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1) Primeiro vamos determinar as tensões principais do elemento infinitesimal: 𝜎1,2 = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 2 ± √( 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 2 ) 2 + 𝜏𝑥𝑦 2 𝜎1 = 79,6 + 0 2 + √( 79,6 − 0 2 ) 2 + 31,82 = 90,74 𝑀𝑃𝑎 𝜎2 = 79,6 + 0 2 − √( 79,6 − 0 2 ) 2 + 31,82 = −11,14 𝑀𝑃𝑎 a) O critério de Rankine nos diz o seguinte: 𝜎𝑟 ≥ 𝜎𝑚á𝑥 Portanto, vamos determinar o coeficiente de segurança para saber se o elemento estrutural irá falhar: 𝑛 = 𝜎𝑟 𝜎1 𝑛 = 100 90,74 𝑛 = 1,1 Como 𝑛 > 1 podemos afirmar que o elemento não apresentará falha. b) O critério de Von Mises nos diz o seguinte: 𝜎𝑒 ≥ 𝜎′ Portanto vamos determinar incialmente a tensão de Von Mises: 𝜎′ = √𝜎𝑥 2 + 𝜎𝑦 2 − 𝜎𝑥𝜎𝑦 + 3𝜏𝑥𝑦 2 𝜎′ = √79,62 + 02 − 79,6 ∗ 0 + 3 ∗ 31,82 𝜎′ = 96,8 𝑀𝑃𝑎 Por fim, vamos determinar se haverá falha no material: 𝑛 = 𝜎𝑒 𝜎′ 𝑛 = 250 96,8 𝑛 = 2,58 Como 𝑛 > 1 podemos afirmar que não haverá falha no elemento estrutural. 2) Primeiro vamos determinar a reação no apoio de 2° gênero, o qual chamaremos de A: ∑ 𝑀𝐵 = 0 ↺+ 𝐿 5 ∗ 𝑞𝐿 + 𝑞𝐿 ∗ 𝐿 2 − 𝐴𝑦𝐿 = 0 𝑞𝐿2 5 + 𝑞𝐿2 2 = 𝐴𝑦𝐿 𝐴𝑦 = 𝑞𝐿 5 + 𝑞𝐿 2 𝐴𝑦 = 2𝑞𝐿 + 5𝑞𝐿 10 𝐴𝑦 = 7𝑞𝐿 10 Agora vamos determinar a equação do momento fletor, onde iremos utilizar o método da função singular: 𝑀(𝑥) = 7𝑞𝐿 10 < 𝑥 − 0 >1− 𝑞 2 < 𝑥 − 0 >2− 𝑞𝐿 < 𝑥 − 4𝐿 5 >1 Agora vamos aplicar a equação da linha elástica que é dada por: 𝐸𝐼 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 = 𝑀(𝑥) 𝐸𝐼 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 = 7𝑞𝐿 10 < 𝑥 − 0 >1− 𝑞 2 < 𝑥 − 0 >2− 𝑞𝐿 < 𝑥 − 4𝐿 5 >1 Integrando ambos os lados da equação: 𝐸𝐼 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 7𝑞𝐿 20 < 𝑥 − 0 >2− 𝑞 6 < 𝑥 − 0 >3− 𝑞𝐿 2 < 𝑥 − 4𝐿 5 >2+ 𝐶1 Integrando ambos os lados da equação novamente: 𝐸𝐼𝑣 = 7𝑞𝐿 60 < 𝑥 − 0 >3− 𝑞 24 < 𝑥 − 0 >4− 𝑞𝐿 6 < 𝑥 − 4𝐿 5 >3+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2 Precisamos determinar os valores das constantes de integração 𝐶1 e 𝐶2, para isso vamos aplicar as seguintes condições de contorno: 𝑣 = 0 ⟶ 𝑥 = 0 𝑣 = 0 ⟶ 𝑥 = 𝐿 Aplicando a primeira condição de contorno, teremos: 0 = 7𝑞𝐿 60 < 0 − 0 >3− 𝑞 24 < 0 − 0 >4− 𝑞𝐿 6 < 0 − 4𝐿 5 >3+ 𝐶1 ∗ 0 + 𝐶2 𝐶2 = 0 Aplicando agora a segunda condição de contorno: 0 = 7𝑞𝐿 60 < 𝐿 − 0 >3− 𝑞 24 < 𝐿 − 0 >4− 𝑞𝐿 6 < 𝐿 − 4𝐿 5 >3+ 𝐶1 ∗ 𝐿 7𝑞𝐿4 60 − 𝑞𝐿4 24 − 𝑞𝐿4 750 + 𝐶1𝐿 = 0 7𝑞𝐿3 60 − 𝑞𝐿3 24 − 𝑞𝐿3 750 = −𝐶1 221𝑞𝐿3 3000 = −𝐶1 𝐶1 = − 221𝑞𝐿3 3000 Portanto a equação da deflexão será: 𝐸𝐼𝑣 = 7𝑞𝐿 60 < 𝑥 − 0 >3− 𝑞 24 < 𝑥 − 0 >4− 𝑞𝐿 6 < 𝑥 − 4𝐿 5 >3− 221𝑞𝐿3 3000 𝑥 Agora vamos determinar a inclinação dos apoios, determinando inicialmente no apoio A: 𝐸𝐼 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 7𝑞𝐿 20 < 𝑥 − 0 >2− 𝑞 6 < 𝑥 − 0 >3− 𝑞𝐿 2 < 𝑥 − 4𝐿 5 >2− 221𝑞𝐿3 3000 𝐸𝐼 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 7𝑞𝐿 20 < 0 − 0 >2− 𝑞 6 < 0 − 0 >3− 𝑞𝐿 2 < 0 − 4𝐿 5 >2− 221𝑞𝐿3 3000 𝐸𝐼 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = − 221𝑞𝐿3 3000 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = − 221𝑞𝐿3 3000𝐸𝐼 Agora vamos calcular a inclinação no apoio em B: 𝐸𝐼 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 7𝑞𝐿 20 < 𝐿 − 0 >2− 𝑞 6 < 𝐿 − 0 >3− 𝑞𝐿 2 < 𝐿 − 4𝐿 5 >2− 221𝑞𝐿3 3000 𝐸𝐼 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 7𝑞𝐿3 20 − 𝑞𝐿3 6 − 𝑞𝐿3 50 − 221𝑞𝐿3 3000 𝐸𝐼 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 269𝑞𝐿3 3000 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 269𝑞𝐿3 3000𝐸𝐼 A deflexão máxima acontece no centro do vão, ou seja em 𝑥 = 𝐿/2. Desta forma vamos determinar qual será o valor da deflexão máxima em função da carga distribuída 𝑞 e da distância 𝐿: 𝐸𝐼𝑣𝑚á𝑥 = 7𝑞𝐿 60 < 𝐿 2 − 0 >3− 𝑞 24 < 𝐿 2 − 0 >4− 𝑞𝐿 6 < 𝐿 2 − 4𝐿 5 >3− 221𝑞𝐿3 3000 ( 𝐿 2 ) 𝐸𝐼𝑣𝑚á𝑥 = 7𝑞𝐿4 480 − 𝑞𝐿4 384 − 221𝑞𝐿4 6000 𝐸𝐼𝑣𝑚á𝑥 = − 1193𝑞𝐿4 48000 𝑣𝑚á𝑥 = − 1193𝑞𝐿4 48000𝐸𝐼 O esboço da linha elástica será: 3) Primeiro vamos determinar as reações no apoio em A: ∑ 𝑀𝐵 = 0 ↺+ 5 ∗ 2 ∗ 1,5 − 4𝐴𝑦 = 0 15 = 4𝐴𝑦 𝐴𝑦 = 3,75 𝑘𝑁 Agora vamos determinar os esforços na seção S, primeiro determinando o esforço cortante: −𝑉 + 3,75 − 2 ∗ 1 = 0 𝑉 = 3,75 − 2 𝑉 = 1,75 𝑘𝑁 Agora vamos calcular o momento fletor na seção S: 𝑀 − 3,75 ∗ 1 + 2 ∗ 1 ∗ 0,5 = 0 𝑀 − 3,75 + 1 = 0 𝑀 = 2,75 𝑘𝑁𝑚 Vamos determinar a posição da linha neutra da seção transversal: �̅� = ∑ �̃�𝐴 ∑ 𝐴 �̅� = 0,015 ∗ 0,01 ∗ 0,03 + 0,035 ∗ 0,01 ∗ 0,03 2 ∗ 0,01 ∗ 0,03 �̅� = 0,025 𝑚 Agora vamos determinar o momento de inércia da seção transversal em relação a linha neutra: 𝐼 = ∑ 𝐼̅ + 𝐴𝑑2 𝐼 = 0,01 ∗ 0,033 12 + 0,01 ∗ 0,03 ∗ (0,025 − 0,015)2 + 0,03 ∗ 0,013 12 + 0,03 ∗ 0,01 ∗ (0,035 − 0,025)2 𝐼 = 8,5 ∗ 10−8 𝑚4 Para o ponto A temos as seguintes tensões: 𝜎𝐴 = 2,75 ∗ 103 ∗ (0,025 − 0,01) 8,5 ∗ 10−8 = 485,29 𝑀𝑃𝑎 Para determinar a tensão de cisalhamento precisamos determinar o momento estático nesse ponto, portanto: 𝑄𝐴 = 0,012 ∗ (0,025 − 0,005) 𝑄𝐴 = 2 ∗ 10−6 𝑚3 Portanto a tensão de cisalhamento no ponto A será: 𝜏𝐴 = 1,75 ∗ 103 ∗ 2 ∗ 10−6 8,5 ∗ 10−8 ∗ 0,01 = 4,12 𝑀𝑃𝑎 Para o ponto B temos as seguintes tensões: 𝜎𝐵 = 2,75 ∗ 103 ∗ (0,04 − 0,025) 8,5 ∗ 10−8 = 485,29 𝑀𝑃𝑎 No ponto B a tensão de cisalhamento é nula, pois o momento estático é nulo nesse ponto, portanto: 𝜏𝐵 = 0 a) Aplicando o critério de Von Mises para o ponto A teremos: 𝜎′ = √485,292 + 3 ∗ 4,122 𝜎′ = 485,34 𝑀𝑃𝑎 Portanto o coeficiente de segurança será: 𝑛 = 250 485,34 𝑛 = 0,515 Como 𝑛 < 1 temos que ocorrerá falha na estrutura no ponto A. b) Para aplicar o critério de Tresca precisamos inicialmente determinar as tensões principais: 𝜎1 = 485,29 + 0 2 + √( 485,29 − 0 2 ) 2 = 485,29 𝑀𝑃𝑎 𝜎2 = 485,29 + 0 2 − √( 485,29 − 0 2 ) 2 = 0 Calculando o coeficiente de segurança pela teoria de falha de Tresca: 𝑛 = 250 485,29 𝑛 = 0,515 Como 𝑛 < 1 temos que ocorrerá falha na estrutura no ponto B. 4) Primeiro vamos determinar a reação no apoio da esquerda o qual chamaremos de A: ∑ 𝑀𝐵 = 0 ↺+ 2 ∗ 2 + 4 ∗ 1 ∗ 2 − 4𝐴𝑦 = 0 4 + 8 = 4𝐴𝑦 12 = 4𝐴𝑦 𝐴𝑦 = 3 𝑘𝑁 Agora vamos determinar a equação para o momento fletor utilizando função de singularidade: 𝑀(𝑥) = 3 < 𝑥 − 0 >1− 0,5 < 𝑥 − 0 >2− 2 < 𝑥 − 2 >1 Aplicando a equação diferencial da linha elástica: 𝐸𝐼 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 1,5 < 𝑥 − 0 >2− 0,5 3 < 𝑥 − 0 >3− 1 < 𝑥 − 2 >2+ 𝐶1 𝐸𝐼𝑣 = 0,5 < 𝑥 − 0 >3− 0,5 12 < 𝑥 − 0 >4− 1 3 < 𝑥 − 2 >3+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2 Precisamos determinar os valores das constantes de integração 𝐶1 e 𝐶2, para isso vamos aplicar as seguintes condições de contorno: 𝑣 = 0 ⟶ 𝑥 = 0 𝑣 = 0 ⟶ 𝑥 = 4 Aplicando a primeira condição de contorno: 0 = 0,5 < 0 − 0 >3− 0,5 12 < 0 − 0 >4− 1 3 < 0 − 2 >3+ 𝐶1 ∗ 0 + 𝐶2 𝐶2 = 0 Aplicando a segunda condição de contorno: 0 = 0,5 < 4 − 0 >3− 0,5 12 < 4 − 0 >4− 1 3 < 4 − 2 >3+ 4𝐶1 32 − 10,67 − 2,67 = −4𝐶1 18,67 = −4𝐶1 𝐶1 = −4,67 Portanto a equação da linha elástica será: 𝐸𝐼𝑣 = 0,5 < 𝑥 − 0 >3− 0,5 12 < 𝑥 − 0 >4− 1 3 < 𝑥 − 2 >3− 4,67𝑥 Vamos determinar as inclinações nos apoios, começando pelo apoio da esquerda: 𝐸𝐼 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 1,5 < 0 − 0 >2− 0,5 3 < 0 − 0 >3− 1 < 0 − 2 >2− 4,67 𝐸𝐼 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = −4,67 ∗ 103 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = − 4666,67 𝐸𝐼 Agora vamos determinar a inclinação no apoio da direita: 𝐸𝐼 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 1,5 < 4 − 0 >2− 0,5 3 < 4 − 0 >3− 1 < 4 − 2 >2− 4,67 𝐸𝐼 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 24 − 10,67 − 4 − 4,67 𝐸𝐼 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 4666,67 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 4666,67 𝐸𝐼 A deflexão máxima acontece no centro do vão, ou seja para 𝑥 = 2, desta forma conseguimos calcular a deflexão máxima nesse ponto: 𝐸𝐼𝑣𝑚á𝑥 = 0,5 < 2 − 0 >3− 0,5 12 < 2 − 0 >4− 1 3 < 2 − 2 >3− 4,67 ∗ 2 𝐸𝐼𝑣𝑚á𝑥 = 4 − 0,67 − 9,33 𝐸𝐼𝑣𝑚á𝑥 = −6 ∗ 103 𝑣𝑚á𝑥 = − 6000 𝐸𝐼 O esboço da linha elástica será: 5) Temos uma viga estaticamente indeterminada, portanto não conseguimos calcular as reações de apoio utilizando apenas as equações de equilíbrio, portanto vamos escrever asequações de equilíbrio para depois que obtermos as equações da linha elástica conseguirmos determinas essas reações: (Nosso ponto A é o engaste) ∑ 𝑀𝐴 = 0 ↺+ 𝑀𝐴 − 𝑞𝐿 2 ∗ 1 3 𝐿 + 𝐵𝑦𝐿 = 0 𝑀𝐴 + 𝐵𝑦𝐿 − 𝑞𝐿2 6 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0 ↑+ 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 − 𝑞𝐿 2 = 0 Vamos escrever a equação para o momento fletor: 𝑀(𝑥) = −𝑀𝐴 < 𝑥 − 0 >0+ 𝐴𝑦 < 𝑥 − 0 >1− 𝑞 6𝐿 < 𝑥 − 0 >3 Aplicando a equação da linha elástica temos o seguinte: 𝐸𝐼 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = −𝑀𝐴 < 𝑥 − 0 >1+ 𝐴𝑦 2 < 𝑥 − 0 >2− 𝑞 24𝐿 < 𝑥 − 0 >4+ 𝐶1 𝐸𝐼𝑣 = − 𝑀𝐴 2 < 𝑥 − 0 >2+ 𝐴𝑦 6 < 𝑥 − 0 >3− 𝑞 120𝐿 < 𝑥 − 0 >5+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2 Para calcular as constantes de integração temos as seguintes condições de contorno: 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 0 ⟶ 𝑥 = 0 𝑣 = 0 ⟶ 𝑥 = 0 Aplicando a primeira condição de contorno teremos: 0 = −𝑀𝐴 < 0 − 0 >1+ 𝐴𝑦 2 < 0 − 0 >2− 𝑞 24𝐿 < 0 − 0 >4+ 𝐶1 𝐶1 = 0 Aplicando a segunda condição de contorno teremos: 0 = − 𝑀𝐴 2 < 0 − 0 >2+ 𝐴𝑦 6 < 0 − 0 >3− 𝑞 120𝐿 < 0 − 0 >5+ 𝐶2 𝐶2 = 0 Portanto, temos a seguinte equação para a deflexão: 𝐸𝐼𝑣 = − 𝑀𝐴 2 < 𝑥 − 0 >2+ 𝐴𝑦 6 < 𝑥 − 0 >3− 𝑞 120𝐿 < 𝑥 − 0 >5 Temos uma terceira condição de contorno no apoio de 1 gênero, a qual utilizaremos para determinar uma das reações: 𝑣 = 0 ⟶ 𝑥 = 𝐿 Aplicando a condição de contorno teremos: 0 = − 𝑀𝐴 2 < 𝐿 − 0 >2+ 𝐴𝑦 6 < 𝐿 − 0 >3− 𝑞 120𝐿 < 𝐿 − 0 >5 − 𝑀𝐴𝐿2 2 + 𝐴𝑦𝐿3 6 − 𝑞𝐿4 120 = 0 − 𝑀𝐴 2 + 𝐴𝑦𝐿 6 − 𝑞𝐿2 120 = 0 Vamos isolar o 𝐴𝑦 na equação acima: 𝐴𝑦𝐿 6 = 𝑀𝐴 2 + 𝑞𝐿2 120 𝐴𝑦 = 3𝑀𝐴 𝐿 + 𝑞𝐿 20 Da equação do somatório dos momentos no ponto A vamos isolar o 𝐵𝑦: 𝑀𝐴 + 𝐵𝑦𝐿 − 𝑞𝐿2 6 = 0 𝐵𝑦𝐿 = 𝑞𝐿2 6 − 𝑀𝐴 𝐵𝑦 = 𝑞𝐿 6 − 𝑀𝐴 𝐿 Substituindo agora 𝐴𝑦 e 𝐵𝑦 na equação para o somatório das forças em y, teremos: 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 − 𝑞𝐿 2 = 0 3𝑀𝐴 𝐿 + 𝑞𝐿 20 + 𝑞𝐿 6 − 𝑀𝐴 𝐿 − 𝑞𝐿 2 = 0 2𝑀𝐴 𝐿 − 17𝑞𝐿 60 = 0 2𝑀𝐴 𝐿 = 17𝑞𝐿 60 𝑀𝐴 = 17𝑞𝐿2 120 Agora vamos determinar 𝐴𝑦: 𝐴𝑦 = 3 𝐿 ( 17𝑞𝐿2 120 ) + 𝑞𝐿 20 𝐴𝑦 = 17𝑞𝐿 40 + 𝑞𝐿 20 𝐴𝑦 = 19𝑞𝐿 40 Agora vamos calcular o 𝐵𝑦: 𝐵𝑦 = 𝑞𝐿 6 − 1 𝐿 ( 17𝑞𝐿2 120 ) 𝐵𝑦 = 𝑞𝐿 6 − 17𝑞𝐿 120 𝐵𝑦 = 𝑞𝐿 40 Agora vamos reescrever a equação da linha elástica com as reações calculadas: 𝐸𝐼𝑣 = − 17𝑞𝐿2 240 < 𝑥 − 0 >2+ 19𝑞𝐿 240 < 𝑥 − 0 >3− 𝑞 120𝐿 < 𝑥 − 0 >5 Para traçar a deformada, temos que a deflexão será máxima em 𝑥 = 3𝐿/5, portanto temos que a deflexão máxima será: 𝐸𝐼𝑣𝑚á𝑥 = − 17𝑞𝐿2 240 < 3𝐿 5 − 0 >2+ 19𝑞𝐿 240 < 3𝐿 5 − 0 >3− 𝑞 120𝐿 < 3𝐿 5 − 0 >5 𝐸𝐼𝑣𝑚á𝑥 = − 51𝑞𝐿4 2000 + 171𝑞𝐿4 10000 − 81𝑞𝐿4 125000 𝐸𝐼𝑣𝑚á𝑥 = − 1131𝑞𝐿4 125000 𝑣𝑚á𝑥 = − 1131𝑞𝐿4 125000𝐸𝐼 Esboçando a transformada, teremos: Agora vamos esboçar os diagramas de esforços internos, começando pelo esforço cortante: 𝑉(𝑥) = 𝑑𝑀(𝑥) 𝑑𝑥 𝑉(𝑥) = − 17𝑞𝐿2 120 < 𝑥 − 0 >−1+ 19𝑞𝐿 40 < 𝑥 − 0 >0− 𝑞 2𝐿 < 𝑥 − 0 >2 Portanto o diagrama de esforço cortante: Agora vamos esboçar a equação para o momento fletor: 𝑀(𝑥) = − 17𝑞𝐿2 120 < 𝑥 − 0 >0+ 19𝑞𝐿 40 < 𝑥 − 0 >1− 𝑞 6𝐿 < 𝑥 − 0 >3 Vamos determinar o momento no centro do vão: 𝑀 ( 𝐿 2 ) = − 17𝑞𝐿2 120 < 𝐿 2 − 0 >0+ 19𝑞𝐿 40 < 𝐿 2 − 0 >1− 𝑞 6𝐿 < 𝐿 2 − 0 >3 𝑀 ( 𝐿 2 ) = − 17𝑞𝐿2 120 + 19𝑞𝐿2 80 − 𝑞𝐿2 64 𝑀 ( 𝐿 2 ) = − 77𝑞𝐿2 960 Portanto o diagrama de momento fletor: 6) Inicialmente vamos determinar a equação para o momento fletor: 𝑀(𝑥) = 𝐴𝑦 < 𝑥 − 0 >1− 1,5 < 𝑥 − 0 >2+ 𝐵𝑦 < 𝑥 − 3 >1 Aplicando a equação da linha elástica teremos: 𝐸𝐼 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 𝐴𝑦 2 < 𝑥 − 0 >2− 0,5 < 𝑥 − 0 >3+ 𝐵𝑦 2 < 𝑥 − 3 >2+ 𝐶1 𝐸𝐼𝑣 = 𝐴𝑦 6 < 𝑥 − 0 >3− 0,125 < 𝑥 − 0 >4+ 𝐵𝑦 6 < 𝑥 − 3 >3+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2 Temos 3 condições de contorno: 𝑣 = 0 ⟶ 𝑥 = 0 𝑣 = 0 ⟶ 𝑥 = 3 𝑣 = 0 ⟶ 𝑥 = 6 Aplicando a primeira condição de contorno na equação para a deflexão: 0 = 𝐴𝑦 6 < 0 − 0 >3− 0,125 < 0 − 0 >4+ 𝐵𝑦 6 < 0 − 3 >3+ 𝐶1 ∗ 0 + 𝐶2 𝐶2 = 0 Aplicando a segunda condição de contorno: 0 = 𝐴𝑦 6 < 3 − 0 >3− 0,125 < 3 − 0 >4+ 𝐵𝑦 6 < 3 − 3 >3+ 3𝐶1 4,5𝐴𝑦 − 10,125 + 3𝐶1 = 0 3𝐶1 = −4,5𝐴𝑦 + 10,125 𝐶1 = −1,5𝐴𝑦 + 3,375 Portanto a equação da linha elástica será: 𝐸𝐼𝑣 = 𝐴𝑦 6 < 𝑥 − 0 >3− 0,125 < 𝑥 − 0 >4+ 𝐵𝑦 6 < 𝑥 − 3 >3+ (−1,5𝐴𝑦 + 3,375)𝑥 Aplicando a terceira condição de contorno: 0 = 𝐴𝑦 6 < 6 − 0 >3− 0,125 < 6 − 0 >4+ 𝐵𝑦 6 < 6 − 3 >3+ 6 ∗ (−1,5𝐴𝑦 + 3,375) 36𝐴𝑦 − 162 + 4,5𝐵𝑦 − 9𝐴𝑦 + 20,25 = 0 27𝐴𝑦 + 4,5𝐵𝑦 − 141,75 = 0 Aplicando o somatório das forças no apoio em C: ∑ 𝑀𝐶 = 0 ↺+ − 3𝐵𝑦 − 6𝐴𝑦 + 6 ∗ 3 ∗ 3 = 0 −6𝐴𝑦 − 3𝐵𝑦 + 54 = 0 Temos um sistema de equações: { 27𝐴𝑦 + 4,5𝐵𝑦 = 141,75 −6𝐴𝑦 − 3𝐵𝑦 = −54 Isolando o 𝐵𝑦 na equação 2: −3𝐵𝑦 = 6𝐴𝑦 − 54 𝐵𝑦 = 18 − 2𝐴𝑦 Substituindo na equação 1: 27𝐴𝑦 + 4,5(18 − 2𝐴𝑦) = 141,75 27𝐴𝑦 + 81 − 9𝐴𝑦 = 141,75 18𝐴𝑦 = 60,75 𝐴𝑦 = 3,375 𝑘𝑁 E portanto 𝐵𝑦: 𝐵𝑦 = 18 − 2 ∗ 3,375 𝐵𝑦 = 11,25 𝑘𝑁 Aplicando o somatório das forças em y: ∑ 𝐹𝑦 = 0 ↑+ 3,375 + 11,25 − 6 ∗ 3 + 𝐶𝑦 = 0 −3,375 + 𝐶𝑦 = 0 𝐶𝑦 = 3,375 𝑘𝑁 Reescrevendo a equação da deflexão com o valor obtido para as reações: 𝐸𝐼𝑣 = 3,375 6 < 𝑥 − 0 >3− 0,125 < 𝑥 − 0 >4+ 11,25 6 < 𝑥 − 3 >3+ (−1,5 ∗ 3,375 + 3,375)𝑥 𝐸𝐼𝑣 = 0,5625 < 𝑥 − 0 >3− 0,125 < 𝑥 − 0 >4+ 1,875 < 𝑥 − 3 >3− 1,6875𝑥 A deflexão máxima acontece entre os apoios, ou seja em 𝑥 = 1,5 ou em 𝑥 = 4,5. Desta forma vamos calcular qual é o valor da deflexão máxima: 𝐸𝐼𝑣𝑚á𝑥 = 0,5625 < 1,5 − 0 >3− 0,125 < 1,5 − 0 >4+ 1,875 < 1,5 − 3 >3− 1,6875 ∗ 1,5 𝐸𝐼𝑣𝑚á𝑥 = 1,8984375 − 0,6328125 − 2,53125 𝐸𝐼𝑣𝑚á𝑥 = −1,265625 𝑣𝑚á𝑥 = − 1265,625 𝐸𝐼 Portanto vamos traçar a deformada: Agora vamos esboçar os diagramas dos esforços internos, começando pelo diagrama de esforço cortante. Temos a seguinte equação de esforço cortante: 𝑉(𝑥) = 3,375 < 𝑥 − 0 >0− 3 < 𝑥 − 0 >1+ 11,25 < 𝑥 − 3 >1 Vamos calcular o esforço cortante no centro do vão: 𝑉(3) = 3,375 < 3 − 0 >0− 3 < 3 − 0 >1+ 11,25 < 3 − 3 >1 𝑉(3) = 3,375 − 9 𝑉(3) = −5,625 𝑘𝑁 Portanto temos o seguinte diagrama de esforço cortante: E por fim vamos esboçar o diagrama de momento fletor que possui a seguinte equação: 𝑀(𝑥) = 3,375 < 𝑥 − 0 >1− 1,5 < 𝑥 − 0 >2+ 11,25 < 𝑥 − 3 >1 Calculando o momento fletor máximo entre os apoios entre os apoios: 𝑑𝑀(𝑥) 𝑑𝑥 = 0 3,375 − 3𝑥 = 0 3𝑥 = 3,375 𝑥 = 1,125 Portanto o momento fletor nesse ponto: 𝑀(1,125) = 3,375 < 1,125 − 0 >1− 1,5 < 1,125 − 0 >2+ 11,25 < 1,125 − 3 >1 𝑀(1,5) = 3,796875 − 1,8984375 𝑀(1,5) = 1,8984375 𝑘𝑁𝑚 Calculando agora o momento fletor no centro do vão: 𝑀(3) = 3,375 < 3 − 0 >1− 1,5 < 3 − 0 >2+ 11,25 < 3 − 3 >1 𝑀(3) = 10,125 − 13,5 𝑀(3) = −3,375 𝑘𝑁. 𝑚 Portanto, temos o seguinte diagrama de momento fletor:
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