Lista de exercicio 1

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA
CURSO DE MATEMÁTICA LICENCIATURA
Teoria dos Números
Programa Ensinar - PARNARAMA
Lista de Exerćıcios 1
1. Mostre por Indução Matemática que:
i. 13 + 33 + 53 + · · ·+ (2n− 1)3 = n2(2n2 − 1);
ii. 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + · · ·+ n(n+ 1)(n+ 2) = n(n+1)(n+2)(n+3)
4
;
iii. 1
1·2 +
1
2·3 +
1
3·4 + · · ·+ 1
n(n+1)
= 1− 1
n+1
;
iv. 13 + 23 + 33 + · · · + n3 = [ [n(n+1)]
2
]2.
2. Mostre por indução que para n ∈ N:
(i) 4n + 15n− 1 é multiplo de 9;
(ii) n(n2 + 5) é multiplo de 6.
3. Mostre por indução que para n ∈ N:(
n
0
)
+
(
n
1
)
+ · · · +
(
n
n− 1
)
+
(
n
n
)
= 2n.
4. Mostre que: (
n
k
)
=
(
n
n− k
)
5. O número 265 está inscrito na base 10, escreva-o na base 4. O número 73
também está inscrito na base 10, escreva-o na base 2.
6. Desenvolva as expressões a seguir:
(i) (x+ y)10; (ii) (x+ y + z)5.
Prof. Dr. João Coelho Filho