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MEMOREX MATEMÁTICA @UAIRESUME MEMOREX MATEMÁTICA @UAIRESUME mini apostila, no estilo memorex, que constitui um recurso didático extremamente útil e prático para ser usada como método de revisão nela contém observações pontuais para a revisão, abordando todos assuntos de matemática NOMENCLATURA a n a é o radicando é o radical é o índice OBSERVAÇÕES COMUNS x = 492 2 x = 49 x = 7+- PROPRIEDADES a = m__n a a . bm a = . n n a = __ n ___a n b n a n m = n a = n.p a m m.p m a = 2__ = 5 2__ . 5 ____ = 5 5 _____ 4__ = 5 4__ . 5 ____ = 5 5 _____ _______ =2 _______ .2 _______ = _______ =3 _______ .3 _______ = _________ toda potência de expoente 1 é igual a base ex.: a = a toda potência de expoente 0 é igual a 1 ex.: a = 1 a = a . a . a . ... . a a = 1 n n fatores -n ___ an 1 0 PROPRIEDADES a . a = am n m+n a = am m-n___ an (a ) = a m n m.n (a . b) = a . b n n n a = n__ b( ( a n___ bn n 2 49 = 7 - 8 = -2 par x x ≥ 0 ímpar x x ∈ R n n a b b ( ( a m n a n m.n CASOS (exemplos) 2 5 5 4 25 53 3 3 3 2 2 3 5 + 3 5 + 3 5 - 3 5 - 3 5 - 3 3 2 - 5 3 2 - 5 3 2 + 5 3 2 + 5 7 -9 2 - 15 QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS (a + b) = a + 2ab + b 2 2 2 QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS (a - b) = a - 2ab + b 2 2 2 PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS (a - b) . (a + b) = a - b 2 2 CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS (a + b) = a + 3a b + 3ab + b 3 3 2 2 3 CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS (a - b) = a - 3a b + 3ab - b 3 3 2 2 3 FATOR COMUM ax + ay = a(x + y) AGRUPAMENTO gx + gy + bx + by = x(g+b) + y(g+b) = (x+y)(a+b) DIFERENÇA DE QUADRADOS a - b = (a+b)(a-b)2 2 TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO (a + b) = a + 2ab + b 2 2 2 TRINÔMIO DO SEGUNDO GRAU ax + bx + c = a(x - x )(x - x )2 1 2 y = ax + b a: coeficiente angular b: coeficiente linear / ponto em que a reta corta o eixo y a b positivo negativo zero crescente decrescente constante acima da origem abaixo da origem contém a origem EXERCÍCIO Em uma sala existem quatro lâmpadas. A primeira acende a cada 27 minutos, a segunda a cada 45 minutos, a terceira a cada hora e a quarta lâmpada só acende quando as outras três estiverem acesas ao mesmo tempo. Em um certo momento as quatro lâmpadas estão acesas. Quantas horas após esse momento as quatro lâmpadas voltarão a estar acesas simultaneamente? resolução: mmc 27, 45, 60 = 540 min = 9 horas Três barbantes que medem respectivamente 24m, 84m e 90m foram cortados em pedaços iguais do maior tamanho possível, sem deixar sobras. Determine o número de pedaços obtidas e o tamanho de cada um deles. resolução: mdc 24, 84, 90 = 6 m 24/6 = 4 | 84/6 = 14 | 90/6 = 15 4 + 14 + 15 = 33 pedaços RESOLUÇÃO: substituição da variável. No lugar de x podemos colocar outra variável, como por exemplo y. equação do 4° - possui 4 raízes ex.: 2x - 7x - 4 = 0 x = (x ) x = y 2y - 7y - 4 = 0 y'= 4 y''= - 1/2 x = 4 x = 2 x = - 1/2 x ∈ R 2 24 4 2 2 2 2 2 2 DIVISIBILIDADE POR 2 um número é divisível por 2 se esse número for par, se o algarismo das unidades terminar em 0,2,4,6 ou 8 DIVISIBILIDADE POR 3 um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos for um número divisível por 3 DIVISIBILIDADE POR 4 um número é divisível por 4 se o número formado pelos dois últimos algarismos for também divisível por 4 DIVISIBILIDADE POR 5 um número é divisível por 5 se o algarismo das unidades for 0 ou 5 DIVISIBILIDADE POR 6 um número é divisível por 6 se ele for divisível por 2 e por 3 DIVISIBILIDADE POR 8 um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos também for divisível por 8 DIVISIBILIDADE POR 9 um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos resultar em um número divisível por 9 ex.: determine o mmc entre os números 12, 15, 20 REGRA PRÁTICA 12 15 20 2 6 15 10 2 3 15 5 3 1 5 5 5 1 1 1 mmc = 2 . 2 . 3 . 5 = 60 ex.: determine o mdc entre os números 12 e 18 REGRA PRÁTICA 12 18 2 * 6 9 2 3 9 3 * 1 3 3 1 1 1 mdc = 2 . 3 = 6 resolução: fatoração simultânea de números inteiros EXERCÍCIO é a igualdade entre duas ou mais razões a = c = x__ __ __ = k (constante de proporcionalidade) b d y GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS as grandezas a e b são diretamente proporcionais se a = k__ b exercício: Três amigas, Roberta, Beatriz e Andréia, abriram uma loja. Roberta entrou com R$ 6.000,00. Beatriz com R$ 9.000,00 e Andréia com R$ 12.000,00. No primeiro ano a loja teve um lucro de R$ 540.000,00 que será dividido de forma proporcional aos valores integralizados por elas na abertura do negócio. Quanto cada uma deverá receber. resolução: R B A R + B + A 540 000_____ = _____ = _____ = ________ = ________ = 20 6000 9000 12000 27000 27000 R = 6000 . 20 = 120 000 B = 9000 . 20 = 180 000 A = 12000 . 20 = 240 000 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS as grandezas a e b são inversamente proporcionais se uma delas é proporcional ao inverso da outra, ou seja, a . b = k exercício: José recebeu um prêmio de R$3 000,00 e irá dividi-lo entre sus três filhas de forma inversamente proporcional a suas idades. Sabendo que suas filhas têm 20 anos, 15 e 12 anos, determine a quantia que cada uma receberá resolução: A B C A + B + C 3000_____ = _____ = _____ = ________ = ________ = 15 000 20 15 12 20 15 12 60 __ ___ ___ __ __ __ _______1 1 1 1 + 1 + 1 3 + 4 + 5 A = 15000/20 = 750 B = 15000/15 = 1000 C = 15000/12 = 1250 é tudo aquilo que pode ser medido, contado ou comparado exemplos: D (diretamente) e I (inversamente) ( I ) velocidade e tempo ( D ) velocidade e distância ( D ) tempo e distância ( I ) quantidade de operários e tempo ( I ) horas trabalhadas por dia e tempo de realização de um serviço ( I ) eficiência e quantidade de operários GRANDEZAS EXERCÍCIO Um jardineiro consegue cortar a grama de um gramado, em forma de quadrado com 120m de lado, em 15 horas. Quantas horas o mesmo jardineiro levaria para cortar um gramado de 6000 m de área? resolução: 2 120 . 120 = 14400 m 14 400 m - 15h 6 000 m - x x = 6h 15min 2 2 2 é uma regra prática para resolver problemas que envolvam três ou mais grandezas diretamente ou inversamente proporcionais EXEMPLOS Numa gráfica existem 3 impressoras off set que funcionam sem parar, 10 horas por dia, durante 4 dias, imprimindo 240.000 folhas. Tendo-se quebrado umas das impressoras e necessitando-se imprimir, em 6 dias, 480.000 folhas, quantas horas por dia deverão funcionar ininterruptamente as duas máquinas restantes? resolução (MACETE) : processo produto imp. h/dia dias folhas 3 10 4 240 000 2 x 6 480 000 2 . x . 6 . 240 000 = 3 . 10 . 4 . 480 000 x = 20 dias ex.: 1 : 24 medida na realidade medida no modelo SEMPRE A MESMA UNIDADE resolução: regra de três PORCENTAGEM DE UMA QUANTIA Qual é o valor de 30% de R$80,00? 80 . 30 = 24___ 100 AUMENTO DE x% DE UM VALOR A Aumente em 30% o valor 400: 400 . 1,30 = 520 DESCONTO DE x% DE UM VALOR A Desconto de 40% no valor 600: 100% - 40% = 60% 600 . 0,60 = 360AUMENTOS E DESCONTOS SUCESSIVOS Para compor vários aumentos e/ou descontos basta multiplicar os vários fatores individuais e obter o fator acumulado J = C . i . t acréscimos somados ao capital inicial ao final de um determinado período acréscimos somados ao capital, ao fim de um período, formando um novo período M = C . (1 + i) t An = A + (n - 1) . r1 CLASSIFICAÇÃO crescente: razão > 0 constante: razão = 0 decrescente: razão < 0 PA DE 3 TERMOS PA de 3 termos: (x - r, x, x + r) exercício: Numa PA decrescente de três termos, a soma desses termos é -6 e o produto é 64. Determine a PA resolução: r < 0 x - r + x + x + r = -6 3x = -6 | x = -2 (-2 -r).(-2).(-2 +r) = 64 | r = 6 r(decrescente) = -6 PA (4, -2, -8) +- SOMA DOS TERMOS DE UMA PA Sn = (A + A ) . n1 n___________ 2 An = A . q 1 n - 1 q = An___ An - 1 PROPRIEDADES em uma PG de três termos, o termo central é igual à média geométrica entre os outros dois exercício: Determinar o x de modo que a sequência (3, x + 2, 3x) seja uma PG crescente resolução: (x + 2) = 3 . 3x | x + 4x + 4 = 9x | x' = 4 e x'' = 1 PG (3, 6, 12) e PG (3, 3, 3) 2 2 PG DE 3 TERMOS PG de 3 termos (forma genérica): ( x , x, x .q)__ q SOMA DOS n TERMOS DE UMA PG Sn = A . (q - 1)1 n__________ q - 1 SOMA DOS INFINITOS TERMOS DE UMA PG S = A 1____ 1 - q REPRESENTAÇÃO DIAGRAMA DE VENN A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} REPRESENTAÇÃO POR PROPRIEDADE A = {a, e, i, o, u} a ∈ A c ∉ A OPERAÇÕES: UNIÃO REPRESENTAÇÃO POR CHAVES {a} ⊂ A {c} ⊅ A a e i o u c A = {1, 2, 3, 4, 5} A = {x ∈ ℕ | x ≤ 5} ex.: A = {1, 2, 3, 4} B = {3, 4, 5} pertencem ao conjunto A ou conjunto B X Y X Y C = B - A ex.: A = {3, 4, 6, 7} B = {2, 3, 4, 5} C = {8, 9} A ∩ B = {3, 4} A ∩ C = { } pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B OPERAÇÕES: INTERSECÇÃO pertencem ao conjunto A e conjunto B OPERAÇÕES: DIFERENÇA ex.: A = {4, 5, 6, 7} B = {4, 6, 8} C = {8, 9, 10} A - B = {5, 7} A - C = {4, 5, 6, 7} = A OPERAÇÕES: COMPLEMENTAR A B X Y X Y X Y B A X Y pode ser representado por uma razão entre dois números inteiros um número racional pode ser: um número inteiro um decimal exato uma dízima períodica CONJUNTO NÚMEROS IRRACIONAIS (I) representação decimal com infinitas casas decimais não periódicas não podem ser representados por uma razão entre dois números inteiros união entre o conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais resulta no conjunto dos números reais (R) CONJUNTO NÚMEROS NATURAIS (ℕ) ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} ℕ* = {1, 2, 3, 4, ...} CONJUNTO NÚMEROS INTEIROS (Z) Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...} CONJUNTO NÚMEROS RACIONAIS (Q) Q = | a ∈ Z e b ∈ Z*__ CONJUNTO NÚMEROS REAIS (R) I R N Z Qa b ex''.: 8! = 8! = 1________ 10 . 9 . 8! ex'.: Em um campeonato de futebol, participam 20 times. Quantas são as possibilidades para os três primeiros lugares? A = 20! = 20 . 19 . 18 . 17! = 684020,3 _____ (20-3)! _____________ 17! 1! = 1 não existe fatorial de número negativo sequência de multiplicações decrescente n! = n . (n-1) . (n-2) . ... . 2 . 1 0! = 1 ex'.: 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 importa a ordem A = n!n,p _____ (n-p)! n = quantidade de elementos do conjunto p = representa a união dos elementos na formação dos agrupamentos n! __ 10! __ 90 C = 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6! = 5040_______ (10-6)! 6! _____________ 4 . 3 . 2 . 1 6! não importa a ordem C = n!n,p _______ (n-p)! p! ex'.: Uma prova consta de 10 questões, das quais o aluno deve escolher apenas 6 para responder. De quantas formas ele poderá escolher as 6 questões? _____ = 210 24 SIMPLES P = n!n para anagramas sem repetição usa-se todas as letras ex'.: Com relação a palavra ESCOLA, quantos anagramas existem? 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 COMPOSTA com repetição P = n! *a,b,c: quantidade de letras repetidas ex'.: Com relação a palavra NATALINA, quantos anagramas existem? P = 8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3! = 3360______ 2! 3! ______ a! b! c! __________________ 2 . 1 3! N repete duas vezes e A repete 3 vezes 2,3 8 a,b,c n ELEMENTOS SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS um polígono é regular se, e somente se, for equilátero (lados congruentes) e equiângulo (ângulos internos congruentes) Si = 180° . (n-2) Se = 360° POLÍGONOS REGULARES polígono convexo polígono côncavo e e e e e i i i i i e + i = 180° d = n(n-3)______ 2 (diagonais) a = (n-2) . 180°i ___________ n a = 360°e ____ n ângulo < 90° BISSETRIZ é uma semirreta de origem no vértice do ângulo que o divide em dois ângulos congruentes bissetriz-- ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE a b ÂNGULOS: RETO, AGUDO E OBTUSO reto ângulo = 90° agudo obtuso 90° < ângulo > 180° ÂNGULOS: COMPLEMENTARES, SUPLEMENTARES E REPLEMENTARES complementares a b a + b = 90° suplementares b a a + b = 180° replementares b a a + b = 360° ÂNGULOS ALTERNOS PARALELISMO ângulos correspondentes ângulos colaterais PERPENDICULARES ângulos de lados perpendiculares são congruentes APÓTEMA é o segmento com uma extremidade no centro e a outra no ponto médio de um lado é aquele cujos lados são respectivamente côngruo e cujos ângulos internos também SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS a b c a + b + c = 180° DESIGUALDADE TRIANGULAR em cada triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois b c a < b + c b < a + c c < b + a ÁREA DE UM TRIÂNGULO H A = b . H TEOREMA DO ÂNGULO INTERNO em qualquer triângulo, cada ângulo externo é igual a soma dos internos não adjacentes a b d a + b = d TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO em qualquer triângulo a soma dos ângulos externos é 360° a b c a + b + c = 360° CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS QUANTO AOS LADOS equilátero 3 lados congruentes isósceles 2 lados congruentes escaleno 3 lados não congruentes = === = QUANTO AOS ÂNGULOS retângulo possui ângulo reto acutângulo três ângulos agudos obtusângulo possui um ângulo obtuso ORTOCENTRO ponto de encontro das três alturas do triângulo ALTURA é uma ceviana que parte de um vértice e faz 90° com o lado oposto INCENTRO ponto de encontro das três bissetrizes do triângulo BISSETRIZ divide o ângulo na metade obs.: o incentro é centro da circunferência inscrita no triângulo BARICENTRO ponto de encontro das três medianas do triângulo | divide cada mediana na razão 2:1 2x x MEDIANA tem uma das extremidades no ponto médio de um lado oposto a ele a _____ 2 CIRCUNCENTRO ponto de encontro das três mediatizes do triângulo MEDIATRIZ reta perpendicular que passa pelo seu ponto médio obs.: o circuncentro é o centro da circunferência circunscrita no triângulo a xb y z c a = __ x b = __ y z__ c a b c h m n a . h = b . c h = m. n b = n . a c = m . a 2 2 2 TEOREMA DE PITÁGORAS a = b + c2 2 2 a b a + b = 90° x y z RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS seno = cateto oposto_____________ hipotenusa cosseno = cateto adjacente_______________ hipotenusa tangente = cateto oposto_______________ cateto adjacente 60° 60° 60° l l l ALTURA ÁREA l √3___ 2 l √______ 4 2 FÓRMULA TRADICIONAL h b A = b . h ____ 2 DOIS LADOS E UM ÂNGULO ENTRE ELES ba x A = a . b . sen x__________ 2 3 ATRAVÉS DO SEMIPERÍMETRO E O APÓTEMA r a b c SEMIPERÍMETRO p = a + b + c_______ 2 ÁREA A = p. r EM FUNÇÃO DOS LADOS a c b a x b c y z a = x = c__ __ __ b y z PARALELOGRAMO ha a b b A = b . h TRAPÉZIO h B b A = (B + b) . h__________ 2 QUADRADO l l l l A = l2 d = l √2 RETÂNGULO bb a a A = a . b LOSANGO A = D . da a a a _____ 2 D: diagonal maior d: diagonal menor ELEMENTOS | PROPRIEDADE DA TANGENTE tg sec P r BA AB: corda tg P PROPRIEDADE DA SECANTE sec BA rd Mx x M = ponto médio SEGMENTOS TANGENTES P B A r r | | | |PA = PB | | COMPRIMENTO E ÁREA r comprimento: 2 . π . R área: π . r 2 ÂNGULO CENTRAL E ÂNGULO INSCRITO a b ângulo central: a ângulo inscrito: b (encosta na circunferência) propriedade: a = 2b *MACETE r.r quando tiver um triângulo inscritoem uma circunferência e um deseus lados passar pelo centro, ou seja, o diâmetro. Certamente esse triângulo é retângulo QUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO a b dc a + b = c + d QUADRILÁTERO INSCRITO ÂNGULO CAPAZ b b l se os segmentos corresponderem ao mesmo arco, os ângulos são iguais ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERNO x x x = a + b____ 2 ÂNGULO EXCÊNTRICO EXTERNO xba x = a - b____ 2 b a c d a + b = 180° c + d = 180° a + b = c + d a b l l l l l l hexágono regular: é o hexágono que possui os ângulos internos e os lados congruentes possui 6 triângulos equiláteros A = 6 . l √ 2 3______ 4 TETRAEDRO vértices: 4 arestas: 6 faces: 4 OCTAEDRO vértices: 6 arestas: 12 faces: 8 DODECAEDRO vértices: 20 arestas: 30 faces: 12 ICOSAEDRO vértices: 12 arestas: 30 faces: 20 DESCOBRIR AS ARESTAS 20 . 3 = 30_____ex.: icosaedro 2 RELAÇÃO DE EULER V + F = A + 2 At: área total Ab: área da base Al: área lateral h: altura v: volume At = Al + 2 . Ab v = Ab . h h a g O A V OA: apótema da base (a) VA: apótema da pirâmide (g) g = a + h At = Al + Ab v = Ab . h 2 2 2 Ab = π . r Al = 2 . π . r . h At = Al + 2 . Ab v = π . r . h 2 2 c v = a . b . c At = 2 (ab + ac + bc) a b D = √a + b + c2 2 2 Aface = a Atotal = 6 . a D = a √ v = a 2 D D 2 3 3 ______ 3 Abase = π . r Alateral = π . r . g Atotal = π . r (g + r) volume = Ab . h______ 3 RAZÃO SEMELHANÇA A = H AB B___ ___ A hb ( (2 V = ___ v A B___ A b( (3 A = 4 . π . r v = 4 . π . r 2 3__ 3 2 CALOTA A = 2 . π . r . h AMPLITUDE diferença entre o maior e menor dos valores MODA o valor de frequência máxima ex.: 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 11, 12 moda = 9 (mais frequente) MEDIANA se n for ímpar, a mediana é o valor central se o n for par, a mediana é a média aritmética dos dois dados centrais colocando os valores em ordem crescente, a mediana é o elemento que ocupa a posição central ex.: 1, 4, 6, 7, 10 (mediana = 6) ex.: 1, 4, 6, 7, 10, 12, 13 mediana = 10 + 7 / 2 = 8,5 DESVIO é quanto um valor se distancia da média ex.: 3, 1, 2, 0, 4 média: 2 d = 3-2 = 1 d = 1-2 = -1 d = 2-2 = 0 d = 0-2 = -2 d = 4-2 = 2 1 2 3 4 5 VARIÂNCIA é a média dos quadrados dos desvios v = d + d + d + ... + dn 1 2 3 2 2 2 2 2 ________________________ n DESVIO PADRÃO é a raiz quadrada da variância ROL ao dispor os dados numéricos de uma pesquisa em ordem crescente ou decrescente, estamos organizando esses dados em uma sequência chamada rol MÉDIA ARITMÉTICA m = x + x + x + ... + xn 1 2 3________________________ n MÉDIA GEOMÉTRICA m = x . x . x . ... . xn 1 2 3 MÉDIA HARMÔNICA m = 1 1 + 1 + 1 + ... + 1 ________________________ 1 2 3 n ___ ___ ___ ___ x x x x ________________________ n MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA m = P . x + P . x + ... + P . x1 1 2 2 n n___________________________ P + P + ... + P1 2 n ex.: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 3, 4, 6, 9}. Associar cada elemento do conjunto A ao seu triplo em B em uma função: jamais sobrarão elementos no conjunto de partida cada elemento do conjunto de partida possuirá um único elemento correspondente no conjunto de chegada domínio: conjunto de partida (A) contradomínio: conjunto de chegada (B) imagem: é o conjunto formado pelos elementos do contradomínio que possuem correspondente no domínio ex.: função: y = 2x NOÇÃO DE FUNÇÕES POR MEIO DE CONJUNTOS conjunto conjunto partida chegada DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO A B D (f) = A = { 1, 2, 3} CD (f) = B = {0, 2, 4, 6, 8} Im (f) = {2, 4, 6} ex''''.: f(x) = 2x _____ √x - 5 ESTUDO DO DOMÍNIO DAS FUNÇÕES REAIS ex.: f(x) = 3x - 1 D (f) = R ex''.: f(x) = 2x + 3 D (f) = R - {2}_____ x - 2 x - 2 ≠ 0 x ≠ 2 ex'''.: f(x) = √x - 5 D (f) = {x ∈ R | x ≥ 5} x - 5 ≥ 0 | x ≥ 5 x - 5 > 0 x > 5 D (f) = {x ∈ R | x > 5} ex'''''.: f(x) = _____ √x + 1 √4 - x ex''''''.: f(x) = √2x - 6 - 2 √x + 1 ex'''''''.: f(x) = √3x + 1 x + 1 > 0 x > - 1 4 - x ≥ 0 4 ≥ x ou x ≤ 4 x ≤ 4 x > - 1 ∩ D (f) = { x ∈ R | - 1 < x ≤ 4} -1 4 -1 4 -1 4 2x - 6 ≥ 0 x ≥ 3 x + 1≥ 0 x ≥- 1 ∩ x ≥ 3 x ≥- 1 3 -1 3 3 D (f) = R D (f) = { x ∈ R | x ≥ 3} Im D (f) D (f) é o conjunto de todas abscissas dos pontos do eixo tais que as retas verticais por elas traçadas interceptam o gráfico de f Im (f) é o conjunto de todas as ordenadas dos pontos do eixo x EXEMPLO 1 6 8 1 D (f) = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 6} Im (f) = {y ∈ R | 1 ≤ x ≤ 8} INJETORA no conjunto B, quem leva flechada só leva uma SOBREJETORA não sobra ninguém em B no gráfico se o contra domínio é igual a imagem a função é sobrejetora BIJETORA é injetora e bijetora ao mesmo tempo FUNÇÃO PAR f (x) = f (-x) simétrica em relação ao eixo das ordenadas FUNÇÃO ÍMPAR f (x) = - f (-x) simétrica em relação à origem do plano cartesiano gof: (x + 1) + 3 ➔ x + 2x + 1 + 3 ➔ x + 2x + 4 fog: (x + 3) + 1 ➔ x + 4 fof: (x + 1) + 1 ➔ x + 2 gog: (x + 3) + 3 ➔ x + 6x + 9 + 3 ➔ x + 6x + 12 EXEMPLO: f (x) = x + 1 g (x) = x + 32 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 isolar o x trocar o x por y e o y por x PASSOS: 1. 2. ex.: f(x) = 3x - 3 ➔ y = 3x - 3 y + 3 = x____ 3 f(x) = x + 3 ____ 3 -1 y = ax + b toda função do tipo f(x) = ax + b TAXA DE VARIAÇÃO Y - Ya b_______ X - Xa b exemplo: determine a lei da formação da função afim representada no gráfico abaixo b = ponto que intercepta o eixo x a = determinada pela taxa de variação A (0, 2) B (5, -2) 4__ - 5 a = y = -4x + 2___ 5 coeficiente linear (b): corta o eixo ''y'' coeficiente angular (a) coeficiente linear coeficiente angular a > 0: reta crescente a < 0: reta decrescente determina o coeficiente angular COEFICIENTE ANGULAR é possível determinar o coeficiente angular pela tangente do ângulo da reta a = tg α log b = x → a = b a - x = 3 → x = -3 log 5 = x (√5) = 5 → (5 ) = 5 → x = 1 →x 1__2 x ___ 2 x logaritmando: b base: a OBSERVAÇÕES no logaritmo cuja base é 10, chamado de logaritmo decimal, não se costuma indicar a base 10 EXERCÍCIOS log 81 = x | 3 = 81 → 3 = 33 x x 4 log 8 = x 1 = 8 → (2 ) = 2 → 2 = 21__ 2 ___ 2( (x -1 x 3 -x 3 √5 log 10= x 10 = 10 → x = 1 10 x função afim do tipo f(x) = ax gráfico: é uma reta que passa pela origem log (b . c) = log b + log ca a a log b = log b - log ca __c a a ex.: log 360 = log (2 . 3 . 5) log 2 + log 3 + log 5 | 3 . log 2 + 2 . log 3 + log 5 3 2 3 2 MUDANÇA DE BASE log b = log ba c_____ log ac ex.: (2x + 2) . (3 - x) < 0 1° passo: resolver as equações separadas 2x + 2 = 0 → x = - 1 | 3 - x = 0 → x = 3 EXEMPLOS 2x - 3 > 5 → x > 4 4 - 3x ≤ x - 8 → -4x ≤ - 12 → x ≥ 3 3 (x + 1) - 2 ≥ 5(x - 1) - 3(2x - 1) x + 2 - x - 1 ≥ x → 2(x + 2) - 3(x - 1) ≥ 6x 3x + 3 - 2 ≥ 5x - 5 - 6x +3 → 4x → - 3 → x = -3/4 ____ ____ ________________ 3 2 6 x ≤ 1 INEQUAÇÃO PRODUTO -1 - + 3 -+ 2° passo: fazer o estudo dos sinais -1 3 -1 3 -1 3 - ++ + + - - + - f(x) g(x) g(x) f(x) f(x) . g(x) ex.: 2x - 4 > 0 3° passo: S = {x ∈ R | x < - 1 ou x > 3} QUOCIENTE ______ x + 3 2x - 4 = 0 → x = 2 2 - + f(x) x + 3 = 0 → x = -3 -3 - +g(x) -3 2 -3 2 -3 2 - - + - + + + - + g(x) f(x) f(x)___ g(x) S = {x ∈ R | x < - 3 ou x > 2} SIMULTÂNEA ex.: - 2 < - 3x - 1 < 4 3x - 1 > -2 → 3x + 1 > 0 → x > -1/3 3x - 1 < 4 → 3x - 5 < 0 → x < 5/3 -1/3 -1/3 5/3 5/3 S = {x ∈ R | -1/3 < x < 5/3} ex.: log 4x = log (3x + 1) ➔ 4x = 3x + 1 ➔ x = 1 ex': log (5x - 1) = 2 ➔ (x - 1) = 5x - 1 ➔ x - 2x + 1 = 5x - 1 ➔ x' = 0 ou x'' = 7 log b = log c ➔ b = ca a 8 8 x - 1 2 2 FUNÇÃO CRESCENTE a > 0 ex.: FUNÇÃO DECRESCENTE 0 < a < 1 ex.: corta o eixo x corta o eixo x TIPO A log f(x) > log g(x) se a > 1, então f (x) > g (x) se 0 < a < 1, então f (x) < g (x) ex.: log 2x - 1 < log 6 2x - 1 < 6 ➔ x < 7/2 | 2x - 1 < 0 ➔ x > 1/2 S = {x ∈ R | 1/2 < x < 7/2} a a 2 2 TIPO B log f(x) > k se a > 1, então f (x) > a se 0 < a < 1, então f (x) < a ex.: log (2x - 3x) > -1 -1 = -1 log 1/2 a 1 k k __ 2 1__ 2 log 21__ 2 log (2x - 3x) > log 2 (2x - 3x) < 2 ➔ x': 2 ou x'': -1/2 2 2 1__ 2 1__ 2 2 (2x - 3x) > 0 ➔ x': 0 ou x'': 3/2 S = {x ∈ R | - 1/2 < x < 0 ou 3/2 < x < 2} 2 PROPRIEDADES o sinal da função é positivo nos 1° e 2° quadrantes e negativo no 3° e 4° quadrantes 1° e 4° quadrantes a função é crescente e no 2° e 3° quadrantes a função é decrescente a função seno é periódica e seu período é 2π domínio da função seno é R. Porém o conjunto imagem dessa função é o intervalo real [-1, 1] é uma função ímpar, pois sen x = sen (-x) GRÁFICO GRÁFICO DE OUTRAS FUNÇÕES TIPO SENO y = a + b . sen (cx + d) Im = [a - b, a + b] P = 2π____ | c | P = eventos favoráveis__________________ eventos totais P (ocorrência de evento) + P (não ocorrência do evento) = 1 P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) EVENTOS INDEPENDENTES - regra do OU : soma EVENTOS DEPENDENTES - regra do E : multiplica macete: sOUma multEplica a b cC B A a = b + c + 2 . b . c . cos A b = a + c + 2 . a . c . cos B c = b + a + 2 . a . b . cos C 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c A B C R a = b = c = 2R____ ____ ___ sen A sen B sen C PROPRIEDADES o sinal da função é positivo nos 1° e 4° quadrantes e negativo no 2° e 3° quadrantes 1° e 2° quadrantes a função é crescente e no 3° e 4° quadrantes a função é decrescente a função cosseno é periódica e seu período é 2π domínio da função seno é R. Porém o conjunto imagem dessa função é o intervalo real [-1, 1] é uma função par, pois cos x = cos (-x) GRÁFICO GRÁFICO DE OUTRAS FUNÇÕES TIPO COSSENO y = a + b . cos (cx + d) Im = [a - b, a + b] P = 2π____ | c | PROPRIEDADES conjunto imagem é R função é sempre crescente sinal da função é positivo no 1° e 3° quadrantes e é negativo no 2° e 4° quadrantes função tangente é periódica e seu período é π função ímpar uma função definida por f(x) = a x GRÁFICOS estritamente crescente a > 1 estritamente decrescente a < 1 EQUAÇÃO a = a x = x x x 1 2 1 2 INEQUAÇÃO a < a x < x x x 1 2 1 2 regra de três com: 180 π RADIANO - ex.: 60 em radianos °° 180 π °- 60 x° - x = = 60 π_____ 180 ° ° π__ 3 OBS. : QUANTO MEDE 1 RAD? 180 π °- x 1- x = = 57,3 180 ____ 3,14 ° ° COMPRIMENTO DO ARCO DA CIRCUNFERÊNCIA α l r r l = α . r α = medida do ângulo em radianos r = raio da circunferência l = comprimento do arco ex.: calcule, em graus, o menor ângulo formado entre os dois ponteiros de um relógio que marca 3h40min. = 30360 ____ 12 ° ° 30 ° 30° 30° 3 0° macete para os minutos: divida por dois e o resultado será grau de quanto o ponteiro já andou 10 ° 20 ° 30 + 30 + 30 + 30 + 10 = 130 ° ° ° ° ° ° CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA raio = 1 0 360 270 180 90° ° ° ° ° Q Q Q Q 1 2 3 4 SIMETRIAS EM RELAÇÃO AO EIXO VERTICAL A A' A = α A' = 180 - α° SIMETRIAS EM RELAÇÃO AO EIXO VERTICAL A A' A = α A' = 360 - α° SIMETRIAS EM RELAÇÃO AO CENTRO DA CIRCUNFERÊNCIA A' A A = α A' = 180 + α° SENO P o P' sen α = OP' sen α = co = OP'__ __ h 1 α α α α αα α α α α sinal: + - + - valor máximo: 1 valor mínimo: -1 ex: 150 30° ° sen 150 = sen 30sen 30 = 1 ° ° ° __ 2 sinal: COSSENO + + - - valor máximo: 1 valor mínimo: -1 P O P' α α P' P αP' P α P P' cos α = OP' ex.: cos 120° = - cos 60° = - 1/2 TANGENTE A P T α tag α = AT α A T α A T A T α cos α + sen α = 12 2 tg α = sen α ______ cos α cotg α = 1______ tg α sec α = 1______ cos α cossec α = 1______ sen α SENO sen 2x = 2 . sen x . cos x COSSENO cos (2x) = cos x - sen x2 2 TANGENTE sen 2x = 2 . tg x_______ 1 - tg x2 SENO DA SOMA OU DA DIFERENÇA sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a ex.: sen 75° = sen (30° + 45°) = sen 30° . cos 45° + sen 45° . cos 30° COSSENO DA SOMA OU DA DIFERENÇA cos (a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b ex.: cos 15° = sen (60° - 45°) = cos 60° . cos 45° + sen 60° . sen 45° TANGENTE DA SOMA OU DA DIFERENÇA tg (a + b) = tg a + tg b___________ 1 - tg a . tg b tg (a - b) = tg a - tg b___________ 1 + tg a . tg b A m = linhas n = colunas a m x n ij i = posição na linha j = posição na coluna ex.: m = 2 n = 2 TIPOS DE MATRIZES matriz nula: é toda matriz que possui seus elementos iguais a zero matriz quadrada: é toda matriz do tipo n x n ex.: 2 x 2 matriz diagonal: é toda matriz quadrada no qual os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero matriz identidade: é toda matriz diagonal no qual os elementos da diagonal principal são iguais a 1 matriz transposta: A = A =t LEI DE FORMAÇÃO ex.: construa a matriz A = (a ) tal que a {i + j, se i ≥ j ou i - 2j, se i < j} ij 2x3 ij OPERAÇÃO COM MATRIZES adição: subtração: matriz oposta: A = -A = multiplicação: só é possível multiplicar duas matizes se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda ex.: A . B = C a multiplicação é feita linha x coluna: 3 x 4 4 x 2 3 x 2 é dado pelo produto da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária ex.: calcule A (-1) . = -1 . 5.-4 - 1.4 = 16 2+3 ex.: calcule A (-1) . = - 183 2+2 22 ex.: calcule D DETERMINANTE DE ORDEM 2 DETERMINANTE DE ORDEM 3 copia as duas primeiras linhas e adiciona a matriz = 4 - 9 + 80 - (8 -12 + 30) = 49 = 9.3 - 5.2 = 17 MENOR COMPLEMENTAR 11 = = 2.3 - 4.-3 = 18 COFATOR (-1) . D i + j ij 23 TEOREMA DE LAPLACE PROPRIEDADE DOS DETERMINANTES MATRIZ TRANSPOSTA: det M = det M ex.: t M = = 2.3 - 4.1 = 2 M = = 2.3 - 4.1 = 2 t FILA NULA: se os elementos de uma fila qualquer de uma matriz M de ordem n forem todos nulos, então det M =0 = 0 MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UMA CONSTANTE: se M é uma matriz de ordem n, então: det (K.M) = K . det M n TROCA DE FILAS PARALELAS = 5 . -2 - (3. -4) = 2 = 3 . -4 - (5. -2) = -2 FILAS PARALELAS IGUAIS OU PROPORCIONAIS = 0 det = 0 COMBINAÇÃO LINEAR DE FILAS PARALELAS se uma matriz M de ordem n possui uma fila que é combinação linear de outras filas paralelas, entãodet M = 0 REGRA DE CHIÓ escolher um elemento igual a 1 da matriz suprima a linha e a coluna no qual se encontra o elemento 1 escolhido forme uma nova matriz apenas com os elementos restantes subtraia de cada um desses elementos o produto dos elementos correspondentes que foram suprimidos 1. 2. 3. 4. = - 156 (-1) . - 156 = -156 1+1 possível {ax + by = c sistema determinado indeterminado impossível (soluções vazias) solução única infinitas soluções dx + ey = f a ≠ b__ __ d e SISTEMA POSSÍVEL DETERMINADO a = b ≠ c__ __ __ d e f SISTEMA IMPOSSÍVEL a = b = c__ __ __ d e f SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO REGRA DE CRAMPER ex.: 1° passo: ache o determinante do sistema = 6 + 6 + 1 + 1 - 4 + 9 = 19 2° passo: cálculo do Dx (substitui a linha x pelos valores depois da igualdade) x y z Dx = = 19 x = Dx = 19___ D 19 ___ 3° passo: cálculo do Dy (substitui a linha y pelos valores depois da igualdade) Dy = = 0 x = Dy = 0___ D 19 ___ 4° passo: cálculo do Dz (substitui a linha z pelos valores depois da igualdade) Dz = = -1 x = Dz = -19___ D 19 ___ x x1 2 y y 1 2 X = X + X M A B_______ 2 Y = Y + Y M A B_______ 2 X = X + X + XG A B C___________ 3 Y = Y + Y + YG A B C___________ 3 P (Xo, Yo) TRIÂNGULO A = 1/2 . |D| ex.: Qual a área do triângulo ABC, tal que A (X ,Y ), B (X , Y ) e C (X , Y )A A B B C C D = 1/2 . CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS a condição para que três pontos estejam alinhados (colineares) no plano cartesiano é que eles formem um ''triângulo'' de área igual a zero (0, 3) 1 4x y P monte uma matriz com os pontos possíveis 3x + 4y - 12 - x ➝ 2x + 4y - 12 ➝ x + 2y - 6 = 0 COEFICIENTE ANGULAR DA RETA (m) m = tg a ou m (X - Xo) = Y - Yo COEFICIENTE ANGULAR A PARTIR DE DOIS PONTOS m = tg a = Ya - Yb________ Xa - Xb EQUAÇÃO REDUZIDA DE UMA RETA ex.: a reta r passa pelos pontos A(1,2) e B(-2,5). Determine a equação reduzida de r = x + y -3 = 0 eq. geral y = 3 - x eq. reduzida RETAS PARALELAS duas retas são paralelas quando possuem o mesmo coeficiente angular RETAS PERPENDICULARES duas retas são perpendiculares quando possuem o inverso e oposto do coeficiente angular uma da outra ex.: m = -1s ___ mr R P (x, y) Xc Yc (X- Xc) + (Y - Yc) = R2 2 2 (equação reduzida) para achar a equação geral é só resolver o produto notável da equação reduzida b a FF1 2f P A1A 2 B B 1 2 x + y = 1 2 2___ ___ a b 2 2 a bf F1 F2 B 1B2 A1 A2 x + y = 1 2 2___ ___ b a 2 2 a = b + f2 2 2 se o centro da elipse for o ponto C(g, h), então a equação transforma-se em: (x - g) + (y - h) = 1______ ______ a b 2 2 2 2 | x | = { x, se x ≥ 0- x, se x < 0 ex.: | 7 | = 7 | -4 | = 4 | √7 - √2| = √7 - √2 > 0 |√2 - √7| = - (√2 - √7) = -√2 + √7 = √7 - √2 < 0 uma equação modular possui duas respostas ex.: |3x - 2| = 7 3x - 2 = 7 ou 3x - 2 = -7 x = 3 x = -5/3 ex'.: |2x -1| = x + 2 2x - 1 = x + 2 2x - 1 = - (x + 2) x = 3 x = -1/3
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