PE P2 A

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Probabilidade e Estatística: 00001 2
1. Questão
De acordo com a Organização Mundial da Saúde, a proporção de pessoas que sofrem de
ansiedade no Brasil é de 11%. Se uma amostra piloto de 100 brasileiros for selecionada
de forma aleatória, qual a probabilidade de que a proporção de brasileiros ansiosos na
amostra seja menor que 12%?
(a) 0.6255
(b) 0.5398
(c) 0.5120
(d) 0.3745
(e) 0.4880
Solução
Inicialmente, observe que a distribuição da proporção amostral é normal de parâmetros
µ = 0.11 e σ =
√
0.11×0.89
100
= 0.0313, temos que
P (p̂ < 0.12) = P
(
p̂ − 0.11
0.0313
<
0.12 − 0.11
0.0313
)
= P (Z < 0.32) = 0.6255.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
2. Questão
A função de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias discretas X e Y é dada
por p(x , y) = (x + 2y )/48, onde x e y podem assumir valores inteiros tal que 0 ≤ x ≤ 2,
0 ≤ y ≤ 3, e p(x , y ) = 0 em outro caso. Encontre P(X ≥ 1|Y ≤ 2).
(a) 0.563
(b) 0.778
(c) 0.104
(d) 0.250
(e) 0.438
Solução
Veja que P(Y = y ) =
∑
x p(x , y) e que
P(X ≥ 1|Y ≤ 2) = P(X ≥ 1, Y ≤ 2)
P(Y ≤ 2) =
∑2
x=1
∑2
y=0 p(x , y )
∑2
y=0 P(Y = y )
=
0.4375
0.5625
= 0.778.
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
Probabilidade e Estatística: 00001 3
X \Y 1 2
1 0 0.64
2 0.07 0.01
4 0.27 0.01
3. Questão
Em uma determinada empresa foram registradas duas variáveis: X referente ao número
de faltas e Y referente ao desempenho que é avaliado internamente. A distribuição de
probabilidades conjunta de X e Y é dada por:
Sabendo que E(X ) = 1.92, E
(
X 2
)
= 5.44, E(Y ) = 1.66 e E
(
Y 2
)
= 2.98, assinale a
alternativa correspondente à correlação entre as variáveis X e Y .
(a) −0.82
(b) −0.57
(c) 0.09
(d) −0.91
(e) −0.51
Solução
Primeiramente devemos completar a tabela com as probabilidades marginais de X e Y :
X \Y 1 2 P(X=x)
1 0 0.64 0.64
2 0.07 0.01 0.08
4 0.27 0.01 0.28
P(Y=y) 0.34 0.66 1
Em seguida, calculamos
Var(X ) = E
(
X 2
)
− [E(X )]2 = 5.44 − (1.92)2 = 1.75
Var(Y ) = E
(
Y 2
)
− [E(Y )]2 = 2.98 − (1.66)2 = 0.22
A distribuição do produto é dada por
k 1 2 4 8
P(XY = k) 0 0.71 0.28 0.01
De modo que
E(XY ) = 1 × 0 + 2 × 0.71 + 4 × 0.28 + 8 × 0.01 = 2.62
e, portanto,
Corr(X , Y ) =
Cov(X , Y )
√
Var(X )
√
Var(Y )
=
E(XY ) − E(X )E(Y )
√
Var(X )
√
Var(Y )
= −0.91
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
Probabilidade e Estatística: 00001 4
(e) Falso
4. Questão
Uma máquina foi projetada para encher caixas de leite com 985 mililitros e desvio padrão
de 90 mililitros. Qual é a probabilidade da média amostral de um conjunto de 50 caixas de
leite escolhidas aleatoriamente superar o limite de 1 litro?
(a) 0.622
(b) 0.818
(c) 0.433
(d) 0.119
(e) 0.464
Solução
Seja X o volume de leite em uma caixa enchida por essa máquina, então E(X ) = µ = 985,
enquanto que o desvio padrão teórico é σ/
√
n = 90/
√
50 = 12.728. Assim, a probabilidade
requerida é
P(X > 1000) = P
(
Z >
1000 − 985
12.728
)
= P(Z > 1.18) = 0.119.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
5. Questão
Considere a seguinte função definida em partes.
f (x) =







0 se x < 0,
Cx se 0 ≤ x < 0.9,
20(1 − x) se 0.9 ≤ x < 1,
0 se x ≥ 1.
Caso f (x) represente a densidade de uma variável aleatória X , então dizemos que X tem
distribuição triangular no intervalo [0, 1]. Qual valor deve ter a constante C para que f (x)
seja de fato uma densidade?
(a) 20.00
(b) 0.90
(c) 1.80
(d) 2.00
(e) 2.22
Solução
Probabilidade e Estatística: 00001 5
Pelas propriedades das funções de densidade, temos que
1 =
∫
∞
−∞
f (x)dx
=
∫ 0
−∞
0dx +
∫ 0.9
0
Cxdx +
∫ 1
0.9
20(1 − x)dx +
∫
∞
1
0dx
= C
∫ 0.9
0
xdx + 20
∫ 1
0.9
(1 − x)dx
= C
[
x2
2
]0.9
0
+ 20
[
x − x
2
2
]1
0.9
= C
0.81
2
+ 20
(
1 − 1
2
− 0.9 + 0.81
2
)
= 0.405C + 0.1.
Resolvendo-se em C, obtemos C = 2.22.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
6. Questão
Suponha que a duração (em horas) de certa válvula seja uma variável aleatória X com
função densidade f (x) = 24x−4 para x > 2, e zero caso contrário. Qual é o tempo de vida
esperado (em horas) dessa válvula?
(a) 12.0
(b) 1.0
(c) 5.5
(d) 3.0
(e) 8.0
Solução
Pela definição de Esperança matemática,
E(X ) =
∫
∞
−∞
xf (x)dx = 24
∫
∞
2
x−3dx = 3 horas.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
7. Questão
A temperatura com que um meteorito atinge o solo é uma variável aleatória com função de
distribuição acumulada
F (x) =



0, x < 0,
x3, 0 ≤ x < 1,
1, x ≥ 1.
(1)
Probabilidade e Estatística: 00001 6
Segundo esse modelo, qual é a proporção de meteoritos que atingem o solo com temper-
atura entre 0.5 e 1.5?
(a) 0.729
(b) 0.512
(c) 0.875
(d) 0.857
(e) 0.125
Solução
Basta observar que tal proporção é dada por
P(0.5 ≤ X ≤ 1.5) = F (1.5) − F (0.5) = 0.875.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
8. Questão
Sabe-se que o tempo de vida útil de uma certa marca de baterias automobilísticas é expo-
nencialmente distribuído com média de 4 anos. Uma montadora precisa que as baterias
que usa em seus veículos durem pelo menos 4 anos para que seu lucro não seja prejudi-
cado. Se a montadora utilizou baterias da referida marca, qual a probabilidade de que uma
dada bateria não gere prejuízo se já sobreviveu 3 anos?
(a) 0.075
(b) 0.472
(c) 0.676
(d) 0.221
(e) 0.779
Solução
Seja X a variável aleatória que representa o tempo de vida útil das baterias, então, como
E(X ) = 4, sabemos que X ∼ Exp(1/4). Como a função de distribuição acumulada da
variável aleatória X é F (x) = 1 − e−0.250x , segue, pela propriedade de perda de memória
da Exponencial, que a probabilidade desejada é dada por
P(X > 3 + 1|X > 3) = P(X > 1)
= 1 − F (1)
= 1 − (1 − e−0.250×1)
= 0.779
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
Probabilidade e Estatística: 00001 7
9. Questão
Uma fábrica de carros sabe que seus motores têm duração Normal com média 10000 km
e desvio padrão de 200 km. Se a fábrica substitui o motor que apresenta duração inferior
à garantia, qual deve ser esta garantia para que a porcentagem de motores substituídos
seja de 3.01%?
(a) 10376
(b) 9624
(c) 9898
(d) 11376
(e) 8540
Solução
Pelo enunciado,
P(X ≤ α) = P
(
Z ≤ α− µ
σ
)
= 0.0301,
onde α é o quantil desejado e Z é uma variável aleatória com distribuição Normal padrão.
Da tabela da distribuição Normal padrão, temos que
α− µ
σ
= −1.88 ⇒ α = −1.88 × 200 + 10000 = 9624.
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
10. Questão
Um sistema é formado por 100 componentes, cada um dos quais com confiabilidade (prob-
abilidade de funcionar adequadamente num certo período) igual a 0.9. Nesse contexto,
qual é a probabilidade de que, ao final de um período, ao menos 87 componentes estejam
funcionando? (Não utilizar correção de continuidade.)
(a) 0.512
(b) 0.841
(c) 0.159
(d) 0.332
(e) 0.629
Solução
Seja X o número de componentes que funcionaram adequadamente durante todo o período,
então X ∼ Bin(100, 0.9),
E(X ) = np = 100 × 0.9 = 90
e
Var (X ) = np(1 − p) = 100 × 0.9 × 0.1 = 9.
Portanto, pela aproximação da Normal à Binomial,
P(X ≥ 87) ≈ P(Y ≥ 87), sendo Y ∼ N(µ = 90,σ2 = 9)
Logo,
P(Y ≥ 87) =
(
Y − 90
3
≥ 87 − 90
3
)
= P(Z ≥ −1) = 0.841.
Probabilidade e Estatística: 00001 8
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso