Modelos Probabilísticos

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INTRODUÇÃO AOS 
MODELOS 
PROBABILÍSTICOS
PROFESSOR: FELIPE FERNANDES 
Continuação aula passada...
Regra da Multiplicação: Se em um experimento ambos os eventos
A e B podem ocorrer, então:
𝑃[𝐴 ∩ 𝐵] = 𝑃[𝐴] × 𝑃[𝐵|𝐴]
Mas se dois eventos forem independentes: 𝑃[𝐵|𝐴] = 𝑃[𝐵]
Assim podemos compreender o seguinte teorema:
Teorema: Dois eventos são independentes se e só se
𝑃[𝐴 ∩ 𝐵] = 𝑃[𝐴] × 𝑃[𝐵]
De forma geral, se 𝐴1, … , 𝐴𝑛 são independentes, então:
𝑃 𝐴1 ∩⋯∩ 𝐴𝑛 =ෑ
𝑖=1
𝑛
𝑃(𝐴𝑖)
Regra da Multiplicação: Essa expressão permite calcular
probabilidades em espaços amostrais que são realizados em
sequência, em que a ocorrência da segunda etapa depende da
ocorrência da primeira etapa.
Exemplo 01: Em um lote de 12
computadores, 4 estão com defeito.
Dois computadores são retirados
aleatoriamente um após o outro, sem
reposição. Determine a probabilidade
de ambos os computadores não
apresentarem defeito.
Experimento aleatório: Retira-se 2 computadores ao acaso, sem reposição.
Definindo os eventos:
A: 1º computador selecionado sem defeito (bom);
B: 2º computador selecionado sem defeito (bom);
𝑃 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑟𝑒𝑚 𝑏𝑜𝑛𝑠 = 𝑃 𝐴 𝑒 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =?
Observa-se que o evento B (2º computador bom) está condicionado ao resultado do
evento A, para que ambos os computadores não sejam defeituosos.
Assim, pela regra da multiplicação:
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
8
ด12
𝑃(𝐴)
.
7
ด11
𝑃(𝐵|𝐴)
= 0,424
Portanto a probabilidade de ambos os computadores não serem defeituosos é de 0,424.
1° Computador
Bom
Bom
Defeituoso
Defeituoso
Bom
Defeituoso
2° Computador
8
12
4
12
7
11
4
11
8
11
3
11
8
12
.
7
11
= 0,424
Exemplo 02: Em um circuito elétrico, 3 componentes são ligados em
série e trabalham independentemente um do outro. As probabilidades
de falharem o 1º, 2º e 3º componentes valem respectivamente 𝑝1 = 0,1,
𝑝2 = 0,1 𝑒 𝑝3 = 0,2. Qual a probabilidade de que não passe corrente
pelo circuito?
𝑃 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟 + 𝑃 𝑛ã𝑜 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟 = 1
𝑃 𝑛ã𝑜 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟 = 1 − 𝑃 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟
𝑃 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟 = 0,9 0,9 0,8 = 0,648
𝑃 𝑛ã𝑜 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟 = 1 − 0,648 = 0,352
A probabilidade de que não passe corrente
pelo circuito é de 35,2%.
Partição do espaço amostral
Definição: Uma sequencia {𝐵1, 𝐵2, 𝐵3, … , 𝐵𝑛} de subconjuntos (não 
vazios) de Ω é chamada de partição de Ω se
𝐵1 ∪ 𝐵2 ∪ 𝐵3 ∪⋯∪ 𝐵𝑛 = Ω
e 𝐵𝑖 ∩ 𝐵𝑗 = ∅,
𝑖, 𝑗 ∈ 1, 2, … , 𝑛 , 𝑖 ≠ 𝑗
Teorema (Probabilidades Totais)
Para quaisquer dois eventos A e B:
𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴 𝐵 𝑃 𝐵 + P A 𝐵𝑐 P(𝐵𝑐)
Em geral, seja 𝐵1, … , 𝐵𝑛 uma partição
de Ω:
𝑃 𝐴 =෍
𝑖=1
𝑛
𝑃 𝐴 𝐵𝑖 𝑃 𝐵𝑖
Teorema de Bayes
Uma das relações mais importantes envolvendo probabilidades
condicionais é dada pelo teorema de Bayes. A versão mais simples é
dada por:
𝑃 𝐵 𝐴 =
𝑃(𝐴⋂𝐵)
𝑃(𝐴)
=
𝑃 𝐵 . 𝑃(𝐴|𝐵)
𝑃(𝐴)
Observa-se que temos a probabilidade inicial ou “a priori” 𝑃(𝐵) e, dada
a informação de que B ocorreu, obtemos a probabilidade condicional
ou “a posteriori” 𝑃(𝐴|𝐵). A forma geral do teorema de Bayes será
introduzida a seguir.
Teorema de Bayes
Seja {𝐵1, … , 𝐵𝑛} uma partição de eventos de Ω e A um evento de Ω. 
Então:
𝑃 𝐵𝑖 𝐴 =
𝑃(𝐴|𝐵𝑖)𝑃 𝐵𝑖
σ𝑖=1
𝑛 𝑃(𝐴|𝐵𝑖)𝑃 𝐵𝑖
Um caso particular, considerando apenas a partição 𝐵 e 𝐵𝑐:
𝑃 𝐵 𝐴 =
𝑃(𝐴|𝐵)𝑃 𝐵
𝑃 𝐴 𝐵 𝑃 𝐵 + 𝑃(𝐴|𝐵𝑐)𝑃 𝐵𝑐
Teorema de Bayes
Exemplo1: Em certo estágio de uma investigação criminal, o inspetor
encarregado está 60% convencido da culpa de certo suspeito. Suponha,
no entanto, que uma nova prova que mostre que o criminoso tinha certa
característica (como o fato de ser canhoto, careca, ou ter cabelo
castanho) apareça. Se 20% da população possuem essa característica,
quão certo da culpa do suspeito o inspetor estará agora se o suspeito
apresentar a caraterística em questão?
Suponha que a probabilidade de o suspeito ter a característica em
questão mesmo sendo inocente é igual a 0,2, isto é, o percentual da
população que possui tal característica.
Teorema de Bayes
Solução: Vamos definir os eventos deste problema:
𝐺: o suspeito é culpado ⇒ 𝑃 𝐺 = 0,60
𝐺𝑐: o suspeito não é culpado ⇒ 𝑃 𝐺𝑐 = 0,40
𝐶: possuir a característica do criminoso ⇒ 𝑃 𝐶 = 0,20
𝑃 𝐶 𝐺 = 1; 𝑃 𝐶 𝐺𝑐 = 0,20
𝑃 𝐺 𝐶 =
𝑃(𝐶|𝐺)𝑃 𝐺
𝑃 𝐶 𝐺 𝑃 𝐺 + 𝑃(𝐶|𝐺𝑐)𝑃 𝐺𝑐
=
1(0,6)
1 0,6 + (0,2)(0,4)
≈ 0,882
A probabilidade do inspetor estar certo da culpa do suspeito caso ele
apresente a caraterística em questão é de aproximadamente 88,2%.
Teorema de Bayes
Exemplo2: Suponha que um fabricante de medicamentos recebe 20%
de todo os insumos que utiliza de uma fábrica 𝐹1, 30% de uma outra
fábrica 𝐹2 e 50% de 𝐹3. Um órgão de fiscalização inspecionou as
fábricas de surpresa e observou que 20% dos insumos produzido por 𝐹1
estava adulterado por adição de água, enquanto para 𝐹2 e 𝐹3, essa
proporção era de 5% e 2%, respectivamente. Na indústria farmacêutica
os insumos são armazenados em galões e em um refrigerador sem
identificação das fábricas.
Qual é a probabilidade do insumo ser proveniente da fábrica 𝐹1 dado
que o insumo está adulterado?
Teorema de Bayes
Vamos definir os eventos deste problema:
𝐹1: insumo utilizado que vem da fábrica 𝐹1 ⇒ 𝑃 𝐹1 = 0,20
𝐹2: insumo utilizado que vem da fábrica 𝐹2 ⇒ 𝑃 𝐹2 = 0,30
𝐹3: insumo utilizado que vem da fábrica 𝐹3 ⇒ 𝑃 𝐹3 = 0,50
Seja o evento A “o insumo está adulterado”, então:
𝑃 𝐴 𝐹1 = 0,20; 𝑃 𝐴 𝐹2 = 0,05; 𝑃 𝐴 𝐹1 = 0,02
Teorema de Bayes
Assim,
𝑃 𝐹1 𝐴 =
𝑃(𝐹1⋂𝐴)
𝑃(𝐴)
=
𝑃 𝐹1 . 𝑃(𝐴|𝐹1)
𝑃(𝐴)
Pergunta: Para um galão selecionado ao acaso, qual a probabilidade do
leite está adulterado, isto é, 𝑃 𝐴 ?
Observa-se que o evento A
pode ser reescrito como:
Teorema de Bayes
Assim nosso interesse é calcular 𝑃 𝐴
Observa-se que o evento A pode ser escrito como
𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐹1) ∪ (𝐴 ∩ 𝐹2) ∪ (𝐴 ∩ 𝐹3)
Então,
𝑃(𝐴) = 𝑃[ 𝐴 ∩ 𝐹1 ∪ 𝐴 ∩ 𝐹2 ∪ 𝐴 ∩ 𝐹3 ]
Como os eventos 𝐴 ∩ 𝐹1 , 𝐴 ∩ 𝐹2 e 𝐴 ∩ 𝐹3 são mutuamente
exclusivos dois a dois, então 𝑃(𝐴) é dada por:
𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐹1 + 𝑃 𝐴 ∩ 𝐹2 + 𝑃 𝐴 ∩ 𝐹3
Teorema de Bayes
Pela regra da multiplicação, 𝑃 𝐴 é dada por
𝑃 𝐴 = 𝑃(𝐹1) 𝐴|𝐹1 + 𝑃(𝐹2) 𝐴|𝐹2 + 𝑃(𝐹3) 𝐴|𝐹3
= 0,20 . 0,20 + 0,30 . 0,05 + 0,50 . 0,02 = 0,065
Portanto,
𝑃 𝐹1 𝐴 =
𝑃(𝐹1⋂𝐴)
𝑃(𝐴)
=
𝑃 𝐹1 . 𝑃(𝐴|𝐹1)
𝑃(𝐴)
=
𝑃 𝐹1 . 𝑃(𝐴|𝐹1)
𝑃(𝐹1) 𝐴|𝐹1 + 𝑃(𝐹2) 𝐴|𝐹2 + 𝑃(𝐹3) 𝐴|𝐹3
= 0,6153
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