Resistencia dos Materiais Hibbeler - 9.3 Tensões principais e tensão de cisalhamento máxima no plano

Prévia do material em texto

50 MPa 
(a) 
D 
(c) 
c 
SO MPa 
D 
x' 
X 
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 327 
X 
o = -30° 
x' 
(b) 
4,15 MPa 
25,8 MPa 
(d) 
Figura 9.7 
Tensões principais e tensão de 
dsalhamento máxima no plano 
Pelas equações 9 .1 e 9.2 podemos ver que O'x, e Tx'y' 
dependem do ângulo de inclinação e dos planos nos 
quais essas tensões agem. Na prática da engenharia, 
muitas vezes é importante determinar a orientação 
dos planos que fazem com que a tensão normal seja 
máxima e mínima e a orientação dos planos que fazem 
com que a tensão de cisalhamento seja máxima. Nesta 
seção, consideraremos cada um desses problemas. 
Tensões pri ncipais no plano. Para deter­
minar a tensão normal máxima e mínima, temos que 
diferenciar a Equação 9.1 em relação a (J e igualar o 
resultado a zero, o que dá 
dO'x• = 
de 
O'x - O'y 
· 2 
(2 sen 28) + 2Txy cos 2e = O 
Resolvendo essa equação, obtemos a orientação e = e 
dos planos da tensão normal máxima e mínima. 
P 
(9.4) 
T 
(Ux; Uy) 
Figura 9.8 
A solução tem duas raízes, eP1 e epz· Especifica­
mente, os valores de 2eP1 e 2eP2 estão afastados um 
do outro por 180° ' portanto, e p! e e p2 estarão afasta­
dos por 90°. 
Os valores de ep1 e ep2 devem ser substituídos na 
Equação 9.1, se quisermos obter as tensões normais 
exigidas. Podemos obter os necessários seno e cosseno 
de 2eP1 e 2eP2 pelos triângulos sombreados mostrados 
na Figura 9.8. A construção desses triângulos baseia-se 
na Equação 9.4, considerando que Txy e (O'x - O') são 
ambas quantidades positivas ou ambas quantidades 
negativas. Temos, para e p!' 
328 RESIST�NCIA DOS MATERIAIS 
para ep2' 
((jx - (jy)l� ((jx - (jy)2 
2 COS 2e p2 = -
2 2 
+ Txy 
Se qualquer desses dois conjuntos de relações tri­
gonométricas for substituído na Equação 9.1 e simpli­
ficado, obteremos 
(9.5) 
Dependendo do sinal escolhido, esse resultado dá 
a tensão normal máxima ou inínima no plano que age 
em um ponto, onde (j1 2 (j2• Esse conjunto particular 
de valores é denominado tensões principais no plano, 
e os planos correspondentes sobre os quais agem são 
denominados planos principais de tensão (Figura 9.9) . 
Além do mais, se as relações trigonométricas para eP1 
e eP2 forem substituídas na Equação 9.2, podemos ver 
que r , , = O·, isto é, nenhuma tensão de cisallzamento x y 
age nos planos principais. 
Tensão de cisalhamento máxima no plano. 
A orientação de um elemento cujas faces estão sujeitas 
à tensão de cisalhamento máxima pode ser determina-
y' 
da tomando-se a derivada da Equação 9.2 em relação 
a e e igualando o resultado a zero. Isso dá 
- ((jx - G'y)/2 
tg 2 es = ----­
Txy (9.6) 
As duas raízes dessa equação, es1 e esz' podem ser 
determinadas pelos triângulos sombreados mostrados 
na Figura 9.10. Por comparação com a Figura 9.8, cada 
raiz de 2e está a 90° de 2e . Logo, as raízes e e e esta-0 s p s p 
a 45° uma da outra, e o resultado é que os planos para 
tensão de cisallzamento máxima podem ser determi­
nados orientando um elemento a 45° em relação à 
posição de um elemento que define os planos da ten­
são principal. 
Usando qualquer uma das raízes es1 ou esz' podemos 
determinar a tensão de cisalhamento máxima tomando 
os valores trigonométricos de sen 2es e cos 2es da Figura 
9.10 e substituindo-os na Equação 9.2. O resultado é 
Tmáx = )((jx � (jy)2 
+ Tx/ 
no plano (9.7) 
o valor de T máxno plano calculado pela Equação 9.7 é 
denominado tensão de cisal/zamento máxima no pla­
no porque age sobre o elemento no plano x-y. 
Substituindo os valores de sen 2e, e cos 2e, na Equa­
ção 9.1, vemos que também há uma tensão normal nos 
planos onde ocorre a tensão de cisalhamento máxima, 
Obtemos 
(jméd = 
2 
(9.8) 
Como ocorre com as equações de transformação 
de tensão, pode ser conveniente programar essas equa­
ções em uma calculadora de bolso. 
Tensões principais no plano 
Figura 9.9 Figura 9.10 
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 329 
de tensão Jloponto també'm pode ser -te�re$e��â49 como a tensão de cisalhamentç.m(lxirrt4.ilo.plano. Nesse 
lllÚâ tensão normal média.também.age no,ele��n��; 
· que representa.a tens�o de cisalb��yJ1to Jllá..'$ima M plano coro a�. tt?nsões. norm�is médias· associadas 
orientado a45° emrelação a<J elemento qÚt:l represen.(a as tensões principais, 
� N:;0 � =� 
m�EENII!lJU� �.à : 
Quando a carga de torção T é aplicada à barra na Figura 
9.11a, ela produz um estado de tensão de cisalhamento puro 
no material. Determine (a) a tensão de cisalhamento máxima 
no plano e a tensão normal média associada e (b) as tensões 
principais. 
SOLUÇÃO 
Pela convenção de sinal definida, 
a = O 
X 
a = O )' r = -r xy 
Tensão de c:isalhamento máxima no plano. Pelas equa­
ções 9.7 e 9.8,temos 
ax + ay O + O 
O'méd= = �� = O 2 2 
Resposta 
Resposta 
Assim, como esperado, a tensão de cisalhamento máxima no 
plano é representada pelo elemento na Figura 9.1la. 
Foi constatado por métodos experimentais que materiais 
dzícteis falharão devido a tensão de cisalhamento. O resulta­
do é que, se for aplicado um torque a uma barra feita de aço 
doce, a tensão de cisalhamento máxima no plano provocará 
a ruptura da barra. 
T 
-
(a) (b) 
Figura 9.11 
Tensão principal. Pelas equações 9.4 e 9.5 temos 
tg 2(} p = ( - )/2 ax ay 
-r 
(O _ 0)/2 , ap2 = 45°, apl = 135° 
Resposta 
Se agora aplicarmos a Equação 9.1 com (}P2 = 45°, então 
ax + ay ax - ay 
ax• = 2 + 2 cos 2(} + r.q sen 28 
= O + O + ( -r) sen 90° = -r 
Assim, a2 = -r age em (}P2 = 45° como mostra a Figura 9.1lb, 
e a1 = r age na outra face, (}P1 = 135°. 
OBSERVAÇÃO: Materiais frágeis falham por conta da ten­
são normal. É por isso que, quando um material frágil, como 
o ferro fundido, é submetido à torção, falha sob tração à in­
clinação de 45°. 
Quando a carga axial P é aplicada à barra na Figura 
9.12a, produz uma tensão de tração no material. Determine 
(a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento má­
xima no plano e a tensão normal média associada. 
SOLUÇÃO 
Pela convenção de sinal estabelecida, 
a = a 
X 
a = O )' r = 0 xy 
Tensão principal. Por observação, o elemento orientado 
como mostra a Figura 9.12a ilustra uma condição de tensão 
principal visto que nenhuma tensão de cisalhamento age nes­
se elemento. Isso também pode ser mostrado por substitui­
ção direta dos valores acima nas equações 9.4 e 9.5. Assim, 
Resposta 
330 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
(a) 
, x' _:"" Uméd =�/ Uméd - 2 , """ 
- (T 7máxno - 2 plano 
\ 4SO 
(b) 
Figura 9.12 
Como estudos experimentais constataram que a tensão nor­
mal provoca falha em materiais frágeis, se a barra for feita 
de material frágil, como ferro fundido, a tensão normal pro­
vocará ruptura. 
Tensão de c:isalhamento máxima no plano. Pelas equa­
ções 9.6, 9.7, e 9.8, temos 
-(ux - uy)/2 
tg 20s = ----­Txy 
T máx = + T 2 = -- + O 2 = ±-
�(Ux - Uy)2 �(U - Q)2 U 
no plano 2 xy 2 ( ) 2 
Resposta 
G"méd= 2 2 Resposta 
Para determinar a orientação adequada do elemento, apli­
que a Equação 9.2. 
fíx - fíy 
T x'y' = 
2 
sen 28 + T xy cos 28 
u - 0 u - -- sen 90°+ O = 
2 2 
Essa tensão de cisalhamento negativa age na face x'
, na dire­
ção de y' negativo, como mostra a Figura 9.12b. 
OBSERVAÇÃO: Se a barra for feita de material dúctil como 
aço doce, então a tensão de cisalhamento provocará a ruptu­
ra da barra quando esta for submetida à tração. 
��??"�� :�,4f"'"�"' WC ::70� ���Nllmum 2.s 
� • M -
O estado plano de tensão em um ponto sobre um corpo 
é mostrado no elemento na Figura 9.13a. Represente esse 
estado de tensão em termos das tensões principais. 
SOLUÇÃO 
Pela convenção de sinal estabelecida, temos 
u = -20 MPa X uy = 90 MPa Txy = 60 MPa 
Orientação de elemento. Aplicando a Equação 9.4, temos 
60 
( -20 - 90)/2 
Resolvendo e denominando essa raiz OP2, como mostraremos 
a seguir, obtemos 
Como a diferença entre 20P1 e 20P2 é 180°, temos 
20 = 180° + 20 = 132 51° pl p2 ' 
Lembre-se de que O é positivo quando medido em sentido 
anti-horário do eixo x até a normal orientada para fora (eixo 
x
') na facedo elemento e, portanto, os resultados são os mos· 
trados na Figura 9.13b. 
Tensões principais. Temos 
-
Ux + Uy /(ux - Uy)2 2 0"1 ,2 - 2 ± 'J 2 
+ Txy 
= -20 
2
+ 90 
± 
� ( -20 
2
- 90y + (60)2 
= 35,0 ± 81,4 
u1 = 116 MPa Resposta 
u2 = -46,4 MPa Resposta 
O plano principal no qual cada tensão normal age pode 
ser determinado pela Equação 9.1 com, digamos, O == Opz "' 
-23 ,7°. Temos 
Ux + U y Ux - U )' 
Ux• = 2 + 2 cos 20 + Txy sen 20 
-20 + 90 -20 - 90 3 7") = + cos 2(-23 7°) + 60 sen 2(-2 • 
2 2 ' 
= -46,4 MPa 
··,....-
p 
p 
d 
I 
r c 
Sl' 
111. 
se 
O r 
M 
90 MPa x' 
(a) (b) 
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 331 
u1 = 116 MPa 
(c) 
eP, = 23,7° 
Uz = 46,4 MPa 
Figura 9.13 
Por consequência, a2 = -46,4 MPa age no plano definido 
por e 2 = -23,7°, ao passo que aP1 = 116 MPa age no plano 
definfdo por e
P
1 = 66,3°. Os resultados são mostrados no ele­
mento na Figura 9.13c. Lembre-se de que nenhuma tensão 
de cisalhamento age nesse elemento. 
O estado plano de tensão em um ponto sobre um corpo é 
representado no elemento mostrado na Figura 9.14a. Repre­
sente esse estado de tensão como a tensão de cisalhamento 
máxima no plano e a tensão normal média associada. 
SOLUÇÃO 
Orientação de elemento. Como ax = -20 MPa, aY = 90 
MPa e rxy = 60 MPa e aplicando a Equação 9.6, temos 
2e,, = 42,5° 
2e,l = 180° + 2e,, 
90 MPa 
-( -20 - 90)/2 
60 
e,, = 21,3° 
e,1 = 111,3° 
x' 
Observe que esses ângulos mostrados na Figura 9.14b estão 
a 45° dos planos principais de tensão, que foram determina­
dos no Exemplo 9.5. 
Tensão de dsalhamento máxima no plano. Aplicando 
a Equação 9.7, 
�(O'
x -
O'
y)2 �(-20 - 90)2 
'T��plano = 2 + rx/ = 2 + (60)2 
= 81,4 MPa Resposta 
A direção adequada de 
r máx no plano no elemento pode ser de­
terminada considerando e = e ,2 = 21,3° e aplicando a Equa­
ção 9.2. Temos 
(ax - O'
y) 
'Tx'
y
' 
= - 2 sen 2e + 
r
xy cos 2e 
(-20 - 90) 
= - 2 sen 2(21,3°) + 60 cos 2(21,3°) 
= 81,4 MPa 
35 MPa 
(a) (b) 
Figura 9.14 
(c) 
332 RESISTtNCIA DOS MATERIAIS 
Assim, T máx no plano = T,,y' age na direção de y' positivo nessa 
face (IJ = 2l ,3°) . As tensões de cisalhamento nas outras três 
faces estão dirigidas como mostra a Figura 9.14c. 
Tensão normal média. Além da tensão de cisalhamento 
máxima que calculamos, o elemento também está sujeito a 
uma tensão normal média determinada pela Equação 9.8; 
isto é, 
ax + ay 
améd= 2 
-20 + 90 
= 35 MP a 2 Resposta 
Essa é uma tensão de tração. Os resultados são mostrados 
na Figura 9 .14c. 
;:;, "" ""'"" 
- "" � "' � = �= 
�R®BIYJ���S 
/0 "' = � "" 8 � 
9.1. Prove que a soma das tensões normais a_, + aY = ax, + a/ 
é constante. Veja figuras 9.2a e 9.2b. 
9.2. O estado de tensão em um ponto em um elemento es­
trutural é mostrado no elemento. Determine as componentes 
de tensão que agem no plano inclinado AB. Resolva o proble­
ma usando o método do equilíbrio descrito na Seção 9.1. 
A 
Pt·oblema 9.2 
9.3. O estado de tensão em um ponto em um elemento es­
trutural é mostrado no elemento. Determine as componentes 
da tensão que agem no plano inclinado AB. Resolva o proble­
ma usando o método de equilíbrio descrito na Seção 9.1. 
350 kPa 
Problema 9.3 
'9.4. O estado de tensão em um ponto em um elemento es­
trutural é mostrado no elemento. Determine as componentes 
da tensão que agem no plano inclinado AB. Resolva o proble­
ma usando o método de equilíbrio descrito na Seção 9.1. 
B 
Problema 9.4 
9.5. O estado de tensão em um ponto em um elemento es­
trutural é mostrado no elemento. Determine as componentes 
da tensão que agem no plano inclinado AB. Resolva o proble­
ma usando o método de equilíbrio descrito na Seção 9.1. 
A 
50 MPa 
B 
Problema 9.5 
9.6. O estado de tensão em um ponto em um elemento es­
trutural é mostrado no elemento. Determine as componentes 
da tensão que agem no plano inclinado AB. Resolva o proble­
ma usando o método de equilíbrio descrito na Seção 9.1. 
A 
Problema 9.6 
9.7. Resolva o Problema 9.2 usando as equações de trans­
formação de tensão desenvolvidas na Seção 9.2. 
*9.8. Resolva o Problema 9.4 usando as equações de trans­
formação de tensão desenvolvidas na Seção 9.2. 
9 Resolva o Problema 9.6 usando as equações de trans­:�r�ação de tensão desenvolvidas na Seção 9.2. Mostre o 
resultado em um desenho. 
9 10• Determine o estado de tensão equivalente em um ele­�ento, se ele estiver orientado a 30° em sentido anti-horário 
rn relação ao elemento mostrado. Use as equações de trans-
e -
formação de tensao. 
300 kPa 
Problema 9.10 
9.11. Determine o estado de tensão equivalente em um ele­
mento, se ele estiver orientado a 60° em sentido horário em 
relação ao elemento mostrado. 
;::==:::::::::=:,120 kPa 
--+ L----�� 
H--• 300 kPa 
Problema 9.11 
'9.12. Resolva o Problema 9.6 usando as equações de trans­
formação de tensão. 
9.13. O estado de tensão em um ponto é mostrado no ele­
mento. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de 
cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no 
ponto. Especifique a orientação do elemento em cada caso. 
60MPa 
Problema 9.13 
9.14. O estado de tensão em um ponto é mostrado no ele­�ento. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de 
CISalhamento máxima no plano e a tensão normal média no 
ponto. Especifique a orientação do elemento em cada caso. 
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 333 
18 OMPa 
150MP a 
Problema 9.14 
9.15. O estado de tensão em um ponto é mostrado no ele­
mento. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de 
cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no 
ponto. Especifique a orientação do elemento em cada caso. 
14-- 30MPa 
---- 12MPa 
Problema 9.15 
*9.16. O estado de tensão em um ponto é mostrado no ele­
mento. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de 
cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no 
ponto. Especifique a orientação do elemento em cada caso. 
250 MPa 
Problema 9.16 
9.17. Um ponto sobre uma chapa fina está sujeito aos dois 
estados de tensão sucessivos mostrados na figura. Determi­
ne o estado de tensão resultante representado no elemento 
orientado como mostrado à direita. 
00 MPac /, 58 MPa 
+ 11 !! �61 
350MPa 
Problema 9.17 
lrx 
9.18. A barra de aço tem espessura de 12 mm e está sujeita 
à carga periférica mostrada na figura. Determine as tensões 
principais desenvolvidas na barra. 
334 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
������������� --r 
50 mm 
�������±=���=-�---L 
4 kN/m 
Problema 9.18 
4 kN/m 
9.19. Uma placa de aço tem espessura de 10 mm e está 
sujeita à carga periférica mostrada na figura. Determine a 
tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal 
média desenvolvidas no aço. 
Problema 9.19 
*9.20. A tensão que age nos dois planos em um ponto é 
indicada na figura. Determine a tensão de cisalhamento no 
plano a-a e as tensões principais no ponto. 
a 
60 
b 
b 
Problema 9.20 
9.21. A tensão que age nos dois planos em um ponto é in­
dicada na figura. Determine a tensão normal ub e as tensões 
principais no ponto. 
a 
Problema 9.21 
9.22. O grampo de fixação força a superfície lisa contra 0 
ponto E quando o parafuso é apertado. Se a força de tração 
no parafuso for 40 kN, determine as tensões principais nos 
pontos A e B e mostre os resultados em elementos localiza­
dos em cada em um desses pontos. A área da seção transver­
sal em A e B é mostrada na figura adjacente. 
9.23. Resolva o Problema 9.22 para os pontos C e D. 
Problemas 9.22/23 
_L 301{J� 
40 mm 10 mm 
50 mm 
l_H 
30 mm 0A 
T� f_ 
25 mm 
*9.24. As fibras da madeira da tábua formam um ângulo 
de zoo com a horizontal como mostra a figura. Determine a 
tensão normal e a tensão de cisalhamento que agem perpen­
dicularmente às fibras, se a tábua é submetida a uma carga 
axial de 250 N. 
250 N 
Problema 9.24 
9.25. Um bloco de madeira falhará, se a tensão de cisalha­
mento que age ao longo da fibra for 3,85 MPa. Se a tensão 
normal ux = 2,8 MP a, determine a tensão de compressão lTr 
necessária paraprovocar ruptura. 
Problema 9.25 
9.26. A viga T está sujeita ao carregamento distribu�do 
aplicado ao longo de sua linha central. Determine as tens�e� 
principais nos pontos A e B e mostre os resultados ern e e 
mentos localizados em cada um desses pontos. 
lJ. 
Problema 9.26 
9.27. A haste curvada tem diâmetro de 15 mm e está sujeita 
à força de 600 N. Determine as tensões principais e a tensão 
de cisalhamento máxima no plano desenvolvidas no ponto A 
e no ponto B. Mostre os resultados em elementos adequada­
mente orientados nesses pontos. 
!--- 75 mm -�- 75 mm � 
Problema 9.27 
'9.28. A superfície superior da viga simplesmente apoiada 
está sujeita à tensão de tração T 0• Determine as tensões prin­
cipais nos pontos A e B. 
To 
� ___.... ____.. c ____.._ � h �. 2 
L/2 ---4o-- L/2 -----! 
Problema 9.28 
9.29. A viga tem seção transversal retangular e está sujeita às 
cargas mostradas. Determine as tensões principais e a tensão 
de cisalhamento máxima no plano desenvolvidas no ponto A 
e no ponto B. Esses pontos estão imediatamente à esquerda 
da carga de 10 kN. Mostre os resultados em elementos ade­
quadamente orientados localizados nesses pontos. 
lO kN 
! [!- fi" "' A 
: � 
150 mm 
l ;i r 
187 5 m I Jl T- .,.._ 5 kN !\ . · j_5 mm 
'."""""""!""' . . .-. __ ___.i_,B--.. � .
.
.. :J'"", •• _�. . 
B , 
600 mm 1 600 mm I 
Problema 9.29 
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 335 
9.30. A viga de abas largas está sujeita às cargas mostradas. 
Determine a tensão principal na viga no ponto A e no ponto 
B. Esses pontos estão localizados na parte superior e na par­
te inferior da alma, respectivamente. Embora a precisão não 
seja muito boa, use a fórmula do cisalhamento para calcular 
a tensão de cisalhamento. 
IA __L lü mm 
lü mm I200 mm 
f------1 T 10 mm 
200 mm 
Problema 9.30 
25 kN 
9.31. O eixo tem diâmetro d e está sujeito às cargas mos­
tradas. Determine as tensões principais e a tensão de cisalha­
mento máxima no plano desenvolvida em qualquer lugar na 
superfície do eixo. 
F 
Problema 9.31 
*9.32. Um tubo de papel é formado enrolando-se uma tira 
de papel em espiral e colando as bordas como mostra a figura. 
Determine a tensão de cisalhamento que age ao longo da li­
nha de junção localizada a 30° em relação à vertical, quando o 
tubo é submetido a uma força axial de 10 N. O papel tem 1 mm 
de espessura e o tubo tem diâmetro externo de 30 mm. 
9.33. Resolva o Problema 9.32 para a tensão normal que 
age perpendicularmente à linha de junção. 
lO N lO N 
30 mm 
Problemas 9.32/33 
9.34. O eixo tem diâmetro d e está sujeito às cargas mos­
tradas. Determine as tensões principais e a tensão de cisa­
lhamento máxima no plano desenvolvidas no ponto A. Os 
mancais suportam apenas reações verticais. 
336 RESIST�NCIA DOS MATERIAIS 
p 
Problema 9.34 
9.35. O tubo da perfuratriz tem diâmetro externo de 75 
mm, espessura de parede de 6 mm e pesa 0,8 kN/m. Se for 
submetido a um torque e a uma carga axial como mostra 
a figura, determine (a) as tensões principais e (b) a tensão 
de cisalhamento máxima no plano em um ponto sobre a sua 
superfície na seção a. 
7,5 kN 
1,2 kN 
Problema 9.35 
9.39. A viga de abas largas está sujeita à força de 50 kN. 
Determine as tensões principais na viga no ponto A loca­
lizado na alma na parte inferior da aba superior. Embora a 
precisão não seja muito boa, use a fórmula do cisalhamento 
para calcular a tensão de cisalhamento. 
'9.40. Resolva o Problema 9.39 para o ponto B localizado 
na alma na parte superior da aba inferior. 
A j_ I 12 mm 10mm I250mm 
T 12 mm r--1 200 mm 
Problemas 9.39/40 
9.41. O parafuso está preso a seu suporte em C. Se aplicar­
mos urna força de 90 N à chave para apertá-lo, determine 
as tensões principais desenvolvidas na haste do parafuso no 
ponto A. Represente os resultados em um elemento localiza­
do nesse ponto. A haste tem 6 mm de diâmetro. 
9.42. Resolva o Problema 9.41 para o ponto B . 
*9.36. As cargas internas em uma seção da viga são mostra- c 
das na figura. Determine as tensões principais no ponto A. 
Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no plano 
nesse ponto. 
9.37. Resolva o Problema 9.36 para o ponto B. 
9.38. Resolva o Problema 9.36 para o ponto C localizado 
no centro na superfície inferior da alma. 
800 kN 
Problemas 9.36/37/38 
kN 
� 
X 
90 N 
Problemas 9.41/42 
9.43. A viga tem seção transversal retangular e está sujeita 
às cargas mostradas. Determine as tensões principais desen­
volvidas no ponto A e no ponto B, localizado imediatamente 
à esquerda da carga de 20 kN. Mostre os resultados em ele­
mentos localizados nesses pontos. 
20 kN 
Problema 9.43 
10 kNBF'] --1100 nun 
w :=two mn1 AJY 
50mm 50mm jl( 
0 eixo maciço da hélice de um navio estende-se para 
do casco. Em operação, ele gira a w = 15 rad/s quando 
tor desenvolve 900 kW de potência, o que causa um 
, 1110180 de p = 1,23 MN no eixo. Se o diâmetro externo do ln!Pu 
for 250 mm, determine as tensões principais em qual­
ponto localizado na superfície do eixo. 
9,45, 0 eixo maciço da hélic: de um. navio estende-se 
a fora do casco. Em operaçao, ele g1ra a w = 15 rad/s pa�n do 0 motor desenvolve 900 kW de potência, o que qu
usa um impulso de F = 1 ,23 MN no eixo. Se o diâmetro c�terno do eixo for 250 mm, determine a tensão de cisa­�bamento máxima no plano em qualquer ponto localizado 
na superfície do eixo. 
T F 
Pl'oblemas 9.44/45 
9.46. O tubo de aço tem diâmetro interno de 68 mm e diâ­
metro externo de 75 mm . Se estiver preso em C e for subme­
tido à força horizontal de 100 N que age na extremidade do 
cabo da chave, determine as tensões principais no tubo no 
ponto A localizado na superfície do tubo. 
9.47. Resolva o Problema 9.46 para o ponto B localizado 
na superfície do tubo. 
100 N 
r 
250 mm L 
B 
c 
-- y 
X 
Pl'oblemas 9.46/47 
'9.48. A extremidade da viga em balanço está sujeita à car­
ga mostrada. Determine as tensões principais na viga nos 
pontos A e B. 
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 337 
150 
Pwblema 9.48 
9.49. A viga-caixão está sujeita às cargas mostradas na figu­
ra. Determine as tensões principais na viga nos pontos A e B. 
4 kN 
150 mm 
A H 
6 kN 
150 mm I l'wl Izoo mm 
� 200 mm 
Pl'oblema 9.49 
9.50. Uma barra tem seção transversal circular com di­
âmetro de 25 mm e está sujeita a torque e a momento 
fietor. No ponto de tensão de flexão máxima as tensões 
principais são 140 MPa e -70 MPa. Determine o torque e 
o momento fletor. 
9.51. As cargas internas em uma seção da viga consis­
tem em uma força axial de 500 N, uma força de cisalha­
mento de 800 N e duas componentes de momento de 
30 N · m e 40 N · m. Determine as tensões principais no ponto 
A . Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no 
plano nesse ponto. 
*9.52. As cargas internas em uma seção da viga con­
sistem em uma força axial de 500 N, uma força de cisa­
lhamento de 800 N e duas componentes de momento de 
30 N · m e 40 N · m. Determine as tensões principais no pon­
to B. Calcule também a tensão de cisalhamento máxima 
no plano nesse ponto. 
9.53. As cargas internas em uma seção da viga consis­
tem em uma força axial de 500 N, uma força de cisalha­
mento de 800 N e duas componentes de momento de 
30 N · m e 40 N · m. Determine as tensões principais no ponto 
C. Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no 
plano nesse ponto.