Resistencia dos Materiais Hibbeler - 13.6 Projeto de colunas para cargas concêntricas

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502 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
13.72. A coluna de comprimento intermediário sofre ftam- *1 3 bagem quando a resistência à compressão é 280 MPa. Se o Projeto col u nas 
índice de esbeltez for 60, determine o módulo tangente. 
*13.73. Construa a curva de ftambagem, PIA em relação a Lh; 
para uma coluna cuja curva tensão-deformação é bilinear 
sob compressão, como mostra a figura. 
(I' (MPa) 
126 1-------, 
91 f--------
"-li/_::-f=----=-"=:------- E (mm/mm) 
0,002 0,005 
Problema 13.73 
*13.74. Construa a curva de ftambagem, PIA em relação a 
Lh; para uma coluna cuja curva tensão-deformação bilinear 
sob compressão como mostra a figura. 
(I' (MPa) 
350 1--------, 
'--' /--------'-----'----------- E (mmjmm) 
0,001 0,005 
Problema 13.74 
"13.75. Construa a curva de ftambagem, PIA em relação a 
Lh; para uma coluna cuja curva tensão-deformação é bili­
near sob compressão como mostra a figura. A coluna está 
presa por pinos em ambas as extremidades. 
(I' (MPa) 
260 ii----�. 
140 
"---L---_i_ ___ E (mm/mm) 
0,001 0,004 
Problema 13.75 
A teoria apresentada até aqui se aplica a colunas 
perfeitamente retas, feitas de material homogêneo e 
em seu estado original, livres de tensão. Porém, na prá� 
tica, como já dissemos, não existem colunas perfeita­
mente retas, e a maioria delas tem tensões residuais 
que se devem principalmente a resfriamento não uni­
forme durante a fabricação. Além disso, os apoios para 
colunas não são muito exatos e os pontos de aplicação 
e direções das cargas não são conhecidos com certeza 
absoluta. Para compensar esses efeitos que, ademais, 
variam de uma coluna para outra, muitos códigos e 
manuais de projeto especificam a utilização de fórmu­
las empíricas para colunas. Os resultados de testes ex­
perimentais realizados em grande número de colunas 
com carga axial podem ser representados em gráfico 
e, a partir desses gráficos, é possível desenvolver uma 
fórmula de projeto ajustando-se uma curva às médias 
dos dados. 
Um exemplo desses testes para colunas de aço de 
abas largas é mostrado na Figura 13.23. Observe a se­
melhança entre esses resultados e os obtidos para a 
família de curvas, determinados pela fórmula da se­
cante (Figura 13.18b ). A razão dessa semelhança tem 
a ver com a influência de um índice de excentricidade 
'acidental' sobre a resistência da coluna. Como afirma­
mos na Seção 13.4, esse índice provoca um efeito mais 
acentuado sobre a resistência de colunas curtas ou de 
comprimento intermediário do que sobre a resistência 
de colunas longas. Os testes indicaram que ech·2 pode 
variar na faixa de 0,1 a 0,6 para a maioria das colunas 
com carga axial. 
Fórmula ele Euler 
(Equação 13.6) 
·. 
Coluna curta Coluna intermediária Coluna longa 
Figura 13.23 
Para levar em conta o comportamento de colunas 
de comprimentos diferentes, os códigos e manuais de 
projeto especificam várias fórmulas que se ajustarão 
melhor aos dados que se encontram dentro de cada 
uma das faixas de colunas curtas, intermediárias e 
longas. Por consequência, cada fórmula será aplicável 
somente a uma faixa específica de índices de esbeltez 
e, por isso, é importante que o engenheiro observe 
cuidadosamente os limites KL/r para os quais uma 
determinada fórmula é válida. A seguir, discutiremos 
exemplos de fórmulas de projeto para colunas de aço, 
alumínio e madeira em uso atualmente. O objetivo é 
dar uma ideia de como as colunas são projetadas na 
prática. Todavia, essas fórmulas não devem ser usadas 
para o projeto de colunas reais, a menos que os respec­
tivos códigos de referência sejam consultados. 
Colunas de aço. Atualmente, as colunas feitas 
de aço estrutural são projetadas com base em fórmulas 
propostas pelo Structural Stability Research Council 
(SSRC). Fatores de segurança foram aplicados a essas 
fórmulas e adotados como especificações para a cons­
trução de edifícios pelo American Institute of Steel 
Construction (AISC) . Basicamente, essas especifica­
ções nos dão duas fórmulas para projeto de colunas e 
cada uma delas nos dá a tensão admissível máxima na 
coluna para uma faixa específica de índices de esbel­
tez. Para colunas longas, propõe-se a fórmula de Euler, 
isto é, O' • = 1r2 E!(KL/r)2• 
max 
A aplicação dessa fórmula requer um fator de se-
gurança FS = 23/12 = 1 ,92. Assim, para projeto, 
(KL ) KL - s - s 200 r c r (13.21) 
Como dissemos, essa equação é aplicável a um ín­
dice de esbeltez limitado por 200 e (KL/r)c. Obtemos 
um valor específico de (KL!r)c, desde que a fórmula 
de Euler seja usada somente para material de com­
portamento elástico. Por meio de testes experimentais 
constatou-se que seções de aço laminado podem exibir 
tensões residuais de compressão, cujos valores podem 
chegar à metade da tensão de escoamento. Por con­
sequência, se a tensão na fórmula de Euler for maior 
do que 1/20'0, a equação não será aplicável. Portanto, 
o valor de (KL/r)c pode ser determinado da seguinte 
maneira: 
(KLjr)/ 
(13 .22) 
FLAMBAGEM DE COLUNAS 503 
CTadm 
(J'e 
0,6 /"" (Equação 13.23) 
0,261 f--------. 
/ (Equação 13.21) 
o�----�-------------- KL 
(K�) I c 
Figura 13.24 
r 
Colunas com índices de esbeltez menores que (KL!r)c 
são projetadas com base em uma fórmula empírica pa­
rabólica cuja forma é [ (KL/r? J O'máx = 1 -
2(KLjr)c2 (]'
e 
Como há maior incerteza na utilização dessa fór­
mula para colunas mais longas, ela é dividida por um 
fator de segurança definido da seguinte maneira: 
5 3 (KLjr) 
FS = 3 
+ 
8 (KLjr)c 
(KL/r? 
8(KLjr)c3 
Vemos, nessa expressão, que FS = 5/3 = 1 ,67 em 
KL = O e aumenta até FS = 23/12 = 1 ,92 em (KL!r) . r c 
Por consequência, para a finalidade de projeto [ (KL/rf J 1 2 (J'e 2(KL/r), 
(J'adm = (5/3) + [(3/S)(KL/r)/(KL/r)c] - [ (KL/r)3/8(KL/r)/] 
(13 .23) 
A Figura 13.24 mostra a representação gráfica das 
equações 13.21 e 13.23. 
Colunas de alumínio. O projeto de colunas de alu­
mínio estrutural é especificado pela Aluminum Associa­
tion usando três equações, cada uma aplicável a uma faixa 
específica de índices de esbeltez. Visto que existem vários 
tipos de liga de alumínio, há um conjunto de fórmulas ex­
clusivo para cada um. Para uma liga comum (2014-T6) 
usada na construção de edifícios, as fórmulas são 
KL 
O'adm = 195 MPa O s - S 12 
r (13.24) 
O'adm = [214,5 - 1 ,628 ( �� )] MPa 12 < �� < 55 
(13.25) 
(]' = 378.125 MPa 
55 
:::; KL 
adm (KL/rf r (13.26) 
504 RESISTÊNCiA DOS MATERIAIS 
Ciadm (MPa) 
(Equação 1 3.24) 
(Equação 13 .26) 
O L-�-------�--------------- KL 
12 55 
Figura 13.25 
A Figura 13.25 mostra a representação gráfica des­
sas equações. Como se vê, as duas primeiras represen­
tam linhas retas e são usadas para modelar os efeitos 
de colunas nas faixas curta e intermediária. A tercei­
ra fórmula tem a mesma forma da de Euler e é usada 
para colunas longas. 
Colunas de madeira . Colunas de madeira usa­
das em construção são projetadas com base nas fór­
mulas publicadas pela National Forest Products Asso­
ciation (NFPA) ou pelo American Institute of Timber 
Construction (AITC) . Por exemplo, as fórmulas NFPA 
para a tensão admissível em colunas curtas, interme­
diárias e longas com seção transversal retangular de 
dimensões b e d, onde d é a menor dimensão da seção 
transversal, são 
O"adm 8,25 MPa 
Análise da coluna 
O :::::; KL :::::; 11 d (13 .27) 
Ci adm (MPa) 
..... L(Equação 1 3.27) 
8'25 · ·· · ··· ·· (Equação 1 3 .28) 
5,50 
1 ,4872 
13 .29) 
O L_ __ __J._ ______ __j__ _____ ___J.__ KL 
50 d 1 1 26 
Figma 13.26 
(}" = 8 25 [1 - 1_(KL/d)2 ] MPa adm ' 3 26,0 
KL 11 < - :S 26 d 
(13 .28) 
O"adm 
3 .781 MPa 
26 < KL :::::; SO (KL/df d (13 .29) 
Aqui, a madeira tem módulo de elasticidade 
Em = 12,4(103)MPa e tensão de compressão de 8.25 
MPa paralela à fibra. Em particular, a Equação 13 .29 é 
simplesmente a de Euler com um fator de segurança 3. 
A Figura 13 .26 mostra a representação gráfica dessas 
três equações. 
• Quando usar qualquer fórmula para analisar uma coluna, isto é, determinar sua carga admissível, cm primeiro lugarnecessíta-se calcular o índice de esbeltez para determinar qual das fórmulas de coluna aplicar. 
" Uma vez calculada a tensão admissível média, a carga admissível na coluna é determinada por P = uadmA. 
Projeto da coluna 
" Se usarmos uma fórmula para projetar uma coluna, isto é, para determinar a área de sua seção transversal para uma 
carga específica e um comprimento efetivo específico, em geral será necessário seguir um procedimento ele tenta tiva 
e erro, se a forma da coluna for composta como no caso de uma seção de abas largas. 
" Um modo possível de aplicar um procedimento de tentativa e erro seria considerar que a área da seção transversal 
da coluna é A ' e calcular a tensão correspondente 0"1 = PIA ' . Para determinar a tensão admissível uadm' use A' em 
uma fórmula de projeto adequada. Com isso, calcule a área exigida da coluna, Areq = Plu,ctm' 
., Se A' > A,eq' o projeto é seguro. Ao fazer a comparação, torna-se prático adotar um valor de A' próxin10, porém 
maior que o de A,eq' normalmente dentro de uma faixa de 2 a 3%. Se A' < A,eq' será necessário fazer um novo pro­
jeto . 
., Sempre que um processo de tentativa e erro for repetido, a escolha de uma área é determinada pela área exigida cal­
culada anteriormente. Na prática da engenharia, esse método de projeto é normalmente abreviado com a utilização 
de códigos computacionais ou tabelas e gráficos publicados. 
Um elemento estrutural W250 x 149 de aço A-36 é 
usado como uma coluna apoiada por pinos (Figura 13.27). 
Usando as fórmulas de projeto do AISC, determine a maior 
carga que ele pode suportar com segurança. E aço = 200(103) 
MPa, (J'e = 250 MPa. 
y 
SOLUÇÃO 
p 
p 
Figura 13.27 
y 
A tabela no Apêndice B apresenta os seguintes dados para 
um W250 x 149: 
A = 19.000 mm2 r, = 117 mm rY = 67,4 mm 
FLAMBAGEM DE COLUNAS 505 
A carga admissível P na coluna é, portanto, 
p 110,85 N/mm2 
19.000 mm2 
P = 2.106.150 N = 2.106 kN Resposta 
A haste de aço na Figura 13.28 deve ser usada para su­
portar uma carga axial de 80 kN. Se E aço = 210(103) MPa e 
(J'e = 360 MPa, determine o menor diâmetro da haste per­
mitido pela especificação AISC. A haste está engastada em 
ambas as extremidades. 
d 
Figma 13.28 
SOLUÇÃO 
Para uma seção transversal circular, o raio de giração torna-se 
(1/4)-rr (d/2)4 
(1/4)7Td2 
d 
4 
Visto que K = 1 para flambagem em ambos os eixos x e y, o Aplicando a Equação 13.22, temos 
índice de esbeltez será o maior de todos, se usarmos r e. Logo, 
KL = 1(5 m)(l .OOO mm/m) = 74 18 r (67,4 mm) ' 
Pela Equação 13.22, temos 
(��l = � 
,--------
27T2 (200)(103 ) MPa 
250 MPa 
= 125,66 
Aqui, O < KL!r < (KL!r)c, portanto, a Equação 13 .23 é 
aplicável. 
[1 _ (KL/r)2 J rr 
2(KL/r)� 
e rractm = {(5/3) + [(3/8)(KL/r)/(KL/r)c l - [(KL r)3 !8(KL/,J3]) 
[1 - (74,18)2 /2(125,66)2 ]250 MPa 
{(5/3) + [(3/8)(74,18/125,66)] - [(74,18)3 / 8(125,66)3]) 
= 110,85 MPa 
27T2 [210(103) MPa] = 107 3 
360 MPa ' 
Como o raio de giração da haste é desconhecido, KL!r é desco­
nhecido e, portanto, temos de escolher se a Equação 13.21 ou 
a Equação 13.23 é aplicável. Consideraremos a Equação 13.21. 
Para uma coluna de extremidades engastadas K = 0,5, portanto, 
Use 
127T2 E 
<Tactm = 23(KL/r)2 
80(103 ) N 127T2[210(103 ) N/mm2 ] 
(1/4)7Td2 - 23[0,5(5000 mm)/(d/4)f 
101,86 X 103 = 0,0108d2 mm 
d2 
d = 55,42 mm 
d = 56 mm Resposta 
506 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Para esse projeto, temos de verificar os limites do índice de 
esbeltez, isto é, 
KL 0,5(5)(1 .000) 
- = = 179 
r (56/4) 
Visto que 107,3 < 179 < 200, a utilização da Equação 13.21 
é adequada. 
Uma barra com 750 mm de comprimento é usada para 
suportar uma carga de compressão axial de 60 kN (Figura 
13 .29) . A barra é apoiada por pinos nas extremidades e é 
feita de liga de alumínio 2014-T6. Determine as dimensões 
da área da seção transversal, se a largura for duas vezes a 
espessura. 
60 kN 
X y 
75ü mm 
r 
60 kN 
Figma 13.29 
SOLUÇÃO 
Como KL = 750 mm é o mesmo para a fiambagem em am­
bos os eixos x-x e y-y, o maior índice de esbeltez é determi­
nado pelo menor raio de giração, isto é, usando /mrn = IY: 
KL KL 1(750) 2.598,1 
-ç-
= 
�Iy/A 
= 
�(1/12)2b(b3 )/[2b(b)] 
- -b- (1) 
Aqui, temos de aplicar a Equação 13.24, 13.25 ou 13.26. Visto 
que ainda não conhecemos o índice de esbeltez, começare­
mos usando a Equação 13.24. 
p 2 - = 195 N/mm A 
60(103 ) N = 195 N/mmz 2b(b) 
b = 12,40 mm 
Verificando o índice de esbeltez, temos 
KL = 2.598,1 = 209 5 > 12 
r 12,40 ' 
Tente a Equação 13.26, que é válida para KL!r 2: 55: 
Pela Equação 1 , 
P 378.125 MPé 
A (KL/r)2 
60(103 ) - 378.125 
2b(b) - (2.598,1/bi 
b = 27,05 mm 
K� = 2598,1 = 96,0 > 55 
r 27,05 
Resposta 
OK 
OBSERVAÇÃO: Seria satisfatório escolher a seção transver­
sal com dimensóes 27 mm por 54 mm. 
Uma tábua com seção transversal de 150 mm por 40 
mm é usada para suportar uma carga axial de 20 kN (Figura 
13.30) . Se considerarmos que ela é suportada por pinos no 
topo e na base, determine seu maior comprimento admissí­
vel L como especificado pela NFPA. 
20 kN 
20 kN 
Figura 13.30 
y 
SOLUÇÃO 
Por inspeção, a tábua sofrerá fiambagem em torno do eixo 
y. Nas equações da NFPA, d = 40 mm. Considerando que a 
Equação 13.29 é aplicável, temos 
Aqui, 
P 3.781 MPa 
A (KL/d)2 
(150 mm)(40 mm) 
3.781 MPa 
(1 L/40 mm)2 
KL 
d 
L = 1 .336 mm 
(1)1.336 mm = 33 4 40 mm ' 
Visto que 26 < KL!d :S 50, a solução é válida. 
Resposta 
13.76. Determine o maior comprimento de uma haste de 
aço estrutural A-36, se ela estiver engastada e sujeita a uma 
carga axial de 100 kN. A haste tem diâmetro de 50 mm. Use 
as equações AIS C. 
13.77. Determine o maior comprimento de uma seção 
W250 x 18 de aço estrutural A-36, se ela estiver engastada e 
sujeita a uma carga axial de 140 kN. Use as equações AISC. 
13.78. Determine o maior comprimento de uma coluna 
W310 x 67 de aço estrutural A-36, se ela estiver apoiada por 
pinos e for submetida a uma carga axial de 1 .000 kN. Use as 
equações AIS C. 
''13,79. Determine o maior comprimento de uma seção 
W200 x 46 de aço estrutural A-36, se ela estiver apoiada por 
pinos e sujeita a uma carga axial de 400 kN. Use as equações 
AIS C. 
13.80. Usando as equações AISC, verifique se uma coluna 
W150 x 14 de aço estrutural A-36 com 3 m de comprimento 
pode suportar uma carga axial de 200 kN. As extremidades 
estão engastadas. 
13.81. Usando as equações AISC, selecione no Apêndice B 
a coluna de aço estrutural de menor peso que tenha 4,2 m de 
comprimento e suporte uma carga axial de 200 kN. As extre­
midades estão presas por pinos. Adote O' c = 350 MPa. 
13.82. Usando as equações AISC, selecione no Apêndice B 
a coluna de aço estrutural A-36 de menor peso que tenha 3,6 m 
de comprimento e suporte uma carga axial de 200 kN. As 
extremidades estão engastadas. Considere O' e = 350 MPa. 
' 13.83. Usando as equações AISC, selecione no Apêndice 
B a coluna de aço estrutural A-36 de menor peso que tenha 
4,2 m de comprimento e suporte uma carga axial de 200 kN. 
As extremidades estão engastadas. 
FLAMOAGEM DE COLUNAS 507 
13.84. Usando as equações AISC, selecione no Apêndice B 
a coluna de aço estrutural A-36 de menor peso que tenha 9 m 
de comprimento e suporte uma carga axial de 1 .000 kN. As 
extremidades estão engastadas. 
13.85. Determine o maior comprimento de uma seção 
W200 x 46 de aço estrutural A-36, se for suportada por pinos 
e estiver sujeita a uma carga axial de 90 kN. Use as equações 
AIS C. 
13.86. Determine o maior comprimento de uma coluna 
W150 x 22 de aço estrutural A-36, se for suportada por pinos 
e estiver sujeita a uma carga axial de 350 kN. Use as equa­
çõesAISC. 
'13.87. A barra é feita de liga de alumínio 2014-T6. Deter­
mine sua espessura b, se a largura for 5b. Considere que ela 
está acoplada por pinos nas extremidades. 
3 kN 
2,4 
3 kN 
Problema 13.87 
13.88. A barra é feita de liga de alumínio 2014-T6. Deter­
mine sua espessura b, se a largura for 5b. Considere que ela 
está engastada nas extremidades.3 kN 
3 kN 
P1·oblema 13.88 
508 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
13.89. A haste de 50 mm de diâmetro é usada para suportar 
uma carga axial de 40 kN. Determine seu maior comprimen­
to admissível L, se for feita de alumínio 2014-T6. Considere 
que as extremidades estão acopladas por pinos. 
13.90. A haste de 50 mm de diâmetro é usada para suportar 
uma carga axial de 40 kN. Determine seu maior comprimen­
to admissível L, se for feita de alumínio 2014-T6. Considere 
que as extremidades estão engastadas. 40 kN 50 mm 
Problemas. 13.89/90 
''13.91. O tubo tem 6 mm de espessura, é feito de liga de alu­
mínio 2014-T6 e está engastado na base e preso por pinos no 
topo. Determine a maior carga axial que ele pode suportar. 
13.92. O tubo tem 6 mm de espessura, é feito de liga de 
alumínio 2014-T6 e está engastado nas extremidades. Deter­
mine a maior carga axial que ele pode suportar. 
13.93. O tubo tem 6 mm de espessura, é feito de liga de alu­
mínio 2014-T6 e está acoplado por pinos nas extremidades. 
Determine a maior carga axial que ele pode suportar. 
150 mm 
y 
p 
p 
X 
m 
Problemas 13.91/92/93 
13.94. A barra é feita de liga de alumínio 2014-T6. Deter­
mine sua espessura b, se a largura for 1,5b. Considere que ela 
está acoplada por pinos nas extremidades. 
4 kN 
4 kN 
Problema 13.94 
*13.95. Usando as equações AISC, verifique se a coluna que 
tem a seção transversal mostrada na figura pode suportar uma 
força axial de 1.500 kN. A coluna tem comprimento de 4 m, é 
feita de aço A-36 e suas extremidades estão presas por pinos. 
I-- 350 mm -1 20 mm --1 1-- --1 1-- 20 mm 
�3lomm lG=U l 
Pl'oblema 13.95 
13.96. Uma haste de 1,5 m de comprimento é usada em 
uma máquina para transmitir uma carga de compressão axial 
de 15 kN. Determine seu diâmetro, se suas extremidades esti­
verem acopladas por pinos e ela for feita de liga de alumínio 
a 2014-T6. 
13.97. Resolva o Problema 13.96, se as extremidades da 
haste estiverem engastadas. 
13.98. A coluna de madeira tem seção transversal quadra­
da e consideramos que esteja acoplada por pinos no topo e 
na base. Se ela suportar uma carga axial de 250 kN, determi­
ne suas dimensões laterais a com aproximação de múltiplos 
de 10 mm. Use as fórmulas NFPA. 
Problema 13.98 
*13.99. Resolva o Problema 13.98, considerando que a co­
luna está engastada no topo e na base. 
Pl'oblema 13.99 
13.100. A coluna de madeira é usada para suportar uma 
carga axial P = 150 kN. Se estiver engastada na base e livre 
no topo, determine a largura mínima da coluna com base nas 
fórmulas NFPA. 
p 
150 
Problema 13.100 
13.101. A coluna de madeira tem 6 m de comprimento e 
está acoplada por pinos nas extremidades. Use as fórmulas 
NFPA para determinar a maior força axial P que ela pode 
suportar. 
p 
p 
Problema 13.101 
13.102. A coluna de madeira tem 6 m de comprimento e está 
engastada nas extremidades. Use as fórmulas NFPA para de­
terminar a maior força axial P que ela pode suportar. 
FLAMFJAGEM DE COLUNAS 509 
p 
p 
Problema 13.102 
""13.103. A coluna é feita de madeira e está engastada na 
base e livre no topo. Use as fórmulas NFPA para determinar 
o maior comprimento admissível, se ela suportar uma carga 
axial P = 10 kN. 
p 
mm 
Problema 13.103 
13.104. A coluna é feita de madeira e está engastada na base 
e livre no topo. Use as fórmulas NFPA para determinar a 
maior carga axial admissível P que ela pode suportar, se tiver 
comprimento L = 1 ,2 m. 
p 
Pwblema 13.104 
13.100. A coluna de madeira é usada para suportar uma 
carga axial P = 150 kN. Se estiver engastada na base e livre 
no topo, determine a largura mínima da coluna com base nas 
fórmulas NFPA. 
p 
150 
Pwblema 13.100 
13.101. A coluna de madeira tem 6 m de comprimento e 
está acoplada por pinos nas extremidades. Use as fórmulas 
NFPA para determinar a maior força axial P que ela pode 
suportar. 
p 
p 
Problema 13.101 
13.102. A coluna de madeira tem 6 m de comprimento e está 
engastada nas extremidades. Use as fórmulas NFPA para de­
terminar a maior força axial P que ela pode suportar. 
FLAMBAGEM DE COLUNAS 509 
p 200 mm 
p 
Problema 13.102 
''13.103. A coluna é feita de madeira e está engastada na 
base e livre no topo. Use as fórmulas NFPA para determinar 
o maior comprimento admissível, se ela suportar uma carga 
axial P = 10 kN. 
p 
50 
mm 
Problema 13.103 
13.104. A coluna é feita de madeira e está engasta da na base 
e livre no topo. Use as fórmulas NFPA para determinar a 
maior carga axial admissível P que ela pode suportar, se tiver 
comprimento L = 1,2 m. 
p 
mm 
Problema 13.104