Prob_Est_Livro_GR-139

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Aula 12 Probabilidade e Estatística 275
1o passo
Vamos estabelecer as hipóteses nula (H
0
) e alternativa (H
1
) para este teste. Pelas 
especificidades desse problema, do ponto de vista do consumidor, a desconfiança é que a 
eficiência desse repelente talvez seja menor que 24 horas (a afirmação a ser testada).
A partir desse raciocínio, as hipóteses H
0
 e H
1
 nos conduzem a um teste unilateral com 
a seguinte formulação.
H
0
: μ = 24 horas (o repelente dura 24 horas) } teste unilateral
H
1
: μ < 24 horas (o repelente dura menos de 24 horas)
20 passo
Agora, definimos o nível de significância, α. O problema já nos informa que α = 5%.
30 passo
Nesta etapa, devemos determinar a distribuição amostral adequada aos dados que o 
problema nos disponibiliza. Supondo H
0
 verdadeira, a distribuição amostral associada à v.a. 
X
_
 será padronizada para que possamos obter o valor da estatística-teste. No caso particular 
desse problema, temos que a v.a. X
_
 segue um modelo normal, com μ = E(X
_
) = 24 horas 
(supondo H
0
 verdadeira) e σ
X
=
σ√
16
=
σ
4
. Nesse caso, a padronização para o cálculo da 
estatística-teste não poderá ser uma v.a. normal da forma:
Zteste =
X − 24
σ
4
,
porque nós não sabemos o valor do desvio padrão populacional, σ. Conseqüentemente, não 
poderemos calcular a estatística-teste por esse caminho. A solução para esse impasse é 
substituir σ pelo valor de sua estimativa, ou seja, pelo desvio padrão calculado com os dados 
da amostra, o qual, por sua vez, é também uma v.a.. Essa mudança implica em uma nova 
distribuição amostral padronizada: a distribuição t-student.
Assim, supondo a hipótese H
0
 verdadeira, ou seja, supondo que a média populacional é 
de fato μ = 24 horas, teremos a seguinte estatística-teste:
tteste =
X − μ
s√
n
tteste =
23, 5 − 24
2√
16
=
−0, 5
0, 5
= −1 ∴ tteste = −1
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24 X tcrítico t
α = 0,05
95%
α
-2,95 t0
= 0,05
95%
R. de Rejeição de H0
Aula 12 Probabilidade e Estatística276
40 passo
Vamos estabelecer a região de rejeição de H
0
. Neste teste, há apenas uma região de 
rejeição de H
0
, porque ele é unilateral.
Como H
1
 afirma que μ < 24 horas, então teremos o esquema:
Pela tabela da distribuição t-student (que estudamos na aula 10), o valor de α deve ser 
multiplicado por 2, pois nessa tabela, α é apresentado subdividido em duas partes iguais, 
α/2, para cada um dos lados da curva. Como nós queremos o valor de α integral, sem 
subdividi-lo, isto é, queremos α = 0,05, então deveremos procurar nessa tabela o valor da 
v.a.t correspondente a α = 10% com (n−1) graus de liberdade (sobre isso reveja a aula 10).
No caso, para gl = 16 − 1 = 15 e α = 10% teremos, t = 2,95. (Veja a tabela da distribuição 
t, em anexo).
Isto significa que a região de rejeição de H
0
 será constituída pelos valores da v.a. t, tais 
que t < −2,95. Assim, para todos os valores de t inferiores a −2,95, H
0
 é rejeitada.
Observação – Assim como a distribuição normal, a distribuição t é simétrica em torno de μ, 
com forma de sino.
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