Resistencia dos Materiais Hibbeler - 9.7 Tensão de cisalhamento máxima absoluta

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4 m 
A estrutura suporta a carga distribuída de 200 N/m. 
a tensão normal e a tensão de cisalhamento no 
E que agem nos sentidos perpendicular e paralelo às 
respectivamente. Nesse ponto, as fibras formam um 
de 60° com a horizontal, como mostra a figura. 
X 
_i � SO mm � � lOO mm 
Problema 9.86 
z 
� y 
(a) 
�200mm 
W 100 mm 
z' 
x'--< 
y' 
2 
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 351 
9.87. A haste curva tem diâmetro de 15 mm e está sujeita à 
força de 600 N. Determine as tensões principais e a tensão de 
cisalhamento máxima no plano desenvolvidas no ponto A e 
no ponto B. Mostre os resultados em elementos localizados 
nesses pontos. 
9.7 
600 N 
Problema 9.87 
Tensão de cisa l h amento 
máxima a bsoluta 
Quando um ponto em um corpo está sujeito a um 
estado de tensão geral tridimensional, um elemento de 
material tem uma componente de tensão normal e duas 
componentes de tensão de cisalhamento que agem em 
cada uma de suas faces (Figura 9.27a). Como no caso 
z' 
x'--< 
y' 
O'mfn 
Tensão triaxial 
(b) (c) 
(d) 
Figura 9.27 
352 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
da tensão no plano, é possível desenvolver equações de 
transformação de tensão que podem ser usadas para 
determinar as componentes de tensão normal o- de ci­
salhamento T que agem em qualquer plano oblíquo do 
elemento (Figura 9.27b ). Além do mais, também é pos­
sível determinar no ponto a orientação exclusiva de um 
elemento sobre cujas faces ajam somente tensões princi­
pais. Como mostra a Figura 9.27c, considera-se que essas 
tensões principais têm amplitudes de intensidade máxi­
ma, intermediária e mínima, isto é, (J máx 2:: (Jint 2:: (J min ' 
A discussão da transformação de tensão em três di­
mensões não está no escopo deste livro; todavia, ela é 
discutida em livros que tratam da teoria da elasticidade. 
Para nossa finalidade, consideraremos que a orientação 
z' 
ITint 
Umáx 
principal do elemento e as tensões principais são co­
nhecidas (Figura 9.27 c) . Essa é uma condição conhecida 
como tensão triaxial. Se visualizarmos esse elemento 
em duas dimensões, isto é, nos planos y' -z ' , x' -z' e 
x' -y' (figuras 9.28a, 9.28b e 9.28c), podemos usar o cír­
culo de Mohr para determinar a tensão de cisalhamento 
máxima no plano para cada caso. Por exemplo, o diâ­
metro do círculo de Mohr estende-se entre as tensões 
principais o-int e o-min no caso mostrado na Figura 9.28a. 
Por esse círculo (Figura 9.28d), a tensão de cisalha­
mento máxima no plano é (T ,) á = (o-. 1 - o- . )/2 e a y z m x m mm 
tensão normal média associada é (a-int + a-min)/2. Como 
mostra a Figura 9.28e, o elemento sobre o qual estejam 
essas componentes de tensão deve estar orientado a 45° 
z' y' 
frmáx 
L___________________ y' x'---------------------' L------------------- X' 
(a) (b) (c) 
T 
(d) 
z' z' 
(e) (f) (g) 
Figura 9.28 
relação à posição do elemento na Figura 9.28a. Os e�culos de Mohr para os elementos nas Figuras 9.28b e �Se também foram representados na Figura 9.28d. Os 
Íementos correspondentes que estejam orientados a :so e sujeitos a componentes de tensão de cisalhamento 
máxima no plano e tensão norm�l média são mostrados 
nas Figuras 9.28f e 9.28g, respectivamente. 
Comparando os três círculos na Figura 9.28d, vemos 
que a tensão de cisalhamento máxima absoluta, rabs máx' 
é definida pelo círculo que tem o maior raio, o que ocorre 
para 0 elemento mostrado na Figura 9.28b. Em outras pa­
lavras, o elemento na Figura 9.28f está orientado por uma 
rotação de 45° em tomo do eixo y' em relação ao elemento 
na Figura 9.28b. Observe que essa condição também pode 
ser determinada diretamente apenas escolhendo as tensões 
principais máxima e mínima na Figura 9.27c, caso em que 
a tensão de cisalhamento absoluta máxima será 
rr máx - rr mín T abs = máx 2 
E a tensão normal média associada será 
CT máx + CT mín 
CTméd = 2 
(9.13) 
(9.14) 
A análise considerou somente as componentes de ten­
são que agem em elementos localizados em posições de­
terminadas por rotações em tomo do eixo x' , y' ou z ' . Se 
tivéssemos usado as equações de transformação de ten­
são tridimensionais da teoria da elasticidade para obter 
valores das componentes de tensão normal e de tensão 
de cisalhamento que agem sobre qualquer plano oblíquo 
arbitrário no ponto, como na Figura 9.27b, poderíamos 
mostrar que, independentemente da orientação do plano, 
valores específicos da tensão de cisalhamento T no plano 
sempre serão menores do que a tensão de cisalhamento 
máxima absoluta determinada pela Equação 9.13. Além 
disso, a tensão normal cr que age em qualquer plano terá 
um valor que se encontrará entre as tensões principais 
máxima e mínima, isto é, cr á 2':. cr 2':. cr , . m x mm 
Tensão n o plano. Esses resultados têm uma im­
plicação importante para o caso da tensão no plano, 
em particular quando as tensões principais no plano 
têm o mesmo sinal, isto é, ambas são de tração ou am­
bas são de compressão. Por exemplo, considere que o 
material está sujeito à tensão no plano de modo tal 
que as tensões principais no plano são representadas 
como cr máx e crint nas direções x' e y' , respectivamente, 
enquanto a tensão principal fora do plano na direção 
z' é cr mín = O (Figura 9.29a). Os círculos de Mohr que 
descrevem esse estado de tensão para orientações de 
elemento em torno dos três eixos coordenados são 
mostrados na Figura 9.29b. Aqui, vemos que, embora a 
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 353 
tensão de cisalhamento máxima no plano seJ· a (r , ,) ,, = x y ma..x 
( cr máx - crint)/2, esse valor não é a tensão de cisalhamen-
to máxima absoluta à qual o material está sujeito. Em 
vez disso, pela Equação 9.13 ou Figura 9.29b, 
( ) CTmáx - O CTmáx T abs == 'T x'z' máx == 
== --- . 2 2 (9.15) 
No caso em que uma das tensões principais no plano 
tem sinal oposto ao da outra, então essas tensões serão 
representadas como cr máx e cr mín e a tensão principal fora 
do plano crint = O (Figura 9.30a). Os círculos de Mohr 
que descrevem esse estado de tensão para orientações 
de elementos em torno de cada eixo coordenado são 
mostrados na Figura 9.30b. Claramente, nesse caso, 
( rr máx - rr mín 
'T abs == Tx'y')máx == máx • 2 (9.16) 
O cálculo da tensão de cisalhamento máxima ab­
soluta como indicado aqui é importante no projeto de 
elementos estruturais feitos de material dútil, visto que 
a resistência do material depende de sua capacidade 
de resistir à tensão de cisalhamento. Essa situação será 
discutida também na Seção 10.7. 
x' 
T 
z' 
y' 
Tensão no plano x'-y' 
(a) 
l7máx 
( Tx'y')máx 
( ( Tx•z)máx \_Tensão de cisalhamento 
Tensão de cisalhamento máxima no plano 
máxima absoluta 
(b) 
Figura 9.29 
354 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
z ' 
Umáx 
y' 
Tensão no plano x'-y' 
T 
(a) 
G"máx 
(rxy)máx 
\__ ,., • d . !h ' . �ensao e cisa amento maxtma 
no plano e tensão máxima absoluta 
(b) 
Figura 9.30 
ésiado çletensã'o gerahridi:mensiÔnal em l.lm pontô.pode ser representado por um e1el11efl.tqpt;ientaqo .çle inodo 
�qne sQ:m�nt,e.três tensõl'!s principais ajatn sobre ele, · . · · . ·. ·.· · . ... . 
· · 
• Por essa mientação? pode7se .obter a orie�taç!to do. ele:mento .. que representa a tensão . . de •ds.&1hamento :máxi.tna 
absolu�a pela rotaçãO do elemento 45" em torno do eixo que define a direção de o-1.r- . . .. . .. 
• Se 1;1mbasas tensões principais no plano tiverem .o mesmo sinal, a tensão de cisalhamento máxima ubsoluta oco.rrerá 
jol'a do p/ano e terá UJ1l ValOr T abs má< = ir rnál2 ' 
• Se as tensões principais no plano tiverem sinais opostos, então a tensão decist;�lhamento máxima absoluta é iguql d 
tensão de Cisa}J!amentO tnáxima no plano; isto é, Tabsmá� = (O' máx - G" rnfn)/2. 
. -
Ell�Elli'VI�I1\� 1'1.11� 
� . . 
Devido ao carregamento aplicado, o elemento no ponto 
sobre a estrutura na Figura 9.31a está sujeito ao estado pla­
no de tensão mostrado. Determine as tensões principais e a 
tensão de cisalhamento máxima absoluta no ponto. 
SOLUÇÃO 
Tensões principais. As tensões principais no plano podem 
serdeterminadas pelo círculo de Mohr. O centro do círculo 
encontra-se no eixo u em u méct = (-20 + 0)/2 = -lO kPa. 
Marcando o ponto de referência A( -20, -40) em gráfico, o 
círculo de Mohr pode ser obtido como mostra a Figura 9.31b. 
O raio é 
R = �(20 - 10f + (40)2 = 41,2 kPa 
As tensões principais encontram-se nos pontos onde o círcu­
lo intercepta o eixo u; isto é, 
U máx = -10 + 41,2 = 31,2 kPa 
Umín = -10 - 41,2 = -51,2 kPa 
Pelo círculo, o ângulo 26, medido no sentido anti-horário de 
CA ao eixo -u, é 
26 = tg-l ( 
40 
) = 76 0° 20 - 10 , 
Portanto, 
6 = 38,0° 
Essa rotação em sentido m1fi-horário define a direção do 
eixo x' ou G" • e seu plano principal associado (Figura 9.31c). 
Como não h'á nenhuma tensão principal no elemento na di­
reção z, temos 
u máx = 31,2 kPa uint = O u mín = -51,2 kPa Resposta 
Tensão de cisalhamento máxima absoluta. Pelas equa· 
ções 9.13 e 9.14, temos 
abs 
7máx 
u _ umáx + unún 
méd - 2 
31,2 -( -51 ,2) = 41,2 kPa 
2 
Resposta 
31,2 - 51,2 = _ 10 kPa 
2 
- b , podem OBSERVAÇAO: Esses mesmos resultados tam em 
. , 1 d . t -o de unt ser obtidos pelo c1rcu o de Mohr para ca a onen aça 
elemento em torno dos eixos x', y' e z ' (Figura 9.31d). Co01,0 
G" á e u í têm sinais opostos, a tensão de cisalhamento ma· 
m x m n 
y' 
-+ t- 20 kP' 
40 kPa 
L----------------------- X' 
(a) 
2(! = 76 0° + 90° = 166° , 
A 
A 
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 355 
r (kPa) 
(b) 
u (kPa) 
x' 
lO kP) 
Tabs = 41,2 kPa 
(kP ) máx T a 
(c) (d) 
Figma 9.31 
(e) 
xima absoluta é igual à tensão de cisalhamento máxima no 
plano. Isso resulta de uma rotação de 45° do elemento na 
Figura 9.31c em torno do eixo z ' , de modo que o elemento 
adequadamente orientado é mostrado na Figura 9.31e. 
longo do eixo u, poderemos construir três círculos de Mohr 
que descrevem o estado de tensão visto em cada um dos 
três planos perpendiculares (Figura 9.32b ) . O maior círculo 
tem raio de 16 MPa e descreve o estado de tensão no plano 
que contém u máx = 32 MP a e u mín = O e é mostrado pelo 
sombreado na Figura 9.32a. A orientação de um elemento 
a 45° dentro desse plano produz o estado da tensão de ci­
salhamento máxima absoluta e a tensão normal associada, 
O ponto na superfície do vaso de pressão cilíndrico na Fi- a saber, 
gura 9.32a está sujeito ao estado plano de tensão. Determine 
a tensão de cisalhamento máxima absoluta nesse ponto. 
SOLUÇÃO 
As tensões principais são u máx = 32 MP a, urnt = 16 MP a e 
rr mrn = O. Se essas tensões forem representadas em gráfico ao 
'�"abs máx = 16 MPa 
uméd = 16 MPa 
Resposta 
Esses mesmos resultados podem ser obtidos pela aplicação 
direta das equações 9.13 e 9.14; isto é, 
356 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
r (MPa) (b) 
Figura 9.32 
_ cr máx - cr mín _ 32 - O _ 16 MP T abs - - --- - a má' 2 2 
_ U máx + cr mín _ 32 + O _ 16 cr 'd- - --- - MPa me 2 2 
Resposta 
Por comparação, a tensão de cisalhamento máxima no pla­
no pode ser determinada pelo círculo de Mohr desenhado entre 
cr
máx = 32 MPa e cr int = 16 MPa (Figura 9.32b ). Isso dá um valor de 
32 - 16 
Tmáx = = 8 MPa no phmo 2 
32 - 16 
Uméd= 16 + 
2 = 24 MPa 
'9.88. Desenhe os três círculos de Mohr que descrevem 
cada um dos seguintes estados de tensão. 
6 MPa 
( d) (e) 
9.89. Desenhe os três círculos de Mohr que descrevem cada 
um dos seguintes estados de tensão. 
15 MPa 
(a) 
(b) 
Problemn 9.89 
9.90. A tensão em um ponto é mostrada no e!emento. IJ� 
termine as tensões principais e a tensão de cisalhamento nl:t 
xima absoluta. 
z 
x�Y 80 MPa 
Problema 9.88 Problemn 9.90 
A tensão em um ponto é mostrada no elemento. De­
as tensões principais e a tensão de cisalhamento má-
absoluta. 
7 MPa 
Problema 9.91 
'9,92. A tensão em um ponto é mostrada no elemento. De­
termine as tensões principais e a tensão de cisalhamento má­
xjma absoluta. 
90 MPa 
Pl'Oblema 9.92 
9.93. As tensões principais que agem em um ponto em um 
corpo são mostradas na figura. Desenhe os três círculos de 
Mohr que descrevem esse estado de tensão e determine as 
tensões de cisalhamento máximas no plano e as tensões nor­
mais médias associadas para os planos x-y, y-z e x-z. Para 
cada caso, mostre os resultados no elemento orientado na 
direção adequada. 
Problema 9.93 
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 357 
9.94. Considere o caso geral de tensão no plano mostrado 
na figura. Escreva um código computacional que mostrará 
uma representação gráfica dos três círculos de Mohr para o 
elemento e também calcule a tensão de cisalhamento máxi­
ma no plano e a tensão de cisalhamento máxima absoluta. 
Problema 9.94 
9.95. O eixo maciço está sujeito a torque, momento fletor 
e força de cisalhamento como mostra a figura. Determine as 
tensões principais que agem nos pontos A e B e a tensão de 
cisalhamento máxima absoluta. 
300 N·m �J ' 
( ' }K) 
45 N·m 
800 N 
Problema 9.95 
'9.96. O parafuso está preso a seu suporte em C. Se a força 
de 90 N for aplicada à chave para apertá-lo, determine as 
tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima ab­
soluta desenvolvidas na haste do parafuso no ponto A. Re­
presente os resultados sobre um elemento localizado nesse 
ponto. A haste tem diâmetro de 6 mm. 
9.97. Resolva o Problema 9.96 para o ponto B. 
Problemas 9.96/97 
358 RESISTti\ICIA DOS MATERIAIS 
A tensão no plano ocorre quando o material 
em um ponto está sujeito a duas componentes 
de tensão normal ux e u Y e a uma de tensão 
de cisalhamento Txy· Contanto que essas com­
ponentes sejam conhecidas, as componentes 
de tensão que agem sobre um elemento que 
tenha orientação diferente podem ser deter­
minadas pelas duas equações de equilíbrio de 
força ou pelas equações de transformação de 
tensão. 
lfx + lfy lfx - lfy 
lf.<' = 2 + --2-- cos 20 + r xy sen 20 lfx lfy Tx'y' = ---2-- sen 20 + r xy cos 20 
Para projeto, é importante determinar as 
orientações do elemento que produzam as 
tensões normais principais máximas e a tensão 
de cisalhamento máxima no plano. Pelas equa­
ções de transformação de tensão, constata-se 
que nenhuma tensão de cisalhamento age nos 
planos de tensão principal. 
lfx + Uy )(lfx - lfy)2 
lft,2 = --2-- ± --2-- + T x/ 
Os planos de tensão de cisalhamento máxima 
são orientados a 45° em relação a essa orien­
tação e, nesses planos de cisalhamento, há uma 
tensão normal média associada ( u x + u Y)/2. 
T má.'t 
no plano 
X )' 2 )((]" - (T )2 
--2-- + T.ry 
Ux + lfy 
(T méd = --2--
y I 
x' 
e 
-- X 
l i 
de Mohr fornece um auxilio gráfico 
a tensão em qualquer plano, 
normais principais e a tensão de ci­
máxima no plano. Para desenhar o 
s eixos IJ" e T são definidos, e o centro 
C [(ux + uy)/2, O] e o ponto de refe­
( ux, rxy) são representados em gráfico. 
do círculo estende-se entre esses dois 
e é determinado por trigonometria. 
de cisalhamento máxima absoluta 
igual à tensão de cisalhamento máxima 
contanto que as tensões principais 
tenham sinais opostos. Se elas tive­
o mesmo sinal, a tensão de cisalhamento 
absoluta se encontrará fora do plano. 
fTmáx 
fTrnJn 
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 359 
( 'Tx'z')máx = 'Tabs máx 
360 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
9.98. A tensão em um ponto é mostrada no elemento. De­
termine as tensões principais e a tensão de cisalhamento má­
xima absoluta. 
z 
J 120 MPa x�Y 
90 
Problema 9.98 
9.99. O vaso de pressão cilíndrico tem raio interno de 1,25 
m e espessura de parede de 15 mm. É feito de chapas de aço 
soldadas ao longo de uma linha de junção a 45° em relação 
à horizontal. Determine as componentes de tensão normal e 
da tensão de cisalhamento ao longo dessa linha de junção, se 
o vaso estiver sujeito a uma pressão interna de 3 MPa. 
1,25 m 
Problema 9.99 
*9.100. Determine o estado de tensão equivalente, se um 
elemento estiver orientado a 40° em sentido horário em re­
lação ao elemento mostrado. Use o círculo de Mohr. 
Problema 9.100 
9.101. As cargas internas que agem sobre uma seção trans­
versal no eixo de acionamento de uma turbina de 150 mm 
de diâmetro consistem em uma força axialde 12,5 kN, um 
momento fietor de 1 ,2 kN · m e um momento de torção de 
2,25 kN · m. Determine as tensões principais no ponto A. 
Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no plano 
nesse ponto. 
9.102. As cargas internas que agem sobre uma seção trans­
versal no eixo de acionamento de uma turbina de 150 mrn 
de diâmetro consistem em uma força axial de 12,5 kN, urn 
momento fietor de 1 ,2 kN · m e um momento de torção de 
2,25 kN · m. Determine as tensões principais no ponto B. 
Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no plano 
nesse ponto. 
2,25 kN·m 
Problemas 9.101/102 
9.103. Determine o estado de tensão equivalente em um 
elemento se ele estiver orientado a 30° em sentido horário 
em relação ao elemento mostrado. Use as equações de trans­
formação de tensão. 
300 kPa 
Problema 9.103 
'9.104. O estado de tensão em um ponto em um elemento 
estrutural é mostrado no elemento. Determine as compo· 
nentes de tensão que agem no plano inclinado AB. 
A 
50 MPa 
B 
Problema 9.104