Prova 01 de Probabilidade e Estatística

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Probabilidade e Estatística 2
1. Questão
Para inspecionar um lote de 15 peças, o funcionário de uma empresa sorteia uma amostra
de 10 peças ao acaso. Caso nenhuma peça defeituosa seja encontrada na amostra o lote
é aceito; caso contrário é devolvido ao fornecedor. Suponha que 2 das 15 peças sejam
defeituosas. Se a escolha for realizada com reposição, qual a probabilidade de aceitação
do lote?
(a) 0.239
(b) 0.018
(c) 0.116
(d) 0.133
(e) 0.429
Solução
Seja X a variável aleatória referente ao número de peças defeituosas. Esta variável aleatória
tem distribuição binomial de parâmetros n = 10 e p = 0.13. Segue que a probabilidade de
aceitação do lote é dada por
P(X = 0) =
(
10
0
)
0.130(1 − 0.13)10−0 = 0.239.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
2. Questão
Um peladeiro precisa de mais um jogador para completar o time para o próximo jogo. Ele
liga para seus amigos até que um deles aceite o convite para jogar. Se cada amigo aceita
o convite com probabilidade de 40%, qual a probabilidade de que ele não precise fazer
mais do que 5 ligações para completar o time?
(a) 0.015
(b) 0.052
(c) 0.990
(d) 0.922
(e) 0.078
Solução
Seja X o número de ligações feitas até que um amigo aceite o convite. Então X ∼
Geo(0.40), isto é, P(X = x) = 0.60x−1 × 0.40. Assim,
P(X ≤ 5) = 1 − P(X > 5)
= 1 − P(5 primeiros amigos recusarem o convite) = 0.605 = 0.078.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
Probabilidade e Estatística 3
(e) Falso
3. Questão
Considere que P(A) = 1/3, P(C) = 1/4 e P(A ∩ B) = 1/5, sendo A e C eventos indepen-
dentes, e B e C eventos disjuntos. Calcule P((B ∪ C)|A).
(a) 0.283
(b) 0.451
(c) 0.850
(d) 0.050
(e) 0.017
Solução
Pela definição de probabilidade condicional,
P((B ∪ C)|A) =
P((B ∪ C) ∩ A)
P(A)
=
P((B ∩ A) ∪ (C ∩ A))
P(A)
.
Como B e C são disjuntos, então são também disjuntos os eventos (B∩A) e (C ∩A). Logo,
P((B ∩ A) ∪ (C ∩ A)) = P(B ∩ A) + P(C ∩ A). Além disso, como A e C são independentes,
então P(C ∩ A) = P(C)P(A). Daí, temos que
P((B ∩ A) ∪ (C ∩ A))
P(A)
=
P(B ∩ A) + P(C)P(A)
P(A)
=
0.200 + 0.250 × 0.333
0.333
= 0.850.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
4. Questão
Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte distribuição de probabilidades:
P(X = x) =
k
x
, onde X assume os valores 1, 7, 8 e 9.
Assinale a alternativa correspondente à variância de X .
(a) 1852751/190704
(b) 504/695
(c) 2016/695
(d) 5914487/222821
(e) 2520/139
Solução
Primeiramente devemos determinar o valor de k . Uma vez que a soma das probabilidades
deve ser um, basta resolver a equação
k
1
+
k
7
+
k
8
+
k
9
= 1,
resultando em k = 504/695. Para o cálculo da variância precisamos, antes, calcular os
valores de E(X ) e E(X 2):
E(X ) = 1 × P(X = 1) + 7 × P(X = 7) + 8 × P(X = 8) + 9 × P(X = 9) = 2016/695,
E(X 2) = 12 × P(X = 1) + 72 × P(X = 7) + 82 × P(X = 8) + 92 × P(X = 9) = 2520/139.
De modo que V (X ) = E(X 2) − {E(X )}
2
= 1852751/190704.
Probabilidade e Estatística 4
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
5. Questão
Em um pomar, as maçãs colhidas são distribuídas aleatoriamente em pacotes, cada um
contendo 7 frutos. O pomar teve um total de 19 maçãs recolhidas, e 9 frutos foram con-
siderados de ótima qualidade. Seja X o número de maçãs ótimas alocadas ao primeiro
pacote, qual das distribuições de probabilidade seria adequada para descrever a variável
aleatória X?
(a) Poisson(3)
(b) Geométrica(3/19)
(c) Binomial(7, 3/19)
(d) Geométrica(7/19)
(e) Hipergeometrica(19,9,7)
Solução
Como temos uma seleção de amostra aleatória (n = 7) de uma população (N = 19) com
dois grupos subdividindo a população (maçãs ótimas=A, maçãs normais=O) , a distribuição
de probabilidade adequada para descrever o comportamento da variável aleatória X é
Hipergeometrica(19,9,7).
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
6. Questão
Suponha que de 11 objetos escolhemos 6 ao acaso com reposição. Qual a probabilidade
de que nenhum objeto seja escolhido mais de uma vez? Aproxime a resposta com duas
casa decimais.
(a) 0.62
(b) 0.55
(c) 0.03
(d) 0.56
(e) 0.19
Solução
A probabilidade desejada é dada por
11 × 10 × · · · × 6
116
.
(a) Falso
(b) Falso
Probabilidade e Estatística 5
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
7. Questão
Um piloto de Fórmula 1 tem 89% de probabilidade de vencer determinada corrida quando
esta se realiza sob chuva. Caso não chova durante a corrida, sua probabilidade de vitória é
de 43%. O serviço de Meteorologia estima em 72% a probabilidade de que chova durante a
corrida. Dado que este piloto ganhou a corrida, qual a probabilidade de que tenha chovido?
(a) 0.761
(b) 0.158
(c) 0.504
(d) 0.842
(e) 0.239
Solução
Defina os eventos
C = “Choveu durante a corrida.”
G = “O piloto ganhou a corrida.”
Pelo Teorema de Bayes, a probabilidade desejada é dada por
P(C|G) =
P(C ∩ G)
P(G)
=
P(C) × P(G|C)
P(C) × P(G|C) + P(Cc) × P(G|Cc)
=
0.72 × 0.89
0.72 × 0.89 + 0.28 × 0.43
= 0.842.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
8. Questão
O dono de um posto recomenda aos três frentistas que eles lavem os para-brisas de todos
os veículos atendidos. Sabe-se que João, Marcelo e Raul atendem, respectivamente, 40%,
30% e 30% dos veículos. Eles esquecem de lavar o para-brisas com probabilidades 20%,
30% e 25%, respectivamente. Se um motorista abastece nesse posto, qual a probabilidade
de que o para-brisas do seu veículo não seja lavado?
(a) 0.015
(b) 0.245
(c) 0.250
(d) 0.082
Probabilidade e Estatística 6
(e) 0.750
Solução
Sejam os eventos
J = “João realiza o atendimento.”
M = “Marcelo realiza o atendimento.”
R = “Raul realiza o atendimento.”
N = “O para-brisas não é lavado.”
Pelo enunciado tem-se P(J) = 0.4, P(M) = 0.3, P(R) = 0.3, P(N|J) = 0.2, P(N|M) = 0.3 e
P(N|R) = 0.25. Logo, pelo Teorema da Probabilidade Total tem-se que P(N) = P(J)P(N|J)+
P(M)P(N|M) + P(R)P(N|R) = 0.4 × 0.2 + 0.3 × 0.3 + 0.3 × 0.25 = 0.245
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
9. Questão
A chance de uma aposta simples (onde escolhe-se 6 números) ganhar a Mega Sena é de
uma em 50063860. A Mega Sena da Virada de 2017 arrecadou o equivalente a 254556391
apostas simples. Nesse contexto, considerando que os números em cada aposta tenham
sido escolhidos de maneira aleatória (cada número com a mesma probabilidade) e inde-
pendente, qual era a probabilidade de que exatamente 5 apostadores ganhassem o prêmio
máximo (utilize a aproximação de poisson da distribuição binomial)?
(a) 0.175
(b) 0.825
(c) 0.581
(d) 0.419
(e) 0.297
Solução
O número de vencedores tem distribuição binomial com parâmetros 254556391 e 1/50063860,
ou seja, X ∼ Bin(254556391, 1/50063860). Utilizando a aproximação de Poisson para a
Binomial, tem-se, aproximadamente, que X ∼ Pois(np = 5.085). Portanto, a probabilidade
de observarmos exatamente X = 5, é dada por
P(X = 5|X ∼ Bin(254556391, 1/50063860)) ≈ P(X = 5|X ∼ Pois(5.085)) = 17.5%
.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
Probabilidade e Estatística 7
10. Questão
A quantidade diária de leitores de um pequeno periódico de uma cidade interiorana é 442.
Suponha que a quantidade de leitores do periódico seja uma variável aleatória X , que
segue a distribuição de Poisson. Qual é o segundo momento de X (i.e. o valor de E(X 2))?
(a) 195806
(b) 443
(c) 442
(d) 21
(e) 195364
Solução
X ∼ Poisson(442) e portanto
Var (X ) = E(X 2) − [E(X )]2 ⇒
λ = E(X 2) − λ2 ⇒
E(X 2) = λ + λ2 = λ× (λ + 1) = 442 × 443 = 195806.
Ou, alternativamente,
E(X 2) =
∞
∑
x=1
k2 ×
λx
x !
× e−λ
= e−λ
∞
∑
x=1
x ×
λx
(x − 1)!
= e−λ
∞
∑
x=1
(x − 1 + 1) ×
λλx−1
(x − 1)!
= λ× e−λ
[
∞
∑
x=1
(x − 1) ×
λx−1
(x − 1)
+
∞
∑
x=1
λx−1
(x − 1)
]
= λ× e−λ
[
∑
n=0
∞n
λn
n!
+
∑
n=0
∞
λn
n!
]
= λ× [E(X ) + 1] = λ× (λ + 1) = 195806.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso