Matrizes e Transformações em Robótica

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Faculdade de Engenharia - Programa de Pós-Graduação em Engenharia Eletrônica
Disciplina: Introdução a Robótica
Peŕıodo: 2024/1 - Lista: 1 - Valor: 10,0 - Peso: 2 - Data da entrega: 03/04/2024
Professor: Téo Cerqueira Revoredo
Aluno: Matŕıcula:
Introdução a Robótica Lista 1 Entrega: 03/04/2024
Formulário
Transx,a =

1 0 0 a
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 Transy,b =

1 0 0 0
0 1 0 b
0 0 1 0
0 0 0 1
 Transz,c =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 c
0 0 0 1

Rotx,α =

1 0 0 0
0 Cα −Sα 0
0 Sα Cα 0
0 0 0 1
 Roty,β =

Cβ 0 Sβ 0
0 1 0 0
−Sβ 0 Cβ 0
0 0 0 1
 Rotz,γ =

Cγ −Sγ 0 0
Sγ Cγ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

Ai = Rotz,θiTransz,diTransx,aiRotx,αi
=

Cθi −Sθi 0 0
Sθi Cθi 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1


1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 di
0 0 0 1


1 0 0 ai
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1


1 0 0 0
0 Cαi
−Sαi
0
0 Sαi
Cαi
0
0 0 0 1

=

Cθi −SθiCαi
SθiSαi
aiCθi
Sθi CθiCαi
−CθiSαi
aiSθi
0 Sαi
Cαi
di
0 0 0 1

Ma,b =
∑
x,y
xaybIx,y
ȳ =
M0,1
M0,0
x̄ =
M1,0
M0,0
Prof. Téo C. Revoredo 2024/1 Página 2
Introdução a Robótica Lista 1 Entrega: 03/04/2024
Questão 1
Seja R uma matriz de rotação 3× 3, prove que RT = R−1.
Questão 2
Determine as matrizes de transformação homogêneas T 0
1 (4× 4), para as seguintes situações:
(a) {1} tem a mesma orientação que {0} e a origem de {1} é transladada com relação à origem de {0} por
d01 = [5 − 5 10]T ;
(b) A origem de {1} é coincidente com a origem de {0} e x̂01 = −ẑ00 , ŷ
0
1 = −x̂00 e ẑ01 = ŷ00;
(c) A origem de {0} é transladada com relação à origem de {1} por d01 = [0 0 − 10]T , e a orientação de
{1} com relação à {0} é:
x̂01 = [0.9971 − 0.0292 − 0.0705]T
ŷ01 = [−0.0292 0.7083 − 0.7053]T
ẑ01 = [0.0705 0.7053 0.7053]T
Questão 3
Considere o robô apresentado na Figura 1. Ele é mostrado em uma posição na qual todos os ângulos de
junta são zero e d3 é um valor positivo. Assuma que não há limites para os parâmetros das juntas.
Figura 1: Questão 3.
Faça o que se pede:
(a) Desenhe os sistemas de coordenadas {0}, {1}, {2} e {3} adequados para o uso da convenção de Denavit-
Hartenberg;
(b) Construa a tabela dos parâmetos DH com base nos sistemas de coordenadas definidos na letra (a);
(c) Solucione o problema de cinemática direta para o robô, ou seja, dados os parâmetros de junta θ∗1, θ
∗
2 e
d3, determine a orientação e a posição do frame {3} como uma matriz de transformação homogênea
T 0
3 . Não utilize os parâmetros DH.
(d) Verifique a solução dos itens (b) e (c) utilizando o Matlab®. Apresente os códigos utilizados para tal.
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Introdução a Robótica Lista 1 Entrega: 03/04/2024
Questão 4
Considere o braço robótico apresentado na Figura 2. A junta prismática tem comprimento 5 ≤ d∗2 ≤ 10, a
faixa de trabalho da junta 1 é 0o ≤ θ∗1 ≤ 360o e a faixa de trabalho da junta 3 é −170o ≤ θ∗3 ≤ 170o. Assuma
a > b e b < 5.
Figura 2: Questão 4.
Faça o que se pede:
(a) Dado o∗3, solucione o problema cinemático inverso, ou seja, dados x, y e z determine os valores de θ∗1, d
∗
2
e θ∗3
Questão 5
Prove que DkRk,θ = Rk,θDk, sendo Dk uma mariz de translação e Rk,θ a forma homogênea da matriz de
rotação.
Questão 6
Considere um manipulador cuja primeira junta é de revolução e a segunda prismática, e cujos parâmetros
DH são apresentados abaixo:
♯ ai αi di θi
0-1 0 0 d1 θ1
1-2 a2
π
2 d2
π
2
Faça o que se pede:
(a) Determine o Jacobiano geométrico para o manipulador.
Prof. Téo C. Revoredo 2024/1 Página 4