Resistencia dos Materiais - 7.4 Fluxo de cisalhamento em estruturas compostas por vários elementos

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27 6 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
7.30. A viga é composta por três peças de plástico coladas 
nas linhas de junção A e B. Se for submetida ao carregamen­
to mostrado na figura, determine a força de cisalhamento 
vertical à qual resiste a aba superior da viga na seção crítica. 
Os apoios em C e D exercem somente reações verticais so­
bre a viga. 
3 kN/m ! 1 r r 1 1 r 1 1 1 r r t 
200 mm _1___ 11 50 mm �A 
20�� J:=_;O mm 50 mm _:::___j B 
r-
Problema 7.30 
7.31. Determine a variação da tensão de cisalhamento na 
seção transversal de um rebite oco. Qual é a tensão de cisa­
lhamento máxima no rebite? Mostre também que, se r; � 1'0, 
então Tmáx = 2(V/A). 
r; 
Problema 7.31 
"7.32. A viga tem seção transversal quadrada e está sujeita 
à força de cisalhamento V. Faça um rascunho da distribuição 
da tensão de cisalhamento na seção transversal e especifique 
a tensão de cisalhamento máxima. Além disso, determine o 
local em relação ao eixo neutro onde começará a aparecer 
uma trinca ao longo do elemento devido ao cisalhamento. 
Problema 7.32 
7.33. Escreva um código computacional que possa ser usado 
para determinar a tensão de cisalhamento máxima na viga que 
tem a seção transversal mostrada na figura e é submetida a uma 
carga constante distribuída específica w e à força concentrada 
P. Mostre uma aplicação do código usando os valores L = 4 m 
a = 2m,P = 1,5 kN, d1 = O, d2 = 2m,w = 400 N/m, t1 = 15 mm
' 
t2 = 20 mm, b = 50 mm e h = 150 mm. ' 
1;1i'ii!l1 J ·� 
11----a-L ----------11 
Problema 7.33 
7.34. A viga tem seção transversal retangular e está sujeita 
a uma carga P cuja intensidade é suficiente para desenvolver 
um momento totalmente plástico MP = PL no apoio fixo. Se 
o material for elástico plástico, então, a uma distância x < L, 
o momento M = Px cria uma região de escoamento plás­
tico com um núcleo elástico associado de altura 2y' . Essa 
situação foi descrita pela Equação 6.30, e o momento M é 
distribuído na seção transversal como mostra a Figura 6.54e. 
Prove que a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida 
na viga é dada por r máx = 3/2(PIA'), onde A' = 2y' b, a área 
da seção transversal do núcleo elástico. 
p 
Região plástica ��I 
A b r-
Região elástica 
Problema 7.34 
7.35. A viga na Figura 6.54f é submetida a um momento to· 
talmente plástico Mp. Prove que as tensões de cisalhamenlo 
longitudinal e transversal na viga são nulas. Dica: Considere 
um elemento da viga como mostra a Figura 7 .4d. 
7.4 F luxo de dsa lhamento em 
estrutu ras compostas por 
vários elementos 
Na prática da engenharia, às vezes são construídas 
estruturas compostas por várias partes para se obt�l 
maior resistência à cargas. Alguns exemplos são m�s· 
trados na Figura 7.13. Se as cargas provocarem fl.e�ao 
nas partes componentes, pode ser necessário uttitzar 
elementos de fixação como pregos, parafus?s, to 
rial de soldagem ou cola para evitar o desltzamen 
r 
d 
I 
Figura 7.13 
relativo dessas partes (Figura 7.2). Para projetar esses 
elementos de fixação, é preciso conhecer a força de 
cisalhamento à qual eles devem resistir ao longo do 
comprimento da estrutura. Esse carregamento, quan­
do medido como força por unidade de comprimento, é 
denominado fluxo de cisalhamento q.* 
O valor do fluxo de cisalhamento ao longo de qual­
quer seção longitudinal de uma viga pode ser obtido 
por um desenvolvimento semelhante ao usado para 
determinar a tensão de cisalhamento em uma viga. 
Para demonstrar isso, consideraremos a determinação 
(a) 
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 277 
do fluxo de cisalhamento ao longo da junção que liga 
a parte composta na Figura 7.14a à aba da viga. Como 
mostra a Figura 7.14b, três forças horizontais devem 
agir sobre essa parte. Duas dessas forças, F e F + dF, 
são desenvolvidas por tensões normais causadas pelos 
momentos M e M + dM, respectivamente. A terceira 
força, a qual, para equilíbrio, é igual a dF, age na junção 
e deve ser suportada pelo elemento de fixação. Como 
sabemos, dF é o resultado de dM, então, como no caso 
da fórmula do cisalhamento (Equação 7.1), temos 
dM1 dF = - y dA' 
I A' 
A integral representa Q, isto é, o momento da área 
A' , de cor clara na Figura 7.14b, em torno do eixo neutro 
para a seção transversal. Visto que o segmento tem com­
primento dx, o fluxo de cisalhamento, ou força por uni­
dade de comprimento ao longo da viga, é q = dF!dx. Por 
consequência, dividindo ambos os lados por dx e obser­
vando que V = dM!dx (Equação 6.2), podemos escrever 
(7.6) 
Nessa expressão, 
q = fluxo de cisalhamento, medido como uma força 
por unidade de comprimento ao longo da viga 
V = força de cisalhamento ou força cortante inter­
na resultante, determinada pelo método das 
seções e equações de equilíbrio 
I = momento de inércia de toda a área da seção 
transversal calculado em torno do eixo neutro 
Q = J�.y dA' = )I' A' , onde A' é a área da seção 
transversal do segmento acoplado à viga na 
junção onde o fluxo de cisalhamento deve ser 
calculado e y' é a distância do eixo neutro ao 
centroide de A' 
dF 
(b) 
Figura 7.14 
A utilização da palavra "fluxo" nessa terminologia será significa­
tiva na discussão na Seção 7.5. 
278 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
A aplicação dessa equação segue o mesmo "pro­
cedimento de análise" delineado na Seção 7.3 para 
a fórmula do cisalhamento. A propósito, é muito im­
portante identificar corretamente o valor adequado 
de Q na determinação do fluxo de cisalhamento em 
uma junção particular da seção transversal. Alguns 
exemplos devem servir para ilustrar como isso é fei­
to. Considere as seções transversais da viga mostrada 
na Figura 7.15. As partes constituintes sombreadas 
estão presas às vigas por elementos de fixação. Nos 
planos da conexão, o fluxo de cisalhamento neces-
(a) 
N A 
(c) 
sário q é determinado usando-se um valor de Q cal­
culado a partir de A 1 e y 1 indicados em cada figura. 
Observe que esse valor de q encontrará a resistência 
de um único elemento de fixação nas figuras 7.15a e 
7.15b, de dois elementos de fixação na Figura 7.15c 
e de três elementos de fixação na figura 7.15d. Em 
outras palavras, o elemento de fixação nas Figuras 
7 .15a e 7 .15b suporta o valor calculado de q e, n as 
figuras 7 .15c e 7.15d, cada elemento de fixação su­
porta q/2 e q/3 , respectivamente. 
(b) 
A 
(d) 
Figma 7.15 
� � !ia��ffi(!!)S INI!ia�RWAI�mms 
" Fluxo. decisalhamento é ttma medida da fotç& por unidade de comprimento ao longo de um eixo lon:�itudínal de 
uma viga. Esse valor é detç:nninado�ela fótmula d o cis,?lhame�t? � é usado para se defi�ir a f�rça de ctsalhamento 
desenvolvida em elementos de fixaçao e cola que mantem os v:arws segmentos de uma vtga umdos. 
m�mNIRU�(!!) �.� � 
� cc_,_"" - "' " = %= 
A viga é composta por quatro tábuas coladas, como 
mostra a Figura 7.16a. Se for submetida a um cisalhamento 
V = 850 kN, determine o fluxo de cisalhamento em B e C 
ao qual a cola deve resistir. 
SOLUÇÃO 
Propriedades da seção. O eixo neutro (centroide) será 
localizado em relação à parte inferior da viga (Figura 7.16a). 
Trabalhando com metros, temos 
_ 2:yA 2[0,15 m] (0,3 m) (O,Ol m) + [0,205 m] (O,l25 m) (O,Ol m) + [0,305 m] (0,250 m) (O,Ol m) 
Y = 2:A = 2(0,3 m) (O,Ol m) + 0,125 m(O,Ol m) + 0,250 m(O,Ol m) 
= 0,1968 m 
v 
N 
V = 850 kN 
lO mm--1 f--125 mm--j f--lü mm 
(a) 
�'s 
B -" E'---
y'B 
c c 
N 
A'cJ ITY'c 
(b) 
Figura 7.16 
A 
O momento de inércia calculado em torno do eixo de inércia 
é, portanto, 
I = 2U2 (0,01 m)(0,3 m? . 
+ (0,01 m)(0,3 m) (0,1968 m - 0,150 m)2 J 
+ [ 1� (0,125 m)(O,Ol m)3 
+ (0,125 m)(O,Ol m)(0,205 m - 0,1968 m? J 
+ U2 (0,250 m)(O,Ol m)3 
+ (0,250 m)(O,Ol m) (0,305 m - 0,1968 m? J 
= 87,52(10-6) m4 
Visto que a cola em B e B' mantém a tábua da parte superior 
presa à viga (Figura 7.16b ) , temos 
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 279 
Qs = y�A� = [0,305 m - 0,1968 m](0,250 m)(O,Ol m) 
= 0,271(10-3) m3 
Da mesma forma, a cola em C e C' mantém a tábua interna 
presa à viga (Figura 7.16b ) , portanto 
Qc = y�A'c = [0,205m - 0,1968 m](0,125 m)(O,Ol m) 
= 0,01026(10-3) m3 
Fluxo de cisalhamento. Para B e B' , temos 
E para C e C' , 
VQc 850 kN(0,01026(10-3) m3) 
q' = -- = = 0 0996 MN/m c I 87,52(10-6) m4 ' 
Visto que são usadas duas linhas de junção para prender 
cada tábua, a cola por metro de comprimento de viga em 
cada linha de junção deve ser forte o suficiente para resitir à 
metade de cada valor calculado de q' . Assim, 
q8 = 1,31 MN/m e qc = 0,0498 MN/m 
"" � � ;; 
E:�il\21�1ll@l �.Iii 
% 
Resposta 
A viga-caixão deve ser construída com quatro tábuas 
pregadas, como mostra a Figura 7.17a. Se cada prego pu­
der suportar uma força de cisalhamento (força cortante) de 
30 N, determine o espaçamento máximo s dos pregos em B e 
em C de modo que a viga suporte a força vertical de 80 N. 
SOLUÇÃO 
Cisalhamento interno. Se a viga for secionada em um pon­
to arbitrário ao longo de seu comprimento, o cisalhamento in­
terno exigido para equilíbrio é sempre V = 80 N, portanto o 
diagrama de força cortante é o mostrado na Figura 7 .17b. 
Propriedades da seção. O momento de inércia da área 
da seção transversal em torno do eixo neutro pode ser de­
terminado considerando-se um quadrado de 7,5 cm X 7,5 cm 
menos um quadrado de 4,5 cm X 4,5 cm. 
1 1 I = - (7,5 mm)(7,5 mm)3 - - (4,5 mm)(4,5 mm)3 12 12 
= 229,5 mm3 
O fluxo de cisalhamento em B é determinado usando-se Q8 
definido pela área sombreada mais escura mostrada na Figu­
ra 7.17c. É essa porção "simétrica" da viga que deve manter­
-se "presa" ao resto da viga por pregos no lado esquerdo e 
pelas fibras da tábua no lado direito. Assim, 
280 RESISTtNCIA DOS MATERIAIS 
80 N 
1,5 cm c 
V (N) 
(b) 
(c) 
r4,5 cm-j 
--.---at:l��H :=1},5 cm 
c 
N --'-----t!!;fr+-----J!+it'it- A 
(d) 
Figura 7.17 
Qs = y'A' = [3 cm](7,5 cm)(1,5 cm) = 33,75 cm3 
Da mesma forma, o fluxo de cisalhamento em C pode ser de­
terminado com a utilização da área sombreada "simétrica" 
mostrada na Figura 7.17d. Temos 
Qc = y'A' = [3 cm](4,5 cm)(1,5 cm) = 20,25 cm3 
Fluxo de dsalhamento. 
= VQB = 80 N(33,75 cm
3 ) = 11 76 N/ cm qB I 229,5 cm4 ' 
= VQc = 80 N(20,25 cm
3) = 7,059 N/ cm qc I 229,5 cm4 
Esses valores representam a força de cisalhamento por 
unidade de comprimento da viga à qual os pregos em B c 
as fibras em B' na Figura 7.17c e os pregos em C e as fibras 
em C' na Figura 7.17d devem resistir, respectivamente. Visto 
que, em cada caso, o fluxo de cisalhamento encontra a resis­
tência de duas superfícies e cada prego pode resistir a 30 N, 0 
espaçamento para B é 
30 N ----,---.,-----,----- = 5,10 cm (11,76/2) N/cm Use sE = 5 cm 
Resposta 
E para C, 
30 N 
-----'=--=---::...:____-- = 8,50 cm (7,059/2) N/cm Use se = 8,5 cm 
Resposta 
Pregos com resistência ao cisalhamento total de 40 N 
são usados em uma viga que pode ser construída de dois 
modos: Caso I ou Caso II (Figura 7.18). Se os pregos forem 
espaçados de 9 cm, determine o maior cisalhamento verti-
s 9 cm� 
0,5 cm r 
1_ ·r h cm�f
. 
4 cm N 
L. r li-3 cm--i 0,5 cm 
Figura 7.18 
Caso I 
que pode ser suportado em cada caso de modo que os 
ntos de fixação não falhem. e leme 
SOLUÇÃO 
V. t que a geometria é a mesma em ambos os casos, o mo­IS O d . 
, mento de inércia em torno o e1xo neutro e 
1 == :2 (3 mm)(5 mm)3 - 2 [ 1� (1 mm)(4 mm)3] = 20,58 mm4 
1 . Nesse projeto, uma única fileira de pregos prende 
a parte superior ou a parte inferior da aba à alma. Para uma 
dessas abas, 
Q = )I' A' = [2,25 cm][3 cm(0,5 cm)] = 3,375 cm3 
de modo que 
VQ 
q = ! 
40 N _ V(3,375 cm3 ) 
9 cm 
-
20,58 cm4 
V = 27,1 N Resposta 
1 1 . Nesse caso, uma única fileira de pregos prende 
um dos lados das tábuas à alma. Assim, 
Q = )I' A' = [2,25 cm][1 cm(0,5 cm)] = 1 ,125 cm3 
VQ 
q = ! 
40 N _ V(1,125 cm3) 
9 cm - 20,58 cm4 
V = 81,3 N Resposta 
'7.36. A viga é construída com duas tábuas presas uma à 
outra na parte superior e na parte inferior por duas fileiras 
de pregos espaçados de 150 mm. Se cada prego puder supor­
tar uma força de cisalhamento de 2,5 kN, determine a força 
de cisalhamento máxima V que pode ser aplicada à viga. 
50� SOm� 
Problema 7.36 
CISALHAMENTO TRANSVERSAL 281 
7.37. A viga é construída com duas tábuas presas uma à ou­
tra na parte superior e na parte inferior por duas fileiras de 
pregos espaçados de 150 mm. Se uma força de cisalhamento 
interna V = 3 kN for aplicada às tábuas, determine a força de 
cisalhamento à qual cada prego resistirá. 
SO m� 
SO m� 
I 
Problema 7.37 
7.38. A viga é construída com cinco tábuas parafusadas 
como mostra a figura. Determine a força de cisalhamento má­
xima desenvolvida em cada parafuso se o espaço entre eles for 
s = 250 mm e o cisalhamento aplicado for V = 35 kN. 
Problema 7.38 
7.39. A viga é construída com cinco tábuas parafusadas como 
mostra a figura. Determine o espaçamento máximo s para os 
parafusos se cada um deles puder resistir a um cisalhamento 
de 20 kN e o cisalhamento aplicado for V = 45 kN. 
Problema 7.39 
282 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
"7.40. A viga está sujeita a um cisalhamento V = 800 N. De­
termine a tensão de cisalhamento média desenvolvida nos 
pregos ao longo dos lados A e B se eles estiverem espaçados 
de s = 100 mm. Cada prego tem diâmetro de 2 mm. 
Problema 7.40 
7.41. A viga é fabricada com dois T estruturais equivalen­
tes e duas chapas. Cada chapa tem altura de 150 mm e espes­
sura de 12 mm. Se um cisalhamento V = 250 kN for aplicado 
à seção transversal, determine o espaçamento máximo dos 
parafusos. Cada parafuso pode resistir a uma força de cisa­
lhamento de 75 kN. 
Problema 7.41 
7.42. A viga é fabricada com dois T estruturais equivalentes 
e duas chapas. Cada chapa tem altura de 150 mm e espessura 
de 12 mm. Se os parafusos estiverem espaçados de s = 200 
mm, determine a força de cisalhamento máxima V que pode 
ser aplicada à seção transversal. Cada parafuso pode resistir 
a uma força de cisalhamento de 75 kN. 
Problema 7.42 
7.43. A viga-mestra de alma dupla é composta por duas 
chapas de compensado presas a elementos de madeira na 
parte superior e na parte inferior. Se cada elemento de fi­
xação puder suportar 3 kN em cisalhamento simples, deter­
mine o espaçamento s exigido entre os elementos de fixação 
para suportar o carregamento P = 15 kN. Considere que A é 
presa por pino e B é um rolete. 
�q:�= 
250 mm 
� l 50 mm
A 
]so mm 
--1 1 1 1--
SO mm I 50 mm 
150 mm 
P1·oblema 7.43 
p 
*7,44. A viga-mestra de alma dupla é composta por duas fo­
lhas de compensado presas a elementos de madeira na parte 
superior e na parte inferior. A tensão de flexão admissível 
para a madeira é cractm = 56 MPa, e a tensão de cisalhamen­
to admissível é Tadm = 21 MPa. Se os elementos de fixação 
forem espaçados de s = 150 mm e cada um puder suportar 
3 kN em cisalhamento simples, determine a carga máxima P 
que pode ser aplicada à viga. 
� �"--'{ [ T
: :: 
250 mm 
�� [ so �
A 
]so mm 
--1 1 1 1--
SO mm I 50 mm 
150 mm 
Problema 7.44 
p 
7.45. A viga é composta por três tiras de poliestireno coladas 
como mostra a figura. Se a cola tiver uma resistência ao cisa­
lhamento de 80 kPa, determine a carga máxima P que pode ser 
aplicada sem que a cola perca sua capacidade de aderência. 
30 mm 
� 
40 mm 
t-= 
60 mm 
f-
40 mm 
_j__ 
H p 
20 mm 
A 
�0,8 mf- 1 m--+-- 1 m -4-o,s m� 
Problema 7.45 
.�. 
A6 A viga é feita com quatro tábuas pregadas como mostra a "' ' 
Se cada um dos pregos puder supmiar uma força de cisa­figura.
nto de 500 N determine os espaçamentos s' e s exigidos en-lhallle ' . . 
I S Se a viga for submetida a um c1salhamento V= 3,5 kN. trc e e 
mm 
250 mm l � � 40 mm 
Problema 7.46 
7.47. A viga é fabricada com dois perfis em U equivalentes 
e duas chapas. Cada chapa tem altura de 150 mm e espessura 
de 12 mm. Se um cisalhamento V = 250 kN for aplicado à 
seção transversal, determine o espaçamento máximo entre 
os parafusos. Cada parafuso pode resistir a uma força de ci­
salhamento de 75 kN. 
Problema 7.47 
'7.48. Uma viga de madeira é compostapor n tábuas, cada 
uma com seção transversal retangular. Escreva um código 
computacional que possa ser usado para determinar a tensão 
de cisalhamento máxima na viga quando ela for submetida 
a qualquer cisalhamento V. Mostre uma aplicação do código 
usando uma seção transversal em "T" e uma seção transver­
sal em caixão. 
Problema 7.48 
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 283 
7.49. A viga de madeira T está sujeita a uma carga compos­
ta por n forças concentradas, P . Se a tensão de cisalhamento 
admissível V para cada um"dos pregos for conhecida, es-prego 
creva um código computacional que especifique o espaça-
mento dos pregos entre cada carga. Mostre uma aplicação do 
código usando os valores L = 4,5 m, a1 = 1,2 m, P1 = 3 kN, 
a2 = 2,4 m, P2 = 7,5 kN, b1 = 37,5 mm, h1 = 250 mm, 
b2 = 200 mm, h2 = 25 mm, e V prego = 1 kN. 
Problema 7.49 
7.50. A escora é construída com três peças de plástico 
coladas como mostra a figura. Se a tensão de cisalhamento 
admissível para o plástico for rndm = 5,6 MPa e cada junta 
colada puder resistir a 50 kN/m, determine o maior carrega­
mento distribuído w que pode ser aplicado à escora. 
j l l lfP 1 1 1 1 � ��l 1 1 r 
l-l m 2 m l m_j 
1 
25 mm 
T 
75 mm 
1 
SO mm-1 f-
--1 1- 12 mm 
12 mm 
Problema 7.50 
7.5L A escora é construída com três peças de plástico çoladas 
como mostra a figura. Se a carga distribuída for w = 3 kN/m, 
determine o fluxo de cisalhamento ao qual cada junta colada 
deve resitir. 
284 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
{1.1 Lg! ll LU LMJ-l.lf 
l-l m 2 m , l m_j 
mm 
T 75 mm 
1 
SO mm--1 r-
-I !-- 12 mm 12mm 
Problema 7.51 
*7.52. A viga está sujeita ao carregamento mostrado na fi­
gura, onde P = 7 kN. Determine a tensão de cisalhamento 
�édia desenvolvida nos pregos no interior da região AB da 
v1ga. Os pregos estão localizados em cada lado da viga e es­
paçados de 100 mm. Cada prego tem diâmetro de 5 mm. 
· . � f.--__..j l--250 mm 30 mm 30mm 
Problema 7.52 
7.53. A viga é composta por quatro tábuas pregadas. Se os 
pre.g�s estiver�m de ambos os lados da viga e cada um puder 
resistir a um c1salhamento de 3 kN, determine a carga máxi­
ma P que pode ser aplicada à extremidade da viga. 
Problema 7.53 
7.54. O elemento consiste em dois canais [U] de plásti­
co com 12 mm de espessura colados em A e B. Se a cola 
puder suportar uma tensão de cisalhamento admissível de 
Tadm = 4,2 MPa, determine a intensidade máxima w do car­
regamento distribuído triangular que pode ser apli�ado ao 
elemento tomando como base a resistência da cola. 
k---2 m---1----2 m------1 
--1 75 mm � 
Problema 7.54 
7.55. O elemento consiste em dois canais [U] de plástico 
com 12 mm de espessura colados em A e B. Se a carga distri­
buída tiver intensidade máxima w = 50 kN/m, determine a 
tensão de cisalhamento máxima à ;ual a cola resiste. 
Wo 
�2 m-----*�--�2 m----� 
75 mm 
/ 
Pt·oblema 7.55 
7.5 Fluxo de cisa l h amento em 
elementos de paredes finas 
Na seção anterior, desenvolvemos a equação do 
fluxo de cisalhamento, q = VQ!I, e mostramos como 
ela pode ser usada para determinar o fluxo de cisalha­
mento que age ao longo de qualquer plano longitudi­
nal de um elemento. Nesta seção, mostraremos como 
aplicar essa equação para determinar a distribuição do 
fluxo de cisalhamento pela área da seção transversal 
de um elemento. Aqui, consideraremos que o elemen­
to tem paredes finas, isto é, a espessura da parede é 
pequena em comparação com a altura ou largura do 
elemento. Como mostraremos na próxima seção, essa 
análise tem importantes aplicações no projeto estrutu­
ral e mecânico. 
Antes de determinar a distribuição do fluxo de ci­
salhamento em uma seção transversal, em primeiro 
lugar mostraremos como o fluxo de cisalhamento está 
relacionado com a tensão de cisalhamento. Para tal, 
considere o segmento dx de uma viga com abas largas 
na Figura 7.1 9a. Um diagrama de corpo livre de uma 
porção da aba é mostrado na Figura 7.19b. A força dF 
é desenvolvida ao longo da seção longitudinal sombrea­
da de modo a equilibrar as forças normais F e F + dF 
criadas pelos momentos M e M + dM, respectivamen­
te. Visto que o segmento tem comprimento dx, então 
0 fluxo de cisalhamento ou força por comprimento ao 
longo da seção é q = dF!dx. Como a parede da aba é fi!w, a variação da tensão de cisalhamento r não va­
na muito ao longo da espessura t da seção; portanto, 
consideraremos que ela é constante. Por consequência, 
dF ==- r dA = r(t dx) = q dx, ou 
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 285 
q = rt (7.7) 
Esse mesmo resultado também pode ser determi­
nado comparando a equação do fluxo de cisalhamento, 
q = VQ/I, com a fórmula do cisalhamento, r = VQ!It. 
Como a tensão de cisalhamento, o fluxo de cisalha­
mento age em ambos os planos, longitudinal e trans­
versal. Por exemplo, se o elemento de canto no ponto 
B na Figura7.19b for removido (Figura 7.19c), o fluxo 
de cisalhamento age como mostrado na face lateral do 
elemento. Embora a componente vertical transversal 
do fluxo de cisalhamento exista, nós a desprezaremos 
porque, como mostra a Figura 7.19d, essa componente, 
assim como ocorre na tensão de cisalhamento, é apro­
ximadamente zero em toda a espessura do elemento. 
Isso porque consideramos que as paredes são finas e 
as superfícies superior e inferior do elemento estão li­
vres de tensão. Resumindo, somente será considerada 
a componente do fluxo de cisalhamento que age para­
lelamente às paredes do elemento. 
Por uma análise semelhante, isolar o segmento do 
lado esquerdo na aba superior (Figura 7.19e) definirá 
a direção correta do fluxo de cisalhamento no elemen­
to de canto C do segmento (Figura 7 .19f). Mostre, por 
esse método, que o fluxo de cisalhamento nos pontos 
correspondentes B' e C' na aba inferior é dirigido 
como mostra a Figura 7.19g. 
Esse exemplo ilustra como a direção do fluxo de 
cisalhamento pode ser definida em qualquer ponto da 
seção transversal de uma viga. Agora, usando a fórmu­
la do fluxo de cisalhamento, q = VQ/I, mostraremos 
como determinar a distribuição do fluxo de cisalha­
mento por toda a seção transversal. É de esperar que 
essa fórmula dê resultados razoáveis para o fluxo de 
cisalhamento já que, como afirmamos na Seção 7.3, a 
precisão dessa equação melhora para elementos que 
têm seções transversais retangulares finas. Contudo, 
para qualquer aplicação, a força de cisalhamento V 
deve agir ao longo de um eixo de simetria ou eixo prin­
cipal de inércia do centroide da seção transversal. 
Começaremos determinando a distribuição do flu­
xo de císalhamento ao longo da aba superior direita da 
viga T na Figura 7.20a. Para tal, considere o fluxo de ci­
salhamento q que age no elemento cinza-escuro loca­
lizado a uma distância arbitrária x da linha central da 
seção transversal (Figura 7.20b). Esse fluxo é determi­
nado pela Equação 7.6 com Q = y'A' = [d/2](b/2 x)t. 
Assim, 
= 
VQ 
= 
V[d/2] ( (b/2) - x)t 
= 
Vtd (!!__ _ \I (7.S) q I I 2I 2 
x; 
Por inspeção, essa distribuição é linear e varia de 
q = O em X = b/2 a (qmá)aba = Vt db/4I em X = O. (A li­
mitação de x = O é possível aqui, visto que considera­
mos que o elemento tem "paredes finas" e, portanto, a