Aspectos Introdutórios da matemática grega

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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
INTRODUÇÃO
Figura 1: Platão e Aristóteles, por Rafael .
Egípcios, chineses e babilônios, muito antes do século VI a.C., já eram capazes de efetuar cálculos e 
medidas práticas com grande precisão. Não obstante, foram os gregos que introduziram rigorosas 
provas dedutivas e o encadeamento sistemático de teoremas demonstrativos que deram consistência 
teórica à Matemática (RIBEIRO JR, 2017).
A palavra matemática (μαθηματική - que indica inclinação à aprendizagem), de origem grega, é tida 
como sendo a ciência do raciocínio lógico e abstrato. A matemática grega englobava aritmética, 
geometria, mecânica e astronomia. Atualmente, apenas a aritmética e a geometria, as duas áreas 
teóricas que mais atraíram os gregos antigos, são consideradas no âmbito da matemática.
Alguns filósofos gregos também eram, possivelmente, matemáticos. Dentre eles podemos citar Tales de 
Mileto (625 a.C. a 545 a.C.), Pitágoras de Samos (570 a.C. a 495 a.C.) e Demócrito de Abdera 
(aproximadamente de 460 a.C.). Por outro lado, alguns matemáticos também eram sofistas, como Hípias 
de Élis (séc. V a.C.). Outros dedicavam-se quase exclusivamente à geometria e suas aplicações 
mecânicas e astronômicas, como Euclides (de aproximadamente 295 a.C.), Arquimedes (287 a.C. a 212 
a.C.) e Apolônio de Perga (de aproximadamente 200 a.C.) (RIBEIRO JR., 2017).
As mais antigas evidências concretas sobre as atividades de um matemático propriamente dito referem-
se a Hipócrates de Quios (470 a.C. a 400 a.C.). Evidências históricas sobre Hipócrates (e outros 
matemáticos anteriores ao século IV a.C.) baseiam-se em fragmentos de suas obras. São apenas 
algumas traduções conservadas ao longo dos séculos que chegaram até nossos dias.
O mais antigo tratado matemático de que temos conhecimento é o Da Esfera Móvel, de Autólico (360 
a.C. a 290 a.C.), que apresenta um estudo da geometria da esfera. Dos matemáticos posteriores, 
Aspectos introdutórios da história da 
matemática grega: os problemas clássicos2
TEXTO­BASE
Aspectos introdutórios da história da matemática grega: os 
problemas clássicos
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restam-nos diversas obras de valor desigual, dentre as quais destaca-se Os Elementos, de Euclides, 
cuja influência persiste até hoje.
O interesse pela História da Matemática começou, também, na Grécia Antiga. Eudemo de Rodes (séc. 
IV a.C.), discípulo de Aristóteles, escreveu histórias da aritmética, geometria e astronomia que não foram 
conservadas. Temos apenas evidências indiretas desta e de outras obras, porque durante o Período 
Grego-romano, matemáticos como Papo de Alexandria e Teon, pai da filósofa Hipatia, discutiram e 
comentaram a obra de seus predecessores (RIBEIRO JR., 2017).
PROBLEMAS CLÁSSICOS DA MATEMÁTICA GREGA
Os matemáticos gregos estudaram 3 problemas de Geometria que ganharam papel importante no 
desenvolvimento da Matemática. São problemas de construção que resistiram a todas as tentativas para 
resolvê-los utilizando somente régua sem graduação e compasso (os únicos instrumentos utilizados por 
Euclides nos Elementos). Os três problemas podem ser conferidos no Quadro 1.
A DUPLICAÇÃO DO CUBO A QUADRATURA DO CÍRCULO
A TRISSECÇÃO DO 
ÂNGULO
O que sabemos sobre este problema encontra-
se principalmente em Eutócio, um comentador 
de Arquimedes. Há duas lendas sobre a origem 
da duplicação do cubo, com detalhes 
contraditórios. Uma delas se refere à duplicação 
de um túmulo e a outra à duplicação de um altar. 
Segundo a primeira lenda, Minos mandou fazer 
um túmulo para Glauco. Ao saber que o túmulo 
era um cubo cuja aresta media 100 pés, ele 
disse que a residência real tinha sido construída 
demasiadamente pequena e que ela deveria ser 
duas vezes maior e ordenou imediatamente que 
duplicassem cada aresta do túmulo, sem 
estragar sua bela forma. De acordo com a 
segunda lenda, quando Deus anunciou aos 
Delianos, por meio de um oráculo que, para se 
verem livres da peste, deveriam construir um 
altar duas vezes maior do que o existente, os 
arquitetos ficaram muito confusos, pois não 
sabiam como construir um cubo duas vezes 
maior do que outro (CARVALHO, 2017).
Para conhecer este
problema, leia o artigo:
CARVALHO, J.P. Os
três problemas clássicos 
da Matemática Grega. 
2017 .
Para conhecer este 
problema, leia o artigo: 
CARVALHO, J.P. Os três 
problemas clássicos da 
Matemática Grega. 2017
.
Quadro 1: Os três problemas clássicos da matemática Grega. Fonte: Carvalho, 2017
ESCOLA PITAGÓRICA
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A Escola Pitagórica teve como ponto de partida a cidade de Crotona, no sul da Itália, e difundiu-se 
vastamente. Trata-se da escola filosófica grega mais influenciada pelas religiões orientais, e que por isso 
mais se aproximou das filosofias dogmáticas regidas pela ideia de autoridade. O pitagorismo influenciou 
o futuro platonismo, o cristianismo e ainda foi invocado por sociedades secretas que atravessaram o 
tempo até alcançarem os dias de hoje. O símbolo da Escola Pitagórica era o pentagrama (estrela de 
cinco pontas) (EDUC, 2017).
Pode-se dizer que os pitagóricos constituíam-se em uma ordem religiosa e em uma escola filosófica. A 
filosofia desta ordem estava pautada no lema "O número é tudo", ou seja, o "número era a substância de 
todas as coisas". Pretendiam afirmar que não só todos os objetos conhecidos tinham um número, ou 
podiam ser ordenados e contados, como também os números eram a base de todos os fenômenos 
físicos.
PITÁGORAS (570A.C. – 495A.C.) 
Filósofo e matemático grego jônico creditado como o fundador do movimento chamado 
Pitagorismo.
A maioria das informações sobre Pitágoras foram escritas séculos depois que ele viveu (há 
pouca informação confiável). Nasceu na ilha de Samos e viajou o Egito e Grécia e talvez a 
Índia, e em 520a.C. voltou a Samos.
A palavra Matemática (Mathematike, em grego) surgiu com Pitágoras, ao concebê-la como um 
sistema de pensamento baseado em provas dedutivas.
Existem indícios de que o chamado Teorema de Pitágoras (c²=a²+b²) já era conhecido dos 
babilônios em 1600 a.C. com escopo empírico. Estes usavam sistemas de notação 
sexagesimal na medida do tempo (1h=60min) e na medida dos ângulos (60º, 120º, 180º, 240º, 
360º).
Pitágoras percorreu por 30 anos o Egito, Babilônia, Síria, Fenícia e talvez a Índia e a Pérsia, 
onde acumulou conhecimentos em astronomia, matemática, ciência, filosofia, misticismo e 
religião. Foi contemporâneo de Tales de Mileto, Buda, Confúcio e Lao-Tsé.
Fonte: Wikipedia, 2017.
Os pitagóricos supunham que toda figura geométrica e todo corpo físico eram constituídos por 
determinado número de átomos ou mónodas (unidade material, uma "unidade dotada de posição", muito 
pequena, mas com uma certa extensão: era um "ponto extenso"), número esse que poderia ser muito 
grande, mas finito. Idolatravam os números, acreditando que tinham propriedades mágicas. Conceberam 
o número "perfeito" (soma dos seus fatores multiplicativos) e levavam um modo de vida ascético e 
vegetariano. Também realizaram estudos matemáticos e filosóficos como fundamentos para uma base 
moral. Acreditavam que a essência de tudo, quer na geometria, quer nas questões práticas e teóricas da 
vida do homem, podia ser explicada em termos de arithmos (propriedades intrínsecas dos números 
inteiros ou das suas razões) (WIKIPEDIA, 2017a, 2017b).
Os pitagóricos praticavam rituais de purificação e crença na doutrina da metempsicose (transmigração 
da alma após a morte de um corpo para outro). Assim,acreditavam na reencarnação e na imortalidade 
da alma. Tinham muita lealdade entre os membros da ordem e praticavam a distribuição comunitária dos 
bens materiais.
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Na Matemática, classificaram os números em pares, ímpares, primos e fatoráveis e criaram um modelo 
de definições, axiomas, teoremas e provas, segundo o qual a estrutura da Geometria é obtida através de 
pequeno número de afirmações e da ação de um raciocínio dedutivo rigoroso. Muito provavelmente 
devemos aos pitagóricos a construção do cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro e a "seção áurea".
Na Astronomia, tiveram ideias inovadoras, mas nem sempre verdadeiras. Acreditavam que a Terra era 
esférica e que os planetas se moviam em diferentes velocidades em várias órbitas ao redor da Terra. 
Graças a uma cuidadosa observação do céu, apregoavam a ideia de que existe uma ordem que domina 
o Universo.
Na Música, descobriram algo notável: os intervalos musicais podem ser mensurados através de 
proporções aritméticas. Pitágoras (assim como outros filósofos gregos pré-socráticos) descreveu o poder 
do som e seus efeitos sobre a psique humana, lançando bases para a musicoterapia. Aristóteles, anos 
depois, muito provavelmente utilizou essa ideia como base teórica para sua definição de música, 
afirmando ser esta uma "arte medicinal" (WIKIPEDIA, 2017a).
PLATÃO E A MATEMÁTICA
Os primeiros três séculos da matemática grega, começando com os esforços iniciais de Tales por uma 
geometria demonstrativa (por volta de 600 a.C.) e culminando com os notáveis Elementos de Euclides 
(por volta de 300 a.C.), constituem um período de realizações extraordinárias.
Nesse período, Platão nasceu em Atenas (ou nas proximidades) por volta de 427 a.C. (o ano da grande 
peste). Depois de estudar filosofia com Sócrates ali mesmo, viajou pelo mundo à procura do saber. 
Estudou matemática com Teodoro de Cirene na costa da África e tornou-se amigo de Arquitas. 
Regressando para Atenas, por volta de 387 a.C., fundou sua famosa Academia, orientada por propósitos 
sistemáticos de investigação filosófica e científica.
Dirigiu a Academia por toda a sua vida e morreu em Atenas no ano 347 a.C., com cerca de 80 anos de 
idade. Quase todos os trabalhos matemáticos importantes do século IV a.C. foram feitos por amigos ou 
discípulos de Platão, fazendo da Academia o elo da matemática dos pitagóricos mais antigos com a da 
posterior escola de Alexandria.
A importância de Platão na matemática não se deve a nenhuma das descobertas que fez, mas sim à sua 
convicção de que o estudo da matemática fornecia o mais refinado treinamento do espírito e, por isso, 
era essencial que fosse cultivado pelos filósofos e pelos governantes do Estado. Isso explica o famoso 
lema à entrada da Academia: “Que aqui não adentrem aqueles não versados em geometria”.
Para Platão, a matemática parecia da mais alta importância graças ao seu componente lógico e à atitude 
espiritual abstrata gerada por seu estudo.
Muito historiadores da matemática atualmente creditam aos diálogos de Platão o que poderia ser 
considerada a primeira tentativa séria de uma filosofia da matemática.
OS INSTRUMENTOS DE EUCLIDES
"É importante ser claro quanto ao que é permitido fazer com régua e compasso. Com a régua 
permite-se traçar uma reta de comprimento indefinido passando por dois pontos distintos dados. 
Com o compasso permite-se traçar uma circunferência com centro num ponto dado passando por 
um segundo ponto qualquer dado. O traçado de construções com régua e compasso, visto como um 
jogo em que se obedecem a essas duas regras, mostrou ser um dos jogos mais fascinantes e 
absorventes jamais inventados. São de surpreender as construções realmente intrincadas que se 
podem realizar dessa maneira [...]".
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(EVES, 2011, p. 134)
Já que os postulados dos Elementos de Euclides restringem o uso da régua e o do compasso de acordo 
com as regras acima descritas, esses instrumentos, assim utilizados, tornaram-se conhecidos como 
instrumentos euclidianos.
Pode-se perceber que a régua não tem escala (com uma régua com escala é possível trisseccionar um 
ângulo). Observa-se também que o compasso de Euclides difere dos compassos modernos, uma vez 
que, com estes, é possível traçar um círculo com centro num ponto qualquer e tendo como raio um 
segmento AB qualquer. Em outras palavras, permite-se transportar a distância AB ao centro, usando 
para isso o compasso como transferidor.
Já o compasso euclidiano desmonta-se quando se levanta um de seus braços do papel. Assim, poderia 
parecer que o compasso moderno fosse mais poderoso do que o euclidiano, ou compasso desmontável. 
Mas é notável como os dois instrumentos são equivalentes (EVES, 2011).
Na próxima aula, voltaremos a tratar de Euclides, apresentando novas informações.
REFERÊNCIAS
EDUC. ESCOLA PITAGÓRICA. 2017. DISPONÍVEL EM: < HTTP://WWW.EDUC.FC.UL.PT/ICM/ICM99/ICM17/ESCPITA.HTM
(HTTP://WWW.EDUC.FC.UL.PT/ICM/ICM99/ICM17/ESCPITA.HTM) >.
RIBEIRO JR., W.A. A MATEMÁTICA GREGA. PORTAL GRAECIA ANTIQUA. SÃO CARLOS. DISPONÍVEL EM: < 
WWW.GRECIANTIGA.ORG/ARQUIVO.ASP?NUM=0316 (HTTP://WWW.GRECIANTIGA.ORG/ARQUIVO.ASP?
NUM=0316) >.
WIKIPEDIA. PITÁGORAS. 2017A. DISPONÍVEL EM: < HTTPS://PT.WIKIPEDIA.ORG/WIKI/PIT%C3%A1GORAS
(HTTPS://PT.WIKIPEDIA.ORG/WIKI/PIT%C3%A1GORAS) >.
WIKIPEDIA. ESCOLA PITAGÓRICA. 2017B. DISPONÍVEL EM: < HTTPS://PT.WIKIPEDIA.ORG/WIKI/ESCOLA_PITAG%C3%
B3RICA (HTTPS://PT.WIKIPEDIA.ORG/WIKI/ESCOLA_PITAG%C3%B3RICA) >.
Fonte: http://alotatuape.com.br/wp-content/uploads/2014/09/fapesp-filosofia-grega.jpg
(http://alotatuape.com.br/wp-content/uploads/2014/09/fapesp-filosofia-grega.jpg) ↩
[1]
Disponível em < http://www.bienasbm.ufba.br/M20.pdf >↩[2]
Disponível em < http://www.bienasbm.ufba.br/M20.pdf >↩[3]
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