Lista 1- Pré_requisitos_espaços_métricos

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Equações Diferenciais Ordinárias -
Noções sobre espaços métricos
Todas as afirmações assinaladas com (!) devem ser justificadas com riqueza
de detalhes. Resultados de Análise na Reta e Álgebra Linear devem ser ape-
nas citados, mas não demonstrados.
Introdução
O objetivo dessas notas é estabelecer pré-requisitos de espaços métricos que
serão usados nas demonstrações dos teoremas de existência, unicidade e difer-
enciabilidade com relação a parâmetros de soluções de EDO’s. Para isso,
essas notas pretendem conduzir o aluno até os seguintes resultados:
• Teorema do Ponto Fixo de Banach.
• Teorema de Aproximação de Weierstrass.
• Teorema de Arzelá-Áscoli.
Nosso estudo consiste em estender noções válidas em Rn para espaços
de dimensão infinita. Embora o termo ‘dimensão infinita’ provoque algum
receio, ele torna-se mais amigável se considerarmos que tais espaços são,
essencialmente, espaços de funções. Nessas notas, o principal deles é C([a, b]),
o espaço das funções cont́ınuas definidas em um intervalo compacto da reta.
A necessidade de estudar espaços de dimensão infinita está no fato de
que soluções de equações diferenciais (ordinárias ou parciais) pertencem a
espaços de funções, que têm dimensão infinita.
Dentre as noções de espaços métricos que são idênticas aos seus análogos
do Rn, podemos listar: conjuntos abertos, fechados e limitados, pontos ader-
entes, continuidade, convergência de sequências etc. Sendo assim, muitas
das demonstrações já conhecidas para os espaços euclidianos são válidas em
espaços métricos com adaptações naturais.
No entanto, é muito importante salientar que o Teorema de Bolzano-
Weierstrass não é válido em todo espaço vetorial de dimensão infinita. Como
consequência, nesse contexto pode ocorrer que:
• nem toda sequência de Cauchy é convergente,
• nem todo conjunto fechado e limitado é compacto,
• nem todas as normas são equivalentes.
1
Podemos resumir nossos objetivos dizendo que, o pré-requisito essencial
para o estudo dos teoremas básicos de EDO é a descrição da topologia de
C([a, b]).
1 Espaços Normados
Quando dispomos de um espaço vetorial E podemos introduzir nesse espaço
uma maneira de medir o comprimento de vetores.
Definição 1.1 Uma norma em um espaço vetorial E é uma aplicação | · | :
E → R com as seguintes propriedades:
N1. |x| ≥ 0, ∀x ∈ E e |x| = 0 ⇔ x = 0.
N2. |λx| = |λ||x|, para todo x ∈ E e todo escalar λ. Aqui |λ| é o módulo de
λ.
N3. |x+ y| ≤ |x|+ |y|, ∀x, y ∈ E.
Um espaço normado é um par ordenado (E, | · |) no qual | · | é uma norma
em E.
Intuitivamente, a norma de um vetor E é um número que expressa seu
comprimento.
Exemplo 1.2 Se E = R defina |x| como o módulo do número x.
Exemplo 1.3 Se E = Rn, denotamos cada ponto x ∈ Rn por x = (x1, x2, ..., xn).
As mais úteis normas que podemos definir em Rn são:
|x|1 = |x1|+ |x2|+ . . .+ |xn|,
|x|2 =
√
|x1|2 + |x2|2 + . . .+ |xn|2,
|x|∞ = max{|x1|, |x2|, . . . , |xn|}.
As funções | · |1, | · |2, | · |∞ são chamadas de normas da soma, euclidiana e
do máximo, respectivamente. Temos assim três espaços normados distintos:
(Rn, | · |1), (R
n, | · |2) e (R
n, | · |∞).
2
Observação 1.4 As normas do exemplo anterior, embora distintas, não al-
teram as propriedades topológicas do Rn pois guardam a seguinte relação:
|x|∞ ≤ |x|2 ≤ |x|1 ≤ n · |x|∞, x ∈ R
n. (1)
Exemplo 1.5 (!) Fixados a, b ∈ R, com a ≤ b, seja B([a, b]) o conjunto
de todas as funções reais limitadas definidas em [a, b] ⊂ R. Definimos em
B([a, b]) a seguinte norma:
|x| = sup
t∈[a,b]
|x(t)|,
sendo x ∈ B([a, b]). Essa é chamada de norma do sup.
Generalizando o Exemplo 1.3 podemos produzir mais exemplos de espaços
normados utilizando o produto cartesiano.
Exemplo 1.6 Se (E1, | · |) e (E2, || · ||) são espaços normado podemos definir
as seguintes normas em E1 × E2 :
||(x1, x2)||1 = |x1|+ ||x2||,
||(x1, x2)||2 =
√
|x1|2 + ||x2||2,
||(x1, x2)||∞ = max{|x1|, ||x2||}.
Aqui x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ E1 ×E2.
As normas do exemplo acima guardam entre si uma relação semelhante
a (1). Podemos adaptar o exemplo acima para combinar normas e produzir
novas normas em um mesmo espaço vetorial.
Exemplo 1.7 Sejam | · | e || · || normas no espaço vetorial E. Então para
cada c > 0 ocorre que c| · | é uma norma em E. Além disso, as aplicações
x 7→ |x|+ ||x||, x 7→
√
|x|2 + ||x||2, e x 7→ max{|x|, ||x||},
são normas em E.
Outro modo de criar espaços normados é por restrição.
Definição 1.8 Se (E, | · |) é um espaço normado e F é um subespaço vetorial
de E então
|| · || : F × F → R
x 7→ |x|
é uma norma F. Nesse caso || · || é a norma induzida por | · |. A grosso
modo, || · || é a restrição de | · | a F.
3
Um caso especial merece destaque.
Exemplo 1.9 X = B([a, b]) e Y = C([a, b]) com a norma induzida. Aqui
C([a, b]) é subespaço de todas as funções reais cont́ınuas definidas em [a, b].
Observe que C([a, b]) é subespaço vetorial de B([a, b]) (!).
Consequência de um resulado clássico de análise na reta é que a norma
do sup em C([a, b]) tem a seguinte propriedade (!):
sup
t∈[a,b]
|x(t)| = max
t∈[a,b]
|x(t)|.
Em C([a, b]) podemos definir uma nova norma através da integral.
Exemplo 1.10 (!) Se E = C([a, b]), a aplicação | · | : E → R definida por
|x| =
b
∫
a
|x(t)| dt,
é uma norma, chamada de norma da integral.
Veremos algumas situações nas quais é conveniente modificarmos a norma
sem alterar o espaço vetorial E. Mas, ao fazermos essa mudança de normas, é
importante que as propriedades do espaço não se alterem. Por exemplo, seria
importante que a troca de normas não altere a convergência de sequências.
Nesse sentido introduzimos a noção de normas equivalentes.
Definição 1.11 Duas normas | · | e || · || definidas no espaço vetorial E são
equivalentes se existem α, β > 0 tais que
α|x| ≤ ||x|| ≤ β|x|, ∀x ∈ E.
Uma importante consequência consequência do Teorema de BolzanoWeier-
strass é o
Teorema 1.12 Todas as normas em Rn são equivalentes.
Note que (1) é um caso particular do teorema acima. O resultado anterior
ganha impacto quando pensamos que existe uma vasta quantidade de normas
em Rn. Além das possibilidade já descritas em exemplos anteriores de definir
normas, podemos definir a seguinte coleção não-enumerável de normas em
Rn : para cada p ≥ 1 fixado, a aplicação
x 7→ p
√
|x1|p + |x2|p + . . .+ |xn|p, x ∈ R
n.
Com algum esforço verfica-se que tal aplicação é de fato uma norma em Rn.
Ela é chamada de norma p.
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Observação 1.13 (!) As normas do sup e da integral guardam a seguinte
relação: Para todo x ∈ C([a, b]) vale
b
∫
a
|x(t)| dt ≤ (b− a) sup
t∈[a,b]
|x(t)|, x ∈ C([a, b]).
Veremos na Observação 4.12 que as normas do sup e da integral não são
equivalentes, de modo que a desigualdade oposta não vale. No estudo das
EDO’s é conveniente equipar C([a, b]) com a norma do sup . Essa predileção
será justificada no Teorema 7.2.
2 Definição e exemplos de espaços métricos
Na seção anterior estendemos a noção de norma do Rn para outros espaços
vetoriais. Nessa seção, ampliaremos ainda mais o horizonte, introduzindo
uma noção de medir distâncias mesmo que o conjunto E não seja espaço
vetorial.
Essa nova extensão é interessante pois todos os grandes teoremas que
estudaremos logo adiante são válidos em espaços métricos, e não somente em
espaços normados.
Apresentamos aqui a definição e exemplos úteis de espaços métricos.
Definição 2.1 Uma métrica em um conjunto X é uma aplicação d : X ×
X → R com as seguintes propriedades:
M1. d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X e d(x, y) = 0 ⇔ x = y.
M2. d(x, y) = d(y, x)∀x, y ∈ X.
M3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.
Um espaço métrico é um par ordenado (X, d) no qual d é uma métrica em
X.
Intuitivamente, o número d(x, y) expressa a distância entre os pontos x
e y. Para simplificar a notação, sempre que posśıveldiremos simplesmente
espaço métrico X, no lugar de espaço métrico (X, d).
O modo mais popular de se definir uma métrica é através de uma norma,
seguindo a receita que apresentamos a seguir.
Seja (E, | · |) um espaço normado. Defina a aplicação d : E ×E → R por
d(x, y) = |x− y|.
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Observação 2.2 (!) A aplicação d definida acima é, de fato, uma métrica
em E. Nesse caso dizemos que a métrica d é proveniente da norma | · |.
Dizemos então, com abuso de linguagem, que todo espaço normado é um
espaço métrico. Então, cada espaço normado do seção anterior produz um
exemplo de espaço métrico. Vejamos uma lista de métricas provenientes de
normas.
Exemplo 2.3 Se X = R defina d(x, y) = |x − y|, x, y ∈ R. Aqui |x| é o
módulo do número x.
Exemplo 2.4 Se X = Rn, denotamos cada ponto x ∈ Rn por x = (x1, x2, ..., xn).
As mais úteis métricas que podemos definir em X são:
d1(x, y) = |x− y|1 = |x1 − y1|+ |x2 − y2|+ . . .+ |xn − yn|,
d2(x, y) = |x− y|2 =
√
|x1 − y1|2 + |x2 − y2|2 + . . .+ |xn − yn|2,
d∞(x, y) = |x− y|∞ = max{|x1 − y1|, |x2 − y2|, . . . , |xn − yn|}.
As funções d1, d2, d∞ são chamadas de métricas da soma, euclidiana e do
máximo, respectivamente. Temos assim três espaços métricos distintos:
(Rn, d1), (R
n, d2) e (R
n, d∞).
Exemplo 2.5 Definimos em B([a, b]) a seguinte métrica:
d(x, y) = sup
t∈[a,b]
|x(t)− y(t)|,
sendo x, y ∈ B([a, b]). Essa é chamada a métrica do sup.
Exemplo 2.6 Se (X1, d) e (X2, d
′) são espaços métricos podemos definir as
seguintes métricas em X1 ×X2 :
D1(x, y) = d(x1, y1) + d
′(x2, y2),
D2(x, y) =
√
d(x1, y1)2 + d′(x2, y2)2,
D∞(x, y) = max{d(x1, y1), d
′(x2, y2)}.
Aqui x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ X1 ×X2.
As métricas do exemplo acima guardam entre si uma relação semelhante
a (1).
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Definição 2.7 Se (X, d) é um espaço métrico e Y ⊂ X então a
d′ : Y × Y → R
(x, y) 7→ d(x, y)
é uma métrica em Y. Nesse caso (Y, d′) é chamado de subespaço métrico
ou simplesmente subespaço de (X, d) e d′ é a métrica induzida por d. A
grosso modo, d′ é a restrição de d a Y.
Dois casos especiais merecem destaque.
Exemplo 2.8 X = R e Y = Q com a métrica induzida.
Exemplo 2.9 X = B([a, b]) e Y = C([a, b]) com a métrica induzida.
Exemplo 2.10 Se X = C([a, b]), a aplicação d : X ×X → R definida por
d(x, y) =
b
∫
a
|x(t)− y(t)| dt,
é uma métrica, chamada de métrica da integral.
A próxima métrica é um exemplo diferente dos anteriores, pois é trata-se
de uma métrica que não é proveniente de norma. Ela é útil para fornecer
contra-exemplos e mostra que podemos definir uma métrica em qualquer
conjunto não-vazio, mesmo que X não seja espaço vetorial.
Exemplo 2.11 (!) Se X é qualquer, a aplicação d : X × X → R definida
por
d(x, y) =
{
0, se x = y,
1, se x 6= y
é chamada de métrica zero-um.
3 Conjuntos abertos, fechados e limitados
Nessa seção levamos aos espaços métricos as noções de conjuntos abertos,
fechados, limitados. Não existem diferenças importantes entre o Rn e os
espaços métricos com relação a esses tópicos.
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Definição 3.1 Fixado (X, d) e dados a ∈ X, r > 0 definimos bola aberta
e bola fechada de centro a e raio r, respectivamente, por
B(a, r) = {x ∈ X ; d(a, x) < r} e
B[a, r] = {x ∈ X ; d(a, x) ≤ r} .
Definição 3.2 Um subconjunto A de um espaço métrico X é
• aberto quando ∀a ∈ A, ∃r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A,
• fechado quando X − A é aberto,
• limitado se existem a ∈ X e r > 0 tais que A ⊂ B(a, r).
Observação 3.3 (!) Vejamos agora uma lista de fatos válidos em qualquer
espaço métrico e cujas demonstrações são adaptações naturais de argumentos
válidos em Rn.
• Toda bola aberta é um conjunto aberto e toda bola fechada é um conjunto
fechado.
• Os conjuntos X e vazio são abertos. União de uma quantidade qualquer
de abertos é aberto. Interseção de uma quantidade finita de abertos é
aberto.
• Os conjuntos X e vazio são fechados. União de uma quantidade finita
fechados é fechado. Interseção de uma quantidade qualquer de fechados
é fechado.
• União finita de limitados é limitado.
Um fato inusitado é que uma bola fechada pode ser um conjunto aberto.
Tome por exemplo X como o intervalo [−1, 1] da reta e considere a métrica
induzida. A bola B[0, 1] nesse espaço coincide com X, logo é um conjunto
aberto de X (pela observação acima).
Outro fato curioso é que, em geral, o fecho da bola aberta não é igual a
bola fechada. O exemplo é dado no espaço X = [−1, 1] ∪ {2} com a métrica
induzida de R. Aqui, o fecho de B(0, 2) é igual a B(0, 2).
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4 Sequências
Muitas equações (algébricas, diferenciais e integrais) são resolvidas através
de técnicas que geram uma sequência de aproximações para a solução exata
da equação. Em nosso curso de EDO teremos a oportunidade de verificar
esse fato.
Outro motivo, esse mais teórico, é que todas as propriedades topológicas
dos espaços métricos (tais como fecho, continuidade, compacidade etc.) têm
uma versão sequencial.
As principais diferenças entre sequências em espaços métricos e sequências
em Rn são consequências da não validade do Teorema de Bolzano-Weierstrass
para espaços métricos quaisquer.
Definição 4.1 Uma sequência em um espaço métrico (X, d) é uma aplicação
x : N → X, que representamos por (xj).
• (xj) é convergente se ∃a ∈ X com a sequinte propriedade:
∀ǫ > 0, ∃j0 ∈ N tal que j ≥ j0 ⇒ d(a, xj) < ǫ.
Nesse caso a é chamado o limite de (xj) e escrevemos xj → x.
• (xj) é de Cauchy se:
∀ǫ > 0, ∃j0 ∈ N tal que j, k ≥ j0 ⇒ d(xk, xj) < ǫ.
• (xj) é limitada se existem a ∈ X e r > 0 tais que xj ∈ B(a, r), ∀j ∈ N.
• Uma subsequência de (xj) é a restrição da função x a um subconjunto
infinito de N.
A próxima observação fornece indiretamente exemplos de convergência
de sequências no espaço métrico C([a, b]).
Observação 4.2 Suponha que x é uma função real cont́ınua definida no
intervalo [a, b] ⊂ R. Note que
sup
t∈[a,b]
|x(t)| ≤ ǫ ⇔ |x(t)| ≤ ǫ, ∀t ∈ [a, b].
Considere agora C([a, b]) com a métrica do sup . Da desigualdade acima segue
que uma sequência (xj) em C([a, b]) converge para x ∈ C([a, b]) se, e somente
se, (xj) converge para x uniformemente. Por isso a métrica do sup também
é chamada de métrica da convergência uniforme.
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Observação 4.3 (!) Vejamos agora uma lista de fatos válidos em qualquer
espaço métrico e cujas demonstrações são adaptações naturais de argumentos
válidos em Rn.
• O limite de uma sequência, quando existe, é único.
• Toda sequência convergente é de Cauchy.
• Toda sequência de Cauchy é limitada.
• Uma sequência de Cauchy é convergente, caso tenha uma subsequência
convergente.
Nosso objetivo agora é utilizar sequências para caracterizar conjuntos
fechados e definir o fecho de um conjunto.
Definição 4.4 Dados o subconjunto A do espaço métrico X e x ∈ X, dize-
mos que x é aderente a X se, para todo r > 0, existe a ∈ A tal que
a ∈ B(x, r). O conjunto de todos os pontos aderentes a A é chamado de
fecho de A e denotado por A.
Observação 4.5 (!) A ⊂ A, qualquer que seja A ⊂ X.
A caracterização de ponto aderente em termos de sequências é análoga
ao Rn.
Observação 4.6 (!) x ∈ X é aderente a A se, e somente se, existe uma
sequência (aj) de pontos em A tal que aj → x.
Dáı decorrem caracterizações úteis dos fechados em espaços métricos. A
demonstração das equivalências abaixo segue argumentos análogos ao Rn.
Observação 4.7 (!) As seguintes afirmações sobre o subconjunto A do
espaço métrico X são equivalentes:
(i) A é fechado.
(ii) A = A.
(iii) Para toda sequência (aj) de pontos em A tal que aj → x, ocorre que
x ∈ A.
Exemplo 4.8 (!) C([a, b]) é um subespaço métrico fechado de B([a, b]).
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No entanto, o teorema de Bolzano-Weierstrass não é válido em espaços
de dimensão infinita. Exibimos abaixo uma sequência limitada que não tem
subsequência convergente.
Exemplo 4.9 Considere a sequência(xj) em B([0, 1]) definida do seguinte
modo:
xj(t) =
{
1, se t = 1/j,
0, em caso contrário.
Então d(xj, xk) = 1 se j 6= k. Logo (xj) não tem subsequência de Cauchy
e, portanto, não tem subsequência convergente. No entanto, (xj) é limitada
pois xj ∈ B[0, 1], ∀j ∈ N.
Exemplo 4.10 (!) Seja A o conjunto de todos os elementos da sequência
do Exemplo 4.9. Então A é fechado em B([a, b]).
O próximo resultado ilustra o fato de que espaços normados com normas
equivalentes têm as mesmas propriedades topológicas.
Teorema 4.11 (!) Sejam | · | e || · || normas equivalentes no espaço vetorial
E. Mostre que uma sequência (xj) converge para x em (E, | · |) se, e somente
se, (xj) converge para x em (E, || · ||).
A próxima observação mostra que as normas do sup e da integral não são
equivalentes em C[a, b]).
Observação 4.12 (!) Existe uma sequência (xj) de funções cont́ınuas definidas
em [0, 1] que converge para zero na métrica da integral mas não converge na
métrica do sup .
5 Compacidade e continuidade
A extração de subsequências convergentes é um fato importante para a res-
olução de equações: em muitas situações, o ponto para o qual a subsequência
converge é a solução de uma equação.
Uma aplicação do Teorema de Bolzano-Weierstrass mostra que as seguintes
afirmações sobre K ⊂ Rn são equivalentes:
• K é fechado e limitado.
• toda sequência de pontos em K tem uma subsequência que converge
para um ponto de K.
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Sendo assim, sequências em fechados e limitados de espaços euclidianos pos-
suem subsequências convergentes.
O Exemplo 4.9 mostra que num espaço métrico qualquer, as propriedades
de um subconjunto ser fechado e limitado, mesmo que ocorram simultanea-
mente, são insuficientes para a extração de alguma subsequência convergente.
Por isso adequamos a definição de compacidade nos seguintes termos.
Definição 5.1 Dizemos que um subconjunto K do espaço métrico X é um
conjunto compacto quando toda sequência de pontos em K tem uma sub-
sequência que converge para um ponto de K.
Observação 5.2 (!) Todo compacto é fechado e limitado (argumentos análogos
ao Rn). Em geral, não vale a rećıproca.
Já a continuidade pode ser definida como uma extensão natural da con-
tinuidade em espaços euclidianos.
Definição 5.3 Sejam (X, d) e (Y, d′) espaços métricos. Uma função f :
X → Y é cont́ınua no ponto a ∈ X quando:
∀ǫ > 0, ∃δ > 0 tal que d(x, a) < δ ⇒ d′(f(x), f(a)) < ǫ.
Caso f seja cont́ınua em todos os pontos de X dizemos que f é cont́ınua.
Observação 5.4 (!) Os seguintes fatos são válidos em quaisquer espaços
métricos e suas demonstrações são adaptações naturais de argumentos válidos
em Rn.
• f é cont́ınua em a se, e somente se, para toda sequência (xj) em X tal
que xj → a ocorre que f(xj) → f(a).
• A imagem de um compacto por uma aplicação cont́ınua é um compacto.
O próximo teorema estabelece a continuidade da métrica. Sua demon-
stração é uma aplicação esperta da desigualdade triangular.
Teorema 5.5 (!) Seja (X, d) um espaço métrico qualquer. Se (xj), (yj) são
sequências em X tais que xj → x e yj → y então d(xj , yj) → d(x, y).
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6 Completude
Nessa seção introduzimos um conceito que ganha importância quando pas-
samos dos espaços euclidianos para espaços de dimensão infinita: a comple-
tude.
Definição 6.1 Um espaço métrico X é completo se toda sequência de
Cauchy em X é convergente (isto é, converge para um ponto de X).
Exemplo 6.2 R e, mais geralmente, Rn são completos.
Exemplo 6.3 Q não é completo (como subespaço de R). De fato, a sequência
(xj) de números racionais definida por xj =
(
1 + 1
j
)j
, j ∈ N, é convergente
em R (sabemos que xj → e), logo é de Cauchy em R e portanto, é de Cauchy
em Q. No entanto, (xj) não converge em Q pois e não é um número racional.
Exemplo 6.4 (!) B([a, b]) é completo.
Os próximos resultados fornecem mais exemplos de espaços completos.
Teorema 6.5 (!) Seja X um espaço métrico e Y subespaço de X. Se Y é
completo então então Y é um subconjunto fechado de X. Reciprocamente, se
X é completo e Y é um subconjunto fechado de X então Y é completo.
Diminuido o alcance do resultado anterior podemos simplificá-lo nos seguintes
termos:
Corolário 6.6 Seja X um espaço métrico completo e Y subespaço de X.
Então Y é completo se, e somente se, Y é um subconjunto fechado de X.
Exemplo 6.7 Todo fechado de Rn é completo. Em particular, os intervalos
fechados da reta são completos.
Teorema 6.8 (!) Todo espaço métrico compacto é completo.
Exemplo 6.9 (!) C([a, b]) é completo, quando considerado com a métrica
do sup .
Em contraste com o exemplo anterior temos o
Exemplo 6.10 (!) C([a, b]) não é completo, quando considerado com a
métrica da integral.
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7 O espaço C([a, b],Rn)
Nessa seção introduzimos e listamos propriedades úteis do principal espaço
métrico a ser usado em EDO: o espaço C([a, b],Rn).
Escolha uma norma | · | em Rn, por exemplo, uma das três do Exemplo
2.4. Denotamos por B([a, b],Rn) o conjunto de todas as funções
x : [a, b] → Rn
que são limitadas com relação a essa norma. Não é dif́ıcil ver que B([a, b],Rn)
é um espaço vetorial e que a aplicação
||x|| = sup
t∈[a,b]
|x(t)|
define uma norma nesse espaço.
Observação 7.1 (!) B([a, b],Rn) é um espaço métrico completo quando
equipado com a métrica proveniente de || · ||.
Definimos C([a, b],Rn) como o conjunto de todas as funções
x : [a, b] → Rn
que são cont́ınuas com relação a norma | · |.
Teorema 7.2 (!) C([a, b],Rn) é fechado em B([a, b],Rn), logo, C([a, b],Rn)
é completo.
Do Teorema 1.12 segue que a limitação e a continuidade de uma função
x : [a, b] → Rn não depende da particular escolha da norma em Rn. Por esse
motivo, trabalharemos livremente com qualquer uma das seguintes normas
em C([a, b],Rn) :
x 7→ sup
t∈[a,b]
|x(t)|1, x 7→ sup
t∈[a,b]
|x(t)|2, ou x 7→ sup
t∈[a,b]
|x(t)|∞.
8 Teorema do Ponto Fixo de Banach
O mais importante teorema de existência e unicidade de EDO, conhecido
como Teorema de Picard, é um caso particular do Teorema do Ponto Fixo
de Banach. Vejamos os ingredientes do Teorema do Ponto Fixo de Banach.
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Definição 8.1 Sejam (X, d) e (Y, d′) espaços métricos. Uma função f :
X → Y é uma contração se ∃α ∈ [0, 1) tal que
d′(f(x), f(y)) ≤ αd(x, y), ∀x, y ∈ X.
A definição acima significa que f é uma função lipschitziana com con-
sntante de Lipschitz < 1. Note que toda contração é uma aplicação cont́ınua.
Exemplo 8.2 Se f : I → R é derivável no intervalo I e ∃α ∈ [0, 1) tal que
|f ′(x)| ≤ α, ∀x ∈ I, então do Teorema do Valor Médio segue que f é uma
contração.
Definição 8.3 Seja X um conjunto qualquer. Dizemos que x ∈ X é um
ponto fixo da função f : X → X se f(x) = x.
Exemplo 8.4 Todos os números reais são pontos fixos da função identidade
f : R → R.
Exemplo 8.5 Os números 0 e 1 são pontos fixos da aplicação f : R → R
dada por f(x) = x2.
Teorema 8.6 (Ponto Fixo de Banach) (!) Seja X um espaço métrico
completo. Se f : X → X é uma contração então f tem exatamente um
ponto fixo.
Demonstração. [3] p. 300, [5] p. 15 ou [1] p. 341
Corolário 8.7 (!) Seja X um espaço métrico completo e f : X → X uma
função qualquer. Se, para algum m ∈ N a aplicação fm : X → X é uma
contração então f tem exatamente um ponto fixo.
9 Os teoremas de Aproximação deWeierstrass
e de Arzelá-Áscoli
Os próximos resultados serão utilizados na demonstração do Teorema de
Peano, que assegura existência (mas não unicidade) de soluções para EDO’s
sob hipóteses relativamente fracas.
Teorema 9.1 (Aproximação de Weierstrass) (!) Seja K um compacto
de Rn e f : K → R é cont́ınua então existe uma sequência (pj) de polinômios
definidos em Rn tal que pj converge para f uniformemente em K.
15
Demonstração. O caso n = 1 pode ser encontrado em [4], p. 159. Gener-
alize os argumentos para o caso n qualquer.Outra referência é [2] p. 250.
O Teorema de Arzelá-Áscoli requer a noção de equicontinuidade de uma
famı́lia de funções.
Definição 9.2 Escolha uma norma | · | em Rn e considere uma sequência
(fj) em C([a, b],R
n). Dizemos que (fj) é equicont́ınua se
∀ǫ > 0, ∃δ > 0 tal que |t− s| < δ ⇒ |fj(t)− fj(s)| < ǫ, ∀j ∈ N.
A definição acima implica que todas as funçõees fj são cont́ınuas. Mais ainda,
significa que fixado ǫ > 0 o número δ > 0 correspondente não depende nem
de t e nem de j (o mesmo δ ‘serve’ para todos os pontos t e para todas as
funções fj).
Teorema 9.3 (Arzelá-Áscoli) (!) Seja (fj) uma sequência equicont́ınua
em C([a, b],Rn). Se ∃M > 0 tal que
|fj(x)| ≤ M, ∀x ∈ X, ∀j ∈ N,
então (fj) tem uma subsequência que converge uniformemente.
Demonstração. [1] p. 347.
Bibliografia
[1] Claus I. Doering, Arthur Lopes. Equações Diferenciais Ordinárias. IMPA,
Rio de Janeiro, 2007.
[2] Elon L. Lima. Espaços Métricos. IMPA, Rio de Janeiro, 1979.
[3] Erwin Kreyszig. Introductiory Functional Analysis with Applications.
John Wiley and Sons, New York, 1978.
[4] Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill, New
York, 1976.
[5] Jorge Sotomayor. Equações Diferenciais Ordinárias. Livraria da F́ısica,
São Paulo, 2011.
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