Tecnologia de Produção

Prévia do material em texto

Rafael Lincoln Pereira Mattos
Prof. Leonardo Rezende Monitoria 3
Microeconomia I
March 27, 2023
Tecnologia de Produção e Função Lucro
1 (Adaptada Varian 1.10) Seja Y um conjunto de produção. Dizemos que a tecnologia é aditiva se
y ∈ Y e y′ ∈ Y implica que (y + y′) ∈ Y . Dizemos que a tecnologia é diviśıvel se para todo y ∈ Y e
t ∈ [0, 1], temos que ty ∈ Y .
(a) Mostre que se uma tecnologia é aditiva e diviśıvel, Y deve ser convexo e possuir retornos constantes
de escala.
(b) Mostre que a conversa é verdadeira, isto é, se Y convexo e com retornos constantes de escala, então
a tecnologia é aditiva e diviśıvel.
2 Suponha que uma firma maximizadora de lucros tenha a seguinte função lucro:
π(p) =
{
κ · pα, se p ∈ [0, 1]
γ · pβ , se p > 1
com parâmetros (α, β, γ, κ). Sabendo que uma função lucro deve ser convexa e homogênea de grau 1,
(a) Quais condições temos que impor nos parâmetros para que essa função seja homogênea de grau 1?
(b) Dadas as restrições de (a), essa função é convexa?
(c) Para quais valores de p podemos determinar a oferta y∗(p) da firma, e qual é ela nesse caso?
(d) Proponha uma interpretação econômica para o parâmetro κ, e para o exemplo como um todo.
(e) Essa firma tem apenas um produto e nenhum insumo. Pensando nisso, é posśıvel fazer uma
afirmação mais forte que generalize e formalize a intuição proposta em (d)? Se sim, demonstre-a.
3 (MWG 5.B.2) Suponha que f(.) seja a função de produção associada a um único produto, e seja Y o
conjunto de produção desta tecnologia (com free disposal). Mostre que Y satisfaz retornos constantes
de escala se, e somente se, f(.) for homogênea de grau 1.
4 (P1 2016) Uma firma possui uma tecnologia que permite a ela comprar um insumo z e com ele produzir
dois produtos y1 e y2. Você está encarregado de desenvolver a teoria da firma para esse caso.
Temos uma descrição dessa tecnologia através de uma função g : R2
+ → R+, tal que g(y1, y2) é a
quantidade mı́nima necessária do insumo para produzir y = (y1.y2). Formalmente, temos que (y1, y2) ∈
Y se, e somente se, z ≥ g(y1, y2).
Seja como sempre p = (p1, p2) os preços dos produtos, e w o preço do insumo. Considere o problema
de maximização condicional da receita:
max
y
py s.a g(y) ≤ z
Vamos chamar a solução desse problema, y(p, z), de oferta condicional, e o valor desse problema, R(p, z),
de receita condicional.
(a) y(p, z) e R(p, z) são homogêneas de grau 0 ou grau 1 nos preços?
(b) y(p, z) e R(p, z) são côncavas ou convexas nos preços?
(c) Vale a lei da oferta para y(p, z)? (Ou seja, podemos afirmar que (p′−p)[y(p′, z)−y(p, z)] ≥ 0,∀p, p′?)
(d) Se conhecemos R(p, z) (e não g diretamente), como podemos obter y(p, z)? (Pode supor que as
funções são deriváveis.)
1
Rafael Lincoln Pereira Mattos
Prof. Leonardo Rezende Monitoria 3
Microeconomia I
March 27, 2023
(e) Sejam y∗ e z∗ as escolhas que maximizam o lucro da firma. Se conhecemos R(p, z) (e não g
diretamente), como podemos obter y∗ e z∗? (Não precisa encontrar uma forma fechada, apenas indicar
um caminho.)
5 (P1 2021) Uma firma opera numa economia competitiva com três bens. Ela usa o terceiro bem como
insumo para os dois primeiros: para produzir y1 unidades de 1 e y2 unidades de 2, ela precisa adquirir
no mı́nimo yα1 y
β
2 unidades do bem três.
(a) Descreva a tecnologia dessa firma em termos de um conjunto Y ⊂ R3.
(b) Para que valores de α e β podemos afirmar que essa tecnologia tem livre descarte? Justifique.
(c) Para que valores de α e β podemos afirmar que essa tecnologia tem retornos decrescentes de escala?
Justifique.
(d) Proponha uma funçāo transformaçāo que represente essa tecnologia, e usea para computar a taxa
marginal de transformação entre dois produtos ( y1 e y2) e entre um produto e um insumo (y1 e y3).
(e) Monte o problema de maximização de lucro dessa firma, caracterize uma solução obtendo as
condições de primeira ordem (supondo livre descarte e retornos decrescentes de escala). Use as suas
respostas para mostrar que no ótimo, a firma opera igualando a taxa marginal de transformação a...o
quê?
2