Calculo I - Lista de Exercícios Nº 07 - COM GABARITO

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Cálculo I - Lista de Exerćıcios no¯ 7 - 1
o
¯ semestre/2016
1. Uma part́ıcula desloca-se sobre o eixo x com função de posição x = 3+ 2t− t2, t ≥ 0.
(a) Determine a velocidade no instante t. (b) Determine a aceleração no instante t.
2. Expresse a taxa de crescimento do volume de uma esfera, relativamente ao raio, em função do raio.
Faça o mesmo para a superf́ıcie da esfera. Calcule essas taxas quando o raio for igual a 5 cm.
3. Expresse a taxa de crescimento do volume de uma esfera, relativamente à superf́ıcie, em função do
raio da esfera. Faça o mesmo para o raio, relativamente ao volume.
4. Qual a taxa média de variação da área de um ćırculo em relação ao raio, quando este varia de r a
r+ ∆r? Calcule essa taxa para r = 1, 5m e ∆r = 5 cm.
5. Se o raio de um ćırculo cresce à taxa de 30 cm/s, a que taxa cresce a área em relação ao tempo?
6. Uma escada de 8 metros está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for
afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 2m/s, com que velocidade a extremidade
superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 3 metros da parede?
7. Enche-se um reservatório, cuja forma é a de um cone circular reto, de água a uma taxa de 0, 1m3/s.
O vértice do cone está a 15m do topo e o raio do topo é de 10m. Com que velocidade o ńıvel h da
água está subindo no instante em que h = 5m?
8. Dois trens se deslocam sobre trilhos paralelos, separados por um quarto de quilômetro; a velocidade
do primeiro é de 40 km/h e a do segundo é de 60 km/h no mesmo sentido que o primeiro. O
passageiro A do trem mais lento observa o passageiro B do trem mais rápido. Com que velocidade
muda a distância entre ambos quando
(a) estão exatamente um em frente ao outro?
(b) A está a 1/8 de quilômetro à frente de B?
(c) B está a 1/8 de quilômetro à frente de A?
9. Dois carros partem de um mesmo ponto, um em direção leste, com velocidade constante de 60 km/h,
e o outro em direção norte, com velocidade constante de 80 km/h. Deduza uma expressão para a
taxa de variação da distância entre os carros em relação ao tempo.
10. Está vazando água de um tanque cônico a uma taxa de 10 000 cm3/min. Ao mesmo tempo, está
sendo bombeada água para dentro do tanque a uma taxa constante. O tanque tem 6m de altura e
o diâmetro no topo é de 4m. Se o ńıvel da água subir a uma taxa de 20 cm/min quando a altura
da água for 2m, encontre a taxa segundo a qual a água está sendo bombeada dentro do tanque.
11. Uma viga com 30m de comprimento está apoiada em uma parede e o seu topo está se deslocando
para baixo a um velocidade de 0, 5m/s. Qual será a taxa de variação do ângulo agudo formado
pela viga e pelo chão quando o topo da viga estiver a 18m do chão?
12. Um velocista corre em uma pista circular de raio 100m a uma velocidade constante de 7m/s. Seu
amigo está parado a uma distância de 200m do centro da pista. Quão rápido estará variando a
distância entre os amigos quando estiverem a uma distância de 200m?
13. Se dois resistores com resistências R1 e R2 estão conectados em
paralelo, como na figura, então a resistência total R, medida
em ohms(Ω), é dada por
1
R
=
1
R1
+
1
R2
.
Se R1 e R2 estão crescendo a taxas 0, 3Ω/s e 0, 2Ω/s, respec-
tivamente, quão rápido está variando R quando R1 = 80Ω e
R2 = 100Ω?
Instituto de Matemática Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
Cálculo I - Lista de Exerćıcios no¯ 7 - Gabarito - 1
o
¯ semestre/2016
1. (a)
dx
dt
= 2− 2t (b)
dV
dt
= −2
2.
• dV
dt
= 4πr2 para r = 5cm
dV
dt
= 314cm3
• dS
dt
= 8πr para r = 5cm
dV
dt
= 125, 6cm2
3.
• dV
dS
=
r
2
• dr
dV
=
1
4πr2
4.
dA
dr
= π(2r+ ∆r) para r = 1, 5m e ∆r = 5cm
dA
dr
= 3, 05πm
5.
dA
dt
= 60πrcm2/s
6.
dy
dt
= −0, 8m/s
7.
dh
dt
= 0, 009m/s
8. (a)
dh
dt
= 0km/h (b)
dh
dt
= 4
√
5m/s (c)
dh
dt
= −4
√
5m/s
9.
dh
dt
=
60x+ 80y
h
10.
dV
dt
= 289252, 68 cm3/min
11.
dx
dt
=
−1
48
rad/s
12.
dd
dt
=
7
√
15
4
m/s
13.
dr
dt
= 0, 132 ohms/s
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