Matemática Grega

Prévia do material em texto

O prelúdio da Matemática Grega 
(os paradoxos de Zenão) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Algo de notável e assombroso aconteceu realmente na Grécia Antiga, 
no período helênico (de + 800-336 a.C). Segundo Eves (1995), a Grécia 
Helênica representou “uma das épocas mais notáveis da história em termos 
de realizações humanas”. O Império Grego reunia, em seu extenso domínio 
territorial, cidades-Estado situadas em vários arquipélagos e regiões 
litorâneas do mar mediterrâneo – veja figura 1. Assim, além de concentrar 
os maiores cientistas do mundo antigo, a Grécia Antiga constituiu-se 
também no principal polo intelectual da época. Grande parte do 
conhecimento humano teve sua origem neste período grego: a Medicina, a 
Física, a Lógica, a Matemática, o Direito, a Música, a Filosofia etc. As 
razões para o “fenômeno grego” são as mais diversas possíveis, mas um 
ponto parece consensual: o surgimento e o desenvolvimento da Filosofia. 
Segundo Eves (1995, p.94), 
“Pela primeira vez na matemática, como em outros campos, o homem começou 
formular questões fundamentais como ‘Por que os ângulos da base de um triângulo 
 
 
figura 1 - extraída de (Eves, 1995, p.130) 
isósceles são iguais? ’ e ‘Por que o diâmetro de um círculo divide esse círculo ao meio? ’. 
Os processos empíricos do Oriente antigo, suficientes o bastante para responder 
questões na forma de como, não mais bastavam para as indagações mais científicas na 
forma de por quê”. 
 
Boyer ratifica a posição de Eves: 
As civilizações pré-helênica são freqüentemente consideradas como pré-cientificas 
nas atitudes delas em relação à natureza, já que a elas faltaram claramente a confiança 
grega em sua racionalidade essencial, tanto como pelo sentimento de que sob a complexa 
heterogeneidade e o fluxo incessante de eventos seria achado elementos de 
uniformidade e permanência.. 
 (Boyer, 1949, p. 14) 
 
 Ao fazer referência ao universo humano do período “pré-helênico”, 
Boyer inclui aí os Babilônios e os Egípcios; faz, no entanto, uma ressalva à 
importância desse conhecimento pré-científico produzido por essas 
civilizações para o desenvolvimento da própria ciência grega: 
 
Nossa informação sobre a história da matemática no intervalo entre o melhor da 
matemática egípcia e babilônica e os trabalhos iniciais na Grécia é infelizmente 
fragmentada. Que estas civilizações orientais influenciaram a cultura grega está clara; 
mas a natureza e a extensão da contribuição delas são indeterminadas. Porém isso pode 
ter ocorrido como se desenrolou na Grécia: uma clara mudança no espírito da ciência e 
da matemática. A mente humana foi "descoberta" como algo diferente do próprio 
ambiente natural e capaz de discernir semelhanças em uma muliplicidade de eventos, de 
abstrair estas de seus cenários, generalizando-as, e deduzir disso outras relações 
consistentes com experiências ulteriores. É por esta razão que nós consideramos o 
método matemático e científico como originários com a civilização Helênica; mas dizer 
que matemática grega e ciência eram nativas seria esquecer da dívida de tema-assunto 
para o Egito e a Babilônia. É provável que a perspectiva nova dos Helenos era o 
resultado do fluxo de civilizações que ocorreram nesta época, isto imprime sobre o 
próspero crescimento grego o selo de numerosas culturas. 
(Boyer, 1949, p.16) 
 
Em consonância com o pensamento de Boyer, Barnes (1997) sugere 
uma localização mais precisa deste nascimento da ciência/pensamento 
científico: 
Parece razoável concluir que Mileto, nos primórdios do século VI a.C., assistiu o 
nascimento da ciência e filosofia. 
(Barnes, 1997, p.17) 
Segundo Barnes, o nascimento da ciência e da filosofia teve o mesmo 
ponto de partida: os filósofos pré-socráticos. 
Qual será, então, o fundamento da afirmativa de que os pré-socráticos foram 
defensores da razão e da racionalidade? O fundamento é o seguinte: eles apresentavam 
razões para suas opiniões e argumentavam em favor de suas doutrinas. Não omitiam 
pronunciamentos ‘ex cathedra’. Isso talvez pareça um feito irrelevante. Não é. Ao 
contrário, é a realização mais relevante e mais digna de louvor dentre as três que 
relacionei. Os que duvidam do fato deveriam refletir sobre a máxima de George 
Berkeley, o filósofo irlandês do século XVIII: “Todo homem tem opiniões, mas poucos 
são os que pensam”. 
 (Barnes, 1997, p.27) 
 
É nesse período que se desenvolve a geometria grega, berço das 
idéias da ciência e do Cálculo. Boyer, concordando com a localização espaço-
temporal definida por Barnes para o nascimento “da ciência e filosofia”, se 
refere a Tales de Mileto (~625-546 a.C.) como o grande precursor dessa 
“revolução intelectual”: 
Tales é o primeiro grego mencionado com relação a esta "revolução intelectual", que 
produziu matemática elementar e que serviu para revelar essas dificuldades na 
concepção, no estudo e na resolução daquilo que foi produzido nos próximos vinte e cinco 
séculos e que hoje nós chamamos de cálculo. 
(Boyer, 1949, p.16). 
 
O autor acrescenta, no entanto, que Tales não construiu “um corpo de 
conhecimento matemático, nem aplicou seu método à análise do problema do 
contínuo”. Essa tarefa veio a ser iniciada, segundo Boyer, por Pitágoras 1 – 
“o segundo matemático grego de quem nós temos informações substanciais”. 
De acordo com Proclus, Pitágoras “transformou o estudo da geometria 
em uma educação liberal, examinando os princípios da ciência do início e 
provando os teoremas de uma maneira imaterial e intelectual”. Um resultado 
muito importante da pesquisa pitagórica sobre a unidade na natureza e 
 
1
 Há de se ressaltar que devido ao caráter hermético e místico da escola pitagórica, e pelo fato de muitos 
resultados, atribuídos a Pitágoras, terem se tornados públicos só depois de sua morte, não se sabem o que 
realmente pertencia a este personagem. Questiona-se inclusive sua existência humana. Heráclito, no 
entanto, garante que ele existiu, por volta do século VI a. C.. Contudo, a existência, ou não, de Pitágoras 
enquanto pessoa, não tira o mérito da grande contribuição de sua escola para o desenvolvimento da 
ciência, em particular a matemática. 
geometria foi a “teoria de aplicação de áreas”. Tal teoria irá influenciar 
posteriormente a construção de um método (o método de exaustão) que se 
tornará um procedimento padrão na matemática grega para o cálculo de 
áreas e volumes. Cabe ressaltar entretanto que os gregos não falavam de 
área de uma figura, mas de razão de superfícies. Tal fato deve-se ao 
problema da incomensurabilidade e à forma como desenvolveram o seu 
próprio conceito de número racional. Para comparar duas grandezas A e B, 
escolhia-se uma terceira grandeza C, menor que as duas primeiras, e que 
coubesse em cada uma delas uma quantidade inteira de vezes. Assim, se 
CmA . e CnB . , diríamos que 
n
m
Cn
Cm
B
A

.
.
, ou seja, que B
n
m
A  . A 
existência da quantidade C, escolhida como unidade comum para as duas 
grandezas, era assumida “intuitivamente”, e poderia ser escolhida de modo 
que a razão fosse irredutível 2. 
O número desempenhou, sem dúvida, um papel central no 
desenvolvimento da escola pitagórica. Aristóteles observou inclusive que o 
número para os pitagóricos exercia o papel da matéria e da forma do 
universo. 
Eles [os pitagóricos] chamavam um ponto de um, uma reta de dois, uma superfície 
de três e um sólido de quatro. O somatório de pontos gerava retas, o de retas, 
superfícies e o de superfícies, sólidos; com os seus um, dois, três e quatro eles poderiam 
construir o universo. 
 (apud Baron & Bos, 1985, v.1, p.16) 
 
Atribuindo “forma” aos números, os pitagóricos desenvolvem uma 
espécie de “aritmética geométrica”. É neste contexto que surgem os 
números figurados 3: triangulares, quadrangulares, retangulares, etc. 
 
 
2
 Paramaiores detalhes consulte (Caraça, 1989). 
3
 Os números figurados eram seqüências de números inteiros que obedeciam a uma determinada estrutura 
geométrica. – veja figuras 2 e 3. 
 
 
 
 
 
 
 
figura 3 - Números Figurados no Espaço (Baron & Boss, 1985, v.1, p.17) 
 
Assim, a partir das propriedades geométricas das figuras, 
estabeleciam relações aritméticas. A figura a seguir ilustra, através do uso 
do gnomon4, uma relação entre a soma de números ímpares e os números 
quadrangulares e outra, entre a soma de números pares e números 
retangulares. 
 
 
 
 
 
4
 Uma espécie de esquadro de carpinteiro que era utilizado para traçar ângulos retos. 
Triangulares Quadrangulares Retangulares 
 
 
figura 2 - Números Figurados no Plano (Baron & Boss, 1985, v.1, p.16) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 4 - Baron & Bos, 1985, v.1, p.17 
A máxima “Tudo é número” é, com efeito, a grande referência que se 
tem da escola pitagórica. No entanto, nem “tudo” era “número” (número 
racional). No momento em que se descobre que não era possível “medir” a 
diagonal de um quadrado em relação ao seu lado 5, a escola pitagórica entra 
em crise. E esta crise irá, por certo, marcar o destino da própria 
matemática grega, de modo que esta tentativa de estabelecer pontes entre 
a geometria e a aritmética e, mais especificamente, entre grandezas 
contínuas e discretas, foi abandonada pelos matemáticos gregos que se 
seguiram. Cabe ressaltar, entretanto, que os números irracionais 
(segmentos incomensuráveis) ainda apareceram nos trabalhos de Platão e 
Euclides. Este último desenvolve inclusive em um dos livros de sua grande 
obra Os Elementos (mais especificamente, o livro X) uma “teoria dos 
números irracionais”. Em tal teoria 6, Euclides considera os números 
irracionais através de processos de aproximações por valores racionais, 
fazendo uso simultaneamente de seqüência de valores inferiores quanto de 
seqüência de valores superiores a medida do segmento incomensurável. Tal 
procedimento influenciou R. Dedekind (1872), conforme revelou o próprio 
matemático alemão, na elaboração de sua teoria dos números reais a partir 
de “cortes” de números racionais. É fascinante perceber que os gregos, há 
mais de 300 anos antes de Cristo, já haviam lançado no solo geométrico as 
sementes de conhecimento necessárias à fundamentação da Análise Real, 
que se iniciaria apenas no século XIX d.C.. 
Quanto às quantidades infinitesimais, não se sabe ao certo se os 
pitagóricos as utilizavam em suas pesquisas. Contudo, sabe-se que tais 
quantidades foram introduzidas no pensamento matemático através das 
 
5
 Tal problema ficou conhecido historicamente como o “Dilema de Pitágoras” – para maiores detalhes 
verificar em (Caraça, 1989). 
6
 Segundo Heath (1956), é muito provável que esta teoria dos números irracionais tenha sido 
desenvolvido originariamente na própria escola pitagórica. 
explicações dos pré-socráticas para a natureza do mundo físico. Boyer 
(1949) localiza de forma mais precisa a origem dos infinitésimos. Segundo o 
autor, a doutrina materialista do atomismo físico, elaborada no século V a.C., 
em Abdera, foi a grande responsável por tal empreendimento. Esta 
doutrina sustentava que todas as coisas, mesmo a mente e a alma, eram 
feitas de átomos - partículas indivisíveis e imperceptíveis pelos sentidos por 
serem muito pequenas - que se moviam sobre o espaço vazio. A 
identificação destes pequeníssimos (mas finitos) elementos indivisíveis com 
a teoria pitagórica é bastante natural. O que não é tão natural assim, é a 
não aceitação desses indivisíveis na matemática por parte daquele que foi o 
maior representante da escola de Abdera: Demócrito (~410 a.C.) – 
considerado por muitos historiadores da ciência e da filosofia o “pai da 
Física” e o “mais brilhante dos filósofos pré-socráticos”. A fim de 
ilustrarmos tal atitude de Demócrito, citaremos um dilema proposto pelo 
pensador sobre seções paralelas de um cone, e que foi relatada pelo 
historiador e geógrafo Plutarco (46-120 d.C.): 
 
Se cortarmos um cone por um plano 
paralelo à base [plano bem próximo à base], 
o que podemos dizer das superfícies que 
formam as seções? Elas são iguais ou 
diferentes? Se elas são diferentes, elas 
tornarão o cone irregular, cheio de dentes, 
como degraus, e imparidades; mas se elas 
são iguais, a seções serão iguais, e parece 
que o cone terá a propriedade do cilindro de 
ser construído por círculos iguais e não 
diferentes: o que é um absurdo. 
 
 (apud Baron & Bos, 1985, vol. 1, p.20) 
 
 
Por outro lado, sabe-se que Demócrito determinou o volume da 
pirâmide e do cone, os mesmos sólidos envolvidos no enunciado do seu 
 
 
figura 5 - Baron & Bos, 1985, vol. 1, p.20 
dilema. Assim, é muito provável que o grande pensador tenha resolvido o 
problema usando quantidades infinitamente pequenas. Além disso, a grande 
influência que as pesquisas de Demócrito exerceu sobre os trabalhos de 
Platão e de Arquimedes 7 é um forte indício dessa conjectura. É, no mínimo, 
curiosa, esta íntima relação entre os conceitos de indivisível e infinitesimal 
na atitude de Demócrito. Apesar dos seus significados extremamente 
opostos (ou admite-se a existência do elemento indivisível, ou a 
possibilidade de se dividir indefinidamente – infinitamente - uma 
quantidade, por menor que seja), os infinitesimais (ou indivisíveis 
matemáticos), na posição de Demócrito, parecem ser de um tipo especial. 
Os “indivisíveis matemáticos” podem ser divididos em partes menores (e de 
forma infinita), mas sem perder a propriedade essencial da substância da 
qual eles são elementos constitutivos. Ainda que sejam partidos, cada parte 
preserva a identidade do todo que o gerou. Talvez seja este processo 
mitótico que tornou possível Demócrito inferir dos indivisíveis o seu 
conceito de infinitesimal, afinal: os indivisíveis também são quantidades 
“infinitamente” (muito) pequenas. 
As críticas feitas às quantidades infinitamente pequenas, 
introduzidas por Demócrito, foram tão severas quanto as que foram 
realizadas aos indivisíveis pitagóricos. A escola eleática, liderada por 
Parmênides (nascimento: 540/515 a.C.), é sem dúvida o principal exemplo 
dessa reação, ainda que sua doutrina tenha se servido da filosofia pitagórica 
para o seu próprio desenvolvimento. Mantendo-se frontalmente contra a 
visão atomística, Parmênides defende a unidade e invariabilidade do 
mundo: 
 
 
7
 Em particular na obra sobre o “Método”, onde o matemático cita Demócrito como autor do cálculo do 
volume do cone e desenvolve seus resultados baseado na noção de infinitésimo. 
(8.) Só ainda (o) mito de (uma ) via 
resta, que é; e sobre esta indícios existem, 
bem muitos, de que ingênito sendo é também imperecível, 
pois é todo inteiro, inabalável e sem fim; 
nem jamais era nem será, pois é agora todo junto, 
uno, contínuo; pois que geração procurarias dele? 
Por onde , donde crescido? Nem de não ente permitirei 
Que digas e pense; pois não dizível nem pensável 
É que não é; que necessidade o teria impelido 
A depois ou antes, se do nada iniciado, nascer? 
Assim ou totalmente é necessário ser ou não. 
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
(...), e a decisão sobre isto está no seguinte: 
é ou não é;(...) 
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
Nem divisível é, pois é todo idêntico; 
nem algo em uma parte mais, que o impedisse de conter-se, 
nem também algo menos, mas é todo cheio do que é, 
por isso é todo contínuo; pois ente a ente adere. 
 
Por outro lado, imóvel em limite de grandes liames 
é em princípio e sem pausa, pois geração e perecimento 
bem longe afastaram-se, rechaçou-os fé verdadeira. 
O mesmo e no mesmo persistindo em si mesmo pousa. 
e assim firmado aí persiste; pois firme a Necessidade 
em liames (o) mantém,de limite que em volta o encerra, 
para ser lei que não sem termo seja o ente; 
pois é não carente; não sendo, de tudo careceria. 
(apud Pré-Socráticos, 2000, p.123) 
 
 Assim, Parmênides desenvolve os seus três princípios explicativos 
básicos: o da identidade (o ser é... o não-ser não é), o da unidade e o da 
imutabilidade. No entanto, na produção matemática, existiam dois tipos 
diferentes de atividades: uma, de contagens de elementos discretos, 
separados e indivisíveis; e outra de medidas de quantidades "contínuas", 
infinitamente divisíveis – procedimento frontalmente contrário ao seu 
princípio de identidade: o ser é, o não-ser não é. Mas a crítica, tanto ao 
uso dos indivisíveis quanto ao dos infinitésimos, contextualizada na 
linguagem científica/matemática, foi realizada por seu mais brilhante 
(porém o não mais fiel) dos súditos: Zenão de Eléia (nascimento: 515/490 
a.C.). Foi Zenão quem descobriu, com os seus paradoxos, uma anomalia em 
ambas as atividades "normais" da matemática na época. No paradoxo de 
Aquiles, Zenão "prova" que "se o espaço e o tempo são (infinitamente) 
divisíveis então o movimento é impossível". Baron sintetiza de forma 
didática o seu argumento: 
 
|-----------------------------|-----------------------|--------------|----------|------------ 
 A B C D E 
 
Se a tartaruga está em B e Aquiles em A, Aquiles nunca pega a tartaruga, pois no 
momento em que Aquiles chega no ponto B a tartaruga estará em algum ponto C adiante, 
e quando Aquiles chega em C a tartaruga estará em algum ponto D adiante, e assim por 
diante ad infinitum: a tartaruga estará sempre na frente! 
 (apud Baron & Bos, 1985, v.1, p.23) 
 
 Assim, como o movimento é possível (isto é, Aquiles não só alcança 
mas como também ultrapassa a tartaruga), Zenão conclui, a partir deste 
paradoxo, que o tempo não pode ser infinitamente divisível. O argumento 
parece logicamente convincente, mas note, no entanto, que “é falso afirmar 
que o que vai na frente não é alcançado: não é alcançado enquanto vai na 
frente, mas, não obstante, é efetivamente alcançado” 8. A solução para o 
paradoxo é, com efeito, um problema fundamental do Cálculo Diferencial. 
Voltaremos a este assunto num momento mais oportuno; por ora, cabe 
ressaltar que Zenão desenvolveu um argumento parecido contra a divisão do 
espaço ad infinitum: o paradoxo A Dicotomia 9. 
 Contra o uso dos indivisíveis, Zenão desenvolveu dois paradoxos: A 
Flecha e O Estádio. A descrição deste último é complexa e nos tomaria um 
tempo desnecessário, por isso optamos pela ilustração do paradoxo da 
Flecha. Neste paradoxo, Zenão "prova" que "se existem unidades de tempo 
 
8
 (Barnes, 1997, p.180). 
9
 Porfírio teria sustentado que o argumento da dicotomia pertencia a Parmênides – (apud Barnes, 1997, 
p.177). 
e de espaço indivisíveis então o movimento é impossível". Vejamos o seu 
argumento nas palavras de Baron: 
 Considere uma flecha e assegure razoavelmente que a flecha deve estar num certo 
ponto num dado instante: como ela não pode estar em dois lugares no mesmo instante, 
não pode se mover nesse instante, se, por outro lado, está em repouso nesse instante, 
então, como o argumento se aplica para outros instantes, ela não pode se mover de jeito 
nenhum. 
(Baron & Bos, 1985, v.1, p.23) 
 
 
 Contudo, como o movimento da flecha é possível, Zenão conclui, a 
partir deste argumento, que o espaço e o tempo não possuem elementos 
indivisíveis. A solução deste paradoxo, assim como a dos outros três, está 
relacionada com o desenvolvimento de outros conceitos básicos do Cálculo, 
como os de infinito, continuidade, número real e derivada. No entanto, a 
impotência 10 dos gregos de resolverem tais paradoxos, junto com a anomalia 
identificada pelos pitagóricos dos segmentos incomensuráveis, vai 
desencadear a primeira grande crise na matemática grega (e por que não 
dizer, do Cálculo). Uma crise que suscitará um outro conceito fundamental 
do Cálculo: a noção de limite. No próximo texto veremos então como foi que 
os matemáticos gregos “solucionaram” tal crise. 
 
 
10
 Os gregos possuíam apenas uma ideia intuitiva dos conceitos de continuidade e infinito, além do seu 
universo numérico estar restrito ao campo racional.