Juiz de Fora no Verão/2000 e tendo
como principal objetivo fornecer algumas noções básicas (elementares) de Topologia, tanto
de espaços topológicos em geral como a topologia de espaços métricos, espaços normados e
espaços com produto interno, procurando fornecer aos participantes uma visão global de todos
esses tipos de espaço, a ser utilizada (ao menos como referência) em estudos mais avançados
na Matemática.
Originalmente visando atender aos alunos do Bacharelado em Matemática, o Seminário
pôde ser bem aproveitado também por outros que tinham objetivos relacionados com o acima
citado.
Os pré-requisitos básicos para seguir o texto são noções de Teoria dos Conjuntos e Álgebra
Linear. Embora não sendo absolutamente necessário, também é bom que se tenha tido algum
contato com a topologia usual da Reta (conjuntos abertos, fechados, compactos, etc. em IR -
conteúdo geralmente visto em um primeiro curso de Análise), bem como noções de convergência
de sequências e séries numéricas.
O primeiro caṕıtulo trata de noções de Topologia Geral. Seguem-se caṕıtulos sobre espaços
métricos, espaços normados e espaços com produto interno. Ao final do texto, foram acrescen-
tados (a t́ıtulo de informação adicional) três apêndices, tratando da Topologia Produto (sobre
produtos cartesianos de espaços topológicos), bases em espaços vetoriais e sobre o espaço IRn.
André Arbex Hallack
i
Índice
Introdução i
1 Topologia Geral 1
1.1 Espaços topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Base para uma topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Subespaços topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Interior, vizinhanças, fecho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Espaços de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Sequências em espaços topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Funções cont́ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.10 Conexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.11 Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Espaços métricos 23
2.1 Espaços métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Bolas, esferas e conjuntos limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 A Topologia Métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Sequências em espaços métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Funções cont́ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7 Compacidade em espaços métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
iii
2.8 Métricas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Espaços normados 39
3.1 Espaços normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 A topologia da norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Espaços de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5 Transformações lineares em espaços normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Espaços com produto interno 51
4.1 Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Norma a partir de um produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Espaços de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5 O Teorema de Representação de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
A Introdução à Topologia Produto 57
B Sobre bases em espaços vetoriais 63
C O espaço IRn 67
Referências 75
Caṕıtulo 1
Topologia Geral
Nosso principal objetivo neste primeiro caṕıtulo é trabalhar com o conceito geral de espaço
topológico e noções de convergência (de sequências), continuidade de funções, conexidade e
compacidade neste contexto.
1.1 Espaços topológicos
Definição 1.1. Uma TOPOLOGIA sobre um conjunto X é uma coleção τ de subconjuntos
de X ( τ ⊂ P(X) ) satisfazendo às seguintes propriedades:
A.1) φ e X estão em τ .
A.2) A união dos elementos de qualquer subcoleção de τ está em τ .
A.3) A interseção dos elementos de qualquer subcoleção finita de τ está em τ .
Um conjunto X munido de uma topologia τ (fixada) é chamado ESPAÇO TOPOLÓGICO.
Neste caso, dizemos que um subconjunto A ⊂ X é um conjunto ABERTO do espaço topológico
X se, e somente se, A ∈ τ .
Exemplos:
A) Topologia Discreta:
Seja X um conjunto qualquer. A coleção τ = P(X) de todos os subconjuntos de X é
uma topologia sobre X, conhecida como TOPOLOGIA DISCRETA.
Qualquer subconjunto de X é aberto na Topologia Discreta.
1
2 CAPÍTULO 1
B) Topologia Caótica:
Seja X um conjunto qualquer. A coleção τ = {φ , X} é uma topologia sobre X,
conhecida como TOPOLOGIA CAÓTICA.
Os conjuntos φ e X são os únicos abertos de X na Topologia Caótica.
C) Seja X = {a, b, c, d}
τd = P(X) é a Topologia Discreta sobre X.
τc = {φ , X} é a Topologia Caótica sobre X.
τ1 = {φ , {a} , {b} , {a, b} , X} é uma topologia sobre X.
τ2 = {φ , {a, b} , {c, d} , X} é uma topologia sobre X.
τ3 = {φ , {a} , {b} , {a, b} , {c, d} , X} não é uma topologia sobre X.
τ4 = {φ , {a} , {b} , {a, b} , {c, d} , {a, c, d} , {b, c, d} , X} é uma topologia sobre X.
D) Topologia Usual da Reta:
Consideremos o conjunto IR dos números reais.
A coleção τ dada por: τ = {A ⊂ IR; ∀ a ∈ A, ∃ ǫ > 0 com (a − ǫ, a + ǫ) ⊂ A} é uma
topologia sobre IR (mostre), conhecida como a Topologia Usual da Reta.
Os abertos de IR, na Topologia Usual, são os subconjuntos A ⊂ IR tais que: todos os
seus pontos são centros de intervalos abertos inteiramente contidos em A.
E) Topologia Usual do Plano Complexo (ou do IR2):
Consideremos o conjunto C = {z = x + iy ; x, y ∈ IR} dos números complexos.
A coleção τ dada por: τ = {A ⊂ C; ∀ a ∈ A, ∃ ǫ > 0 com Dǫ(a) ⊂ A} é uma topologia
(Usual) sobre C. Dǫ(a) = {z ∈ C; |z − a| < ǫ} é o disco aberto de centro a e raio ǫ > 0.
Os abertos de C, na Topologia Usual, são os subconjuntos A ⊂ C tais que: cada um
de seus pontos é centro de um disco aberto inteiramente contido em A:
Topologia Geral 3
Comparando topologias:
Sejam τ e τ ′ duas topologias sobre um conjunto X. Se τ ⊂ τ ′ então dizemos que a
topologia τ ′ é MAIS FORTE (ou MAIOR ou MAIS FINA) que τ , ou equivalentemente, que
a topologia τ é MAIS FRACA (ou MENOR ou MAIS GROSSA) que τ ′. (Exemplos)
Exerćıcios:
1) Determine todas as topologias posśıveis sobre o conjunto X = {a, b, c} .
2) Seja X um conjunto qualquer. Seja τf a coleção dos subconjuntos U ⊂ X tais que
X\U é finito ou U = φ :
τf = { U ⊂ X ; X\U é finito} ∪ {φ }
(a) Mostre que τf é uma topologia sobre o conjunto X (é chamada a Topologia do Comple-
mento Finito).
(b) O que podemos dizer de τf se X é um conjunto finito?
3) Seja X um espaço topológico. Seja A ⊂ X tal que para cada x ∈ Aexiste um
conjunto aberto Ux com x ∈ Ux ⊂ A. Mostre que A é aberto em X.
1.2 Base para uma topologia
Definição 1.2. Seja X um conjunto qualquer. Uma coleção B de subconjuntos de X é uma
BASE PARA UMA TOPOLOGIA SOBRE X se, e somente se, as duas condições abaixo são
satisfeitas:
1) Para cada x ∈ X, existe pelo menos um conjunto B ∈ B tal que x ∈ B.
2) Se x pertence à interseção de dois conjuntos B1, B2 ∈ B então existe um conjunto
B3 ∈ B tal que x ∈ B3 ⊂ B1 ∩ B2.
O termo BASE se justifica pois se B é base para uma topologia sobre X podemos construir
a partir de B uma topologia τB sobre X (chamada TOPOLOGIA GERADA POR B), dada
por:
τB = { U ⊂ X ; ∀ x ∈ U, ∃ B ∈ B com x ∈ B ⊂ U }
É imediato que B ⊂ τB (os conjuntos B ∈ B são chamados ABERTOS BÁSICOS)
4 CAPÍTULO 1
Exemplos:
A) A coleção B = {I ⊂ IR ; I é intervalo aberto } é uma base para a Topologia Usual
da Reta, ou seja, é uma base para uma topologia em IR e a topologia gerada por B é a
Topologia Usual da Reta (verifique).
B) Seja X = {f : IR → IR} o conjunto de todas as funções de IR em IR (também de-
notado por IRIR). Dados um conjunto finito F = {x1, x2, . . . , xn} ⊂ IR e uma coleção
de n abertos U = {U1, U2, . . . , Un} (na Topologia Usual da Reta), considere o conjunto
BF, U = { f ∈ X ; f(xi) ∈ Ui ∀ i = 1, 2, . . . , n} .
A coleção B = {BF, U ; F e U como acima (variando)} é uma base para uma topologia
sobre X (mostre).
Exerćıcios:
1) Se B é uma base para uma topologia sobre X, mostre que τB definida anteriormente
é de fato uma topologia sobre X.
2) Sejam X um conjunto e B uma base para uma topologia τB sobre X. Mostre que
τB é a coleção de todas as uniões de elementos de B.
1.3 Subespaços topológicos
Definição 1.3. Seja X um espaço topológico, munido de uma topologia τ .
Se Y é um subconjunto de X, podemos então construir uma topologia natural sobre Y ,
a partir da topologia τ : τY = {Y ∩ A ; A ∈ τ} é uma topologia sobre Y (mostrar),
chamada TOPOLOGIA DE SUBESPAÇO e o espaço topológico (Y, τY ) é dito SUBESPAÇO
(TOPOLÓGICO) do espaço topológico (X, τ).
Os abertos do subespaço Y ⊂ X consistem portanto de todas as interseções de Y com os
abertos de X. (Exemplos)
1.4 Conjuntos fechados
Definição 1.4. Um subconjunto F de um espaço topológico X é dito ser FECHADO se, e
somente se, o conjunto A = X\F é aberto.
Topologia Geral 5
Teorema 1.5. Seja X um espaço topológico. Então as seguintes condições são satisfeitas:
F.1) φ e X são fechados.
F.2) Interseções arbitrárias de conjuntos fechados são conjuntos fechados.
F.3) Uniões finitas de conjuntos fechados são conjuntos fechados.
Exerćıcios:
1) Prove o Teorema 1.5 acima.
2) Mostre que se A é aberto em X (i. é, A é aberto do espaço topológico X) e F é fechado
em X então A\F é aberto em X e F\A é fechado em X.
1.5 Interior, vizinhanças, fecho
Definição 1.6. (Interior) Dado um subconjunto B de um espaço topológico X, definimos o
INTERIOR de B ( int B) como a união de todos os conjuntos abertos contidos em B.
Teorema 1.7. Seja X um espaço topológico. São consequências imediatas da definição de
interior de um conjunto (mostre):
a) int B ⊂ B ∀ B ⊂ X.
b) int B é aberto ∀ B ⊂ X.
c) B é aberto
B⊂X
⇐⇒ B = int B.
d) A ⊂ B ⇒ int A ⊂ int B ∀ A, B ⊂ X.
e) int (A ∩ B) = int A ∩ int B ∀ A, B ⊂ X.
Exerćıcio: Mostre que, ∀ A, B ⊂ X (espaço topológico), int (A ∪ B) ⊃ int A ∪ int B.
Dê um exemplo em que esta inclusão não se reduz à igualdade.
Definição 1.8. (Vizinhança) Seja X um espaço topológico. Um subconjunto V ⊂ X é uma
VIZINHANÇA de um ponto x ∈ X se, e somente se, existe um aberto A tal que x ∈ A ⊂ V .
6 CAPÍTULO 1
Teorema 1.9. Seja X um espaço topológico. São consequências imediatas da definição de
vizinhança (mostre):
a) V é vizinhança de x ∈ X ⇔ x ∈ int V
b) A é aberto
A⊂X
⇐⇒ A é vizinhança de cada um de seus pontos.
Exerćıcios:
1) Mostre que a interseção de duas vizinhanças de um ponto é uma vizinhança deste ponto.
2) Sejam τ ⊂ τ ′ duas topologias sobre um conjunto X.
Mostre que se V é uma vizinhança de um ponto x ∈ X na topologia mais fraca τ então
V é uma vizinhança de X na topologia mais forte τ ′.
Mostre através de um exemplo que a rećıproca da afirmação acima não é verdadeira.
Definição 1.10. (Base de vizinhanças de um ponto)
Dado x ∈ X (espaço topológico), uma coleção Bx de vizinhanças de x é dita ser uma
BASE DE VIZINHANÇAS DE x se, e somente se, para cada vizinhança V de x é posśıvel
obter uma vizinhança B ∈ Bx tal que B ⊂ V .
Os elementos B ∈ Bx são chamados VIZINHANÇAS BÁSICAS DE x.
Exerćıcios:
1) Seja B uma base para uma topologia τB sobre um espaço X (ver Seção 1.2). Dado
x ∈ X, mostre que a coleção Bx = {B ∈ B ; x ∈ B} é uma base de vizinhanças de x.
2) Mostre que Bx = { (x − ǫ, x + ǫ) ; ǫ > 0 }, intervalos abertos centrados em um ponto
x ∈ IR , formam uma base de vizinhanças de x na Topologia Usual da Reta.
3) Seja X = {f : IR → IR} . Considerando o Exemplo B da Seção 1.2, mostre que
BO = { VF, ǫ = {f ∈ X ; |f(x)| < ǫ ∀ x ∈ F } F (finito) ⊂ IR , ǫ > 0 } é uma base de vizi-
nhanças da função nula O : IR → IR na topologia considerada.
Definição 1.11. (Fecho)
Seja X um espaço topológico. Dado um subconjunto B ⊂ X, definimos o FECHO DE B
(B̄ ou cl XB ou cl B) como a interseção de todos os conjuntos fechados que contêm B.
Topologia Geral 7
Teorema 1.12. Seja X um espaço topológico. São consequências imediatas da definição de
fecho de um conjunto (mostre):
a) B ⊂ cl B ∀ B ⊂ X.
b) cl B é fechado ∀ B ⊂ X.
c) B é fechado
B⊂X
⇐⇒ B = cl B.
d) A ⊂ B ⇒ cl A ⊂ cl B ∀ A, B ⊂ X.
e) cl (A ∪ B) = cl A ∪ cl B ∀ A, B ⊂ X.
Teorema 1.13. Seja X um espaço topológico. Dados B ⊂ X e x ∈ X, temos:
x ∈ cl B se, e somente se, toda vizinhança de x intersecta o conjunto B.
Prova:
Exerćıcios:
1) Considere o conjunto X = {a, b, c, d, e} e a seguinte topologia sobre X:
τ = {φ , X, {a} , {a, b} , {a, c, d} , {a, b, c, d} , {a, b, e} } .
(a) Obtenha todas as vizinhanças do ponto c.
(b) Qual a “menor” base de vizinhanças do ponto a ?
(c) Obtenha o fecho do subconjunto {b, c} ⊂ X .
(d) Obtenha o interior do subconjunto {a, b, c} ⊂ X .
(e) Se A = {a, c, e}, qual é a topologia relativa (de subespaço) de A ?
8 CAPÍTULO 1
2) Mostre por um contra-exemplo que podemos ter int ( clA) 6= cl ( int A).
3) Considere B ⊂ X (espaço topológico). Mostre que X\ cl B = int (X\B) e que
X\ int B = cl (X\B).
4) Seja Y ⊂ X (espaço topológico). Mostre que { Y ∩ F ; F é fechado em X } é a
coleção dos conjuntos fechados do subespaço topológico Y ⊂ X.
5) Sejam B ⊂ Y ⊂ X (espaço topológico). Mostre que cl Y B = Y ∩ cl XB.
Obs.: cl Y B é o fecho de B no espaço Y (subespaço topológico de X)
cl XB é o fecho de B no espaço X.
(Sugestão: use o exerćıcio anterior)
6) Mostre que A ⊂ X (espaço topológico) é aberto se, e somente se, A ∩ cl (X\A) = φ .
7) Mostre que se A, B ⊂ X (espaço topológico), então cl (A ∩ B) ⊂ ( cl A ∩ cl B).
Dê um exemplo em que esta inclusão não se reduz à igualdade.
8) Se um aberto A contém pontos do fecho de B, então A contém pontos de B (mostre).
9) (Pontos de acumulação) Seja B ⊂ X (espaço topológico). Um ponto x ∈ X é
dito PONTO DE ACUMULAÇÃO DE B se, e somente se, toda vizinhança de x intersecta
B\ {x} . Denotamos por B′ o conjunto dos pontos de acumulação de B.
Mostre que cl B = B ∪ B′ ∀ B ⊂ X. Podemos garantir que B′ é sempre fechado?
Caso a resposta seja SIM, prove. Se não, apresente um contra-exemplo.
10) (Fronteira) Seja B ⊂ X (espaço topológico). Definimos a FRONTEIRA DE B
(e escrevemos fr B ou ∂B) como o conjunto:
fr B = cl B ∩ cl (X\B)
(a) Mostre que int B ∩ fr B = φ
(b) Mostre que fr B = φ ⇔ B é aberto e fechado.
(c) Mostre que A é aberto ⇔ fr A = ( cl A)\A.
(d) Mostre que se A é aberto então sua fronteira possui interior vazio.
(e)Dê exemplo de um conjunto B, que não seja vazio nem o espaço todo, cuja fronteira
seja um conjunto aberto.
(f) Mostre que se F é fechado então sua fronteira tem interior vazio.
11) (Densidade) Um subconjunto B ⊂ X (espaço topológico) é DENSO EM X se, e
somente se, cl XB = X.
Um espaço topológico é dito SEPARÁVEL se possuir um subconjunto enumerável denso.
Topologia Geral 9
Sejam B ⊂ Y ⊂ X (espaço topológico). B é denso em Y se, e somente se, B é denso no
subespaço Y (com a topologia de subespaço), isto é, se, e somente se, cl Y B = Y .
Se B ⊂ Y ⊂ X (espaço topológico), mostre que B é denso em Y se, e somente se,
Y ⊂ cl XB.
12) Mostre que se A é aberto em X (espaço topológico) e D ⊂ X é denso em X então
A ∩ D é denso em A.
13) Um subconjunto H de um espaço topológico X é chamado “NOWHERE DENSE”
(ou “RARO”) quando int ( cl XH) = φ .
Prove: Se H é um subconjunto “nowhere dense” de X, então X\( cl XH) é denso em X.
14) Para cada n = 0, 1, 2, 3, . . . , seja An = { n, n + 1, n + 2, . . .}. Consideremos em
X = { 0, 1, 2, 3, . . .} a topologia τ = {φ , An ; n = 0, 1, 2, 3, . . .}.
(a) Determine os subconjuntos fechados de (X, τ).
(b) Determine o fecho dos conjuntos { 8, 12, 36} e { 2n ; n ∈ X}.
(c) Determine quais os subconjuntos de X que são densos em X.
1.6 Espaços de Hausdorff
Definição 1.14. Um espaço topológico X é dito ser um ESPAÇO DE HAUSDORFF se, e
somente se, para cada par de pontos distintos x, y ∈ X é posśıvel obter abertos disjuntos
U e V tais que x ∈ U e y ∈ V .
Um espaço de Hausdorff é também chamado SEPARADO, ou T2.
Teorema 1.15. Todo conjunto unitário em um espaço de Hausdorff é fechado.
Prova:
Corolário 1. Todo conjunto finito em um espaço de Hausdorff é fechado.
(Exemplos)
10 CAPÍTULO 1
Exerćıcios:
1) (Alguns axiomas de separação) Consideremos as classificações abaixo:
T0 : Um espaço topológico X é dito ser T0 (ou a topologia de X é dita T0) se, e somente se,
dados dois pontos distintos x, y ∈ X (x 6= y), existe um aberto contendo um destes pontos e
não contendo o outro.
T1 : Um espaço topológico X é dito ser T1 se, e somente se, dados dois pontos distintos
x, y ∈ X (x 6= y), existem abertos U e V tais que x ∈ U, y ∈ V, x 6∈ V e y 6∈ U .
T2 : Um espaço topológico X é dito ser T2 (ou Hausdorff) se, e somente se, dados dois
pontos distintos x, y ∈ X (x 6= y), existem abertos disjuntos U e V tais que x ∈ U e
y ∈ V .
Obs.: Existem outros axiomas de separação (T3, T31/2
, T4, . . .)
(a) É óbvio que todo espaço T2 é T1 e todo espaço T1 é T0. Porém nem todo espaço T0 é T1
e nem todo espaço T1 é T2 (caso contrário não faria sentido definir espaços de tipos diferentes!)
Dê um exemplo de um espaço que não é T0.
Dê um exemplo de um espaço que é T0 mas não é T1.
Dê um exemplo de um espaço que é T1 mas não é T2 (Sugestão: mostre que qualquer
conjunto infinito com a Topologia do Complemento Finito - ver exerćıcios da Seção 1.1 - é T1
mas não é T2).
(b) Mostre que um espaço topológico é T1 se, e somente se, todo subconjunto unitário é
fechado.
2) Sejam τ ⊂ τ ′ duas topologias sobre um conjunto X (τ ′ mais forte que τ).
Que tipo de resultado podemos inferir sobre essas topologias com relação aos axiomas de
separação T0, T1 e T2 ?
O que podemos concluir sobre as “chances” de uma topologia atender às condições T0, T1
ou T2, no que diz respeito à sua “força”?
1.7 Sequências em espaços topológicos
Definição 1.16. Sejam X um espaço topológico e (xn) ⊂ X uma sequência em X.
Um ponto x ∈ X é LIMITE da sequência (xn) (equivalentemente dizemos que (xn)
converge para x e escrevemos xn → x) se, e somente se, para cada vizinhança V de x é
posśıvel obter um ı́ndice n0 ∈ IN tal que n > n0 ⇒ xn ∈ V .
Topologia Geral 11
Observação: É interessante notar a importância da topologia no conceito de convergência
de sequências, ou melhor, dada uma sequência (xn) em um espaço topológico X, a con-
vergência ou não de (xn) para um ponto x ∈ X depende fortemente da topologia
considerada sobre X. Por este motivo, às vezes é conveniente explicitarmos qual topolo-
gia está sendo considerada, principalmente quando o problema puder envolver mais de uma
topologia sobre um mesmo conjunto X.
Exemplo:
Exerćıcio:
Sejam X um espaço topológico e (xn) uma sequência em X.
(a) Dado x ∈ X, fixe uma base Bx de vizinhanças de x e mostre que xn → x se, e
somente se, para cada vizinhança básica V ∈ Bx de x é posśıvel obter um ı́ndice n0 ∈ IN
tal que n > n0 ⇒ xn ∈ V . (Veja: base de vizinhanças de um ponto, Seção 1.5)
Obs.: Moral da estória: podemos verificar (e até definir) convergência de sequências
utilizando vizinhanças básicas.
12 CAPÍTULO 1
(b) Consideremos a Topologia Usual da Reta IR. Utilizando a parte (a) anterior e o fato de
que os intervalos abertos centrados em um ponto da reta constituem uma base de vizinhanças
desse ponto, conclua que (na Topologia Usual) uma sequência (xn) ⊂ IR converge para
um ponto x ∈ IR se, e somente se, dado ǫ > 0, existe um ı́ndice n0 ∈ IN tal que
n > n0 ⇒ |xn − x| < ǫ.
Obs.: A caracterização de convergência obtida acima em (b) (e utilizada como definição
quando é fixada a Topologia Usual da Reta) é um caso particular da definição 1.16!
Teorema 1.17. Se X é um espaço de Hausdorff então toda sequência convergente em X
converge para um único limite.
Teorema 1.18. Sejam X um conjunto e τ ⊂ τ ′ duas topologias sobre X (τ ′ mais forte do
que τ). Se (xn) ⊂ X é tal que xn
τ ′
→ x ∈ X então xn
τ→ x.
Teorema 1.19. Sejam X um espaço topológico e B ⊂ X um subconjunto de X. Se existe
uma sequência (xn) em B (xn ∈ B ∀ n) que converge para um ponto x ∈ X, então x ∈ cl B.
Observação: A rećıproca do teorema acima não é verdadeira em geral.
É posśıvel obter um espaço topológico X, um subconjunto B ⊂ X e um ponto x ∈ X
tais que x ∈ cl B mas não existe nenhuma sequência (xn) ⊂ B convergindo para x.
O contra-exemplo a seguir ilustra essa situação.
Contra-exemplo:
Topologia Geral 13
Apesar de existirem (e muitos) espaços onde, devido a suas topologias, a rećıproca do
Teorema 1.19 é verdadeira (por exemplo: IR e C com suas Topologias Usuais), não podemos
em geral, à luz da observação e do contra-exemplo acima, caracterizar (nem definir portanto)
o fecho de um conjunto B como o conjunto dos limites de sequências em B.
Por esta inadequação das sequências na caracterização do fecho surgem novos con-
ceitos, de FILTROS e NETS (generalização de sequências) que ajudam a contornar o problema
acima.
Exerćıcios:
1) Prove o Teorema 1.17
2) Prove o Teorema 1.18
3) Prove o Teorema 1.19
4) Seja X um espaço topológico onde não é válida a rećıproca do Teorema 1.19, isto é,
existem um subconjunto B ⊂ X e um ponto x ∈ X tais que x ∈ cl B mas não existe
nenhuma sequência (xn) ⊂ B convergindo para x.
Para cada D ⊂ X , definimos o conjunto D = {x ∈ X ; ∃ (xn) ⊂ D com lim xn = x}
(D é o conjunto dos limites de sequências em D).
Usando o conjunto B acima, prove que o conjunto D nem sempre é fechado (seu comple-
mentar não é aberto) e conclua (se quisermos naturalmente que os fechos sejam fechados) que
não podemos definir o fecho de um conjunto F como F (isto é, o conjunto dos limites de suas
sequências).
5) Um espaço topológico X satisfaz ao 1o AXIOMA DA ENUMERABILIDADE quando
cada ponto de X possui uma base de vizinhanças enumerável.
(a) Sendo X um espaço topológico que satisfaz ao 1o Axioma da Enumerabilidade, mostre
que cada x ∈ X possui uma base enumerável de vizinhanças “encaixadas”:
Bx = { V1 ⊃ V2 ⊃ V3 ⊃ . . . ⊃ Vn ⊃ . . .}
(b) Se X é um espaço topológico que satisfaz ao 1o Axioma da Enumerabilidade, mostre
que em X vale a rećıproca do Teorema 1.19, ou seja, se um ponto x pertence ao fecho cl B
de um conjunto B ⊂ X, então existe uma sequência (xn) em B tal que xn → x. Apartir
dáı, conclua que neste tipo de espaço podemos definir o fecho de um conjunto de uma nova
maneira (defina).
(c) Mostre que a reta IR e o plano complexo C (IR2) com suas Topologias Usuais são
espaços topológicos que satisfazem ao 1o Axioma da Enumerabilidade (no estudo de Análise
na Reta e Análise no IRn, onde são consideradas as Topologias Usuais, podemos caracterizar
e portanto definir o fecho de um conjunto através de sequências).
14 CAPÍTULO 1
1.8 Funções cont́ınuas
Definição 1.20. Sejam X e Y espaços topológicos. Uma função f : X → Y é dita ser
CONTÍNUA se, e somente se, para cada subconjunto A aberto de Y , sua imagem inversa
f−1(A) é um aberto de X.
(Exemplos)
Teorema 1.21. Sejam X e Y espaços topológicos e f : X → Y . Então, são equivalentes:
(1) f é cont́ınua.
(2) Para todo conjunto F fechado em Y , f−1(F ) é fechado em X.
(3) Para todo subconjunto B ⊂ X, tem-se f( cl B) ⊂ cl (f(B)).
(4) Para todo subconjunto D ⊂ Y , tem-se f−1( int D) ⊂ int (f−1(D)) .
Prova: Exerćıcio
Observação: É importante notar que, dados dois espaços topológicos X e Y e uma função
f : X → Y , a continuidade de f depende das topologias consideradas sobre X e Y .
Este fato enfatiza a natureza topológica do conceito de continuidade.
Teorema 1.22. Sejam X, Y e Z espaços topológicos. Temos:
(a) (Função constante) Se f : X → Y “leva” todo X em um único ponto y0 ∈ Y então
f é cont́ınua.
(b) (Inclusão) Se B ⊂ X é subespaço de X, então a função de inclusão j : B → X, dada
por j(x) = x ∀ x ∈ B, é cont́ınua.
(c) (Composição) Se f : X → Y e g : Y → Z são cont́ınuas então a aplicação composta
g ◦ f : X → Z é cont́ınua.
(d) (Restringindo o domı́nio) Se f : X → Y é cont́ınua e B ⊂ X é um subespaço de X,
então a restrição f |B : B → Y é cont́ınua.
(e) (Restringindo ou estendendo o contra-domı́nio) Seja f : X → Y cont́ınua. Se Z ⊂ Y
é um subespaço de Y tal que f(X) ⊂ Z então a função g : X → Z dada por g(x) = f(x)
para todo x ∈ X é cont́ınua. Se Z é um espaço tal que Y ⊂ Z é subespaço de Z então a
função h : X → Z dada por h(x) = f(x) para todo x ∈ X é cont́ınua.
Prova: Exerćıcio.
Topologia Geral 15
Definição 1.23. (Continuidade em um ponto) Sejam X e Y espaços topológicos. A aplicação
f : X → Y é dita CONTÍNUA NO PONTO x0 ∈ X se, e somente se, para cada vizinhança
V de f(x0) em Y é posśıvel obter uma vizinhança U de x0 em X tal que f(U) ⊂ V .
Teorema 1.24. Sejam X e Y espaços topológicos. A aplicação f : X → Y é cont́ınua se, e
somente se, f é cont́ınua em todo ponto de X.
Prova: Exerćıcio
Exerćıcios:
1) Seja X = A ∪ B um espaço topológico, com A e B fechados em X.
Sejam f : A → Y e g : B → Y cont́ınuas, de modo que f(x) = g(x) ∀ x ∈ A ∩ B.
Mostre que é posśıvel combinar f e g para construir uma função cont́ınua h : X → Y
pondo h(x) = f(x) se x ∈ A e h(x) = g(x) se x ∈ B.
2) Sejam X e Y espaços topológicos, Y de Hausdorff e f, g : X → Y cont́ınuas em
a ∈ X. Mostre que se f(a) 6= g(a) então existe uma vizinhança V de a em X tal que
x, y ∈ V ⇒ f(x) 6= g(y).
3) Sejam X e Y espaços topológicos e f : X → Y .
(a) Dado x0 ∈ X, fixe uma base Bx0
de vizinhanças de x0 e uma base Bf(x0) de
vizinhanças de f(x0). Mostre que f é cont́ınua em x0 se, e somente se, para cada vizinhança
básica V ∈ Bf(x0) de f(x0) é posśıvel obter uma vizinhança básica U ∈ Bx0
de x0 tal que
f(U) ⊂ V .
Obs.: Moral da estória: podemos verificar (e até definir) continuidade de uma função
num ponto utilizando vizinhanças básicas.
(b) Sabendo que os intervalos abertos centrados em um ponto x ∈ IR constituem uma base
de vizinhanças desse ponto na Topologia Usual da Reta, mostre que uma função f : IR → IR
é cont́ınua em x0 ∈ IR (considerando a Topologia Usual) se, e somente se, dado ǫ > 0 é
posśıvel obter um δ > 0 tal que |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − f(x0)| < ǫ.
Obs.: A caracterização obtida acima em (b) (e utilizada como definição quando é fixada
a Topologia Usual da Reta) é um caso particular da definição 1.23!
4) Dados um conjunto X, um espaço topológico Y e uma função f : X → Y , determinar
a topologia mais fraca sobre X tal que f seja cont́ınua.
16 CAPÍTULO 1
Teorema 1.25. Sejam X e Y espaços topológicos. Se a função f : X → Y é cont́ınua em
x0 ∈ X então, para toda sequência (xn) ⊂ X tal que xn → x0 , temos que f(xn) → f(x0)
em Y .
Prova:
Observação: A rećıproca do teorema acima não é verdadeira em geral.
Assim, da mesma forma que no caso do fecho, as sequências mostram-se inadequadas
para a caracterização da continuidade, no caso geral (vale ressaltar que existem casos - por
exemplo IR e C com suas Topologias Usuais - nos quais vale a rećıproca do teorema acima e
portanto tal caracterização é posśıvel).
Exerćıcio: Mostre que se X é um espaço topológico que satisfaz ao 1o Axioma da Enu-
merabilidade (ou seja, cada ponto de X possui uma base de vizinhanças enumerável), então
vale a rećıproca do teorema acima e neste caso podemos caracterizar a continuidade através
de sequências.
1.9 Homeomorfismos
Definição 1.26. Consideremos uma bijeção f : X → Y entre dois espaços topológicos X
e Y . Dizemos que f é um HOMEOMORFISMO se, e somente se, f e sua função inversa
f−1 : Y → X são cont́ınuas. Dois espaços topológicos são ditos HOMEOMORFOS se existir
um homeomorfismo entre ambos.
Definição 1.27. Sejam X e Y espaços topológicos. Uma aplicação f : X → Y é dita
ABERTA se, e somente se, para todo A ⊂ X aberto em X tem-se f(A) ⊂ Y aberto em Y .
f : X → Y é dita FECHADA se, e somente se, para todo F ⊂ X fechado em X tem-se
f(F ) ⊂ Y fechado em Y .
Topologia Geral 17
Observação:
Se X e Y são espaços topológicos homeomorfos, por um homeomorfismo f : X → Y , então
é imediato que se A ⊂ X é aberto então f(A) ⊂ Y é aberto (f é uma aplicação aberta),
se F ⊂ X é fechado então f(F ) ⊂ Y é fechado (f é uma aplicação fechada). É imediato
também que f−1 é uma aplicação aberta e fechada.
Assim, se dois espaços topológicos X e Y são homeomorfos, podemos dizer que ambos são
INDISTINGUÍVEIS DO PONTO DE VISTA TOPOLÓGICO.
1.10 Conexidade
Definição 1.28. (Cisão) Uma CISÃO de um espaço topológico X é uma decomposição
X = A ∪ B onde A ∩ B = φ e os conjuntos A e B são ambos abertos em X.
Observação: Todo espaço topológico X admite a cisão trivial X = X ∪ φ .
Definição 1.29. (Conexos) Um espaço topológico X é dito CONEXO se, e somente se, ele
não admite outra cisão além da cisão trivial.
Observação: É imediato que um espaço topológico é conexo se, e somente se, os únicos
subconjuntos de X que são simultaneamente abertos e fechados em X são o conjunto vazio φ
e o próprio espaço X.
O próximo teorema é útil na caracterização de cisão de um subespaço topológico:
Teorema 1.30. Seja Y ⊂ X (espaço topológico). Y = A ∪ B, com A ∩ B = φ , é uma
cisão do subespaço Y ⊂ X se, e somente se, cl A ∩ B = φ = A ∩ cl B, onde os fechos são
considerados no espaço X.
Prova: Exerćıcio.
Lema 1.31. Seja X = A ∪ B uma cisão do espaço topológico X. Seja Y ⊂ X. Se Y é
conexo (e não-vazio) então ou Y ⊂ A ou Y ⊂ B.
Prova:
18 CAPÍTULO 1
Teorema 1.32. A união de uma coleção de conjuntos conexos com pelo menos um ponto em
comum é conexa.
Prova:
Teorema 1.33. Se A ⊂ X é conexo e A ⊂ B ⊂ cl A então B é conexo.
Prova:
Corolário 1. Se A é conexo e B é formado a partir de A adicionando-se alguns ou todos os
pontos de seu fecho então B é conexo.
Exerćıcios:
1) Seja { An} uma sequência de subconjuntos conexos de um espaço topológico X, tais
que An ∩ An+1 6= φ para todo n. Mostre que a união
⋃
An é conexa.
2) Seja { Aα} uma coleção de subconjuntos conexos de um espaço topológico X. Seja
A ⊂ X conexo. Mostre que se A ∩ Aα 6= φ para todo α, então a união A ∪ (
⋃
An) é
conexa.
3) (Teorema da Alfândega)Seja A ⊂ X (espaço topológico). Mostre que se C ⊂ X é
conexo, C ∩ A 6= φ e C ∩ (X\A) 6= φ então C ∩ fr A 6= φ .
Topologia Geral 19
Teorema 1.34. A imagem de um espaço conexo por uma aplicação cont́ınua é conexa.
Prova:
Nota: O teorema acima garante que se um espaço topológico conexo X é homeomorfo a
um espaço Y , então Y é conexo, ou melhor, a conexidade é uma invariante topológica. Por
este motivo, diz-se também que a conexidade é uma PROPRIEDADE TOPOLÓGICA.
Exerćıcios:
1) Uma aplicação f : X → Y é dita LOCALMENTE CONSTANTE se, e somente se,
para todo x ∈ X existe uma vizinhança V de x onde f é constante.
Mostre que se f : X → Y é localmente constante e X é conexo então f é constante.
2) (Teorema do Valor Intermediário):
(a) Prove que todo subconjunto conexo de IR (na Topologia Usual) é um intervalo.
(b) Sejam X conexo e f : X → IR (Topologia Usual) cont́ınua. Mostre que f tem a
PROPRIEDADE DO VALOR INTERMEDIÁRIO, isto é, se existem x1, x2 ∈ X tais que
f(x1) = a < b = f(x2) então, dado c entre a e b (a < c < b) existe x ∈ X tal que f(x) = c.
3) Seja A ⊂ X (espaço topológico). Dado a ∈ A, definimos a COMPONENTE CONEXA
Ca DE a como a reunião de todos os subconjuntos conexos de A que contêm a.
(a) Mostre que Ca é o maior subconjunto conexo de A contendo o ponto a.
(b) Seja h : X → Y um homeomorfismo. Mostre que se Cx é a componente conexa do
ponto x em X então Dy = h(Cx) é a componente conexa de y = h(x) em Y .
Obs.: A letra (b) anterior mostra que um homeomorfismo h : X → Y estabelece uma
bijeção entre as componentes conexas de X e as componentes conexas de Y .
20 CAPÍTULO 1
1.11 Compacidade
Definição 1.35. (Cobertura) Uma coleção A de subconjuntos de um espaço topológico X é
dita uma COBERTURA de X se, e somente se, a união dos elementos de A é igual a X. É
chamada uma COBERTURA ABERTA se os elementos de A são abertos em X.
Definição 1.36. (Compactos) Um espaço topológico X é dito COMPACTO se, e somente
se, toda cobertura aberta de X admite uma subcobertura finita, isto é, contém uma subcoleção
finita que também cobre X.
Teorema 1.37. Seja Y ⊂ X (espaço topológico). Y é compacto se, e somente se, toda
cobertura aberta de Y por abertos em X admite uma subcobertura finita.
Prova: Exerćıcio.
Teorema 1.38. Todo subconjunto fechado de um espaço compacto é compacto.
Prova:
Teorema 1.39. Todo subconjunto compacto de um espaço de Hausdorff é fechado.
Prova:
Topologia Geral 21
Teorema 1.40. A imagem de um espaço compacto por uma aplicação cont́ınua é também um
compacto.
Prova:
Nota: O teorema acima garante que a compacidade é uma invariante topológica.
Exerćıcios:
1) Mostre que todo espaço discreto (Topologia Discreta) e compacto é finito.
2) Sejam τ e τ ′ duas topologias sobre um conjunto X.
Qual a relação entre a compacidade de X sob uma dessas topologias e a outra, se τ ⊂ τ ′ ?
Mostre que se X é compacto e Hausdorff em ambas as topologias então τ = τ ′ ou elas
não são comparáveis.
3) Mostre que se f : X → Y é cont́ınua, X é compacto e Y é Hausdorff, então f é uma
aplicação fechada (i. é, f leva conjuntos fechados de X em conjuntos fechados de Y ).
4) Sejam A e B subconjuntos compactos e disjuntos de um espaço de Hausdorff X.
Mostre que existem abertos disjuntos U e V contendo A e B respectivamente.
22 CAPÍTULO 1
Caṕıtulo 2
Espaços métricos
Neste segundo caṕıtulo introduzimos o conceito de espaço métrico e surgirão natural-
mente as topologias induzidas por métricas. Estudamos então noções de convergência (de
sequências), continuidade (de funções) e compacidade em espaços métricos, além de con-
tinuidade uniforme e métricas equivalentes.
2.1 Espaços métricos
Definição 2.1. Uma MÉTRICA sobre um conjunto X é uma função d : X × X → IR que
associa a cada par ordenado de elementos x, y ∈ X um número real d(x, y) chamado a
distância de x a y, de modo que se tenha, para todos x, y, z ∈ X:
d.1) d(x, x) = 0
d.2) Se x 6= y então d(x, y) > 0
d.3) d(x, y) = d(y, x) (Simetria)
d.4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (Desigualdade Triangular)
Um conjunto X munido de uma métrica d (fixada) é chamado ESPAÇO MÉTRICO.
Exemplos:
A) Métrica Discreta:
Seja X um conjunto qualquer. d : X × X → IR dada por
{
d(x, x) = 0
d(x, y) = 1 se x 6= y
é uma métrica em X, conhecida como MÉTRICA DISCRETA.
23
24 CAPÍTULO 2
B) Métrica Usual da Reta:
Consideremos o conjunto IR dos números reais.
d : IR × IR → IR dada por d(x, y) = |x − y| é uma métrica em IR.
C) Algumas métricas no Plano Complexo (ou no IR2):
Consideremos o conjunto C = { z = x + iy ; x, y ∈ IR} dos números complexos e defi-
namos de, ds, dm : C × C → IR pondo, para todos a = a1 + ia2, b = b1 + ib2 ∈ C :
de(a, b) = |a − b| = |(a1 − b1) + i(a2 − b2)| =
√
(a1 − b1)2 + (a2 − b2)2
ds(a, b) = |a1 − b1| + |a2 − b2|
dm(a, b) = max {|a1 − b1| , |a2 − b2|}
Todas as três funções acima são métricas sobre C.
de é conhecida como Métrica Euclidiana.
ds é conhecida como Métrica da Soma.
dm é conhecida como Métrica do Máximo.
D) Subespaço métrico - métrica induzida:
Seja (X, d) um espaço métrico. Se Y é um subconjunto de X podemos induzir uma
métrica natural em Y , a partir da métrica d:
dY = d |Y ×Y : Y × Y → IR é uma métrica em Y (induzida em Y por d)
O espaço métrico (Y, dY ) é dito SUBESPAÇO (MÉTRICO) do espaço métrico (X, d).
Assim, todo subconjunto de um espaço métrico pode ser considerado, de modo natural,
como um espaço métrico.
E) Métrica do sup:
Seja X um conjunto arbitrário. Uma função real f : X → IR diz-se LIMITADA quando
existe uma constante k = kf > 0 tal que |f(x)| ≤ k para todo x ∈ X.
Seja B(X; IR) o conjunto das funções limitadas f : X → IR.
Definimos uma métrica d em B(X; IR) pondo, para todas f, g ∈ B(X; IR):
d(f, g) = sup
x∈X
|f(x) − g(x)|
Exerćıcio: Verifique que d acima está bem definida e que é uma métrica em B(X; IR).
Espaços métricos 25
Exerćıcios:
1) Mostre que as funções dadas nos exemplos são realmente métricas.
2) Seja d : X × X → IR uma métrica em X. Mostre que α(x, y) =
√
d(x, y),
β(x, y) =
d(x, y)
1 + d(x, y)
e γ(x, y) = min {1, d(x, y)} também são métricas em X.
2.2 Bolas, esferas e conjuntos limitados
Definição 2.2. Sejam a um ponto num espaço métrico X e r > 0 um número real. Definimos:
(i) BOLA ABERTA de centro a e raio r: B(a; r) = {x ∈ X ; d(x, a) < r}
(ii) BOLA FECHADA de centro a e raio r: B [a; r] = {x ∈ X ; d(x, a) ≤ r}
(iii) ESFERA de centro a e raio r: S[a; r] = {x ∈ X ; d(x, a) = r}
Observação: Seja Y ⊂ X um subespaço métrico do espaço métrico (X, d). Denotando
por BY (a; r) a bola aberta de centro a ∈ Y e raio r na métrica dY induzida em Y por d,
temos: BY (a; r) = B(a; r) ∩ Y , onde B(a; r) é a bola aberta de centro a e raio r em (X, d).
Também temos que BY [a; r] = B[a; r] ∩ Y e SY [a; r] = S[a; r] ∩ Y .
(Exemplos)
Definição 2.3. Um subconjunto B ⊂ X de um espaço métrico X é dito LIMITADO quando
existe uma constante c > 0 tal que d(x, y) ≤ c quaisquer que sejam x, y ∈ B.
Se B 6= φ e B ⊂ (X, d) é um conjunto limitado, podemos definir o DIÂMETRO de B
como
diam (B) = sup { d(x, y) ; x, y ∈ B}
Observação: Os conceitos acima definidos dependem da métrica d tomada em X.
(Exemplos)
26 CAPÍTULO 2
2.3 A Topologia Métrica
Seja X = (X, d) um espaço métrico. Existe uma topologia natural sobre X, constru-
ı́da a partir da métrica d da seguinte forma:
τ = { A ⊂ X ; ∀ a ∈ A, ∃ ǫ > 0 com B(a; ǫ) ⊂ A}
De fato, τ é uma topologia sobre X (exerćıcio), dita a TOPOLOGIA INDUZIDA PELA
MÉTRICA d.
Assim, todo espaço métrico X = (X, d) pode ser considerado como um espaço topológico
X = (X, τ) , onde a topologia τ é a topologia induzida pela métrica d, da forma acima descrita.
Proposição 2.4. Sejam (X, d) um espaço métrico e τ a topologia induzida pela métrica d
sobre X. Temos:
(i)Para todo a ∈ X, a coleção Ba = {B(a; ǫ), ǫ > 0, ǫ ∈ IR} das bolas abertas de centro
a é uma base de vizinhanças de a na topologia τ .
(ii) Para todo a ∈ X e todo r > 0, r ∈ IR, B(a; r) ∈ τ, isto é, B(a; r) é aberto.
(iii) (X, τ) é espaço de Hausdorff.
(iv) ∀ a ∈ X , B̃a = { B(a; 1/n), n ∈ IN } é uma base enumerável de vizinhanças de a.
Prova: Exerćıcio.
Definição 2.5. Seja (X, τ) um espaço topológico. A topologia τ é dita METRIZÁVEL se,
e somente se, existe uma métrica d em X tal que τ é a topologia induzida pela métrica d
sobre X.
Exemplos:
A) Métrica e Topologia Discretas:
Seja X um conjunto munido da Métrica Discreta d : X × X → IR, dada por
{
d(x, x) = 0
d(x, y) = 1 se x 6= y
A topologia induzida por d sobre X é exatamente a Topologia Discreta τ = P(X).
B) Métrica e Topologia Usuais da Reta:
Consideremos o conjunto IR dos números reais, com a Métrica Usual d : IR × IR → IR
dada por d(x, y) = |x − y| , quaisquer que sejam x, y ∈ IR.
A topologia induzida por d sobre IR é exatamente a Topologia Usual da Reta.
Espaços métricos 27
C) Topologia Usual do Plano Complexo:
Consideremos o conjunto C dos números complexos.
A Topologia Usual do Plano Complexo é metrizável, pois é a topologia induzida pela
Métrica Euclidiana de : C × C → IR dada por de(a, b) = |a − b| ∀ a, b ∈ C.
Nota: Veremos mais tarde que as métricas ds (da Soma) e dm (do Máximo) também
induzem sobre C a Topologia Usual.
D) Topologias não-metrizáveis:
Pela Proposição 2.4, topologias que não sejam Hausdorff constituem exemplos de topologias
não-metrizáveis. Assim, temos por exemplo:
(i) Se X é um conjunto com mais de um elemento e τ = {φ , X} a Topologia Caótica
sobre X, temos que τ não é metrizável.
(ii) Se X = {a, b, c, d} e τ = {φ , {a} , {b} , {a, b} , X} então τ não é metrizável.
Nota: Convém observar que existem topologias (importantes) que são Hausdorff e não-
metrizáveis. Por exemplo, as topologias Fraca (w) e Fraca-Estrela (w∗) estudadas na Análise
Funcional são em geral topologias Hausdorff e não-metrizáveis.
Exerćıcios:
1) Seja A um subconjunto de um espaço métrico (X, d).
Sabemos que a restrição de d a A × A é uma métrica em A (subespaço métrico de X), a
qual denotaremos por dA.
A métrica dA induz uma topologia sobre A, a qual denotaremos por τdA
.
Por “outro” lado, d induz uma topologia sobre X, que chamaremos τ e A pode ser visto
como subespaço topológico de X, com uma topologia τA dada pelas interseções de A com os
abertos de τ .
Mostre que τdA
= τA, ou seja, a topologia de A como subespaço métrico de X é a mesma
topologia de A como subespaço topológico de X:
2) Um subconjunto D ⊂ X (espaço topológico) é dito DISCRETO quando todos os seus
pontos são isolados, isto é, nenhum ponto de D está em D′, ou melhor ainda, para todo a ∈ D,
existe uma vizinhança V de a tal que V ∩ D = {a}.
Mostre que todo espaço métrico finito é discreto.
28 CAPÍTULO 2
3) Seja D um subconjunto discreto de um espaço métrico (X, d). Obtenha para cada
x ∈ D uma bola aberta Bx = B(x; rx) em X tal que x, y ∈ D, x 6= y ⇒ Bx ∩ By = φ .
4) Sejam (X, d) um espaço métrico e A ⊂ X. Mostre que se A é limitado então seu fecho
cl A também é limitado.
5) Dê exemplo de um conjunto limitado A em um espaço métrico (X, d) tal que não
existam x0, y0 ∈ A com d(x0, y0) = diam A.
6) Seja (X, d) um espaço métrico. Mostre que as bolas fechadas e as esferas são conjuntos
fechados em X.
7) Seja A ⊂ X (espaço métrico). Para todo ǫ > 0, seja B(A; ǫ) =
⋃
a∈A
B(a; ǫ).
Mostre que cl A =
⋂
ǫ>0
B(A; ǫ).
2.4 Sequências em espaços métricos
Definição 2.6. Sejam (X, d) um espaço métrico e (xn) ⊂ X uma sequência em X.
Um ponto x ∈ X é LIMITE da sequência (xn) se, e somente se, xn → x na topologia
induzida por d sobre X.
Teorema 2.7. Sejam (X, d) um espaço métrico e (xn) ⊂ X uma sequência em X.
Um ponto x ∈ X é limite de (xn) (ou seja, xn → x) se, e somente se, para cada ǫ > 0
dado, é posśıvel obter n0 ∈ IN tal que n > n0 ⇒ d(xn, x) < ǫ.
Prova:
Obs.: Note que a convergência de uma sequência em um espaço métrico depende da
topologia induzida pela métrica.
Espaços métricos 29
Teorema 2.8. Sejam (X, d) um espaço métrico e (xn) ⊂ X uma sequência em X. Temos:
(a) (xn) não pode convergir para dois limites diferentes (unicidade do limite).
(b) Toda sequência convergente é limitada (o conjunto de seus termos é limitado).
(c) Se lim xn = a então toda subsequência de (xn) converge para a.
Teorema 2.9. Sejam X um espaço métrico e B ⊂ X . Temos que x ∈ cl B (x ∈ X) se, e
somente se, existe uma sequência (xn) em B (xn ∈ B ∀ n) tal que xn → x.
Obs.: O Teorema 2.9 mostra que, em espaços métricos, as sequências são adequadas
para caracterizar o fecho de um conjunto (o que não ocorre em espaços topológicos em geral).
Exerćıcios:
1) Seja (X, d) um espaço métrico. Mostre que se existirem sequências (xk) e (yk) em
X com lim xk = a, lim yk = b e d(yk, a) < r < d(xk, b) para todo k ∈ IN então d(a, b) = r.
2) Seja X um espaço métrico. Se (xk) é uma sequência em X tal que xk → b ∈ B(a; r)
(a, b ∈ X, r > 0), então mostre que existe k0 ∈ IN tal que k > k0 ⇒ xk ∈ B(a; r).
3) (Um espaço de funções)
Sejam X um conjunto qualquer e (M, dM) um espaço métrico.
Uma função f : X → M é dita LIMITADA quando sua imagem f(X) é um subconjunto
limitado de M .
Consideremos o conjunto B(X; M) das funções f : X → M limitadas.
Dadas f, g ∈ B(X; M), consideremos d(f, g) = supx∈X dM(f(x), g(x)).
Mostre que d está bem definida e é uma métrica em B(X; M) (chamada de Métrica do
sup ou Métrica da Convergência Uniforme).
4) (Sequências de funções - Convergências Pontual e Uniforme)
Consideremos sequências de aplicações fn : X → M onde n ∈ IN, X é um conjunto qualquer
e (M, dM) é um espaço métrico. Consideremos dois tipos de convergência:
(i) Diz-se que (fn) converge PONTUALMENTE (ou simplesmente) para uma aplicação
f : X → M quando, para cada x ∈ X, fn(x) → f(x) em M , isto é, dados x ∈ X e ǫ > 0, é
posśıvel obter um ı́ndice n0 ∈ IN (dependendo de x e ǫ) tal que n > n0 ⇒ dM(fn(x), f(x)) < ǫ.
(ii) Diz-se que (fn) converge UNIFORMEMENTE para uma aplicação f : X → M
quando, dado ǫ > 0, é posśıvel obter um ı́ndice n0 ∈ IN (dependendo apenas de ǫ) tal que
n > n0 ⇒ dM(fn(x), f(x)) < ǫ, para todo x ∈ X.
30 CAPÍTULO 2
(a) Mostre que a sequência de funções fn : IR → IR dadas por fn(x) =
x
n
para todo
n ∈ IN converge pontualmente, mas não uniformemente para a função constante igual a zero.
(b) Mostre que a convergência no espaço métrico B(X; M) com a topologia induzida pela
Métrica do sup (veja no exerćıcio anterior) é uma convergência uniforme.
Definição 2.10. Uma sequência (xn) num espaço métrico (X, d) chama-se uma Sequência
DE CAUCHY quando, para cada ǫ > 0 dado, é posśıvel obter um ı́ndice n0 ∈ IN tal que
m, n > n0 ⇒ d(xm, xn) < ǫ.
Proposição 2.11. Em um espaço métrico, toda sequência convergente é de Cauchy.
Prova: Exerćıcio.
Definição 2.12. Diz-se que um espaço métrico X é COMPLETO quando toda sequência de
Cauchy em X é convergente.
Exemplos:
Exerćıcios:
1) Mostre que num espaço métrico X, toda sequência de Cauchy é limitada.
2) Mostre que uma sequência de Cauchy que possui uma subsequência convergente é con-
vergente (para o mesmo limite da subsequência).
3) Mostre que um espaço métrico (X, d) é completo se, e somente se, para toda sequência
“decrescente” F1 ⊃ F2 ⊃ F3 ⊃ . . . de subconjuntos fechados não-vazios Fn ⊂ X com
limn→∞ diam (Fn) = 0 existe um ponto a ∈ X tal que
∞⋂
n=1
Fn = { a}.
(Teorema de Baire) Mostre que se (X, d) é um espaço completo e F =
∞⋃
n=1
Fn onde cada
Fn é fechado e tem interior vazio então intF = φ .
(Corolário) Mostre que se (X, d) é um espaço completo e X =
∞⋃
n=1
Fn onde cada Fn é
fechado então existe pelo menos um Fn0tal que int Fn0
6= φ .
Obs.: O Teorema de Baire dá origem a uma série de importantes resultados, alguns dos quais
veremos no próximo caṕıtulo.
Espaços métricos 31
2.5 Funções cont́ınuas
Ao analisarmos a continuidade de funções que envolvem espaços métricos consideraremos
(como no caso das sequências) as topologias induzidas pelas métricas dos mesmos.
Temos então:
Proposição 2.13. Sejam X e Y espaços métricos (com métricas dX e dY respectivamente).
A aplicação f : X → Y é cont́ınua no ponto x0 ∈ X se, e somente se, para cada ǫ > 0
dado, é posśıvel obter um δ > 0 tal que dX(x, x0) < δ ⇒ dY (f(x), f(x0)) < ǫ.
Proposição 2.14. Sejam X e Y espaços métricos (com métricas dX e dY respectivamente).
A aplicação f : W ⊂ X → Y , cujo domı́nio é o subespaço métrico W ⊂ X, é cont́ınua no
ponto x0 ∈ W se, e somente se, para cada ǫ > 0 dado, é posśıvel obter um δ > 0 tal que
x ∈ W, dX(x, x0) < δ ⇒ dY (f(x), f(x0)) < ǫ.
Nota: Convém observar que a continuidade de funções que envolvem espaços métricos
depende das topologias induzidas pelas métricas.
No primeiro caṕıtulo vimos que, em espaços topológicos em geral, sequências são inade-
quadas para caracterizar a continuidade de uma função. O teorema a seguir nos garante a
possibilidade de tal caracterização (de continuidade via sequências) se o domı́nio da função for
um espaço métrico:
Teorema 2.15. Sejam X um espaço métrico e Y um espaço topológico. Uma função
f : X → Y é cont́ınua em x0 ∈ X se, e somente se, para toda sequência (xn) ⊂ X
com xn → x0 temos que f(xn) → f(x0) em Y .
Prova:
Definição 2.16. Sejam (X, dX) e (Y, dY ) espaços métricos e f : X → Y .
Dizemos que f é uma aplicação LIPSCHITZIANA quando existe uma constante c > 0
(chamada CONSTANTE DE LIPSCHITZ) tal que dY (f(x), f(y)) ≤ c · dX(x, y) quaisquer
que sejam x, y ∈ X.
32 CAPÍTULO 2
Alguns casos particulares recebem denominação própria:
f é uma CONTRAÇÃO FRACA quando dY (f(x), f(y)) ≤ dX(x, y) ∀ x, y ∈ X.
f é uma IMERSÃO ISOMÉTRICA (neste caso dizemos que f preserva distâncias) quando
dY (f(x), f(y)) = dX(x, y) ∀ x, y ∈ X.
f é dita uma ISOMETRIA quando for uma imersão isométrica sobrejetora.
f é uma CONTRAÇÃO quando existe uma constante c, com 0 ≤ c < 1, tal que para todos
x, y ∈ X temos dY (f(x), f(y)) ≤ c · dX(x, y) .
Observação: As definições acima dependem das métricas consideradas.
Exerćıcios:
1) Sejam X, Y espaços métricos. Mostre que se f : W ⊂ X → Y é cont́ınua em a ∈ W
e f(a) 6∈ BY [b; r] (b ∈ Y ) então é posśıvel obter um δ > 0 tal que x ∈ W, dX(x, a) < δ ⇒
f(x) 6∈ BY [b; r].
2) Sejam f, g : M → N cont́ınuas, M, N espaços métricos.
Dado a ∈ M , suponha que toda bola de centro a contenha um ponto x tal que f(x) = g(x).
Conclua que f(a) = g(a).
Use este fato para mostrar que se f, g : M → N são cont́ınuas e f = g em um
subconjunto D ⊂ M , D denso em M , então f = g em todo espaço M .
3) (Limites)
Sejam X, Y espaços métricos, A ⊂ X, a ∈ A′ (a é ponto de acumulação de A) e
f : A → Y .
Dizemos que b ∈ Y é o limite de f(x) quando x tende para a e escrevemos b = lim
x→a
f(x)
quando, para cada ǫ > 0 dado, é posśıvel obter δ > 0 tal que x ∈ A\ { a} , dX(x, a) < δ ⇒
dY (f(x), b) < ǫ .
(a) Mostre que se a ∈ A ∩ A′ então f : A → Y é cont́ınua em a se, e somente se,
f(a) = lim
x→a
f(x) .
(b) Mostre que b = lim
x→a
f(x) se, e somente se, para toda sequência (xn) em A\ {a}
com xn → a (em X) tem-se f(xn) → b (em Y ).
4) Sejam X e Y espaços métricos. Se uma sequência de aplicações fn : X → Y , cont́ınuas
no ponto a ∈ X, converge uniformemente (ver exerćıcio da seção anterior) para uma aplicação
f : X → Y , mostre que f é cont́ınua no ponto a.
Usando a parte acima, conclua que a sequência de funções fn : [0, 1] → IR dadas por
fn(x) = xn não converge uniformemente para nenhuma f : [0, 1] → IR.
Espaços métricos 33
5) Dê exemplo de uma aplicação f : X → Y entre espaços métricos tais que:
(a) f é lipschitziana mas não é uma contração fraca.
(b) f é contração fraca mas não é imersão isométrica nem contração.
(c) f é imersão isométrica mas não é isometria.
(d) f é isometria.
Dê (contra-)exemplos e mostre que as definições em 2.16 dependem das métricas consideradas.
2.6 Continuidade uniforme
Definição 2.17. Sejam X e Y espaços métricos. Uma aplicação f : X → Y é dita ser
UNIFORMEMENTE CONTÍNUA quando, para cada ǫ > 0 dado, existir δ > 0 tal que para
todos x, y ∈ X, dX(x, y) < δ ⇒ dY (f(x), f(y)) < ǫ.
(Exemplos)
Proposição 2.18. Sejam X e Y espaços métricos. Uma aplicação f : X → Y é uni-
formemente cont́ınua se, e somente se, para todo par de sequências (xn), (yn) em X tal que
dX(xn, yn) → 0 (na Topologia Usual da Reta) tem-se que dY (f(xn), f(yn)) → 0 (também na
Topologia Usual da Reta).
Prova:
34 CAPÍTULO 2
Exemplo:
Observação: O exemplo acima mostra que a continuidade uniforme não é uma noção
topológica, pois depende das métricas envolvidas, e não apenas das topologias induzidas.
Exerćıcios:
1) Mostre que toda aplicação lipschitziana f : X → Y (X, Y espaços métricos) é uni-
formemente cont́ınua.
2) Sejam X e Y espaços métricos e f : X → Y .
Mostre que se f é uniformemente cont́ınua então f transforma sequências de Cauchy
(xn) ⊂ X em sequências de Cauchy (f(xn)) ⊂ Y .
3) Seja f : A ⊂ X → Y (X, Y espaços métricos). Mostre que se Y é completo e f
uniformemente cont́ınua então, para todo a ∈ A′, existe lim
x→a
f(x).
4) Consideremos um espaço métrico X, munido de uma métrica d.
Dados a ∈ X e B ⊂ X, B não-vazio, definimos a DISTÂNCIA DO PONTO a AO
CONJUNTO B como
d(a, B) = inf
x∈B
d(a, x)
Espaços métricos 35
Dados A, B ⊂ X, A e B não-vazios, definimos a DISTÂNCIA ENTRE OS SUBCONJUN-
TOS A E B como
d(A, B) = inf { d(a, b) ; a ∈ A, b ∈ B}
(a) Mostre que d(A, B) = d( cl A, cl B).
(b) Dado T ⊂ X, T 6= φ , mostre que a função f : X → IR dada por f(x) = d(x, T ) é
uniformemente cont́ınua.
(c) Dê exemplos de um espaço métrico (X, d) e conjuntos não-vazios A e B em X tais
que A ∩ B = φ e d(A, B) = 0.
(d) Sejam A, B ⊂ X, A e B limitados e não-vazios.
Mostre que
diam (A ∪ B) ≤ diam (A) + diam (B) + d(A, B)
2.7 Compacidade em espaços métricos
Teorema 2.19. Seja X um espaço métrico. São equivalentes:
1) X é compacto.
2) Todo subconjunto infinito de X possui um ponto de acumulação.
3) Toda sequência em X possui uma subsequência convergente (para um ponto de X).
4) X é completo e totalmente limitado. (Um espaço métrico X é TOTALMENTE LIMI-
TADO quando para cada ǫ > 0 pode-se obter uma decomposição X = X1 ∪ X2 ∪ . . . ∪ Xn
de X como reunião de um número finito de subconjuntos , cada um dos quais com diâmetro
menor do que ǫ ).
Observação: As afirmativas acima são equivalentes em K ⊂ X subconjunto (subespaço)
de um espaço métrico X.
Teorema 2.20. Se K ⊂ X (espaço métrico) é compacto, então K é limitado e fechado.
Prova:
36 CAPÍTULO 2
Observação: A rećıproca do resultado anterior não é verdadeira em geral, conforme ilustra
o contra-exemplo abaixo:
Contra-exemplo:
Teorema 2.21. Sejam X e Y espaços métricos. Se a aplicação f : X → Y é cont́ınua e o
espaço X é compacto, então f é uniformemente cont́ınua.
Exerćıcios:
1) Mostre que, dada uma sequência “decrescente” K1 ⊃ K2 ⊃ K3 ⊃ . . . ⊃ Kn ⊃ . . . de
compactos não-vazios em um espaço métrico X, sua interseção
∞⋂
n=1
Kn é compacta e não-
vazia.
Mostre através de um exemplo que o resultado acima não é válido se tomarmos conjuntos
fechados ao invés de compactos.
2) Prove o Teorema 2.21.
2.8 Métricas equivalentes
Definição 2.22. Duas métricas d1 e d2 em um espaço X são ditas EQUIVALENTES
quando induzem a mesma topologia sobre X.
Teorema 2.23. Duas métricas d1 e d2 em um espaço X são equivalentes se, e somente
se, para toda bola aberta numa métrica (d1ou d2) é posśıvel obter uma bola aberta na outra
métrica, de mesmo centro e contida na primeira bola.
Prova:
Espaços métricos 37
Exemplo:
Definição 2.24. Diremos que duas métricas d1 e d2 em X são LIPSCHITZ-EQUIVALENTES
quando existirem constantes α > 0 e β > 0 tais que
α · d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ β · d1(x, y) ∀ x, y ∈ X
Obs.1: Se duas métricas são lipschitz-equivalentes então elas são equivalentes.
Exemplo:
Obs.2: A rećıproca da Obs.1 acima não é válida:
Contra-exemplo:
Exerćıcio: Sejam (M1, d1), (M2, d2), . . . , (Mn, dn) espaços métricos.
Consideremos o seu produto cartesiano
M = M1 × M2 × . . . × Mn = {x = (x1, . . . , xn) ; xi ∈ Mi, i = 1, . . . , n} .
Sejam de, ds, dm métricas em M dadas por:
38 CAPÍTULO 2
de(x, y) =
√
d1(x1, y1)2 + d2(x2, y2)2 + . . . + dn(xn, yn)2
ds(x, y) = d1(x1, y1) + d2(x2, y2) + . . . + dn(xn, yn)
dm(x, y) = max { d1(x1, y1), d2(x2, y2), . . . , dn(xn, yn)}
(a) Mostre que estas três métricas são lipschitz-equivalentes.
(b) Mostre que uma sequência (xk) = (x1k, x2k, . . . , xnk) converge em M , considerando
qualquer uma das 3 métricas acima , para um ponto a = (a1, . . . , an) ∈ M se, e somente se,
xik → ai ∀ i = 1, 2, . . . , n.
(c) Para cada i = 1, . . . , n considere a aplicação projeção πi : M → Mi dada por
πi(x) = xi. Mostre que cada projeção é cont́ınua.
(d) Seja f : X → M (X esp. métrico). Mostre que f é cont́ınua em a ∈ X se, e somente
se, cada uma de suas funções coordenadas fi = πi ◦ f : X → Mi é cont́ınua em a.
Caṕıtulo 3
Espaços normados
Iniciamos este caṕıtulo com o conceito de Espaço Normado. Em seguida apresentamos a
métrica e a topologia naturais induzidas pela norma, bem como espaços de Banach e séries.
Ao final, apresentamos um breve estudo de transformações lineares em espaços normados.
3.1 Espaços normados
Definição 3.1. Seja X um espaço vetorial sobre um corpo IK (IR ou C). Uma NORMA
em X é uma função ‖ ‖ : X → IR que associa a cada vetor x ∈ X um número real ‖x‖
chamado a norma de x, de modo que sejam satisfeitas as seguintes condições para quaisquer
x, y ∈ X, λ ∈ IK:
n.1) Se x 6= 0 então ‖x‖ > 0
n.2) ‖λ.x‖ = |λ| . ‖x‖
n.3) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ (Desigualdade Triangular)
Um espaço vetorial X munido de uma norma ‖ ‖ (fixada) é dito um ESPAÇO NORMADO.
Exemplos:
A) Norma Usual da Reta:
A função módulo | | : IR → IR dada por |x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0
é uma norma em IR.
B) Algumas normas no Plano Complexo (ou no IR2):
Consideremos o conjunto C dos números complexos (ou então IR2) como um espaço
39
40 CAPÍTULO 3
vetorial de dimensão 2 sobre o corpo dos reais.
| | : C → IR (função módulo) dada por |a| =
√
a2
1 + a2
2 para todo a = a1 + ia2 ∈ C é
uma norma em C, conhecida também como NORMA EUCLIDIANA.
‖ ‖s : C → IR dada por ‖a‖s = |a1| + |a2| para todo a = a1 + ia2 ∈ C é uma norma
em C, conhecida também como NORMA DA SOMA.
‖ ‖m : C → IR dada por ‖a‖m = max { |a1| , |a2| } para todo a = a1 + ia2 ∈ C é uma
norma em C, conhecida também como NORMA DO MÁXIMO.
C) Norma do sup:
Consideremos o espaço (sobre IR) B(X; IR) das funções limitadas f : X → IR.
Definimos uma norma ‖ ‖∞ em B(X; IR) pondo, para toda f ∈ B(X; IR):
‖f‖∞ = sup
x∈X
|f(x)|
Exerćıcio: Mostre que ‖ ‖∞ acima está bem definida e que é uma norma em B(X; IR).
D) Alguns espaços de sequências:
Seja ℓ∞ o espaço das sequências limitadas em um corpo IK (IR ou C), isto é:
ℓ∞ = {(xn) = (x1, x2, . . .) ; xi ∈ IK ; (xn) limitada }
‖ ‖∞ : ℓ∞ → IR dada por ‖(xn)‖∞ = sup
i∈IN
|xi| é uma norma em ℓ∞.
Seja ℓ1 o espaço das sequências absolutamente somáveis em um corpo IK (IR ou C):
ℓ1 =
{
(xn) = (x1, x2, . . .) ; xi ∈ IK ;
∞∑
i=1
|xi| < +∞
}
‖ ‖1 : ℓ1 → IR dada por ‖(xn)‖1 =
∞∑
i=1
|xi| é uma norma em ℓ1.
Seja ℓ2 o espaço das sequências quadrado somáveis, em um corpo IK (IR ou C):
ℓ2 =
{
(xn) = (x1, x2, . . .) ; xi ∈ IK ;
∞∑
i=1
|xi|2 < +∞
}
‖ ‖2 : ℓ2 → IR dada por ‖(xn)‖2 =
( ∞∑
i=1
|xi|2
)1/2
é uma norma em ℓ2
Espaços normados 41
3.2 A topologia da norma
Construindo métricas a partir de normas:
Seja X = (X, ‖ ‖) um espaço vetorial normado. Podemos, a partir da norma ‖ ‖,
construir uma métrica d : X × X → IR pondo, de modo natural:
d(x, y) = ‖x − y‖ ∀ x, y ∈ X
d é uma métrica em X (mostre), dita a MÉTRICA INDUZIDA PELA NORMA ‖ ‖.
Portanto, todo espaço normado X = (X, ‖ ‖) pode ser considerado naturalmente como
um espaço métrico (X, d) onde a métrica d é a métrica induzida pela norma ‖ ‖, da forma
acima descrita.
Definição 3.2. Seja (X, d) um espaço métrico. Quando existir uma norma ‖ ‖ em X tal
que d é a métrica induzida pela norma ‖ ‖, dizemos então que A MÉTRICA d PROVÉM DA
NORMA ‖ ‖.
Exemplos:
A) Métrica e Norma Usuais da Reta:
Consideremos o conjunto IR dos números reais, munido da Norma Usual | | : IR → IR
dada por
|x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0
A métrica induzida por | | é exatamente a Métrica Usual da Reta.
B) No Plano Complexo C (ou no IR2):
Consideremos o espaço C dos números complexos (ou então IR2), que é um espaço vetorial
de dimensão 2 sobre o corpo dos reais.
A Métrica Euclidiana (de(a, b) = |a − b| ∀ a, b ∈ C) provém da Norma Euclidiana | |
(função módulo).
A Métrica da Soma (ds(a, b) = |a1 − b1| + |a2 − b2| ∀a, b ∈ C) provém da Norma da
Soma ‖ ‖s, dada por ‖a‖s = |a1| + |a2| para todo a = a1 + ia2 ∈ C .
A Métrica do Máximo (dm(a, b) = max { |a1 − b1| , |a2 − b2| } ∀a, b ∈ C) provém da
Norma do Máximo ‖ ‖m, dada por ‖a‖m = max { |a1| , |a2| } para todo a = a1 + ia2 ∈ C .
42 CAPÍTULO 3
C) Métrica e Norma do sup:
Consideremos o espaço (sobre IR) B(X; IR) das funções limitadas f : X → IR.
A Métrica do sup ( d(f, g) = sup
x∈X
|f(x) − g(x)| ∀ f, g ∈ B(X; IR) ) provém da Norma
do sup ‖ ‖∞ , dada por ‖f‖∞ = sup
x∈X
|f(x)| para toda f ∈ B(X; IR).
D) Uma métrica que não provém de norma alguma:
Seja X um espaço vetorial com mais de um elemento, sobre IR ou C.
A Métrica Discreta d : X × X → IR, dada por
{
d(x, x) = 0
d(x, y) = 1 se x 6= y
não é proveniente de nenhuma norma em X (Exerćıcio).
Bolas, esferas e conjuntos limitados:
Seja X = (X, ‖ ‖) um espaço vetorial normado.
Dados a ∈ X e r > 0, r ∈ IR, definimos B(a; r) (bola aberta de centro a e raio r),
B[a; r] (bola fechada de centro a e raio r) e S[a; r] (esfera de centro a e raio r) através da
métrica d induzida pela norma ‖ ‖.
Também usamos a métrica d para caracterizar os conjuntos limitados em X.
Exerćıcio: Mostre que um subconjunto Y ⊂ X (espaço normado) é limitado se, e somente
se, existe k > 0 tal que ‖y‖ ≤ k para todo y ∈ Y .
A topologia da norma:
Todo espaço vetorial normado X = (X, ‖ ‖) pode ser munido naturalmente da métrica
d induzida pela norma ‖ ‖ e conseqüentemente da topologia induzida por esta métrica d.
Dizemos, de um modo mais breve, que essa topologia é induzida pela norma ‖ ‖, ou que é a
TOPOLOGIA DA NORMA ‖ ‖.
A partir dáı todos os conceitos topológicos estudados em espaços topológicos e métricos
são verificados nos espaços normados, considerando-se a topologia e a métrica induzidas pela
norma.
Também as noções de continuidade uniforme, aplicação lipschitziana, contração, etc. são
verificadas considerando-se a métrica induzida pela norma.
Espaços normados 43
Definição 3.3. Seja X um espaço vetorial. Duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 em X são ditas
EQUIVALENTES se, e somente se, elas induzem a mesma topologia sobre X.
Proposição 3.4. Duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 em um espaço vetorial X são equivalentes se,
e somente se, existem constantes α > 0 e β > 0 tais que
α. ‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ β. ‖x‖1 ∀ x ∈ X
Prova: Exerćıcio (Sugestão: faça uso do Teorema 3.9, o qual veremos mais à frente)
Exerćıcios:
1) Seja X um espaço normado. Mostre que se E ⊂ X é um subespaço vetorial de X e
E 6= X então intE = φ .
2) Seja X = (X, ‖ ‖) um espaço normado.
(i) Mostre que ‖x − y‖ ≥ | ‖x‖ − ‖y‖ | paratodos x, y ∈ X.
(ii) Usando o item anterior, mostre que se (xn) é uma sequência em X tal que lim xn = a ∈ X
então lim ‖xn‖ = ‖a‖.
3) Seja X um espaço vetorial normado sobre um corpo IK (IR ou C).
(i) Mostre que as translações Ta : X → X, dadas por Ta(x) = x + a (onde a ∈ X) são
homeomorfismos.
(ii) Mostre que as homotetias Hλ : X → X, dadas por Hλ(x) = λ.x (com 0 6= λ ∈ IK) são
homeomorfismos.
(iii) Mostre que duas bolas abertas quaisquer em X são homeomorfas.
4) Seja X um espaço vetorial normado. Um subconjunto C ⊂ X é dito CONVEXO se,
e somente se, para todo par x, y ∈ C tem-se t.x + (1 − t).y ∈ C ∀ t ∈ [0, 1], ou seja, o
segmento [x, y] = { t.x + (1 − t).y ; t ∈ [0, 1] } está contido em C.
(i) Mostre que toda bola em X é convexa.
(ii) Mostre que a interseção arbitrária de conjuntos convexos é convexa.
(iii) Mostre que o fecho de um conjunto convexo é convexo.
5) Seja B ⊂ X (espaço normado). A ENVOLTÓRIA CONVEXA de B é a interseção
co (B) de todos os subconjuntos convexos de X que contêm B.
Prove que co (B) é o conjunto de todas as combinações lineares α1.x1 + . . .+αn.xn tais que
x1, . . . , xn ∈ B, α1 ≥ 0, . . . , αn ≥ 0 (α1, . . . , αn ∈ IR) e α1 + . . . + αn = 1.
6) Seja B ⊂ X (espaço normado). A ENVOLTÓRIA CONVEXA FECHADA de B é a
interseção co (B) de todos os subconjuntos convexos fechados de X que contêm B.
Mostre que co (B) = cl ( co (B)).
44 CAPÍTULO 3
3.3 Espaços de Banach
Definição 3.5. Um ESPAÇO DE BANACH é um espaço vetorial normado completo (toda
sequência de Cauchy é convergente) quando tomamos a métrica induzida pela norma.
Exemplos:
A) O espaço (IR, | |) é um espaço de Banach.
B) O espaço dos números complexos C, munido de qualquer uma das normas | | (Eucli-
diana), ‖ ‖s (da Soma) ou ‖ ‖m (do Máximo) é um espaço de Banach.
C) O espaço B(X; IR) das funções limitadas f : X → IR, munido da norma do sup, é um
espaço de Banach.
D) Os espaços (ℓ∞, ‖ ‖∞), (ℓ1, ‖ ‖1) e (ℓ2, ‖ ‖2) são todos espaços de Banach.
E) Um espaço vetorial normado que não é Banach:
Exerćıcio: Mostre que os espaços dos exemplos de A) a D) são espaços de Banach.
3.4 Séries
Definição 3.6. Uma série
∞∑
i=1
xi em um espaço normado X = (X, ‖ ‖) é dita CON-
VERGENTE para um ponto x ∈ X se, e somente se, a sequência de suas reduzidas
(sn) =
(
n∑
i=1
xi
)
convergir para x.
Definição 3.7. Uma série
∞∑
i=1
xi em um espaço normado X = (X, ‖ ‖) é dita NOR-
MALMENTE CONVERGENTE se, e somente se, a série de números reais
∞∑
i=1
‖xi‖ for
convergente, isto é,
∞∑
i=1
‖xi‖ < +∞ .
Espaços normados 45
Exerćıcios:
1) Mostre que um espaço normado X é um espaço de Banach se, e somente se, toda série
normalmente convergente for convergente.
2) (Teste M de Weierstrass) Seja
∑
fn uma série de funções no espaço B(X; IR) das
funções limitadas f : X → IR. Mostre que se existir uma série convergente
∑
cn de números
reais cn ≥ 0 e uma constante M tal que |fn(x)| ≤ M.cn para todos n ∈ IN e x ∈ X
então a série
∑
fn é uniformemente convergente.
(Sugestão: use o exerćıcio anterior e a norma do sup em B(X; IR))
3.5 Transformações lineares em espaços normados
Alguns exemplos interessantes:
A) Um operador linear que é injetivo mas não é sobrejetivo:
B) Um operador linear que é sobrejetivo mas não é injetivo:
C) Um funcional linear descont́ınuo:
46 CAPÍTULO 3
Definição 3.8. (Transformações lineares “limitadas”) Sejam X e Y espaços normados. Uma
transformação linear T : X → Y é dita LIMITADA se, e somente se, existir uma constante
c > 0 tal que ‖T (x)‖Y ≤ c. ‖x‖X para todo x ∈ X.
Equivalentemente T : X → Y é limitada se, e somente se, existir uma constante c > 0
tal que ‖T (x)‖Y ≤ c para todo x ∈ X com ‖x‖X ≤ 1 (isto é, para todo x ∈ B[0; 1] - bola
fechada unitária de X), ou seja, T é limitada na bola unitária fechada - de centro 0 - de X
(Exerćıcio).
Denotaremos por L(X; Y ) o conjunto de todas as transformações lineares limitadas de X
em Y e sempre consideraremos X 6= {0} . É imediato que L(X; Y ) é um subespaço vetorial
do espaço vetorial de todas as transformações lineares de X em Y , com as operações usuais de
adição e multiplicação escalar (mostre).
Teorema 3.9. Sejam X e Y espaços vetoriais normados e T : X → Y uma transformação
linear de X em Y . Então as seguintes afirmações são equivalentes:
1) T é cont́ınua.
2) T é cont́ınua em um ponto x0 ∈ X.
3) T é cont́ınua no ponto 0 (vetor nulo).
4) Existe c > 0 tal que ‖Tx‖Y ≤ c. ‖x‖X para todo x ∈ X (T é limitada).
Prova:
Espaços normados 47
A norma de uma transformação linear:
Já temos que L(X; Y ) é um espaço vetorial (subespaço do espaço de todas as trans-
formações lineares de X em Y ).
Agora, dada T ∈ L(X; Y ) (T é limitada, ou seja, T é cont́ınua), defina
‖T‖ = sup { ‖Tx‖Y ; ‖x‖X ≤ 1}
A função ‖ ‖ : L(X; Y ) → IR acima definida é uma norma em L(X; Y ) (Exerćıcio).
Observe que esta norma em L(X; Y ) depende das normas tomadas em X e Y .
Proposição 3.10. Sejam X e Y espaços normados e T ∈ L(X; Y ) . Então:
‖T‖ = sup { ‖Tx‖ ; ‖x‖ ≤ 1} = sup { ‖Tx‖ ; ‖x‖ = 1} =
= sup
{ ‖Tx‖
‖x‖ ; x 6= 0
}
= inf { c > 0 ; ‖Tx‖ ≤ c. ‖x‖ ∀x ∈ X }
Prova: Exerćıcio
Proposição 3.11. (Propriedades Imediatas)
(i) ‖Tx‖ ≤ ‖T‖ . ‖x‖ ∀ x ∈ X ( T ∈ L(X; Y ) , com X e Y normados)
(ii) ‖TU‖ ≤ ‖T‖ . ‖U‖ ( T ∈ L(X; Y ), U ∈ L(W ; X), com W , X e Y normados)
Prova: Exerćıcio
48 CAPÍTULO 3
Teorema 3.12. Sejam X e Y espaços normados. Então L(X; Y ) é espaço de Banach se (e
somente se) Y é um espaço de Banach.
Prova: Exerćıcio
Exerćıcio: Mostre que se X é um espaço de Banach e A ∈ L(X) (isto é, A : X → X é
linear e cont́ınua) então a série
eA =
∞∑
n=0
An
n!
= I + A +
A2
2!
+
A3
3!
+ . . .
converge para um operador linear cont́ınuo eA : X → X (Sugestão: Mostre que a série acima
é normalmente convergente).
Observação: No caso particular X = IRn, este exerćıcio diz que podemos definir (e bem)
a exponencial de uma n × n matriz real através da série acima (e o resultado é ainda uma
n × n matriz real) !!!
Alguns resultados importantes (a t́ıtulo de informação):
Teorema 3.13. (Prinćıpio da Limitação Uniforme) Sejam X um espaço de Banach e Y um
espaço normado. Seja A uma famı́lia de transformações lineares cont́ınuas de X em Y , ou
seja, A ⊂ L(X; Y ) .
Se A é pontualmente limitada (para cada x ∈ X temos sup { ‖Tx‖ ; T ∈ A} < +∞)
então A é uniformemente limitada (existe M > 0 tal que ‖T‖ ≤ M para toda T ∈ A).
Podemos demonstrar o Prinćıpio da Limitação Uniforme “olhando” para os conjuntos
Bn = { x ∈ X ; ‖Tx‖ ≤ n ∀ T ∈ A } e utilizando o Corolário do Teorema de Baire (veja nos
exerćıcios do caṕıtulo sobre espaços métricos) - Tente!
Teorema 3.14. (Teorema da Aplicação Aberta) Sejam X e Y espaços de Banach. Se
T ∈ L(X; Y ) é sobrejetiva, então T é aberta, ou seja, T (A) é aberto em Y para todo A
aberto em X.
Podemos demonstrar o Teorema da Aplicação Aberta utilizando o Teorema de Baire (veja
nos exerćıcios do caṕıtulo sobre espaços métricos).
Corolário 1. Se X e Y são espaços de Banach e T ∈ L(X; Y ) é bijetiva, então T−1 é
cont́ınua, isto é, T−1 ∈ L(Y ; X).
Prova: Exerćıcio
Espaços normados 49
Exemplo (um pouco sobre funcionais lineares):
50 CAPÍTULO 3
Caṕıtulo 4
Espaços com produto interno
Neste caṕıtulo introduzimos o conceito de Produto Interno, alguns exemplos e tópicos
básicos relacionados, como a norma proveniente de um produto interno e ortogonalidade.
Apresentamos os espaços de Hilbert e finalizamos citando o Teorema de Representação de
Riesz.
4.1 Produto interno
Definição 4.1. Seja X um espaço vetorial sobre um corpo IK (IR ou C). Um PRODUTO
INTERNO sobre X é uma função < , >: X × X → IK que associa a cada par ordenado de
vetores x, y ∈ X um escalar < x, y > chamado o produto interno de x por y, de modo
que sejam satisfeitasas seguintes condições para quaisquer x, y, z ∈ X, λ ∈ IK:
p.i.1) < λ · x + y, z > = λ · < x, z > + < y, z >
p.i.2) < x, x > ≥ 0
p.i.3) < x, x > = 0 ⇒ x = 0
p.i.4) < x, y > = < y, x >
Obs.: < x, λy + z > = λ · < x, y > + < x, z >
51
52 CAPÍTULO 4
Exemplos:
A) Consideremos o conjunto C dos números complexos (ou então IR2) como um espaço
vetorial de dimensão 2 sobre o corpo dos reais.
< , >: C × C → IR dada por
< a1 + ia2, b1 + ib2 > = a1.b1 + a2.b2 ∀ a = a1 + ia2, b = b1 + ib2 ∈ C
é um produto interno em C (equivale ao Produto Escalar no IR2).
B) Seja V o espaço das funções cont́ınuas definidas no intervalo [0, 1] e tomando valores
complexos:
V = { f : [0, 1] → C ; f é cont́ınua}
< , >: V × V → C dada por
< f, g > =
∫ 1
0
f(x).g(x) dx ∀ f, g ∈ V
é um produto interno em V .
C) Seja ℓ2 o espaço das sequências quadrado somáveis, em um corpo IK (IR ou C):
ℓ2 =
{
(xn) = (x1, x2, . . .) ; xi ∈ IK ;
∞∑
i=1
|xi|2 < +∞
}
< , >: ℓ2 × ℓ2 → IK dada por
< (xn), (yn) > =
∞∑
i=1
xi.yi ∀ (xn), (yn) ∈ ℓ2
é um produto interno em ℓ2
D) Seja Cper [−π, π] o espaço vetorial das funções de IR em IR, cont́ınuas e periódicas de
peŕıodo 2π.
< , >: Cper [−π, π] × Cper [−π, π] → IR dada por
< f, g > =
∫ π
−π
f(x).g(x) dx ∀ f, g ∈ Cper [−π, π]
é um produto interno em Cper [−π, π].
Espaços com produto interno 53
4.2 Norma a partir de um produto interno
Construção:
Seja X um espaço vetorial munido de um produto interno < , >. A partir de < , >
construiremos uma função ‖ ‖ : X → IR, pondo
‖x‖ = (< x, x >)1/2 ∀ x ∈ X
A seguir, um importante resultado referente à função constrúıda acima:
Teorema 4.2. Desigualdade de Cauchy-Bunyakowsky-Schwarz (CBS)
|< x, y >| ≤ ‖x‖ . ‖y‖ ∀ x, y ∈ X
Prova: Exerćıcio
A função ‖ ‖ : X → IR acima constrúıda a partir do produto interno < , > é uma norma
em X (mostre). Neste caso, dizemos que a A NORMA ‖ ‖ PROVÉM DO PRODUTO
INTERNO < , >.
Exemplos:
A) A Norma Euclidiana | | : C → IR (função módulo) dada por
|a| =
√
a2
1 + a2
2 ∀ a = a1 + ia2 ∈ C
provém do produto interno < , > dado por
< a1 + ia2, b1 + ib2 > = a1.b1 + a2.b2 ∀ a = a1 + ia2, b = b1 + ib2 ∈ C
B) A norma ‖ ‖2 : ℓ2 → IR dada por
‖(xn)‖2 =
( ∞∑
i=1
|xi|2
)1/2
∀ (xn) ∈ ℓ2
provém do produto interno < , > dado por
< (xn), (yn) > =
∞∑
i=1
xi.yi ∀ (xn), (yn) ∈ ℓ2
54 CAPÍTULO 4
C) Uma condição necessária (e suficiente):
Proposição 4.3. Seja X um espaço vetorial. Se uma norma ‖ ‖ : X → IR provém
de um produto interno < , > em X, então vale a IDENTIDADE DO PARALELO-
GRAMO:
‖x + y‖2 + ‖x − y‖2 = 2.
(
‖x‖2 + ‖y‖2) ∀ x, y ∈ X
Prova: Exerćıcio
As normas do Máximo ‖ ‖m : C → IR e da Soma ‖ ‖s : C → IR não provêm de produto
interno algum em C.
A norma ‖ ‖∞ : ℓ∞ → IR não provém de produto interno algum em ℓ∞.
A norma ‖ ‖1 : ℓ1 → IR não provém de produto interno algum em ℓ1.
Exerćıcio: Prove as afirmações acima, mostrando que nenhuma dessas normas satisfaz
à Identidade do Paralelogramo.
4.3 Espaços de Hilbert
Definição 4.4. Um ESPAÇO DE HILBERT X é um espaço vetorial com um produto interno
< , > tal que X é completo quando munido com a métrica d(x, y) = ‖x − y‖ , onde ‖ ‖ é a
norma que provém do produto interno < , >.
Exemplos:
A) O espaço C, munido do produto interno < a1 + ia2, b1 + ib2 > = a1.b1 + a2.b2 , é um
espaço de Hilbert.
B) O espaço ℓ2 , munido do produto interno < (xn), (yn) > =
∞∑
i=1
xi.yi , é um espaço de
Hilbert.
Espaços com produto interno 55
4.4 Ortogonalidade
Definição 4.5. Seja X um espaço com produto interno < , >. Dois vetores x, y ∈ X são
ditos ORTOGONAIS quando < x, y > = 0 e escrevemos x ⊥ y.
Dizemos que um subconjunto S ⊂ X é um CONJUNTO ORTOGONAL quando os vetores
de S são dois a dois ortogonais.
Teorema 4.6. (“Teorema de Pitágoras”) Sejam X um espaço com produto interno < , > e
seja ‖ ‖ a norma proveniente do produto interno < , >.
Se S ⊂ X é um conjunto ortogonal então, dados x1, . . . , xn dois a dois distintos em S,
temos:
‖x1 + x2 + . . . + xn‖2 = ‖x1‖2 + ‖x2‖2 + . . . + ‖xn‖2
Prova: Exerćıcio
Proposição 4.7. Se X é um espaço vetorial com produto interno, então todo conjunto orto-
gonal de vetores não nulos em X é linearmente independente (LI)
Prova: Exerćıcio
4.5 O Teorema de Representação de Riesz
Teorema 4.8. (Teorema de Representação de Riesz) Seja X um espaço de Hilbert sobre um
corpo IK (IR ou C). Se L : X → IK é um funcional linear cont́ınuo (limitado) então existe
um único vetor x0 ∈ X tal que L(x) = < x, x0 > para todo x ∈ X. Mais ainda, temos
‖L‖ = ‖x0‖.
Prova: Exerćıcio
56 CAPÍTULO
Apêndice A
Introdução à Topologia Produto
Este apêndice tem por objetivo introduzir, de modo natural, uma topologia sobre o produto
cartesiano de espaços topológicos, conhecida como a Topologia Produto.
Considerações iniciais:
Sejam X um conjunto, Y um espaço topológico e f : X → Y uma função de X em Y .
Se considerarmos uma topologia sobre X, é claro que quanto maior (ou mais forte) for esta
topologia, “maiores serão as chances” da função f ser cont́ınua. Equivalentemente, quanto
menor (ou mais fraca) for uma topologia sobre X, menores serão as chances da função f ser
cont́ınua. Surge então uma interessante questão:
Qual a menor topologia sobre X para a qual a função f é cont́ınua ?
Tentando responder à questão acima, chegamos naturalmente à coleção
τ =
{
f−1(A) ; A aberto em Y
}
Exerćıcio: Mostre que a coleção τ acima é uma topologia sobre X tal que a função f é
cont́ınua e τ é menor (mais fraca) que qualquer topologia para a qual f seja cont́ınua
(τ é portanto a topologia procurada na questão acima).
Consideremos agora uma famı́lia {τλ}λ∈L de topologias sobre um conjunto X. Uma
questão interessante associada a esta situação é a seguinte:
Qual a menor (mais fraca) topologia sobre o conjunto X que contém cada uma
das topologias τλ , λ ∈ L ?
57
58 APÊNDICE A
Uma análise mais detalhada da situação nos indica que a coleção
B = { A = Aλ1
∩ Aλ2
∩ . . . ∩ Aλn ; Aλi
∈ τλi
; λi ∈ L }
das interseções finitas de abertos das topologias dadas é base para a topologia procurada na
questão acima!
Exerćıcio: Mostre que a coleção B dada acima é base para uma topologia (τB) sobre X
e que a topologia τB , gerada por B , é a menor (mais fraca) topologia sobre X que contém
cada uma das topologias τλ , λ ∈ L, ou seja, τλ ⊂ τB ∀λ ∈ L e se τ é uma topologia sobre
X com τλ ⊂ τ ∀λ ∈ L então τB ⊂ τ .
Encerrando esta etapa de considerações iniciais, consideremos um conjunto X e uma famı́lia
de funções fλ : X → Yλ de X em espaços topológicos Yλ , λ ∈ L. Chegamos então à
generalização da primeira questão:
Qual a menor (mais fraca) topologia sobre o conjunto X para a qual todas as
funções fλ , λ ∈ L, são cont́ınuas ?
Utilizando as considerações anteriores, podemos concluir (mostre) que a coleção
B =
{
A = f−1
λ1
(Aλ1
) ∩ f−1
λ2
(Aλ2
) ∩ . . . ∩ f−1
λn
(Aλn) ; Aλi
aberto em Yλi
; λi ∈ L
}
das interseções finitas das imagens inversas pelas fλ de abertos dos espaços correspondentes
Yλ é base para a topologia procurada na questão acima.
Produtos cartesianos em geral:
Seja {Xλ}λ∈L uma famı́lia qualquer de conjuntos. O Produto Cartesiano (o qual definire-
mos mais tarde) desta famı́lia de conjuntos será denotado por
∏
λ∈L
Xλ e identificado (infor-
malmente, a prinćıpio) com o conjunto de todas as L-uplas (xλ)λ∈L de elementos da união⋃
λ∈L
Xλ tais que xλ ∈ Xλ para cada λ ∈ L.
Quando o conjunto L de ı́ndices for claro (pelo contexto), denotaremos o produto simples-
mente por
∏
Xλ e seu elemento geral por (xλ).
Se, em particular, tivermos um conjunto finito de ı́ndices L = {1, 2, . . . , n} então es-
creveremos X1 × X2 × . . . × Xn para denotar o produto cartesiano e um elemento arbitrário
do produto será dado por (x1, x2, . . . , xn) onde cada xi ∈ Xi.
Introdução à Topologia Produto