PEF3303_Cisalhamento_2023

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Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
PEF 3303
ESTRUTURAS DE CONCRETO I
Professores
Januário Pellegrino Neto
Túlio Nogueira Bittencourt
2023
Moodle USP
https://edisciplinas.usp.br/
CISALHAMENTO
Cortante e Torção
V1 (20/80)
20202020
(20/40)
P1 P2
(20/40)
10,0 m
40 kN/m
P1=200kN P2=200kN
200
Vk,mín=120
200
Vk
(kN)
19 6,3c/10f 21 6,3c/30f 19 6,3c/10f
2,0m 3,0m
200
200
120
armação em degraus,
trecho central com armadura mínima
180cm 180cm600cm
https://edisciplinas.usp.br/
PEF 3303 Estruturas de Concreto I
Solicitações Tangenciais
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
APLICAÇÃO TORÇÃOCORTANTE
Estribos - armadura Biela de Compressão Disposições ConstrutivasModelo da Treliça Clássica
Introdução
Tensões exclusivas
de flexão
Concomitância de tensões normais (flexão)
e de cisalhamento (cortante)
 
DESVIO
 
DAS
 
TENSÕES
 
PRINCIPAIS
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Solicitações Tangenciais
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APLICAÇÃO TORÇÃOCORTANTE
Estribos - armadura Biela de Compressão Disposições ConstrutivasModelo da Treliça Clássica
Introdução
Barras prismáticas, além dos modos de ruptura à flexão, 
podem romper sob ação de forças cortantes de duas maneiras:
a) Fissuração diagonal das almas por insuficiência de armadura transversal
b) Esmagamento diagonal do concreto na alma
q Insuficiência armadura longitudinal;
q Ruptura dúctil (sub-armadas);
q Fissuras perpendiculares à armadura
 de flexão.
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APLICAÇÃO TORÇÃOCORTANTE
Estribos - armadura Biela de Compressão Disposições ConstrutivasModelo da Treliça Clássica
Introdução
Barras prismáticas podem romper sob ação de forças cortantes de duas maneiras:
a) Fissuração diagonal das almas por insuficiência de armadura transversal
b) Esmagamento diagonal do concreto na alma
q Insuficiência armadura transversal 
 (estribos);
q Ruptura frágil (brusca);
q Fissuras inclinadas 
 (trajetórias de compressão).
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APLICAÇÃO TORÇÃOCORTANTE
Estribos - armadura Biela de Compressão Disposições ConstrutivasModelo da Treliça Clássica
Introdução
Barras prismáticas podem romper sob ação de forças cortantes de duas maneiras:
a) Fissuração diagonal das almas por insuficiência de armadura transversal
b) Esmagamento diagonal do concreto na alma
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APLICAÇÃO TORÇÃOCORTANTE
Estribos - armadura Biela de Compressão Disposições ConstrutivasModelo da Treliça Clássica
Introdução
O panorama de fissuração indica que as primeiras fissuras ocorrem com direção perpendicular às tensões 
principais de tração, obtidas por meio da Resistência dos Materiais.
Esse panorama sugere ainda a existência 
de escoras de concreto entre as fissuras 
com a direção das tensões de compressão.
 Com base nesses dados, Mörsch sugeriu 
para descrever de forma simplificada o 
comportamento resistente à força 
cortante, um modelo de treliça.
Modelo da Treliça Clássica de MÖRSCH
P
Vs Vs
armadura
 de flexão
armadura
 transversal
zona comprimida
 de concreto 
biela de
concreto
q Modelos BIELAS-TIRANTES (idealização);
 TIRANTES: Barras verticais tracionadas;
 BIELAS: Faixas diagonais à 45o comprimidas.
Modelo de cálculo I
(NBR-6118:2014)
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Estribos - armadura Biela de Compressão Disposições ConstrutivasModelo da Treliça Clássica
Treliça Clássica
Nesse modelo as barras tracionadas correspondem às armaduras, 
e as barras comprimidas às escoras de concreto entre fissuras.
Essa treliça com barras superpostas pode ser ainda mais simplificada, 
permitindo a fácil determinação das forças nas barras.
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APLICAÇÃO TORÇÃOCORTANTE
Estribos - armadura Biela de Compressão Disposições ConstrutivasModelo da Treliça Clássica
Forças nas Barras
෍ 𝐹𝑣 = 0: 𝑉𝑑 − 𝑅𝑠𝑤𝑑 = 0
∴ 𝑅𝑠𝑤𝑑 = 𝑉𝑑
෍ 𝐹𝑣 = 0: 𝑉𝑑 − 𝑅𝑐𝑤𝑑 ⋅ cos 4 5𝑜 = 0
∴ 𝑅𝑐𝑤𝑑 = 𝑉𝑑 ⋅ 2
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Estribos - armadura Biela de Compressão Disposições ConstrutivasModelo da Treliça Clássica
Tensões nas armaduras (estribos verticais)
Considerando-se que cada barra vertical da treliça corresponde a um comprimento z, 
a área de aço total nesse comprimento vale:
e a tensão𝐴𝑠𝑤
𝑠
⋅ 𝑧 𝜎𝑠𝑤𝑑 =
𝑅𝑠𝑤𝑑
𝐴𝑠𝑤
𝑠
⋅ 𝑧
tomando-se 𝑧 = 0,9 ⋅ 𝑑 e 𝑅𝑠𝑤𝑑 = 𝑉𝑑
∴ 𝜎𝑠𝑤𝑑 =
𝑉𝑑
𝐴𝑠𝑤
𝑠
⋅ 0,9 ⋅ 𝑑
Limitando-se essa tensão de cálculo solicitante 
ao valor de cálculo resistente fyd, é possível determinar-se a armadura Asw/s
tal que não ocorra o modo de ruptura a:
𝜎𝑠𝑤𝑑 =
𝑉𝑑
𝐴𝑠𝑤
𝑠 ⋅ 0,9 ⋅ 𝑑
≤ 𝑓𝑦𝑑 ∴
𝐴𝑠𝑤
𝑠
=
𝑉𝑑
0,9 ⋅ 𝑑 ⋅ 𝑓𝑦𝑑
𝐴𝑠𝑤 = 2 ⋅ 𝐴𝑠 (2 ramos)
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APLICAÇÃO TORÇÃOCORTANTE
Estribos - armadura Biela de Compressão Disposições ConstrutivasModelo da Treliça Clássica
Tensões nos Estribos
Observações experimentais indicam contudo que as 
tensões nas armaduras transversais são menores do 
que as previstas pelo modelo da treliça, sugerindo 
assim uma correção da armadura.
A NBR-6118 (2014) fornece na flexão simples o valor de Vc:
𝐴𝑠𝑤
𝑠
=
𝑉𝑑 − 𝑉𝑐
0,9 ⋅ 𝑑 ⋅ 𝑓𝑦𝑑
𝑉𝑐 = 0,6 ⋅ 𝑓𝑐𝑡𝑑 ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑
𝑓𝑐𝑡𝑑 =
𝑓𝑐𝑡𝑘
𝛾𝑐
=
0,21 ⋅ 𝑓𝑐𝑘
2/3
1,4
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Estribos - armadura Biela de Compressão Disposições ConstrutivasModelo da Treliça Clássica
Tensões nos Estribos
𝐴𝑠𝑤
𝑠
=
𝑉𝑑 − 𝑉𝑐
0,9 ⋅ 𝑑 ⋅ 𝑓𝑦𝑑
𝑽𝒔𝒅 ≤ 𝑽𝑹𝒅𝟑 = 𝑽𝒔𝒘 + 𝑽𝒄
𝑽𝑹𝒅𝟑: força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por
tração diagonal;
𝐕𝐬𝐰: força cortante resistida pela armadura transversal;
𝐕𝐜: força cortante absorvida pelos mecanismos
internos resistentes do concreto, complementares ao de treliça.
A resistência do elemento estrutural deve ser considerada satisfatória 
quando verificada a expressão:
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Estribos - armadura Biela de Compressão Disposições ConstrutivasModelo da Treliça Clássica
Tensões de compressão no concreto
(escoras ou bielas inclinadas a 45º)
𝜎𝑐𝑤𝑑 =
𝑅𝑐𝑤𝑑
𝑏𝑤 ⋅
𝑧
2
tomando-se 𝑧 = 0,9 ⋅ 𝑑
e 𝑅𝑐𝑤𝑑 = 𝑉𝑑 ⋅ 2 ∴ 𝜎𝑐𝑤𝑑 =
𝑉𝑑 ⋅ 2
𝑏𝑤 ⋅
𝑧
2
=
2
0,9
⋅
𝑉𝑑
𝑏𝑤 ⋅ 𝑑
Limitando-se essa tensão de cálculo solicitante 
ao valor de cálculo resistente fcd2 = 0,6. av2.fcd:
𝜎𝑐𝑤𝑑 =
2
0,9
⋅
𝑉𝑑
𝑏𝑤 ⋅ 𝑑
≤ 0,6 ⋅ 𝛼𝑣2 ⋅ 𝑓𝑐𝑑
𝑉𝑑 ≤ 0,27 ⋅ 𝛼𝑣2 ⋅ 𝑓𝑐𝑑 ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 = 𝑉𝑟𝑑2
𝛼𝑣2 = 1 −
𝑓𝑐𝑘
250
(MPa), onde
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Estribos - armadura Biela de Compressão Disposições ConstrutivasModelo da Treliça Clássica
Tensões de compressão no concreto
(escoras ou bielas inclinadas a 45º)
𝑽𝒅 ≤ 𝟎, 𝟐𝟕 ⋅ 𝜶𝒗𝟐 ⋅ 𝒇𝒄𝒅 ⋅ 𝒃𝒘 ⋅ 𝒅 = 𝑽𝑹𝒅𝟐
𝑽𝒔𝒅 ≤ 𝑽𝑹𝒅𝟐
𝐕sd: força cortante solicitante de cálculo;
𝐕Rd2: força cortante resistente de cálculo,
 relativa à 𝑟𝑢í𝑛𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜
A resistência do elemento estrutural deve ser considerada satisfatória 
quando verificada a expressão:
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Estribos - armadura Biela de Compressão Disposições ConstrutivasModelo da Treliça Clássica
Disposições Construtivas
• Armaduras Transversais Mínimas:
• Diâmetro dos Estribos – ft :
• Espaçamento Longitudinal dos Estribos – s :
• Espaçamento Transversal 
dos Ramos dos Estribos:
𝜌𝑠𝑤,𝑚í𝑛 =
𝐴𝑠𝑤
𝑏𝑤 ⋅ 𝑠
≥ 0,2 ⋅
𝑓𝑐𝑡𝑚
𝑓𝑦𝑘
𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,3 ⋅ 𝑓𝑐𝑘
2/3
(MPa)
5 ≤ 𝜙𝑡 ≤
𝑏𝑤
10
(mm)
7 cm ≤ 𝑠 ≤
𝑉𝑑 ≤ 0,67 ⋅ 𝑉𝑟𝑑2 ቊ
0,6 ⋅ 𝑑
30 cm
𝑉𝑑 > 0,67 ⋅ 𝑉𝑟𝑑2 ቊ
0,3 ⋅ 𝑑
20 cm
A taxa de armadura transversal, para o caso de estribos verticais
(a = 90o) e bielas de compressão inclinadas à 45o, é dada pela expressão:
s b w
estribos verticais
armadura de flexão
fck (MPa) 20 25 30 35 40
rsw,mín (%) 0,09 0,10 0,12 0,13 0,14
av2 0,92 0,90 0,88 0,86 0,84
0,6.fctd (MPa) 0,66 0,77 0,87 0,96 1,05
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Estribos - armadura Biela de Compressão Disposições ConstrutivasModelo da Treliça Clássica
Disposições Construtivas
• Cálculo do espaçamento
s
e<s máx
b w
𝑒 =
100 ⋅ 𝑛𝑟 ⋅ 𝐴𝑠1𝜑
𝐴𝑠𝑤 f As1f
5,0 0,2
0,315
0,5
0,8
1,25
2,0
3,15
6,3
8,0
10,0
12,5
16,0
20,0
(mm) (cm )2
n = 2r 
n = 3r 
n = 4r 
𝑠𝑚á𝑥 = 0,6 ⋅ 𝑑 ≤ 30𝑐𝑚(𝑉𝑠𝑑 ≤ 0,67 ⋅ 𝑉𝑅𝑑2)
𝑠𝑚á𝑥 = 0,3 ⋅ 𝑑 ≤ 20𝑐𝑚(𝑉𝑠𝑑 > 0,67 ⋅ 𝑉𝑅𝑑2)
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APLICAÇÃO TORÇÃOCORTANTE
Exemplo 1 Exemplo 2 Armadura de Suspensão Armadura de Costura
Verificar a viga quanto à sua resistência às forças 
cortantes detalhando suas armaduras transversais
Exemplo 1
• Dados:
▪ Classe de agressividade II
▪ c = 3,0 cm
▪ d = 72 cm (d = 0,9h)
▪ Concreto C25 (fck = 25 MPa)
▪ Aço CA50 (fyk = 50 kN/cm²)
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APLICAÇÃO TORÇÃOCORTANTE
Exemplo 1 Exemplo 2 Armadura de Suspensão Armadura de Costura
• Verificação da compressão diagonal do 
concreto (biela de compressão):
Vk=200kN
Exemplo 1
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APLICAÇÃO TORÇÃOCORTANTE
Exemplo 1 Exemplo 2 Armadura de Suspensão Armadura de Costura
• Cálculo da armadura transversal (Estribo)
• Trecho extremo – Vk=200kN
f (mm) 5 6,3 8 10 12,5
As1 (cm2) 0,20 0,315 0,50 0,80 1,25
scalculado (cm) 6,7 < 7 10,5 16,7 26,7 41,7 > 30
Sadotado (cm) ---- 10 16 26 ----
Exemplo 1
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APLICAÇÃO TORÇÃOCORTANTE
Exemplo 1 Exemplo 2 Armadura de Suspensão Armadura de Costura
f (mm) 5 6,3 8
As1 (cm2) 0,20 0,315 0,5
Scalculado (cm) 20 31,5 50 >> 30
Sadotado (cm) 20 ~ 30 ----
• Cálculo da armadura transversal (Estribo)
• Trecho central – Vk=40kN
Exemplo 1
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APLICAÇÃO TORÇÃOCORTANTE
Exemplo 1 Exemplo 2 Armadura de Suspensão Armadura de Costura
Detalhamento
Exemplo 1
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APLICAÇÃO TORÇÃOCORTANTE
Exemplo 1 Exemplo 2 Armadura de Suspensão Armadura de Costura
Verificar a viga quanto à sua 
resistência às forças cortantes 
detalhando suas armaduras 
transversais 
Exemplo 1b
• Dados:
• Classe de agressividade II
• c = 3,0 cm
• d = 72 cm (d = 0,9h)
• Concreto C25 (fck = 25 MPa)
• Aço CA50 (fyk = 50 kN/cm²)
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APLICAÇÃO TORÇÃOCORTANTE
Exemplo 1 Armadura de Suspensão Armadura de Costura
Exemplo 1b
Idêntico ao exemplo 1, altera-se apenas o detalhamento 
do trecho central, identificando a cortante mínima.
V1 (20/80)
20202020
(20/40)
P1 P2
(20/40)
10,0 m
40 kN/m
P1=200kN P2=200kN
200
Vk,mín=120
200
Vk
(kN)
19 6,3c/10f 21 6,3c/30f 19 6,3c/10f
2,0m 3,0m
200
200
120
armação em degraus,
trecho central com armadura mínima
180cm 180cm600cm
Exemplo 2
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Exemplo 1 Exemplo 2 Armadura de Suspensão Armadura de Costura
Verificar a viga quanto à sua resistência às forças 
cortantes detalhando suas armaduras transversais.
Exemplo 2
• Dados:
▪ Classe de agressividade I
▪ c = 2,5 cm
▪ bw = 15 cm e h = 50 cm
▪ d = 45 cm (d = 0,9h)
▪ Concreto C30 (fck = 30 MPa)
▪ Aço CA50 (fyk = 50 kN/cm²)
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Exemplo 1 Exemplo 2 Armadura de Suspensão Armadura de Costura
Exemplo 2
• Verificação da compressão diagonal do 
concreto (biela de compressão):
Vk=200kN
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑟𝑑2 = 0,27 ⋅ 𝛼𝑣2 ⋅ 𝑓𝑐𝑑 ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 𝛼𝑣2 = 1 −
𝑓𝑐𝑘
250
(MPa)
𝛼𝑣2 = 1 −
30
250
= 0,88
𝑉𝑠𝑑 = 1,4 ⋅ 200 = 280 kN
𝑉𝑟𝑑2 = 0,27 ⋅ 0,88 ⋅
3,0
1,4
⋅ 15 ⋅ 45 = 343,7 kN
𝑉𝑠𝑑 < 𝑉𝑟𝑑2 ∴ 𝑜𝑘!
𝑉𝑠𝑑
𝑉𝑟𝑑2
= 0,81 > 0,67
∴ 𝑠𝑚á𝑥 = 0,3 ⋅ 𝑑 = 0,3 ⋅ 45 = 13,5𝑐𝑚 < 20𝑐𝑚
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Exemplo 1 Exemplo 2 Armadura de Suspensão Armadura de Costura
Exemplo 2
• Cálculo da armadura transversal (Estribo)
• Trecho extremo – Vk=200kN
𝑉𝑠𝑑 = 𝛾𝑓 ⋅ 𝑉𝑘 = 1,4 ⋅ 200 = 280 kN
𝑉𝑐 = 0,6 ⋅ 𝑓𝑐𝑡𝑑 ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 = 0,087 ⋅ 15 ⋅ 45 = 58,7 kN
𝐴𝑠𝑤
𝑠
=
𝑉𝑑 − 𝑉𝑐
0,9 ⋅ 𝑑 ⋅ 𝑓𝑦𝑑
=
280 − 58,7
0,9 ⋅ 0,45 ⋅ 43,5
= 12,6
cm2
m
𝐴𝑠𝑤
𝑠
= 12,6
cm2
m
ቐ
𝜙8 c/ 7
𝜙10 c/ 12
𝜙12,5 c/ 19
f (mm) 8 10 12,5
As1 (cm2) 0,50 0,80 1,25
scalculado (cm) 7 12 < 13 19 > 13
Sadotado (cm) ---- 12 ----
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APLICAÇÃO TORÇÃOCORTANTE
Exemplo 1 Exemplo 2 Armadura de Suspensão Armadura de Costura
Exemplo 2
• Cálculo da armadura transversal (Estribo)
• Trecho central – Vk=80kN
𝑉𝑠𝑑 = 𝛾𝑓 ⋅ 𝑉𝑘 = 1,4 ⋅ 80 = 112 kN
𝑉𝑐 = 0,6 ⋅ 𝑓𝑐𝑡𝑑 ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 = 0,087 ⋅ 15 ⋅ 45 = 58,7 kN
𝐴𝑠𝑤
𝑠
=
𝑉𝑑 − 𝑉𝑐
0,9 ⋅ 𝑑 ⋅ 𝑓𝑦𝑑
=
112 − 58,7
0,9 ⋅ 0,45 ⋅ 43,5
= 3,0
cm2
m
𝐴𝑠𝑤
𝑠
= 3,0
cm2
m
ቐ
𝜙5 c/ 13
𝜙6,3 c/ 20
𝜙8 c/ 27
f (mm) 5 6,3 8
As1 (cm2) 0,20 0,315 0,50
scalculado (cm) 13 20 < 27 33 > 27
Sadotado (cm) ---- 12 ----
𝑉𝑠𝑑
𝑉𝑟𝑑2
=
112
343,7
= 0,33 < 0,67
∴ 𝑠𝑚á𝑥 = 0,6 ⋅ 𝑑 = 0,6 ⋅ 45 = 27𝑐𝑚 < 30𝑐𝑚
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APLICAÇÃO TORÇÃOCORTANTE
Exemplo 1 Exemplo 2 Armadura de Suspensão Armadura de Costura
Exemplo 2
Detalhamento
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APLICAÇÃO TORÇÃOCORTANTE
Exemplo 1 Exemplo 2 Armadura de Suspensão Armadura de Costura
Exemplo 2
Detalhamento alternativo
𝐴𝑠𝑤
𝑠
𝑚í𝑛
= 0,12% ⋅ 𝑏𝑤 = 0,12 ⋅ 15 = 1,8
cm2
m
𝐴𝑠𝑤
𝑠
𝑚í𝑛
= 1,8
cm2
m
=
𝑉𝑑 − 58,7
𝑘𝑁
0,9 ⋅ ถ0,45
𝑚
⋅ ถ43,5
𝑘𝑁/𝑐𝑚2
𝑉𝑑 = 1,8 ⋅ 0,9 ⋅ 0,45 ⋅ 43,5 + 58,7 = 90,4 kN
𝑉𝑘 =
90,4
1,4
= 64,6 ≅ 65 kN
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APLICAÇÃO TORÇÃOCORTANTE
Exemplo 1 Exemplo 2 Armadura de Suspensão Armadura de Costura
Armadura de Suspensão São armaduras necessárias nas regiões de apoios indiretos, 
viga sobre viga.
As cargas de V2 chegam na região 
inferior da V1, sendo necessário 
suspende-las.
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APLICAÇÃO TORÇÃOCORTANTE
Exemplo 1 Exemplo 2 Armadura de Suspensão Armadura de Costura
Armadura de Suspensão
Região para alojamento da armadura desuspensão.
Carga a suspender:
Rd - Carga da V2 sobre a V1.
Para este caso, a região de suspensão reduz-se a bw1 x bw2, 
ou seja, na região de encontro das duas vigas.
A armadura de suspensão 
não deve ser somada à armadura de cisalhamento, 
devendo-se adotar a maior armadura das duas na 
região definida para o alojamento da Asusp.
𝐴𝑠,𝑠𝑢𝑠𝑝 =
𝑅𝑠𝑢𝑠𝑝,𝑑
𝑓𝑦𝑑
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APLICAÇÃO TORÇÃOCORTANTE
Exemplo 1 Exemplo 2 Armadura de Suspensão Armadura de Costura
Armadura de Suspensão - Exemplo
Dimensionar as armaduras transversais verificando 
a suspensão, e o concreto.
Dados:
• Concreto C20 (fck = 20 MPa)
• Aço CA50 (fyk = 500 MPa)
• Viga V1 (15/70): bw=15cm, h=70cm e d=63cm
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APLICAÇÃO TORÇÃOCORTANTE
Exemplo 1 Exemplo 2 Armadura de Suspensão Armadura de Costura
Armadura de Suspensão - Exemplo
Verificação do concreto:
Cálculo da armadura:
𝑉𝑑,𝑚á𝑥 = 1,4 ⋅ 137,5 = 192,5 kN
𝑉𝑟𝑑2 = 0,27 ⋅ 0,92 ⋅
2,0
1,4
⋅ 15 ⋅ 63 = 335,3 kN
∴ 𝑉𝑑 < 𝑉𝑟𝑑2 − biela de compressão (ok!)
𝑉𝑑
𝑉𝑟𝑑2
= 0,57 < 0,67 ∴ 𝑠𝑚á𝑥 = 30 cm < 0,6 ⋅ 63 = 37,8 cm
𝑉𝑐 = 0,066 ⋅ 15 ⋅ 63 = 62,4 kN
Vd = 192,5 kN
𝐴𝑠𝑤
𝑠
=
192,5 − 62,4
0,9 ⋅ 0,63 ⋅ 43,5
= 5,3
cm2
m
Vd = 1,4x62,5 = 87,5 kN
𝐴𝑠𝑤
𝑠
=
87,5 − 62,4
0,9 ⋅ 0,63 ⋅ 43,5
= 1,0
cm2
m
∴
𝐴𝑠𝑤
𝑠
𝑚í𝑛
= 0,09 ⋅ 15 = 1,35
cm2
𝑚
Vd = 1,4x112,5 = 157,5 kN
𝐴𝑠𝑤
𝑠
=
157,5 − 62,4
0,9 ⋅ 0,63 ⋅ 43,5
= 3,9
cm2
m
(𝜙8 c/ 18)
(𝜙5 c/ 28)
(𝜙6,3 c/ 16)
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Solicitações Tangenciais
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APLICAÇÃO TORÇÃOCORTANTE
Exemplo 1 Exemplo 2 Armadura de Suspensão Armadura de Costura
Armadura de Suspensão - Verificação
Para a viga V2:
Distribuindo-se em um comprimento igual à altura da viga suporte;
𝑅𝑑 = 1,4 ⋅ 100 = 140 kN
𝐴𝑠𝑢𝑠𝑝 =
140
43,5
⋅
70
70
= 3,22 cm2
𝐴𝑠𝑢𝑠𝑝
ℎ
=
3,22
0,70
= 4,66 cm2
essa densidade é menor do que aquela requerida para a força cortante 
máxima, bastando adotar esta maior na região da suspensão.
Para a viga V3: como a carga chega abaixo da viga suporte, a mesma deve ser 
integralmente suspensa na região de encontro das duas vigas.
𝐴𝑠𝑢𝑠𝑝 =
1,4 ⋅ 100
43,5
= 3,2 cm2
(2 estribos 𝜙10 − 2 ramos)
Para a viga V4: distribuindo-se em um comprimento igual a 
altura da viga suporte:
𝐴𝑠𝑢𝑠𝑝 =
1,4 ⋅ 50
43,5
⋅
40
70
= 0,92 cm2
densidade essa coberta pela armadura mínima.
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APLICAÇÃO TORÇÃOCORTANTE
Exemplo 1 Exemplo 2 Armadura de Suspensão Armadura de Costura
Armadura de Costura – Mesa-Alma
෍ 𝐹𝑥 = 0
𝐶𝑑 ⋅ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑅𝑐𝑑 ⋅
𝑏1
𝑏𝑓
𝐶𝑑 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑅𝑐𝑑 ⋅
𝑏1
𝑏𝑓
𝐶𝑑 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑀𝑑
𝑧
⋅
𝑏1
𝑏𝑓
𝐶𝑑 =
𝑉𝑑
𝑧
⋅
𝑏1
𝑏𝑓
=
𝑉𝑓𝑑
𝑧
onde 𝑉𝑓𝑑 = 𝑉𝑑 ⋅
𝑏1
𝑏𝑓
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Exemplo 1 Exemplo 2 Armadura de Suspensão Armadura de Costura
Armadura de Costura – Mesa-Alma
Força no Tirante:
𝐹𝑡𝑓𝑑
= 𝐶𝑑 ⋅ 𝑎
Tensão na armadura do tirante:
𝜎𝑠𝑑 =
𝐹𝑡𝑓𝑑
𝐴𝑠𝑡𝑓
𝑠
⋅ 𝑎
=
𝐶𝑑 ⋅ 𝑎
𝐴𝑠𝑡𝑓
𝑠
⋅ 𝑎
=
𝑉𝑓𝑑
𝑧 ⋅
𝐴𝑠𝑡𝑓
𝑠
, impondo-se ssd ≤ fyd e z = 0,9.d:
𝑉𝑓𝑑
0,9 ⋅ 𝑑 ⋅
𝐴𝑠𝑡𝑓
𝑠
≤ 𝑓𝑦𝑑 ∴
𝐴𝑠𝑡𝑓
𝑠
≥
𝑉𝑓𝑑
0,9 ⋅ 𝑑 ⋅ 𝑓𝑦𝑑
Tensão nas bielas de compressão:
de modo a evitar o esmagamento do concreto nas escoras diagonais.
𝜎𝑐𝑑 =
𝐶𝑑 ⋅ 𝑎 2
ℎ𝑓 ⋅
𝑎
2
≤ 0,6 ⋅ 𝛼𝑣2 ⋅ 𝑓𝑐𝑑
𝑉𝑓𝑑
0,9 ⋅ 𝑑 ⋅ ℎ𝑓
≤ 0,3 ⋅ 𝛼𝑣2 ⋅ 𝑓𝑐𝑑
∴ 𝑉𝑓𝑑 ≤ 0,27 ⋅ 𝛼𝑣2 ⋅ 𝑓𝑐𝑑 ⋅ ℎ𝑓 ⋅ 𝑑
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Exemplo 1 Exemplo 2 Armadura de Suspensão Armadura de Costura
Armadura de Costura – Mesa-Alma
As mesmas expressões se aplicam ao caso das abas tracionadas:
onde :
𝑉𝑓𝑑 = 𝑉𝑑 ⋅
𝐴𝑠1
𝐴𝑠,𝑡𝑜𝑡
A armadura de costura deve estar ancorada na alma,
respeitando o valor mínimo de:
𝐴𝑠𝑡𝑓,𝑚í𝑛
𝑠
= 1,5
cm2
𝑚
A armadura de costura não precisa ser somada às 
armaduras de flexão, de mesas formadas por lajes, 
devendo-se adotar a maior das duas.
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Exemplo 1 Exemplo 2 Armadura de Suspensão Armadura de Costura
Armadura de Costura – Exemplo
Ligação Mesa - Alma:
• Verificação do concreto:
𝑉𝑓𝑑,𝑚á𝑥 ≤ 0,27 ⋅ 𝛼𝑣2 ⋅ 𝑓𝑐𝑑 ⋅ ℎ𝑓 ⋅ 𝑑
𝑉𝑓𝑑,𝑚á𝑥 = 𝑉𝑑 ⋅
𝑏1
𝑏𝑓
= 1,4 ⋅ 150 ⋅
42,5
100
= 89,3 kN
0,27 ⋅ 1 −
20
250
⋅
2,0
1,4
⋅ 10 ⋅ 70 = 248,4 kN ∴ ok!
• Armadura de costura:
𝐴𝑠𝑡𝑓
𝑠
=
𝑉𝑓𝑑
0,9 ⋅ 𝑑 ⋅ 𝑓𝑦𝑑
=
89,3
0,9 ⋅ 0,70 ⋅ 43,5
= 3,26
cm2
m
>
𝐴𝑠𝑡𝑓,𝑚í𝑛
𝑠
= 1,5
cm2
m
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Seção Vazada - Bredt Modelo Resistente Disposições Construtivas Exemplo
Resistência à TORÇÃO
O comportamento de barras prismáticas 
de concreto armado pode ser visualizado 
a partir do seguinte diagrama Momento 
de Torção x Rotação Relativa (T x q/l).
Nesse diagrama pode-se constatar que o momento de fissuração da seção vazada é inferior 
ao da seção cheia, embora os momentos últimos sejam iguais.
Conclui-se, dessa forma, que mesmo na seção cheia a região que mais contribui para a sua 
resistência última situa-se junto ao perímetro externo. 
Variando-se a rigidez efetiva de torção para seções
retangulares, de mesma área de concreto e mesma
armadura de torção, em função da relação entre seus
lados.
Pode-se notar que, variando a relação h/b entre 1 e 6, a
rigidez efetiva à torção e a resistencia são praticamente as
mesmas no estado limite último.
Estes resultados ajudam a comprovar que a resistência à
torção é obtida junto à capa externa da seção transversal
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Seção Vazada - Bredt Modelo Resistente Disposições Construtivas Exemplo
Resistência à TORÇÃO Assim, seções transversais serão tratadas sempre como seções vazadas, reais ou 
equivalentes, empregando-se para a determinação de suas tensões as expressões de Bredt, 
deduzidas para tubos de parede delgada.
• he 
espessura da parede real ou equivalente.
• Ae 
área limitada pelo eixo da parede de espessura he, 
incluindo a parte vazada.
No caso de seções poligonais convexas, a seção vazada 
equivalente é definida a partir da seção cheia com 
espessura da parede equivalente he dada por:
2 ⋅ 𝑐1 ≤ ℎ𝑒 ≤
𝐴
𝑢𝐴
• A – área da seção cheia.
• uA – perímetro da seção cheia.
• c1 – distância entre o eixo da barra longitudinal 
de canto, e a face externa da seção.
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Seção Vazada - Bredt Modelo Resistente Disposições Construtivas Exemplo
Torção de Saint Venant
Fórmula de Bredt
Considere-se a seção vazada de parede fina sujeita à torção de Saint Venant, figura abaixo.
A tensão de cisalhamento devida à torção pode ser considerada constante na espessura da 
parede.
𝜙𝑑 =
𝑇𝑑
2 ⋅ 𝐴𝑒
𝜏𝑑 =
𝑇𝑑
2 ⋅ 𝐴𝑒 ⋅ ℎ𝑒
• o fluxo das tensões de cisalhamento de torção f
(igual à resultante das tensões de cisalhamento
na espessura da seção vazada) é constante ao
longo do perímetro da seção.
• De fato, do equilíbrio longitudinal do elemento
de extensão dx tem-se:
𝜏𝑡1 ⋅ ℎ1 ⋅ 𝑑𝑥 = 𝜏𝑡2 ⋅ ℎ2 ⋅ 𝑑𝑥 = 𝜏𝑡 ⋅ ℎ ⋅ 𝑑𝑥 = 𝜙 ⋅ 𝑑𝑥
• Expressão de tt:
ර𝜏𝑡 ⋅ ℎ ⋅ 𝑑𝑠 ⋅ 𝑟 = ර𝜙 ⋅ 𝑟 ⋅ 𝑑𝑠 = 𝜙 ර𝑟 ⋅ 𝑑𝑠 = 𝜙 ⋅ 2 ⋅ 𝐴𝑒 = 𝑇
𝜙 =
𝑇
2 ⋅ 𝐴𝑒
ou 𝜏𝑡 =
𝜙
ℎ
=
𝑇
2 ⋅ 𝐴𝑒 ⋅ ℎ
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Seção Vazada - Bredt Modelo Resistente Disposições Construtivas Exemplo
Modelo de Treliça O modelo resistente para representar as paredes de concreto armado da seção vazada, 
está baseado em uma treliça espacial contida nas mesmas.
Assim, é possível determinarem-se os esforços nas barras dessa treliça de forma a prevenir 
os três possíveis modos de ruptura: 
• Insuficiência de armadura longitudinal;
• Insuficiência de estribos;
• Esmagamento do concreto nas escoras inclinadas.
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Seção Vazada - Bredt Modelo Resistente Disposições Construtivas Exemplo
Modelo de Treliça Em cada face tem-se: 
1. Força no estribo:
Força no estribo por unidade de comprimento:
2. Força na escora:
Tensão na escora:
3. Força total nas armaduras longitudinais:
onde u é o perímetro de Ae.
𝜙 ⋅ 𝑏
𝜙 ⋅ 𝑏
𝑏
= 𝜙
𝜙 ⋅ 𝑏 ⋅ 2
𝜙 ⋅ 𝑏 ⋅ 2
𝑏
2
⋅ ℎ𝑒
=
2 ⋅ 𝜙
ℎ𝑒
𝜙 ⋅ 2 𝑎 + 𝑏 = 𝜙 ⋅ 𝑢 ෍ 𝑅𝑠ℓ
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Seção Vazada - Bredt Modelo Resistente Disposições Construtivas Exemplo
Modelo de Treliça As expressões para o dimensionamento ficam: 
Armadura longitudinal 
• Força total nas armaduras longitudinais:
onde u é o perímetro de Ae.
𝜙 ⋅ 2 𝑎 + 𝑏 = 𝜙 ⋅ 𝑢 ෍ 𝑅𝑠ℓ
𝜙𝑑 ⋅ 𝑢 ≤ 𝐴𝑠ℓ ⋅ 𝑓𝑦𝑑
𝑇𝑑
2 ⋅ 𝐴𝑒
⋅ 𝑢 ≤ 𝐴𝑠ℓ ⋅ 𝑓𝑦𝑑
∴
𝐴𝑠ℓ
𝑢
=
𝑇𝑑
2 ⋅ 𝐴𝑒 ⋅ 𝑓𝑦𝑑
Armadura transversal
(estribos) 
• Força na escora:
Tensão na escora:
𝜙 ⋅ 𝑏 ⋅ 2
𝜙 ⋅ 𝑏 ⋅ 2
𝑏
2
⋅ ℎ𝑒
=
2 ⋅ 𝜙
ℎ𝑒
• Força no estribo:
Força no estribo / unid. comprimento:
𝜙 ⋅ 𝑏
𝜙 ⋅ 𝑏
𝑏
= 𝜙
𝜙𝑑 ≤
𝐴𝑠,90𝑜
𝑠
⋅ 𝑓𝑦𝑑
𝑇𝑑
2 ⋅ 𝐴𝑒
≤
𝐴𝑠,90𝑜
𝑠
⋅ 𝑓𝑦𝑑
∴
𝐴𝑠,90𝑜
𝑠
=
𝑇𝑑
2 ⋅ 𝐴𝑒 ⋅ 𝑓𝑦𝑑
Compressão diagonal do concreto
(biela de compressão) 
2 ⋅ 𝜙𝑑
ℎ𝑒
≤ 0,5 ⋅ 𝛼𝑣2 ⋅ 𝑓𝑐𝑑 →
2 ⋅ 𝑇𝑑
2 ⋅ 𝐴𝑒 ⋅ ℎ𝑒
≤ 0,5 ⋅ 𝛼𝑣2 ⋅ 𝑓𝑐𝑑
𝑇𝑑 ≤ 0,5 ⋅ 𝛼𝑣2 ⋅ 𝑓𝑐𝑑 ⋅ 𝐴𝑒 ⋅ ℎ𝑒
𝑇𝑑 ≤ 𝑇𝑟𝑑2
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Seção Vazada - Bredt Modelo Resistente Disposições Construtivas Exemplo
Modelo de Treliça
Armadura longitudinal 
𝐴𝑠ℓ
𝑢
=
𝑇𝑑
2 ⋅ 𝐴𝑒 ⋅ 𝑓𝑦𝑑
Estribos 
𝐴𝑠,90𝑜
𝑠
=
𝑇𝑑
2 ⋅ 𝐴𝑒 ⋅ 𝑓𝑦𝑑
Biela de compressão
𝑇𝑑 ≤ 0,5 ⋅ 𝛼𝑣2 ⋅ 𝑓𝑐𝑑 ⋅ 𝐴𝑒 ⋅ ℎ𝑒
𝑇𝑑 ≤ 𝑇𝑟𝑑2
𝑇𝑑 ≤ 𝑇𝑟𝑑4
𝑇𝑑 ≤ 𝑇𝑟𝑑3
NBR 6118 (2014)
Solicitações combinadas: M, V e T
• As armaduras obtidas para cada uma das solicitações devem ser somadas 
respeitando-se a distribuição de cada uma das parcelas localizadamente;
• Para a compressão diagonal do concreto devido a V e T, deve-se verificar:
• No banzo comprimido das peças fletidas, submetidas à torção, particularmente
no caso de seções celulares, as tensões principais de compressão devem ficar
limitadas a 0,85.fcd.
𝑉𝑠𝑑
𝑉𝑟𝑑2
+
𝑇𝑑
𝑇𝑟𝑑2
≤ 1
𝜏𝑑 =
𝑇𝑑
2 ⋅ 𝐴𝑒 ⋅ ℎ𝑒
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Seção Vazada - Bredt Modelo Resistente Disposições Construtivas Exemplo
Torção de Equilíbrio O momento de torção em vigas usuais de edifícios pode ser classificado em dois grupos:
• momento de torção de equilíbrio
• momento de torção de compatibilidade 
Torção de Equilíbrio Torção de Compatibilidade
A viga de concreto armado deve ser dimensionada para resistir integralmente
ao momento de torção de equilíbrio.
O momento de torção de compatibilidade que aparece junto ao cruzamento
das vigas (apoios indiretos) é, normalmente, pequeno e pode ser ignorado.
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Seção Vazada - Bredt Modelo Resistente Disposições Construtivas Exemplo
Disposições Construtivas
• Armaduras Transversais Mínimas:
𝜌𝑠𝑤,𝑚í𝑛 =
𝐴𝑠𝑤
𝑏𝑤 ⋅ 𝑠
≥ 0,2 ⋅
𝑓𝑐𝑡𝑚
𝑓𝑦𝑘
𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,3 ⋅ 𝑓𝑐𝑘
2/3
(MPa)
A taxa de armadura transversal, para o caso de estribos verticais
(a = 90o) e bielas de compressão inclinadas a 45o, é dada pela expressão:
fck (MPa) 20 25 30 35 40
rsw,mín (%) 0,09 0,10 0,12 0,13 0,14
av2 0,92 0,90 0,88 0,86 0,84
0,6.fctd (MPa) 0,66 0,77 0,87 0,96 1,05
• Diâmetro dos Estribos – ft :
• Espaçamento Longitudinal dos Estribos – s :
5 ≤ 𝜙𝑡 ≤
𝑏𝑤
10
(mm)
7 cm ≤ 𝑠 𝑡
≤
ൠ
20 cm
0,3 ⋅ 𝑑
𝑉𝑠𝑑
𝑉𝑟𝑑2
+
𝑇𝑑
𝑇𝑟𝑑2
> 0,67
ൠ
30 cm
0,6 ⋅ 𝑑
𝑉𝑠𝑑
𝑉𝑟𝑑2
+
𝑇𝑑
𝑇𝑟𝑑2
≤ 0,67
𝑏
𝑠ℓ ≤ 35 cm
Pelo menos uma barra em cada 
vértice das seções poligonais
Devem-se adotar para os estribos, quanto a 
bitola e espaçamento, as mesmas exigências 
feitas para o caso de força cortante.
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Seção Vazada - Bredt Modelo Resistente Disposições Construtivas Exemplo
Dimensionamento e detalhamento 
de uma viga submetida à torção
V1 (30/80)
10101010
(20/30)
P1 P2
(20/30)
10,0 m
14,6 kN/m
9,2 kN.m/m
engaste à torção nos dois apoios
182,573
7346
46
Mk
(kN.m)
Vk
(kN)
Tk
(kN.m)
30 200
<cm>
80
10
4,0 kN/m
2,15 m
carga na laje
pp = 0,10x25)
rev = 1,0
 p = 4,0 kN/m
sc = 0,5 
2
2,5 (
carga na viga
pp = 0,3x0,8x25)
(4,0x2,15)
 p = 14,6 kN/m
laje = 8,6 
6,0 (
8,6 kN
9,2 kN.m
• Dados:
▪ Classe de agressividade I
▪ c = 2,5 cm
▪ d = 72 cm (d = 0,9h)
▪ Concreto C25 (fck = 25 MPa)
▪ Aço CA50 (fyk = 50 kN/cm²)
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Seção Vazada - Bredt Modelo Resistente Disposições Construtivas Exemplo
Dimensionamento e detalhamento 
de uma viga submetida à torção
V1 (30/80)
10101010
(20/30)
P1 P2
(20/30)
10,0 m
14,6 kN/m
9,2 kN.m/m
engaste à torção nos dois apoios
182,573
7346
46
Mk
(kN.m)
Vk
(kN)
Tk
(kN.m)
30 200
<cm>
80
10
4,0 kN/m
2,15 m
carga na laje
pp = 0,10x25)
rev = 1,0
 p = 4,0 kN/m
sc = 0,5 
2
2,5 (
carga na viga
pp = 0,3x0,8x25)
(4,0x2,15)
 p = 14,6 kN/m
laje = 8,6 
6,0 (
8,6 kN
9,2 kN.m
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Seção Vazada - Bredt Modelo Resistente Disposições Construtivas Exemplo
Dimensionamento e detalhamento 
de uma viga submetida à torção
V1 (30/80)
10101010
(20/30)
P1 P2
(20/30)
10,0 m
14,6 kN/m
9,2 kN.m/m
engaste à torção nos dois apoios
182,573
7346
46
Mk
(kN.m)
Vk
(kN)
Tk
(kN.m)
30 200
<cm>
80
10
4,0 kN/m
2,15 m
carga na laje
pp = 0,10x25)
rev = 1,0
 p = 4,0 kN/m
sc = 0,5 
2
2,5 (
carga na viga
pp = 0,3x0,8x25)
(4,0x2,15)
 p = 14,6 kN/m
laje = 8,6 
6,0 (
8,6 kN
9,2 kN.m
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Dimensionamento e detalhamento 
de uma viga submetida à torção
V1 (30/80)
10101010
(20/30)
P1 P2
(20/30)
10,0 m
14,6 kN/m
9,2 kN.m/m
engaste à torção nos dois apoios
182,573
7346
46
Mk
(kN.m)
Vk
(kN)
Tk
(kN.m)
30 200
<cm>
80
10
4,0 kN/m
2,15 m
carga na laje
pp = 0,10x25)
rev = 1,0
 p = 4,0 kN/m
sc = 0,5 
2
2,5 (
carga na viga
pp = 0,3x0,8x25)
(4,0x2,15)
 p = 14,6 kN/m
laje = 8,6 
6,0 (
8,6 kN
9,2 kN.m
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Seção Vazada - Bredt Modelo Resistente Disposições Construtivas Exemplo
V1 (30/80)
10101010
(20/30)
P1 P2
(20/30)
10,0 m
14,6 kN/m
9,2 kN.m/m
engaste à torção nos dois apoios182,573
7346
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Mk
(kN.m)
Vk
(kN)
Tk
(kN.m)
30 200
<cm>
80
10
4,0 kN/m
2,15 m
carga na laje
pp = 0,10x25)
rev = 1,0
 p = 4,0 kN/m
sc = 0,5 
2
2,5 (
carga na viga
pp = 0,3x0,8x25)
(4,0x2,15)
 p = 14,6 kN/m
laje = 8,6 
6,0 (
8,6 kN
9,2 kN.m
Dimensionamento e detalhamento 
de uma viga submetida à torção
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Seção Vazada - Bredt Modelo Resistente Disposições Construtivas Exemplo
V1 (30/80)
10101010
(20/30)
P1 P2
(20/30)
10,0 m
14,6 kN/m
9,2 kN.m/m
engaste à torção nos dois apoios
182,573
7346
46
Mk
(kN.m)
Vk
(kN)
Tk
(kN.m)
30 200
<cm>
80
10
4,0 kN/m
2,15 m
carga na laje
pp = 0,10x25)
rev = 1,0
 p = 4,0 kN/m
sc = 0,5 
2
2,5 (
carga na viga
pp = 0,3x0,8x25)
(4,0x2,15)
 p = 14,6 kN/m
laje = 8,6 
6,0 (
8,6 kN
9,2 kN.m
Dimensionamento e detalhamento 
de uma viga submetida à torção
𝐴𝑠ℓ
8
=
9,86
8
= 1,23𝑐𝑚2 (8𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 ∴ 𝜙12,5)
𝐴𝑠,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ด8,3
(𝑀)
+ 2 ⋅ 1,25
(𝑇)
= 10,8𝑐𝑚2(6𝜙16)
Detalhamento
Na figura abaixo, resume-se o detalhamento da V1(30/80) submetida à 
momento de torção, força cortante e momento fletor. 
A armadura longitudinal para torção, considerando 8 barras 
distribuídas em todo perímetro, 
supondo por simplificação que todas as barras do meio vão chegam até 
o apoio, a armadura inferior total será: 
6 16f
6 12,5f
E 14f10c/
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