Flambagem e dimensionamento de peças comprimidas

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MECÂNICA DOS 
MATERIAIS
Douglas Andrini 
Edmundo
Flambagem e 
dimensionamento de 
peças comprimidas
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Explicar o comportamento das colunas por meio da teoria de Euler 
e o conceito de coluna ideal com apoio de pinos.
 � Determinar o comprimento de flambagem em função dos vários 
tipos de apoio.
 � Analisar o comportamento das colunas, de forma realista, com a apli-
cação do estudo de cargas excêntricas.
Introdução
Se uma coluna começa a se deformar lateralmente, o deslocamento 
pode ser grande o suficiente para conduzir a um colapso catastrófico. 
Essa situação é denominada de flambagem — uma grande deformação 
repentina de uma estrutura devido a um leve incremento de uma carga 
existente de compressão. O fenômeno da flambagem não é limitado a 
colunas, podendo ocorrer em vários tipos de estruturas e tomar mui-
tas formas. Por ser uma das maiores causas de falhas em estruturas, 
estudar a flambagem é muito importante, principalmente na etapa de 
dimensionamento.
Neste capítulo, você vai estudar o conceito e o comportamento de 
colunas e ver como determinar o comprimento de flambagem em função 
do tipo de apoio, além de aprender como aplicar o estudo de cargas 
excêntricas.
Comportamento de colunas
Em suas formas mais simples, as colunas são barras longas, retas e prismá-
ticas submetidas a cargas axiais de compressão. Nas colunas, a condição de 
estabilidade está relacionada à carga axial máxima que elas podem suportar, 
de modo que fiquem na iminência de sofrer flambagem. Dessa forma, a flam-
bagem é denominada carga crítica, e depende das propriedades geométricas 
da estrutura e do material que a constitui. 
Entretanto, de acordo com Riley, Sturges e Morris (2003), a flambagem 
de uma coluna não é causada pela deterioração estrutural do material do qual 
a coluna é feita, mas sim pela degeneração de um equilíbrio estável para um 
equilíbrio instável.
Colunas são os elementos estruturais submetidos a carregamentos, principalmente 
axiais, de compressão (HIBBELER, 2010). O exemplo clássico dessas estruturas usadas 
na construção civil são os pilares estruturais, presentes em quase todas as obras. Eles 
têm a característica de receber grandes cargas normais e, em conjunto, de receber a 
ação combinada de flexão oblíqua e esforços tangenciais, como o momento torsor 
e o esforço cortante.
A flambagem de colunas é um fenômeno caracterizado por uma deflexão 
lateral da estrutura, que geralmente ocorre em torno do eixo principal da 
seção transversal, que tem menor momento de inércia e está relacionado ao 
carregamento compressivo ao qual a estrutura está submetida. A flambagem 
é considerada um fenômeno grave nas estruturas esbeltas e deve ser evitada a 
todo custo, pois pode conduzir ao colapso dessas estruturas antes que a tensão 
de escoamento do material que as constituem seja atingida. 
Graig Junior (2003) e Riley, Sturges e Morris (2003) mencionam que os 
estados de equilíbrio podem ser ilustrados com uma esfera em repouso sobre 
uma superfície, conforme você pode ver na Figura 1. Na Figura 1a, a esfera 
está em uma posição de equilíbrio estável no fundo da depressão do terreno, 
porque a força da gravidade fará com que ela retorne à sua posição de equilíbrio 
no caso de sofrer alguma perturbação. Já na Figura 1b, a esfera está em uma 
posição de equilíbrio indiferente sobre o plano horizontal, porque permanecerá 
Flambagem e dimensionamento de peças comprimidas2
em qualquer nova posição para o qual for deslocada, não tendendo a retornar 
nem a se mover adiante de sua posição original. Na Figura 1c, a esfera está 
em uma posição de equilíbrio instável no topo de uma elevação; se ela sofrer 
alguma perturbação, a gravidade fará com que ela se mova para longe de sua 
posição original, até que encontre uma posição de equilíbrio no fundo de 
outra cavidade.
Figura 1. Estabilidade do equilíbrio: (a) equilíbrio estável; (b) equilíbrio neutro; (c) equilíbrio 
instável.
Fonte: Riley, Sturges e Morris (2003, p. 465).
(a) (b) (c)
A carga na qual ocorre a transição do equilíbrio estável para o equilíbrio 
instável é chamada de carga crítica (Pcr). Como essa perda de estabilidade 
do equilíbrio é chamada de flambagem, também chamamos a Pcr de carga de 
flambagem (GRAIG JUNIOR, 2003).
Determinação de carga crítica com o método de Euler
A equação de Euler para a determinação da carga crítica foi desenvolvida 
para uma coluna ideal biarticulada, ou seja, suportada por pinos em ambas as 
extremidades. Para incrementar esse conceito à equação de Euler, criou-se um 
coeficiente denominado fator de comprimento efetivo, K, que faz uma corre-
ção da distância ao ser multiplicado por L. Assim, temos a seguinte fórmula:
Le = KL
A Figura 2 apresenta o comprimento efetivo característico de alguns ar-
ranjos de vínculos estruturais, que podem constituir a forma como algumas 
colunas se encontram apoiadas. Se a carga axial P for menor que a carga 
3Flambagem e dimensionamento de peças comprimidas
crítica (Pcr), a coluna permanecerá reta e terá seu comprimento reduzido sob 
tensão axial uniforme (compressiva), conforme a Figura 2a. Na configuração 
retilínea, P < Pcr, a coluna está em equilíbrio estável. Porém, se uma carga P = 
Pcr for aplicada à coluna, a configuração retilínea passa a uma configuração de 
equilíbrio neutro e configurações vizinhas, conforme indicado na Figura 2b.
Figura 2. Comprimento de flambagem de coluna para várias condições de extremidade.
Fonte: Adaptada de Graig Junior (2003, p. 420).
L
L*
v(x)
y, v(x)
A A
A
b) Con�guração �ambada
d) Diagrama de corpo
 livre de toda a coluna
e) Diagrama de corpo
 livre de parte da coluna
a) Coluna ideal
B
B
B
P < Pcr
P = Pcr
By
Ay
Ax
P
P
x
x
x
v(x)
y, v(x)
A
x
P
É de grande importância compreender a flambagem de Euler. O carre-
gamento crítico para a coluna elástica ideal é, com frequência, chamado de 
carregamento de Euler. O famoso matemático Leonhard Euler (1707-1783), 
Flambagem e dimensionamento de peças comprimidas4
foi a primeira pessoa a investigar a flambagem de uma coluna esbelta e deter-
minar seu carregamento crítico (GERE, 2003). Quando a flambagem ocorre 
na fase elástica do material, a carga crítica (Pcr) é dada pela fórmula de Euler:
Pcr =
�2EI
(L)2
Onde: 
E = módulo de elasticidade longitudinal do material em pascal. 
I = menor dos momentos de inércia da secção em m4. 
L= comprimento de flambagem da peça em metros.
Para determinar se uma peça irá sofrer flambagem ou compressão, temos 
que calcular o seu índice de esbeltez e compara-lo ao índice de esbeltez crítico. 
Esse índice de esbeltez é padronizado para todos os materiais. Se o índice de 
esbeltez crítico for maior que o índice de esbeltez padronizado do material, a 
peça sofre flambagem; se for menor, a peça sofre compressão.
Confira no link a seguir um vídeo que mostra a flambagem em colunas por meio da 
resolução de um problema.
https://goo.gl/H1hNM8
Com a fórmula de Euler, você percebe que o carregamento crítico de uma 
coluna é proporcional à rigidez de flexão EI e inversamente proporcional ao 
quadrado do comprimento. Note que a resistência do material, representada 
por uma quantidade como a tensão limite de proporcionalidade ou a tensão 
de escoamento, não aparece na equação para o carregamento crítico. Por 
isso, aumentar uma propriedade de resistência não aumenta o carregamento 
crítico de uma coluna esbelta. Ele pode ser aumentado apenas aumentando 
a rigidez de flexão, reduzindo o comprimento ou fornecendo apoio lateral 
adicional (GERE,2003).
O mesmo autor ressalta ainda que a rigidez de flexão pode ser aumentada 
usando um material “mais rígido”, ou seja, um material com maior módulo de 
elasticidade (E), ou distribuindo o material de modo a aumentar o momento 
5Flambagem e dimensionamento de peças comprimidas
de inércia I da seção transversal, da mesma forma que uma viga pode ser feita 
mais rígidaaumentando o momento de inércia. 
O momento de inércia é aumentado quando o material é distribuído mais 
distante do centroide da seção transversal. Dessa forma, um membro tubular 
vazado é geralmente mais econômico para ser usado como uma coluna do que 
um membro sólido tendo a mesma área de seção transversal.
Riley, Sturges e Morris (2003) apresentam um exemplo prático usando o 
método de Euler. Imagine que uma coluna de aço estrutural (E = 29.000 ksi), 
com 10 ft de comprimento, deve suportar uma carga axial de compressão P, 
conforme ilustrado na Figura 3. A coluna tem seção transversal de 1 × 2 in. 
A extremidade esquerda da coluna está engastada; o dispositivo de pino e 
suporte na extremidade direita permite a rotação em torno do pino, mas evita 
a rotação em torno do eixo vertical. Como determinar a carga máxima em 
serviço para a coluna, se for especificado um fator de segurança igual a 2 em 
relação à flambagem?
Figura 3. Ilustração da coluna do exemplo.
Fonte: Beer et al. (2015, p. 662).
10ft
y
z
x
P
A
B
Flambagem e dimensionamento de peças comprimidas6
A relação entre o fator de segurança e as cargas é dada pela equação (A): 
FS =
Pu
Padm
Para que ocorra flambagem, a carga última (limite) Pu é a carga de Euler 
Pcr, apresentada pela equação (B):
Pcr =
�2EI
(L´)2
Substituindo a equação (B) na equação (A) e escrevendo essa equação de 
outra forma, obtemos o seguinte:
Padm =
�2EI
(L´)2 (FS)
O momento de inércia I e o comprimento efetivo L′ dependem do plano no 
qual a coluna tenderá a sofrer flambagem: o plano xy ou o plano xz.
Se a flambagem ocorre no plano xy, a extremidade esquerda da coluna está 
engastada e a extremidade direita está rotulada. Dessa forma, o comprimento 
efetivo L′ é:
L′ = 0,7 L 
0,7 (10) (12) = 84 in
E o momento de inércia I da seção transversal é:
I = 1/12 (bh3) 
1/12 (1) (2)3 = 0,6667 in4
Portanto, para a flambagem no plano xy, temos:
Padm =
�2EI
(L´)2 (FS) =
Padm =
�2 (29) (106) (0,6667)
842(2) = 13.522 lb
7Flambagem e dimensionamento de peças comprimidas
Para a flambagem no plano xz, tanto a extremidade esquerda da coluna 
como sua extremidade direita estão fixas (engastadas). Dessa forma, o com-
primento efetivo L′ é:
L′ = 0,5 L
0,5 (10) (12) = 60 in
E o momento de inércia I da seção transversal é:
I = 1/12 hb3 
1/12 (2) (1)3 = 0,16667 in4
Portanto, para a flambagem do plano xz, temos:
Padm =
�2EI
(L´)2 (FS) =
Padm =
�2 (29) (106) (0,6667)
(60)2(2) = 6.626 lb
Para uma coluna com essa seção transversal e essas condições de extremi-
dade, a flambagem ocorrerá no plano xz e a carga em serviço a ser aplicada 
é: Padm = 6.626 lb, ou aproximadamente 6,63 kip.
Comprimento de flambagem em função 
dos vários tipos de apoio
Antes de falarmos sobre comprimento de flambagem em função dos tipos de 
apoio, é necessário entender alguns conceitos relacionados à flambagem. Tam-
bém conhecido pelo termo de encurvadura, esse é um fenômeno que ocorre 
em peças esbeltas (peças em que a área de secção transversal é pequena em 
relação ao seu comprimento), quando submetidas a um esforço de compressão 
axial. A flambagem acontece quando a peça sofre flexão transversalmente 
devido à compressão axial (GRAIG JUNIOR, 2003). 
O mesmo autor menciona que os sistemas mecânicos e estruturas em geral 
quando estão submetidos a carregamentos, podem falhar de várias formas. A 
falha depende do material usado, do tipo de estrutura, das condições de apoio, 
Flambagem e dimensionamento de peças comprimidas8
entre outras considerações. Quando se projeta um elemento, é necessário que 
ele satisfaça requisitos específicos de tensão, deflexão e estabilidade.
Você viu a fórmula de Euler para uma coluna articulada em ambas as extre-
midades. Agora, você vai ver a força crítica (Pcr) para colunas com diferentes 
condições de extremidade.
Os carregamentos críticos para colunas com várias condições de apoio, 
segundo Gere (2003), podem ser relacionados com o carregamento crítico de 
uma coluna apoiada por pinos com um conceito chamado de comprimento 
efetivo. Para demostrar essa ideia, considere a forma defletida de uma coluna 
engastada na base e livre no topo (Figura 4a). Essa coluna flamba em uma 
curva, que é um quarto de uma onda senoidal completa. Caso se estenda a curva 
de deflexão (Figura 4b), ela se torna metade de uma onda senoidal completa, 
que é a curva de deflexão para uma coluna apoiada por pinos. 
Figura 4. Curvas de deflexão mostrando o comprimento efetivo 
Le para uma coluna engastada na base e livre no topo.
Fonte: Beer et al. (2015, p. 666).
P P
A A
L
Le = 2L
B B
A’
P’
(a) (b)
9Flambagem e dimensionamento de peças comprimidas
O comprimento efetivo (Le) para qualquer coluna é o comprimento da coluna apoiada 
por pinos equivalentes, ou seja, é o comprimento de uma coluna apoiada por pinos 
tendo uma curva de deflexão que coincide exatamente com toda ou parte da curva 
de deflexão da coluna original (GERE, 2003).
Beer et al. (2015) mencionam que o comprimento de flambagem Lft da co-
luna da Figura 5 é igual a 2L. Assim, substituímos Lft = 2L na fórmula de Euler.
Pcr =
�2EI
(Lft)
2
O comprimento efetivo é expresso com frequência em termos de um fator 
de comprimento K, onde Le = KL, e L é o comprimento real da coluna. O fator 
K é igual a 2 para uma coluna engastada na base e livre no topo, e igual a 1 
para uma coluna apoiada por pinos (GERE, 2003).
A tensão crítica é:
αcr =
�2E
 2Lft
r( )
A relação Lft/r é conhecida como índice de esbeltez da coluna, sendo esta 
igual a 2L/r. Vamos supor que uma coluna, com duas extremidades engastadas, 
A e B, suporta uma força P, conforme indicado na Figura 5a. De acordo com 
Beer et al. (2015), a simetria dos vínculos e do carregamento em relação a um 
eixo horizontal que passa pelo ponto médio C requer que a força cortante em 
C e os componentes horizontais das reações em A e B sejam zero, conforme 
indicado na Figura 5b. Logo, você pode concluir que as restrições impostas 
na metade superior AC da coluna, com engastamento em A, e pela metade 
inferior CB são idênticas (Figura 5c). 
Flambagem e dimensionamento de peças comprimidas10
Figura 5. Exemplo de coluna, onde: (a) coluna com extremidades engastadas; (b) diagrama 
de corpo livre da coluna flambada de extremidades engastadas; (c) diagrama de corpo livre 
da metade superior da coluna de extremidades engastadas.
Fonte: Beer et al. (2015, p. 666).
P P
P
M
M
A A
A
D
L L
L/2
L/4
L/4
C C
C
B B
M’ M
P’ P’
Dessa forma, a parte AC, de acordo com Beer et al. (2015), deve ser si-
métrica em relação ao seu ponto médio D, e esse ponto deve ser um ponto 
de inflexão, em que o momento fletor é zero. De forma semelhante, você 
percebe que o momento fletor no ponto médio E da metade inferior da coluna 
também deve ser zero (conforme indicado na Figura 6a). Como o momento 
fletor nas extremidades de uma coluna biarticulada é zero, conclui-se que a 
parte DE da coluna indicada na Figura 6a deve comportar-se como uma coluna 
biarticulada (Figura 6b).
11Flambagem e dimensionamento de peças comprimidas
Figura 6. Comprimento de flambagem de uma coluna de extremidade 
engastada, de comprimento L, equivalente a uma coluna biarticulada 
de comprimento L/2.
Fonte: Beer et al. (2015, p. 666).
P
P
A
D D
C
E E
B
L L L� = L
1
2
1
2
(a) (b)
Logo, você pode concluir que o comprimento de flambagem de uma coluna com 
duas extremidades engastadas é Lft = L/2.
A mesma coluna, quando apoiada de maneiras diferentes, responde de 
diferentes formas em relação às cargas de compressão, podendo favorecer ou 
desfavorecer o dimensionamento da coluna. Os menores carregamentos críticos 
e comprimentos efetivos correspondentes para as quatro colunas principais 
são remidos no Quadro 1. 
Flambagem e dimensionamento de peças comprimidas12
Fonte: Adaptado de Gere (2003, p. 563), e Beer et al. (2015, p. 668).
(a) Coluna 
apoiada por 
pinos em ambas 
as extremidades
(b) Coluna 
engastada livre
(c) Coluna 
engastadaem ambas as 
extremidades
(d) Coluna 
engastada-
apoiada por 
pinos
Pcr =
�2EI
L2
Pcr =
�2EI
4L2
Pcr =
4�2EI
L2
Pcr =
2.046�2EI
Lft
2
P
A
B
L� = L
P
A
L
B L� = 2L
P
A
B
L� = 0,5L
P
A
B
L� = 0,7L
Le = L Le = 2L Le = 0,5L Le = 0,699L
K = 1 K = 2 K = 0,5 K = 0,699
Quadro 1. Carregamentos críticos, comprimentos efetivos e fatores de comprimento efe-
tivos para colunas ideais
Comportamento de colunas com 
aplicação de cargas excêntricas
Muitas colunas reais não se comportam como o previsto pela fórmula de 
Euler, devido a imperfeições no alinhamento das cargas (RILEY; STURGES; 
MORRIS, 2003). Suponha que uma coluna é comprimida por carregamentos 
P, que são aplicados com uma pequena excentricidade (e), medida a partir 
do eixo da coluna. Cada carregamento axial excêntrico é equivalente a um 
carregamento excêntrico P e um binário de momento Mo = Pe . Esse momento 
existe a partir do instante em que o carregamento é primeiramente aplicado, 
13Flambagem e dimensionamento de peças comprimidas
e, por isso, a coluna começa a defletir na aplicação do carregamento (Figura 
7). A deflexão então se torna permanentemente grande, à medida que o car-
regamento aumenta (GERE, 2003).
Figura 7. Coluna com carregamentos axiais excêntricos.
Fonte: Beer et al. (2015, p. 676-677).
P P P
e MA = Pe MA = Pe
MB = Pe
MB = Pe
A A A
L
B B B
P’ P’ P’
ymáx
Quando a excentricidade, e, é zero, você tem a coluna de Euler. Mas quando 
e = 0, você utiliza o diagrama do corpo livre para obter o seguinte: 
(Σ M)A = 0 
M(x) = −P[e + v(x)]
Onde:
v = deflexão da coluna (positiva quando na direção positiva do eixo x). 
As deflexões da coluna são negativas quando a excentricidade do carre-
gamento é positiva. A equação diferencial da curva de deflexão é dada por:
Elvʺ = M 
Pe – Pv ou vʺ + k
2v = k2e
Flambagem e dimensionamento de peças comprimidas14
Onde: 
k2 = P/EI. 
A solução da homogênea e a solução particular para essa equação diferencial 
são dadas da seguinte maneira:
Solução homogênea: 
yh = C1 sen kx + C2 cos kx 
Solução particular: 
yp = −e 
A solução completa dessa equação fica assim: 
y(x) = C1 sen kx + C2 cos kx − e 
A partir das condições de contorno para o caso de barras birrotuladas, 
temos: 
y = 0 em x = 0 → C2 = e 
y = 0 em x = l → C1 = e tg (kl/2)
A equação da linha elástica fica assim: 
y(x) = e ((tg kl/2) sen kx + cos kx – 1)
Gere (2003) menciona que, para uma coluna com carregamentos P conhe-
cidos e excentricidade e conhecida, pode-se usar essa equação para calcular 
a deflexão em qualquer ponto ao longo do eixo x. O comportamento de uma 
coluna com um carregamento excêntrico é bem diferente daquele de uma coluna 
carregada no centroide. Cada valor do carregamento excêntrico P produz um 
valor definido da deflexão, da mesma forma que cada valor de carregamento 
em uma viga produz uma deflexão definida. Em contraste, as equações de 
deflexão para colunas carregadas no centroide fornecem a forma do modo de 
flambagem (quando P = Pcr), mas com a amplitude indefinida. 
Quando a coluna possui extremidades apoiadas por pinos, seu carregamento 
crítico (quando carregada no centroide) é:
15Flambagem e dimensionamento de peças comprimidas
Pcr =
�2EI
L2
Para calcular a deflexão máxima de uma coluna, você utiliza esta equação:
ymáx = e sec – 1
�
2
P
Pcr( )
Se limitarmos a tensão máxima ao valor da tensão de escoamento (no 
caso de uma peça de aço, por exemplo), isto é, fazendo (σmax = σe), que ocorre 
quando P = Pe, obtemos, então:
( )12 PEA
P
A =
σmáx
1 + sececr2
Lfl
r
Essa expressão pode ser utilizada para determinar a máxima carga Pe que 
uma barra sujeita à compressão pode suportar. 
Beer et al. (2015) apresenta um exemplo, como forma de facilitar o enten-
dimento. Imagine que uma coluna uniforme AB tenha 2,4 m de comprimento 
e consiste em um tubo estrutural com a seção transversal conforme indicado 
na Figura 8. 
Figura 8. Exemplo de coluna com 2,4 m de comprimento.
Fonte: Beer et al. (2015, p. 681).
P
PA
A
e = 19mm
2,4 m
B
B
y
c100 mm
100 mm
x
A = 2284 mm2
I = 3,3 × 106 mm4
r = 38 mm
c = 50 mm
Flambagem e dimensionamento de peças comprimidas16
São dois os pontos que você quer saber:
1. A força centrada admissível para a coluna e a tensão normal corres-
pondente, usando a fórmula de Euler, com um coeficiente de segurança 
igual a 2. 
2. Considerando que a força admissível, encontrada na parte (a), é apli-
cada conforme mostra a Figura 8 em um ponto distante 19 mm do 
eixo geométrico da coluna, é preciso determinar a deflexão horizontal 
do topo da coluna e a tensão normal máxima na coluna. (OBS: será 
adotado E = 200 GPa).
Comprimento de flambagem: como a coluna tem uma extremidade 
engastada e outra livre, seu comprimento de flambagem é:
Le = 2(2,4 m) = 4,8 m = 4.800 mm
Forca crítica: usando a fórmula de Euler, tem-se:
Pcr =
�2EI
L2fl
Pcr = 282,7
Pcr =
�2 (200 kN/mm2) (3,3 ∙ 106 mm4)
(4.800 mm)2
Análise:
1. Força e tensão admissíveis: para um coeficiente de segurança igual 
a 2, tem-se:
Padm = Padm = 141,36 kN=
Pcr
C.S.
282,7 kN
2
e
σ = σ = 61,9 MPa=
Padm
A
141,36 kN
2284 mm�
17Flambagem e dimensionamento de peças comprimidas
2. Força excêntrica: é possível perceber que a coluna AB e seu carrega-
mento são idênticos à metade superior da coluna. Porém, cabe ressaltar 
que Padm/Pcr = ½, logo, é possível utilizar a equação que você vê na 
Figura 9 para calcular a deflexão horizontal no ponto A.
Figura 9. Cálculo da deflexão horizontal no ponto A.
Fonte: Beer et al. (2015, p. 682).
Padm = 141,36 kN e = 19 mm
A
Carga admissível aplicada sobre
a excentricidade assumida.
ym = e sec sec
π
2
π
2√2
P
Pcr
1 1= (19 mm)
= (19 mm)(2,252 – 1) ym = 23,79 mm
A tensão normal máxima é obtida com esta equação:
σm = =
P
A ( )�2 PPcr1 + sec ecr2
(61,9 Mpa) [1 + 0,658(2,252)]
σm = 153,6 Mpa
( )�2√21 + sec 141,36 kN2.284 mm2 (19 mm) (50mm)(38 mm)2 =
Flambagem e dimensionamento de peças comprimidas18
1. Uma coluna foi construída utilizando um perfil W250 × 67 em aço ASTM 
A-572, com comprimento de 5 m. Ela está submetida a uma carga axial de 579 
kN. Considerando a base da coluna engastada e o topo da coluna apoiado 
por pinos, determine o fator de segurança em relação à flambagem.
a) FS 4,23.
b) FS 3,20.
c) FS 1,32.
d) FS 2,24.
e) FS 1,19.
2. Uma coluna foi construída utilizando um perfil W250 × 67 em aço ASTM 
A-572, com comprimento de 5 m. Ela está submetida a uma carga axial 
de 579 kN. Determine o fator de segurança em relação à flambagem 
primeiro considerando a coluna engastada em ambas as extremidades 
e depois considerando a coluna engastada na base e livre no topo.
a) Coluna biengastada: FS 10,12. Coluna engastada na base e livre no topo: 
FS 1,75.
b) Coluna biengastada: FS 10,12. Coluna engastada na base e livre no topo: 
FS 1,75.
c) Coluna biengastada: FS 12,10. Coluna engastada na base e livre no topo: 
FS 0,75.
d) Coluna biengastada: FS 0,75. Coluna engastada na base e livre no topo: 
FS 12,10.
e) Coluna biengastada: FS 10. Coluna engastada na base e livre no topo: FS 4,22.
3. Calcule a carga P necessária para provocar a falha por flambagem ou por 
escoamento da coluna W 200 × 22 composta de aço ASTM A-572, engastada 
na base e apoiada no topo. O ponto de aplicação da carga P está 25 mm 
excêntrico em relação ao centro da seção transversal na direção do eixo y-y. 
E = 200 GPa
A-572: fy=350 MPa e fu=450 MPa
19Flambagem e dimensionamento de peças comprimidas
a) P = 993,12 kN; tensão crítica: 347 MPa; tensão máxima: 486 MPa.
b) P = 1.233 kN; tensão crítica: 245 MPa; tensão máxima: 360 MPa.
c) P = 903,12 kN; tensão crítica: 337 MPa; tensão máxima: 417 MPa.
d) P = 893,13 kN; tensão crítica: 437 MPa; tensão máxima: 387 MPa.
e) P = 763,12 kN; tensão crítica: 337 MPa; tensão máxima: 587 MPa.
4. Uma coluna de madeira de seção transversal quadrada está apoiada por 
pinos na base e no topo. A carga prevista que será aplicada nessa coluna será 
de 325 kN. O comprimentoda coluna é de 4,20 m. Determine a dimensão 
da seção transversal com aproximação de 10 mm. Considere E = 12 GPa.
a) a = 210 mm.
b) a = 170 mm.
c) a = 200 mm.
d) a = 150 mm.
e) a = 160 mm.
5. Uma coluna de madeira engastada na base e no topo tem comprimento 
de 3,60 m e seção transversal de 38 × 88 mm. Determine a carga excêntrica 
máxima P que pode ser aplicada no topo sem provocar flambagem 
ou escoamento da coluna. Considere E = 12 GPa e fy = 56 MPa.
a) P = 22,10 kN.
b) P = 14,62 kN.
c) P = 15,87 kN
d) P = 4,32 kN.
e) P = 24,64 kN.
BEER, F. P. et al. Mecânica dos materiais. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2015.
GERE, J. M. Mecânica dos materiais. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.
GRAIG JUNIOR, R. R. Mecânica dos materiais. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
RILEY, W. F.; STURGES, L. D.; MORRIS, D. H. Mecânica dos materiais. 5. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2003.
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Leituras recomendadas
LIMA, N. W. B. Ferramenta numérica para o estudo da flambagem de colunas. Trabalho de 
Conclusão de Curso (Bacharelado em Ciência e Tecnologia) - Departamento de Ciências 
Ambientais e Tecnológicas, Universidade Federal Rural do Semiárido, Mossoró, 2013.
YUNES, R, C. RIBEIRO, V. H. F. Análise de esforços estruturais e vibracionais em torre de suporte 
para um sistema híbrido de turbina eólico e de corrente marítima. Trabalho de Conclusão 
de Curso (Bacharelado em Engenharia Mecânica) - Centro Federal de Educação Tec-
nológica Celso Suckow da Fonseca, Rio de Janeiro, 2014.
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