Exercicios resolvidos área 2

Prévia do material em texto

σint = σz 
 
 
 
 
 
Questionário 
2- Uma barra é composta por um material que apresenta comportamento linear elástico até a ruptura 
por tração uniaxial. Seu comprimento é 80 cm para esforço normal de tração nulo e sua área de seção 
transversal constante é 80 mm². O modulo de elasticidade longitutinal do material que compõe a barra 
é 100 GPa. Sabendo que o esboço normal máximo de tração, o alongamento da barra atinge 1,2 cm 
e que o fator de segurança do material é 1,5, o esforço normal admissível, em kN é igual a 
 
3- Assinale a afirmativa que apresenta uma grandeza dimensional equivalente ao módulo de 
elasticidade de um material 
 
4- Uma chapa de aço de 2,5 cm de espessura está unida a outra da mesma espessura, por meio de 
um rebite com 10 mm de diâmetro. Se, em cada uma das extremidades dessas chapas, for aplicada 
uma força normal de 25kN, a tensão de esmagamento em MPA, que o rebite exerce sobre uma das 
chapas é igual a: 
 
5- Em relação a deformação de tensão no plano, analise as afirmativas: 
 
6 – Em um estado triaxial de tensões em um ponto, as tensões principais NÃO ORDENADAS valem 
90 Mpa, -10,8 Mpa e -31,3 Mpa. Quais os seguintes valores representam as tensões cisalhantes 
máximas possíveis: 
 
 
 
 
 
 
QUESTÕES TEORICAS DE PROVA 
 
1.Com o que se preocupa a Resistência dos Materiais? 
Tem por objetivo básico a determinação dos estados de tensão e deformação que se desenvolvem 
em corpos deformáveis quando submetidos à ação de cargas externas. 
 
2.Quais são os princípios básicos sobre os quais se fundamenta a análise de um corpo (estrutura) 
deformável? 
Estabilidade –o corpo (estrutura) deve satisfazer as equações de equilíbrio estático. 
Resistência–o material que compõe o corpo (estrutura) deve resistir ao estado de tensões gerado 
pelas cargas atuantes; 
Rigidez–o corpo (estrutura) não deve apresentar deformações excessivas. 
 
3.O que são tensões? 
Éuma relação entre forçae área que descreve a intensidade da força interna sobre uma área 
específica. 
 
.4. O que são deformações? 
Quando um corpo é submetido a uma força ou a um sistema de forças, esofredeslocamento em 
relação a um dado sistema de coordenadas de referência. Sehouver alteração entre a distância 
relativa de dois pontos quaisquer deste corpo dizemos que o corpo sofreu deformações. 
 
5.5. O que é tensão normal? 
A intensidade da força ou força por unidade de área, que atua no sentido perpendicular a∆A,é definida 
como tensão normal(sigma)por convenção, considera-se que a tensão normal é positiva em estados 
de tração e negativa em estados de compressão. 
 
6.Quando podemos empregar (quais as hipóteses?) a tensão normal média? 
Peças 
 
 7.O que é tensão tangencial? 
 A intensidade da força ouforça por unidade de área, que atua na tangente a∆A,é definida como tensão 
de cisalhamento,τ(tau). 
 
8.Represente graficamente o estado geral de tensões e suas componentes 
. 
9.O que é deformação normal? 
O alongamento ou a contração de um segmento dereta por unidade de comprimento é definido como 
deformação normal. 
 
10.O que é deformação por cisalhamento? 
A mudança de ângulo observada entre dois segmentos de reta dispostos inicialmente em direções 
perpendiculares entre si, sendo este ângulo indicado por e medido em radianos (rad). 
 
11.Como avaliar a resistência de um material e do que ela dependente? 
A resistência de um material depende de sua habilidade para suportar cargas sem apresentar falha, 
deformação excessiva ou ruptura. 
 
12.O que é um corpo de prova? 
São peças feitas com geometria padronizada e constituídas do material que se deseja estudar, não 
contendo imperfeições para evitar o surgimento de concentração de tensões. 
 
13.Quase os instrumentos que podem ser utilizados para medição da variação dageometria dos 
corpos de prova? 
 
Instrumento óptico de medição, equipamentos como LVDTs (medidores de variação de comprimento), 
extensômetros elétricos colados à peça na direção da deformação. 
 
14. O que são materiais dúcteis? 
São materiais capazes de sofrer grandes deformações antes da ruptura. 
 
15. O que são materiais frágeis? 
Os materiais frágeis apresentam níveis de deformação bem inferiores àqueles obtidos por materiais 
dúcteis. Além disso, os diagramas tensão-deformação referentes a este tipo de material apresentam 
pouco ou nenhum nível de escoamento. 
 
16. Caracterize o comportamento elástico. 
O comportamento elástico é caracterizado basicamente pela reversibilidade do processo de 
deformação. Assim, quando retiramos a carga aplicada sobre o corpo, ele retorna à sua configuração 
geométrica inicial, sem apresentar deformações residuais. 
 
17. O que é escoamento? 
O limite de escoamento é justamente o ponto onde começa a deformação plástica do material. Uma 
vez atingido o limite de escoamento, o corpo-de-prova continuará a apresentar deformação sem 
qualquer aumento de carga. 
 
18. O que é encruamento? 
Após o patamar de escoamento, volta a ser necessário um acréscimo de tensão para provocar um 
acréscimo de deformação. Nesta região do diagrama, a tensão cresce continuamente até que um 
valor máximo é atingido, ao qual se dá o nome de limite de resistência (σr). Este fenômeno de aumento 
de tensões após o escoamento é conhecido por encruamento ou endurecimento 
 
19. O que é estricção? 
Ponto em que se constata, no ensaio de tração, que a área de seção transversal começa a diminuir 
de maneira mais acentuada em uma região localizada da peça, formando um estreitamento ou 
estricção. 
 
20. O que é deformação plástica? 
São deformações permanentes, isto é, permanecem após a tensão aplicada ser retirada. 
 
21. O que é módulo de elasticidade? 
É a constante de proporcionalidade entre tensão axial e a deformação especifica. Descreve o trecho 
reto inicial do diagrama tensão-deformação, onde E é a declividade desta reta. O módulo de 
elasticidade também indica a rigidez do material, sendo alto para materiais rígidos e baixos para 
materiais flexíveis. 
 
22. O que é módulo de cisalhamento? 
É a constante de proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento e a deformação por cisalhamento 
no diagrama tensão-deformação que apresenta uma fase inicial com comportamento elástico linear, 
G é a declividade desta reta. Aparecem em ensaios de torção. 
 
23. O que é coeficiente de Poisson? 
É uma constante que relaciona deformação transversal relativa e a deformação longitudinal relativa, 
quando aplicado uma tensão axial, apresenta valor único para materiais homogêneos e isotrópicos. 
 
24. O que é a Lei de Hooke Generalizada? 
É uma relação da Lei de Hooke e do coeficiente de Poisson para casos tridimensionais, usando o 
principio da superposição. Válido para materiais de pequenas deformações, elásticos lineares, 
isotrópicos e homogêneos. 
 
25. O que é o estado plano de tensões? 
Uma placa fina de material elástico linear, contida no plano xy, submetida somente à ação de forças 
contidas no plano da placa. Apresenta tensão normal σz nula (nas faces e na espessura da placa) e 
as componentes de tensão tangencial na direção z, τxz e τyz, são nulas também. 
 
26. O que é o estado plano de deformações? 
Estrutura com dimensão na direção Z muito maior que as de mais, ocorre constrição lateral, onde as 
seções vizinhas a uma dada seção impedem sua deformação na direção da maior dimensão. Pode-
se assumir que εz = 0. 
 
27. O que são tensões principais? 
São as tensões normais que atuam no corpo nas direções principais, sem atuação das tensões de 
cisalhamento. 
 
28. O que nos permitem determinar as seguintes expressões? 
 
São equações de transformação, que servem para obtenção das componentes de tensões (normais 
e de cisalhamento) em um sistema de eixos x’-y’ com orientação qualquer a partir de um estado plano 
de tensões conhecido x-y descrito pelas componentes σx, σy e τxy, defasados entre si por um ângulo 
θ. 
 
29. Qual a aplicação de autovalores e autovetores em Resistência dos Materiais? 
A determinaçãodas tensões e direções principais é feita através da solução de um problema de 
autovalores e autovetores, onde os autovalores correspondem às tensões principais e os autovetores 
descrevem as direções principais. 
 
30. A tensão de cisalhamento máxima absoluta é igual a tensão de cisalhamento máxima no plano? 
Quando elas são iguais e quando não? 
Comparando-se os três círculos, na representação do circulo de Morh, a tensão de cisalhamento 
máxima absoluta será definida pelo círculo que tenha o maior raio. Dessa forma tensão de 
cisalhamento máxima absoluta é igual a tensão de cisalhamento máxima no plano quando a tensão 
em Z estiver no intervalo das tensões principais XY. 
 
31. Cite 5 teorias de resistência e quais tipos de materiais elas caracterizam. 
Materiais muito Dúcteis: 
Critério de Guest-Tresca – teoria da tensão de cisalhamento máxima 
Critério de von Mises – teoria da energia de distorção máxima 
Materiais muito Frageis: 
Critério de Rankine – teoria da tensão normal máxima 
Critério de Mohr-Coulomb 
Critério de Saint Venant 
 
Q1A-2016-1-PR2 - Um corpo de prova de um dado material foi submetido a um ensaio de tração, 
conduzindo a curva Tensão-Deformação mostrada na figura abaixo: 
 
a)Como classifica o material: frágil ou dúctil? Justifique? (0,1) 
Dúctil, pois se fosse um material frágil teria ruptura brusca com pouca deformação. 
 
b)Para as medições apresentadas, até qual valor de tensão é possível aplicar a lei de Hooke? 
Justifique? (0,3) 
Lei de Hook: No regime elástico linear do material, tensão é proporcional a deformação 
 
 
c)Qual o módulo de elasticidade do material? (0,2) 
 𝐸 =
𝜎
𝜀
=
260𝑀𝑃𝑎
0,025
=10400 Mpa 
Das experiências com molas concluiu que para um determinado material as tensões e as deformações 
específicas são proporcionais enquanto não se ultrapassa o limite elástico do material 
 
d)O material apresenta patamar de escoamento definido? Se apresenta patamar, qual a tensão de 
escoamento? (0,2) 
Patamar de escoamento de 0,025 até 0,06 e σ=260Mpa 
 
e) Qual o valor da tensão normal quando a deformação específica longitudinal é igual a 0,05? Mostre 
no gráfico qual seria a deformação residual se o ensaio tivesse finalizado neste instante com retirada 
da máquina de ensaio? (0,4) 
260 Mpa 
O material entra em escoamento em 0,06 e não volta mais a geometria original, logo essa é a deformação residual. 
 
f) Quais são os valores das tensões limites do material? (0,3) 
Limite de proporcionalidade = 220Mpa 
Limite de elasticidade = Limite de escoamento = 260 Mpa 
Limite de resistência = 290 
Limite de ruptura= 300 
 
Q2A-2016-1-PR2 – O prisma da figura está submetido a um Estado Plano de Deformações. 
Considerar um módulo de elasticidade longitudinal de 210000 MPa e coeficiente de Poisson de0,3 
a) Encontrar as tensões e direções principais, a tensão de cisalhamento máxima no plano XY e sua 
direção e a maior tensão de cisalhamento no entorno de P; 
b) Representar estas grandezas através dos círculos das tensões principais; 
c) Encontrar as deformações específicas e as variações de comprimentos nas direções X, Y e Z; 
d) Se o estado de tensão atua em um ponto de um material que tem tensão limite de tração de 220 
MPa e tensão limite de compressão de 300 MPa, verifique com qual nível de segurança está 
trabalhando de acordo com a teoria de máxima deformação específica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q4A-2016-1-PR2–Projetar a ligação com duplo cobrejuntas, esquematizada na figura. Serão 
utilizados rebites de diâmetro 5/8” (1,59cm). A ligação deve suportar uma carga P = 250 kN com um 
coeficiente de segurança de 1,2, usando a teoria de máxima tensão cisalhante. As medidas da figura 
estão em mm. Todas as chapas tem 15 mm de espessura. O material dos elementos da ligação tem 
tensão limite de cisalhamento de 125 MPa, tensão limite de tração de 220 MPa e tensão limite de 
compressão de 200 MPa. Para o esquema de distribuição dos rebites: deve ter uma distância mínima 
de 3d entre rebites e de 1,5d das bordas das chapas. 
 
 
 
 
 
 
 
Q1R-2016-1-PR2 - Sabendo que  = 0,20 definir se a combinação de estados tensionais está correta. 
Justifique 
 
 
Q2R-2016-1-PR2 - O prisma da figura foi retirado do entorno de um ponto P de uma estrutura 
carregada. Sabe-se que o material com que foi construída tem tensão de escoamento de 40 MPa e 
tensão de ruptura de 70 MPa, além de coeficiente de Poisson de 0,3. Pede-se: 
a) Desenhar um círculo de Mohr com as tensões principais; 
b) Explique se a peça irá romper ou não? Caso não rompa, irá escoar? 
OBS: na figura foram dadas as forças atuantes num estado plano de deformações. 
 
 
 
 
Exemplo 3 - Dado o esquema de forças da figura, pede-se: 
a) Apresentar a matriz das tensões correspondentes no referencial xyz; 
b) Calcular as mudança de comprimento considerando somente as tensões normais(LHG); 
c) Refazer o ponto b assumindo uma variação de temperatura ΔT=70 C; 
Considerar: coeficiente de Poisson de 0,2; E = 20GPa; coeficiente de dilatação α=0,00005/C 
 
 
 
 
 
Q3R-2016-1-PR2 - As barras CE de 1,3 cm de diâmetro e 60 cm de comprimento e DF de 2,2 cm de 
diâmetro e 78 cm de comprimento, estão ligadas à barra rígida ABCD como mostra a figura. Sabendo 
que as barras são feitas de um material com módulo de elasticidade longitudinal igual a 8000 kN/cm² 
determinar a força provocada em cada barra pela carga de 45 kN aplicada 
em A como mostra a figura e o deslocamento correspondente do ponto A 
 
 
 
Q4R-2016-1-PR2 -Cinco barras (CD, ED, FD, GD, HD) concorrem ao nó D de uma treliça. Tais 
elementos foram calculados com seções retangulares de madeira. A união deve ser realizada com 
parafusos de aço de tensão de escoamento 370MPa s de 1 cm de diâmetro. A união deverá ser 
realizada com duas cobrejuntas (conforme mostra a figura). Qual será o número de parafusos 
necessário para garantir a união das barras ED e FD, para que, usando a teoria de Von Mises se 
obtenha um coeficiente de segurança igual a 1,5. 
 
Q1A-2016-2-PR2 - Construir esquematicamente o círculo de Mohr para os três estados de tensões da 
figura indicando quanto valem as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima em cada 
caso. 
 
 
 
Q2A-2016-2-PR2 -O estado de tensão em um ponto de um elemento estrutural está definido por uma 
tensão de tração de 140 N/mm² na direção x, uma tensão de compressão de 50 N/mm² na direção y 
e uma tensão de cisalhamento positivo de 60 N/mm² 
no plano xy: 
a) Qual a tensão cisalhante máxima; 
 
b) Em que plano ocorre; 
 
 
 
3) Se o material tem uma tensão de escoamento de 225 N/mm², determine se ocorre a falha do 
elemento em relação ao critério de Tresca (Guest) 
 
 
Q3A-2016-2-PR2 -A barra ABC está suportada por uma articulação em A e dois cabos BD e CE 
(ambos de 1,5 m de comprimento, áreas das seções transversais iguais e de materiais de módulos de 
elasticidade iguais), e está submetida a uma carga F =150 kN, como mostra a figura. Desprezando a 
deformação por flexão e considerando a barra ABC como sendo rígida, determinar as forças nos cabos 
e a reação na articulação A. Considerar a = 1,5m e (b = 2m – a). Verifique a segurança se os cabos 
BD e CE de 2 cm de diâmetro são de um material com tensão de escoamento igual 300 Mpa. 
 
 
 
Q3B-2016-2-PR2 - A barra ABC está suportada por uma articulação em A e dois cabos BD e CE 
(ambos de h m de comprimento, áreas das seções transversais iguais e de materiais de módulos de 
elasticidade iguais), e está submetida a uma carga de 80 kN, como mostra a figura. Desprezando a 
deformação por flexão e considerando a barra ABC como sendo rígida, determinar as forças nos cabos 
e a reação na articulação A. Considerar h= 1m. 
 FBD = 24 kN ; FCE = 48 kN ; VA = 8 kN 
Q4A-2016-2-PR2 - Determinar o coeficiente de segurança do pino utilizado na rótula da estrutura 
mostrada na figura, pela teoria de Saint Venant. Considerar tensão limite de tração igual a 150 kgf/cm², 
tensão limite de compressão igual a250 kgf/cm2, coeficiente de Poisson igual a 0,2 e diâmetro do 
pino igual a 1,5 cm. Considerar Fv = 150kgf e Fh = 200 kgf e (b = 2,12m – a). O pino trabalha com 
duas seções resistentes. Fazer a =1,20 m. 
 
 
Q4B-2016-2-PR2 - Determinar o coeficiente de segurança do pino utilizado na rótula da estrutura 
mostrada na figura, pela teoria de Saint Venant. Considerar tensão limite de tração igual a 150 kgf/cm2, 
tensão limite de compressão igual a –250 kgf/cm2, coeficiente de Poisson igual a 0,2 e diâmetro do 
pino igual a 2 cm. O pino trabalha com duas seções resistentes 
 S = 2,12 
 Q2D-2016-2-PR2–- Para o esquema abaixo, pede-se: 
a)Calcular os esforços normais nos cabos abaixo, sabendo que a viga ABCD é indeformável e se 
encontrava na posição horizontal antes da aplicação da carga e os deslocamentos são pequenos. 
Considerar para o cabo 1 E1=100GPa, A1 =40 mm2, L1=500mm e para o cabo 2 E2=180GPa, A1 
=30 mm2, L1=250mm 
b)Verificar a segurança dos cabos de acordo com a teoria de Saint-Venant sabendo que a tensão de 
escoamento é 300 MPa 
 
 
 
 
Q3D-2016-2-PR2 
 
 
Q1A-2017-1-PR2 - O prisma da figura foi retirada do entorno de um ponto P de uma estrutura 
carregada, Sabe-se que o material 
com que foi construída tem tensão de escoamento de 40 MPa e tensão de ruptura de 70 MPa, além 
de um coeficiente de Poisson de 0,3. As forças atuam num Estado Plano de Deformações. Pede-se: 
a) Desenhar um círculo de Mohr com as tensões principais; 
b) Explique se a peça irá romper ou não? Caso não rompa, irá escoar? 
Considerar Fz=700 kN e Qzx = 800 kN 
 
 
 
Q2A-2017-1-PR2 - O pilar ABC da figura corresponde a dois andares de um edifício. As cargas estão 
concentradas nos pontos A 
e B, sendo perfeitamente centradas. Calcular: 
a) O deslocamento do ponto A devido às cargas aplicadas; 
b) As tensões em ambos os trechos; 
c) Sabendo que o material usado tem LT= 10 MPa e LC= 40 MPa. É possível usar a teoria de Guest-
Tresca? Justifique a sua resposta. Considerar F = 800 kN 
 
 
Q3A-2017-1-PR2 - Determinar a posição máxima (xmax) da carga para que o alongamento do tensor 
B seja menor que 5 mm. O tensor tem LB= 2000mm, AB= 0,785cm², EB= 210 GPa. A viga é rígida e 
portanto, tem deformação nula. Considerar L = 4m e P = 100 kN 
 
 
 
 
 
Q4A-2017-1-PR2 - Determinar o diâmetro dos pinos em B e C Utilizar Guest-Tresca com um 
coeficiente de segurança igual a 2. Considerar h = 2,5 m e P = 40 kN 
 
 
Q1A-2017-2-PR2 - O sólido da figura sofre a ação das forças Fx, Fy e Fz (as setas são genéricas e 
correspondem a um valor positivo): 
a) Qual deve ser a tensão de escoamento do material do sólido para atender o critério de Guest 
(Tresca)? 
b) Comparando com o critério de Saint-Venant, qual é mais conservador. 
 
 
Q1B-2017-2-PR2 - Dado o sólido da figura, calcular o alongamento em y. Se o material do sólido tem 
uma tensão de escoamento de 100 MPa, calcular o coeficiente de segurança por Guest e Saint-
Venant. 
 Resp.: Dy = 0,028 mm C.S.Guest = 1,667 C.S. Saint-Venant = 3,636 
 
(Ex. Vanessa) Dado o sólido abaixo, calcular as deformações totais e os respectivos longamentos/contrações nas 
direções x, y e z. 
 
 
Q2A-2017-2-PR2 - Uma coluna de seção tubular com diâmetros interno de 300 mm e diâmetro externo 
de 400 mm e modulo de elasticidade de 180000 N/mm2 está submetida a uma carga de 2500 kN. 
Determine a tensão que atua na coluna assim com o seu encurtamento sabendo que a coluna tem 
uma altura inicial de 5 m. 
 
Q2B-2017-2-PR2 - Uma coluna de seção tubular com diâmetro externo de 350 mm e diâmetro interno 
de 300mm e módulo de elasticidade de 200000N/mm2 está submetida a uma carga de 2000kN. 
Determine a tensão que atua na coluna assim como o seu encurtamento sabendo que a coluna tem 
uma altura inicial de 5 m. 
Resp.:  = -78,4 MPa  = 1,95mm 
Q3A-2017-2-PR2 - Um caso de carga aplicado a uma estrutura resulta nos estados de tensão 
esquematizados na figura para dois planos diferentes (as setas são genéricas e correspondem a um 
valor positivo): 
a) Determinar o ângulo relativo entre os dois planos 
b) Determinar as tensões máxima e mínima de cisalhamento, suas orientações e a tensão normal 
associada; 
c) Em sua opinião é possível encontrar um plano com cisalhamento puro 
 
Q4A-2017-2-PR2 - Três cilindros de 10 cm de diâmetro cada um (ver figura) são colocados 
equidistantemente sobre uma placa rígida. Sobre eles é apoiada outra placa rígida que recebe uma 
carga uniformemente distribuída de resultante P igual a 5000 kgf. Os cilindros laterais são de um 
material com módulo de elasticidade igual a 20000 kgf/cm2 e o cilindro central de um material com 
módulo de elasticidade igual a 300000 kgf/cm2 e tensão limite de compressão igual a 250 kgf/cm2. 
Determinar o coeficiente de segurança para o cilindro central. 
 Resp.: C.S. = 4,45 
 
Q5A-2017-2-PR2 - Em um círculo de Mohr, as tensões principais valem 1=37,6 MPa e 3=-22,6 
MPa. Determinar: 1) a posição dos planos principais em relação a outro onde a tensão de cisalhamento 
vale 7,6 MPa; 2) Qual a tensão normal (n) neste plano e a tensão normal (t) no plano perpendicular 
a ele. 
 
 
Q5B-2017-2-PR2 - Em um círculo de Mohr, as tensões principais valem 1=53,2 MPa e 3=-28,2 
MPa. Determinar: 1) Qual a tensão de cisalhamento em um plano que faz 11,74o com o plano principal; 
2) Qual a tensão normal (n) neste plano e a tensão normal (t) no plano perpendicular a ele. 
 
Q1A-PR2-2018-1 - (2,0 pts) - O prisma mostrado na figura foi retirado do entorno de um ponto do 
interior de um elemento estrutural submetido a cargas externas. Quando foi traçado o círculo de Mohr, 
verificou-se que a posição do polo é P(-10, ) e que as tensões principais são 1 = 18MPa, 2 = 0 e 
3 = -12 MPa. Determinar os valores de x , y e . 
 
 
Então, σy=σ1+σ3-σx =16 MPa 
 
Considerando o círculo resultante, sendo C o centro, O a origem e B o ponto correspondente a σy 
sobre o eixo das tensões normais: 
 
 
Q2A-PR2-2018-1 (3,0 pts) –- Em um ensaio de tração de um corpo de prova de metal de 20 mm por 
10 mm de seção a falha ocorreu para uma carga de 70000 N. Uma placa feita deste metal apresenta 
em um determinado ponto tensões x=259 MPa e y= -70 MPa e uma tensão cisalhante xy. 
Determinar o valor máximo admissível desta tensão cisalhante para atender o critério de Tresca 
(Guest). 
 
 
Q4A-PR2-2018-1 - Os parafusos de 20 mm de diâmetro têm tensão de cisalhamento máxima de 220 
MPa. 
a) Determine a força máxima que pode ser aplicada com um coeficiente de segurança C.S. = 1,3 
segundo a teoria de Guest 
b) Quantos parafusos de 10 mm seriam necessários para uma ligação equivalente 
 
 
 
Para uma ligação com parafuso de 10mm devemos manter a mesma seção. Se considerar corte duplo: 
 
 
Q4B-PR2-2018-1- Os parafusos de 20 mm de diâmetro têm tensão de cisalhamento máxima de 220 
MPa. Determine a força máxima que pode ser aplicada com um coeficiente de segurança C.S. = 1,25 
segundo a teoria de Guest 
 Resp.: F= 331,752kN 
 
Q2-PR2-2018-2- (2,0pt) 
a) Escrever o que representam os símbolos listados abaixo e apresentar uma unidade de medida 
possível para cada um deles (ou indicar se é adimensional) (0,50) 
 
b)Explicar o que é o limite de proporcionalidade de um material (0,25): 
 O limite de proporcionalidade para um material dado é o valor de tensão p tal que: para  < p 
(deformações elásticas) e  > p (deformações plásticas) 
 
c)O gráfico é o resultado de um ensaio de tração simples. O material é dútil ou frágil? Qual o módulo 
de elasticidade e a tensão de proporcionalidade? Caso o material apresenta escoamento, qual o valor 
da tensão de escoamento? Mostrar no gráfico e explicar o que acontecer se o ensaio fosse 
interrompido no ponto A e o corpo de prova fosse retirado do aparelho de ensaio? E se a interrupção 
ocorresse no ponto B? Justifique suas respostas. (0,50) 
 
O material é dútil pois tem R > 5% 
- O módulo de elasticidade longitudinal vale: E= 21MPa/0,001 = 21000 MPa. 
 - A tensão de proporcionalidade é 21MPa (final do trecho elástico) 
- O valor da tensão de escoamento é 25 MPa. 
 - Se o ensaio foi interrompido no ponto A o material volta a sua configuração inicial pois a tensão 
aplicada é menor que a tensão de proporcionalidade. 
- Se for interrompido no ponto B, o material fica com uma deformação residual que determinamos com 
uma paralela a reta inicial (vide gráfico) 
 
d)Apresentar o estado de tensão em um ponto de um elemento estrutural submetido a um esforço 
normal axial de compressão, mostrando o prisma de tensões, o círculo de Mohr correspondente e as 
tensões principais (0,25) 
 
 
Q2-PR2-2018-2 - Considerando a peça mostrada na figura, determinar as tensões no plano de corte 
apresentado. Para um prisma retirado do entorno do ponto P, determinar as tensões normais máxima 
e mínima e as orientações dos planos onde estas atuam. Indicar a tensões principais. Calcular as 
tensões cisalhantes máxima e mínima e as orientações dos planos onde atuam. Esboçar também o 
círculo de Mohr que representa o estado de tensões do ponto considerado, indicando os pontos do 
círculo que correspondem às faces horizontal e vertical, o polo, os planos das tensões normais máxima 
e mínima e os planos das tensões tangenciais máxima e mínima 
 
 
 
Q3-PR2-2018-2 - Os dois cabos AB e AC mostrados na figura são utilizados para suportar uma carga 
P. Se o cabo AB tem diâmetro de 6 mm e o cabo AC tem diâmetro de 4 mm, a tensão de escoamento 
para ambos é de 36 kN/cm2 e o coeficiente de segurança deve ser igual a 1,75determinar a maior 
carga P que pode ser aplicada à corrente. 
 
 
 
 
 
Q4-PR2-2018-2 - O esquema da figura representa a situação de uma escada de abrir onde uma 
pessoa pesando 100kgf se encontra no topo. Os tensores T1 e T2 são do mesmo material e tem a 
mesma seção transversal. Se o material dos tensores tem uma tensão de escoamento de 100MPa 
qual deve ser o diâmetro mínimo desses tensores para trabalhar com um coeficiente de segurança 
igual a 5 
 
 
Considerando a tendência de movimento dos pontos A e B, a equação de compatibilidade é: 
 
 
 
Q5-PR2-2018-2 - Dimensionar os pinos de seção circular das rótulas A e B da viga mostrada na figura. 
Considerar um coeficiente de segurança de 2,5 segundo a teoria de Guest. O material dos pinos 
apresenta tensão de escoamento igual a 25kN/cm2 
 
 
 
 
Aula 3108 
 
Exercício 1 - Para o elemento de tensão representado na Figura (tensões expressas em MPa) 
complete o cubo de tensões com as tensões que faltam, considerando o sólido em equilíbrio. 
 
 
Exercício 2 – Dados os estados a seguir, indicar que tipo de estado de tensões representam: EPT, 
EPD, ESPACIAL. Como posso transformar um destes estados em outro tipo? Considere E = 210 GPa 
e ν = 0,3. 
 
 
 
Exercício 4 - Para o estado de tensões num certo ponto de uma estrutura de aço definido pelo tensor 
de tensões que segue, pede-se calcular as componentes de deformação específica neste ponto. 
Calcule também as distorções angulares? Considere E = 210 GPa e ν = 0,3 
 
 
 
 
 
 
Exercício 5 - Duas peças de madeira de seção retangular 80mm x 140mm são coladas uma à outra 
em um entalhe inclinado, conforme mostra a Figura. Calcular as tensões na cola para P = 16 kN e 
para: 
 
 
 
 
 
 
Exercício 6 - Um corpo de prova de 200 mm de comprimento é submetido a um ensaio de tração. 
Considerando os pontos da curva tensão-deformação obtida com o ensaio, responde as seguintes 
perguntas: 
1) Indicar o limite de elasticidade e o módulo de elasticidade do material 
2) Indicar o limite de ruptura e o alongamento na ruptura em cm 
3) Se o corpo de prova tiver um diâmetro de 12 mm, calcular o encurtamento do diâmetro do corpo de 
prova para uma força de 22 kN, sabendo que o coeficiente de Poisson do material é igual a 0,30 
 
 
1) 2) 
 
 
 
3) 
 
 
Exercício 7 - Considerando que as placas rígidas A e B distribuem uniformemente as forças P sobre 
as faces da peça tubular da figura, determinar qual o valor da força P que causa um acréscimo de 0,2 
mm na espessura das paredes da peça tubular. O tubo é feito de um material cujo módulo de 
elasticidade longitudinal é igual a 100000 kgf/cm2 e cujo coeficiente de Poisson é igual a 0,4. 
 
 
 
 
 
 
Exercicio 6 -lista04 - Considerando que os blocos A e B impedem a deformação do prisma na direção 
Y, como mostra a figura, calcular a tensão na direção Y e as variações de comprimento nas direções 
X e Z, se após a sua montagem entre os blocos A e B o prisma sofre um acréscimo de temperatura 
igual a 50°C. Considerar para o material do prisma o módulo de elasticidade longitudinal igual a 2105 
MPa, o coeficiente de Poisson igual a 0,35 e o coeficiente de dilatação térmica igual a 0,00005/°C 
a)
 
b) Considerar também uma tensão σz de compressão de 40 MPa. 
 
 
 
(Ex. Vanessa) O sólido abaixo está confinado entre dois suportes indeslocáveis, e após a sua montagem nos 
suportes sofre uma variação de temperatura de +50ºC. Calcular as deformações totais 
nas direções x e z e a tensão na direção y. 
 
 
 
Exemplo aula - Um cilindro de 5,0 cm de diâmetro e 90,0 cm de comprimento está submetido a uma 
forçade tração de 120 kN. Uma parte deste cilindro, de comprimento L1, é de aço (E1=200000MPa) e 
a outra parte, de comprimento L2, é de alumínio (E2=70000 Mpa). Determinar o diâmetro do cilindro 
e os comprimentos L1 e L2 de tal forma que os dois materiais apresentem o mesmo alongamento, e 
calcular o alongamento total do cilindro 
 
 
Exemplo Aula - Em um ponto de uma parede de alvenaria, o sistema de tensões causado pelas 
cargas aplicadas é mostrado na figura. De termine os valores e orientações das tensões principais no 
ponto. Qual será o valor de tensão cisalhante no pano indicado pela reta A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de Mecânica Estrutural I - Área 2 
 
1) Os suportes apoiam a vigota uniformemente; supõe-se que os quatro pregos em cada suporte 
transmitem uma intensidade igual de carga. Determine o menor diâmetro dos pregos em A e B se a 
tensão de cisalhamento admissível para os pregos for 4000lb/pol2. 
 
 
 
2) A amostra de madeira está submetida a uma tração de 10 kN em uma máquina de teste de tração. 
Supondo que a tensão normal admissível da madeira seja adm = 12 MPa e a tensão de cisalhamento 
adm = 1,2 MPa. Determinar as dimensões b e t necessárias para atingir estas tensões 
simultaneamente. A amostra tem 25 mm de largura. 
b = 33,333 mm ; t = 166,667 mm 
 
 
3) Qual propriedade de um material reproduz a lei de Hooke? Escrever a expressão que traduz a lei. 
 
 
6)De acordo com a figura, a força P tende a fazer com que a peça superior (1) deslize sobre a inferior 
(2). Sendo P = 4.000 Kgf, qual a tensão desenvolvida no plano de contato entre as duas peças? 
 
7) O aço de baixo teor de carbono usado em estruturas tem limite de resistência ao cisalhamento de 
31 kN/cm2 . Pede-se a força P necessária para se fazer um furo de 2.5 cm de diâmetro, em uma chapa 
deste aço com 3/8" de espessura. 
 
8) Considere-se o corpo de prova da figura, de seção transversal retangular 2.5 x 5 cm,usado para 
testar a resistência a tração da madeira. Sendo para a peroba de 1,3 kN/cm2 a tensão de ruptura ao 
cisalhamento, pede-se determinar comprimento mínimo "a" indicado, para que a ruptura se de por 
tração e não por cisalhamento nos encaixes do corpo de prova. Sabe-se que a carga de ruptura do 
corpo por tração é de 10,4 kN. 
 
10) A figura 1 mostra a união de uma chapa com outras duas mediante dois parafusos. Para as forças 
atuantes: 
a) Determinar o diâmetro dos parafusos para garantir um coeficiente de segurança igual a 3. O material 
dos parafusos é dúctil e apresenta tensão de cisalhamento limite igual a 550 kgf/cm2. 
b) Faça um círculo de Mohr mostrando as tensões principais para um diâmetro = 10 mm.14) A distância entre os pontos A e B é 3,00 m. Se os cabos 1 e 2 tem diâmetros de 15mm e 18mm 
respectivamente, determine a posição de uma força F de 100 kN em relação ao ponto A para os dois 
cabos terem a mesma tensão normal 
 Distância = 1,77 m 
 
15)A placa da Figura tem espessura de 100 mm, é feita de aço e está submetida às cargas mostradas. 
Determine o estado de tensões no entorno de um ponto interno à placa (“quadrado infinitesimal”) e 
trace o círculo de Mohr correspondente. 
 
16)Considerando para a placa do exercício anterior um material com E = 210 GPa; ν = 0,3; σt = 300 
MPa e σt = -300 MPa, determine o coeficiente de segurança pela teoria de Rankine. 
 
17) Determine o diâmetro do cabo da estrutura da Figura de forma que uma tensão admissível de 500 
MPa não seja ultrapassada. 
 Resp.: Diâmetro = 7,14 mm 
 
22) Em um ensaio de tração de um corpo de prova de metal de 20 mm por 10 mm de seção 
a falha ocorreu para uma carga de 70000 N. Uma placa feita deste metal apresenta em um 
determinado ponto tensões x=259 MPa e y= -70 MPa e uma tensão cisalhante xy. 
Determinar o valor máximo admissível desta tensão cisalhante para atender o critério de 
Tresca (Guest). 
Resp.: xy = 59,706 Mpa 
 
23)Determinar, para o estado tensional da figura, as tensões principais, as direções dos 
planos principais e a tensão de cisalhamento máxima. 
 
 
24)Determine as tensões normal e cisalhante no plano AB mostrado na figura quando 
α=120o. 
 
 
25)O estado de tensão em um ponto de um elemento estrutural está definido por uma 
tensão de tração de 140 N/mm2 na direção x, uma tensão de compressão de 50 N/mm2 na 
direção y e uma tensão de cisalhamento positivo de 60 N/mm2 no plano xy. Se o material 
tem uma tensão de escoamento de 225 N/mm2, determine se ocorre a falha do elemento 
em relação ao critério de Tresca (Guest). 
Resp.: Não, porque (1-3) < 225N/mm2 
 
27)O sólido da figura está confinado entre dois suportes indeslocáveis e após a sua 
montagem nos suportes sofre uma variação de temperatura de 40oC. Calcular as 
deformações, tensões e variações de comprimentos nas direções x, y, z. O Material possui 
um módulo de elasticidade de 200 GPa, um coeficiente de Poisson igual a 0,35 e um 
coeficiente de dilatação de 0,00005oC-1 
 
 
 
28)O prisma mostrado na figura foi retirado do entorno de um ponto do interior de um 
elemento estrutural submetido a cargas externas. a) Determinar a tensão normal e 
cisalhante no plano de direção n (n é perpendicular a linha inclinada). b) Determinar as 
tensões principais máxima e mínima e a orientação dos planos onde elas atuam; c) as 
tensões tangenciais máxima e mínima e a tensão normal nos planos onde elas atuam. 
 
Resp.: 1 = 5,18 MPa 2 = 5,67 MPa p1 = 37,98op2 = p1± 90omax = ±20,616 MPa med 
= 25 Mpa 
 
29)Uma tensão normal de tração de 160 MPa e uma tensão de compressão de 120 MPa são 
aplicada em um determinado ponto de um material em duas direções perpendiculares entre 
si. Utilize o procedimento gráfico de Mohr para calcular a tensão cisalhante que atua nos 
planos considerando que a tensão principal máxima no material é 200 MPa. 
 Resp.: xy = 113,137 Mpa 
 
30)Uma viga de seção retangular (12mmx60mm) é submetida a uma força axial de 60000N. 
Se o material tem uma tensão de escoamento de 150 N/mm2, determine a tensão cisalhante 
máxima que pode ser aplicada na seção utilizando o critério de Tresca. Resp.: xy = 62,361 
MPa 
 
31)Em um círculo de Mohr, as tensões principais valem 1=23 MPa e 3=-13 MPa. Se a 
direção principal 1 faz um ângulo p1=-16,8o, determine os valores de x, y e xy. Resp.: 
x = 20 MPa ; y = -10 MPa ; xy = 10 MPa 
 
32)Uma das direções principais correspondentes a um estado tensional é um ângulo de 
20,71o . Se as tensões principais para o estado mencionado são 50,67 MPa e 5,33 MPa, pede-
se: 
a) Marcar as tensões principais e a direção principal informada em um círculo de Mohr; b) 
Apresentar em um elemento infinitesimal o estado tensional (valores de x, y e xy) ao 
qual corresponde a situação do item a; 
c) Indicar neste círculo a posição do plano que faz um ângulo de -10o com o plano de 
referência. 
 
33)A barra da figura tem largura constante de 35 mm e espessura de 10mm. Determinar a 
tensão normal média máxima da barra quando submetida ao carregamento mostrado. 
Determinar a variação de comprimento do trecho BC se tiver um comprimento de 2m um 
módulo de elasticidade de 210 GPa. 
 
Fazendo-se a análise do equilíbrio interno de cada um dos trechos da barra com configurações de 
carga distintas (trechos AB, BC e CD), obtemos o diagrama de Esforço Normal. 
 
Examinando o diagrama, constatamos que a região da barra com o maior valor de Esforço Normal 
corresponde ao trecho BC, onde N = 30 kN. Como a área da seção transversal da barra é constante 
ao longo de todo o seu comprimento, a maior tensão normal média ocorre na mesma região onde o 
Esforço Normal é máximo. Assim: 
 
Exemplos Vanessa 
2. A luminária de 80 kg é suportada por duas hastes AB e BC, como mostrado na figura abaixo. 
Sabendo que a haste AB tem 10 mm de diâmetro e a haste BC tem 8 mm de diâmetro, determine a 
tensão normal média em cada haste. 
 
 
 
3. A barra AC mostrada abaixo está submetida a uma força vertical de 3 kN. Determine a posição x de aplicação da força de forma a 
produzir uma tensão de compressão média no apoio em C no mesmo valor da tensão de tração média atuante no tirante AB. O tirante 
tem uma seção transversal de 400 mm2 e a área de contato no apoio em C é de 650 mm2. 
 
como 0 < x < 200 mm, a condição é possível de ser obtida para as condições geométricas e de carga indicadas no problema 
 
4. A barra mostrada abaixo tem uma seção transversal quadrada 40 mm x 40 mm. Supondo que seja aplicada uma força axial de 800 
N ao longo do eixo geométrico da barra, determine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que atuam sobre o 
material nos planos das seções a-a e b-b. 
 
 
A tensão de cisalhamento é nula na seção a-a, visto que não temos Esforço Cortante atuante nesta seção. 
As tensões médias na seção b-b são obtidas considerando-se as forças internas atuantes na seção. Tomando o trecho de barra à esquerda 
da seção b-b 
 
 
Considerando eixos de referência x’y’ nas direções normal e tangencial à seção b-b e altura da seção 40mm/sen60o = 46,19 mm, 
obtém-se que: 
 
 
5. A chapa de madeira mostrada na figura ao lado é suportada por uma haste de aço de 10 mm de diâmetro presa na parede. Se a 
chapa é submetida a uma carga vertical de 5 kN, calcule a tensão de cisalhamento média da haste na parede e ao longo das duas áreas 
sombreadas da chapa, uma das quais identificada pelos pontos abcd. 
 
 
 
 
6.Uma chapa com forma inicial retangular apresenta forma final deformada dada pelas linhas tracejadas indicadas 
na figura abaixo. Na configuração deformada, as linhas horizontais permanecem desta forma e não mudam seu 
comprimento. Nestas condições, determine a deformação normal média ao longo do lado AB e a deformação por 
cisalhamento da chapa em relação aos eixos xy. 
 
A reta AB coincide inicialmente com o eixo y, apresentando configuração deformada descrita pela reta AB’, cujo 
comprimento vale: 
 
Observe que o sinal negativo indica uma contração de AB, ou seja, uma diminuição de seu comprimento. 
No desenho, podemos constatar que o ângulo BAC de 90º formado entre lados da chapa e os eixos xy, muda para θ’ 
devido ao deslocamento de B para B’. A deformação por cisalhamento é o ângulo indicado no desenho 
 
7. A chapa mostrada abaixo está presa por guias horizontais rígidas nos lados AD e BC. Considerando que a placa 
apresenta na configuração deformada um deslocamento horizontal uniforme de 2 mm no lado CD, determine: (a) a 
deformação normal média ao longo da diagonal AC; (b) a deformação por cisalhamento em E relativa aos eixos xy. 
 
 
 
8. O diagramatensão-deformação de uma liga de alumínio usada para fabricar peças de aeronaves é mostrado na 
figura abaixo. Supondo que um corpo-de-prova desse material 12 seja tracionado a 600 MPa, determine a deformação 
permanente que ficará no corpo-de-prova quando a carga for removida. 
 
A deformação elástica recuperada após a 
descarga é determinada observando-se o triângulo CBD, de onde se obtém: 
 
Assim, se as marcas de referência sobre o corpo-de-prova estivessem a 50 mm de distância antes da aplicação da 
carga, após a remoção as marcas estariam a 50 + 0,015x50 = 50,75 mm de distância entre si. 
 
9. Uma barra feita de aço A-36 tem as dimensões mostradas na figura a seguir. Supondo que uma força axial P = 80 
kN seja aplicada a ela, determinar as mudanças em seu comprimento e nas dimensões de sua seção transversal 
depois de aplicada a carga. Considere que o material se comporta elasticamente. E = 200 GPa ν aço = 0,32 
 
 
10. Um corpo-de-prova de liga de titânio é submetido a um ensaio de torção do qual se obtém o diagrama tensão-
deformação de cisalhamento mostrado logo abaixo. Determine o Módulo de Cisalhamento G, o limite de 
proporcionalidade e o limite de resistência ao cisalhamento. Determine também a distância máxima d que o topo 
de um bloco feito desse material pode ser deslocado horizontalmente mantendo-se em regime elástico de 
deformações quando submetido à força de cisalhamento V. Qual é a intensidade de V necessária para provocar o 
deslocamento? 
Quando o corpo-de-prova é submetido à carga indicada acima, 
vemos que o material atinge o ponto B no diagrama, situando-se 
na fase de endurecimento. A deformação neste ponto é 
aproximadamente = 0,023. Quando a carga é retirada, o material 
descreve uma trajetória de descarga segundo a reta BC, paralela à 
reta OA. A partir da inclinação do trecho de comportamento linear 
AO podemos obter o módulo de elasticidade através de: 
 
 
Por inspeção, podemos constatar que a curva deixa de ser linear no ponto A. Assim, o limite de proporcionalidade 
vale, τlp=52ksi. Já o limite de resistência ao cisalhamento representa o valor máximo de tensão de cisalhamento no 
diagrama, sendo identificado pelo ponto B. Logo, τ = 73ksi. 
O Módulo de Cisalhamento é determinado pela declividade do trecho elástico linear do diagrama tensão-
deformação. Portanto, sendo as coordenadas do ponto A (limite de proporcionalidade) do diagrama (0,008 rad; 52 
ksi), temos que: 
 
Como a deformação de cisalhamento máxima dentro do regime elástico é 0,008 rad, o deslocamento horizontal 
máximo d do bloco será: 
 
A tensão de cisalhamento média correspondente ao deslocamento máximo d é τlp=52ksi 
 
11. O corpo-de-prova de alumínio mostrado ao lado tem diâmetro d0 = 25 mm e comprimento de referência L0 = 
250 mm. Supondo que uma força de 165 kN alongue o comprimento de referência em 1,20 mm, determine o módulo 
de elasticidade. Determine também quanto o diâmetro do corpo-de-prova contrai-se. Considere Gal = 26 GPa e e 
= 440 MPa. 
 
 
12. Um corpo prismático foi inserido em um orifício perfeitamente ajustado em um sólido indeformável e 
submetido a uma tensão de compressão de 30 MPa e uma variação de temperatura de +10ºC. Calcular a 
deformação total do corpo na direção z, as tensões nas direções x e y e o coeficiente de segurança segundo os 
critérios de Rankine, Saint Venant e Mohr-Coulomb. Considere: E = 200.000 MPa; vν= 0,4; α = 2x10-5 ºC-1; 
σT = 80 MPa, σC = -160 MPa. 
 
A deformação correspondente à ação da temperatura na direção z é dada por: 
 
Considerando que o corpo está confinado nas direções x e y, as deformações específicas correspondentes à tensão 
aplicada são nulas. Logo: 
 
A deformação correspondente à ação da tensão aplicada na direção z é dada por: 
 
Considerando ambos os efeitos simultaneamente: 
 
Como as faces do prisma apresentam apenas tensões normais, elas correspondem às direções principais e as 
tensões nelas atuantes são as tensões principais, dadas na seguinte ordem: 
 
Pelo critério de Rankine, temos: 
 
Saint Venant: 
 
Portanto, S = 2,03. 
Mohr-Coulomb: 
 
 
13. Considerando o estado de tensões representado no elemento abaixo, determine: (a) o círculo de Mohr do 
estado plano; (b) as tensões principais; (c) a tensão máxima de cisalhamento e as tensões normais 
correspondentes. 
Menor valor 
 
 
Como a rotação que leva CX a coincidir com CA no círculo de Mohr é anti-horária, a rotação que faz Ox 
coincidir com Oa (correspondente a max) será também anti-horária, 
 
uma rotação adicional de 90º a partir de CA faz com que CA coincida com CD, de modo que uma rotação 
adicional de 45º levará o eixo Oa a coincidir com o eixo Od, que corresponde à máxima tensão de cisalhamento 
τmáx = R = 50 Mpa 
 O ponto D localiza-se acima do eixo das tensões normais σ, de modo que as tensões de cisalhamento que 
atuam nas faces perpendiculares a Od devem ser dirigidas de modo a fazer o elemento rodar no sentido horário. 
 
14. Determine para o estado plano de tensões indicado abaixo: (a) os planos principais e as tensões principais; 
(b) as componentes de tensão em um elemento obtido pela rotação de 30° no sentido anti-horário. 
 
 
 
 
Girando a reta XY no sentido horário em um ângulo tal (2.θp) que ela coincida com a reta AB, temos a 
orientação dos planos principais: 
 
 
A rotação que faz a reta XY coincidir com a reta AB se dá no sentido horário. Portanto, a rotação que leva o 
eixo Ox a coincidir com o eixo Oa (correspondente à tensão máx) também será no sentido horário, como 
mostrado na figura acima. Para obtermos as componentes de tensão de um elemento segundo um sistema de 
eixos rotado de 30° no sentido anti-horário, devemos girar a reta XY do círculo de Mohr no mesmo sentido 
e com um ângulo 2. = 60°. Desta forma, localizamos os pontos X’ e Y’, que correspondem às 
tensões nas faces do elemento rotado a 30° 
 
 
Como X’ localiza-se acima do eixo das tensões normais σ, a tensão de cisalhamento na face perpendicular a 
Ox’ tende a rotar o elemento no sentido horário. 
 
15. O prisma abaixo foi retirado do ponto mais solicitado de um corpo. Encontrar as tensões e direções 
principais através dos círculos de Mohr correspondentes aos planos de tensão xy, xz e yz. Calcule também o 
valor da tensão tangencial máxima em cada plano. E determine o coeficiente de segurança segundo os critérios 
de Guest-Tresca e von Mises. Considere que σE = 200 MPa. 
 
 
 
 
 
 
16. O estado plano de tensões representado pelo elemento abaixo ocorre em um ponto crítico 
de um componente de máquina feito de aço. Uma série de ensaios de tração mostrou que a tensão 
de escoamento é σE = 250 MPa para o tipo de aço usado. Determinar o coeficiente de segurança 
em relação ao escoamento, usando: (a) o critério da máxima tensão de cisalhamento; (b) o critério 
da máxima energia de distorção. 
 
 
 
Pelo critério da máxima energia de distorção, tem-se que: 
 
Empregando o conceito de coeficiente de segurança na equação: 
 
Para o material dúctil utilizado, com E = 250 MPa, foram desenhados o hexágono relativo ao critério da máxima 
tensão de cisalhamento e a elipse relativa ao critério da máxima energia de distorção. O estado plano de tensões 
dado é representado pelo ponto H de coordenadas ( 1 = 85 MPa; 2 = -45 MPa). A linha reta que liga os pontos 
O e H intercepta o hexágono no ponto T e a elipse no ponto M. Para cada um dos critérios, o valor encontrado 
para S pode ser verificado se medirmos os segmentos indicados e calcularmos as relações: 
 
 
Exemplos site 
 
1. O estado de tensão em um ponto em um elemento estrutural é mostrado no elemento. Determine 
as componentes de tensão que agem no plano inclinado AB. Use as equações de transformação de 
tensão. 
 
 
 
 
 
 
 
Determine o estado de tensão equivalente em um elemento, se ele estiver orientado a 30º em 
sentido anti-horárioem relação ao elemento mostrado. Use as equações de transformação de 
tensão. 
https://2.bp.blogspot.com/-H3e3P1W0N3U/VFkBAHwAJPI/AAAAAAAACKM/1aQarba-cO4/s1600/12.jpg
https://3.bp.blogspot.com/--ql--4z9NK0/VFkDGDv3lHI/AAAAAAAACNc/mgUWSLUd5h4/s1600/05.jpg
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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https://4.bp.blogspot.com/-9MDzgQ77uZo/VFkDHW81ylI/AAAAAAAACNk/sDol5QBYqbM/s1600/06.jpg
 O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine (a) as tensões principais e 
(b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto. Especifique a 
orientação do elemento em cada caso. 
 
 
 
 
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https://2.bp.blogspot.com/-tG_-RVX3INQ/VFkDIOtPk2I/AAAAAAAACNw/UDVoN9GUZ7E/s1600/07.jpg
 
 
 
 
O revestimento de polietileno de um reservatório de recalque está submetido às tensões σx = 2,2 
MPa, σy = 0,60 MPa e τxy = -0,8 MPa como ilustrado pelo elemento de tensão plana na primeira 
parte da figura. Determine as tensões normal e de cisalhamento agindo em uma fenda orientada a 30º 
em relação a elemento, como ilustrado na segunda parte da figura. Mostre essas tensões em um 
esboço de um elemento de tensão tendo seus lados paralelos e perpendiculares à fenda. 
 
 
 
 
 
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https://4.bp.blogspot.com/-VVBj-5Bbl7o/VFkBAjyyoSI/AAAAAAAACKg/6QhHIzRB648/s1600/15.jpg
 
 
 
 
 
16. Uma parede de uma construção de concreto reforçado está submetida a uma carga vertical 
uniforme de intensidade q e a uma força horizontal H (que representa os efeitos de carregamentos 
de vento), como ilustrado na primeira parte da figura. Como consequência dessas cargas, as tensões 
no ponto A na superfície da parede têm os valores ilustrados na segunda parte da figura: tensão de 
compressão de 7,6 MPa e tensão de cisalhamento igual a 3,3 MPa. Determine: 
 
a) as tensões principais. 
b) a tensão de cisalhamento máxima e a tensão normal média associada. 
 
 
 
 
https://1.bp.blogspot.com/-ccfvE51MBpA/VFkDI-LVzRI/AAAAAAAACN8/LhXXAX1LbXk/s1600/08.jpg
https://4.bp.blogspot.com/-P2VE1ECgCaY/VFkBBDQcPEI/AAAAAAAACKo/WPlRAtUySyI/s1600/16.jpg
 
 
.Montar a Matriz Tensor Tensão de Cauchy referente ao elemento de tensão abaixo: 
 
 
 
https://3.bp.blogspot.com/-NVu1zyX9LKM/VFkDJa-RxgI/AAAAAAAACOA/PMdZKmy6VV0/s1600/09.jpg
https://1.bp.blogspot.com/-r4swGtNZv3w/VUzsWV8Lk2I/AAAAAAAADSA/gQYB0M5G40I/s1600/1.jpg
 
 
 
2 - Dada a Matriz Tensor Tensão de Cauchy, de um determinado elemento de tensão, representar as tensões 
atuantes no mesmo. 
 
 
 
 
 
 
3- Dada a Matriz Tensor Tensão, de um determinado elemento de tensão, pergunta-se: É possível existir um 
elemento de tensão que apresente esse estado de tensão? Justifique. Caso possível, representar as tensões 
atuantes no mesmo. 
 
 
 
 
 
https://4.bp.blogspot.com/-Pz6m31tJBHI/VUzmXrbVqOI/AAAAAAAADQQ/YZksUdvRB8o/s1600/0%2B-%2BC%C3%B3pia%2B(2).jpg
https://2.bp.blogspot.com/-bYwX7A0xfUU/VUzsay837iI/AAAAAAAADSI/cY37lU01-3g/s1600/2.jpg
https://1.bp.blogspot.com/-ZjC-IRoXmMs/VUzmX7HXCoI/AAAAAAAADQU/vF79cBaxaDc/s1600/0%2B-%2BC%C3%B3pia.jpg
https://1.bp.blogspot.com/-aTKNV6WbG7A/VUzseVSn_LI/AAAAAAAADSQ/BBrmb2HiUKE/s1600/3.jpg
 
 
4- Dado um elemento de tensão, sob um estado geral de tensões, determinar a magnitude da tensão 
resultante,atuante sobre um plano ABC. Sabe-se que os ângulos diretores, do vetor normal ao plano ABC, são 
dados por α, β e γ. 
 
 
 
https://3.bp.blogspot.com/-m3VceWKwrdk/VUzmX-9c1gI/AAAAAAAADQc/yyG8Z7KxRJA/s1600/0.jpg
https://1.bp.blogspot.com/-tTJw9mY25pQ/VUzshJzr4yI/AAAAAAAADSY/U5TJCpJeDWM/s1600/4.jpg
 
 
 
5- Dado um elemento sob um estado geral de tensao, determinar a magnitude da tensao resultante, atuante sobre 
um plano ABC. Sabe-se que o vetor normal ao plano ABC e dado por N =(54,2; 10,3; 83,4). 
 
 
 
https://2.bp.blogspot.com/-788kNZvdmq4/VUzmgSR3npI/AAAAAAAADRU/f-h_cG5IdjU/s1600/01.jpg
https://1.bp.blogspot.com/-8OACZ9pmrXs/VUzsmYObMwI/AAAAAAAADSg/CsYmonvHBGI/s1600/5.jpg
 
 
 
6- Dado um elemento sob um estado geral de tensão, determinar a magnitude das tensões, normais e 
cisalhantes,resultantes, atuantes sobre um plano ABC, definido pelos pontos A=(5x10^−15 ;0 ; 0), B=(0; 5x10^−15; 
0) e C=(0 ;0 ; 5x10^−15). 
 
 
 
https://4.bp.blogspot.com/-UQQEgnP7ziM/VUzmZfOIEnI/AAAAAAAADQo/wjVp-_3dl4o/s1600/02.jpg
https://4.bp.blogspot.com/-uWlHyd7noyk/VUzss-5LVdI/AAAAAAAADSo/hDapVRz6c-k/s1600/6.jpg
 
 
https://2.bp.blogspot.com/-9DHkfpXwElY/VUzmZ7Pe0PI/AAAAAAAADQs/naxOZFlcRHE/s1600/03.jpg
 
 
 
7- Dado um elemento de tensão, submetido a um estado geral de tensão, determinar as tensões principais, e a 
máxima tensão de cisalhamento. 
 
 
 
https://1.bp.blogspot.com/-9KpyNnEHz6w/VUzmac182qI/AAAAAAAADQ0/frUQvXFtV7Y/s1600/04%2B-%2BC%C3%B3pia.jpg
https://4.bp.blogspot.com/-YVc-xC7BBlM/VUzs0xRO2HI/AAAAAAAADSw/T9DMvy0OFUg/s1600/7.jpg
 
 
 
 
8- Para o exercício anterior, determinar um vetor unitário normal ao plano que atua a máxima tensão principal. 
 
https://1.bp.blogspot.com/-I9GzWxz9XUQ/VUzmay8V_7I/AAAAAAAADQ8/mnQ4iZuwPyY/s1600/04.jpg
https://1.bp.blogspot.com/-cVlWhGSRnIk/VUzmb8HTeNI/AAAAAAAADRI/hLU5nlSUSRo/s1600/05.jpg
 
 
 
9- Representar o Círculo de Mohr para o elemento de tensão abaixo. 
 
 
 
https://4.bp.blogspot.com/-vT7bP3oVJMU/VUzmcPemuDI/AAAAAAAADRM/mDBqyvLgtwY/s1600/06.jpg
https://4.bp.blogspot.com/-DujqRjRLwYM/VUzs59zTRhI/AAAAAAAADS4/-jGYVkVX2nA/s1600/9.jpg
 
 
https://3.bp.blogspot.com/-ix2oZEvroUM/VUzmdDDyL5I/AAAAAAAADRY/CWSb8J1kbmU/s1600/07.jpg
 
 
 
10- Com base no Círculo de Mohr abaixo, determinar as máximas tensões (normais e cisalhante). Representar, em 
um elemento de tensão, o estado de tensão no qual as tensões de cisalhamento são máximas, e o estado de 
tensão no qual as tensões normais são máximas. 
 
 
 
https://1.bp.blogspot.com/-E8q4CF2LL2U/VUzmdfbd7-I/AAAAAAAADRQ/9n0hfjLpcYU/s1600/08.jpg
https://4.bp.blogspot.com/-jjWtn2cQnM8/VUzs9qdFuMI/AAAAAAAADTA/WBcAyByah1s/s1600/10.jpg
 
 
- As componentes do estado plano de tensão em um ponto crítico de uma carcaça de aço estrutural A-36 (fyt = 
250MPa) estão representadas abaixo. Determine se ocorrerá falha com base na Teoria da Máxima Tensão de 
Cisalhamento. 
[MPa] 
 
https://1.bp.blogspot.com/-8X0L0lNQBf4/VUzmhBJUGuI/AAAAAAAADRg/bOSamreLc8Y/s1600/09.jpg
https://2.bp.blogspot.com/-8caJVZwitRE/VZXwUmdCOoI/AAAAAAAADes/Jim3m1Tfe-M/s1600/1.jpg
 
 
 
 
https://3.bp.blogspot.com/-ZO8tHodDhp4/VZXw8j70znI/AAAAAAAADfU/fPSsOlCw0UM/s1600/0%2B-%2BC%25C3%25B3pia%2B%25282%2529.jpg
https://2.bp.blogspot.com/-CZ9wxdHfhQc/VZXw9bKe6XI/AAAAAAAADfg/di_mdZr1TZs/s1600/0%2B-%2BC%25C3%25B3pia.jpg
 
 
 
 
 
2- O estado plano de tensões, representado abaixo, ocorre em um componente de máquina feito de um aço com 
tensão de escoamento à tração igual à 250MPa. Utilizando o Critério da Máxima Tensão de Cisalhamento, 
determine se o material está em condições de segurança. 
 
 
[MPa] 
 
 
 
 
https://4.bp.blogspot.com/-HNV6bPzqp1Q/VZXw9BHv_gI/AAAAAAAADfY/fAJxoG9mF90/s1600/0.jpg
https://1.bp.blogspot.com/-3HXogEU3R1c/VZXwUg90arI/AAAAAAAADfI/Q_5HBsxGA8k/s1600/2.jpg
https://4.bp.blogspot.com/-gLyNm96RV3k/VZXxbYr_LjI/AAAAAAAADfs/QHA5nJeV5d8/s1600/01%2B-%2BC%25C3%25B3pia%2B%25282%2529.jpg
 
 
 
 
 
 
3- Utilizando o Critério de Tresca, determinar se o material, representado pelo elemento de tensão abaixo, está em 
condições de segurança. Sabe-se que sua tensão limite de escoamento à tração é de 280MPa. 
 
 
https://1.bp.blogspot.com/-GCAvasOifkU/VZXxdGAWBPI/AAAAAAAADf4/1ivmd16BQOg/s1600/01%2B-%2BC%25C3%25B3pia.jpg
https://3.bp.blogspot.com/-vsznetKAoFY/VZXxciLztGI/AAAAAAAADf0/6D86HC6ayAw/s1600/01.jpg
[MPa] 
 
 
 
 
 
https://4.bp.blogspot.com/-e7Nly7R-niw/VZXwUyPiUTI/AAAAAAAADew/xxNNOX936eg/s1600/3.jpghttps://2.bp.blogspot.com/-tGJOdq9JGss/VZXxu3HvcSI/AAAAAAAADgE/Q8gsJfkpn80/s1600/02%2B-%2BC%25C3%25B3pia.jpg
https://2.bp.blogspot.com/-NppfJWSccyI/VZXxzYSttsI/AAAAAAAADgY/x8NePAJZNY0/s1600/02.jpg
 
 
 
 
 
 
5- O estado plano de tensões, mostrado abaixo, ocorre em uma barra feita de uma classe de aço com resistência 
ao escoamento na tração de 300MPa. Determinar as condições do material utilizando o Critério de Tresca. 
 
https://1.bp.blogspot.com/-K3pZHBsIUhA/VZXxzCb3MeI/AAAAAAAADgU/ar9dtIfpmtc/s1600/03%2B-%2BC%25C3%25B3pia.jpg
https://4.bp.blogspot.com/-hxCGH8NUcgg/VZXxxfo043I/AAAAAAAADgM/Jb1pXnBIMqI/s1600/03.jpg
[MPa] 
 
 
 
https://1.bp.blogspot.com/-zN1-K13fgr0/VZXwVVqHXCI/AAAAAAAADe4/cihunC0OyOE/s1600/5.jpg
https://3.bp.blogspot.com/-5n4eNIi07Vg/VZXyTjnOLZI/AAAAAAAADgs/J4QlFk3__aA/s1600/04.jpg
 
 
 
 
 
6- Sabendo-se que um determinado material, apresenta-se na fase de escoamento quando submetido à uma 
tensão de 370MPa, determine as condições de segurança, utilizando o Critério de Tresca, para o elemento de 
tensão abaixo. 
 
[MPa] 
 
https://3.bp.blogspot.com/-DQ2lBgdVL3o/VZXySiMImCI/AAAAAAAADgk/ms-8zZQLLJI/s1600/08%2B-%2BC%25C3%25B3pia.jpg
https://4.bp.blogspot.com/-p0qBegH_Whs/VZXwVhKRe0I/AAAAAAAADfA/_yKJQwRlgQs/s1600/6.jpg
 
https://3.bp.blogspot.com/-LjWLYu3RjVY/VZXyro69rhI/AAAAAAAADg8/NPOvmwZtizE/s1600/05.jpg
 
 
 
 
1- As componentes do estado plano de tensão em um ponto crítico de uma carcaça de 
aço estrutural A-36 (fyt = 250MPa) estão representadas abaixo. Determine se ocorrerá 
falha com base no Critério da Máxima Energia de Distorção. 
 
 
https://4.bp.blogspot.com/-Gp11HxzYnNY/VZXysJUFb4I/AAAAAAAADhE/IrDDcpcNiiA/s1600/06%2B-%2BC%25C3%25B3pia.jpg
https://4.bp.blogspot.com/-eKo1lgV-ai8/VZXyqsghvgI/AAAAAAAADg0/lv6PJ3q21o8/s1600/08.jpg
[MPa] 
 
 
 
 
 
 
https://2.bp.blogspot.com/-8caJVZwitRE/VZXwUmdCOoI/AAAAAAAADe0/bpvcRPnYyow/s1600/1.jpg
https://3.bp.blogspot.com/-CZ9wxdHfhQc/VZXw9bKe6XI/AAAAAAAADfo/9hDYZDh3lDQ/s1600/0%2B-%2BC%25C3%25B3pia.jpg
 
 
 
 
2- O estado plano de tensões, representado abaixo, ocorre em um componente de 
máquina feito de um aço com tensão de escoamento à tração igual à 250MPa. 
Utilizando o Critério de von Mises, determine se o material está em condições de 
segurança. 
 
 
[MPa] 
 
 
 
 
https://1.bp.blogspot.com/-RsK3Eo2TSC4/VZX40t4vS5I/AAAAAAAADhU/qQV0dkYkQ2s/s1600/07%2B-%2BC%25C3%25B3pia%2B%25282%2529.jpg
https://2.bp.blogspot.com/-3HXogEU3R1c/VZXwUg90arI/AAAAAAAADfQ/zHlvwro_xbY/s1600/2.jpg
 
 
 
 
 
 
 
 
3- Utilizando o Critério de von Mises, determinar se o material, representado pelo 
elemento de tensão abaixo, está em condições de segurança. Sabe-se que sua tensão 
limite de escoamento à tração é de 280MPa. 
 
 
https://1.bp.blogspot.com/-GCAvasOifkU/VZXxdGAWBPI/AAAAAAAADgA/k_bwiXuocgs/s1600/01%2B-%2BC%25C3%25B3pia.jpg
https://1.bp.blogspot.com/-FIJN6Ij6WwM/VZX4-5dXPhI/AAAAAAAADhc/XzoTeCmPRdA/s1600/07%2B-%2BC%25C3%25B3pia.jpg
[MPa] 
 
 
 
 
 
https://2.bp.blogspot.com/-e7Nly7R-niw/VZXwUyPiUTI/AAAAAAAADe8/3S6IKWPFZHM/s1600/3.jpg
https://1.bp.blogspot.com/-NppfJWSccyI/VZXxzYSttsI/AAAAAAAADgg/K1F56i43gMM/s1600/02.jpg
 
 
 
 
 
 
 
4- A tensão de escoamento de um material plástico é de 110MPa. Se esse material 
estiver sujeito a um estado plano de tensão, e sua falha ocorrer quando uma tensão 
principal for igual à 120MPa, qual será o menor valor que a outra tensão principal deverá 
assumir? Utilize a Teoria da Máxima Energia de Distorção. 
 
https://3.bp.blogspot.com/-K3pZHBsIUhA/VZXxzCb3MeI/AAAAAAAADgc/IvynLq9RM5Q/s1600/03%2B-%2BC%25C3%25B3pia.jpg
https://4.bp.blogspot.com/-cMtjwxFQom0/VZX5I_nTDMI/AAAAAAAADhk/rtIzEjipPDE/s1600/07.jpg
 
 
 
 
 
5- O estado plano de tensões, mostrado abaixo, ocorre em uma barra feita de uma classe 
de aço com resistência ao escoamento na tração de 300MPa. Determinar as condições 
do material utilizando o Critério da Máxima Energia de Distorção. 
 
 
[MPa] 
 
 
 
https://3.bp.blogspot.com/-qWVePdLG-Jw/VZX5O06TOWI/AAAAAAAADhs/snTuI16Aktk/s1600/04%2B-%2BC%25C3%25B3pia.jpg
https://1.bp.blogspot.com/-zN1-K13fgr0/VZXwVVqHXCI/AAAAAAAADfE/FryA55I5PuU/s1600/5.jpg
 
 
 
 
 
 
 
6- Sabendo-se que um determinado material, apresenta-se na fase de escoamento 
quando submetido à uma tensão de 370MPa, determine as condições de segurança, 
utilizando o Critério de von Mises, para o elemento de tensão abaixo. 
https://2.bp.blogspot.com/-TYKK7zNx-Wo/VZX5fA_CB1I/AAAAAAAADh8/Ih_a8bMyHXw/s1600/04.jpg
https://1.bp.blogspot.com/-i4SV3kZIR1M/VZX5ejjfxDI/AAAAAAAADh0/qczltLvCqCo/s1600/05%2B-%2BC%25C3%25B3pia.jpg
 
 
[MPa] 
 
 
 
 
 
https://1.bp.blogspot.com/-p0qBegH_Whs/VZXwVhKRe0I/AAAAAAAADfM/rQ4tXXs0K64/s1600/6.jpg
https://4.bp.blogspot.com/-6iR1vhIdXy4/VZX5tVKvS8I/AAAAAAAADiM/NoJrPvymsqg/s1600/05.jpg
 
 
 
 
 
1- Determinar se o material, representado pelo elemento de tensão abaixo, está em 
condições de segurança, sabendo-se que fuc = 100MPa e fut = 175MPa. Utilizar o 
Critério de Mohr. 
 
https://4.bp.blogspot.com/-L3OUEeCDwtA/VZX5toytTII/AAAAAAAADiQ/QI58xTNfqfI/s1600/06%2B-%2BC%25C3%25B3pia.jpg
https://2.bp.blogspot.com/-A3tOdUY9ja0/VZX5s7nGqjI/AAAAAAAADiE/EJTa85s-5Mc/s1600/06.jpg
[MPa] 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://4.bp.blogspot.com/-YUBIon0HbD0/VZcHlgYvwOI/AAAAAAAADjA/XC_krWZPH_I/s1600/8.jpg
https://3.bp.blogspot.com/-B-PE-tWtZ-A/VZcIN-k9fiI/AAAAAAAADkE/2g3LlWlatvw/s1600/09%2B-%2BC%25C3%25B3pia.jpg
 
 
 
 
2- O estado plano indicado é esperado em um componente de alumínio fundido. 
Sabendo-se que para a liga de alumínio utilizada fut = 60MPa e fuc = 120MPa, e 
utilizando o Critério de Mohr, determinar se a ruptura irá ocorrer. 
 
 
 [MPa] 
 
 
 
https://4.bp.blogspot.com/-7unhiCEsp5c/VZcIN3FftaI/AAAAAAAADkI/yTAetgzGKPo/s1600/09.jpg
https://3.bp.blogspot.com/-_n5CbZvvNyg/VZcHlgR1wKI/AAAAAAAADjM/552sxucVWPg/s1600/9.jpg
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3- Dado o elemento de tensão abaixo, e utilizando o Critério de Ruptura de Mohr, 
determinar a condição do material. Sabe-se que fut = 300MPa e fuc = 320MPa. 
https://1.bp.blogspot.com/-7G-M7C3GqII/VZcIKSZpGII/AAAAAAAADjc/57veR6cu54M/s1600/010%2B-%2BC%25C3%25B3pia.jpg
https://4.bp.blogspot.com/-OYdleEFcPCY/VZcIKHTpJHI/AAAAAAAADjU/6vlGNhfibYY/s1600/010.jpg
 
 
 [MPa] 
 
 
 
https://2.bp.blogspot.com/-Nj15wlYtTsE/VZcHlx9H0nI/AAAAAAAADi8/MBZI6O-dnaw/s1600/10.jpg
https://1.bp.blogspot.com/-yK0Skhpb8xc/VZcIJ4qlEFI/AAAAAAAADjY/PtDnFOK8NEk/s1600/011%2B-%2BC%25C3%25B3pia.jpg
 
 
 
https://1.bp.blogspot.com/-pf691MhxCqo/VZcIMSq-DWI/AAAAAAAADjw/lcyTmX45bTI/s1600/011.jpg
https://4.bp.blogspot.com/-3DujvEaBRGo/VZcIMJqtxSI/AAAAAAAADjs/93YkHgCHc4w/s1600/012%2B-%2BC%25C3%25B3pia.jpg
 
 
https://2.bp.blogspot.com/-71Q76EtRXXM/VZcIMQwxvVI/AAAAAAAADj4/12CNnsm9lO4/s1600/012.jpg