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EQUAÇÕES BÁSICAS 
NA FORMA INTEGRAL 
PARA O VOLUME DE PARA O VOLUME DE 
CONTROLE
Fenômenos de Transporte I
 Os vários tipos de problemas encontrados
em Mecânica dos Fluidos podem ser
classificados com base na observação de
características físicas do campo de fluxo.
 Uma possível classificação é mostrada no
esquema que se segue.
Classificação da Mecânica dos 
Fluidos 
Fluido viscoso
 A presença dos efeitos viscosos é inerente ao
escoamento de fluidos reais.
Fluido viscoso e não-viscoso
Os fluidos reais não apresentam uma velocidade de
deslizamento finita em relação a uma superfície sólida ou
sobre uma camada adjacente.
 A viscosidade do fluido real, que determina o grau de
atrito entre as camadas de fluido e entre o fluido e a
parede sólida, é responsável pela variação de velocidade
(gradiente de velocidade) entre as camadas.
 Próximo a uma parede sólida estacionária, a velocidade de
um fluido real cresce gradualmente do valor zero na fronteira
sólida, até um valor limite da velocidade onde os efeitos
viscosos não se fazem mais sentir.
 Isto é, próximo a uma fronteira sólida há a formação de uma
camada de fluido onde efeitos os viscosos são mais
acentuados. Esta camada é conhecida como CAMADA LIMITE.acentuados. Esta camada é conhecida como CAMADA LIMITE.
 https://phet.colorado.edu/en/simulations/fluid-pressure-and-flow
Fluido não viscoso
 Por definição, escoamento ideal ou escoamento sem
atrito, é aquele no qual não existem tensões de
cisalhamento atuando no movimento do fluido.
 De acordo com a lei de Newton, para um fluido em
movimento esta condição é obtida quando a viscosidademovimento esta condição é obtida quando a viscosidade
do fluido é nula: μ = 0 .
 Ou quando os componentes da velocidade do
escoamento não mais exibem variações de grandeza na
direção perpendicular ao componente da velocidade
considerada.
 É claro que não existem fluidos cuja viscosidade é nula,
porém, a ausência de forças de cisalhamento no
movimento de um fluido simplifica enormemente o
tratamento matemático.
 Um fluido que quando em escoamento satisfaz as
condições acima, é chamado de fluido ideal.
 https://phet.colorado.edu/en/simulations/fluid-pressure-and-flow
Escoamento compressível e 
incompressível
Escoamento incompressível
Escoamento que a variação da massa específica são
desprezíveis.
Ex: Escoamento de líquidos, geralmente é considerado
incompressível.
Escoamento compressível
Escoamento que a variação da massa específica não são
desprezíveis.
Ex: Escoamento de gases.
Escoamento laminar e turbulento
A natureza do escoamento em tubulações é determinado 
pelo valor do número de Reynolds: 
Re < 2300 (Escoamento laminar);
4000 > Re > 2300 (transição);
Re > 4000 (Escoamento turbulento).
μ
ρ.v.D
Re 
Re > 4000 (Escoamento turbulento).
Comportamento da velocidade
 Poucos escoamentos em tubulação apresentam
comportamento laminar.
 Um exemplo é no sistema de irrigação utilizado na
agricultura, pois exigem baixo volume de água para
atender à demanda hídrica das plantas.
Escoamentos interno e externo
Escoamento interno
Escoamentos completamente limitados por superfícies
sólidas (isto é, escoamentos em dutos).sólidas (isto é, escoamentos em dutos).
Ex: Escoamento em tubulações industriais, dutos de ar
condicionado.
Ex: Escoamento em acessórios como curvas, joelhos e
válvulas.
Escoamentos interno e externo
Escoamento externo
São escoamentos sobre corpos imersos em um fluido não
confinado.
Ex: Escoamento sobre asas de avião, pás de helicópteros,
carros.
Regime permanente e não permanente
Um escoamento é denominado estacionário ou permanente
quando as propriedades do fluido (velocidade, pressão e
também a seção transversal) não variam com o tempo.
No escoamento não permanente, a velocidade e a pressão,
em determinado ponto, possuem variação com o tempo,
variando também de um ponto a outro do sistema.
O escoamento não permanente é também chamado de
"variável" ou "transitório”.
Noções Fundamentais de 
Escoamento de Fluidos
Vazão em volume ou Vazão volumétrica (Q)
É a quantidade em volume de fluido que atravessa uma
seção de escoamento na unidade de tempo.seção de escoamento na unidade de tempo.
Unidades de Q: cm3/s; m3/s; m3/min; m3/h; L/h; L/min.
área-A
velocidade-v
v.AQ 
tempo-t
volume-V
t
V
Q 
Noções Fundamentais de 
Escoamento de Fluidos
Vazão em massa ou Vazão massica ( )
É quantidade em massa de fluido que atravessa uma
seção do escoamento na unidade de tempo.
m
seção do escoamento na unidade de tempo.
Unidades de vazão em massa: Kg/s; Kg/min; g/min; Kg/h.
tempo-t
massa-m
massa em vazão-m
t
m
m

 
Noções Fundamentais de 
Escoamento de Fluidos
Relação entre vazão em massa e vazão em volume
A vazão mássica é o produto da massa específica pela
vazão volumétrica.vazão volumétrica.
Q.m 
LEIS E EQUAÇÕES BÁSICAS NA FORMA 
INTEGRAL PARA O VOLUME DE CONTROLE
 Leis básicas que regem a movimentação dos
fluidos, independente da natureza deste:
• Conservação da massa;
• Segunda lei de Newton sobre o movimento;• Segunda lei de Newton sobre o movimento;
• Primeira lei da Termodinâmica;
• Segunda lei da Termodinâmica.
 Equações Básicas
• da continuidade;
• da quantidade de movimento;
• Primeira e Segunda leis da termodinâmica aplicadas
ao escoamento permanente de um gás perfeito.
Conceitos de sistema e volume de 
controle
SISTEMA – massa definida de matéria, distinta de todo o
restante da mesma, que é chamada de meio.
FRONTEIRA DE UM SISTEMA – é uma superfície fechada
que pode variar com o tempo, desde que contenha sempre aque pode variar com o tempo, desde que contenha sempre a
mesma massa, qualquer que seja a transformação.
VOLUME DE CONTROLE – refere-se a uma região do
espaço e é útil na análise de situações nas quais haja
escoamento através desta região.
SUPERFÍCIE DE CONTROLE – fronteira do volume de
controle.
Conceitos de sistema e volume de 
controle
Volume de 
controle
LEIS BÁSICAS PARA UM SISTEMA
I – Conservação da massa
Por definição massa é fixa, logo:

fluido de massa a M sendo 0


Sistema
td
dM
onde, 
 

sistemasistemamassaSistema dmdM 
LEIS BÁSICAS PARA UM SISTEMA
II – A segunda lei de Newton sobre o movimento


 
A soma de todas as forças que atuam externamente ao sistema
é igual a taxa de variação da quantidade de movimento
(Momento linear) do sistema.
Sendo o momento linear e a velocidade do centro de 
massa do sistema:
fluido do movimento de quantidade 
 força sendo 
P
F
td
Pd
F
Sistema








 

sistemasistemamassaSistema dmdP vv

P

v

LEIS BÁSICAS PARA UM SISTEMA
III - Primeira lei da Termodinâmica
É um balanço de energia para um sistema. A conservação da 
energia para um sistema
WQE  
Variação da energia total Variação do calor Variação do trabalho.
WQE  
Sistema
td
dE
WQ 


  , onde
t
Q
Q



t
W
W



 

sistemasistemamassaSistema demdeE 
LEIS BÁSICAS PARA UM SISTEMA
IV - Segunda lei da Termodinâmica
Se uma quantidade de calor é transferida para um sistema à
temperatura T, a segunda lei da termodinâmica estabelece que
a entropia do sistema satisfaz a seguinte relação:a entropia do sistema satisfaz a seguinte relação:
entropia a sendo Q
1
S 
Ttd
dS
Sistema



 

sistemasistemamassaSistema dsmdsS 
OBS:
Independente de sua natureza, todos os escoamentos estão
sujeitos às seguintes relações, que podem ser expressas na
forma analítica:
1. A lei de Newton do movimento deve valer para todas
as partículas em qualquer instante;
2. A equação da continuidade, isto é, a lei da2. A equação da continuidade, isto é, a lei da
conservação da massa;
3. A 1ª e 2ª lei da termodinâmica;
4. Condições de contorno, que são formulações
analíticas, segundo as quais um fluido real tem velocidade
nula em relação à uma fronteira sólida com a qual esteja em
contato eum fluido ideal não pode penetrar uma fronteira
sólida.
Inicialmente faremos uma análise geral do comportamento
de uma propriedade qualquer de um sistema através de
volume de controle
Relação entre as Derivadas do 
Sistema e a Formulação para 
Volume de Controle
volume de controle
 

sistemasistemamassaSistema dmdN 
N - propriedade extensiva. Ex: massa total, energia,..........
η- propriedade intensiva correspondente. Ex: propriedade
extensiva/unidade de massa.
Para:
Relação entre as Derivadas do 
Sistema e a Formulação para 
Volume de Controle
 





SCVCSistema
Advd
ttd
dN 
EQUAÇÃO GERAL
Também conhecida como Teorema de Transporte de
Reynolds.
SIGNIFICADO FÍSICO
Esta equação relaciona a taxa de variação de uma
propriedade extensiva qualquer N, de um sistema, com as
variações em relação ao tempo desta propriedade, associada
com o Volume de Controle, no sistema em que coincidem.
 SCVCSistema
ttd
taxa resultante de fluxo da propriedade 



Sistema
td
dN




VC
d
t



taxa de variação total de uma propriedade 
extensiva qualquer do sistema N;
taxa de variação em relação ao tempo da 
propriedade extensiva arbitrária N dentro do 
volume de controle;
taxa resultante de fluxo da propriedade 
extensiva N, através da superfície de controle, 
ou seja, a taxa na qual a propriedade extensiva 
está saindo da superfície do volume de 
controle.

SC
Adv

OBS:
1) O vetor velocidade é em relação ao volume de controle
2) A taxa de variação em relação ao tempo da propriedade
extensiva arbitrária N, no volume de controle deve ser avaliada
por um observador fixo no volume de controle.
Se um volume de controle durante um intervalo de tempo a
quantidade de massa escoando para dentro, for diferente da
quantidade de massa saindo do volume de controle, é
porque a massa está variando dentro do volume de controle
PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA 
MASSA
porque a massa está variando dentro do volume de controle
0 = [taxa de escoamento de massa para fora (saindo) do VC] - [taxa
de escoamento para dentro (entrando) do VC] + [taxa de variação de
massa no VC]
ou
0 = [taxa de fluxo de massa resultante (para fora) através do VC] +
[taxa de variação de massa para dentro no VC]
EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA NA FORMA 
INTEGRAL
A conservação da massa diz simplesmente que a 
massa de um sistema é constante.
FORMULAÇÃO MATEMÁTICA
 
dM  



sistemasistemamassasistema
Sistema
ddmMonde
td
dM 0
Pela equação geral:
para N = M e  = 1
 





SCVCSistema
Advd
ttd
dN 
 





SCVCSistema
Advd
ttd
dM 
Logo:
EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA NA 
FORMA INTEGRAL
IMPORTANTE
 



SCVC
Advd
t
0
1. Vetor velocidade é em relação à Superfície de Controle;
2. No produto escalar, o sinal depende da direção (sentido) do
vetor velocidade, relativo ao vetor área;
3. O produto escalar é positivo onde o escoamento se dá para
fora através da SC;
4. O produto escalar é negativo onde o escoamento se dá para
dentro através da SC;
5. O produto escalar é zero onde o escoamento é tangente à
SC.
1. Escoamento incompressível (ρ é constante)
CASOS ESPECIAIS
 



SCVC
Advd
t
0 
VC
d
 
como a massa específica é constante e o volume é fixo,
 



SC
Adv
t
0
 
SC
Adv

0 Equação da Conservação da massa para 
escoamento incompressível .
L3/T – vazão volumétrica ou taxa volumétrica de escoamento 
1. Escoamento incompressível (ρ é constante)
CASOS ESPECIAIS
Equação da Conservação da massa 
para escoamento incompressível .
(M/T) – vazão mássica 
 
SC
Adv
0
As equações são para escoamento incompressíveis,
permanente ou não permanente.
(M/T) – vazão mássica SC
2. Escoamento permanente e não incompressível (ρ= ρ(x,y,z) )
CASOS ESPECIAIS
Por definição um escoamento permanente é aquele no qual
nenhuma das propriedades do fluido varie com o tempo, logo :
 


 Advd
t
0
Equação da Conservação da massa 
para escoamento permanente.
Kg3/T – vazão mássica 
0

 
VC
d
t

 
SC
Adv
0
 


SCVC
Advd
t
0
Equação da Conservação da 
Massa
 



SCVC
Advd
t
0
IMPORTANTE
O produto escalar é negativo onde o escoamento se dá para
dentro através da SC;
O produto escalar é zero onde o escoamento é tangente à SC.
Aplicações envolvendo a equação 
da conservação da massa
 



SCVC
Advd
t
0
Aplicações envolvendo a equação 
da conservação da massa