Geometria Espacial

Prévia do material em texto

Retomando o que aprendemos – Parte II
Matemática
1o bimestre – Aula 05 – Sequência Didática 1
Ensino Médio
2a
SÉRIE
2024_EM_B1_V1
Prismas e pirâmides: planificações e relações entre seus elementos (vértices, faces e arestas);
Figuras geométricas espaciais: reconhecimento, representações, planificações e características.
Relacionar o número de faces, vértices e arestas de prismas e pirâmides ao número de lados do polígono da base;
Resolver problemas que envolvam as relações dos elementos de prismas e pirâmides a suas bases.
Conteúdo
Objetivos
2024_EM_B1_V1
Habilidades BNCC:
(EF05MA16) Associar figuras espaciais a suas planificações (prismas, pirâmides, cilindros e cones) e analisar, nomear e comparar seus atributos.
(EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.
Em quais situações do dia a dia você imagina que os conhecimentos que adquirimos a respeito de figuras geométricas espaciais serão importantes?
5 MINUTOS
 Virem e conversem
2024_EM_B1_V1
Para começar
Vamos relembrar os principais elementos de um poliedro e as quantidades desses elementos em pirâmides e prismas.
		Quantidade de FACES	Quantidade de VÉRTICES	Quantidade de ARESTAS
	Pirâmides	n + 1	n + 1	2n
	Prismas	n + 2	2n	3n
Considerando que o polígono das bases das pirâmides e prismas possui n lados, temos:
Faces: polígonos que formam o poliedro;
Arestas: segmentos de reta de encontro de duas faces;
Vértices: pontos de encontro de três ou mais arestas.
2024_EM_B1_V1
Foco no conteúdo
Relação de Euler
Leonhard Euler(1707 - 1783) foi um importante estudioso das ciências, com significativos trabalhos publicados nas áreas de matemática, física, engenharia e astronomia. Um importante legado desse matemático suíço foi a chamada “Relação de Euler”, que relaciona a quantidade de vértices, arestas e faces de um poliedro. Essa relação é dada por: V - A + F = 2, onde V, A e F correspondem, respectivamente, às quantidades de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo. Os poliedros que satisfazem à Relação de Euler são chamados poliedros eulerianos.
Fonte: Aprender Sempre, 2022 (p. 118).
2024_EM_B1_V1
Foco no conteúdo
Veja os seguintes exemplos de poliedros eulerianos:
	Poliedro	Quantidade de Vértices (V)	Quantidade de Arestas (A)	Quantidade de Faces (F)	V - A + F
	Octaedro 
regular	6	12	8	6 - 12 + 8 = 2
	Pirâmide reta
quadrangular	5	8	5	5 - 8 + 5 = 2
	Prisma reto 
hexagonal	12	18	8	12 - 18 + 8 = 2
Relação de Euler
2024_EM_B1_V1
Foco no conteúdo
Verifique se um poliedro convexo com 14 vértices, 21 arestas e 9 faces é um poliedro euleriano.
Questão 1: 
Adaptado de: Aprender Sempre, 2022 (p. 118).
2024_EM_B1_V1
Na prática
Verifique se um poliedro convexo com 14 vértices, 21 arestas e 9 faces é um poliedro euleriano.
O poliedro será euleriano se V - A + F = 2.
Como 14 - 21 + 9 = 2, temos que o poliedro em questão é euleriano.
Correção
Adaptado de: Aprender Sempre, 2022 (p. 118).
2024_EM_B1_V1
Na prática
Vamos relembrar planificações de poliedros:
Vimos que planificação de uma figura geométrica espacial é uma representação plana de sua superfície, preservando as dimensões das faces. Lembre-se de que é preciso que a figura tenha encaixe ao dobrar.
2024_EM_B1_V1
Foco no conteúdo
Vamos relembrar planificações de corpos redondos:
Observação:
Esferas não podem ser planificadas.
Vimos que planificação de cilindros precisa ter dois círculos (que representam as bases) e um retângulo (que representa a sua lateral); já a de cones precisa ter um círculo (que representa a base) e um setor circular (que representa a sua lateral). Lembre-se de que é preciso que a figura tenha encaixe ao dobrar.
2024_EM_B1_V1
Foco no conteúdo
Questão 2: 
(Saresp – 2010) Num dado cúbico, ficam em faces opostas os números: 1 e 6, 2 e 5, 3 e 4. Observe as figuras dadas e responda quais representam planificações possíveis de um dado.
1 e 2.
1 e 3.
2 e 3.
1, 2 e 3.
Nenhuma.
Fonte: Saresp, 2010.
2024_EM_B1_V1
Na prática
Correção
Pintando da mesma cor as faces opostas das três figuras, temos:
Na planificação 2, as faces 1 e 3 irão se sobrepor, não formando um cubo.
Portanto, as planificações que satisfazem à condição pedida são a 1 e a 3.
Alternativa B.
Adaptado de: Saresp, 2010.
2024_EM_B1_V1
Na prática
Questão 3: (ENEM - 2012)
Questão 149 – Prova Azul – 2o dia 
Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas.
Fonte: Enem 2012, 2o dia, Caderno 7 - Azul, questão 149.
2024_EM_B1_V1
Aplicando
Questão 3: (ENEM - 2012)
Questão 149 – Prova Azul – 2o dia
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações?
Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.
Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.
Cone, tronco de pirâmide e pirâmide.
Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.
Cilindro, prisma e tronco de cone.
2024_EM_B1_V1
Aplicando
Correção
As formas espaciais formadas nas três planificações são:
Alternativa A.
Fonte: Enem 2012, 2o dia, Caderno 7 - Azul, questão 149.
Cilindro
Prisma de base pentagonal
Pirâmide
2024_EM_B1_V1
Aplicando
Relação de Euler;
Planificação de poliedros;
Planificação de corpos redondos.
2024_EM_B1_V1
O que aprendemos hoje?
LEMOV, Doug. Aula nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2023.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Aprender Sempre. Ensino Médio. São Paulo, 2022.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista. Ensino Médio. São Paulo, 2020.
2024_EM_B1_V1
Referências
Lista de imagens
Slide 13 –
Imagens da questão 149 da prova do Enem 2012, 2o dia - Caderno 7, Azul – Disponível em: https://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2012/dia2_caderno7_azul.pdf. Acesso em: 19 dez. 2023.
2024_EM_B1_V1
Referências
2024_EM_B1_V1
image1.png
image2.png
image3.png
image4.png
image5.png
image6.png
image7.png
image10.png
image11.png
image12.png
image13.png
image14.png
image15.png
image16.png
image17.gif
image18.gif
image19.gif
image20.png
image21.png
image22.png
image23.png
image24.png
image25.png
image26.png
image27.png
image28.png
image29.png
image30.png
image8.png
image9.png