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Rafael Lincoln Pereira Mattos
Prof. Leonardo Rezende Monitoria 2
Microeconomia I
March 20, 2023
Monitoria 2 - Teorema do Envelope, de Berge e do Hiperplano
Separador
1 (Ilustrando o Teorema do Envelope) Suponha que uma firma produza um produto q. A firma não é
tomadora de preço, tal que o preço que obtém pela produção de uma quantidade q é dado pela função
demanda inversa P (q). Sua receira, R(q), pode ser escrita como: R(q) = P (q)·q. Seu custo de produção
é dado por c(q; ✓), onde ✓ 2 R é um parâmetro e c(q; ✓) é diferenciável em ✓ e estritamente crescente
em q. A empresa escolha q⇤(✓) de forma a maximizar R(q) � c(q; ✓). Suponha que você só observe
q⇤(✓) e c(q⇤(✓), ✓) e o lucro da empresa quando ✓ = 0. Como identificar a função P (q⇤(✓))? Derive sua
expressão.
2 (Teorema de Berge: Hipóteses) Para cada exemplo abaixo, resolva a maximização e cheque cada uma
das implicações do teorema de Berge.
(a) (Função descont́ınua em t) f(x, t) =
(
�(x� t� 1)2, t  0
1� (x+ t+ 1)2, t > 0
, e A(t) = R
(b) (Função descont́ınua em x) f(x, t) =
(
�1, x  0,
+1, x > 0
, e A(t) = (�1, t]
(c) (Correspondência não-SCS) f(x, t) = x e A(t) =
(
{�1}, t  0,
{+1}, t > 0
(d) (Correspondência não-SCI) f(x, t) = x e A(t) =
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><
>:
{�1}, t < 0,
{�1,+1}, t = 0,
{+1}, t > 0
3 (Teorema de Berge: SCS e SCI) Considere o problema de minimização de custo da firma que escolhe a
quantidade dos insumos x e y (com preço unitário) para produzir z unidades de produto:
C(z) = min
f(x,y)�z
x+ y onde f(x, y) = max
n
2x
1
3 , y
2
3
o
(a) Encontre a solução (x, y)⇤(z).
(b) A correspondência (x, y)⇤(z) é SCS? é SCI?
(c) O teorema de Berge se aplica?
4 (Segundo Teorema fundamental do Bem-Estar - Produção) Seja Y a tecnologia de produção da firma
1 tal que Y seja um conjunto convexo.
Definição. Um vetor de produção y 2 Y é eficiente se não existe outro vetor y
0 2 Y tal que y
0 � y e
y
0 6= y
Prove que todo vetor de produção eficiente y 2 Y , existe um vetor de preços p � 0 tal que y é a escolha
maximizadora de lucro.
1Conjunto de possibilidades de produção e de uso de insumos, onde valores positivos são outputs e negativos inputs. A função
lucro é dada por ⇡(p) = p · y
1