Resumo Modelagem matemática aplicada às finanças

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Modelagem matemática aplicada às finanças
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AULA 01
TEMA 1 – CONCEITOS FINANCEIROS
TEMA 2 – JUROS
TEMA 3 – CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
TEMA 4 – CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
TEMA 5 – TAXAS
AULA 02
TEMA 1 – DESCONTO
TEMA 2 – DESCONTO SIMPLES
TEMA 3 – DESCONTO COMERCIAL x RACIONAL
TEMA 4 – DESCONTO COMPOSTO
TEMA 5 – TÍTULOS EQUIVALENTES
AULA 03
TEMA 1 – FLUXO DE CAIXA E CLASSIFICAÇÃO DE RENDAS 
TEMA 2 – MODELO BÁSICO DE RENDA
TEMA 3 – RENDA ANTECIPADA
TEMA 4 – RENDA DIFERIDA 
TEMA 5 – EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA
AULA 04
TEMA 1 – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
TEMA 2 – SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (PRICE)
TEMA 3 – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 
TEMA 4 – COMPARAÇÃO ENTRE OS SISTEMAS 
TEMA 5 – OUTROS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
AULA 05
TEMA 1 – CUSTO DE CAPITAL 
TEMA 2 – VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) 
TEMA 3 – ÍNDICE BENEFÍCIO OU CUSTO (IBC) 
TEMA 4 – TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR)
TEMA 5 – PERÍODO DE PAYBACK 
AULA 06
TEMA 1 – PROCESSO INFLACIONÁRIO 
TEMA 2 – ÍNDICES DE PREÇOS 
TEMA 3 – TAXAS 
TEMA 4 – VALORES MONETÁRIOS EM INFLAÇÃO 
TEMA 5 – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE TÍTULOS DE RENDA FIXA 
CONCEITOS
A Matemática Financeira está presente no nosso cotidiano e precisamos entender os principais conceitos das operações financeiras para tomar decisões mais assertivas.
Capital é conhecido como:
· Principal;
· Valor atual;
· Valor presente;
· Valor aplicado.
· Valor da dívida "hoje".
Montante é conhecido como:
· Valor futuro;
· Valor "lá na frente".
Juros: é uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital financeiro, por determinado tempo, a uma taxa previamente combinada.
Podemos dizer que o montante (M) é igual ao capital (C) mais os juros (J).
M = C + J
TAXAS
O cálculo do juro sempre utiliza uma taxa que é um percentual que se aplica sobre o capital o qual incidem juros. Podemos considerar a Taxa Equivalente, a Taxa Nominal, Taxa Efetiva, Taxa Aparente e a Taxa Real.
 
Taxa Nominal: o prazo de formação e incorporação dos juros ao capital inicial NÃO coincide com aquele a que a taxa se refere.
ATENÇÃO! Em matemática financeira, a palavrinha "nominal" geralmente se refere a valores que estão escritos em algum documento, que estão formalizados no papel.
Taxa Efetiva: o prazo de formação e incorporação dos juros ao capital inicial coincide com aquele a que a taxa se refere.
Taxa equivalente: duas ou mais taxas são equivalentes se, ao mantermos constantes o capital e o prazo de aplicação do capital, o montante resultante da aplicação for o mesmo, quaisquer que sejam os períodos de capitalização. Para a determinação da taxa equivalente, em capitalização composta, utilizamos a fórmula:
Em que:
iq = taxa que eu quero
it = taxa que eu tenho
q = tempo da taxa que eu quero
t = tempo da taxa que eu tenho
Taxa Real: leva em consideração os efeitos inflacionários do período.
Taxa Aparente: utilizada SEM levar em conta a inflação do período.
TAXA NOMINAL X EFETIVA X EQUIVALENTE
· Taxa nominal: aquela que aparece por escrito em algum documento. É aquela que consta de contratos, de títulos, etc. O período da taxa é DIFERENTE do período de capitalização. As questões geralmente anunciam da seguinte forma, por exemplo: 24% a.a/mês, ou seja, 24% ao ano, capitalizados mensalmente.
· Taxa efetiva: é a taxa “para valer”, a taxa ‘de verdade’, a taxa que pode ser usada nas fórmulas para achar o montante. Para transformá-la em Taxa Efetiva basta fazer a taxa proporcional, de forma que o período da taxa se iguale ao período da capitalização, como por exemplo: a taxa de 24% ao ano, capitalizados mensalmente, significa que, como 1 anos tem 12 meses, pegamos o valor da taxa (24%) e dividimos por 12 (para obter o proporcional mensal), logo Taxa Efetiva = 2% ao mês. Outro exemplo: 18% ao ano capitalizados bimestralmente. Bom, 1 ano tem 6 bimestres, logo 18% dividido por 6 = 3% ao bimestre.
· Finalmente, para descobrir a Taxa Equivalente, basta pegar a Taxa Efetiva e “jogar” na fórmula de juros compostos. Pegando o segundo exemplo anterior, qual seria a Taxa Equivalente anual? Bom, pegamos a efetiva (3% ao bimestre) e como 1 ano tem 6 bimestres, t = 6, logo IEQUIVALENTE = (1+0,03)6 = 1,036 = 1,1940, ou seja, 19,4% ao ano.
Em suma, a ordem de resolução é:
JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS
	
	Juros simples
	Juros compostos
	Montante
	M = C (1 + ni)
	M = C (1 + i)n
Na CAPITALIZAÇÃO SIMPLES, o juro é calculado sempre sobre o capital inicial, ou seja, é calculado sobre o capital emprestado ou aplicado sendo produzido unicamente por este capital.
No JURO COMPOSTO, no fim de cada período, o juro é somado ao capital constituído no início, para produzirem novos juros no período seguinte, ou seja, o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.
EXEMPLO 1
Em uma operação de JURO COMPOSTO o juro é somado ao capital constituído no início, para produzirem novos juros no período seguinte, ou seja, o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. Considere um capital de R$ 500,00 que foi aplicado durante oito meses à taxa de 5% ao mês produzindo um montante de R$739,00. O valor dos juros compostos produzidos nesta operação é de:
C = 500
M = 739
Logo:
M = C + J
739 = 500 + J
J = 739 – 500
J = 239
EXEMPLO 2
Um perito contador precisa calcular os juros moratórios sobre uma verba em liquidação de sentença no valor de R$ 96.000,00. O juiz determinou a incidência de JUROS SIMPLES de 0,5% ao mês, no período de 1/2/2021 a 30/9/2021.
Nessa hipótese, considerando-se o mês comercial de 30 dias, o total de juros será de:
O total de juros, na metodologia de CAPITALIZAÇÃO SIMPLES, é:
J = C * i * n
J = 96.000 * 0,005 * 8
J = 3.840
O total de juros, na metodologia de CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA, é:
M = C * (1 + i)n
M = 96.000 * (1 + 0,005)8 
M = 96.000 * 1,040707
M = 99.907,88
J = M – C
J = 99.907,88 – 96.000 
J = 3.907,88
EXEMPLO 3
O valor disponível no final de uma operação recebe o nome de Montante ou Valor Futuro, desta forma, o montante é obtido pela soma do capital ao juro. Com base nesta afirmação, qual será o montante acumulado em três anos, a uma taxa de JURO SIMPLES de 3% ao mês, a partir de um capital de R$ 2.000 sabendo que neste período a aplicação rendeu R$ 2.160?
Temos o valor do Capital e o Juro:
C = 2.000
J = 2.160
Aplicando a fórmula M = C + J, encontramos:
M = 2.000 + 2.160
M = 4.160
EXEMPLO 4
A capitalização se refere à incorporação de juros a uma quantia principal para determinar seu valor futuro. O valor futuro disponível no final do período recebe também o nome de montante e é obtido pela soma do capital ao juro. Considerando a afirmação, qual será o capital necessário para obter um montante de R$ 200.000 daqui a seis anos, a uma taxa de JURO SIMPLES de 25% ao ano sabendo que o juro acumulado no período foi de R$ 120.000?
Temos o valor do Montante e o Juro:
M = 200.000
J = 120.000
Aplicando a fórmula M = C + J, encontramos:
200.000 = C + 120.000
C = 200.000 – 120.000
C = 80.000
EXEMPLO 5
Na CAPITALIZAÇÃO SIMPLES o juro é calculado sobre o capital inicial, sendo produzido unicamente por este capital. Considerando a capitalização simples, qual o juro de um capital de R$ 500, à taxa de 2% ao mês durante 1 ano e 3 meses?
O enunciado fornece o valor do Capital, taxa e período para o cálculo do Juro. Primeiramente será necessário deixar o período na mesma unidade da taxa, ou seja, deixar o período em meses:
1 ano e 3 meses = 12 meses + 3 meses = 15 meses
Realizar o cálculo do juro:
J = C * i * n
J = 500 * 0,02 *15
J = 150
EXEMPLO 6
O regime de capitalização é que determina a forma de se acumularem os juros, se a taxa incidir sobre o capital mais os juros acumulados anteriormente tem uma CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA. Considerando as operações de capitalização composta, assinale a alternativa que apresenta o montante produzido por um capital de R$ 3.000 aplicados a 2% ao mês durante 2 anos, sabendo que durante este período ocorreu juro de R$ 1.825,31.
O enunciado fornece o juro produzido e o capital, assim para encontraro montante consideramos o seguinte cálculo:
C = 3000
J = 1825,31
M = C + J
M = 3000 + 1825,31
M = 4.825,31
EXEMPLO 7
JUROS COMPOSTOS são os rendimentos produzidos por um capital em determinado tempo, calculados sobre o capital mais os juros acumulado, ou seja, juros sobre juros. Considerando os conceitos de juros compostos, determine o capital aplicado à taxa de 3,5% ao mês, sabendo que após oito meses rendeu um montante de R$ 19.752 e produziu juros de R$ 4.752.
Para encontrar o capital consideramos os seguintes dados:
M = 19.752
J = 4.752
Logo:
M = C + J
19.752 = C + 4.752
C = 19.752 – 4.752
C = 15.000
DESCONTO RACIONAL SIMPLES X DESCONTO COMERCIAL SIMPLES
Fórmula do desconto racional simples: Dr = n * i * A
Fórmula do desconto comercial simples: Dc = N * i * n
Nos dois casos temos o percentual i × n incidindo sobre determinada base de cálculo. O que muda de um caso para o outro é a base de cálculo utilizada. No desconto racional a base de cálculo é o VALOR ATUAL (A). No desconto comercial a base de cálculo é o VALOR NOMINAL (N).
Note que, fixado o valor nominal, fixada a taxa de desconto e fixado o número de períodos, temos o seguinte: como no desconto comercial a base de cálculo é maior, seu resultado sempre será maior que o desconto racional.
Desconto comercial > Desconto racional
Dc > Dr, logo Vc < Vr
ATENÇÃO! O desconto comercial NÃO guarda correspondência com os juros do período. Essa característica é exclusiva do desconto racional.
Desconto racioNal → desconto por deNtro → base de cálculo é o VALOR ATUAL (A)
Desconto comeRcial → desconto por foRa → base de cálculo é o VALOR NOMINAL (N)
Valor descontado = valor atual. 
Desconto = juros.
	
	Regime simples
	Regime composto
	Montante
	M = C (1 + ni)
	M = C (1 + i)n
	Desconto racional (desconto por dentro)
	A = 
	A = 
	Desconto comercial (desconto por fora)
	A = N (1 – ni)
	A = N (1 – i)n
D = N – A
N:
· Valor nominal
· Valor de face
· Valor futuro
· Valor original
A:
· Valor atual
· Valor presente
· Valor líquido
· Valor descontado
· Valor recebido
M: montante final
C: é o capital inicial
PV: valor presente (ou valor atual)
N: valor futuro (ou valor nominal)
i: é a taxa de juros (ex: se a taxa for 1%, então i = 0,01)
t: é o tempo. Lembrando que o tempo deve estar na mesma unidade da taxa. Ex: se a taxa for 5% ao trimestre, o tempo deve estar em trimestres. Dessa forma, se o período de aplicação for de 1 ano, t = 4, já que temos 4 trimestres em 12 meses.
ATENÇÃO!
Juros simples e desconto racional simples se correspondem.
Juros compostos e desconto racional composto se correspondem.
EXEMPLO 1
O DESCONTO SIMPLES COMERCIAL é conhecido como desconto “por fora” ou bancário e é calculado aplicando uma taxa de desconto simples (i) sobre o valor nominal (N), considerando um prazo de antecipação do pagamento (n). Com base na definição, qual o desconto comercial de um título de R$ 220,00 resgatado 3 meses antes do vencimento, à taxa de 1,5% a.m?
Dc = N * i * n
Dc = 220 * 0,015 *3
Dc = 9,9
EXEMPLO 2
O DESCONTO COMERCIAL é determinado aplicando-se uma taxa de desconto sobre o valor nominal de um título. Considerando um título resgatado quatro meses antes do vencimento, por DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO, a uma taxa de 1,95% a.m, qual o valor nominal do título sabendo que o valor do resgate foi de R$ 11.091,02 e o desconto de R$ 908,98?
Dc = N – Vc
N = Vc + Dc
N = 11.091,02 + 908,98
N = 12.000
EXEMPLO 3
O desconto pode ser calculado considerando como capital o valor nominal ou valor atual de um título. Quando aplicamos uma taxa de desconto sobre o valor nominal do título temos o desconto comercial. Uma pessoa possui uma dívida de R$ 5.000,00 e quer quitar quatro meses antes do vencimento, considerando que o banco utiliza o DESCONTO COMERCIAL SIMPLES com uma taxa de 1,5% a.m. Calcule o desconto obtido pela antecipação.
Dc = N * i * n
Dc = 5000 * 0,015 * 4
Dc = 300
RENDAS
As rendas podem ser classificadas segundo vários critérios: duração da renda, variação dos elementos, valor dos termos, periodicidade dos pagamentos, vencimento e início dos pagamentos.
Quanto ao PRAZO, as rendas podem ser:
· Temporárias: a duração é limitada, o número dos termos que compõe a renda é finito, possui um prazo final. Por exemplo, um financiamento de 12 prestações iguais;
· Perpétuas: a duração é ilimitada, o número de períodos que compõe a renda é infinito, por exemplo, seguros de vida e aposentadoria.
Quanto ao VALOR, as rendas são classificadas como:
· Constantes: todos os pagamentos, recebimentos, saques ou depósitos possuem valores iguais, por exemplo, um financiamento que possui 12 prestações iguais de R$ 500;
· Variáveis: todos os pagamentos, recebimentos, saques ou depósitos não possuem valores iguais. Se um dos pagamentos for de valor diferente dos demais, a renda é variável, por exemplo, realizo depósitos diferentes em uma poupança, sendo no 1º mês R$ 200, no 2º mês R$ 500 e no 3º mês R$ 800.
Considerando a PERIODICIDADE, as rendas podem ser classificadas em:
· Periódicas: quando a periodicidade entre os pagamentos, recebimentos, saques ou depósitos são iguais. Por exemplo, pagamentos mensais, semestrais ou anuais;
· Não periódicas: quando a periodicidade entre os pagamentos, recebimentos, saques ou depósitos não são iguais entre si. O intervalo entre dois períodos consecutivos é variável.
Quanto à FORMA DE PAGAMENTO ou de RECEBIMENTO, temos:
· Imediatas: o primeiro pagamento, recebimento, saque ou depósito ocorre no primeiro período, podendo ser:
· Postecipado: quando a ocorrência é no final do período, ou seja, SEM ENTRADA. Por exemplo, uma compra financiada em três pagamentos mensais, ocorrendo o primeiro pagamento 30 dias após a compra ou ainda as compras realizadas no cartão de crédito onde o pagamento ocorrerá após o vencimento do cartão;
· Antecipado: quando a ocorrência é no início do período, ou seja, COM ENTRADA sendo que o valor da entrada é igual ao valor das demais parcelas. Por exemplo, uma compra financiada em três pagamentos mensais, ocorrendo o primeiro pagamento no ato da compra (1 + 2).
· Diferidas: o primeiro pagamento, recebimento, saque ou depósito não ocorre no primeiro período, havendo, um prazo de carência. Por exemplo, realizamos uma compra hoje e os pagamentos terão início após 120 dias. As rendas diferidas podem ser:
· Postecipada: quando o primeiro pagamento ocorre UM PERÍODO APÓS O TÉRMINO DA CARÊNCIA;
· Antecipada: quando o PRIMEIRO PAGAMENTO COINCIDE COM O FINAL DA CARÊNCIA. Exemplo: um financiamento foi realizado em 10 prestações mensais, iguais a R$ 500, com uma carência de dez meses sendo utilizada uma taxa de 2,55% ao mês e as prestações vencendo no início do intervalo → na renda diferida antecipada a primeira parcela vence justamente com a carência. Considerando o financiamento temos uma renda diferida, pois ocorre a carência de 10 meses e é antecipada com as prestações vencendo no início do intervalo.
EXEMPLO DE RENDAS
Renda Postecipada (Modelo Básico de Renda): 
· Um produto foi comprado em 10 prestações iguais a R$ 400, vencíveis mensalmente, sendo o pagamento a partir do primeiro mês, com taxa de juro composto de 2% ao mês.
· Um produto é vendido considerando 30% de entrada e o saldo financiado em 12 prestações mensais e iguais sendo a primeira prestação vencendo um mês após a compra, considerando a taxa de 1,25% a.m.
· Renda pode ser definida como um valor utilizado sucessivamente para formar um capital ou pagar uma dívida. Uma pessoa contratou um empréstimo a ser pago em 15 prestações mensais de R$ 800,00 cada, sendo o pagamento a partir do primeiro mês.
Modelo básico de Renda quando a renda é temporária, constante, imediata, postecipada e periódica.
Renda Antecipada: Um produto é anunciado em 12 prestações mensais iguais de R$ 800, sendo que o primeiro pagamento ocorrerá no ato da compra, considerando uma taxa de juro de 2,5% ao mês.
Renda Diferida: Um produto foi financiado em quatro pagamentos mensais no valor de R$ 3.000,00 com CARÊNCIA de 2 meses e uma taxa de juros de 3% a.m.
ATENÇÃO!Nos casos onde temos uma entrada diferente das parcelas consideramos o financiamento como postecipado.
EQUIVALÊNCIA DE FLUXO DE CAIXA
· Para avaliarmos a equivalência entre fluxos de caixa precisamos calcular o valor atual de cada fluxo e avaliar se os resultados são iguais.
· Se os fluxos possuem o mesmo valor atual, a uma taxa de juros, os seus montantes após n períodos serão necessariamente iguais.
· A equivalência de fluxo de caixa depende da taxa de juro e, se dois fluxos são equivalentes a certa taxa, essa equivalência deixará de existir se a taxa for alterada.
FONTES DE CAPITAL
A empresa possui duas fontes de obtenção de capital, podendo utilizar o capital próprio e/ou capital de terceiros.
· O capital próprio é representado pelos investimentos realizados pelos próprios sócios ou acionistas.
· Como a empresa utiliza essas duas fontes de obtenção de capital são necessários realizar investimentos que forneçam rentabilidade SUPERIOR ao custo médio das fontes de recurso, ou seja, rentabilidade SUPERIOR ao custo médio ponderado do capital.
· Os sócios, ao destinar recursos à empresa, exigem uma rentabilidade que chamamos de custo do capital próprio.
· O capital de terceiros possui origem em outras fontes como empréstimos bancários e geram um custo do capital de terceiros.
SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (PRICE)
No Sistema Francês de Amortização, o empréstimo é amortizado com pagamentos constantes, no fim de cada período. Esses pagamentos são constituídos dos juros sobre o saldo devedor e uma quota de amortização. Como temos pagamentos constantes, para encontrar a quota da amortização será necessário subtrair a prestação do juro a ser pago em cada período. 
Para calcular o valor das prestações utilizamos a fórmula do modelo básico de renda:
QUESTÃO 1
Com base na afirmação, considere um empréstimo de R$ 10.000 que deve ser amortizado em três anos com juro mensal de 20% e uma prestação mensal de R$ 4.747,25. Calcule a quota de amortização a ser paga no primeiro período.
Para encontrar o valor da amortização será necessário calcular primeiro o valor do juro para o primeiro período, assim:
Juro = saldo devedor (sd) x taxa (i)
Juro = 10.000 x 20% = 2.000
Com o juro e o valor da prestação encontramos a amortização do primeiro período:
Amortização = prestação (p) – juro (J)
Amortização = 4.747,25 – 2.000 = 2.747,25
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO SAC
Amortização é a forma como uma dívida será saldada, conforme as regras estabelecidas entre as partes contratantes da operação, assim um sistema de amortização é um plano de pagamento de uma dívida. Considerando a afirmação e os conceitos envolvendo o sistema de amortização SAC, analise as seguintes afirmações:
· No início, as prestações são mais altas e tendem a baixar até o final da operação.
· O valor referente à amortização do principal é igual em cada prestação.
· Os juros e o valor das prestações variam ao longo do tempo.
· O saldo devedor decresce linearmente até sua extinção na última prestação.
· Os juros decrescem em função do saldo devedor, que diminui a cada pagamento realizado.
Para encontrar o valor da amortização, dividimos o valor principal da dívida (capital) pelo número de prestações (n) consideradas na transação, assim:
A = 
QUESTÃO 1
No sistema SAC o valor referente à amortização do principal é igual em cada prestação, assim, os juros e o valor total das prestações é que variam ao longo do tempo. O juro a ser cobrado será calculado sempre sobre o saldo devedor pelo critério de capitalização composta. Considerando um empréstimo de R$ 60.000,00 que deve ser devolvido de acordo com o sistema SAC em 120 prestações mensais à taxa de juros de 1% ao mês. Calcule o juro que será pago na primeira prestação.
SAC X PRICE
Quando comparamos os sistemas de amortização SAC e PRICE, mesmo apresentando prestações diferentes, tanto no que se refere ao seu valor total como na sua composição entre juros e amortização, os sistemas são ditos equivalentes:
Quando descontados na mesma taxa, por um mesmo período produzem o mesmo valor presente, que deverá ser igual ao valor do financiamento.
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Um sistema de amortização é um plano de pagamento de uma dívida podendo assumir diferentes formas, assim amortizar é devolver o capital que se tomou emprestado.
· O valor a ser pago a cada prestação deve considerar a restituição do capital principal e o juro.
· O juro a ser cobrado será calculado sempre sobre o saldo devedor pelo critério de capitalização composta.
· As prestações são a soma da parcela da amortização mais a parcela do juro cobrado.
· Após o pagamento da prestação, devemos atualizar o saldo devedor reduzindo deste saldo somente a parcela da amortização.
Um sistema de amortização é um plano de pagamento de uma dívida podendo assumir diferentes formas.
· No Sistema Americano o capital principal é pago somente no final do empréstimo, na última prestação.
· Pelo Sistema Alemão (SAI), também chamado sistema dos juros antecipados, o devedor paga os juros do primeiro período no ato do empréstimo e, no fim desse período, a primeira quota de amortização juntamente com os juros do segundo período.
· O sistema alemão é parecido com o sistema Price, o que muda é a forma de considerar os juros em cada período.
· No Sistema de Amortização Misto os pagamentos constituem a média aritmética dos pagamentos pelos Sistemas Price e SAC.
· Price = prestação constante;
· SAC = Amortização constante;
· Americano = pagamento apenas dos juros e na última prestação o saldo devedor;
· Misto = média aritmética dos pagamentos dos sistemas SAC e PRICE;
· Alemão = pagamento de juros antecipados.
VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL)
Para um projeto ou investimento ser considerável viável, o retorno obtido deve, no mínimo, ser superior ao rendimento de uma aplicação de baixo risco. Dentre as diversas técnicas para análise de investimentos podemos utilizar o Valor Presente Líquido (VPL).
· VPL é o cálculo que traz para o dia zero cada valor futuro de uma série de pagamentos, sendo que do somatório desses valores, deduz-se o valor do investimento a ser feito.
· O VPL é a fórmula matemático-financeira utilizada para determinar o valor presente de pagamentos futuros descontados a uma taxa de juros estipulada menos o custo do investimento inicial.
· VPL Nulo (VPL = 0): o investimento deverá ser analisado, pois possui exatamente a TMA.
· É o cálculo de quanto os futuros pagamentos, somados a um capital inicial, estariam valendo atualmente.
· VPL Positivo (VPL > 0): investimento viável, ou seja, cobrirá o investimento inicial e a remuneração mínima exigida pelo investidor. Temos que o investimento analisado é mais rentável que a aplicação alternativa da TMA.
QUESTÃO 1
Quando estamos na dúvida em investir ou não em determinado projeto podemos estimar a rentabilidade do negócio calculando o Valor Presente Líquido que demostra o quanto os futuros pagamentos, somados a um capital inicial, estariam valendo atualmente. Com base na afirmação, considere que uma empresa precisa analisar dois projetos e para escolher decidiu calcular o VPL obtendo dos seguintes resultados:
Projeto 1: VPL = 24.180
Projeto 2: VPL = - 25.000
Resposta: a empresa deve investir no projeto 1, pois apresenta um resultado positivo.
VPL Positivo (VPL > 0): investimento viável, ou seja, cobrirá o investimento inicial e a remuneração mínima exigida pelo investidor.
VPL Negativo (VPL < 0): investimento inviável, ou seja, é mais rentável aplicar na TMA do que no investimento proposto.
QUESTÃO 2
O Valor Presente Líquido determina o valor presente de pagamentos futuros descontados a uma taxa de juros estipulada menos o custo do investimento inicial. Para o cálculo do valor presente das entradas e saídas de caixa é utilizada a TMA (Taxa Mínima de Atratividade) como taxa de desconto. Com base na afirmação, considere uma empresa que possui duas opções de investimentos e considerando uma TMA de 10% a.a calculou o VPL obtendo os seguintes resultados:
Projeto 1: VPL = 11.071,01
Projeto 2: VPL = 10.924,40
Resposta: Aempresa deve investir no projeto 1, pois apresenta um resultado melhor que o projeto 2.
VPL Positivo (VPL > 0): investimento viável, ou seja, cobrirá o investimento inicial e a remuneração mínima exigida pelo investidor. A melhor alternativa de investimento será aquela que fornecer a maior diferença positiva entre os valores atuais das receitas e das despesas.
TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR)
A taxa interna de retorno é uma metodologia para analisar investimentos voltada para a variável taxa, assim buscamos a taxa de desconto que iguala os fluxos ao valor inicialmente investido. 
· A TIR é a taxa que torna o VPL igual à zero, ou seja, é a taxa que zera o investimento.
· Uma alternativa de investimento é considerada vantajosa quando a taxa de retorno é maior que a taxa mínima de atratividade (TMA).
· Taxas de desconto menores que a TIR produzem um VPL positivo e as taxas maiores que a TIR tornam o VPL negativo.
PAYBACK
Payback é um indicador que calcula o tempo que o investimento inicial leva para ser recuperado e quando temos um fluxo de caixa constante o tempo será calculado dividindo o investimento inicial pelo valor das entradas. 
QUESTÃO 1
Calcule o Payback de um projeto com investimento inicial de R$ 170.000,00 que possui o seguinte fluxo de caixa anual:
Quando temos um fluxo de caixa constante o Payback será calculado dividindo o investimento inicial pelo valor das entradas, assim:
QUESTÃO 2
Payback é o tempo de retorno de um investimento, ou seja, o tempo que o investimento inicial leva para ser recuperado. Considere uma empresa que pretende adquirir um novo equipamento que custa R$ 150.000 sendo que o equipamento deve gerar cerca de R$ 5.000 mensais em receita com os novos serviços que serão oferecidos. Calcule em quanto tempo a empresa irá recuperar o investimento inicial.
RESUMO DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
· VPL = considera o investimento inicial e uma série de fluxo de caixa futuro para calcular quanto vale o investimento atualmente.
· IBC = indica o retorno para cada R$ 1,00 investido em um determinado projeto.
· TIR = taxa de desconto que faz com que o VPL seja igual à zero.
· Payback = tempo que o investimento inicial leva para ser recuperado.
INFLAÇÃO DE CUSTOS X DEMANDA
A inflação é o aumento do custo de vida do consumidor resultante da elevação dos preços e da desvalorização da moeda, esse aumento possui várias causas podendo ser uma inflação de demanda ou uma inflação de custos.
· O aumento dos preços de bens e serviços causados pela alta nos custos de produção é ocasionado pela INFLAÇÃO DE CUSTOS.
· A INFLAÇÃO DE DEMANDA ocorre quando há excesso de demanda agregada em relação à produção disponível, ou seja, os preços sobem por conta da alta procura.
TAXA DE INFLAÇÃO
A inflação é o aumento geral e contínuo dos preços de produtos e serviços em determinado período de tempo e para medir essa mudança é utilizado um índice de preço. Com a evolução dos índices é avaliado como os preços gerais da economia variaram no período e calculado a taxa de inflação a partir da relação do índice ocorrida no período de cálculo com o período anterior.
I = – 1
A taxa de inflação para o mês de janeiro é:
ÍNDICES DE INFLAÇÃO
Os índices de inflação influenciam o nosso planejamento financeiro, pois demonstram as variações de preços e ajudam na definição de objetivos monetários para manter o nosso poder de compra.
· IPCA (Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo): utilizado pelo governo federal como o índice oficial de inflação do Brasil, servindo de referência para as metas de inflação e para as alterações na taxa de juros.
· INPC (Índice Nacional de Preços ao Consumidor): mede a variação do custo de vida médio apenas de famílias com renda mensal de 1 a 5 salários mínimos. 
· IPA (Índice de Preços ao Produtor Amplo): voltado ao produtor e avalia o aumento de preços dos produtos do agronegócio e indústrias no setor atacadista. Este índice registra as variações de preços de produtos agropecuários e industriais nas transações interempresariais.
· INCC (Índice Nacional de Custo da Construção): demonstra a variação de custos dos insumos utilizados em obras habitacionais.
· IGP (Índice Geral de Preços): formado pela média ponderada de três índices de preço o IPA (Índice de Preços ao Produtor Amplo) com um peso de 60%, IPC (Índice de Preços ao Consumidor) com um peso de 30% e o INCC (Índice Nacional de Custo da Construção) com um peso de 10%.
IPCA (ÍNDICE NACIONAL DE PREÇOS AO CONSUMIDOR AMPLO)
Leia o trecho a seguir:
“O Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (IPEA) elevou a expectativa para o Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) de 2021, que passou de 5,9% para 8,3%. O instituto informou que a inflação segue pressionada pela desvalorização cambial, alta dos preços internacionais das commodities e pela crise hídrica.”
Fonte: https://exame.com/economia/ipea-eleva-previsao-para-inflacao-de-2021-de-59-para-83/
· O índice leva em conta não apenas a variação de preço de cada item, mas também o peso que ele tem no orçamento das famílias.
· O índice é utilizado no sistema de metas para a inflação considerado o oficial pelo governo federal.
· Mede a variação de preços de uma cesta de produtos e serviços consumida pela população, mostrando se os preços aumentaram ou diminuíram de um mês para o outro.
· O IPCA aponta a variação do custo de vida médio de famílias com renda mensal de 1 a 40 salários mínimos, atingindo uma parcela maior da população.
ÍNDICE GERAL DE PREÇOS (IGP)
“O Índice Geral de Preços – Mercado (IGP-M) caiu 0,64% em setembro, após alta de 0,66% no mês anterior. Com este resultado o índice acumula alta de 16,00% no ano e de 24,86% em 12 meses. Em setembro de 2020, o índice havia subido 4,34% e acumulava alta de 17,94% em 12 meses.”
Fonte: https://portal.fgv.br/noticias/igpm-setembro-2021
· O índice é formado pela média ponderada de três índices de preço: IPA, IPC e o INCC.
· Este índice é apresentado em três versões: IGP-DI (Índice Geral de Preços – Disponibilidade Interna) que é calculo do primeiro ao último dia do mês, IGP-M (Índice Geral de Preços – Mercado) calculado do dia 21 ao dia 20 do mês seguinte e o IGP-10 que mede do dia 11 ao dia 10 do mês seguinte.
· O índice é usado para ajuste anual de contratos de aluguel, energia elétrica, escolas, alguns tipos de seguros e planos de saúde.
RELAÇÃO ENTRE A INFLAÇÃO E A DESVALORIZAÇÃO DA MOEDA
Podemos considerar a inflação como um aumento do custo de vida para o consumidor, resultante da elevação dos preços e da desvalorização da moeda tendo como consequência a redução do poder de compra.
De acordo com a tabela:
· A inflação reduziu enquanto que a taxa de desvalorização da moeda também reduziu ao longo dos anos.
· No ano de 2016 a queda na capacidade de compra é de 2,73%, isto é, as pessoas adquirem 2,73% a menos de bens e serviços que costumavam consumir.
· A maior taxa de desvalorização da moeda comparada aos demais anos ocorreu em 2012.
· Em 2015 o consumidor passou a ter uma capacidade de compra 4,81% menor.
· No ano de 2012 ocorreu a maior inflação comparada aos demais anos e o consumidor passou a ter uma capacidade de compra 12,85% menor neste ano.
TÍTULOS DE RENDA FIXA
Um ativo de renda fixa é um instrumento financeiro cuja característica principal é o conhecimento do valor de resgate no início do prazo da aplicação, ou seja, você sabe que irá receber, no regate da aplicação, um rendimento determinado.
· CDB (Certificado de Depósito Bancário): título do tipo crédito privado que são oferecidos por bancos comerciais, múltiplos ou de investimento.
· Tesouro Direto: programa desenvolvido pelo Tesouro Nacional Brasileiro e funciona para venda de títulos públicos federais para pessoas físicas. São títulos distribuídos pelo governo como forma de buscar capital para sustentar suas operações em nível nacional, estes títulos apresentam menor risco, pois são garantidos pelo tesouro nacional.
· Debêntures: aplicações onde o investidor faz um empréstimo para uma empresa sendo aplicações que oferecem rentabilidade e baixorisco.
QUESTÃO 1
Juro é uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital financeiro, por determinado tempo. A uma taxa previamente combinada, sendo que a forma que acumulamos os juros determina o regime de capitalização que pode ser simples ou composto. Quando o juro incide somente sobre o capital inicial, temos a CAPITALIZAÇÃO SIMPLES. Considere um empréstimo de 500 reais, a juros simples durante 4 meses, a taxa de 1% ao mês. Analise o empréstimo e a afirmação, após apresente o montante e o juro pago nesta operação.
J = C * i * n
J = 500 * 0,01 *4
J = 20
M = C + J
M = 500 + 20
M = 520
 
QUESTÃO 2
A forma que acumulamos os juros detemina o regime de capitalização que pode ser simples ou composto. Um empréstimo de 10.000 reais foi realizado a taxa de 10% a.a. durante três anos produzindo o seguinte fluxo:
	ANO
	JUROS
	EMPRÉSTIMO
	0
	-
	10.000
	1
	1.000
	
	2
	1.100
	
	3
	1.210
	
Diga qual é o regime de capitalização, o montante e o juro pago nesta operação.
Esta operação utiliza o REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA, pois a cada período, o juro é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. 
J = 1.000 + 1.100 + 1.210 = 3.310
M = C + J
M = 10.000 + 3.310
M = 13.310
QUESTÃO 3
A operação de desconto é o abatimento concedido sobre um título de crédito em virtude de seu resgate antecipado sendo que podemos considerar os tipos de desconto o simples e o composto. Um título de valor nominal de 5.000 reais com vencimento para dois meses é descontado considerando o DESCONTO COMERCIAL SIMPLES que cobra juros de 4% a.m. Calcule o valor do desconto e o valor recebido pelo detentor do título. 
Desconto comeRcial → desconto por foRa → base de cálculo é o VALOR NOMINAL (N)
Dc = N * i * n
Dc = 5.000 * 0,04 * 2
Dc = 400
Vc = N – Dc
Vc = 5.000 – 400
Vc = 4.600
O valor do desconto comercial será de 400 reais e o portador do título receberá 4.600 reais.
QUESTÃO 4
Um sistema de amortização é um plano de pagamento de uma dívida podendo assumir diferentes formas. Entre os sistemas de amortização temos o SISTEMA SAC onde a amortização é constante ao longo do tempo. Para encontrar o valor da amortização dividimos o valor da dívida pelo número de prestações, o juro a ser cobrado considera a taxa sempre sobre o saldo devedor, a prestação é a soma da amortização com o juro do período e, após o pagamento da prestação, devemos atualizar o saldo devedor reduzindo deste saldo somente a parcela de amortização. Com base na afirmação, considere um empréstimo de 1.000 reais a ser pago em 4 prestações mensais a taxa de 10% ao mês e preencha a planilha de amortização deste empréstimo. 
Empréstimo = 1.000 reais
I = 10% ao mês
Período = 4
A = 
A = 
A = 250 reais
	Período
	Prestação
	Juros
	Amortização
	Saldo Devedor
	0
	-
	-
	-
	1.000
	1
	100 + 250 = 350
	1000 * 0,1 = 100
	250
	1.000 - 250 = 750
	2
	75 + 250 = 325
	750 * 0,1 = 75
	250
	750 - 250 = 500
	3
	50 + 250 = 300
	500 * 0,1 = 50
	250
	500 - 250 = 250
	4
	25 + 250 = 275
	250 * 0,1 = 25
	250
	250 - 250 = 0
QUESTÃO 5
Para decidir em investir ou não em determinado projeto podemos estimar a rentabilidade do negócio, período a período, para determinar o Valor Presente Líquido (VPL). Considere que uma empresa esta analisando a possibilidade de adquirir novos veículos e possui as seguintes propostas:
Proposta A: veículos no valor de 40.000 reais com receitas estimadas em cinco anos de 18.000 reais, 18.500 reais, 19.200 reais, 20.000 reais e 31.200 reais, respectivamente. Ao final do quinto ano, o valor residual do veículo será de 10.000 reais.
Proposta B: veículos no valor de 59.000 reais com receitas estimadas em cinco anos de 18.000 reais, 18.500 reais, 19.200 reais, 20.000 reais e 31.200 reais, respectivamente. Ao final do quinto ano, o valor residual do veículo será de 10.000 reais. 
Considerando uma taxa de retorno de 18% a.a. para proposta A e 22% a.a. para proposta B, a empresa obteve os seguintes valores para o VPL:
VPLA = 24.179,95
VPLB = - 670,92
Analise as duas propostas, indique qual deve ser aceita pela empresa e justifique a sua escolha.
A proposta A deve ser aceita pois o VPL é maior do que zero, ou seja, a proposta cobrirá o investimento inicial e a remuneração mínima exigida pelo investidor. Logo, o investimento analisado é mais rentável do que a aplicação alternativa da TMA e a melhor opção comparada a proposta B. 
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