SA_MAT_MCS_V03_U00_C00_02_APR

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MATEMÁTICA
Matemática
Ciência e aplicações
Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, 
David Degenszajn, Roberto Périgo, 
Nilze De Almeida – 3º ano Ensino Médio
2º Bimestre
Resumo do bimestre
Neste bimestre foram trabalhados os temas:
As cônicas – introdução
Elipse
Hipérbole 
Parábola
Estatística básica – introdução
Medidas de centralidade – Média aritmética, média aritmética ponderada, moda e mediana
Medidas de dispersão – Amplitude, variância, desvio padrão e desvio médio
Medidas de centralidade e dispersão para dados agrupados
Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre
CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS
INTRODUÇÃO
Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre
São curvas obtidas pela interseção de um cone circular reto de duas folhas com um plano α.
Quando o plano α for perpendicular ao eixo e do cone.
Se o plano passa pelo ponto V do cone, a seção obtida é um ponto.
Quando o plano α for paralelo a uma geratriz do cone.
Quando o plano α for paralelo a uma geratriz do cone.
Quando o plano α for paralelo ao eixo do cone.
Secções cônicas
Circunferência
Elipse
Parábola
Hipérbole
Professor, comente com seus alunos que se o plano for paralelo ao plano da base, teremos uma circunferência que também é uma cônica.
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ELIPSE
CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS
Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre
Elipse
elipse = {p ∈ α | PF1 + PF2 = 2a}
a2 = b2 + c2
Dados dois pontos distintos e , pertencentes a um plano ,seja 2c a distância entre eles e O o ponto médio de . Elipse é o conjunto dos pontos de cuja soma das distâncias e é igual à constante 2a (2a < 2c).
O Centro
2a medida do eixo maior
2b medida do eixo menor
e são perpendiculares entre si
2c distância focal
 excentricidade
ELIPSES
CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS
Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre
Equações reduzidas das elipses com centro na origem
O eixo maior está contido em Ox e o eixo menor em Oy. 
O eixo maior está contido em Oy e o eixo menor em Ox. 
Equações reduzidas das elipses com centro fora da origem
Centro em O’(, ) e eixo maior paralelo a Ox.
Centro em O’(, ) e eixo maior paralelo a Oy.
HIPÉRBOLE
CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS
Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre
Hipérbole
a2 = b2 + c2
Dados dois pontos distintos e , pertencentes a um plano ,seja 2c a distância entre eles e O o ponto médio de . Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano cujo módulo da diferença das distâncias entre F1 e F2 é igual a constante 2a (0 < 2a < 2c).
 e focos da hipérbole
O centro da hipérbole 
 eixo real ou transverso
2c distância focal, em que c = O
2a medida do eixo real, em que a = O
e = excentricidade
(0,b) e (0, -b) não pertencem à hipérbole mas determinam o segmento de medida 2b , que é chamado eixo imaginário da hipérbole.
EQUAÇÃO REDUZIDA
CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS
Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre
Os focos F1 e F2 estão contidos no eixo Ox
Os focos F1 e F2 estão contidos no eixo Oy
Equações reduzidas das hipérboles
Equações das hipérboles com centro fora da origem
Centro em O’(, ) e eixo real paralelo a Ox.
Centro em O’(, ) e eixo real paralelo a Ox.
HIPÉRBOLE
CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS
Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre
Dizemos que uma hipérbole é equilátera, se sua equação apresenta a = b.
Hipérbole equilátera
Funções recíprocas
A função , sendo k uma constante real, é denominada de função recíproca e seu gráfico é uma hipérbole representada ao lado.
Professor, peça para seus alunos darem a equação da hipérbole equilátera com centro na origem do plano cartesiano.
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PARÁBOLA
CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS
Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre
Parábola
parábola = {p ∈α | PF = PP'}
Dados um ponto F pertencente a um plano α e uma reta d contida em α, com F ∉ d, seja p a distância entre o ponto F e a reta d. Parábola é o conjunto dos pontos de α que estão à mesma distância de F e de d.
d diretriz
p paramerto
V vértice
 eixo de simetria (reta que passa por F e é perpendicular à diretriz
PARÁBOLAS
CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS
Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre
Equações reduzidas das parábolas com vértice na origem
O vértice na origem e foco no eixo das abscissas. 
O vértice na origem e foco no eixo das ordenadas. 
Equações das parábolas com centro fora da origem
Vértice em V(, ) e paralelo a Ox.
Centro em O’(, ) e eixo maior paralelo a Oy.
y
PARÁBOLAS E FUNÇÕES QUADRÁTICAS
CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS
Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre
Uma parábola de equação (x − x0)2 = 2p(y − y0) possui vértice V(x0, y0) e eixo de simetria vertical pode ser escrita na forma:
 que corresponde à lei de uma função quadrática
Equação da parábola e a função quadrática
ou ainda:
a = 
b = 
c = 
x2 − 2x0x + x02=2py − 2py0
PARÁBOLAS E FUNÇÕES QUADRÁTICAS
CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS
Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre
Reconhecimento de uma cônica pela equação
Elipses
Elipse com eixo maior horizontal
Elipse com eixo maior vertical
Hipérboles
Hipérbole com eixo real horizontal
Hipérbole com eixo real horizontal
Parábolas
Parábola com eixo de simetria horizontal
Parábola com eixo de simetria vertical
CAPÍTULO 5 – ESTATÍSTICA BÁSICA
INTRODUÇÃO
No volume 1 desta coleção foi dada a introdução dos estudos de estatística básica. É conveniente a revisão dos seguintes tópicos:
	População	Amostra	Variável	Tabelas de frequências
	Classes ou intervalos de valores	Representações gráficas	Gráfico de barras	Gráfico de linhas
	Gráfico de setores	Pictogramas	Gráfico de setores	Histograma
Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre
MEDIDAS DE CENTRALIDADE 
CAPÍTULO 5 – ESTATÍSTICA BÁSICA
Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre
Média aritmética
ou
Sejam , , ... , a relação dos valores assumidos por uma determinada variável quantitativa x. A média aritmética ou é a razão entre a soma de todos esses valores e o número total de valores.
(lê-se: “somatório de, para i variando de 1 até
n”. Significa que devemos atribuir para i, sucessivamente, os valores 1, 2,..., n).
Exemplo:
Os valores seguintes referem-se às notas obtidas por um aluno em oito disciplinas do Ensino Médio em um certo bimestre do ano letivo: 7,5; 6,0, 4,2; 3,9.; 4,8; 6,2; 8,0; 5,4.
 = 
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MEDIDAS DE CENTRALIDADE 
CAPÍTULO 5 – ESTATÍSTICA BÁSICA
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Consideremos uma relação de valores formadas pelos elementos x1, x2, …, xk, com frequências absolutas respectivamente iguais a n1, n2, …, nk. 
A média aritmética ponderada desses valores é:
Média aritmética ponderada
 
ou
Exemplo:
Em um espetáculo musical. Foram vendidos 1200 ingressos cujos valores dependiam do setor escolhido no teatro, como mostra o quadro abaixo:
Qual foi o valor médio pago pelo espetáculo?
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MEDIANA
CAPÍTULO 5 – ESTATÍSTICA BÁSICA
Sejam x1 ≤ x2 ≤ … ≤ xn os n valores ordenados assumidos por uma variável quantitativa X, em um conjunto de observações. Define-se a mediana (Me) por meio da relação:
A definição garante que a mediana seja um valor central que divide o conjunto de dados em dois subconjuntos com o mesmo número de elementos. 
Mediana
Exemplo:
O controle de qualidade de uma indústria forneceu o seguinte número de peças defeituosas (por lote de 100 unidades): 6 – 4 – 9 – 6 – 3 – 8 – 1 – 4 – 5 - 6
Para determinar a mediana, devemos ordenar os valores: 1 – 3 – 4 – 4 – 5 – 6 – 6 – 6 – 8 - 9
Como o número de elementos é par (10), a mediana (elemento central) está entre o 5º e o 6º elemento., isto é:
Média aritmética entre os dois elementos centrais, no caso de números pares de elementos 
CAPÍTULO 5 – ESTATÍSTICA BÁSICA
Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre
Moda
A moda (Mo) de uma relação de valores é o valor que ocorre mais vezes na relação, isto é, que possui maior frequência absoluta.
MEDIDAS DE CENTRALIDADE 
OBSERVAÇÃO:média, mediana e moda são as três medidas de tendência central mais usuais que podem ser associadas a um conjunto
de dados. Cada uma delas possui, interpretação e significado próprios. Dependendo da natureza dos dados,
uma ou outra dessas medidas pode ser mais adequada para representá-los quantitativamente. Entretanto, a análise
dos dados se torna mais completa quando conhecemos os valores das três medidas.
Vamos encontrar a moda dos seguintes conjuntos de valores:
5 — 8 — 11 — 8 — 3 — 4 — 8 A moda é 5 8, pois há três valores iguais a 8.
b) 2 — 3 — 9 — 3 — 4 — 2 — 6 Há duas modas: 2 e 3. Dizemos, então, que se trata de uma distribuição de frequências bimodal.
c) 1 — 3 — 4 — 6 — 9 — 11 — 2 Nesse caso, todos os valores aparecem com a mesma frequência unitária. Assim, não há moda nessa distribuição.
Exemplos:
MEDIDAS DE DISPERSÃO (OU VARIABILIDADE)
CAPÍTULO 5 – ESTATÍSTICA BÁSICA
Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre
Variância
Desvio padrão
É a raiz quadrada da variância e é indicado por:
Medidas de dispersão
Sejam x1, x2, …, xn a relação de valores assumidos por uma variável quantitativa X e a média aritmética desses valores. Indica-se por .
Desvio médio
Sejam x1, x2, …, xn os valores assumidos por uma variável quantitativa X e a média aritmética desses valores. Indica-se por .
 
CAPÍTULO 5 – ESTATÍSTICA BÁSICA
Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre
Elementos para medidas de centralidade e dispersão para dados agrupados 
Determinação da classe modal
Na tabela ao lado, a classe modal é 2500 |⎯ 4000, pois há 12 valores pertencentes a esse intervalo (as outras frequências são menores).
É o número real dado pela diferença entre o maior e o menor valores registrados (nessa ordem).
Amplitude
Definimos classe modal como a classe que apresenta maior frequência absoluta.
Exemplo:
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