Trabalho sobre Intervalos de Confiança e Testes de Hipóteses

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA
TECNOLOGIA EM ANÁLISE E DESENVOLVIMENTO DE SISTEMAS
EST0006 – PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
ALUNAS: Beatriz Hoepers Kammradt
 Luara Bruning
TRABALHO COMPUTACIONAL 3
1 - Um artigo na revista Nuclear Engineering International descreve várias características de bastões combustíveis usados em um reator pertencente a uma central de utilidade elétrica na Noruega. Medidas da porcentagem de enriquecimento de 12 bastões foram reportadas, como segue:
2,94	3,00	2,90	2,75	3,00	2,95
2,90	2,75	2,95	2,82	2,81	3,05
Construa intervalos de confiança para o percentual médio de enriquecimento desses bastões, aos níveis de confiança de 90 e 95%. 
Você ficaria confortável com a afirmação de que o percentual médio de enriquecimento é de 2,95%? Justifique sua resposta.
Média () = 
Média () = (2,94 + 3,00 + 2,90 + 2,75 + 3,00 + 2,95 + 2,90 + 2,75 + 2,95 + 2,82 + 2,81 + 3,05)/12
Média () = 34,82 / 12
Média() = 2,92
Variância () = [(2,94 - 2,92) ^ 2 + (3,00 - 2,92) ^ 2 + (2,90 - 2,92) ^ 2 + (2,75 - 2,92) ^ 2 + (3,00 - 2,92) ^ 2 + (2,95 - 2,92) ^ 2 + (2,90 - 2,92) ^ 2 + (2,75 - 2,92) ^ 2 + (2,95 - 2,92) ^ 2 + (2,82 - 2,92) ^ 2 + (2,81 - 2,92) ^ 2 + (3,05 - 2,92) ^ 2] / (12 - 1)
Variância () = (0,00146689 + 0,00966289 + 0,0000027777778889 + 0,023002777 + 0,00966289 + 0,002336111079 + 0,000002777778889 + 0,023002777 + 0,002336111079 + 0,006669444499 + 0,008402777839 + 0,022002777) / 11
Variância () = 0,108551/11
Variância () = 0,00986727
Desvio Padrão () = 
Desvio Padrão ()= 0,09933918
Nível de confiança 1 () = 90%
 = 1,65
Nível de confiança 2 () = 95%
 = 1,96
IC ( = 
IC( = 1,65 *
IC( = 1,65 *
IC( = 0,047316639
IC( = [2,872683361; 2,967316639]
IC( = 
IC( = 1,96 * 
IC( = 0,056206432
IC( = [2,863793568; 2,976206432] 
Exercício 1 no R
> x <- c(2.94,3.00,2.90,2.75,3.00,2.95,2.90,2.75,2.95,2.82,2.81,3.05)
>#Para nível de confiança de 90%		 ># Para nível de confiança de 95%
> basicStats(x,ci=0.9)
 x
nobs 12.000000
NAs 0.000000
Minimum 2.750000
Maximum 3.050000
1. Quartile 2.817500
3. Quartile 2.962500
Mean 2.901667
Median 2.920000
Sum 34.820000
SE Mean 0.028679
LCL Mean 2.850163
UCL Mean 2.953171
Variance 0.009870
Stdev 0.099346
Skewness -0.241784
Kurtosis -1.410910
> basicStats(x,ci=0.95)
 x
nobs 12.000000
NAs 0.000000
Minimum 2.750000
Maximum 3.050000
1. Quartile 2.817500
3. Quartile 2.962500
Mean 2.901667
Median 2.920000
Sum 34.820000
SE Mean 0.028679
LCL Mean 2.838545
UCL Mean 2.964788
Variance 0.009870
Stdev 0.099346
Skewness -0.241784
Kurtosis -1.410910
>#Intervalo de confiança: [2,8502; 2,9532]	 >#Intervalo de confiança: [2,8385; 2,9648]
Considerando os dois intervalos de confiança calculados é possível sim concordar com a afirmação de que o percentual médio de enriquecimento é de 2,95%.
2- As pesquisas para a eleição presidencial de 2004 do crítico estado de Ohio forneceram os seguintes resultados: de 2020 pessoas consultadas nas pesquisas, 768 eram pós-graduadas. Das pessoas pós-graduadas, 412 votaram em George Bush. Calcule um intervalo de confiança de 95% para a proporção de pessoas pós-graduadas que votaram em George Bush. 
n = 2020
x = 412
 = número de elementos desejado (x) / tamanho total da amostra (n) 
 = 412 /2020
 = 0,2039
Nível de Confiança () = 95% (0,95)
IC (μ, ) = + *
IC(μ, 95%) = 0,2039 土 1,96 *
IC(μ, 95%) = 0,2039 土 1,96 *
IC(μ, 95%) = 0,2039 土 1,96 *
IC(μ, 95%) = 0,2039 土 1,96 *
IC(μ, 95%) = 0,2039 土 1,96 *
IC(μ, 95%) = 0,2039 土 0,017570042
IC(μ, 95%) = [0,186329957; 0,221470042]
Exercício 2 no R 
> binom.confint(412,2020,conf.level=0.95,methods="exact", "asymptotic")
method 
x
n
mean
lower
upper
exact 
412
2020
0.2039604
0.1865808
0.2222035
>#Intervalo de confiança:[0,1866;0,2222]
3 - O salário anual de 16 atuários escolhidos ao acaso está relacionado a seguir. Você pode concluir que a média dos salários anuais é maior do que R$ 50.000,00? Use nível de significância de 5%. 
45.018,00	34.952,00	85.517,00	45.553,00
41.900,00	76.384,00	48.862,00	37.615,00
61.104,00	96.710,00	97.875,00	68.245,00
39.945,00	53.582,00	65.252,00	72.522,00
Média () = 
Média () = (45.018,00 + 34.952,00 + 85.517,00 + 45.553,00 + 41.900,00 + 76.384,00 + 48.862,00 + 37.615,00 + 61.104,00 + 96.710,00 + 97.875,00 + 68.245,00 + 39.945,00 + 53.582,00 + 65.252,00 + 72.522,00) / 16
Média ()= 60.689,75
Variância (S) = [(45.018,00 - 60.689,75)^2 + (34.952,00 - 60.689,75)^2 + (85.517,00 - 60.689,75)^2 + (45.553,00 - 60.689,75)^2 + (41.900,00 - 60.689,75)^2 + (76.384,00 - 60.689,75)^2 + (48.862,00 - 60.689,75)^2 + (37.615,00 - 60.689,75)^2 + (61.104,00 - 60.689,75)^2 + (96.710,00 - 60.689,75)^2 + (97.875,00 - 60.689,75)^2 + (68.245,00 - 60.689,75)^2 + (39.945,00 - 60.689,75)^2 + (53.582,00 - 60.689,75)^2 + (65.252,00 - 60.689,75)^2 + (72.522,00 - 60.689,75)^2] / (16 - 1)
Variância (S) = (245.603.748,10 + 662.431.775,10 + 616.392.342,60 + 229.121.200,60 + 353.054.705,10 + 246.309.483,10 + 139.895.670,10 + 532.444.087,60 + 171.603,0625 + 1.297.458.410,00 + 1.382.742.818,00 + 57.081.802,56 + 430.344.652,60 + 50.520.110,06 + 20.814.125,06 + 140.002.140,10) / 15
Variância (S) = 6.404.388.674,20 / 15
Variância (S) = 426.959.244,90
Desvio Padrão () = 
Desvio Padrão (S) = 20.662,99216
H0: 50.000,00
H1: 50.000,00
Nível de Significância () = 0,05	
t = 
t = ( (60.689,75 - 50.000,00) * ) / 20662,99216
t = (10.689,75 * 4) / 20662,99216
t = 2,069351799
Exercício 3 no Excel
45.018,00			
41.900,00			
61.104,00		
39.945,00	
34.952,00
76.384,00		Desvio Padrão = 20662,99216
96.710,00		Média = 60.689,75
53.582,00		Nível de Significância = 0,05	
85.517,00			
48.862,00			
97.875,00			
65.252,00			
45.553,00			
37.615,00			
68.245,00			
72.522,00
Exercício 3 no R
>x<-c(45018,34952,85517,45553,41900,76384,48862,37615,61104,96710,97875,68245,39945,53582,65252,72522)
> t.test(x,alternative = "greater",mu=50000,conf.level = 0.995)
One Sample t-test
data: x
t = 2.0694, df = 15, p-value = 0.0281
alternative hypothesis: true mean is greater than 50000
99.5 percent confidence interval:
 45467.77 Inf
sample estimates:
mean of x 
 60689.75 
4 - É possível responder a questão 3 utilizando Intervalos de Confiança? Justifique sua resposta. 
Embora seja possível calcularmos a média e o desvio padrão, a questão não nos informa um nível de confiança para usarmos no problema, desse modo não é viável resolvermos o exercício 3 através de intervalo de confiança. 
Seja por proporção:
IC (μ, ) = + *
Seja por média:
IC ( = 
*Com desvio padrão conhecido
IC ( = 
*Com desvio padrão desconhecido
Em qualquer um dos casos é necessário conhecer o nível de confiança ().
O único meio de se resolver dessa forma é colocando níveis de confiança distintos e aleatórios para assim se criar uma ideia do resultado da solução do problema, lembrando que os valores achados podem não ser o que a questão em si deseja.