Cálculo de Média e Variância

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Aula 3 Probabilidade e Estatística 67
Exemplo 6
Calcule a média, variância e desvio padrão da distribuição de pontos obtidos ao lançar 
1 dado honesto.
Seja X = ponto obtido ao lançar 1 dado
X = 1, 2, 3, 4, 5, 6
x P(x) x ⋅ P(x) x2 x2 P(x)
1 1/6 1/6 1 1/6
2 1/6 2/6 4 4/6
3 1/6 3/6 9 9/6
4 1/6 4/6 16 16/6
5 1/6 5/6 25 25/6
6 1/6 6/6 36 36/6
1 21/6 91/6
μ = μx = E(X) =
∑
i
xiP (xi) =
21
6
= 3, 5
σ2
x = V(X) = E(X2) − [E(X)]2
E(X2) =
∑
x2
i P (xi) =
91
6
= 15, 1667
σ2
x = V(X) = 15,1667 - (3,5)2 = 15,1667 − 12,25
σ2
x = V(X) = 2,9167
σx =
√
2, 9167 = 1, 71.
Exemplo 7
Qual a esperança matemática (média) e o desvio padrão de um jogo no qual se pode 
ganhar 25 u.m. com probabilidade 0,3; 10 u.m. com probabilidade 0,2; e perder 4 u.m. com 
probabilidade 0,5?
Sendo X = ganho, temos:
x P(x) x ⋅ P(x) x2 x2P(x)
25 0,3 7,5 625 187,50
10 0,2 2,0 100 20,00
−4 0,5 −2,0 16 8,00
1,0 7,5 215,50
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Atividade 3
Aula 3 Probabilidade e Estatística68
μx = E(X) =
∑
xi × P (xi) = 7, 5 u.m.
σ2
x = E(X2) − [E(X)]2
E(X2) =
∑
x2
i P (xi) = 215, 50
σ2
x = 215,50 − (7,5
2) = 215,50 − 56,25 = 159,25 (u.m.)2
σx =
√
159, 25 = 12, 62 u.m.
Propriedades da variância
a) V(K) = 0 K = constante
b) V(K · X) = K2 · V(X)
c) V(X ± K) = V(X)
d) V(X ± Y) = V(X) + V(Y), se X e Y são variáveis aleatórias independentes.
Para os dados das atividades 1 e 2, calcule a variância e o desvio padrão.
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