Testes de Hipóteses

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Aula 12 Probabilidade e Estatística 267
tteste =
X − μ0
S√
n
 tteste ∼ t com (n−1) graus de liberdade.
Observação – Embora o modelo t-student seja a distribuição teoricamente correta a ser usada 
para o cálculo da estatística-teste sempre que a v.a. X
_
 seja normalmente distribuída e σ não 
seja conhecido, em geral, os autores utilizam a distribuição t apenas quando, nas condições 
citadas, trabalhamos com pequenas amostras, isto é, quando X
_
 segue o modelo normal não 
conhecemos σ e n<30.
Porém, se n≥30, mesmo não conhecendo σ, podemos usar a distribuição normal. Nesse 
caso, a estatística-teste fica:
Zteste =
X − μ0
S√
n
, para n ≥30.
Tendo Zteste aproximadamente uma distribuição N(0; 1).
Não esqueça: podemos usar a normal, quando não conhecemos o desvio 
padrão populacional se, e somente se n ≥30.
Essa possibilidade de usar a distribuição normal ao invés da distribuição t quando não 
conhecemos σ é conseqüência da grande semelhança entre essas duas distribuições e do 
fato provado estatisticamente: a distribuição normal pode ser usada como aproximação da 
distribuição t-student para n ≥30. Nos testes de hipóteses, o valor assumido pela estatística-
teste (seja ela Z ou t) funciona como uma bússola que nos indica se devemos continuar ou 
não acreditando que a média populacional é μ
0
. Isto é, a probabilidade associada ao resultado 
amostral da média X
_
 que nos é dado pela estatística-teste vai nos apontar a direção de nossa 
decisão a respeito da hipótese H
0
: se devemos rejeitá-la ou não.
Vamos agora acompanhar atentamente alguns exemplos de testes de hipóteses para a 
média μ para melhor compreender os caminhos que devemos sequencialmente seguir, quando 
esses testes são elaborados, considerando as duas situações envolvidas, grandes amostras 
e pequenas amostras:
Exemplo 1
Suponha uma indústria de farinha de milho na qual há uma máquina que é regulada 
para encher pacotes com peso médio, μ = 400 gramas e desvio padrão, σ = 2,5 gramas. 
Sistematicamente, o encarregado do controle de qualidade dessa indústria analisa uma amostra 
com 36 pacotes para verificar se essa máquina mantém essa regulagem.
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a) Diante do exposto, como deveriam ser formuladas as hipóteses: nula (H
0
) e alternativa 
(H
1
)?
Solução
Neste problema, o encarregado quer submeter à prova a hipótese:
H
0
: μ = 400gr (o que equivale à afirmação “a máquina está regulada”)
Para se contrapor a essa hipótese H
0
, a alternativa será “a máquina não está regulada”. 
Isto é, a hipótese H
1
 afirma que:
H
1
: μ ≠ 400gr
(Preste bem atenção: a máquina pode estar desregulada se ela estiver enchendo os 
pacotes além do admissível, como também, ela pode estar desregulada se estiver enchendo 
os pacotes abaixo do peso admissível. Por isso, H
1
 deve ser formulada com o sinal “≠”).
Portanto, para problemas desse tipo, temos as hipóteses:
H
0
: μ = μ
0 } 
teste bilateral
H
1
: μ ≠ μ
0
No caso deste problema, μ
0
 = 400 logo,
H
0
: μ = 400gr ⇔ "a máquina está regulada"
H
1
: μ ≠ 400gr ⇔ "a máquina não está regulada"
b) Considere as informações dadas no início do exemplo e suponha que, ao analisar 
uma amostra com 36 pacotes dessa farinha, o encarregado de controle de qualidade 
tenha encontrado uma média amostral, X
_ 
= 401 gramas. Diante desse resultado e 
considerando um nível α = 5%, o que deve decidir esse encarregado sobre a regulagem 
dessa máquina? Deve rejeitar a suposição de que ela está regulada e parar a produção 
para regulá-la ou deve concluir que não há motivos para suspeitar de uma possível 
desregulagem da mesma?
Solução
A construção de um teste de hipóteses, de uma maneira geral, pode ser estruturada 
seguindo uma seqüência de passos a qual pode facilitar bastante a compreensão dessa 
construção. Acompanhe a seqüência das etapas nesse teste.
1º passo: construção das hipóteses
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