Apostila 4

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAISRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
PROJETO DE VIGAS EPROJETO DE VIGAS E
EIXOS, DEFLEXÃO EEIXOS, DEFLEXÃO E
FLAMBAGEM EM COLUNASFLAMBAGEM EM COLUNAS
Autor: Me. Cristian Padilha Fontoura
Revisor : Luc iano Gald ino
I N I C I A R
introduçãoIntrodução
Prezado(a) aluno(a), esta unidade é uma conclusão dos principais tópicos de
Resistência dos Materiais e nela veremos tópicos que culminam em diversos assuntos
que você já tem conhecimento. Aqui, a aplicação no projeto de eixos e vigas retoma
diversos conceitos básicos para que o estudante possa, futuramente, planejar,
analisar e projetar elementos estruturais solicitados por cargas diversas. Também
veremos nesta unidade os conceitos de de�exão e �ambagem, que são de suma
importância na mecânica dos sólidos. Com o conteúdo aqui abordado, você vai
adquirir conhecimento o su�ciente para tornar-se autônomo na resolução de
problemas, além de revisar tópicos de forma mais aplicada, e assim �xá-los.
O projeto de vigas e eixos tem como objetivo fazer vigas que resistam tanto ao
cisalhamento quanto à �exão. Neste capítulo, vamos desenvolver métodos usados no
projeto de vigas prismáticas e determinar a forma de vigas sujeitas à tensão, bem
como o projeto de eixos sujeitos aos momentos �etores e torçores.
Vigas Prismáticas
Primeiro, vamos contextualizar e fazer algumas considerações sobre   vigas. O
conceito de viga é bastante simples e compreende elementos estruturais que
precisam suportar cargas perpendiculares ao seu eixo longitudinal (comprimento).
Quando carregadas, existem a força interna de cisalhamento e o momento �etor que
variam ao longo do eixo da viga, sendo que a tensão axial é negligenciada em projeto
de vigas, uma vez que ela é muito mais baixa que o cisalhamento e o momento �etor.
Para o projeto de vigas, utilizamos os conceitos de cisalhamento e �exão já
conhecidos, apenas se a viga for homogênea e estiver no regime elástico linear.
A tensão de �exão e a tensão de cisalhamento não podem exceder a tensão
admissível que são especi�cadas para a viga. Assim, vamos determinar o módulo de
resistência à �exão da viga, dado por S:
 (eq. 4.1)
Projeto de Vigas eProjeto de Vigas e
EixosEixos
= =Sreq
Mm xa
σadm
I
c
Onde é o momento �etor máximo, é a tensão admissível da viga, I é o
momento de inércia da viga e c é a distância do eixo neutro até o ponto mais distante
da seção transversal.
Conhecendo , podemos determinar as dimensões da seção transversal da viga.
Opta-se por vigas de seção simétrica, caso a tensão de �exão admissível seja igual
para tração e compressão. Caso contrário, opta-se por uma seção transversal
assimétrica, que irá resistir aos diferentes momentos.
Desde que a viga satisfaça a equação de , considera-se adequada para a aplicação.
Busca-se sempre obter vigas com a menor área transversal possível, desde que não
haja restrições de deformações.
Devemos, então, con�rmar a escolha da viga pela análise do cisalhamento:
 (eq. 4.2)
Normalmente, esse passo não apresenta grandes problemas. Exceções incluem vigas
feitas de madeira, uma vez que esta tende a dividir seus grãos devido ao
cisalhamento. Caso a viga seja curta e suporte altas cargas concentradas, a tensão de
cisalhamento pode ser crucial na escolha da viga.
Escolhendo a seção da viga: as vigas produzidas geralmente saem de um processo
metalúrgico de laminação à quente. Vigas produzidas por esse processo são
padronizadas e tabuladas pelo Instituto Americano de Construção em Aço (AISC).
As vigas são tabeladas e divididas de acordo com a sua seção transversal. Encontra-se
comumente vigas de abas largas, as quais são descritas pela sua altura e peso por
unidade de comprimento. Por exemplo, W 460 x 68 vai ter uma altura próxima a 460
mm e peso de 68 kgf/m. Veja na Figura 4.1 como essa viga de abas largas é
representada.
Mmáx σadm
Sreq
Sreq
≥τadm
VQ
It
Além da altura e do peso por unidade de comprimento, a área da seção, o momento
de inércia e outras propriedades podem ser encontradas em tabelas de vigas.
Há ainda as vigas de aço de seções compostas produzidas por métodos de união, que
juntam duas ou mais partes para formar uma viga única. Normalmente, são unidas
por meio de parafusos ou soldas.
As vigas de madeira são normalmente retangulares, devido ao processo de
fabricação, que é facilitado. Geralmente encontram-se as vigas do tipo caixão e as
vigas compostas de lâminas coladas (madeira laminada).
Procedimento de Análise
Na análise de vigas, duas ferramentas que serão muito utilizadas são os diagramas de
momento e de cisalhamento, a �m de encontrar os valores máximos de cisalhamento
e momento. Para vigas compostas, esses diagramas servem para identi�car pontos
acumuladores de tensão que exigem reforços.
Caso a viga seja longa, encontramos o módulo de resistência à �exão utilizando a
fórmula da �exão pela equação 4.1 e, com a mesma, computamos a seção
transversal, uma vez que a equação nos diz que . Se vigas de per�s laminados
forem usadas, vários valores de podem ser selecionados, a partir de tabelas.
Escolhe-se a viga com a menor área da seção transversal, uma vez que isso implica no
menor peso e em uma maior economia.
Se estamos falando de uma viga curta, com altas cargas e, principalmente, vigas
feitas de madeira, analisa-se primeiro a resistência ao cisalhamento, para depois
checar os requerimentos quanto à tensão de �exão admissível. Para isso, utiliza-se a
equação 4.2, a �m de veri�car se a tensão admissível não foi excedida.
= I/cSreq
S
Caso a viga tenha uma seção retangular maciça, a fórmula é alterada, como vemos
na equação 4.3:
 (eq. 4.3)
Já no caso de uma viga com seção de abas largas, podemos assumir que o
cisalhamento é constante na área da seção transversal da alma da viga, que é
determinada pelo produto da altura da viga pela espessura da alma. Temos, portanto,
um cisalhamento admissível dado pela equação 4.4:
 (eq. 4.4)
A adequação de elementos de �xação (como parafusos e pregos) depende da tensão
de cisalhamento que os elementos podem resistir. O espaçamento entre esses
elementos é determinado pelo �uxo de cisalhamento permitido, que é dado na
equação 4.5, que deve ser calculada em pontos da seção onde há elementos de
�xação:
 (eq. 4.5)
Exemplo 1:
Considere a viga feita de madeira laminada, conforme a Figura 4.2. Ela está sujeita a
uma carga de 12 kN/m. É necessário que ela possua uma razão altura/largura de 1,5.
Determine, com base nisso, a menor largura.
Considerando que para a viga, a tensão de �exão admissível é e a tensão
de cisalhamento admissível é , sendo seu peso desprezível.
≥ 1,5 ( )τadm
Vm xa
A
≥τadm
Vm xa
Aalma
=qadm
VQ
I
= 9 MPaσadm
= 0,6 MPaτadm
Figura 4.2 - Viga de madeira sob carregamento
Fonte: Hibbeler (2010, p. 406).
1º passo: construir diagramas de força cortante e momento �etor, conforme vemos
na Figura 4.3.
2º passo: Calcular o módulo de resistência à �exão e a largura:
3º passo: Devemos lembrar que vigas de madeira precisam ser avaliadas em relação
ao seu cisalhamento, portanto, calculamos o cisalhamento para seções retangulares,
neste caso:
Podemos ver que com a largura projetada para �exão, ocorre falha por cisalhamento.
Neste caso, devemos reprojetar a viga, de acordo com o critério de tensão de
cisalhamento admissível.
( , p )
= = = 1,19 × mmSreq
Mm xá
σadm
10,67 × 106
9 10
6 3
= = 1,19 × =Sreq
I
c
106
(a) (1,5a)112
3
(0,75a)
a = 3,16 × mm3 106 3
a = 147 mm
≥ 1,5 ( ) = (1,5) = 0,93  > 0,6 MPaτadm
Vm xá
A
20.000
(147) (1,5) (147)
= 1,5 ( )τadm
Vm xá
A
0,6 = 1,5
20.000
a(1,5a)
Deste modo, a largura mínima para essa viga retangular de madeira laminada é de
183 mm.
O exemplo acima evidencia bem como vigas de madeira e, nesse caso, sujeita a uma
carga distribuída ao longo de seu comprimento, pode falhar por cisalhamento e
necessitar de reprojeto, para atender às propriedades do material.
Vigas Totalmente Solicitadas
Durante um projeto de viga, o engenheiro poderá optar por uma viga que economize
peso. Para tal, utiliza-se vigas que possuem uma seçãotransversal variável, fazendo
com que, em cada seção diferente, tensões de �exão atinjam seu valor máximo
permitido. Essas vigas são chamadas de não prismáticas. A Figura 4.4 mostra dois
exemplos de vigas não prismáticas.
De forma geral, o tamanho da seção transversal de tais vigas se dá pela fórmula.
Vigas com esse design são chamadas de vigas totalmente solicitadas.
Projeto de Eixos
Eixos de seção transversal circular são amplamente utilizados em máquinas e demais
equipamentos mecânicos. Esses elementos estão sujeitos a tensões cíclicas, que
provêm de combinações de �exão e torção que eles devem transmitir, além de
conterem concentradores de tensão como acoplamentos, polias, engrenagens,
mudanças bruscas na área da seção etc.
a = 183 mm
Carregamentos em eixos podem ser resolvidos transformando-os em componentes
estaticamente equivalentes e decompondo-os em dois planos perpendiculares. Isso
implica no fato de que diagramas de momento podem ser desenhados para as cargas
de cada plano e o resultante interno de momento em cada seção do eixo é
determinado pela adição de vetores, como:
 (eq. 4.6)
Além do momento, os eixos estão sujeitos a torques internos diferentes. Faz-se
necessária também a construção do diagrama de torque. Com os diagramas, é
possível analisar as condições críticas nas seções do eixo, onde a combinação de um
momento M e um torque T cria a pior situação de tensão. Com isso, aplica-se a
fórmula de �exão usando a resultante do momento no eixo principal de inércia.
Geralmente o elemento crítico está sujeito ao estado plano de tensões, assim sendo:
 (eq. 4.7) e (eq. 4.8)
Fazendo uso das equações de transformação de tensão, temos que:
 (eq. 4.9)
E uma vez que e , �camos com:
 (eq. 4.10)
Resolvendo para o raio do eixo, temos:
 (eq 4.11)
Assim sendo, conhecendo a pior condição de tensão, a partir dos diagramas de
momento �etor e torque, podemos obter o raio mínimo do eixo, para que ele possa
suportar as cargas que são impostas.
Exemplo 2
Considere o eixo suportado por mancais radiais em A e B. Devido à transmissão de
potência do e para o eixo, as correias e polias estão sujeitas a tensões, conforme a
Figura 4.5(a). Determine o menor diâmetro para o eixo, utilizando a teoria de máxima
tensão de cisalhamento, com 
M = +Mx2 Mz2
− −−−−−−−−√
σ = McI τ =
Tc
J
= =τadm ( ) + τσ22 2
− −−−−−−−
√ ( ) + ( )Mc2I 2
Tc
J 2
− −−−−−−−−−−−−
√
I = π /2c4 J = π /2c4
=τadm 2πc3M +T
2 2− −−−−−−√
c = ( )2πτadmM +T
2 2− −−−−−−√
1/3
= 50 MPaτadm
Por inspeção, os pontos críticos no diagrama de momento �etor ocorrem em B ou C.
Também, à direita de C e no ponto B, o momento de torção é 7,5 N.m O momento
resultante deve ser calculado para os dois pontos, portanto:
Assim, o ponto C contém os valores críticos para o projeto do eixo. Dessa forma,
aplicamos a equação do raio do eixo para o caso.
Como o exercício pede que se encontre o menor diâmetro, multiplicamos por 2 o raio
do eixo. Assim, d = 2c =23,3 mm.
praticarVamos Praticar
= = 124,5 N.mMC (118,75 N.m) +2 (37,5 N.m)2
− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
√
= = 75 N.mMB (75 N.m)2
− −−−−−−−−
√
c = =( )
2
πτadm
M +T2 2
− −−−−−−√
1/3
( )
2
π (50) ( )  106 
(124,5) + (7,5)2 2
− −−−−−−−−−−−−−
√
1/3
c = 0,0117 m
Dentro do contexto de vigas, devemos ter cuidado ao fazer as considerações sobre as
solicitações e parâmetros de análise. Essas tarefas são imprescindíveis para um projetista e
para tal, vamos exercitar alguns conceitos vistos neste capítulo da unidade, a �m de retomar
alguns dos principais conceitos.
Vejamos as seguintes a�rmações sobre o projeto de vigas. Leia-as atentamente e a seguir
responda, baseado no conhecimento adquirido neste capítulo, quais a�rmações são
verdadeiras.
I - A  falha da viga ocorre quando o cisalhamento interno ou o momento �etor na viga é
máximo.
II - Para que a viga resista, a tensão máxima de cisalhamento e a tensão de �exão devem
exceder valores de tensão admissível.
III - Deve-se primeiro veri�car a tensão de cisalhamento da viga, para auxiliar na escolha da
seção transversal.
IV - Um eixo mecânico deve resistir à torção e à �exão.
V - Para resolver o momento �etor de um eixo precisamos de dois diagramas, um para cada
plano onde a carga é decomposta.
a) I, II, III e IV.
b) I, III e IV.
c) II, III e IV.
d) I, IV e V.
e) Nenhuma das afirmativas são verdadeiras.
Em engenharia, de�exão é o grau de deslocamento de um elemento estrutural sob
um carregamento, seja em ângulo ou em distância. A de�exão deve ser limitada, para
prover estabilidade e evitar a propagação de trincas. Neste capítulo abordaremos
métodos para computar de�exão em pontos especí�cos ao longo da viga ou a forma
de de�exão de uma viga toda. Discutiremos o método de integração, que baseia-se
na integração de equações diferenciais da linha elástica, o método da superposição e
o método das áreas.
A linha elástica representa a linha de de�exão de um eixo ou viga. A linha elástica
obrigatoriamente passa pelo centroide da seção transversal da viga. É relativamente
fácil obter sua forma, porém alguns conceitos de estática precisam estar em mente,
como, por exemplo, um suporte que resiste à força, tal como um pino, restringe
deslocamento, e um suporte que resiste à momento, como um engaste, restringe
rotação ou inclinação.
Para determinar sua forma, usa-se o diagrama de momento. Momentos positivos
tornam-na côncava para cima e momentos negativos tornam-na côncava para baixo.
O raio de curvatura ( ), que é o raio de curvatura em um ponto especí�co sobre a
linha elástica, é dado por:
 (eq. 4.12)
De�exão de Vigas eDe�exão de Vigas e
EixosEixos
ρ
=1ρ
M
EI
M é o momento interno no ponto onde quer se saber o raio, E o módulo elástico do
material e I o momento de inércia em torno do eixo neutro. O deslocamento é
representado por v.
Inclinação e Deslocamento por
Integração
As seguintes equações diferenciais são válidas no cálculo de deslocamento da linha
elástica em uma viga.
(eq. 4.13)
(eq. 4.14)
(eq. 4.15)
Essas equações nos dizem que uma função do momento M(x), vista em 4.13, pode ser
integrada para obter a equação da inclinação da linha elástica (4.14) e uma segunda
integração nos retorna à equação da de�exão (4.15).
EI = M (x)
d v2
dx2
(EI ) = V (x)
d
dx
d v2
dx2
(EI ) = −w(x)
d2
dx2
d v2
dx2
Para resolver um problema de linha elástica pelo método de integração, seguimos o
seguinte roteiro:
cálculo das reações;
determinação das funções de momento �etor para cada parte;
cálculo da linha elástica, deslocamento e inclinação
cálculo das constantes de integração;
�nalização das equações;
cálculo de inclinação e deslocamento no ponto solicitado.
Exemplo 3
Determine a de�exão máxima no eixo circular maciço. O eixo é feito de um aço com  E
= 200 GPa e I= 4,91 x 10 mm (em metros, I= 4,91 x 10 m ).
Inicialmente, encontramos as reações e traçamos um esboço da linha elástica,
conforme vemos na Figura 4.8.
6 4 −6 4
Figura 4.7 - Eixo carregado
Fonte: Hibbeler (2015, p. 597).
Com base no diagrama de corpo livre do segmento, encontramos as funções de
momento. Devido a sua simetria, vamos analisar apenas as coordenadas x.
Com a função do momento, podemos encontrar as equações de inclinação e a linha
elástica, integrando-a duas vezes:
Devido à simetria, no ponto x=1,5 m. Assim, temos:
Além disso, em x=0, v=0. Assim:
Substituindo os valores das constantes de integração, teremos:
Como sabemos que a de�exão máxima ocorre em x = 1,5 m, onde a inclinação da
linha elástica é nula, vamos ter que:
= 0∑ MO
M (x)   −  4x  −  6  =  0
M (x)   =   (4x  +  6)  kN.m
EI = M (x) = 4x + 6d v
2
dx2
EI = 2x + 6x +dv
dx
2 C1
EIv = x + 3x + x +2
3
3 2 C1 C2
= 0dvdx
EI (0) = 2(1,5) + 6(1,5) +2 C1
= −13,5 kN.mC1 2
EI (0) = (0) + 3(0) + (0) +2
3
3 2 C1 C2
= 0C2
v = ( x + 3x − 13,5x)1
EI
2
3
3 2
= ( (1,5) + 3(1,5) − 13,5 (1,5)) × 10vm xá
1
(200 × ) (4,91 × )109 10−6
2
3
3 2 3
=   − 0,001146 m  =  11,5 mm  ↓vm xá
O método da superposição pode ser usado para resolver deslocamentos ou rotações
em vigas oucarregamentos mais complicados; a viga estudada deve ser dividida em
partes, as quais são casos mais simples e são disponibilizados em tabelas.
A equação diferencial satisfaz os dois requisitos necessários para a
aplicação do princípio da superposição: a carga w(x) está relacionada linearmente
com a de�exão v(x) e w(x) não altera de forma signi�cativa a geometria original da
viga.
Veja o exemplo a seguir para melhor compreensão.
Exemplo 4
Determine o deslocamento em C e a inclinação do suporte A na viga vista na Figura
4.9. Considere EI constante.
Como a �gura anterior nos mostra, a viga é dividida em dois segmentos mais simples
de se resolver. Esses são tabelados, podendo ser encontrados em apêndices de livros
de Resistência dos Materiais. A �gura a seguir traz os segmentos necessários para a
resolução no nosso problema.
EI v/d = −w(x)d4 x4
Figura 4.9 - Viga com carregamentos divididos em partes mais simples
Fonte: Hibbeler (2010, p. 453).
Com base nesses dados tabelados, podemos então calcular a inclinação e o
deslocamento para a viga nos pontos A e C, respectivamente.
Só podemos aplicar esse método em vigas com pequenos deslocamentos, dentro do
regime elástico.
Método das Áreas do Momento
O método da área do momento é uma abordagem alternativa para descobrir os
deslocamentos de uma viga ou eixo. É baseado em dois teoremas que estão
relacionados à área do diagrama de momento.
1º teorema: o ângulo, em radianos, entre as tangentes de quaisquer dois pontos na
linha elástica é igual à área abaixo da curva M/EI entre esses dois pontos.
2º teorema: A distância vertical entre a tangente de um ponto na linha elástica e a
tangente estendida de outro ponto é igual ao momento da área abaixo do diagrama
M/EI entre esses dois pontos. Esse momento é calculado sobre o ponto onde a
distância vertical deve ser determinada.
O procedimento de análise deve ser feito, seguindo a ordem:
Determinar as reações e desenhar o diagrama M/EI da viga.
Desenhar uma versão exagerada da linha elástica, indicando deslocamentos
e inclinações desconhecidas.
= + = + = + =  ↻θA ( )θA 1 ( )θA 1
3wL3
128EI
PL2
16EI
3 (2) (8)3
128EI
8 (8)2
16EI
56 kN.m2
EI
= + = + = + = ↓vc ( )vc 1 ( )vc 2
5wL4
768EI
PL3
48EI
53,33
EI
85,33
EI
139 kN.m3
EI
Aplicar o 1º teorema para encontrar o ângulo entre as tangentes na linha e o
2º teorema para determinar a distância vertical.
Um valor de positivo representa uma rotação anti-horária da tangente
em B, em relação à tangente em A, e um valor positivo de indica que B
�ca acima da tangente estendida de A na curva elástica.
praticarVamos Praticar
A resolução de um problema nem sempre considera apenas números. Muitas vezes a
solução analítica considera apenas variáveis e é então utilizada diversas vezes, alterando-se
as incógnitas. A �m de exempli�car isso, considere a viga mostrada em (a). Com o diagrama
M/EI em (b) e a linha elástica em (c).
a) 
b) 
c) 
θB/A
τB/A
=  θB PL
2
2EI
=  θB PLEI
= − θB M2EI
d) 
e) 
Vigas e Eixos Estaticamente
Indeterminados
Vigas e eixos estaticamente indeterminados possuem mais reações desconhecidas do
que equações de equilíbrio. Para resolvê-los, devem-se identi�car as reações
redundantes. Os métodos de integração ou método dos teoremas de área do
momento podem ser utilizados para resolver as incógnitas redundantes. Também se
utiliza o método da superposição para determinar quais reações são redundantes.
=   −  θB PL
2
2EI
=  0θB
Neste capítulo estudaremos a �ambagem, que é um evento ativado por cargas axiais
compressivas em colunas, que são elementos estruturais longos e esbeltos. Quando
as colunas estão sendo comprimidas por essa força axial, elas podem sofrer uma
de�exão lateral, que é denominada �ambagem. Essa de�exão lateral pode
ocasionar, em muitos casos, uma falha repentina na estrutura, sendo então de
grande importância sua consideração durante o projeto de colunas.
Carga Crítica
Denomina-se carga crítica a carga axial máxima que uma coluna pode suportar,
na iminência de sofrer �ambagem.
Flambagem deFlambagem de
ColunasColunas
( )Pcr
Figura 4 12 Exemplo de coluna longa e esbelta sofrendo �ambagem
A carga crítica não é a maior carga que uma coluna pode suportar, pois mesmo
depois de �ambada ela poderá aguentar cargas maiores que , porém, como
consequência apresentará uma grande de�exão. Em geral, não se toleram grandes
de�exões em projetos de estruturas, sendo assim, passa a ser a carga limite para a
coluna.
Coluna Ideal com Apoio de Pinos
Será considerada como coluna ideal a coluna que apresenta as características a
seguir:
é perfeitamente reta, antes da aplicação da carga;
é feita de material homogêneo;
a carga é aplicada no centroide da seção transversal;
o material se comporta de uma maneira linear elástica, obedecendo à Lei de
Hooke;
a �ambagem é sofrida em um único plano.
Figura 4.12 - Exemplo de coluna longa e esbelta sofrendo �ambagem
Fonte: Hibbeler (2010, p. 477).
Pcr
Pcr
Na �gura anterior, é apresentada uma coluna apoiada sobre pinos. Se aumentarmos
a carga axial P, antes de a coluna falhar por escoamento ou ruptura, ela se encontrará
na iminência de se tornar instável e sofrer �ambagem ao se atingir a carga . Nesse
momento, quando se aplica uma força F na lateral da coluna, a viga irá de�etir e
permanecerá de�etida mesmo removendo a força F. Qualquer redução na carga axial
P em relação a fará com que a coluna volte à posição inicial. Qualquer aumento na
carga axial P em relação a provocará aumento da de�exão lateral da coluna.
Para se calcular a carga crítica de uma coluna, leva-se em conta a sua rigidez à
�exão, dada pela relação abaixo, entre o momento interno da coluna com sua forma
de�etida:
 (eq. 4.16)
O momento interno M é determinado pelo método das seções, com o auxílio do
diagrama de corpo livre:
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
EI = Md v
2
dx2
Figura 4.14 - Diagrama de corpo livre da coluna
Fonte: Hibbeler (2010, p. 479).
Sendo assim, igualando a zero a equação e reorganizando os termos:
 (eq. 4.17)
A equação acima é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem,
com coe�cientes C1 e C2 constantes. A solução geral é dada por:
 (eq. 4.18)
Aplicando as condições de contorno na extremidade da coluna para se descobrir C1 e
C2:
Em x=0 temos v=0, logo: C2 = 0;
Em x=L considera-se v=0, logo:
 (eq. 4.19)
Essa igualdade é satisfeita se:
 (eq. 4.20)
O menor valor de P é obtido com n=1 e essa carga crítica é conhecida como carga de
Euler e será a fórmula utilizada para a �ambagem de uma coluna apoiada por pinos:
 (eq. 4.21)
Onde:
● 🡪 carga crítica da coluna, dada em ;
● 🡪 módulo de elasticidade do material, dado em ;
● 🡪 momento de inércia de área da seção transversal, dado em ;
● 🡪 comprimento da coluna, presa por pinos, dado em .
O n, tratado como 1 na equação 4.21, representa o número de ondas na forma
de�etida da coluna:
+ ( )v = 0d v
2
dx2
P
EI
v = C1sen( ) + C2cos ( )xPEI
− −−−
√ xPEI
− −−−
√
C1sen( ) = 0xPEI
− −−−
√
P = n π EI
2 2
L2
=Pcr π EI
2
L2
Pcr N
E Pa(N/m²)
I m4
L m
Importante observar que a carga crítica da coluna depende somente das suas
dimensões, ou seja, do momento de inércia da área da seção transversal e de seu
comprimento . O módulo de elasticidade do material também é aplicado, porém,
dentro de uma mesma categoria de materiais, aço por exemplo, quando se trata de
�ambagem elástica, não há vantagem em se usar um aço de alta resistência em
relação a um aço de baixa resistência. Pode-se melhorar a resistência da coluna
aumentando-se o momento de inércia da seção.
Outro ponto importante é o fato de que uma coluna sempre sofrerá �ambagem em
torno do eixo principal correspondente ao menor momento de inércia , ou seja, o
eixo menos resistente. Por exemplo, na imagem a seguir, a coluna retangular sofrerá
�ambagem em torno do eixo a-a. Na prática, busca-se sempre deixar os momentos
de inércia em relação aos eixos principais ( o mais próximo possível um do
outro.
( )Pcr
(I)
(L) (E)
(I)
e  ) I x I y
Figura 4.16- Exemplo de coluna retangular sofrendo �ambagem
Fonte: Hibbeler (2010, p. 481).
O momento de inércia da área da seção transversal da coluna também pode ser
escrito como:
 (eq. 4.22)
Onde:
A 🡪 Área da seção transversal da coluna, dada em ;
r 🡪  Raio de giração da área da seção transversal em ;
Substituindo a relação na fórmula da carga crítica e reorganizando os termos, obtém-
se a fórmula para a tensão crítica de �ambagem da coluna apoiada sobre pinos:
 (eq. 4.23)
Onde:
 🡪 tensão crítica média na coluna, na iminência da �ambagem – é uma
tensão elástica, logo é igual ou inferior à tensão de escoamento do material,
dada em ;
E 🡪 módulo de elasticidade do material, dado em ;
L 🡪 comprimento da coluna, presa por pinos, dado em ;
r 🡪 menor raio de giração da área da seção da coluna, ou seja, utilizando o
menor momento de inércia , dado por:
 (eq. 4.24)
A relação L/r é conhecida como índice de esbeltez da coluna e é muito utilizada na
classi�cação das colunas em longas, intermediárias ou curtas.
Exemplo 4:
Considere um tubo redondo de aço ASTM A36 ( ), com diâmetro externo
de 152,4 mm, diâmetro interno de 139,8 mm e comprimento 7,31 m sendo utilizado
como coluna, presa por pinos nas extremidades. Determine a carga crítica, ou seja, a
carga axial máxima que a coluna suportará sem sofrer �ambagem. Utilize como
módulo de elasticidade do aço E = 207.000 MPa.
I = Ar2
m²
m
=σcr π E
2
(L/r)2
σcr
Pa(N/m²)
Pa(N/m²)
m
(I)
r = I/A− −−−√
= 250 MPaσe
Solução:
Como é uma coluna apoiada sobre pinos, podemos aplicar a fórmula da carga de
Euler vista:
Inicialmente calcula-se o momento de inércia da área da seção transversal da coluna,
neste caso, para um tubo redondo:
Utilizando então a fórmula da carga de Euler, descobre-se a carga crítica para a
coluna:
Pode-se descobrir também a tensão crítica para a coluna e comprovar que, conforme
teoria, esta é menor que a tensão de escoamento do material :
Colunas com Vários Tipos de Apoio
A fórmula da carga crítica mostrada anteriormente considerava a coluna apoiada por
pinos, com as extremidades livres para girar. O procedimento de se obter a fórmula
da carga crítica para uma coluna apoiada sobre diferentes tipos de apoio é o mesmo
=Pcr
π EI2
L2
I  =   = = 7.729.615,2 m  
π( − )D4 d4
64
π( − )152,44 139,84
64
m4
= = = 295,5 kNPcr
π EI2
L2
π × 207000 × 7729615,22
73102
( = 250 MPa)σe
= = = = 102,2 MPaσcr
π E2
(L/r)2
π E2
(L/ )I/A− −−−√ 2
π 2070002
[7310/ ( )]7729615,2π76,2 −π69,92 2
− −−−−−−−−
√ 2
utilizado para a coluna apoiada sobre pinos. Frequentemente encontramos
aplicações onde as colunas podem estar engastadas em uma extremidade e pinadas
em outra, ou então com uma extremidade livre, por exemplo.
O que muda quando se trata de outros tipos de apoio é o comprimento da coluna (L)
a ser considerado. Anteriormente o L considerado correspondia ao comprimento da
coluna, ou também à distância na coluna sem os apoios, ou seja, à distância entre os
pontos de momento nulo. Dependendo do tipo de apoio da coluna teremos um tipo
diferente de distância L entre os pontos de momento nulo. Essa distância entre os
pontos de momento nulo é chamada de comprimento efetivo da coluna. Para
uma coluna presa por pinos .
Na aplicação das fórmulas da carga crítica para cada tipo de apoio, ao invés de se
trabalhar com o comprimento efetivo , utiliza-se de um coe�ciente adimensional K
 denominado fator de comprimento efetivo. A relação de K com é dada por .
O fator de comprimento efetivo (K) é tabelado e depende de cada tipo de apoio da
coluna. Na sequência são mostrados casos com alguns fatores K comumente
utilizados:
As fórmulas da carga crítica e da tensão crítica para todos os casos são
apresentadas abaixo, onde o fator K deve ser utilizado conforme o caso analisado:
 (eq. 4.25) (eq. 4.26)
Nessas novas fórmulas, o índice de esbeltez da coluna passa a ser representado pelo
termo (KL/r).
( )Le
= LLe
( )Pcr
( )Le
Le = KLLe
Figura 4.18 - Casos de colunas com diferentes tipos de apoio e seus respectivos fatores
K
Fonte: Hibbeler (2010, p. 484).
( )Pcr ( )σcr
=Pcr π EI
2
(K )L 2 =σcr
π E2
(KL/r)2
praticarVamos Praticar
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit, sed do eiusmod tempor incididunt
ut labore et dolore magna aliqua, assinale a alternativa correta:
a) A carga crítica de uma coluna depende das suas dimensões, ou seja, do momento de inércia da área da
seção transversal e de seu comprimento, bem como depende da tensão de escoamento do material
utilizado.
b) Ao se projetar uma coluna de aço, analisando-se a flambagem, é mais vantajoso se utilizar um aço mais
resistente, de custo mais elevado e fazer a área da seção transversal da coluna pequena, do que se utilizar
um aço menos resistente, mais barato, que deixará a coluna com uma grande área de seção transversal.
c) Visando melhorar a resistência de uma coluna à flambagem, pode-se aumentar o momento de inércia
da seção transversal da viga e aproximar o máximo possível os momentos de inércia de área em relação
aos eixos principais.
d) Quando se calcula a carga crítica de uma viga apoiada com diferentes tipos de apoio em suas
extremidades, utiliza-se o fator K, dado em metros, que serve como um fator de segurança de projeto
prevenindo falhas por flambagem.
e) A fórmula da tensão crítica da coluna para a flambagem depende do módulo de elasticidade do material
utilizado (E), do comprimento da coluna (L), do raio de giração (r) que utiliza o maior momento de inércia
de área da seção transversal em relação aos eixos principais . A tensão crítica é igual ou inferior à
tensão de escoamento do material.
( ou  )I x I y
indicações
Material
Complementar
LIVRO
Resistência dos Materiais
Russell Hibbeler
Editora: Pearson
Capítulos: 11, 12 e 13
Comentário: Para um maior entendimento de alguns
conceitos, recomenda-se a leitura dos capítulos 11,12 e 13 do
livro mencionado, especialmente na parte de de�exão de
vigas, onde o equacionamento pode ser um pouco mais
complexo, trazendo abordagens mais analíticas, como o
conceito de superposição e o método das áreas.
WEB
VIGA engastada ou apoiada?
Ano: 2018
Comentário: Neste vídeo, uma comparação entre os tipos de
víncula (engaste ou apoio) para vigas de concreto armado é
feita. Aqui, o comentarista fala sobre as principais diferenças
que o projetista deve considerar, com apoio de um kit mola
para visualização dos esforços e como os vínculos reagem.
Interessante vídeo dentro do contexto de projeto de vigas e
eixos.
A C E S S A R
https://www.youtube.com/watch?v=YFh22UQhnNE
conclusão
Conclusão
Prezado(a) aluno(a), inicialmente, esta unidade parece muito condensada, com muito
conteúdo novo, porém, vale lembrar que muito do conteúdo aqui abordado é a
aplicação de conhecimentos prévios da mecânica dos sólidos e da estática. Esse
conteúdo serve como base para o projeto de vigas e eixos, que é um dos principais
componentes da resistência dos materiais e, em vista de sua importância, esperamos
que os tópicos aqui trazidos sirvam para que esses conhecimentos possam ser
aplicados por você, de forma autônoma. Além do conteúdo supracitado, a falha por
�ambagem, importante mecanismo em colunas, foi aqui explicitado. Assim sendo, a
abordagem analítica da resolução de problemas torna-se fundamental em problemas
de projeto e é essa mentalidade que esperamos que você absorva e utilize no seu dia
a dia como futuro projetista de estruturas e elementos estruturais.
referências
Referências
Bibliográ�cas
GERE, James B. Mechanics of Materials: brief edition. Stamford: Cengage Learning,
2012.
HIBBELER, Russell. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson, 2009.
HIBBELER, Russell. Mechanics of Materials. Hoboken, NJ: Pearson, 2015.
SARTORTI, A. L.; FONTES, A. C.; PINHEIRO; L. M. Análise da fase de montagem de lajes
treliçadas. In: Revista Ibracon de Estruturas e Materiais, v. 6, n. 4, agosto 2013. p.
623-660. Disponível em: http://www.scielo.br/pdf/riem/v6n4/pt_08.pdf. Acesso em: 18
fev. 2020.
http://www.scielo.br/pdf/riem/v6n4/pt_08.pdf