Matemática em Resumos

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MATEMÁTICA
EM RESUMOS
CONTEÚDO PÁGINA
Transformação de Medidas
Produtos Notáveis e Fatoração
Conjuntos
Função do 1° Grau
Função do 2° Grau
Potenciação
Logaritmos
Ciclo Trigonométrico
Fórmulas Trigonométrica
Funções Trigonométricas
Área de Figuras Planas
Ângulos
Triângulos
Quadriláteros
Circunferências
Prismas
Pirâmides
Tetraedro e Tronco de Pirâmide
Cilindro e Cone
Esfera
Poliedros
Ponto e Reta
Cônicas: Circunferência e Elipse
Cônicas: Hipérbole
Progressões (PA e PG)
Estatística
Matemática Financeira
Análise Combinatória
Matrizes
Determinantes
Sistemas Lineares
Triângulo de Pascal
Binômio de Newton
Vetores
MATEMÁTICA
BÁSICA
FUNÇÕES
TRIGONOMETRIA
GEOMETRIA
PLANA
GEOMETRIA
ESPACIAL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
APLICADA
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
14
15
16
17
18
20
21
22
23
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31
32
33
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40
MATEMÁTICA
EM RESUMOS
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km hm dam m dm cm mm
:10 x10
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
:100 x100
Comprimento: metro
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
:1000 x1000
Volume: metro cúbico
kL hL daL L dL cL mL
:10 x10
Volume: litro
HECTARE
1 ha = 10.000 m2 
1 polegada = 2,54 cm 
1 pé = 30,48 cm 
1 milha = 1,609 km 
LITRO - METRO3
1 L = 1 dm3 
1.000 L = 1 m3 
dia hora minuto segundo
x24 x60 x60
kg hg dag g dg cg mg
:10 x10
Massa: grama
TONELADA
1 to = 1.000 kg 
semana = 7 dias
mês = 30 dias
bimestre = 2 meses
trimestre = 3 meses
semestre = 6 meses
ano = 12 meses ou 365 dias
década = 10 anos
século = 100 anos
milênio = 1000 anos
PREFIXOS
T_ G_ M_ k_ h_ da_ d_ c_ m_ u_ n_ p_
tera giga mega quilo hecto deca deci centi mili micro nano pico
1012 109 106 103 102 101 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12
1 mL = 1 cm3 
Medidas e
 Transformações
Área/superfície: metro quadrado
Tempo
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QUADRADO DA SOMA
QUADRADO DA DIFERENÇA
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA
CUBO DA SOMA
CUBO DA DIFERENÇA
EVIDÊNCIA
TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b)(a - b) = a2 - b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
ab + ac = a(b + c)
Ex: = 3x2 + 5x = x(3x + 5)
AGRUPAMENTO
ac + ad + bc + bd =
a(c + d) + b(c + d) = 
(a + b)•(c + d)
Ex: ax + 2a + 5x + 10 = 
 a(x + 2) + 5(x + 2) =
 (a + 5)(x + 2)
DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
Ex: 9x2 - 25 = (3x + 5)(3x - 5)
TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Ex: 9x2 - 42x + 49 = (3x - 7)2
SOMA DE DOIS CUBOS
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
Ex: 8 + x3 = (2 + x)(4 - 2x + x2)
DIFERENÇA DE DOIS CUBOS
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
Ex: x3 - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1)
MULTIPLICAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
PROD. NOTÁVEIS
FATORAÇÃO
Produtos Notáveis
Fatoração
Ex: = (x + 3)2 = x2 + 6x + 9
Ex: = (2x - 5)2 = 4x2 - 20x + 25
Ex: = (x - 2)(x + 2) = x2 - 4
Ex: = (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8
Ex: = (2x - 7)3 = 8x3 - 84x2 + 294x - 343
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Para relacionar elementos com conjuntos
A = {1, 2, 3, 5, 6, 8}
PERTENCE
INTERAÇÃO ENTRE CONJUNTOS
∈
∉ NÃO PERTENCE
Para relacionar conjuntos com conjuntos
CONTÉM⊃
ESTÁ CONTIDO
⊃NÃO CONTÉM
NÃO ESTÁ CONTIDO
⊄
⊄
EXEMPLO:
2 ∈ A
4 ∉ A
O elemento 2 pertence ao conjunto A
O elemento 4 não pertence ao conjunto A
A = {1, 2, 3, 5, 6, 8}, B = {1, 2, 8}, C = {4, 6}EXEMPLO:
A ⊃ B
A ⊅ C
O conjunto A contém o conjunto B
O conjunto A não contém o conjunto B
B ⊂ A
C ⊄ A
O conjunto B está contido no conjunto A
O conjunto C não está contido no conjunto A
A
B
C
UNIÃO (∪)
A B
A = {1, 2, 3, 5, 6, 8}
B = {1, 2, 4, 7, 8}
A B∪ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
INTERSEÇÃO ( )
A B
A = {1, 2, 3, 5, 6, 8}
B = {1, 2, 4, 7, 8}
A B
∪
= {1, 2, 8}
∪
A
B
A = {1, 2, 3, 5, 6, 8}
B = {1, 2, 3}
= {5, 6, 8}
COMPLEMENTAR (c)
B A
∪
C ou A = A - BBA A - B = {3, 5, 6}
SUBTRAÇÃO (-)
A = {1, 2, 3, 5, 6, 8}
B = {1, 2, 4, 7, 8}
A B
CONJUNTOS NUMÉRICOS
N NATURAIS
Z INTEIROS
Q RACIONAIS
I IRRACIONAIS
R REAIS
C COMPLEXOS
Z
U
N
I
Q R
C
U UNIVERSO
{0, 1, 2, 3, 4...}
{...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
{-3; 0; 1; ; 3; 4; 0,333...}12
{√3; π; e; 4,3452632...}
{i = √-1}
N ⊂ Z
Z ⊂ Q
I ⊄ Q
Q I⊂
I ⊄ R
R C⊂
Conjuntos
Função do 1° Grau
f(x)
x
Determina a
inclinação da reta
Responsável
por deslocar
verticalmente
a reta b = 0
A reta passa
pela origem
b > 0
Deslocada 
para cima
b < 0
Deslocada 
para baixo
Gráfico
+
-
+
-
RETA CRESCENTE
f(x) é positivo quando x > raiz
f(x) é negativo quando x < raiz
f(x) é nulo quando x = raiz
RETA DECRESCENTE
f(x) é positivo quando x < raiz
f(x) é negativo quando x > raiz
f(x) é nulo quando x = raiz
f(x) = ax + b
w
w
w
.m
a
rc
io
a
zu
la
ye
xa
ta
s.
co
m
raíz
Coeficiente Linear
Coeficiente Angular
COEFICIENTE ANGULAR (a)
a > 0
CRESCENTE
a < 0
DECRESCENTE
COEFICIENTE LINEAR (b)
ANÁLISE DOS SINAIS
Determinada pelo valor do coeficiente a
Parábola
f(x) = ax2 + bx + c
f(x)
x
f(x)
x
a > 0
concavidade
voltada
para cima
a < 0
concavidade
voltada
para baixo
Pode ser determinada pela 
fórmula de Bhaskara:
Δ = b2 - 4ac -b ± Δ
2a
x =
RAÍZES
As coordenadas X e Y do vértice podem 
ser achadas através das fórmulas:
Xv = -b
2a Yv =
-Δ
4a
Yv
VÉRTICE
Xv
Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0
2 raízes reais e distintas 1 raiz real nenhuma raiz real
+
-
+
- -
+
+ +
- -
+
-
CONCAVIDADE
FUNÇÃO DO 2o GRAU
ANÁLISE DO DELTA (Δ)
RAÍZES DA FUNÇÃO VÉRTICE DA FUNÇÃO
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BASE 1
f(x)
x
a > 1
função crescente
1x = 1
f(x) = ax
EXPOENTE 1
x1 = x
EXPOENTE 0
x0 = 1
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE
POTÊNCIAS COM MESMA BASE
ax•ay = ax+y
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE
POTÊNCIAS COM MESMO EXPOENTE
EXPOENTE NEGATIVO
a-x = 1a( )
x
EXPOENTE FRACIONÁRIO
a = 
x
y xa y
f(x)
x
0 < a < 1
função decrescente
(a > o)
ax = ay
Quando as bases dos dois lados
da equação forem iguais, corte
as bases e iguale os expoentes:
x = y
ax > ay
Quando as bases dos dois lados
da inequação forem iguais, corte
as bases e compare os expoentes,
existem 2 possibilidades possíveis:
x > y x < y
Mantenha o sinal
quando a > 1
Inverta o sinal
quando 0 < a < 1
ax/ay = ax-y
ax•bx = (a•b)x
ax/bx = (a/b)x
Potenciação
PROPRIEDADES
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FUNÇÃO EXPONENCIAL
EQUAÇÃO EXPONENCIAL INEQUAÇÃO EXPONENCIAL
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b > 1
crescente
logb 1 = 0
f(x) = logb x
LOGARITMANDO 1 LOGARITMO DA MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
0 < b < 1
decrescente
(b > o e b ≠ 1)
Quando as bases dos logaritmos em
ambos os lados da equação forem
iguais, corte os logs e iguale os loga-
ritmandos:
x = y
Quando as bases dos dois lados da
inequação forem iguais, corte os logs
e compare os logaritmandos, existem
2 possibilidades possíveis:
x > yEXEMPLO: x < y
log2 (x + 4) = log2 (-x) 
x + 4 = -x Mantenha o sinalquando b > 1
Inverta o sinal
quando 0 < b < 1
LOGARITMANDO E BASE IGUAIS
loga a = 1
EXPOENTE DO LOGARITMANDO
logb ax = x•logb a
EXPOENTE DA BASE
logbx a = •logb a
1
x
logc (a•b) = logc a + logc b
logc ( ) = logc a - logc bab
MUDANÇA DE BASE
logb a = 
logc a
logc b
logb x = logb y logb x > logb y
x = -2
log2 2 = 1
log 52 = 2•log 5
log53 2 = •log5 2
1
3
log ( ) = log 2 + log 3 - log 72•37
log3 2 =
log 2
log 3
LOGARITMO NATURAL
ln a = loge a ln e = loge e = 1
OBS: Quando a base não for especificada, o seu valor é 10.
Logaritmos
PROPRIEDADES
FUNÇÃO LOGARITMICA
EQUAÇÃO LOGARITMICA INEQUAÇÃO LOGARITMICA
(escolha a base)
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SENO COSSENO TANGENTE
++ +
+
-
---
+-
-+
SINAIS DOS QUADRANTES
TRANSFORMAÇÃO
GRAUS RADIANOS
G
180
R=
se
n
ta
n
co
s
1° QUADRANTE 2° QUADRANTE 3° QUADRANTE 4° QUADRANTE
30°
60°
360°
0°
120°
150°
210°
240° 300°
330°
315°225°
135° 45°90°
270°
180°
REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE
2° QUADRANTE 3° QUADRANTE 4° QUADRANTE
EXEMPLO:
sen a = + sen (180° - a)
cos a = - cos (180° - a)
tan a = - tan (180° - a)
sen a = - sen (a - 180°)
cos a = - cos (a - 180°)
tan a = + tan (a - 180°)
sen a = - sen (360° - a)
cos a = + cos (360° - a)
tan a = - tan (360° - a)
sen 120° = +sen (180° - 120°) = sen 60°
cos 135° = -cos (180° - 135°) = -cos 45°
EXEMPLO:
sen 240° = -sen (240° - 180°) = -sen 60°
tan 210° = +tan (210° - 180°) = tan 30°
EXEMPLO:
cos 330° = +cos (360° - 330°) = cos 30°
tan 315° = -tan (360° - 315°) = -tan 45°
G: Ângulo em Graus
R: Ângulo em Radianos
Ciclo Trigonométrico
30° 45° 60° 120° 150°135° 210° 240°225° 330°315°300°0° 90° 180° 360°270°
1/2 1/2 -1/2 -1/2√3/2 √3/2 -√3/2 -√3/2√2/2 √2/2 -√2/2 -√2/20 01 0-1
1/2 1/2-1/2 -1/2√3/2 -√3/2 -√3/2 √3/2√2/2 √2/2-√2/2-√2/2 -11 0 10
1 1-1 -1√3/3 -√3/3 √3/3 -√3/3-√3√3√3 -√3-0 0 - 0
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sen2a + cos2a = 1
cossec2a - cotan2a = 1
sec2a - tan2a = 1
sen(a + b) = sen a • cos b + sen b • cos a
sen(a - b) = sen a • cos b - sen b • cos a
cos(a + b) = cos a • cos b - sen a • sen b
cos(a - b) = cos a • cos b + sen a • sen b
tan(a + b) = tan a + tan b1 - tan a • tan b
tan(a - b) = tan a - tan b1 + tan a • tan b
sen(2a) = 2 sen a • cos a
cos(2a) = cos²a - sen²a
tan(2a) = 2 tan a
1 - tan²a
sen(a/2) = ± 
cos(a/2) = ± 
tan(a/2) = ± 
1 - cos a
2√
1 + cos a
2√
1 - cos a
1 + cos a√
sen a + sen b = 2 sen cosa + b
2
a - b
2
sen a - sen b = 2 sen cosa - b
2
a + b
2
cos a + cos b = 2 cos cosa + b
2
a - b
2
cos a - cos b = - 2 sen sena + b
2
a - b
2
tan a + tan b = sen (a + b)
cos a • cos b
tan a - tan b = sen (a - b)
cos a • cos b
FUNÇÕES INVERSAS
cossecante a = 1
sen a
secante a = 1cos a
cotangente a = 1tan a
cos a
sen a= 
Fórmulas
Trigonométricas
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS
ARCO SOMA E DIFERENÇA ARCO DUPLO
ARCO METADE
TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO
Ex: cos(75) = sen (45 + 30) = cos(45).cos(30) - sen(45).sen(30) 
 sen(15) = sen (45 - 30) = sen(45).cos(30) - sen(30).cos(45)
Ex: sen(105) + sen(15) =
 2 . sen[(105+15)/2] . cos[(105-15)/2] =
 2 . sen[120/2] . cos[(90)/2] =
 2 . sen[60] . cos[45]
Amplitude = b
Imagem = [ a-b, a+b ]
Período = c
FUNÇÃO SENO
FUNÇÃO COSSENO
FUNÇÃO TANGENTE
f(x) = a + b•sen(c•x + d)
f(x) = a + b•cos(c•x + d)
f(x) = a + b•tan(c•x + d)
 Funções
Trigonométricas
Amplitude = b
Imagem = [ a-b, a+b ]
Período = c
Imagem = R
Período = c
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w
w
w
.m
a
rc
io
a
zu
la
ye
xa
ta
s.
co
m
Responsável por deslocar a função verticalmente
f(x) = sen(x)
f(x) = 1 + sen(x)
f(x) = -1 + sen(x)
2
1
-2
f(x) = 1•sen(x) f(x) = 2•sen(x)
f(x) = -1•sen(x)
2
-2-2
f(x) = sen(x) f(x) = sen(2x)
f(x) = sen(x/2)
4
f(x) = sen(x) f(x) = sen(x + )2 f(x) = sen(x - )2
-
-
-2 -
2
4
Coeficiente a
Responsável por deformar a função verticalmenteCoeficiente b
Responsável por deformar a função horizontalmenteCoeficiente c
Responsável por deformar a função horizontalmenteCoeficiente d
QUADRILÁTEROS
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p: semiperímetro
A = a2
QUADRADO
a
A = b•h
RETÂNGULO
b
h
h
b
B
A =
TRAPÉZIO
(b + B)•h
2
b
h A = b•h
PARALELOGRAMO
D
d
A =
LOSANGO
D•d
2
TRIÂNGULOS
TRIÂNGULO
SIMPLES
A = b•h
2
h
b
TRIÂNGULO
EQUILÁTERO
A = a
2 3
4
a
ÂNGULO
ENTRE LADOS
A = a•b•sen θ
2a
b
θ
a
b
c
TRIÂNGULO
QUALQUER
A = p(p - a)(p - b)(p - c)
a
b
c
r
A = a
•b•c
4r
TRIÂNGULO
INSCRITO
TRIÂNGULO
CIRCUNSCRITO
a
b
c
r
A = p•r
CIRCUNFERÊNCIAS
CIRCUNFERÊNCIA
A = π•r2
r r
R
COROA CIRCULAR
A = π•(R2 - r2)
SETOR CIRCULAR
A = θ
360
•π•r2
a a
Área de Figuras Planas
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AGUDO
OBTUSO RETO
RASO
COMPLEMENTARES
a
b
a + b = 180°
a
b a + b = 90°
0° < a < 90°
180°
90°90° < a < 180°
a
b
c
de
f
g
h
OPOSTOS PELO VÉRTICE
ALTERNOS INTERNOS ALTERNOS EXTERNOS
CORRESPONDENTES
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS
SAI = (n-2)•180°
SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS
SAE = 360°
n: número de lados do polígono
ÂNGULO INTERNO + EXTERNO
AI + AE = 180°
AEAI
a = d
c = b
e = h
g = f
a = e
b = f
d = h
c = g
c = f e = d a = h b = g
Ângulos
SUPLEMENTARES
Paralelas e Transversal
Soma dos Ângulos
(para qualquer polígono) (sempre suplementares)
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CLASSIFICAÇÃO EM FUNÇÃO DOS LADOS CLASSIFICAÇÃO EM FUNÇÃO DOS ÂNGULOS
EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO
3 lados
iguais
2 lados
iguais
todos os
lados diferentes
ACUTÂNGULO OBTUSÂNGULO RETÂNGULO
CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
1° CASO - LAL
lado-ângulo-lado
2° CASO - ALA
ângulo-lado-ângulo
3° CASO - LLL
lado-lado-lado
4° CASO - LAAO
lado-ângulo-
ângulo oposto
RELAÇÕES MÉTRICAS DO
TRIÂNGULO RETÂNGULO
c b
a
m n
h
a2 = b2 + c2
b2 = an
c2 = am
h2 = mn
TEOREMA DE PITÁGORAS
c
b
a a2 = b2 + c2
a b
c
B̂
Ĉ
Â
a
sen(Â)
b
sen(B)^
c
sen(C)
^= =
Lei dos senos
Lei dos cossenos
a2 = b2 + c2 - 2bc•cos(Â)
Triângulos
todos os ângulos
agudos
1 ângulo 
obtuso
1 ângulo
reto
LEI DOS SENOS E COSSENOS
c2 = h2 + m2
b2 = h2 + n2
ah = bc
bh = cn
ch = bm
PARALELOGRAMO
QUADRADO
- Todos os lados são iguais
- Todos os ângulos internos são retos (90°)
- As duas diagonais são iguais
d = a 2
Quadriláteros
Diagonal
RETÂNGULO
- Os lados opostos são iguais
- Todos os ângulos internos são retos (90°)
- As duas diagonais são iguais
d = a2 + b2
Diagonal
- Os lados opostos são iguais
- Os ângulos opostos são iguais e diferentes de 90°
- As duas diagonais são diferentes
LOSANGO
- Todos os lados são iguais
- Os ângulos opostos são iguais e diferentes de 90°
- As duas diagonais são diferentes
a, b: lados
2a = d2 + D2
a: Lado
d, D: Diagonais
a: lado
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INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO
r = a 3
3
r = a 3
6
TRIÂNGULO
INSCRITO
TRIÂNGULO
CIRCUNSCRITO
QUADRADO
INSCRITO
QUADRADO
CIRCUNSCRITO
r = a 2
2
r = a
2
HEXÁGONO
INSCRITO
HEXÁGONO
CIRCUNSCRITO
r = a r = a 3
2
r: raio da circunferência
a: aresta do polígono
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RAIO
DIÂMETRO
CORDA
TA
NG
EN
TE
QUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO
A
B
C
D
AB + CD = BC + AD
COMPRIMENTO
(PERÍMETRO)
C = 2πr
r: raio
π: pi = 3,1415...
Circunferências
w
w
w
.m
a
rc
io
a
zu
la
ye
xa
ta
s.
co
m
RELAÇÃO ENTRE ARCOS
B
A
= AB
AB + CD
2
ÂNGULO CENTRAL
α B
A
α
ÂNGULO INSCRITO
α
β
=
2β
α
B
A
α
EXCÊNTRICO INTERIOR
D
C
α = AB - CD2
B
A
EXCÊNTRICO EXTERIOR
D
C
α =
α
2
ABou
P
B
C
A
P
B
C
A
D
P
B
A
AP • PB = CP • PD PA • PB = CP2 PA = PB
ENCONTRO DE CORDAS CORDA E TANGENTE ENCONTRO DE TANGENTES
RELAÇÃO ENTRE RETAS
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Ab = a
2 3
4
VOLUME
Base Triangular Base Quadrada Base Hexagonal
AL = 3(a•H)
a
H
a
H
AL = 4(a•H)
Ab = a2
AL = 6(a•H)
Ab = 6 a
2 3
4
ÁREA TOTAL
AT = 2•Ab + ALV = Ab•H Ab: Área da Base AL: Área Lateral
a: Aresta da Base
H: Altura do Prisma
a
a
a
a
b
c
Área Total
Volume
Diagonal da Face
Diagonal do Cubo
D
d
D
d
AT = 6.a2
V = a3
AT = 2.(ab+bc+ac) 
V = a.b.c
d = a 2
D = a 3
d = a2 + b2
D = a2 + b2 + c2
Prismas
a
H
CUBO
Área Total
Volume
Diagonal da Base
Diagonal do Paralelepípedo
PARALELEPÍPEDO
w
w
w
.m
a
rc
io
a
zu
la
ye
xa
ta
s.
co
m
Ab = a
2 3
4
AL = 3 AL = 4
Ab = a2
AL = 6
Ab = 6 a
2 3
4
AT = Ab + ALV = Ab: Área da Base 
AL: Área Lateral
a: Aresta da Base
H: Altura do Pirâmide
a a a
a•g
2
a•g
2
a•g
2
Ab•H
3
APÓTEMA DA BASE
a a a
m m m
m = a 36 m = 
a
2 m = 
a 3
2
H: Altura da Pirâmide
m: Apótema da Base
g: Apótema Lateral
m2 + H2 = g2
a
g
m
RELAÇÃO MÉTRICA
Pirâmides
Base Triangular Base Quadrada Base Hexagonal
g
g
VOLUME ÁREA TOTAL
H
g
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(Pirâmide formada por 4 triângulos equiláteros idênticos)
H
a
aa
H = a 63 V = 
a3 2
12AT = a
2 3 
Altura Área Total Volume
h
HAb
AB
a: Aresta da pirâmide menor
A: Aresta da pirâmide maior
h: Altura da pirâmide menor
H: Altura da pirâmide maior
Ab: Área de basemenor
AB: Área de base maior
vol: Volume da pirâmide menor
VOL: Volume da pirâmide maior
d
VT = 
3
d (Ab + Ab•AB + AB)
d: Altura do tronco de pirâmide
A
a
Ab: Área de base menor
AB: Área de base maior
Ab
AB
Tetraedro Regular
Troncos de Pirâmide
VOLUME DO TRONCO
A
a=
H
h
AB
Ab=
H2
h2
VOL
vol=
H3
h3
ÁREA DA BASE
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H
AB = πr2 
r: raio da circunferencia 
H: altura do cilindro
r
H C = 2πr
Visão plano aberto
base
lateral
Cilindro Equilátero:
cilindro cuja altura é igual a
medida do diâmetro da base
H = D = 2r 
AL = 2π.r.H
ÁREA LATERAL
ÁREA TOTAL
At = 2.AB + AL 
VOLUME
V = AB.H 
H
g
Visão plano aberto
H: altura do cone
m: raio da base
g: geratriz
Cone Equilátero:
cone cuja geratriz é igual
ao diâmetro da base
g = D = 2r 
g
rbase
lateral
D
H
g
Cilindro
r
Cone
ÁREA DA BASE
AB = πr2 AL = π.r.g
ÁREA LATERAL
ÁREA TOTAL
At = AB + AL 
VOLUME
V = AB
.H
3
r
D
RELAÇÃO MÉTRICA
r2 + H2 = g2
w
w
w
.m
a
rc
io
a
zu
la
ye
xa
ta
s.
co
m
α: ângulo de abertura do fuso
Área do Fuso Volume da Cunha
R: raio
da esfera
VOLUME
FUSO
d2 + r2 = R2 
R
ÁREA TOTAL
SECÇÃO 
Rd
R: raio da esfera
r: raio da secção
d: distância entre a secção e o centro
A = .4πR2 α360
CUNHA
Área da Cunha
A = .4πR2 + πR2 
V = 3
4πR3
At = 4πR2 
r
Esfera
V = . α360 3
4πR3 α
360
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(Para poliedros Convexos)
Tetraedro • 4 faces
Pentaedro • 5 faces
Hexaedro • 6 faces
Heptaedro • 7 faces
Octaedro • 8 faces
Eneaedro • 9 faces
Decaedro • 10 faces
Dodecaedro • 12 faces
Icosaedro • 20 faces
FACE
ARESTA
VÉRTICE
TEOREMA DE EULER
V: Número de vértices
F: Número de faces
A: Número de arestas
POLIEDROS DE PLATÃO
- Todas as faces são poligonos regulares e iguais
- Em todos os vértices coincidem o número de arestas 
- Obedecem o teorema de Euler (V – A + F = 2). 
tetraedro
regular
hexaedro
regular
icosaedro
regular
dodecaedro
regular
octaedro
regular
V + F = A + 2
Poliedros
NOMENCLATURA
ARESTAS E FACES
2A = 3.F(T) + 4.F(Q) + 5.F(P) + ...
F(T): No de faces triangulares
F(Q): No de faces quadradas
F(P): No de faces pentagonais
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DISTÂNCIA ENTRE PONTOS
A
B
yB
xBxA
yA
d
d = (xA - xB)2 + (yA - yB)2
PONTO MÉDIO
A
ByB
xBxA
yA
xA + xB
2
xM
yM PONTO
MÉDIO
xM = yA + yB
2
yM =
A
CyC
xCxA
yA
xB
yB B
xC yC 1
xA yA 1
xB yB 1Det = 0
PONTOS COLINEARES
RETAS PARALELAS
y = cx + d
y = ax + b
a = c
RETAS PERPENDICULARES
y = cx + d
y = ax + b
a = - 1c
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
d
ax + by + c = 0
d = axP + byP + c
a2 + b2
P
xP
yP
DISTÂNCIA ENTRE RETAS
d
ax + by + c’ = 0
d = c - c’
a2 + b2
ax + by + c = 0
A
C
yC
xCxA
yA
xB
yB B
xC yC 1
xA yA 1
xB yB 1A = Det 
ÁREA DO TRIÂNGULO
1
2
Pontos
Retas
w
w
w
.m
a
rc
io
a
zu
la
ye
xa
ta
s.
co
m
w
w
w
.m
a
rc
io
a
zu
la
ye
xa
ta
s.
co
m
a x
b r
y P r2 = (a - x)2 + (b - y)2
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
c
b
a2 = b2 + c2
a e b: coordenadas do centro
x e y: coordenadas de um pontoda circunferência
r: raio da circunferência
a
F1 F2
A1 A2
B1
B2
O
Excentricidade = ac
F1 F2O
P(x, y)
+ = 1(x - x0)
2
a2
y0
x0
(y - y0)2
b2
A1A2: Eixo maior
B1B2: Eixo menor
F1 e F2: Focos
O: Centro
2a: Medida do eixo maior
2b: Medida do eixo menor
2c: Distância focal
O
|F1P + F2P| = 2a
Circunferência
Elipse
F1
F2
O
P(x, y)
y0
x0
+ = 1(x - x0)
2
b2
(y - y0)2
a2
Eixo maior horizontal Eixo maior vertical
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c
b
a
F1 F2
A1 A2
B1
B2
O
A1A2: Eixo real ou transverso
B1B2: Eixo imaginário
F1 e F2: Focos
O: Centro
2a: Medida do eixo real
2b: Medida do eixo imaginário
2c: Distância focal
c2 = a2 + b2
Excentricidade = ac
F1 F2O
y0
x0
- = 1(x - x0)
2
a2
(y - y0)2
b2
P(x, y)
|F1P - F2P| = 2a
Hipérbole
F1
F2
O
y0
x0
- = 1(x - x0)
2
b2
(y - y0)2
a2
P(x, y)
Eixo real horizontal Eixo real vertical
c c
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Progressão Aritmética (P.A.)
TERMO GERAL
an = a1 + r(n-1)
RAZÃO
TERMO MÉDIO
an = an+k
 + an-k
2
SOMA DE TERMOS
Sn = (A1
 + An)•n
2
Progressão Geométrica (P.G.)
TERMO GERAL
an = a1 •qn-1
RAZÃO
q = 
TERMO MÉDIO
SOMA DE TERMOS
Sn = a1
•(qn-1)
(q-1)
an
an-1
an = (an+k)•(an-k) 
SOMA DE
INFINITOS TERMOS
S∞ = 
a1
(1-q)
... ... a2
8
a3
11
a4
14
a5
17
an
x
+3 +3+3+3
a1
3
... ... a2
6
a3
12
a4
24
a5
48
an
x
x2 x2x2x2
PRIMEIRO TERMO
ENÉSIMO TERMO
RAZÃO (r)
r = an - an-1
RAZÃO (q)
NÚMERO DE TERMOS (n)
a1
5
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Some todos os dados e divida pelo número de
elementos deste conjunto
x = 
JUROS SIMPLES
1 2 2 2 3 3 3 3
3 3 3 3 4 5 6 6
7 7 8 8 9 9 10 10
SOMA DOS TERMOS
NÚMERO DE TERMOS
x = 120
24
É o valor mais frequente (que mais se repete)
do conjunto de dados
Mo = 3 
Bote os termos em ordem crescente ou decres-
cente e pegue o termo que está no meio
Me = 3 + 42 = 3,5
Caso não exista um único valor, tire a 
média entre os dois valores encontrados
Dispersão dos dados
variáveis em relação à média
2 3 4
4 5 6 x = 2+3+4+4+5+69 = 
Va = (xi - x)
2
nΣ
24
6
 = 4
EXEMPLO:
Va = (2-4)
2+(3-4)2+(4-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2
6
Va = 
Va = 
DESVIO PADRÃO
Raiz quadrada da variância.
Indica a distância média entre
a variável e a média aritmética
da amostra
Dp = Va
Dp = 1,666 = 1,291
Estatística
MÉDIA
x = 5
MODA
1 2 2 2 3 3 3 3
3 3 3 3 4 5 6 6
7 7 8 8 9 9 10 10
JUROS SIMPLES
MEDIANA
1 2 2 2 3 3 3 3
3 3 3 3 4 5 6 6
7 7 8 8 9 9 10 10
VARIÂNCIA
Primeiro encontre a média:
Encontre a variância (subtraia todos os termos pela média
e eleve ao quadrado):
(-2)2+(-1)2+(0)2+(0)2+(1)2+(2)2
6
4+1+0+0+1+4
6 = 
10
6 = 1,666...
Raiz quadrada da variância para achar o desvio padrão:
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FRAÇÃO PORCENTAGEM
Multiplique o numerador 
por 100 e divida pelo 
denominador
DECIMAL PORCENTAGEM
Multiplique por 100
Passe a virgula duas casas
para a direita
DECIMALPORCENTAGEM
Divida por 100
Passe a virgula duas casas
para a esquerda
Adicione o 
denominador 100 e
simplifique a fração
FRAÇÃOPORCENTAGEM
EXEMPLO:
3
4
300
4
= 75%
75% 75
100
= 3
4
EXEMPLO:
EXEMPLO:
0,06 6%
EXEMPLO:
0,0050,5%
AUMENTO
DESCONTO
:25
:25
Vi•(1 + A) = Vf
Vi•(1 - D) = Vf
Vi : Valor Inicial
Vf : Valor Final
A : Aumento (em decimal)
D : Desconto (em decimal)
JUROS SIMPLES
JUROS COMPOSTOS
J = C • i • t 
M = C + J
M = C•(1 + i)t 
M = C + J
J : Juros (R$)
M : Montante (Valor Final)
C : Capital (Valor Inicial)
i : Taxa de Juros (em decimal)
t : Tempo (dias, meses, anos)
M
M
t
t
Matemática
 Financeira
Ex: Capital de R$ 100,00
 a uma taxa de 10%:
INÍCIO: 100,00
MÊS 2: 110,00
MÊS 3: 120,00
MÊS 3: 130,00
MÊS 4: 140,00
Ex: Capital de R$ 100,00
 a uma taxa de 10%:
INÍCIO: 100,00
MÊS 2: 110,00
MÊS 3: 121,00
MÊS 3: 133,10
MÊS 4: 146,41
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FATORIAL
n! = n•(n-1)•(n-2)• ... •2•1
EXEMPLO:
7! = 7•6•5•4•3•2•1 = 5040
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
A=2
B=3
C=4
D=2
P = A•B•C•D
COMBINAÇÃO
(n+p-1)!
p!•(n-1)!C =n,p
n!
p!•(n-p)!C =n,p
SEM ELEMENTOS
REPETIDOS
COM ELEMENTOS 
REPETIDOS
A ordem dos termos não altera o resultado
ARRANJO
A =
n,p
n: número de elementos
p: número de espaços
n!
(n-p)!A =n,p
SEM REPETIÇÃO
DE ELEMENTOS
COM REPETIÇÃO
DE ELEMENTOS
A ordem dos termos altera o resultado
n = 9 p = 4 n = 9 p = 4
n > p n > p
np
PERMUTAÇÃO
n!
a! b! c!P =nP =n
PERMUTAÇÃO SIMPLES PERMUTAÇÃO CIRCULAR
Todos os termos são usados e a ordem deles altera o resultado
n = 4 p = 4 n = 5 p = 5
n!
a, b, c: elementos que se repetem
P =n (n-1)!
PERMUTAÇÃO COM
ELEMENTOS REPETIDOSn = 4 p = 4
Análise Combinatória
COMBINAÇÃO
n = p
w
w
w
.m
a
rc
io
a
zu
la
ye
xa
ta
s.
co
m
i: número da linha
j: número da coluna
Matriz que possui o mesmo número de 
linhas e colunas (i = j)
a11
a21
a31
a41
a51
a12
a22
a32
a42
a52
a13
a23
a33
a43
a53
a14
a24
a34
a44
a54
aij a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33 DIAGONAL
PRINCIPAL
DIAGONAL
SECUNDÁRIA
OPERAÇÕES
a
c
e
b
d
f
u
w
y
v
x
z
SOMA E SUBTRAÇÃO
+ =
a+u
c+w
e+y
b+v
d+x
f+z
PRODUTO ENTRE NÚMERO E MATRIZ
a
c
e
b
d
f
x• =
xa
xc
xe
xb
xd
xf
• =
a.u+b.x
c.u+d.x
e.u+f.x
a.v+b.y
c.v+d.y
e.v+f.y
a.w+b.z
c.w+d.z
e.w+f.z
u
x
v
y
w
z
a
c
e
b
d
f
É feito o produto entre linhas da primeira
matriz com as colunas da segunda matriz
PRODUTO ENTRE MATRIZ E MATRIZ
TIPOS DE MATRIZES
MATRIZ TRANSPOSTA
a
c
e
b
d
f
A =
a
b
c
d
e
fA
t =
Linha viram colunas, colunas viram linhas
MATRIZ SIMÉTRICA
a
b
c
b
d
e
A = At =
Quando uma matriz é igual a sua transposta
c
e
f
a
b
c
b
d
e
c
e
f
MATRIZ OPOSTA
a
c
-e
-b
-d
f
A =
Matrizes iguais com sinais trocados
-a
-c
e
b
d
-f
-A =
MATRIZ INVERSA
a
c
b
d
A
O produto de uma matriz(A) pela sua matriz
inversa (A-1) é igual a matriz identidade (I)
x
z
y
w
A-1
x = 1
0
0
1
I
Matriz Identidade (I): matriz quadrada onde todos os termos da
sua diagonal principal são iguais a 1 e os demais termos são nulos.
ixj jxi
Matrizes
MATRIZ QUADRADA
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Det = D.P. - D.S. = ad - cb
Faça a diferença entre o produto dos termos da
diagonal principal com o produto dos termos da
diagonal secundária. a
c
b
d
Det = D.P. - D.S. = (aei + bfg + cdh) - (gec + hfa + idb)
Regra de Sarrus: a) Repita as duas primeiras
colunas. b) Faça o produto dos termos das
3 diagonais principais e o mesmo com as 3 
diagonais secundárias. c) Faça a diferença
entre as diagonais principais e as secundárias 
a
d
g
b
e
h
c
f
i
a
d
g
b
e
h
Determinantes
MATRIZ 2X2
MATRIZ 3X3
5
2
4
-1
Exemplo:
Det = (5)(-1) - (2)(4)
Det = (-5) - (8)
Det = -5 - 8
Det = -13
Exemplo:
Det = 1.5.9 + 4.8.3 + 7.2.6 - 3.5.7 - 6.8.1 - 9.2.4
Det = 45 + 96 + 84 - 105 - 48 - 72
Det = 225 - 225
Det = 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
Cofatores: a) Escolha qualquer linha ou coluna. b) Multiplique todos os termos
pelos seus respectivos cofatores (C i j). c) Some todos os termos encontrados.
Dica: Escolha aquela linha ou coluna que possui mais termos nulos
a11
a21
a31
a41
a12
a22
a32
a42
a13
a23
a33
a43
a14
a24
a34
a44
Det = a31•C31 + a32•C32 + a33•C33 + a34•C34 
C31 = (-1)3+1
a11
a21
a31
a41
a12
a22
a32
a42
a13
a23
a33
a43
a14
a24
a34
a44
MATRIZES MAIORES
Termo
Cofator
Como achar o cofator de um número?
a) Eleve -1 pela soma do número da linha pela coluna: (-1)i+j
b) Multiplique pela determinante da matriz que resulta ao se eliminar
 todos os termos da linha e coluna que esse elemento se encontra.
Exemplo:
Det = a31.C31 + a32.C32 + a33.C33 + a34.C341
2
2
1
4
5
0
3
3
2
1
0
5
2
3
4
Usaremos a terceira linha:
Vamos calcular cada cofator:
 = (-1)4
1
2
2
1
4
5
0
3
3
2
1
0
5
2
3
4
 = +1
4
5
3
3
2
0
5
2
4
 = 40
C32 = (-1)3+2
a11
a21
a31
a41
a12
a22
a32
a42
a13
a23
a33
a43
a14
a24
a34
a44
 = (-1)5
1
2
2
1
4
5
0
3
3
2
1
0
5
2
3
4
 = -1
1
2
1
3
2
0
5
2
4
 = -20
C33 = (-1)3+3
a11
a21
a31
a41
a12
a22
a32
a42
a13
a23
a33
a43
a14
a24
a34
a44
 = (-1)6
1
2
2
1
4
5
0
3
3
2
1
0
5
2
3
4
 = +1
1
2
1
4
5
3
5
2
4
 = -5
C34 = (-1)3+4
a11
a21
a31
a41
a12
a22
a32
a42
a13
a23
a33
a43
a14
a24
a34
a44
 = (-1)7
1
2
2
1
4
5
0
3
3
2
1
0
5
2
3
4
 = -1
1
2
1
4
5
3
3
2
0
 = -5
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1 Ao se multiplicar (ou dividir) qualquer linha ou coluna por um número qualquer, o
valor de sua determinante também será multiplicado por esse número.
2 Troque duas linhas ou colunas entre sí e o sinal da determinante será invertido.
 (O sinal se inverterá uma vez para cada troca realizada)
3 Ao se subtrair ou somar uma linha qualquer por outra da mesma matriz, o valor
da determinante não será alterado. O mesmo acontece para operações entre colunas.
(Esse processo pode ser feito várias vezes em seguida) 
Logo...
Det = a31.C31 + a32.C32 + a33.C33 + a34.C34
1
2
2
1
4
5
0
3
3
2
1
0
5
2
3
4
Det = (2).(40) + (0).(-20) + (1).(-5) + (3).(-5) 
Det = 80 + 0 - 5 - 15 
Det = 60
Propriedades das Determinantes
5
2
4
4
3
1
2
1
2
Det = 10
2.5
2
4
2.4
3
1
2.2
1
2
Det = 2.5 = 10
5
2
4
4
3
1
2
1
2
Det = 5
5
2
4
4
3
1
2
1
2
Det = - 5
5
2
4
4
3
1
2
1
2
Det = 5
1
-1
3
4
3
1
2
1
2
Det = 5
A primeira coluna foi subtraida
pela segunda coluna
w
w
w
.m
a
rcioa
zulayexata
s.com
INTERPRETAÇÃO DE VALORES
3x + 4y + z = 6
4x - 2y - z = -4
-y + 2z = 3
Tomaremos como exemplo, o sitema linear com 3 incógnitas, esse sistema pode ser transformado
em uma matrix 2x3 como é mostrado a seguir:
{ 340 4-2-1 1-12 xyz 6-43x =
Os valores das incógnitas x, y e z podem ser achados através das fórmulas:
Det(x)
Det
Det(y)
Det
Det(z)
Det
x = y = z = 
3
4
0
4
-2
-1
1
-1
2
Det = -51
4
-2
-1
1
-1
2
Det(x) = 0
6
-4
3
3
4
0
1
-1
2
Det(y) = -51
6
-4
3
3
4
0
Det(z) = -102
6
-4
3
4
-2
-1
No exemplo, para achar o Det(z), devemos substituir todos os coeficientes
da coluna “z” da matriz principal pela coluna resultado.
Dx
D
x = = 0
Existem 3 possibilidades para os resultados de um sistema linear:
A determinante principal
é diferente de zero
A MATRIZ É POSSÍVEL
E DETERMINADA
D = 0 
A determinante principal (D)
e TODAS as secundárias
(Dx, Dy, Dz ...) são iguais a zero
A MATRIZ É POSSÍVEL,
PORÉM INDETERMINADA
D = 0 D(#) = 0 
A determinante principal (D)
é igual a zero, porém as 
secundárias (Dx, Dy, Dz ...)
são diferentes de zero
A MATRIZ É IMPOSSÍVEL
D = 0 D(#) = 0 
Significa que só existe 1 possível
solução para o sistema.
Significa que existem infinitas
soluções para o sistema
 devido a indeterminação 0/0.
Significa que não existe nenhuma
solução real para o sistema já
que não é possivel a divisão por 0.
Todas essas determinantes podem ser achadas por:
Sistemas Lineares
= 0
-51
Dy
D
y = = 1= -51
-51
Dz
D
z = = 2= -102
-51
( )00
( )10 ( )11
( )20 ( )21 ( )22
( )30 ( )31 ( )32 ( )33
( )40 ( )41 ( )42 ( )43 ( )44
( )50 ( )51 ( )52 ( )53 ( )54 ( )55
( )60 ( )61 ( )62 ( )63 ( )64 ( )65 ( )66
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
n = 0
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
n = 5
n = 6
Para achar qualquer
termo do triângulo
Corte o triângulo no meio e você
verá que todos os termos estão
espelhados (iguais).
( )np ( )nn-p=
( )np ( )n-1p-1=
10 5
15
+
n-1
p( )+
( )np Cn,p n!p!•(n-p)!= =
S = 2n
Triângulo de Pascal
Lembre-se que para esse conteúdo
iniciamos a partir do termo zero, não 1!
Exemplo: Segundo termo da quarta linha
 Quarta linha: n = 3 
 Segundo termo: p = 1 
Propriedade 1 • Simetria
Isso pode te ajudar a montar
o triângulo mais facilmente!
Qualquer termo no triângulo é
igual a soma dos dois termos
que estão acima dele.
Propriedade 2 • Soma
A soma de todos os termos
de uma linha são sempre
potências de 2.
Propriedade 3 • Soma da linha
=
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( )n0(x + y)n = xn•y0 ( )n1 xn-1•y1 ( )n2 xn-2•y2 + + + ... + ( )nn-2 x2•yn-2 + ( )nn-1 x1•yn-1 + ( )nn x0•yn 
( )60
(x - 2)6
( )61 ( )62 ( )64 ( )65 ( )66( )63
EXEMPLO:
De forma geral, o desenvolvimento de um binomio se faz por:
a) Os coeficientes de cada termo podem ser achados atravéz dos termos de uma linha
 do Triângulo de Pascal.
b) O expoente do primeiro termo é decrescente (começa por n e termina com zero).
c) O expoente do segundo termo é crescente (começa por 0 e termina com n).
d) Se o binômio for uma soma (x+y), todos os termos são positivos, se for a diferença
 (x-y), os sinais são alternados começando pelo sinal positivo (+ - + - + ...)
Para achar qualquer termo
sem precisar fazer o
desenvolvimento completo
( )np xn-p • yp 
1° termo: p = 0
2° termo: p = 1
3° termo: p = 2 ...
EXEMPLO: Determine o 4º termo do desenvolvimento do binômio (2x - 3)9(-1)p • ( )np xn-p • yp (-1)p •
4° termo: p = 3 
( )93 (2x)9-3 • (3)3 (-1)3 •= (2x)6• (3)3 (-1) •= •84 =
Binômio de Newton
a) Primeiro utilize o triângulo de pascal para encontrar os coeficientes (n = 6)
1•x6 
b) Acrescente o primeiro termo do binômio “x” com expoente decrescente (6, 5, 4, 3...)
= 1 = 6 = 15 = 20 = 15 = 6 = 1 
c) Acrescente o segundo termo do binômio “2” com expoente crescente (0, 1, 2, 3...)
6•x5 15•x4 20•x3 15•x2 6•x1 1•x0 
1•x6•20 6•x5•21 15•x4•22 20•x3•23 15•x2•24 6•x1•25 1•x0•26 
d) O sinal entre os termos é negativo, logo, acrescente sinais alternados
1•x6•20 6•x5•21 15•x4•22 20•x3•23 15•x2•24 6•x1•25 1•x0•26 + - + - + - +
Faça as últimas operações para achar a versão simplificada
x6 12•x5 60•x4 160•x3 240•x2 192•x 64- + - + - +
TERMO GERAL
64x6(-1) •= •84 =•27 -145.152x6
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CLASSIFICAÇÃO DE RETAS
π
COLINEARES COPLANARESIGUAIS OPOSTOS
r
s
r
s
RETAS PARALELAS RETAS COINCIDENTESRETAS CONCORRENTES RETAS PERPENDICULARES
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
AB//CD AB CD
r
s
CLASSIFICAÇÃO DE VETORES
r
s
(MESMO PLANO)(MESMA RETA)
b
a
R
R2 = a2 + b2 + 2ab•cosθ
CASOS DIRETOS
R = a + b R = a - b R2 = a2 + b2
b
a
b
a
b
a
V
θ Vx
Vy
Vx = V• cosθ Vy = V• senθ
COMPONENTE HORIZONTAL COMPONENTE VERTICAL
A função cosseno é usada para achar aquela componente
que toca no ângulo, o seno é usado para aquela componente
que não toca no ângulo
θ
Vetores
RESULTANTE DE VETORES
θ = 0° θ = 180° θ = 90°
RESULTANTE DE VETORES