Matemática Conecte - Revisão

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PROFE
SSOR 
MESTRE
1. Principais casos de 
tato ração 
Fatorar um polinômio é decompor esse poli-
nômio em fatores, isto é, transformá-lo em um 
produto. 
19 caso: Fator comum 
Aplicando a propriedade distributiva no produto 
a(x + y) temos: 
a · (x + y) = ax + ay 
Assim: 
ax + ay = a · (x + y) 
Dizemos que o fator comum foi colocado em evi-
dência. 
29 caso: Agrupamento 
Consideremos a expressão algébrica a seguir: 
ax + ay + bx + by 
Essa expressão não possui um fator comum, mas, 
se separarmos as parcelas em grupos, teremos o fator a 
comum às duas primeiras parcelas e o fator b comum às 
duas últimas. Então: 
a · (x + y) + b · (x + y) 
Essa nova situação, x + y é um fator comum e, 
portanto, pode ser colocado em evidência: 
(x + y) ·(a+ b) 
39 caso: Diferença de dois quadrados 
a2 - b2 = ( a + b) · ( a - b) 
o 
49 caso: Trinômio quadrado perfeito 
a2 + 2ab + b2 =(a+ b)2 
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 
2. Produtos notáveis 
1. (a - b) ·(a+ b) = a2 - b2 
li. (a+ b)2 = a2 + 2ab + b2 
Ili. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 
IV. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
V. (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 
Além desses, também temos: 
VI. Soma de dois cubos: 
( a + b) · ( a2 - a b + b2) = a3 + b3 
VII. Diferença de dois cubos: 
( a - b) · ( a2 + a b + b2) = a3 - b3 
Atividades 
1 Fatore as expressões: 
a) 12x2y3 - 16x3y2 + 20x4y 
4x2y · (3y2 - 4xy + 5x2) 
b) 8a2 - 4ac + 6ab - 3bc 
4a · (2a - e) + 3b · (2a - e) = (2a - e) · (4a + 3b) 
c) x4 - y4 
(x>J> _ (y>J> = (x> _ y>) . (x> + y2) = (x _ y) . (x + y) . (x> + y2) 
d) m2 + 6mn2 + 9n4 
(m + 3n2) 2 
e) 27x3 - 54x2y + 36xy2 - 8y3 
(3x)3 - 3 · (3x)2 • 2y + 3 · (3x) · (2y)2 - (2y)3 = (3x - 2y) 3 
2 (PUC-MG) A expressão a3 - 2a2 - a + 2 pode ser escrita 
na forma de um produto de três fatores. A soma desses 
fatores é igual a: 
a) a2 + 2a - 4 c) 3a - 2 
b) a2 + 2a d) 3a 
a3 - 2a2 - a + 2 = a2(a - 2) - (a - 2) = 
= (a - 2) · (a2 - 1) = (a - 2) · (a - 1) ·(a+ 1) 
Soma: a - 2 + a - 1 + a + 1 = 3a - 2 
Alternativa e 
3 Sendo a = 19 e b = 11, calcule o valor da expressão A em 
cada caso: 
4a - 2ab 
a) A= ab - 2a 
A= 4a - 2ab • A= -2ab + 4a • A= -2a · (b - 2) 
ab - 2a ab - 2a a · (b - 2) 
:. A= -2 
b) A = (a + b)2 - 5a - 5b 
a+b-5 
A = {a + b)2 - Sa - Sb • 
a+b-5 
• A = {a + b) · {a + b) - 5 · {a + b) • 
a+b-5 
• A = {a + b) · {a + b - 5) • 
a+b-5 
• A= a+ b • A= 19 + 11 :. A= 30 
4 Determine ae b de modo que a - b = 1 e a2 + b2 = 41. 
(a - b)2 = l2 • a2 - 2ab + b2 = 1 • a2 + b2 - 2ab = 1 • 
• 41 - 2ab = 1 • 2ab = 40 :. ab = 20 
a-b=1} 
a . b = 20 a = 5 e b = 4 
EXERCÍCIOS COMPlEMENTARES 
1 Sendo a =/= 1 e a =/= -1, simplifique a expressão 
E = a - 1 + a + 1 _ a2 - a + 2 
a + 1 a - 1 a2 - 1 
2 (Vunesp-SP) Se x + ~ = À, calcule, em função de À, 
1 
o valor de x2 + - 2 . 
X 
3 Considere os números naturais m e n tais que m2 - n2 = 
= 13. Determine os possíveis valores de m e n. 
4 (FGV-SP) Imagine dois números naturais não nulos. Seja D 
a diferença entre o cubo de sua soma e a soma de seus 
cubos. Mostre que D é múltiplo de 6. 
xz _ y2 
5 O valor da expressão --x + y 
X = 1,25 e y = -0,75, é: 
a) -0,25 c) O 
b) -0,125 d) 0,125 
( 
a2 b2 6 A expressão b2 + a2 -
equivalente a: 
x2 + 2xy + y2 
para 
x-y 
e) 0,25 
a) 
a2 - b2 
d) 
(a - b)2 
ab ab 
b) 
(a+ b)2 
e) 
a2 + b2 
ab ab 
a+ b 
c) (ab)2 
fofC811\8U8111 / 
111111111.os e 11esco111.os 
9etce111.U815 
1. Porcentagem 
Razões de denominador 100 são chamados de ta-
xas percentuais ou porcentagens. Elas podem ser repre-
sentadas na forma de fração centesimal (denominador 
100), ou na forma decimal. 
Exemplos 
2 
• 20/o = - = 002 
100 ' 
35 
• 350/o = - = O 35 
100 ' 
Aumentos e descontos percentuais 
Para u1n au1nento 
Sendo vi o valor inicial e V1 o valor ao final de um 
aumento de xO/o, temos: 
v1 = vi + 1 ~o . vi • v1 = ( 1 + 1 ~o ) . vi 
Para u1n desconto 
Sendo vi o valor inicial e V1 o valor ao final de um 
desconto de xO/o, temos: 
v1 = vi - 1 ~o . vi • v1 = ( 1 - 1 ~o ) . vi 
Para au1nentos sucessivos e Iguais 
Sendo Vi o valor inicial de um produto e Vn o valor 
ao final de n acréscimos sucessivos de xO/o, ao final do 
enésimo acréscimo: 
V = (1 + _X )n . V. 
n 100 1 
Para descontos sucessivos e iguais 
Sendo Vi o valor inicial e V n o valor ao final de n des-
contos sucessivos de xO/o, ao final do enésimo desconto: 
V = (1 -_X )n . V. 
n 100 1 
o 
2. Juro 
Juro simples 
Investido (ou emprestado) um capital e a uma taxa 
i (em porcentagem), durante n períodos, o cálculo do 
juro simples J é dado por: 
J =e• i • n 
Se o período for dado em "anos", a taxa deve ser 
"por cento ao ano", ou seja, a taxa deve acompanhar a 
unidade do período. 
Juro COIDPOStO 
O cálculo do juro composto é feito da seguinte ma-
neira: 
M = C · (1 + i)n 
em que: M é o montante (capital investido mais juros) 
a ser resgatado, n é o período de aplicação, e é o capi-
tal inicial e i é a taxa. 
Nesse tipo de aplicação, o juro é incorporado ao 
capital, passando também a render juro. 
Atividades 
1 (PUC-MG) Um objeto que custava R$ 700,00 teve seu preço 
aumentado de R$ 105,00. O acréscimo percentual em rela-
ção ao custo anterior foi de: 
a) 120/o b) 150/o c) 180/o d) 200/o 
X 
105 = 100 · 700 • x = 15% 
Alternativa b 
2 (Fuvest-SP) Em uma pesquisa relativa à aceitação de um 
determinado produto, 650/o dos entrevistados são do 
sexo masculino. Apurados os resultados, verificou-se 
que 400/o dos homens e SOO/o das mulheres aprovaram 
o produto. A porcentagem de pessoas que aprovou o 
produto é: 
a) 43,50/o c) 900/o e) 260/o 
b) 450/o d) 17,50/o 
Se 65% é a porcentagem de homens, dentre os entrevistados, 
então a porcentagem de mulheres é 35%. 
Aprovação: 
(40% de 65%) + (50% de 35%) = 0,40 · 65% + 0,50 · 35% = 43,5% 
Alternativa a 
3 (Vunesp-SP) Uma mercadoria teve um aumento de 250/o 
e, logo depois, um aumento de 200/o sobre isso. Para en-
contrar o preço da mercadoria após os aumentos, basta 
multiplicar o preço inicial por: 
a) 1,45 c) 1,50 e) 3,75 
b) 0,45 d) o,so 
( 1 + 12:0) · ( 1 + 12:o) = 1,25 · 1,20 = 1,50 
Alternativa e 
4 (UF-MS) O tanque de um carro tem 40 litros de uma 
mistura de álcool e gasolina, e o álcool representa 250/o 
dessa mistura. A fim de que essa mistura apresente 
uma porcentagem de 600/o de álcool, deve-se substituir 
x litros da mistura original por x litros de álcool. Assim, 
o valor de x é: 
a) 8_!_ 
3 
2 
b) 123 
Tirando x litros da mistura, ficaremos com (40 - x) litros da 
. d 25 ( O ) 40 - x "I I mistura no tanque, on e: WO 4 - x = - 4-e a coo. 
Devemos ter: 
40 - X + X = ~ . 4~ • 40 - X + 4X = 24 • 
4 lpô' 4 
56 • 3x + 40 = 96 • 3x = 56 • x = 3 • 
Alternativa e 
EXERC(CIOS COMPLEMENTARES 
1 Um objeto teve uma majoração de seu preço da ordem de 
200/o e, em seguida, uma redução do preço da ordem 
de 20%. Com relação ao preço inicial, depois dessa varia-
ção de preços podemos concluir que o objeto: 
a) não variou de preço. 
b) está 40/o mais barato. 
c) está 40/o mais caro. 
d) está 80/o mais barato. 
e) está 80/o mais caro. 
2 (PUC-SP) Ao responder a um teste, um aluno acertou 20 
das 30 primeiras questões e errou 640/o do número res-
tante. Feita a correção, verificou-se que o total de acertos 
correspondia a 47,50/o do número de questões. O número 
total de questões é: 
a) 40 d) 80 
b) so e) 120 
c) 60 
3 (Fuvest-SP) O preço de uma mercadoria subiu 25%. Calcule 
a porcentagem de que se deve reduzir seu preço atual 
para que volte a custar o que custava antes do aumento. 
4 (UE-CE) Uma pessoa investiu R$ 3 000,00 em ações. 
No primeiro mês de aplicação, ela perdeu 300/o do va-
lor investido. No segundo mês, ela recuperou 400/o do 
que havia perdido. Em porcentagem, com relação ao 
valor inicialmente investido, ao final do segundo mês 
houve um: 
a) lucro de 100/o. c) lucro de 180/o. 
b) prejuízo de 100/o. d) prejuízo de 180/o. 
5 (Mackenzie-SP) Nos três primeiros meses de um ano, a 
inflação, em determinado país, foi de respectivamente5%, 40/o e 6%. Nessas condições, a inflação acumulada 
no trimestre foi de: 
a) 15,7520/o d) 180/o 
b) 150/o e) 15,360/o 
c) 120/o 
6 (UF-MT) Uma financiadora oferece empréstimos, por um 
período de 4 meses, sob as seguintes condições: 
1~) taxa de 11,40/o ao mês, a juro simples; 
2~) taxa de 100/o ao mês, a juro composto. 
Uma pessoa fez um empréstimo de R$ 10 000,00, 
optando pela 1 ~ condição. Em quantos reais os juros co-
brados pela 1 ~ condição serão menores que os cobrados 
pela 2~ condição? 
1. Equação do 19 grau 
Chama-se equação do primeiro grau, na incóg-
nita x, toda sentença que pode ser representada 
sob a forma: 
ax + b = O 
em que a e b são números reais, com a * O. 
Raízes de moa equação 
Raízes (ou soluções) da equação são os valores 
que, atribuídos à incógnita, tornam a sentença 
verdadeira. 
Em Sx - 1 O = O, o número 2 é raiz, pois: 5 · 2 - 1 O= 
= O, e o número 3 não é raiz, pois: 5 · 3 - 10 * O. 
Coniunto solução ISI 
Em IR, é o conjunto formado pelas raízes da equação. 
No exemplo anterior, Sx - 10 = O, o conjunto so-
lução é S = {2}. 
Resolver uma equação significa encontrar seu 
conjunto solução. 
Problemas envolvendo equação do 19 grau 
Para resolvermos problemas que envolvam equa-
ções do 1g grau, é fundamental interpretarmos o enun-
ciado. Acompanhe algumas interpretações para enun-
ciados e suas respectivas expressões matemáticas. 
o 
Linguagem usual 
um número 
A sexta parte desse número 
o dobro desse número 
A metade desse número "mais" 
sua terça parte 
Esse número acrescido de 5 uni-
dades 
Esse número acrescido de 200/o 
dele 
Linguagem 
matemática 
X 
X 
6 
2x 
~+~ 
2 3 
x+S 
2. Equação do 29 grau 
Chama-se equação do segundo grau, na in-
cógnita x, toda sentença que pode ser repre-
sentada sob a forma: 
ax2 + bx +e= O 
em que a, b e e são números reais, com a * O. 
Exemplos 
a) sx2 + 3x + 9 = o 
a = 5; b = 3; c = 9 ex é a incógnita. 
2 
b) - · r2 + 1 = o 
7 
c) 
a = ~; b = O; c = 1 e ré a incógnita. 
-3t2 + St = O 
3 
b S O t ' . ' ·t a=-1; = 3 ;c= e eamcogrna. 
Nos exemplos b e e, temos o termo b = O e o 
termo c = O, respectivamente; nesses casos, as 
equações são chamadas incompletas. 
Fórmula resolutiva 
A fórmula resolutiva de uma equação do 2<? grau 
ax2 + bx + c = O é: 
-b ±,.Jb2 - 4ac x=--~---
2a 
A expressão b2 - 4ac é representada pela letra 
grega maiúscula delta (A) e é chamada discriminante 
da equação do 2<? grau. 
A= b2 - 4ac 
Discussão das raízes da equação do 29 grau 
O discriminante da equação do 2<? grau (A) informa 
a respeito das raízes dessa equação: 
• Se A > O, então a equação admite duas raízes 
reais e distintas. 
• Se A = O, então a equação admite duas raízes 
reais e iguais. 
• Se A < O, então a equação não admite raízes 
reais. 
Soma e produto das raízes da equação do 
29 grau 
Na equação do 2<? grau ax2 + bx + c = O, em que 
x, e x2 são raízes, temos: 
-b ±,.Jb2 - 4ac x=--~---
2a 
e 
Dividindo ambos os membros de ax2 + bx + c = O 
por a, temos: 
b c 
X2 + - ·X+ - = Ü 
a a 
Podemos reescrever essa equação na forma: 
x2 - Sx + P = O 
em que S é a soma das raízes e P é o produto das raízes. 
Atividades 
1 (PUC-MG) Uma garrafa cheia de água "pesa" 815 g e, 
quando cheia de água até : de sua capacidade, "pesa" 
714 g. O "peso" da garrafa vazia, em gramas, é: 
a) 210 b) 265 c) 310 d) 385 
G+A=815 
5G + 4A = 3570 
DeG +A= 815, temos:G + 505 =815 
G=310g 
Alternativa e 
5G + 5A = 4075 
5G + 4A = 3570 
A= 505 
2 Resolver, no campo dos números reais, as equações: 
a) 2x2 - 11x + 5 = O 
Ll=(-11)2 -4·2·5=81 
1 
11 ± 9 x=-
4 
x2 = 5 2' 
b) x2 - 8x + 16 = o 
Ll = (-8)2 - 4 · 1 · 16 = O 
8+0 
x = 2 =>x1 =x,=4:.S = {4} 
c) 2x2 - 3x + 5 = o 
Ll= (-3)2 -4· 2 ·5 = -31 :.S = 0 
d) 2x2 - 7x = O 
2x2 - 7X = 0 => X · (2x - 7) = 0 => 
- x = O ou 2x - 7 = O -x = _z__ · S = { o· L} ~ ~ 2 .. '2 
e) 2x2 - 18 = O 
2x2 = 18 
x2 = 9 
X= 3 OU X= -3 
S={-3,3} 
3 (U. E. Londrina-PR) Determine os valores de m para os 
quais a equação 3x2 - mx + 4 = O admite duas raízes 
reais e iguais. 
Condição: Ll = O 
Ll = {-m)2 - 4 · 3 · 4 • m2 - 48 = O • 
• m2 = 16 · 3 :. m = -4✓3 ou m = 4✓3 
4 A equação 2x2 - 5x + 1 = O possui as raízes x, e xr De-
termine: 
a) x, + x2 
X +x =_E_=~ 
, , a 2 
b) x, · x2 
e 1 
x, ·x,=ª=2 
1 1 
c) -+-x, x2 
1 + 1 :'..: +xl 
x, X, x,. x, 
d) x; + x; 
5 
x, + x, = 2 
{X + X )2 = 25 
1 2 4 
5 
2 
1 
2 
2 2x ,_25 x, + 1 • x, + x, - 4 
~ 
x2 +x2 = 25 -2•_!_=1_! 
1 2 4 2 4 
e) x; · X2 + x, · x; 
x~ · x2 + x, · x~ = x, · x, (x, + x,l = 
1 5 5 
=-·-=-
2 2 4 
EXERCÍCIOS COMPlEMENTARES 
1 (Fuvest-SP) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o 
número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha 
tem o número de irmãos igual ao dobro do número de 
irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal? 
a) 3 c) 5 e) 7 
b) 4 d) 6 
2 (Unicamp-SP) Roberto disse a Valéria: "Pense em um nú-
mero, dobre esse número, some 12 ao resultado, divida 
o novo resultado por 2. Quanto deu?". Valéria disse: "15". 
Roberto imediatamente revelou o número original em 
que Valéria havia pensado. Calcule esse número. 
3 (Mackenzie-SP) Uma pessoa quer distribuir, entre seus 
amigos, um determinado número de convites. Se der 2 
convites a cada amigo, sobrarão 25 convites; entretanto, 
se pretender dar 3 convites a cada amigo, faltarão 15 
convites. Caso essa pessoa prentenda dar 4 convites a 
cada amigo, ela precisará ter mais: 
a) 45 convites. d) 80 convites. 
b) 55 convites. e) 70 convites. 
c) 40 convites. 
4 (Mackenzie-SP) Se x e ysão números reais e positivos, tais 
que x2 + y2 + 2xy + x + y - 6 = O, então x + y vale: 
a) 2 c) 4 e) 6 
b) 3 d) 5 
5 (Unifor-CE) Sejam a e b as raízes da equação 2x2 - 3x -
- 2 = O. A equação do 29 grau cujas raízes são a + 1 e 
b + 1 é: 
a) 2x2 - 7x + 3 = O 
b) 2x2 + 7x + 3 = O 
c) 2x2 - 5x + 3 = O 
d) x2 + 5x = O 
e) x2 - 5x = O 
6 Resolva, considerando apenas os números reais, a equa-
ção 4x4 - 3x2 - 1 = O. 
1. Produto cartesiano 
Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-se 
produto cartesiano de A por B ou A x B (A carte-
siano B) o conjunto de todos os pares ordenados 
(x, y) em que x E A e y E B. 
Exemplo 
A= {2, 3, 4} 
B = {4, 5} 
A X B = {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), 
(4, 4), (4, 5)} 
B X A= {(4, 2), (5, 2), (4, 3), (5, 3), 
( 4, 4), (5, 4)} 
A X A = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), 
(4, 2), (4, 3), (4, 4)} 
B X B = {(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)} 
Se A possui m elementos e B possui n elementos, 
então A x B possui m • n elementos. 
Representação de A x B 
Sejam A= {2, 3, 4} e B = {4, 5}. 
Forma escrita 
A X B = {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 4), (4, 5)} 
Diagrama de flechas 
A B 
Gráfico cartesiano 
y(B) 
5 ----- , --~--~ 
1 1 1 
4 -----~--4--~ 
1 1 1 
1 1 1 
1 1 1 
1 1 1 
1 1 1 
1 1 1 
1 1 1 
1 1 1 
1 1 1 
1 1 1 
1 1 1 
2 3 4 x(A) 
Relação 
Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-
mos relação de A em B qualquer subconjunto de 
A X B. 
Exemplo 
Sejam A = {1, 2, 3} e B = {5, 6}. 
Eis algumas das relações de A em B: 
R1 = {(1, 5), (2, 6)} 
R2 = {(1, 5), (2, 5), (3, 5)} 
R3 = 0 
R4 = A X B 
2. Função 
Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-
-se função de A em B toda relação na qual, para 
todo x pertencente a A, existe um único y per-
tencente a B e y = f(x). 
Notações f: A • B y = f(x) 
(lê-se: "y é função de x"). 
Assim, consideremos os conjuntos A = {1, 2, 3}, 
B = {3, 4} e as relações a seguir: 
R1 = {(1, 3), (2, 3), (3, 4)} ou 
2 
R2 = {(1, 3), (2, 3), (3, 3)} ou 
A 
R3 = {(1, 3), (2, 4)} ou 
A 
2 
3 
R4 = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (3, 4)} ou 
Observemos que R, e R2 são funções, pois todo ele-
mento do conjunto A possui um único correspondente 
no conjunto B. 
A relação R3 não é função, pois existe elemento no 
conjunto A que não possui correspondente no conjunto B. 
A relação R4 não é função, pois existe elemento no 
conjunto A que possui mais de um correspondente 
no conjunto B. 
Domínio, contradomínio e coniuntoima-
gem de uma função 
Dada uma função f: A • B, temos que A é o con-
junto de partida da função e B é o conjunto de chegada 
da função. 
Desse modo: 
A é o domínio da função. 
B é o contradomínio da função. 
Os elementos de B que têm correspondência de 
algum elemento de A formam o conjunto imagem 
da função. 
f:A • B 
Domínio da função ou D1(x) = {1, 2, 3} 
Contradomínio da função ou CD1(x) = {4, 5, 6} 
Imagem da função ou lm1(x) = {4, 5} 
Valor numérico de uma função 
Seja f uma função: f(a) é o valor numérico dessa 
função quando x vale a. Podemos dizer que f(a) é a 
imagem do elemento a. 
Exemplo 
A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} 
f: A • B e f (x) = x + 1 
Então: 
f(1) = 1 + 1 = 2 
f(2) = 2 + 1 = 3 
f(3) = 3 + 1 = 4 
Os conjuntos A e B podem ser qualquer conjunto 
numérico. Assim, f: IR • IR significa que o domínio 
da função são todos os reais e o contradomínio 
dessa função também são todos os reais. 
Reconhecimento de uma função por meio 
de um gráfico 
Dado um gráfico qualquer, para descobrirmos se 
ele representa o gráfico de uma função de A em B, tra-
çamos retas verticais ao longo de seu domínio. Se cada 
uma dessas retas interceptar esse gráfico em um único 
ponto, concluímos tratar-se do gráfico de uma função. 
Exemplos 
a) f: [ - 2, 2] • IR, em que [ - 2, 2] representa o 
conjunto {x E IR 1 - 2 ~ x ~ 2}, e seu gráfico é: 
y 
-2 O 2 X 
que é o gráfico de uma função. 
D1(x) = [ - 2; 2] (variação do gráfico ao longo do 
eixo Ox) 
lm1(x) = [O; 3] (variação do gráfico ao longo do 
eixo Oy) 
b) f: [ - 2; 2] • IR, e seu gráfico é: 
y 
-2 O 2 X 
que não é o gráfico de uma função. 
3. Função constante 
Chama-se função constante uma função da for-
ma y = b, em que b é um número real. 
Representação gráfica 
O gráfico de uma função constante é uma reta pa-
ralela ao eixo Ox que passa pelo ponto (O; b). 
y 
b 
o X 
4. Função afim 
Chama-se função afim ou função do 1 <? grau uma 
função da forma y = ax + b, em que a e b são nú-
meros reais e a * O. 
Representação gráfica 
O gráfico de uma função afim é uma reta oblíqua, 
ou seja, uma reta não paralela a nenhum dos eixos, Ox 
ou Oy. 
Exemplos 
a) y = 2x + 6 
A abscissa do ponto em que a reta intercepta o 
eixo Ox é a raiz ou o zero da função. 
A ordenada do ponto em que a reta intercepta o 
eixo Oy é o coeficiente linear da reta. 
1:1111 
O 6 
-3 O 
Para a > O, temos: 
• Se x, > x2, então f(x,) > f(x) 
• Se x, < x2, então f(x,) < f(x) 
A função é crescente. 
b) y = -x + 2 
y 
1111 
O 2 
2 O 
Para a < O, temos: 
• Se x, > x2, então f(x,) < f(x) 
• Se x, < x2, então f(x,) > f(x) 
A função é decrescente. 
C) y = X 
y 
X 
X 
Neste caso, ao atribuirmos o valor zero para x, 
encontramos o valor zero para y, então atribui-
-se um outro valor qualquer para x e encontra-se 
o y correspondente. 
y 
11111 
o o 2 
2 2 
0 2 X 
A função da forma y = ax é chamada função line-
ar e é um caso particular da função afim. 
Atividades 
1 (UF-MS) Considere a função y = f(x), dada pelo gráfico a seguir: 
y 
X 
É correto afirmar que: 
(01) se x < 5, então f(x) c,s; 3. 
(02) se -4 < x < - 2, então f(x) > O. 
(04) se -1 < f(x) < 3, então -5 < x < 5. 
(08) se f(x) < O, então -2 < x < 1. 
Dê a soma dos números dos itens corretos. 
(01) V, pois f(x) > 3 se, e somente se, x > 5. 
(02) V, pois, para qualquer valor de xentre -4 e -2, a sua 
imagem f(x) está acima do eixo das abscissas. 
(04) V, pois, para valores de x entre -5 e 5, verificamos que a 
imagem f{x) é de -1 até 3. 
(08) F, pois, se x < -4, teremos também f{x) < O. 
Soma= 7(01 + 02 + 04) 
2 Sejam as funções reais f e g dadas por f(x) =~e 
g(x) = ~ . Sendo o conjunto A o domínio da função f 
x-3 
e o conjunto B o domínio da função g, a soma dos valores 
inteiros do conjunto A n B é igual a: 
a) 12 d) 20 
b) 9 e) 17 
e) 16 
x - 2 ;e,, O=> x ;e,, 2 :. A= {x E IR I x ;e,, 2} 
Os números inteiros pertencentes ao conjunto A n B 
são 2, 4, 5 e 6, e a soma deles é 17. 
Alternativa e 
3 (Fipel-MG) Dentre as alternativas a seguir, assinale aquela 
que mais bem representa a reta cuja equação é y - x -
- 2 = O: 
a) y 
2 
~ 1 
-2 -1 o 1 2 
-1 
-2 
b) y 
e) y 
d) y 
2 
1 
-2 -1 O 
-1 
-2 
y-x-2=0 
y=x+2 
Alternativa e 
1 
1 2 
-1 
-2 
/ 
X 
X 
X 
y 
4 (UE-MT) Para que os pontos (1; 3) e (3; -1) pertençam 
ao gráfico da função dada por f(x) = ax + b, o valor de 
b - a deve ser: 
a) 7 c) 3 
b) 5 d) -3 
{ f(1) =a· 1 + b = 3 (1) 
f(3) =a· 3 + b = -1 (li) 
e) -7 
De(II) - (l):2a = -4=>a = -2}=>b-a =S-(-2):.b-a = 7 
Em (1) : -2 + b = 3 => b = 5 
Alternativa a 
EXERCÍCIOS COMPlEMENTARES 
3x - 1 1 (Fapa-RS) Na função real f(x) = - 2-, o elemento 7 
é a imagem do elemento: 
a) 10 c) 7 e) 5 
b) 8 d) 6 
2 (Unifor-CE) Seja f a função real definida por f(x) = 1 - ; , 
para todo x do intervalo [-3; 1]. Seu conjunto imagem é: 
a) ~ c) [ - ~; ~] e) [ ~; ~] 
b) [- ~;1] d) [- ~; ~] 
3 Uma função real f do 19 grau é tal que f(0) = 1 + f(1) e 
f(-1) = 2 - f(0). 
Então, f(3) é igual a: 
a) -3 c) -1 
b) 
5 
2 
d) o 
e) 7 
2 
4 (Fefisa-SP) O gráfico mostra como o dinheiro gasto (y) por 
uma empresa de cosméticos na produção de perfume 
varia com a quantidade de perfume produzida (x). As-
sim, é correto afirmar que: 
y 
190 
105 
20 
o 5 10 x (litros) 
a) quando a empresa não produz, não gasta. 
b) para produzir três litros de perfume, a empresa gasta 
R$ 76,00. 
c) para produzir dois litros de perfume, a empresa gasta 
R$ 54,00. 
d) se a empresa gastar R$ 170,00, então ela produzirá 
cinco litros de perfume. 
e) para fabricar o terceiro litro de perfume, a empresa 
gasta menos do que para fabricar o quinto litro. 
5 (U. F. Ouro Preto-MG) O custo total y para se produzir um 
determinado produto é calculado por meio da soma de 
um custo variável, que depende da quantidade produzi-
da x, cujo custo unitário de produção é de R$ 10,00 mais 
um custo fixo de R$ 1 000,00. 
Pede-se: 
a) a função que representa o custo total em relação à 
quantidade produzida; 
b) o custo total na produção de 20 unidades; 
c) o número de unidades que deverão ser produzidas 
para que o custo total seja de R$ 4 000,00; 
d) o gráfico da função da quantidade produzida x custo 
total, destacando-se os dados obtidos nos itens ante-
riores. 
6 (UF-RJ) Uma operadora de celular oferece dois planos no 
sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma assinatu-
ra de R$ 50,00 e cada minuto em ligações locais custa 
R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 40,00 
para até 50 minutos em ligações locais e, a partir de 50 
minutos, o custo de cada minuto em ligações locais é de 
R$ 1,50. 
a) Calcule o valor da conta em cada plano para um con-
sumo mensal de 30 minutos em ligações locais. 
b) Determine a partir de quantos minutos, em ligações 
locais, o plano B deixa de ser mais vantajoso do que 
o plano A. 
1. Definição 
Chama-se função quadrática ou do 2'! grau uma 
função da forma 
y = ax2 + bx + c 
em que a, b e e são números reais e a * O. 
Raízes ou zeros da função quadrática 
Seja a função, de IR em IR, definida por: 
f(x) = ax2 + bx + c 
com a * o e A = b2 - 4ac (discriminante). 
As raízes da equação ax2 + bx + c = O são as raí-
zes ou zeros da função f(x) = ax2 + bx + c = O 
Em relação à quantidade de raízes de uma fun-
ção quadrática, temos: 
1. Se A > O, então a função tem duas raízes reais 
e diferentes. 
li. Se A= O, então a função tem duas raízes reais 
e iguais. 
Ili. Se A < O, então a função não tem raízes 
reais. 
Representação gráfica 
O gráfico de uma função quadrática é uma pará-
bola. 
Vamos considerar uma parábola com A > O e con-
cavidade para cima (a > O). Vejamos alguns pontos no-
táveis: 
y 
Ordenada 
do vértice 2a 
(valor mínimo)~ 0 x, · 
-t ---1---- V ~~-
Raiz Vértice 
X 
D(t) = IR 
lm = {y E IR I y ;;.: -~} ou [-~- +oo[ ro ~ ~, 
O gráfico dessa função obedece os seguintes parâ-
metros: 
1. Se a > O, então a parábola tem concavidade 
para cima. 
li. Se a < O, então a parábola tem concavidade 
para baixo.Sinal 
O gráfico da função quadrática pode assumir dife-
rentes posições em relação ao eixo Ox, a saber: - A=O Y +x x1 - 2 EB _ ____,_."-------_. 
X1 = X2 
em que x, e x2 são as raízes de ax2 + bx + c = O. 
Atividades 
1 Construa o gráfico e dê o conjunto imagem da função real, 
do 29 grau, dada por f(x) = xi - 2x - 3. 
• a = 1 => concavidade voltada para cima. 
• d = (- 2)2 - 4 · 1 · (-3) = 16 => duas raízes reais e distintas. 
R ' 2±4 1 3 aizes:x=-2-=>x, = - ex,= 
Vértice:x = -(-2) => x = 1 ey = ~ =>y = -4 
·-y 2" 1 ·-y V 4 • 1 V 
Intersecção com o eixo y: (O; - 3). 
y 
lm = {y E IR I y ;,, -4} 
2 (Unicamp-SP) Determine a função do 29 grau cujo gráfico 
passa pelos pontos A(O; 2), B(-1; 1) e C(1; 1). 
y=ax2 +bx+c 
1. A(0;2) 
2=a·02 +b·O+c=>c=2 
li. B(-1; 1) 
1=a-b+2=>a-b=-1 
Ili. C{1; 1) 
1 =a+b+2=>a+b= -1 
De li e Ili temos: 
{ a - b = -1 
a+ b = -1 
2a = -2 =>a= -1 e b = O 
:. y = -x2 + 2 
3 (U. Gama Filho-RJ) O custo de produção, por hora, de uma 
fábrica de sapatos, é representado pela função quadrá-
tica f(x) = xi - 6x + 8. A variável x representa a quan-
tidade de sapatos, em centenas de unidades, produzida 
em uma hora. 
O número de sapatos que deverá ser produzido, por hora, 
para que o custo seja o menor possível é: 
a) 100 d) 400 
b) 200 e) soo 
c) 300 
f(x)=x2 -6x+8 
Xy = "i = 3 em centenas de unidades 
Deverão ser produzidos 300 sapatos. 
Alternativa e 
4 (Fuvest-SP) Para quais valores de m a equação 
xi+ mx +mi= O 
possui duas raízes reais e distintas? 
a) Somente para m = O. 
b) Para todo m > o. 
c) Para todo m < O. 
d) Para todo real. 
e) Para nenhum m. 
Condição: d > O 
d = m2 - 4 • 1 • m2 => d = - 3m2 => - 3m2 > O 
(Não existe m real nessas condições.) 
Alternativa e 
EXERC(CIOS COMPLEMENTARES 
1 (Vunesp-SP) Uma função quadrática tem o eixo y como 
eixo de simetria. A distância entre seus zeros é de 4 uni-
dades e a função tem (-5) como valor mínimo. Essa fun-
ção quadrática é: 
a) y = 5 · X2 - 4 · X - 5 
b) y = 5 · x2 - 20 
5 
c) y = 4 · X2 - 5 · X 
5 
d) y = 4 · x2 - 5 
5 
e) y = - · x2 - 20 
4 
2 (Acate-se) Os fisiologistas afirmam que, para um indivíduo 
sadio e em repouso, o número N de batimentos cardíacos, 
por minuto, varia em função da temperatura ambiente t 
(em graus Celsius), segundo a função N(t) = O, 1 · t2 -
- 4 · t + 90. O número mínimo de batimentos por minu-
to e a temperatura em que ocorre, respectivamente, são: 
a) 60 e 30º d) 50 e 20º 
b) 50e40º e) 60e40º 
c) 80 e 20º 
3 A função quadrática f, definida por 
f(x) = (m - 1) • x2 + 2m • x + 3m 
assume somente valores estritamente positivos, para todo 
x E IR, se, e somente se: 
a) 
3 
m < O ou m > 2 d) m < 1 
b) 
3 
0<m< 2 e) m <O 
c) 
3 
m>-
2 
4 (ESPM-SP) Na figura, fazendo-se o valor de x variar de o 
a 4, a área da região sombreada também varia. O valor 
máximo que essa área poderá ter é: 
2x 
~ 
4 
• }x 
8 
a) 30 d) 18 
b) 24 e) 16 
c) 20 
5 (Fund. Carlos Chagas-SP) Quantos números inteiros satisfa-
zem este sistema de inequações? 
{
2x + 1 > 3x - 2 
x2 - 6x + 8,,;;; O 
6 (U. F. Ouro Preto-MG) Dado um quadrado ABCD, cujo lado 
mede 20 cm, marcam-se os pontos M em AD e P em AB, 
tais que PB = 2AM. 
D 
M 
A p 
e 
B 
Calcule a distância AM para que a área do triângulo AMP seja 
máxima. 
1. Função exponencial 
Chama-se função exponencial toda função 
f: ~ • ~: definida por uma lei na forma: 
f(x) = ax 
em que a é um número real, a > O e a * 1. 
Gráficos 
A função exponencial pode ser crescente ou de-
crescente, dependendo do valor de a. 
• Se a > 1, a função é crescente. 
• Se O < a < 1, a função é decrescente. 
Exemplo 
Observe os gráficos da função f(x) = 2x e da função 
f(x) = ( ~ r 
f(x) = 2x y 
8 
7 
6 
5 
4 
3 
-4-3-2-1 0 1 2 3 4 X 
f(x) =(½X y 
-4 - 3-2 -1 0 1 2 3 4 X 
Propriedades da função exponencial 
P1 Da função y = ax, temos que o gráfico cruza o 
eixo Oy em 1, pois x = O• y = aº= 1. 
P2 Se a> 1, então f(x) = ax é crescente, isto é: 
x, < x2 {::} ax, < ax2 V {x,; x) e D1 
P3 Se O < a < 1, então f(x) = ax é decrescen-
te, isto é: x, < x2 {::} ax, > ax2 V{x,; x) e D1 
P 4 Se a > o e a =f:. 1, temos: 
ax, = ax2 {::} x, = x2 V {x,, x) e D1 
P5 Conjunto imagem de y = ax é: 
lm = {y E ~ 1 y > O} = ~: 
2. Equação exponencial 
Uma equação é chamada exponencial quando 
apresenta incógnita no expoente de pelo menos 
uma de suas potências. 
Sendo a > O e a * 1, podemos generalizar: 
ax = aY {::} X = Y 
A resolução de uma equação exponencial baseia-se 
nas propriedades da potenciação e nas propriedades da 
função exponencial. 
Exemplos 
a) Em 3' = 9, o conjunto solução é S = {2}: 
3' = 9 • 3' = 32 • X = 2 • S = {2} 
b) Em 7y2 -sx+ 6 = 1, o conjunto solução é S = {2, 3}: 
7y,-sx+6 = 1 • 7y,-sx+6 = 13º • x2 - Sx + 
+ 6 = o • x, = 2 e ~ = 3 • s = {2, 3} 
c®necte G) 
3. Inequação 
exponencial 
Vimos em funções exponenciais que, dada a função 
f(x) = ax, de IR em IR: : 
1. se a > 1, a função é crescente, ou seja: 
li. se O < a < 1, a função é decrescente, ou seja: 
Para resolver equações exponencIaIs, pode-
mos, então, reduzir os membros da inequação a 
potências de mesma base e aplicar essas pro-
priedades. 
Exemplos 
a) Em 3x > 32, o conjunto solução é: 
{x E IR IX> 2} 
b) Em(; r > (; r o conjunto solução é: 
{x E IR IX< 2} 
Atividades 
1 Determine x, com x E ~, em cada equação: 
a) 2x = 128 
2x = 128 => 2x = 27 => X = 7 : . S = {7} 
b) 3x-1 + 3x+2 - 3x = 25 
3x - 1 + 3x + 2 - 3x = 25 => 1'.'_ + 3x . 32 - 3x = 25 
3 
Fazendo 3x = t, temos: 
½ + 9t - t = 25 => 25t = 75 => t = 3, ou seja: 
3x = 3 => 3x = 31 => X = 1 :. S = {1} 
c) 4x = 7 · 2x + 8 
4x = 7 · 2x + 8 => (22)' - 7 · 2x - 8 = O => 
=> (2X)2 - 7 • 2x - 8 = o 
Fazendo 2x = t, temos: 
t2 - 7 · t - 8 = O=> t = -1 ou t = 8, ou seja: 
2x = -1 (Não convém.) 
ou 
2x = 8 => 2x = 23 =>X= 3 :. S = {3} 
d) 25x = 5x + 20 
2SX = SX + 20 => (SX)2 - SX - 20 = O 
Fazendo SX = t, temos: 
t2 - t - 20 = O=> t = -4 ou t = 5, ou seja: 
SX = -4 (Não convém.) 
ou 
SX=5=>x= 1 :.5={1} 
2 (Unama-PA) Em pesquisa realizada, constatou-se que a 
população (p) de determinada bactéria cresce segundo 
a expressão p(t) = 25 • 21, em que t representa o tempo 
em horas. Para se atingir uma população de 400 bacté-
rias, qual será o tempo necessário? 
p(t) = 400 
Assim, teremos: 
400 = 25 · 2' => 2' = 16 => t = 4 
Será necessário um tempo de 4 horas. 
3 (Mackenzie-SP) A soma das raízes da equação 
22x+1 _ p+4 = p+2 _ 32 
é: 
a) 2 c) 4 e) 7 
b) 3 d) 6 
22x+l - 2x+ 4 = 2x+ 2 - 32 => 22x · 21 - 2x · 24 = 2x · 22-32 => 
=> 2 · (2x)2 - 16 · 2x = 4 · 2x - 32 => 2 · (2x)2 - 20 · 2x + 32 = O => 
=> (2X)> - 10 • 2x + 16 = o 
Fazendo 2x = m, vem: 
m2 - 10m + 16 = O {m - L => 2" - L :. X - 1 
m2 -1om+ 16=0ou 
m = 8 => 2x = 23 :. X= 3 
:.5={1;3} 
Alternativa e 
4 (PUC-SP) A desigualdade (0,4}'2 + 6 < (0,4)5x é verdadeira 
para todo x real tal que: 
a) X< 2 OU X > 3 d) X > 2 
b) 2 < x < 3 e) x < 3 
e) X> 3 
x2 + 6 > Sx => x2 - Sx + 6 > O => x < 2 ou x > 3 
Alternativa a 
EXERCÍCIOS COMPlEMENTARES 
1 (UF-RS) S~bendo que 4x - 4x - 1 = 24, então o 
valor de x2 é igual a: 
a) ✓2 
5 
b) ✓s 
2 
e) ✓2 
d) ffl 
5 
e) Jw 
2 
2 Se os inteiros x e y satisfazem a equação 3x + 1 + 2Y = 
= 2Y + 2 - 3x, então o valor de 3' é: 
a) 1 
b) _!_ 
3 
1 
c) 9 
d) 3 
e) 9 
{
XY = yx 
3 (Mackenzie-SP) Do sistema ~ = 2, com x > O e y > O, 
(sx - y) vale: 
a) 14 d) 16 
b) 12 e) 20 
e) 18 
4 (Unisinos-RS) Dado o sistema de equações 
{4x + 3y = 43 , o valor de x + y é: 
4x - 3Y = -11 
aj 3 ~ 6 
~ 4 ~ 7 
e) 5 
5 (PUC-SP) Se 53Y = 64, o valor de 5-y é: 
a) 
1 
d) 
1 -
4 8 
b) 
1 
e) 
1 
40 4 
e) 
1 -
20 
6 o menor número inteiro positivo que é solução da 1 
equação (o,2sl < ✓8 é: 
a) 1 d) 4 
b) 2 e) 5 
e) 3 
1. Definição 
Para resolvermos a equação exponencial 2x = 8, 
reduzimos os membros a potências de mesma base. 
Assim: 
2' = 8 • 2x = 23 • X = 3 
S = {3} 
Consideramos, agora, a seguinte equação: 
2' = 3 
Para resolver equaçõesexponenciais como esta, as 
quais não conseguimos reduzir a potências de mesma 
base, aplicamos, então, os logaritmos, que veremos a 
seguir: 
1. Sejam a e b números reais e positivos, com 
a * 1. Chama-se logaritmo de b na base a o 
expoente x a que se deve elevar a, de modo que 
a potência obtida seja igual a b. 
Notação 
Ioga b = X <==> ax = b 
Dizemos que: a é a base do logaritmo; b é o Ioga-
ritmando e x é o logaritmo de b na base a. 
Se a base do logaritmo é 1 O (logaritmo deci-
mal), podemos usar a seguinte notação, omitindo 
a base: 
log10 b = log b 
Consequências da definição 
Sejam o< a * 1, b > o e c > O: 
1. log 1 = o pois aº = 1 a , • 
li. log a = 1 pois a1 = a a , • 
Ili. a1oga b = b, pois, sendo Ioga b = c, temos ac = b. 
Daí: a1º9ª b = ac = b. 
Logo, a1º9ª b = b. 
IV. logª b = logª c <==> b = c 
Atividades 
1 A soma dos valores inteiros de x para os quais a função 
f(x) = log<ix- ,) ( 1 - : ) existe é igual a: 
a) 6 e) 4 e) 2 
b) s d) 3 
2x-1>0=>2x>1=>x>..!_ 
2x-1 -=t- 1 =>2x-=t-2=>x-=t-1 
1-~>0=>-~>-1 =>X <4 
4 4 
Os valores inteiros de x são os números 2 e 3, cuja soma é 5. 
Alternativa b 
2 (lnatel-MG) Se y = log5 (1092 32), então tem-se que: 
a) log5 y=1 d) logy=10 
b) log5 y = O e) y = 10 
e) 1092 y = 5 
log 32 = X => 2x = 32 => 2x = 25 => X = 5 
y = log 5 = 1 
log y = log 1 = O 
Alternativa b 
3 (U. F. Lavras-MG) O valor de x que satisfaz a equação 
[21º92 (x) + 1]' = 8 é igual a: 
a) O 
b) 1 
e) 2 
d) ✓2 
e) 2✓2 
1 
[21og,ó<) + ']2 = 8 => 2109,(x) + 1 = 2✓2 => 2109,(x) + 1 = 2. 2 2 => 
.! 3 
=> j_log,!xl +, = j.2 => log, (x) + 1 = - => 
1 1 
=> log2 x = -=>x = 22 =>x = ✓2 
Alternativa d 
4 (U. F. São Carlos-SP) Calcule os valores de x, tais que 
log2 (8 + x - x2) = 1 + log2 (2x - 5). 
log (8 + x - x2) = 1 + log {2x - 5) => 
=> log (8 + x - x2) = log 2 + log {2x - 5) => 
=> log (8 + x - x2) = log [2(2x - 5)] => 
=> 8 + x - x2 = 4x - 10 => x2 + 3x - 18 = O 
x = -6 (Não satisfaz as condições de existência.) 
ou 
x=3 
:.S = {3} 
EXERC(CIOS COMPLEMENTARES 
1 (UF-BA) No sistema {(lfi)(x =f)2 , o valor de y é: 
logx 4'12 = y 
a) 3 
2 
b) 5 
4 
e) 5 
6 
d) 9 
2 
e) 9 
4 
2 (Fabrai-MG) A condição de existência da função 
f(x) = logx_, (x2 - 2x - 3) é: 
a) {xEIRl-1 >x>3} 
b) {x E IR I x > 1 ex=!= 2} 
e) {x E IR I x > 3} 
d) {x E IR 1 2 < x < 3} 
27 3 Em que base o logaritmo de 8 é igual a - 3? 
4 Determine o valor da expressão a seguir: 
log3 m + log,, 'TT - log 1 + 23+1og2s _ 52 
22 33 23 
a) 3 e) 2 e) --,, 
35 
b) 19 d) 2 
5 (Fumec-MG) Se logx 125 = - 3 e log32 y = x, sendo x um 
número real positivo, diferente de 1, y só pode ser o 
número: 
a) -5 b) -2 e) 5 d) 2 
6 (Mackenzie-SP) A raiz real da equação log3 (9' - 2) = x é: 
a) log3 ✓2 d) log3 2 
b) 2 · log3 2 e) log3 ✓3 
2 e) log -
3 3 
1. Função composta 
Considere a seguinte representação: 
A B C 
h(x) = g (f (x)) 
Sendo f: A -----> B e g: B -----> e, a função composta de 
g com fé a função h: A-----> e, definida por h(x) = g(f(x)). 
Indica-se essa função por (g O f)(x) = g(f(x)) - lê-se: 
"g composta com /" ou "g bola /". 
2. Função inversa 
Uma função fé bijetora se: 
• injetora - cada elemento y, pertencente ao conjunto 
imagem de f, é correspondido, por meio de f, com 
um único elemento x pertencente ao domínio de f; 
• sobrejetora - o conjunto imagem é o próprio contra-
domínio de f. 
Observe a representação, em diagramas, de uma 
função f: A -----> B, bijetora: 
Notemos que, invertendo os sentidos das flechas, 
continuamos com a representação de uma função, ago-
ra de Bem A. 
A ) 
,~---+-~ --------
Essa nova função é chamada função inversa de f e 
representa-se por f-1• 
Notemos, ainda, que o domínio de fé o conjunto 
imagem de f-1, e vice-versa. 
Determinação da função inversa li -11 
Para determinarmos a inversa de uma função bije-
tora, usamos uma regra prática: 
• "trocamos" x por y e y por x; 
• "isolamos" y. 
Observação: O gráfico de f-1(x) são os pontos si-
métricos de f(x) em relação à bissetriz dos quadrantes 
ímpares no plano cartesiano. 
y 
X 
Atividades 
x2 1 Sendo f(x) = 2 e g(x) = 2x - 1, determine: 
a) (g o f)(s) 
(25) 25 (g O f)(5) = g(f(5)) = g 2 = 2 · 2 - 1 = 24 
b) (f O g)(5) 
81 (f O g)(S) = f(g(S)) = f(9) = 2 
e) (g O f)(x) 
( x
2 ) 2x2 (g O f)(x) = g(f(x)) = g 2 = - 2- - 1 = x2 - 1 
d) (f O g)(x) 
(f O g)(x) = f(g(x)) = f(2x - 1) = (2x - 1)2 = 4x> - 4x + 1 
2 2 
2 Considere as funções f(x) = 2x - 7 e f[g(x)] = 2x2 - 5. 
Determine a sentença que representa a função g(x). 
g(x) = x2 + 1 
f(x) = 2x - 7 => f[g(x)] = 2 · g(x) - 7 
f[g(x)] = 2x2 - 5 
2 · g(x) - 7 = 2x2 - 5 => 2 · g(x) = 2x2 + 2 :. g(x) = x2 + 1 
3 Determine a inversa das funções: 
a) f(x) = 5x - 7 
2 
Sx- 7 y=--
2 
Trocando x por y e vice-versa, temos: 
Sy- 7 
x = --=> 2x = Sy - 7 => 2x + 7 = Sy 
2 
2x + 7 y=--
5 
X - 1 
b) f(x) = -
x+2 
x-1 
y=x+2 
Trocando x por y e vice-versa, temos: 
X= .r..=....!...=>xy + 2x = y- 1 =>xy-y = -2x- 1 
y+2 
-2x-1 
y= x-1 
:. f-'(x) = -2x - 1 
x-1 
4 (Unifor-CE) Seja a função f, de lll em R dada por f(x) = 
= 2x + 1. Se f[f(x)] = ax + b, então a - b é igual a: 
a) -2 d) 1 
~ -1 ~ 2 
e) O 
f(x) = 2x + 1 => {f[f(x)] = ª · x + b => f[f(x)] = 2f(x) + 1 
f[f(x)] = 2 · f(x) + 1 
2 · (2x + 1) + 1 = ax + b => 4x + 3 = ax + b => 
=>a= 4 e b = 3 :. a - b = 1 
Alternativa d 
EXERC(CIOS COMPLEMENTARES 
1 (UF-AM) Considere f(x) = 2x - 2 e g(x) = 
Se b = g(a), então f(b) vale: 
a) -2a + 1 d) -2a - 8 
b) -2a + 4 e) -2a - 4 
e) -2a + 2 
2 (UF-MG) Considere a função definida por: 
{
3X, se -1 ,e;;; x ,e;;; 1 
f(x) = 5, se 1 < x ,e;;; 4 
x - 4, se x > 4 
Pode-se afirmar que o valor de f(f(f(2))) é: 
1 
aj 3 0 3 
b) 1 d) 5 
-x + 3. 
3 (U. Gama Filho-RJ) Atente para os gráficos: 
y y 
g(x) ~ 
4\ / f(x) 
º/ 2 -2 
7 
X o X 
O gráfico que representa f(g(x)) é: 
a) y d) y 
X 
X 
b) y 
X 
e) ~ 
e) y 
X 
4 (FEI-SP) Se a função real f definida por f(x) = x : 1, 
para todo x > o, então f-1(x) é igual a: 
1 
a) -- 1 
X 
1 
b) -+ 1 
X 
e) X+ 1 
d) 1 - x 
1 
e) X+ 1 
5 A função f, definida de lll - {3} em B pela sentença 
f( ) 2x - 4 d . . d , . B , x = --3-, a m1te inversa. O contra omm10 e X-
dado por lll - {a}. O valor de a é: 
a) 2 
b) -2 
e) 1 
d) -1 
e) O 
6 (U. F. Alfenas-MG) Seja f função real tal que f(2x - 9) = x 
para todo x real. A igualdade f( e) = f- 1( e) se verifica para 
e igual a: 
a) 1 
b) 9 
e) 7 
d) 3 
e) 5 
1. Polígonos 
Chama-se poligonal a figura formada pelo conjunto 
de segmentos de reta consecutivos com quaisquer dois 
vizinhos não colineares. 
Polígono é uma poligonal simples (não se cruza) 
em que as extremidades coincidem. 
Um polígono é regular quando todos os seus lados 
são congruentes e todos os ângulos internos são con-
gruentes. 
Soma das medidas dos ângulos internos 
Seja um polígono qualquer de n lados. A soma S 
das medidas dos ângulos internos é dada por: 
s = (n - 2) · 180º 
Soma das medidas dos ângulos externos 
S = 360° 
Número de diagonais ld 1 
2. Triângulos 
Triângulo é um polígono que possui três lados. É 
o polígono que possui o menor número de lados, ou 
seja, todo triângulo possui três vértices, três lados e três 
ângulos. 
Na figura, temos: 
B 
~ 
A C 
• Vértices: A, B, C. 
• Lados: AB, BC e AC. 
• Ângulos internos: a, b e e. 
Considere o triângulo ABC, de vértices A, B e c, da 
figura a seguir: 
e 
8 
O'. 
A B D 
Os ângulos a, 13 e 'Y são chamados ângulos internos 
e 8 é um ângulo externo. 
Um ângulo interno e um ângulo externo adjacen-
tes são suplementares, ou seja, a soma dos dois é 
igual a 180º. 
Soma das medidas dos ângulos internos 
A soma das medidas dos ângulos internos de um 
triângulo qualquer é igual a 180º. 
No nosso triângulo: a+ 13 + 'Y = 180º 
Teorema do ângulo externo 
A medida de um ângulo externo de um triân-
gulo qualquer é igual à soma dos ângulos internos 
não adjacentes ao externo considerado. 
No nosso triângulo: 8 = a + 13 
Condição para a existência de umtriângulo 
Seja o triângulo ABC de lados a, b e e. 
~ · 
C b A 
Para que exista esse triângulo, devemos ter: 
1. a<b+c 
li. b <a+ c 
Ili. c < a + b 
Classificação 
Os triângulos podem ser classificados quanto aos la-
dos e quanto aos ângulos. 
Triângulo 
equilátero 
Triângulo 
isósceles 
Triângulo 
escaleno 
Triângulo 
acutângulo 
Triângulo 
retângulo 
Quanto aos lados 
Possui os três lados congruentes. 
Cada ângulo interno mede 60º. 
Possui dois lados congruentes. 
Os ângulos da base são congruentes. 
A altura divide a base em dois 
segmentos congruentes. 
Possui os três lados não congruentes. 
Quanto aos ângulos 
Possui os três ângulos agudos. 
Possui um ângulo reto (e dois agudos). 
Triângulo Possui um ângulo obtuso (e dois 
obtusângulo agudos). 
Os triângulos possuem as duas classificações si-
multaneamente: um triângulo pode ser, por exemplo, 
retângulo isósceles. 
Seja a o lado de maior medida de um triângulo: 
• Se a2 = b2 + c2: o triângulo é retângulo. 
• Se a2 < b2 + c2: o triângulo é acutângulo. 
• Se a2 > b2 + c2: o triângulo é obtusângulo. 
Atividades 
1 Determine a soma do número de lados com o número de 
diagonais de um polígono regular que apresenta ângulo 
externo de medida igual a 24°. 
a) 90 e) 105 e) 45 
b) 95 d) 15 
S =360°ea =~=>n=~=>n= 360º:.n=15 
• • n a 24° 
d=n·(n-3)=>d= 15·(15-3). d=go 
2 2 .. 
Assim: n + d = 105 
Alternativa e 
2 Determine x na figuras: 
a) 
X+ 50° + 80° = 180° :.x = 50° 
b) 
120º 
X 
120º 
60º X 
X+ 60° + 70° = 180° :.X= 50° 
3 (Fuvest-SP) Na figura, AB = BD = CD. 
X 
A 
Determine y em função de x. 
O triângulo ABD é isósceles, portanto: 
med(ADB) = x 
med(CBD) = 2x (externo do ,/\.ABD) 
med(BDC) = 180° - 4x 
y 
c 
Então: y + med(BDC) + med(ADB) = 180º • 
• y + 180º - 4x + x = 180º • y = 3x 
4 (UF-PE) Na figura ilustrada ~ 
lado, os segmentos AB, BC, CD, 
DE e EA são congruentes. 
Determine, em graus, a medida 
do ângulo CÂD. 
Observe a figura: 
No triângulo ADC, temos: 
3x + 2y= 180° 
No triângulo DCE, temos: 
2x + 3y = 180° 
Assim: 3x + 2y = 2x + 3y • x = y 
D 
Portanto, voltando ao triângulo ADC, temos: 
3x + 2x = 180° • Sx = 180° • x = CÂD = 36° 
A 
c 
EXERC(CIOS COMPLEMENTARES 
1 (PUC-SP) No triângulo a seguir, AM é bissetriz do ângulo 
CÂB. 
Então, (x - y) vale: c 
a) 30° d) 60° M 
b) 100° e) 40° 
e) 20° X 
A B 
2 Os números x - 1, 2x + 1 e 10 representam, respectiva-
mente, as medidas dos lados de um triângulo, ex é um 
número natural. O número de possibilidades de x é: 
a) 1 
b) 2 
e) 3 
d) 4 
e) 5 
3 Considerando AB = AC e as informações apresentadas na 
figura, podemos afirmar que x vale: 
a) 30° 
b) 40° 
e) 50° 
d) 60° 
e) 70° 
B 
X 
D 
4 Determine a soma das medidas dos ângulos Â, B, ê, ô 
e Ê. 
E 
5 (UF-MG) Observe a figura: 
D 
A B c 
Nessa figura, AB = BD = DE, e o segmento BD é bissetriz 
de EBC. A medida de AÊB, em graus, é: 
a) 96 b) 100 e) 104 d) 108 
6 (ITA-SP) Seja no número de lados de um polígono conve-
xo. Se a soma das medidas de (n - 1) ângulos internos 
do polígono é 2 004º, determine o número n de lados do 
polígono. 
1. Tipos de ângulo 
Ângulo central 
Chama-se ângulo central o ângulo que possui o 
vértice no centro da circunferência. 
B 
O'. 
AÔB é um ângulo central de medida a. 
Segundo a própria definição de grau, a medida 
do ângulo central é igual à medida do arco por ele 
determinado. 
lngulo inscrito 
Dá-se o nome de ângulo inscrito ao ângulo que 
possui o vértice sobre a circunferência, e os lados secan-
tes a essa circunferência. 
A 
AêB é um ângulo inscrito de medida 13. 
Teorema 
A medida do ângulo inscrito é igual à metade da 
medida do arco por ele determinado. 
Ângulo de segmento 
É o ângulo que possui o vértice sobre a circunferên-
cia, um de seus lados é secante, e o outro é tangente a 
essa circunferência. 
, , 
, 
, , , , 
e 
A 
O'. 
o· 
ABC é um ângulo de segmento de medida 13. 
Teorema 
A medida do ângulo de segmento é igual à metade 
da medida do arco por ele determinado. 
13 = ~ 
2 
lngulos excêntricos 
O ângulo CÊD é chamado excêntrico interno e 
mede a média aritmética entre os arcos determi-
nados por ele e por seu oposto pelo vértice. 
med(AB) + med(CD) 
x=-------
2 
O ângulo AÊB é chamado excêntrico externo e 
mede a metade do módulo da diferença entre os 
arcos por ele determinados. 
lmed(AB) - med(CD)I x=--------
2 
Atividades 
1 Determine a medida do ângulo x nas circunferências a 
seguir: 
a) 
b) 
108º 
X= 108º; 24º .".X= 66º 
148° 
x= 1148° - 22°1 :. X= 630 
2 
24º 
2 (Unifor-CE) Seja uma circunferência Ã, de centro O. Por um 
ponto P traçam-se uma tangente PT e uma secante PS, 
que contém o ponto O, como mostra a figura seguinte. 
Se u E PS, a medida 0, do ângulo assinalado, é: 
a) 85º c) 65º e) 45º 
b) 75º 30' d) 57º 30' 
1. med(TS) = 20 
med(ÚT) = x 
X+ 20 = 180° 
20 -x 
11.-2- = 25° • 20 -x = 50° 
Somando (1) e (11), temos: 
48 = 230° 
e = 57,5º = 51° 30' 
Alternativa d 
3 (UF-ES) Na figura, os segmentos de reta AP e DP sâo tan-
gentes à circunferência, o arco ABC mede 11 O graus e o 
ângulo CAD mede 45 graus. 
A 
p 
A medida, em graus, do ângulo APD é: 
a) 15 c) 25 e) 35 
b) 20 d) 30 
O • 1 AD~C, .. d d.d llOº angu o e inscrito, e me I a - 2- = 55°. 
O ângulo CÂD é inscrito, de medida 45º. 
Logo, o arco DC mede 90º. 
Em consequência, o arco AD mede: 360º - 11 Oº - 90º = 160º 
Assim: med(APD) = med(ABD) - med(AD) 200° - 160° = 200 
Alternativa b 
4 (F. M. Santa Casa-SP) O triângulo ABC inscrito na circun-
ferência de raio R tem ângulo BÂC com medida 30° e 
o lado oposto valendo 12 cm. Então, o diâmetro dessa 
circunferência é igual a: 
a) 12 cm A 
b) 6 cm 
c) 18 cm 
d) 30 cm 
e) 24 cm 
A 
med{BÂC) = 30° • med{BÔC) = 60° 
O triângulo OBC é isósceles {0B = OC = R) e, portanto: 
med{OBC) = med{OêB) 
Temos: med{OBC) + med{OêB) + 60° = 180° • 
• med{OBC) = med{OêB) = 60° 
Podemos concluir que o triângulo OBC é equilátero e o raio R 
da circunferência é igual a 12 cm. Sendo assim, o diâmetro da 
circunferência é igual a 24 cm. 
Alternativa e 
EXERC(CIOS COMPLEMENTARES 
1 Observe a figura a seguir e determine a medida x. 
A 
2 (Unimontes-MG) Os pontos A, B e C pertencem a uma 
circunferência de centro O. Os pontos A e B estão na 
mesma semicircunferência, e o diâmetro passa por C. 
Sendo med(OêA) = 20º e med(CÔB) = 80º, o ângulo 
ABO mede: 
a) 120º b) 100° c) 80º d) 60º 
3 (U. E. Feira de Santana-BA) Na figura abaixo, em que se 
tem um círculo de centro O, o arco AC mede 130º e o 
ângulo AêB mede 62º. A medida x, do ângulo BÂC, é: 
c 
a) 65º c) 500 e) 28º 
b) 53º d) 31º 
4 (UF-MG) Observe a figura: 
Suponha que as medidas dos ângulos BÂC, CÂD e ABC, 
assinalados na figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectiva-
mente. A medida do ângulo AêB, em graus, é: 
a) 38 c) 79 e) 58 
b) 63 d) 87 
5 (Fatec-SP) Na figura, os pontos A, B e C pertencem à circunfe-
rência de centro O. 
Se 13 = 150º e y = 50º, então a é igual a: 
a) 30º c) 35º e) 20º 
b) 45º d) 15º 
6 (PUC-SP) O pentágono ABCDE da figura seguinte está ins-
crito em um círculo de centro O. O ângulo CÔD mede 60°. 
Então, x + y é igual a: 
A 
a) 180° 
b) 185° 
c) 190° 
d) 210° 
e) 250° 
1. Segmentos 
proporcionais 
Considere um feixe de retas paralelas interceptado 
por duas retas transversais, t e u. 
Chamam-se segmentos correspondentes aqueles 
que têm suas extremidades sobre as mesmas paralelas. 
Dessa maneira, temos: 
DE e QR são correspondentes; 
AE e MR são correspondentes. 
2. Teorema de Tales 
A razão entre dois segmentos correspondentes 
quaisquer é constante. No feixe acima, temos: 
AB CD 
MN PQ 
Ainda: a razão entre dois segmentos quaisquer de 
uma das transversais é igual à razão entre os segmentos 
correspondentes da outra transversal. 
AB MN 
CD PQ 
3. Semelhança de 
triângulos 
Dois triângulos são semelhantes (representa-se 
pelo símbolo -) quando existe uma correspondência 
entre seus ângulos internos de tal modo que: 
1. dois ânguloscorrespondentes são congruentes; 
li. lados opostos a ângulos correspondentes (lados 
homólogos) são proporcionais. 
P ~ RLI 
• O número real k é chamado razão de seme-
lhança ou constante de proporcionalidade do 
triângulo PQR para o triângulo STU. 
• A razão de semelhança se mantém quando se 
dividem dois elementos lineares homólogos 
(altura, raio do círculo inscrito, perímetro etc.). 
• Se a razão de semelhança é igual a 1, os triân-
gulos são chamados congruentes. 
Casos de semelhança de triângulo 
s 
Para determinarmos a semelhança de triângulo, 
não é necessário verificarmos a congruência de todos 
os ângulos homólogos nem a proporcionalidade de 
c®necte G) 
seus lados; basta observarmos os casos de semelhan-
ça a seguir: 
Caso AA (ângulo - ângulo) 
Dois triângulos são semelhantes se possuem dois ân-
gulos correspondentes congruentes. 
Caso LAL (lado - ângulo - lado) 
Dois triângulos são semelhantes se possuem dois 
pares de lados homólogos, respectivamente, proporcio-
nais, e se os ângulos formados por estes pares de lados 
homólogos são congruentes. 
Caso LLL (lado - lado - lado) 
Dois triângulos são semelhantes se possuem os la-
dos homólogos, respectivamente, proporcionais. 
Atividades 
1 Determine x em cada figura, sabendo que as retas a, b e e 
são paralelas: 
a) - ª 
3 
b 
8 
- \ c 
s 
X 3 15 
Pelo teorema de Tales, temos: 5 = 8 => x = 8 
b) 
x - 1 = l => Sx - 5 = 3x => 2x = 5 => x = l 
X 5 2 
c) 
a 
x-5 4 
b 
10 15 
c 
=>5x=55=>x=11 
2 (FEI-SP) Três terrenos têm frente para a rua A e para a rua 
B, conforme a figura. As divisas laterais são perpendicu-
lares à rua A. Qual a medida de frente para a rua B de 
cada lote, sabendo-se que a frente total para essa rua é 
120 m? 
Rua A 
40 m 30 m 20 m 
Sejam a, b e e as medidas dos terrenos, como o indicado na figura. 
Rua A 
Assim: 
40 =±-3a = 160 · a =~m 
a 3 ~ ·· 3 
30 = l => 3b = 120 · b = 40 m b 4 .. 
20 = l - 3c = 80 · c = -ªº-- m c 4 ~ ·· 3 
3 (PUC-RJ) A figura ao lado re- e 
presenta um retângulo PQRS, 
inscrito em um triângulo ABC, s 
de base AB = 12 cm e altura 
13 cm. z 
Seja x o comprimento de PQ e z 
o comprimento de PS. Compa- X ,B Q 
rando os triângulos ABC e SRC, 12 ...----- --,: 
determine z em função de x. 
12 X 
13 = 13 _ 2 => 156 - 12z = 13x => 12z = 156 - 13x => 
156 - 13x 
=> z = 
12 
4 (Mackenzie-SP) Na figura a seguir, a medida x vale: 
A ' 
___ I 10 
''!.~ ,~ 
: 20 : 
a) 12,75 c) 11,75 e) 11 
b) 12,25 d) 11,25 
Alternativa d 
EXERC(CIOS COMPLEMENTARES 
1 (Mackenzie-SP) A área do quadrado assinalado na figura 
é: 
1 1 
~ ' 
1 2 1 
a) 20 
b) 18 
8 
c) 25 e) 16 
d) 12 
2 (Cesgranrio-RJ) Certa noite, uma moça de 1,50 m de estatu-
ra estava a dois metros de distância de um poste de 4 m de 
altura. O comprimento da sombra da moça no chão era de: 
a) 0,75 m c) 1,80 m e) 3,20 m 
b) 1,20 m d) 2,40 m 
3 (Unirio-RJ) Observe os dois triângulos representados a seguir. 
O perímetro do menor triângulo é: 
a) 3 
2 
b) 
15 
4 
c) 5 
d) 
15 -
2 
e) 15 
5 
4 (UF-SE) Na figura a seguir, são dados AC = 8 cm e CD = 4 cm. 
A medida de BD, em centímetros, é: 
a) 9 A 
b) 10 
B ~ C 
c) 12 
d) 15 
e) 16 D 
5 (Vunesp-SP) Na figura, B é um ponto do segmento de 
reta AC, e os ângulos DÂB, DBE e BêE são retos. 
D 
E 
A 
Se AD = 6 dm, AC = 11 dm e EC = 3 dm, as medidas 
possíveis de AB, em dm, são: 
a) 4,5 e 6,5 c) 8 e 3 e) 9 e 2 
b) 7,5 e 3,5 d) 7 e 4 
Observação: a figura está fora de escala. 
& (Unirio-RJ) Em uma cidade do in-
terior, à noite, surgiu um objeto 
voador não identificado ( óvni), 
em forma de disco, que estacio-
nou a 50 m do solo, aproximada-
mente. Um helicóptero do Exér-
cito, situado a aproximadamente óvni 
30 m acima do objeto, iluminou-
-o com um holofote, conforme 
mostra a figura ao lado. 
Sendo assim, pode-se afirmar 
que o raio do objeto voador 
mede, em m, aproximadamente: 
a) 3,0 d) 4,5 
b) 3,5 e) 5,0 
Som 
1 
1 
bra 
1 
1 c) 4,0 
1 16 m 1 
30 m 
50 m 
c®necte e 
1. Triângulo retângulo 
Considere um triângulo retângulo ABC, a altura AH 
relativa ao lado BC e as medidas indicadas na figura. 
c 
s/-, n 
1 
a 
A 
\> 
h b 
'" \ c H m , 
1 
O segmento BH (de medida n) é a projeção do cateto AB 
sobre a hipotenusa, e o segmento HC (de medida m) é a 
projeção de AC sobre a hipotenusa. 
Nessa situação, são válidas as seguintes relações 
métricas para o triângulo retângulo ABC: 
• h2 = m · n 
• b·c=a·h 
• c2 = a • n ou b2 = a · m 
• c · h = b · n ou b · h = c · m 
• a2 = b2 + c2 (teorema de Pitágoras) 
Aplicações do teorema de Pitágoras 
Dlauonal da un1 quadrado 
Seja o quadrado ABCD de 
lado a e diagonal d, como mostra 
a figura ao lado. 
B 
A 
d 
a 
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: 
d2 = a2 + a2 • d2 = 2 . a2 • 
• 
c 
a 
D 
Altura de un1 triângulo equilátero 
Seja o triângulo equilátero ABC, de lado a e de al-
tura AM, conforme a figura seguinte. 
B 
A 
a 
M a c 
2 
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: 
( a )
2 a2 h2 + 2 = a2 • h2 = a2 - 4 • 
3 · a2 • h2=-- • 
4 
Atividades 
1 (Faap-SP) No retângulo ABCD, AB = 4 cm e BC = 3 cm, 
o segmento DM é perpendicular à diagonal AC. Calcule o 
comprimento do segmento AM. 
O comprimento do segmento AM é 1,8 cm. 
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 • (AC)2 = 42 + 32 :. AC= 5 
9 
(AD)2 =(AC)· (AM) • 32 = 5 · (AM) :. AM = 5 • 1,8 cm 
2 (UF-RJ) Em um triângulo retângulo, a altura relativa à hi-
potenusa mede 12 e o menor dos segmentos que ela 
determina sobre a hipotenusa, 9. O menor lado do triân-
gulo mede: 
a) 12,5 c) 15 
b) 13 d) 16 
122 = 9m • m = 144 • m = 16 e a = 25 
9 
b2 =25·9 • b=15 
c2 = 25 · 16 • e= 20 
O menor lado do triângulo mede 15 cm. 
Alternativa e 
e) 16,5 
3 (Fuvest-SP) Os lados de um triângulo medem ✓5, ✓-IÕ e 5. 
a) Qual a medida da altura relativa ao maior lado? 
Vs 
5 
h2 + x2 = ( Js)2 • h2 = 5 - x2 (1) 
h2 + (5 - x)2 = (J,õ)2 • h2 + 25 - 10x + x2 = 10 (li) 
De (1) em (li): 5 - x2 + 25 - 10x + x2 = 10 • -10x = -20 
:.x = 2 
Em (1): h2 = 5 - x2 • h2 = 5 - 22 • h2 = 1 :. h = 1 
b) Qual a área desse triângulo? 
b · h 5 · 1 A10 =-2- • A10 =-2-:.A10 = 2,5 
4 (UF-RS) O lampião representado na figura está suspenso 
por duas cordas perpendiculares presas ao teto. 
Sabendo-se que essas cordas medem ~ e : , a distância 
do lampião ao teto é: 
a) 1,69 
b) 1,3 
c) 0,6 
d) 1 
2 
Observando a figura, temos: 
X 
Pelo teorema de Pitágoras: 
Usando a relação bc = ah, temos: 
1 6 13 6 
2 . 5 - 10. h :. h - 13 
Alternativa e 
EXERCÍCIOS COMPlEMENTARES 
6 
e) -
13 
1 (UE-CE) Uma escada de 2,5 m está encostada na parede 
vertical de um edifício de modo que o pé da escada está 
a 0,7 m do prédio. Se o topo da escada escorregar 0,4 m, 
quantos metros escorregará o pé da escada? 
a) 1,0 m c) 0,8 m 
b) 0,9 m d) 1,5 m 
2 (Mackenzie-SP) Na figura, a soma das áreas dos três qua-
drados é 18. A área do quadrado maior é: 
a) 9 c) 12 e) 8 
b) 10 d) 6 
3 (Fatec-SP) Na figura a seguir, ABCD é retângulo. A medida 
do segmento EF é: 
4 
A~--~-------~B 
F 
3 
E 
D e 
a) 0,8 c) 2,6 e) 3,8 
b) 1,4 d) 3,2 
4 No triângulo isósceles da figura, M é o ponto médio da 
base BC. 
A 
20 cm 
Determine a distância do ponto M até o lado AB. 
5 (Fuvest-SP) Um triângulo retângulo tem catetos AB = 3 e 
AC = 4. No cateto AB, toma-se o ponto P equidistante do 
ponto A e da reta BC. Qual a distância AP? 
6 Sendo a um valor conhecido, tem-se que, na figura, o 
valor de x é igual a: 
E 
a 
B • 
a 
A a 
a) 
2✓5 ·a 
d) 2·a 
5 
b) ✓10 · a e) 1 
c) ✓2 · a 
1. Ponto P interno à 
circunferência 
D 
Utilizando-se a semelhança de triângulos, demons-
tra-se que: 
PA · PB = PC · PD 
2. Ponto P externo à 
circunferência 
Utilizando-se a semelhança de triângulos, demons-
tra-se que: 
PA · PB = PC · PD 
Caso particular 
Na figura, a reta PT é tangente. 
B 
O, 
T p 
Utilizando-se a semelhança de triângulos, demons-
tra-se que: 
(PT)2 = PA · PB 
Atividades 
1 (Cefet-SP) Sabendo que y é A e 
parte do segmento DC na cir- 2 3 
cunferênciaao lado, o valor 
de y é: 
a) 1 c) 9 
b) 4 d) 18 
(EA) · (EB) = (EC) · (ED) => 2 · 6 = 3 · y :. y = 4 
Alternativa b 
2 Sejam P um ponto externo a uma circunferência e B e D 
pontos dessa circunferência. Os segmentos PB e PD in-
terceptam essa circunferência nos pontos A e e, respec-
tivamente, de tal forma que AB = 5, PD = 6 e PC = 4. A 
medida do segmento PA é igual a: 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 1 
Seja PA = X 
C!?:' 
D 
(PA) · (PB) = (PC) · (PD) => x · (x + 5) = 4 · 6 => 
x = -8 (Não convém.) 
=> x2 + Sx = 24 => x2 + Sx - 24 = O ou 
x=3:. PA = 3 
Alternativa b 
3 (Vunesp-SP) Em uma residência, há uma área de lazer com 
uma piscina redonda de 5 m de diâmetro. Nessa área, há 
um coqueiro, representado na figura por um ponto Q. 
Se a distância de Q (coqueiro) ao ponto de tangência T (da 
piscina) é 6 m, a distância d = QP, do coqueiro à piscina, é: 
aj 4m tj 5m ~ 6m 
b) 4,5 m d) 5,5 m 
QA · QP = (QT)2 
(d+ 5) ·d= 36 
d2 + 5d - 36 = O 
ô.= 25 + 144 = 169 
d=-5 ± 13 • d=4m 
2 
Alternativa a 
4 (Fafipa-PR) Na figura, AB = 1, OA = ~ e CB = a. Consi-
derando-se que OA seja o raio do círculo, então a vale: 
a) ✓2 
2 
b) 
✓5 + 1 
c) 
2 
✓5 -1 
2 
d) 1 
2 
e) 2 
BC · BD = (AB)2 
a ·(a+ 1) = 1 • a2 + a - 1 = O 
L'.\=1+4=5 
-1± 5 a=---
2 
Como a > O, vem: 
-1+ 5 
a= 
2 
Alternativa e 
EXERC(CIOS COMPLEMENTARES 
1 Na figura, são dados ~~ = ~, BE = 8 cm e ED = 6 cm. 
O comprimento AC, em cm, é: c 
a) 10 
b) 12 
c) 16 
d) 18 
e) 20 
2 (UF-MG) Em um círculo, a corda CD é perpendicular ao 
diâmetro AB no ponto E. Se AE · EB = 3, a medida de 
CD é: 
a) ✓3 c) 3 
b) 2✓3 d) 3✓3 
3 (lnatel-MG) Na figura a seguir, há uma tangente Ãf e uma 
secante ÃP a um círculo. Se AT = 12 cm e PR = 10 cm, 
calcule o comprimento AR. 
A 
T 
4 (Mackenzie-SP) Em uma circunferência de raio 5 cm, uma 
corda perpendicular a um diâmetro separa esse diâmetro 
em duas partes, uma das quais mede 2 cm. O compri-
mento da corda, em cm, é: 
a) 4 c) 7 e) 5 
b) 6 d) 8 
5 (Fuvest-SP) Os segmentos AB e CD se interceptam em um 
ponto P e são cordas perpendiculares de um mesmo círcu-
lo. Se AP = CP = 2 e PB = 6, determine o raio do círculo. 
6 O triângulo ABC é circunscrito à circunferência. 
A 
Sendo AB = 8, AC = 9 e BC = 7, então x vale: 
a) 1,5 c) 3 e) 5 
b) 2,8 d) 4,6 
1. Área de polígonos 
Área do retângulo 
Retângulo é o quadrilátero que possui os quatro ân-
gulos internos iguais a 90º. A área do retângulo é dada 
pelo produto da medida da base (b) pela medida da 
altura (h). 
h A= b · h 
b 
Área do quadrado 
O quadrado é um retângulo cujas medidas da base 
e da altura são iguais; logo, a área de um quadrado de 
lado -€ é dada por: 
A= ,e2 
e 
Area do paralelogramo 
Paralelogramo é o quadrilátero que possui os la-
dos opostos paralelos, dois a dois. 
D } 
A E B F 
~ 
b 
A área do paralelogramo ABCD (com base b 
e altura h) é igual à área do retângulo EFCD e é expressa 
por: 
A= b · h 
Área do triângulo 
A área do triângulo pode ser calculada de várias 
maneiras. Vejamos a seguir algumas delas. 
EDI hlnção das n1edidas da base e da alblra relativa a 
essa base 
A área do triângulo (com base b e altura h) é a 
metade da área do paralelogramo ABDC. 
B D 
--------------
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
b·h 
A=-
2 I 
I 
I 
I 
I 
A b C 
EDI função das Oledldas de dois lados e da Oledlda do 
ângulo forn1ado por esses lados 
No triângulo ao lado, temos: 
A=~ 
2 
Mas: 
A h A 
sen e = - • h = a · sen e a 
EDI hlnção das n1edidas dos lados e do 
sen1iperín1etro 
B 
Seja o triângulo ABC de lados a, b e e e semi-
perímetro p. É válida a seguinte relação (também 
conhecida por fórmula de Hierão): 
A = ✓ p · (p - a) · (p - b) · (p - c) 
Area do triângulo equilátero 
Considere o triângulo equilátero da figura: 
1 A 
Empregando a fórmula A = 2 · a · b · sen C, temos: 
1 
A = - · f • i · sen 60º • 
2 
1 ✓3 
• A=-·f2 •- • 
2 2 
írea do trapézio 
Chama-se trapézio o quadrilátero que possui pelo 
menos um par de lados paralelos. 
N b P 
1 ', 
1 ', 
1 ', 
1 ', 
: h ',,, 
: ',, __ 
: ',, 
1 ', ', 
I • ', 
M H B Q 
A área do trapézio (de base maior B, base menor 
b e altura h) é dada pela soma das áreas dos triângulos 
MNQ e NPQ, isto é: 
A = ~ + ~ • 
2 2 
Area do losango 
Losango é o paralelogramo que possui os quatro 
lados de mesma medida. 
Observe a figura: 
N 
M~:,- !~ r 
: 2 : 
1 1 
: Q : 
D 
Como as diagonais do losango são perpendiculares 
entre si e se cruzam no ponto médio, podemos calcular 
a área do losango (com diagonal maior D e diagonal 
menor d) como a soma das áreas dos triângulos MNP 
e MQP: 
d 
D•-
2 A=--·2 • 
2 
2. área do círculo 
Um círculo de raio r tem sua área expressa pela fór-
mula: 
o 
A = 1r • r2 
Partes do círculo 
Podemos calcular a área de apenas uma parte do 
círculo. Veja algumas com as quais trabalhamos com 
maior frequência e suas nomenclaturas. 
Area da coroa circular 
Chama-se coroa circular a região do plano 
compreendida entre dois círculos concêntricos. 
A área da coroa circular é a diferença entre as áreas 
dos dois círculos de raios R e r, respectivamente. 
A = 1r • R2 - 1r • r2 • A = 1r • (R2 - r2) 
Área do setor circular 
Chama-se setor circular a região do plano 
compreendida entre dois raios distintos de um 
mesmo círculo. 
O'. 
o 
Sendo A a área do setor circular, r o raio do círculo e 
a o ângulo central medido em graus, temos: 
360º 
A 
Área do seg1Demo circular 
Chama-se segmento circular a região do plano 
compreendida entre um círculo e uma corda desse 
círculo. 
A área do segmento circular é calculada associan-
do-se a área do setor circular e a área do triângulo for-
mado pelos raios OA e 0B. Assim, podemos ter: 
A 
A = Asetor circular - Atriângulo 
A 
A = Asetor circular + Atriângulo 
Atividades 
1 (UF-SC) A área da figura sombreada é: 
r--=----,., 
a) (4 - 'TT) 
b) 4 · (1 - 'TT) 
c) 2 · (2 - 'TT) 2 
d) 4 
e) 'TT 
1 
ssombreada = Squadrado - 4 · Scrrculo ~ 
1 • 5,omb,eada = 22 - 4 . {,r. 22) :. 5,omb,eada = 4 - 'lT 
Alternativa a 
2 (PUC-MG) A bandeira de um time de futebol tem o for-
mato de um retângulo MNPQ. Os pontos A, B e e dividem 
o lado MN em quatro partes iguais. Os triângulos PAM e 
PCB são coloridos com uma determinada cor C1, o triângulo 
PAB, com a cor C21 e o restante da bandeira, com a cor C3• 
Sabe-se que as cores C1, C2 e C3 são diferentes entre si. 
Q· p 
M A B e N 
Que porcentagem da bandeira é ocupada pela cor c1? 
a) 12,50/o c) 22,50/o e) 28,50/o 
b) 150/o d) 250/o 
Os triângulos PAM, PAB, PBC e PCN possuem a mesma área, por 
isso representam a metade do L'.PMN. 
Logo: S = ¼ · MNPQ ou 25% da área do retângulo. 
Alternativa d 
3 (EEM-SP) Em um triângulo retângulo, um cateto medes m 
e a altura relativa à hipotenusa mede 2✓5 m. Determine a 
área do triângulo. 
A 
C H B 
No triângulo ACH: 
• (CH)2 + (2✓5)2 = 52 => (CH)2 = 5 :. CH = ✓5 m 
•52 = CH · CB 
25 = ✓5 • CB 
CB= /s :.CB=5✓5m 
S = (BC) · (AH) S = (5✓ 5) · (2✓ 5) . S = 25 2 
ABC => ABC • • ABC ffi 
4 (Mackenzie-SP) No setor 
da figura, « = 60º e M, N. 
N e P são pontos de tan- .P 
gência. . 
o 
Se o raio do setor é 12, a 
área do círculo de centro 
Oé: M 
a) 18"11' c) 9"11' e) 12"11' 
b) 16"11' d) 4"11' 
Observe a fi ura: 
R 1 R 
Sen 30° = --=> - = --=> 12 - R = 2R => 
12-R 2 12-R 
=>3R= 12=>R=4 
A= '1TR2 = 16'1T 
Alternativa b 
EXERC(CIOS COMPLEMENTARES 
c 1 (FEI-SP) Determine a 
área do triângulo ABC, 
da figura ao lado, sa-
bendo çiue AB = 4, 
BC= ✓2 e med(ABC) = ~ 45° 
= 45°. A 4 B 
2 (U. F. São Carlos-SP) A figura representa três semicírculos, 
mutuamente tangentes dois a dois, de diâmetros AD, AC 
e CD. 
A c D 
<D 
Sendo BC perpendicular a AD, e sabendo que AB = 4 cm e 
DB = 3 cm, a medida da área da região sombreada na figura, 
em cm2, é igual a: 
a) 1,21 · 'TI' c) 1,35 · 'TI' e) 1,69 • 'TI' 
b) 1,25 · 'TI' d) 1,44 · 'TI' 
3 (UF-MG) Na figura 1, está representado um retângulo, cuja 
base mede 25 cm e cuja altura mede 9 cm. Esse retângu-
lo está divididonas regiões «, 13 e 'Y· 
Sem que haja qualquer superposição delas, essas regiões 
podem ser reagrupadas, formando um quadrado, como 
mostrado na figura li. 
O'. 
'Y 
li 
Então, é correto afirmar que a área da região « mede: 
a) 24 cm 2 b) 28 cm 2 c) 30 cm 2 d) 32 cm 2 
4 (PUC-PR) Seja O o centro da circunferência de raio unitário: 
B 
A área do triângulo retângulo ABC que tem o cateto AC no 
diâmetro vale: 
✓3 
a) -
2 
b) 3✓3 
4 
3 3✓3 
e) -
8 
5 (PUC-SP) Um terreno de 120 m2 contém uma piscina de 6 m 
por 8 m. A calçada ao redor da piscina tem largura x, 
conforme a figura. Calcule o valor de x em metros. 
X 
6 (Mackenzie-SP) Na figura, a diferença entre as áreas dos 
quadrados ABCO e EFGC é 56. Se BE = 4, então a área do 
triângulo COE vale: A~ _____ B 
a) 18,5 E F 
b) 20,5 
..1----~ 
c) 22,5 
d) 24,5 
e) 26,5 D e G 
1. Prisma 
Considere um polígono P, convexo, contido em um 
plano a e um segmento AB com apenas uma de suas 
extremidades pertencente a a. 
A 
O'. 
B" _,,-/44 83 __ 
1 / 
B ' / 
1 1 /8 
1 / 
1 / 
' / h / /// 
/Ao// 
,,.,,."!...../{ 
,,, / .......... 
A,....,.. p // --- ........... 
n // A3 
A 
Chama-se prisma a união de todos os segmen-
tos paralelos e congruentes a AB, com uma de 
suas extremidades em P e contidos no mesmo se-
miespaço em que está contido o segmento AB. 
EIIIDIDIIS 
Da figura anterior, temos: 
• Os polígonos A,A2A3A4 ... An e B, B2B3B4 ... Bn são as 
bases (que são paralelas). 
• A distância h entre as bases é a altura do prisma. 
• Os pontos A,, A2, ••• , An, B,, B2, ••• , Bn são os vértices. 
• Cada lado das bases é chamado aresta da base. 
• Os segmentos A,B,, A2B21 ••• , AnBn são as arestas 
laterais. 
• Os paralelogramos A1A2B2B1, A2A3B3B2, A3A4B4B3, 
... , AnA,B,Bn são chamados faces laterais. 
• O segmento que une dois vértices não consecutivos e 
pertencentes à mesma base é chamado diagonal da 
base. 
• O segmento que une dois vértices não pertencentes 
à mesma base e não pertencentes à mesma face la-
teral é chamado diagonal do prisma. 
• A área de uma base será indicada por Ab. 
• A área de uma face lateral será indicada por A,. 
• A soma das áreas das faces laterais é chamada área 
lateral e será indicada por Ae. 
• A soma das áreas das bases com a área lateral é 
chamada área total e será indicada por A,. 
Nomenclatura 
O nome de um prisma é dado de acordo com o 
polígono da base. 
Um prisma cuja base é um triângulo é chamado 
prisma triangular; se a base é um quadrilátero, prisma 
quadrangular; se a base é um pentágono, prisma pen-
tagonal; e assim sucessivamente. 
VOIUIDI 
O volume de um prisma é dado pelo produto da 
área da base pela altura. 
V=Ab·h 
Prisma reto 
Um prisma é chamado reto quando as arestas 
laterais são perpendiculares às bases. 
Repare que as faces laterais de um prisma reto são 
retangulares. 
Paralelepípedo reto-retângulo 
Dá-se o nome de paralelepípedo reto-retângulo 
ao prisma reto cuja base é um retângulo. 
H G 
e 
Considere um paralelepípedo reto-retângulo de di-
mensões a, b e e. 
• Diagonal d = ✓ a2 + b2 + c2 
• Área total A, = 2 · (ab + ac + bc) 
• Volume V= abc 
Cubo 
O cubo é um paralelepípedo reto-retângulo 
que apresenta a particularidade de ter todas 
as arestas congruentes. 
• Diagonal: 
• Área total: 
• Volume: 
a 
Prisma regular 
Prisma regular é um prisma reto cujas ba-
ses são polígonos regulares. 
O segmento OM que une o centro da 
base ao ponto médio M de uma aresta 
da base é chamado apótema da base. 
No1Denclatura 
o 
a 
Para nomear um prisma regular, basta acrescentar 
a palavra "regular" ao seu nome, isto é, prisma hexago-
nal regular, prisma pentagonal regular etc. 
Secção transversal 
Chama-se secção transversal a intersecção de um 
prisma com um plano paralelo à sua base. 
1 1 
1 : 1 
-T------7----- -±,~ +------, 
1 
1 
- i 
.______« ----~ 
• : 
1 
Secção 
transversal 
Volu1De 
O volume de qualquer prisma é o produto da área 
da base pela altura. 
Dados dois polígonos (P1 e P2) semelhantes, e va-
lendo-nos da propriedade de semelhança, temos: 
~=_Ei_=k 
ª2 b2 
em que a1 e b1 são arestas do polígono P1 e a2 e b2 
são arestas correspondentes no polígono P2 que 
satisfazem a proporção, com k como a constante 
de proporcionalidade. 
Temos, também: 
~ = k2 
A2 
em que A1 é a área do polígono P1 e A2 é a área do 
polígono P2. 
Dados dois sólidos (S1 e S2) semelhantes, vale 
também a seguinte relação: 
Y.i_ = k3 
V2 
em que V1 é o volume do sólido S1 e V2 é o volume 
do sólido S2. 
2. Pirâmide 
Considere um polígono P, convexo, contido em um 
plano C\'. e um ponto V não pertencente a C\'.. 
V 
-r 
h 
J 
Chama-se pirâmide a união de todos os seg-
mentos com extremidades em P e V. 
EIIIDIDIOS 
Da figura anterior, temos: 
• o polígono P é a base. 
• O ponto V é o vértice da pirâmide. 
• A distância h entre a base e o vértice da pirâmide é 
a altura. 
• Os pontos A1, A2, ... e A" são os vértices da base. 
• Cada lado da base é chamado aresta da base. 
• Os segmentos A,V, A2V, ... , A"V são as arestas laterais. 
• Os triângulos A1A2V, A2A3V, A3A4V, ... , AnA,V são cha-
mados faces laterais. 
• O segmento que une dois vértices da base não con-
secutivos é chamado diagonal da base. 
• A área de uma base será indicada por Ab. 
• A área de uma face lateral será indicada por A,. 
• A soma das áreas das faces laterais é chamada área 
lateral e será indicada por Ae. 
• A soma da área da base com a área lateral é chamada 
área total e será indicada por A,. 
NOIDIDClablra 
O nome de uma pirâmide é dado de acordo com o 
polígono da base. 
Uma pirâmide cuja base é um triângulo é chamada 
pirâmide triangular; se a base é um quadrilátero, pirâ-
mide quadrangular; se a base é um pentágono, pirâmi-
de pentagonal; e assim sucessivamente. 
VOIUIDI 
O volume de uma pirâmide é um terço do produto 
da área da base pela altura. 
Pirâmide regular 
Pirâmide regular é aquela cuja base é um po-
lígono regular e a distância do vértice ao centro 
da base é a altura da pirâmide. 
Na figura a seguir, temos uma pirâmide hexago-
nal regular (a base é um hexágono regular). 
V 
EIIIDIDIOS 
• A medida h do segmento VO é a altura da pirâmide. 
• M é o ponto médio de uma aresta de base. 
• O ponto O é o centro da base. 
• o segmento OM de medida n é chamado apótema 
da base. 
• O segmento VP de medida .e é uma aresta lateral da 
pirâmide. 
• O segmento VM de medida m é o apótema da pirâ-
mide. 
• O segmento OP de medida ré o raio da circunferên-
cia circunscrita à base. 
• Os triângulos PVO e MVO são retângulos, logo: 
.e2 = h2 + r2 e m2 = h2 + n2 
NOIDIDClablra 
Para nomear uma pirâmide regular, basta acrescen-
tar a palavra "regular" ao seu nome, isto é, pirâmide 
hexagonal regular, pirâmide pentagonal regular etc. 
Sacção transversal 
Chama-se secção transversal a intersecção não vazia 
de uma pirâmide com um plano a paralelo à sua base e 
que não passa pelo seu vértice. 
A2 
• A secção transversal é um polígono semelhante ao 
polígono da base. 
• A distância do vértice da pirâmide até a secção trans-
versal dividida pela altura da pirâmide é a razão de 
semelhança. 
• A razão entre a área da secção transversal e a área da 
base, nesta ordem, é igual ao quadrado da razão de 
semelhança. 
• O sólido compreendido entre a secção transversal 
e a base é chamado tronco de pirâmide de bases 
paralelas. 
Tronco de 
pirâmide 
• A distância entre as bases é a altura do tronco. 
Atividades 
1 (Ucsal-BA) No prisma reto de base triangular, da figura, 
todas as arestas medem 2 m. 
O volume desse prisma, em metros cúbicos, é: 
a) 2✓2 c) 4 e) 4✓3 
b) 2✓3 d) 4✓2 
V= Ab,se · h =>V= ( 22[3 ) · 2 :. V= 2✓3 m3 
2m 
Alternativa b r ri9 
__________,.__(f,-"'-------:7,m 
2 (U. F. Juiz de Fora-MG) A maior distância, em metros, entre 
dois vértices de um cômodo na forma de paralelepípedo 
retangular de 3 m de altura, com piso de dimensões 2 e 
6 metros, é igual a: 
a) 2✓-10 b) v'11 c) 7 d) 5✓2 
A distância pedida é a medidada diagonal do paralelepípedo: 
d = -J 32 + 22 + 62 => d = -J 9 + 4 + 36 
d=-J49=>d=7m 
Alternativa e 
3 (Acate-se) A figura a seguir mostra a planificação de um 
sólido. O volume desse sólido é: 
a) 1152 cm3 c) 384 cm3 e) 240 cm3 
b) 1 440 cm3 d) 1200 cm3 
A figura é a planificação de uma pirãmide de base quadrada de 
lado 12 cm. O apótema (m) da pirâmide é 1 O cm e o apótema (a) 
da base é 6 cm (metade do lado do quadrado). 
m2 = a2 - h2 => 100 - 36 = h2 => h2 = 64 => h = 8 cm 
em que h é a altura da pirâmide. 
1 1 144·8 
V = 3 · 58 • h = 3 · (12)2 • 8 = - 3- = 384 cm' 
Alternativa e 
4 (Vunesp-SP) Aumentando-se em 2 cm a aresta de um 
cubo e,, obtemos um cubo C2, cuja área da superfície to-
tal é aumentada em 216 cm2, em relação à do cubo e,. 
~u 
a a+ 2 
Determine: 
a) a medida da aresta do cubo C,; 
(A,.,,.,1) 2 = 6 · (a + 2)2 
Ainda: (A,.,,.,1) 2 = (A,.,,.,,), + 216 => 
=> 6 · (a2 + 4 ·a+ 4) = 6 · a2 + 216 => 
=> a2 + 4 • a + 4 = a2 + 36 => 4 • a = 32 :. a = 8 cm 
b) o volume do cubo C2• 
v2 = (a + 2)3 => v2 = 103 :. v2 = 1 000 cm' 
EXERC(CIOS COMPLEMENTARES 
1 (EEM-SP) A diagonal de um paralelepípedo reto-retângulo 
mede ✓-14 m. Calcule o volume do paralelepípedo, 
sabendo que as medidas das três arestas são números 
inteiros consecutivos. 
2 (FBJ-PR) De um paralelepípedo de dimensões 3x, x ex, em 
dm, retira-se um prisma de medidas 1 dm, 1 dm ex dm, 
conforme a figura. Se o sólido restante tem volume 22 dm3, 
o valor de x, em dm, é igual a: 
~-----~'-·jp X 
3x 
a) 0,5 d) 2 
b) 1 e) 3 
c) 1,5 
3 (Fuvest-SP) Qual a altura de uma pirâmide quadrangular 
que tem as oito arestas com medidas iguais a ✓2? 
a) ✓1 d) .fis 
b) N e) ✓3 
c) ✓2 
4 (F. M. Santa Casa-SP) Dispondo-se de uma folha de car-
tolina, medindo 50 cm de comprimento por 30 cm de 
largura, pode-se construir uma caixa aberta, cortando-se 
um quadrado de 8 cm de lado de cada canto da folha. O 
volume dessa caixa, em cm3, será: 
a) 1244 d) 3808 
b) 1828 e) 12 000 
c) 2 324 
5 Dado um cubo de aresta -e, qual é o volume do octaedro 
cujos vértices são os centros das faces do cubo? 
6 (Vunesp-SP) A figura representa uma pirâmide com vérti-
ces no ponto E. A base é um retângulo ABCD, e a face EAB 
é um triângulo retângulo com ângulo reto no vértice A. 
A pirâmide apresenta-se cortada por um plano paralelo à 
base, na altura H. 
E 
C' 
h 
.... H I A) c 
A B 
Esse plano divide a pirâmide em dois sólidos: uma pirâmide 
EA'B'C'D' e um tronco de pirâmide de altura H. Sabendo 
que H = 4 cm, AB = 6 cm, BC = 3 cm e h = AE = 6 cm, 
determine: 
a) o volume da pirâmide EA'B'C'D'; 
b) o volume do tronco da pirâmide. 
1. Cilindro 
Considere um círculo C contido em um plano a e 
um segmento AB com apenas uma de suas extremida-
des pertencente a a. 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
o .' __ J_ __ 
Eixo 
Chama-se cilindro a união de todos os segmen-
tos paralelos e congruentes a AB, com uma de 
suas extremidades em c e contidos no mesmo se-
miespaço em que está contido o segmento AB. 
EIIIDBntos 
Da figura anterior, temos: 
• Os círculos c e c, são as bases de raio r. 
• Os pontos O e o, são os centros das bases. 
• A reta que passa pelos centros das bases é o eixo do 
cilindro. 
• Qualquer segmento paralelo ao eixo e com extremi-
dades nas circunferências das bases é chamado gera-
triz (g) do cilindro. 
• A distância h entre as bases é a altura do cilindro. 
• A área de uma base será indicada por Ab. 
• A área lateral será indicada por Ae. 
• A soma das áreas das bases com a área lateral é 
chamada área total e será indicada por A,. 
Secção transversal 
Chama-se secção transversal a intersecção não va-
zia de um cilindro com um plano paralelo à sua base. 
O'. 
Volume 
7 
Seccão 
transversal 
O volume de um cilindro é o produto da área da 
base pela altura. 
Como a base do cilindro é um círculo, temos: 
V = 'li' • r2 • h 
Sacção meridiana 
Chama-se secção meridiana a intersecção de 
um cilindro com um plano que passa pelos centros 
das bases. 
D 
O paralelogramo ABCD 
é a secção meridiana. 
Cilindro reto 
Um cilindro é chamado reto quando a sua secção 
meridiana é um retângulo. 
o, 
A • -----• ----- -; B 
h = g 
O • _____ 9 _____ . C 
Em um cilindro reto, a medida g da geratriz é igual 
à da altura do cilindro. 
Areada secção meridiana 
A secção meridiana de um cilindro reto é um retân-
gulo de dimensões 2r e h; logo: 
A,ecção= 2·r·h 
Cilindro equilátero 
Um cilindro reto é chamado equilátero quando 
sua secção meridiana é um quadrado. 
Em um cilindro equilátero, a altura h, a medida g 
da geratriz e o diâmetro da base são congruentes. 
Planlflcação de um clllndro reto 
A planificação da superfície de um cilindro reto é 
composta por um retângulo de comprimento 2'TTr e al-
tura h e por dois círculos de raio r. 
2·'7T·í 
Área lateral de um cilindro reto 
A área lateral é a área do retângulo, isto é: 
Ae = 2 · 'TT · r · h 
Area total de um clllndro reto 
A área total é a soma da área lateral com as áreas 
das bases, isto é: 
A, = 2'TTrh + 2'TTr2 • A, = 2 · 'TT · r · (h + r) 
2. Cone 
Considere um círculo C contido num plano a e um 
ponto V não pertencente a a. 
e 
O'. 
Chama-se cone a união de todos os segmen-
tos com extremidades em C e V. 
Elementos 
Da figura anterior, temos: 
• o círculo c é a base de raio r. 
• O ponto O é o centro da base. 
• O ponto V é o vértice do cone. 
• A reta que passa pelo centro da base e pelo vértice é o 
eixo do cone. 
• Qualquer segmento com extremidades na circunfe-
rência da base e no vértice é chamado geratriz (g) 
do cone. 
• A distância h entre o vértice e a base é a altura do 
cone. 
• A área de uma base será indicada por Ab. 
• A área lateral será indicada por Ae. 
• A soma da área da base com a área lateral é chamada 
área total e será indicada por A,. 
Secção transversal 
Chama-se secção transversal a intersecção não va-
zia de um cone com um plano C\'. paralelo à sua base e 
que não passa pelo seu vértice. 
• A secção transversal e a base são círculos. 
• A razão do raio da secção (r,ecção) para o raio da base 
(r) é a razão de semelhança. 
• A razão entre a área da secção e a área da base, nesta 
ordem, é igual ao quadrado da razão de semelhança. 
• O sólido compreendido entre a secção transversal e a 
base é chamado tronco de cone, de bases paralelas. 
.,,,.,,..----------
Tronco 
de cone 
• A distância entre as bases é a altura do tronco. 
vo111ne 
O volume de um cone é igual a um terço do produ-
to da área da base pela altura. 
Como a base do cone é um círculo, temos: 
Secção 1neridiana 
Chama-se secção meridiana a intersecção de um 
cone com um plano que contém o eixo. 
O triângulo ABV é uma secção meridiana. 
Cone reto 
Um cone é chamado reto quando suas secções 
meridianas são triângulos isósceles. 
A 
Num cone reto, o triângulo OBV é retângulo, então: 
g2 = h2 + r2 
Area da secção 1nerldlana 
Sendo r o raio da base de um cone e h a sua altura, 
a secção meridiana é um triângulo de base 2r e altura 
h, logo: 
Asecçao = r · h 
Cone equilátero 
Um cone reto é chamado equilátero quando suas 
secções meridianas são triângulos equiláteros. 
V 
h 
g = 2r 
Q-;J • r 
A----
Num cone equilátero, a geratriz g tem como medida 
o diâmetro da base. 
Planificação de 11n cone reto 
A planificação da superfície de um cone reto é 
composta por um círculo de raio r (base do cone) e um 
setor circular (superfície lateral do cone), cujo arco tem 
comprimento 2'TTr, ângulo central a, e o raio é a geratriz 
g do cone. 
G 
2'1Tr 
g 
Medida do ângulo central e1n função do 
co1npri1nento do arco do setor 
Ou, em radianos: 
Area lateral de um cone reto em função do ângulo do 
setor circular 
Ae= a·'!T·g2 
360° 
Ou, em radianos: 
a. gz 
Ae = ----=--
2 
Área lateral de um cone reto em função do comprimen-
to do arco do setor circular 
Área total de um cone reto 
A área total é a soma da área lateral com a área da 
base, isto é: 
A, = '1T • r · (g + r) 
Atividades