Estruturas de Concreto

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PROFESSOR: BRUNO BICA, ME.
Estruturas de Concreto
ESTRUTURAS DE CONCRETO
AULA: LAJES MACIÇAS
Esforço de lajes maciças
• A forma estrutural é obtida a partir do projeto de arquitetura, e as dimensões dos elementos são
inicialmente determinadas por um pré-dimensionamento.
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Esforço de lajes maciças
• A nomeação das lajes é feita da esquerda para a direita e de cima para baixo. O seu nome é posicionado
próximo ao centro das lajes, junto de sua espessura. Para este curso, todas as lajes foram consideradas
com altura igual a 10 cm.
• Podemos utilizar um desenho unifilar, considerando os eixos das vigas, ou seja, as distâncias de eixo a eixo.
O desenho unifilar, baseado nas distâncias informadas na forma estrutural, está representado a seguir:
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• Num projeto de lajes, a primeira etapa consiste em determinar os vãos livres (ℓ0), os vãos efetivos (ℓef ou,
simplesmente, ℓ) e a relação entre os vãos efetivos. Vão livre é a distância livre entre as faces dos apoios,
indicado na forma estrutural. No caso de balanços, é a distância da extremidade livre até a face do apoio.
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• O vão efetivo (ℓef) é determinado, de acordo com o item 14.7.2.2 da ABNT NBR 6118:2014, pela
expressão:
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• Onde a1 e a2 são os menores valores entre t/2 e 0,3h, calculados para cada extremidade da laje; t é a
dimensão do apoio e h é a espessura da laje. Estas dimensões estão indicadas na figura a seguir:
• A etapa seguinte do projeto das lajes consiste em identificar os tipos de vínculo de suas bordas. Existem,
basicamente, três tipos de borda: livre, simplesmente apoiada e engastada, representadas a seguir:
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• A borda livre caracteriza-se pela ausência de apoio, como em bordas sem vigas e lajes em balanço. Assim,
o desenho unifilar proposto para este curso deve representar a laje L4, em balanço, com a seguinte
identificação tracejada:
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• A borda é considerada simplesmente apoiada quando não há continuidade, como ocorre geralmente em
lajes na extremidade de um edifício. Já a borda engastada ocorre quando há continuidade entre lajes de
mesmo porte. O vínculo de lajes contínuas de mesmo porte, portanto, pode ser considerado como
engaste.
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• Duas lajes adjacentes podem ser consideradas engastadas quando os valores de momentos negativos m′
forem próximos. Os momentos fletores das lajes podem ser calculados por meio das tabelas para cálculo
de momentos fletores nas duas direções, que fornecem os valores de momento fletor através da equação:
• Os momentos positivos são representados por m e os negativos por m′. O coeficiente μ é tabelado,
adimensional e depende dos tipos de vinculação e da razão λ = ℓy/ℓx , já o coeficiente que resulta em
momentos negativos é representado por μ′.
• O símbolo p representa o valor característico da carga total, que em geral varia pouco de uma laje para a
outra, ℓx é o menor vão da laje e ℓy é o maior vão.
• Então, pode-se perceber pela equação mostrada que os momentos nas bordas das lajes são muito
influenciados por ℓx² . Assim, um critério satisfatório pra considerar duas lajes engastadas é avaliar se o
ℓx² da laje com maior ℓx é menor ou igual a 2ℓx² da laje com menor ℓx .
• Se a regra proposta não for atendida, a laje com menor ℓx pode ser considerada engastada e a outra,
apoiada. Caso as lajes tiverem o mesmo ℓx , a regra confirmará que as duas devem ser admitidas
engastadas.
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• Inicialmente, será analisado o vínculo das lajes L1 e L2, onde a primeira é a laje com menor ℓx :
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Análise e definição dos vínculos
• Agora, de forma semelhante, faz-se a análise do vínculo das lajes L1 e L3:
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Análise e definição dos vínculos
• Agora, faz-se a análise do vínculo das lajes L2 e L3:
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Análise e definição dos vínculos
• No vínculo entre as lajes L2 e L4, deve-se considerar a laje L2 apoiada e a laje L4 engastada, uma vez que a
laje L4 é uma laje em balanço. Se a laje L4 não for engastada, ela será hipostática e não estará em
equilíbrio. Além disso, se a laje L2 for considerada engastada, o balanço não terá condição de receber os
momentos fletores provenientes da laje L2.
• Assim, balanços são sempre considerados engastados, enquanto que a outra laje é admitida como apoiada
no vínculo junto ao balanço. Por esse motivo, a laje L2 será considerada apoiada e a laje L4, engastada.
Igualmente, o vínculo entre as lajes L3 e L4 considera a laje L3 apoiada e a laje L4 engastada.
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• Para o cálculo usando tabelas, toda a extensão da borda deve ser apoiada ou engastada. Isso não ocorre
com a borda direita da laje L1, logo esta laje será considerada engastada em toda esta borda. Isso pode ser
admitido com base no critério dos 2/3: para que uma laje possa ser considerada engastada em um vínculo,
esta deve ter pelo menos 2/3 da sua borda engastada.
• O comprimento engastado da laje L1 é 4,60 m e este valor é igual a 2/3 de 6,90 m, que é o comprimento
total desta borda. Portanto, pelo critério dos 2/3, a laje L1 será considerada engastada ao longo de toda a
sua borda da direita.
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• Finalmente, representa-se a seguir os vínculos determinados nesta aula, que serão utilizados no cálculo
dos momentos fletores das lajes:
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• Na tabela a seguir, são apresentados os tipos de lajes
ou casos de vinculação mais comuns, com bordas
simplesmente apoiadas e engastadas.
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Carga das Lajes L1, L2 e L3
• A seguir, apresenta-se em forma de tabela as características das lajes do curso, e as respectivas ações em
kN/m². O tipo de laje é determinado de acordo com a tabela anterior, e o desenho unifilar fornece os
valores de ℓx (menor vão da laje) e ℓy (maior vão da laje):
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Lajes L1 L2 L3
Características
Tipo
ℓx (m)
ℓy (m)
λ = ℓy/ℓx 
Ações (kN/m²)
Peso próprio
Piso + 
Revestimento
g
q
P
• O valor de peso próprio será o resultado do produto entre a espessura da laje e o peso específico do
concreto armado:
• A ação de piso + revestimento é uma carga geralmente adotada entre 1,00 kN/m² e 1,50 kN/m², e para a
aula foi adotada uma carga de 1 kN/m². As cargas de parede foram consideradas como provenientes da
ação de paredes divisórias, cujo valor mínimo recomendado é de 1,00 kN/m², sendo adotado nas lajes L1,
L2 e L3. Quando se conhece a arquitetura, o valor das cargas de parede deve ser calculado.
• O g é o valor total da carga permanente, que resulta da soma das cargas referentes ao peso próprio da
laje, piso + revestimento e paredes. Já q é valor da carga variável, dado pela ABNT NBR 6120:2019, que
trata de Cargas para o Cálculo de Estruturas de Edificações e determina 3,00 kN/m² para laboratórios e
salas de aula. Assim, p é a carga total, resultante da soma de g e q
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• A seguir, apresenta-se em forma de tabela as características das lajes do curso, e as respectivas ações em
kN/m². O tipo de laje é determinado de acordo com a tabela anterior, e o desenho unifilar fornece os
valores de ℓx (menor vão da laje) e ℓy (maior vão da laje):
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Lajes L1 L2 L3
Características
Tipo 2B 2A 3
ℓx (m) 3,80 4,60 2,30
ℓy (m) 6,90 5,00 5,00
λ = ℓy/ℓx 1,82 1,09 2,17
Ações (kN/m²)
Peso próprio 2,50 2,50 2,50
Piso + 
Revestimento
1,00 1,00 1,00
g 4,50 4,50 4,50
q 3,00 3,00 3,00
P 7,50 7,50 7,50
• Na forma estrutural representada a seguir, vê-se que a laje L4 tem vínculos com as lajes L2 e L3:
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Carga das Lajes L4
• A laje L4 é uma laje em balanço, engastada na sua extremidade esquerda e com uma mureta na
extremidade, conforme pode ser observado na figura a seguir. O seu esquema de cálculopode ser
observado, onde g é a carga permanente e q é a carga variável (de acordo com a ABNT NBR 6120:2019),
ambas nos seus valores característicos. A soma de g e q é a carga total p.
• As cargas uniformemente distribuídas na laje L4 são oriundas da soma g + q, em que g é calculado por:
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• . A carga variável q foi admitida com o valor de 4,00 kN/m², de acordo com o valor da Tabela 10 da ABNT
NBR 6120:2019, referente a cargas de Balcões, sacadas, varandas e terraços com acesso público (hotéis,
hospitais, escolas, teatros etc.). A carga total será:
• A mureta sobre a laje L4 foi considerada como feita de blocos cerâmicos vazados. Baseando-se na Tabela 2
da NBR 6120:2019, para blocos cerâmicos de 14 cm mais 2 cm de revestimento por face, deve-se
considerar uma carga de 1,9 kN/m² (alvenaria de vedação). Pela mesma norma, no item 6.3, a altura da
mureta deve ser de, no mínimo, 1,10 m.
• A norma ainda sugere que seja considerada uma força horizontal Fh = 1,0 kN/m atuante sobre a
extremidade superior da mureta, conforme pode ser visto na Tabela 12 da NBR 6120, para área com
acesso ao público. O peso próprio da mureta, g1, vale:
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• Para bordas de sacadas com guarda-corpo, a Tabela 10, item j da norma também especifica uma carga
variável q1 = 2,00 kN/m. Essa carga é considerada supondo que há pessoas sentadas sobre a mureta. A
carga total da mureta será:
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A reação de apoio da laje L4 na viga V6 será dada por:
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A reação de apoio da laje L4 na viga V6 será dada por:
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• Agora, será calculado o momento fletor da laje L4, nos vínculos com as lajes L2 e L3. De acordo com a
figura a seguir, temos:
• Este é o valor do momento fletor que será utilizado para o cálculo da armadura sobre a viga V6.
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• As reações de apoio serão calculadas com base nas tabelas 2.2a, 2.2b e 2.2c, sobre reações de apoio em
lajes com carga uniforme (As tabelas estão na pasta do TEAMS). Tais tabelas, baseadas no processo das
Áreas (ABNT NBR 6118:2014, item 14.7.6.1), fornecem coeficientes adimensionais (νx , νx ′ νy e νy ′ ), a
partir das condições de apoio e da relação λ = ℓy/ℓx , com os quais se calculam as reações, dadas por:
Reações de apoio L1, L2 e L3
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• Nas equações, p é o valor característico da carga total uniformemente distribuída na laje. É possível notar
que o ℓx , que é o menor vão da laje, está presente em todos os fatores de multiplicação pℓx/10 e é o
mesmo para todas as equações de cálculo de reação de apoio. O símbolo das reações de apoio, v, é
indicado com letra minúscula pois indica força por unidade de largura (kN/m), conforme indicação
normativa.
Reações de apoio L1, L2 e L3
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• No caso de vinculação 1 (Tabela 2.2a), a reação de apoio correspondente ao coeficiente νx atua na borda
perpendicular à direção do vão ℓx , enquanto que a reação de apoio correspondente a νy atua na borda
perpendicular à direção do vão ℓy. No caso de vinculação 2A, há a inclusão do coeficiente νy ′ , usado no
cálculo da reação de apoio da borda engastada perpendicular ao vão ℓy. No caso de vinculação 2B, não há
νy ′ , mas há νx ′ , usado no cálculo da reação de apoio da borda engastada perpendicular ao vão ℓx .
Reações de apoio L1, L2 e L3
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• Nas colunas laterais das tabelas, encontra-se os diferentes valores de λ = ℓy/ℓx , que é a razão entre o vão
maior e o vão menor, variando os seus valores de 1 até 2. Para as lajes armadas em uma direção, as
reações de apoio são calculadas a partir dos coeficientes adimensionais correspondentes à condição λ =
ℓy/ℓx > 2, presentes na última linha das tabelas.
Reações de apoio L1, L2 e L3
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• A tabela a seguir traz o processo de cálculo das reações de apoio das lajes de acordo com as tabelas 2.2a,
2.2b e 2.2c:
Lajes L1 L2 L3
Características Tipo 2B 2A 3
ℓx (m) 3,80 4,60 2,30
ℓy (m) 6,90 5,00 5,00
λ = ℓy/ℓx 1,82 1,09 2,17
Ações (Kn/m²) p 7,50 7,50 7,50
Reações de 
apoio (kN/m)
vx 3,458 1,992 4,380
v’x 5,066 - 6,250
vy 1,830 2,840 2,170
v’y - 4,156 3,170
Vx 9,86 6,87 7,56
V’x 14,44 - 10,78
Vy 5,22 9,80 3,74
V’y - 14,34 5,47
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• Os valores intermediários de νx , νx ′ e νy, foram retirados das tabelas 2.2a, 2.2b e 2.2c. Os valores não
encontrados nas tabelas foram interpolados. A interpolação de νx pode ser feita da seguinte forma:
• Uma outra solução seria adotar o valor maior, νx = 3,47 (0,35% maior), a favor da segurança. Também
poderia ser calculada a média entre 3,45 e 3,47, porque o valor de λ = 1,82 está próximo à metade do
intervalo de 1,80 a 1,85. Se fosse calculada a média, o valor encontrado para νx seria 3,46, que é muito
próximo do valor interpolado 3,458. Portanto, há maneiras mais fáceis de se obter o νx sem recorrer à
interpolação
Reações de apoio L1, L2 e L3
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• Para se obter o valor de νx ′ , pode-se realizar o mesmo procedimento de interpolação:
• Também poderia ser adotado o valor maior: νx ′ = 5,09 (0,47% maior) ou a média, νx ′ = 5,07. Agora, para
se obter o valor de νy, não é necessário realizar interpolação, uma vez que os valores de νy são iguais a
1,83 tanto para λ = 1,80 quanto para λ = 1,85. Por esse motivo, simplesmente adota-se νy = 1,83.
Reações de apoio L1, L2 e L3
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• Para a laje tipo 2B, não existe νy ′ . Portanto, não há nada a calcular neste caso. Assim, as reações de apoio
da laje L1 podem ser obtidas multiplicando cada valor de ν obtido por pℓx/10:
Reações de apoio L1, L2 e L3
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• Seguindo o procedimento mostrado de determinação de coeficientes νx , νx ′ νy e νy ′ , pode-se
determinar as reações das demais lajes, cujos valores já estão representados na tabela mostrada
anteriormente nesta aula. As reações calculadas (inclusive a reação da L4, determinada anteriormente)
encontram-se identificadas no desenho unifilar a seguir, dentro de semicírculos, nas duas direções.
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• Deve-se lembrar que a direção x é a do menor vão da laje, e direção y, a do maior. Além disso, bordas
opostas que tenham o mesmo vínculo terão reações iguais:
• Na L1, vy = 5,22 kN/m na V1 e na V3
• Bordas opostas com vínculos diferentes terão reações diferentes:
• Na L1, vx = 9,86 kN/m na V4 e v′x = 14,44 kN/m na V5
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• Notar que a reação na borda engastada é maior que na borda oposta apoiada. Essa informação é útil
quando se quer verificar se o cálculo das reações de apoio está sendo feito de maneira correta. Um
procedimento semelhante é adotado para as demais lajes, devendo haver cuidado para não trocar
direções.
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• O cálculo dos momentos fletores de lajes é feito com base nas tabelas 2.3a, 2.3b e 2.3c (disponível no TEAMS), de
momentos fletores em lajes com carga uniforme, que são baseadas nas tabelas de Bares.
• De forma semelhante ao apresentado anteriormente, as tabelas apresentam coeficientes adimensionais, μx, μ′x, μy e
μ′y, que dependem das condições de apoio e da relação λ = ℓy/ℓx. Os momentos fletores por unidade de largura são
dados pelas expressões:
Momentos Fletores L1, L2 e L3
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• Nas equações anteriores, p é o valor característico da carga total uniformemente distribuída na laje. Os momentos
fletores mx e mx′ são os momentos na direção do menor vão (ℓx), ou seja, cujos planos de flexão estão na direção do
vão ℓx. Assim, são esses momentos que resultarão na armadura na direção do vão ℓx.
• Já os momentos fletores my e my′ são os momentos na direção do maior vão (ℓy), ou seja, cujos planos de flexão
estão na direção do vão ℓy. Dessa forma, esses momentos resultarão nas armaduras na direção do vão ℓy.
Momentos Fletores L1, L2 e L3
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• O mx e o my são os momentos fletores positivos na região central da laje e aparecem em todos os casos de
vinculação. Por conseguinte, mx′ e my′ são os momentos fletores negativos nas bordas da laje, que só aparecem nos
casos de vinculação em que há engaste nas respectivas direções.
Momentos Fletores L1, L2 e L3
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• A tabela a seguir traz o processo de cálculo dos momentos fletores das lajes isoladas, de acordo com as tabelas 2.3a,
2.3b e 2.3c:
Lajes L1 L2 L3
Características Tipo 2B 2A 3
ℓx (m) 3,80 4,60 2,30
ℓy (m) 6,90 5,00 5,00
λ = ℓy/ℓx 1,82 1,09 2,17
Ações (Kn/m²) p 7,50 7,50 7,50
Reações de 
apoio (kN/m)
μx 5,77 3,54 7,03
μ’x 11,88 - 12,50
μy 1,68 3,72 1,60
μ’y - 9,10 8,20
mx 6,25 5,62 2,79
m’x 12,87 - 4,96
my 1,82 5,90 0,63
m’y - 14,44 3,25
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• As dimensões dos vãos, ℓx e ℓy, foram retiradas do desenho unifilar. A carga p=7,50 kN/m² foi definida anteriormente.
Já os valores de μx, μx′, μy e μy′, foram obtidos nas tabelas 2.3a, 2.3b e 2.3c, para cada caso de vinculação. Os valores
não encontrados foram interpolados. Alternativamente à interpolação, poderiam ser adotados os valores de μx, μx′,
μy e μy′ imediatamente superiores, referentes aos intervalos de λ definidos para cada laje.
• Os momentos fletores da laje L1 podem ser calculados da seguinte forma:
Momentos Fletores L1, L2 e L3
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• Com base na tabela de cálculo dos momentos fletores, mostrada anteriormente nesta aula, e nos momentos fletores
calculados para a laje L4, mostrados na Aula 4, é possível identificar os momentos fletores no desenho unifilar, na
direção de seus planos de flexão:
Momentos Fletores L1, L2 e L3