Determinante e Aplicações

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Determinante de uma matriz e algumas aplicações
2a SÉRIE
Aula 14 – 4o Bimestre
Matemática
Etapa Ensino Médio
Determinante de uma matriz.
Resolver situações-problema envolvendo o cálculo de determinante, por meio da regra de Sarrus. 
Conteúdo
Objetivo
(EM13MAT301) Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Para começar: 5 min.
Foco no conteúdo: 10 min.
Na prática: 20 min.
Aplicando: 10 min.
Acompanhe a seguinte situação: 
Uma das aplicações para determinantes é a de verificar se três pontos estão alinhados ou não. Para isso, calculamos o determinante na matriz composta das três abscissas na primeira coluna, as três ordenadas na segunda coluna e a terceira coluna com todos os elementos iguais a 1. Por exemplo, os pontos A(1,1), B(2,4), C(x,10) estarão alinhados se o determinante da matriz a seguir for igual a zero. 
Qual é o valor de x que faz com que esses três pontos estejam alinhados? Antes de responder, acompanhe a explicação do vídeo disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=Ao5RgKNDS9g . Acesso em: 16 out. 2023.
Para começar
Aplicando a regra de Sarrus, temos que:
Calculando o determinante, temos:
=
Como det(A) = 0, então:
, logo 
Foco no conteúdo
Verifique se os pontos A(1,–2), B(3,–1) e C(7,1) estão alinhados por meio do cálculo do determinante envolvendo a matriz das coordenadas.
Respondam no caderno e depois compartilhem com a turma.
Na prática
Correção
Resposta: Quando três ou mais pontos estão alinhados, ou seja, quando é possível traçar uma reta passando por eles, dizemos que esses pontos são colineares. Verificaremos aplicando a regra de Sarrus que, se det = 0, então A, B e C estão alinhados. Assim, temos que:
Na prática
Uma pesquisa foi realizada com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, em que:
; com base na fórmula p(x) = det A, determine:
a) O peso médio de uma criança de 7 anos;
b) A idade mais provável de uma criança cujo peso é 30 kg.
Respondam no caderno e depois compartilhem com a turma.
Na prática
Correção
Resposta: a) Seja o det A = 
Seja o . Como o “peso” (massa) médio, em quilogramas, é dado por p(x) = detA, em que x é a idade da criança: p(7) = 2, logo 22 kg. 
b) , temos: , logo x = 11 anos.
Na prática
O método de Sarrus para a obtenção de um determinante é bastante prático de utilizar em outras situações, por exemplo, em casos de cálculo de áreas de polígonos representados no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas de seus vértices. Isso com base no princípio de que um polígono pode ser dividido em vários triângulos. Assim, por exemplo, se conhecemos as coordenadas dos vértices de um triângulo representado no plano cartesiano, é possível calcular sua área por meio de: . Para compreender o motivo pelo qual usamos o resultado do determinante para calcular a área do triângulo, cujos vértices estão representados por coordenadas cartesianas, acesse o vídeo disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=RIEtMMM2KqA. Acesso em: 16 out. 2023.
Foco no conteúdo
Qual é a área do triângulo BAH de vértices B(0, 0), A(4,4) e H(2,6), representado no sistema de eixos cartesianos, da figura a seguir?
Respondam no caderno e depois compartilhem com a turma.
Na prática
Correção
Resposta: aplicando a regra de Sarrus para calcular o determinante, temos que:
det = 
. Para calcular a área, temos: unidades de área.
Na prática
A área de um polígono representado no plano cartesiano pode ser calculada a partir das coordenadas de cada vértice. Calcule a área do triângulo ABC representado a seguir.
Respondam no caderno e depois compartilhem com a turma.
Aplicando
Correção
Resposta: 	as coordenadas cartesianas do triângulo ABC são: A(1,3), B(7,1) e C(3,5). Para encontrar a área do triângulo, vamos aplicar a regra de Sarrus a fim de calcular o determinante: 
D =
D = 1+9+35 – (3+5+21)= 45 – 29 =16
 u.a. 
Na prática
Resolvemos situações-problema envolvendo o cálculo de determinante, por meio da regra de Sarrus. 
O que aprendemos hoje?
Tarefa SP
Localizador: 101895
Professor, para visualizar a tarefa da aula, acesse com seu login: tarefas.cmsp.educacao.sp.gov.br.
Clique em “Atividades” e, em seguida, em “Modelos”.
Em “Buscar por”, selecione a opção “Localizador”.
Copie o localizador acima e cole-o no campo de busca.
Clique em “Procurar”. 
Videotutorial: http://tarefasp.educacao.sp.gov.br/.
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LEMOV, Doug. Aula nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2023.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Material de apoio – Currículo em Ação – Ensino Médio – 2ª série – volume 4. São Paulo, 2023.
 
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista – Ensino Médio. São Paulo, 2020. 
Referências
Lista de imagens e vídeos
Slide 10 – Elaborado pelo autor 
Slide 12 – Elaborado pelo autor
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