tema 4 - aprofundamento de funções

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4 of 49 11/04/2024, 11:57
f
D(f) = {x ∈ R | f(x) ∈ R}
f(x) = x²
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5 of 49 11/04/2024, 11:57
√ √
∞
f(x) = 1 ÷ x
f(x) = 1 ÷ x
x = 0
0 D(f) = R*
X ⊂ R g(x) = √x
f: X → R
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6 of 49 11/04/2024, 11:57
g(x) = √x
D(g) = [0; +∞[
240m
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7 of 49 11/04/2024, 11:57
100m
A = x × (120 − x)
A = x × (120 − x) x
A(100) = 100 × (120 − 100) = 2000 m²
100 A 2000
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8 of 49 11/04/2024, 11:57
f) = {(x; f(x)) | x ∈ D(f)}
f f
x
f
f
f R
f
f
x = a f f
f
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9 of 49 11/04/2024, 11:57
f
f
y = b f
f
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10 of 49 11/04/2024, 11:57
0,82
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11 of 49 11/04/2024, 11:57
Ox
f
f
Ox
f
D(f) = [−1,
4]
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12 of 49 11/04/2024, 11:57
Ox
g
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13 of 49 11/04/2024, 11:57
f
f
Oy
Oy
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14 of 49 11/04/2024, 11:57
f
Oy
g
Oy
Oy
g
Oy (−2; 5,25]
Im(g) = (−2; 5,25]
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15 of 49 11/04/2024, 11:57
Oy
h Oy
(−2; 5, 25)
Im(h) = (−2 ; 5,25]
D f
f(D) = {f(x) | x
∈ D}
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16 of 49 11/04/2024, 11:57
f [− 2/3; 5/12]
Oy f
f
y = 5/12 y = − 2/3
Oy
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y = 5/12 y = − 2/3
y = − 2/3
y = 5/12
y = − 2/3 y
= 5/12
[−2/3; 5/12] Ox
Ox [−0,4
; 2] ∪ [3,6 ; 3,8]
[−2/3; 5/12]
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18 of 49 11/04/2024, 11:57
f
D R ƒ(x) = x² − 4x + 8 f
ƒ
D = [−2, 0] Im(ƒ) = R+
D = [2, +∞[ Im(ƒ) = [0; 4]
D = [2, +∞[ Im(ƒ) = R+
D = [0; 2] Im(ƒ) = [4; 8]
D = [−2, 0] Im(ƒ) = [4, 8]
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19 of 49 11/04/2024, 11:57
f
Im(ƒ) = [8, 20]
D = [2, +∞[ Im(ƒ) = [4, +∞)
D = [0; 2] ln(ƒ) = [4 ; 8]
f(x) = 120x ÷ (300−x)
f
x = 300
x
x
x x = 3
x
x x = 0
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20 of 49 11/04/2024, 11:57
x = 300
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21 of 49 11/04/2024, 11:57
f
∈ a1 ≠ a2 f(a1) f(a2)
f
f(x) = x² − 1
f(−2) = (−2)² − 1 = 3 = 2² − 1 = f(2)
−2 2
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22 of 49 11/04/2024, 11:57
f y = 3
f(x) = x² − 1
g(x) = x³
g(x) = x³
g
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23 of 49 11/04/2024, 11:57
A, B ⊂ R f: A → B
f(A) = B
f: Dom(f) → f(Dom(f))
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24 of 49 11/04/2024, 11:57
f
f: Dom → f(Dom(f))
f
f−1
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25 of 49 11/04/2024, 11:57
(a , b) f (a, b)
f−1
(a, b) (b, a)
y = x
(a, b) (b, a)
y = x
f f−1
f−1 f y
= x
f f−1
f g
x f
f−1 x
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26 of 49 11/04/2024, 11:57
x
y
f−1 f y
ƒ: [1,+ ∞) → (−∞, 3]
ƒ(x) = −x² + 2x + 2 (a, b) ƒ
ƒ−1 a + b
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27 of 49 11/04/2024, 11:57
ƒ
ƒ y = x
−x² + 2x + 2 = x ⇔ −x² + x + 2 = 0 ⇔ x = 2 x = −1
ƒ [1, +∞) x
x = 2 ƒ(2) = 2
(a, b) = (2, 2) a + b = 4
ƒ:[−1, 2] → R
f(x) = { x², se −1 ≤ x ≤ 0
(x + 1) ÷ 2, se 0 < x ≤ 1
−x + 2, se 1 < x ≤ 2
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f
Im(f)=[0,1] ≠ R f
ƒ
ƒ
ƒ
Im(ƒ) = [0, 1]
D(ƒ) = R
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f: R → R
f(x) x
x2 > x1 f(x2) > f(x1)
f: R → R
f: R → R
f(x) x
x2 > x1 f(x2) < f(x1)
f: R → R
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33 of 49 11/04/2024, 11:57
f(x) = x³
f(x) = x³
x2
< x1
f(x) = 
f(x) = 
{ −x², x < 0
0, 0 ≤ x ≤ 1
{
−x², x < 0
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34 of 49 11/04/2024, 11:57
[0, 1]
(−∞, −0.22) ∪ (1.55, + ∞) (−0.22, 1.55)
−x², x < 0
0, 0 ≤ x ≤ 1
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35 of 49 11/04/2024, 11:57
70m
40m 2
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36 of 49 11/04/2024, 11:57
x
40m 2 3
ƒ : R+ → R+
ƒ(3x) = 3ƒ(x) x ∈ R+
ƒ(9) = 27 ƒ(1)
20m
1
2
3
4
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27 = ƒ(9) = ƒ(3 × 3) = 3 × ƒ(3 × 1) = 3 × 3 × ƒ(1)
f(1) = 27/9 = 3
5
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38 of 49 11/04/2024, 11:57
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39 of 49 11/04/2024, 11:57
T >
0 f(x + T)
T > 0
f
f T f
nT n ∈ N
f(x) = f(x + T) = f(x + 2T) = f(x + 3T) = . . . = f(x + nT)
f
f
T
f T
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40 of 49 11/04/2024, 11:57
f: N → Z f(x) = (−1)x
f x 0
5
x 0 1
f(x) (−1)0 = 1 (−1)1 = −1
f x 0 5
x f(x) = 1 x f(x) = −1
2
x
f(x) = f(x + 2) = f(x + 4) = f( x + 6) = . . .
2
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41 of 49 11/04/2024, 11:57
f(t) = sen(t) P
P
(1, 0) t 0
2π(pi)
t f(t) = sen(t)
0 π(pi) ÷ 2 0 1
π(pi) ÷ 2 π(pi) 1 0
π(pi) 3π(pi) ÷ 2 0 −1
3π(pi) ÷ 2 2π(pi) −1 0
f(t) = sen(t) t
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42 of 49 11/04/2024, 11:57
x
f(x) = A sen(z x)
A
z
z = 2π(pi) ÷ T → T = 
f T
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43 of 49 11/04/2024, 11:57
A = 1 T = 1/4 A = 2 T = 1/3
ƒ: R → R 2
g(x) = ƒ(2x) 4
g(x) = ƒ(2x) 1
h(x) = ƒ(x/2) 1
h(x) = ƒ(x + q)
h(x) = ƒ(x/2)
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44 of 49 11/04/2024, 11:57
g(x) = ƒ(2x) 1
g(x + 1) = ƒ(2(x + 1)) = ƒ(2x + 2) = ƒ(2x) = g(x)
h(x) = ƒ(x/2) 4
h(x) = ƒ(x + q) 4
ƒ : [4, +∞[→ [−3, 7]
6 [4, 10]
ƒ(10) = ƒ(25) ƒ(4) < ƒ(8)
ƒ(12) = ƒ(24) ƒ(15) < ƒ(16)
ƒ(15) = ƒ(21) ƒ(21) < ƒ(22)
ƒ(18) = ƒ(24) ƒ(28) < ƒ(27)
ƒ(20) = ƒ(11) ƒ(24) < ƒ(25)
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45 of 49 11/04/2024, 11:57
ƒ(24) = ƒ(18 + 6) = ƒ(18) f
6
f(28) = f(4)= −3 f
[4, 10)
ƒ(27) = ƒ(9) > ƒ(4) f(28) < f(27)
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