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INTRODUÇÃO AOS MODELOS PROBABILÍSTICOS PROFESSOR: FELIPE FERNANDES Probabilidade Em estatística estamos interessados em lidar com resultados de experimentos aleatórios, cujos resultados possuem certa probabilidade de acontecer e não podem ser previstos com certeza. “O termo probabilidade se refere ao estudo da aleatoriedade e da incerteza.” Algumas definições iniciais são necessárias: ➢ Experimentos aleatórios: são experimentos com resultado incerto ou casual, que pode ser repetido inúmeras vezes. ➢ Espaço amostral: é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento (Ω). ➢ Evento: é qualquer subconjunto do espaço amostral (E). Exemplos de um Experimento Aleatório E1: Jogar um dado e observar a face acima. E2: Jogar uma moeda quatro vezes e observar o número de caras obtidas. E3: Jogar uma moeda duas vezes e observar a sequência obtida. E4: Em uma linha de produção contar o número de peças defeituosas em um período de 8h. E5: Duração de vida de uma lâmpada (em horas). Exemplos de Espaço Amostral Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ω2 = {0, 1, 2, 3, 4}. Ω3 = {kk, cc, kc, ck}, em que k = coroa e c = cara. Ω4 = {0, 1, 2, . . . , N}, onde N é o número máximo de peças produzidas. Ω5 = {t|t ≥ 0}, onde t é uma quantidade em horas. Exemplos de Eventos Evento1: um número par ocorre, A1 = {2, 4, 6}. Evento2: duas caras ocorrem, A2 = {2}. Evento3: pelo menos uma caras ocorrem, A3 = {cc, kc, ck}. Evento4: todas as peças são perfeitas, A4 = {0}. Evento5: a lâmpada queima em menos de 3h, A5 = {t|0 ≤ t ≤ 3}. Axiomas de probabilidade ■ Considere um experimento com espaço amostral Ω. ■ Para cada evento A do espaço amostral Ω, existe um número P(A), chamado de probabilidade do evento A tal que: i) 0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1, qualquer evento A em Ω; ii) 𝑃 Ω = 1; iii) Seja 𝐴1, 𝐴2, … uma sequencia de eventos disjuntos, isto é, 𝐴i ∩ 𝐴𝑗 = ∅, 𝑖 ≠ 𝑗, então: 𝑃 ራ 𝑖=1 ∞ 𝐴𝑖 = 𝑖=1 ∞ 𝑃 𝐴𝑖 Axiomas de probabilidade ■ Axioma 1 diz que a probabilidade de um evento é um número entre 0 e 1; ■ Axioma 2 afirma que o evento certo deve ter probabilidade 1; ■ Axioma 3 diz que a união de eventos disjuntos deve ser igual à soma das probabilidades individuais. Algumas Propriedades i) 𝑃 ∅ = 0 ii) 𝑃[𝐴𝑐] = 1 − 𝑃 𝐴 , em que 𝑃 𝐴 é o evento complementar iii) Se 𝐴 ⊂ 𝐵, então 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵) iv) 𝑃 𝐴⋃𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃[𝐴⋂𝐵] v) 𝑃 𝐴⋂𝐵 = 0, se os eventos forem mutuamente exclusivos. ■ Exemplo 1: Lançamento de uma moeda Ω = {C, R}; C=cara e R=coroa P(∅) = 0 P({C}) = 𝑝 P({R}) = 1 – 𝑝 P(Ω) = 1 onde 𝑝 é um número real fixo do intervalo [0, 1] Se 𝑝 = Τ1 2, a moeda é não viciada (honesta) Probabilidade ■ Exemplo 2: Dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Seja 𝑃({𝑖}) = 𝑝𝑖 , 𝑖 = 1,… , 6, tal que cada 𝑝𝑖 é um número real fixo do intervalo [0, 1] e a soma dos 𝑝𝑖 é igual a 1. A probabilidade de um evento A é dada por: 𝑃 𝐴 = σ𝑖∈𝐴 𝑝𝑖 , para qualquer 𝐴 ⊂ Ω. Probabilidade ■ Exemplo 3: Um estabelecimento aceita cartões Visa ou Mastercard. Dentre os clientes: - 22% possuem Mastercard - 58% possuem Visa - 14% possuem ambos cartões a) Se escolhermos um cliente aleatoriamente, qual a probabilidade de que ele tenha pelo menos um destes cartões? b) E a probabilidade que o cliente não tenha nenhum dos cartões? Probabilidade ■ Exemplo 3: Ω = {𝑁, 𝑉,𝑀, 𝑉𝑀} 𝑃(𝐴) = P(cliente possui Mastercard) = 0,22 𝑃(𝐵) = P(cliente possui Visa) = 0,58 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,14 Solução: a) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) – 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,66 b) 𝑃({𝑁}) = 1 – 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,34 Probabilidade ■ É comum em alguns experimentos assumir que todos os resultados do espaço amostral tenham a mesma chance de acontecer. ■ Seja Ω = {1, 2, 3,..., N} um conjunto finito ■ Se 𝑃({1}) = 𝑃({2}) = … = 𝑃({𝑁}), usando axiomas 2 e 3, isso implica que: 𝑃({𝑖}) = 1/𝑁, 𝑖 = 1,2,… , 𝑁 ■ Então a probabilidade de um evento A é tal que: 𝑃 𝐴 = 𝐴 Ω , para qualquer 𝐴 ⊂ Ω, onde |A| representa o número de elementos (cardinalidade) de A e |Ω| a cardinalidade de Ω Espaços Amostrais Equiprováveis ■ Exemplo: Suponha que dois dados comuns são lançados. Cada um dos 36 possíveis resultados tem a mesma chance de acontecer. Qual a probabilidade da soma dos dados ser 6? E 7? Espaços Amostrais Equiprováveis Solução: A = {soma 6} = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} B = {soma 7} = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} 𝑃(𝐴) = 5/36 e 𝑃(𝐵) = 6/36 = 1/6 Espaço amostral (Ω) ■ Suponha que um experimento, com espaço amostral Ω, seja repetido 𝑛 vezes ( 𝑛 grande) sob as mesmas condições; ■ Para cada evento 𝐴, definimos 𝑛(𝐴) como o número de vezes que este evento ocorre nas 𝑛 repetições; ■ Então, P(A) é definida como: 𝑃 𝐴 = lim 𝑛→∞ 𝑛(𝐴) 𝑛 Probabilidade – Frequência Relativa ■ Exemplo: Considere o lançamento de uma moeda. Calcular a probabilidade de A={resultado obtido é cara} Probabilidade – Frequência Relativa ■ Seja {𝐴1, 𝐴2, … } uma sequência crescente de eventos, isto é, tal que 𝐴1 ⊂ 𝐴2 ⊂ 𝐴3, … , e 𝐴 seu limite: 𝐴 =ራ 𝑖=1 ∞ 𝐴𝑖 = lim 𝑖→∞ 𝑃(𝐴𝑖) Então, 𝑃 𝐴 = lim 𝑖→∞ 𝑃(𝐴𝑖). Probabilidade – Continuidade ■ De forma similar, seja {𝐵1, 𝐵2, … } uma sequência decrescente de eventos, tal que 𝐵1 ⊃ 𝐵2 ⊃ 𝐵3, … , e 𝐵 seu limite: 𝐵 =ሩ 𝑖=1 ∞ 𝐵𝑖 = lim 𝑖→∞ 𝑃(𝐵𝑖) Então, 𝑃 𝐵 = lim 𝑖→∞ 𝑃(𝐵𝑖). Probabilidade – Continuidade Probabilidade Condicional ■ A probabilidade de um evento A pode mudar quando nos é dada informação a respeito da ocorrência (ou não) de um evento B relacionado com A? ■ Isso nos leva a considerar a probabilidade condicional. Probabilidade Condicional Sejam A e B dois eventos, denotamos P[B/A] a probabilidade de ocorrência de B dado que A já tenha ocorrido. Em situações simples, quando os resultados são igualmente prováveis, o cálculo de probabilidades condicionais pode se basear na intuição. No entanto, quando os experimentos são mais complicados, a intuição pode nos enganar, portanto uma definição geral de probabilidade condicional é dada por: 𝑃 𝐵/𝐴 = 𝑃 𝐴⋂𝐵 𝑃[𝐴] Probabilidade Condicional ■ Definição: Sejam A e B dois eventos no mesmo espaço amostral Ω. Se P(B) > 0, então a probabilidade condicional de A dado B é dada por: 𝑃 𝐴/𝐵 = 𝑃 𝐴⋂𝐵 𝑃[𝐵] Exemplo: Certa vacina pode ser produzida por duas maneiras diferentes: M1 e M2. A maneira M1 usa uma tecnologia mais antiga que M2, de forma que é mais lenta e um pouco menos confiável, porém mais barata. Suponha que em determinado dia, a maneira M1 gerou 800 vacinas, dos quais 20 ficaram inadequadas e 780 ficaram adequado, ao passo que a maneira M2 gerou 10 vacinas inadequadas e 890 adequadas. Selecionando uma vacina aleatoriamente qual a probabilidade de ela ser produzida pela maneira 1 dado que ela seja inadequada? 𝑃 𝑀1/𝐼 = 𝑃 𝑀1⋂ 𝐼 𝑃[𝐼] = 20 1700 30 1700 = 20 30 = 2 3 no caso de união: 𝑃 𝑀1 ∪ 𝐼 = 𝑃 𝑀1 + 𝑃 𝐼 − 𝑃 𝑀1 ∩ 𝐼 = 800 1700 + 30 1700 − 20 1700 = 810 1700 = 81 170 Asp. físico Total Inadequada (I) Adequada (A) Maneira M1 20 780 800 M2 10 890 900 Total 30 1670 1700 Eventos independentes A probabilidade condicional nos permite entender melhor o conceito de independência entre eventos e do cálculo da probabilidade da interseção entre estes eventos. Regra da Multiplicação: Se em um experimento ambos os eventos A e B podem ocorrer, então: 𝑃[𝐴 ∩ 𝐵] = 𝑃[𝐴] × 𝑃[𝐵|𝐴] Mas se dois eventos forem independentes: 𝑃[𝐵|𝐴] = 𝑃[𝐵] Assim podemos compreender o seguinte teorema: Teorema: Dois eventos são independentes se e só se 𝑃[𝐴 ∩ 𝐵] = 𝑃[𝐴] × 𝑃[𝐵] Exemplo: Considere o experimento de lançar 2 moedas e observar a face virada para cima (C=cara; R=coroa). Ω = {CC, CR, RC, RR} A: sair cara na 1ª moeda B: sair cara na 2ª moeda 𝑃 𝐴 = 2 4 = 1 2 ; 𝑃[𝐵] = 2 4 = 1 2 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 1 4 = 1 2 × 1 2 = 𝑃[𝐴]×𝑃[𝐵] Logo o lançamento das duas moedas é independente. Veja que não funciona para o caso do exemplo anterior,pois M1 e I não são independentes: 𝑃 𝑀1 ∩ 𝐼 = 𝑃 𝑀1 × 𝑃 𝐼 𝑀1 = 800 1700 × 20 1700 ≠ 𝑃[𝑀1] × 𝑃[𝐼] = 800 1700 × 30 1700 OBS: Geralmente este teorema é utilizado ao contrário: afirma-se que os eventos são independentes para calcular a probabilidade da interseção pelo produto. Slide 1: Introdução aos modelos Probabilísticos professor: Felipe Fernandes Slide 2: Probabilidade Slide 3: Algumas definições iniciais são necessárias: Slide 4: Exemplos de um Experimento Aleatório Slide 5: Exemplos de Espaço Amostral Slide 6: Exemplos de Eventos Slide 7: Axiomas de probabilidade Slide 8: Axiomas de probabilidade Slide 9: Algumas Propriedades Slide 10: Probabilidade Slide 11: Probabilidade Slide 12: Probabilidade Slide 14: Probabilidade Slide 15: Espaços Amostrais Equiprováveis Slide 17: Espaços Amostrais Equiprováveis Slide 18: Probabilidade – Frequência Relativa Slide 19: Probabilidade – Frequência Relativa Slide 20: Probabilidade – Continuidade Slide 21: Probabilidade – Continuidade Slide 22: Probabilidade Condicional Slide 23: Probabilidade Condicional Slide 24: Probabilidade Condicional Slide 25 Slide 26 Slide 27 Slide 28
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