Controle no Espaço de Estados

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PNV 5856 METODOLOGIA DE CONTROLE NO ESPAÇO DE ESTADOS A
2023
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Prof. Helio Mitio Morishita
PNV 5856
METODOLOGIA DE CONTROLE NO ESPAÇO DE ESTADOS 
AULA 4
PNV 5856 METODOLOGIA DE CONTROLE NO ESPAÇO DE ESTADOS A
SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE ESTADO
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Propriedades Estruturais
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Como explicar isto? Um sistema de ordem 4 no espaço de 
estado se reduz a ordem 1 ao calcular a sua função de 
transferência
Para tentar entender isto, vamos considerar uma mudança 
de variáveis de modo que a dinâmica do sistema seja 
expressa através de uma matriz canônica de Jordan. Seja
Propriedades Estruturais
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Propriedades Estruturais
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Portanto,
Ou seja, a função de transferência só relaciona variáveis que são 
possíveis de serem afetadas pelo sinal de entrada e que sejam visíveis na 
saída.
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Exemplos de sistemas não controláveis
Não é possível controlar o centro 
de gravidade do sistema
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Exemplo de sistemas não observáveis
Sistemas em configuração 
tandem onde é lido somente a 
variável do primeiro subsistema
Observando somente a 
velocidade de um corpo 
é impossível determinar 
a sua posição
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Posto de uma matriz
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NOÇÕES DE ALCANÇABILIDADE, 
CONTROLABILIDADE, OBSERVABILIDADE E 
CONSTRUTIBILIDADE
Considere as seguintes equações do espaço de estados
Astolfi, A., System and Control 
Theory – An Introduction
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ALCANÇABILIDADE e CONTROLABILIDADE
Considere um sistema linear variante com o tempo definida por:
Para este sistema, uma entrada 𝑢 . transfere o estado 𝑥 𝑡0 para 
o estado 𝑥 𝑡1 através de 
Atenção: mudança de 
nomenclatura
Hespanha, J. P., (2009), Linear Systems 
Theory, Princeton University Press, New Jersey
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Observabillidade e Construtibilidade
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Observabilidade
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OBSERVABILIDADE
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2023
CONSTRUCTIBILIDADE
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SISTEMAS LINEARES INVARIANTES COM O TEMPO
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SISTEMAS LINEARES INVARIANTES COM O TEMPO
Matlab: ver as funções ctrb e obsv
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Dualidade
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No caso mais geral tem-se
• controlabilidade é dual de construtibilidade 
• alcançabilidade é dual de observabilidade 
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Estados não controláveis estáveis → sistema 
estabilizável 
Estados não observáveis estáveis → sistema 
detectável 
Se o sistema for estabilizável e/ou detectável, as 
variáveis que não são controláveis e/ou 
observáveis podem ser ignoradas no projeto
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Determinação dos modos observáveis e não 
observáveis
Para determinar os modos controláveis e observáveis pode-se utilizar 
a matriz de sensibilidade que é definida para cada um dos casos 
como: 
1. DUTTON, K.; THOMPSON, S. e BARRACLOUGH, B. The art of Control
Engineering, Addison-Wesley,Harlow, 1998
Projeto de controle no espaço de estado quando há modos não 
controláveis e/ou não observáveis:
Calcular a função de transferência a partir das matrizes A, B, C e D e 
voltar novamente para o espaço de estado. Assim só terá modos 
controláveis e observáveis.
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